автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование столкновений частиц, приводящих к решениям уравнений Больцмана и Смолуховского

п

На правах рукописи

ГАЛКИН АЛЕКСЕЙ ВАЛЕРЬЕВИЧ

Математическое моделирование столкновений частиц, приводящих к решениям уравнений Больцмана и Смолуховского

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 О МДЙ 2003

Москва 2009

003471262

Работа выполнена на кафедре прикладной математики Обнинского государственного технического университета атомной энергетики

Научный руководитель доктор физико-математических наук

Савельев Валерий Иванович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

профессор Веденяпин Виктор Валентинович

доктор физико-математических наук старший научный сотрудник Гинкин Владимир Павлович

Ведущая организация: кафедра математики физического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова

Защита состоится «Р » о б 2009г. в «/»» часов на заседании диссертационного совета Д 002.058.01 при институте математического моделирования РАН по адресу: 125047, Москва, Миусская пл. 4а

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке института математического моделирования РАН.

Автореферат разослан « А » б Г_2009г.

Ученый секретарь —

диссертационного совета, г Змитренко Н.В.

доктор физико-математических наук

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность

Актуальность темы диссертационной работы определяется необходимостью тестирования и обоснования прямого моделирования для решения задач, связанных с процессами переноса вещества в системах сталкивающихся частиц, установления связи прямого моделирования с уравнениями Больцмана и Смолуховского.

Интерес к системам сталкивающихся частиц обусловлен исследованиями в авиационной и космической технике, вакуумной технике, химической технологии. Уравнения газовой динамики обладают уникальной универсальностью в том смысле, что они описывают основные физические процессы- большинства совремс нных-технологий и экологических проблем от производства элементной базы микроэлектронной промышленности до переноса токсических компонентов воздушными потоками. Потребность в гидро- и газодинамических расчетах возрастает еще и потому, что по мере развития численных методов и бурного прогресса вычислительной техники увеличиваются возможности математического моделирования газодинамических процессов, и как следствие рост доверия инженеров и конструкторов к результатам вычислительного эксперимента. Помимо внешних стимулов со стороны промышленности неослабевающий интерес к развитию вычислительной газовой динамики поддерживается и внутренней логикой научного исследования этой интереснейшей с точки зрения развития механики, прикладной и общей математики проблемы.

Интерес к процессу коагуляции обусловлен исследованиями в метеорологии, экологии, астрономии, теории реакторов на быстрых нейтронах. Напрямую с явлениями коагуляции связаны процессы роста трещин в структуре материалов за счет их взаимных пересечений. Это имеет прямое отношение к задачам динамики разрушения деталей. Процессы коагуляции лежат в основе явлений полимеризации, створаживания, свертываемости крови.

Важность прямого математического моделирования для расчета систем сталкивающихся частиц обусловлена тем, что необходимо иметь соответствие между решениями уравнения Больцмана и рас-

пределением частиц в реальных физических системах. Возможно проведение сравнительного анализа результатов имитационного моделирования с точными решениями и решениями, полученными с помощью разностных схем. При этом большое значение имеют правила подготовки спектров имитационного моделирования для последующего сравнения с точными решениями.

В настоящее время найдены точные решения уравнения Болъцма-на для сравнительно простых случаев малых градиентов температуры, скорости и концентраций в газе. Существуют ситуации, когда уравнение Смолуховского не имеет классического решения. Поэтому прямое моделирование процессов коагуляции имеет большое прикладное значение. Быстрый рост производительности вычислительной техники, использование многопроцессорных вычислительных систем делают реальной возможность детального моделирования газодинамических потоков.

Целью настоящей работы является разработка алгоритмов, реализация программного обеспечения и проведение вычислительных экспериментов прямого моделирования систем сталкивающихся частиц для специального случая одноатомного больцмановского газа и коагуляции в дисперсных системах.

Научная новизна. Основные результаты работы являются новыми и состоят в следующих положениях, выносимых на защиту:

1. Исследована новая математическая модель больцмановского газа, основанная на применении метода прямого моделирования.

2. Создан алгоритм и программное обеспечение для моделирования ортогональных соударений твердых сфер. Обоснована математическая корректность исследуемой модели, приводящей для сферически симметричных распределений в импульсном пространстве к кинетическому уравнению Смолуховского.

3. Исследована новая математическая модель пространственно неоднородной коагуляции, приводящая к решениям классического уравнения Смолуховского.

4. Создан алгоритм и программное обеспечение для прямого моделирования процесса пространственно однородной и неоднородной парной коагуляции.

Практическая ценность работы. Работа носит теоретический характер. Методы, разработанные в диссертации, могут быть использованы для исследовании проблем математического моделирования в больцмановском газе и пространственно неоднородной коагуляции. Создан алгоритм и программное обеспечение для моделирования ортогональных соударений твердых сфер. Обоснована математическая корректность исследуемой модели, приводящей для сферически симметричных распределений в импульсном пространстве к кинетическому уравнению Смолуховского. Создан алгоритм и программное обеспечение для прямого моделирования процесса пространственно однородной и неоднородной парной коагуляции.

_Апробация. работы._Основные_положения_и_ результаты, работы.

докладывались на следующих научных конференциях и семинарах:

1. Семинар лаборатории Монте-Карло ускорителя на тяжелых ионах GSI г. Дармштадт, Германия, декабрь 2006 г.

2. 9-й Международный семинар «Математическое моделирование и супервычисления», Саров, 2006 г.

3. Международная конференция «20-th International Conference on Transport theory, Obninsk, 2007», г. Обнинск, июль 2007 г.

4. 10-й Международный семинар «Математическое моделирование и супервычисления», Саров, 2008 г

5. Международная конференция «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы», посвященная 100-летию И.Г. Петровского, г. Москва, май 2007 г.

6. Международная конференция «Математические идеи П.Л.Чебышева и их приложение к современным проблемам естествознания», г. Обнинск, 14-18 мая 2006, 2008 гг.

7. Научный семинар ИММ РАН под руководством проф. Е.И. Ле-ванова, 2009 г.

Выполнение исследований в рамках настоящей работы было поддержано грантом РФФИ, код проекта 08-01-00338(А).

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, разбитых на параграфы, заключения и списка литературы, содержащего 91 наименование. Объем диссертации составляет 118 страниц.

Публикации. Основные результаты, полученные автором и изложенные в диссертации, опубликованы в работах [1-12] (список литературы приведен в конце автореферата). По материалам диссертации опубликованы 12 научных работ и сделано 9 докладов на научных конференциях. Результаты, содержащиеся в работах, выполненных в соавторстве, и включенные в диссертацию, получены автором лично и включены в диссертацию с согласия и одобрения соавторов этих работ.

Краткое содержание работы

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, научная новизна полученных результатов, а также кратко изложено содержание и основные результаты работы.

В первой главе приведен обзор исследований, связанных с математическим моделированием кинетики сталкивающихся частиц. Рассмотрены модели парных соударений частиц, характерных для больцмановского газа, процессов коагуляции Смолуховского и выделен специальный случай ортогональных соударений, связывающий модели Больцмана и Смолуховского. Приведены примеры точных решений.

