автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Метод решения граничных задач кинетической теории для квантовых ферми-газов

Костиков Александр Артурович

МЕТОД РЕШЕНИЯ ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ДЛЯ КВАНТОВЫХ ФЕРМИ-ГАЗОВ

Специальность 05.13.18

Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

- О СЕ И 7П1П

Москва 2010

004607957

Работа выполнена на кафедре «Прикладная математика» ГОУ ВПО «МАТИ» — Российского государственного технологического университета имени К. Э. Циолковского

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

Гурченков Анатолий Андреевич

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

Дивеев Асхат Ибрагимович

доктор физико-математических наук, профессор Кулагин Николай Евгеньевич

Ведущая организация: Московский государственный институт

электронной техники (Технический университет)

Защита состоится « 3 »(-¿^/л/'Ц 2010 года в ^/ часов на заседании диссерта ционного совета Д 212.110.08 при ГОУ ВПО «МАТИ» — Российском государствен ном технологическом университете имени К.Э. Циолковского по адресу: 121552 г. Москва, ул. Оршанская, д. 3, ауд. 612А.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО «МАТИ» — РГТУ имени К. Э. Циолковского.

Автореферат разослан «_>_2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.110.08

кандидат физико-математических наук, доцент

Спыну М. В.

ктуальность работы

В последние годы внимание исследователей привлекают проблемы естествозна-ия, связанные с развитием физико-химической технологии, внедрением в практи-у оптимизации производственных процессов, созданием энерго и ресурсосберегающих технологий, поиском новых материалов с заданными свойствами, созданием лементной базы для нового поколения устройств и систем микроэлектроники. Наг онец, широкий спектр био-физико-химических и экологических задач требует си-тематизации физико-химических исследований и создания единого подхода к ана-изу разнообразной информации о строении и физико-химических свойствах раз-ичных веществ на основе современных методов прикладной математики и теории атематического моделирования. Для этой цели, в частности, необходимо создание рограммных комплексов решения квантовомеханических задач для систем мно-их частиц, использующих алгоритмы, применимые к достаточно широкому классу квантовомеханических систем.

Кинетические явления в разреженных газах являются предметом исследования ще со времен Максвелла и Больцмана. При этом большая часть работ по дан-ой тематике посвящена изучению поведения классических газов. Квантовые газы зучались главным образом в рамках рассмотрения кинетики электронов в полу-роводниках и металлах, а также кинетики фотонов в конденсированных средах.

Однако, и электроны в твердых телах, и фотоны относятся к квазичастицам, оведение которых в ряде важных деталей отличается от поведения свободных чат тиц, а электроны, кроме того, обладают зарядом и спином, так что мы имеем дело кинетикой плазмы.

В последнее время наблюдается растущий интерес к задачам, связанным с по-едением газов в режимах, когда их квантовыми свойствами пренебречь нельзя, ольшой интерес вызывает также вопрос о поведении смесей этих газов. Наиболее асто рассматриваемыми «квантовыми» газами являются 3Не и 4Не. Отметим, что Не — это ферми-газ, а 4Не — бозе-газ. Такое сочетание различных квантовых ста-истик вызывает особый интерес к их смесям. Много работ посвящено свойствам астворов этих газов. В то же время граничные задачи для таких смесей остаются алоисследованными. К таким задачам относится задача о поведении смеси кванто-ых газов вблизи границы испарения. Другой актуальной задачей является задача б изотермическом скольжении одноатомного ферми-газа вдоль плоской поверхно-ти. Эти задачи являются привлекательными как с теоретической точки зрения, так в силу многочисленных технических приложений. Они возникают в различных бластях науки и техники, связанных с авиацией, космическими исследованиями, с олучением сверхчистых веществ в космосе, в химической технологии, в частности, ри математическом описании и моделировании процессов, происходящих в псевдо-:иженном слое, и т. п.

Работа посвящена разработке новых математических моделей для изу-ения кинетических явлений разреженных квантовых ферми-газов при достаточно бщих граничных условиях. Рассматриваются: задача об испарении бинарной га-овой смеси, когда испаряющейся компонентой является квантовый ферми-газ, и

задача об изотермическом скольжении одноатомного квантового ферми-газа вдоль плоской поверхности. Исследована зависимость коэффициента скачка химического потенциала от коэффициента испарения. Проведены численные эксперименты и построены зависимости коэффициента скачка безразмерного химического потенциал от величины коэффициента аккомодации в широком диапазоне значений коэффициента аккомодации. Коэффициент изотермического скольжения найден как функция коэффициента аккомодации тангенциального импульса молекул и безразмерного химического потенциала. Выполнено сравнение модельных результатов с известными результатами, когда квантовый ферми-газ переходит в классический.

Цель и задачи исследования

Целью настоящей работы является разработка нового эффективного метода решения граничных задач кинетической теории, в основе которого лежит метод решения сингулярных интегральных уравнений с ядром Коши. На пути к поставленной цели основными задачами исследования были следующие:

1. Создание математической модели, описывающей поведение квантовых газов вблизи границы раздела газ — конденсированная фаза, для изучения влияния квантовых эффектов на макропараметры исследуемой системы. Для описания кинетических процессов вблизи поверхности используется кинетическое уравнение Больцмана с модельным интегралом столкновений.

2. Разработка численного метода, который вычисляет функцию распределения частиц по скоростям на основании сформулированной системы интегро-диф-ференциальных уравнений, описывающих поведение квантового ферми-газа.

3. Создание комплекса программ для проведения исследований решений кинетических уравнений в задачах испарения и скольжения квантовых ферми-газов.

Научные положения, выносимые на защиту

1. Созданная в работе физико-математическая модель кинетических уравнений Больцмана для решения граничных задач испарения и скольжения квантовь: ферми-газов, представленная в форме замкнутой системы интегро-дифферен-циальных уравнений, обладает параметрической полнотой (учитывает актуальные параметры газов — коэффициент диффузии, массовую скорость, кон центрацию, вязкость), в силу чего информационно достаточна для построени прогнозных течений.

2. Построенный метод решения граничных задач кинетической теории обеспечи вает нахождение аналитического решения кинетических уравнений Больцман-в задаче испарения квантового ферми-газа в бинарную газовую смесь.

3. Разработанный метод решения граничных задач кинетической теории обесп чивает нахождение аналитического решения в задаче Крамерса об изотерми ческом скольжении квантового ферми-газа вдоль плоской поверхности.

4. Разработанный программный комплекс и проведение численного эксперимента на основе созданной модели кинетических уравнений Больцмана является необходимым условием для обоснованного подтверждения как самой модели, так и метода решения граничных задач кинетической теории, которые соответствуют особенностям поведения квантовых ферми-газов.

Методы исследования

В ходе исследования применяются следующие математические методы. Рассматривается линеаризованное относительно абсолютного максвеллиана кинетическое уравнение Больцмана. Методом разделения переменных это уравнение сводится к задаче на собственные значения (в данной работе это решение дисперсионного уравнения). При исследовании моделей кинетических уравнений применяется техника методов теории функций комплексного переменного, в частности, метод краевых задач Римана—Гильберта. В работе используются методы теории обобщенных функций, методы теории возмущений, асимптотические методы. В программной реализации численных экспериментов используется ряд алгоритмов, которые реализованы на языке С++. Вычисления проводились в среде программирования MS Visual Studio, построение графиков функций в ряде задач осуществлялось с помощью среды Mathcad.

Достоверность

Достоверность полученных в работе результатов обусловлена адекватностью построенных моделей классическим представлениям в теоретической физике, строгостью математических постановок задач, методов решения краевых и начально-краевых задач, тестирования известными точными решениями и подтверждается сопоставлением аналитических результатов с результатами численных расчетов, а также хорошего согласования с данными, полученными другими авторами.

