автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Математические модели задач вычислительной электродинамики неоднородных сред

р.' Л •

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА, ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В.ЛОМОНОСОВА

ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

• На правах рукописи

УДК 519.6:535.3

БЫКОВ АЛЕКСЕЙ АЛЕКСАНДРОВИЧ

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЗАДАЧ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ НЕОДНОРОДНЫХ СРЕД

Специальность 05.13.16 - применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях в области физики

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва - 1992

Работа выполнена на кафедре математики физического факультет« Московского государственного университета им. М.В.Ломоносова.

Офцщшльные оппоненты:

Доктор физико-математических наук.

Профессор Е.П.Жидков (ОШИ) Доктор технических наук,

профессор Е.Н.Васильев (МЭИ) Доктор физико-математических наук,

профессор Е.В.Захаров (ВМК МГУ Ведущая организация:

Московский институт радиотехники, электроники, автоматики.

Защита состоится M-tLp J992 г. в час.

fea заседании Специализированного Совета^ 053.05.41 по защит* диссертащ1й на соискание ученой степени доктора физико-математических наук при Московском государственном университ! те им. Ы.В.Ломоносова по адресу: II9899, ГСП, Москва, Ленинские горы, МГУ, физический факультет, аудитория

С.диссертацией можно''ознакомиться В библиотеке физического факультета МГУ.

Автореферат разослан "

Учений секретарь .

Специализированного Совета/\

доцент А^ЛО* ¿/И. А. Квасников/

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА, ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Ы.В.ЛОМОНОСОВА

ФИЗИЧЕСКИИ ФАКУЛЬТЕТ

• На правах рукописи

УДК 519.6:535.3

БЫКОВ АЛЕКСЕИ АЛЕКСАНДРОВИЧ

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЗАДАЧ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ НЕОДНОРОДНЫХ СРЕД

пециальность 05.13.16 - применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях в области физики

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора Физико-математических наук

Москва - 1992

- 3 -

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертация посвящена развитию численных катодов исследования математических моделей широкого круга задач дифракции электромагнитных волн на неоднородных объектах с плавким и ступенчатым профилем диэлектрической проницаемости в резонансном диапазоне длин волн. Рассматриваются задачи дифракции и распространения волн в регулярных, неоднородных и периодических, экранированных и открытых волноведущх структурах различной геометрической конфигурации. Используется единый подход, основанный на приведении задачи для уравнений в частных производных к краевой задаче для системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Специфика краевых задач для уравнений Максвелла с условиями излучения такова, что краевая задача получается , кесткой, . известные численные методы не позволяют получить решение с еысо-кой точностью. Центральной частью работы является разработка и обоснование численного метода решения жестких краевых задач для. обыкновенных дифференциальных или разностных уравнений, устойчивого по,отношению к ошибкам округления ЭВМ. Рассматривается ряд задач вычислительной электродинамики и некоторые проблемы вычис- ■ лительной физики плазмы, использущие аналогичный аппарат численных методов.

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМ. Большое вгшиатге в настоящее время уделяется задачам .вычислительной электродинамики, связанным с исследованием распространения элегстрсмэпштных волн в неоднородных средах. Современная технология позволяет создавать все более слозшые неоднородные диэлектрические структуры с плавным и ступенчатым профилем показателя преломления, с кногослойныш покрытиями сложной форш. Это необходимо для решения разнообразных практических задач, в том числе для создания высококачественных-элементов оптоэлектроники: периодических решеток, оптических световодов, гофрированных диэлектрических волноводов, покрытий и т.д. Реальные объекты имеют к тому юз слозхную форму и внутреннюю структуру из-за особенностей технологических процессов, используемых при их производстве. Создание эффективных численных алгоритмов расчета, учитывающих все особенности геометрической конфигурации, позволяет значительно повысить качество конструирования и улучшить параметры. Широкое использование резонансных структур и высокие требования, предъявляемые к точности расчета,

требует отказа от использования приближенных и качественных моделей. Эти обстоятельства делают актуальной задачу создания алгоритмов, базирующихся на строгих математических моделях (осно-Еашшх на решении уравнений Максвелла), и позволяющих рассчитывать распространение и рассеянна волн на объектах сложной формы, которая точно соответствует реально создаваемым или проектируемы пзделш»».

. Вычислительная, электродинамика использует разнообразные математические модели: вариационные, проекционные, разностные, асимптотические, основанные на интегральных уравнениях и т.д. Одним из наиболее перспективных методов решения задач о распространении волн е неоднородных и слоистых средах является неполный метод Гелеркина (или, по-другому, метод приведения к обыкновенным дифференциальным уравнениям), основанный на представлении .приближенного решения в виде отрезка ряда Фурье по собственным Функциям поперечного сечения волноведущей систеш. Коэффициенты ряда зависят от продольной координаты, из уравнений Максьелла с помощью семейства проокциошшх соотношений получается краевая задачи для система линейных обыкновенных дифференциальных уравнений (граничные уилоьпя ¡гытякятот из условий излучения). Метод был офорыулираван в 30х годах в работах А.н.Боголюбова и Л.В.Канторовича, развит в применении к электродинамическим задачам А.Г.Сбзышсобым. Как и метод интегральных уравнений, неполный метод Галсркина относится к классу строгих методов. Достоинством этого метода является то обстоятельство, что использование собствезишх функций поперечного сечения области (а не какой-либо системы функций, заданных в "полной" области, откуда и возникло название) позволяет как бы понизить размерность задачи на I (за счет перехода от линейной алгебраической систеш с большим числом неизвестных к линейной краевой задаче для обыкновенных дифференциальных уравнений значительно меньшей размерности). Это позволяет решать двумерные и трехмерные задачи дифракции и распространения волн в волноводах различной природы и геометрической конфигурации в резонансном диапазоне (длина волны сравнима или в несколько раз меньше характерного размера) для обьектов из неоднородного диэлектрика, обладающих поглощением.

Использование неполного метода Галеркина для решения задач . вычислительной' электродинамики приводит к необходимости численно решать "кесткие" векторные краевые задачи для систем линейных

обыкновенных дифференциальных уравнений. Жесткими называют задачи, для которых имеется группа быстрорастущих л быстроубывающих по экспоненциальному закону частных решений однородных уравнений и на интервале между граничными условиями некоторые решения возрастают, а другие- убывают на много порядков. Численное решение жестких краевых задач с помощью стандартных алгоритмов, разработанных для нежестких задач, приводит к значительным погрешностям, связанным с неизбежными ошибками округления ЭВМ. Нужно заметить,-.что "жесткие" задачи возникают в широком круге математических- моделей других областей вычислительной физики, например, при решении урагнения Орра-Зоммерфельда, описывающего течение Пуазейля при больших числах Рейнольдса и ъ разнообразных моде- • лях, списывающих пограничные слои. Поэтому, актуальной является Задача создания численного алгоритма, для которого не было бы ограничений, связанных с погрешностями округления ЭВМ, а все. ограничения были бы обусловлены только временем счета, что в современных условиях уже не является проблемой. Это существенно расширит класс задач, решаемых строгими методами. • .

Имеется ряд -проблем, для которых применение неполного метода Галеркина сталкивается с затруднениями принципиального характера. Прежде всего это задачи о распространении волн в открытых системах, в число которых входят диэлектрические волноводы или световоды, периодические открытые системы (гофрированные диэлектрические волноводы, линзовые линии, излучатели и приемники на основе периодических структур). Трудности возникают из-за того, что задача на собственные значения, поставленная в поперечном сечении открытого волновода, не порождает полной счетной . системы собственных функций. Поэтому использовать отрезок- ряда Фурье для построения приближенного решения не удается. Актуаль- . ной является задача создания новых алгоритмов на основе неполного метода Галеркина. В частности, необходим метод, который позволял бы решать задачи о расчете распространения собственных волн и е открытых, и в экранированных волноведущих структурах для 'произвольного профиля диэлектрической проницаемости и в широком диапазоне соотношения длины волны и размеров системы.

