Математическое моделирование процессов в разреженных газах вблизи искривленных поверхностей

Попов, Василий Николаевич

Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование процессов в разреженных газах вблизи искривленных поверхностей

доктора физико-математических наук: Попов, Василий Николаевич
город: Архангельск
год: 2007
специальность ВАК РФ: 05.13.18
цена: 450 рублей

Диссертация по информатике, вычислительной технике и управлению на тему «Математическое моделирование процессов в разреженных газах вблизи искривленных поверхностей»

Автореферат диссертации по теме "Математическое моделирование процессов в разреженных газах вблизи искривленных поверхностей"

На правах рукописи

Попов Василий Николаевич

ииаи55В55 е-ии/

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ В РАЗРЕЖЕННЫХ ГАЗАХ ВБЛИЗИ ИСКРИВЛЕННЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Специальность 05 13 18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва 2007

003055655

Работа выполнена в ГОУ ВПО "Поморский государственный университет имени М В Ломоносова"

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,

профессор

Уварова Людмила Александровна

доктор физико-математических наук, профессор

Поддоскин Александр Борисович

доктор физико-математических наук, профессор

Цурков Владимир Иванович

Институт вычислительной математики РАН

¿/¿^¿С^ 2007 года в/ г часов на заседании Диссертационного совета Д 212 142 03 при ГОУ ВПО Московском государственном технологическом университете "СТАНКИН" по адресу 127994, Москва, Вадковский пер , д 1

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО МГТУ "СТАНКИН"

Автореферат разостан ^2007 года

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212 142 03,

кандидат технических наук, доцент вВг^' Е Г Семячкова

Ведущая организация

Защита состоится "¿Л?"

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы К настоящему времени ценой огромных усилий как отечественных, так и зарубежных ученых создана теория кинетических процессов над плоской поверхностью, в рамках которой построены математические модели динамики разреженного газа, физики плазмы, физики металлов, теоретической астрофизики

Однако в последние годы наблюдается значительное возрастание интереса к проблемам математического моделирования кинетических процессов вблизи искривленных поверхностей Это связано с необходимостью исследования движений аэрозольных частиц в неоднородных по температуре и концентрации газовых средах (термо - и диф-фузиофорез), при решении проблем, связанных с охраной окружающей среды (осаждение в фильтрах и каналах частиц, взвешенных в выбросах продуктов сгорания, конденсационных аэрозолей металлургических и химических комбинатов), с развитием новых микро - и нанотех-нологий, в частности, с исследованием кинетических явлений в тонких металлических пленках или малых проводящих частицах при наличии внешних электромагнитных полей, в задачах о взаимодействии электромагнитного излучения с аэрозольными системами, состоящими из мелких частиц разнообразной формы, которые используются для экранировки электромагнитного излучения Когда толщина пленок или размеры частиц становятся субмикронными, обычное макроскопическое описание отклика электронной плазмы металла на переменное (периодическое) электрическое поле становится неадекватным Учет кривизны поверхности необходим и при изучении течения газов и газовых смесей в каналах наномикронных размеров Это связано, с одной стороны, с созданием мембран нового поколения, с нанометро-выми каналами определенной геометрии, а с другой - с обнаружением необычного поведения газов в этих каналах, в частности, заметного повышения скорости переноса газа и степени разделения газовых смесей, особенно при пониженных температурах С актуальностью дан-

ной темы связано большое число работ, посвященных исследованиям в этой области путем прямого численного моделирования

В представленной работе проблема математического моделирования кинетических процессов вблизи искривленных поверхностей рассматривается в контексте процессов, протекающих в неоднородных по температуре и массовой скорости разреженных газах До недавнего времени аналитические методы исследования такого рода процессов отсутствовали Основные результаты были получены приближенными, главным образом, моментными методами, были посвящены отдельным вопросам и носили разрозненный, а порой и противоречивый характер Отсутствовали и систематические исследования в области моделирования процессов вблизи искривленных поверхностей в молекулярных газах