Научная новизна

Новизна проведенного исследования состоит в том, что в диссертации впервые получены точные аналитические решения полупространственных задач об испарении бинарной газовой смеси, когда испаряющейся компонентой является квантовый ферми-газ, и об изотермическом скольжении одноатомного квантового феми-газа вдоль плоской поверхности при аккомодационных условиях отражения частиц. Разработаны численные методы для эффективного решения этих задач.

Практическая значимость

Полученные в работе теоретические результаты могут послужить отправной точкой дальнейших исследований по данной проблематике, расширив тем самым область применения разработанного метода. Представленная методика решения задач испарения бинарных квантовых ферми-газов и скольжения одноатомных квантовых ферми-газов позволяет оценить влияние различных параметров (размер частиц, концентрации частиц, вязкости) на распределение поглощенной энергии внутри чаг стиц. Путем варьирования этих параметров представляется возможным изменять распределение температуры в газовой среде, что создает определенные возможности

для управления различными физико-химическими процессами (фазовые переходы, химические превращения, изменения агрегатных состояний и др.).

Использованные методы решения кинетических уравнений могут найти применение в различных областях техники для задач, связанных с авиацией и космическими исследованиями, получением сверхчистых веществ в космосе, в химической технологии, в частности, при математическом описании и моделировании процессов, происходящих в псевдосжиженном слое и т. п.

Личный вклад автора

В совместных работах автору принадлежат результаты в равных долях. Из совместных публикаций в диссертацию включены лишь те результаты, которые получены лично автором.

Апробация работы

Результаты, представленные в работе, методы и алгоритмы исследований докладывались и обсуждались и получили одобрение специалистов на следующих конференциях и семинарах:

1. Международная конференция молодых ученых MAKS 2007, г. Жуковский, М.О.

2. IV Всероссийская научная конференция молодых ученых и студентов «Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных наук в регионах» (г. Краснодар, 2007 г.).

3. Международная молодежная научная конференция «Гагаринские чтения» (г. Москва, 2006-2009 гг.).

4. Научные семинары отдела сложных систем ВЦ РАН им. А. А. Дородницына (2006-2009 гг.).

5. Научные семинары кафедры «Прикладная математика» «МАТИ» — РГТУ им. К.Э. Циолковского (2004-2008 г.).

Реализация и внедрение результатов работы

Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант №09-01-00678-а). Результаты диссертационной работы использованы ООО «Вызов» при расчете коэффициентов вязкости и массовой скорости в задаче об испарении квантового ферми-газа с плоской поверхности в полупространство насыщенного газа. С помощью пакета программ получены зависимости коэффициентов скачка безразмерного химического потенциала от величины коэффициента аккомодации.

Кроме того, программная реализация в среде Matlab позволила найти зависимость коэффициента изотермического скольжения от величины химического потенциала и от величины коэффициента аккомодации в задаче об изотермическом скольжении квантового ферми-газа вдоль плоской поверхности.

Применение указанных материалов позволило сократить время расчетов на порядок и уменьшить затраты аппаратных ресурсов на реализацию (акт внедрения №1/53-71).

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в 6 работах, в числе которых публикации в журналах, рекомендованных ВАК, 2 — в трудах Всероссийских и еждународных конференций.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы, бщий объем диссертации составляет 133 страницы. Диссертация содержит 14 ри-унков, список литературы из 98 наименований.

одержание работы

Во Введении обоснована актуальность темы диссертации, описаны цели и задаг и, поставленные в диссертации, научная новизна и практическая ценность работы, риведен список конференций, семинаров, где была проведена апробация резуль-атов работы. Приведено описание структуры и объема диссертации, а также изло-ено краткое описание содержания диссертации по главам.

В Первой главе анализируются основные направления исследования кинети-еских уравнения Больцмана. В §1 дается краткий экскурс в историю вопроса, по-азаны подходы и методы решения граничных задач кинетической теории.

Далее рассматривается нелинейное уравнение Больцмана с интегралом столкно-ений в правой части. Поведение функции распределения описывается уравнением Больцмана

де B[f, f] — интеграл столкновений. Это оператор вида

B[f,f] = J [f(V)f(w')-f(v)f(w)]m(u,™)dSld3w.

Здесь V и w' — скорости двух молекул перед столкновением, a v и w — скорости тих молекул после столкновения, u = v — w — вектор относительной скорости, п — вектор единичной нормали к единичной сфере ft, dfi, — элемент площади единичной сферы, сг(и,д) —дифференциальное сечение рассеяния молекулы на угол в (ц = cos 9), зависящее от закона межмолекулярного взаимодействия, причем скорости молекул до и после столкновения связаны равенствами

v' = V — n(nv - nw), w' = w - n(nw — nv).

Проведена его линеаризация, и описан общий способ построения модельных линейных кинетических уравнений. В качестве примера строится так называемое БГК-уравнение Больцмана (Бхатнагар, Гросс, Крук).

При этом интеграл столкновений заменяется модельным интегралом с сохране нием основных свойств полного интеграла столкновений.

В работе рассматривается случай слабо возмущенных газов; уравнение Больц мана линеаризуется относительно абсолютного максвеллиана.

Далее в первой главе рассмотрены характеристики газа и виды граничных уел вий.

Приводится вывод стационарного БГК-уравнения путем линеаризации г модельного нелинейного уравнения.

На рис. 1 представлены результаты параметрического анализа уравнения БГК.

Рис. 1. Поведение абсолютного фермиана, кривые 1,2,3 отвечают параметрам а = 0, -1,2.

В заключении первой главы вычисляются кинетические коэффициенты (вязкость г], теплопроводность х и число Прандтля.

Показано, что наибольшую точность БГК-уравнение обеспечивает в тех задачах, в которых имеют место либо процессы, обусловленные вязкостью, либо процессы, обусловленные теплопроводностью, но не те и другие процессы вместе.

Во Второй главе результаты первой главы обобщаются на случай квантовых ферми-газов.

В начале главы дается постановка задачи об испарении квантового ферми-газа с плоской поверхности в полупространство насыщенного пара.

Рассматривается плоская граница раздела между металлом и окружающей средой. Пусть имеется поток частиц со среднемассовой скоростью, направленной от или к поверхности. Вводится декартова система координат с центром на поверхности и осью х, перпендикулярной поверхности и направленной вглубь металла.

Задается градиент химического потенциала вдали от стенки.

у

х

Строится аналитическое решение задачи.

Пусть имеется смесь двух квантовых газов. Изучим процесс испарения с плоской поверхности в бинарную газовую смесь. Предположим, что концентрация испаряющегося компонента смеси много меньше концентрации неиспаряющегося компонента Пг, т.е. п?. щ <С т (случай разбавленной смеси). Отметим, что для большинства важных приложений это условие выполняется. Величина е = щ/щ является малым параметром.

В квазиклассическом приближении уравнение Больцмана для бинарной газовой смеси имеет вид

Ж + = + ■7у' * * ^ 1 = 2- (2Л)

десь ^ и ^- — интегралы столкновений.

^ = I УцШ^-Ш^, (2.2)

{28 + 1)^ ~ (2жПУ '

¡ — функция распределения г-го компонента смеси, «Д» и ^ — интегралы столкно-ений молекул г-го компонента между собой и с молекулами j-гo компонента соот-етственно, в —спин молекулы.

Отметим, что 7ц ~ п?, 3\ъ ~ щщ, поэтому ~ — ~ £.

|"12| П2

Тогда функцию распределения второго компонента газовой смеси можно считать авновесной со средней скоростью С/г = 0 и постоянными Т и пг.