Достойное место среди задач физики плазмы занимает исследование временных и пространственных переходных процессов. Наличие множества малых и больших параметров (время между соударениями, время релаксации возмущений давления или плотности, дебаевский й •

- б -

ларморовский радиусы и т.п.) приводит к возникновению иерархического семейства переходных процессов во времени и переходных слоев в пространстве (типичным примером является переходный слой вблизи поверхности проводника). Исследование пограничных слоев актуально ввиду большого значения, которое они имеют для работы различных плазменных систем (таких, как плазменные ускорители, ионные инжекторы и источники нейтральных частиц, двигатели малой тяги). В окрестности переходных слоев принципиально изменяется характер движения частиц. Например, возникают "зеркала", которые могут быть прозрачными для частиц одного сорта и непроницаемыми для других частиц. Одной из распространенных математических моделей является "плазмооптическое приближение", когда для ионной компоненты плазмы используется кинетическое уравнение, а для электронной компонента-обобщенный закон Ома с учетом эффекта Холла. Оказывается, в рамках плазмооптической модели могут возникать внутренние переходные слои потенциала,, связанные с различным характером движения электронов в областях, ограниченных замкнутыми магнитными поверхностями. Актуальной задачей является исследование расположения и основных параметров переходного слоя (таких, как иорепад потенциала и максимальная напряженность поля ). Исследование распределения потенциала в сильно осмагничен-ной плазме приводит, также как для задач вычислительной электродинамики, к необходимости численно решать жесткие краевые задачи. Однако, в данном случае это задачи для систем разностных уравнений (разностные схемы). Актуальной является задача создания устойчивых по отношению к погрешностям округления ЭВМ числе ншх методов решения жестких разностных схем.

ЦЕЛИ РАБОТЫ состоят в следующем.

1. Создать численные методы решения жестких краевых задач 'для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений и для линейных разностных уравнений (разностных схем), устойчивые по отношению к погрешностям округления ЭВМ.

2. На основе использования новых методов решения краевых задач создать численные алгоритмы решения ряда практически важных проблем вычислительной электродинамики: расчет рассеяния на толстых многослойных периодических решетках из поглощающего диэлектрика, на неоднородных диэлектрических и плазменных образованиях, расчет покрытий для создания неотражающих по-

■ верхностей, работающих в широком диапазопе частот и т.д.

3. Создать метод расчета собственных волн одномодовых и многомо-довых диэлектрических волноводов ' (оптических световодов) сложного поперечного сечения, в том числе с многослойным покрытием, основанный на строгой математической модели.

4. Создать строгую математическую модель, позволяющую рассчитывать распространение волн в экранированных и открытых периодических системах с неоднородным диэлектриком, в том числе гофрированных металлических и диэлектрических волноводах, элементах ввода-вывода излучения дифракционного типа.

5. Аналитически и численно исследовать эффект образования внутренних переходных слоев потенциала в .рильно замагниченной плазме в рамках плазмооптического приближения, определить

• форму и параметры слоев. Создать устойчивые численные алгоритмы решения нелинейных самосогласованных задач динамики плазмы в магнитных полях слозшой конфигурации.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. В диссертации получены следующие новые результаты.

I. Разработан новый численный метод решения жестких краевых задач для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений и для систем линейных разностных уравнений (разностных схем). Новый метод ("направленной ортогонализэции") отличается . тем, что для устранения влияния погрешностей округления ЭВМ вне зависимости от размерности системы, длины интервала или жесткости задачи, применяется преобразовать с использованием собственных векторов и собственных значений матрицы системы. Метод строго обоснован аналитически, многократно и всесторонне опробован в численном эксперименте автором и в ряде организаций.

Разработан новый метод построения фундаментальной матрицы . для системы линейных разностных или обыкновенных дифференциальных уравнений. От используемых в настоящее время отличается тем, что вместо решения семейства задач Коши фундаментальная матрица вычисляется из решения семейства краевых задач со специально поставленными граничными условиями.

Создан новый численный'метод расчета характеристических показателей Для линейных систем с периодическими коэффициентами, основанный на том, что характеристические показатели вычисляются из решения семейства краевых задач, а не семейства задач Коши.

- в -

На базе этого метода разработан устойчивый по отношению к по-грзшюстям ЭВМ численный метод расчета собственных волн периодических экранированных волноводов.

2. На основе устойчивого tío отношению к ошибкам округления алгоритма численного решения краевых задач созданы новые алгоритмы и комплекса программ решения задач дифракции электромагнитных шли па плавных и слоистых диэлектрических неоднородности в металлических волноводах, на периодических диэлектрических рабатках. От известных в настоящее время отличаются тем, что позволяют с гарантированной точностью решать задачи без ограничений на параметры, сгязанных с погрешностями округления ЭВМ. Исследован ркд новых эффектов, например, проведен расчет поглощающего многослойного покрытия на периодической системе диэлектрических цилиндров, действие которого основано на сочетании поглощения излучения и "увода" части мощности в сторону "от приемника . ■ Создан ряд интерактивных программных комплексов для персональных эвгл.

3. Разработан статистический метод анализа рассеянных полей в задаче дифракции поля локального источника на периодических структурах. Показали, что при мялом изменении длины волны или положения источника диаграмма направленности рассеянного излучения мокет измениться неограниченно сильно. Для адекватного описания диаграммы направленности предлагается использовать статистическую функщпо распределения диаграммы. Получено выражение для плотности распределения диаграммы направленности, рассматриваемой как случайная величина. Разработан статистический метод исследования рассеяния на нерегулярной поверхностной микроструктуре и на дефектах периодических решеток.

4. Разработан численный метод рошения задачи о сочленении двух периодических плоско^лоистых полупространств. Показана возможность за счет выбора специальной конфигурации переходного элемента управлять формой диаграммы направленности и обеспечить высокую степень согласования собственных Ei ли плоскослоисто-периодического волновода и свободного простра}; /тва.

5. Созданы новые алгоритмы и комплексы программ решения задач дифракции электромагнитных волн на неоднородном диэлектрическом,. (в том числе плазменном) цилиндре. Алгоритмы свободны от 1 типичных для геометрооптических моделей проблем каустик и перехода от области света к области тени. Решены задачи дифракции на

металлическом цилиндре, покрытом неоднородной плазменной оболочкой, на неоднородном плазменном образовании. -

6. Разработан новый численный метод расчета собственных волн периодических волноводов произвольной природы ("метод продольных сечений"), основанный на том, что компоненты полей представляются в виде ряда по полной системе функций, которую порождает "продольная" часть оператора с естественными граничными условиями вдоль продольной переменной, т.е. с условиями Флоке. Параметры собственной волны (фазовая скорость или сдвиг фазы .„при трансляции на период и показатель затухания) определяются из краевой задачи на собственные значения для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений.

7. Разработан новый метод расчета собственных волн гофрированных металлически волноводов на основе использования метода продольных сечений. Метод свободен от ограничений, связанных с влиянием погрешностей округления ЭВМ, позволяет рассчитывать волновода с периодическим диэлектрическим заполнением.

8. Разработан метод расчета элементов ввода-вывода .излучения дифракционного типа на основе периодических диэлектрических волноводов. Метод основан на строгой математической модели и свободен от ограничений по параметрам, за' исключением времени счета ЭВМ. Создан интерактивный комплекс программ' и система автоматического проектирования.

9. Разработан новый численный метод расчета собственных волн диэлектрических волноводов (оптических световодов) сложного поперечного сечения, основанный на строгой математической модели. Спектральный параметр вычисляется из задачи на собственные значения для обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод отличается тем, что вне цилиндрической области, включающей волно--вод, поле точно удовлетворяет уравнениям Максвелла (внутри волновода уравнения Максвелла удовлетворяются в смысле выполнения системы проекционных соотношений). Создан комплекс программ, позволяющий рассчитывать собственные волны в многослойных и градиентных волноводах, не обладающих аксиальной симметрией.

