автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математические модели и численные методы в спектральной теории диэлектрических волноводов

На правах рукопж и

Карчевский Евгений Михайлович

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ В СПЕКТРАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ВОЛНОВОДОВ

05 13 18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

КАЗАНЬ - 2006

оози <

003071202

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования ' Казанский государственный университет имени В И Ульянова-Ленина"

Официальные оппоненты доктор физико-математических паук,

профессор

Габдулхаев Билсур Габдулхаевич,

доктор физико-математических наук, профессор

Сидоров Игорь Николаевич,

доктор физико-математических наук, профессор

Смирнов Юрий Геннадьевич

Ведущая организация Московский государственный

университет имени М В Ломоносова

Защита состоится 24 мая 2007 г в 14 час 30 мин на заседании диссертационного Совета Д 212 081 21 в Казанском государственном университете по адресу 420008, г Казань, ул Кремлевская, дом 18, корп 2, ауд 217

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке имени Н И Лобачевского Казанского государственного университета

Автореферат разослан "

д /узел Я 200? г

Ученый секретарь диссертационного Совета к ф -м н , доцент

О А Задворнов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы Интерес к математическому моделированию распространения собственных волн диэлектрических волноводов возникший в середине прошлого века при решении задач геологоразведки, радио- и эхо-локации, стремительно возрастает в связи с бурным развитием оптических телекоммуникационных технологий передачи данных на большие расстояния и широким использованием в радиоэлектронике миниатюрных интегрированных оптических схем вместо классических электрических В диссертационной работе строится спектральная теория диэлектрических волноводов, описывающая свойства решений уравнений Максвелла в неограниченных областях в виде бегущих воли, удовлетворяющих условиям сопряжения на границах раздела сред и "парциальным" условиям излучения, введенным А Г Свешниковым В работах А С Ильинского, Ю Г Смирнова, Е В Чернокожина, Ю В Шестопалова изучены свойства решений близких спектральных задач теории дифракции — задач о собственных волнах щелевых и полосковых линий, сочетающих диэлектрические и металлические направляющие структуры Методы теории сингулярных интегральных уравнений, развитые в работах С Muller, В Д Купрадзе, D Colton, R Kress, Б Г Габдулхаева и других авторов, играют важную роль при решении задач дифракции электромагнитных волн на проницаемых телах Наиболее полная информация о всех типах волн (поверхностных, комплексных и вытекающих), удовлетворяющих "парциальным'' условиям излучения, получена для волновода кругового поперечного сечения с кусочно-постоянным показателем преломления в работах Б 3 Каценеленбаума, Г H Весело-ва, С Б Раевского Разработано большое количество численных методов, ориентированных на поиск поверхностных волн, меньшее — комплексных Существование поверхностных собственных волн волновода с переменным в ограниченной области показателем преломления доказано A Bambeiger, A S Bonnet Для решения этой задачи методом конечных элементов Р Joly, С Poirier использовали точные нелокальные граничные условия, позволившие свести ее к эквивалентной задаче в ограниченной области Для численного решения задачи о собственных волнах волновода в плоско-слоистой окружающей среде широко применяется двумерное сиш улярное интегральное уравнение, нетеровость оператора которого установлена в работе

Н Р Urbach Однако, известные к настоящему времени, формулировки задач о собственных волнах диэлектрических волноводов оказались неудобными для изучения в рамках единых математических моделей свойств волн всех указанных типов Актуальными проблемами являются исследование качественных свойств собственных волн на основе наиболее общих постановок задач, разработка теоретически обоснованных численных методов решения этих задач Дальнейшего развития требует применение метода точных нелокальных граничных условий в сочетании с методом конечных элементов в задачах о поверхностных собственных волнах, так как известные вычислительные схемы основаны на использовании специальных (соленои-дальных) конечно-элементных пространств, применение которых на практике затруднительно Актуальной является проблема разработки таких подходов, которые бы позволили использовать простейшие конечно-элементные пространства, что более удобно с точки зрения практического применения метода конечных элементов Что касается задачи о собственных волнах волновода в плоско-слоистой среде, то свойства соответствующего сингулярного интегрального оператора изучены слабо Актуальным является установление свойств этого оператора, необходимых для разработки и обоснования численных методов решения указанной задачи

Цель исследований Получение удобных формулировок задач и исследование в рамках единых математических моделей свойств поверхностных, вытекающих и комплексных собственных волн волноводов в однородной окружающей срсде Разработка теоретически обоснованных и эффективных с практической точки зрения методов вычисления собственных волн всех указанных типов Доказательство фредгольмовости двумерного сингулярного интегрального оператора задачи о собственных волнах волновода в плоско-слоистой среде

Методы исследований В работе используются методы теории сингулярных интегральных уравнений, спектральной теории фред-гольмовых голоморфных оператор-функций, спектральной теории ограниченных самосопряженных операторов, проекционные методы решения нелинейных спектральных задач

Научная новизна. Все основные результаты работы являются новыми и состоят в получении новых формулировок общих задач о собственных волнах, установлении зависимостей постоянных распро-

странения собственных волн от показателей преломления волновода и окружающей среды, частоты электромагнитных колебаний для волноводов произвольного контура поперечного сечения с переменным в ограниченной области показателем преломления, разработке и обосновании численных алгоритмов отыскания собственных волн всех известных типов, доказательстве фредгольмовости двумерного сингулярного интегрального оператора задачи о собственных волнах волновода в плоско-слоистой среде

Достоверность результатов работы обеспечивается строгими математическими доказательствами, сопоставлением полученных результатов со свойствами точных решений задач, известными в простейших частных случаях, хорошим совпадением результатов численных экспериментов с точными решениями для тестовых задач

Практическое значение Разработанные подходы, методы и алгоритмы могут быть использованы для получения теоретически обоснованных результатов расчета широкого класса оптиковолоконных линий передач и интегрированных оптических схем, а также при решении других спектральных задач теории дифракции

Апробация работы Результаты диссертации докладывались на Международных научных конференциях "International Conference on Mathematical Methods in Electromagnetic Theory (ММЕТ)" (Харьков, 1998 г, Харьков, 2000 г, Киев, 2002 г, Днепропетровск, 2004 г, Харьков 2006 г), "Progress in Electromagnetics Research Symposium (PIERS)" (Нант, Франция, 1998 г), "XXVI General Assembly International Union of Radio Science" (Торонто, Канада, 1999 г), "International Conference on Transparent Optical Networks (ICTON)" (Кельце, Польша, 1999 г, Краков, Польша, 2001 г), "International Conference on Mathematical and Numerical Aspects of Wave Propagation (WAVES)" (Сантьяго Де-Компостела, Испания, 2000 г, Яваскила, Финляндия, 2003 г), на Всероссийской конференции "Математическое моделирование и проблемы экологической безопасности" (Ростов-на-Дону, 2000 г), на семинаре "Вычислительная электродинамика" Московского государственного университета имени М В Ломоносова (руководители - А Г Свешников, АС Ильинский), на Всероссийских семинарах "Теория сеточных методов для нелинейных краевых задач" (Казань 1998 г), "Итерационные методы решения линейных и нелинейных сеточных задач" (Казань, 1999 г), на VIII Всерос-

(ийской школе-семинаре "Современные проблемы математического моделирования" (Ростов-на-Дону, 1999 г), на Всероссийской школе-конференции, посвященной 130-летию со дня рождения Д Ф Егорова (Казань, 1999 г), на Молодежных научных школах-конференциях ' Задачи дифракции и сопряжение электромагнитных полей в волно-водных структурах" (Казань, 2000 и 2002 гг), на семинаре кафедры вычислительной математики Казанского государственного университета, на семинаре' Математические модели интегральной оптики'' кафедры прикладной математики Казанского государственного университета (руководитель — Н В Плещинский), на итоговых конференциях Казанского государственного университета 1998 - 2004 гг

Публикации. По теме диссертации опубликовано 36 работ, в том числе 10 статей в изданиях из списка ВАК

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, шести глав, списка литературы и изложена на 235 страницах Список литературы состоит из 175 наименований

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении обосновывается актуальность темы исследования, формулируется цель работы, приводится обзор литературы по исследуемой теме, излагается краткое содержание диссертации

Первая глава является вспомогательной и имеет, в основном, реферативный характер В §1 1 формулируются дифференциальные уравнения для собственных волн диэлектрических волноводов и амплитуд этих волн Вводятся электромагнитные потенциалы Формулируются условия сопряжения для амплитуд собственных волн и электромагнитных потенциалов на границах раздела сред (там 1де показатель преломления терпит скачок) Формулируются "парциальные" условия излучения для амплитуд собственных волн В § 1 2 формулируются дифференциальные уравнения, условия сопряжения и условия излучения для решений задачи в скалярном приближении слабонаправляющего волновода Это приближение применяется для аппроксимации собственных волн волноводов с показателем преломления, незначительно отличающимся от показателя преломления окружающей среды В §1 3 приводятся точные решения модельных задач о собственных волнах цилиндрического ди электрического волновода кругового поперечного сечения в векторном и скалярном случаях Эти решения используются в качестве тестовых примеров при

анализе адекватности математических моделей и эффективности численных методов

Вторая глава посвящена изучению качественных свойств решений общих задач о собственных волнах волноводов с постоянным показателем преломления путем сведения их методом потенциалов простого слоя к нелинейным спектральным задачам для фредгольмовых голоморфных оператор-функций

В §2 1 изучается скалярная задача о собственных волнах слабонаправляющего волновода Ненулевая функция и 6 ¡7 называется собственной функцией задачи, отвечающей собственному значению (5 € Л, если

А« + х+и = 0, жеП, (1)

Ди + х^и = 0, х 6 П«,, (2)

, _ ди+ ди~ _

и ™ яГ' Т€Г' (3)

оо

и{т, ф) = а'Я'(1) ехр(г/у>), |х| > До (4)

I - — ос

Здесь Д - двумерный оператор Лапласа, П - область на плоскости Е2, ограниченная дважды непрерывно дифференцируемым контуром Г, целиком лежащая в круге радиуса Во, = К2 \ £2, II - множество функций, непрерывных и непрерывно дифференцируемых в 12 и дважды непрерывно дифференцируемых вОп Поо,

Х+/оо = \]кгп\/оо - р2,

где к2 = и > 0 - заданная частота электромагнитных колеба-

ний, ед , /¡о - диэлектрическая и магнитная проницаемости свободного пространства, соответственно, п+ и Поо - постоянные показатели преломления волновода и окружающей среды, соответственно, такие, что 0 < Поо < п+, - функции Ханкеля первого рода порядка I,

символом Л обозначено пересечение римановых поверхностей функций 1пх+ {Р) и Ыхоо{Р)

Теорема 2.1 На пересечении Ад1' главных ("физических") листов поверхностей Л+ и Л,» собственные значения задачи (1) - (4) могут принадлежать лишь множеству

в = {/? € К кп0о < Щ < кп+}

Вещественным (3 6 (7 соответствуют поверхностные волны (и экспоненциально убывает при |ж| —> оо) Теорема 2 1 обобщает хорошо известные результаты о локализации спектра собственных волн слабонаправляющего диэлектрического волновода кругового сечения, полученные на основе элементарного анализа характеристического уравнения метода разделения переменных

Задача (1) - (4) сведена к нелинейной спектральной задаче для системы слабосингулярных интегральных уравнений по контуру Г на основе представления функции и в областях П и П«, в виде потенциалов простого слоя с непрерывными по Гельдеру плотностями и ядрами в виде удовлетворяющих соответствующим "парциальным" условиям излучения (условиям вида (4)) фундаментальных решений уравнений Гелмгольца (1) и (2) Построенная система интегральных уравнений трактуется как операторное уравнение вида

в банаховом пространстве IV = С1,с" х С0,а Установлено, что оператор В(р) вполне непрерывен при любых Р £ Л

Сведение системы интегральных уравнений первого рода, возникающей в результате применения метода потенциалов простого слоя, и содержащей непрерывно обратимые операторы Ь С°'а —» С1'" вида

к фредгольмовому операторному уравнению (5) проводится на основе известной процедуры регуляризации с использованием результатов Б Г Габдулхаева

