автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование процессов тепло- и массопереноса в каналах с учетом коэффициента аккомодации тангенциального импульса молекул газа

На правах рукописи

ЛУКАШЕВ ВЯЧЕСЛАВ ВАЛЕРЬЕВИЧ

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ТЕПЛО-И МАССОПЕРЕНОСА В КАНАЛАХ С УЧЕТОМ КОЭФФИЦИЕНТА АККОМОДАЦИИ ТАНГЕНЦИАЛЬНОГО ИМПУЛЬСА МОЛЕКУЛ ГАЗА

Специальность

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

г 8 НОЯ 2013

Воронеж 2013

005540426

Работа выполнена в федеральном государственном автономном общеобразовательном учреждении высшего профессионального образования «Северный (Арктический) федеральный университет имени М.В. Ломоносова».

доктор физико-математических наук, доцент Попов Василий Николаевич Латышев Анатолий Васильевич, доктор физико-математических наук, профессор, ГОУ В ПО «Московский государственный областной университет», заведующий кафедрой математического анализа и геометрии;

Сапронов Юрий Иванович, доктор физико-математических наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный университет», профессор кафедры математического моделирования. Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московский государственный технологический университет «СТАНКИН» (ФГБОУ ВПО МГТУ «СТАНКИН»);

Защита состоится «12- » 2013 года в 15:10 на заседании

диссертационного совета Д 212.038.20 при Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Воронежский государственный университет» по адресу 394006, г. Воронеж, Университетская площадь, д. 1, ауд. 335.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Воронежский государственный университет»

Автореферат разослан 2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических наук, доцент

Научный руководитель Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

С.А. Шабров

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В последние десятилетия все большее внимание привлекают к себе задачи, связанные с построением математических моделей процессов тепло- и массопереноса, протекающих в каналах, расстояние между стенками которых соизмеримо со средней длиной свободного пробега молекул газа. В этом случае для описания потоков массы газа и тепла уравнения классической гидродинамики неприменимы и для решения поставленных задач, необходимо исходить из кинетического уравнения Больцмана с микроскопическими граничными условиями, которым должна удовлетворять функция распределения на стенках канала. Для расчета макропараметров газа в канале в рамках кинетического подхода в общем случае используют методы прямого численного моделирования. Однако при таком подходе требуется наличие мощных вычислительных ресурсов, как в плане оперативной памяти, так и в плане процессорного времени. В силу этого актуальным является развитие и применение к моделированию процессов тепло- и массопереноса в каналах аналитических методов.

Математические модели тепло- и массопереноса в каналах в рамках кинетического подхода к настоящему времени построены с использованием почти зеркальных граничных условий и для случая диффузного отражения молекул газа стенками канала. Модель почти зеркального отражения молекул газа стенками канала мало реализуема на практике. В то же время для легких газов, например, таких, как гелий и неон, коэффициент аккомодации тангенциального импульса может существенно отличаться от единицы. Кроме того на значение коэффициента аккомодации тангенциального импульса также существенное влияние оказывает степень обработки поверхности стенок канала: для загрязненной поверхности коэффициент аккомодации тангенциального импульса больше, чем в случае специально обработанной, например, путем химической очистки, поверхности.

Цель и задачи исследования. Цель работы - разработка и применение аналитических методов, численных процедур и комплексов программ для решения задач, связанных с математическим моделированием процессов тепло- и массопереноса в каналах, приводящих к корректным результатам при произвольных значениях коэффициента аккомодации тангенциального импульса и расстояния между стенками канала.

Для достижения поставленной цели сформулированы и решены следующие задачи:

1. Построение на основе БГК (Бхатнагар, Гросс, Крук) модели кинетического уравнения Больцмана с использованием зеркально-диффузного граничного условия Максвелла математических моделей процессов тепло- и массопереноса в задачах о течениях Пуазейля, Куэтта и теплового крипа, обобщающих существующие ранее результаты.

2. Проведение анализа построенных математических моделей при переходе к гидродинамическому и свободномолекулярному режимам течения.

3. Разработка алгоритма для расчета на основе построенных моделей макропараметров газа в канале.

4. Создание программного комплекса, позволяющего рассчитать значения макропараметров газа при различных значениях толщины канала и коэффициента аккомодации тангенциального импульса молекул газа стенками канала.

5. Проведение на основе представленного программного комплекса расчетов макропараметров газа и сравнение полученных результатов с аналогичными, имеющимися в открытой печати.

Объект исследования - поток разреженного газа в канале. При построении моделей предполагается, что стенки канала образованы двумя параллельными бесконечными плоскими поверхностями, а относительные изменения макропараметров газа на длине свободного пробега молекул газа малы, что позволяет рассмотреть поставленные задачи в линеаризовнном виде. В качестве основного уравнения, описывающего кинетику процесса, в работе используется линеаризованная БГК (Бхатнагар, Гросс, Крук) модель кинетического уравнения Больцмана, а в качестве граничного условия на стенках канала — модель зеркально-диффузного отражения.

Методы исследования. Основными методами исследования задач, поставленных в диссертационном исследовании, являются метод Кейза (метод разложения решения по собственным сингулярным обобщенным функциям характеристического уравнения, соответствующему заданному кинетическому уравнению) и вычислительный эксперимент с применением численных методов для нахождения значений итоговых выражений для макропараметров газа.

Научная новизна проведенного исследования заключается в следующем:

1. Построены математические модели процессов тепло- массопереноса для течений Пуазейля, Куэтта и теплового крипа, которые обобщают имевшиеся ранее результаты и содержат их в качестве частных случаев.

2. На основе анализа полученных результатов построены математические модели процессов переноса при переходе к гидродинамическому и свободно-молекулярному режимам.

3. Разработаны алгоритм и программный комплекс для расчета макропараметров газа в канале, позволяющий получить корректные результаты при произвольных значениях коэффициента аккомодации тангенциального импульса и расстояния между стенками канала.

