автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Метод потенциалов простого слоя для спектральных задач теории диэлектрических волноводов

РГ6 од

/

На правах рукописи

КАРЧЕВСКИЙ Евгений Михайлович

МЕТОД ПОТЕНЦИАЛОВ ПРОСТОГО СЛОЯ ДЛЯ СПЕКТРАЛЬНЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ВОЛНОВОДОВ

05.13.18 - теоретические основы математического моделирования, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико • математических наук

КАЗАНЬ - 1997

Работа выполнена на кафедре прикладной математики Казанского государственного университета.

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук, доцент Н.Б.Плещинский.

доктор физико-математических наук, профессор Ю.Г.Смирнов, кандидат физико-математических наук, доцент Р.Р.Шагидуллин.

Ведущая организация: Московский государственный университет им. М.В.Ломоносова.

седании Диссертационного Совета Д 053.29.10 в Казанском государственном университете по адресу: 420008, г. Казань, ул. Университетская, 17, комн. 324, конференц-зал НИИММ им. Н.Г.Чеботарева.

С диссертадией можно ознакомиться в научной библиотеке университета.

Официальные оппоненты:

Защита состоится ¿/Г /V

на за

Автореферат разослан

1997 г.

Ученый секретарь Диссертационного Совета, кандидат физико-математических наук, доцент

Е.М.Федотов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. При исследовании задач теории дифракции и распространения электромагнитных волн в качестве основы математических моделей наиболее часто используются краевые задачи для уравнения Гельмгольца или систем таких уравнений в бесконечных областях.

Разработано большое количество методов решения спектральных задач теории диэлектрических волноводов, приспособленных для областей специальной формы: различные модификации метода частичных областей, лучевой' метод, метод нормальных волн и асимптотические методы. Для расчета волноводов с произвольным контуром поперечного сечения применялся метод согласования в копечпом числе точек, метод конечных разностей и вариационные методы.

Наиболее эффективные и универсальные алгоритмы решения краевых задач теории дифракции в бесконечных областях основаны на переходе к граничным интегральным уравнениям. В частности, метод интегральных уравнений широко применялся в работах Ю.В. Шестопалова, A.C. Ильинского, Ю.Г. Смирнова и др. при теоретическом исследовании и численном решении задач о собственных волнах щелевых и полосковых линий, в работах Eyges L., Gianino Р., E.B. Захарова, Х.Л. Икрамова, А.Н. Сивова, A.B. Малова, В.В. Солодухова, A.A. Чурилина -для расчета цилиндрических диэлектрических волноводов. Теоретического обоснования метода интегральных уравнений для расчета диэлектрических волноводов, по-видимому, до сих пор

з

проведено не было.

С точки зрения экономии вычислительных ресурсов наиболее эффективными являются интегральные уравнения, основанные на применении потенциалов простого слоя. Этот подход использовался, например, в работах В.В. Лробницы, В.А. Цецохо, С.И. Смагина, А.Г. Ярового при решении задач дифракции электромагнитных волн на проницаемых включениях в плоскослоистой среде, в работах В.П Шестопалова А.Е. Поединчука, Ю.А. Тучкина - при решении спектральных задач волнового рассеяния на незамкнутых экранах, A.C. Ильинского, Ю.Г. Смирнова - при решении задач дифракции электромагнитных волн на проводящих тонких экранах.

Настоящая диссертация посвящена применению метода потенциалов простого слоя для численного решения задач о собственных волнах цилиндрических диэлектрических волноводов, находящихся в однородной или плоскослоистой среде.

Цель работы состоит в разработке и теоретическом исследовании численных методов решения спектральных задач теории диэлектрических волноводов, основанных на использовании потенциалов простого слоя.

Методы исследования. Используются методы теории потенциалов, теории нелинейных спектральных задач, развитой в работах И.И. Гохберга, М.Г. Крейна, теории дискретной сходимости Г.М. Вайникко, О.О. Карма.

Научная новизна. На основе метода потенциалов простого слоя получены нелинейные спектральные задачи для систем

сингулярных интегральных уравнений, эквивалентные исходным спектральным задачам для уравнения Гельмгольца, исследованы вопросы локализации и дискретности спектра. Разработаны и исследованы проекционные методы численного решения нелинейных спектральных задач для соответствующих систем сингулярных иптегральных уравнений.