Основным результатом §2 2 является

Теорема 2 4 Регулярное множество оператор-функции А(/3), определенной в (5), не пусто, а именно, Лд1' \ (D |J G) С р(А) Характеристическое множество оператор-функции A(f3) может состоять лишь из изолированных точек, являющихся характеристическими значениями оператор-функции А((5) Каждое характеристическое значение /? оператор-функции А(/3) непрерывно зависит от параметров (а>, 7?+,Поо) € R+ Кроме того с изменением параметров (uijn+.riac) G М+ характеристические значения оператор-

A{0)w ее (/ + B(P))w = О

(5)

(6)

о

функции А(0) могут появляться и исчезать только на границе Л, то есть в точках ±kn+, ikn-o и иа бесконечности

Здесь D - множество, состоящее из мнимой оси и примыкающего к ней, не пересекающегося с G интервала вещественной оси

\Р\<кПоо}

Теорема 2 4 обобщает хорошо известные результаты о зависимости постоянных распространения собственных волн слабонаправляющего диэлектрического волновода кругового сечения от показателей преломления волновода, окружающей среды и частоты электромагнитных колебаний, полученные в результате элементарного анализа характеристического уравнения метода разделения переменных

Доказательство теоремы 2 4 основано на применении теоремы Гохберга — Крейна об изолированности характеристических значений фредгольмовой голоморфной оператор-функции А(/3) при наличии в области сс голоморфности хотя бы одной регулярной точки, и теоремы S Steinberg о поведении характеристических значений 0 такой оператор-функции в зависимости от изменения вещественного параметра ш в случае, если оператор-функция А(0, ш) является совместно непрерывной функцией параметров 0 и ш Отметим, что теорема S Steinberg справедлива для частного случая, когда оператор-функция имеет вид А(0,и>) = I + В(0,ш), где В(0,и>) -вполне непрерывный оператор

Предварительно изучаются свойства оператор-функции А(0) и доказываются утверждения относительно спектральной эквивалентности задач (1) - (4) и (5) Во-первых, установлено, что если w 6 W является собственной функцией оператор-функции А(0), отвечающей характеристическому значению 0О 6 Aq1' \ D, то функция и, представленная в виде потенциалов простого слоя с плотностями, определяемыми вектором w, принадлежит множеству U и является собственной функцией задачи (1) - (4), отвечающей собственному значению 0о Во-вторых, любая собственная функция и £ U задачи (1) - (4), отвечающая собственному значению 0о € Л^ \ D, может быть представлена в виде потенциалов простого слоя с непрерывными по Гельдеру плотностями, при этом функция w, вычисленная по явным формулам по этим плотностям, принадлежит W и является

собственной функцией оператор-функции А(0), отвечающей характеристическому значению /Зо

В §2 3 исследуется общая векторная задача о собственных волнах волновода в полной электродинамической постановке Ненулевой вектор {Е, Н} G U6 называется собственным вектором задачи, отвечающим собственному значению (5 € Л, если

rot^E -гшцоН, rot0H = - iuie0n2E, х е R2 \ Г, (7)

i/xE+ = i/xE", жеГ, (8)

ухН+ = 1/хГ, геГ, (9)

H¡1] (ХооГ) exp {iltp), |е| > Ro (10)

= £

A,

B,

Здесь символом rot/j обозначена векторная операция, которая получается из обычной операции rot заменой производной по Хз умножением на г/3, п - кусочно постоянная функция, равная п+ в fl и пх в П«,

Теорема 2.5. Мнимая и вещественная оси листа Aq за, исключением множества G не содержат собственных значений задачи (7) - (10)

Вещественным /3 £ G соответствуют поверхностные волны Комплексным /3 6 Cq1' отвечают комплексные собственные волны Символом обозначена часть листа Л^ без мнимой и вещественной осей Теорема 2 5 обобщает известные результаты о локализации спектра собственных волн диэлектрического волновода кругового сечения, полученные на основе метода разделения переменных в векторном случае

Задача (7) - (10) сведена к нелинейной спектральной задаче для системы сингулярных интегральных уравнений по контуру Г на основе выражения собственных векторов {Е, Н} задачи (7) - (10) через потенциальные функции Ез, Нз, удовлетворяющие уравнениям (1), (2), и представления функций Е3, Нз, в виде потенциалов простого слоя с непрерывными по Гельдеру плотностями и ядрами в виде фундаментальных решений уравнений Гелмгольца (1) и (2), удовлетворяющих соответствующим "парциальным" условиям излучения

Вследствие наличия в условиях сопряжения, которым удовлетворяют функции Ез, Нз на контуре Г, касательных производных, построенная система уравнений содержит сингулярный интегральный

оператор 5 С°>а -» С°'а,

С0,а, определяемый равенством

2тг

г

I р{т)йт, *е[0,2тт] (И)

о

о

Этот линейный непрерывный оператор, как известно, непрерывно обратим Построенная система интегральных уравнений трактуется как операторное уравнение вида

в банаховом пространстве IV = С°'а х С0 а х С°,а х С°'а Установлено, что оператор В(/3) вполне непрерывен при любых 0 6 Л Основным результатом §2 3 является

Теорема 2.8. Регулярное множество оператор-функции А{0), определенной в (12), не пусто, а именно,

Характеристическое множество оператор-функции А(0) может состоять лишь из изолированных точек, являющихся характеристическими значениями оператор-функции А(0) Каждое характеристическое значение 0 оператор-функции А(0) непрерывно зависит от параметров (и, п+, пю) € Кроме того, с изменением параметров гг+, тгоо) £ характеристические значения оператор-функции А{0) могут появляться и исчезать только на границе А, то есть в точках ±.кп+,±кпоо и на бесконечности

Теорема 2 8 обобщает известные результаты о зависимости постоянных распространения собственных волн диэлектрического волновода кругового сечения от показателей преломления волновода, окружающей среды и частоты электромагнитных колебаний, полученные в результате анализа характеристического уравнения метода разделения переменных в векторном случае

В ходе доказательства теоремы изучаются свойства оператор-функции А{0) и устанавливается спектральная эквивалентность за-

Третья глава посвящена изучению качественных свойств решений общих задач о собственных волнах волноводов с переменным показателем преломления и размытой границей путем сведения их ме-

А(0)ш = (1 + В{0))т = О

(12)

дач (12) и (7) - (10)

тодом интегральных уравнений по области к нелинейным спектральным задачам для фредгольмовых голоморфных оператор-функций

В §3 1 рассматривается скалярная задача в приближении слабонаправляющего волновода Ненулевая функция и £ С2(К2) называется собственной функцией этой задачи, отвечающей собственному значению ß £ А, если

[Д + (к2п2 - ß2)] и = 0, х £ К2, (13)

ОО

СО г)ехр(г1<р), \х\ > Во (14)

1=-оо

Здесь п - вещественная функция, удовлетворяющая условиям

п = Поо ~ const, х фП,

п+ = тахп{х) > n«, > О, zef!

символом Л обозначена поверхность Римана функции In Xoa(ß)

Всюду в этой главе предполагается, что волновод имеет размытую границу, а именно, что п 6 C2(R2) Это предположение существенно используется в §3 2 при решении векторной задачи о собственных волнах Результаты параграфа §3 1 справедливы для более общего случая п 6 С1(Г2), граница Г области f2 - липшицева кривая, на Г функция и 6 U удовлетворяет условиям сопряжения (3) Однако, в целях единства изложения материала предположение п £ С2(К2) делается и в §3 1

Теорема 3.9. На главном ("физическом") листе Aq1' римановой поверхности А собственные значения задачи (13), (14) могут принадлежать лишь множеству G

Задача (13), (14) сведена к нелинейной спектральной задаче для интегрального уравнения по области Q на основе представления функции и в виде интеграла по области Г) с ядром в виде фундаментального решения уравнения Гелмгольца (2), удовлетворяющего "парциальным" условиям излучения Построенное интегральное уравнение трактуется как операторное уравнение вида

A{ß)v == (/ - B{ß))v = 0 (15)

в пространстве Ьг{£1) При любых ß е А оператор B(ß) является вполне непрерывным, при ß 6 G- самосопряженным и положительно определенным

Доказывается, что, если и 6 С2(Е2) является собственной функцией задачи (13), (14), отвечающей собственному значению 0о е Л, то функция v, вычисленная по явной формуле по и, принадлежит пространству L2(ft) и является собственной функцией оператор-функции А(0), отвечающей характеристическому значению /30 С другой стороны, если v € является собственной функцией оператор-

функции А(р), отвечающей характеристическому значению Ро 6 Л, то функция и, построенная по г' с помощью определенного интегрального представления, принадлежит пространству С2(К2) и является собственной функцией задачи (13), (14), отвечающей собственному значению ¡3q

Теорема 3 11. Регулярное множество оператор-функции А(/3), определенной в (15), не пусто, а именно, Ад1* \ G С р(А) Характеристическое мноэюеетво оператор-функции A(f3) может состоять лишь из изолированных точек, являющихся характеристическими значениями оператор-функции А(/3) Каждое характеристическое значение Р оператор-функции А(/3) непрерывно зависит от параметров (oj, nM) 6 Кроме того, с изменением (и>,Поо) € характеристические значения оператор-функции А(Р) могут появляться и исчезать только на границе поверхности Л, то есть в точках ±kna0 и на бесконечности

Теорема 3.12. Задача (13), (Ц) имеет по крайней мере одно простое положительное собственное значение Р, принадлежащее множеству G, ему отвечает положительная собственная функция

В §3 2 изучается общая векторная задача о собственных волнах волновода с размытой границей в полной электродинамической постановке Ненулевой вектор {Е,Н} 6 [С2 (Е2)] называется собственным вектором задачи, отвечающим собственному значению Р е Л, если

rot^jE =-¿o;/ioH, rot^H = - iu>e0n2E, х 6 R2, (16)

= Е [ в, 1 Я«(1) (Хоог) ехр (tí<p), |ж| > R0 (17)

l~—оо -1

Теорема 3.12 Мнимая и вещественная оси листа Ад1' за исключением множества G не содержат собственных значений задачи (16), (17)

Е Н

Задача (16), (17) сведена к нелинейной спектральной задаче для интегрального уравнения по области ÍÍ на основе, предложенного С Muller, метода сведения трехмерной задачи дифракции электромагнитных волн на неоднородном теле с размытой границей к интегральному уравнению Фредгольма второго рода по области неоднородности Построенное интегральное уравнение трактуется как операторное уравнение вида

A(ß)F=(I-B(ß))F = 0 (18)

в пространстве [1,2 (Г2)]3 При любых ß 6 Л оператор B(ß) вполне непрерывен

Доказывается, что если вектор {Е, Н} 6 [С2(Е2)]е является собственным вектором задачи (16), (17), отвечающим собственному значению ßa € Л, то F = Е £ [¿2(^)]3 есть собственный вектор оператор-функции A(ß), отвечающий характеристическому значению До Если F 6 [1/г(П)]3 является собственным вектором оператор-функции A(ß), отвечающим характеристическому значению ßo 6 Л, и это число ß0 не является собственным значением задачи (13), (14), то вектор {Е, Н}, построенный по F с помощью определенного интегрального представления, принадлежит [С2(М2)]6 и является собственным вектором задачи (16), (17), отвечающим собственному значению ßo Основным результатом §3 2 является

Теорема 3.12. Регулярное множество оператор-функции A{ß), определенной в (18), не пусто, а именно, Лд ^

\ (G (JCf) С Р(А)

Характеристическое множество оператор-функции A(ß) может состоять лишь из изолированных точек, являющихся характеристическими значениями оператор-функции A(ß) Каждое характеристическое значение ß оператор-функции А(в) непрерывно зависит от параметров (ш,Поо) € Кроме того, с изменением параметров (и>, Поо) € характеристические значения оператор-функции A{ß) могут появляться и исчезать только на границе поверхности А, то есть в точках и на бесконечности

Четвертая глава посвящена изучению вопросов существования и качественных свойств решений задач о поверхностных собственных волнах путем сведения их методом точных нелокальных граничных условий к параметрическим задачам на собственные значения для

ограниченных самосопряженных операторов с нелинейным вхождением спектральных параметров

В §4 1 изучается скалярная задача о поверхностных собственных волнах слабонаправляющего волновода в вариационной постановке найти все такие пары чисел (/З2, к2) € Л, при которых существуют ненулевые функции и 6 И-^К2), удовлетворяющие для любой функции у € И^Ч®*2) тождеству

J (V« Чу + ¡32иу)<1х = к2 J п2иуйх (19)