Таким образом, актуальность данной работы заключается в систематическом исследовании математических моделей кинетических процессов, протекающих в неоднородных по температуре и массовой скорости разреженных газах вблизи искривленных поверхностей, с использованием различных моделей кинетических уравнений, моделей граничных условий и формы искривленных поверхностей как для простых, так и для молекулярных газов

Целью работы является математическое моделирование кинетических процессов в разреженных газах вблизи искривленных поверхностей Для ее достижения были поставлены и решены следующие задачи

- разработка аналитического метода исследования математических моделей кинетических процессов в разреженных газах вблизи искривленных поверхностей,

- исследование в рамках этого метода математических моделей кинетических процессов с использованием различных моделей кинетических уравнений, моделей граничных условий и формы искривленных поверхностей как для простых, так и для молекулярных газов

Метод исследования В качестве основного метода в работе используется обобщение метода Кейза (метода разложения решений по собственным функциям соответствующего характеристического уравнения) на случай неоднородных интегро - дифференциальных уравнений

Научная новизна работы заключается в следующем

- развит аналитический метод исследования математических моделей кинетических процессов в разреженных газах вблизи искривленных поверхностей, в рамках которого могут быть построены и исследованы математические модели самых разнообразных процессов кинетической теории газа и плазмы, физики металлов, астрофизики, теории переноса нейтронов, электронов,

- в рамках предложенного метода построены математические модели процессов, связанных с обтеканием потоком неоднородного газа сферы и цилиндра, которые позволили сделать вывод о существенной зависимости коэффициентов скольжения второго порядка от геометрии обтекаемой поверхности и ориентации относительно нее градиента температуры и массовой скорости,

- рассмотрена общая постановка граничных условий с учетом бар-неттовской поправки к функции распределения, что позволило при постановке граничных условий учесть ряд эффектов, которые ранее не могли быть учтены и объяснены в рамках феноменологического подхода, используемого в теории термофореза аэрозольных частиц,

- полученные результаты обобщены на случай двухмоментного аккомодационного граничного условия, что позволило установить зависимость коэффициентов скольжения от коэффициентов аккомодации тангенциального импульса и потока тангенциального импульса молекул газа,

- предыдущие результаты обобщены на случай молекулярных газов, что позволило учесть зависимость характеристик процессов от числа Прандтля и температуры

Все результаты данной работы получены впервые

Обоснованность и достоверность полученных результатов подтверждается соответствием с экспериментальными данными или результатами прямого численного моделирования Все численные расчеты проводились с использованием выверенных и протестированных процедур

Практическая ценность работы заключается в том, что полученные результаты могут быть использованы при исследовании движения аэрозольных частиц в неоднородных по температуре газовых средах (термо - и диффузиофорез), при решении проблем, связанных с охраной окружающей среды (осаждение в фильтрах и каналах частиц, взвешенных в выбросах продуктов сгорания), с исследованиями в области медицины, с проблемами физики атмосферы, физики гетерогенных систем, с созданием тонких химических технологий и т п Предложенный метод может быть использован в кинетической теории газа и плазмы, в теории переноса нейтронов, электронов, в теоретической астрофизике

Апробация работы. Основные результаты дисертационной работы докладывались и обсуждались на следующих научно - технических конференциях и семинарах

- на III научно-технической конференции с участием зарубежных специалистов "Вакуумная наука и техника", Гурзуф, 1996 г

- на Российской научной конференции с участием зарубежных специалистов "Математические модели возбуждений, переноса, динамики, управления в конденсированных системах и других средах", Тверь, 1996, 1998 гг

- на 5 -м Международном конгрессе по математическому моделированию, Дубна, 2002 г

- на XX научной конференции стран СНГ по дисперсным системам, Одесса, 2002

- на Всероссийском семинаре "Кинетическая теория и динамика

разреженных газов", приуроченном к 130 - летию опубликования уравнения Больцмана, Новосибирск, 2002 г

