автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование процессов тепло- и массопереноса в каналах с учетом теплофизических свойств газа

На правах рукописи

Рудный Дмитрий Алексеевич

Математическое моделирование процессов тепло- и массопереноса в каналах с учетом теплофизических свойств газа

05.13.18 - «Математическое моделирование, численные методы и

комплексы программ»

2 7 МАЙ 2015

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

005569320

¿р

Архангельск 2015

005569320

Работа выполнена в федеральном государственном автономном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Северный (Арктический) федеральный университет имени М.В. Ломоносова».

Научный руководитель: Попов Василий Николаевич,

доктор физико-математических наук, доцент

Официальные оппоненты: Меньшиков Леонид Иероннмович,

доктор физико-математических наук, профессор, главный научный сотрудник, Курчатовский комплекс промышленной безопасности, Национальный исследовательский центр «Курчатовский институт»

Завитаев Эдуард Валерьевич,

доктор физико-математических наук, профессор кафедры физики, ФГБОУ ВПО «Московский государственный университет леса (МГУЛ)»

Ведущая организация: федеральное государственное бюджетное

образовательное учреждение высшего профессионального образования "Тверской государственный технический университет"

Защита состоится «<?£» Об 2015 года в часов на заседании диссертационного совета Д 212.142.03 при ФГБОУ ВПО «Московский государственный технологический университет «СТАНКИН» по адресу: 127055, Москва, Вадковский переулок, д. За.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке и на сайте ФГБОУ ВПО «Московский государственный технологический университет «СТАНКИН», www.stankin.ru

Автореферат разослан «_ Л »_^¿л^_2015 года.

Ученый секретарь ^

диссертационного совета, /ф ¿//¿¿г ^

к.т.н., доцент Семячкова Елена Геннадьевна

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. В последние годы в связи с развитием современных микро- и нанотехнологий все большее внимание привлекают к себе задачи, связанные с построением математических моделей процессов, протекающих в каналах, расстояние между стенками которых соизмеримо со средней длиной свободного пробега молекул газа. В этом случае при описании потоков массы газа и тепла уравнения классической гидродинамики неприменимы и для решения поставленных задач необходимо исходить из кинетического уравнения Больцмана с микроскопическими граничными условиями, которым должна удовлетворять функция распределения на стенках канала. Для расчета макропараметров газа в канале в рамках кинетического подхода в общем случае используют методы прямого численного моделирования. Однако при таком подходе требуется наличие мощных вычислительных ресурсов, как в плане оперативной памяти, так и в плане процессорного времени. В силу этого актуальным является развитие и применение к математическому моделированию процессов в каналах строгих аналитических методов.

Степень разработанности темы исследования. Использование методов прямого численного моделирования для расчета макропараметров газа в канале исходя из кинетического уравнения Больцмана приведено в работах К. Черчиньяни, С. Лойалки, С. Сиверта, Л. Баричелло, Л. Камарго, П. Подригеса и Ж. Пуазейля. Аналитические решения задач тепло- и массопереноса в каналах в рамках кинетического подхода для одноатомных газов, где число Прандтля равно 2/3 к настоящему времени решены Латышевым A.B., Поповым В.Н., Юшкановым A.A., Тестовой И.В. В то же время, для многоатомных газов число Прандтля может существенно отличаться от 2/3. Кроме того на значение числа Прандтля также существенное влияние оказывает температура газа. Вышесказанное обусловило необходимость теоретического исследования данной проблемы, определило выбор цели, задач и предмета исследования.

При построении моделей предполагается, что стенки канала образованы двумя параллельными бесконечными поверхностями, а относительные изменения макропараметров газа на длине свободного пробега молекул газа малы, что позволяет рассмотреть поставленные задачи в линеаризовнном виде. Для описания процессов тепло- и массопереноса в работе использовано обобщение ЭС-модели кинетического уравнения Больцмана. В качестве граничного условия на стенках канала использована модель диффузного отражения.

Цели и задачи. Таким образом, цель представленного диссертационного исследования состоит в математическом моделировании (с использованием точных аналитических методов) процессов тепло- и массопереноса в каналах, как для одно- так и для многоатомных газов при произвольных значениях числа Прандтля, охватывающего все режимы течения газа в канале от гидродинамического до свободномолекулярного.

Для достижения обозначенной цели автором поставлены и решены следующие взаимосвязанные задачи:

- разработка в рамках кинетического подхода нового математического метода моделирования процессов тепло- и массопереноса в каналах произвольной толщины.