Е2 Е2

Здесь Л = {(/?2, к2) Р2/п\ < к2 < /32/п^, /З2 > 0}, п-вещественная функция, принадлежащая пространству С(П), такая, что п = пю > О в Поо, ттп(з:) ^ Поо, п+ — тахп(х) > пте Область П является

ограниченной, не обязательно связной, каждая связная компонента ее границы Г является липшицевой кривой

Задача (19) эквивалентным образом сводится к параметрической задаче на собственные значения в круге Г2д Э Г2, которая формулируется следующим образом найти все (/?2, к2) е Л, при которых существуют ненулевые функции и € И^1 (Пя), удовлетворяющие уравнению

А(02, к2)и = к2Ви, (20)

где А(Р2, к,2) и В - ограниченные линейные самосопряженные операторы, действующие в пространстве И^Пд), кроме того, А(/32,к2) -неотрицательный оператор для любых (Р2,к2) € Л, а В - вполне непрерывный положительный оператор Сведение задачи (19) к задаче (20) основывается на построении точного нелокального условия на границе Гд области Пд с использованием условия сопряжения на Гд и явной формулы для метагармонического продолжения искомого решения с Гд в М2 \ Пд

В теореме 4 18 доказывается, что при любом (З2 > 0 задача (20) имеет по крайней мере одно решение, а число всех ее решений увеличивается с ростом /З2 и стремится к бесконечности при Р2 —> оо Для каждого конечного значения Р2 существует конечное число решений (Р2, к2(Р2), щ(Р2)) задачи (20) Это число определяется решениями Р2 вспомогательной линейной задачи на собственные значения для ограниченных самосопряженных операторов (уравнения отсечки)

В теореме 4 19 доказывается, что функции к2 = к2(в2), определенные на {01, оо), при всех I ^ 1 являются локально липшицевыми, возрастающими, и /с2(/32)//32 —♦ п+2 при /З2 —» со

Рис 1 Дисперсионные кривые для поверхностных собственных волн слабонаправляющего вонювода с показателем преломления изменяющимся в ограниченной области (на примере волновода кругового сечения с кусочно-постоянным показателем преломления)

Результаты теорем 4 18 и 4 19 обобщают хорошо известные свойства поверхностных собственных волн слабонаправляющего цилиндрического диэлектрического волновода кругового поперечного сечения с кусочно-постоянным показателем преломления (см , рис 1), полученные на основе метода разделения переменных

В §4 2 изучается векторная задача о поверхностных собственных волнах в вариационной постановке найти все такие (/3,&) € Л, при которых существуют ненулевые векторы Н 6 [И^1 (К2)]3, удовлетворяющие для любого вектора Н' € [И^М2)]3 тождеству

[ (-^го^Н Н' + 4"¿пу,Н ¿IVрН') (1х = к2 [Н й<1х (21)

./ 71 71^

Л2 К2

Здесь Л = {(0,к) Р/п+ < к < 0/пж, /3 > 0} символом сЬуд обозначена векторная операция, которая получается из обычной операции с!1У заменой производной по х3 умножением на г/3

Рис 2 Дисперсионные кривые для поверхностных собственных волн волновода с показателем преломления, изменяющимся в ограниченной области (на примере волновода кругового сечения с кусочно-постоянным показателем преломления)

На основе метода точных нелокальных граничных условий задача (19) эквивалентным образом сводится к параметрической задаче на собственные значения в круге которая формулируется следующим образом найти все (0, сг) б М2, при которых существуют ненулевые векторы Н е [И^Ч^я)]3! удовлетворяющие уравнению

А(0,сг)К = —а2ВН, (22)

где а = у/02 — к2п^ - поперечное волновое число, А(0, а) и В -ограниченные линейные самосопряженные операторы, действующие в пространстве [И^ (^я)]3> кроме того, В - компактный положительный оператор

В теореме 4 23 доказывается, что при любом 0 > 0 задача (22) имеет по крайней мере два решения (/3, сп(/3), Нх(/?)) и (0,а2(0),Нг(0)) Число всех решений увеличивается с ростом 0 и стремится к бесконечности при 0 —> оо Для каждого конечного значения 0 существует конечное число решений (0,01(0), Н((/?))

задачи (22) Это число определяется значениями точек отсечки /3(°, квадраты которых являются решениями уравнения отсечки, представляющего собой линейную задачу на собственные значения для ограниченных самосопряженных операторов

В теореме 4 24 доказывается, что функции и = а¡(0), определенные на (01,оо), при всех I 1 являются локально липшицевыми, неубывающими, и <т;(/3)//3 —» у/1 — (Поо/п+)2 при 0 —* оо

Результаты теорем 4 23 и 4 24 обобщают хорошо известные свойства поверхностных собственных волн цилиндрического диэлектрического волновода кругового поперечного сечения с кусочно-постоянным показателем преломления (см , рис 2), полученные в векторном случае на основе метода разделения переменных

Пятая глава посвящена изучению свойств оператора двумерного сингулярного интегрального уравнения, к которому сводится задача о собственных волнах цилиндрического диэлектрического волновода в плоско-слоистой окружающей среде

В §5 1 изучается задача о собственных волнах цилиндрического диэлектрического волновода в плоско-слоистой среде Предполагается, что показатель преломления п является положительной вещественной функцией, кроме того существует ограниченная область П такая, что п(х) — пх(х2), х 6 = К2\П, где тг00(х2) зависит только от координаты ж 2

{щ, I е Й1 = {х оо < Х\ < оо, Хг > п2, х 6 Г2г = {х оо < XI < оо,0 < х2 < Щ, X е П^ = {х ОО < XI < ОО, XI < 0}

Предполагается, что П С и также, что п является непрерывной функцией в области П2, то есть, что волновод имеет размытую границу Ненулевой вектор {Е, Н} 6 и6 называется собственным вектором задачи, отвечающим собственному значению 0 € Л^, если выполнены условия

го^Е = ги^оН, х€К2\(Г1иГ2), (23)

к%Н = -1М£0п2Е, х 6 Е2 \ (Г1 и Г2), (24)

г/хЕ+=г/хЕ~, кхН+ = |/хГ, хеГя .7 = 1,2 (25)

Здесь Л«,1) = {0 6 Лр1' 1т0 = 0, \0\ > кп2} - множество, принадлежащее вещественной оси главного (' физического") листа римановой

поверхности функции 1п /с2п| — Р2, п+ > Пг > Щ > щ > 0, через Г1 и Г2 обозначены границы области 1} - множество функций, непрерывных и непрерывно дифференцируемых в Пь ГЬ и П3, дважды непрерывно дифференцируемых в ГЬ, Г2г и ^з, экспоненциально убывающих при ]х| —+ оо по любому направлению, не параллельному прямым Г,, и ограниченных при |х| —+ оо параллельно прямым

В §6 2 задача (23) - (25) сводится к нелинейной спектральной задаче для двумерного сингулярного интегрального уравнения на основе представления собственных векторов в виде интегралов по области П с ядрами, выражающимися через известную тензорную функцию Грина для поляризационного потенциала Построенное интегральное уравнение изучается как операторное уравнение вида

А(/3)¥ = 0 (26)

в пространстве [/^(П)]3 Для всех /3 6 Ад1' ядро оператора А(/3) сильно сингулярно

В §5 2 (теорема 5 25) доказывается, что для любого ¡3 € Л^ оператор А{0) фредгольмов Доказательство основано на общих результатах теории многомерных сингулярных интегральных операторов

Шестая глава посвящена разработке и теоретическому исследованию численных методов решения задач спектральной теории цилиндрических диэлектрических волноводов

В §6 1 изучается метод Галеркина решения нелинейных спектральных задач для систем интегральных уравнений, содержащих сингулярные интегралы с логарифмической особенностью ядра (6) и ядром Гильберта (11) При построении и исследовании численного метода эти системы удобно трактовать как операторные уравнения (5) и (12) в гильбертовых пространствах х и х ¿2 х ¿2 х ¿21 соответственно В качестве базисных используются тригонометрические функции, которые являются собственными функциями, отвечающими известным собственным значениям, указанных сингулярных интегральных операторов В соответствии с методом Галеркина приближенные значения /Зп постоянных распространения /3 определяются как характеристические значения соответствующих конечномерных операторов Ап(/3) Нп —> ЯП1 где п - количество базисных функций В теореме 6 29 обосновывается сходимость метода Галеркина решения задачи (5), а в теореме 6 30 - задачи (12) А именно, доказы-

вается, что если ро € о {А) (символом а{А) обозначено характеристическое множество оператора А), то существует такая последовательность рп 6 а(Ап), что рп —> ра Если {/?„} - некоторая последовательность точек из Л такая, что Рп е сг(А„), рп —♦ Ро £ Л то /?0 6 &(А) Если {Рп} — некоторая последовательность точек из Л и {гп} — некоторая последовательность нормированных векторов, ||жп|| = 1, таких, что рп 6 т(Ап), Ап(рп)хп — 0, рп -> Ро € Л, г„ -> т0, то р0 е а(А) и А(Ро)хо — 0, ||хо|| = 1 Исследование сходимости метода Галеркина опирается результаты ГМ Вайникко, 0 0 Карма о проекционных методах решения нелинейных спектральных задач для фредгольмо-вых операторов

В этом же параграфе приводятся результаты численных экспериментов поиска собственных векторов задачи (12) отвечающих комплексным собственным значениям р 6 Сц1' Для волновода кругового поперечного сечения результаты сравниваются с точными решениями, полученными методом разделения переменных, и с результатами работы Т Р ЛаЫопэк!, в которой для решения задачи в исходной дифференциальной постановке применялся специальный проекционно-итерационный метод

Строятся дисперсионные кривые для комплексных собственных значений - графики зависимости вещественной и мнимой части параметра И = Р/(кпгх,) от V = к1Иу/п\ — п^ при фиксированном значении (п\ — п200)1{2п1с) = 30 Здесь Я — радиус волновода Результаты вычислений представлены на рисунке 3 Непрерывными линиями изображены точные решения, полученные как корни характеристического уравнения (верхний график — 1т(/г), нижний — Ке(Л)) Кружочками на рисунке 3 отмечены результаты вычислений по методу Галеркина, которые с графической точностью совпали с результатами работы Т Р ЛаЫопБк1 На рисунках 4 и 5 изображены линии уровня функций |Ез| и |Нз|, соответственно, при V = 2 Помимо комплексных собственных волн волновода кругового поперечного сечения, для демонстрации эффективности предлагаемого метода разыскиваются также комплексные собственные волны диэлектрического волновода квадратного поперечного сечения со стороной, равной 2Я (на рисунке 3 квадратиками отмечены значения 1т(Л) и Пс(/))) При этом используется аппроксимация квадрата гладкими кривыми Исследуется скорость сходимости метода при использовании различных кривых

Рис 3 Дисперсионные кривые для комплексных собственных волн волноводов кругового и квадратного поперечных сечений

В §6 2 описывается метод конечных элементов решения задачи (20) Используются простейшие пространства лагранжевых конечных элементов, удобные для практического применения метода Предлагается простой метод аппроксимации точного нелокального граничного условия, выписанного в явном виде на основе метода разделения переменных Устанавливается что свойства спектра конечно-элементной аппроксимации в точности соответствуют свойствам спектра исходной дифференциальной задачи Приводятся результаты численных экспериментов решения ряда конкретных задач спектральной теории диэлектрических волноводов Полученные результаты сравниваются с известными точными решениями и решениями, полученными другими авторами Исследуется скорость сходимости метода в зависимости от точности аппроксимации граничного условия и максимального размера элементов

В качестве примера, демонстрирующего возможности метода,

приводятся результаты расчетов для новой волноведущей структуры Область П состояла из трех касающихся друг друга кругов с центрами в вершинах равностороннего треугольника со сторонами р Показатель преломления п(х) = п+, х 6 П Радиус Я окружности Гд был выбран равным 1,3р На рисунке 6 построены дисперсионные кривые, показывающие зависимость II = рк^/п\ — (0/к)2 от V = рк\/п\ — п^, для первых девяти собственных волн Дисперсионные кривые для II2 и Щ, V5 и С/е, 1/$ и Ид совпали с графической точностью Вероятно, соответствующие собственные значения ¡3 являются кратными На рисунках 7 8, 9 построены линии уровня квадратов собственных функций, и2, в расчетной области П для V = 3

