автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическая модель дифракции электромагнитных волн на плоском периодически гофрированном диэлектрическом волноводе

На правах рукописи

САГИТОВ Юрий Хамитович

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДИФРАКЦИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН НА ПЛОСКОМ ПЕРИОДИЧЕСКИ ГОФРИРОВАННОМ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ВОЛНОВОДЕ

Специальность: 05.13.18 - математическое моделирование,

численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

• Саранск, 2005

Работа выполнена на кафедре «Общая и теоретическая физика» Тольяттинского государственного университета Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор A.M. Зюзин

доктор физико-математических наук, профессор Ю.Б. Малыханов

кандидат физико-математических наук, доцент Д.И. Бояркин

Самарский государственный аэрокосмический университет им. С.П. Королёва

Защита состоится «26» октября 2005 г. в 14 ч. 00 мин. на заседании диссертационного совета КМ 212.117.07 по присуждению учёной степени кандидата физико-математических наук в Мордовском государственном университете им. Н.П. Огарёва по адресу: 430000, г.Саранск, ул.Болыпевистская, 68.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Мордовского государственного университета.

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

Автореферат разослан 23 сентября 2005 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета

кандидат физико-математических наук

JI.A. Сухарев

m ss

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ИССЛЕДОВАНИЯ

Актуальность темы. Исследование распространения и рассеяния волн в неоднородных средах уже много лет остаётся актуальной задачей теоретической физики. Важность этой задачи определяется широким практическим применением волновых процессов различной природы для связи, локации, дистанционного мониторинга природных сред, в качестве мощного средства лабораторного исследования, при создании квантовых генераторов - лазеров и т.д.

Волны различной природы, как правило, распространяются в естественных и искусственно созданных структурах, имеющих характерные особенности волноводов - радиоволны в атмосфере, световые волны в оптических волокнах и т.д. Волновое поле в волноводах является многомодовым со сложным механизмом обмена энергии между его модами.

Задачи об излучении и отражении света на гофрированном участке волновода исследовались в работах Зленко A.A., Киселева В.А., Прохорова A.M., Спихальского A.A., Сычугова В.А. В частности, авторами получены результаты, относящиеся к одновременному излучению и отражению поверхностной световой волны на гофрированном участке волновода с периодом, удовлетворяющим условию Брэгга в среде: коэффициент отражения близок к единице при условии проведения расчетов для волновода без потерь и без усиления; в реальных волноводах с потерями коэффициент отражения меньше единицы; отношение выведенной из гофрированного участка мощности к мощности, падающей на этом участке, максимально при коэффициенте отражения 0,3 -0,4.

Задача о дифракции направляемой моды на периодически гофрированном участке плоского диэлектрического волновода представляет большой интерес в связи с проблемой создания распределенных брэгговских зеркал. Ей посвящены исследования Алферова Ж.И., Казаринова Р.Ф., Маркузе Д., Суриса P.A., Соколовой З.Н., Шевченко В.В. и др.

В работах H.H. Мартынова при помощи метода усреднения решена система уравнений поперечного сечения в частном случае слабого изменения амплитуды мод в пределах одного периода гофрировки. Показано, что амплитуды направляемых мод приближенно удовлетворяют системе уравнений связанных волн.

Математическая модель распространения и дифракции волн в волноводах с учётом начальных и граничных условий представляет, как правило, систему интегральных или интегро-дифференциальных уравнений.

Целостная теория систем уравнений такого типа не создана, а существующие методы решения применимы для частных случаев интегральных и интегро-дифференциальных уравнений.

Обычно, при аналитическом решении задач распространения и дифракции волн в волноводах, используются приближённые методы: усреднения; теория возмущения; апроксимации; разложения по малому параметру и другие,

'-■..НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА ,

J-3- С.П«ч>вургУ/{/|

которые при всей своей продуктивности, имеют ряд существенных недостатков: ограниченность применения; не инвариантность в применении - малейшее изменение какого-либо параметра приводит к возобновлению аналитических расчётов с самого начала; вынужденное упрощение механизма обмена энергии между модами; возможность, как правило, только качественного сопоставления теоретических результатов с экспериментальными данными.

Таким образом, актуальной становится задача разработки теории сведения системы интегро-дифференциальных уравнений с интегралами типа Коши математической модели дифракции электромагнитных волн в оптических волноводах к системе из двух дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка, теория и методы исследования которых хорошо развиты.

Целью данного исследования является задача разработки теории сведения системы интегро-дифференциальных уравнений математической модели дифракции электромагнитных волн в оптическом плоско симметричном однородном волноводе переменного сечения к системе ингегро-диффе-ренциальных уравнений с интегралами типа Римана, с последующим её преобразованием к системе дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка и, в частном случае волновода со ступенчатым профилем, сведение её к системе из двух обыкновенных однородных дифференциальных уравнений первого порядка и, двум не связанным между собой дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка.

* При создании данного метода не должны вводится дополнительные ограничения на физические величины, характеризующих рассматриваемый процесс, чтобы в дальнейшем не сужать область его применения, к примеру, для случаев различных волноводов в многомодовом режиме распространения и дифракции электромагнитных волн.

Научная новизна:

1.Получена математическая модель явления дифракции электромагнитных волн на участке переменного сечения плоско симметричного диэлектрического волновода в виде системы из 4-х интегро-дифференциальных уравнений относительно нулевых чётных амплитуд падающей и отражённой волн дискретного спектра и чётных амплитуд падающей и отражённой волн непрерывного спектра.

2.Выведена формула двукратной интегральной свёртки.

3.Разработан метод, основанный на применении двукратной интегральной свёртки, посредством которого удалось установить математическую связь между обобщёнными амплитудами дискретного и непрерывного спектров. Полученные соотношения позволили свести систему из 4-х уравнений к системе из двух интегро-дифференциальных уравнений с интегралами типа Римана.

4.Разработан метод преобразования системы из двух интегро-дифференциальных уравнений с интегралами типа Римана к системе дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка.

5.Границы профиля периодически гофрированного ступенчатого волно-

вода были описаны обобщёнными функциями Хевисайда.

6. Для ступенчатого волновода - волновод с таким профилем исследуется впервые - система из двух дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка была сведена в одном случае - горизонтальные участки волновода - к системе из двух обыкновенных однородных дифференциальных уравнений первого порядка, а в другом - вертикальные участки волновода - к двум не связанным между собой дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка.

7.Найдены решения полученных систем уравнений.