- теоретическом семинаре кафедры гидродинамики СПГУ, Санкт-Петербург, 2004 г

- Международной научной конференции "Гармонический анализ на однородных пространствах, представления групп Ли и квантование", Тамбов, 2005

- научных семинарах кафедры математического анализа МГОУ

Публикации По теме диссертации опубликовано 39 научных работ, в том числе 1 монография

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы из 237 наименования Содержит 15 рисунков и 7 таблиц Полный объем работы составляет 304 страницы машинописного текста

Соискатель благодарит А В Латышева, А А Юшканова и М Н Гайдукова за помощь в выводе основных уравнений, обсуждении методов и результатов

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение. Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы ее цель и задачи, показана научная новизна, научная и практическая значимость, сформулированы научные положения, выносимые на защиту

Глава 1. Математические модели и методы в кинетической теории разреженного газа

На основе имеющихся публикаций проанализировано состояние исследуемой проблемы, имеющиеся подходы к ее решению Рассмотрены модели уравнения Больцмана, граничных условий и гидродинамики со скольжением Выделены основные противоречия в имеющихся результатах, намечены пути из разрешения

Проблема моделирования кинетических процессов в разреженных газах вблизи искривленных поверхностей рассматривалась численными методами в рамках асимптотической теории (Soné Y , Aoki К ) и методом пролупространственных моментов в теории термофореза аэрозольных частиц (Маясов Е Г , Поддоскин А Б , Юшканов А А , Яла-мов Ю И ) Анализ упомянутых работ показал, что полученные в них результаты существенно отличаются как по своей структуре, так и по значениям входящих в них коэффициентов Дать ответ на вопрос о причинах такого расхождения, оставаясь в рамках метода полупространственных моментов, не представлялось возможным из-за его невысокой точности В связи с этим возникла необходимость разработки аналитических методов решения такого рода задач

Первые попытки использования аналитических методов построения математических моделей процессов в разреженных газах вблизи искривленных поверхностей относятся к началу 90-х годов прошлого столетия (Акимов Д Н , Гайдуков М Н , Латышев А В , Юшканов А А ) Однако из-за сложности окончательных выражений численный анализ коэффициентов скольжения в работах указанных авторов не проводился, или был физически некорректным (Акимов Д Н , Гайдуков М Н ) Понимания в данном вопросе удалось достичь после решения следующих проблем

Проблема 1. Необходимость дифференцирования по параметру интегралов, вычисленных в смысле главного значения

Непосредственное дифференцирование по параметру под знаком интеграла приводит к расходящимся интегралам Получение корректных результатов возможно путем введения новой переменной Ь = 7?//г В этом случае, проводя дифференцирование по параметру под знаком интеграла и возвращаясь к исходной переменой, получаем интеграл,

который существует в смысле главного значения

оо

аЛ [ха(г]) + г]а(г)) + г)2 а'(г])} с1т]

— [

. ехр . .

3 \ ц) V- V

Проблема 2. Построение решений уравнений, в правой части которых содержится интеграл, вычисленный в смысле главного значения

ц— + У{х,ц)--^= у ехр{-т2)У{х,т)(1т =

оо

У хр \ я) ч-ц

ц^/тг

Непосредственное применение метода Кейза к решению такого рода уравнений как и в предыдущем случае приводит к расходящимся интегралам Чтобы оставаться в рамках метода Кейза необходимо избавиться от интеграла в смысле главного значения в правой части (1) Последнего можно добиться за счет выбора функций п\[г]) и П2(т]), если решение (1) искать в виде

У(х,ц) = ф{х,ц) + х J Р(г),ц) т(т)) + |гг2(г?)