10. Разработан ряд аналитических и численных методов решения задач' физики плазмы. Обнаружены, аналитически и численно исследованы пограничные слои потенциала в сильно замагниченной плазме в приближении плазмооптической модели. Результаты согласуются с данными натурного эксперимента.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ ДИССЕРТАЦИЙ. Разработанные новые деленные методы решения кестких краевых задач значительно расширяют круг проблем вычислительной электродинамики и вычислительной физики плазмы, которые можно. решать с использованием численного моделирования' с применением ЭВМ. Можно оищать использования новых методов, в других областях вычислительной фпзики, прежде всего в гидро- и аэродинамических расчетах.

Алгоритмы и комплексы программ решения дифракционных задач :находят широкое применение для расчета различных дифракционных элементов, преаде всего интегральнооптических. Комплексы программ решения задачи дифракции на периодических решетках используются в системах'автоматизированного проектирования дифракционных элементов и систем интегральной оптики. Статистические методы расчета рассеяния на поверхностных и объемных нерегулярных структурах используются для решения ряда неовых проблем интегрально-оптической -технологии, таких, как.исследование бокового рассеяния на многослойных тонкопленочных покрытиях и механизма пробоя лазерных зеркал.

Новый,метод расчета собственных волн периодических структур ("метод продольных сечений").попользуется для расчета гофрированных металлических и диэлектрических волноводов, элементов связи дифракционного типа, используется в. ряде систем автоматизированного проектирования. Метод может найти широкое применению и для расчета периодических открытых систем иных.типов, напри-, мер, микрополосковых.

. , Развитая в диссертации теория внутренних переходных слоев в сильно замагниченной плазме может найти ьчимененеие для качественного, и количественного анализа процессов в плазмооптических системах. Численные алгоритмы расчета плао.:) динамических процессов в сильных магнитных полях найдут применение при расчетах плазменных ускорителей, магнитных фильтров, ионных инжекторов.

АППРОБАВДЯ ДИССЕРТАЦИИ И ПУБЛИКАЦИИ. Основные результаты диссертации докладывались на VIII Всесоюзном симпозиуме по дифракции и распространению волн, Львов, 1981; IX Всесоюзном симпозиуме по дифракции, Тбилиси, 1985; YI Всесоюзной конференции по плазменным ускорителям и ионным инжекторам, Днепропетровск, 1986; VII Всесоюзном семинаре по физике и технике интенсивных источников ионов и ионных пучков, Киев, Институт Физики АН УССР,

- 11 - ' 198?; на Всесоюзном научном семинаре "Математическое моделирова-. ние и приложения явлений' дифракции", МГУ, 1999? на X Всесоюзном* симпозиуме по дифракции и распространению волн, Винница, ГЭ90; на International IMACS Conference, - Moscow-Vilnius, 1990, на SPIE Optical. Thin Films and Applications Congress, Hague, 1990; докладывались на семинаре по вычислительной математике под рук. А.А.Самарского на ВМК; неоднократно обсуждались на научных семинарах физического факультета (.{ГУ. '..'•"•

СТРУКТУРА.И ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертация состоит из введения, , четырех глав,, двух дополнений, заключения и списка литературы. Общий обьем г 6 страниц, в том числе. 107 рисунков и 14 таблиц. , По материалам диссертации опубликовано 55 работ,, список которых приведен в конце автореферата..

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ. Во Введении сформулированы цели: работы <$0.1)1, дан обзор основных методов'вычислительной электродинамики. ($0.2), охарактеризован неполный метод'Галеркина (£0.3), дан обзор численных методов решения жестких краевых задач ($0.4)., обзор содержания • работы и основных результатов (£0.5).

Содержание Главы_1 составляет изложение и обоснование новых численных методов решения краевых задач и смежных вопросов чис- -ленного анализа, привлекаемых затем в качество базового математического, аппарата для решения задач вычислительной электродинамики и вычислительной физики плазмы. Как' уже упоминалось, неполный метод Галеркина в применении, к задачам для уравнений Максвелла в волноводах приводит, к "жестким" . краевым задачам для обыкновенных дифференциальных уравнений. Для. решения с гарантированной точностью задач дифракции в широком диапазоне'. длин волн, необходимо создать численный метод решения "жестких" краевых задзч, устойчивый по отношению к влиянию погрешностей округ- . ления ЭВМ. Ноеый метод ("метод направленной ортогонализации-) излагается и обосновывается в глЛ.

В $1Л рассматривается численное решение жестких краевых задач для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравне--ний [2,4,5, 14,24,331. Рассмотрим краевую задачу для системы I линейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, на правом конце интервала поставлены г скалярных граничных

1 Первая цифра-номер главы, вторая-номер параграфа.

- 12 -

условий, на левом конце- остальные (1-г) условий: (ЗУ/0Х=А(Х)У+^(Х), 0<х<а, )={!}, тт(А)=а*1), (1)

В'У(0)=Ъ, Шт(В)={(1-г)*1}г Мт(Ъ)=а-г}, (2).

■0>У(а)=й, 01т(Ъ)={г*1}, ОШ(й)={г). (3)

Пусть г ректоров размерности I образуют полную систему частных решений однородной линейной системы В>у=0, 'некоторое частное решение .(2). Для решения краевой задачи (1-3) достаточно решить семейство задач Коши ' ■

ау(к)/<& =Л(х)'У(к}, 0<х<а, у(кХ(0) =У(0к), КкЦг,

ау(к+'}/бх=Л(х)-У(к* ' }+?(х), (Хх<аг у(к+п(0)=у(0к+п,. решить '.линейную, алгебраическую систему

\ V'[y( [>(а)СУ(г)(а)Сг + (4)

после чего решение можно получить по формуле .

У(х) - у(П(х)С1 ♦ ...+ у(г)(х)Сг + уа*п(х). - В случае жесткой задачи такой метод ("стрельбы") не позволяет решить задачу с большой.размерностью I. или на протяженном интервале 0<х<а. Причина в том, что система векторов <у(к)(а),1Ф<г} близка к линейной зависимости и линейная система (4) к.'.еет ллохообусловленную матрицу. Для построения устойчивых алгоритмов широко используется преобразование системы частных решений. Ключевой момент, отличающий новый метод от известных (прогонки, ортогональной прогонки и т.д.) заключается в тс.л, что для устранения влияния погрешностей округления ЭВМ применяется- преобразование с использованием собственных векторов и собственных значений матрицы системы. На отрезке 0<х<а возьмем сетку Qu:{xJ,ЫJ^M}. В каждой точке сетки им произведем произведем линейное .преобразование системы частшх решений У(к)(х^) с помощью невырожденной матрицы (для про,:оты изложения здесь положим Ъ=0 и Р(х)=0, общий случай рассматривается в $1.1):

1 (тч) 'ь

' 1-Ь 1

преобразовашше величины У(х^) помечены а; -ументом (х^О) в отличие от непреобразованных. величин, поме1' ^нных аргументом (х^-О). Способ выбора матриц преобразования Н< имеет принципиально важное значение. В настоящее время широко используется метод ортогонализации, который предполагает выбор этих матриц из условия взаимной ортогональности системы векторов

■{у(к)(х^+0),Нк^г}. Для того, чтобы исключить влияние погрешностей округления ЭВМ вне зависимости от размерности системы, длины интервала или параметра жесткости задачи, мы предлагаем поступить следующим образом.