8.Решена задача граничных условий данного волновода - непрерывность падающей и отражённой волн в точках перехода от горизонтальных участков волновода к вертикальным.

9.Найдены явные выражения для амплитуд падающей и отражённой волн в независимости от глубины гофрировки для одного периода.

Ю.Получены аналитические выражения для коэффициентов прохождения, отражения и излучения для ступенчатого волновода в независимости от глубины гофрировки и номера брэгговского резонанса.

11 .Проведены исследования зависимости отражательных характеристик ступенчатого волновода в зависимости от числа периодов ступенчатого волновода.

12.Исследована спектральная_зависимость коэффициента отражения.

Практическая значимость изложенных в диссертации результатов заключается в том, что данный метод применим при исследовании задач дифракции электромагнитных волн на структурах более сложного типа: оптические волокна с различным профилем сечения, в том числе - прямоугольным, оптические среды с переменным показателем преломления и т.д. Основное условие применимости данного метода - математическая модель исследуемого явления должна быть представлена в виде системы интегро-дифференциальных уравнений относительно связанных между собой физических величин двух типов: дискретных и непрерывных.

Кроме того, практическую ценность работы составляют результаты, которые могут быть положены в основу дальнейших исследований волновых процессов различной природы.

На защиту выносятся:

1 .Математическая модель явления дифракции электромагнитных волн на участке переменного сечения плоско симметричного диэлектрического волновода в виде системы из четырёх интегро-дифференциальных уравнений относительно нулевых чётных амплитуд падающей и отражённой волн дискретного спектра и чётных амплитуд падающей и отражённой волн непрерывного спектра.

2.Новый метод решения системы из четырех интегро-дифферен-циальных уравнений, основанный на применении двукратной интегральной

свёртки и, сводящий её к системе из двух интегро-дифференциальных уравнений.

3.Метод преобразования системы из двух интегро-дифферен-циальных уравнений с интегралами типа Римана к системе дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка.

4.Метод решения системы из двух дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка для ступенчатого волновода.

5.Метод решения задачи граничных условий в точках перехода ступенчатого волновода.

б.Численный анализ отражательных характеристик ступенчатого волновода при различных глубинах гофрировки и разных номерах брэгговского резонанса, а также спектральная зависимость коэффициента отражения.

Достоверность результатов исследования обеспечивается адекватной реальному процессу дифракции математической моделью, согласием аналитических результатов для случаев ступенчатого волновода с ранее известными формулами для более простых оптических моделей, соответствием численных расчётов с аналогичными ранее опубликованными результатами.

Апробация результатов. Результаты исследования докладывались на научном семинаре кафедры математической физики Mill У (1988; 2000); на научном семинаре кафедры физики Тольяттинского политехнического института (1999); на научном семинаре Средневолжского математического общества - (Сарайек, 2002; 2005), на Всероссийской и"Международной научной конференции (Тольятти, ТГУ, 2003 г.), на научном семинаре института Физики и химии Морд.ГУ (Саранск, 2005).

Публикации. По теме диссертации опубликованы 5 работ.

Структура диссертации определена логикой и последовательностью решения задач исследования. Она состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложения. Общий объём диссертации - 101 страница. Список литературы содержит 60 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность диссертационного исследования, намечены цель и основные задачи, определены методы исследования, раскрыты новизна, научная и практическая значимость работы, сформулированы результаты, выносимые на защиту.

В первой главе «Математическая модель дифракции электромагнитных волн на плоском симметричном диэлектрическом волноводе переменного сечения» в начале рассматривается плоский однородный диэлектрический волновод постоянного сечения. Предполагается, что диэлектрический слой неограниченно простирается в направлении осей z и у, при распространении электромаг-

нитных волн вдоль оси г. В качестве внешней, по отношению к волноводу, среды является воздух: п2 = 1, п,>п2.

Если в качестве материала волновода взять вещество с относительной диэлектрической проницаемостью е, = 2, то дисперсионное уравнение Xv tgiXv = при выполнении неравенства где b = b(z) - полуширина

волновода, становится эквивалентным двум уравнениям Х0 = cos(%0 ■ b), где Хч =^2-и0г ■ р0=ат{х0 Ь), где р0 =1/м02-1 (1)

Po2+Zo =1

Такие значения подбирались умышленно, чтобы в волноводе распространялась только одна, причём чётная дискретная мода, поэтому из дальнейшего рассмотрения выводятся не только нечётные дискретные моды, но и нечётные составляющие для непрерывного спектра.

Предлагаемое требование к диэлектрическим свойствам материала волновода позволит упростить последующие математические процедуры, т.к. Р о и Хо будут определяться из собственных дисперсионных уравнений, что позволит в конечном итоге провести анализ общих закономерностей дискретно одномодовой дифракции электромагнитных волн на плоском волноводе в аналитическом виде с минимальным привлечением приближённых методов.

При других значениях абсолютных показателей преломления последнее равенство станет не возможным.

Исследование дифракции на участке переменного сечения плоского волновода при других значениях показателей преломления, а также при учёте поглощения в веществе волновода, остаётся за рамками данной работы. При этом необходимо отметить, что изменения и, и и2 не приведёт к существенной корректировки самой идеологии метода, а усложнит лишь его математическую реализацию.

Первый и второй параграфы посвящены нахождению нулевой дискретной

моды

I \ I 2-р0 [cos(y0 х), при 0<хйЬ

и чётной моды непрерывного спектра

,- Í а■ cos(%■ *), при 0 <х<Ь

^■'■ííF^-t-Síiri^i)''-<3)

В третьем параграфе даётся решение уравнения Гельмгольца в общем виде, т.е. для случая дифракции электромагнитных волн в плоском однородном симметричном диэлектрическом волноводе переменного сечения

d2f{z,x) дг/(г,х) , ч х . ...

fe2 дхг +£vz)-/M»0 (4)

Функцию /(г, х), как решение уравнения Гельмгольца, и её первую производную по переменной г , представим в виде разложения по модам плос-

вз

кого волновода, т.е. /(г,х)=(л0 +Оа)-у/0 + + ¿ст,,

о

«г о

где л0 =Л(2)> <5о = °о(2)> = 0 = 0(7,0-,) - амплитуды падающей и отра-

жённой волн дискретного и непрерывного спектров, а у/0 = у/0 (г, х), ^ = - функции дискретного и непрерывного спектров плоского волновода с постоянным сечением равным сечению переменного волновода с данной координатой г.