4. С использованием разработанного программного комплекса для различных значений толщины канала и коэффициента аккомодации тангенциального импульса молекул газа стенками канала найдены численные значения отличных от нуля компонент вектора потока массы газа, вектора потока тепла.

Теоретическая значимость работы заключается в том, что полученные результаты могут быть обобщены на случай молекулярных газов и бинарных смесей, а также для решения задач кинетической теории плазмы, в теории переноса электронов, в теоретической астрофизике.

Практическая значимость работы заключается в том, что полученные результаты могут быть использованы для расчета потерь массы газа в установках низкого давления через дефекты соединительной арматуры; для расчета количества тепла, выделяющегося при перекачке газов при низких давлениях; для расчета потерь тепла в рефрижераторных установках и т.д.

Область исследования - содержание диссертации соответствует паспорту специальности 05.13.18 - «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» (физико-математические науки), область исследования соответствует п.1 «Разработка новых математических методов моделирования объектов и явлений, перечисленных в формуле специальности», п. 2 «Разработка, исследование и обоснование математических объектов, перечисленных в формуле специальности», п. 4 «Разработка, обоснование и тестирование эффективных численных методов с применением ЭВМ», п. 6. Комплексное исследование научных и технических, фундаментальных и прикладных проблем с применением современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента. Исследование проведено при преобладании математических методов в качестве аппарата исследования и при получении результатов в виде новых математических методов и вычислительных алгоритмов, характеризующих изучаемые объекты.

Основные результаты, выносимые на защиту:

1. Математические модели течений Пуазейля, Куэтта и теплового крипа.

2. Инженерные формулы для расчета потоков массы газа и тепла при переходе к гидродинамическому и свободномолекулярному режимам.

3. Алгоритм расчета макропараметров газа в канале.

4. Комплекс программ для расчета макропараметров газа в канале.

5. Зависимости макропараметров газа от толщины канала и коэффициента аккомодации тангенциального импульса молекул газа стенками канала.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на следующих научно-технических конференциях и семинарах: XVII Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов», Москва, МГУ имени М.В. Ломоносова, 11-15 апреля 2011 г.; Вторая Международная научная конференция «Моделирование нелинейных процессов и систем», Россия, Москва, МГТУ «СТАНКИН», 6-10 июня 2011 г.; Пятая международная научная школа-семинар «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» имени Е.В. Воскресенского, Саранск, 1-13 июля 2011 г.; X Молодежная международная научно-практическая конференция «Интеллектуальный потенциал XXI века: ступени познания», Новосибирск, ЦРНС. 13 апреля 2012 г.; Всероссийская научно-практическая конференция с международным участием «Инженерная мысль машиностроения будущего», Екатеринбург, УрФУ имени первого президента России Б.Н. Ельцина, 18-20 апреля 2012 г.; X конференция «Дифференциальные уравнения и их приложения в математическом моделировании» с участием зарубежных ученых, Саранск, 27-29 августа 2012 г.; Научно-практическая конференция «Актуальные проблемы механики, математики, информатики», Пермь, Перм. гос. нац. исслед. ун-т. 30 октября-1 ноября 2012 г.; 55 научная конференция «Проблемы фундаменталь-ных и прикладных, естественных и технических наук в современном информационном пространстве», Долгопрудный, МФТИ, 19-25 ноября 2012 г.; Всероссийская научная конференция с международным участием «Спектраль-ная теория операторов и ее приложения», Архангельск, САФУ имени М.В. Ломоносова, 25-29 ноября 2012 г.; XI научно-

практическая конференция «Молодежь - двигатель науки», САФУ имени М.В. Ломоносова, 13 декабря 2012 г.; научных семинарах кафедры математики САФУ им. М.В. Ломоносова.

Публикации. По теме диссертации опубликованы три статьи в научных рецензируемых журналах, входящих в перечень ВАК и десять статей в иных печатных изданиях.

Личный вклад автора. Автор участвовал в постановке рассмотренных в диссертации задач и полностью разработал и реализовал комплекс программ, необходимый для расчета параметров газа в канале. Автор лично проводил все расчеты, результаты которых приведены в диссертации, и наравне с другими соавторами участвовал в написании работ, опубликованных по теме диссертации.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, приложения и списка литературы из 64 наименований. Объем работы составляет 115 страниц текста, содержащего 9 рисунков и 22 таблицы.

Соискатель благодарит A.A. Юшканова за помощь в постановке задач, выводе основных уравнений, обсуждении методов решения и полученных результатов.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы исследования, сформулирована цель и задачи диссертации, отмечена научная новизна, научная и практическая значимость, сформулированы научные положения, выносимые на защиту.

В первой главе рассмотрены общие вопросы, связанные с математическим моделированием течений разреженного газа в каналах. Приведено обоснование выбора используемой в работе модели кинетического уравнения Боль-цмана, модели граничного условия на стенках канала и метода решения задачи, указаны границы их применимости. Приведены выражения для расчета потоков массы газа и тепла. Определена процедура построения математической модели.

Вторая глава посвящена построению математических моделей течений Пуазейля, Куэтта и теплового крипа. В первом параграфе построено аналитическое (в виде ряда Неймана) решение задачи о течении Пуазейля. Рассмотрено течение разреженного газа в плоском канале, толщиной D', стенки которого расположены в плоскостях x'=±d' прямоугольной декартовой системы координат (d'= D'/2). Полагается, что течение газа обусловлено наличием постоянного градиента давления. Ось Oz' декартовой системы координат направлена вдоль градиента давления, относительный перепад давления на длине свободного пробега молекул газа малым полагается малым, что позволяет построить задачу в линеаризованном виде. Показано, что в этом случае нахождение функции распределения молекул газа по координатам и скоростям сводится к решению краевой задачи

+ Z{x,n) +1 = - jL Jexp(-r2)Zfc г) dr, (1)

Z(±d,+ß) = (\-q)Z(±d+ß), ß>0, (2)