¿Г]

где Р(т], ц) собственные функции характеристического уравнения БГК

2 2 - модели При 111(77) = —^ К7?) + 7?а'(7?)]' пг(»?) = —3 приходим

к уравнению, которое не содержит в правой части интеграла в смысле главного значения и его решение можно искать методом Кейза

Проблема 3. Коэффициенты скольжения, входящие в окончательные выражения при моделировании процессов вблизи искривленных поверхностей, представляюся в виде интегралов, содержащих коэффициенты в разложении по собственным векторам непрерывного спектра соответствующих плоских задач В общем случае эти коэффициенты непрерывного спектра представляют собой сложные интегралы На-

пример, в задаче Крамерса

Г"Л(л/) ехр(—/л2) {ц + Яг)

а(1л) =

|А+ЫР

ехр(—//2) 1 [ Х-{Ь)т{т + (Э1)ехр{-т2)

_1_ Г Х~\

А У А-(

А-(0 г-/г

Л-

Соответственно выражение для поправки на кривизну в задаче об изотермическом обтекании сферы имеет вид

оо

.. ;' & ехр(-42) ^ [ Х~(и) и(и + (51) ехр(—и2) ¿и

Г I ехр(—г) /-Х2 тгЗ/2/ |Л+(^|2 у А"(и)

Полученные в работе интегральные представления позволили вы-

числить аналитически все интегралы в а(/л) и показав, что

-С.л _ г ТА2)\ _ г

ехр(-ц2)Х(-ц) „ п{2)]

|А+(М)|2

Аналогично в задаче о тепловом скольжении газа вдоль сферы

^^«ФЬЗ^Ш^^ „(V [д. + дл]^,

див 1 дТ где и,, = &т — — —, - интегралы Лоиалки

Решения указанных выше проблем позволило в дальнейшем при моделировании процессов вблизи искривленных поверхностей оставаться в рамках метода Кейза

Глава 2. Моделирование процессов в разреженных газах с использованием неоднородного БГК уравнения Больцмана с постоянной частотой столкновений

Во второй главе проводится построение математических моделей кинетических процессов вблизи поверхности сферы и цилиндра с использованием БГК уравнения

Кинетическое уравнение Больцмана представляет собой сложное нелинейное интегро - дифференциальное уравнение, общее решение которого получить в настоящее время не представляется возможным В силу этого часто при решении задач кинетики разреженного газа больцмановский оператор столкновений заменяют более простым с математической точки зрения выражением Он наследует основные свойства больцмановского оператора столкновений приводит к сохранению числа частиц, энергии и импульса Полученное таким образом уравнение называется модельным уравнением

Наиболее простой является БГК - модель Для стационарных процессов в отсутствие массовых сил она записывается в виде

уУ/ = Ц,(Л9-/), (2)

где щ - параметр модели, feq - локально-равновесный максвеллиан

Построим в приближении Чепмена — Энскога математическую модель обтекания сферы изотермическим потоком разреженного газа Формулировка задачи следующая Пусть дана сфера радиуса Ь, обтекаемая потоком разреженного газа Свяжем с центром кривизны обтекаемой поверхности сферическую систему координат, выделенное направление которой совпадает с направлением скорости потока газа вдали от поверхности В силу аксиальной симметрии задачи и у = 0, в силу непроницаемости обтекаемой поверхности частицами газа иг = 0 Отличной от нуля на поверхности остается величина Ид Вследствие взаимодействия молекул газа с поверхностью в рас-

„ эив

сматриваемои задаче отличнои от нуля будет и величина = ——

от

Задача состоит в отыскании связи между и

Для решения задач обтекания газом искривленных поверхностей предлагается следующая процедура

1 Кинетическое уравнение Больцмана записывается в ортогональной криволинейной системе координат (Коган М Н Динамика разреженного газа Кинетическая теория М Наука, 1967 - 440 с), в которой обтекаемая поверхность является одной из координатных

поверхностей В случае сферы это будет поверхность г' = L В выбранной системе координат рассматриваемое модельное уравнение записывается в виде