В итоге придём к системе интегро-дифференциальных уравнений для амплитуд падающей и отражённой волн дискретного и непрерывного спектров:

1 00

+ ---(Ни, +и0)ч4 + (и, -"о) -^сг,

2-й. о

2-м0 2'"о о

2-м

—— • |[(м + ы1)-^+(м-«,)-С]-У(г,(т,<т,)^а| 2-м 0

= [(и-«0)-^0+(« + и0)-С0] 2-и

1 *

2-М ' (5)

Следовательно, вопрос о решении уравнения Гельмгольца для плоского однородного симметричного волновода переменного сечения (4), сводится к задаче нахождения амплитуд падающей и отражённой волн нулевого дискретного непрерывного спектров, определяемых из системы четырех интегро-дифференциальных уравнений (5).

В четвёртом параграфе приведен расчёт коэффициента связи между дискретными и непрерывными модами J0{z,a):

у (- д-)= и'а)-соэ^■ ¿(г) ^

В пятом параграфе приводится расчёт коэффициента связи между непрерывными модами J(z,ег,а,):

^а^.рЪ^Щ^кМ (9)

СУ, —(7

где знак " Р" означает главное значение интеграла.

Система интегро-дифференциальных уравнений, описывающих дифракцию электромагнитных волн на участке волновода с переменным профилем сечения, в окончательном виде

2-щ 2-и0 ¡сг'+Рок)

2-и0 2-и0 >о +Ро (г)

2-и-[ет +р„

2 и а,-а

2'и-[ет2+р0 (г)]

+

2-й 0 V,

(10)

Во второй главе «Сведение системы интегро-дифференциальных уравнений дифракции электромагнитных волн на волноводе переменного сечения к системе дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка» приведено преобразование системы четырёх интегро-дифференциальных уравнений, полученных в первой главе, к системе интегро-дифференциальных уравнений с интегралами типа Римана, с последующим её сведением к системе дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка.

В первом параграфе были введены обобщённые дискретные и непрерывные моды

у0(2)=[Л(г)+с0(г)]-«0(г) Х(г,а)=А(г,<т)+0(г,<т) У{2,а)=[А{2,а)+С(г,а-)]и

Затем, для обобщённых мод непрерывного спектра, была введена замена переменных

Х{г,а) =

уМ--

хМ

УМ

Система интегро-дифференциальных уравнений, относительно новых переменных приняла вид

г (<7}+Р2о/2

V Л. I и2 у — т и а )-У,(г,о) , Гд+1-и0 ■ л0 -%-Ь- -т--йа

« (сг'+р}Г

у'о-Х,-Ь а-<р0-д>-Х„-Ь

2-(егг + р20) + сг

^ +Р'> 'Ч Г {, лЛа'

+Ро ~<* ]

(13)

2-(о! + р1) ^^Гр!

ГГ, 2 • "го-. <р(г,о-,)-У,(г,(7.)

о^а, +р0 [а, -а- ) К третьему и четвёртому уравнениям данной системы было применено двойное интегральное преобразование- - вначале косинус-преобразование Фурье, а затем - одностороннее преобразование Лапласа (приводтся только на примере 4-го уравнения)

I <Г +Р5 0 а +Р1

2 о (о>+Р1)а

гр+^Т

■гт^(г,(т)-У1(г,ст)

•Жг

}сг1 -^(г.о-^-^Сг.о-,) ^ _о (<7, -о-2)

Затем, амплитуды обобщённых непрерывных мод Л^о-) и К, (г, а) были представлены в виде интегрального соотношения, которые вводились с точностью до неопределённых множителей Ф{г,а]

(15)

! а\~°

К уравнению (14), после подстановки (15), была применена формула интегральной свёртки

~гег Р(сг) с/а "га ф(а) с/сг _ I а2 + р0* I а2+р„2

о-, Г(о-,) ¿сг, ,

;<г + Ро 1о <г;-о1 о О", -а2 ] После чего, данное уравнение приводится к виду

А I- , ' " ' ав ■ I-.

■Ро ^ <7+ Ро

у-Ф(г,а)-7,(1, а) 1 '.а-ФГг.^-Г/г.а; ^ + ' О +Ро I ° +Ро

(17)

Сопоставление полученного результата со вторым уравнением из (13), позволило получить интегральную связь между У „(г) и /Дг.ст) (аналогичные рассуждения справедливы и для Х^г), Х,(г,о-))

р

а + р„

-д.а

'га.Цх,*)■¥,(*,е)^ I а +Ро

Введённые соотношения (14) и, полученные формулы (18), позволяют утверждать, что систему из четырёх интегро-дифференциальных уравнений удалось свести к системе из двух интегро-дифференциальных уравнений

О (<т2 + Р1)А У0+1-и20-Х0=<р0-Ь- \ \ ¿а

I (а2+р1)/2

5 +Ро

(18)

(19)

<т-Ф(г,(т)-У1(2,<т)

го щг.сг)■

(1(Т

о " <■ Ро

Третий параграф данной главы посвящён нахождению явного вида подынтегрального множителя Ф(г,а)

<Ро (г)

(20)

В четвёртом параграфе система из двух интегро-дифференциальных уравнения, благодаря независимости обобщённых амплитуд X,(г,а) и ¥,(г а-) от р„, преобразована в систему из двух дифференциальных уравнения первого порядка в частных производных

1-р!о-2Ро-{1 + Ро-Ь)

Ро-О+Рв-Ь.

1 + р0Ь

Хо{Ь,р,)л

где

, >-Р2о

1 + Ра-Ь

г{ь,ро)=фй-дРо

Ь(г)

1~р1-2р1-{1 + р0Ь)

Ро ■ {1+Ро-ъУ

■Ь{г)

Уо(Ь,РоЬ

Далее, во второй главе рассматривается применение системы уравнений (21) для частного случая - ступенчатого волновода, когда данная система уравнений преобразуется в одном случае, к системе двух обыкновенных однородных дифференциальных уравнений первого порядка, в другом к системе двух не связанных между собой дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка

Пятый параграф посвящён нахождению решения системы уравнений (21) для горизонтальных участков ступенчатого волновода (рис.1), когда полуширина волновода равна

ь, при

ъ> при

ь, при

{п-1)-Н<2<[п^.Н

<г<п-Н

п-Н <г<\ и + — 1-Я 2

где п - номер периода.

