автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Численное решение модельных задач для квантовых газов

На правах рукописи

Есенков Владимир Сергеевич

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ МОДЕЛЬНЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ КВАНТОВЫХ ГАЗОВ

Специальность 05.13.18 - «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2009

А Л

003476653

Работа выполнена на кафедре интеллектуальных систем Московского физико-технического института (государственного университета)

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор Цурков В.И.

доктор физико-математических наук, профессор Терентьев Е.Д. кандидат физико-математических наук, доцент Кривцов В.М.

МАТИ - Российский государственный технологический университет им. К. Э. Циолковского.

Защита состоится «

О^УиУ^Р 2009 г.

в час. &0 мин. на заседании диссертационного совета

Д 212.156.05 при Московском физико-техническом институте (государственном университете) по адресу: 141700, Московская обл., г. Долгопрудный, Институтский пер. 9, МФТИ, аудитория 903 КПМ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МФТИ.

Автореферат разослан « & » Се+гХс^КХу 2009 г

Ученый секретарь

диссертационного совета Д212.156.05 ^---

кандидат физико-математических наук Федько О.С.

Общая характеристика работы Актуальность темы

Задачи распределения температуры вблизи границы раздела сред газ-конденсированная фаза (жидкость, твёрдое тело) актуальны как с теоретической точки зрения, так и в силу многочисленных технических приложений. Так, вопрос о профиле температуры вблизи металлических образцов малых размеров представляет большой интерес для микроэлектроники, где учет влияния поверхности на распределение температуры становится принципиальным.

Для экспериментальных методик получения и исследования квантовых газов при экстремально низких температурах важно учитывать влияние пограничных эффектов на свойства системы.

С теоретической точки зрения данные задачи интересны прежде всего тем, что они относятся к сложным граничным задачам кинетической теории, и всякий раз требуют для своего решения новых подходов и методов, особенно с учётом сложности задания граничных условий. Попытки приблизить соответствующую аналитическую модель к реальности иногда приводят к непреодолимым трудностями при решении точных уравнений, вынуждая вводить различные предположения и упрощения, рассматривать ограничения или частные случаи.

В данной работе предложены методы численного решения граничных задач кинетической теории задач Смолуховского о температурном скачке и слабом испарении на границе раздела фаз. Цель и задачи исследования

Основной целью данной работы является построение математической модели, описывающей поведение квантовых газов вблизи границы раздела газ-конденсированная фаза для изучения влияния квантовых эффектов на макропараметры исследуемой системы. При этом для описания кинетических процессов вблизи поверхности используется кинетическое уравнение

Больцмана с модельным интегралом столкновений. Предполагается наличие постоянного потока от или к поверхности раздела фаз.

На пути к поставленной цели основной задачей исследования на первом этапе была разработка численного метода, позволяющего вычислять функцию распределения частиц по скоростям на основании сформулированной системы интегро-дифференциальных уравнений, описывающих поведение квантовых ферми-газа, бозе-газа и вырожденного бозе-газа. Следующей задачей было выяснение оптимальных параметров сходимости численного метода решения, не зависимо от входных макропараметров системы, а также нахождение границ исследуемой области с учётом необходимой точности решения. И, наконец, на последнем этапе задача заключалась в построении итерационного алгоритма нахождения решения задачи с учетом ограничений, накладываемых законами сохранения импульса на исследуемую систему. Научная новизна

Существует множество работ, посвященных исследованию граничных задач кинетической теории для квантовых газов. Однако, практически отсутствуют результаты и публикации о построении численных методов для решения задач такого рода. В дайной работе делается попытка заполнить этот пробел. Предлагается математическая модель, описывающая обобщённую и классическую задачи Смолуховского о температурном скачке и слабом испарении на границе раздела фаз для различных квантовых моделей (ферми-газ, бозе-газ, вырожденный бозе-газ) и разрабатываются численные методы для их эффективного решения. Эффективность и удобство данных подходов заключается в универсальности алгоритмов задания как системы уравнений, описывающих поведение газов, так и граничных условий. Методы исследования

В ходе исследования применяются следующие математические методы. Рассматривается граничная задача для линеаризованного интегро-

дифференциального кинетического уравнения Больцмана для квантовых газов. Граничные условия для рассматриваемой системы вдали от пограничного слоя, называемого слоем Кнудсена, задаются с использованием распределения Чепмена-Энскога, в то время как на стенке граничные условия имеют чисто диффузный характер. Линеаризация уравнения Больцмана проводится относительно абсолютного распределения Ферми (в задаче для ферми-газа), Бозе-Эйнштейна (в задаче для бозе-газа) и Бозе-Эйнштейна с нулевым химическим потенциалом (в задаче для вырожденного бозе-газа). При определении кинетического коэффициента скачка температуры в вырожденном бозе-газе используется определение сопротивления Капицы.

Для рассматриваемого уравнения строится конечно-разностная схема типа Эйлера. Численное интегрирование выполняется при помощи квадратурных формул Симпсона. Сходимость численной итерационной схемы определяется согласно правилу Рунге. При нахождении корней функционалов используется метод Ньютона (метод касательных).

Для численных экспериментов используется ряд алгоритмов, реализованных на языке С++. Вычисления проводились в среде программирования MS Visual Studio, построение графиков функций осуществлялось с помощью среды Golden Software Grapher. Практическая ценность

Полученные в работе результаты могут послужить отправной точкой дальнейших исследований по данной проблематике, расширив тем самым область применения описанных методов. Например, молено рассмотреть граничные задачи для электронов в металле при наличии электрического поля, либо задать граничные условия другого рода (например, зеркально-диффузные условия отражения Максвелла на границе раздела фаз).

Разработанные численные методы могут быть применены для решения различных граничных задач квантовой теории газов. Программно

реализованные алгоритмы и разработанный комплекс программ может быть использован как будущая основа для программного обеспечения систем управления объектами такого рода. Апробация

Результаты, представленные в работе, методы и алгоритмы докладывались, обсуждались и получили одобрение специалистов на следующих конференциях и семинарах:

1. Международная научная конференция «Современные проблемы вычислительной математики и математической физики» памяти академика A.A. Самарского (Москва 2009 г.).