Во второй главе [2-12] рассматривается математическая модель больцмановского газа, основанная на моделировании столкновений с повторным розыгрышем пар взаимодействующих частиц на каждом шаге по времени. При этом пары не взаимодействуют, если на данном шаге времени хотя бы одна частица в паре уже участвовала в розыгрыше. Этот алгоритм розыгрыша взаимодействий частиц на каждом шаге по времени универсальным образом применяется во всех моделях, рассматриваемых в диссертации в дальнейших главах. Пусть частицы физической системы занумерованы натуральными числами 1 < / < N, N > 1. Каждому номеру / могут соответствать величины скорости v1 е Ил, где Кл - фазовое пространство рассматриваемой модели п = 2,3.

Пусть значения времени / принимают дискретные значения (л = пх, п е Н„+, т > 0.

Частицы в момент времени (п, могут участвовать в парных взаимодействиях по закону столкновений бильярдных шаров.

п п

\/деЪ2={деКп:(д,д)л =1}.

п

Акты парных столкновений и изменение скоростей при столкновении разыгрываются следующим образом. Рассмотрим множество Л, состоящее из пар номеров частиц (/, у), 1 < / < у < N.

В каждый момент времени 1п разыгрываются независимые

случайные величины л(1)(0 со значениями в А. При этом

вероятность выбора пары р{п(*) (Г„) = (г, /)} = 1 / Су, 1 < ^ < 0(Ю, где

величина <2(^0 определяет количество повторных розыгрышей в данный момент времени. Возможные пары сталкивающихся частиц в момент времени /л выберем как значения набора {я^ЧО}"^,

накладывая дополнительное ограничение: если хотя бы один из номеров, входящих в пару л(1) ) при .у > 2, входит в одну из пар

п<1) ('„)>•••> ч)(0> т0 Д™ пары тг(1)(0 преобразования скоростей по закону билярдных шаров в момент времени не происходит. Тем самым исключаются многократные взаимодействия для каждой частицы в момент времени 1п.

Возможность преобразования скоростей для выбранных вышеуказанным способом пар номеров сталкивающихся частиц определим розыгрышем совокупности независимых случайных

величин г|(/), (/,у)е А, принимающих два значения: 0 и 1.

Значение 0 означает запрет преобразования скоростей, а 1 - наличие преобразования скоростей (*) для пары частиц с номерами (/,/) в

момент времени /я. Розыгрыш этих значений подчиним следующим

правилам. Значения случайной величины Ци{1„) задаются условной функцией распределения

где 0< ®(v',vJ) = <t>(V,v') - заданная интенсивность столкновений частиц, которая предполагается финитной функцией. Направление вектора q в формуле столкновений бильярдных шаров, который

принадлежит единичной сфере в R„, выбираем на основе случайного розыгрыша точки на указанной сфере, распределенной по равномерному закону.

Если пара (i,j) е А выбрана и значение Л,,/(О =', то значение

векторов скоростей для выбранной пары преобразуется по закону (*). При этом значения скоростей остальных частиц в системе остается

неизменным. Если же г)1 . {tn) = 0 , то значения скоростей для всех

частиц системы остаются неизменными. Указанная процедура выполняется для всех пар выбранных номеров последовательным перебором я0)(О>-> nlem(t„).

Пусть фазовое пространство скоростей R„ является объединением непересекающихся ячеек Д, положительной лебеговой меры mes(Dv). Рассмотрим числа заполнения ячейки ¡\:

def ^

KV«) = S 1-

i:v'sDv

Положим

« (, si М

"v.NVn/ /г>\ът>

mes(Dv )N

~ средняя концентрация частиц в ячейке Д, в момент времени tn (средняя относительная доля частиц системы из N частиц, имеющих скорость v в момент времени tn). Среднее значение относится к

независимым реализациям описанного алгоритма.

Тестирование этого алгоритма проводилось посредством сравнения концентраций uvN{tn) с точными решениями A.B. Бобылева пространственно однородного уравнения Больцмана.

Параметры модели выбирались следующими: число частиц порядка N = 25000, которые в начальный момент времени имеют распределение вероятностей, соответствующее точному решению A.B. Бобылева (одночастичная функция распределения зависит только от кинетической энергии частиц). Фазовое пространство скоростей трехмерное. Промежуток времени выбора сталкивающихся пар частиц (шаг по времени) равен т = 10~3. Число повторных испытаний для выбора сталкивающихся пар на одном шаге по времени имеет порядок Q(N) = 32000. Интенснвность столкновений в вычислительном экспер1шенте выбиралась так, что Ф = 20, если кинетическая энергия Е каждой из сталкивающихся частиц не пре-.восходит_10^В.противном_слунае.полагаем.вел1шину_Ф_=.0_Ячейки. имеют вид сферических слоев в с центром в точке 0, при этом толщина каждого слоя равна 10~2.

Результаты вычислительного эксперимента указывают на адекватность имитационного моделирования решению A.B. Бобылева с погрешностью порядка 7%.

Аналогичные вычислительные эксперименты выполнены для пространственно неоднородной модели, где также получены удовлетворительные результаты.

В третьей главе рассматривается модель разреженного газа [1], состоящего из одинаковых частиц, столкновения между которыми возможны лишь в том случае, когда векторы скоростей двух налетающих частиц ориентированы ортогонально друг другу. В этом случае выполняются законы сохранения импульса и кинетической энергии для пары сталкивающихся частиц. Покоящиеся частицы системы порождают структуру, которая является своеобразным «конденсатом» неподвижного вещества. Для описания динамики такого газа предложено кинетическое уравнение и выполнены вычислительные эксперименты, подтверждающие соответствие выбранной модели и прямого моделирования методом Монте-Карло процесса указанных столкновений. Приводится схема моделирования явления путем случайного розыгрыша (метод Монте-Карло). Тестируется сходимость результатов вычислительного эксперимента к точным решениям кинетического уравнения и решениям, полученным с помощью разностных схем.

При построении математической модели процесса соударений частиц на систему налагают следующие предположения физического характера:

• все частицы системы имеют одинаковые массы т > 0;

• в столкновениях участвуют только пары частиц, имеющие ортогонально направленные скорости в системе отсчета центра масс множества частиц, рассматриваемого в рамках модели;

• при столкновениях выполняется закон сохранения импульса и кинетической энергии.

Таким образом, в силу законов сохранения скорости сталкивающихся частиц уеИ, и и е в предлагаемой модели преобразуются по следующему закону:

где символ «штрих» относится к скоростям частиц после столкновения.

