автореферат диссертации по радиотехнике и связи, 05.12.07, диссертация на тему:Расчет и исследование дискретного спектра волн некоторых открытых направляющих структур

Введение.

Глава 1. Исследование прямоугольного диэлектрического волновода методом частичных областей.

1.1. Постановка краевой задачи о расчете прямоугольного диэлектрического волновода с внешней экранизацией.

1.2. Составление дисперсионного уравнения спектра волн прямоугольного частично заполненного волновода с магнитной стенкой в плоскости х-0.

1.3. Результаты численного решения дисперсионного уравнения волн прямоугольного частично заполненного волновода с магнитной стенкой в плоскости х = 0.

1.4. Формулировка дисперсионной задачи спектра волн прямоугольного частично заполненного волновода с электрической стенкой в плоскости х = 0.

1.5. Результаты численного решения дисперсионного уравнения волн прямоугольного частично заполненного волновода с электрической стенкой в плоскости х = 0.

1.6. О возможности использования модели прямоугольного частично заполненного волновода для исследования открытого прямоугольного диэлектрического волновода.

1.7. Выводы.

Глава 2. Исследование прямоугольного диэлектрического волновода методом коллокаций.

2.1. Постановка краевой задачи о расчете открытого прямоугольного диэлектрического волновода.

2.2. Результаты численного решения дисперсионного уравнения волн открытого прямоугольного диэлектрического волновода.

2.3. Выводы.

Глава 3. Исследование дисперсии волн круглого открытого продольно намагниченного ферритового волновода.

3.1. Определение параметров намагниченной ферритовой среды.

3.2. Определение компонент электромагнитного поля волны в неограниченном продольно намагниченном феррите.

3.3. Постановка краевой задачи и составление дисперсионного уравнения волн круглого открытого продольно намагниченного ферритового волновода.

3.4. Результаты численного решения дисперсионного уравнения волн круглого открытого продольно намагниченного ферритового волновода.

3.5. Выводы.

Глава 4. Исследование особенностей распространения электромагнитных волн в открытом двухслойном сферическом волноводе.

4.1. Классификация краевых задач для открытого двухслойного сферического волновода.

4.2. Постановка краевой задачи о расчете открытого двухслойного сферического волновода.

4.3. Получение дисперсионного уравнения волн открытого двухслойного сферического волновода с однородной внешней средой.

4.4. Получение дисперсионного уравнения волн открытого двухслойного сферического волновода с неоднородной недиспергирующей внешней средой.

4.5. Получение дисперсионного уравнения волн открытого двухслойного сферического волновода с неоднородной диспергирующей внешней средой.

4.6. Выводы.

Диссертация посвящена исследованию особенностей дискретных спектров волн ряда открытых направляющих структур: прямоугольного диэлектрического волновода, круглого продольно намагниченного ферритового волновода, двухслойного сферического диэлектрического волновода.

Актуальность темы: Наблюдающийся в последние десятилетия прогресс в развитии техники миллиметрового и субмиллиметрового диапазонов, оптической связи, интегральной оптики и лазерных технологий стимулирует исследования свойств базовых структур, на основе которых создаются компоненты функциональных узлов СВЧ, КВЧ и оптического диапазонов волн. Одной из базовых структур указанных диапазонов является прямоугольный (полосковый) диэлектрический волновод (ДВ), представляющий собой прямоугольный диэлектрический стержень, находящийся в поперечно неограниченной среде с меньшим показателем преломления.

Прямоугольные диэлектрические волноводы широко используются [1-3] в качестве направляющих структур оптических устройств, а также в качестве соединительных линий планарных оптических цепей. Обычная прямоугольная форма поперечного сечения полоскового волновода является простой в изготовлении и удобной для монтажа в планарных интегральных схемах. Одинаковое прямоугольное сечение различных компонент интегральных схем и волноводов позволяет соединять их без использования дополнительных преобразователей волн и согласующих устройств, что позволяет избежать потерь на рассеяние в переходных элементах.

В оптической связи прямоугольные ДВ находят применение при создании волоконных лазеров и усилителей из высокочистого кварцевого стекла, легированного ионами редкоземельных элементов [4-6]. В таких устройствах излучение накачки вводится в первую оболочку, имеющую, как правило, прямоугольную форму поперечного сечения, то есть представляющую собой прямоугольный ДВ. Обеспечиваемая прямоугольным ДВ локализация светового потока в области сердцевины волокна, содержащей ионы активного элемента, позволяет снижать мощность излучения накачки и увеличивать к.п.д. волоконного лазера или усилителя. Кроме того, лазерные световоды с прямоугольной формой поперечного сечения первой оболочки обеспечивают лучшее согласование с источником излучения накачки, а также позволяют уменьшить оптические потери на неоднородностях, возникающих при сварке активного волокна со стандартными круглыми волоконными световодами.

Указанные перспективы применения прямоугольных ДВ стимулируют необходимость подробного исследования их электродинамических характеристик для того, чтобы в полной мере изучить физическую природу всех протекающих в них процессов и создать дифракционные базисы для расчета устройств на их основе.

Прямоугольные диэлектрические волноводы без потерь теоретически исследовались многими авторами, были предложены различные методы их анализа. Все существующие на сегодняшний день методы расчета характеристик прямоугольного ДВ можно разделить на две группы: приближенные и строго обоснованные методы. Среди приближенных методов [7] наиболее распространенными являются метод Маркатили [1, 8] и метод эффективных диэлектрических проницаемостей (эффективных показателей преломления) [2, 9 - 11]. В первом из указанных методов предполагается, что поля внутри диэлектрического стержня имеют синусоидальное распределение по поперечным координатам, а в окружающей среде являются экспоненциально затухающими. Данный метод позволяет получить выражения для определения волновых чисел мод, направляемых структурой, в относительно простом для численных оценок виде. Нестрогость метода Маркатили заключается в том, что в нем не рассматриваются области, прилегающие к углам прямоугольного ДВ. Предполагается, что электромагнитное поле в этих областях пренебрежимо мало, что допустимо лишь для хорошо выраженных волноводных мод, поля которых сконцентрированы внутри диэлектрического стержня. Данное предположение справедливо лишь в области высоких частот, вдали от частот отсечки рассматриваемых мод. На низких частотах, когда предположение о том, что проникновение энергии во внешние угловые области мало, является необоснованным, точность метода Маркатили уменьшается, особенно для мод низших порядков.