Кинетическое уравнение для первого компонента примет вид (модель БГК)

% + = (2-3)

де fe„ =-5-7—г—, /е<7 — равновесная фермиевская функция распре/лиг u(r)\

еления для первого компонента, к — постоянная Больцмана, V\ — эффективная ча-тота столкновений для молекул первого компонента, ц(г) — химический потенциал ервого компонента, Т — температура смеси, считающаяся постоянной.

Линеаризуя задачу относительно абсолютного фермиана fp(C,as), где as —знаете безразмерного химического потенциала, соответствующее температуре по-ерхности Т = Тв и концентрации насыщенного пара при этой температуре, получим инетическое уравнение для определения функции распределения

00

dh 1 f ц-^ + h(x, ц) = ^ J fF(n', as)h(x, ¡л!) ф', ц = Сх. (2.4)

Прежде чем решать уравнение (2.4), необходимо сформулировать граничные условия задачи для Так граничное условие на поверхности испарения для

молекул первого компонента, учитывающего влияние свойств поверхности, можно записать путем введения коэффициента испарения д:

/(О, С) = д/ЯС, а,) + (1 - да0), Сх > О,

где

Величина ао определяется из условия непротекания для молекул, отразившихся от поверхности без конденсации на ней (вероятность такого процесса равна 1 - д). Граничное условие имеет вид:

/1(0, Сх) = (1 - 9)(ао - а$), Сх > 0. (2.5).

/<1а(х)\

Здесь иа = —1 — градиент химического потенциала вдали от стенки. V ах /х=+оо Далее величину ав будем везде обозначать через а.

Задача (2.4) решается методом разделения переменных.

Собственная функция характеристического уравнения имеет вид:

Здесь Рх~1 означает главное значение интеграла от ж-1,6(х) — дельта-функция Дирака, Х(г) — дисперсионная функция задачи,

Л(") = 1 + 4Ш]

fF(ß, a)dß

ц--Г)

-00

Числовая ось оо, +оо) является непрерывным спектром характеристического уравнения.

Будем рассматривать убывающие решения, т.е. г) е (0, +оо) — непрерывный спектр исходной задачи.

Далее выясняется структура дискретного спектра, состоящего из нулей дисперсионной функции.

Разлагая дисперсионную функцию в асимптотический ряд, замечаем, что эта функция в точке г = оо имеет нуль второго порядка. Этому нулю отвечают два решения уравнения (2.4) (число решений равно кратности нуля).

При помощи принципа аргумента показано, что других нулей дисперсионная функция не имеет.

Теперь решение исходной задачи ищем в виде разложения

00

И{хф) = Аа + (За(ж - ц) + / ехр(——)Ф(»7, ц)А{г]) <1г), (2.7)

«/ V

о

где А{г}) — коэффициент непрерывного спектра, Аа — коэффициент дискретного спектра, при этом Аа = С(а,д)Оа.

Подстановка собственной функции в (2.7) и (2.5) приводит к сингулярному интегральному уравнению с ядром Коши:

00

-- 0 <" < -

о

Наша задача найти С(а,д).

Величина скачка безразмерного химического потенциала находится из условия обращения в нуль на оо вспомогательной функции а именно

1 - д 21{а)

Аа = tfa(O) = [Vi(a)

+ ■

Ga.

q ln(l + ea)J

Отсюда искомая функция C(a,q) — коэффициент скачка безразмерного химического потенциала из равенства

CiC^K.W + i^JSL. (2.8)

Коэффициент непрерывного спектра А{г}) найдем, подставив решение краевой задачи в (2.7),

A(rj) = [-¿-г - -T^-Vrl • (2.9)

Таким образом, неизвестные коэффициенты разложения найдены. Это означает, что функция распределения испаряющейся компоненты построена.

На основании аналитического решения задачи об испарении получены величины химического потенциала и концентрации ферми-газа. Затем построены профиль функции распределения, химического потенциала и концентрации в полупространстве и на ее границе. Получена зависимость скачка концентрации от коэффициента испарения и величины химического потенциала.

Зависимость коэффициента скачка безразмерного химического потенциала от коэффициента испарения и от величины химического потенциала представлена на рис. 2 и 3.

Для обоснования предложенной математической модели интегро-дифференци-альное уравнение (2.4) с граничными условиями (2.5) решается с помощью явного конечно-разностного численного метода.

Явный конечно-разностный метод

На п-ом слое по х уравнение (2.4) аппроксимируется явной конечно-разностной схемой:

00

цК+1~К + hn(xn, /i) = [ Ми', aa)h(х, /,') dix', ц = Сх. (2.10) Xn+i - х„ 4до J

-00

и

Рис. 2. Зависимость коэффициента скачка безразмерного химического потенциала от величины химического потенциала а, кривые 1,2,3,4 отвечают значениям коэффициента аккомодации д = 0.2,0.3,0.5,0.7.

Рис. 3. Зависимость коэффициента скачка безразмерного химического потенциала от величины коэффициента аккомодации, кривые 1,2,3 отвечают значениям коэффициента аккомодации а = 0, —3,3.

Для решения уравнения (2.4) организуется следующий итерационный процесс (итерации в нем мы будем обозначать индексом г). На нулевой итерации во всей рассматриваемой области значение функции Ж0\х,ц) задается на фиксированной сетке произвольно с учетом граничных условий (2.5). Переход от ¿-ой к (г + 1)-ой итерации осуществляется следующим образом. На первом этапе рассчитываются значения функции /г^ (х, /1) от х = М до я = 0 с использованием формулы (2.10), но только для ^ < 0. На втором этапе по формуле (2.10) вычисляются значения функции распределения Н^^хф) только для /х > 0, но интегралы в правой части (2.10) находятся с использованием вычисленных на первом этапе значений /г^0' при ц< 0. Итерации заканчиваются, когда выполняется условие

тах <5. (2.11)

Вычислительный эксперимент показал, что такой итерационный метод численного расчета (2.10) сходится к решению (2.4) для любых значений параметров, а для выполнения условия (2.11) достаточно 10-12 итераций.

Показано, что для вычисления дп при фиксированном а с заданной точностью 8 достаточно ограничить верхний передел интегрирования в определении дп числом М:

|М|>^|а| + 1п(1 В рассматриваемом диапазоне значений а е [—5; 5] для достижения точности

вычисления 5 = 0.01 достаточно было, чтобы значение \М\ не превосходило число 10. Расчетная область бралась в виде 0 < х < М, —М < ц < М. В этой области вводилась равномерная сетка с шагами йх, (1(1. Результаты рассчетов приведены на рис. 4.

i"'' i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 а

Рис. 4. Определение кинетического коэффициента С(а, q) и кинетического коэффициента скачка химического потенциала.

Порядок погрешности квадратурной формулы численного метода проверялась по правилу Рунге:

nd=0.5 nd= 1

7=0

, 3=0 _ , j=о

"d=0.25 'V=n

<¿=0.5

« 2.8 = 2Pl,pi ~ 1.9.

В конце главы производится обсуждение результатов и показывается обобщение классических результатов для простых, одноатомных газов на случай квантовых газов.

В Третьей главе рассматривается классическая граничная задача кинетической теории: задача Крамерса об изотермическом скольжении разреженного газа вдоль плоской поверхности.

Получено аналитическое решение этой задачи для квантового ферми-газа с аккомодационными граничными условиями. В явном виде представлена функция распределения молекул. Построено распределение массовой скорости в полупространстве, найдено ее значение непосредственно вблизи границы.