Величина (V, г;) = ~ скалярное произведение. Таким образом, в

процессе такого столкновения обязательно образуется покоящаяся частица, которая, по существу, выбывает из последующих взаимодействий, ибо в данной модели при столкновении с такой частицей происходит обмен импульсами. В кинетическом уравнении Больцмана

оператор столкновений (/), соответствующий такому закону взаимодействия частиц имеет следующий вид:

п

дг

Он состоит из двух компонент - сингулярной, задаваемой атомарной мерой Дирака 50(сЛ>), сосредоточенной на покоящихся частицах, и абсолютно непрерывной компоненты с мерой Лебега сЬ. Сингулярная компонента описывает образование конденсированного вещества, состоящего из совокупности покоящихся частиц в системе отсчета, связанной с центром масс системы частиц.

Примером решения указанного уравнения при интенсивности столкновений Ф = 1 является мера, состоящая из абсолютно непрерывной компоненты с нестационарным максвелловским распределением, и атомарной меры, эволюционирующей при / —> +со к мере Дирака 50(А>):

f{dv,t) = -7—^—-гехр

1 + — 2тг

v2

1 + ± 2п у

dv + —— S0(dv) 2% + t

Приведенная формула описывает «перекачку» вещества из подвижной компоненты газа в неподвижную. Она является примером функционального решения задачи Коши при непрерывных начальных данных (распределение Максвелла). Очевидно, что для этого решения выполняются законы сохранения массы, средний импульс равен нулю, сохраняется средняя кинетическая энергия. Масса вещества в подвижной компоненте (совпадающая с вероятностью обнаружения частицы в подвижной компоненте) равна p(t) = —-—; пол-

1 + — 2%

ная масса неподвижной компоненты (вероятность обнаружения частицы в неподвижной компоненте) равна —-—; температура непод-

2n + t

вижной компоненты равна нулю. При этом температура газа T°(t) сосредоточена в подвижной компоненте и растет с течением времени

пропорционально 1 +— . Выполняется уравнение состояния идсаль-2л

ного газа (закон Клапейрона-Менделеева) Р = RpT . На приведенном решении давление Р = const.

Для тестирования модели в рамках вычислительного эксперимента рассматривалась пространственно однородная задача с дискретным оператором столкновений

Положим, что дискретное множество скоростей О лежит в плоскости. Пусть в столкновениях участвовали только те пары частиц, у которых ортогональные направления движения и одинаковые значения кинетической энергией Ек= 2*"1, к -1,2,.... (Величина кинетической энергии частицы массы т равна ^ту2). Для удобства вычислений потребуем, чтобы значение массы частицы т = 2. На каждом энергетическом уровне Ек выделим две пары взаимно ортогональных направлений, задаваемых единичными векторами

Ге,=(Ц)), и=(1Л)/>/2, К =(0,1), {^=(-1,1) /72.

Интенсивность столкновений частиц определим формулой Ф(у,,У2) = с1к, с1к > 0, если значения скоростей пары сталкивающихся

частиц принимают значения у*к = и у^ = ±у[Ще2, либо

v¡k = ±у(Щез и = ±^е4. В остальных случаях положим значения Ф(у, ,у2) = 0. Зададим величину с1п = 0,Е0=0. Таким образом, на каждом энергетическом уровне Ек (к & 0) имеется восемь значений скорости (с учетом знака относительно выбранных четырех направлений), которые участвуют в парных столкновениях. Конфигурация расположения скоростей на плоскости изображена на рис. 1.

сталкивающихся частиц

Тогда в этих обозначениях с учетом указанных требований на функцию Ф, пространственно однородное кинетическое уравнение принимает следующий вид:

~ Я,к/2,к + Л,к/г,к + А,к/хк + /з,*А* +

+ /з,.*/(,* + /хк^,к~\>

(¡1

= -1/3,4-1/4^ -1 [Л,к + /2.*]'

^ ~ ^к 1/3,4-1/\,к 1 ~ ^к/г.к [7l.it + /д!'

С

<Л

= ~ ^к/хк [/4,4 + /и ]'

^ ' ^к-\)\,к \1г,к -\ ~ ^к/\к [/4,«: + /4,1]'

¿/л

ж

- /1,4-1 Лл-1 ^/4,4 [/з,4 + /з,* ]>

7~ ~ ^к-1 /],£-] ^4/1,4- [/з,4 + /з,4 ] ■

Л

Выделяется специальный класс решений этой системы уравнений, симметричных относительно направления движения частиц. Для этого примем, что решение системы зависит только от энергетического уровня, т.е.

/и(0 = ф*(0, ¿ = 1,2,...

Тогда концентрация газа пк на энергетическом уровне Ек вычисляется по формуле

м

В этом случае уравнения для концентраций частиц на энергетических уровнях имеют следующий вид:

■Л 4 *

Отметим, что эта система уравнений является частным случаем уравнения Смолуховского:

ёп 1 00

= ,М . к = 1,2,...,

I 1 1=1

для которого разработана подробная теория.

Для компьютерного моделирования процесса ортогональных столкновений частиц применен алгоритм повторных розыгрышей столкновений, разработанный в [5] и оказавшийся весьма эффективным для моделирования процессов коагуляции. В качестве теста использовался пример описанной выше дискретной модели. Сравнение одновременно проводилось значений концентраций частиц пк (7) на

энергетических уровнях Ек- 2*"1, к = 1,2,..., полученных методом имитационного моделирования столкновений частиц, а также аналитическим решением и разностным решением уравнений Рикатти по схеме Эйлера.

Для энергетического уровня Ех - это уравнение Бернулли и соответственно имеем аналитическое решение:

"■(О)

пМ) =-^—.

1 1 +

Концентрации на последующих уровнях подчиняются рекуррентной последовательности уравнений Рикатти, которые имеют неотрицательное решение при всех I >0, если начальные данные пк{0) неотрицательные.

Пример типичного сравнительного расчета для одной истории описанного вычислительного эксперимента приведен на рис. 2. В этом примере использовались следующие параметры моделирования: ЛГ = 2,4-103, N' = 4,^=10, к> 1, </0 = 0, *о = 10, т = 1(Г3, да) = 9,7-103, Г = 8.

На каждом из восьми направлений движения в начальный момент времени загружалось по 300 частиц. При прямом моделировании, как и ранее в модели Больцмана применялся алгоритм с повторными розыгрышами пар взаимодействующих частиц на каждом шаге по времени с исключением уже разыгранных частиц на данном шаге.

V

1--------

о

——— вычислительный эксперимент ( одна i te тор «я ) X х X X разкосткое решение по схеме Эклера о о о о аналитическое peiueime (27)

Рис. 2, Результаты компьютерного моделирования процесса ортогональных столкновений (графики концентраций и, (?)) и nQ(t))

Погрешности вычислительного эксперимента при рассматриваемых условиях не превосходили 2%.

В четвертой главе применяются алгоритмы моделирования [2-5 ] для процессов коагуляции (слияния) частиц. При прямом моделировании, как и ранее в модели Больцмана применялся алгоритм с повторными розыгрышами пар взаимодействующих частиц на каждом шаге по времени с исключением уже разыгранных частиц на данном

шаге. Частицы, помещенные в ячейку Б, в момент времени , могут участвовать в парных взаимодействиях, приводящих к их коагуляции. Акты парных столкновений и коагуляции разыгрываются следующим образом.