(22)

к

1 к J к

3 6 ь,

1 ) 4 1 к ¿2 ' 5 и.......—

(я-\)'П (п-0.Ь)-Н п-Н рис. 1

(д+0.5 )-Н

Система уравнений (21), т.к. ¿(г)=0, упрощается до системы обыкновенных однородных дифференциальных уравнения первого порядка с посто-

(24)

янными коэффициентами

X0j{b(z),u0j)+i Y0J(b(z),u0j)+ /• < ■ (ft(z),

где u0j = ^l + sin2(Jl^l-bj = comt, j = 1,2.

Решение которой, очевидно,

(X0J = a • ехр(/ • uc ■ z)+ g • exp(- i • m0j • z) 1Л = Щ] ■ [a ■ exp(/ ■ м„; • z)- g • exp(- / • м0; • z)] Для падающей и отражённой дискретных мод, согласно (10), имеем

j Aoj = а-ехр(/ u0j-z) \G0j=g-exp(-i-uOj z)

где a, g - амплитуды падающей и отражённой волн на горизонтальных участках волновода.

Шестой параграф посвящен нахождению решения системы уравнений (21) для вертикальных участков ступенчатого волновода, когда полуширина волновода равна

b(z)=(b,-b2) (n-l)-H <z<n-H

+ 6,

(26)

n-L\H<z<L+L\H

, ч ГО при г < 0 , где п - это номер, рассматриваемого периода, а ш)=\ - функ-

[1 при г > 0

ция Хевисайда.

В системе уравнений (21) перейдём от производной по переменной г от обобщённых дискретных мод к производным попеременной от Ь(г), т.е.

ахШрЖ*))] = \°хХь,РМ + дх0[ь,РМ. ФЛ.6(г)и ^ [Ь р (й)1+

сЬ 1 дЬ др„ гй> | 0 ' 0

=+К[ь,рМ-рМ■ b{z)^\xo[b,p0{b)Vb(z)

аШрМ*ЪАэг,\ь,рМ.мв]ь.рМ Ь(:)-1у\ъ и

dz [8b 8р0 db \

= + Y'Xb.pM-РМЩ = AW1+ (ft)]-^^J ¿(г)

(27)

где

f(b,Po) = f(b,Po)-

df(b,P„) _ dftb.P,,)'

Spo

бкЫь,-ьгу

п-1)Н <2<П-Н Г

6(2 -20)^т)(2-2а) - дельта-функция Дирака Подставим (27) в систему уравнений (21)

х„{ъ,р,)-ь{2)+1-иь,р„)=

^Ц^Щ^-ХЛЬ.Р,,)* р0-{1 + р„-Ьу

¡-р1

2-(1+Ро-Ь) ЦЬ,р«)-Ь{2)+1{1+р!1)-Х1){Ь,р„)= , 1-р«

Х'„(Ь,ра)

щ

1-р1-2-р1-{1 + р»-Ь)

Ро-О + Ро-ЬУ

ф.р,,)-

(28)

у,:{ь.Ро)

щ

2(1 + Ро-Ь)

Проинтегрируем по всей длине волновода. Согласно свойствам дельта-функции, мы получим выражения только для значений координаты г = , соответствующих вертикальным участкам волновода, причём слагаемые, не имеющие в качестве множителя единичную импульсную функцию, вклада в интеграл не дадут, следовательно,

■ хЦь.р,)

р0-(1 + р0-ЬУ 2-(! + р0Ь)

Ро\1 + РоЬ) 2-(1 + р0-Ь)

где ие(/,,Л) при г =

[Й € (Ьд ,Л|) при 2 = П-Н

Система уравнений (29) - это система не связанных между собой диф ференциальных уравнений в частных производных первого порядка с абсолютно одинаковой структурой. Решение этих уравнений будет отличаться только неизвестными постоянными:

(29)

X.

1 + Ри-Ь

Ро

С,1п

С3-1г,

(30)

, ! + р„ ь

Ро 'v ~р»)2 где Си С2, Сз, С4 - константы.

Вернёмся к физически определённым дискретным модам падающей и отражённой волны, которые найдём согласно формулам (11)

А-

1 + Ра-Ь

2-р0-и0-(\-р1}2

(С,-«„+С,)-1п

г-Ро-ио'О-Ро)3

ь+р0

Ь + Рй

Ро

+ с2 -и0 +с4

(31)

В первом параграфе третьей главы «Отражательные характеристики плоского диэлектрического волновода со ступенчатой гофрировкой» исследуются граничные условия, возникающие на таком волноводе, которые в итоге сводятся к линейной алгебраической системе уравнений

а

я, •(«,+<*)• с, „+(«,+/?) с2„ 5г(и,-а)-С,„ + (и,-/?)-С„

С/»-; =:

4.''''"'" = й'&'(«*+ «)■ С,„+(и2 + р) С2л] 02„ • е-"к, • (и, -а)-С, „ + (и, -/?)■ С2„]

4,-Й г

- —

■ (и, + г)' С, „ + («, + 0)-С,„]

(32)

где

Н<п-0 5)

б

Зл

а=

1 + РгЬ, 2-иг^Р^

1 + РуЬ, 2-и!;{1-рф Ь, + Р,

= р:-/и

Ь; +

а2„,<7,„ g,„ ~ амплитуды прошедшей и отражённой волн на

соответствующих участках «п-го» периода волновода.

Равенство нулю восьмого уравнения из (32) обусловлено тем, что «п-ый» период, рассматривается как самостоятельная оптическая система, без учёта влияния на процессы в нём происходящие, со стороны других периодов волновода. Фактор взаимовлияния оптических процессов на различных периодах волновода будет, естественно, учтён в дальнейшем, но другим

способом.

Решив систему уравнений (32), получим явный вид для падающей и отражённой волн для «п-го» периода

_{и^1)7-ехр{!-0,5 Н)

Тй,

_^х-{и1,-])-ехр{1-0,5-Н)

(33)

4-и,

Второй параграф посвящен исследованию оптических характеристик ступенчатого волновода.

Коэффициенты прохождения и отражения для «п-ого» периода, как самостоятельной оптической системы

Т,= 2 16-и2, ■иг,-$1

А,»-, (и1+и:У.5/ + у.Б!

[.^ + .^-2-5, -5, -«к '(н

(ы,-м «-2.(^)4 л со.г{Н -и,)

(34)

В случае брэгговского резонанса, расстройка х = 1. Когда Ь2-*0

4-и,

'ЛИ

(35)

Обе формулы соответствуют результатам в случае прохождения волны через две границы: среда - воздух - среда.

Коэффициент прохождения как функция числа периодов, пройденных падающей световой волной, найдём следующим образом

Т =

Л,,

А„.