Влияние квантовых эффектов на кинетические процессы в нейтральных газах начинает проявляться особенно при низких температурах.

Наибольшее влияние этих эффекты должны оказывать на поведение легких газов, таких как водород и гелий.

Кроме того, проблема граничных условий, описывающих взаимодействие молекул газа с поверхностью конденсированной фазы, остается нерешенной до настоящего времени, в частности, для реальных поверхностей. Самое употребляемое из них—это зеркально-диффузное условие Максвелла, в котором параметры отражения молекул определяются одной величиной — коэффициентом зеркальности.

Условие Максвелла хорошо зарекомендовало себя при решении конкретных граничных задач.

В тоже время, оно обладает рядом недостатков. Так оно недостаточно удобно при построении аналитических решений. Кроме того, граничное условие не вполне общее, т.к. одного параметра—коэффициента зеркальности — явно не хватает. Эти обстоятельства привели к необходимости модификации и обобщения условий Максвелла. Одно из таких обобщений было предложено Черчиньяни.

Это обобщение мы используем в настоящей работе для решения задачи Крамер-са об изотермическом скольжении квантового ферми-газа вдоль твердой плоской поверхности.

В начале третьей главы дается постановка задачи. Рассматривается линеаризованное кинетическое уравнение для квантовых ферми-газов с постоянной частотой столкновений молекул:

Cx^ + h(x,C) = ^J C'yh(x, С')д(С, a) d3C'. (3.1)

Здесь С = y/fiv — безразмерная скорость молекул, /3 = т/(2кТ), т —масса молекулы, ¿ — постоянная Больцмана, Т — абсолютная температура, h — функция связана с функцией распределения соотношением:

f(x, С) = fF(C, а) + д(С, a)h(x, С), (3.2)

функция fF{C,a) = [1 + ехр(С2 — а)]-1 —абсолютный фермиан, а = ц/(кТ), ц — химический потенциал молекул.

В задачах скольжения функция h ищется в виде:

h(x, С) = СуН(х, ц), ц = Сх.

Тогда уравнение (3.1) записывается в виде:

дН .

с»

= / л') М1 + ехР(а - ^ (3-3)

—00

Граничные условия на стенке возьмем в виде:

х J /г(0, С')С'хСуд{С', а) сРС', Сх> 0.

сх<о

о

Н(0,ц) = J м'Я(0,//) 1п(1 + ехр(а - /)) ф'. (3.4)

-с»

Условие на оо даст:

Н(Хуц) = Наа(х,ц) + о(1), а; ->■+оо,

где Has{x,n) = 2[U0(a,q) + gv(x — fi)} — асимптотическое распределение Чепмена— Энскога. Здесь Uq(a, q) — скорость скольжения ферми-газа, <?„ —градиент безразмерной массовой скорости, заданной вдали от стенки.

Решение задачи (3.3), (3.4) методом разделения переменных приводит к решениям

х

hr,{x, ц\ а) = ехр(--)Ф(т/, ц, а), где функция Ф удовлетворяет уравнению

(г1-ц)Ф{г},р,а) = г1. Решение задачи Крамерса ищем в виде разложения

h(x,n,a) = 2 Uo(a,q) + 2gv(x-n)+

00

+ J ехр(--)Ф(77, д, а)а(7?, а) ¿г?, (3.5)

о

где [/о(а,д) и а(т], а) — неизвестные постоянная и функция.

Разложение (3.5) автоматически удовлетворяет граничному условию на оо. Подставляя (3.5) в граничное условие на стенке, получаем сингулярное интегральное уравнение с ядром Коши:

-2&(а, q) + 20о(а, q) - 2д,1л+

ОО

о

Решая краевую задачу Римана методом, подробно изложенным во второй главе, с помощью формул Сохоцкого для а) найдем неизвестную функцию 0(77, а) в разложении (3.6), а также Щ(а,д)

и0 М = (3.7)

Таким образом, все неизвестные коэффициенты разложения (3.6) найдены, тем самым функция распределения построена в явном виде:

^ > (а)+х-ц + - / ехр -- и'/ 1 +

7Г у V 77/ х(г],а) Г]-Ц

25,

(3.8)

/ х\со8((и,а)л , .

где 9+(ц) — функция Хэвисайда, т.е. в+(ц) = 1, /х > О,0+(м) = 0, /л < 0.

Функция распределения летящих к стенке молекул получается из (3.8) при х — 0.

й+М.

Ч к(а) у 10{а)1

Отметим, что при а -> — оо квантовый ферми-газ переходит в классический. Вычисляя предел в (3.7) при а -)■ -оо, получаем

0Ь(-оо,д) = С{-оо,д)д» = [^(-оо) + (3.9)

Формула (3.9) дает классический результат Черчиньяни для классического газа с постоянной частотой столкновений.

На рисунках 5 и 6 представлена зависимость коэффициента С (а, д) изотермического скольжения от а — величины отношения химического потенциала к произведению постоянной Больцмана на абсолютную температуру и от величины коэффициента аккомодации.

При отрицательных а график выходит на асимптотику

С(а,в) = Ш6 + ^(1-в)/?

уже при а < -2. При а < — 2 величина VI (а) практически совпадает с асимптотическим значением, соответствующим классическому случаю.

Для обоснования математической модели в задаче скольжения квантового ферми-газа вдоль плоской поверхности был разработан конечно-разностный метод решения интегро-дифференциального уравнения (3.3) с граничными условиями (3.4).

С<су?)

С(аД)

Рис. 5. Зависимость коэффициента -отермического скольжения от величины мического потенциала а, кривые 1,2,3,4 твечают значениям коэффициента комодащш q = 0.2,0.3,0.5,0.7.

Рис. 6. Зависимость коэффициента изотермического скольжения от величины коэффициента аккомодации, кривые 1,2,3 отвечают значениям коэффициента аккомодации а = 0, —3,3.

вный конечно-разностный метод

На п-ом слое по х уравнение (3.3) аппроксимируется явной конечно-разностной емой:

+ Лп(®„, до) = ¿у У Н(х, до') 1п(1 + ехр(а - до'2)) «¿до'. (2.10)

-00

Для решения уравнения (3.10) организуется следующий итерационный процесс итерации в нем мы будем обозначать индексом г). На нулевой итерации во всей ассматриваемой области значение функции Л® (х, до) задается на фиксированной етке произвольно с учетом граничных условий (3.4). Переход от г-ой к (г + 1)-ой терации осуществляется следующим образом. На первом этапе рассчитываются начения функции /4+!(ж, до) от х — М до ж = 0 с использованием формулы (3.10), о только для до < 0. На втором этапе по формуле (3.10) вычисляются значения ункции распределения Л^^до) только для до > 0, но интегралы в правой части 3.10) находятся с использованием вычисленных на первом этапе значений Лп' при < 0. Итерации заканчиваются, когда выполняется условие

тах

/¿•'+1)(а;,до)-/1«(х,до) <6. (3.11)

Вычислительный эксперимент показал, что такой итерационный метод числен-ого расчета (3.10) сходится к решению (3.3) для любых значений параметров, а я выполнения условия (3.11) достаточно 10-12 итераций.

Показано, что для вычисления дп при фиксированном а с заданной точностью 5 достаточно ограничить верхний передел интегрирования в определении дп числом М:

\М\>

а

1п

В рассматриваемом диапазоне значений а € [—5; 5] для достижения точности вычисления 5 = 0.01 достаточно было, чтобы значение \М\ не превосходило число 10. Расчетная область бралась в виде 0 < х < М, -М < ц < М. В этой области вводилась равномерная сетка с шагами йх, йц.