Рассмотрим множество А, состоящее из пар номеров (/,/),

1 < / < ]<М. В каждой ячейке I), в момент времени (п разыгрываются независимые случайные величины со значениями в А так, что

Р{т^ЧО - О, /)) = 1 / Сд,, 1 < .V < <2(М). Возможные пары сталкивающихся частиц в ячейке 1)1 в момент времени /и выберем как; значения

хотя бы один из номеров, входящих в пару ПРИ я > 2, входит в

одну из пар ,..., > то для пары коагуляция в

ячейке /), в момент времени не происходит. Тем самым исключаются многократные взаимодействия для каждой частицы внутри ячеек. После завершения розыгрыша актов коагуляции во всех ячейках, содержащих частицы, осуществляется перемещение частиц между ячейками. Обозначим величиной (^"(/„^ среднее число

частиц массы к в ячейке I), в момент времени > 0. Положим

- средняя концентрация частиц массы к в ячейке £>, в момент времени 1п.

Предположим, что при числе частиц N —» оо величина повторных испытаний 0(Ы) такова, что

Тогда при каждом существуют предельные концентрации частиц и'к!>(() = Нт и'и\.((п), подчиняющиеся разностному уравнению

М—'

накладывая дополнительное ограничение: если

Поскольку решения разностного уравнения сходятся к решению уравнения Смолуховского, то отсюда следует сходимость метода имитационного моделирования к решениям уравнения Смолуховского.

Следует подчеркнуть специфику, отличающую пространственно однородные модели от пространственно неоднородных. В пространственно однородных уравнениях Смолуховского функция Ф является интенсивностью слияний (т.е. вероятность слияния пары частиц равна Фт), а в пространственно неоднородном случае - вероятностью слияния частиц при парных соударениях.

Тестирование моделей медленной коагуляции. Численное моделирование коагуляции по алгоритму с повторным выбором пар взаимодействующих частиц проводилось аналогично модели больц-мановского газа. Сравнение имитационного результатов_моделиро^г вания проводилось с аналитическими решениями и вычислениями методом разностных схем. Например, в пространственно однородной модели для числа частиц N порядка 200. Для времени взаимодействия частиц т порядка 10~3 для одной истории имитационного моделирования для ядра Ф = 1 типичная погрешность не превышала 2% для общей концентрации частиц и отдельных компонент спектра.

Основные результаты

Основными научными результатами, полученными лично автором, являются:

1. Проведение вычислительного эксперимента на основе имитационной модели поведения больцмановского газа. Проведение детального сравнительного анализа полученных результатов с точными решениями.

2. Алгоритм и программная реализация на ЭВМ прямого моделирования случая ортогональных соударений, приводящего к пространственно однородному уравнению Смолуховского.

3. Проведение вычислительного эксперимента на основе прямого моделирования процесса пространственно неоднородной парной коагуляции для широкого класса интенсивностей взаимодействия частиц и начальных данных. Проведение детального сравнительного анализа полученных результатов.

4. Алгоритм и программная реализация на ЭВМ прямого моделирования процесса парных столкновений в пространственно однородном и неоднородном случае для больцмановского газа.

Основные результаты опубликованы в работах

1. Галкин А.В.Математическое моделирование газа, образующего конденсированную структуру // Математическое моделирование, 2009, т. 21, С. 103-117.

2. Галкин A.B. Математическая модель динамики сливающихся частиц //X международный семинар «Супервычисления и математическое моделирование», Саров, 2008, С. 52-54.

3. Галкин A.B. Моделирование процесса пространственно неоднородной коагуляции//Тезисы 4-й международной конференции «Математические идеи П.ЛЛебышева и их приложение к современным проблемам естествознания», 2008, С. 17-18.

4. Galkin V.A., Galkin A.V., Saveliev V.l. Mathematical simulation of dynamics in cluster systems of Boltzmann - Smoluchowski type//Abstracts of 20-th International Conference on Transport theory, Obninsk, 2007, p. 67-70.

5. Галкин B.A., Галкин A.B. Метод Монте-Карло прямого моделирования пространственно неоднородной коагуляции// Труды 3-й международной конференции «Математические идеи П.Л. Чебышева и их приложение к современным проблемам естествознания», 2008, С.8-18.

6. Галкин A.B., Галкин В.А. Математическое моделирование роста агломератов// Сборник научных трудов, т. 29, Физико-математические и технические науки, 2008, с. 16-23.

7. Галкин В.А., Галкин A.B., Галкина И.В., Здоровцев П.А., Осец-кий Д.Ю., Савельев В.И. Разработка и исследование математических моделей сложных систем// Труды регионального конкурса научных проектов в области естественных наук, 2008, вып. 14, с. 11-24.

8. Галкин В.А., Галкина И.В., Осецкий Д.Ю., Рыжиков Д.А., Галкин A.B. Математическое моделирование процессов спекания порошковых материалов и роста агломератов//Труды Регионального Конкурса научных проектов в области естественных наук, Калуга, 2007, С. 42-56.

9. Галкин В.А., Галкин A.B. Математическое моделирование пространственно неоднородной коагуляции. 2006, Международный семинар «Супервычисления и математическое моделирование», Саров, 2006.

10. Galkin V.A., Galkin A.V. Quasilinear non - local Hopf - type equation describing clusters growth due to mutual connections between elements in the interacting couples of clusters//Abstracts of EQUADIFF -2007, Vienna, Austria, 2007, p. 52.

11. Галкин В. А., Галкин А. В., Галкина И.В., Осецкий Д.Ю., Савельев В.И. Разностный метод для решения уравнения Больцмана-Смолуховского //в сб. «Труды регионального конкурса научных проектов в области естественных наук» , 2007, вып. 13, с. 46-50.

12. Галкин А. В.,Галкин В.А., Осецкий Д.Ю. Математическое моделирование роста дефектов в материалах ЯЭУ тезисы доклада// Труды международной конференции « Безопасность АЭС и подго-

—товка- кадров»—Тезисы -докладов -Х-международной- конференции, С. 119-120.

Компьютерная верстка А.В. Галкин

JIP №020713 от 27.04.1998

Подписано к печати Z ООО Формат бумаги 60x84/16

Печать ризограф. Заказ № 25? Бумага MB Тираж 100 экз. Печ. л. 1,25 Цена договорная

Отдел множительной техники ИАТЭ 249035, г. Обнинск, Студгородок, 1

ВВЕДЕНИЕ.

1. ОБЗОР ИССЛЕДОВАНИЙ, СВЯЗАННЫХ С МАТЕМАТИЧЕСКИМ МОДЕЛИРОВАНИЕМ КИНЕТИКИ СТАЛКИВАЮЩИХСЯ ЧАСТИЦ.

1.1 Модели парных соударений частиц.

1.2. Примеры точных решений.

2. ДВЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СТОЛКНОВЕНИЙ БИЛЬЯРДНЫХ ШАРОВ, ПРИВОДЯЩИЕ К РЕШЕНИЯМ УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА.