Ы"

к1

А»

= г/

(36)

Световые волны при брэгговском резонансе интерферируют внутри волновода. Этот факт мы учтём, использую следующую идею: волновод будем рассматривать как систему из «п» отражателей, в качестве которых выбираются - первый период; первый и второй периоды; первый, второй и третий периоды;...с первого по «п-ый» периоды. Относительная мощность отражения «п-ого» источника, очевидно, прямо пропорциональна его длине

= (37)

Относительная мощность отражённого излучения таких оптических систем должна подчиняться распределения Больцмана, т.е. средняя относительная мощность отражения волновода, состоящего из «И» периодов, будет равна

л,-!-«-*

Лу— ' -

Коэффициент излучения такого волновода

Ры=1-Тн-Я,

N

N N

(39)

Основываясь на формулах (36), (38) и (39) было проведено исследование зависимостей коэффициентов прохождения, отражения и излучения от числа периодов и глубины гофрировки. Было установлено: во-первых, максимальное значение коэффициента излучения Р„ с ростом глубины гофрировки возрастает, во-вторых, координата максимума смещается в сторону начала координат, приближаясь к точке пересечения коэффициентов прохождения Т„ и отражения Л„, в-третьих, значения коэффициентов прохождения Тп и отражения /?„ в точке пересечения убывают, в-четвёртых, координата точки пересечения смещается в сторону начала координат.

Смещение координат максимума коэффициента излучения Рп и точки пересечения коэффициентов прохождения т„ и отражения Л, в сторону начала координат объясняется возрастанием интенсивности затухания прошедшей волны с ростом глубины гофрировки.

Возрастание максимального значения коэффициента излучения Рл с ростом глубины гофрировки можно объяснить возрастанием интенсивности взаимодействия падающей и отражённой волн на вертикальных стенках каж-

Третий параграф посвящён исследованию спектральной зависимости коэффициента отражения от изменений длины падающей волны и коэффициента преломления среды, приводящие к нарушению брэгговского резонанса.

Полученные закономерности убывания коэффициента отражения с ростом растройки брэгговского резонанса соответствуют реальной картине исследуемого физического явления.

В заключении перечислены основные результаты диссертационной работы.

В приложении выводится формула двойной интегральной свёртки

(40)

РАБОТЫ, ОПУБЛИКОВАННЫЕ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Мартынов H.H., Сагитов Ю.Х., Столяров С.Н. Преобразование выражений для коэффициентов уравнений связанных волн в случае гофрированных диэлектрических волноводов /Вычислительная математика и математическая физика. - Межвуз. сб. науч. трудов. - М.:МГПИ им.В.И.Ленина, 1988. -С.158- 162.

2.Сагитов Ю.Х. Решение уравнения излучения при дифракции на плоском переменного сечения волноводе / Предметно-методическая подготовка будущего учителя математики, физики и информатики: Сб. науч. тр. - Тольятти, ТГУ, 2003. С. 95-105.

3. Сагитов Ю.Х. Об одном методе вычисления несобственных интегралов /Там же. С. 105-113.

4.Сагитов Ю.Х. Формула двойной интегральной свертки / Динамика систем и управление. Межвуз. сб. науч. тр. Отв. ред. В.Н. Щенников. - Саранск. Изд-во Мордов. ун-та, 2003. - С. 50-54.

5. Сагитов Ю.Х. Математическая модель дифракции электромагнитных волн на плоском периодически гофрированном волноводе. - Саранск: СВМО, 2005. Препринт №88. - 24 с.

Подписано в печать 22.09.05. Объем 1,0 п.л. Тираж 100 экз. Заказ № 97 Тольяттинский госуниверситет, 445667, г. Тольятти, ул. Белорусская, 14

»1785®

РНБ Русский фонд

2006-4 17633

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. Математическая модель дифракции электромагнитных волн на плоском симметричном диэлектрическом волноводе переменного сечения

§ 1. Моды плоского диэлектрического волновода.

§ 2. Расчёт неопределённых коэффициентов и

§ 3. Решение уравнения Гельмгольца в общем виде.

§ 4. Расчёт коэффициента связи ^оС^0").

§5. Расчёт коэффициента связи (У'СТ1^.

Актуальность темы. Исследование распространения и рассеяния волн в неоднородных средах уже много лет остаётся актуальной задачей теоретической физики. Важность этой задачи определяется широким практическим применением волновых процессов различной природы для связи, локации, дистанционного мониторинга природных сред, в качестве мощного средства лабораторного исследования, при создании квантовых генераторов - лазеров и т.д. 0

Волны различной природы, как правило, распространяются в естественных и искусственно созданных структурах, имеющих характерные особенности волноводов - радиоволны в атмосфере, световые волны в оптических волокнах и т.д. Волновое поле в волноводах является многомодовым со сложным механизмом обмена энергии между его модами.

Задачи об излучении и отражении света на гофрированном участке волновода исследовались в работах Зленко A.A., Киселева В.А., Прохорова A.M., Спихальского A.A., Сычугова В.А. В частности, авторами получены результаты, относящиеся к одновременному излучению и отражению поверхностной световой волны на гофрированном участке волновода с периодом, удовлетворяющим условию Брэгга в среде: коэффициент отражения (ф близок к единице при условии проведения расчетов для волновода без потерь и без усиления; в реальных волноводах с потерями коэффициент отражения меньше единицы; отношение выведенной из гофрированного участка мощности к мощности, падающей на этом участке, максимально при коэффициенте отражения 0,3 -0,4.

Задача о дифракции направляемой моды на периодически гофрированном участке плоского диэлектрического волновода представляет большой интерес в связи с проблемой создания распределенных брэгговских зеркал. Ей посвящены исследования Алферова Ж.И., Казаринова Р.Ф., Маркузе Д.,

Суриса P.A., Соколовой З.Н., Шевченко В.В., Столярова С.Н. и др.

В работах Мартынова H.H. при помощи метода усреднения решена система уравнений поперечного сечения в частном случае слабого изменения амплитуды мод в пределах одного периода гофрировки. Показано, что амплитуды направляемых мод приближенно удовлетворяют системе уравнений связанных волн.

Математическая модель распространения и дифракции волн в волноводах с учётом начальных и граничных условий представляет, как правило, систему интегральных или интегро-дифференциальных уравнений.

Целостная теория систем уравнений такого типа не создана, а существующие методы решения применимы для частных случаев интегральных и интегро-дифференциальных уравнений.