При помощи разработанных методов получены функции распределения для произвольных значений скачка температуры и химического потенциала.

■ Результаты численных тестов представлены на рис. 7.

I I I I I I I I I [ I I I I I

100-

50-

0-

-50-

-100

£т=1

(¡»■о у о 9-е^-

I I I | I I I | I I I | I I I | I I I | I I I | I I 1 | I

-6-4 -2 02468 10

а а

Рис. 7. Определение кинетических коэффициентов Кт{а) и Сг(а).

Порядок погрешности квадратурной формулы численного метода проверялась по правилу Рунге:

"¿=о.5 аа=\

¿=0.25 '^=1

<2=0.5

' 6.4 = 2Р2,р2 ~ 2.9.

В заключении приведем основные результаты работы:

1. Разработан новый эффективный метод решения граничных задач кинетической теории, в основе которого лежит метод решения сингулярных интегральных уравнений с ядром Коши. Поставлена задача об испарении квантового

ферми-газа с плоской поверхности в полупространство насыщенного газа и с помощью разработанного метода получено аналитическое решение этой задачи.

2. В предположении, что концентрация испаряющейся компоненты много меньше концентрации несущего газа, построены профили функции распределения, химического потенциала и концентрации в полупространстве и на границе раздела газ — конденсированная фаза. Получены величины скачков химического потенциала и концентрации квантового ферми-газа.

3. Разработан программный комплекс и проведен численный эксперимент на основе созданной модели кинетических уравнений Больцмана, что является необходимым условием для обоснованного подтверждения, как самой модели, так и метода решения граничных задач кинетической теории. Получено хорошее соответствие результатов численного метода и аналитического решения задачи.

4. Поставлена задача Крамерса об изотермическом скольжении одноатомного квантового ферми-газа и с помощью разработанного метода получено аналитическое решение этой задачи с аккомодационными граничными условиями. В явном виде построена функция распределения молекул. Построено распределение массовой скорости в полупространстве; найдено ее значение непосредственно вблизи границы. Найдены коэффициенты изотермического скольжения от величины химического потенциала в широком диапазоне значений коэффициента аккомодации.

5. На основе разработанного программного комплекса проведены численные тесты задачи Крамерса и определены кинетические коэффициенты скачка химического потенциала. Получено хорошее совпадение численных результатов с результатами, полученными аналитически, что является обоснованным подтверждением представленной математической модели.

6. В работе показано, что полученные результаты переходят в известные, когда квантовый ферми-газ переходит в классический.

убликации по теме диссертации

1. Гурченков A.A., Костиков A.A., Латышев A.B., Юшканов A.A. Скорость квантового ферми-газа в задаче Крамерса с аккомодационными граничными условиями // Труды ИСА РАН. Динамика неоднородных систем. 2008. Т. 32 (1). С. 45-53.

2. Гурченков A.A., Костиков A.A., Латышев A.B., Юшканов A.A. Функция распределения квантового ферми-газа в задаче об испарении // Труды ИСА РАН. Динамика неоднородных систем. 2008. Т. 32 (3). С. 80-89.

3. Костиков A.A., Латышев A.B., Юшканов A.A. Задача Крамерса с аккомо дационными граничными условиями для квантовых ферми-газов // Физик низких температур. 2008. Т. 34. № 9. С. 9Ц-920.

4. Костиков A.A., Латышев A.B., Юшканов A.A. Скачок химического потен циала при испарении ферми-газа // Журнал технической физики. 2008. Т. 79 Вып. 4. С. 1-8.

5. Гурченков А. А., Костиков А. А. Математические модели кинетических урав нений // Труды IV Всероссийской научной конференции молодых ученых студентов «Современное состояние и приоритеты развития фундаментальнь наук в регионах». Анапа. 2007. Т. 3. С. 92-93.

6. Гурченков А. А., Костиков А. А. Интегральные уравнения в линеаризованнь уравнениях Больцмана // XVII Всероссийская конференция «Теоретически основы и конструирование численных алгоритмов и решение задач математи ческой физики с приложением к многопроцессорным системам», посвящена-памяти К. И. Бабенко. Абрау-Дюрсо. 2008. Т. 3. С. 243.

Отпечатано в ООО «Компания Спутник+» ПД № 1-00007 от 25.09.2000 г. Подписано в печать 28.07.2010 Тираж 100 экз. Усл. п.л. 1,2 Печать авторефератов (495)730-47-74,778-45-60

Введение

1 Уравнение Больцмана, его модели и граничные задачи

1.1 Обзор методов и подходов в исследовании граничных задач кинетической теории.

1.2 Уравнение Больцмана и его модели.

1.3 Основные характеристики газа. Виды граничных условий

1.4 Скольжение простого (одноатомного) газа вдоль плоской поверхности

1.5 Линеаризация нелинейного релаксационного кинетического уравнения.

1.6 Кинетические коэффициенты и число Прандтля

2 Функция распределения, химический потенциал и концентрация при испарении ферми-газа

2.1 Введение.

2.2 Постановка задачи и основные уравнения.

2.3 Формулировка граничных условий.

2.4 Кинетические коэффициенты.

2.4.1 Коэффициент диффузии

2.4.2 Массовая скорость.

2.5 Аналитическое решение задачи.

2.5.1 Разделение переменных.

2.5.2 Дискретный спектр характеристического уравнения

2.5.3 Разложение решения по собственным функциям

2.5.4 Однородная краевая задача Римана.

2.5.5 Профиль концентрации в полупространстве

2.5.6 Функция распределения

2.6 Явный конечно-разностный метод.

2.7 Профиль химического потенциала.

3.2 Постановка задачи и основные уравнения .90

3.3 Аналитическое решение задачи Крамерса.93

3.3.1 Сведение к сингулярному интегральному уравнению .93

3.3.2 Решение сингулярного уравнения.95

3.4 Функция распределения.97

3.5 Вязкость квантового газа.99

3.6 Массовая скорость ферми -газа .101

3.7 Явный конечно-разностный метод.102

3.8 Заключение и обсуждение результата.105

Заключение по диссертации

109

Приложения 111

Приложение I. Интегральное представление функции

X(z).Ill

Приложение 2. Интегральное представление функции

X~\z).116

Приложение 3. Факторизация дисперсионной функции . . 117

Список литературы 121

Введение

Общая характеристика работы

Работа посвящена разработке новых математических моделей для изучения кинетических явлений разреженных квантовых ферми-газов при достаточно общих граничных условиях. Рассматриваются: задача об испарении бинарной газовой смеси, когда испаряющейся компонентой является квантовый ферми-газ, и задача об изотермическом скольжении одноатомпого квантового ферми-газа вдоль плоской поверхности. Исследована зависимость коэффициента скачка химического потенциала от коэффициента испарения. Проведены численные эксперименты и построены зависимости коэффициента скачка безразмерного химического потенциала от величины коэффициента аккомодации в широком диапазоне значений коэффициента аккомодации. Коэффициент изотермического скольжения найден как функция коэффициента аккомодации тангенциального импульса молекул и безразмерного химического потенциала. Выполнено сравнение модельных результатов с известными результатами, когда квантовый ферми-газ переходит в классический.