Практическая значимость. Методы, разработанные в диссертации, могут быть использованы для численного решения конкретных спектральных задач теории диэлектрических волноводов.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на Международной научной конференции, посвященной 100-летию Н.Г. Чеботарева (Казань, 1994 г.), Международной научной конференции АМСА-95 (Новосибирск, 1995 г.), Международной научной конференции, посвященной 90-летию Ф.Д. Гахова (Минск, 1996 г.), Международной научной конференции, посвященной 175-летию П.Л. Чебышева (Москва, 1996 г.), 51-ой научной сессии, посвященной дню радио (Москва, 1996 г.), Второй Казанской летней школе-копферепции "Алгебра и анализ" (Казань, 1997 г.), 7-м Международном симпозиуме "Методы дискретных особенностей в задачах математической физики" (Феодосия, 1997 г.), на отчетных конференциях Казанского государственною университета 1992 - 1996 гг., на семи-паре "Вычислительная электродинамика" Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова (руководители - А.Г. Свешников, A.C. Ильинский), на семинаре кафедры вычи-

слительной математики Казанского государственного университета (руководитель - А.Д. Ляшко), на семинаре "Математические модели интегральной оптики" кафедры прикладной математики Казанского государственного университета (руководитель - Н.Б. Плещинский).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 9 работах.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы, содержащего 95 наименований. Общий объем работы - 107 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении описывается состояние проблемы, обосновывается актуальность темы диссертации, кратко излагаются основные результаты работы.

В первой главе исследуются спектральные задачи теории диэлектрических волноводов.

В §1.1 приводятся постановки рассматриваемых в диссертации задач. Задачи о собственных волнах диэлектрических волноводов формулируются как спектральные задачи для уравнения Гельмгольца на плоскости (или систем уравнений Гельмголь-ца) с коэффициентами, зависящими от спектрального параметра. При каждом фиксированном значении спектрального параметра коэффициенты уравнений Гельмгольца являются кусочно-постоянными функциями показателя преломления среды. Решения этих задач должны удовлетворять соответствующим условиям излучения и условиям сопряжения, связывающим искомые

в

фупкции, их нормальные и касательные производные на границах раздела сред. Рассматриваются четыре задачи.

Задача I - задача о собственных волнах цилиндрических диэлектрических волноводов в однородной среде в полной электродинамической постановке. Отличительной особенностью задачи является наличие касательных производных в условиях сопряжения, связывающих на границе поперечного сечения цилиндра две неизвестные потенциальные функции. Разыскиваются поверхностные волны. Это означает, что искомые функции должны экспоненциально убывать на бесконечности.

Задача II - задача о собственных волнах цилиндрических диэлектрических волноводов в предположении достаточной близости показателей преломления волновода и окружающей среды. Это упрощающее предположение делает задачу однопотеп-циальной. Окружающая волновод среда считается однородной. Разыскиваются решения, экспоненциально убывающие на бесконечности.

Задача III - задача о собственных поляризованных волнах диэлектрических полосковых волноводов (цилиндрических волноводов в плоскослоистой среде). Упрощающее предположение о поляризации электромагнитного поля позволяет сформулировать эту задачу относительно одной неизвестной функции. Отличительной особенностью задачи является то, что окружающая волновод среда состоит из двух параллельных слоев диэлектрика с различными показателями преломления, и, следовательно, условия сопряжения должны выполняться не только на границе

V 7

поперечного сечения волновода, но и на соответствующей прямой. Решение задачи должно быть ограниченным, когда радиус-вектор стремится к бесконечности по направлению, параллельному этой прямой, и экспоненциально убывать при стремлении к бесконечности по любому другому направлению.

Задача IV - задача о собственных волнах диэлектрических полосковых волноводов в предположении, что показатель преломления цилиндра достаточно близок к показателю преломления окружающего его слоя и сильно отличается от пoкaзaтeлí преломления другого слоя. Эти упрощающие предположения позволяют сформулировать задачу относительно одной неизвест ной функции. На прямой, разделяющей слои, решение должнс обращаться в нуль. На границе поперечного сечения цилиндре должны выполняться условия сопряжения. На бесконечности ре шение должно экспоненциально убывать.

В §1.2 показано, что собственные значения задач II - IV мо гут лежать лишь в некотором интервале вещественной оси, опре деляемом показателями преломления волновода и окружающее среды. Доказывается, что в интервалах локализации собствен ных значений задач II - IV существуют такие значения искомог спектрального параметра, которым могут соответствовать лиш нулевые решения этих задач.

В §1.3, имеющем, в основном, реферативный характер, при водятся функции Грина краевых задач для уравнения Гельмголь ца, которые в дальнейшем используются при сведении задач I IV к нелинейным спектральным задачам для систем сингулярны

интегральных уравнений.