I. Решим полную проблему . собственных значений матрицы Л(хр, определим все собственные значения (Я.^х^)} и собственные векторы {£(1)(хр). Упорядочим собственные значения и собственные Еекторы так, чтобы их вещественные части образовали неубывающую последовательность:

. 2. Разделим все собственные значения и соответствующие соб-, ственные векторы на две группы, в первой будет (1-г) собственных значений с минимальными вещественными,частями, а во второй - г собственных значений с максимальными вещественными частями. В • соответствии с критерием устойчивости краевой задачи по отношению к малой вариации матрицы и граничных условий, все быстрорастущие частные решения обязаны попасть .во вторую группу, а все быстроубыЕ-агацие частные■ решения - в первую группу. ■ '

3. Матрицу преобразования ^ выберем так,.'чтобы в разложении каждого преобразованного вектора у^С^+О.'- по базису, состоящему из собственных векторов £(1}, присутствовало ровно одно слагаемое из группы с наибольшими вещественными частями собственных значений (соответствующих быстрорастущим частны.л решениям). Номер ненулевой компоненты должен быть равен'(к+1-г). Компоненты, соответствующие меньшим вещественным частям собственных значений, однозначно определяются из этого условия'. Одновременно в точке xJ нужно преобразовывать коэффициенты суммирования С^.

Аналитическое обоснование метода основано на исследовании влияния погрешностей огругления при численном решении краевой задачи. Сначала строится "замыкание вычислительного алгоритма" метода направленной ортогонализации при стремлении шага ортого-нализации к нулю (понятие замыкания вычислительного алгоритма сформулировано С.Л.Соболевым). "Замкнутый" алгоритм включает решение нескольких линейных алгебраических систем и нескольких задач Коши для матричных уравнений Риккати. Корректность построения замкнутого алгоритма строго обосновывается. Условия разрешимости нелинейных матричных задач Коши формулируются в виде теорем, налагающих некоторые ограничения на собственные значения матрицы Л(х) и на функцию йЛ/йх. Влияние малых погрешностей округления эквивалентно внесению возмущений, во все матричные 'и

векторные функции, вычисление которых составляет алгоритм направленной ортогонализации. Пусть некоторая сеточная матричная функция ©п получила малое возмущение:

= И«'. КК

(т-номер точкй' сетки). Вместо исследования возмущения функции ©т можно исследовать возмущение "замкнутой" матричной функции &(х), вызванное возмущением в некоторой внутренней точке х*:

Щх*)=&(хк)^С(х*).

Возмущенное решение <$(х) можно разложить в ряд по степеням е:

®(х)=<$(0)(х);е-<$п )(x)+eг<®(2}(x)i.....х>х*,

функция ®П)\х) находится из уравнения в вариациях. Основной результат состоит в том, что для возмущения каждой функции &(х), вычисляемой в процессе решения задачи, имеет место оценка типа

;-ват х>х*.

Величина 9(и пропорциональна норме матричной функции сЫ/с&г!^ и обратно пропорциональна минимальному значению модуля разности собственных значений Л Г и- Коэффициент пропорциональности выражается через величины размерностей г, I. Сами собственные значения Л(х) не входят в выражение для вГ|Таким образом, Ееличина.жесткости краевой задачи не влияет на погрешности. Экспоненциальный характер роста и убывания частных решений не препятствует решению ^дачи с высокой точностью. Утверждения об устойчивости ■ метода по отношению к влиянию погрешностей ЭВМ сформулированы в виде теорем. Помимо аналитического исследования и обоснования метода, на ряде примеров показано [2,4,5,6,9,11, 12,13,17,18,22,231, что влияние погрешностей пренебрежимо мало. Метод направленной ортогонализации дл;< чис.'нного решения линейных краевых задач служит алгоритмической основой комплексов программ для решения задач дифракции.

В ¿1^2 на основе метода направленной ортогонализации построен численный метод решения краевой задачи для системы уравнений второго порядка [61.

В £1.3 разработан и обоснован численный метод решения краевых задач для систем линейных разностных уравнений (разностных схем) [32,391. Этот метод получен путем применения основной идеи метода направленной ортогонализации для решения разностных за-

дач. Новый метод относится к семейству методов типа прогонки с преобразованием системы тстних решений.

В разработан новый численный метод построения фунда-

ментальной матрицы для системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений [25,231. Классический метод построения фундаментальной матрицы предполагает решение задачи Ксш на заданном отрезке с заданными начальными условиями. Новый численный метод построения фундаментальной матрицы отличается от известных тем. что вместо решения семейства задач Коши фундаментальная матрица вычисляется из решения семейства краевых задач, со специально подобранным! граничными условиями. Матрицы граничных условий выражаются' через собственные векторы и собственные значения матрицы системы в начальной и конечной точках. Как и для краевых 'задач, устойчивость алгоритма гарантируется при условии достаточно медленного изменения собственных векторов и значений матрицы системы. Метод обоснован аналитически и опробован в численном эксперименте.

В §1.5 излагается ноеый численный метод расчета характеристических показателей для линейных систем с периодическими коэффициентами, предназначенный для уравнений с быстрорастущими и быстроубнвающими по экспоненциальному закону частными решениями [1ÓJ. Новый метод предполагает решение семейства краегих. задач вместо решения семейства задач Коши. Основное применение метода-для расчета собственных волн периодических (гофрированных) экранированных волноводов с помощью неполного метода' Галеркина (в настоящее время такой подход стал уже классическим, и трудности расчета характеристических показателей хорошо известны). . Алгоритм основан на вычислении матриц рассеяния участка Еолновода длиной в один период при облучении слева и справа. В качестве возбуждающих полей берется полная система мод "волновода сравнения", соответствующего выделенному "базисному" поперечному сечению. Заменой координат преобразуем гофрированный металлический волновод в цилиндрический волновод с периодические заполнением. Применяя неполный метод Галеркина, получим систему линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициента™. Характеристические показатели вычисляются из решения обобщенной проблемы собственных значений. При выполнении условий, сформулированных в §1.1, гарантируется отсутствие накопления погрешностей округления ЭВМ при решении задач Коши.

В Главе_2 рассматриваются задачи дифракции на неоднородных диэлектрических включениях в волноводах различной структуры (периодических, слоисто-периодических, открытых).

В £2ЛГ2Л4 строятся различные приближенные методы решения еолноводных ?адач дифракции: основанные на неполном методе Га-леркина, на конечно-разностной аппроксимации системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, на конечно-разностной аппроксимации уравнений Максвелла [1,2,4,8,13,21,22,37,491. В ¿2.5 приводятся результаты численного решения ряда задач дифракции на периодических решетках. На основе строгой математической модели исследованы эффекты, которые не поддаются анализу другими методами. Например, проведен расчет поглощающего многослойного покрытия на периодической системе диэлектрических цилиндров. Показано, что за счет комбинации поглощения в материале покрытия и "увода" части отраженной мощности в боковые лепестки, можно создавать: поглощающие покрытия, работающие в широком диапазоне длин волн и углов падения (511. Произведен расчет асимметричной решетки, позволяющей трансформировав практически всю мощность плоской волны в один из дифракционных порядков. Такие решетки применяются в приборах для спектрального анализа.

В ¿2^6 разработан метод решения задачи о рассеянии нормальных волн, на переходном элементе, соединяющем два периодических плоскослоистых полупространства. , В качестве возбуждающей wor-i берется нормальная волна, распространяющаяся в бесконечной периодической . плоскослоистой среде вдоль направления границы между слоями. Разработан метод постановки условий излучения. Показана возможность за счет выбора специальной конфигурации переходного элемента обеспечить высокую степень согласования собственных волн плоскослоисто-периодического волновода и свободного пространства, что позволяет рассчитывать высокоэффективные антенные элементы с подводящими диэлектрическими волноводами.

В §2.7 разработан метод расчета излучения с конца планарно-го диэлектрического волновода с переходным элементом сложной формы [27,30,421. Для решения используется м год фиктивных стенок, удаленных далеко от волновода. Рассмэ!. иваются несколько типов переходных элементов, обеспечивающих высокую степень согласования, в том числе многослойные согласующие покрытия. 6 В Главе_3 рассматривается векторная задача дифракции электромагнитных волн на неоднородном диэлектрическом цилиндре, в

которой поле имеет все 6 компонент. В §ЗЛ излагается постановка задачи, в £3.2 изложен алгоритм, основанный на применении неполного метода Галеркина и метода направленной ортогонализащш для численного решения краевых задач [41], в £3.3 выводится энергетическое тождество, используемое для обоснования сходимости приближенного метода. Рассматривается случай кусочно-непрерывного профиля диэлектрической проницаемости, для которого применение неполного метода Галеркина требует учета фиктивных токов, возникающих на поверхностях разрыва диэлектрической проницаемости.