Основные результаты диссертации

1 Сформулированы нелинейные спектральные задачи для фред-гольмовых голоморфных оператор-функций, содержащих контурные сингулярные интегральные операторы, эквивалентные общим задачам о собственных волнах волноводов с постоянным показателем преломления Доказано, что для всех допустимых значений неспектральных параметров регулярные множества оператор-функций не пусты, а характеристические множества могут состоять лишь из изолированных точек, являющихся характеристическими значениями Характеристические значения непрерывно зависят от неспектральных параметров, с изменением которых, могут появляться и исчезать лишь на границе области голоморфности оператор-функций

2 Сформулированы нелинейные спектральные задачи для фред-гольмовых голоморфных оператор-функций, содержащих слабо сингулярные интегральные операторы по области, эквивалентные общим задачам о собственных волнах волноводов с размытой границей Доказано, что для всех допустимых значений неспектральных параметров регулярные множества оператор-функций не пусты, а характеристические множества могут состоять лишь из изолированных точек, являющихся характеристическими значениями Характеристические значения непрерывно зависят от неспектральных параметров, с изменением которых, могут появляться и исчезать лишь на границе области голоморфности оператор-функций

3 Сформулированы параметрические задачи на собственные значения для ограниченных самосопряженных операторов с нелинейным вхождением спектральных параметров в точные нелокальные граничные условия, эквивалентные задачам о поверхностных собственных волнах волноводов Доказано существование решений этих задач при всех допустимых значениях параметров Получены результаты, обобщающие свойства известных в частных случаях точных решений задач

4 Разработан метод Галеркина решения общих задач о собственных волнах цилиндрических диэлектрических волноводов с постоянным показателем преломления в полной векторной постановке и в скалярном приближении Доказана его сходимость

5 Разработан метод конечных элементов решения задач о поверхностных собственных волнах Установлено, что свойства спектра конечно-элементной аппроксимации в точности соответствуют свойствам спектра исходной дифференциальной задачи Показана практическая эффективность метода путем сравнения решений ряда конкретных задач спектральной теории диэлектрических волноводов с точными решениями и результатами, полученными другими авторами

Список публикаций по теме диссертации

1 Карчевский Е М Исследование спектра собственных волн цилиндрических диэлектрических волноводов с малым скачком показателя преломления / ЕМ Карчевский // Исследования по прикладной математике сб науч ст — Казань Изд-во Казанского матем общества, 1997 — Вып 22 - С 47-51

2 Карчевский Е М Об определении постоянных распространения собственных волн диэлектрических волноводов методами теории потенциала /ЕМ Карчевский //Ж вычисл матем и матем физ — 1998 - Т 38 — № 1 - С 132—136

3 Karchevskn Е М Study of Spectium of Guided Waves of Dielectric Fibres / E M Karchevskn / / International Conference on Mathematical Methods in Electromagnetic Theoty, Kharkov, Ukiame, 2-5 June 1998 Proceedings - 1998 - P 787-789

4 Карчевский E M Об одной спектральной задаче для оператора Гельмгольца на плоскости / Р 3 Даутов, Е М Карчевский //

Теория сеточных методов для нелинейных краевых задач материалы Всероссийского семинара — Казань Изд-во Казанского матем общества, 1998 — С 19-20

5 Karchevsku ЕМ Surface and Leaky Guided Waves on Dielectne Fibres of Arbitrary Cross-Section / E M Karchevsku // Progress m Electromagnetics Research Symposium, Nantes, France, 13-17 July 1998 Proceedings - 1998 - P 325

6 Карчевский E M Исследование численного метода решения спектральной задачи теории диэлектрических волноводов / Е М Карчевский // Изв вузов Математика — 1999 — № 1 — С 1017

7 Карчевский Е М К исследованию спектра собственных волн диэлектрических волноводов /ЕМ Карчевский //Ж вычисл матем и матем физ - 1999 - Т 39 - № 9 - С 1558-1563

8 Карчевский Е М Исследование спектра собственных волн цилиндрических диэлектрических волноводов с произвольным контуром поперечного сечения /ЕМ Карчевский // Исследования по прикладной математике сб науч ст — Казань Унипресс, 1999 — Вып 21-С 132-140

9 Karchevsku Е М Universal Algorithm for the Accurate Computation of the Modal Characteristics of Arbitrary-Shape Optical Fibeis / E M Karchevsku // International Conference on Transparent Optical Networks, Kielce, Poland, June 9-11 1999 Proceedings — 1999 — P 201-204

10 Karchevsku E M Universal Algorithm for Solution of Eigenvalue Problems of the Theory of Electromagnetic Waves / E M Karchevsku // XXVI General Assembly International Union of Radio Science, Toronto Ontario, Canada, August 13-21, 1999 Proceedings — 1999 — P 41

11 Карчевский E M Об одной спектральной задаче теории диэлектрических волноводов / Р 3 Даутов, Е М Карчевский //Ж вычисл матем и матем физ — 1999 — Т 39 — № 8 — С 1293-1299

12 Карчевский Е М Приближенный метод решения спектральной задачи для оператора Гельмгольца на плоскости / Р 3 Даутов, Е М Карчевский // Теория функций, ее приложения и смежные вопросы материалы Всероссийской школы-конференции, поев 130-летию со дня рождения Д Ф Егорова — Казань Изд-во Казанского матем общества, Изд-во ДАС, 1999 — С 77-79

13 Карчевский Е М Математическое моделирование распространения волн в цилиндрическом диэлектрическом волноводе / Е М Карчевский, Е В Трифонов // Теория функций, ее приложения и смежные вопросы материалы Всероссийской школы-конференции, поев 130-летию со дня рождения Д Ф Егорова — Казань Изд-во Казанского матем общества, Изд-во ДАС 1999 —С 112-113

14 Карчевский Е М Исследование и приближенный метод решения спектральной задачи для оператора Гельмгольца на плоскости / РЗ Даутов, ЕМ Карчевский // Современные проблемы матем моделирования труды VIII Всероссийской школы-семинара — Ростов-на-Дону Изд-во РГУ, 1999 - С 53434

15 Карчевский Е М Об определении комплексных постоянных распространения цилиндрических диэлектрических волноводов методами теории потенциала /ЕМ Карчевский, Е В Трифонов // Итерационные методы решения линейных и нелинейных сеточных задач груды матем центра им Н И Лобачевского — Т 2 — Казань Уни-пресо, 1999 - С 245-250

16 Карчевский Е М Исследование спектральной задачи для оператора Гельмгольца на плоскости /ЕМ Карчевский, С И Соловьев // Дифференц уравнения — 2000 — Т 36 — № 4 — С 563-565

17 Карчевский Е М Исследование задачи о собственных волнах цилиндрических диэлектрических волноводов /ЕМ Карчевский // Дифференц уравнения — 2000 — Т 36 — № 7 — С 998-999

18 Карчевский Е М Существование и свойства решений спектральной задачи теории диэлектрических волноводов / Р 3 Даутов, Е М Карчевский //Ж вычисл матем и матем физ — 2000 — Т 40 - № 8 - С 1250-12G3

19 Карчевский Е М Об одном методе решения эллиптических заг дач в неограниченных областях / Р 3 Даутов, Е М Карчевский // Математическое моделирование и проблемы экологической безопасности труды Всероссийской конференции — Ростов-на-Дону Изд-во РГУ, 2000 - С 72-84

20 Карчевский Е М Вопросы существования и численные методы в спектральной теории слабонаправляющих диэлектрических волноводов / РЗ Даугов, ЕМ Карчевский // Задачи дифракции и сопряжение электромагнитных полей в волноводных структурах

труды Матем центра им Н И Лобачевского — Казань НИММ им Н Г Чеботарева, 2000 - С 55-78

21 Карчевский Е М Собственные моды диэлектрических волноводов с размытой границей /ЕМ Карчевский, И А Носич, С И Соловьев // Задачи дифракции и сопряжение электромагнитных полей в волноводных структурах труды Матем центра им Н И Лобачевского - Казань НИММ им Н Г Чеботарева, 2000 - С 79-114

22 Karchevskii Е М Mathematical Analysis and Numerical Modeling of the Guided Modes of the Step-Index Optical Fibers / EM Karchevskii // The Fifth International Confctence on Mathematical and Numerical Aspects of Wave Propagation, Santiago de Compostela, Spain, July 10-14, 2000 Proceedings — SIAM Proc in Applied Mathematics, 2000 - V 102 - P 414-419

23 Karchevskii E Mathematical Analysis and Numerical Simulation of the Guided Modes of the Weakly Guiding Optical Fibers / E Karchevskii, R Dautov // International Conference on Mathematical Methods in Electromagnetic Theory, Kharkov, Ukraine, 12-15 September 2000 Proceedings - 2000 - P 396

24 Karchevskii Y Computing Complex Propagation Constants oí Dielectric Waveguides / Y Karchevskii, E Thfonov // Internationa! Confeience on Mathematical Methods in Electromagnetic Theory, Kharkov, Ukraine, 12-15 September 2000 Proceedings —2000 — P 636-537

25 Karchevskii E M Simulation of Weakly Guiding Optical Fibers by Finite Element Method with Exact Boundary Condition / R Dautov, E M Karchevskii // International Conference on Transparent Optical Networks, Krakov, Poland, 2001 Proceedings — 2001 — P 206-210

26 Карчевский E M О решении векторной задачи о собственных волнах цилиндрических волноводов на основе нелокального краевого условия / Р 3 Даутов, Е М Карчевский //Ж вычисл матем и матем физ - 2002 - Т 42 - № 7 - С 1051-1066

27 Карчевский Е М Векторная задача о собственных волнах цилиндрических диэлектрических волноводов / Р 3 Даутов, Е М Карчевский, Г П Корнилов // Задачи дифракции и сопряжение электромагнитных полей в волноводных структурах труды Матем центра им Н И Лобачевского — Казань Изд-во Казанского матем общества, 2002 — С 4-40

28 Карчевский Е М Применение методов теории сингулярных

интегральных операторов в задаче о собственных волнах волновода с размытой границей /ЕМ Карчевский // Задачи дифракции и сопряжение электромагнитных полей в волноводных структурах труды Матем центра им Н И Лобачевского — Казань Изд-во Казанского матем общества, 2002 — С 64-78

29 Kartchevski Е М Mathematical Analysis of the Guided Modes of an Integrated Optical Guide / EM Kaitchevski, G Hanson // International Conference on Mathematical Methods in Electromagnetic Theory, Kiev, Ukraine, 10-13 Septembei, 2002 Proceedings — 2002 — P 230-232

30 Карчевский E M , Соловьев С И Существование собственных значений спектральной задачи теории диэлектрических волноводов / Е М Карчевский, С И Соловьев // Известия вузов Математика —

2003 - № 3 - С 78-80

31 Kartchevski Е М Green's Function Expansions in Dyadic Root Functions for Shielded Layered Waveguide Problems Obtained Via Residue Theory / G W Hanson, A I Nobich, E M Kartchevski // Journal of Electiomagnetic Waves and Applications — 2003 — V 17 — № 5 — P 759-761

32 Kartchevski E M Mathematical Analysis of the Guided Modes of Integrated Optical Guides / E M Kartchevski, G Hanson // The Sixth International Conference on Mathematical and Numerical Aspects of Wave Propagation, Jyvaskyla, Finland, June 30 - July 4, 2003 Proceedings — 2003 — P 445-450

33 Kartchevski E Convergence of the Galerkin Method for Numerical Calculation of the Guided Modes of an Integrated Optical Guide / E Kartchevski // International Conference on Mathematical Methods in Electromagnetic Theory, Dniepropetrovsk, Ukraine, 14-17 September,

2004 Proceedings - 2004 -P 263-265

34 Karchevskn EM A New Method for the Computation of Eigenmodes in Dielectric Waveguides / G P Kornilov, R Z Dautov, E M Karchevskn // International Conference on Mathematical Methods m Electromagnetic Theory, Dniepropetrovsk, Ukraine, 14-17 September, 2004 Proceedings - 2004 -P 266-268

35 Kartchevski E M Mathematical Analysis of the Generalized Natural Modes of an Inhomogeneous Optical Fiber / E M Kartchevski,

A I Nosich, G W Hanson // SIAM J Appl Math - 2005 - V 65 -№6 - P 2033-2048

36 Карчевский E M Численный метод поиска дисперсионных кривых и собственных волн оптических волноводов / РЗ Даутов, Е М Карчевский, Г П Корнилов // Ж вычисл матем и матем физ - 2005 - № 12 - С 2203-2218

Рис 4 Линии уровня функции |Ез| для волновода кругового поперечного сечения

•1 08 -06 -04 -02 О 02 04 06 08 1

Рис 5 Линии уровня функции |Нз| для волновода кругового поперечного сечения

V

Рис 6 Дисперсионные кривые для девяти собственных волн волновода, состоящего из трех стержней кругового поперечного сечения

и*14182 У«3

Рис 7 Линии уровня квадрата собственной функции задачи (20) для основной собственной волны волновода, состоящего из трех стержней кругового поперечного сечения

11*2 4897 У»Э и-2 9159

Рис 8 Линии уровня квадратов собственных функций задачи (20) для волновода, состоящего из трех стержней кругового поперечного сечения

и»2 5775 У*3

и®2 5781 У«3

Рис 9 Линии > ровня квадратов собственных функций задачи (20) для волновода, состоящего из трех стержней кругового поперечного сечения

//

Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии Издательского центра Казанского государственного университета им В И Ульянова-Ленина Тираж 120 экз Заказ 3/96

420008, ул Профессора Нужина, 1/37 тел 231-53-59,292-65-60

Введение

Глава 1. Основные уравнения спектральной теории диэлектрических волноводов.