Обычно, при аналитическом решении задач распространения и дифракции волн в волноводах, используются приближённые методы: усреднения; теория возмущения; апроксимации; разложения по малому параметру и т.д., которые при всей своей продуктивности, имеют ряд существенных недостатков: ограниченность применения; не инвариантность в применении -малейшее изменение какого-либо параметра приводит к возобновлению аналитических расчётов с самого начала; вынужденное упрощение механизма обмена энергии между модами; возможность, как правило, только качественного сопоставления теоретических результатов с экспериментальными данными.

Таким образом, актуальной становится задача разработки теории сведения системы интегро-дифференциальных уравнений математической модели дифракции электромагнитных волн в оптических волноводах к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, теория и методы решений которых хорошо развиты.

Целью настоящей диссертации является задача разработки теории сведения системы интегро-дифференциальных уравнений математической модели дифракции электромагнитных волн в оптическом плоско симметричном однородном волноводе переменного сечения к системе дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка. При создании данного метода не должны вводится дополнительные ограничения на физические величины, характеризующие рассматриваемый процесс, чтобы в дальнейшем не сужать область его применения, к примеру, для случаев различных волноводов в многомодовом режиме распространения и дифракции электромагнитных волн.

Научная новизна:

1. Получена математическая модель явления дифракции электромагнитных волн на участке переменного сечения плоско симметричного диэлектрического волновода в виде системы из четырёх интегро-дифферен-циальных уравнений относительно нулевых чётных амплитуд падающей и отражённой волн дискретного спектра и чётных амплитуд падающей и отражённой волн непрерывного спектра.

2.Выведена формула двукратной интегральной свёртки.

3.Разработан метод, основанный на применении двукратной интегральной свёртки, посредством которого удалось установить математическую связь между обобщёнными амплитудами дискретного и непрерывного спектров. Полученные соотношения позволили свести систему из четырёх уравнений к системе из двух интегро-дифференциальных уравнений с интегралами типа Римана.

4.Разработан метод преобразования системы из двух интегро-дифференциальных уравнений с интегралами типа Римана к системе дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка.

5.Границы профиля периодически гофрированного ступенчатого волновода были описаны обобщёнными функциями Хевисайда.

6.Для ступенчатого волновода - волновод с таким профилем исследуется впервые - система из двух дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка была сведена в одном случае - горизонтальные участки волновода - к системе из двух обыкновенных однородных дифференциальных уравнений первого порядка, а в другом - вертикальные участки волновода - к двум не связанным между собой дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка.

7.Найдены решения полученных систем уравнений.

8.Решена задача граничных условий данного волновода - непрерывность падающей и отражённой волн в точках перехода от горизонтальных участков волновода к вертикальным.

9.Найдены явные выражения для амплитуд падающей и отражённой волн в независимости от глубины гофрировки для одного периода.

Ю.Получены аналитические выражения для коэффициентов прохождения, отражения и излучения для ступенчатого волновода в независимости от глубины гофрировки и номера брэгговского резонанса.

11.Проведены исследования зависимости отражательных характеристик ступенчатого волновода в зависимости от числа периодов ступенчатого волновода.

12.Исследована спектральная зависимость коэффициента отражения.

Практическая значимость изложенных в диссертации результатов заключается в том, что данный метод применим при исследовании задач дифракции электромагнитных волн на структурах более сложного типа: оптические волокна, оптические среды с переменным показателем преломления и т.д. Основное условие применимости данного метода - математическая модель исследуемого явления должна быть представлена в виде системы интег-ро-дифференциальных уравнений относительно связанных между собой физических величин двух типов: дискретных и непрерывных.

Кроме того, практическую ценность работы составляют результаты, которые могут быть положены в основу дальнейших исследований волновых процессов различной природы.

На защиту выносятся:

1 .Математическая модель явления дифракции электромагнитных волн на участке переменного сечения плоско симметричного диэлектрического волновода в виде системы из четырёх интегро-дифференциальных уравнений относительно нулевых чётных амплитуд падающей и отражённой волн дискретного спектра и чётных амплитуд падающей и отражённой волн непрерывного спектра.

2.Новый метод решения системы из четырёх интегро-дифференциальных уравнений, основанный на применении двукратной интегральной свёртки и, сводящий её к системе из двух интегро-дифференциальных уравнений.

3.Метод преобразования системы из двух интегро-дифференциальных уравнений с интегралами типа Римана к системе дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка.

4.Метод решения системы из двух дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка для ступенчатого волновода.

5.Метод решения задачи граничных условий в точках перехода ступенчатого волновода. б.Численный анализ отражательных характеристик ступенчатого волновода при различных глубинах гофрировки и разных номерах брэгговского резонанса, а также спектральная зависимость коэффициента отражения.

Достоверность результатов исследования обеспечивается адекватной реальному процессу дифракции математической моделью, согласием аналитических результатов для случаев ступенчатого волновода с ранее известными формулами для более простых оптических моделей, соответствием численных расчётов с аналогичными ранее опубликованными результатами. р

Апробация результатов. Результаты исследования докладывались на научном семинаре кафедры математической физики МПГУ (1988; 2000); на научном семинаре кафедры физики Тольяттинского политехнического института (1999); на научном семинаре Средневолжского математического общества (г. Саранск, 2002, 2005), на Всероссийской и Международной научной конференции (г. Тольятти, ТГУ, 2003 г.), на научном семинаре института Физики и химии Мордовского государственного университета (г. Саранск, 2005 г. ).

Структура диссертации определена логикой и последовательностью решения задач исследования. Она состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложения.

Заключение.

В данной работе исследовалось явление дифракции электромагнитных волн на участке переменного сечения плоско симметричного диэлектрического волновода. Была получена математическая модель данного явления в виде системы из четырёх интегро-дифференциальных уравнений относительно нулевых чётных амплитуд падающей и отражённой волн дискретного спектра и чётных амплитуд падающей и отражённой волн непрерывного спектра.

Затем, были введены обобщённые амплитуды дискретного и непрерывного спектров, которые, хотя не имеют физического содержания, но с помощью которых удалось значительно упростить выражения каждого уравнения из полученной системы интегро-дифференциальных уравнений. В дальнейшем исследовалась система уравнений относительно обобщённых амплитуд.

В данной работе был разработан метод, основанный на применении двукратной интегральной свёртки, посредством которого удалось установить математическую связь между обобщёнными амплитудами дискретного и непрерывного спектров. Полученные соотношения позволили свести систему из 4-х уравнений к системе из двух интегро-дифференциальных уравнений. Затем, используя независимость непрерывных мод от дисперсионного параметра р0, система из двух интегро-дифференциальных уравнений была преобразована в систему из двух дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка.