2. Научные семинары отдела сложных систем ВЦ РАН (2006-2009 г.г.).

3. Научные семинары кафедры интеллектуальных систем МФТИ (ГУ) (2006-2009 г.г.).

Публикации основных результатов

Основные результаты диссертации опубликованы в пяти работах, в том числе в четырёх [1-4] из списка изданий, рекомендованных ВАК РФ. Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка использованных источников, включающего 43 наименования. Общий объем диссертации - 99 страниц.

Содержание диссертации

Во введении обосновывается тема диссертации, ее актуальность, сформулированы цели и задачи исследования, изложены полученные результаты и их практическая ценность.

В первой главе представлен обзор существующих работ, который позволяет проследить основное направление развития исследований граничных

задач кинетической теории для квантовых газов. Указаны ключевые результаты и описаны известные подходы и методики.

Далее предлагаются построения для обобщённой задачи Смолуховского для ферми-газа. Рассматривается плоская граница раздела между металлом и окружающей средой. Предполагается, что имеется поток тепла, текущий от или к поверхности. Вводится декартова система координат с центром на поверхности и осью х, перпендикулярной поверхности и направленной вглубь металла. Определяется постоянный градиент температуры

г ¿Т

Предполагается наличие среднемассовой скорости газа, направленной от или к поверхности (это соответствует слабому испарению или конденсации)

ц(л-) = {«,0,0}

Вне слоя Кнудсена определяется профиль температуры Г(х)=Гй + Стх,х->-ьх>. С качком температуры на поверхности раздела сред будем называть величину ДГ = Г0-Г3, где - температура поверхности металла. Величина скачка температуры на поверхности пропорциональна градиенту температуры <?г: ДТ = СтЬ0От + Сци, где Ь0 - длина свободного пробега ферми-частицы, а коэффициенты Ст и Су, не зависящие от От и и - это коэффициенты скачка температуры и испарения. Определяется относительный скачок температуры £т'.

£

£т = ОАЯг + Сии> 87■ =

где относительный (логарифмический) градиент температуры.

Для определения коэффициентов Ст и Су решается кинетическое уравнение вблизи поверхности металла в слое Кнудсена.

Рассматривается т-модельное стационарное кинетическое уравнение

и,|-(Д-/)=о -

(1.1)

где у = 1/г - частота столкновений, - локально равновесная функция распределения Ферми,

1 + ехр

М(х)

,0-2)

чад*) зад,

кв - постоянная Больцмана, т - масса фермн-частицы, и(х) - величина массовой скорости газа, направленная вдоль оси х, щ(х) - его химический потенциал, Т(х) - температура газа.

Линеаризуется уравнение (1.1) относительно абсолютного фермиана

ГМ-

1 + ехр

' пи1 | М, К2квТ, 2 ЗД,

(1.3)

Осуществляется переход к полярным координатам в плоскости Су ,Сг: йгС-<$СхйСу<1С:, йСуйСг= р&рйср. Тогда С1 = С; + р1. Далее вводится обозначение Сх= /л. В результате линеаризации и перехода к полярным координатам получается уравнение: дк . ,, ч 1

) -» о

с ядром

3^2(а)4

к(ц,р,ц\р\а)=\ + 2

ёг{а) с10(а)

г л г /и + р —- -

(«)

М'+Р -

Л

/ ч ехр (р2 + р2-а)

АР, р, а) = т-,22—ГГТ •

|1 + ехр(/г + р - а)]

Граничные условия на стенке, выражающие факт диффузного отражения электронов от стенки, имеют вид:

й(0,/«,р)= 0, 0 < ¿1 <+со (1.5)

Вдали от стенки функция распределения электронов должна переходить в функцию Чепмена-Энскога:

к(х,р,р)=1гш(х,^,р)+о(1)> х-»+со, -со<//<0 (1.6)

Р* + Р" -

+ 2ф(1.7)

где

¿0(а) = 30 • £0(а)г4(а) - 9 • &2(а),

Я,(а) = 1п(1 + 0, я„(а)=|С"-1-1п(1 + ехр(а-С2))й?С, и = 2,3,... .

о

В выражении (1.7): £) - вспомогательная неизвестная величина, она связана линейным соотношением со скачком приведенного химического потенциала еа (а - безразмерная величина) и величиной скачка температуры ёт:

(«Г

/ / \\ а

\

•ет(а).

(1.8)

Требуется найти зависимость скачка температуры гг, скачка химического потенциала еа и величины С] от величины химического потенциала а При этом необходимо найти такое решение, для которого бы выполнялось условие сохранения массовой скорости, следующее из закона сохранения импульса:

| ¡С, й(х, С) g{c) (РС = и, V* > 0,

(1.9)

Обобщенная задача Смолуховского объединяет сразу две задачи - задачу о температурном скачке (когда g^ / 0 и II = 0) и задачу о слабом испарении (когда IIФ 0 и gт = 0).

Неизвестными в этих задача являются величины: ет{а)=Ст(а)вт + Си(аУ?и), е,{а) = Кт{а)ёт+К1]{а)^.и),

£а(а)= 8т

где Ст(а),Си(а),Кт(а),Кь(а) - кинетические коэффициенты скачка температуры и испарения.

Показано, что для вычисления из (1.7) при фиксированном а с заданной точностью 8 достаточно ограничить верхний передел интегрирования в определении gn числом М:

В рассматриваемом диапазоне значений а е [- 5; 5] для достижения точности вычисления 8 = 0.01 достаточно было, чтобы значение \М\ не превосходило число 10. Расчетная область бралась в виде 0< х< М, - М < /л<М, 0< р< М. В этой области вводилась равномерная сетка с шагами с1х, (¡¡.1,8р.

Для решения интегро-дифференциального уравнения (1.4) с граничными условиями (1.5-1.7) применяются и сравниваются явный и неявный конечно-разностные численные итерационные методы. Явный конечно-разностный метод.

