автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование процессов тепло- и массопереноса в тонких каналах с учетом скольжения на параллельных стенках

На правах рукописи

Тестова Ирина Вячеславовна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ТЕПЛО-И МАССОПЕРЕНОСА В ТОНКИХ КАНАЛАХ С УЧЕТОМ СКОЛЬЖЕНИЯ НА ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СТЕНКАХ

Специальность 05.13.18 - «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 9 ДПР 2012

Архангельск - 2012 г. 005019491

Работа выполнена в ФГАОУ ВПО Северном (Арктическом) федеральном университете имени М.В. Ломоносова».

Научный руководитель: Официальные оппоненты:

Ведущее предприятие:

доктор физико-математических наук, доцент Попов Василий Николаевич Заслуженный деятель науки РФ, доктор физико-математических наук, профессор Латышев Анатолий Васильевич доктор физико-математических наук, профессор Гурченков Анатолий Андреевич ФГБОУ ВПО «Тверской государственный технический университет».

Защита состоится «23» апреля 2012 г. в 14 часов на заседании диссертационного совета Д 212.142.03 при ФГБОУ ВПО Московском государственном технологическом университете «СТАНКИН» по адресу: 127055, Москва, Вадковский переулок, д. За.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБОУ ВПО Московского государственного технологического университета «СТАНКИН».

Автореферат разослан «22» марта 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного К.Т.Н., доц.

совета,

Семячкова Е.Г.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В последние годы повышенный интерес привлекают к себе задачи, связанные с математическим моделированием процессов в тонких каналах, толщина которых сравнима со средней длиной свободного пробега молекул газа. Наиболее подробно к настоящему времени данная проблема изучена с использованием численных методов. Так, в [1]-[8] с использованием численных методов задачи построения математических моделей течений газа в каналах рассматривалась как для линеаризованного уравнения Больцмана, так и различных его моделей, с использованием различных моделей граничных условий, как для простых газов, так и для бинарных смесей. В то же время, как показывает анализ литературных источников, к моменту начала работы над данным диссертационным исследованием в открытой печати было опубликовано всего две работы [9] и [10], авторы которых с использованием БГК и ЭС моделей кинетического уравнения Больцмана для почти зеркальных граничных условий на стенках канала получили аналитические (в замкнутой форме) решения задач о течении Пуазейля и Куэтта. Эти решения приведены также в монографии [11]. Отсутствие систематического изучения данного вопроса с использованием точных аналитических методов и определяет актуальность проведенного диссертационного исследования.

Использованная в [9]-[11] модель граничного условия мало реализуема на практике, особенно для необработанных специальным образом технических поверхностей. Однако ее использование позволило авторам [9]-[11] существенно упростить уровень сложности используемого математического аппарата, получив ряд выражений для макропараметров івза, таких как потоки массы газа и тепла в канале, величины сил вязкого трения, действующих на его стенки, через однократные интегралы. Использование более реалистичной модели граничных условий -модели диффузного отражения существенно усложняет используемый математический аппарат и приводит к тому, что решение задачи записывается в виде рядов Неймана.

Качественный анализ картины течения газа в канале с использованием модели диффузного отражения, полученной на основе аналитических методов для БГК модели приведен в [12]. Там же приведены ссылки на сходимость при любой толщине канала решений интегрального уравнения Фредгольма второго рода, к которому сводится задача нахождения коэффициентов в разложении решения задачи по собственным векторам непрерывного спектра. Однако в силу труднопреодолимых на тот момент

времени сложностей аналитические решения так и не были получены.

Цель диссертационного исследования заключается в разработке методов построения в рамках кинетического подхода математических моделей процессов тепло- и массопереноса в тонких каналах с учетом скольжения на параллельных стенках .и дальнейшем исследовании построенных моделей.

В качестве основных уравнений, описывающих кинетику процессов, используются линеаризванные БГК и ЭС модели кинетического уравнения Больцмана, а в качестве граничного условия - модель диффузного отражения молекул газа стенками канала.

Научная новизна заключается в:

- установлении связей между функцией распределения молекул газа по координатам и скоростям и макропараметрами газа в канале, позволяющих определять условия перехода от кинетического описания течения газа к гидродинамическому;

- установлении зависимостей между значениями макропараметров газа в канале и его толщиной;

- разработке алгоритма построения математических моделей процессов тепло- и массопереноса в тонких каналах с учетом скольжения на параллельных стенках;

- разработке с использованием предложенного алгоритма математических моделей течений Пуазейля, Куэтта и течения газа в канале при наличии параллельнох^о его стенкам градиента температуры;

- разработке эффективных алгоритмов, численных методов и комплексов программ для расчета макропараметров газа в канале;

- доказательстве справедливости линейных соотношений Онзагера с учетом потоков массы газа и тепла, локализованных в слое Кнудсена.

Обоснованность и достоверность основных научных результатов обусловлена тем, что в основу построенных моделей положены фундаментальные уравнения теории переноса. Адекватность разработанных моделей и алгоритмов подтверждается сравнением полученных на их основе результатов с аналогичными результатами, полученными другими авторами с использованием методов прямого численного моделирования, а также тем, что при переходе к гидродинамическому пределу полученные на основе предложенных моделей результаты переходят в соответствующие результаты классической гидродинамики.

Теоретическая ценность работы заключается в том, что полученные результаты могут быть обобщены на случай молекулярных газов и

бинарных смесей, а также для решения задач кинетической теории плазмы, в теории переноса электронов, в теоретической астрофизике.

Практическая ценность работы заключается в том, что полученные результаты могут быть использованы для расчета потоков массы и тепла в сверхтонких каналах при наличии градиентов давления и температуры (например, для учета потерь тепла и массы газа в уплотнителях установок низкого давления, вакуумных камер и т.д.), а также при подготовке студентов, магистрантов и аспирантов по направлению подготовки 231300 " Прикладная математика".

Апробация работы. Основные результаты дисертационной работы докладывались и обсуждались на следующих научно -технических конференциях и семинарах: на XII научной конференции МГТУ "СТАНКИН" и "Учебно-научного центра математического моделирования МГТУ "СТАНКИН" - ИММ РАН" по математическому моделированию и информатике, 14-15 мая 2009 г., г. Москва; на международной научно-практический конференции " Научные исследования и их практическое применение. Современное состояние и пути развития '2009", 5-17 октября 2009 г., г. Одесса; на международной научно-практический конференции " Научные исследования и их практическое применение. Современное состояние и пути развития '2010", 4-15 октября 2010 г, г. Одесса; на международной научно-практической конференции "Современные достижения в науке и образовании: математика и информатика", 1-5 февраля 2010 г., г. Архангельск; на IX конференции с участием зарубежных ученых "Дифференциальные уравнения и их приложения в математическом моделировании", 1-3 июля 2010 года, Мордовский госуниверситет имени Н. П. Огарева, НИИ Математики при МГУ имени Н. П. Огарева, г. Саранск; Всероссийской научно-практической конференции с международным участием "Актуальные проблемы механики, математики, информатики", посвященной 50-летнему юбилею механико-математического факультета Пермского государственного университета. 12-14 октября 2010 г., г. Пермь; Второй международной конференции " Моделирование нелинейных процессов и систем". 6-10 июня 2011 г., г. Москва; научных семинарах кафедры математики С(А)ФУ.

На защиту выносятся:

1. Процедура построения математических моделей течений газа в тонких каналах с учетом скольжения на параллельных стенках.

2. Математические модели течений Пуазейля, Куэтта и течения газа в канале при наличии параллельного его стенкам градиента температуры.

3. Значения потоков массы газа и тепла, приходящихся на единицу ширины канала, отличных от нуля компонент тензора вязких напряжений

4. Зависимости макропараметров газа от толщины канала.

По теме диссертации опубликовано 13 научных работ, в том числе 3 в изданиях из списка ВАК РФ, в которых должны быть опубликованы основные результаты диссертаций на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Список работ по теме диссертации приведен в конце автореферата.