При использовании для анализа прямоугольного ДВ метода эффективных диэлектрических проницаемостей (ЭДП) волновые характеристики полосково-го волновода определяются через характеристики двух поперечно-неограниченных в одном измерении симметричных пленочных волноводов. В методе ЭДП используется так называемая лучевая модель, описывающая распространение электромагнитной энергии внутри прямоугольного ДВ с позиций геометрической оптики. Гибридные волны рассматриваются как суперпозиция волн Ет и Нт пленочных волноводов, которые образуются световыми лучами, направленными под некоторым углом к оси структуры. Ограничение поля в поперечном направлении обеспечивается за счет полного внутреннего отражения лучей от боковых стенок диэлектрической полоски. При этом предполагается, что пленочная волна имеет фазовую постоянную (3 = к0^8эфф = к0 • иэфф, где к0 постоянная распространения плоской волны в свободном пространстве, бэфф и w^ - эффективные относительная диэлектрическая проницаемость и показатель преломления материала полоски для рассматриваемой пленочной волны, соответственно. Значение эффективного показателя преломления определяется из решения дисперсионного уравнения волн пленочного волновода. Дисперсионное уравнение ЕН или НЕ-волн полоскового волновода получается исходя из условия фазового синхронизма: после двух последовательных отражений от боковых стенок полоски фаза соответствующей пленочной волны (Ет или Н,„) должна измениться на величину, кратную 2тг. Так как лучевой подход, основанный на принципах геометрической оптики, применим при поперечных размерах волновода, намного превосходящих длину волны, решение дисперсионного уравнения, полученного методом ЭДП, будет достаточно точным лишь тогда, когда мода пленки далека от отсечки, а ее поля гда, когда мода пленки далека от отсечки, а ее поля за пределами полоски малы и быстро затухают.

Таким образом, приближенные методы анализа прямоугольного ДВ не всегда адекватно описывают реальную структуру и справедливы, как правило, лишь в области высоких частот, т.е. при поперечных размерах волновода, много больших длины волны [12].

При использовании моделей, предложенных В. Шлоссером [3, 13, 14] и Дж. Гоэллом [1, 15], анализ прямоугольного ДВ может быть произведен строгими электродинамическими методами - методом частичных областей (МЧО) и методом коллокаций, соответственно. И тот, и другой методы предполагают знание точного решения уравнения Гельмгольца в выделенных областях, но по-разному реализуют выполнение граничных условий на поверхностях, разделяющих эти области.

В модели Шлоссера [13, 14] путем введения экранирующих поверхностей, достаточно далеко удаленных от диэлектрика (на расстояние [3] не менее двух характерных размеров стержня), открытая электродинамическая структура заменяется на экранированную, расчет которой производится на основе МЧО. Шлоссер в своем анализе использовал дискретный спектр собственных функций в частичных областях, представляя электромагнитные поля в виде сумм тригонометрических функций. Им были рассчитаны постоянные распространения волн диэлектрического стержня в воздухе. При этом расчеты были выполнены лишь для СВЧ-диапазона. В работах [16, 17, 18] на основе модели Шлоссера проводится анализ прямоугольных ДВ и прямоугольных ДВ на диэлектрической подложке (гребневых, изолированных и связанных зеркальных ДВ) методом частичных областей с дискретным спектром собственных функций с использованием аппарата LM и LE-волн. При этом учитывается особенность поведения полей вблизи диэлектрических ребер. Показывается, что МЧО с учетом особенности на диэлектрическом ребре эффективен лишь для структур с координатными границами. Проводится сравнение результатов, полученных на основе указанного метода, с результатами, полученными на основе метода Mapкатили. Однако в указанных выше работах не исследуется влияние размеров экранирующей поверхности на дисперсионные свойства структуры, то есть не решается вопрос ее соответствия открытому ДВ.

В [19] проведен анализ открытого прямоугольного ДВ на диэлектрической подложке методом частичных областей с непрерывным спектром собственных функций. Краевая задача сведена к системе четырех интегральных уравнений Фредгольма второго рода относительно спектральных функций внутренней частичной области, представляющей собой прямоугольный ДВ. При этом найдено лишь приближенное решение системы интегральных уравнений - одноволновое приближение. В данном приближении рассчитаны дисперсионные характеристики двух волн низших типов, распределения их полей в подложке.

Как следует из [19], в силу сложности решения систем интегральных уравнений применение МЧО с непрерывным спектром собственных функций для анализа прямоугольного ДВ затруднительно. Поэтому исследование возможности использования для анализа прямоугольного ДВ более простого МЧО с дискретным спектром собственных функций, а также определение достоинств и недостатков экранированной модели рассматриваемой направляющей структуры является актуальной задачей.

Основным недостатком экранированной модели прямоугольного ДВ является то, что введение металлического экрана не позволяет учесть в рассматриваемой структуре моды излучения, имеющие место в реальном открытом ДВ. Данного недостатка лишена модель, предложенная Дж. Гоэллом [1, 15]. Гоэлл рассмотрел открытый прямоугольный ДВ, находящийся в поперечно неограниченной среде. В его работе [15] электромагнитные поля внутри и вне диэлектрического стержня представляются в виде сумм по метагармоническим цилиндрическим функциям (цилиндрическим гармоникам): внутри стержня - в виде сумм по функциям Бесселя, вне стержня - в виде сумм по функциям Мак-дональда. При этом, поскольку граница раздела сред является прямоугольной, для нахождения амплитудных коэффициентов в разложениях полей используется метод коллокаций (метод сшивания полей в определенным образом выбранных точках вдоль границы поперечного сечения волновода). Строго говоря, использование в представлениях полей во внешней области функций Мак-дональда, определенных лишь при действительных значениях аргумента, не позволяет учитывать в спектре волн рассматриваемой структуры моды излучения, волновые числа которых являются комплексными величинами. Однако замена функций Макдональда на функции Ханкеля, также являющиеся решением краевой задачи, устраняет указанный недостаток.

Как показывает практика, при использовании метода коллокаций существенное влияние на сходимость решения задачи оказывает выбор точек, в которых записываются граничные условия (узлов коллокации). На сегодняшний день категорических рекомендаций, касающихся способа выбора узлов коллокаций не сформулировано. В [20, 21] показано, что для внешних (или внутренних) задач можно указать адаптивный выбор узлов коллокаций, который для областей с достаточно гладкими границами обеспечивает быструю сходимость решения. При адаптивном выборе узлов с помощью полиномов Фабера [22, 23] граница раздела областей отображается на окружность единичного радиуса. Согласно [24] адаптивные точки должны быть распределены равномерно по углу на полученной окружности. Выполнив обратное преобразование, можно получить координаты узлов на исходной границе раздела областей [21]. Данная процедура поиска координат адаптивных узлов достаточно трудоемка и не всегда реализуема. Так, например, в [25] приводится алгоритм расчета прямоугольного ДВ с постоянным и переменным профилем показателя преломления, использующий метод адаптивных коллокаций. Однако численные результаты получены лишь для самого простого случая: для основной поверхностной волны прямоугольного ДВ с постоянным значением диэлектрической проницаемости.