2.1.Связь уравнений кинетики с уравнениями сплошной среды

2.2. Моделирование процесса столкновений в больцмановском газе.

3. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ГАЗА, ОБРАЗУЮЩЕГО КОНДЕНСИРОВАННУЮ СТРУКТУРУ.

3.1. Введение.

3.2. Кинетическое уравнение.

3.3. Пространственно однородная модель. Дискретное фазовое пространство.

3.4. Пространственно однородная модель. Фазовое пространство а = Е„.

3.5. Пространственно неоднородная модель.

3.6. Аналитическое решение дискретной модели (3.2), (3.12).

3.7. Компьютерное моделирование дискретной модели (3.2, (3.12)

3.8. Переход от кинетического уравнения ортогональных столкновений к кинетическому уравнению Смолуховского.

3.9. Тестирование модели (3.34), (3.35), (3.36), (3.37) на примере ортогональных столкновений на сферах в трехмерном пространстве

3.10. Пространственно однородная модель. Непрерывное фазовое пространство =

3.11. Сферически симметричные аналитические решения уравнения (3.2), (3.19).

4. АЛГОРИТМЫ И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ ЭКСПЕРИМЕНТЫ ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННО ОДНОРОДНОЙ КОАГУЛЯЦИИ.

4.1. Вычислительный эксперимент для пространственно однородной модели коагуляции на основе однократного розыгрыша пары взаимодействующих частиц.

4.2. Метод прямого моделирования медленной коагуляции, основанный на повторных розыгрышах пар взаимодействующих частиц.

4.3. Модель пространственно однородной медленной коагуляции.

4.4 Тестирование модели пространственно однородной медленной коагуляции.

4.5. Модель пространственно неоднородной медленной коагуляции.

4.6. Тестирование модели пространственно неоднородной медленной коагуляции.

Диссертационная работа посвящена исследованию двух физических явлений, связанных с кинетикой сталкивающихся частиц:

1. случай больцмановского газа, приводящий к пространственно однородному уравнению Смолуховского,

2. пространственно неоднородная коагуляция в дисперсных системах.

Для исследования данных явлений используется прямое моделирование на уровне отдельных молекул, основанное на методе Монте-Карло, аналитические и численные решения кинетических уравнений.

Объектом исследования диссертационной работы являются сложные системы взаимодействующих между собой частиц в процессе их движения. Предметом исследования являются кинетические системы, численные и имитационные методы моделирования процессов парных соударений частиц, приводящих к кинетическим моделям Больцмана и Смолуховского.

Актуальность темы диссертационной работы определяется необходимостью тестирования и обоснования прямого моделирования для решения задач, связанных с процессами переноса вещества в системах сталкивающихся частиц, установления связи прямого моделирования с уравнениями Больцмана и Смолуховского.

Интерес к системам сталкивающихся частиц обусловлен исследованиями в авиационной и космической технике, вакуумной технике, химической технологии. Уравнения гидро- и газовой динамики обладают уникальной универсальностью в том смысле, что они описывают основные физические процессы большинства современных технологий и экологических проблем от производства элементной базы микроэлектронной промышленности до переноса токсических компонентов воздушными потоками. Потребность в гидро- и газодинамических расчетах возрастает еще и потому, что по мере развития численных методов и бурного прогресса вычислительной техники увеличиваются возможности математического моделирования газодинамических процессов, и как следствие рост доверия инженеров и конструкторов к результатам вычислительного эксперимента. Помимо внешних стимулов со стороны промышленности неослабевающий интерес к развитию вычислительной гидро- и газовой динамики поддерживается и внутренней логикой научного исследования этой интереснейшей с точки зрения развития механики, прикладной и общей математики проблемы .

Интерес к процессу коагуляции обусловлен исследованиями в метеорологии, экологии, астрономии, теории реакторов на быстрых нейтронах. Напрямую с явлениями коагуляции связаны процессы роста трещин в структуре материалов за счет их взаимных пересечений. Это имеет прямое отношение к задачам динамики разрушения деталей. Процессы коагуляции лежат в основе явлений полимеризации, створаживания, свертываемости крови.

Важность прямого математического моделирования для расчета систем сталкивающихся частиц обусловлена тем, что необходимо иметь соответствие между решениями уравнения Больцмана и распределением частиц в реальных физических системах. Возможно проведение сравнительного анализа результатов имитационного моделирования с точными решениями и решениями, полученными с помощью разностных схем. При этом большое значение имеют правила подготовки спектров имитационного моделирования для последующего сравнения с точными решениями.

В настоящее время найдены точные решения уравнения Больцмана для сравнительно простых случаев малых градиентов температуры, скорости и концентраций в газе. Существуют ситуации, когда уравнение Смолуховского не имеет классического решения. Поэтому прямое моделирование процессов коагуляции имеет большое прикладное значение. Быстрый рост производительности вычислительной техники, использование многопроцессорных вычислительных систем делают реальной возможность детального моделирования газодинамических потоков.

Целью данной работы является разработка алгоритмов, реализация программного обеспечения и проведение вычислительных экспериментов прямого моделирования систем сталкивающихся частиц для специального случая одноатомного больцмановского газа и случая пространственно неоднородной коагуляции дисперсных систем.

В рамках исследуемой проблемы следует выделить основные задачи:

1. Разработка, реализация алгоритма прямого моделирования и создание программного обеспечения для моделирования столкновений в больцмановском газе, а также ортогональных столкновений, когда функция распределения частиц по импульсам и энергиям подчиняется пространственно однородному уравнению Смолуховского.

2. Разработка, реализация алгоритма моделирования, создание программного обеспечения для расчета медленной пространственно неоднородной коагуляции частиц, описываемой уравнением Смолуховского.

3. Обоснование и выявление точности тестовых расчетов для прямого моделирования процесса парной коагуляции при сравнении с точными решениями.

Методами исследования являются:

1. Вычислительный эксперимент

2. Проведение тестирования вычислительного эксперимента

3. Разработка и обоснование математических моделей

Основные положения, выносимые автором на защиту:

1. Проведение вычислительного эксперимента на основе имитационной модели поведения больцмановского газа. Проведение детального сравнительного анализа полученных результатов с точными решениями.

2. Проведение вычислительного эксперимента на основе прямого моделирования процесса пространственно неоднородной парной коагуляции без источника для широкого класса интенсивностей взаимодействия частиц и начальных данных. Проведение детального сравнительного анализа полученных результатов.

3. Алгоритм и программная реализация на ЭВМ прямого моделирования случая ортогональных соударений, приводящего к пространственно однородному и неоднородному уравнению Смолуховского.

4. Алгоритм и программная реализация на ЭВМ прямого моделирования процесса парных столкновений в пространственно однородном и неоднородном случае для больцмановского газа.

Достоверность научных положений, выводов. Научные положения и выводы, сформулированные в диссертации, обоснованы теоретическими решениями и экспериментальными данными, полученными в работе, не противоречат известным положениям физико-математических наук, базируются на сравнительном анализе результатов вычислительного эксперимента. Достоверность результатов обусловлена проведением тестирования вычислительного эксперимента на основе сравнительного анализа с точными решениями и физическим экспериментом.