На и-ом слое по х уравнение (1.4) аппроксимируется явной конечно-разностной схемой:

И " + К(*»>я.р)=— I ¡к(р,Р,М ,Р К(*»'Р 'Р !?(/''.Р >сс)р'с1/л4р (1.10)

Для решения уравнения (1.4) организуется следующий итерационный процесс (итерации в нем мы будем обозначать индексом г). На нулевой итерации во всей рассматриваемой области значение функции Ьт{х,ц,р) задается на фиксированной сетке произвольно с учетом граничных условий (1.5-1.7). Переход от ¡'-ой к (г'+1)-ой итерации осуществляется следующим

Кт{а) +

а-

Llá^í 2-MJ

Ст{а)

+ (2 U)

Ки(а)-

а -

3 2

Си{а)

образом. На первом этапе рассчитываются значения функции Ь^\(х,/л,р) от х = Мдо х = 0 с использованием формулы (1.10), но только для ц < 0. На втором этапе по формуле (1.10) вычисляются значения функции распределения /?,(°¡ (х, //, р) только для ц > 0, но интегралы в провой части (1.10) находятся с использованием вычисленных на первом этапе значений hf1 при // < 0. Итерации заканчиваются, когда выполняется условие

тах]/г('+|)(х,/л р) - hiñ(х, //, р)1 < S (1.11)

.r.fl.fl 1 I

Вычислительный эксперимент показал, что такой итерационный метод численного расчета (1.10) сходится к решению (1.4) для любых значений параметров £\ и £Т> а для выполнения условия (1.11) достаточно 10-12 итераций. Неявный конечно-разностный метод.

На и-ом слое по х уравнение (1.4) аппроксимируется неявной конечно-разностной схемой, которую можно записать в виде системы уравнений, описывающей переход от (/-1)-ой к /-ой итерации:

Р "+] _ + K(x„,iLi,р) = — J р,t-i,р }г„(х„,¡.i,p )g{ji,р ,a)pd¡.idp' Хп+1 Хп So -m 0

ц ~ +h„(x„,p,p) = — J ¡k(fi,p,ti,p)x

XIHI Xn So -ф 0

'P'h&ix^fj' ,p'))g(//,p',a)p' d^idp (1.12)

Здесь j - номер итерации внутреннего итерационного процесса.

При решении исходной задачи алгоритм перехода от г'-ой к (г+1)-ой итерации осуществляется так же, как и в явном методе. Значения функции h(x,f¿,p) на («+1)-ом слое по х находятся из внутреннего итерационного процесса решения уравнения (1.12), который организуется следующим образом. Вычисляются промежуточные значения h(n{\(х,//,р) до тех пор, пока не выполняется условие:

тав (*,„, ,р,р)- (хя+1, р, р)1 < <5, (1.13)

1 1

при этом в качестве значений функции к(х,р,р) на (и+1)-ом слое по х принимается значение пп+] (хп+1,

При помощи разработанных методов получены функции распределения для произвольных заданных значений скачка температуры и химического потенциала (рис. 1).

а 2500.000-3000,000 ■ 2000,000-2500,000

□ 1500,000-2000,000

□ 1000,000-1500,000 В 500,000-1000,000 а 0,000-500.000

500,000

Рис. 1. Срез по ррассчитанной функция распределения А с помощью неявного метода. Результаты расчетов функции распределения к(х,р,р) в точке х = 5, р. = -5, р = 5. с помощью явного и неявного численных итерационных методов приведены в таблице 1.

(¿хгхфхг/р 1x1x1 0.5x0.5x0.5 0.25x0.25x0.25

Явная схема (/=0) 557.567 482.739 509.831

Неявная схема (/'=1) 552.187 443.604 427.223

Неявная схема (/=2) 551.195 440.072 420.358

Таб. I. Проверка выполнения правила Рунге. Видно прекрасное выполнение правила Руиге как для явной схемы расчета, так и для неявных схем:

*2.8 = 2Л -1,0,-1.9,7^ 1 \ur

hH

el-O í

"С

hH -

J=0.25 (1=0.S

= 6.4 = 2й -1, ~ 2.9

>5.6 = 2"> -l,p} -2.7,

А'"2 _ и'--

| а=0.25 "<<»0.51

где р - порядок погрешности квадратурной формулы численного метода.

Для определения кинетических коэффициентов из множества полученных функций распределения отбирались только удовлетворяющие условию (1.9). Для этого методом Ньютона определяются корни (1.9). Результаты расчетов приведены на рис. 2,3,4.

w" 0-

-100

■6 -4 -2 0 2 4 б 8 10 а

Рис. 2. Определение кинетических коэффициентов Кт(а) и Ст(а).

а а

Рис. 3. Определение кинетического коэффициента скачка химического потенциала и кинетического коэффициента Ки(а).

I I I I I

а ш ш ш ш—(!■

Рис. 4. Определение кинетического коэффициента Си(а) и кинетического коэффициента скачка химического потенциала. Во второй главе исследуется обобщённая задача Смолуховского для бозе-газа. В постановке задачи линеаризация кинетического уравнения производится относительно абсолютного бозеана

ехр

ти //,

------- г '

у^квТ; квТ\ ^

■1

Линеаризация, переход к полярным координатам и замена переменных приводит к следующему уравнению

/Д + Ь(х,м,С) = - к[р,С,ц ,C')h{x,¿,С') g{fJ,С ,а) Cd¿dC; , (2.1)

ОХ '-10

с ядром

»■(«) ¿(«Н Да) A i(«)J ■

Граничные условия имеют вид:

h(0,p,C) = 0, 0</и<+1 (2.2)

/г(х,р,С)=Лш(д:,1и,С)+о(1), х->+<х>, -1<//<0 (2.3)

V 5-го(а)) У '"o(«)J V гЛа))

где

di(a) = rl(a)l(a)-i\(a)r0(cc), ra(a) = ~ [ln(l - ехр(а - C2))dC ,

о

л ~ СО

гг(а) = -— Je2 ln(l - ехр(а - C2))<iC . ~ о

Показано, что для вычисления r¡ при фиксированном а с заданной точностью 5 достаточно ограничить верхний передел интегрирования в определении r¡ числом М:

В рассматриваемом диапазоне значений яе[-5;0) для достижения точности вычисления 8 = 0.01 достаточно было, чтобы значение \м\ не превосходило

число 10. Расчетная область бралась в виде 0 <х<М, -1 < р < I, 0<с<М. В этой области вводилась равномерная сетка с шагами сЬ:, ¿¡л, 5с.