Из сказанного выше следует, что на сегодняшний день актуальной является задача поиска достаточно простого, не требующего проведения трудоемких вычислений и применимого для границ любой формы способа выбора узлов коллокаций.

В технике СВЧ и КВЧ диапазонов большое внимание уделяется проблеме распространения электромагнитных волн в анизотропных средах. К ним относятся, в частности, ферриты, анизотропные свойства которых связаны с гироскопическими свойствами магнитных моментов электронов. Ферритовые среды используются при создании вентилей, циркуляторов, фазовращателей, делителей мощности, поляризационных аттенюаторов и др.

Ферриты [26] представляют собой кристаллические вещества - соединения вида МеО • Fe203, где Me - один из следующих элементов: Мп, Со, Си, Zn, Fe, Cd, обладающие в диапазоне СВЧ и КВЧ высоким удельным сопротивлением (р=1т104 Ом - м) и малыми потерями (tgb = 10~2 4-10~4). Магнитная проницаемость феррита представляет собой тензор второго ранга, элементы которого зависят от частоты электромагнитного поля.

Направляющие структуры, содержащие ферритовые среды, исследуются достаточно давно. При этом были рассмотрены как экранированные, так и открытые направляющие структуры с различной формой поперечного сечения. Так, например, в [27 - 29] рассмотрено распространение азимутально симметричных ТЕ и ТМ-волн в круглом гиротропном волноводе с идеально проводящими стенками, заполненном азимутально намагниченным ферритом, магнитная проницаемость которого описывается тензором Полдера. В [30, 31] представлены алгоритмы расчета структур электромагнитных полей слоистых волноводов круглого и прямоугольного сечений с ферритовым заполнением, теоретически исследованы дисперсионные свойства низших несимметричных волн круглого открытого гиромагнитного волновода при его продольном намагничивании, проанализированы диаграммы критических условий, дисперсионные кривые поверхностных волн. В [32] численно исследованы электродинамические характеристики первых четырех мод открытого прямоугольного феррито-вого стержня, помещенного в продольное подмагничивающее поле, в зависимости от его ширины, намагниченности феррита, частоты сигнала и величины подмагничивающего поля. В [33, 34] решена задача на собственные значения для круглого открытого продольно намагниченного ферритового волновода, численно исследованы дисперсионные характеристики осесимметричных и несимметричных мод волновода при нескольких значениях намагниченности феррита, для основной моды НЕп приведена зависимость дифференциального фазового сдвига от величины намагниченности. В [35] приведены результаты решения краевой задачи для двухслойного экранированного волновода с внутренним продольно намагниченным ферритовым стержнем с учетом частотной зависимости элементов тензора магнитной проницаемости. Однако из-за сложности процедуры поиска корней дисперсионного уравнения на комплексных плоскостях волновых чисел практически все исследования ограничивались либо рассмотрением ферритовых сред без потерь, либо рассматривались среды с магнитными потерями, величина которых не зависит от частоты электромагнитной волны [36].

Кроме того, при анализе направляющих структур с ферритовыми средами в представленных выше работах основное внимание, как правило, уделялось исследованию свойств поверхностных волн в открытых структурах, распространяющихся и реактивно-затухающих волн в экранированных структурах, то есть волн, волновые числа которых являются либо действительными, либо мнимыми величинами. Однако краевые задачи для указанных структур являются несамосопряженными, поскольку, во-первых, при учете потерь в феррите элементы тензора магнитной проницаемости являются комплексными величинами, во-вторых, число граничных условий прямых и сопряженных задач как для открытых, так и для слоистых экранированных структур различно, что делает рассматриваемые [37, 38] краевые задачи несамосопряженными и в отсутствии потерь в феррите. Так как собственные значения несамосопряженной краевой задачи в общем случае являются [39] комплексными, то наиболее общими решениями ДУ волн открытых и слоистых экранированных направляющих структур будут комплексные волновые числа, соответствующие при учете потерь всем типам волн, а при их отсутствии - спектру комплексных волн [38].

Лишь в небольшом количестве работ [30, 35, 36] были исследованы комплексные волны в направляющих структурах, содержащих ферритовые среды без потерь. Принципиально комплексные волны в структурах с потерями, величина которых зависит от частоты электромагнитной волны, ранее не исследовались вообще.

Таким образом, весьма актуальной представляется задача исследования дисперсионных свойств принципиально комплексных волн в открытых направляющих структурах, содержащих ферриты, в частности, в круглом открытом ферритовом волноводе при учете частотной зависимости магнитных потерь в феррите.

При рассмотрении вопросов, касающихся обеспечения радиосвязи с летательными аппаратами, находящимися вблизи поверхности Земли, особое внимание уделяется исследованию свойств таких направляющих структур как тропосферные волноводы. В общем случае в качестве математической модели тропосферного волновода можно использовать открытый слоистый сферический диэлектрический волновод. Краевая задача, описывающая волны такого волновода является несамосопряженной. В том случае, когда среды, образующие сферический волновод, являются диссипативными, несамосопряженность краевой задачи следует [39] из нетождественности дифференциальных уравнений прямой и сопряженной задач. В том случае, когда параметры виц. сред, образующих сферический волновод, являются действительными величинами, несамосопряженность краевой задачи является следствием несовпадения числа граничных условий прямой и сопряженной задач [37, 38]. При этом в случае азимутальной симметрии поля такое несовпадение получается, если не накладывать на решение задачи нулевое условие на бесконечности.

Таким образом, наиболее общими решениями краевой задачи для открытого слоистого сферического волновода являются решения с комплексными собственными значениями. Как было отмечено выше, в направляющих электродинамических структурах эти решения описывают волны с комплексными волновыми числами, причем, если комплексность волновых чисел сохраняется и в отсутствие диссипации энергии, то такие волны называются комплексными (KB) [38 - 42]. В [42, 43] показано, что комплексные волны составляют значительную часть спектра волн направляющих структур, объединяя ветвями своих дисперсионных характеристик обычные (распространяющиеся и запредельные) волны.

Поскольку электромагнитные процессы в открытых сферических волноводах описываются решениями несамосопряженных краевых задач, можно с уверенностью предположить возможность существования в них КВ. В тропосферных волноводах KB могут оказывать принципиальное влияние на радиосвязь и на работу радионавигационных приборов. В частности, при возбуждении вытекающих комплексных волн может возникать ситуация прекращения связи из-за уноса указанными волнами большой мощности в окружающее пространство.

До настоящего времени комплексные волны сферических волноводов не исследовались. Поэтому определение возможности существования и особенностей комплексных волн в открытых сферических диэлектрических волноводах, в частности, в тропосферных волноводах является актуальной задачей.