Здесь /л = С,, а q - коэффициент аккомодации тангенциального импульса молекул газа стенками канала. Общее решение уравнения (1) построено в пространстве обобщенных функций. Подстановка в общее решение граничных условий (2) приводит к системе двух связанных сингулярных интегральных уравнений с ядром типа Коши, которые после преобразования сводятся к краевой задаче Римана на действительной положительной полуоси. Коэффициенты в разложении решения задачи по собственным векторам дискретного спектра находятся из условия разрешимости построенной краевой задачи. Использование формул Сохоцкого-Племеля для нахождения коэффициентов в разложении решения задачи по собственным векторам непрерывного спектра приводит к интегральному уравнению Фредгольма второго рода, решение которого ищется в виде степенного ряда. С учетом полученного решения и, исходя из статистического смысла функции распределения, получены аналитические (в виде рядов Неймана) выражения для профиля массовой скорости газа и. (х) и отличной от нуля компоненты вектора потока тепла д,(х)

£-0

а также величины потоков массы газа Jм и тепла , приходящихся на единицу ширины канала

"¡Щх)<Ь = -1)£>, -Ар^ +1 + ^'^, (3)

о 6 ° Ы ° *-о .

9 9 1

^—75Г Ям^-^гЕ^-о- №

и -0,2 и 1-0 и

[] . л ]

Шх)\ = ^{Ых,т)\ыд1-т + <1)-21Г\<1т, 0 =-1.01619, й =-1.26632,

и.1

ил • •

тХ2(-т)схр(-т2)[ехр(-2с1/т-(1-д)] , , ДГ(-г)ехр(-г2-сИтЩх/т) |Я+(^)|2[1-0-9)е^(-2<Их)\ 'П'' 1А*(г)|2[1-(1-?)ехр(-2<//г)] '

тХ(-т)ехр(-т2 -е!/т) ^ = 1 ехр[1?

|Я+(г)|2[1-(1-?)е!ф(-2£//г)] г т-г

2 т1ятехр(-т ) л/я- 4 /¿-г

Графики С/Дх) и дДх), построенные для различных значений Виц приведены на рисунках 1 и 2. Значения и -Л, приведены в таблицах 1 и 2.

D=0.l

Щ9

I I г

D=1

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0

V(9

-2500 -2000 -1500 -1000 -500

ига Щ9

Рис. 1. Графики зависимости £/.(£) = 1) 9 = 0.1, 2) 9 = 0.5,3) 9 = 1. Таблица 1. Зависимость ]м от С при различных значениях д

D ЛЛ 3) BGK [1] S[2] CES [3] LBE [3]

q = 0.1

0.1 20.628087 19.984 20.243

1.0 17.619564 17.522 17.564

10.0 18.782803 18.737 18.743

9 = 0.5

0.1 4.556599 4.556406 4.5801 4.3156 4.3868

1.0 3.368235 3.368218 3.3928 3.2959 3.3264

10.0 4.573799 4.5837 4.5285 4.5346

9 = 1.0

0.1 2.032989 2.032256 2.0395 1.9259

1.0 1.538683 1.538678 1.5536 1.4863

10.0 2.768646 2.7799 2.7220

1. Barihcello L.B., Camargo M., Podrigues P., Siewert C.E. Unified solutions to classical flow problems based on the BGK model // ZAMP. 2001. V. 52. P. 517 - 534.

2. C.E. Siewert. Poiseuille, Thermal Creep and Couette Flow: Results Based on the CES Model Linearized Boltzmann Equation // European Journal of Mechanics B/Fluids. 2002. V. 21. P. 579 - 597.

3. C.E. Siewert. The linearized Boltzmann Equation: Concise and Accurate Solutions to Basic Flow Problems //Zeitschrift fur Angewandte Mathematic und Physik. 2003. V. 54. P. 273-303.

D=0.1

0.02 0.04 0.0« 0.0Я 0.10 0.12 0.14

я/9

0.05 0.10 0.15 0.20 0.25

Я.Ф

1 2 3

-16 -14 -12 -10 -8 -6

ч,(9

-1.2 -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6

ч/О

Рис. 2. Графики зависимости 9г(£) Ц = хЫ)\ 1) 9 = 0.1, 2) 9 = 0.5, 3) 9 = 1. Таблица 2. Зависимость .10 от О при различных значениях д

тз Ус(3), ¿¡ = 2с1ЧЪ1г BGK.ll] вр] СЕБ [3] ЬВЕ [3]

9 = 0.1

0.1 -2.93126 -3.77466 -4.1416 -4.1701

1.0 -0.46498 -0.66942 -0.71489 -0.71258

10.0 -0.05173 -0.07685 -0.079621 -0.079140

? = 0.5

0.1 -1.26626 -1.48684 -1.266442 -1.4012 -1.5426 -1.5680

1.0 -0.36854 -0.47938 -0.3685435 -0.49043 -0.5376 -0.52876

10.0 -0.05836 -0.08388 -0.087524 -0.086266 -0.084299

9 = 1.0

0.1 -0.69465 -0.78077 -0.6949272 -0.73268 -0.79087 -0.79928

1.0 -0.29489 -0.35371 -0.2948999 -0.36546 -0.40456 -0.38908

10.0 -0.06607 -0.09196 -0.098147 -0.093046 -0.089950

Как следует из таблиц 1 и 2, отличие значений ./„ и , вычисленных согласно (3) и (4), от аналогичных, полученных в [1]-[3] с использованием численных методов в рамках БГК модели не превышает 0,04% для всего диапазона значений Ип д. Вместе с тем имеет место существенное отличие значений Jg, рассчитанных согласно (4), от аналогичных результатов, полученных на основе ЬВЕ модели. Это связано с тем, что БГК модель дает значение числа Прандтля, равное 1, в то время как для большинства газов это значение близко к 2/3. Для того, чтобы устранить это расхождение необходимо положить й = 2с/'/3/г.