Для ступенчатого волновода система из двух интегро-дифференциальных уравнений свелась в одном случае: для горизонтальных участков к системе двух обыкновенных однородных с постоянными коэффициентами дифференциальных уравнений первого порядка, в другом случае: для вертикальных участков волновода к двум независимым друг от друга дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка.

Система двух обыкновенных однородных с постоянными коэффициентами дифференциальных уравнений первого порядка и дифференциальное уравнение с частными производными первого порядка были решены. В результате были получены аналитические выражения амплитуд падающей и отражённой волн чётной нулевой моды дискретного спектра, отдельно, для каждого из этих участков волновода.

При рассмотрении условия непрерывности в точках перехода от горизонтальных участков к вертикальным, была получена система линейных алгебраических уравнений относительно амплитуд падающей и отражённой волн, решение которой позволило получить выражения для коэффициентов отражения и прохождения для одного периода.

Используя условие взаимозависимости периодов для прошедшей волны и, гипотезу о том, что отражение подчиняется распределению Больцмана, а также закон сохранения энергии были получены выражения коэффициентов прохождения, отражения и излучения в зависимости от количества периодов волновода.

Итак, основными результатами представленной работы являются:

1. Выведена формула двукратной интегральной свёртки;

2. Получены выражения, которым должны удовлетворять чётные обобщённые амплитуды непрерывного спектра;

3. Получены соотношения, связывающие чётные обобщённые амплитуды непрерывного спектра с чётными обобщёнными амплитудами нулевого дискретного спектра;

4. Построена теория сведения системы четырех интегро-дифференциаль-■ ных уравнений к системе двух интегро-дифференциальных уравнений;

5. Система из двух интегро-дифференциальных уравнений была преобразована в систему из двух дифференциальных уравнений в частных произ водных первого порядка.

6. Для ступенчатого волновода система из двух интегро-дифференциаль-ных уравнений для горизонтальных участков волновода сведена к системе двух обыкновенных однородных с постоянными коэффициентами дифференциальных уравнений первого порядка, а для вертикальных участков волновода к двум независимым друг от друга дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка;

7. Получены решения системы двух обыкновенных с постоянными коэффициентами дифференциальных уравнений первого порядка и дифференциального уравнения с частными производными первого порядка;

8. Решена задача граничных условий для перехода горизонтальных участков волновода на вертикальные участки;

9. Получены выражения коэффициентов прохождения и отражения для одного периода как независимой оптической системы;

10. Получены выражения коэффициентов прохождения, отражения и излучения для всего волновода;

11. Проведён анализ отражательных характеристик ступенчатых волноводов с различной глубиной гофрировки и с разными номерами брэгговских ре-зонансов;

12. Было проведено исследование влияния растройки брэгговского резонанса на коэффициент отражения.

При разработке в представленной работе теории сведения системы ин-тегро-дифференциальных уравнений, описывающих дифракцию электромагнитных волн на участке плоского волновода переменного сечения в од-номодовом случае, не вводились дополнительные физические ограничения на величины, описывающие данное явление, а использовались только стандартные для данного процесса начальные и граничные условия. Следовательно, данный метод применим при исследовании задач дифракции электромагнитных волн на структурах более сложного типа: оптические волокна, оптические среды с переменным показателем преломления и т.д. Основное условие применимости данного метода, чтобы математическая модель исследуемого явления была представлена в виде системы интеро-дифференциальных уравнений относительно связанных между собой физических величин двух типов: дискретных и непрерывных.

1.В., Дмитриев В.Г., Лохов Ю.Н., Малицкий К.Н. Теория дифференциального и интегрального рассеяния лазерного излучения на поверхности диэлектрика с учетом наличия дефектного слоя// Квантовая электроника, 2001. - Т.8, С.740.

2. Адаме М. Введение в теорию оптических волноводов. М.: Мир, 1984.

3. Ахметшин У.Г., Богатырев В.А., Сенаторов А.К., Сысолятин A.A., Шалыгин М.Г. Новые одномодовые волоконные световоды с изменяющейся по длине плоской спектральной зависимостью хроматической дисперсии// Квантовая электроника, 2003. Т.З, С.265.

4. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы: Учеб. Пособие. М.: Наука, 1987. - 600 с.

5. Баскаков С.И. Возбуждение лучевого волновода // Радиотехника и электроника. 1964. - Т. 9. - № 4. - С. 607.

6. Белов A.B., Дианов Е.М. Волноводные характеристики одномодо-вых микроструктурных волоконных световодов со сложным распределением профиля показателя преломления// Квантовая электроника, 2002. Т.7, С.641.

7. Бломберген Н. Нелинейная оптика. М.: Мир, 1966.

8. Боголюбов H.H., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. ГИТТЛ, 1955.

9. Боголюбов А.Н., Делицын А.Л. Новая постановка задачи расчета мод диэлектрических волноводов // Вестник МГУ. Серия 3 . Физика, астрономия. - 1995. - № 2. - С. 95 - 98.

10. Боголюбов А.Н., Делицын А.Л., Могилевский И.Е., Свешников А.Г. Асимптотика электромагнитного поля в окрестности ребра вволноводе // Радиоэлектроника. 2000. - № 4.

11. Бриллюэн Д., Пароди М. Распространение волн в периодических структурах. -М.: ИЛ, 1959.

12. Ваганов Р.Б. Потери на неоднородном участке лучевода и возможность их компенсации // Радиотехника и электроника, 1965. Т. 10.-№ 12.-С. 2146.

13. Вейнберг В.Б., Саттаров Д.К. Оптика световодов. Л.: Машиностроение, 1977.

14. Веселов Г.И., Воронина Г.Г. К расчету открытого диэлектрического волновода прямоугольного сечения / Изв. Вузов. Радиофизика, 1971.-Т. 14.-С. 1891.

15. Взятышев В.Ф. Диэлектрические волноводы. М.: Советское радио, 1970.

16. Гиндлер И.В. Статистические характеристики широкополосных сигналов в многомодовых диссипативных неоднородных волноводах: Автореф. дис.канд.ф-м. наук. М., 1988. - 13 с.

17. Горшков Б.Г., Кузин А.Ю. Характер волоконно-оптических интерферометров при амплитудной модуляции входного излучения // Радиотехника. 1990, № 2.