Для решения уравнения (2.1) применяются и сравниваются численные методы, описанные в задаче для ферми-газа. Получены функции распределения для произвольных заданных значений скачка температуры и химического потенциала (рис. 5).

А

1000,000

■ 5000,000-6000,000 П 4000,000-5000.000 В 3000,000-4000,000 02000,000-3000,000 Ш 1000,000-2000.000 П 0,000-1000,000

а-юоо.ооо-о.ооо

Ю-2000,000-1000,000 И-3000,000-2000,000

Рис. 5. Срез по р рассчитанной функции распределения А с помощью неявного метода. Результаты расчетов функции распределения И{х,р,р) в точке х = 8, /¿ = -0.8, с = 5 приведены в таблице 2.

г&хфхг/с 1x1x1 0.5x0.5x0.5 0.25x0.25x0.25

Явная схема (/=0) 2076.56 1432,34 799.54

Неявная схема (/=1) 1785,73 967,75 694,11

Неявная схема (/=2) 1785,70 967,74 694,10

Таб.2. Проверка выполнения правила Рунге. Видно прекрасное выполнение правила Рунге как для явной схемы расчета, так и для неявных схем:

"¿=023 "¿=0.5

25 "</=0.5

г 2.99 = 2Л -1,р2 ~2

У'2 -Ь'"г\

| ¿=0.5 "¿=1 I [ ¿=0.25 ¿=0 5|

>2.99 = 2Рг-1,р.~2,

где р - порядок погрешности квадратурной формулы численного метода.

Для определения кинетических коэффициентов из множества полученных функций распределения отбирались только удовлетворяющие условию (1.9). Для этого методом Ньютона определяются корни (1.9). Результаты расчетов приведены на рис. 6,7,8.

600040002000г о--2000 --4000 • -6000 ■

-5 -4

-3 -.2

а

I 1 ' ' ч -1

1000

500 и

.Г

-500-

-1000

Рис. 6. Определение кинетических коэффициентов Кт(а) и Ст(а).

0 -5-4 -3 -2 -1 0

а а

Рис. 7. Определение кинетического коэффициента скачка химического потенциала и кинетического коэффициента Кц(а).

Рис. 8. Определение кинетического коэффициента Си(а) и кинетического коэффициента скачка химического потенциала В третьей главе анализируется задача Смолуховского для вырожденного бозе-газа. Линеаризация кинетического уравнения в постановке производится относительно абсолютного бозеана с нулевым химическим потенциалом

ехр

то

1 \

у

-1

Линеаризация, переход к полярным координатам и замера переменных приводит к следующему уравнению

Я/1 1

Vх -10

с ядром.

32 [ехр(С )-1|

Граничные условия имеют вид:

/г(0,//,С)=0, 0 < /г < +1 (3.2)

¡г(х, ¡л, С) = {х, //, С) + о(1), х->+оо, -1<^<0 (3.3) И1а(х,(л,С)=В-{1-С + етС2

где

ио

71 = 0,1,2,...

о

Показано, что для вычисления при фиксированном аг с заданной точностью с> достаточно ограничить верхний передел интегрирования в определении gn числом М

Для достижения точности вычисления 5= 0.01 достаточно было, чтобы значение \М\ не превосходило число 10. Расчетная область бралась в виде 0<х<М, — 1 </г< 1, 0 < с < А/. В этой области вводилась равномерная сетка с шагами dx, с/д, ос.

Для решения уравнения (3.1) применяются и сравниваются численные методы, описанные в задаче для ферми-газа. Получены функции распределения для произвольных заданных значений скачка температуры (рис. 9).

0 20,000-25,000 И 15,000-20,000

□ 10,000-15,000

□ 5,000-10,000 И 0,000-5,000 Н-5,000-0,ООО

О ю

Рис. 9. Рассчитанная функция распределения Ь с помощью неявного метода. Результаты расчетов функции распределения к\х,/л,р) в точке х = 8, /г = -0.8, с = 5. с помощью явного и неявного численных итерационных методов приведены в таблице 3.

аxxd.jj.xdc 1x1x1 0.5x0.5x0.5 0.25x0.25x0.25

Явная схема (/=0) 15.358 10.124 6.034

Неявная схема (/'=1) 12.891 7.274 5.333

Неявная схема (/=2) 12.890 7.274 5.333

Таб.3. Проверка выполнения правила Руиге. Видно прекрасное выполнение правила Рунге как для явной схемы расчета, так и для неявных схем:

я -кмI

=0.5 "</=1

"■¿=0.5

■У'Л

ГЫ=\

г,-'"1 _ ин

■¿=0.25 "¿=0.5

¡1.28 = 2'" -1,р, ~1,

м

"¿=0.5

; 2.89 = 2й -1,р2 ~ 2

У'2 -к>'2\

«rf.il „290 = 2^-1 V

|"</-0.25 ",/=0.51

где р - порядок погрешности квадратурной формулы численного метода.

Для определения кинетических коэффициентов из множества полученных функций распределения отбираются только удовлетворяющие условию (1.9). Для этого методом Ньютона определяются корни (1.9). Результаты расчетов приведены на рис. 10.

В В

Рис. 10. Определение кинетического коэффициента Со и сопротивления Капицы. В заключении формулируются основные результаты работы.