Во втором параграфе построена математическая модель течения Куэтга. В этом случае краевая задача для нахождения функции распределения молекул газа и выражения для параметров газа имеет вид

Ц — + 2(х,ц) =-\= Г ехр(-г2Щх,г) ¿т, дх л/л- 4

г(±с!,+м) = (1-я)г(±с1,±м)±2ди, //>0,

2-д 2 и '

£ к-0

Л,=

ъ

'м1

1

1

2-д Чс1-а-Ч)й,

2ХЛ

»-О

(5)

1-о

2дЩ2-д) <р!-{2-4)0,'

[ 7° 1 1 I

[ Ка \ ' Я • [ С(т) \

«(О/О, г) =

[ л 1 , «Г «

1а. 1 ° ° -

г Х-(-г)ехр(-г2 )[ехр(-2</ / г)+\-д\ гУ(-г)ехр (-г2)[ 1 - ехр (-¿/г)]2

2|Г(т)|2[1 + (1-д)ехр(-2(//г)] ' 21 Д+(г) |2[1 + (1 -<?)ехр(-2йУ г)]'

Х(-т)ехр(-т2Щх/т) 1

21Д" (г) |2 [ехр(^ / г)+{1 - / г)] ?</-(2-?)0 +

Как показывают проведенные расчеты, отличие результатов, полученных на основе от (5), (6), от аналогичных, полученных в [2] в рамках БГК модели, не превышает для потока массы и для потока тепла на всем диапазоне приведенных значений 0.09% и 0.3%. При этом, значения, рассчитанные с учетом корректировки числа Прандтля, значительно лучше согласуются с аналогичными результатами, полученными в [3] для ЬВЕ модели.

В третьем параграфе построена математическая модель теплового крипа. Здесь краевая задача и выражения для макропараметров газа имеют вид

и, I'* + Л (*)]]

д 7 ехр (-г2 )сЫх/т)с1т 5

«р(<*Уг)-(1-9)ехр(-Ят) 4 4Й

¿■чл слр^ы/ 4;- и _ ч т

™ V. ^ *-о У *"0

"4 1-(1-?)ехр(-Д/Г) 4н

«Г)

0 7,+г 0

7,

гХ2 (-г) ехр(—г2 )(ехр(-2^ / г) -1 + ?))

= —

2|ГМ|2(1-(1-?)ехр(-2^/г)) дХ(-ц) ехр(-//2 )сЛ(х / г)

г>0,

гГзгг,- ^.у..., „ >_ гХ(-г)ехр(-г2)(1-ехр(-2<//г))

IС")I2 [ехр(аГ/-(1 -ехр(-^/,«)]' ^^ |Я+(г)[2 (1-(1-9)ехр(-2^/г)) " В третьей главе на основе результатов, полученных ранее, построены математические модели, описывающие потоки массы газа и тепла при переходе к

близким к свободномолекулярному и гидродинамическому режимам течения газа в канале. Указаны границы применимости полученных выражений и определена точность вычислений по этим формулам.

В четвертой главе представлен алгоритм и программный комплекс, для расчета макропараметров газа в канале. Разработанный алгоритм, основан на численном интегрировании членов рядов Неймана входящих в выражения для макропараметров газа. Конечные значения приближаются с заданной точностью путем отбрасывания последних членов ряда Неймана, величина которых меньше величины погрешности, а также на основе правила Рунге: Д = (J2„ -J„W, где Д - это погрешность, J2n - значение конечного выражения, вычисленного для 2п шагов, J„ - для п шагов, в - параметр, равный 1/3 для метода прямоугольников. Ввиду рекурсивного задания членов бесконечного ряда, каждое следующее слагаемое вычисляется на основе предыдущего члена ряда.

Блок-схема алгоритма представлена на рисунке 3. Обозначения, использованные в блок-схеме: q и D - коэффициент аккомодации и толщина канала, razn - заданная погрешность. Функции \[z], Qfz], X[z], ob[z], ksi[m], y[m,x], g[m] -вспомогательные функции, на основе которых вычисляются члены ряда Неймана. Хх, Ob, Ksi, Y, G - массивы значений этих функций на построенной сетке. M - массив значений вспомогательной подынтегральной функции, которая вычисляется на основе предыдущих членов ряда Неймана. Sumlk, SumJk, SumKk - суммы рядов, J и Qq - потоки массы газа и тепла, Uz и qz - массивы значений профилей массовой скорости газа и потока тепла. dJ и dQq - текущие значения погрешности для каждого из макропараметров, Jr и Qqr - уточненные по Ричардсону значения макропараметров.

Работа алгоритма построена следующим образом: на начальном этапе задаются вспомогательные функции Цт\, Q[z], X[z], ob[z], ksi[m], y[m,x], g[m]. После этого цикле с постусловием уточняются значения макропараметров газа, получаемые в конце каждой итерации. Цикл работает до тех пор, пока полученная погрешность вычислений не станет меньше заданной. Внутри цикла, на каждой итерации строятся массивы значений вспомогательных функций, вычисляются нулевые члены рядов. Далее во вложенном цикле строятся последующие члены нужных нам рядов Неймана. Этот цикл выполняется до тех пор, пока оба значения очередных членов ряда не будут приравнены к нулю. Вначале цикла вычисляется массив значений вспомогательной функции M (на основе полученного на предыдущем шаге массива M и G). После чего путем интегрирования функций, содержащих вычисленные значения M и других ранее найденных вспомогательных функций, находится очередной член ряда. Если его величина будет меньше величины заданной погрешности, то он приравнивается к нулю. Полученные члены ряда суммируются и используются для вычисления потока массы газа J, потока тепла Qq, массивов значений Uz и qz. Также строятся уточненные значения по Ричардсону, находятся текущие погрешности на основе правила Рунге. После чего количество шагов для метода прямоугольников увеличивается вдвое, и алгоритм переходит на следующую итерацию внешнего цикла. В конечном итоге, находятся итоговые значения

макропараметров газа, чья погрешность, укладывается в заданную и на этом ал-

Рис. 3. Блок схема построенного алгоритма.