Диссертация состоит из Введения, трех глав, заключения и списка литературы из 63 наименования, содержит 3 рисунка и 20 таблиц. Полный объем работы составляет 139 страниц машинописного текста.

Соискатель благодарит A.A. Юшканова за помощь в постановке задач, выводе основных уравнений, обсуждении методов решения и полученных результатов.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы ее цель и задачи, показана научная новизна, научная и практическая значимость, сформулированы научные положения, выносимые на защиту.

В первой главе на основе имеющихся публикаций проанализировано состояние исследуемой проблемы, имеющиеся подходы к ее решению, указаны границы их применимости, приведено обоснование выбора используемых моделей кинетического уравнения Больцмана и граничного условия на стенках канала. Дан краткий обзор аналитических методов решения модельных кинетических уравнений и достигнутых с их использованием результатов, предшествующих работе над данным диссертационным исследованием. Определена процедура построения математических моделей.

Вторая глава посвящена построению математических моделей процессов в плоском канале с использованием БГК уравнения.

В первом параграфе построено аналитическое (в виде ряда Неймана) решение БГК модели кинетического уравнения Больцмана в задаче о течении Пуазейля. Стенки канала расплолжены в плоскостях х' = ±d! прямоугольной декартовой системы координат (d' = D'f 2, D' - толщина канала). Ось Oz' направлена вдоль градиента давления. В выбранной системе координат БГК-модель кинетического уравнения Больцмана

записывается в виде

df , df р . - .

Здесь г' и v - размерные радиус-вектор и скорость центров масс молекул газа; р - давление газа; щ - коэффициент динамической вязкости газа; /(r',v) - функция распределения молекул газа по координатам и скоростям; feq = feg(r',v) - локально равновесный максвеллиан. Полагая изменение давления на средней длине свободного пробега молекул газа 1д малой, представим функцию распределения молекул газа по координатам и скоростям в линеаризованном виде

/(г', v) = n(z)l53/2^-3/2 ехр(_С2) [! + CzGn Ci)]. (2)

Здесь С = \fßv - безразмерная скорость молекул газа; ß = m/2kßT; m - масса молекулы газа; fcjj - постоянная Больцмаиа; Т - температура газа; Gn = (1 /p){dp/dz) - безразмерный градиент давления; х = х'/1д и z — z'Цд - безразмерные координаты;

lg = ЩР~1/2/Р- При таком подходе нахождение линейной поправки к локально-равновесной функции распределения Z{х,ц) (р = Сх) сводится к решению краевой задачи

оо

+ Z(x, ß)+l = -7= / exp(-r2) Z(x, т) dr, (3

их v"" J

Т/") =0, ц > 0. (4)

Общее решение (3) построено в пространстве обобщенных функций

+оо

г{х,ц) = х2-2хц + 2/л2 + А0 + А1{х-ц)+ ^ ехр(-~) ^(т;,^0(77) (5)

— оо

Здесь Ао, А\ и а{г}) - неизвестные параметры и функция, подлежащие дальнейшему определению,

р) = ~ V Р—--Ь ехр(?72)А(?7) 6(г) - ц), (6)

V71" V - М

ПО

2\

w ч , 1 Г ехр( — и2) , . .

A(z) = l + -rz / (7)

у/п J ß- z

Р(1 /г) - распределение в смысле главного значения при вычислении интеграла от 5{г) - дельта-функция Дирака.

Подстановка разложения (5) в граничные условия (4) приводит к системе сингулярных интегральных уравнений, решение которых ищем с использованием методов краевых задач теории функций комплексного переменного. На этом пути находим а(т}) = а(—г)), Аг — О,

-Ьоо

1 Г (I

А0 = + 2<52 + ЫЯг + / тХ(-т) а(т) ехр(—) ¿т, (8)

Vя" ./ г

о

а для нахождения коэффициентов а{г() в разложении (5) решения рассматриваемой задачи по собственным векторам непрерывного спектра приходим к интегральному уравнению Фредгольма второго рода

ехр(-р2)Х(-ц) Г

а{(")= 1А+ЫР Р-"-*-

+оо

1 ГгХ{-г)а(г) * ■

л/2тг У Г + Т7

о

ехр(--), /І > 0. (9)

М

Решение (9) ищем в виде ряда

+оо ,

и 2Vі

Подставляя (10) в (9) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях А, получаем систему реккурентных соотношений для нахождения, из которой находим

ао(т) = Цт)[Яі - т - £>/2], (11)

+00

ві(т) = л(т) і дтог-п-вт*,^ (12)

о

+оо +00

й2(г) = Кт) І іШі І (13)

о 4 о Р V

,, . Х(-т) . 2 £>. . . тХ2(-т) . 2 Я.

Кг) = ехр(-г2 - _), ,(г) = ехР(-т2 - _). (14)

Таким образом, неизвестные параметры Ао, А] и функция а(г?), входящие в (5) найдены и функция распределения молекул газа по координатам и скоростям построена.

С учетом построенной функции распределения вычислим скорость газа в канале и величину потока массы ,]'м в направлении оси Ох',

приходящуюся на единицу ширины канала. Исходя из статистического смысла функции распределения и учитывая (2), находим

п J р аг

о>! 2

(15)

(16)

цг{х) = тг~У2 У ехр(—С2) С\2{х, Сх) ¿3С =

1 Г Г)2 00

= 2 от2 - — + + 2д2 + 1 + А*[/* + Л. (ж)]

£»/2

2 Г В 1

1м = ~ГЙ I = Б

(17)

(18)

Здесь <3; - интегралы Лойалки, & = — И' (1/р)(ёр/ёг'), р - плотность газа, а Д, ^(ж) и Ки (к = 0,1,...) можно рассматривать, как координаты векторов В,; = {1к, ^(х), Кк]. При этом

+оо

В0(ж) = ~ I Ь(®, т)[<21 - Г - £>/2] ¿г,

+00 "г О

В1(®) = -^ I Ъ(х,т)<1т I

т] + т

+оо +аэ +оо

^ /* яМ [<91 - - -°/2] ¿р,

Г] + т

О О

/х + 11

Цх, т) = (р(т), 7(ж, т), С(т)},

7(»,т)= ехр(-т2)

, , х + Д/2 ехр(-'—) + ехр(--'—)

С(т) = ]^ЖеХР(_г2)[1-еХР(~г)1-

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

Х(г) = - ехр

2Г

+оо

и1-

[9{т) - 7Г] С1т

т — г

в(т) =

7Г

аг^

А(г)

л/7ГГеХр(—Г2)'

0(т) - главное значение аргумента функции А+(т), фиксированное условием 0(0) = 0, А±(г) - предельные значения А(л) на нижнем и верхнем берегах разреза. При О » 1 (17) переходит в известный результат

ад - 2

г2-

£>2

(25)

получаемый в рамках гидродинамического приближения.

Значения интегралов, входящих в 1к и К к, найдены с использованием численных методов путем последовательного сведения к определенным интегралам по формуле прямоугольников. Вследствие того, что их подынтегральные выражения содержат множитель ехр(—ц2), интегралы 1к и Кк достаточно быстро сходятся и вместо бесконечного верхнего предела интегрирования принималось значение, равное 5. Значения выражений Ак1к/0 и АкКк/02 при различных значениях И приведены в таблицах 2.1.1 и 2.1.2.