„Д + + vу + ve + vldf |

г дг' г' дв г' sin в dip г' dvr

V*Ctge - vrve df VpVgCtge + vTv,f df _ p , f

+ r> dve r> dvv~r¡(}e9 [)

Здесь r' - размерный радиус - вектор, v - скорость молекул газа, т] и р - динамическая вязкость и давление газа

2 Полагая, что выполняются неравенства

|Т/Т0-1|«1, 1 |V 1пТ| << 1, л/т/2квТ0и « 1, линеаризем /(г', v) относительно абсолютного максвеллиана

/(г', v) = /°(С)[1 + 2 CeVe - 2CrCe Gv + Г (г, С)] (4)

Здесь г = (2/y/7r)_1(r'/Z), I - средняя длина свободного пробега молекул газа, связанная с кинематической вязкостью газа и соотношением v = I (2квТ0/тгтп)1/2, С = fiWv, U = /З1/2и, /3 = т/2квТ0, кв - постоянная Больцмана, m - масса частиц газа, То - температура сферы

3 Подставляя (4) в (3) и переходя к безразмерным координатам, после линеаризации feq относительно /(С) приходим к уравнению

QY яу

+ (C¡ctg9 - СгСв)~ - {C9Cectge + ВД)^] =

= тг-3/2

III ехр(—С'2) К(С, С') У(г, С') dC' - У(г, С) (5)

Здесь к = 2ж l¡2 Kn, Kn = 1/L - число Кнудсена

5<с2-|)(с'! 2

К(С, С') = 1 + 2СС' - \ (С- - f) (С'! - 5)

4 Решение (5) ищем в виде разложения по параметру к

У {г, в, С) = УР) (г, 9, С) + А:У® (г, в, С) + (6)

5 Подставляя (6) в (5) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях к, приходим к системе одномерных интегро - дифференциальных уравнений

яу(1)

Сг^г + У^(г,в,С) =

= ТГ"3'2

Щ ехр(-С'2) К (С, С')УЫ(г, в, С') ¿С', (7)

- 7Г"3/2

II! ехр(—С'2) ДГ(С, С')У(2)(г, 0, С') ¿С'—

ч ЭУ И Яу(!)

+ (с^с^ + сгс„) — - (8)

из которой находим два первых члена разложения (6)

Уравнение (7) описывает процессы, происходящие на границе плоской поверхности, а (8) позволяет учесть влияние кривизны обтекаемой поверхности

6 В задачах скольжения функция распределения пропорциональна касательной к обтекаемой поверхности компоненте скорости молекул газа В силу этого решения (7) и (8) ищем в виде

уЫ(г,в,С) = СвУ1(г,в,Сг), (9)

У<2>(г, в, С) = СвУ2(г, в, Сг) + ^ Ь,(Св, Суу/2)(г, в, Сг), (10)

где С$ в совокупности с Ь}(С$, С,р) образует полную систему ортогональных (в смысле скалярного произведения) многочленов Здесь и

далее под ортогональностью Се и Ь3(Се, в пространстве скоростей понимается равенство нулю интеграла

оо со

I I ехр(—С| - С2) Се Ъ3 (Св, С„) йСейС^ (11)

— 00 —00

7 Подставляя (9) и (10) в (7) и (8), домножая полученные соотношения на Се ехр(—С| — С2) и интегрируя по Се и Су от —оо до +оо, приходим к уравнениям

+^=^ /Г1(г'г) ехр(-г2) (12) — 00

+ ¿0 = ^ I У2(г, Г) ехр(-т2) йт + ^(г, л) - 2^ (13)

— 00

8 Граничные условия для У^(г, в, С) и У^ (г, С) с учетом модели диффузного отражения запишутся в виде

У«(г, в, С)|5 = -2С^(1)|5 + 2СгСвв„, Сг > О,

У^(г,в,С)\5 = -2СвиР\3, Сг> О, 1нп У^'(г, в, С) = О, А; = 1,2

г-»00

Подставляя в граничные условия разложения (9) и (10) и учитывая ортогональность входящих в них функций, находим