В §3Л4,5,6 в качестве примеров использования алгоритма0решается ряд "эдач ['11,45,47,52], которые практически невозможно решить другими методами. Решена задача дифракции на металлическом цилиндре с многослойным диэлектрическим покрытием или погру-. жеином в неоднородную плазменную оболочку, задача дифракции на неоднородном плазменном образовании. При этом не возникает типичных для геометрооптических моделей проблем каустик и перехода от области света к области тени- единый алгоритм позволяет рассчитывать поля с гарантированной точностью.

В Главе_4 рассматриваются задачи расчета собственных волн • регулярных и периодических открытых и экранированных Еолноведу-щих структур. При этом используются алгоритмы решения задач дифракции, разработанные в гл.2 и 3 и численный метод решения жестких краевых задач для обыкновенных дифференциальных или для систем разностных уравнений (гл.1): Математическая модель ("метод продольных сечений"; основана на использовании единого подхода к решению задач на собственные значения для системы уравнений Максвелла, включающих комплексный спектральный параметр, характеризующий набег фазы и затухаш1е в расчете на период (или на единицу длины). Неизвестное поле ищется в виде разложения в ряд по системе собственных функций продольного сечения," удовлетворяющих условиям Флоке. Коэффициенты ряда зависят от поперечных координат. Применением проекционных соотношений на поверхности (линии), параллельной продольной оси волновода, получается краевая задача на собственные значения для системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Спектральный параметр входит в матрицу системы (линейно или квадратично) и в граничные условия (вообще говоря, иррационально, через аргументы специальных функций и радикалы). Численный алгоритм основан на поиске значений спектрального параметра, при которых имеется

нетривиальное решение однородной задачи, что приводит к решению нелинейного уравнения.

Содержание §4Л составляет формулирование "метода продольных сечений" [20,291. Для расчета собственных волн периодической структуры нужло найти значения (Еообще гоеопя, комплексные) параметра Флоке k=ik-Q, для которых существуют нетривиальные решения уравнений Максвелла с периодическими функциями e(xm,y,z)=e(x,y,z), \x(x+a,y,zf=\i(x,y,z), удовлетворяющие граничным условиш на периодических с периодом а вдоль оси х металлических поверхностях, условию Флоке

| j? jrxm,y,z) = | | jfx.y.zj-expftX-s;

и условиям излучения. Рассмотрим для примера диэлектрический .волновод на подложке с диэлектрической проницаемостью и

граничащий сверху со средой с е=е2. Для поля ТЕ-поляризации E=(0,0,Ez),' E=iHx,!iy,0) получим уравнение:

LU+K2oE(x,y)U=0, U(x,u)sEz(x,y), *:о=и[е0ц0),/г.

Решение будем искать в виде V(x,y)=V(x,y)>exp(-Qx/a). Для функции V(x,y) получим уравнение %IV1=0, где

Sfl'J = V -2(6/a.)V +(Q/a)2V+V iK?Ji(x,y)V

see x W ^

и условия Флоке V(x+a,y)=exp(Lk)'V(x,y).

Приближенное решение будем искать в виде;

где Xя (x,k)=[x_N(x,k),... ,XQ(x,k).....(векторная-строка

функция), y*l(y)^\y_N(y).....У0(у),- • • ,yNi 1 (векторная-столбец

функция), Хп(х,к)=а~'/2'ехр(1рпх), рп{к)=(к+2%п)/а.

Функции У^(у) вычисляются из система соотношений ортого-а *

нальности: •%[VN]-(ix =О. С учетом условий излучения

О

получим краевую задачу на собственные значен.'.я для системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнениу •

' - о.

ayyayl +1'1(„г)У„(Ъ)=о, -мтсн, (5)

|y=b п п

а

где ё(у) =/ [яС-г/) •еГх.у^'Я'СхШ, ... ,р0,... ,

О

Если волновод ограничен идеально-проводящими стенками у=0 и у=Ь, на которых поставлены условия м|у_0=н|у_ь=0, то вместо

(5,6) получим граничные условия у**(0)=0; уч(Ь)=0. Аналогично решаются и импедансные задачи (получаются условия третьего рода). Таким, образом, единый подход применим как для расчета экранированных (например, гофрированных металлических), так и открытых (периодических диэлектрических) волноводов.

Используя метод направленной ортогонализации, можно привести задачу (4-6) к решению нелинейного уравнения, причем функция, корень которой необходимо найти, вычисляется численным интегрированием системы нелинейных дифференциальных уравнений и точность вычисления функции гарантированно высокая. Легко заметить, что для экранированных волноводов получился более громоздкий алгоритм, чем при использовании традиционного подхода ("поперечных сечений"), приводящего всего лишь к линейной алгебраической задаче на собственные значения. При расчете дисперсионных кривых это отличие несущественно, так как известно хорошее начальное приближение корня. Кроме того, для расчета открытой системы (например, периодического диэлектрического волновода) метод поперечных сечений вообще нельзя применить, так как оператор уравнений Максвелла в поперечном сечении открытой системы не порождает счетной системы базисных функций (на практике используются импедансные граничные условия на фиктивных стенках).

в §4Л приводятся результаты расчетов двумерного волновода с металлическими стенками и периодическим диэлектрическим заполнением различной формы.

В разработан метод расчета элементов ввода-вывода излучения на основе периодических диэлектрических пленарных волноводов (26,291. Задача о работе в режиме излучения формулируется как задача о собственных волнах периодического открытого волно-Еода с комплексным волновым числом (параметром Флоке). Для решения используется метод продольных сечений. При этом оказывается.

что и в области подложки, и в области выше гофра уравнения Максвелла удовлетворяются точно (т.е. поле представляется суперпозицией квазиплоских волн). Численный эксперимент показывает принципиальную важность использования метода направленной ортогонализации. В честности, если берется недостаточное количество процессов ортогонализации, то Функция, корни которой соответствуют собственным значениям, обращается в. тождественный "машинный" нуль за счет погрешностей округления. Использование метода направленной ортогонализации позволяет рассчитывать собственные волны решеток ..произвольной толщины (ограничения только по времени счета) с высокой точностью (по фазовой скорости-5 знаков). Вычисляются фазовая скорость, коэффициент затухания собственной волны и интенсивности излучаемых квазиплоских волн. Задача о работе в режиме 'приема формулируется как задача дифракции плоской волны,, вычисляется форма диаграммы направлености, для которой кроме численого. алгоритма получена еще и простая аналитическая формула, позволяющая определить интенсивность наведенной волноьодной моды при заданном угле падения плоской волны. Сравнение с результатами численного счета в рамках строгой модели позволяет оценить погрешность, которая в пределах лепестка диаграммы направленности не превышает одного процента. ,

В §4^3. на основе метода продольных сечений разработан метод расчета собственных волн металлических гофрированных волноводов 120,261. Наличие ■ импедандшх стенок, которое приводит.в "классическом" варианте к несамосопряженной задаче на собственные функции поперечного сечения, не вызывает каких-то трудностей. Ограничения- на поперечные размеры встаовода, величину периода, длину волны связаны только с быстродействием ЭВМ.