Б к = 0 к = 1 к = 2 к = 3

0.1 -4.4715260 2.265110 • Ю-1 -1.396943- Ю-2 8.799537 ■ Ю-4

1.0 -2.347614- Ю"1 3.484755 • Ю-3 -5.671176- Ю-5

2.0 —6.615801 • Ю-2 3.929898 • Ю-4 -2.482574 - 10"е

8.0 -1.01367 • Ю-4 1.389426 • Ю-7

Таблица 2.1.1. Значения интегралов Л^Д/О при различных значениях О

О к = 0 к = 1 к = 2 к = 3

0.1 9.9122550 -6.862854 • 10"1 4.434396 - Ю-2 -2.810030 • Ю-3

1.0 0.7154658 -1.430810- Ю-2 2.377659 • Ю-4

2.0 0.2943900 -2.404111 • Ю-3 1.542339 • 10~5

8.0 4.501933 ■ Ю-2 -9.107784-10"6

Таблица 2.1.2. Значения интегралов при различных значениях Г>

Как следует из результатов, приведенных в таблицах 2.1.1 и 2.1.2, ряды, входящие в (18), являются знакопеременными. Погрешность при замене суммы таких рядов из частичными суммами не превышает модуля первого отбрасываемого члена ряда. Таким образом, если в вместо сумм рядов, входящих в (18) ограничиться только их первыми членами, т.е. переписать

(18) в виде

Jm = j - Qx - ±

2Q2 + l + -^= J 9(t)[Qi-t- D/2}dr

о

+oo

J C(r)[Qi-T-D/2]dr, (26)

то, как следует из сказанного выше, погрешность в вычислении Зм по формуле (26) по отношению к (18) при И > 2 не будет превышать Ю-3.

График зависимости 7^(1?), построенный на основе (18), приведен на рисунке 2.1.1.

3,0-, 2,8 2,6 2,4-1

Я 2,2 2,0 1,8 1,6 1,4

10

D

Рис 2.1.1. Зависимость Jm от D.

Существование минимума кривой зависимости Jm(D) при D = 1.1 согласуется с экспериментальными данными приведенными в [12]. Значения Jm, вычисленные согласно (18) и (26), и полученные в [2], [3] и [6] на основе численных методов с использованием БГК и S моделей кинетического уравнения Больцмана, линеаризованного уравнения Больцмана с оператором столкновений для молекул-жестких сфер (LBE) и модели уравнения Больцмана с комбинированным ядром (CES)

приведены в таблице 2.1.3.

D Jm Jm Jm Jm Jm Jm

(18) (26) BGK [3] LBE [2] S [61 CES [6]

0.1 2.0345 2.0327 2.0395 1.9259

1.0 1.5371 1.5141 1.5387 1.5536 1.4863

5.0 1.9908 1.9906 1.9907 1.9106

10.0 2.7687 2.7687 2.7686 2.7056 2.7799 2.7220

100.0 17.693 17.693 17.693 17.693

Таблица 2.1.3. Зависимость Jm от D

Как следует из таблицы 2.1.3 отличие результатов, вычисленных на основе (18), от аналогичных, полученных численными методами в [3] в рамках БГК модели кинетического уравнения Больцмана, не превышает 0.08% для всего диапазона значений D.

В случае, когда толщина канала много больше средней длины свободного пробега молекул газа (D' 1д), в (26) можно пренебречь слагаемыми, пропорциональными ехр(—D/t). Тогда

JM = j + k о + | + (27)

jfcl = 2Q\ - 1 = 1.065284, к2 = 4(Q3 + QXQ2) = -2,135513.

Значения Jm, вычисленные согласно (27) и полученные в [3] и [4] на основе численных методов с использованием линеаризованного уравнения Больцмана с оператором столкновений для молекул-жестких сфер и БГК модели кинетического уравнения Больцмана приведены в таблице 2.1.4.

D Jm, (27) Jm , [4] Jm, [3]

5.0 1.9772 1.9907 1.9106

10.0 2.7680 2.7686 2.7056

100.0 17.693 17.693 17.693

Таблица 2.1.4. Зависимость Jm от D

Как следует из приведенной таблицы при Г>' > 71д выражение (27) с высокой степенью точности описывает расход массы разреженного газа в плоском канале с бесконечными параллельными стенками. Отличие от аналогичных результатов [3] и [4] не превышает при этом 0.9%. Графики 9г(0 Для различных значений Б приведены на рисунке 2.1.2.

1,0 0,5 £ 0,0 ■05 -1,0-

1,00,50,0-0,5-1,0

й=5.0

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 ЯЮ

—■—і— 3 4

ч£>

1,0 0,5 0,0-0,5 -1,0

0=10,0

1.00,50,0-0,5-1,0-

0=25.0

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

яЮ

40

</Ю

60

80

Рис. 2.1.2. Графики зависимости (£ = 2х/П) для различных значений £): 1 -

рассчитанные по формуле (25), 2 - по формуле (17).

Как следует из приведенных выше рисунков профиль массовой скорости газа для тонких каналов, полученный в рамках кинетического подхода, существенно отличается от полученного в рамках гидродинамического подхода.

Далее вычислен поток тепла, переносимый в канале за счет градиента давления

Яр

£х*

к=0

А кКк

В случае, когда О' >>

<3? + <52 + 1 2(<3з + ЯіЯ-л) __ 0.76632 1.06775

Яр =

В

£>2

Б

+ ■

и1

(28)

(29)

Значения С}р, рассчитанные для различных значений толщины канала на основании (28), (29) и полученные в [5], приведены в таблице 2.1.6. Как следует из приведенной таблицы полученные на основе (29) результаты с

высокой степенью точности совпадают с аналогичными результатами [5]. Отличие не превышает 0.08% для всего диапазона приведенных значений величин. Отличие результатов, полученных на основе (29) для И' > 11,, от аналогичных результатов [5] не превышает 0.9%

В (28) (29) [5]

0.3 -0.4844 -0.4841992

0.5 -0.3986 -0.3984993

1.0 -0.2950 -0.2948999

7.0 -0.0885 -0.087683 -0.0885023

9.0 -0.0721 -0.071965 -0.07218667

Таблица 2.1.6. Зависимость величины потока тепла (}р в канале от его толщины

Во втором параграфе построено аналитическое (в виде ряда Неймана) решение задачи о течении Куэтта (течении газа в канале, стенки которого движутся в противоположных направлениях с равными по модулю скоростями). Показано, что отыскание макропараметров газа в канале сводится к решению краевой задачи

00

1 г

/і— + г(х, (і) = j ехр(-т2) г(х, т) ¿т,

—оо

^ц) = ±2и, ц>0.

Из ее решения построен профиль массовой скорости газа в канале, поток массы газа, приходящийся на единицу ширины канала, и отличная от нуля компоненты тензора вязких напряжений

4*{х) =

Зы =

и

й-Я і

и

+00

і + х + ^Мх)

2(Р{й - <2і)

к—о ,

+оо

к=О

+00

к=О

¿=0

Рхг =

и

і + І>

А.-0

2(с?-<5і)

Здесь 1к, «/*(#) и Кь определяются формулами (19)—(21)

^=ттгог)ехр(-7/ _

(30)

(31)

, Х{~ц) 2, Г [ ¿+х\ ( И-х\

= wшехр(_м} гр ~ехр '

В гидродинамическом приближении профиль массовой скорости описывается выражением

х £{-<!;<]]. (33)

Значения Д. и К^ для каналов различной толщины приведены в таблицах 2.2.1 и 2.2.2.

О к = 0 к = 1 & = 2 к = 3 к = 4

0.01 0.118021 0.021992 0.004191 0.000801 0.000153

0.1 0.1026883 0.015603 0.002409 0.000372 0.000057

1.0 0.0401992 0.001690 0.000071

10.0 0.0002205

Таблица 2.2.1. Значения интегралов Д при различных значениях И

И к = 0 к = 1 к = 2 к = 3

0.01 0.000031 0.000010 0.000002

0.1 0.001840 0.000357 0.000056 0.000009

1.0 0.045241 0.002190 0.000092 0.000004

10.0 0.217406 0.000023

Таблица 2.2.2. Значения интегралов Кь при различных значениях V

Как следует из приведенных таблиц сходимость рядов, входящих в (31) и (32), существенным образом зависит от толщины канала. Так при вычислении для канала толщиной И = 0.1 для достижения точности Ю-4 необходимо учитывать пять членов ряда, а для И = 10.0 - только два. Для каналов большей толщины достаточно ограничиться только одним (нулевым) членом ряда.