§1. Уравнения для амплитуд собственных волн.

§ 2. Скалярное приближение слабонаправляющего волновода.

§ 3. Собственные волны волноводов кругового поперечного сечения

ГЛАВА 2. Общие задачи о собственных волнах волноводов с постоянным показателем преломления.

§ 1. Скалярная задача в приближении слабонаправляющего волновода

§ 2. Векторная задача в полной электродинамической постановке

Глава 3. Общие задачи о собственных волнах волноводов с размытой границей.

§ 1. Скалярная задача в приближении слабонаправляющего волновода

§ 2. Векторная задача.

Глава 4. Задачи о поверхностных собственных волнах.

§1. Скалярная задача в вариационной постановке.

§2. Векторная задача в вариационной постановке.

Глава 5. Задача о собственных волнах цилиндрического диэлектрического волновода в плоско-слоистой среде.

§ 1. Сведение задачи к нелинейной спектральной задаче для двумерного сингулярного интегрального уравнения.

§ 2. Фредгольмовость сингулярного интегрального оператора.

Глава 6. Численные методы решения задач спектральной теории диэлектрических волноводов.

§ 1. Метод Галеркина решения общих задач о собственных волнах

§2. Метод конечных элементов решения задач о поверхностных собственных волнах.

Интерес к задачам о собственных волнах цилиндрических диэлектрических волноводов, находящихся, как в однородной, так и в плоско-слоистой окружающей среде, возник в середине прошлого века при решении задач геологоразведки и стремительно возрастает в связи с бурным развитием оптических телекоммуникационных технологий передачи данных на больших расстояниях [149] и использованием в радио-электронной промышленности миниатюрных интегрированных оптических схем вместо классических электрических [142]. Эти задачи являются спектральными задачами теории дифракции поиска частных решений уравнений Максвелла в виде бегущих волн в неограниченных областях, удовлетворяющих условиям сопряжения на границах раздела сред и соответствующим условиям на бесконечности.

Наиболее полная информация получена о решениях относительно простой задачи о собственных волнах волновода кругового поперечного сечения с постоянным показателем преломления, находящегося в однородной окружающей среде. Хорошо изучены свойства поверхностных собственных волн такого волновода [91]. Собственные функции задачи (амплитуды собственных волн) в этом случае отвечают конечному числу собственных значений (постоянных распространения), принадлежащих ограниченному интервалу вещественной оси. Отличительными особенностями поверхностных собственных волн являются экспоненциальное убывание на бесконечности их амплитуд и симметричность соответствующего дифференциального оператора.

В работах Б.З. Каценеленбаума [64], Г.И. Веселова, С.Б. Раевского [7] на основе анализа характеристического уравнения, полученного методом разделения переменных, было доказано существование принципиально других классов собственных волн цилиндрического диэлектрического волновода кругового поперечного сечения с постоянным вещественным показателем преломления. Они получили названия вытекающих и комплексных, соответственно. Амплитуды комплексных собственных волн также экспоненциально убывают. Вытекающие собственные волны имеют экспоненциально возрастающие на бесконечности амплитуды. Задачи о комплексных и вытекающих собственных волнах имеют несимметричные дифференциальные операторы, а соответствующие постоянные распространения являются комплексными.

Важно отметить, что, как было доказано в работах [64], [7], постоянные распространения собственных волн всех типов непрерывно зависят от радиуса волновода, показателей преломления волновода и окружающей среды, частоты электромагнитных колебаний. С их изменением собственные волны могут трансформироваться из одного типа в другой.

Разработано большое количество методов решения задач о поверхностных собственных волнах, приспособленных для областей специальной формы. Так, для расчета диэлектрических волноводов неоднородного заполнения с поперечным сечением, близким к круговому, широкое применение нашли лучевой метод, метод нормальных волн и асимптотические методы (см. [91], [20] и цитированную там литературу). Хорошо известно точное решение задачи о собственных волнах однородного цилиндрического диэлектрического волновода эллиптического поперечного сечения, полученное методом разделения переменных [74].

Для расчета волноводов с произвольным контуром поперечного сечения применялся метод коллокации [145], [146], вариационные методы [13], [12], [6] и различные модификации метода частичных областей (см., напр., [171], [157], [10], [69], [93], [18], [6] и цитированную там литературу).

Для решения задач поиска поверхностных собственных волн диэлектрических волноводов с неоднородным заполнением применялся метод конечных разностей (см. [88], [89], [1], [23] и цитированную там литературу), приводящий к алгебраическим задачам на собственные значения большой размерности для разреженных матриц. При постановке этих задач основную трудность представляет перенос условий излучения на границу конечной сеточной области.

В работах L. Eyges, Р. Gianino, Р. Wintersteiner [135], E.B. Захарова, Х.Д. Икрамова, А.Н. Сивова [24], A.B. Малова, В.В. Солодухова, A.A. Чурилина [75] для расчета поверхностных собственных волн цилиндрических диэлектрических волноводов применялись интегральные уравнения, построенные на основе формулы Грина. Теоретического обоснования метода интегральных уравнений для расчета диэлектрических волноводов в указанных работах проведено не было.

Однако, до настоящего времени не было предложено математических формулировок общих задач о собственных волнах цилиндрических диэлектрических волноводов произвольного поперечного сечения и распределения показателя преломления, позволяющих исследовать качественные свойства всех, указанных выше типов собственных волн: поверхностных, комплексных и вытекающих, строить на основе таких формулировок теоретически обоснованные численные методы.

Наиболее полно были изучены свойства решений близких спектральных задач теории дифракции - задач о собственных волнах щелевых и полосковых линий. В работах A.C. Ильинского [26], A.C. Ильинского, В.В. Зарубанова [27], [28], A.C. Ильинского, Ю.Г. Смирнова [31], [32], A.C. Ильинского, Ю.В. Шестопалова [35] - [37], A.C. Ильинского, Е.В. Чернокожина, Ю.В. Шестопалова [34], Е.В. Чер-нокожина, Ю.В. Шестопалова [95], Ю.В. Шестопалова [98] - [107] указанные задачи формулируются как задачи поиска характеристических чисел фредгольмовых голоморфных оператор-функций, полученные на основе метода интегральных уравнений. В работах этих авторов анализируются качественные свойства характеристического множества: локализация, дискретность, существование характеристических чисел. Исследование опирается на общую теорию нелинейных спектральных задач, развитую в работах И.Ц. Гохберга, М.Г. Крейна [19], Като [62]. Предлагаются и исследуются проекционные методы расчета волноведущих структур. При обосновании численных методов используются результаты Г.М. Вайникко, О.О. Карма [3], [4] о проекционных методах решения нелинейных спектральных задач для фредгольмовых операторов.

Аналогичные подходы к исследованию и численному решению задач о собственных колебаниях открытых резонаторов применялись в работах C.B. Сухинина [92], В.П. Шестопалова [96], Ю.В. Шестопа-лова, Ю.Г. Смирнова, Е.В. Чернокожина [168].

Спектральные параметры в указанных работах разыскивались на некоторой поверхности Римана, а собственные функции - в классах функций, удовлетворяющих на бесконечности "парциальным" условиям излучения.

Парциальные" условия излучения были введены А.Г. Свешниковым в работе [86], сформулированы и обоснованы им для внешней задачи дифракции на регулярном волноводе в статье [87]. Аналогичные условия применялись для корректной постановки задачи дифракции в работе H. Reichardt [163].

Парциальным" условиям излучения удовлетворяют амплитуды всех типов собственных волн цилиндрических диэлектрических волноводов, находящихся в однородной окружающей среде. На это было указано в работе А.И. Носича [160], посвященной изучению функций Грина задач о собственных волнах волноводов с компактным поперечным сечением.

Несмотря на то, что задачи о собственных волнах диэлектрических волноводов, сформулированные в диссертационной работе, близки к задачам о собственных волнах щелевых и полосковых линий передач, задачам о собственных колебаниях открытых резонаторов, в том смысле, что их операторы имеют комплексные характеристические числа, а собственные функции удовлетворяют "парциальным" условиям излучения, они имеют существенные отличия. Это связано с тем, что разыскиваемые частные решения уравнений Максвелла (уравнения Гельмгольца при упрощающих предположениях о свойствах среды) должны удовлетворять другим граничным условиям. По сравнению с задачами о собственных колебаниях, более того, разыскиваются иные частные решения. Следовательно, при построении моделей распространения собственных волн диэлектрических волноводов возникает необходимость в применении специальных подходов. Они могут быть разработаны на основе известных методов решения задач дифракции на проницаемых телах.

Достаточно эффективные и универсальные алгоритмы решения задач дифракции в бесконечных областях основаны на переходе к интегральным уравнениям [158], [70], [68]. Такой подход позволяет точно учесть поведение решений задач дифракции на бесконечности. Разработке и обоснованию численных методов решения интегральных уравнений теории дифракции посвящено большое количество работ (см., напр., [68], [33], [15], [21], [5], [17], [25], [81], [14], [30], [83], [97], [73] и цитированную там литературу).

С точки зрения экономии вычислительных ресурсов эффективными являются интегральные уравнения, основанные на применении потенциалов простого слоя. Например, по сравнению с методом формулы Грина, метод потенциалов простого слоя позволяет сократить в два раза число искомых функций, порядок системы интегральных уравнений и, как следствие, размерность соответствующей алгебраической задачи. Этот подход использовался, например, в работах В.В. Дробницы, В.А. Цецохо [22], С.И. Смагина [90], А.Г. Ярового [109] при решении задач дифракции электромагнитных волн на проницаемых включениях в плоско-слоистой среде, в работах В.П Шестопалова [96], А.Е. Поединчука, Ю.А. Тучкина, В.П. Шестопало-ва [82] - при решении спектральных задач волнового рассеяния на незамкнутых экранах, в работах Е.В. Захарова, Ю.В. Пименова [25], A.C. Ильинского, Ю.Г. Смирнова [33] - при решении задач дифракции электромагнитных волн на проводящих тонких экранах.

Значительное внимание привлекают задачи дифракции электромагнитных волн на диэлектрических структурах с размытой границей, то есть не имеющих четкой границы раздела сред (см., напр., [120], [85] и цитированную там литературу). В частности, при постановке спектральных задач теории диэлектрических волноводов, часто делается предположение о том, что характеристики волновода плавно переходят в характеристики окружающей среды (см., напр., [160], [143]). Эта модель наиболее адекватна для определения собственных волн естественных природных волноводов и искусственных волноводов, изготовленных методом диффузии. Метод граничных интегральных уравнений в этом случае применять не удается.

Метод сведения трехмерной задачи дифракции электромагнитных волн на неоднородном теле с размытой границей к интегральному уравнению Фредгольма второго рода по области неоднородности был предложен в работе С. Muller [158], использован в работе D. Colton, R. Kress [120] при анализе существования и единственности решения задачи дифракции.