Основные результаты работы

1. Разработаны численные методы решения интегро-дифференциальных уравнений, описывающих поведение квантовых газов (ферми-газ, бозе-газ и вырожденный бозе-газ) в обобщённой и классической задачах Смолуховского о скачке температуры и слабом испарении с плоской поверхности раздела газ-конденсированная фаза. Данные методы позволяют находить функцию распределения частиц при заданных значениях скачка температуры и химического потенциала.

2. Найдены границы области исследования функции распределения частиц, позволяющие проводить численные расчеты с заранее установленной точностью.

3. Разработан численный итерационный метод решения обобщённой и классической граничных задач Смолуховского с использованием набора функций распределения, полученных при различных значениях скачка температуры и химического потенциала. Метод позволяет определить указанные кинетические коэффициенты из условия, накладываемого на функцию распределения, следующего из закона сохранения импульса.

4. Получены решения задач Смолуховского для ферми-газа, бозе-газа и вырожденного бозе-газа. Построены зависимости кинетических коэффициентов скачка температуры и испарения от макропараметров системы (величины градиента температуры и массовой скорости газа). Построена зависимость сопротивления Капицы от величины потока тепла.

5. На основании предложенных в диссертации численных методов разработан комплекс программ для решения ряда граничных задач кинетической теории квантовых газов.

Публикации по теме диссертации

1. Есенков B.C., Латышев A.B., Михайлов И.Е., Юшканов A.A.. Численное решение задачи Смолуховского для Ферми-газа. // М.: Издательство ЛКИ. Труды ИСА РАН. Динамика неоднородных систем, 2007. - Т. 31(1). - С. 168173.

2. Есенков B.C., Латышев A.B., Михайлов И.Е., Юшканов A.A.. Решение обобщенной задачи Смолуховского для Ферми-газа // М.: Издательство ЛКИ. Труды ИСА РАН. Динамика неоднородных систем, 2008. - Т. 32(3). - С. 152158.

3. Есенков A.C., Есенков B.C., Михайлов И.Е.. Методы решения интегро-дифференциального уравнения в задаче Смолуховского для Ферми-газа

//Вестник Тверского Государственного Университета. Серия: Прикладная математика. Тверь, 2009. - Выпуск № 1(12). - С. 51-57.

4. Есенков A.C., Есенков B.C., Михайлов И.Е.. Численное решение задачи Смолуховского для Бозе-газа //Вестник Тверского Государственного Университета. Серия: Прикладная математика. Тверь, 2009. - Выпуск № 3(14).-С. 44-50.

5. Есенков B.C.. Численный метод решения интегро-дифференциалыюго уравнения в классической задаче Смолуховского для Ферми-газа. // Международная конференция, Москва, МГУ имени М.В. Ломоносова, 16-18 июня 2009 г.: Тезисы докладов. - М.: Издательский отдел факультета ВМК МГУ имени М.В. Ломоносова; МАКС Пресс, 2009. - С. 97-98.

В работах в соавторстве лично автором получены следующие результаты. Разработаны численные методы решения интегро-дифференциального уравнения, описывающего поведение квантовых газов (ферми-газ, бозе-газ, вырожденный бозе-газ) в классической и обобщённой задачах Смолуховского о температурном скачке и слабом испарении на границе раздела фаз. Для любого набора заданных входящих параметров задачи (градиента температуры, скачка температуры и скачка химического потенциала) найдены функции распределения частиц в рассматриваемом пограничном слое.

Разработан численный итерационный метод решения обобщённой и классической задач Смолуховского с использованием набора функций распределения, полученных при различных значениях градиента температуры, скачка температуры и скачка химического потенциала.

Автором получены решения задач Смолуховского для ферми-газа, бозе-газа и вырожденного бозе-газа. Построены зависимости кинетических коэффициентов скачка температуры и испарения от макропараметров системы (величины градиента температуры и массовой скорости газа). Построена зависимость сопротивления Капицы от величины потока тепла.

Есенков Владимир Сергеевич

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ МОДЕЛЬНЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ КВАНТОВЫХ ГАЗОВ

АВТОРЕФЕРАТ

Подписано в печать 07.09.2009. Формат 60 х 84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,0. Тираж 80 экч. Заказ № ~

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский физико-технический институт (государственный университет)» Отдел автоматизированных издательских систем «ФИЗТЕХ-ПОЛИГРАФ» 141700, Моск. обл., г. Долгопрудный, Институтский пер., 9

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ПОСТРОЕНИЯ ДЛЯ ОБОБЩЁННОЙ ЗАДАЧИ СМОЛУХОВСКОГО О ТЕМПЕРАТУРНОМ СКАЧКЕ И СЛАБОМ ИСПАРЕНИИ С ПЛОСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ ДЛЯ ЭЛЕКТРОНОВ В МЕТАЛЛЕ.

1.1. Обзор методов и подходов при решении граничных задач кинетической теории для квантовых газов.

1.2. Постановка задачи.

1.3. Граничные условия.

1.4. Численный метод решения.

1.4.1. Явный конечно-разностный метод.

1.4.2. Неявный конечно-разностный метод.

1.5. Результаты расчета.

1.5.1. Получение функции распределения частиц.

1.5.2. Определение искомых кинетических коэффициентов.

ГЛАВА 2. ПОСТРОЕНИЯ ДЛЯ ОБОБЩЁННОЙ ЗАДАЧИ СМОЛУХОВСКОГО ДЛЯ БОЗЕ-ГАЗА О ТЕМПЕРАТУРНОМ СКАЧКЕ И СЛАБОМ ИСПАРЕНИИ С ПЛОСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ НА ГРАНИЦЕ РАЗДЕЛА ГАЗ КОНДЕНСИРОВАННАЯ ФАЗА (ТВЁРДОЕ ТЕЛО, ЖИДКОСТЬ).

2.1. Постановка задачи.

2.2. Граничные условия.

2.3. Численный метод решения.

2.3.1. Явный конечно-разностный метод.

2.3.2. Неявный конечно-разностный метод.

2.4. Результаты расчета.

2.4.1. Получение функции распределения частиц.

2.4.2. Определение искомых кинетических коэффициентов.