Значения Зм и рхг, рассчитанные для различных О на основании (31) и (32) и полученные в [6] приведены в таблицах 2.2.3 и 2.2.4.

п Зм (31) Зм ВвК [7] Зм СЕБ [7] Зм СЕЯ [6]

0.01 1.29019 1.29070 1.53426

0.1 6.85673(—1) 6.85780(-1) 7.41991(—1) 7.2929( —1)

1.00 2.32145(—1) 2.32188(—1) 2.26777(—1) 2.2737(—1)

10.0 4.22789(—2) 4.22811(—2) 4.21424(—2) 4.2192(—2)

Таблица 2.2.3. Зависимость потока массы газа </д,/ через верхнюю половину КсШ&ла

О -Рхг (32) -рхг ВСК [7) -рхг СЕБ [7] -рХ2 СЕБ [б]

1.0(-7) 5.64096(—1) 5.64190(—1) 5.64190(—1) 5.64190(—1)

1.0(-3) 5.63599(—1) 5.63692(—1) 5.63636(—1) 5.63647(—1)

1.0(-1) 5.22257(—1) 5.22325(—1) 5.20156(—1) 5.20868(—1)

1.0 3.38916(—1) 3.38925(—1) 3.39977(—1) 3.40502(—1)

1.0(1) 8.31122(—2) 8.31122(—2) 8.35227(—2) 8.35098(—2)

1.0(3) 9.97972(—4) 9.97972(—4) 9.98031(—4) 9.98029(—4)

1.0(7) 1.00000(—7) 1.00000(—7) 1.00000(—7) 1.00000(—7)

Таблица 2.2.4. Зависимость компоненты тензора вязких напряжений — рхг от О

Как следует из таблиц результаты представленной работы с высокой степенью точности совпадают с аналогичными результатами [6], полученными численными методами. Отличие не превышает 0.05% для всего диапазона приведенных значений величин.

Графики зависимости <7г(С) (С = 2х/0) для различных значений Б, рассчитанные согласно (30) и (33) приведены на рисунке (2.2.1). Из приведенных графиков видно, что для широких каналов, в частности, для Б = 25, решение (30) вдали от стенок канала переходит в решение, вытекающее из разложения Чепмена-Энскога (линейный профиль массовой скорости), а кинетический слой играет существенную роль только вблизи стенок канала. По мере уменьшения толщины канала кинетический слой увеличивается и для тонких каналов, в частности, для

-1,2 -1,0 -0,8 -0,6 -0,4 -0.2 0,0 02 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 "1.2 -1,0 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2

Рис. 2.2.1. Графики зависимости (£ = 2х/О) для различных значений 1 -

рассчитанные по формуле (30), 2 - по формуле (33).

В третьем параграфе рассматривается задача о течении газа в канале при наличии касательного к его стенкам градиента температуры. В этом случае задача сводится к решению системы уравнений

00

/і-^г + + ІЛ2 - І = У ехр(—т2) т) ¿т,

(34)

(35)

(36)

(37)

В этом случае для безразмерной л-компоненты вектора потока тепла и потока тепла, приходящийся на единицу ширины канала получены выражения

с граничными условиями

ад/и) = 3г(<*,р) = 0, /г < О,

<іФ) = -7 +

5

4 ' у/Ъ

— £>2

-Т-С +

+оо

-г2

У 0

2 +оо [

А У 0

+ е-(г+<г)/г1 Ат _ 1 (38)

к=о

/ О.

1 - ехр(--)

т

.. оо

к=О

(39)

, , Т] Х2(—Т]) 2 2й!

= ехр(-м2 - сЬ ,

|А+(Я>Р 1лХ(-ц)

С(т) = ~Р#11"вЧ>("7)]-

Для профиля безразмерной массовой скорости газа в канале и беразмерного потока массы газа, приходящегося на единицу ширины канала, аналогичным образом находим

ад = -

(40)

1

& + О ~ И7* +

- _ * к=О

1 г 1 Г / г 00 \ 00 _^ _ \ к—0 / к—0

(41)

Значения иг(х) для канала толщиной 2с? = 2.0, рассчитанные согласно (40) и вычисленные в [5], приведены в таблице 2.3.1, а значения Зм при различных значениях толщины канала согласно (41) - в таблице 2.3.2.

С Ш) (40) К(С) [5]

0.0 0.2413164 0.2412645

0.2 0.2380686 0.2380167

0.4 0.2278001 0.2277487

0.6 0.2085825 0.2085296

0.8 0.1751612 0.1751119

1.0 0.0981175 0.0980618

Таблица 2.3.1. Зависимость массовой скорости Г/г(С) (С = 2ж/£?)при £) = 2.0.

£) Зм (41) Зм [5]

0.30 -0.4844 -0.4841992

1.00 -0.2950 -0.2948999

5.00 -0.1142 -0.1142597

9.00 -0.0721 -0.07218667

Таблица 2.3.2. Зависимость потока массы газа Зм от толщины канала V.

Как следует из приведенных таблиц различия между соответствующими результатами не превышают 0.06% для всего диапазона приведенных значений. Значения <32 при различных значениях

ширины канала D приведены в таблице 2.3.3.

D (39) CES [5] LBE [5]

0.1 3.853205 3.8509 3.9037

1.0 1.418873 1.8018 1.7830

10.0 0.233426 0.34964 0.34674

Таблица 2.3.3. Значения Qz при различных значениях ширины канала

Существенное отличие результатов, рассчитанных согласно (39) и полученных в [5] с использованием CES и LBE моделей кинетического уравнения Больцмана, объясняется тем, что БГК модель при переходе к гидродинамическому пределу дает значение числа Прандтля Pr = 1, в то время как CES и LBE модели дают значение числа Рг близкое к 2/3.

В заключение первой главы рассматриваются вопросы применимости основных положений термодинамики неравновесных процессов в случае необходимости учета потоков массы и тепла, локализованных в слое Кнудсена, что имеет место в случае, когда толщина канала сравнима со средней длинй свободного пробега молекул газа. В случае неоднородного по температуре и давлению газа в канале линейные соотношения Онзагера записываются в виде [13]

__ vAp AT vAp AT

JM ~ --L12~j7f, JQ — -1/21-y--

Второе слагаемое в первом уравнении (42) - поток массы, переносимый за счет градиента температуры. Тогда с учетом принятого способа обезразмеривания физических величин

pL'T (2квТ\1/2

ъ =--Г

4

0 гп ) J«' (43)

Здесь и - ширина канала вдоль оси Оу, г'0 - длина канала в направлении оси О г V = 1 /р - удельный объем (объем единицы массы газа). Аналогично первое слагаемое во втором уравнении (42) - это поток тепла, обусловленный градиентом давления. Отсюда

Сравнивая (43) и (44), приходим к выводу, что для проверки выполнимости линейных соотношении Онзагера достаточно доказать равенство Jм = JQ■ Здесь JQ - величина потока тепла, приходящаяся на единицу ширины канала в задаче о течении Пуазейля, а Зм —

приходящаяся на единицу ширины канала величина потока массы газа в задаче о тепловом крипе. Доказательство последнего соотношения приведено в четвертом параграфе первой главы, где показано, что равенство Зм = ^ выполняется при всех значениях числа Кнудсена (при произвольной толщине канала).