Научная новизна работы состоит в следующем:

1. Исследована новая математическая модель больцмановского газа, основанная на применении метода прямого моделирования.

2. Создан алгоритм и программное обеспечение для моделирования ортогональных соударений твердых сфер. Обоснована математическая корректность исследуемой модели, приводящей для сферически симметричных распределений в импульсном пространстве к кинетическому уравнению Смолуховского.

3. Исследована новая математическая модель пространственно неоднородной коагуляции, приводящая к решениям классического уравнения Смолуховского.

4. Создан алгоритм и программное обеспечение для прямого моделирования процесса пространственно однородной и неоднородной парной коагуляции.

Практическая значимость работы состоит в следующем;

1. Создан алгоритм и программное обеспечение для моделирования ортогональных соударений твердых сфер. Обоснована математическая корректность исследуемой модели, приводящей для сферически симметричных распределений в импульсном пространстве к кинетическому уравнению Смолуховского.

2. Исследована новая математическая модель пространственно неоднородной коагуляции, приводящая к решениям классического уравнения Смолуховского.

3. Создан алгоритм и программное обеспечение для прямого моделирования процесса пространственно однородной и неоднородной парной коагуляции.

Личный вклад автора. Наиболее существенными научными результатами, полученными лично соискателем, являются:

1. Вычислительный эксперимент по отысканию связи результатов прямого моделирования с аналитическими уравнения Больцмана для максвелловских молекул.

2. Вычислительный эксперимент по отысканию связи результатов прямого моделирования с аналитическими и численными решениями пространственно неоднородного уравнения Смолуховского для широкого класса интенсивностей взаимодействия и начальных данных в случае схемы медленной коагуляции.

3. Математическая модель газа, приводящего к уравнениям Смолуховского.

4. Алгоритм прямого моделирования и программная реализация на ЭВМ математической модели газа с ортогональными столкновениями молекул.

5. Алгоритм прямого моделирования и программная реализация на ЭВМ процесса пространственно неоднородной медленной коагуляции, приводящей к решениям уравнения Смолуховского.

Публикации. Основные публикации по теме диссертации:

1. Галкин A.B.Математическое моделирование газа, образующего конденсированную структуру // Математическое моделирование, 2009, т. 21, с. 103—117. 2. Галкин A.B. Математическая модель динамики сливающихся частиц //X международный семинар "Супервычисления и математическое моделирование", Саров, 2008, С. 52—54.

3. Галкин A.B. Моделирование процесса пространственно неоднородной коагуляции//Тезисы 4-й международной конференции "Математические идеи П.Л.Чебышева и их приложение к современным проблемам естествознания", 2008, С. 17—18.

4. Galkin V.A., Galkin A.Y., Saveliev V.l. Mathematical simulation of dynamics in cluster systems of Boltzmann - Smoluchowski type//Abstracts of 20th International Conference on Transport theory, Obninsk, 2007, p. 67—70.

10

5. Галкин В.А., Галкин A.B. Метод Монте-Карло прямого моделирования пространственно неоднородной коагуляции// Труды 3-й международной конференции "Математические идеи П.Л.Чебышева и их приложение к современным проблемам естествознания", 2008, С. 8—18.

6. Галкин A.B., Галкин В.А. Математическое моделирование роста агломератов// Сборник научных трудов, т. 29, Физико—математические и технические науки, 2008, с. 16—23.

7. Галкин В. А., Галкин А. В., Галкина И.В., Здоровцев П.А., Осецкий Д.Ю., Савельев В.И. Разработка и исследование математических моделей сложных систем// Труды регионального конкурса научных проектов в области естественных наук, 2008, вып. 14, с. 11—24.

8. Галкин В.А., Галкина И.В., Осецкий Д. Ю., Рыжиков Д. А., Галкин А. В. Математическое моделирование процессов спекания порошковых материалов и роста агломератов//Труды Регионального Конкурса научных проектов в области естественных наук, Калуга, 2007, С. 42—56.

9. Галкин В. А., Галкин A.B. Математическое моделирование пространственно неоднородной коагуляции. 2006, Международный семинар "Супервычисления и математическое моделирование", Саров—2006.

10. Galkin V.A., Galkin A.V. Quasilinear non—local Hopf—type equation describing clusters growth due to mutual connections between elements in the interacting couples of clusters// Abstracts of EQUADIFF—2007 , Vienna, Austria,

2007, p.52.

11. Галкин В. А., Галкин А. В., Галкина И.В., Осецкий Д.Ю., Савельев В.И. Разностный метод для решения уравнения Больцмана—Смолуховского //в сб. "Труды регионального конкурса научных проектов в области естественных наук" , 2007, вып. 13, с. 46—50 .

12. Галкин А. В.,Галкин В.А., Осецкий Д.Ю. Математическое моделирование роста дефектов в материалах ЯЭУ тезисы доклада// Труды международной конференции " Безопасность АЭС и подготовка кадров". Тезисы докладов X международной конференции, с. 119—120.

Апробация работы. Основные положения и результаты работы докладывались на следующих научных конференциях и семинарах:

1. Семинар лаборатории Монте-Карло ускорителя на тяжелых ионах GSI г. Дармштадт, Германия, декабрь 2006 г.

2. 9-й Международный семинар «Математическое моделирование и супервычисления», Саров, 2006 г.

3. Международная конференция «20-th International Conference on Transport theory, Obninsk, 2007», г. Обнинск, июль 2007 г.

4. 10-й Международный семинар «Математическое моделирование и супервычисления», Саров, 2008 г

5. Международная конференция «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы», посвященная 100-летию И.Г.Петровского, г. Москва, май 2007 г.

6. Международная конференция «Математические идеи П.Л.Чебышева и их приложение к современным проблемам естествознания», г. Обнинск, 14-18 мая 2006, 2008 гг.

7. Научный семинар PIMM РАН под руководством проф. Е.И.Леванова, 2009 г.

Выполнение исследований в рамках настоящей работы было поддержано грантом РФФИ, код проекта 08-01-00338(А).

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения. Работа изложена на 118 страницах, в том числе основного текста 69 страниц, 4 рисунков, список литературы из 91 наименований.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной диссертационной работе можно выделить следующие новые результаты:

1. Построена новая имитационная модель больцмановского газа, разработан алгоритм прямого имитационного для моделирования процесса столкновений молекул разреженного газа. Создана и протестирована компьютерная программа на ЭВМ для алгоритма прямого имитационного моделирования.

2. Проведено математическое моделирование газа, образующего конденсированную структуру, для которого получено новое кинетическое уравнение, переходящее в сферически симметричных по импульсам распределениях в кинетическое уравнение Смолуховского.

3. Исследована новая математическая модель процесса пространственно неоднородной коагуляции в дисперсных системах, приводящая к решениям пространственно неоднородного уравнения Смолуховского для дискретных масс.