Для реализации описанного выше алгоритма был разработан комплекс программ, реализованный в виде программного модуля, удаленно взаимодействующего с вычислительным ядром программы Wolfram Mathematica. Сам

программный модуль написан на языке С# с применением объектно-ориентированного подхода, в рамках концепции MVC - Model-view-controller. В соответствии со схемой MVC программа реализована в виде трех взаимодействующих компонентов:

• Графический интерфейс пользователя - компонент, отвечающий за визуальное представление информации, обеспечивающий удобный ввод и вывод данных. Окно формы разделено на две части - на левой половине представлены инструменты ввода данных, а на правой вывода. Среди входных значений программа позволяет выбрать тип решаемой задачи, задать входные условия (величину коэффициента аккомодации q, ширину канала D), а также указать основные параметры алгоритма - начальное число разбиений и погрешность. Также реализована возможность выбрать расположение MathKernel.exe (для удаленного ядра необходимо задать ¡р-адрес и порт компьютера, на котором оно запущено). На форму выводятся выходных данные и сообщения, которые генерируются при работе вычислительного ядра. На правой половине формы отображаются графики профилей массы газа и z-компоненты вектора потока тепла, а также выводятся вычисленные значения макропараметры газа.

• Компонент, реализующий логику взаимодействия с пользователем - модуль соответствующий «контроллеру» в MVC, являющийся прослойкой между визуальным интерфейсом и вычислительным компонентом программы. Этот компонент отвечает за обработку входных и выходных данных, обеспечивает корректное заполнение всех полей формы, обработку ошибок и согласованную работу всех элементов программного комплекса. Реализован в виде кода, отвечающего за обработку событий формы.

• Логика обработки данных - компонент соответствующий «модели» в схеме MVC, в котором заданы основные методы работы с данными. Реализован в виде отдельного класса, в котором инкапсулирован вышеописанный алгоритм нахождения макропараметров газа. За счет выделения в отдельный класс достигается возможность модификации алгоритма не зависимо от визуального компонента программы.

Класс, содержащий вычислительный алгоритм и всю основную логику работы с данными взаимодействует с ядром программы Wolfram Mathematica, в котором производятся основные вычисления, по средствам модуля .NET/Link протокола MathLink, созданного Wolfram специально для организации подобного рода взаимодействия Mathematica и сторонних программ, поддерживающих .NET Framework.

В заключении сформулированы основные результаты работы:

1. В рамках кинетического подхода решена задача, связанная с математическим моделированием процессов тепломассопереноса в каналах с бесконечными параллельными стенками. В качестве исходного уравнения, описываю-

щего кинетику процесса, используется БГК (Бхатнагар, Гросс, Крук) модель кинетического уравнения Больцмана, а в качестве граничного условия на стенках канала - модель зеркально-диффузного отражения.

2. Построены математические модели процессов тепломассопереноса для течений Пуазейля, Куэтта и теплового крипа, обобщающие имевшиеся ранее результаты.

3. Проведен анализ построенных математических моделей при переходе к гидродинамическому и свободномолекулярному режимам.

4. Разработан алгоритм для выполнения численных расчетов потоков массы газа и тепла при произвольных значениях расстояния между стенками канала и коэффициента аккомодации тангенциального импульса молекул газа.

5. Разработан программный комплекс, реализующий предложенный алгоритм.

6. Проведен вычислительный эксперимент, позволяющий проанализировать зависимости профилей массовой скорости газа и потока тепла в каналах от расстояния между стенками канала и значения коэффициента аккомодации.

7. Анализ полученных результатов показал, что предложенные алгоритм и программный комплекс пригодны для расчетов при любых значениях расстояния между стенками канала и коэффициента аккомодации тангенциального импульса молекул газа.

Основные публикации по теме диссертации Статьи в изданиях, рекомендованных ВАК РФ

1. Лукашев В.В., Попов В.Н., Юшканов A.A. Моделирование процессов переноса в задаче о течении Куэтта при неполной аккомодации тангенциального импульса молекул газа стенками канала // Математическое моделирование. 2013. Т. 25. №2. С. 111-124.

2. Лукашев В.В., Попов В.Н., Юшканов A.A. Вычисление потока тепла в задаче о течении Куэтта с использованием зеркально-диффузной модели граничного условия на стенках канала /У Вестник Северного (Арктического) федерального университета. Серия «Естественные науки». 2012. № 2. С. 80-85.

3. Лукашев В.В., Попов В.Н., Юшканов A.A. Математическое моделирование процессов переноса в плоских каналах в случае неполной аккомодации тангенциального импульса молекул газа стенками канала // Вестник МГТУ «Стан-кин». 2012. № 3 (22). С. 98-104.

Статьи в сборниках научных трудов и материалах конференций

4. Лукашев В.В., Попов В.Н., Юшканов АА. Математическое моделирование процессов переноса в плоских каналах в случае неполной аккомодации тангенциального импульса стенками канала // Моделирование нелинейных процессов и систем. Сборник тезисов второй международной конференции «Моделирование нелинейных процессов и систем (Second International Conference (MNPS-11) The modeling of nonlinear processes and systems)». Moscow. June 6-10, 2011. M.: Янус - К, 2011. С. 255-256.

5. Лукашев В.В., Попов В.Н., Юшканов A.A. Аналитическое решение задачи о течении Пуазейля при неполной аккомодации тангенциального импульса стенками канала // Наука - Северному региону: сборник материалов научно-

технической конференции профессорско-преподавательского состава, научных, инженерно-технических работников и аспирантов по итогам работ за 2010 год. - Архангельск: ИПЦ САФУ, 2011. С. 208-217.

6. Лукашев В.В., Попов В.Н. Расчет профиля массовой скорости для течения Куэтта с учетом коэффициента аккомодации тангенциального импульса молекул газа стенками канала // Физический вестник Института естественных наук и биомедицины. Сборник научных трудов. Выпуск 10. Архангельск: ФГАОУ ВПО Северный (Арктический) федеральный университет имени М.В. Ломоносова. 2011. С. 19-30.