Третья глава посвящена построению математических моделей процессов в плоском канале с использованием ЭС уравнения. Порядок рассмотрения совпадает с использованным во второй главе. В первом параграфе построено аналитическое (в виде ряда Неймана) решение задачи о течении Пуазейля. Постановка задачи совпадает с рассмотренной выше, а ЭС модель кинетического уравнения Больцмана в выбранной системе координат записывается в виде

df df 1 р _

+ vz— = - — (Фед - f). дх' oz' 3 7]g

(45)

Здесь Фе9(г', V) - локально-равновесный анизотропный максвеллиан [12]. После линеаризации приходим к краевой задаче

оо

+ x,n) + l = -j= J ехр(—r2)(l — рт) Z(x,t) dr,

(46)

Z(±d, тц) = 0, p > 0. (47)

Проведенные расчеты показали, что в рассматриваемом случае

2Q2 + l + ^\kh

JQ-~D2

fc=0 оо

к=0

к-0

(49)

х = 2х'/3lg, 7 = 3/2, а все остальные обозначения совпадают с аналогичными, введенными при использовании БГК модели. Значения Зц и Jq, вычисленные согласно (48) и (49), а также аналогичные результаты, полученные в [6] и [7], приведены в Таблицах 3.1.1 и 3.1.2.

к Jm (48) BGK (18) S[6] С ES [6] LBE [7]

0.1 2.1913 2.0345 2.0395 1.9259 1.9499

1.0 1.6199 1.5371 1.5536 1.4863 1.5067

10.0 2.7989 2.7687 2.7799 2.7220 2.7296

Таблица 3.1.1. Зависимость величины потока массы газа Зм при О' = кХ„

к JQ (49) BGK (28) S [6] CES [6] LBE [7]

0.1 -0.82489 -0.73268 -0.79087 -0.79928

1.0 -0.35802 -0.2950610 -0.36546 -0.40456 -0.38908

10.0 -0.092182 -0.098147 -0.093046 -0.089950

Таблица 3.1.2. Зависимость величині,! потока тепла Jq при D' = к\д.

Как следует из приведенных таблиц для широкого диапазона значений D' полученные в работе результаты хорошо согласуются с аналогичными результатами, полученными численными методами как с использованием линеаризованного уравнения Больцмана для молекул-жестких сфер, так и на основе S и CES моделей кинетического уравнения Больцмана. Можно отметить также, что ЭС модель существенно лучше описывает перенос тепла в канале по сравнению с БГК моделью.

Во втором параграфе построено решение задачи о течении Куэтта. Для безразмерных потоков массы газа и тепла через верхнюю половину канала, тензора вязких напряжений получены выражения

' +оо \ 7о +оо

Jm = —

U

2cP(y~1d - Qi)

к=О

¿=0

(50)

а

Jq = / qz^dx =

и

Pxz = -

и

2(7-Ч-Qx)

8d2('y~ld - Qj)

i + E^

K-0 .

Е^ь

fc=Û

(51)

(52)

Значения JцI, Л? и рХ2, рассчитанные для различных значений толщины канала на основании (50), (51) и (52) и полученных в [6) и [7] приведены в таблицах 3.2.1--3.2.3. Как следует из таблиц полученные в работе результаты совпадают с аналогичными результатамими [6] и и [7], полученными численными методами.

к Jm (50) BGK [6] CES [6] LBE [7]

0.1 7.71849(—1) 6.85780(—1) 7.41991(—1) 7.2929(—1)

1.00 2.59918(—1) 2.32188(—1) 2.26777(—1) 2.2737(—1)

10.0 4.30215(—2) 4.22811(—2) 4.21424(—2) 4.2192(—2)

Таблица 3.2.1. Зависимость Зм при И' = кХд через верхнюю половину канала.

к Ъ (51) ВОК [6] СЕЭ [6] ЬВЕ [7]

0.1 1.2730(—1) 2.1231(—1) 1.4479(—1) 1.1892(—1)

1.00 2.2190(—2) 3.1363(-2) 2.6986(—2) 2.2451(-2)

10.0 3.6479(—4) 3.6253(—4) 2.8598(—4) 3.0697(—4)

Таблица 3.2.2. Зависимость при О' = к\9 через верхнюю половину канала.

к -Рхг (52) ВвК [6] СЕБ [6] ЬВЕ [7]

1.0(—3) 5.63599(-1) 5.63692(—1) 5.63636(-1) 5.63647(—1)

1.0(-1) 5.25334(—1) 5.22325(—1) 5.20156(-1) 5.20868(—1)

1.0 3.42283(-1) 3.38925(-1) 3.39977(—1) 3.40502(—1)

1.0(1) 8.31247(—2) 8.31122(—2) 8.35227(—2) 8.35098(—2)

1.0(3) 9.97972(—4) 9.97972(—4) 9.98031(—4) 9.98029(—4)

Таблица 3.2.3. Зависимость —рхг при О' = к\д.

В третьем параграфе построено решение задачи о переносе массы и тепла в канале при наличии параллельного стенкам канала градиента температуры. При этом получено

■'О = |2

5 „ 1

/ 1 00 \ 00

-2

к=О

к=О

+ 00

— 2 ^ т ехр(-

2

г--) ат

т

1 00

А.-0

(53)

(54)

Значения JQ и ,/д/ при различных значениях толщины канала, а также соответствующие значения, полученные в [6], [7], приведены в таблицах 3.3.1 и 3.3.2.

к ¿Я (54) Э [6] СЕв [6] ЬВЕ [7]

0.1 4.3642 4.0546 3.8509 3.9037

1.0 1.7840 1.7537 1.8018 1.7830

10.0 0.33807 0.34063 0.34964 0.34674

Таблица 3.3.1. Зависимость Jq от тощины канала О' — /сА,

к Зм (54) Б [6] СЕЭ [6] ЬВЕ [7]

0.1 -0.82489 -0.73268 -0.79087 -0.79928

1.0 -0.35802 -0.36546 -0.40456 -0.38908

10.0 -0.092182 -0.098147 -0.093046 -0.08995

Таблица 3.3.2. Зависимость Зм от тощины канала £>' = к\я.

Как следует из приведенных таблиц для широкого диапазона значений D' полученные на основе представленного в работе метода результаты хорошо согласуются с аналогичными результатами, полученными численными методами как с использованием линеаризованного уравнения Больцмана для молекул-жестких сфер, так и на основе S и CES моделей.

В четвертом параграфе с использованием ЭС модели проведено доказательство справедливости линейных соотношений Онзагера.

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертации.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ

1. Решена задача, связанная с математическим моделированием процессов тепло- и массопереноса в тонких каналах с учетом скольжения на параллельных стенках, результаты которой рекомендуется использовать для решения широкого круга задач кинетической теории газа и плазмы.

2. Выявлены связи и закономерности между функцией распределения молекул газа по координатам и скоростям и макропараметрами газа в канале, особенность которых состоит том, что они позволяют устанавливать условия перехода от кинетического описания течения газа к гидродинамическому; установлены зависимости между значениями макропараметров газа в канале и его толщиной; показано, что для каналов, толщина которых много больше средней длины свободного пробега молекул газа, полученные результаты переходят в соответствующие результаты классической гидродинамики.

3. На основе установленных связей разработаны и предложены автором математические модели течений Пуазейля, Куэтта и течения газа в канале при наличии параллельного его стенкам градиента температуры. При их использовании построены профили потоков массы и тепла в канале, вычислены величины приходящихся на единицу ширины канала потоков массы газа и тепла, найдены значения отличных от нуля компонент тензора вязких напряжений.

4. Разработаны, обоснованы и протестированы эффективные алгоритмы, численные методы и комплексы программ для расчета макропараметров газа в канале. Анализ полученных результатов показал, что их использование приводят к корректным результатам при произвольной толщине канала.

5. Доказана справедливость линейных соотношений Онзагера с учетом потоков массы газа и тепла, локализованных в слое Кнудсена.

6. Результаты диссертационной работы могут быть использованы при решении широкого круга задач во многих отраслях промышленности.

7. Результаты диссертационной работы рекомендуются для использования в учебном процессе для подготовки специалистов по направлению 231300 "Прикладная математика".

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Шарипов Ф.М., Селезнев В.Д. Движение разреженных газов в каналах и микроканалах. Екатеринбург. УрО РАН. 2008. 230 с.