4. Разработан алгоритм прямого имитационного моделирования процесса пространственно неоднородной коагуляции в дисперсных системах. Создана и протестирована вычислительная программа на ЭВМ на основе предложенного алгоритма.

5. Разработанные алгоритмы моделирования и вычислительная программа на ЭВМ могут быть использованы для математического моделирования роста трещин в структуре материалов, для моделирования уравнения состояния в кварк-глюонной плазме в международном эксперименте физики высоких энергий Compressed Baryonic Matter.

1. Рождественский Б. Л., Яненко Н. Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. - М.: Наука. - 1978.

2. Черчиньяни К. Теория и приложения уравнения Больцмана. М.: Мир. -1978

3. Неравновесные явления. Уравнение Больцмана. Под редакцией Д. Л. Либовица и Е. У. Монтролла. М.: Мир. - 1986

4. Черчиньяни К. Математические методы в кинетической теории газов. -М.: Мир. 1973.

5. Карлеман Т. Математические задачи кинетической теории газов. М.: ИЛ, 1960.

6. Галкин В. А. О существовании и единственности решения уравнения коагуляции // Дифференц. уравнения, 1977, Т. 13, №8, С. 1460—1470.

7. Кац М. Вероятность и смежные вопросы в физике. М.: Мир. -1965.

8. Румер Ю.Б., Рыбкин М. Ш. Термодинамика, статистическая физика и кинетика. М.: Наука. Физматлит. - 1977

9. Больцман Л. Статьи и речи. М.: Наука. - 1970, 406 с

10. Кац М. Несколько вероятностных задач физики и математики. -М.: Наука. 1967

11. Четверушкин Б.Н. Кинетически согласованные схемы в газовой динамике. М.: из-во МГУ. - 1999

12. Власов А. А. Нелокальная статистическая механика. М.: Наука. - 1978, 264 с

13. Волощук В. М., Седунов Ю. С. Процессы коагуляции в дисперсных системах. Л.: Гидрометеоиздат. - 1975

14. Смолуховский М. Опыт математической теории кинетики коагуляции коллоидных растворов // М.: ОНТИ, в кн: Коагуляция коллоидов. 1936. С. 7—39

15. Smoluchowski М. Drei Vortrage Über Diffusion, Brounsche Molekularbewengung und Koagulation von Kolloidteilchen // Phys. Zeits. XVII, 1916, P. 557—585 und 585—559

16. Мюллер X. Коагуляция коллоидов с частицами, имеющими форму «палочек» и «листочков», теория любых полидисперсных систем и коагуляция при течении // М.: ОНТИ, в кн: Коагуляция коллоидов. 1936, С. 74—98

17. Волощук В.М. Кинетическая теория коагуляции. Л.: Гидрометеоиздат. -1984

18. Иванов И., Платиканов Д. Коллоиды. Л.: Химия. - 1975

19. Melzak Z. A. A scalar transport equation. 1 // Trans. Amer. Math. Soc, 1957, V. 85, P. 547—560

20. Melzak Z. A. A scalar transport equation. 2 // Michigan Math. J., 1957, V. 4, P. 193—206

21. Коган M. H. Динамика разреженного газа. M.: Наука. - 1967

22. Lang R., Xanh N.X. Smoluchowski's theory of coagulation in colloids holds rigorously in Boltzmann-Grad limit // Z. Wahrscheinlinchkeitstheorie verw. Gebiette, 54, 1980, 227—280

23. Бобылев А. В. О точных решениях уравнения Больцмана, Докл. АН СССР, 225, № 6, 1296—1299

24. Бобылев А. В.Об одном классе инвариантных решений уравнения Больцмана, Докл. АН СССР, 231, № 3, 571—574

25. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика и электродинамика. М.: Наука, ФМЛ, 1969, 271 с

26. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика, ч. 1 (Серия "Теоретическая физика", т. 5). М., 1976

27. Ландау Л.Д. , Лифшиц Е.М. Теоретическая физика // М.: Наука, 1988, т.6

28. Бородин А. И., Бугай А. С. Биографический словарь деятелей в области математики. Киев: Радяньска школа. - 1979

29. Максвелл Дж. К. Избранные сочинения по теории электромагнитного поля. М.: Гос. из-во технико-теоретической литературы, 1952, 685 с

30. Maxwell J.C. The Scientific letters of J.C.Maxwell. New York, Dover, 1965

31. Boltzmann L. Weitere Studien über das Warmgleichwicht unter gas molekulen // Ber. Acad. Wiss. Wien, GG V. 300, №6, 1872, P. 275—370

32. Smoluchowski M. v. Versuch Einer Mathematichen Theorie der Koagulationskinetik Kolloider Losungen // Z. physikalische Chemie, 92, 1917, 129—168

33. Джураев Т.Д., Тахиров Ж.О. Гиперболическая задача Стефана //Дифференциальные уравнения. 1994. т.ЗО. №5. с. 821-831

34. Диткин В. А, Прудников А. П. Операционное исчисление. М.: Высшая школа. - 1966

35. Добрушин Р.Л. Уравнения Власова // Функциональный анализ и его приложения, т. 13, вып. 2, 1979, с 48-58

36. Дьярмати И. Неравновесная термодинамика. Теория поля и вариационные принципы. М.: Мир, 1974, 304 с

37. Больцман Л. Лекции по теории газов. М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы. 1953. Перевод с немецкого под редакцией Б.И.Давыдова. 554 с

38. Веденяпин В. В. Кинетические уравнения Больцмана и Власова. М.: ФИЗМАТ ЛИТ, 2001. - 112 с

39. Bellomo N., Toskani G. On the Cauchy problem for the nonlinear Boltzmann equation: global existence, uniqueness and asymptotic stability // J. Math. Phys., 1985, V. 26, №2, P. 334—338

40. Галкин В. A. , Осецкий Д.Ю. Случай больцмановского газа, приводящий к уравнению коагуляции Смолуховского// ЖВМ и МФ, 2006, Т. 46, №3, С.535-547

41. Галкин В. А., Галкин А.В. Математическое моделирование газа, образующего конденсированную структуру// Математическое моделирование, 2009

42. Галкин В. А. Функциональные решения законов сохранения // ДАН СССР, 1990, Т. 310, №4, С. 834—839

43. Галкин В. А. Теория функциональных решений систем законов сохранения и ее приложения // М: из-во МГУ. Труды семинара им. И.Г.Петровского, 2000, Т. 20, С. 81—120

44. Warshaw М. Cloud droplet coalescence. Statistical foundations and one-dimensional sedimentation model // Journal of the Atmospheric Sciences, 1967, V. 24, P. 278—286

45. Berry E.X. Cloud droplet growth by collection // Journal of the Atmospheric Sciences, 1967, V. 24, P. 688—701

46. Головин A. M. К вопросу о решении уравнения коагуляции дождевых капель с учетом конденсации // ДАН СССР, 1963, Т. 148, №6, С. 1290— 1293