У1{г,(1)\5 = -2иЪ\ + 2рС„, 0, Ьт Ух {г, ц) = 0, (14)

г—>00

У2(Г,д)|5 = -2^2) Ц>0, 1Ш1У2(Г,АО = 0 (15)

Г—>0о

9 Решая с учетом высказанных выше замечаний методом Кейза граничную задачу (12) - (13), находим

Л = -01 а, [/й(2)|5 = -а

В результате скорость скольжения газа вдоль сферы записывается в виде

£/в|я = -(<?1+ *)<?„ (16)

Как показало дальнейшее исследование, предложенный метод позволил получить точные, в замкнутой форме, аналитические решения целого ряда задач, связанных с моделированием процессов, протекающих в неоднородных газах, как вблизи сферы, так и цилиндра, с использованием модельных уравнений, как с постоянной, так и с переменной частотой столкновений, как для простых, так и для молекулярных газов

Построим далее математическую модель теплового скольжения газа вдоль сферы Предположим, что вдали от сферы задан постоянный градиент температуры На поверхности сферы отличной от нуля будет величина = (1/То)(дТ/дд)\3 Задача заключается в отыскании связи между скоростью скольжения 11$\з и величиной

В рассматриваемой задаче линеаризация /(г', V) относительно абсолютного максвеллиана (4) имеет вид

где Ъ3{Св, С^) как и ранее образуют с Сд полную систему ортогональных (в смысле скалярного произведения) многочленов

Отсюда с учетом описанной выше процедуры приходим к граничной задаче

/(г', v) = /°(С)[ 1 + 2 Сви„ - Св(С2 - От + г (г, С)],

+ уа(1)(г, М) = ^ I т) ехр(—т2)йг, (17)

— ОО

оу(1)

+ = ^ У ГЯ(г,г)ехр(-г2Мг+

— 00

+ ^(г, „) - + 4„У«(г, Л) - (19)

= -2иР\3 + (^ - \) От, ц > О, (20) УьС1)(г^)|5 = СГ1 Уа(2)(г^)|5 = -2^2,|5, д>0, (21)

1ш1 У]1'(г, /х) = 1пп У/1'(г, = кш У®(г, д) = 0, (22)

г—>-00 г—>00 г—>оо

из решения которой находим

[/«|5 = -0 5 + 0 5) От, иР 13 = (Яз + От,

Щз = (0 38316 - 0 53388 к) * = (З/у/п) Кп

Следующая задача, которая может быть рассмотрена в приближении Чепмена - Энскога, это задача о тепловом скольжении второго порядка Суть задачи следующая Рассмотрим разреженный газ, заполняющий пространство вокруг сферы радиуса Ь Предположим, что в газе создается нормальный к поверхности частицы градиент температуры Предположим, что этот градиент медленно меняется вдоль ее поверхности Таким образом, в задаче отличны от нуля величины дТ/дг и д2Т/дгдв Первая приводит к скачку температуры, а вторая - к тепловому скольжению второго порядка

Вычисление скорости теплового скольжения второго порядка сведено к решению граничной задачи

—00

= - [ ехр(-х/г)) 17¿г, - ехр(-ж//х) Ь(^) Э+{ц) 3 V №

<р{0, ¿¿) = 0, ц > 0, <р{ос, ц) = 2г/0,

ГеМ-т>)ф,т)с1г =

где а(т/,/х) и Ь(ц) выражаются через коэффициенты Л; (77) и Лг(гу) в разложении по собственным векторам непрерывного спектра задачи о температурном скачке

Построенная граничная задача решена методом Кейза В итоге для искомой величины Щ получено выражение

7 2 ]у[АА1{у) + 51А2(у)}<1у 7 У Ч А, + у -^-

1 Г Г)2 [А1{у) + 21А2{т})]<1т] [ С(т)(1т 7Г У Х(-7?) У

(т + 77)2.