Целью диссертации является:

- создание эффективных алгоритмов и программ, позволяющих проводить строгий электродинамический анализ прямоугольного диэлектрического и круглого продольно намагниченного ферритового волноводов;

- расчет и исследование особенностей дискретных спектров волн указанных направляющих структур;

- определение достоинств и недостатков модели прямоугольного экранированного диэлектрического волновода в плане ее использования для электродинамического анализа открытых прямоугольных ДВ на основе метода частичных областей с дискретным спектром собственных функций;

- исследование возможностей использования метода коллокаций для расчета открытых прямоугольных ДВ;

- сравнение двух методов анализа прямоугольного ДВ: метода частичных областей и метода коллокаций; выбор рабочего метода;

- исследование особенностей дисперсионных свойств комплексных волн круглого открытого продольно намагниченного ферритового волновода без потерь и принципиально комплексных волн структуры с магнитными потерями;

- определение возможности существования и исследование особенностей комплексных волн в открытых слоистых сферических диэлектрических волноводах.

Методы исследования.

Все представленные в диссертационной работе теоретические результаты были получены на основе метода частичных областей (МЧО) и метода коллокаций.

Метод частичных областей [44, 45] - один из наиболее универсальных численных методов расчета экранированных электродинамических систем. Он отличается физической естественностью, простотой математической формализации, строгой теоретической обоснованностью. Метод достаточно подробно исследован и в настоящее время широко применяется для расчета различных направляющих структур. Однако следует отметить, что, как правило, решение задач с использованием данного метода сопряжено с громоздкими преобразованиями.

Метод коллокаций [46, 47] отличается простотой численной реализации на ЭВМ и полной универсальностью. При его использовании тангенциальные компоненты полей приравниваются в определенным образом выбранных точках на границах раздела частичных областей. Данный метод позволяет получать достоверные результаты без выполнения громоздких математических преобразований. Его недостатком является зависимость точности решения от выбора местоположения и количества точек "сшивания" полей. Применение метода коллокаций оправдано в тех случаях, когда для расчета электродинамических структур применение других методов в силу различных причин (сложных границ раздела, отсутствия ортогональных базисов и т.д.) затруднительно или когда есть априорная информация о структуре полей рассчитываемых устройств.

Алгоритмы, созданные на основе МЧО и метода коллокаций, очень удобны для использования в системах автоматизированного проектирования (САПР) различных электродинамических устройств СВЧ, КВЧ и оптического диапазонов волн.

Научная новизна. В диссертационной работе:

- Исследованы возможности использования модели прямоугольного экранированного ДВ для электродинамического анализа открытых прямоугольных ДВ на основе МЧО с дискретным спектром собственных функций. Определены ограничения, накладываемые на данную модель.

- Исследовано влияние линейных размеров экранирующей поверхности на точность расчета дисперсии поверхностных волн открытого прямоугольного ДВ.

- Составлена математическая модель электродинамического анализа открытого прямоугольного диэлектрического волновода на основе метода коллокаций, позволяющая проводить анализ дисперсионных свойств как поверхностных, так и комплексных волн всех типов.

- На основании исследования сходимости решений ДУ показано, что концентрация узлов коллокаций возле точек геометрических сингуляр-ностей направляющих структур приводит к плохому согласованию полей по всей границе.

- Установлено, что изменение направления поля подмагничивания в круглом открытом продольно намагниченном ферритовом волноводе без потерь с прямого на обратное приводит к увеличению ширины диапазона существования собственных комплексных волн.

- Показано, что при учете потерь в феррите изменение направления поля подмагничивания на противоположное приводит к качественному изменению дисперсионных свойств принципиально комплексных волн рассматриваемой направляющей структуры.

- Установлена принципиальная возможность существования комплексных волн в открытом слоистом сферическом диэлектрическом волноводе.

- Показано, что комплексные волны открытого двухслойного сферического волновода имеют критические частоты, обладают нормальной дисперсией, дают поле излучения в окружающую среду, то есть являются вытекающими волнами.

Обоснованность и достоверность научных положений, выводов и рекомендаций, сформулированных в диссертации, подтверждается:

- использованием при расчете направляющих структур теоретически обоснованных методов;

- сравнением численных результатов, полученных различными методами;

- численной проверкой выполнения предельных переходов от рассматриваемых структур к структурам, решения краевых задач для которых достоверно известны.

Практическая ценность работы заключается:

- в разработке алгоритмов и программ, позволяющих производить расчет дисперсионных характеристик волн прямоугольного диэлектрического волновода на основе МЧО с дискретным спектром собственных функций и метода коллокаций;

- в определении ограничений, накладываемых на использование рассматриваемых моделей прямоугольного ДВ для расчета его основных характеристик;

- в выдаче рекомендаций по расположению узлов коллокаций вдоль границы поперечного сечения волновода, обеспечивающему эффективное использование метода коллокаций при компьютерном расчете характеристик волн открытых ДВ;

- в разработке алгоритма и программы поиска корней дисперсионного уравнения волн круглого открытого продольно намагниченного ферри-тового волновода на комплексной плоскости продольного волнового числа;

- в получении информации о спектре волн круглого открытого продольно намагниченного ферритового волновода, позволяющей определить перспективы использования последнего при создании широкого класса устройств СВЧ и КВЧ диапазонов;

- в расчете характеристик комплексных волн открытого двухслойного сферического диэлектрического волновода, результаты которого позволяют расширить представления об условиях осуществления тропосферной радиосвязи.

Реализация и внедрение результатов.

Алгоритмы и программы, разработанные в ходе выполнения диссертационной работы, внедрены в ННИПИ "Кварц" (используются при проектировании ферритовых СВЧ устройств) и в Институте химии высокочистых веществ РАН, где они используются при решении задач оптимизации параметров световодов для волоконных лазеров и усилителей.

Положения, выносимые на защиту:

1. Результаты исследования возможностей использования модели прямоугольного экранированного диэлектрического волновода для электродинамического анализа открытых прямоугольных ДВ на основе метода частичных областей с дискретным спектром собственных функций. Алгоритм и программа расчета характеристик волн прямоугольного ДВ на основе метода частичных областей.

2. Алгоритм и программа расчета характеристик прямоугольного ДВ на основе метода коллокаций с равномерным распределением узлов кол-локаций вдоль границы поперечного сечения структуры.

3. Алгоритм и программа расчета дисперсии волн круглого открытого продольно намагниченного ферритового волновода.

4. Результаты исследования зависимости величины диапазонов существования собственных комплексных волн круглого открытого продольно намагниченного ферритового волновода без потерь от величины и направления поля подмагничивания.

5. Результаты расчета дисперсии принципиально комплексных волн круглого открытого ферритового волновода с потерями при прямом и обратном подмагничивании.