В £4.4 разработан новый числег.ный "'ттод расчета собственных волн диэлектрических волноводов (оптических световодов) сложного поперечного сечения [44,48,53,551. Приближенное решение для кавдой из компонент полей Е и Н ищется в цилиндрической системе координат в виде отрезка ряда Фурье ло системе функций ехр(1тщ>). В данном случае угловая координата является поперечной, а радиальная- продольной. Используя мето;. продольных сечений, задачу о собственных волнах диэлектрических волноводов (оптических световодов) можно сформулировать как задачу поиска-"запертых" мод отрезка радиального волновода с неоднородным диэлектрическим заполнением. Условия излучения в данном случае

' - 21 -

эквивалентны ограничености полей на оси и экспоненциальному убыванию вне волновода. Фазовая скорость определяется из краевой задачи нз собственные значения для линейной ' системы со спектральным параметром, входящим в матрицу (линейно) и в граничные ' ' условия (трансцендентно, в виде сложного аргумента функций Бесселя). Данный подход позволяет отказаться от традиционного метода фиктивных стенок, который вносит в решение погрешность за счет наложения дополнительных граничных условий. Для построения -дисперсионных кривых используется эффективный алгоритм.инвариан-.. тного погружения. Создан комплекс программ, позволяющий рассчитывать собстЕ :нше волны в многослойных волноводах "(число слоев практически неограничено) и градиентных еолноеодэх,. не обладаю- • щих аксиальной симметрией. Произведен расчет собственных волн..-' системы двух еолноводов, расположенных в непосредственной близости (элемент связи). ■ -

Исследовагано дифракции на периодических структурах посвящено также Лополнеше_1. Исследованы статистические свойства диаграммы направленности локального источника в присутствии, перис-- . дической структуры (8,15,19,211. Основной, результат состоит в .. том, что при малом изменении частоты электромагнитный колебаний или положения источника диаграмма направленности рассеянного • излучения может измениться очень сильно. Вариация диаграммы направленности тем сильнее, чем дальше источник от решетки. В слу- ■ чае удаленного от решетки источника необходимо принципиальное" изменение способа интерпретации результатов решения задачи дифракции. Вместо, диаграммы направленности нужно использовать статистическую функцию распределения диаграммы -направленности. Выведена формула для плотности распределения диаграммы направленности, рассматриваемой как случайная величина. Ранее на этот . эффект не обращалось внимания в доступной нам литературе. Он может быть зг.метен при наблюдении излучения локального источника в присутствии кристаллической поверхности. Численное решение задачи с помощью неполного метода Галеркина с последующей обработкой результатов позволяет построить плотность диаграммы на-;грзЕленности в виде функции угловой переменной.

Разработан метод исследования рассеяния на нерегулярной поверхностно- обьемной структуре [43,50,541. Расчет рассеяния на. структуре со случайным распределением параметров производится

- г-

путем перехода к рассмотрении периодической структуры, включающей больное количество отдельных элементов (так что длина одного периода много больше длины волны). Такой подход позволяет рассчитать мощность рассеяния в расчете на единицу длины (в зависимости от параметров распределения толщин колонок). Аналогичный подход позволяет изучать рассеяние на дефектах периодических рататок. Задача важна для расчета и синтеза дифракционных элементов интегральной оптики. Создан комплекс"программ, позволяющий рассчитывать рассеяние на дефектах типа сдвига. элемента, типа засорения решетки или-изменения Форш элемента.

В £ополвегсш_2 рассматривается задача о течении тока в сильно замагниченной плазме 131,34,35,38,40,46]. Применяется предложенная Л.И.Морозовым математическая модель "плазмооптического приближения", основанная на использовании обобщешого закона Ома с учетом эффекта Холла для расчета электронного тока и потенциала п кинетического уравнения Власова для функции распределения Попов. Методом аспгштотического разложения сингулярно возмущенной краевой задачи проведено аналитическое исследование, числен-шл алгордж решения жестких разностных схем использует метод 'направленной ортогонализации. И аналитический, и численный подходы показывают, появление при определенных условиях внутренних переходных слоев электрического потенциала сложной конфигурации.

.Мы рассматриваем принципиально новый тип внутреннего, переходного слоя, обусловленный различным механизмом движения электронов в сильно замагшченной плазме в пространственных областях, геометрическая конфигурация которых определяется структурой силовых лшшй магнитного поля. В простейшей постановке задачи предполагается, что на поверхости Г," ограничивающей выделенный объем плазмы D, задан электрический нотенц.чл cpfr; и компонента функции распределения ионов /{(r,vj, соответствующая влетающим в область X)'частицам. Рассмотрим задачу о расчете электрического потенциала и тока электронной компоненты. Исгользуем обобщенный закон Ома и уравнение непрерывности:

3/o=E+(í/c;-[v,H]+vípe/íen;; Е -уф; 3=-enV,

^-плотность источников электронов (за счет ионизации и рекомбинации), V(r)~ средняя скорость дрейфа электрошой компоненты, п(т)- концентрация электронов, о(г.)- электронная проводимость, Фе=гаТе- электронное давление, которым в случае холодной плазмы

можно пренебречь. Для вычисления потенциала получим задачу div { [-o/ri+Hfj].[\?®+[Hr^]+Hf(Hf,^]) ф|г =<p(rj,

где J^+divft,),

H}=aH/(ecnJ- безразмерная функция "замагниченности" электронной' компоненты, по величине равная оп (ш-ларморовская частота электронов, а- время между соударениями). Эффект переходного слоя возникает уже в простейшем случае поля, имещего только хну ■ компоненты: \{(v)={\{Jx,y);Yiy(x,y);0>, которое создается заданными токами с плотностью '^0(r)-(0;0;J0(x,y)). Электронный ток тлеет три кощоненты, ориентированные относительно магнитного поля:

где Ех=-Ухф; v^fH/H,) • ((ü/П) ,v); Так как

всегда díuf^ ,)=0, то урат.нение для потенциала имеет вид:

jo/fí+H^Jv^j-O. При старших частных производных в '

направлении поперек магнитного поля тлеется малый параметр Задача является, таким образом, сингулярно возмущенной. Аналитическое решение основано на-введении, малого.параметра е, обратно пропорционального замагниченности:- J0(x,y)=e~' JQ(x,y),'"[ так что Н =e~'h , hf(x,yj не зависит от s. .Мы используем общую методику исследования сингулярно возмущенных задач, разработан- " ную А.Н.Тихоновым, А.Б.Васильевой, В.Ф.Бутузовым.

На первом этапе решения рассматриваем задачу, получающуюся при'£—0 (соответствует бесконечно большой замагниченности). Решение "вырожденного" уравнения dít>|ovj0j=0 позволяет определить расположение внутреннего потенциального барьера и величину, скачка потенциала. Пусть £> - часть О, покрытая замкнутыми силовыми линиями, целиком лежащими внутри £>, а О - часть О, покрытая си-' ловыми линиями, пересекающими границу Г. Общую грашщу и ©2 назовем особой магнитной поверхностью. В дополнении 2 получены аналитические выражения для потенциала по обе сторлны от особой магнитной поверхности. В О, потенциал однозначно определяется из граничных условий, а в D, определяется с точностью до произвольной дифференцируемой функции: 3íMJ=0, ty(H)=F(j(r)), jCrJ - любое решение уравнения íh,vjj=0. Для перепада потенциала на особой магнитной поверхности также получено аналитическое выражение.

На втором этапе рассматриваем случай конечного магнитного поля, |н;|>>1. В окрестности особой магнитной поверхности возникает переходный слой конечной, толщины. Решение ищется в виде пограничной функции первого порядка, которая используется для оценки толщины переходного слоя. Если длина особой силовой линии, измеренная между точкой касания Г и пересечения с Г (или между двумя точками касания), то толщина переходного слоя б приближенно равна , где К*|- замагниченность в окрестности потенциального барьера. Напряженность электрического поля во внутреннем переходном слое пропорциональна |н* . Скачок потенциала при переходе через слой сохраняет постоянное значение , а толщина слоя обратно пропорциональна величине магнитного поля. В области переходного слоя помимо тока Зг. течет также ток причем при стремлении магнитного поля к бесконечности возникает ток г-направления типа поверхностного тока. Таким образом, переходные слои возшшают на границах раздела областей, в которых характер движения электронов принципиально различается: электроны относительно быстро движутся вдоль силовых линий, пересекающих электроды, и относительно медленно дрейфуют на замкнутых силоеых линиях. Наличие скачков потенциала вблизи, электродов несколько усложняет картину, но рассмотрение этого вопроса выходит за рамки интересующих нас проблем.