- построение математических моделей процессов тепло- и массопереноса в задачах о течениях Пуазейля, Куэтта и теплового крипа с учетом теплофизических свойств газа, приводящие к корректным результатам при произвольных значениях чисел Кнудсена и Прандтля.

- построение в рамках полученных моделей для различных значений расстояний между стенками канала и числа Прандтля профилей массовой скорости газа и вектора потока тепла, а также вычисление значения потоков тепла и массы газа, приходящихся на единицу ширины канала.

- разработка алгоритма расчета макропараметров газа в канале при произвольных значениях чисел Кнудсена и Прандтля, проведение на его основе количественного анализа зависимостей макропараметров газа от значения числа Прандтля.

Научная новизна заключается в следующих положениях, выносимых на защиту:

1. Процедура построения математических моделей течений газа в каналах с учетом числа Прандтля.

2. Математические модели течений газа в канале (течений Пуазейля, Куэтта, теплового крипа).

3. Величины потоков массы газа и тепла.

4. Зависимости макропараметров газа от толщины канала и числа Прандтля.

5. Алгоритм расчета макропараметров газа в канале и его практическая реализация.

Теоретическая значимость работы обусловлена тем, что полученные в ней математические модели и алгоритмы могут быть использованы для решения разнообразных задач теории переноса электронов, кинетической теории газа и плазмы, теоретической астрофизики.

Практическая значимость работы обусловлена тем, что полученные в диссертации математические модели и алгоритмы могут быть использованы во многих отраслях промышленности. Например, в вакуумной промышленности для расчетов потерь массы газа в установках низкого давления через дефекты соединительной арматуры; в авиастроении для расчета потерь массы газа через микротрещины в корпусах летательных аппаратов; в строительной отрасли для расчета потерь тепла через микротрещины строительных конструкций; для расчета количества тепла, выделяющегося при перекачке газов при низких давлениях; для расчета потерь тепла в рефрижераторных установках и т.д, а также при подготовке бакалавров и магистрантов по направлению подготовки "Прикладная математика".

Методы исследования. Для выполнения поставленных в работе задач было проведено комплексное использование аналитических методов, включая

теорию краевых задач функции комплексного переменного, теорию сингулярных интегральных уравнений, символьных вычислений, выполненных в пакете практико-ориентированных программ Maple 9.5, и численных процедур, реализованных на языке программирования Delphi.

Достоверность основных научных результатов обусловлена использованием в работе фундаментальных уравнений теории переноса, классической кинетической теории разреженного газа, классических методов теории краевых задач функции комплексного переменного. Адекватность разработанных моделей и алгоритмов подтверждается тем, что результаты, полученные с их использованием, совпадают с аналогичными результатами других авторов, полученных с использованием численных методов (в частности, методом дискретных ординат), а также тем, что для каналов, стенки которых расположены на расстоянии много больше средней длины пробега молекул газа, полученные на основе предложенных моделей результаты приводят к аналогичным результатам классической гидродинамики.

Апробация работы. Основные результаты, полученные в диссертации, докладывались на следующих научных и научно-технических конференциях и семинарах:

Всероссийская молодежная научная конференция "Современные проблемы математики и механики", Россия, Томск, 'ГГУ, 13-15 октября 2010 г.;

Международная научная конференция молодых ученых "Актуальные проблемы науки и техники", Уфа, УГНТУ, 9 декабря 2010 г.;

Вторая международная конференция "Моделирование нелинейных процессов и систем (Second International Conference (MNPS-11) The modeling of nonlinear processes and systems)", Москва, 6-10 июня 2011 г.;

V Международная конференция "Современные проблемы прикладной математики, теории управления и математического моделирования (ПМТУММ-2012)", Россия, Воронеж, ВГУ, 11-16 сентября 2012 г.;

Всероссийская научно-практическая конференция молодых ученых с международным участием "Современные проблемы математики и ее прикладные аспекты (СПМПА-2013)", Россия, Пермь, ПГНИУ, 29-31 октября 2013 г.;

научно-технических конференциях профессорско-преподавательского состава, научных, инженерно-технических работников и аспирантов АГТУ;

научных семинарах кафедры математики САФУ имени М.В. Ломоносова.

По теме диссертации опубликовано 16 работ, из них - 4 в изданиях из перечня ВАК РФ, в которых должны быть опубликованы основные результаты диссертаций на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, включающего 103 наименования, содержит 13 рисунков и 18 таблиц. Полный объем диссертации составляет 126 страниц текста.

Работа выполнена при финансовой поддержке в рамках Государственного задания «Создание вычислительной инфраструктуры для решения наукоемких прикладных задач» (Проект № 3628).