Задачи о поверхностных собственных волнах в силу симметрии соответствующих дифференциальных операторов несколько проще по сравнению с общими задачами о собственных волнах. Значительные усилия математиков были направлены на исследование вопросов существования поверхностных собственных волн цилиндрических диэлектрических волноводов, находящихся в однородной окружающей среде. Существование поверхностных собственных волн волновода с переменной диэлектрической проницаемостью доказано в работе A. Bamberger, A.S. Bonnet [112]. Методами спектральной теории неограниченных самосопряженных операторов получено уравнение, определяющее количество решений задачи в зависимости от ее параметров (уравнение отсечки), изучена зависимость собственных значений от параметров. Эти результаты были обобщены на случай волновода с переменной магнитной проницаемостью в работе P. Joly, С. Poirier [147]. Результаты работ [112] и [147] дают весьма полное представление о качественных свойствах спектра поверхностных собственных волн, однако использованные в них постановки задач неудобны с точки зрения численного решения. Это связано с тем, что задачи ставятся во всей плоскости поперечного сечения волновода, а их неограниченные операторы имеют, наряду с точечным, непрерывный спектр, не имеющий практического значения.

Одним из эффективных численных методов решения задач теории дифракции является метод конечных элементов, который активно применяется с 70-х годов прошлого столетия для численного анализа спектральных характеристик диэлектрических волноводов, находящихся в однородной окружающей среде (см., напр., [67], [117] и цитированную там литературу). Развитие метода конечных элементов во многом определяется выработкой различных подходов к сведению исходной задачи, сформулированной во всей плоскости поперечного сечения волновода к соответствующей задаче, поставленной в некой ограниченной области. При этом вводится вспомогательная граница, разбивающая плоскость на две части: конечную расчетную область, в которой изменяется показатель преломления, и неограниченную область, в которой показатель преломления постоянен. На искусственной границе ставятся некоторые граничные условия, аппроксимирующие поведение амплитуд собственных волн на бесконечности.

Краевые условия на искусственной границе, известные к началу 90-х годов для применения метода конечных элементов к решению рассматриваемой задачи были локальными и приближенными [67].

Применение метода конечных элементов, основанного на использовании этих условий, не было в достаточной степени обосновано теоретически, так как задачи в ограниченной области не были эквивалентны исходной задаче на плоскости.

Более привлекательным является применение точных нелокальных условий, позволяющих эквивалентным образом свести исходную задачу в неограниченной области к задаче в ограниченной области. Среди такого класса условий отметим прежде всего условия, основанные на "парциальных" условиях излучения. Они систематически применялись для теоретического исследования и численного решения проекционными методами широкого круга задач теории дифракции (см. работу A.C. Ильинского, А.Г. Свешникова, В.В. Кравцова [29] и цитированную там литературу). В общем случае точные нелокальные условия имеют вид Lu = Su, где L - дифференциальный оператор условия сопряжения, порожденного уравнением задачи, a S -некоторый нелокальный оператор на вспомогательной границе. При специальном ее выборе этот оператор удается выписать в явном виде, используя метод разделения переменных. Такой подход использовался в работах D. Givoli, J.B. Keller [136], D. Givoli [137] для решения методом конечных элементов различных задач в неограниченных областях.

В работе P. Joly, С. Poirier [148] точные нелокальные краевые условия применялись для решения методом конечных элементов задачи о поверхностных собственных волнах цилиндрического диэлектрического волновода в однородной окружающей среде. Для исключения из рассмотрения нефизичных решений собственные векторы разыскивались в соленоидальных пространствах, что существенно усложнило алгоритм численного решения.

При моделировании природных волноводов и интегрированных оптических схем, т.е. сочетающих цилиндрические и плоско-слоистые направляющие структуры (см., напр., [142]), возникает задача о собственных волнах цилиндрического диэлектрического волновода в плоско-слоистой окружающей среде. Такой характер окружающей среды существенно усложняет исследование задачи. В работе A.S. Bonnet-Ben Dhia и P. Joly [117] методами спектральной теории неограниченных самосопряженных операторов доказано существование решений задачи в частном случае волновода прямоугольной формы на бесконечной подложке.

Для численного решения этой задачи широко применяется двумерное сингулярное интегральное уравнение по области поперечного сечения волновода [110], [ИЗ], [152], [172]. В работе Н.Р. Urbach [174] установлена нетеровость соответствующего интегрального оператора в случае однородной окружающей среды, а также доказана непустота его спектра.

Таким образом, проблемы спектральной теории диэлектрических волноводов являются весьма актуальными. Прежде всего, целью диссертационной работы является получение формулировок общих задач, позволяющих исследовать в рамках единых математических моделей свойства поверхностных, вытекающих и комплексных собственных волн. Актуальной проблемой является обобщение результатов относительно их свойств, известных для волновода кругового поперечного сечения с постоянным показателем преломления, на случай произвольного контура поперечного сечения, а также получение аналогичных результатов для волноводов с переменным в ограниченной области показателем преломления. Актуальной является проблема разработки теоретически обоснованных общих методов вычисления постоянных распространения и собственных волн всех известных типов.

Дальнейшего развития требует применение метода точных нелокальных граничных условий в сочетании с методом конечных элементов в задачах о поверхностных собственных волнах. Известные методы сведения исходных задач на плоскости к задачам на собственные значения в ограниченной области основаны на использовании специальных (соленоидальных) конечно-элементных пространств. В связи с этим является актуальной проблема разработки таких подходов, которые бы позволили использовать простейшие конечно-элементные пространства, что более удобно с точки зрения практического применения метода конечных элементов.

Что касается задачи о собственных волнах цилиндрического волновода в плоско-слоистой среде, то свойства оператора двумерного сингулярного интегрального уравнения, к нелинейной спектральной задаче для которого она сводится, изучены слабо. Актуальной является проблема доказательства фредгольмовости этого оператора, что необходимо для обоснования численных методов решения указанной задачи.

Диссертация состоит из введения и шести глав.

1. Боголюбов А.Н. Расчет оптических волноводов методом конечных разностей / А.Н. Боголюбов, И.В. Митина, А.Г. Свешников // Математические модели прикладной электродинамики. — М.: Изд-во МГУ, 1984. - С. 136-155.

2. Бицадзе A.B. Некоторые классы уравнений в частных производных / A.B. Бицадзе. — М.: Наука, 1981. — 448 с.

3. Вайникко Г.М. О сходимости приближенных методов решения линейных и нелинейных операторных уравнений / Г.М. Вайникко, О.О. Карма //Ж. вычисл. матем. и матем. физ. —1974. — Т. 14. — № 4. С. 828-837.

4. Вайникко Г.М. О быстроте сходимости приближенных методов в проблеме собственных значений с нелинейным вхождением параметра / Г.М. Вайникко, 0.0. Карма // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1974. - Т. 14. - № 6. - С. 1393-1408.

5. Васильев E.H. Возбуждение тел вращения / E.H. Васильев — М.: Радио и связь, 1987. 272 с.

6. Васильев E.H. Численные методы в задачах расчета диэлектрических волноводов, диэлектрических резонаторов и устройств на их основе / E.H. Васильев, В.В. Солодухов // Моск. энерг. ин-т. Научн. тр. 1983. - № 19. - С. 68-78.

7. Веселов Г.И. О спектре комплексных волн круглого диэлектрического волновода / Г.И. Веселов, С.Б. Раевский // Радиотехника. — 1983. № 2. - С. 55-58.

8. Векуа И.Н. О метагармонических функциях / И.Н. Векуа // Труды Тбилисского Матем. ин-та. 1943. - Т. 12. - С. 105-174.

9. Векуа И.Н. О полноте системы метагармонических функций / И.Н. Векуа // Докл. АН СССР. 1953. - Т. 90. - № 5. - С. 715717.

10. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. / B.C. Владимиров. — М.: Наука, 1976. — 527 с.

11. Войтович H.H. Собственные волны диэлектрических волноводов сложного сечения /H.H. Войтович, Б.З. Каценеленбаум, А.Н. Си-вов, А.Д. Шатров // Радиотехника и электроника. — 1979. — Т. 24. № 7. - С. 1245-1263.

12. Войтович H.H. Расчет диэлектрических волноводов сложного профиля методом наименьших квадратов / H.H. Войтович // Радиотехника и электроника. -1979. Т. 24. - № 5. - С. 1058-1060.

13. Вычислительные методы в электродинамике / Под ред. Р. Митт-ры. М.: Мир, 1977. - 485 с.

14. Габдулхаев Б.Г. Прямые методы решения сингулярных интегральных уравнений первого рода / Б.Г. Габдулхаев. — Казань: Изд-во КГУ, 1994. 288 с.

15. Габдулхаев Б.Г. Численный анализ сингулярных интегральных уравнений. Избранные главы / Б.Г. Габдулхаев. — Казань: Изд-во КГУ, 1995. 231 с.

16. Галишникова Т.Н. Численные методы в задачах дифракции / Т.Н. Галишникова, A.C. Ильинский. — М.: Изд-во МГУ, 1987. -208 с.

17. Гончаренко A.M. Основы теории оптических волноводов / A.M. Гончаренко, В.А. Карпенко. — Минск: Наука и техника, 1983. 237 с.

18. Гохберг И.Ц. Основные положения о дефектных числах, корневых числах и индексах линейных операторов / И.Ц. Гохберг, М.Г. Крейн // Успехи матем. наук. 1957. - Т. 12. - Вып. 2. - С. 44-118.

19. Дианов Е.М. Волоконная оптика: проблемы и перспективы / Е.М. Дианов // Вестн. АН СССР. 1989. - № 10. - С. 41-51.

20. Дмитриев В.И. Интегральные уравнения в краевых задачах электродинамики / В.И. Дмитриев, Е.В. Захаров. — М.: Изд-во МГУ, 1987. 166 с.

21. Дробница В.В. Метод расчета плоского электромагнитного поля в среде со слоем переменной толщины / В.В. Дробница, В.А. Це-цохо // Математические проблемы геофизики. — Новосибирск: Взд-во ВЦ СО АН СССР, 1971. Вып. 2. - С. 251-284.

22. Завадский В.Ю. Моделирование волновых процессов / В.Ю. Завадский. М.: Наука, 1991. - 248 с.

23. Захаров Е.В. Метод расчета собственных волн диэлектрических волноводов произвольного сечения / Е.В. Захаров, Х.Д. Икрамов, А.Н. Сивов // Вычислительные методы и программирование. — М.: Изд-во МГУ, 1980. Вып. 32. - С. 71-85.

24. Захаров Е.В. Численный анализ дифракции радиоволн /Е.В. Захаров, Ю.В. Пименов. — М.: Радио и связь, 1982. — 184 с.

25. Ильинский A.C. Обоснование метода расчета собственных волн микрополосковой линии передачи / A.C. Ильинский // Дифферент уравнения. 1981. - Т. 17. - № 10. - С. 1868-1874.

26. Ильинский A.C. Результаты применения спектрального метода к расчету микрополосковых линий передачи / A.C. Ильинский, В.В. Зарубанов // Математические модели прикладной электродинамики. М.: Изд-во МГУ, 1984. - С. 160-176.

27. Ильинский A.C. Математические модели электродинамики / A.C. Ильинский, В.В. Кравцов, А.Г. Свешников. — М.: Высшая школа, 1991. 224 с.

28. Ильинский A.C. Развитие методов Тихонова в прикладной электродинамике / A.C. Ильинский, А.Г. Свешников // Вестн. МГУ. Выч. математика и кибернетика. — 1986. — Вып. 3. — С. 28-42.

29. Ильинский A.C. Исследование математических моделей микрополосковых линий / A.C. Ильинский, Ю.Г. Смирнов // Методы математического моделирования, автоматизация обработки наблюдений и их применения. — М.: Изд-во МГУ, 1986. — С. 175-198.

30. Ильинский A.C. Математическое моделирование процесса распространения электромагнитных колебаний в щелевой линии передачи / A.C. Ильинский, Ю.Г. Смирнов // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1987. - Т. 27. - № 2. - С. 252-261.

31. Ильинский A.C. Дифракция электромагнитных волн на проводящих тонких экранах (Псевдодифференциальные операторы в задачах дифракции) / A.C. Ильинский, Ю.Г. Смирнов. — М.: ИПР-ЖР, 1996. 176 с.