о о

Вт (23)

Проведенный численный анализ дал следующий результат

[/о = 0 5380 £Г (24)

Интегралы в (23) вычислены путем последовательного сведения к определенным интегралам методом трапеций В качестве бесконечности принималось значение ц = 5 Последнее оправдано тем, что подынтегральные функции пропорциональны ехр(—/г2), следовательно, достаточно быстро стремятся к нулю

Сложность численных расчетов состояла в следующем

1 Входящие в ^(/х) и А2(ц) параметры найдены при устранении особенностей решения задачи о температурном скачке, а именно полюса первого порядка в бесконечности, полюса второго порядка в нуле, полюса первого порядка в точке до В силу этого при наличии ошибок в параметрах, входящих в А^р) и А2(ц), их графики имеют полюса в указанных точках

2 Входящие в Ах(т]) и А2(г]) функции

ОО 00

Ь{т) <1т г (г) т-г

и О

на действительной положительной полуоси вычислены в смысле главного значения Для устранения особенностей регуляризация проце-

дуры численного счета такого рода интегралов, в частности для функции А(г}), выглядит следующим образом

оо >7о—<5 оо

v 2тг У г - ?7о 2тг йо ] т-))о У

г (г) ¿г

О 0 т/о+еУ

Построенные графики функций подтверждают точность проведенных расчетов Последнее подтверждает и сравнение значений интегралов, вычисленных различными, независимыми друг от друга способами В частности, двумя способами (непосредственно и методом контурного интегрирования) просчитаны интегралы

00 /

АМ А2М

¿Г],

00 /■

¿1(4)

Аг{я)

¿Г]

Различие в обоих случаях имело место в третьем знаке после запятой Точность расчетов подтверждает и совпадение с аналогичным результатом Щ = 0 5323 Вт, выраженном через интегралы Лойалки

Использованная выше модель диффузного отражения молекул газа поверхностью является идеализированной Более общим является зеркально - диффузное граничное условие Максвелла

/+(г', (1 - ат)Г(т',у- 2П(пу))|3+атМь)

Несмотря на всю свою простоту, зеркально-диффузное граничное условие Максвелла не позволяет получать аналитические решения граничных задач кинетической теории разреженного газа с использованием модельных уравнений

В силу этого, учитывая, что для линеаризованных задач скольжения функцию распределения можно искать в виде

/(г', С) = 1°(С) [1 + <р(т, С)],

Черчиньяни предложил записывать граничное условие на стенке в виде

ф,0)^=2(1^, Сх> О

Здесь в случае плоской поверхности, ограничивающей газ, ось х декартовой системы координат направлена вглубь газа, ось у направлена вдоль поверхности, а с]л определяются из условия

(1-91) I Дг',С)| СхСус1С = - I /(г',С)| СхСуйС (25)

ОсСО Сх>0

Однако использование данной модели приводит к физически не-корректрому результату коэффициент теплового скольжения при использовании данного граничного условия не зависит от коэффициента аккомодации тангенциального импульса ^

Обобщая граничное условие Черчиньяни, Латышев А В и Юшканов А А предложили записывать граничное условие на стенке в виде

у>(г, С)|,= 2¿гСу + 2й2СхСу, Сх > О

Здесь и <¿2 определяются из условия (25) и

(1-92) I Дг',С)|С2С^С= I /(г',С)\зС2хСу<1С

Сх< О Сх>0

Проведенные в рамках БГК - модели расчеты зависимостей значений коэффициентов теплового и изотермического скольжений разреженного газа вдоль плоской поверхности от коэффициента аккомодации тангенциального импульса ат показывают, что отличие значений коэффициентов теплового и изотермического скольжений, полученных с использованием двухмоментной модели граничных условий при <71 = §2 — О'г от аналогичных результатов Сиверта и Шарипова для зеркально - диффузной модели, не превышает соответственно 0 72% и 0 005% для всего диапазона чисел ат