В §1.4 на основе представления искомых функций в виде потенциалов простого слоя с ядрами в виде соответствующих функций Грина задачи II - IV сведены к нелинейным спектральным задачам для систем интегральных уравнений с логарифмической особенностью. Центральное место в этом параграфе занимает исследование эквивалентности этих задач. При этом под эквивалентностью понимается следующее: пусть для некоторого значения искомого параметра система интегральных уравнений имеет нетривиальное решение из класса непрерывных по Гельдеру функций, тогда для того же значения параметра исходная краевая задача имеет нетривиальное регулярное решение, и наоборот. Доказательство прямого утверждения базируется на теореме о единственности решения интегрального уравнения первого рода, порождаемого потенциалом простого слоя. Эта теорема распространена в диссертации на случаи, характеризующиеся специфической неоднородностью неограниченной области. Установленные свойства потенциала позволяют заключить, что, если при некотором значении искомого параметра исходная краевая задача имеет лишь тривиальное решение, то соответствующая ей система интегральных уравнений при том же значении параметра имеет лишь тривиальное решение. Отсюда непосредственно вытекает требуемый результат.

Доказательство обратного утверждения, то есть того, что, если при некотором значении спектрального параметра существует нетривиальное регулярное решение исходной краевой за

дачи, то при том же значении этого параметра у соответствующей системы интегральных уравнений существует нетривиальное решение из класса непрерывных по Гельдеру функций, представляет определенную трудность. Предварительно доказывается, что при постав ленном условии любое решение исходной краевой задачи представимо в виде потенциалов простого слоя с соответствующими ядрами и гельдеровскими плотностями. Доказательство проводится на основе теорем единственности решений задач Дирихле и Неймана и отмеченных выше свойств потенциалов простого слоя.

Задача I сведена к нелинейной спектральной задаче для вещественных сингулярных интегральных уравнений с ядром Ко-ши, удобной для численного решения. Вещественность системы достигается за счет использования в качестве ядра потенциала простого слоя при представлении решения в ограниченной области вещественной части функции Грина. Использование вместо функции Грина ее вещественной части в интегральных представлениях решения задачи I позволяет значительно экономить машинное время, но при этом могут возникать лишние решения: некоторым значениям искомого параметра могут отвечать нетривиальные решения системы интегральных уравнений и только нулевые решения исходной краевой задачи. В §1.4 получено достаточное условие того, чтобы нетривиальным решениям построенной системы интегральных уравнений соответствовали нетривиальные решения задачи I.

В §1.5 доказывается, что спектр задач II - IV в некоторой

окрестности Л комплексной плоскости интервала локализации спектра на вещественной оси может состоять лишь из изолированных точек. Этот результат используется в дальнейшем для обоснования методов расчета точек спектра. Доказательство основывается на теореме И.II. Гохберга, М.Г. Крейна об изолированности сингулярных точек фредгольмовой голоморфной оператор-функции при наличии в области ее голоморфности хотя бы одной регулярной точки. При этом построенные в §1.4 системы интегральных уравнений, эквивалентные задачам II -IV, оказывается удобным трактовать как операторные уравнения вида

А(р)у=(1 + вту = 0 (1)

в гильбертовом пространстве Я = М^1 х Здесь /3 - искомый спектральный параметр.

Сведение систем интегральных уравнений первого рода к фредгольмовым операторным уравнениям осуществляется с помощью известной процедуры регуляризации. Основную трудность при применении теоремы И.II. Гохберга, М.Г. Крейна представляет проверка наличия хотя бы одной регулярной точки исследуемой оператор-функции в области ее голоморфности и фредгольмовости. Доказательство соответствующих фактов опирается на то, что в интервалах локализации собственных значений задач II - IV существуют такие значения спектрального параметра, которым могут соответствовать лишь нулевые решения этих задач (§1.2), и на эквивалентность задач II - IV спектральным задачам для систем интегральных уравнений.

И

Вторая глава посвящена построению аппроксимаций нелинейных спектральных задач для систем сингулярных интегральных уравнений при помощи метода Галеркина, исследованию сходимости этого метода и решению конкретных задач теории диэлектрических волноводов.

В §2.1 описывается метод Галеркина решения нелинейных спектральных задач для систем интегральных уравнений первого рода с логарифмической особенностью. При построении и исследовании численного метода эти системы удобно трактовать как операторные уравнения вида (1), что соответствует аналитическому выделению особенности ядер. В качестве базисных -используются тригонометрические функции. Приближенные значения /?„ постоянных распространения ¡3 определяются как нули определителей соответствующих матриц Ап(/3), где п количество базисных функций.