47. Головин A.M. Решение уравнения коагуляции облачных капель в восходящем потоке воздуха // Изв. АН СССР. Сер. геофиз., 1963, №5, С. 783—791

48. Головин A.M. О спектре коагулирующих облачных капель. 2 // Изв. АН СССР. Сер. геофиз., 1963, №9, С. 1438—1447

49. Головин A.M. О кинетическом уравнении коагулирующих облачных капель с учетом конденсации. 3 // Изв. АН СССР. Сер. геофиз., 1963, №10, С. 1571—1580

50. Чандрасекар С. Стохастические проблемы в физике и астрономии. М.: ИЛ.-1947

51. Muller H. Zar allgemeinen théorie cler rashen Koagulation // Kolloidchem. Beil., 1928, Bd 27

52. Сафронов B.C. Частный случай решения уравнения коагуляции // ДАН СССР, 1962, Т. 147, №1, С. 64—67

53. Сафронов B.C. Эволюция допланетарного облака и образование Земли и планет. М.: Наука. - 1969

54. Тихонов А.Н., Самарский А. А. О разрывных решениях квазилинейных уравнений первого порядка // ДАН СССР, 1954, Т. 99, №1, С. 27—30

55. Багдасарова И. Р., Галкин В. А. Моделирование процесса коагуляции в пространственно однородном случае // Математическое моделирование, 1999, Т. 11, №6, С. 82—112

56. Метод Монте-Карло в проблеме переноса излучения. / Под. ред. Марчука Г. И. М.: Атомиздат, 1967. - 255 с

57. Ферцигер Дж., Капер Г. Математическая теория переноса в газах. М.: Мир, 1976, 555 с

58. Николис Г., Пригожин И. Самоорганизация в неравновесных системах. От диссипативных структур к упорядоченности через флуктуации. М.: Мир, 1979,512 с

59. Галкин В. А., Забудько М.А. Точные и численные решения уравнений теплопроводности и кинетических уравнений // Известия вузов. Ядерная энергетика, 2000, №1, С. 19—28

60. СВМ collaboration. Compressed Baryonic Matter Experiment Technical Status Report CBM experiment // January 2005, CBM collaboration. 423 P. http://www.Rsi.de-documents DOC-Feb-447-1 .pdf.url

61. Антонцев C.H., Кажихов A.B., Монахов B.H., Краевые задачи механики неоднородных жидкостей // Новосибирск-. Наука, Сиб. отделение АН СССР, 1983

62. Weber F. J.// Phys. G: Nucl. Part. Phys. 27 (2001) 465

63. Балеску P. Статистическая механика заряженных частиц. М. Мир. 1967

64. Балеску Р. Равновесная и неравновесная статистическая механика.Т. 1. М.: «МИР», 1978. Перевод с английского под редакцией Д. Н. Зубарева и Ю. J1. Климонтовича 405 с

65. Бёрд Г. Молекулярная газовая динамика. М.: «МИР», 1981. Перевод с английского А.И.Ерофеева, А.Г.Фридландера, В.Е.Яницкого. Под редакцией О.М.Белоцерковского и М.Н.Когана. 319 с

66. Галкин В. А. О решении уравнения коагуляции с ядром Ф = ху // Метеорология и гидрология, 1984, №5, С. 33—39

67. Туницкий Н. Н. О коагуляции полидисперсных систем // ЖЭТФ, 1938, Т. 8, Вып. 4, С. 418—424

68. Галкин В. А. Методы решения задач физической кинетики. Обнинск: из-во ИАТЭ. - 1995, 171 с

69. Никольский А.А. Доклады АН СССР 1516 №2, №3 (1963)

70. Галкин В.С.Прикладная математика и механика, 1958, 226, №3

71. Галкин В. А., Осецкий Д.Ю. Математическое моделирование кинетики коагуляции// Математическое моделирование, 2006, Т. 16 е., 99-117

72. Radon. Über die Bestimmung von Funktionen durch ihre Integralwerte längs gewisser Mannigfaltigkeiten // Berichte Sächsische Akademie der Wissenschaften, Bande 29, s. 262-277, Leipzig, 1917

73. Галкин В. А. Уравнение Смолуховского. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. -336 с

74. Галкин В. А. Сходимость разностных схем и метода непосредственного моделирования к решениям уравнения Смолуховского кинетической теории коагуляции// Доклады РАН, 2004, 497, №1, с. 4-11

75. Галкин В. А. Обобщенное решение уравнения Смолуховского для пространственно неоднородных систем // ДАН СССР, 1987, Т. 293, №1, С. 74—77

76. Розанов Ю.А. Теория вероятностей, случайные процессы и математическая статистика. М.: Наука, 1985, 320 с.

77. Галкин В.А., Галкин A.B.МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

78. ГАЗА, ОБРАЗУЮЩЕГО КОНДЕНСИРОВАННУЮ СТРУКТУРУ // Математическое моделирование, 2009, 16 С.

79. Галкин A.B. Математическая модель динамики сливающихся частиц //X международный семинар "Супервычисления и математическое моделирование", Саров, 2008, С. 52-54

80. Галкин A.B. Моделирование процесса пространственно-неоднородной коагуляции/ЛГезисы 4-й международной конференции "Математические идеи П.Л.Чебышева и их приложение к современным проблемам естествознания", 2008, С. 17-18.

81. Galkin V.A., Galkin A.V., Saveliev V.l. Mathematical simulation of dynamics in cluster systems of Boltzmann-Smoluchowski type//Abstracts of 20-th International Conference on Transport theory, Obninsk, 2007, p. 67-70

82. Галкин B.A., Галкин A.B. Метод Монте-Карло прямого моделирования пространственно неоднородной коагуляции// Труды 3-й международной конференции "Математические идеи П.Л.Чебышева и их приложение к современным проблемам естествознания", 2008, С. 8-18.

83. A.B. Галкин, В.А. Галкин. Математическое моделирование процесса роста агломератов. // Сборник научных трудов СурГу. № 29, Физико-. математические науки, 2008, с. 16-23

84. Галкин В.А., Галкин A.B. Математическое моделирование пространственно неоднородной коагуляции. 2006, Международный семинар "Супервычисления и математическое моделирование", Саров-2006.

85. Galkin V.A., Galkin A.V. Quasilinear non-local Hopf-type equation describing clusters growth due to mutual connections between elements in the interacting couples of clusters// Abstracts of EQUADIFF-2007, Vienna, Austria, 2007, p.52.

86. Галкин А. В.,Галкин В.А., Осецкий Д.Ю. Математическое моделирование роста дефектов в материалах ЯЭУ тезисы доклада// Труды международной конференции " Безопасность АЭС и подготовка кадров". Тезисы докладов X международной конференции, с. 119-120

87. Галкин В. А., Галкин А. В., Галкина И.В., Здоровцев П.А., Осецкий Д.Ю., Савельев В.И. Разработка и исследование математических моделей сложных систем // Труды регионального конкурса научных проектов в области естественных наук, 2008, вып. 14, 14 С.