7. Лукашев В.В., Попов В.Н., Юшканов A.A. Математическое моделирование процессов переноса в плоских каналах // Математический журнал Средне-волжского математического общества. 2011. Т. 13. № 2. С. 81-90.

8. Лукашев В.В. Моделирование течения газа в канале при наличии градиента температуры // Сборник материалов Всероссийской молодежной научно-практической конференции с международным участием «Инженерная мысль машиностроения будущего», Екатеринбург, Уральский федеральный университет имени первого президента России Б.Н. Ельцина, 18-20 апреля 2012 г. Екатеринбург: УрФУ, 2012. С. 88-93.

9. Лукашев В.В., Попов В.Н., Юшканов A.A. Аналитическое решение задачи о течении Куэгга // Журнал Средневолжского математического общества. Т. 14. № 1.С. 72-82.

10. Лукашев В.В., Попов В.Н. Аналитическое решение задачи о тепловом крипе для сверхтонких каналов // Актуальные проблемы механики, математики, информатики: сб. тез. науч.-практ. конф. (Пермь, 30.10- 1.11.2012 г.) / гл. ред. В.И. Яковлев; Перм. гос. нац. исслед. ун-т. - Пермь, 2012. - 195 с. (С. 101).

11. Лукашев В.В., Попов В.Н., Юшканов A.A. Математическое моделирование процессов тепло и массопереноса в задаче о тепловом крипе. // Материалы Всероссийской научной конференции с международным участием «Спектральная теория операторов и ее приложения». Архангельск. С(А)ФУ имени М.В. Ломоносова. 25-29 ноября 2012 г. Архангельск: КИРА, 2012. С. 66-70.

12. Лукашев В.В., Попов В.Н., Юшканов A.A. Математическое моделирование процессов газовой динамики // Труды 55 научной конференции «Проблемы фундаментальных и прикладных, естественных и технических наук в современном информационном пространстве». Долгопрудный. МФТИ. 19-25 ноября 2012 г. Т.2. Управление и прикладная математика. Москва-Долгопрудный-Жуковский, МФТИ, 2012. С. 49-50.

13. Лукашев В.В. Моделирование процесса переноса массы газа в канале при наличии градиента температуры // Сборник материалов X молодежной международной научно-практической конференции «Интеллектуальный потенциал XXI века: ступени познания». Новосибирск, НГТУ. 17 мая 2012 г. Новосибирск: Издательство НГТУ, 2012. С. 7-11.

Подписано в печать 07.11.2013. Формат 60x84/16. Усл. печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ № 2025.

Издательско-полиграфический центр им. В.Н. Булатова ФГАОУ ВПО САФУ 163060, г. Архангельск, ул. Урицкого, д. 56

Северный (Арктический) федеральный университет имени М.В. Ломоносова

На правах рукописи

04201 4521 45

Лукашев Вячеслав Валерьевич

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ТЕПЛО- И МАССОПЕРЕНОСА В КАНАЛАХ С УЧЕТОМ КОЭФФИЦИЕНТА АККОМОДАЦИИ ТАНГЕНЦИАЛЬНОГО

ИМПУЛЬСА МОЛЕКУЛ ГАЗА

Специальность 05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук,

доцент Попов В. Н.

АРХАНГЕЛЬСК 2013

Оглавление

Введение................................................................ 3

Глава 1. Общая постановка задачи математического моделирования процессов тепло- и массопереноса в каналах........................... 8

1.1. Выбор основного уравнения, модели граничных условий и метода решения задачи.......................................... 8

1.2. Описание потоков разреженного газа в каналах............... 13

1.3. Построение модели процесса.................................. 16

1.4. Основные результаты, полученные в первой главе............ 18

Глава 2. Математическое моделирование процессов тепло- и массопереноса в каналах..................................................... 19

2.1. Задача о течении Пуазейля................................... 19

2.2. Задача о течении Куэтта...................................... 33

2.3. Задача о тепловом крипе...................................... 47

2.4. Основные результаты, полученные во второй главе........... 65

Глава 3. Анализ предельных режимов................................. 70

3.1. Режим близкий к гидродинамическому ...................... 70

3.2. Случай почти зеркальных граничных условий................ 77

3.3. Свободно-молекулярный режим............................... 90

3.4. Основные результаты, полученные в третьей главе ........... 96

Глава 4. Программный комплекс для расчета макропараметров газа. 99

4.1. Алгоритм расчета............................................. 99

4.2. Программный комплекс.......................................104

4.3. Основные результаты, полученные в четвертой главе.........108

Заключение............................................................ 109

Список литературы.................................................... 110

Введение

В последние десятилетия все большее внимание привлекают к себе задачи, связанные с построением математических моделей процессов тепло-и массопереноса, протекающих в каналах, расстояние между стенками которых соизмеримо со средней длиной свободного пробега молекул газа. В этом случае для описания потоков массы газа и тепла уравнения классической гидродинамики неприменимы и для решения поставленных задач необходимо исходить из кинетического уравнения Больцмана с микроскопическими граничными условиями, которым должна удовлетворять функция распределения на стенках канала [1]-[12]. Для расчета макропараметров газа в канале в рамках кинетического подхода в общем случае используют методы прямого численного моделирования, основанные на том, что уравнение Больцмана решается конечно-разностным методом на фиксированной сетке в пространстве скоростей и координат, а искомые макропараметры газа находятся путем численного нахождения значений моментов от функции распределения. Однако при таком подходе требуется наличие мощных вычислительных ресурсов, как в плане оперативной памяти, так и в плане процессорного времени [13]. В силу этого актуальным является развитие и применение к моделированию процессов тепло- и массопереноса в каналах аналитических методов.