[2] Loyalka S.K., Hickey К.А. Plane Poiseulle flow near continuum regimes for a rigid spheres // Physica A. 1989. V. 160. № 3. P. 395-408.

[3] Siewert C.E., Garcia R.D.M., Granjean P. A Concise and Accurate Solutions for Poiseuille Flow in a Plane Channel // Journal of Mathematical Physics. 1980. V. 21. P. 2760-2763.

[4] Barichello L.B., Siewert C.E. A Discrete-Ordinates Solutions for Poiseuille Flow in a Plane Channel // Zeitschrift fur Angewandte Mathematic und Physik. V. 50. 1999. 972-981.

[5] Barihcello L.B., Camargo M., Podrigues P., Siewert C.E. Unified solutions to classical flow problems based on the BGK model // ZAMP. 2001. V. 52. P. 517-534.

[6] Siewert C.E. Poiseuille, Thermal Creep and Couette Flow: Results Based on the CES Model Linearized Boltzmann Equation // European Journal of Mechanics B/Fluids. 2002. V. 21. P. 579-597.

[7] Siewert C.E. The linearized Boltzmann Equation: Concise and Accurate Solutions to Basic Flow Problems // Zeitschrift fur Angewandte Mathematic und Physik. 2003. V. 54. P. 273-303.

[8] Garcia R.D.M., Siewert C.E. The Linearized Boltzmann Equation with Cercignani-Lampis Boundary Conditions: Basic Flow Problems in a Plane Channel. // European Journal of Mechanics B/Fluids. 2009. V. 28. P. 387396.

[9] Латышев A.B., Юшканов A.A. Задача Пуазейля для эллипсоидально-статистического уравнения и почти зеркальных граничных условий // ЖТФ. 1998. Т. 68, № 11. С. 27-32.

[10] Латышев A.B., Юшканов A.A. Влияние свойств поверхности на характеристики газа между пластинами в задаче Куэтта. Почти зеркальные условия // Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования. 1999. № 10. С. 35-41.

[11] Латышев A.B., Юшканов A.A. Аналитическое решения граничных задач для кинетических уравнений. М.: МГОУ. 2004. 286 с.

[12] Черчиньяни К. Математические методы в кинетической теории газов. - М.: Мир, 1973. - 245 с.

[13] Де Гроот С. Р., Мазур П. Неравновесная термодинамика. М.: Мир, 1964. 456 с.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ИССЛЕДОВАНИЯ

[1] Попов В.Н., Тестова И.В., Юшканов A.A. Аналитическое решение задачи о течении Куэтта в плоском канале с бесконечными параллельными стенками // Журнал технической физики. 2011. Т. 81. Вып. 1. С. 53-58.

[2] Тестова И.В. Аналитическое решение задачи о вычислении изотермического потока тепла в плоском канале // Вестник Поморского университета. Серия: Естественные и точные науки. 2011. №1. С. 122-126.

[3] Тестова И.В. Перенос массы газа в канале при наличии параллельного стенкам градиента температуры // Вестник Поморского университета. Серия: Естественные и точные науки. 2011. №2. С. 124-128.

[4] Попов В.Н., Тестова И.В. Построение профиля массовой скорости разреженного газа в плоском канале с бесконечными параллельными стенками // Вестник физического факультета Поморского университета. Сборник научных трудов. Выпуск 8. Архангельск: Поморский государственный университет имени М.В. Ломоносова. 2009. С. 3-12.

[5] Попов В.Н., Тестова И.В., Юшканов A.A. Аналитическое решение задачи о вычислении потока тепла в плоском канале при наличии градиента давления // Фундаментальные физико-математические проблемы и моделирование технико-технологических систем.

Ежегодный сборник научных трудов, Вып.13. / Под ред. Л.А. Уваровой. - М.: МГТУ "СТАНКИН", ЯНУС-К, 2010. с. 56-65.

[6] Попов В.Н., Тестова И.В., Юшканов A.A. Течение разреженного газа в плоском канале при наличии параллельного стенкам градиента температуры // Вестник математического факультета. Вып. 10. Межвузовский сборник научных трудов / Сост. Э.О. Зеель; Поморский гос. ун-т им. М.В. Ломоносова. - Архангельск: Поморский университет, 2010. С. 44-52.

[7] Попов В.Н., Тестова И.В., Юшканов A.A. Аналитическое решение задачи о течении Пуазейля // Математический журнал Средневолжского математического общества. 2010. Т. 12. № 3. С. 111-120.

[8] Попов В.Н., Тестова И.В. Расчет расхода массы разреженного газа в плоском канале с бесконечными параллельными стенками // Сборник научных трудов по материалам международной научно-практический конференции " Научные исследования и их практическое применение. Современное состояние и пути развития '2009", 5-17 октября 2009 г. Том 16. Физика и математика. - Одесса. 2009. С. 34-35.

[9] Попов В.Н., Тестова И.В. Моделирование течения разреженного газа в плоском канале с бесконечными параллельными стенками при различных значениях числа Кнудсена // Материалы международной научно-практической конференции " Современные достижения в науке и образовании: математика и информатика", 1-5 февраля 2010 г. - Архангельск: КИРА. 2010. С. 58-59.

[10] Попов В.Н., Тестова И.В. Построение составных квадратурных формул для вычисления в смысле главного значения сингулярных интегралов, заданных на действительной числовой прямой // Материалы международной научно-практической конференции "Современные достижения в науке и образовании: математика и информатика", 1-5 февраля 2010 г. - Архангельск: КИРА. 2010. С. 161-162.

[11] Попов В.Н., Тестова И.В., Юшканов A.A. Проверка линейных соотношений Онзагера в кинетической теории разреженного газа / / Сборник научных трудов по материалам международной научно-практический конференции " Научные исследования и их

практическое применение. Современное состояние и пути развития '2010", 4-15 октября 2010 г. Том 16. Физика и математика. Химия. -Одесса: Черноморье, 2010. С. 28-31.

[12] Попов В.Н., Тестова И.В., Юшканов A.A. Моделирование течений газа в плоских каналах // Сборник тезисов Всероссийской научно-практической конференции " Актуальные проблемы механики, математики, информатики". Пермь, 12-15 октября 2010 г. Пермский гос. университет: Пермь, 2010. С. 182.

[13] Попов В.Н., Тестова И.В., Юшканов A.A. Математическое моделирование течений разреженного газа в плоских каналах // Моделирование нелинейных процессов и систем. Сборник тезисов второй международной конференции "Моделирование нелинейных процессов и систем" (Second International Conference (MNPS-11) "The modeling of nonlinear processes and systems"). Moscow. June 6 -10, 2011. M.: Янус - К, 2011. С. 259.

Подписано в печать 11.03.2012. Формат 60x84 1/16. Бумага офисная. Печ. л. 1,7. Тираж 100 экз. Заказ № 49.

Отпечатано с готового оригинал-макета Типография ООО «КИРА» 163061, г. Архангельск, ул. Поморская, 34, тел. 65-47-11. e-mail: oookira@atnet.ru

61 12-1/756

ФГАОУ ВПО СЕВЕРНЫЙ (АРКТИЧЕСКИЙ) ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

На правах рукописи

Тестова Ирина Вячеславовна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ТЕПЛО- И МАССОПЕРЕНОСА В ТОНКИХ КАНАЛАХ С УЧЕТОМ СКОЛЬЖЕНИЯ НА ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ

СТЕНКАХ

Специальность 05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Диссертация па соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук,

доцент Попов В. Н.