ГЛАВА 3. ПОСТРОЕНИЯ ДЛЯ КЛАСИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ СМОЛУХОВСКОГО ДЛЯ ВЫРОЖДЕННОГО БОЗЕ-ГАЗА О ТЕМПЕРАТУРНОМ СКАЧКЕ НА ГРАНИЦЕ РАЗДЕЛА ГАЗ -КОНДЕНСИРОВАННАЯ ФАЗА.

3.1. Постановка задачи.

3.2. Граничные условия.

3.3. Численный метод решения.

3.3.1. Явный конечно-разностный метод.

3.3.2. Неявный конечно-разностный метод.

3.4. Результаты расчета.

3.4.1. Получение функции распределения частиц.

3.4.2. Определение искомых кинетических коэффициентов.

Общая характеристика работы

Задача Смолуховского о температурном скачке является одной из важнейших в кинетической теории граничных задач [1,2]. Для случая классического газа эта задача рассматривалась в различных постановках многими авторами [1-6]. Аналитические решения таких задач получены сравнительно недавно для случая одноатомного газа [7] и молекулярных газов [6]. Не менее важна эта задача и для квантовых газов (для электронов в металле, бозе-частиц в бозе-конденсате и для вырожденного бозе-газа), в частности при низких температурах. На данный момент решение таких задач получено только для случая, когда частота столкновения в квантовых газах пропорциональна молекулярной скорости [8-12]

Одной из важных задач в этой связи является построение численных методов, позволяющих решать класс задач Смолуховского для любого вида зависимости частоты столкновения квантовых газов и получать значения кинетических коэффициентов как функций макропараметров задач с заданной точностью.

В данной работе разработаны численные методы решения задачи Смолуховского о температурном скачке для квантовых газов. Получены решения классической и обобщённой задачи для ферми-газа, бозе-газа и вырожденного бозе-газа. Построены зависимости кинетических коэффициентов задачи от макропараметров исследуемых систем.

Актуальность темы

Задачи распределения температуры вблизи границы раздела сред газ-конденсированная фаза (жидкость, твёрдое тело) актуальны как с теоретической точки зрения, так и в силу многочисленных технических приложений [1,4].

Так, вопрос о профиле температуры вблизи металлических образцов малых размеров представляет большой интерес для микроэлектроники, где учет влияния поверхности на распределение температуры становится принципиальным. Не менее важен вопрос о распределении электрического потенциала вблизи поверхности металла при наличии процессов теплообмена, когда характер аккомодации энергии электронов на поверхности имеет существенное влияние.

В последнее время наблюдается стремительное развитие экспериментальных методик получения и исследования квантовых газов при экстремально низких температурах [13], в которых большое значение имеет учет пограничных эффектов на свойства системы.

С теоретической точки зрения данные задачи интересны прежде всего тем, что они относятся к сложным граничным задачам кинетической теории, и всякий раз требуют для своего решения новых подходов и методов, особенно с учётом сложности задания граничных условий. Попытки приблизить соответствующую аналитическую модель к реальности иногда приводят к непреодолимым трудностями при решении точных уравнений, вынуждая вводить различные предположения и упрощения, рассматривать ограничения или частные случаи.

В данной работе предложены методы численного решения граничных задач кинетической теории задач Смолуховского о температурном скачке и слабом испарении на границе раздела фаз.

Цель и задачи исследования

Основной целью данной работы является построение математической модели, описывающей поведение квантовых газов вблизи границы раздела газ-конденсированная фаза для изучения влияния квантовых эффектов на макропараметры исследуемой системы. При этом для описания кинетических процессов вблизи поверхности используется кинетическое уравнение Больцмана с модельным интегралом столкновений. Предполагается наличие постоянного потока от или к поверхности раздела фаз. Граничные условия на поверхности носят чисто диффузный характер.

На пути к поставленной цели основной задачей исследования на первом этапе была разработка численного метода, позволяющего вычислять функцию распределения частиц по скоростям на основании сформулированной системы интегро-дифференциальных уравнений, описывающих поведение квантовых ферми-газа, бозе-газа и вырожденного бозе-газа. Следующей задачей было выяснение оптимальных параметров сходимости численного метода решения, не зависимо от входных макропараметров системы, а также нахождение границ исследуемой области с учётом необходимой точности решения. И, наконец, на последнем этапе задача заключалась в построении итерационного алгоритма нахождения решения задачи с учетом ограничений, накладываемых законами сохранения импульса на исследуемую систему.

В ходе исследований удалось применить аппарат численного решения интегро-дифференциальных уравнений на основе конечно-разностных схем типа Эйлера, а так же аппарат итерационного приближения к решению системы в условиях сложного задания граничных условий на исследуемую область.

Научная новизна

Существует множество работ, посвященных исследованию граничных задач кинетической теории для квантовых газов. Однако, практически отсутствуют результаты и публикации о построении численных методов для решения задач такого рода. В данной работе делается попытка заполнить этот пробел. Предлагается математическая модель, описывающая обобщённую и классическую задачи Смолуховского о температурном скачке и слабом испарении на границе раздела фаз для различных квантовых моделей (ферми-газ, бозе-газ, вырожденный бозе-газ) и разрабатываются численные методы для их эффективного решения. Эффективность и удобство 6 данных подходов заключается в универсальности алгоритмов задания как системы уравнений, описывающих поведение газов, так и граничных условий, не зависимо от их сложности.

Методы исследования

В ходе исследования применяются следующие математические методы. Рассматривается граничная задача для линеаризованного интегро-дифференциального кинетического уравнения Больцмана [14] для квантовых газов. Граничные условия для рассматриваемой системы вдали от пограничного слоя, называемого слоем Кнудсена [15], задаются с использованием распределения Чепмена-Энскога [16], в то время как на стенке граничные условия имеют чисто диффузный характер [17]. При постановке задачи используется теория Боголюбова для слабо взаимодействующих кинетических газов (в частности для бозе-газа) для получения соотношения для энергии возбуждений, характеризующих взаимодействие молекул газа [18]. Лианеризация уравнения Больцмана проводится относительно абсолютного распределения Ферми (в задаче для ферми-газа), Бозе-Эйнштейна (в задаче для бозе-газа) и Бозе-Эйнштейна с нулевым химическим потенциалом (в задаче для вырожденного бозе-газа) [19]. При определении кинетического коэффициента скачка температуры в вырожденном бозе-газе используется определение сопротивления Капицы в качестве величины, обратной коэффициенту скачка температуры [22].