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы исследования, описана степень ее разработанности, сформулирована цель и задачи диссертации, отмечена научная новизна, теоретическая и практическая значимость, сформулированы научные положения, выносимые на защиту, а также указаны степень достоверности и апробация научных результатов.

В первой главе на основе имеющихся публикаций проанализировано состояние исследуемой проблемы, имеющиеся подходы к ее решению, указаны границы их применимости. Приведено обоснование выбора используемой в диссертационном исследовании обобщения на случай молекулярных газов ЭС модели кинетического уравнения Больцмана, граничного условия на стенках канала и метода решения задачи, указаны границы их применимости. Дано описание потоков массы газа и тепла в каналах и приведены выражения для их нахождения. Определена процедура построения математической модели. Дан краткий обзор математических моделей, используемых для описания молекулярных газов.

Вторая глава посвящена построению математических моделей процессов в канале с использованием обобщения на случай молекулярных газов ЭС-модели кинетического уравнения Больцмана.

В первом параграфе построено аналитическое (в виде ряда Неймана) решение обобщения на случай молекулярных газов ЭС модели кинетического уравнения Больцмана в задаче о течении Пуазейля. Рассматривается течение разреженного газа в канале, толщиной D', стенки которого расположены в плоскостях у! ~±d' прямоугольной декартовой системы координат (d' = D/2). Предполагается, что течение газа обусловлено наличием постоянного градиента давления. Ось Oz направлена против градиента давления. В выбранной системе координат обобщение на случай молекулярных газов ЭС модели кинетического уравнения Больцмана записывается в виде

v.g+v.g- р д (ал-/I (1)

ах ôz rjg{l-v + éV) v '

где /(r',v,/) - функция распределения молекул газа по координатам, скоростям и внутренним степеням свободы; р = пквТг и rjt - давление и коэффициент динамической вязкости газа; кв - постоянная Больцмана; г„ - температура поступательных степеней свободы молекул газа; vue- параметры релаксации; в = \ 1Z, где Z = г„/г, тК - время релаксации внутренних и поступательных степеней свободы молекул газа, г - промежуток времени между двумя столкновениями молекул, а параметр v связан со значением числа Прандтля газа Рг соотношением = l-v+6V, v и г - скорости поступательного движения и размерные радиус-векторы координат центров масс молекул газа; G[f] - обобщенное гауссово распределение. Будем считать относительный перепад давления на длине свободного пробега молекул газа малым. Тогда рассматриваемая задача допускает линеаризацию и функцию

распределения молекул газа по координатам, скоростям и внутренним степеням свободы можно представить в виде

где п - концентрация молекул газа; Я^Ит; 5 - число внутренних степеней свободы молекул газа; С = 4Ру - безразмерная скорость молекул газа; т -масса молекулы газа; Г0 - температура газа; = 1т1КГ0; 1т - внутренняя энергия; С„=(\- безразмерный градиент давления, направленный против оси О/', 7.(х,С\) - линейная поправка к локально-равновесной функции распределения; х = Рпс'/1! и г = Ргг'Пг - безразмерные координаты; -

длина свободного пробега молекул газа.

Подставляя (2) в (1) и линеаризуя си\, приходим к уравнению для

нахождения 1(х, /.¡) (и = Сх )

+ г(дг,я)+1 = -^= ( ехр(-т!)[1+2(1-Рг-1)/;г]г(х,г)Л. (3)

дх у17Г Л,

Общее решение (3) ищем в виде

2{х,ц) = Рг"'*2 -2Х/Л-2/? + 4, +Л1(х-Р/-А1) + Техр(--)Я'7.^Ж'7)^'7. (4)

Д. 1

где А0, А1 и о(77) - неизвестные параметры и функция, подлежащие дальнейшему определению,

Пп, М) = 4=»7Р —+е*Р (772 ШчЖП - /0. (5)

л/я-

= 1 (6)

Р(1/г) - распределение в смысле главного значения при вычислении интеграла от \Ы, 5(х) - дельта-функция Дирака.

С учетом используемой модели диффузного отражения граничные условия на верхней и нижней стенках канала записываются в виде

г{с1,-ц) = 0, ц>4, (7)

= а>0. (8)

Общее решение исходного неоднородного интегродифференциального уравнения найдено в пространстве обобщенных функций. Подстановка граничных условий в общее решение приводит к системе двух связанных сингулярных интегральных уравнений с ядром типа Коши, из которой находим Л, =0 и а(-т]) = а(п) ■ С учетом полученных результатов после преобразования уравнения сводятся к краевой задаче Римана на действительной положительной полуоси. Коэффициенты в разложении решения задачи по собственным векторам дискретного спектра находятся из условия разрешимости построенной краевой задачи. Использование формул Сохоцкого-Племеля для нахождения коэффициентов в разложении решения задачи по собственным векторам непрерывного спектра приводит к интегральному уравнению Фредгольма второго рода, решение которого ищется в виде степенного ряда.