Актуальность темы

В последнее время наблюдается растущий интерес к задачам, связанным с поведением газов в режимах, когда их квантовыми свойствами пренебречь нельзя. Большой интерес вызывает также вопрос о поведении смесей этих газов. Наиболее часто рассматриваемыми «квантовыми» газами являются 3Не и 4Не. Отметим, что 3Не — это ферми-газ, а 4Не —бозе-газ. Такое сочетание различных квантовых статистик вызывает особый интерес к их смесям. Много работ посвящено свойствам растворов этих газов. В то же время граничные задачи для таких смесей остаются малоисследованными. К таким задачам относится задача о поведении смеси квантовых газов вблизи границы испарения. Другой актуальной задачей является задача об изотермическом скольжении одноатомного ферми-газа вдоль плоской поверхности. Эти задачи являются привлекательными как с теоретической точки зрения, так и в силу многочисленных технических приложений. Они возникают в различных областях науки и техники, связанных с авиацией, космическими исследованиями, с получением сверхчистых веществ в космосе, в химической технологии, в частности, при математическом описании и моделировании процессов, происходящих в псевдосжиженном слое, и т. п.

С теоретической точки зрения, данные задачи интересны, прежде всего, тем, что они относятся к сложным задачам физической механики, и всякий раз требуют для своего решения новые подходы и методы.

В данной работе продемонстрирован один из таких подходов, позволяющий получить определенные результаты путем линеаризации исходных уравнений.

Эти задачи актуальны в астрофизике, космофизике и физике верхней атмосферы земли, в химической технологии, при получении сверхчистых веществ в космосе и т. п. Так, вопрос о профиле температуры вблизи металлических образцов малых размеров представляет большой интерес для микроэлектроники, где учет влияния поверхности на распределение температуры становится принципиальным. Таким образом, рассматриваемые в работе вопросы имеют несомненное прикладное значение.

Цель и задачи исследования

Целью настоящей работы является разработка нового эффективного метода решения граничных задач кинетической теории, в основе которого лежит метод решения сингулярных интегральных уравнений с ядром Коши. На пути к поставленной цели основными задачами исследования были следующие:

1. Создание математической модели, описывающей поведение квантовых газов вблизи границы раздела газ — конденсированная фаза, для изучения влияния квантовых эффектов на макропараметры исследуемой системы. Для описания кинетических процессов вблизи поверхности используется кинетическое уравнение Больцмана с модельным интегралом столкновений.

2. Разработка численного метода, который вычисляет функцию распределения частиц по скоростям на основании сформулированной системы интегро-дифференциальных уравнений, описывающих поведение квантового ферми-газа.

3. Создание комплекса программ для проведения исследований решений кинетических уравнений в задачах испарения и скольжения квантовых ферми-газов.

Научная новизна

Новизна проведенного исследования состоит в том, что в диссертации впервые получены точные аналитические решения полупространственных задач об испарении бинарной газовой смеси, когда испаряющейся компонентой является квантовый ферми-газ, и об изотермическом скольжении одноатомного квантового феми-газа вдоль плоской поверхности при аккомодационных условиях отражения частиц.

Методы исследования

В ходе исследования применяются следующие математические методы. Рассматривается линеаризованное относительно абсолютного максвеллиана кинетическое уравнение Больцмана. Методом разделения переменных это уравнение сводится к задаче на собственные значения (в данной работе это решение дисперсионного уравнения). При исследовании моделей кинетических уравнений применяется техника методов теории функций комплексного переменного, в частности, метод краевых задач Римана-Гильберта. В работе используются методы теории обобщенных функций, методы теории возмущений, асимптотические методы. В программной реализации численных экспериментов используется ряд алгоритмов, которые реализованы на языке С++. Вычисления проводились в среде программирования MS Visual Studio, построение графиков функций в ряде задач осуществлялось с помощью среды Mathcad.

Практическая ценность

Полученные в работе теоретические результаты могут послужить отправной точкой дальнейших исследований по данной проблематике, расширив тем самым область применения разработанного метода. Представленная методика решения задач испарения бинарных квантовых ферми-газов и скольжения одноатомных квантовых ферми-газов позволяет оценить влияние различных параметров (размер частиц, концентрации частиц, вязкости) на распределение поглощенной энергии внутри частиц. Путем варьирования этих параметров представляется возможным изменять распределение температуры в газовой среде, что создает определенные возможности для управления различными физико-химическими процессами (фазовые переходы, химические превращения, изменения агрегатных состояний и др.).

Использованные методы решения кинетических уравнений могут найти применение в различных областях техники для задач, связанных с авиацией и космическими исследованиями, получением сверхчистых веществ в космосе, в химической технологии, в частности, при математическом описании и моделировании процессов, происходящих в псевдосжиженном слое и т. п.

Апробация работы

Результаты, представленные в работе, методы и алгоритмы исследований докладывались и обсуждались и получили одобрение специалистов на следующих конференциях и семинарах:

• Международная конференция молодых ученых MAKS 2007, г. Жуковский, М. О.

• IV Всероссийская научная конференция молодых ученых и студентов «Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных наук в регионах» (г. Краснодар, 2007 г.).

• Международная молодежная научная конференция «Гагарин-ские чтения» (г. Москва, 2006-2009 гг.).

• Научные семинары отдела сложных систем ВЦ РАН им. А. А. Дороницина (2006-2009 гг.).

• Научные семинары кафедры «Прикладная математика» «МАТИ» — РГТУ им. К.Э. Циолковского (2004-2008 г.).

Публикации основных результатов

Основные результаты диссертации опубликованы в 6 работах ([12]-[15], [21] [22]):

1. Гурченков А. А., Костиков А. А., Латышев А. В., Юшканов А. А. Скорость квантового ферми-газа в задаче Крамерса с аккомодационными граничными условиями // Труды ИСА РАН. Динамика неоднородных систем. 2008. Т. 32(1). С. 45-53.

2. Гурченков А. А., Костиков А. А., Латышев А. В., Юшкаиов А. А. Функция распределения квантового ферми-газа в задаче об испарении // Труды ИСА РАН. Динамика неоднородных систем. 2008. Т. 32(3). С. 80-89.

3. Гурченков А. А., Костиков А. А. Математические модели кинетических уравнений // Труды IV Всероссийской научной конференции молодых ученых и студентов «Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных наук в регионах». Анапа. 2007. Т. 3. С. 92-93.

4. Гурченков А. А., Костиков А. А. Интегральные уравнения в линеаризованных уравнениях Больцмана // XVII Всероссийская конференция «Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов и рентсние задач математической физики с приложением к многопроцессорным системам», посвященная памяти К. И. Бабенко. Абрау-Дюрсо. 2008. Т. 3. С. 243.

5. Костиков А. АЛатышев А. В., Юшканов А. А. Задача Крамерса с аккомодационными граничными условиями для квантовых ферми-газов // Физика низких температур. 2008. Т. 34. № 9. С. 914-920.

6. Костиков А. А., Латышев А. В., Юшканов А. А. Скачок химического потенциала при испарении ферми-газа // Журнал технической физики. 2008. Т. 79. Вып. 4. С. 1-8.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка использованных источников. Общий объем диссертации составляет 133 страницы. Диссертация содержит 16 рисунков, список литературы из 98 наименований. Текст работы разделен на главы, парагра

1. Арсенъев А. А. Лекции по кинетической теории. — М.: Наука. 1992.

2. Баранцев Р. Г. Взаимодействие разреженных газов с обтекаемыми поверхностями. — М.: Наука. 1975.

3. Бобылев А. В. Точные и приближенные методы в теории нелинейных кинетических уравнений Больцмана и Ландау. — М.: ИПМ им. М. В. Келдыша. 1987. 253 с.

4. Болъцман Л. Лекции по теории газов. — М.: Гостехиздат. 1956.

5. Ван Кампен. Дисперсионное уравнение для волн в плазме. — Сб. статей под ред. Бернашевского Г. А. и Чернова 3. С. 1961. М.: ИИЛ. 360 с. (С. 57-70).