АРХАНГЕЛЬСК 2012

Оглавление

Введение 5

Глава 1. Математическое моделирование течений газа в тонких каналах с учетом скольжения на параллельных стенках 10

1.1. Математическое описание течения газа в канале..............10

1.2. Аналитические методы решения модельных кинетических уравнений..........................................................16

1.3. Математическое моделирование течений газа в плоских каналах............................................................19

1.4. Основные результаты, полученные в первой главе............21

Глава 2. Математическое моделирование процессов в тонких каналах с использованием БГК уравнения 22

2.1. Течение Пуазсйля ........................ 22

2.2. Течение Куэтта........................... 51

2.3. Течение газа в канале при наличии касательного к стенкам градисита температуры..........................................61

2.4. Соотношение Онзагера............................................76

2.5. Основные результаты, полученные во второй главе ..........84

Глава 3. Математическое моделирование процессов в тонких

каналах с использованием ЭС уравнения 90

3.1. Течение Пуазейля ................................................90

3.2. Течение Куэтта......................................................100

3.3. Течение газа в канале при наличии касательного к стенкам градиента температуры..........................................110

3.4. Соотношение Онзагера..............................................122

3.5. Основные результаты, полученные в третьей главе............124

Заключение 128

Список литературы 130

Введение

В последние годы повышенный интерес привлекают к себе задачи, связанные с математическим моделированием процессов в каналах, толщина которых сравнима со средней длиной свободного пробега молекул газа. Наиболее подробно к настоящему времени данная проблема изучена с использованием численных методов. Так, в [1]-[10] с использованием численных методов задали построения математических моделей течений газа в каналах рассматривалась как для линеаризованного уравнения Больцмана, так и различных его моделей, с использованием различных моделей граничных условий, как для простых газов, так и для бинарных смесей. В то же время, как показывает анализ литературных источников, к моменту начала работы над данным диссертационным исследованием в открытой печати было опубликовано всего две работы [11] и [12], авторы которых с использованием БГК и ЭС моделей кинетического уравнения Больцмана для почти зеркальных граничных условий на стенках канала получили аналитические (в замкнутой форме) решения задач о течении Пуазейля и Куэтта. Эти решения приведены также в монографии [13]. Отсутствие систематического изучения данного вопроса с использованием точных аналитических методов и определяет актуальность проведенного

диссертационного исследования.

Использованная в [11]—[13] модель граничного условия мало реализуема на практике, особенно для необработанных специальным образом технических поверхностей. Однако ее использование позволило авторам [11]—[ 13] существенно упростить уровень сложности используемого математического аппарата, получив ряд выражений для макропараметров газа, таких как потоки массы газа и тепла в канале, величины сил вязкого трения, действующих на его стенки, через однократные интегралы. Использование более реалистичной модели граничных условий - модели диффузного отражения существенно усложняет используемый математический аппарат и приводит к тому, что решение задачи записывается в виде рядов Неймана.

Качественный анализ картины течения газа в канале с использованием модели диффузного отражения, полученной на основе аналитических методов для БГК модели приведен в [14] и [15]. Там же приведены ссылки на сходимость при любой толщине канала решений интегрального уравнения Фредгольма второго рода, к которому сводится задача нахождения коэффициентов в разложении решения задачи по собственным векторам непрерывного спектра. Однако в силу труднопреодолимых на тот момент времени сложностей аналитические решения так и не были получены. Таким образом, цель представленного диссертационного исследования заключается в разработке методов построения в рамках кинетического подхода математических моделей процессов тепло- и массопереноса в плоских каналах произвольной толщины и дальнейшем

исследовании построенных моделей. В качестве основных уравнений, описывающих кинетику процессов, используются лииеаризваииые БГК и ЭС модели кинетического уравнения Больцмана, а в качестве граничного условия - модель диффузного отражения молекул газа стенками канала.

Научная новизна заключается в:

- установлении связей между функцией распределения молекул газа по координатам и скоростям и макропараметрами газа в канале, позволяющих определять условия перехода, от кинетического описания течения газа к гидродинамическому;

- установлении зависимостей между значениями макропараметров газа в канале и его толщиной;

- разработке алгоритма построения математических моделей процессов тепло- и массопереноса в тонких каналах с учетом скольжения на параллельных стенках;

- разработке с использованием предложенного алгоритма математических моделей течений Пуазсйля, Куэтта и течения газа в канале при наличии параллельного его стенкам градиента температуры;

- разработке эффективных алгоритмов, численных методов и комплексов программ для расчета макропараметров газа в канале;

- доказательстве справедливости линейных соотношений Онзагера с учетом потоков массы газа и тепла, локализованных в слое Кнудсена.

Обоснованность и достоверность полученных результатов подтверждается соответствием с результатами численного моделирования. Все численные расчеты проводились с использованием выверенных и

протестированных процедур.

Теоретическая ценность работы заключается в том, что полученные результаты могут быть обобщены на случай молекулярных газов и бинарных смесей, а также для решения задач кинетической теории плазмы, в теории переноса электронов, в теоретической астрофизике.

Практическая ценность работы заключается в том, что полученные результаты могут быть использованы для расчета потоков массы и тепла в плоских каналах с параллельными стенками при наличии параллельных его стенкам градиентов давления и температуры.

Апробация работы. Основные результаты диссртационпой работы докладывались и обсуждались на следующих научно -технических конференциях и семинарах: XII научной конференции МГТУ " СТАНКИН " и " Учебно-научного центра математического моделирования МГТУ "СТАНКИН" - ИММ РАН" по математическому моделированию и информатике, 14-15 мая 2009 г., г. Москва; международной научно-практический конференции " Научные исследования и их практическое применение. Современное состояние и пути развития '2009", 5-17 октября 2009 г., г. Одесса; международной научно-практический конференции " Научные исследования и их практическое применение. Современное состояние и пути развития '2010", 4-15 октября 2010 г, г. Одесса; международной научно-практической конференции " Современные достижения в науке и образовании: математика и информатика", 1-5 февраля 2010 г., г. Архангельск; IX конференции с участием зарубежных ученых " Дифференциальные уравнения и их приложения

в математическом моделировании", 1-3 июля 2010 года, Мордовский госуниверситет имени Н. П. Огарева, НИИ Математики при МГУ имени Н. П. Огарева, г. Саранск; Всероссийской научно-практической конференции с международным участием " Актуальные проблемы механики, математики, информатики", посвященной 50-летнему юбилею механико-математического факультета Пермского государственного университета. 12-14 октября 2010 г., г. Пермь; Второй международной конференции " Моделирование нелинейных процессов и систем ". 6-10 июня 2011 г., г. Москва; научных семинарах кафедры математики С (А) ФУ.

На защиту выносятся:

1. Разработанный аналитический метод построения математических моделей кинетических процессов в задачах с ограниченной геометрией;

2. Построенные в рамках разработанного метода с использованием БГК и ЭС моделей кинетических уравнений математические модели течений Пуазейля, Куэтта и течения газа в канале при наличии параллельного его стенкам градиента температуры.

По теме диссертации опубликовано 13 научных работ, в том числе 3 в изданиях из списка ВАК РФ. Диссертация состоит из Введения, трех глав, заключения и списка литературы из 63 наименования, содержит 3 рисунка и 20 таблиц. Полный объем работы составляет 139 страниц машинописного текста.

Соискатель благодарит A.A. Юшканова за помощь в постановке задач, выводе основных уравнений, обсуждении методов решения и полученных результатов.

Глава 1.

Математическое моделирование течений газа в тонких каналах с учетом скольжения на параллельных стенках

1.1. Математическое описание течения газа в канале

Выбор математического аппарата, используемого для моделирования течений газа в канале, существенным образом зависит от соотношения его характерного размера Б' и средней длины свободного пробега молекул газа 1д. При В' >> 1д можно использовать гидродинамический подход, основанный на решении с заданными на стенках канала макроскопическими граничными условиями системы уравнений Навье-Стокса. В противном случае нужно использовать кинетический подход, основанный на решении кинетического уравнения Больцмана с микроскопическими граничными условиями, которым должна

удовлетворять на стенках канала функция распределения молекул газа по координатам и скоростям [17].