С учетом полученного решения и, исходя из статистического смысла функции распределения, получены аналитические (в виде рядов Неймана) выражения для профиля массовой скорости газа иг(х) и отличной от нуля компоненты вектора потока тепла

(10) (П)

V, « - }[Р'"' (*2 - О2/4) + DQ, + 2& +1 + ¿Л» [/, + Jt (*)]],

^ А-0

¿к-о л/тг

а также величины потоков массы газа Ju и тепла JQ, приходящихся на единицу ширины канала

Л.

D

6Р/

■0-

2Й+1 + ЕА

J,

1

/о

л м

. У

и -иг и t-o

Г g(r) ^

(12) (13)

К*.*)

I .

[2, - г g, = -1.01619,2-, = -1.26632,

г и } 1 7 ' *(r) N

Л M

1 К* ) 1 ш )

dr f gW* ... f

i f7i+r J„

»71 +

X2(-r)exp(-r2 --) rf(-r)exp(-r2)[l-exp(--)]

Ш =-z_

rr) = I Л-1 [exP(-) + C*P(--)L

| Я (r) | r r

= —exp

1 7 [в{т)-л\ат

ÎT J r — T

a, ^ 71 . 4*)

2 л/ятехр(-г )

0(r) - главное значение аргумента функции Д"(г), фиксированное условием 0(0) = 0, Л* (г) - предельные значения A(z) на нижнем и верхнем берегах разреза.

Графики зависимости U(4) и qt(Ç) (Ç = x/d) для различных значений к и Рг приведены на рисунках (1) и (2). Полученные результаты, а также аналогичные результаты полученные на основе численных методов с использованием БГК и S моделей кинетического уравнения Больцмана, линеаризованного уравнения Больцмана с оператором столкновений для молекул-жестких сфер (LBE) и модели уравнения Больцмана с комбинированным ядром (CES) (для одноатомных газов) приведены в Таблице (1) и Таблице (2), из которых следует, что отличие результатов, вычисленных на основе (12) и (13) от аналогичных, полученных численными методами на основе линеаризованного уравнения Больцмана с оператором столкновений для молекул-жестких сфер (LBE), не превышает 10% для потока массы и для потока тепла при значениях к > 1. В конце параграфа приведено сравнение с

аналогичными результатами, полученными опытным путем, из которого следует, что при толщине канала к = 0'ПЕ < 1 имеется незначительная зависимость от значения числа Рг, а при толщине канала к = й'Иг»1 зависимость от значения числа Рг не наблюдается и результаты переходят в аналогичные результаты, полученные в гидродинамическом приближении. Также приведены таблицы значений Ju и JQ для следующих многоатомных газов: Н20,МНг,02,А<г,С12. Проведено сравнение с аналогичными результатами, полученными в рамках классической гидродинамики.

Рис. 1. Графики зависимости ¡У(£) ( ^ = ^^^ ) для различных значений к и Рг, рассчитанные по формуле (10): 1) Рг = 1.01,5) Рг = 0.64.

к Л,(Рг = 2/3) Л,(Рг = 0 BGK [1] * S[2] CES [3] LBE [3]

0.1 2.1916 2.0329 2.032714 2.0395 1.9259 1.9499

1.0 1.6197 1.5387 1.538678 1.5536 1.4863 1.5067

10.0 2.7989 2.7686 2.7799 2.7220 2.7296

U2

Рис. 2. Графики зависимости #(£) (£ = для различных значений к и Рг, рассчитанные по формуле (11): 1) Рг = 1.01,5) Рг = 0.64.

П

1. Barihcello L.B., Camargo M., Podrigues P., Siewert C.E. Unified solutions to classical flow problems based on the BGK model // ZAMP. 2001. V. 52. P. 517 - 534.

2. C.E. Siewert. Poiseuille, Thermal Creep and Couette Flow: Results Based on the CES Model Linearized Boltzmann Equation // European Journal of Mechanics B/Fluids. 2002. V. 21. P. 579 - 597.

3. C.E. Siewert. The linearized Boltzmann Equation: Concise and Accurate Solutions to Basic Flow Problems // Zeitschrift fur Angewandte Mathematic und Physik. 2003. V. 54. P. 273-303.