6. Веденяпин В. В. Кинетические уравнения Больцмана и Ландау. — М.: Физматлит. 2001. 111 с.

7. Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики. —М.: Физматлит. 2000. 399 с.

8. Власов А. А. О вибрационных свойствах электронного газа // ЖЭТФ. 1938. Т. 8 (3). С. 291.

9. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. —М.: Наука. 1977. 640 с.

10. Гахов Ф.Д., Черский Ю. И. Уравнения типа свертки. — М.: Наука. 1978. 296 с.

11. Гермогеиова Т. А. О полноте системы собственных функций характеристического уравнения теории переноса // ИПМатем. АН СССР. Препринт № 103. 1976. 55 с.

12. Гурченков А. А., Костиков А. А., Латышев А. В., Юшка-нов А. А. Скорость квантового ферми-газа в задаче Крамер-са с аккомодационными граничными условиями // Труды ИСА РАН. Динамика неоднородных систем. 2008. Т. 32 (1). С. 45-53.

13. Гурченков А. А., Костиков А. А., Латышев А. В., Юшка-нов А. А. Функция распределения квантового ферми-газа в задаче об испарении // Труды ИСА РАН. Динамика неоднородных систем. 2008. Т. 32 (3). С. 80-89.

14. Елизарова Т. Г., Четверушкин Б. Н. Использование кинетических моделей для расчета газодинамических течений // В сб.:Математическое моделирование. Процессы в нелинейных средах. — М.: Наука. 1985.

15. Карлеман Т. Математические вопросы теории газов. —М.: ИЛ. 1960.

16. Кейз К. М., Цвайфель П.Ф. Линейная теория переноса. — М.: Мир. 1972. 384 с.

17. Коган М. Н. Динамика разреженного газа. Кинетическая теория. — М.: Наука. 1967. 40 с.

18. Козырев А. В., Ситников А. Г. Испарение сферической капли в газе среднего давления // УФН. 2001. Т. 171. № 7. С. 765-774.

19. Костиков А. А., Лат,ышев А. В., Юшканов А. А. Задача Крамерса с аккомодационными граничными условиями для квантовых ферми-газов // Физика низких температур. 2008. Т. 34. № 9. С. 914-920.

20. Костиков А. А., Латышев А. В., Юшканов А. А. Скачок химического потенциала при испарении ферми-газа // Журнал технической физики. 2008. Т. 79. Вып. 4. С. 1-8.

21. Ландау Л. Д. О колебаниях электронной плазмы // ЖЭТФ 16, 374 (1946).

22. Латышев А. В., Любимова Н.Н., Юшканов А. А. Тепловое скольжение ферми-газа // Известия вузов. Серия «Физика». 2006. № 7. С. 11-17.

23. Латышев А. В., Попов В.Н., Юшканов А. А. К вопросу о вычислении скорости скольжения разреженного газа вдоль твердой цилиндрической поверхности // Письма в ЖТФ. 2002. Т. 28. Вып. 5. С. 70-74.

24. Латышев А. В., Попов В.Н., Юшканов А. А. Применение метода Кейза в задаче о тепловом скольжении разреженного газа вдоль твердой сферической поверхности // Сиб. журнал ин-дустр. матем. 2002. Т. 5. № 3 (11). С. 103-114.

25. Латышев А. В., Попов В.Н., Юшканов А. А. Расчет скорости изотермического скольжения разреженного газа вдоль слабо искривленной поверхности // Теплофизика и аэродинамика. 2004. № 2. С. 203-208.

26. Латышев А. В., Попов В. Н., Юшканов А. А. Неоднородные кинетические задачи. Метод сингулярных интегральных уравнений. Монография.— Архангельск. 2004. 263 с.

27. Латышев А. В., Попов В. П., Юшканов А. А. Влияние кривизны поверхности па значение коэффициента изотермического скольжения //Ж. физ. химии. 2003. Т. 78. № 4. С. 655-658.

28. Латышев А. В., Юшканов А. А. Аналитические аспекты решения модельных кинетических уравнений // Теор. и матем. физика. 1990. Т.85. № 3 (декабрь). С. 428-442.

29. Латышев А. В., Юшканов А. А. Аналитическое решение задач скольжения бинарного газа //Теор. и матем. физика. 1991. Т. 86. № 3 (март). С. 402-419.

30. Латышев А. В., Юшканов А. А. Теория и точные решения задач скольжения бинарного газа вдоль плоской поверхности // Ж. выч. матем. и матем. физ. 1991. Т.31. № 8. С. 1201-1210.

31. Латышев А. В., Юшканов А. А. Уравнения свертки в задаче о диффузионном скольжении бинарного газа с аккомодацией // Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования. 1991. № 1. С. 31-37.

32. Латышев А. В., Юшканов А. А. Аналитическое решение граничных задач для нестационарных модельных кинетических уравнений // Теор. и матем. физика. 1992. Т. 92. № 1 (июль). С. 127-138.

33. Латышев А. В., Юшканов А. А. Аналитическое решение одномерной задачи об умеренно сильном испарении (конденсации) в полупространстве // Ж. прикл. мех. и техн. физики. 1993. Т. 34. № 1. С. 102-106.

34. Латышев А. В., Юшканов А. А. Аналитическое решение задачи о сильном испарении (конденсации) // Известия РАН. Сер. МЖГ. 1993. № 6. С. 143-155.

35. Латышев А. В., Юшканов А. А. Тепловое и изотермическое скольжение в новом модельном кинетическом уравнении Лиу // Письма в журнал техн. физики. 1997. Т. 23. № 14. С. 13-16.

36. Латышев А. В., Юшканов А. А. Тепловое скольжение для газа с частотой столкновений, пропорциональной скорости молекул // Инженерно-физический журнал. 1998. Т. 71. № 2. Март-Апрель. С. 353-359.

37. Латышев А. В., Юшканов А. А. Слабое испарение (конденсация) с произвольным коэффициентом испарения в газах с постоянной частотой столкновений молекул // Инженерно-физический ж. 2000, март-апрель. Т. 73. № 3. С. 542-549.

38. Латышев А. В., Юшкаиов А. А. Аналитическое решение задач скольжения с использованием нового кинетического уравнения // Письма в ЖТФ. 2000. Т. 26, вып. 23. С. 16-23.

39. Латышев А. В., Юшканов А. А. Аккомодационные двухмомент-ные граничные условия в задачах о тепловом и изотермическом скольжениях // Инженерно-физический журнал. 2001. Т. 74. № 3. С. 63-69.

40. Латышев А. В., Юшканов А. А. Влияние свойств поверхности на скольжение газа с переменной частотой столкновений молекул // Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования. 2001. № 7. С. 79-87.

41. Латышев А. В., Юшканов А. А. Граничные задачи для квантового ферми-газа // Теор. и матем. физика. 2001. Т. 129. № 3. С. 491-502.

42. Латышев А. В., Юшканов А. А. Граничные задачи для квантового бозе-газа // Известия вузов. Сер. Физика. 2002. № 6. С. 5156.

43. Латышев А. В., Юшканов А. А. Моделирование кинетических процессов в квантовых бозе-газах и аналитическое решение граничных задач // Матем. моделирование. 2003. № 5. С. 80-94.

44. Латышев А. В., Юшканов А. А. Кинетическое уравнение для квантовых ферми-газов и аналитическое решение граничных задач // Теор. м матем. физика. Т. 134. № 2, февраль, 2003. С. 310— 324.

45. Латышев А. В., Юшканов А. А. Аналитическое решение задачи о скачке температуры в металле // Ж. техн. физики. 2003. Т. 73. Вып. 7. С. 37-45.