18. Давыдова Е.И., Зубанов A.B., Мармалюк A.A., Успенский М.Б., Шишкин В.А. Одномодовые лазеры с гребневидным элементом, сформированные в источнике трансформаторно-связанной плазмы// Квантовая электроника, 2004. Т.9, С.805.

19. Делицын A.JL О проблеме применения метода конечных элементов к задаче вычисления мод диэлектрических волноводов // Вычислительная математика и математическая физика. 1999. - № 2, -С. 315-322.

20. Дерюгин Л.Н., Марчук А.Н., Сотин В.Е. Излучение плоского диэлектрического волновода // Изв. Вузов, Радиоэлектроника, 1970. -Т. 13.-№9.-С. 973.

21. Дураев В.П., Неделин Е.Т., Недобывайло Т.П., Сумароков М.А., Климов К.И. Полупроводниковые лазеры с волоконной брэгговской решеткой и узким спектром генерации на длинах волн 1530 — 1560 нм// Квантовая электроника, 2001. Т.8, С.529.

22. Зленко A.A., Кисилев В.А., Прохоров A.M., Спихальский A.A., Сычугов В.А. Излучение и отражение света на гофрированном участке волновода // Квантовая электроника, 1975. Т. 2, № 11. - С. 2433-2439.

23. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Перевод с нем. С.В.Фомина. М.: Наука, 1976. - 576 с.

24. Казаринов Р.Ф., Сурис P.A. Физика и техника полупроводников. М., 1972, №6.

25. Каценеленбаум Б.З. Теория нерегулярных волноводов с медленно меняющимися параметрами. М.: Изд. АН СССР, 1961.

26. Кобозев И.К. Интерференционная структура поля в волноводах и ее изменчивость под влиянием возмущений: Автореф. дис. канд. ф-м. наук. М., 1992.- 16 с.

27. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа: учеб. для студентов физико-математических и инженерно-физических спец. вузов. В 3-х т. М., 1988.

28. Кузнецова Т.И., Лебедев B.C. Пространственное распределение световых полей в коническом кремниевом волноводе// Квантовая электроника, 2004. Т.4, С.361.

29. Кузнецова Т.И., Лебедев B.C. Структура световых волн в волноводе, сужающемся до субволновых поперечных размеров// Квантовая электроника, 2002. Т.8, С.727.

30. Ладыженская O.A. Краевые задачи математической физики. М., 1973.

31. Леухин А.Н. Алгебраическое решение задачи синтеза кодовых последовательностей// Квантовая электроника, 2005. Т.8, С.688.

32. Лукьянов В.Н., Семенов А.Т., Шелков Н.В., Якубович С.Д. Лазеры с распределенной обратной связью (обзор) //Квантовая электроника. Т.2. - 1975. - № 11. - С. 2373 - 2398.

33. Маненков А.Б. Возбуждение открытых однородных волноводов / Известия вузов. Радиофизика. 1970. - Т. 13., № 5. - С. 739.

34. МаркузеД. Оптические волноводы. М.: Наука, 1978.

35. Мартынов H.H. Решение уравнений поперечного сечения в случае плоского диэлектрического волновода с периодически гофрированной границей // Радиотехника и электроника.- Т. 25. М., 1980, №9.

36. Мидвингер Дж. Э. Волоконные световоды для передачи информации. М.: Радио и связь, 1983.

37. Морозов Г.В., Маев Р.Г., Дрейк Г.В. Метод многократных отражений для электромагнитных волн в слоистых диэлектрических структурах// Квантовая электроника, 2001. Т.9, С.767.

38. Насиева И.О., Федорук М.П. Волоконно-оптические линии связи с распределенным рамановским усилением. Численное моделирование// Квантовая электроника, 2003. Т. 10, С.908.

39. Петраш Г.Г. О моделировании лазера на парах меди с добавками водорода// Квантовая электроника, 2005. Т.6, С.576.

40. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Элементарные функции -М.: Наука, 1981. 800 с.

41. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Специальные функции М.: Наука, 1983. - 752 с.

42. Сагитов Ю.Х. Решение уравнения излучения при дифракции на плоском переменного сечения волноводе / Предметно-методическая подготовка будущего учителя математики, физики и информатики: Сб. науч. тр. Тольятти, ТГУ, 2003. С. 95-105.

43. Сагитов Ю.Х. Об одном методе вычисления несобственных интегралов /Там же. С. 105-113.

44. Сагитов Ю.Х. Формула двойной интегральной свертки / Динамика систем и управление. Межвуз. сб. науч. тр. Отв. ред. В.Н. Щен-ников. Саранск. Изд-во Мордов. ун-та, 2003. - С. 50-54.

45. Сагитов Ю.Х. Математическая модель дифракции электромагнитных волн на плоском периодически гофрированном волноводе. -Саранск: СВМО, 2005. Препринт №88. 24 с.

46. Снайдер А., Лав Д. Теория оптических волноводов. М.: Радио и связь, 1987.

47. Солимено С., Крозиньяни Б., Ди Порто П. Дифракция и волно-водное распространение оптического излучения. М.: Мир, 1989.

48. Унгер Х.Т. Планарные и волоконные оптические волноводы. -М.: Мир, 1980.

49. Усиевич Б.А., Нурлигареев Д.Х., Сычугов В.А., Голант K.M. Ограниченная однородная система туннельно-связанных волноводов и брэгговская дифракция света в ней// Квантовая электроника, 2005. -Т.6, С.554.

50. Физический энциклопедический словарь / Гл. ред. A.M. Прохоров. Ред. Кол. Д.М. Алексеев, A.M. Бонч-Бруевич, A.C. Боровик -Романов и др. М.: Сов. Энциклопедия, 1983. - 928 с.

51. Шамрай A.B., Козлов A.C., Ильичев И.В., Петров М.П. Новый метод управления формой спектральных характеристик брэгговских решеток в электрооптических материалах// Квантовая электроника, 2005. -Т.8, С.734.

52. Шевченко В.В. Плавные переходы на импедансах. М.: Наука, 1968.

53. Шевченко В.В. Плавные переходы в открытых волноводах. М.: Наука, 1969.

54. Шевченко В.В. О разложении полей открытых волноводов по собственным и несобственным волнам // Изв. Вузов. Радиофизика, 1971.-Т. 14.-№8.-С. 1242.

55. Шорохова Е.А., Яшнов В.А. Влияние неоднородности среды в плоском волноводе на импульсное излучение тонкой электрической антенны// Радиоэлектроника. 2000. - № 12.

56. Marcuse D. Theory of dielectric optical waveguides. Acad Press, N.Y. - London, 1974.