Для рассматриваемого уравнения строится конечно-разностная схема типа Эйлера [23]. Численное интегрирование выполняется при помощи квадратурных формул Симпсона [24]. Сходимость численной итерационной схемы определяется согласно правилу Рунге [25]. При нахождении корней функционалов вытекающих из законов сохранения импульса, являющихся ограничениями системы, использовался метод Ньютона (метод касательных) для функций одной и более переменных [26].

Для численных экспериментов используется ряд алгоритмов, реализованных на языке С++. Вычисления проводились в среде программирования MS Visual Studio, построение графиков функций осуществлялось с помощью среды Golden Software Grapher.

Практическая ценность

Полученные в работе численные результаты могут послужить отправной точкой дальнейших исследований по данной проблематике, расширив тем самым область применения описанных подходов. Например, можно рассмотреть граничные задачи для электронов в металле при наличии электрического поля, рассмотреть граничные условия другого рода (например, зеркально-диффузные условия отражения Максвелла на границе раздела фаз [27]).

Разработанные численные методы могут быть применены для решения различных граничных задач квантовой теории газов. Программно реализованные алгоритмы и разработанный комплекс программ может быть использован как будущая основа для программного обеспечения систем управления объектами такого рода.

Апробация

Результаты, представленные в работе, методы и алгоритмы докладывались, обсуждались и получили одобрение специалистов на следующих конференциях и семинарах:

1. Международная научная конференция «Современные проблемы вычислительной математики и математической физики» памяти академика А.А. Самарского (Москва 2009 г.).

2. Научные семинары отдела сложных систем ВЦ РАН (2006-2009 г.г.).

3. Научные семинары кафедры интеллектуальных систем МФТИ (ГУ) (2006-2009 г.г.).

Публикации основных результатов

Основные результаты диссертации опубликованы в 5 работах [15, 28,29,30.31], в том числе в четырёх [28-31] из списка изданий, рекомендованных ВАК РФ.

Личный вклад автора диссертации

В работе [28] автором разработан численный метод решения интегро-дифференциального уравнения, описывающего поведение квантового ферми-газа в классической задаче Смолуховского о температурном скачке на границе раздела фаз. Предложенный метод позволил для любого набора заданных входящих параметров задачи (градиента температуры, скачка температуры и химического потенциала) получить функцию распределения частиц в рассматриваемом пограничном слое.

В работах [15, 29, 30] предложенный автором в [28] численный метод удалось применить для случая обобщённой задачи Смолуховского, когда помимо градиента температуры задана ещё и скорость испарения ферми-газа с плоской поверхности раздела фаз. Также был разработан неявный метод решения интегро-дифференциального уравнения, описывающего поведение квантового ферми-газа в обобщённой задаче Смолуховского о температурном скачке на границе раздела фаз и слабом испарении с плоской поверхности. Суть метода заключалась в добавлении внутреннего итерационного процесса, при определении значений функции распределения на каждом рассматриваемом слое. Преимущество данного метода заключалось в более высоком порядке сходимости. При помощи этого метода были получены точные значения функции распределения из всего набора найденных в [28], которые позволили определить значения искомых кинетических коэффициентов в задаче Смолуховского для ферми-газа.

В работе [31] при помощи численных методов из [15,28,29,30] автору удалось получить решение обобщённой задачи Смолуховского для бозе-газа о температурном скачке на границе раздела газ - конденсированная фаза и слабом испарении с плоской поверхности раздела фаз.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе получены следующие основные результаты:

1. Разработаны численные методы решения интегро-дифференциальных уравнений, описывающих поведение квантовых газов (ферми-газ, бозе-газ и вырожденный бозе-газ) в обобщённой и классической задачах Смолуховского о скачке температуры и слабом испарении с плоской поверхности раздела газ-конденсированная фаза. Данные методы позволяют находить функцию распределения частиц при заданных значениях скачка температуры и химического потенциала.

2. Найдены границы области исследования функции распределения частиц, позволяющие проводить численные расчеты с заранее установленной точностью.

3. Разработан численный итерационный метод решения обобщённой и классической граничных задач Смолуховского с использованием набора функций распределения, полученных при различных значениях скачка температуры и химического потенциала. Метод позволяет определить указанные кинетические коэффициенты из условия, накладываемого на функцию распределения, следующего из закона сохранения импульса.

4. Получены решения задач Смолуховского для ферми-газа, бозе-газа и вырожденного бозе-газа. Построены зависимости кинетических коэффициентов скачка температуры и испарения от макропараметров системы (величины градиента температуры и массовой скорости газа). Построена зависимость сопротивления Капицы от величины потока тепла.

5. На основании предложенных в диссертации численных методов разработан комплекс программ для решения ряда граничных задач кинетической теории квантовых газов. —

1. Коган М.Н. Динамика разреженного газа. Кинетическая теория. // М.: Наука, 1967. 440 с.

2. Черчиньяни К. Теория и приложения уравнения Больцмана. // М.: Мир, 1977.-495 с.

3. Латышев А.В., Юшканов А.А. Аналитическое решение задачи о скачке температуры в газе с вращательными степенями свободы. // ТМФ, 1993. -Т.95, т.З. С. 530-540.

4. Коленчиц О.А. Тепловая аккомодация систем газ — твёрдое тело. // Минск: Наука и техника, 1977. 209 с.

5. Латышев А.В., Юшканов А.А. Граничные задачи для модельного уравнения Больцмана с частотой, пропорциональной скорости молекул. // Известия РАН. Серия МЖГ, 1996. Т.З. - С. 140-153.