Аналитические решения задач тепло- и массопереноса в каналах в рамках кинетического подхода к настоящему времени решены в [14]-[16] с использованием почти зеркальных граничных условий и в [17]-[20] для случая диффузного отражения молекул газа стенками канала. Модель почти зеркального отражения молекул газа стенками канала мало реализуема на практике. В то же время, как показано в [1], например, для легких газов, таких, как гелий и неон, коэффициент аккомодации тангенциального импульса может существенно отличаться от единицы. Кроме того на значение коэффициента аккомодации тангенциального импульса также существенное влияние оказывает степень обработки поверхности стенок канала:

для загрязненной поверхности коэффициент аккомодации тангенциального импульса больше, чем в случае специально обработанной, например, путем химической очистки, поверхности. Таким образом, цель представленного диссертационного исследования состояла разработке и применении аналитических методов, численных процедур и комплексов программ для решения задач, связанных с математическим моделированием процессов тепло- и массопереноса в каналах, приводящих к корректным результатам при произвольных значениях коэффициента аккомодации тангенциального импульса и расстояния между стенками канала

Для достижения поставленной цели сформулированы и решены следующие задачи:

1. Построение на основе БГК (Бхатнагар, Гросс, Крук) модели кинетического уравнения Больцмана с использованием зеркально-диффузного граничного условия Максвелла математических моделей процессов тепло-и массопереноса в задачах о течениях Пуазейля, Куэтта и теплового крипа, обобщающих существующие ранее результаты.

2. Проведение анализа построенных математических моделей при переходе к гидродинамическому и свободномолекулярному режимам течения.

3. Разработка алгоритма для расчета на основе построенных моделей макропараметров газа в канале.

4. Создание программного комплекса, позволяющего рассчитать значения макропараметров газа при различных значениях толщины канала и коэффициента аккомодации тангенциального импульса молекул газа стенками канала.

5. Проведение на основе представленного программного комплекса расчетов макропараметров газа и сравнение полученных результатов с аналогичными, имеющимися в открытой печати.

Объект исследования - поток разреженного газа в канале. При построении моделей предполагается, что стенки канала образованы двумя параллельными бесконечными плоскими поверхностями, а относительные изменения макропараметров газа на длине свободного пробега молекул газа малы, что позволяет рассмотреть поставленные задачи в линеаризовнном виде. В качестве основного уравнения, описывающего кинетику процесса, в работе используется линеаризованная БГК (Бхатнагар, Гросс, Крук) модель кинетического уравнения Больцмана, а в качестве граничного условия на стенках канала - модель зеркально-диффузного отражения.

Методы исследования. Основными методами исследования задач, поставленных в диссертационном исследовании, являются метод Кейза (метод разложения решения по собственным сингулярным обобщенным функциям характеристического уравнения, соответствующему заданному кинетическому уравнению) и вычислительный эксперимент с применением численных методов для нахождения значений итоговых выражений для макропараметров газа.

Научная новизна заключается в следующем:

- Построены математические модели процессов тепло- массопереноса для течений Пуазейля, Куэтта и теплового крипа, которые обобщают имевшиеся ранее результаты и содержат их в качестве частных случаев.

- На основе анализа полученных результатов построены математические модели процессов переноса при переходе к гидродинамическому и свобод-номолекулярному режимам.

- Разработаны алгоритм и программный комплекс для расчета макропараметров газа в канале, позволяющий получить корректные результаты при произвольных значениях коэффициента аккомодации тангенциального импульса и расстояния между стенками канала.

- С использованием разработанного программного комплекса для различных значений толщины канала и коэффициента аккомодации тангенциального импульса молекул газа стенками канала найдены численные значения отличных от нуля компонент вектора потока массы газа, вектора потока тепла.

Обоснованность и достоверность основных научных результатов обусловлена тем, что в основу построенных моделей положены фундаментальные уравнения теории переноса, классическая кинетическая теория разреженного газа и классические методы теории краевых задач функции комплексного переменного. Адекватность разработанных моделей и алгоритмов подтверждается сравнением полученных на их основе результатов с аналогичными результатами, полученными другими авторами с использованием методов прямого численного моделирования, а также тем, что при переходе к гидродинамическому пределу полученные на основе предложенных моделей результаты переходят в соответствующие результаты классической гидродинамики.

Теоретическая значимость работы заключается в том, что полученные результаты могут быть обобщены на случай молекулярных газов и

бинарных смесей, а также для решения задач кинетической теории плазмы, в теории переноса электронов, в теоретической астрофизике.

Практическая значимость работы заключается в том, что полученные результаты могут быть использованы для расчета потерь массы газа в установках низкого давления через дефекты соединительной арматуры; для расчета количества тепла, выделяющегося при перекачке газов при низких давлениях; для расчета потерь тепла в рефрижераторных установках и т.д.

Апробация работы. Основные результаты дисертационной работы докладывались и обсуждались на следующих научно-технических конференциях и семинарах:

- XVII Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов", Москва, МГУ имени М.В. Ломоносова, 11-15 апреля 2011г.

- Вторая Международная научная конференция " Моделирование нелинейных процессов и систем", Россия, Москва, Московский Государственный Технологический Университет "СТАНКИН", 6-10 июня 2011 г.

- Пятая международная научная школа-семинар " Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ" имени Е.В. Воскресенского, Саранск, 1-13 июля 2011 г.

- X Молодежная международная научно-практическая конференция " Интеллектуальный потенциал XXI века: ступени познания " Новосибирск, ЦРНС. 13 апреля 2012 г.

- Всероссийская научно-практическая конференция с международным участием " Инженерная мысль машиностроения будущего ", Екатеринбург, Уральский федеральный университет имени первого президента России Б.Н. Ельцина, 18 - 20 апреля 2012 г.

- X конференция "Дифференциальные уравнения и их приложения в математическом моделировании" с участием зарубежных ученых, Саранск, 27 - 29 августа 2012 г.

- Научно-практическая конференция " Актуальные проблемы механики, математики, информатики". Пермь, Перм. гос. нац. исслед. ун-т. 30 октября - 1 ноября 2012 г.