6. Доказательство существования комплексных волн в открытом двухслойном сферическом диэлектрическом волноводе.

7. Результаты расчета дисперсии азимутально-симметричных комплексных Н-волн открытого двухслойного сферического волновода с однородной, неоднородной и диспергирующей внешней средой.

Апробация работы.

Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на:

- Научно-технической конференции факультета информационных систем и технологий "ФИСТ - 2000", Н.Новгород , 2000;

- Всероссийской научно-технической конференции, посвященной 65-летию факультета информационных систем и технологий НГТУ "Информационные системы и технологии. ИСТ - 2001", Н.Новгород, 2001;

- I Международной научно-технической конференции "Физика и технические приложения волновых процессов", Самара, 2001;

- Всероссийской научно-технической конференции "Информационные системы и технологии. ИСТ - 2002", Н.Новгород, 2002;

- Региональном молодежном научно-техническом форуме "Будущее технической науки Нижегородского региона", Н.Новгород, 2002.

Краткое содержание работы

Во введении проводится анализ современного состояния вопроса, ставится цель диссертационной работы, обосновывается ее актуальность, формулируются задачи исследований, определяются новизна полученных результатов и их практическая ценность, формулируются основные положения, выносимые на защиту, кратко излагается содержание диссертации.

В первой главе диссертации: приводятся результаты исследования дисперсионных свойств волн прямоугольного диэлектрического волновода, полученные на основе модели экранированного ДВ с использованием метода частичных областей с дискретным спектром собственных функций. Используется подход, при котором реальная открытая структура заменяется экранированной, представляющей собой прямоугольный экранированный волновод с частичным координатным диэлектрическим заполнением (прямоугольный частично заполненный волновод). Поле в каждой из частичных областей представляется в виде суммы собственных функций условных краевых задач. Из равенства тангенциальных компонент поля на границах раздела областей с использованием условий ортогональности собственных функций получается система линейных однородных алгебраических уравнений (СЛАУ), приравнивание к нулю определителя которой дает дисперсионное уравнение (ДУ) волн рассматриваемой направляющей структуры.

Приводятся результаты численного решения полученного ДУ. Отмечается наличие "разрывов" на дисперсионных характеристиках волн, связанных с заменой непрерывного спектра в частичных областях дискретным спектром. Показывается, что наличие разрывов не влияет на качественный ход дисперсионных кривых. Исследуется сходимость решений ДУ по числу собственных функций, учитываемых в представлениях полей. Корректность работы программы проверяется по выполнению предельного перехода от прямоугольного частично заполненного волновода к прямоугольному однородно заполненному волноводу. Исследуется влияние линейных размеров экранирующей поверхности на дисперсионные свойства волн рассматриваемой структуры, определяется отношение размеров экрана и диэлектрической вставки, при котором прямоугольный частично заполненный волновод может быть использован в качестве модели открытого прямоугольного ДВ. Указываются ограничения, накладываемые на МЧО с дискретным спектром собственных функций, при использовании его для анализа прямоугольного ДВ.

Во второй главе диссертации: приводятся результаты исследования дисперсии волн прямоугольного ДВ, полученные на основе метода коллокаций.

Рассматривается открытый прямоугольный ДВ в цилиндрической системе координат. Поля внутри и вне диэлектрического стержня представляются в виде сумм цилиндрических гармоник: во внутренней области - в виде суммы функций Бесселя, во внешней - в виде суммы функций Ханкеля. Поскольку граница раздела областей является некоординатной, при записи граничных условий осуществляется переход от цилиндрической системы координат к декартовой. Касательные составляющие электромагнитного поля приравниваются в определенным образом выбранных точках вдоль границы раздела областей поперечного сечения волновода. Условие равенства нулю определителя полученной системы линейных однородных алгебраических уравнений дает дисперсионное уравнение волн прямоугольного ДВ.

Рассматриваются два варианта выбора узлов коллокаций: равномерное распределение узлов вдоль границы поперечного сечения диэлектрического стержня и распределение с большей концентрацией узлов коллокаций вблизи точки геометрической сингулярности - ребра волновода. Исследуется сходимость решений ДУ по числу цилиндрических гармоник, учитываемых в представлениях полей для каждого из распределений. Показывается, что концентрация узлов коллокаций возле точек геометрических сингулярностей рассматриваемой направляющей структуры приводит к плохому согласованию полей по всей границе, в то время как равномерное распределение узлов коллокаций вдоль границы поперечного сечения прямоугольного ДВ обеспечивает удовлетворительную сходимость решений ДУ. Проводится сравнение результатов расчета дисперсии волн прямоугольного ДВ, полученных на основе МЧО с дискретным спектром собственных функций и на основе метода коллокаций с равномерным распределением узлов коллокаций вдоль границы раздела областей поперечного сечения волновода. Даются рекомендации по выбору метода расчета прямоугольного ДВ.

В третьей главе диссертации: приводятся результаты исследования дисперсионных свойств волн круглого открытого продольно намагниченного фер-ритового волновода.

Рассматривается круглый открытый продольно намагниченный феррито-вый волновод, находящийся в поперечно неограниченной изотропной среде. Составляется дисперсионное уравнение волн рассматриваемой направляющей структуры. Приводится алгоритм поиска корней ДУ на комплексной плоскости продольного волнового числа. Корректность работы составленной в соответствии с данным алгоритмом программы проверяется путем выполнения предельного перехода от круглого открытого ферритового волновода к круглому открытому диэлектрическому волноводу. С использованием составленной программы рассчитываются дисперсионные характеристики первых трех волн с азимутальным индексом п = 1 круглого открытого ферритового волновода без потерь с остаточной намагниченностью в отсутствии поля подмагничивания, а также намагниченного до насыщения ферритового волновода без учета и с учетом потерь в феррите при прямом и обратном подмагничивании. Анализируются особенности поведения дисперсионных характеристик волн. Рассматриваются комплексные волны в структуре без потерь и принципиально комплексные волны в структуре с потерями. Показывается, что при изменении направления поля подмагничивания с прямого на обратное в феррите без потерь значительно увеличивается диапазон существования собственных комплексных волн, из чего можно сделать вывод, что наличие собственных комплексных волн в намагниченном ферритовом волноводе без потерь связано не только с дифракционными явлениями на границе раздела областей, но и с эффектами, возникающими при изменении ориентации спиновых магнитных моментов электронов в процессе распространения электромагнитной волны. При учете потерь в феррите изменение направления поля подмагничивания приводит к качественному изменению дисперсионных свойств принципиально комплексных волн рассматриваемой направляющей структуры.

В четвертой главе диссертации: приводятся результаты исследования особенностей комплексных волн открытого двухслойного сферического диэлектрического волновода.