46. Латышев А. В., Юшканов А. А. Моментные граничные условия в задачах скольжения разреженного газа // Изв. РАН. Сер. МЖГ. 2004. № 2. С. 193-208.

47. Латышев А. В., Юшканов А. А. Метод решения граничных задач для кинетических уравнений // Ж. выч. матем. и матем. физики. 2004. Т. 44. № 6. С. 1107-1118.

48. Латышев А. В., Юшканов А. А. Аналитическое решение граничных задач кинетической теории. Монография. — М.: Изд-во МГОУ. 2004. 286 с.

49. Латышев А. В., Юшканов А. А. Аналитическое решение задачи о скачке концентрации при испарении бинарной газовой смеси // Письма в ЖТФ. 2004. Т. 30. Вып. 24. С. 12-19.

50. Латышев А. В., Юшканов А. А. Кинетические уравнения типа Вильямса и их точные решения. Монография. — М.: Изд-во МГОУ. 2004. 271 с.

51. Латышев А. В., Юшканов А. А. Задача Смолуховского для электронов в металле // Теор. и матем. физика. 2005, январь, Т. 142. № 1. С. 92-111.

52. Латышев А. В., Юшканов А. А. Метод сингулярных интегральных уравнений в граничных задачах кинетической теории // Теор. и матем. физика. 2005. Т. 143 (4). № 3. 855-870. (437-454).

53. Латышев А. В., Юшканов А. А. Влияние коэффициента испарения на параметры газа вблизи поверхности // Инженерно-физический журнал. 2007. Т. 80. № 1. С. 121-126.

54. Латышев А. В., Юшканов А. А. Задача Смолуховского для вырожденных Бозе-газов // Теор. и матем. физика. 2008. Т. 154. № 7. С. 1-14.

55. Лифанов И. К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент (в математической физике, аэродинамике, теории упругости и дифракции волн). — М.: ТОО «Янус». 1995. 520 с.

56. Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Физическая кинетика. — М.: Наука, 1979.

57. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. — М.: Наука, 1973. 497 с.

58. Макашев Н. К. Кнудсеновский слой на телах с химическими реакциями на поверхности при наличии компонентов газовой смеси, не участвующих в реакции // Уч. записки ЦАГИ. 1972. Т. III. С. 56-67.

59. Марущенко Н. Б. Решение граничной задачи для кинетического уравнения БГК с несимметричными потоками // Ж. техн. физики. Т. 57. № 10. С. 1887-1892.

60. Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения. — М.: Наука, 1968.

61. Силин В. П. Введение в кинетическую теорию. — М.: Наука, 1971.

62. Ферцигер ж., Капер Г. Математическая теория процессов переноса в газах. — М.: Мир, 1976.

63. Чепмен С., Каулинг Т. Математическая теория неоднородных газов. — М.: ИЛ, 1960.

64. Черчинъяии К. Математические методы в кинетической теории газов, —М.: Мир, 1973.

65. Черчиньяни К. О методах решения уравнения Больцмана // Неравновесные явления: Уравнение Больцмана. — М. Мир. 1986. С. 132-204.

66. Черчиньяни К. Теория и приложения уравнения Больцмана. — М.: Мир, 1978.

67. Шахов Е.М. Метод исследования движений разреженного газа.—М.: Наука, 1974.

68. Халатников И. М. Введение в теорию сверхтекучести. — М.: Наука, 1965. 160 с.

69. Хирс Д., Паунд Г. Испарение и конденсация. М.: Металлургия, 1966. 196 С.

70. Bardos С., Caflish R., Nikolaenko В. The Milne and Kramers problems for the Boltzmann equation of a hard sphere gas // Comm. Pure Appl. Math. 1986. V. 39. P. 323-352.

71. Bhatnagar P.L., Gross E.M., Krook M. Model for collision processes in gases. I. Small amplitude processes in charged and neutral one component systems // Phys. Rev. 1954. V. 94. P. 511— 525.

72. Case К. M. Elementary solutions of the transport equations and their applications // Ann. Phys. V. 9. № 1. 1960. P. 1-23.

73. Cercignani C. Elementary solutions of the linearized gas-dynamics Boltzmann equation and their applications to the slip-flow problem // Ann. Phys. (USA) 1962. V. 20. № 2. P. 219-233.

74. Cercignani С. The method of elementary solutions for kinetic models with velocity-dependent collision frequency // Ann. Phys. 1966. V. 40. P. 469-481.

75. Cercignani C. The Kramers problem for a not completely diffusing wall //J. Math. Phys. Appl. 1965. V. 10. P. 568-586.

76. Cercignani C., Foresti P., Sernagiotto F. Dependence of the slip coefficient on the form of the collision frequency // Part 2. Nuovo Cimento. 1968. V. LV11. B. No.2. P. 297-306.

77. Cercignani C., Lampis M. Kinetic model for gas-surface interaction // Transport Theory and Statist. Physics. 1971. V. 1. P. 101-109.

78. Diallo S. O. Condensate fraction and atomic kinetic energy of liquid 3Hc-4He mixtures // Archiv: cond-mat/0609529.

79. Frisch H. Analytic solution of the velocity-slip and diffusion-slip problems by a Cauchy integral method // Transport Theory and Statist. Physics. 1988. V. 11. № 2. P. 615-633.

80. Greenberg W., Zweifel P. F. The Case eigenfunction expansion for a conservative medium //J. Math. Phys. 1976. V. 17. № 2. 163-167.

81. Kuscer I., McCormick N. J., Summerfield G. C. Orthogonality of Case's eigenfunctions in one-speed transport theory // Ann. Phys. V. 30. № 4. 1964. 411-421.

82. Levin K., Qijin Chen. Finite Temperature Effects in Ultracold Fermi Gases // Archiv: cond-mat/0610006.

83. Loyalka S. K. Slip in the thermal creep flow // Phys. Fluids. 1971. V. 14. No. 1. P. 21-24.

84. Loyalka S. K. Approximative method in the kinetic theory // Phys. Fluids. 1971. V. 14. № 11. P. 2291-2294.

85. Loyalka S. K., Cipolla! J. W., Jr. Thermal creep sleep with arbitrary accomodation at the surface // Phys. Fluids. 1971. V. 14. № 8. P. 1656-1661.

86. Maxwell J. C. The scientific papers: In 2 Vol. —N.-Y. Dover, 1965. V. 1.-607 pp., V. 2.-608 pp.

87. Pao Y.-P. Some boundary value problems in the kinetic theory of gases // Phys. Fluids. V. 14. № 11. 1971. P. 2285-2290.

88. Siewert С. E. Kramers' problem for a variable collision frequency model // Eur. J. Appl. Math. 2000. V. 12. C. 179-189.

89. Siewert С. E., Sha,ripov F. Model equations in rarefied gas dynamics: Viscous-slip and thermal-slip coefficiens // Phys. Fluids. 2002. V. 14. № 12. P. 4123-4129.

90. Slawny J., Zweifel P. F. A note on the singular eigenfunction method in transport theory // Transport Theory and Statist. Physics. 1988. V. 17 (2&3). P. 283-294.

91. Sone Y. Thermal creep in rarefied gas //J. Phys. Soc. Japan. 1966. V. 21. № 9 P. 1836-1837.Fysik. 1954. Bd. 7. № 44. P. 507-564.

92. Williams M. M. R. Boundary-value problems in the kinetic theory of gases. Part 1. Slip flows // J. Fluid. Mech. 1969. V. 36. Pt. 1. P. 145-159.

93. Zweifel P. F. Completeness theorems in transport theory // Transport Theory and Statist. Physics. 1984. V. 13 (1& 2). 57-67.