Вычислительный эксперимент основан на использовании мете да крупных частиц для расчета функцта распределения ионов и разностных схем для расчета магнитных и электрических полей. Наличие малого параметра приводит к тому, что разностные схемы относятся к • классу жестких и требуют использован!л метода направленной ортогонализации. Нелинейная задача расчета и самосогла-

сованного поля ф(г; решается итерационным методом. Метод применялся для анализа процессов, происходящих в "катодном трансфер-мере", который является одним из основных элементов мощного квазистационарного плазменного ускорителя.

В целом ряде случаев гипотеза о Максвелловости распределения электронов является чрезмерно грубой. В дс.олнении 2 излагаются результаты численного исследования более сложной модели, основанной на решении кинетического уравнения для электронной компоненты [36]. Предполагается, что распределение электронов по энергии в окрестности магнитной сетки отличается от Максвеллов-ского. Распределение аппроксимируется суммой конечного числа

ö-функций ("компонент"), параметры распределения зависят от координат, для каждой компоненты рассчитывается подвижность. Самосогласованное электрическое поле рассчитывается из обобщенного закона Ома и уравнения непрерывности полного тока, а парциальные, концентрации групп электронов п - из парциальных уравнений непрерывности dtvC3m)=-7m, 3m=-ennvm» которые относятся к классу уравнений переноса и решаются консервативным методом крупных частиц, предложенным А.Г.Свешниковым и С.А.Якуниным. Потенциал в области магнитной сетки определяется холодной компонентой, которая меньше чувствует магнитное поле, так как менее замагниче^на. Сильно замаг: иченные горячие электроны оказываются запертыми внутренними переходными слоями. Задача важна для расчета мощных источников потоков нейтральных атомов, которые используются для •исследований в области управляемого синтеза.

Наличие внутренних переходных слоев потенциала в 'сильно замагниченной плазме в рамках плазмооптического приближения было обнаружено, насколько нам известно, впервые.

основное содержание диссертации и результаты выполненнкх исследований опубликованы в следующих работах:

01. Быков A.A. Некоторые численные методы теории дифракции электромагнитных волн в неоднородных средах. - Дисс. на соискание ученой степени канд. физ.-мат. наук. Москва, Моск. Рос. Университет им. М.В.Ломоносова, Физический факультет, 1980.

02. Быков A.A., Ильинский A.C. Исследование алгоритмов численной реализации неполного метода Галеркина в теории распростране-. ния волн в. нерегулярных волноводах. - в кн. "Численные методы электродинамики, еып. I". - М.: Изд-ьо МГУ, 1976. С;3-41.

03. Быков A.A. 0 некоторых численных методах решения многомерных интегральных уравнений. - в кн. "Численные методы электродинамики". - М.: Изд-во МГУ, 1979. С.36-52.

04. Быков A.A., Ильинский A.C. Решение краевых задач для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений методом направленной ортогонализации. // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1979. Т.19. >3. С.631-639.

05. Быков A.A. .Устойчивый численный метод решения краевых задач для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. /7 Докл. АН СССР. 1980. Т.251. J6 5. C.I040-I044.

06. Быков A.A., Ильинский A.C. Об одном численном методе решения

краевых задач для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. // Вестник Моск. Гос. Ун-та, сер.15: Вычисл. Матем. и кибернетика, .1980. Jé I. С.44-51.

07. Быков A.A. Об одном численном методе решения многомерных интегральных уравнений. // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1930. Т.20. а 2. C.I058-IC32.

08. Быков A.A., Ильинский A.C. Результаты исследования дифракции поля точечного источника на решетке прозрачных круговых цилиндров. - в кн. "Численные методы электродинамики. М.: изд-во МГУ,1980.С.16-25.

09. Быков A.A., йлышский A.C. Численное исследование одной модели поглощающей системы в волноводе. // Изв. ВУЗов, Радиофизика. 1980. Т.23. 7. С.821-832.

10. Быков A.A., Кравцов В.В. О численном решении многомерных интегральных уравнений со слабой особенностью. // Вестник Моск. Гос. Ун-та, Сер. 15: Вычисл. матем. и кибернетика, I960, а 4. С.3-8.

11. Ежов A.A., Ильинский A.C. Поглощающие системы с твердыми диэлектриками. // Изв. ВУЗов, Радиофизика, 1981. Т.24. №Z. С.251-254.

12. Быков A.A., Ильинский A.C. Исследование постоянных распространения нормальных волн в плоском волноводе с неоднородным диэлектрическим заполнением. // Радиотехника, 1981. Т.3£. . 116. С.66-68. ■

13. Быков A.A., Илышскпй A.C., Свешников А.Г. Исследование задач дифракции на локальных неоднороднос.тях неполным методом . Галеркина. - в кн. "Волны и дифракция. Краткие тезисы докладов VIII Всес. Гимп. по дифракции и распространению волн, T.I". - Львов, 1981. С.243-246.

14. Быков A.A. Устойчивость метода направленной ортогонализации по отношению к ошибкам округления. // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1981. T.I9. Jé 5. C.II54-II67.

15. Быков A.A. Возбуждение бесконечной периодической структуры локальным гармоническим источником с неточн заданной частотой.// Изв. ВУЗов, Радиофизика, 1982. Т.25. Jé9. C.I046-I052.

16. Быков A.A. Определеше характеристических показателей линейных систем второго порядка с периодическими коэффициентами. // Вестник Моск. Гос. Ун-та, Сер. 15: Вычисл. матем. и кибернетика, 1982. Я 4. С.12-16.

- 27 - "

17. Быков A.A., Ильинский A.C. Прямой численный метод исследования электродинамических свойств пологого- диэлектрического трансформатора в Еолноводе. // Радиотехн. и электроника, 1982. Т.27. № 9. C.I706-I7I0.

18. Быков A.A., Ильинский A.C. Численный анализ диэлектрических резонансов в волноводе. // Радиотехн. и электроника, 1982. Т.27. № 9. С.1830-1833.

19. Быков A.A., Ильинский A.C. Анализ статистических свойств периодических дэешеток с локальным возбуждением с помощью неполного метода Галеркина. // Докл. АН СССР, 1982. Т.262. J64. С.843-847.

20. Быков A.A. Прямой проекционный метод расчета собственных волн двумерного гофрированного волновода. // Изв. ВУЗов, Радиофизика, 1982. Т.25. Jгб. С.695-701.

21. Быков A.A., Ильинский A.C. О диаграмме направленности в задаче возбуждения решетки круговых диэлектрических цилиндров локальным источником. // Изв.- ВУЗов, Радиофизика, 1982. Т.25. №10. С.П80-П97.

22. Быков A.A.,'Ильинский A.C., Свешников А.Г. Прямые методы расчета нерегулярных еолноводов с неоднородным диэлектрическим заполнением. - в кн. "Вычислительные методы и программирование, вып. 36". - М: Изд-EO МГУ, 1982. С.52-83.

23. Быков A.A. Комплекс программ для решения задачи дифракции • волны типа HIQ на неоднородном диэлектрическом теле в волноводе. - в кн. "библиотека прикладных программ по электродинамике". -,М.: Изд-во МГУ, 1983. С.69-75.

24. Быков A.A. Исследование устойчивости численного метода направленной ортогонализации для решения краевых задач.- •- в кн. "Вычислительные методы и программирование, вып. 38". - . М.: Изд-во МГУ, 1983. C.I02-II7.

25. Быков A.A. О численном методе решения жестких задач Коши для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравне ний. // в кн. "Вычислительные методы и программирование, вып. 38". -М.: Изд-во МГУ, 1983. C.I7I-I79.

26. Быков A.A. Расчет собственных волн и постоянных распространения е гофрированном волноводе. - в кн. "Численные методы электродинамики". - М.: Изд-во МГУ, 1983. С.40-52.

27. Быков A.A. Применение неполного метода Галеркина для расчета сочленения деух диэлектрических волноводов.-в кн. "Численные •

- 28 -

метода электродинамики". - M.: Изд-во МГУ, 1983. С.27-39.