Рассматривается сферический диэлектрический волновод, находящийся в неограниченной среде, диэлектрическая проницаемость которой, в общем случае, является функцией радиальной координаты и частоты. Показывается, что волны такой структуры являются гибридными, однако в некоторых частных случаях векторная краевая задача для исследуемого волновода сводится к двум скалярным краевым задачам, которые можно условно классифицировать как соответствующие волнам Е и Н. Данные краевые задачи являются несамосопряженными как при наличии, так и при отсутствии потерь энергии в средах, образующих волновод. На основании этого делается вывод о принципиальной возможности существования в открытом двухслойном сферическом волноводе без диссипации энергии комплексных волн. Составляются дисперсионные уравнения азимутально-симметричных Н-волн открытого двухслойного сферического волновода для случаев, когда внешняя среда является однородной (s2 = const), неоднородной (s2 ~1 /г) и диспергирующей (s2 ~ 1/гсо2). Приводятся точные и асимптотические (при kxRQ » 1, где кх - постоянная распространения плоской волны во внутренней среде радиуса R0) решения полученных ДУ для нескольких значений скачка диэлектрической проницаемости на границе раздела сред. Отмечаются особенности поведения дисперсионных характеристик комплексных волн рассматриваемой направляющей структуры.

Результаты проведенных исследований опубликованы в работах [48 - 60].

4.6. Выводы

Перечислим основные результаты исследований, приведенные в четвертой главе диссертационной работы:

1. Предложена математическая модель, позволяющая проводить электродинамический анализ тропосферного волновода - открытый двухслойный сферический волновод. k^R о к п/г о

0,3 0,5 0,7 0,9 1,1 1,3 1,5

Рис.4.6. Дисперсионная характеристика комплексной волны, распространяющейся в открытом двухслойном сферическом волноводе с неоднородной диспергирующей внешней средой

2. Определен подход, позволяющий свести однородную векторную краевую задачу в произвольной ортогональной системе координат к скалярным краевым задачам. Показано, что в случае открытого слоистого сферического волновода строго сформулировать скалярные краевые задачи можно лишь для структуры с однородными сферически-симметричными слоями. При неоднородных средах, образующих направляющую структуру, это можно сделать лишь в отдельных частных случаях, для определенного класса волн.

3. Рассмотрен вопрос классификации волн в открытом слоистом сферическом волноводе. Показано, что в общем случае волны данной направляющей структуры являются гибридными. В этом случае векторная краевая задача для открытого сферического волновода образуется двумя скалярными краевыми задачами, которые можно условно классифицировать как соответствующие волнам Е и Н.

4. Показано, что краевые задачи для открытого слоистого сферического волновода являются несамосопряженными как при наличии, так и при отсутствии потерь в средах, образующих волновод. Таким образом, установлена принципиальная возможность существования комплексных волн в слоистом сферическом волноводе.

5. На примере азимутально-симметричных волн исследованы дисперсионные свойства комплексных волн открытого двухслойного сферического волновода для отдельных частных случаев зависимостей е2(г, со). Показано, что KB имеют критические частоты, обладают нормальной дисперсией, дают поле излучения в окружающую среду, то есть являются вытекающими волнами.

Проведенные исследования показали, что комплексные волны являются частью спектра волн открытого слоистого сферического волновода и могут оказывать существенное влияние на работу последнего. Поля вытекающих волн необходимо включать в спектры излучений со сферических поверхностей. В частности, вытекающие волны у поверхности Земли могут оказывать существенное влияние на тропосферную радиосвязь.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Перечислим основные результаты диссертационной работы:

1. Исследованы возможности модели экранированного прямоугольного диэлектрического волновода, позволяющей проводить электродинамический анализ открытого ДВ на основе метода частичных областей с дискретным спектром собственных функций. Проведенные численные исследования показали, что имеющаяся в постановке задачи некорректность, связанная с заменой непрерывного спектра собственных функций в разложениях полей в частичных областях дискретным спектром, приводит к появлению "разрывов" на дисперсионных характеристиках волн.

2. Показано, что используемая в МЧО математическая модель неадекватно отражает свойства реального прямоугольного ДВ вблизи частот отсечки поверхностных волн открытой направляющей структуры: на дисперсионных характеристиках ряда волн при Р / к0 —> 1 обнаружены участки с аномальной дисперсией, нехарактерные для открытых направляющих структур. При Р / к0 =1 волны, близкие по своим свойствам к поверхностным волнам открытого ДВ, переходят в быстрые волны экранированного частично заполненного волновода.

3. Исследовано влияние линейных размеров экранирующей поверхности на дисперсию волн прямоугольного частично заполненного волновода. Установлено, что экранированная структура может быть использована в качестве модели открытого прямоугольного ДВ при удалении экрана от диэлектрической вставки на расстояние не менее четырех ее [вставки] характерных размеров.

4. Составлена математическая модель электродинамического анализа открытого прямоугольного ДВ на основе метода коллокаций; разработаны алгоритм и программа поиска корней дисперсионного уравнения волн структуры, позволяющие определять постоянные распространения волн, рассчитывать распределения полей и потоки мощности.

5. На основании исследования сходимости решений ДУ сделан вывод о том, что концентрация узлов коллокаций возле точек геометрических сингулярно-стей направляющих структур приводит к плохому согласованию полей по всей границе. Показано, что использование равномерного распределения узлов коллокаций вдоль границы поперечного сечения прямоугольного ДВ обеспечивает удовлетворительную сходимость решений ДУ.

6. Проведено сравнение результатов численного решения дисперсионных уравнений волн прямоугольного ДВ, полученных с помощью метода частичных областей и метода коллокаций. Относительное расхождение результатов, полученных двумя методами, в области малых длин волн (высоких частот) не превысило 2.5%.

7. На основании проведенных в главах 1 и 2 исследований сделан вывод о том, что открытый прямоугольный диэлектрический волновод можно моделировать с помощью экранированного прямоугольного частично заполненного волновода лишь на высоких частотах, когда сильно проявляется диэлектрический эффект. Анализ прямоугольного ДВ на частотах, близких к частотам отсечки поверхностных волн открытой структуры, необходимо проводить на основе метода коллокаций.

8. Поставлена и решена задача об исследовании волн круглого открытого продольно намагниченного ферритового волновода, разработаны алгоритм и программа поиска корней дисперсионного уравнения на комплексной плоскости продольного волнового числа.

9. Показано, что при отсутствии поля подмагничивания дисперсионные характеристики волн круглого открытого ферритового волновода качественно совпадают с дисперсионными характеристиками волн круглого открытого диэлектрического волновода.