Кинетическое уравнение Больцмана, выведенное в 1872 году, является сложным нелинейным интегро-дифференциальным уравнением. В случае простого (одпоатомного) газа в декартовой системе координат оно записывается в виде [18, 19, 20, 21, 22]

§f + W/= J [f(v!)f(w')-f(v)f(w)}ua(u,/.i)d3wdn. (1.1.1)

fixj?3

Здесь f(t, г', v) - функция распределения молекул газа по координатам и скоростям, г' - размерный радиус - вектор, и = |v — w| - модуль вектора относительной скорости, сталкивающихся молекул газа, v, w, v' и w' -скорости молекул соответственно до и после столкновения, причем

v' = v — n(nv — nw), w' = w — n(nw — nv), (1.1.2)

n - вектор единичной нормали к единичной сфере Q, dQ - элемент площади единичной сферы, о(и,ц) - дифференциальное сечение рассеяния молекулы на угол в (/х = cos в), зависящее от закона межмолекулярного взаимодействия.

Учитывая, что точные решения кинетического уравнения Больцмана в силу нелинейности стоящего в его правой части пятикратного интеграла столкновений в общем случае получить не представляется возможным, при решении многих задач используется не само уравнение Больцмана, а его модели, которые получаются путем замены интеграла столкновений Больцмана более простыми с математической точки зрения выражениями, наследующими, тем не менее, основные свойства истинного интеграла

столкновений. Наиболее простой из моделей кинетического уравнения Больцмана является БГК (Бхатнагар, Гросс, Крук) модель, которая для стационарного случая в декартовой системе координат записывается в виде [14]

V V/ = —(/с - /). (1.1.3)

%

Здесь /(г', у) - функция распределения молекул газа по координатам и скоростям, feq(r')v) - локально-равновесный максвеллиан, р и г]д -давление и коэффициент динамической вязкости газа, V - скорости поступательного движения молекул газа, г' - размерный радиус-вектор.

Следует отметить, что, не смотря на свою относительную простоту, БГК модель корректно описывает сдвиговые течения разреженного газа, что подтверждается многочисленными сравнениями результатов, полученных на ее основе, с аналогичными результатами, полученными как на основе других более сложных модельных уравнениях, так и на основе результатов численного счета на основе линеаризованного уравнения Больцмана для молекул-жестких сфер [23].

Уравнение (1.1.3) по-прежнему является нелинейным, так как /ес1 является нелинейной функцией температуры и массовой скорости газа. Предположим, что

V 1пТ| <С 1, и = /?1/2и<1. (1.1.4)

Здесь и - массовая скорость потока газа, I - средняя длина свободного пробега молекул газа, связанная с коэффициентом кинематической

1 /9

вязкости газа р соотношением и = I (2^То/7гш) , ¡3 — т/2квТ{),

к в ~ постоянная Больцмана, т - масса частиц газа, То - температура в некоторой точке объема газа, которая в каждой задаче определяется индивидуально.

При выполнении условий (1.1.4) кинетическое уравнение (1.1.3) допускает линеаризацию. Представим функцию распределения в виде

/(г>)=/°(С)[1 + У(г,С)]. (1.1.5)

Здесь /°(С) = п0(А)/тг)3/2 ехр(—С2) - абсолютный максвеллиан, С = - безразмерная скорость молекул газа, щ - равновесная

концентрация в некоторой точке объема газа, г = (2/л/7г)~1 (г7//) -безразмерный радиус - вектор.

Линеаризуя относительно абсолютного максвеллиана /е<7, приходим к линеаризованной БГК - модели кинетического уравнения Больцмана

СУУ(г,С) + У(г,С) -

= 7г-3/2 уЛ ехр(-С'2) К( С, С') У (г, С') (1С. (1.1.6)

Здесь интегрирование ведется по всему пространству скоростей,

К(С, С') = 1 + 2СС' + - | (С'2 - 5). (1.1.7)

Основным недостатком описанной выше БГК - модели кинетического уравнения Больцмана является то, что при переходе к гидродинамическому пределу она дает значение числа Праидтля Рг = 1, т.е. значение, отличающееся от от получаемых и из самого уравнения Больцмана, и из экспериментальных измерений для одноатомных газов (эти результаты согласуются друг с другом и дают Рг «2/3) [14]. Чтобы при построении

модельного уравнения получать правильное значение числа Прандтля,

кроме уже использованной частоты столкновений щ требуется еще один

свободный параметр. Это приводит к обобщению БГК - модели путем

подстановки локального анизотропного распределения

з

т л 3/2

ф = п . , _ 4 к2тгквТ

)3/2(ае1А)1/2ехр[- £ Аг](Сг - Щ) (С, - £/,)], (1.1.8)

Ч'/ = 1

Л = \\А,,\\ = ||Рг% - Рг"^! - Рф"1^-!!"1

(1.1.9)

вместо локального максвелловского, которое является изотропным гауссовым [14]. Если положить в (1.1.8) Рг = 1, то снова придем к БГК - модели.

статок построенного при таком подходе модельного уравнения

(1.1.10)

а оно называется эллипсоидально-статистическим или ЭС - моделью, состоит в том, что для него в отличие от БГК - модели нельзя ни доказать, пи опровергнуть Я-теорему. Данная модель впервые предложена в [24] и [25].

Учитывая, что при переходе к гидродинамическому пределу ЭС -модель дает число Прандтля равное 2/3, находим

3 г Рц -1

А = -¿а - — —

2 у 2 р

-1

> 2р

-1

3 1

где рц - бездивергентпый тензор вязких напряжений, определяемый выражением

Ри = ргз~ /%

и''

Предположим, что выполняются условия (1.1.4) и ~ <С 1. Тогда

2р

уравнение (1.1.10) допускает линеаризацию.

Представим функцию распределения / в виде (1.1.5) и линеаризуем Фег/ относительно абсолютного максвеллиана. Легко видеть, что в линейном приближении

А =

2р

с1е1, А = 1,

ехр

г,3 = 1 Р

1

(1 + 2Си - — рцС&з) ехр {-С2). 2р

Таким образом, в линейном приближении Фев = /°(С)

Здесь 6п и 5Т суть отклонения концентрации и температуры от

1 + ^ + 2Си + (С2 - Щ- - 1 Рг,С,С1 щ 2 Т0 2р ^

соответствующих равновесных значений. Учитывая, что

5п Щ

2 р

6Т _ 3 " 2

Ра = /

ехр (—С2) У (г, С) ¿3С, и = С ехр(—С2) У (г, С) ¿3С, 1Л ехр (—С2) (С2-5)У(г,С)^3С,

ехр(-С2)(<ЭД- - ^С%-)У(г,С) ¿3С

и переходя в (1.1.10) к безразмерным координатам и скоростям, приходим

к линеаризованной ЭС - модели кинетического уравнения Больцмана СУ1л(г, С) + У (г, С) =

I exp{-C'2)K(C,C')Y{r,C')dC,. (1.1.11)

Здесь в отличие от (2.3.10) К (С, С) = 1 + 2ССЧ

+ ¡(с2 - - - агдс;с; - у), с2). (1.1.12)

Описанные выше модели используются в настоящей работе для описания кинетики исследуемых процессов.

1.2. Аналитические методы решения модельных кинетических уравнений

В настоящее время существует два основных метода построения точных аналитических решений краевых задач кинетической теории газа и плазмы с использованием линеаризованных модельных кинетических уравнений. Это метод Винера-Хопфа (метод сведения кинетического уравнения к одностороннему уравнению типа свертки с интегралом, взятым вдоль действительной положительной полуоси [26]—[30]) и метод Кейза (метод разложения решения по собственным сингулярным обобщенным функциям характеристического уравнения, соответствующему заданному кинетическому уравнению [31, 32, 13]). Суть метода Кейза можно представить как совокупность следующих шагов:

1. Разделение переменных и сведение исходного модельного кинетического уравнения к характеристическому уравнению.

2. Решение характеристического уравнения в пространстве обобщенных функций и нахождение собственных функций непрерывного спектра.

3. Решение дисперсионного уравнения и нахождение собственных функций дискретного спектра.

4. Разложение