к /е(Рг = 2/3) ВОК[1] ер] СЕ8 [3] ЬВЕ [3]

0.1 -0.7816 -0.6950 -0.6949272 -0.73268 -0.79087 -0.79928

1.0 -0.3537 -0.2949 -0.2948999 -0.36546 -0.40456 -0.38908

10.0 -0.0920 -0.0661 -0.098147 -0.093046 -0.08995

Во втором параграфе построено решение задачи о течении Куэтта. Рассматривается канал толщиной ¡У, стенки которого расположены в плоскостях = прямоугольной декартовой системы координат (с!' = ¡УII), ось Ог которой параллельна стенкам канала. Стенки канала движутся в своих плоскостях в противоположных направлениях со скоростями и и -и. Предполагается, что течение носит стационарный характер, а скорость движения стенок канала много меньше скорости звука в газе. Тогда рассматриваемая задача допускает линеаризацию. Показано, что в этом случае нахождение функции распределения молекул газа по координатам, скоростям и внутренним степеням свободы сводится к решению краевой задачи

р — + 2(х, V) = 4= I ехр(-г2)[ 1+2( 1 - Рг-' г)Л. (14)

дх Д,

= /л < 0, (15)

= - 217, /л > 0. (16)

С учетом полученного решения и, исходя из статистического смысла функции распределения, получены аналитические (в виде рядов Неймана) выражения для профиля массовой скорости газа £/Длг) и отличной от нуля компоненты вектора потока тепла ?г(х)

к1+£л)*+Би 07)

р г^-а

и

(18)

а также величины потоков массы газа и тепла JQ, приходящихся на единицу ширины канала

1г}с/,(х)& =

га1

__Ч.-[о+Тй)—+У&],

-¿и**-

и

м^Рг-'^-а)

2Х

(19)

(20)

( 1 \ 'о

1 т

ч 1 см ]

(¡Г,

Jt(x)

..., р^-а

Х2(-??)ехрЫ-гсИу)

8П> Л (Рг-^-а)2|Я+С7)Г '

2|Г(У )]-

-0.15 -0,1 -0,05 0 005 0,1 0,15

•0,4 -0,2

I |||||||||

аг о,4

■0,8 -0,4

Рис. 3. Графики зависимости !/(£) (£ = ) для различных значений к и Рг, рассчитанные по формуле (17): 1) Рг = 1.01, 5) Рг = 0.64.

Таблица 3. Зависимость Ju(_\9) от к.

к ЛДРг = 2/3) Л,(Рг = 1) ВОК[1] ЬВЕ [3] СЕЭ [3]

0.1 0.77212 0.68572 0.685750 0.72929 0.74199

1.0 0.26007 0.23219 0.232188 0.22737 0.22678

10.0 0.04303 0.04228 0.042281 0.04219 0.042142

-0,02 -0,01 0 0,01 0,02 -0,003 -0,002 -0,001 0 0,001 0,002 0,003

Рис. 4. Графики зависимости(£ = Для различных значений 4 и Рг, рассчитанные по формуле (18): 1) Рг = 1.01, 5) Рг = 0.64.

Таблица 4. Зависимость (20) от к.

к -Уе(Рг = 2/3) -Уе(Рг = 1) BGK [1] LBE [3] CES [3]

0.1 0.11318 0.21228 0.212309 0.118962 0.14479

1.0 0.01975 0.03136 0.0313629 0.022451 0.026986

10.0 0.00033 0.00036 0.0003625 0.000307 0.000286

Графики зависимости {/(£) и q2(Ç) (Ç = xld) для различных значений к и Рг приведены на рисунках (3) и (4). Полученные результаты, а также аналогичные результаты на основе численных методов с использованием БГК и S моделей кинетического уравнения Больцмана, линеаризованного уравнения Больцмана с оператором столкновений для молекул-жестких сфер (LBE) и модели уравнения Больцмана с комбинированным ядром (CES) (для

одноатомных газов) приведены в Таблице (3) и Таблице (4), из которых следует, что отличие результатов, вычисленных на основе (19) и (20) от аналогичных, полученных численными методами на основе линеаризованного уравнения Больцмана с оператором столкновений для молекул-жестких сфер (ИЗБ), не превышает 15% для потока массы и для потока тепла при значениях £>1. Также приведены таблицы значений Ум и JQ для следующих многоатомных газов: Н20,ЫН1,02,А1г,С12. Проведено сравнение с аналогичными результатами, полученными в рамках классической гидродинамики.