6. Латышев А.В., Юшканов А.А. Скачок температуры и слабое испарение в молекулярных газах. // ЖЭТФ, 1998. Т.114. Вып. 3(9) - С. 956-971.

7. Latyshev A.Y. The use of case's method to solve the linearized BGK equations for the temperature-jump problem. // Journal of Applied Mathematics and Mechanics, 1990. V. 54. - P. 480-484.

8. Латышев A.B., Юшканов А.А. Аналитическое решение задачи о скачке температуры в металле. // Журнал технической физики, 2003. Т.73. Вып. 7.-С. 37-45.

9. Латышев А.В., Юшканов А.А. Задача Смолуховского для электронов в металле. // Теоретическая и математическая физика, 2005. Т. 142. №. 1. — С. 92-111.

10. Латышев А.В., Юшканов А.А. Влияние свойств поверхности на скачок температуры в металле. // Журнал технической физики, 2004. Т.74. Вып. 11.-С. 47-52.

11. Латышев А.В., Юшканов А.А., Кинетические процессы в квантовых бозе-газах и аналитическое решение граничных задач. // Математическое моделирование, 2003. Т. 15. №5 - С. 80-94.

12. Латышев А.В. , Юшканов А.А., Задача Смолуховского для вырожденных бозе-газов. // Математическое моделирование, 2003. Т. 15. №5 - С. 80-94.

13. Питаевский Л.П. Конденсаты Бозе-Эйнштейна в поле лазерного излучения. // УФН, 2006. Т. 174. №4 - С. 345-364.

14. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Теоретическая физика. Том X. Физическая кинетика. // М.: Наука, 1979. 528 с.

15. Ферцигер Дж., Капер Г. Математическая теория процессов переноса в газах. // М.: Мир, 1976. 152 с.

16. Займан Дж. Электроны и фононы. // М.: Мир, 1962. 408 с.

17. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Теоретическая физика. Том IX. Статистическая физика. Часть 2. // М.: Наука, 1978. 448 с.

18. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Теоретическая физика. Том V. Статистическая физика. Часть 1. // М.: Наука,, 1976. 584 с.

19. Тер-Крикоров A.M., Шабунин М.И. Курс математического анализа: Учебное пособие для вузов // М.: Издательство МФТИ, 1997. 720 с.21.0ртега Дж., Пул У. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений. // М.: Наука, 1986. 288 с.

20. Прохоров A.M. Физический энциклопедический словарь. // М.: Большая российская энциклопедия, 1995. 927 с.

21. Бабенко К.И. Основы численного анализа. // Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2002. С. 421-425.

22. Калиткин Н.Н. Численные методы. // М.: Наука, 1978. 512 с.

23. Волков Е.А. Численные методы. // М.: Наука, 1987. 247 с.

24. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. // М.: Наука, 1987. 330 с.

25. Латышев А.В., Юшканов А.А. Моментные граничные условия в задачах' скольжения разреженного газа // Известия РАН. Серия МЖГ, 2004. №2. -С. 193-208.

26. Есенков B.C., Латышев А.В., Михайлов И.Е., Юшканов А.А. Численное решение задачи Смолуховского для Ферми-газа. // М.: Издательство ЛКИ. Труды ИСА РАН. Динамика неоднородных систем, 2007. Т. 31(1). - С. 168-173.

27. Есенков B.C., Латышев А.В., Михайлов И.Е., Юшканов А.А. Решение обобщенной задачи Смолуховского для Ферми-газа // М.: Издательство ЛКИ. Труды ИСА РАН. Динамика неоднородных систем, 2008. Т. 32(3). -С. 152-158.

28. Есенков А.С., Есенков B.C., Михайлов И.Е. Методы решения интегро-дифференциального уравнения в задаче Смолуховского для Ферми-газа //Вестник Тверского Государственного Университета. Серия: Прикладная математика. Тверь, 2009. Выпуск № 1(12). - С. 51-57.

29. Есенков А.С., Есенков B.C., Михайлов И.Е. Численное решение задачи Смолуховского для Бозе-газа //Вестник Тверского Государственного Университета. Серия: Прикладная математика. Тверь, 2009. Выпуск № 3(14). - С. 44-50.

30. Латышев А.В., Юшканов А.А. Граничные задачи для молекулярных газов. Монография. // М.: Издательство МГОУ , 2005. 264 с.

31. Халатников И.М. Теория сверхтекучести. // М.: Наука, 1971. 320 с.

32. Эйнштейн А. Собрник научных трудов. // М., 1966. Т. 3 - 386 с.

33. Латышев А.В., Моисеев А.В. Граничная задача для уравнений переноса излучения при комбинации рэлеевского и изотропного рассеяния. // ЖВММФ, 1998. Т. 38. №4. - С. 538-550.

34. Латышев А.В., Попов В.Н., Юшканов А.А. Неоднородные кинетические задачи. Метод сингулярных интегральных уравнений. // Монография. Архангельск. Поморский университет, 2004. 266 с.

35. Латышев А.В., Юшканов А.А. Аналитическое решение модельного БГК-уравнения Больцмана в задаче о температурном скачке с учетом аккомодации энергии. // Математическое моделирование, 1992. Т.4. №10.-С. 61-66.

36. Латышев А.В., Юшканов А.А. 'Аналитическое решение задачи о скачке температуры в газе с вращательными степенями свободы. // ТМФ, 1993. -Т.95.№3.-С. 530-540.

37. Латышев А.В., Юшканов А.А. Аналитическое решение граничных задач для эллипсоидально статистического уравнения // ПМТФ, 2004. Т. 45. №5.-С. 13-25.

38. Больцман Л. Лекции по теории газов. // М.: Гостехиздат, 1956. -554 с.

39. Latyshev A.V., Yushkanov A.A. Smolukhovsky problem for electrons in a metal. // Theoretical and Mathematical Physics, 2005. V. 142(1). - P. 79-95.

40. Латышев A.B., Юшканов А.А. Граничные задачи для вырожденной электронной плазмы. Монография. // М.: Издательство МГОУ, 2006. 274 с.