10. Исследовано влияние направления поля подмагничивания на дисперсионные свойства волн круглого открытого продольно намагниченного ферритового волновода. Показано, что при изменении направления поля подмагничивания с прямого на обратное в феррите без потерь значительно увеличивается диапазон существования собственных комплексных волн, из чего можно сделать вывод, что наличие собственных комплексных волн в намагниченном ферритовом волноводе без потерь связано не только с дифракционными явлениями на границе раздела областей, но и с эффектами, возникающими при перемагничивании феррита в процессе распространения электромагнитной волны. При учете потерь в феррите изменение направления поля подмагничивания приводит к качественному изменению дисперсионных свойств принципиально комплексных волн рассматриваемой направляющей структуры, что позволяет создавать на основе круглого открытого продольно намагниченного ферритового волновода широкий спектр устройств СВЧ и КВЧ диапазонов.

11. Показано, что краевая задача для открытого слоистого сферического волновода является несамосопряженной как при наличии, так и при отсутствии потерь в средах, образующих волновод. Таким образом, установлена принципиальная возможность существования комплексных волн в сферическом волноводе без диссипации энергии.

12. Получены дисперсионные уравнения азимутально-симметричных Н-волн открытого двухслойного сферического диэлектрического волновода для некоторых частных случаев зависимости диэлектрической проницаемости внешней среды от радиальной координаты и частоты электромагнитной волны (в2 = const, в2 ~ 1/г, в2 ~ 1/гш2). Исследованы дисперсионные свойства комплексных волн открытого двухслойного сферического волновода для указанных зависимостей в2(г, ю). Показано, что KB имеют критические частоты, обладают нормальной дисперсией, дают поле излучения в окружающую среду, то есть являются вытекающими волнами.

1. Введение в интегральную оптику / Под редакцией М. Барноски. М.: Мир, 1977.-368 с.

2. Интегральная оптика / Под редакцией Т. Тамира. М.: Мир, 1978. - 344 с.

3. Унгер Х.-Г. Планарные и волоконные оптические волноводы. М.: Мир, 1980.-656 с.

4. Zenteno L. High-Power double-clad fiber lasers // Journal of Lightwave Technology. 1993. - V.l 1. - P.1435-1446.

5. Дианов E.M., Белов A.B., Буфетов И.А. и др. Мощный неодимовый одномо-довый волоконный лазер // Квантовая электроника. 1999. - Т.27. - №1. -С.3-4.

6. Курков А.С., Карпов В.И., Лаптев А.Ю. и др. Высокоэффективный волоконный лазер с накачкой в оболочку на основе иттербиевого световода и волоконной брэгговской решетки // Квантовая электроника. 1999. - Т.27. - №3.- С.239-240.

7. Chiang K.S. Review of numerical and approximate methods for the analysis of general optical dielectric waveguides // Optical and Quantum Electronics. 1994.- V.26. -P.S113-S134.

8. Marcatili E.A.J. Dielectric rectangular waveguide and directional coupler for integrated optics // Bell System Technical Journal. 1969. - V.48. - №7. - P.2071-2102.

9. McLerige W.V., Itoh Т., Mittra R. New waveguide structures for millimeter-wave and optical integrated circuits // IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques. 1975. - V.MTT-23. - №10. - P.788-794.

10. Chiang K.S. Dual Effective Index method for the analysis of rectangular dielectric waveguides // Applied Optics. 1986. - V.25. - P.2169-2174.

11. Van Per Tol J.J.G.M., Baken N.H.G. Correction to Effective Index method for rectangular dielectric waveguides // Electronics Letters. 1988. - V.24. - P.207-208.

12. Кравцов Ю.А., Орлов Ю.И. Геометрическая оптика неоднородных сред. -М.: Наука, 1980.-304 с.

13. Shlosser W., Unger H.G. Partially filled waveguides and surface waveguides of rectangular cross-section // Advances of Microwaves 1, Academic Press, New York. 1966.-P.319-392.

14. Shlosser W. Der rechteckige dielektrische draht // Archiv der Elektrischen Uber-tragung. 1964. - B.18. - S.403-410.

15. Goell J.E. A circular-harmonic computer analysis of rectangular dielectric waveguides // Bell System Technical Journal. 1969. - V.48. - №7. - P.2133-2160.

16. Кузнецов В.A., Jlepep A.M. Дисперсионные характеристики прямоугольного диэлектрического волновода // Радиотехника и электроника. 1982. - Т.27. -№4. - С.651-657.

17. Кузнецов В.A., Jlepep A.M. Дисперсионные характеристики диэлектрических волноводов на подложках // Радиотехника и электроника. 1984. -Т.29. -№9. - С.1705-1710.

18. Темнов В.М., Титаренко А.А., Бударагин Р.В. Электродинамический анализ волноведущих диэлектрических структур // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. 2001. - Т.4. - №4. - С.21-27.

19. Горобец А.П., Дерюгин JI.H., Сотин В.Е. Анализ полоскового диэлектрического волновода прямоугольного сечения на диэлектрической подложке // Радиотехника и электроника. 1981. - Т.26. - №3. - С.497-504.

20. Kleev A.I., Manenkov А.В. Adapted collocation method in external and internal problems of electrodynamics // URSI International Symposium on Electromagnetic Theory. Budapest: Academiai Kiado. - August 25-29, 1986. - Pt. B. -P.813.

21. Клеев А.И., Маненков А.Б. Метод адаптивной коллокации в двумерных задачах дифракции // Известия вузов СССР: Радиофизика. 1986. - Т.29. -№5. - С.557-565.

22. Смирнов В.И., Лебедев Н.А. Конструктивная теория функций комплексного переменного. M.-JI.: Наука, 1964. - 438 с.

23. Суетин П.К. Ряды по многочленам Фабера. М.: Наука, 1984. - 336 с.

24. Ланцош К. Практические методы прикладного анализа. М.: Физматгиз, 1961.-524 с.

25. Клеев А.И., Маненков А.Б. Расчет диэлектрических волноводов методом коллокации // Известия вузов СССР: Радиофизика. 1988. - Т.31. - №1. -С.93-102.

26. Микаэлян А. Л. Теория и применение ферритов на сверхвысоких частотах. -М.-Л.: Госэнергоиздат, 1963. 664 с.

27. Ivanov К.Р. Propagation along azimuthaly magnetized ferrite-loaded circular guide // International Symposium on Electromagnetic Theory. Santiago de Compostela. - August 23-26, 1983. - P. 1305-1310.

28. Иванов К.П., Георгиев Г.Н. Асимптотическое решение задачи на собственные значения в круглых гиротропных волноводах // Доклады Болгарской АН. 1985. - Т.38. - С.859-862.

29. Ivanov К.Р., Georgiev G.N. ТЕю mode propagation along ferrite-loaded circular guide azimuthaly magnetized with constant field // Electronics Letters. 1986. -V.22. - №4. - P. 182-184.