В третьем параграфе построено решение задачи о тепловом крипе. Здесь рассматривается канал толщиной ТУ, стенки которого расположены в плоскостях У -±сГ прямоугольной декартовой системы координат (<з" = ¡У/2). В канале поддерживается постоянный градиент температуры, параллельный его стенкам. Ось Ск' декартовой системы координат направлена против градиента температуры. Относительный перепад температуры на длине свободного пробега молекул газа предполагается малым. Тогда задача допускает линеаризацию. Показано, что в этом случае нахождение функции распределения молекул газа но координатам, скоростям и внутренним степеням свободы сводится к решению системы уравнений

/л + г, (х. V) + (V - ^] = ] ехр(-1Г! (х, г)</г -

■¿я

(21)

^ + + \ = (22) ОХ

г1(<1,М) = г2(с1,>1)=о, (23)

21(-с1,м) = г2(-с1,м)^0, м> о. (24)

С учетом полученного решения и, исходя из статистического смысла функции распределения, получены аналитические (в виде рядов Неймана) выражения для профиля массовой скорости газа иг(х) и отличной от нуля компоненты вектора потока тепла д.О)

= (25)

, ч 5 1 г , г., </, , х + с]^^^

яЛх) = -~+-г I ехР(-т )[ехР(-) + ехР(--

4 л/я- ^ г г

(26)

а также величины потоков массы газа и тепла JQ, приходящихся на единицу ширины канала

1

^ \й1

-2

(27)

2 ' 5 Д —[ 1 -2|гехр(-г2 -/5/г)й?г] + -¿А',],

с й^Л Я ' I* ' Л О)

ы

я

g{r)

\Qi-r\dt,

( I* '

Jk{x)

I

I

1 V, *

21 я (7) |

Нх.м) = -х1-")е*{-м1-тск-х/м), М>0.

(28)

0,024 0,С29 0.032 0:03в

008 0,1 0,12 0.14 0,16

! I I I I I I I Т I I I I I I 1 Г 1 1 I I ! I

0.15 0,2 <125 0.3 0.35

Рис. 5. Графики зависимости£/(£) для различных значений к и Рг, рассчитанные

по формуле (25): 1) Рг = 1.01, 5) Рг=0.64.

к Л,(Рг = 2/3) ЛДРг-1) ВОК[1] 5 [2] СЕЭ [3] ЬВЕ [3]

0.1 -0.7816 -0.6950 -0.6949272 -0.73268 -0.79087 -0.79928

1.0 -0.3537 -0.2949 -0.2948999 -0.36546 -0.40456 -0.38908

10.0 -0.0920 -0.0661 -0.098147 -0.093046 -0.08995

0>5

■ОД

-0.7 -0,65

111М11111

-0,6 -0.55

-0.5 -0,45

Рис. 6. Графики зависимости(£ = 2х/0) для различных значений к и Рг, рассчитанные по формуле (26): 1) Рг = 1.01, 5) Рг = 0.64.

Таблица 6. Зависимость Jg (28) от к.

к ■/в(Рг = 2/3) Ув(Рг = 1) Б [2] СЕБ [3] ЬВЕ [3]

0.1 4.3313 3.8460 4.0546 3.85909 3.9037

1.0 1.7810 1.4182 1.7537 1.8018 1.7830

10.0 0.3380 0.2334 0.34063 0.34964 0.34674

Графики зависимости U(Ç) и qt{Ç) (Ç = xld) для различных значений к и Рл приведены на рисунках (5) и (6). Полученные результаты, а также аналогичные результаты полученные на основе численных методов с использованием БГК и S моделей кинетического уравнения Больцмана, линеаризованного уравнения Больцмана с оператором столкновений для молекул-жестких сфер (LBE) и модели уравнения Больцмана с комбинированным ядром (CES) (для одноатомных газов) приведены в Таблице (5) и Таблице (6), из которых следует, что отличие результатов, вычисленных на основе (27) и (28) от аналогичных, полученных численными методами на основе линеаризованного уравнения Больцмана с оператором столкновений для молекул-жестких сфер (LBE), не превышает 10% для потока массы и для потока тепла при значениях к> 1. Также приведены таблицы значений JM и JQ для следующих многоатомных газов: H20,NH2,02,Air,Cl2.

В третьей главе представлены алгоритм и его практическая реализация для нахождения макропараметров газа в канале. Описан каждый шаг-работы алгоритма на примере потока тепла в задаче о течении Пуазейля.

Рис. 7: Блок-схема работы алгоритма

Для демонстрации сходимости ряда Неймана приведена следующая таблица.