В §2.2 исследуется сходимость метода Галеркина. Пусть ст(А) - множество сингулярных точек оператора А. Доказывается, что если 0о 6 &{А), то существует такая последовательность ¡Зп 6 сг(Ап), что /?„ —► /?0. Если {/Зп} - некоторая последовательность точек из Л такал, что /?„ Е о~(Ап), {Зп —► Ра € Л, то /?о € Если {/?„} - некоторая последовательность точек из Л и {я,,} - некоторая последовательность нормированных векторов, ||:гп|| = 1 таких, что ,вп € а{Ап), Ап(рп)хп = 0, /За —► ¡30 € Л, хп —> ж0, тс Д, € а{А) и А{ра)х0 = 0, ||х0|| = 1.

Доказательство этих фактов опирается на результаты Г.М Вайникко, О.О.Карма.

В §2.3 на основе метода Галер юта строится аппроксимация системы интегральных уравнений с ядром Коши, соответствующей задаче I. В качестве базисных - используются тригонометрические функции. Интегральпые операторы с ядром Коши при помощи интегрирования по частям предварительно сводятся к интегродифференциальным операторам с ^логарифмической особенностью. Логарифмические особенности ядер выделяются аналитически.

В §2.4 приведены результаты численных экспериментов. Решается ряд конкретных спектральных задач теории диэлектрических волноводов. Полученные результаты сравниваются с экспериментальными данными и результатами расчетов другими методами.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1. Получены нелинейные спектральные задачи для систем сингулярных интегральных уравнений, удобные для практического решения задач о собственных волнах диэлектрических цилиндрических и полосковых волноводов.

2. Установлена эквивалентность этих задач исходным спектральным задачам для уравнения Гельмгольца, исследованы вопросы локализации и дискретности спектра.

3. Разработан проекционный метод численного решения нелинейных спектральных задач для систем сингулярных интегральных уравнений. Доказана его сходимость.

4. Показана практическая эффективность предлагаемого метода путем сравнения решений ряда конкретных задач теории

диэлектрических волноводов с результатами, полученными другими методами, и экспериментальными данными.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Карчевский Е.М. О фундаментальных решениях уравнения Гельмгольца для плоскопараллельных слоистых сред// Казан. ун-т. Казань, 1994. 19 С. Деп. в ВИНИТИ 27.05.94. N 1307-В94.

2. Карчевский Е.М. О направляемых модах полоскового диэлектрического волповода//Тезисы докладов международной научной конф., поев. 100-летию Н.Г. Чеботарева. Казань, 1994. Часть 2. С. 203.

3. Karchevskii J.M. Iterative Algorithm of Calculating Constants of Propagation of Guided Modes of Strip-Line Dielectric Waveguide// Abstracts of International conference "Advanced Mathematics, Computations and Applications (AMCA-95)". Novosibirsk, 1995. P. 151.

4. Карчевский Е.М. Об одном методе расчета постоянных распространения собственных волн диэлектрических волноводов/ /Материалы международной конференции и Чебышевских чтений, посвященных 175-летию со дня рождения П.Л.Чебыше-ва. М.: Изд-во мех.-мат. факультета МГУ, 1996. Том 1. С. 185 - 187.

5. Карчевский Е.М. Об определении постоянных распространения собственных волн диэлектрических волноводов методами теории потенциала//Тезисы докладов 51-й научной сессии., поев, дню радио. Москва, 1996. Часть 2. С. 47.

6. Плещинский Н.Б., Карчевский Е.М., Косолапова А.В.,

Гумаков Д.Н. Краевые задачи и интегральные уравнения в математических моделях элементов интегральной оптики//Краевые задачи, специальные функции и дробное исчисление. Труды международной конференции, посвященной 90-летию со дня рождения академика Ф.Д. Гахова. / Под редакцией A.A. Килбаса. Минск: Белгосуниверситет, 1996. С. 288 - 292.

7. Карчевский Е.М. Метод потенциалов простого слоя для спектральных задач теории диэлектрических волноводов// Алге-5ра и анализ. Материалы конференции, посвященной 100-летию :о дня рождения Б.М.Гагаева. Казань: Изд-во Казанского математического общества, 1997. С. 110.

8. Карчевский Е.М. Метод потенциалов простого слоя в спектральных задачах теории диэлектрических волноводов//Методы дискретных особенностей в задачах аэродинамики, электродинамики и теории дифракции. Труды 7-го Международного симпозиума МДОЗМФ-97. Херсон: ХГТУ, 1997. С. 192 - 194.

9. Карчевский Е.М. Об определении постоянных распространения собственных волн диэлектрических волноводов методами теории потенциала//Ж. вычисл. матем. и матем. физ. (в течати).

Сдано в набор 02.09.97 г. Подписано в печать 05. 09. 97 г. Форм. бум. 60 х 84 1/16. Печ. л. 1. Тираж 100. Заказ 226.

Лаборатория оперативной полиграфии КГУ 420008 Казань, Кремлевская, 4/5