32. Ильинский A.C. Математическая модель для задачи распространения волн в микрополосковых устройствах / A.C. Ильинский, Ю.В. Шестопалов // Вычисл. методы и программирование. — М.: Изд-во МГУ, 1980. Вып. 32. - С. 85-103.

33. Ильинский A.C. О спектре нормальных волн щелевых линий передачи / A.C. Ильинский, Ю.В. Шестопалов // Радиотехника и электроника. 1981. - Т. 26. - № 10. - С. 2064-2073.

34. Ильинский A.C. Применение методов спектральной теории в задачах распространения волн / A.C. Ильинский, Ю.В. Шестопалов. М.: Изд-во МГУ, 1989. - 184 с.

35. Карпенко В.А. Теоретические и экспериментальные исследования прямоугольного диэлектрического волновода / В.А. Карпенко, Ю.Д. Столяров, В.Ф. Холомеев// Радиотехника и электроника. 1980. - Т. 25. - № 1. - С. 51-57.

36. Карчевский Е.М. Об одной спектральной задаче теории диэлектрических волноводов / Р.З. Даутов, Е.М. Карчевский // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. -1999. Т. 39. - № 8. - С. 1293-1299.

37. Карчевский Е.М. Существование и свойства решений спектральной задачи теории диэлектрических волноводов / Р.З. Даутов,Е.М. Карчевский // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 2000. — Т. 40. № 8. - С. 1250-1263.

38. Карчевский Е.М. О решении векторной задачи о собственных волнах цилиндрических волноводов на основе нелокального краевого условия / Р.З. Даутов, Е.М. Карчевский // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2002. - Т. 42. - № 7. - С. 1051-1066.

39. Карчевский Е.М. Численный метод поиска дисперсионных кривых и собственных волн оптических волноводов / Р.З. Даутов, Е.М. Карчевский, Г.П. Корнилов // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2005. - № 12. - С. 2203-2218.

40. Карчевский Е.М. Об определении постоянных распространения собственных волн диэлектрических волноводов методами теории потенциала / Е.М. Карчевский // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1998. - Т. 38. - № 1. - С. 132-136.

41. Карчевский Е.М. К исследованию спектра собственных волн диэлектрических волноводов / Е.М. Карчевский // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1999. - Т. 39. - № 9. - С. 1558-1563.

42. Карчевский Е.М. Исследование численного метода решения спектральной задачи теории диэлектрических волноводов / Е.М. Карчевский // Изв. вузов. Математика. — 1999. — № 1. — С. 10-17.

43. Карчевский Е.М. Исследование задачи о собственных волнах цилиндрических диэлектрических волноводов / Е.М. Карчевский // Дифференц. уравнения. 2000. - Т. 36. - № 7. - С. 998-999.

44. Карчевский Е.М. Исследование спектральной задачи для оператора Гельмгольца на плоскости / Е.М. Карчевский, С.И. Соловьев // Дифференц. уравнения. 2000. - Т. 36. - № 4. - С. 563565.

45. Карчевский Е.М. Существование собственных значений спектральной задачи теории диэлектрических волноводов / Е.М. Карчевский, С.И. Соловьев // Известия вузов. Математика. — 2003. № 3. - С. 78-80.

46. Карчевский Е.М. Исследование спектральной задачи для оператора Гельмгольца на плоскости / Е.М. Карчевский, С.И. Соловьев // Дифференц. уравнения. 2000. - Т. 36. - № 4. - С. 563565.

47. Като Т. Теория возмущений линейных операторов / Т. Като. — М.: Мир, 1972. 740 с.

48. Каценеленбаум Б.З. О распространении электромагнитных волн вдоль бесконечных диэлектрических цилиндров при низких частотах / Б.З. Каценеленбаум // Докл. АН СССР. 1947. -Т. 58. - № 7. - С. 1317-1320.

49. Каценеленбаум Б.З. Симметричное и не симметричное возбуждение бесконечного диэлектрического цилиндра / Б.З. Каценеленбаум // Журнал технической физики. — 1949. — Т. 19. — № 10. — С. 1168-1181.

50. Клеев А.И. Расчет диэлектрических волноводов методом коллока-ции / А.И. Клеев, А.Б. Маненков // Изв. вузов. Радиофизика. — 1988. Т. 31. - № 1. - С. 93-99.

51. Клеев А.И. Численные методы расчета диэлектрических волноводов (волоконных световодов). Частные методы (обзор) / А.И. Клеев, А.Б. Маненков, А.Г. Рожнев // Радиотехн. и электроника. 1993. - Т. 38. - № 5. - С. 769-788.

52. Клеев А.И. Численные методы расчета диэлектрических волноводов (волоконных световодов). Универсальные методики (обзор) / А.И. Клеев, А.Б. Маненков, А.Г. Рожнев // Радиотехн. и электроника. 1993. - Т. 38. - № 11. - С. 1938-1968.

53. Колтон Д. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния / Д. Колтон, Р. Кресс. М.: Мир, 1987. - 312 с.

54. Кузнецов В.А. Дисперсионные характеристики прямоугольного диэлектрического волновода / В.А. Кузнецов, A.M. Jlepep // Радиотехника и электроника. — 1982. — Т. 27. — № 4. — С. 651-657.

55. Купрадзе В.Д. Граничные задачи теории колебаний и интегральные уравнения / В.Д. Купрадзе. — М.-Л.: Гостехиздат, 1950. — 280 с.

56. Лионе Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными / Ж.-Л. Лионе. — М.: Мир, 1972. 414 с.

57. Лионе Ж.-Л. Неоднородные граничные задачи и их приложения / Ж.-Л. Лионе, Э. Мадженес. М.: Мир, 1971. - 371 с.

58. Лифанов И.К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент в математической физике, аэродинамике, теории упругости и дифракции волн / И.К. Лифанов. — М.: ТОО "Янус", 1995. 519 с.

59. Любимов JT.A. Диэлектрический волновод эллиптического сечения / Л.А. Любимов, Г.И. Веселов, H.A. Бей // Радиотехника и электроника. 1961. - Т. 51. - Вып. И. - С. 1871-1880.

60. Малов A.B. Расчет собственных волн диэлектрических волноводов произвольного поперечного сечения методом интегральных уравнений / A.B. Малов, В.В. Солодухов, A.A. Чурилин // Антенны. М.: Радио и связь, 1984. - Вып. 31. - С. 189-195.

61. Михлин С.Г. Проблема минимума квадратичного функционала / С.Г. Михлин. — М.: Гостехтеориздат, 1952. — 216 с.

62. Муравей Л.А. Аналитическое продолжение по параметру функций Грина внешних краевых задач для двумерного уравнения Гельмгольца / Л.А. Муравей // Матем. сборник. — 1978. — Т. 105. № 1. - С. 63-108.

63. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения / Н.И. Мусхелишвили. — М.: Физматгиз, 1962. — 600 с.

64. Никифоров А.Ф. Основы теории специальных функций / А.Ф. Никифоров, В.Б. Уваров. — М.: Наука, 1974. — 303 с.

65. Никольский В.В. Электродинамика и распространение радиоволн / В.В. Никольский. — М.: Наука, 1978. — 543 с.

66. Панасюк В.В. Метод сингулярных интегральных уравнений в двумерных задачах дифракции / В.В. Панасюк, М.П. Саврук, З.Т. Назарчук. — Киев: Наук, думка, 1984. — 344 с.

67. Поединчук А.Е. О регуляризации спектральных задач волнового рассеяния на незамкнутых экранах / А.Е. Поединчук, Ю.А. Туч-кин, В.П. Шестопалов // Доклады АН СССР. 1987. - Т. 295. -№ 6. - С. 1358-1362.

68. Пресдорф 3. Линейные интегральные уравнения / 3. Пресдорф // Итоги науки и техники. Совр. проблемы математики. Фундамен-тальн. направления. М.: ВИНИТИ АН СССР, 1988. - Т. 27. -С. 5-130.

69. Рисс Ф. Лекции по функциональному анализу / Ф. Рисс, Б. Секе-фальви-Надь. — М.: Мир, 1979. — 587 с.

70. Самохин А.Б. Интегральные уравнения и итерационные методы в электромагнитном рассеянии / А.Б. Самохин. — М.: Радио связь, 1998. 160 с.

71. Свешников А.Г. Принцып предельного поглощения для волновода / А.Г. Свешников // Докл. АН СССР. 1951. - Т. 80. - № 3. -С. 345-347.

72. Свешников А.Г. Дифракция на ограниченном теле / А.Г. Свешников // Докл. АН СССР. 1969. - Т. 184. - № 1. - С. 71-74.

73. Свешников А.Г. Применение метода конечных разностей к расчету световодов / А.Г. Свешников, А.Н. Боголюбов // Вычисл. математика и прграммирование. — 1978. — Вып. 28. — С. 104— 117.

74. Свешников А.Г. Расчет плоского волновода-трансформатора конечно-разностным методом / А.Г. Свешников, А.Н. Боголюбов // Вычисл. математика и прграммирование. — 1978. — Вып. 28. С. 118-133.

75. Смагин С.И. Метод потенциалов в трехмерной задаче дифракции электромагнитных волн / С.И. Смагин // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1990. — Т. 29. — № 1. — С. 82-92.

76. Снайдер А. Теория оптических волноводов / А. Снайдер, Дж. Лав. — М.: Радио и связь, 1987. — 656 с.

77. Сухинин C.B. О дскретности собственных частот открытых акустических резонаторов / C.B. Сухинин // Неклассические задачи упругости и пластичности. — Новосибирск, 1981. — Вып. 49. — С. 157-163.

78. Унгер Х.-Г. Планарные и волоконные оптические волноводы / Х.-Г. Унгер. М.: Мир, 1980. - 656 с.

79. Цецохо В.А. Задача об излучении электромагнитных волн в слоистой среде с осевой симметрией // Вычислительные системы. Новосибирск, 1964. Вып. 12. С. 52-78.

80. Чернокожин Е.В. Об одном методе вычисления характеристических чисел мероморфной оператор-функции /Е.В. Чернокожин, Ю.В. Шестопалов // Журнал вычисл. матем. и матем. физ. — 1985. Т. 25. - № 9. - С. 1413-1416.

81. Шестопалов В.П. Спектральная теория и возбуждение открытых структур / В.П. Шестопалов. — Киев: Наукова думка, 1987. — 288 с.

82. Шестопалов В.П. Матричные уравнения типа свертки в теории дифракции / В.П. Шестопалов, A.A. Кириленко, С.А. Масалов. — Киев: Наук, думка, 1984. — 296 с.

83. Шестопалов Ю.В. К обоснованию метода интегральных уравнений для расчета постоянных распространения в полосковых устройствах / Ю.В. Шестопалов // Числ. методы электродинамики. М.: Изд-во МГУ, 1978. - С. 40-50.

84. Шестопалов Ю.В. К обоснованию спектрального метода расчета собственных волн микрополосковых линий /Ю.В. Шестопалов // Дифференц. уравнения. 1980. - Т. 16. - № 8. - С. 1504-1512.

85. Шестопалов Ю.В. Свойства спектра одного класса несамосопряженных краевых задач для систем уравнений Гельмгольца /Ю.В. Шестопалов // Докл. АН СССР. 1980. - Т. 252. - № 5. -С. 1108-1111.

86. Шестопалов Ю.В. О спектре семейства несамосопряженных краевых задач для систем уравнений Гельмгольца // Ж. вычисл. математики и мат. физики. 1981. Т. 21. № 6. С. 1459-1470.

87. Шестопалов Ю.В. Достаточные условия существования дискретного спектра собственных волн щелевых линий передачи / Ю.В. Шестопалов // Докл. АН СССР. 1982. - Т. 264. - № 5. -С. 1131-1135.

88. Шестопалов Ю.В. Дискретный спектр собственных волн экранированной открытой щелевой линии /Ю.В. Шестопалов //Ж. вычисл. математики и мат. физики. — 1983. — Т. 23. № 6. -С. 1392-1401.

89. Шестопалов Ю.В. Об одномерных уравнениях теории регулярных линий передачи / Ю.В. Шестопалов // Радиотехника и электроника. 1983. - Т. 28. - № 7. - С. 1426-1428.

90. Шестопалов Ю.В. Существование дискретного спектра нормальных волн микрополосковых линий передни со слоистым диэлектрическим заполнением / Ю.В. Шестопалов // Докл. АН СССР. 1983. - Т. 273. - № 3. - С. 594-596.