Я™ о/

Таблица 7. Значения членов ряда Неймана — ЛГ„ при различных к и Рг = -^

к т = 0 т = \ т = 2 /71=3 777 =4 77!=5

0.1 15.297825 -1.149688 0.081484 -0.005660 0.000392 -0.000027

1.0 1.179570 -0.034121 0.000844 -0.000021 0.000001

10.0 0.058066 -0.000025

Рис. 8: Схема реализации алгоритма 18

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Диссертация является научно-квалификационной работой, в которой на основании выполненных автором исследований содержится решение задачи математического моделирования процессов тепло- и массопереноса в каналах при различных значениях чисел Прандтля и Кнудсена, имеющей большое значение для развития кинетической теории разреженного газа.

2. Для решения поставленной задачи разработан новый математический метод моделирования, особенность которого заключается в комплексном использовании аналитических методов, включая теорию краевых задач функции комплексного переменного, теорию сингулярных интегральных уравнений, символьных вычислений, выполненных в пакете практико-ориентированных программ Maple 9.5, и численных процедур, реализованных на языке программирования Delphi, позволяющий решать задачи переноса с учетом теплофизических свойств газа.

3. С использованием разработанного метода установлены закономерности и связи между параметрами газа в канале и функцией распределения молекул газа по координатам, скоростям и внутренним степеням свободы, особенностью которых является то, что они позволяют находить зависимость макропараметров газа от расстояния между стенками канала и значением числа Прандтля.

4. На основе установленных связей разработаны и предложены математические модели в задачах о течении Пуазейля, Куэтта и в задаче о тепловом крипе. С использованием предложенных моделей построены графики профилей векторов потоков массы и тепла в канале, вычислены значения удельных (отнесенных к единице ширины канала) потоков массы газа и тепла.

5. Представлен и протестирован эффективный алгоритм для расчета макропараметров газа в канале. Проведенный анализ результатов показал, что они пригодны для расчетов при любых значениях расстояния между стенками канала и числа Прандтля.

6. В результате исследования данной проблемы на основе полученных математических моделей и проведенного вычислительного эксперимента выявлена закономерность: значение числа Прандтля оказывает существенное влияние на макропараметры газа в каналах, расстояние между стенками которых соизмеримо со средней длиной пробега молекул газа.

1. Результаты диссертационного исследования могут быть использованы для решения задач во многих отраслях промышленности, а также в учебном процессе в подготовке инженерных и научных кадров.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Статьи, опубликованные в изданиях, входящих в перечень ведущих периодических изданий ВАК РФ:

1. Попов, В.Н. Вычисление потока тепла в плоском канале с учетом температуры газа / В.Н. Попов, Д.А. Рудный, A.A. Юшканов // Вестник Поморского университета. Серия: Естественные науки, 2011. - № 3. - с. 105111.

2. Попов, В.Н. Влияние чисел Прандтля и Кнудсена на процесс переноса тепла в задаче о плоском течении Пуазейля / В.Н. Попов, Д.А. Рудный // Теплофизика и аэромеханика, 2012. - № 2. т. 19 - с. 193-200.

3. Попов, В.Н. Математическое моделирование процесса переноса тепла в плоском канале при малых градиентах давления / В.Н. Попов, A.A. Юшканов, Д.А. Рудный // Вестник МГТУ "Станкин", 2012. - № 3 (22). - с. 105-109.

4. Попов, В.Н. Аналитическое решение задачи о течении Куэтта для молекулярных газов / В.Н. Попов, Д.А. Рудный, A.A. Юшканов // Вестник МГОУ. Сер. "Физика - Математика", 2013. - № 2. - с. 39-47.

Статьи, опубликованные в других изданиях:

1. Попов, В.Н. Аналитические решения задач о течении газа в каналах при произвольных значениях числа Прандтля / В.Н. Попов, Д.А. Рудный // Вестник физического факультета Поморского университета. Сборник научных трудов. . Архангельск: Поморский государственный университет имени М.В. Ломоносова, 2010. - Выпуск 9. - с. 3-12.

2. Рудный, Д.А. Вычисление коэффициентов рядов Неймана в пакете прикладных программ МАРЬЕ 9.5 / Д.А. Рудный, В.Н. Попов // Вестник математического факультета. Межвузовский сборник научных трудов / Сост. Э.О. Зеель; Поморский гос. ун-т им. М.В. Ломоносова. - Архангельск: Поморский университет, 2010. - Вып. 10. - с. 61-65.

3. Рудный, Д.А. Вычисление расхода газа в плоском канале при произвольных значениях числа Прандтля / Д.А. Рудный, В.Н. Попов // Сборник материалов Всероссийской молодежной научной конференции "Современные проблемы математики и механики". Томск, 13-15 октября 2010 г. Изд-во Томского университета: Томск, 2010. — с. 186-188.