- 55 научная конференция " Проблемы фундаментальных и прикладных, естественных и технических наук в современном информационном пространстве". Долгопрудный. МФТИ. 19-25 ноября 2012 г.

- Всероссийская научная конференция с международным участием " Спектральная теория операторов и ее приложения". Архангельск. САФУ имени М.В. Ломоносова. 25-29 ноября 2012 г.

- XI научно-практическая конференция " Молодежь - двигатель науки ", САФУ имени М.В. Ломоносова, 13 декабря 2012 г.

- научных семинарах кафедры математики САФУ имени М.В. Ломоносова.

На защиту выносятся:

1. Математические модели течений Пуазейля, Куэтта и теплового крипа.

2. Инженерные формулы для расчета потоков массы газа и тепла при переходе к гидродинамическому и свободномолекулярному режимам.

3. Алгоритм расчета макропараметров газа в канале.

4. Комплекс программ для расчета макропараметров газа в канале.

5. Зависимости макропараметров газа от толщины канала и коэффициента аккомодации тангенциального импульса молекул газа стенками канала.

По теме диссертации опубликовано 13 научных работ, в том числе 3 в изданиях из списка ВАК РФ, в которых должны быть опубликованы основные результаты диссертаций на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы из 64 наименований, содержит 9 рисунков и 22 таблицы. Полный объем работы составляет 115 страниц машинописного текста.

Соискатель благодарит A.A. Юшканова за помощь в постановке задач, выводе основных уравнений, обсуждении методов решения и полученных результатов.

Глава 1.

Общая постановка задачи математического моделирования процессов тепло- и массопереноса в каналах

1.1. Выбор основного уравнения, модели граничных условий и метода решения задачи

Во многих отраслях современной промышленности (электронной, радиотехнической, атомной, оптической, металлургической и др.) широко используются производственные процессы, протекающие при очень низких давлениях. Например, использование вакуумных печей в металлургии, напыление пленок в вакууме, вакуумная пайка и сварка, разделение изотопов, вакуумное замораживание и сушка при производстве лекарственных препаратов, вакуумная теплоизоляция в криогенике. Важная роль принадлежит вакуумной технике и при создании экспериментальных установок и аппаратуры для исследований в области ядерной физики, физики плазмы, физики твердого тела, материаловедения и т. п. [2].

Развитие и совершенствование вакуумной техники потребовало глубокого изучения законов тепло-массообмена и движения газа при больших степенях разрежения. Особенно большой практический интерес к механике разреженного газа вызвало развитие авиационной и ракетно- космической техники. Например, при расчетах аэродинамических характеристик летательных аппаратов; разработке молекулярных заборников газа; создании

датчиков для ракетного зондирования верхних слоев атмосферы; проектировании экспериментальных стендов для моделирования гиперзвукового движения аппарата на больших высотах и т. д. О чрезвычайно большом значении динамики разреженного газа свидетельствует огромное число работ, публикуемых в последнее время в периодической печати в России и за рубежом, особенно в США, Англии, Франции.

Одной из важнейших в прикладном отношении задач динамики разреженного газа является задача о течении разреженного газа в каналах [1, 2]. Не смотря на то, что первые исследования, посвященные этой задаче были выполнены в начале-первой половине прошлого столетия Кнудсеном в 1909 г. [21], Смолуховским в 1910 г. [22] и Клаузингом в 1932 г. [23], они до сих пор привлекают к себе внимание различных авторов (см., например, [1]—[20] и приведенные в них ссылки). В представленном диссертационом исследовании процессы тепло- и массоиереноса рассматриваются для слоя газа, заключенного между двумя бесконечными параллельными пластинами. Использование такой модели канала позволяет избежать учета краевых эффектов, что существенно упрощает решение задачи.

Выбор математического аппарата, используемого для моделирования процессов тепло- и массоиереноса в каналах, существенным образом зависит от соотношения их характерного размера £)' и средней длины свободного пробега молекул газа 1д. При И'/1д » 1 можно использовать уравнения механики сплошной среды, а в качестве граничных условий на стенках канала использовать классические граничные условия прилипания, т.е. полагать, что скорость газа и его температура вблизи стенки равны скорости и температуре самой стенки. Однако при условии, когда степень разре-жености газа становится велика, методы расчетов, основанные на уравнениях классической газовой динамики, становятся непригодными. В этих условиях необходим переход к кинетическому описанию, основанному на использовании кинетического уравнения Больцмана [2].

Учитывая, что точные решения кинетического уравнения Больцмана в силу нелинейности стоящего в его правой части пятикратного интеграла столкновений в общем случае получить не представляется возможным, при решении многих задач используется не само уравнение Больцмана, а его модели, которые получаются путем замены интеграла столкновений Больцмана более простыми с математической точки зрения выражениями, которые тем не менее наследуют основные свойства истинного интеграла

столкновений. Наиболее простой такой моделью является БГК (Бхатна-гар, Гросс, Крук) модель, которая для стационарного случая в декартовой системе координат записывается в виде [3, 4, 16]

= (/е,-/)- (1-1.1)

Здесь v - скорость молекул газа, / = /(г', v) - функция распределения молекул газа но координатам и скоростям, г' - размерный радиус-вектор, /ед = ггед(/?/7г)3//2 ехр[—¡3(х — и)2] - локально равновесная функция распределения, /3 = т/2кТея, т - масса молекулы газа, к - постоянная Больцма-на, Тед и пед - локально равновесные температура и концентрация молекул газа, и - среднемассовая скорость потока газа, щ ~ частота столкновений молекул газа.

Варьируя параметр щ, можно получить либо правильное значение коэффициента сдвиговой вязкости, либо значение коэффициента теплопроводности. Поэтому, в случае, когда в задаче преобладающими являются процессы, обусловленные вязкостью газа, полагают ио = рея/т]д. В случае преобладания процессов, связанных с теплопроводностью газа - полагают щ = 2ред/3г]д. Как показывают многочисленн