91. Шестопалов Ю.В. Нормальные волны щелевой линии, помещенной в слой диэлектрика / Ю.В. Шестопалов // Методы синтеза и применение многослойных интерференционных систем. — М.: Изд-во МГУ, 1984. С. 28-29.

92. Шестопалов Ю.В. Собственные волны открытых и экранированных щелевых линий, образованных областями произвольного поперечного сечения / Ю.В. Шестопалов // Докл. АН СССР. — 1986. Т. 289. - № 4. - С. 840-845.

93. Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции / Е. Янке, Ф. Эмде, Ф. Леш. М.: Наука, 1968. - 344 с.

94. Яровой А.Г. Применение метода поверхностных потенциалов в задаче дифракции электромагнитных волн на проницаемом цилиндре в плоскослоистой среде / А.Г. Яровой // Математическое моделирование. 1995. - Т. 7. - Ш 2. - С. 3-16.

95. Bagby J.S. Integral formulation for analysis of integrated dielectric waveguides / J.S. Bagby, D.P. Nyquist, B.C. Drachman // IEEE Trans. Microwave Theory Tech. 1985. - MTT-29. - P. 906-915.

96. Bagby J.S. Dyadic Green's functions for integrated electronic and optical circuits / J.S. Bagby, D.P. Nyquist // IEEE Trans. Microwave Theory Tech. 1987. - MTT-35 - P. 206-210.

97. Bamberger A. Mathematical analysis of the guided modes of an optical fiber / A. Bamberger, A.-S.Bonnet // SIAM J. Math. Analysis. 1990. - V. 21. - № 6. P. 1487-1510.

98. Bastiaansen H.J.M. Domain-integral analysis of channel waveguides in anisotropic multi-layered media / H.J.M. Bastiaansen, N.H.G. Baken, H. Blok // IEEE Trans. Microwave Theory Tech.1992. V. 40. - P. 1918-1926.

99. Bonnet-BenDhia A.S. Guided modes of integrated optical guides. A mathematical study / A.S. Bonnet-BenDhia, G. Caloz, F. Mahe // IMA J. Appl. Math. 1998. - V. 60. - P. 225-261.

100. Bonnet-BenDhia A.S. Study at high frequencies of a stratified waveguide / A.S. Bonnet-BenDhia, G. Caloz, M. Dauge, F. Mahe // IMA J. Appl. Math. 2001. - V. 66. - P. 231-257.

101. Bonnet-Ben Dhia A.S. Mathematical analysis of guided water waves / A.S. Bonnet-Ben Dhia, P. Joli // SIAM J. Appl. Math.1993. V. 53. - № 6. - P. 1507-1550.

102. Bonnet-Ben Dhia A.S. Mathematical analysis and numerical approximation of optical waveguides / A.S. Bonnet-Ben Dhia, P. Joly // Mathematical Modelling in Optical Science. Frontiers. Appl. Math. 2001. - V. 22. - SIAM Philadelphia. PA. - P. 273324.

103. Bonnet-Ben Dhia A.S. Computation of the modes of dielectric waveguides by finite elements coupled with an integral representation / A.S. Bonnet-Ben Dhia, P. Joly // Numerical Methods in Engineering. 1992. - P. 73-77.

104. Collin R.E. Field Theory of Guided Waves / R.E. Collin. New York: IEEE Press, 1991. - 578 p.

105. Colton D. Time harmonic electromagnetic waves in an inhomogeneous medium / D. Colton, R. Kress // Proceedings of the Royal Society of Edinburgh. 1990. - V. 116A. - P. 279-293.

106. Karchevskii E.M. Study of spectrum of guided waves of dielectric fibres / E.M. Karchevskii // International Conference on Mathematical Methods in Electromagnetic Theory, Kharkov, Ukraine, 2-5 June 1998: Proceedings. 1998. - P. 787-789.

107. Karchevskii E.M. Surface and leaky guided waves on dielectric fibres of arbitrary cross-section / E.M. Karchevskii // Progress in Electromagnetics Research Symposium, Nantes, France, 13-17 July 1998: Proceedings. 1998. - P. 325.

108. Kartchevski E.M. Mathematical analysis of the generalized natural modes of an inhomogeneous optical fiber / E.M. Kartchevski, A.I. No-sich, G.W. Hanson // SIAM J. Appl. Math. 2005. - V. 65. - № 6. -P. 2033-2048.

109. Eyges L. Modes of dielectric waveguides of arbitrary cross sectional shape / L. Eyges, P. Gianino, P. Wintersteiner //J. Opt. Soc. Am. — 1979. V. 69. - № 9. - P. 1226-1235.

110. Givoli D. Exact non-reflecting boundary conditions / D. Givoli, J.B. Keller // J. Comput. Phys. 1989. - V. 82. - P. 172-192.

111. Givoli D. Nonreflecting boundary conditions (review article) / D. Givoli // J. Comput. Phys. 1991. - V. 94. - P. 1-29.

112. Goell J.E. A circular-harmonic computer analisis of rectangular dielectric waveguides / J.E. Goell // Bell Sys. Tech. J. 1969. -V. 48. - P. 2133-2160.

113. Goolin A.V. Numerical study of stability and nonlinear eigenvalue problems / A.V. Goolin, S.V. Kartyshov // Surv. Math. Ind. — 1993. V. 3. - P. 29-48.

114. Harrington R.F. Time-Harmonic Electromagnetic Fields / R.F. Harrington. McGraw-Hill, 1961. - 328 p.

115. Hormander L. Linear Partial Differential Operators / L. Hormander. — Berlin: Springer-Verlag, 1976. — 379 p.

116. Hunspenger R.G. Integrated optics: theory and technology / R.G. Hunspenger // Optical Sciences 33. — New York: SpringerVerlag, 1991.-426 p.

117. Jablonski T.F. Complex modes in open lossless dielectric waveguides / T.F. Jablonski // J. Opt. Soc. Am. A. — 1994. — V. 11. № 4. - P. 1272-1282.

118. Jablonski T.F. Analysis of dielectric guiding structures by the iterative eigenfunction expansion method / T.F. Jablonski, M.J. Sowinski // IEEE Trans. Microwave Theory Techniques. — 1989. MTT-37. - P. 63-70.

119. James J.R. Point-matched solutions for propagating modes on arbitrarily-shaped dielectric rods / J.R. James, I.N.L. Gallet // Radio and Electron. Eng. 1972. - V. 42. - P. 103-113.

120. James J.R. Modal analisis of triangular-cored glass-fibre waveguide / J.R. James, I.N.L. Gallett // IEE Proc. 1973. - V. 120. - № 11. -P. 1362-1370.

121. Joly P. Mathematical analysis of electromagnethic open waveguides / P. Joly, C. Poirier // Mathematical Modelling and Numrical Analysis. 1995. - V. 29. - № 5. - P. 505-575.

122. Joly P. A numerical method for the computation of electromagnetic modes in optical fibres / P. Joly, C. Poirier // Math. Meth. Appl. Sci. 1999. - V. 22. - P. 389-447.

123. Karimov I.P. Optical Fiber Telecommunications III / I.P. Karimov, T.L. Koch. New York: Academic Press, 1997. - 437 p.

124. Keuster E.F. Fundamental mode propagation on dielectric fibres of arbitrary cross-section / E.F. Keuster, R.C. Pate // IEE PROC-H. 1980. V. 126. - № 1. - P. 41-47.

125. Kress R. Linear integral equations / R. Kress. — New York: SpringerVerlag, 1999. 365 p.

126. Kolk E.W. Domain integral equation analysis of integrated optical channel and ridge waveguides in stratified media / E.W. Kolk, N.H.G. Baken, H. Blok // IEEE Trans. Microwave Theory Tech. -1990. V. 38. - P. 78-85.

127. Lu M. Anisotropic dielectric waveguides / M. Lu, M.M. Fejer // J. Opt. Soc. Am. A. Feb. 1993. - V. 10. - № 2. - P. 246-261.

128. Marcuse D. Theory of Dielectric Optical Waveguides / D. Marcu-se. — New York: Academic Press, 1974. — 576 p.

129. Mikhlin S.G. Singular integral operators / S.G. Mikhlin, S.P. Prossdorf. — Berlin: Springer-Verlag, 1986. — 528 p.

130. Miller C.M. Optical Fiber Splices and Connectors: Theory and Methods / C.M. Miller. Marcel Dekker, 1986. - 378 p.

131. Mittra R. Analisic of open dielectric waveguides using mode-matching technique and variational metods / R. Mittra, V. Jamnejad, Y. Hou // IEEE TVans. on MTT. -1980. V. 28. - № 1. - P. 36-43.

132. Muller C. Grundproblems der Mathematischen Theorie Elektromagnetischer Schwingungen / C. Muller. — Berlin: Springer, 1957. — 345 p.

133. Nosich A.I. On correct formulation and general properties of wave scattering by discontinuities in open waveguides / A.I. Nosich // Proc. of Int. Conf. Mathematical Methods in Electromagnetic Theory (MMET 90). Gurzuf, 1990. - P. 100-112.

134. Nosich A.I. Radiation conditions, limiting absorption principle, and general relations in open waveguide scattering / A.I. Nosich // J. Electromag. Waves Applicat. 1994. - V. 8. - № 3. - P. 329-353.

135. Neumaier A. Residual inverse iteration for the nonlinear eigenvalue problem / A. Neumaier // SIAM J. Numer. Anal. —1985. V. 22. -№ 5. - P. 914-923.

136. Pedreira D.G. A method for computing guided waves in integrated optics. Part I. Mathematical analysis / D.G. Pedreira, P. Joly // SIAM J. Numer. Analysis. 2001. - V. 39. - P. 596-623.

137. Reichardt H. Ausstrahlungsbedingungen fur die Wellengleihung / H. Reichardt // Abh. Mathem. Seminar Univ. Hamburg. — 1960. — V. 24. P. 41-53.

138. Rozzi T. Open Electromagnetic Waveguides / T. Rozzi, M. Mongiardo. London: IEE Publ., 1997. - 375 p.

139. Sammut R. Leaky modes on circular optical waveguides / R. Sammut, A.W. Snyder // Applied Optics. Feb. 1976. - V. 15. -№ 2. - P. 477-482.

140. Sammut R. Leaky modes on a dielectric waveguide: orthogonality and excitation / R. Sammut, A.W. Snyder // Applied Optics. — April 1976. V. 15. - № 4. - P. 1040-1044.

141. Sammut R.A. Comparison of leaky mode and leaky ray analysis of circular optical fibers / R.A. Sammut //J. Opt. Soc. Am. — 1976. — V. 66. № 4. - P. 370-371.

142. Shestopalov Yu.V. Logarithmic Integral Equations in Electromagnetics / Yu.V. Shestopalov, Yu.G. Smirnov, E.V. Chernoko-zhin. VSP, 2000. - 117 p.

143. Snyder A.W. Leaky-ray theory of optical waveguides of circular cross section / A.W. Snyder // Appl. Phys. 1974. - V. 4. - P. 273-298.

144. Snyder A.W. Anisotropic fibers with nonaligned optical (stress) axes / A.W. Snyder, A. Ankiewicz // J. Opt. Soc. Am. A. — June 1986. V. 3. - № 6. - P. 856-863.

145. Solbach K. The electromagnetic fields and the phase constants of dielectric image lines / K. Solbach, I. Wolff // IEEE Trans, on MTT. 1978. - V. 26. - № 4. - P. 266-274.

146. Splunter J.M. Computational analysis of propagation properties of integrated-optical waveguides using a domain integral equation / J.M. Splunter, H. Blok, N.H.G. Baken, M.F. Dane // Proc. URSI Int. Symp. on EM Theory. Budapest, 1986. - P. 321-323.

147. Steinberg S. Meromorphic families of compact operators / S. Steinberg // Arch. Rat. Mech. Anal. 1968. - V. 31. - № 5. - P. 372-379.

148. Urbach H.P. Analysis of the domain integral operator for anisotropic dielectric waveguides / Urbach H.P. // SIAM J. Math. Anal. — 1996. V. 27. - P. 204-220.

149. Wilczewski F. Bending loss of leaky modes in optical fibers with arbitrary index profiles / F. Wilczewski // Optics Letters. — July 1994. V. 19. - № 14. - P. 1031-1033.