4. Рудный, Д.А. Вычисление потока тепла в канале прямоугольного сечения при малых градиентах давления / Д.А. Рудный // Сборник трудов II Международной научной конференции молодых ученых "Актуальные проблемы науки и техники". Уфа. Уфимский государственный нефтяной технический университет. 9 декабря 2010 г. - Уфа: Нефтегазовое дело, 2010. - Т 1. — с. 82-82.

5. Попов, В.Н. Математическое моделирование течений газа в плоских каналах с параллельными стенками с учетом значений числа Прандтля / В.Н. Попов, Д.А. Рудный // Наука - Северному региону: сборник материалов научно-

технической конференции профессорско-преподавательского состава, научных, инженерно-технических работников и аспирантов по итогам работ за 2010 год. - Архангельск: ИПЦ САФУ, 2011. - с. 217-225.

6. Попов, В.Н. Математическое моделирование процесса переноса тепла в плоском канале при малых градиентах давления / В.Н. Попов, Д.А. Рудный, A.A. Юшканов // Моделирование нелинейных процессов и систем. Сборник тезисов второй международной конференции Моделирование нелинейных процессов и систем (Second International Conference (MNPS-11) The modeling of nonlinear processes and systems). Moscow. June 6 -10, 2011. M.: Янус - К, 2011. -с. 257-258.

7. Попов, В.Н. Аналитическое решение задачи о течении Пуазейля с учетом теплофизических свойств газа / В.Н. Попов, Д.А. Рудный, A.A. Юшканов // Фундаментальные физико-математические проблемы и моделирование технико-технологических систем. Выпуск 14. Материалы второй международной конференции "Моделирование нелинейных процессов и систем" Proceedings of the Second International Conference "The modeling of nonlinear processes and systems". M.: Янус - К, 2011. - Выпуск 14. - с. 258-266.

8. Лукашев, B.B. Математическое моделирование потерь тепла в строительных конструкциях с учетом дефекта монтажа / В.В. Лукашев, В.Н. Попов, Д.А. Рудный, И.В. Тестова // Сборник научных трудов Международного научно-образовательного семинара "Деревянные конструкции - 2011: образование, практика, инновации в странах Баренцова Евро-Арктического региона". Архангельск. 23-25 ноября 2011 г. Архангельск: ООО "Агентство рекламы "РАД", 2012. - с. 105-110.

9. Попов, В.Н. Математическое моделирование процессов тепло- и массопереноса в каналах для молекулярных газов / В.Н. Попов, Д.А. Рудный // Современные проблемы прикладной математики, теории управления и математического моделирования "ПМТУММ-2012": материалы V Международной конференции, Воронеж, 11-16 сентября 2012 г. / [под ред. A.B. Глушко, В.В. Провоторова]; Воронеж, гос. ун-т, Мое. гос. ун-т, С.-Петерб. гос. ун-т., Воронеж, гос. ун-т инж. технологий, Воронеж, гос. техн ун-т. - Воронеж: Издательско-полиграфический центр Воронежского государственного университета, 2012. - с. 230-232.

10. Попов, В.Н. Построение модели Хансона-Морзе интеграла столкновений в уравнении Ванг Чанг-Уленбека / В.Н. Попов, Д.А. Рудный // Физический вестник Института естественных наук и биомедицины. Сборник научных трудов. Архангельск: ФГАОУ ВПО Северный (Арктический) федеральный университет имени М.В. Ломоносова, 2012. - Выпуск 11. - с. 316.

11. Попов, В.Н. Обобщение эллипсоидально-статистической модели кинетического уравнения Больцмана на случай молекулярных газов / В.Н. Попов, ДА. Рудный // Физический вестник Института естественных наук и биомедицины. Сборник научных трудов. Архангельск: ФГАОУ ВПО Северный (Арктический) федеральный университет имени М.В. Ломоносова, 2013. -Выпуск 12.-е. 3-9.

12. Рудный, Д.А. Вычисление расхода массы газа через поперечное сечение канала в задаче о тепловом крипе / Д.А. Рудный, В.Н. Попов // Современные проблемы математики и ее прикладные аспекты - 2013: сб. тез. науч.-практ. конф. (Пермь, 29-31 октября 2013) / гл. ред. В.И. Яковлев; Перм. гос. нац. исслед. ун-т. Пермь, 2013. - с. 138.

Подписано в печать 17.04.2015. Формат 60x84/16. Усл. печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ № 3546

Издательский дом имени В.Н. Булатова САФУ 163060, г. Архангельск, ул. Урицкого, д. 56