30. Веселов Г.Н., Семенов С.Г., Благовещенский В.А. Расчет структур электромагнитного поля в волноводах с диэлектриками и ферритами // Микроэлектронные системы и СВЧ устройства. 1984. -№1. - С.3-16.

31. Veselov G.I., Semyonov S.G., Blagoveschensky V.A. Electrodynamic characteristics of open gyromagnetic waveguide // 7th International Conference on Microwave Ferrites. Smolenice. - September, 17-22. - 1984. - P.87-91.

32. Книшевская JI.B., Мухаметзянов Ф.Х., Пузанов A.H., Шугуров В.К., Яковлев Г.К. Распространение электромагнитных волн в открытом круглом продольно намагниченном ферритовом волноводе // Лит. Физ. Сб. 1986. -Т.26. - №3. - С.298-306.

33. Книшевская Л.В., Шугуров В.К. Теоретическое исследование открытого круглого продольно намагниченного слоистого гиротропно-диэлектрического волновода // Лит. Физ. Сб. 1989. - Т.28. - №3. - С.358-363.

34. Когтева Л. В., Когтев А. С., Раевский С. Б. Об особенностях собственных волн круглого волновода с аксиальным ферритовым стержнем // Радиотехника и электроника. 1998. - Т.43. -№12. - С. 1514-1518.

35. Когтева Л.В., Раевский С.Б., Хрипков Н.Д. О характеристиках волн круглого открытого ферритового волновода // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. 2000. - Т.З. - №1. - С.26-28.

36. Веселов Г.И., Раевский С.Б. Комплексные волны в поперечно-неоднородных направляющих структурах // Радиотехника. 1987. - Т.42. -№8. - С.64-67.

37. Веселов Г.И., Раевский С.Б. Слоистые металло-диэлектрические волноводы. М.: Радио и связь, 1988. - 247 с.

38. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука, 1969. -526 с.

39. Раевский С.Б. О существовании комплексных волн в некоторых двухслойных изотропных структурах // Известия вузов СССР: Радиофизика. 1972. -Т. 15. -№12. - С. 1926-1931.

40. Иларионов Ю.А., Раевский С.Б., Сморгонский В.Я. Расчёт гофрированных и частично заполненных волноводов. М.: Советское радио, 1980. - 200 с.

41. Когтев А.С., Раевский С.Б. О комплексных волнах в слоистых экранированных структурах // Радиотехника и электроника. 1991. - Т.36. - №4. -С.652-658.

42. Калмык В.А., Раевский А.С., Раевский С.Б., Тюрин Д.В. Дисперсионно-структурные особенности полей волн круглого двухслойного волновода // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. 1998. - Т.1. -С.5-9.

43. Вайнштейн JT.A. Электромагнитные волны. М.: Радио и связь, 1988. -440с.

44. Никольский В.В. Вариационные методы для внутренних задач электродинамики. М.: Наука, 1967. - 460 с.

45. Laura Р.А. Application of the point-matching method to waveguide problems // IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques. 1966. - V.MTT-14. -№5. -P.251.

46. Bates R.H.T. The theory of the point-matching method for perfectly conducting waveguides and transmission lines // IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques. 1969. - V.MTT-17. - №6. - P.294-301.

47. Майстренко B.K., Назаров A.B. Методы анализа полосковых волноводов // Научно-техническая конференция факультета информационных систем и технологий НГТУ "ФИСТ-2000": Тезисы докладов. Н.Новгород, 2000. -С.50-51.

48. Майстренко В.К., Назаров А.В. Исследование трехмерного оптического волновода методом коллокаций // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. 2000. - Т.З. - № 3-4. - С.42-45.

49. Майстренко В.К., Назаров А.В. Расчет прямоугольного открытого диэлектрического волновода // I Международная научно-техническая конференция "Физика и технические приложения волновых процессов": Тезисы докладов и сообщений. Самара, 2001. - T.l. - С.229.

50. Майстренко В.К., Назаров А.В., Раевский С.Б. О расчете дисперсии поверхностных волн прямоугольного диэлектрического волновода // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. 2001. - Т.4. - № 2. - С.46-52.

51. Назаров А.В., Раевский С.Б. О расчете дисперсии волн круглого открытого ферритового волновода // Всероссийская научно-техническая конференция "Информационные системы и технологии. ИСТ-2002": Тезисы докладов. -Н.Новгород, 2002. С.39.

52. Назаров А.В. О классификации волн в открытом и экранированном прямоугольных диэлектрических волноводах // Всероссийская научно-техническая конференция "Информационные системы и технологии. ИСТ-2002": Тезисы докладов. Н.Новгород, 2002. - С.47-48.

53. Besse М., Gaulter Т., Garault Y. Analysis of dielectric loaded waveguide for millimeter waves // Archiv fur Elektronik und Ubertragungs technik. 1976. - B.30. -№1. - S.43-46.

54. Grombach U. Analysis of single and coupled rectangular dielectric waveguides // IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques. 1981. - V.MTT-29. - №9. - P.870-874.

55. Раевский С.Б. Решение внутренних задач электродинамики с использованием непрерывного спектра в одной из частичных областей // Известия вузов СССР: Радиоэлектроника. 1980. - Т.23. - №9. - С.27-32.

56. Yamashita Е., Atsuki К., Hashimoto О., Kamijo К. Modal analysis of homogeneous optical fibers with deformed boundaries // IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques. 1979. - V.MTT-27. - №4. - P.352-356.

57. Su С.-С. Cutoff frequency of a homogeneous optical fiber with arbitrary cross section // IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques. 1985. -V.MTT-33. -№i l. -p.i 101-1105.

58. Векуа И.Н. О полноте системы метагармонических функций // Доклады АН СССР. 1953. - Т.90. - №5. - С.715-718.

59. Сул Г., Уокер JI. Вопросы волноводного распространения электромагнитных волн в гиротропных средах. М.: Иностранная литература, 1955. -189с.

60. Раевский А.С. Условия существования комплексных волн в направляющих электродинамических структурах // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. 1999. - Т.2. -№1. - С.24-27.

61. Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексного переменного. -М.: Наука, 1967.-304 с.

62. Иванов Е.А. Дифракция электромагнитных волн на двух телах. Минск: Наука и техника, 1968. - 583 с.

63. Раевский С.Б. Комплексные волны в двухслойном круглом экранированном волноводе // Известия вузов СССР: Радиофизика. 1972. - Т. 15. - №1. -С.112-116.

64. Кузнецов Д.С. Специальные функции. М.: Высшая школа, 1956. - 423 с.

65. Справочник по специальным функциям / Под редакцией М. Абрамовича, И. Стиган. М.: Наука, 1979. - 830 с.