28. Ыжоо A.A. Устойчивый численный метод построения фундаментальной матрицы для системы линейных обыкновенных дифференци-альннх уравнений.// Докл. АН СССР, 1984. Т.274. Ш. C.II-I4.

• 29. Бы:;оз A.A. Расчет собственных мод двумерного диэлектрическо-

го волновода.- в кн. "Вотны и дифракция. Труды IX Всесоюзного симпозиума по дифракции, T.I".- Тбилиси, 1985. С.343-346.

, 30.. Eî^coii А.Д. Расчет сочленения планарных диэлектри ческих волноводов с помощью неполного метода Галеркина. - в кн. "Волны и дифракция. Труды IX Всесоюзного симпозиума по дифракции,

' ТЛ", - Тбилиси, 1985. С.320-323.

.31. Бшсов A.A., Свешшков ¿.Г., Якунин С.А. Течение тока в среде с зффэктом Холла в магнитных полях сложной конфигурации.- в • ich."Тезисы докладов YI Всес. конф. по плазмьнным ускорителям и ионным инжекторам". Днепропетровск, 1986. С.227-228.

32. Бшсов A.A. Численное решение жестких краевых задач для систем линейных разностных уравнений методом прогонки. // Докл. Ali СССР, 1986. Т.283. JÛ- 3. С.521-524. -

33. Бш^а A.A., Тупиков U.B. Программа численного решения краевых задач для Л1шейшх обыкновенных дифференциальных уравнений методом направленной ортогонализации.- в кн. "Математическое и програг.2.шое обеспечение библиотеки прикладных про-грасл по электродинамике".- М.: Изд-во (.{ГУ, 1987. С. 103-1С.

34. Басов A.A., Трубецкой м.К.. Якунин С.А., Панасенков A.A. Задача оптимизации протекания электронного тока через магнитную сетку. - в кн. "Программа VII Всесоюзного семинара по

■ физике и технике интенсивных источник в ионов и ионных пучков". - Киев, Институт Физики АН УССР, 1987.

• 35. Быкоз A.A., Морозов А.И., Свешников А.Г., Якунин С.А. Дина-

мика электронной компоненты квазинейтральной плазмы в области магнитной сетки. // Докл. АН СССР, 1988. Т.299. J§6. С.1357-1362.

36. Быков A.A., Свешников А.Г., Якунин С.А. Feление кинетического уравнения для электронной компоненты г.азмы в магнитном фильтре с помощью многогруппового метода. ,-/ Докл. АН СССР, 1988. Т.304. 1Ï6. С. 1333-1337.

37. Быков A.A., Трубецков М.К. Оптимизация формы периодической границы раздела двух сред с различными диэлектрическими про-ницаемостями. // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1989.

' Т.29. }b I. С.75-81.

38. Быков A.A., Попс? ЗЛО., Свешников А.Г., Якуигш С.А. Двумерная модель течения тока в квазинейтральной плазме с учетом собственного магнитного поля. // Вестн. Моск. Ун-та,.сер.3.: Физика, Астрономия, I9S9. Т.30. £ 5. C.II-I5.

39. Быков A.A. Метод прогонки для решения жестких краевых задач для систем линейных разностных уравнений. // Я. вычисл. ма-тем. и матем. фяз., 1939. Т.29. .»S 3. С.355-370. '

40. Быков A.A., Попов В.Ю., Свешников А.Г., Якунин С.А. Математическое моделирование течения тока в среде с сильным эффектом Холла. // Матем. моделирование, 1989. T.I. „'"4. С.45-53.

41. Быков A.A., Трубецксв U.K., Свеглпков А.Г. Применение непол- ; ного метода Галеркина для решения задач дифракции электро- :. магнитных волн на неоднородном цилиндре. / К. вычисл. матем. ■ и матем. физ., 1990. Т.30. JS 6. С.894-909.

42. Быков A.A. О диаграмме направленности излучеш!я полубёско-нечкого планарного диэлектрического волновода с шогослойным трансформатором. // Изв. ВУЗов, Радиофизика, 1990. Т.33. .'3., С.222-225. • .

43. Быков A.A., Попов В.О. Рассеяние.на диэлектрической решетке с дефектами. - в кн. "Математическое моделирование и приложения явлений дифракции. Краткие тезисы'докладов Всесоюзного научного семинара".- Н.: Изд-во Г.ТУ, 1990. С.61-62. ■ .

44. Быков A.A., Свешников А.Г., Трубецков М.К. Прямой проекцион- . ный метод расчета собственных волн открытых волноводов слоеной формы. - в кн. "Математическое моделирование и приложения явлений дифракции. Краткие тезисы докладов Всесоюзного научного семинара".- М.: Изд-во МГУ, 1990. С.167-168. • .

45. Быков A.A., Свешников А.Г., Трубецков U.K. Численное решение, задач дифракции плоской электромагнитной волны на неоднородном диэлектрическом цилиндре.- в кн. "Математическое моделирование и приложения явлений дифракции. Краткие тезисы докладов Всесоюзного научного семинара"- М.: Изд-во МГУ, 1990. С.169-170.

46. Быков A.A., Попов В.Ю., Свешников А.Г., Якунин С.А. Внутренние переходные слои потенциала в сильно замагнйченной плазме. // Матем. Моделирование, 1989. T.I. JS 6. С.33-47.

47. Быков A.A., Свешников А.Г., Трубецков М.К. Прямой проекционный метод решения задач дифракции электромагнитных волн на-

неоднородном диэлектрическом цилиндре - в кн. "X Всесоюзный сгэдгозиум по дифракции и распространению волн. Программа.

: . Винница,.1990. С.7. . .

48. Быков А.А., Свешников Д.Г., Трубецков U.K. Метод расчета собственных волн открытых волноводов, основанный на строгой математической модели,- в кн. "X Всесоюзный симпозиум по дифракции и • распространению вола. Програ^а."- Винница, 1990. C.II.

•49. Быков А.А. Численный анализ электродинамических характеристик периодических диэлектрических решеток с плавным и ступенчатым профилем показателя преломления - в кн. "X Всесоюз-. ный симпозиум по дифракции и распростране нию еолн. Програм-. ма.".- Винница, 1990. С.19.

50. Быков А.А., Попов В.Ю,, Тихокравов А.Н. Рассеяние-плоской волны ' на тонкопленочном покрытии с объемной нерегулярной структурой. в кн. "X Всесоюзный симпозиум по-дифракции и

• распространению волн. Программа.".- Винница, 1990. 0.24. ,

51.- Бикоз Л.А. Отражение плоской волны от периодической решетки эллиптических цилиндров с многослойным поглодающим покрытием. //Радиогехн. ц электроника,1990. Т.35.Ш1. С.2437-2439.

52. Бикоа ¿.А., Свех^шкоз А.Г., 'хрубацков U.K. Математические ' модели в задачах о распространении, электромагнитных волн в

; присутствш. неоднородного диэлектрического цилиндра. - в кн. "Mathematical Modelling and Applied Mathematics, Abstracts of International IIIACS Conference". - Moscow-Vilnius, June 18-23, 1990. PP.15-16.

53. Быков А.А., Свешшков А.Г., Трубецков U.K. Математические модели в теории собственных волн открытых волноводов сложной формы. - в кн. "Mathematical Modelling and Applied Mathematics, Abstracts of International IMACS Conference". - Moscow-Vilnius, June 18-23, 1990. PP.15-16.

54. Bikov A.A., Popov V.J., Tllihonravov A.V. The investigation of scattering caused by thin film columnar structure. - In "SPIE Optical Thin Films and Applications Congress, SPIE Publ", 1990. V.1270. PP.159-169.

55. Быков А.А., Трубецков Ы.К., Свешников А.Г. Применение неполного метода Галеркина для расчета собственнных волн открытых волноводов. // Математическое моделирование, 1991. Т.З. Ш. СЛ02-П4.