Полученные результаты обобщены на случай использования двух-моментного граничного условия В задаче об изотермическом обтекании сферы приходим к решению системы уравнений (12), (13) с граничными условиями

уМ(0,ц) = 2с$) + 2ц4\ = + р > 0, (26)

У«(оо,^) = 2и1\-2»Сь, У®( оо, а») = 2 (27)

В задаче о тепловом скольжении приходим к системе уравнений (17) - (19) с граничными условиями (26), (27)

ут(оо,ц) = 2иЪ%-ст(»2 -1/2),

а граничные условия для У^(а:,/х) останутся без изменения

В задаче о тепловом скольжении второго порядка граничные условия запишутся в виде

<р(0, ц) = 2<42) + 2/^42)> М > ¥>(°°> аО = 2С7е2)и

С учетом дх и дг скорость скольжения газа вдоль сферы записывается в виде

I, = С® (а„ - с£>а, Кп)г ^ + (аг - /З'/Зг Кп>

1 эг

Т0 Ьдв 1 д2Т

Здесь Ст, Ст\ Ря коэффициенты скольжения для диффуз-

ного отражения, а ау, Д,,, ат, Рт, сея определяют зависимость коэффициентов скольжения от <71 и 52

,9_ (^Г1 ~ ^/2) - (1 - тг/4)

а" ^ ^ 1 - ТГ/4 +(1-д2)(1 + 77/4 + ^1)'

аЯ = Ри =

1 +

Ч/^(1-92)(А + 2(31)

-1

аг =

2 (2-^(1-тг/4) (2 - <й)(1 - тг/4) + (1 - д2)(+ тг/4) К-1

1 - тг/4+(1-®)(1 +тг/4+ ^<30

/Зт =

1+ (1 - ®)С\/5Р+ 2С?0

2 (2-д2)(1 -тг/4) Расчеты показывают, что скорость теплового и изотермического скольжений и скорость теплового скольжения второго порядка существенно зависят от <72 В то же время скорость теплового скольжения и скорость теплового скольжения второго порядка не зави-

сят от 51 Имеющийся анализ экспериментальных данных по измерению коэффициента аккомодации тангенциального импульса показывает, что для поверхностей, не подвергавшихся специальной обработке (или "технических" поверхностей), значения лежат в интервале 0 95 -ь 1 00 Прямые экспериментальные данные по измерению (¡2 отсутствуют Однако, как показывает анализ экспериментальных данных по измерению скорости термофореза крупных аэрозольных частиц, значения Ктв лежат в интервале 0 3 — 0 4 Последняя интервальная оценка выполняется, если дг лежат в промежутке 0 9 4-1

Результаты по обтеканию сферы обобщены на случай цилиндрической поверхности Здесь возможны две принципиально различные ситуации продольное обтекание (градиент тепературы и массовая скорость вдали от поверхности направлены вдоль оси цилиндра) и поперечное (градиент тепературы и массовая скорость вдали от поверхности направлены перпендикулярно оси цилиндра)

В случае поперечного обтекания цилиндра приходим к граничной задаче

+ = ^ у У12)(Р^,т) ехр(—т2)с1т+

—оо

о луМ

+ м) - - + 3М) - - (28)

2 дц

УР(Р) <р, м)|5 = -Ж® |5, ^ > 0, ц) = 0,

Для продольного обтекания

— ОО

В случае сферы аналогичная граничная задача записывается в виде

дг

+ I т) ехр(—т2)йт =

г)Ут «ч гЭГ(1)

= цУ^{г, - 2^- + 4^У«(г, - (30)

К(2)(лм)|5 = -2С/в(2)|5, ^ > 0, ЬтГа(2>(г,д) = 0 (31)

В представленной работе показано, что слагаемое /г) не

вносит вклада в скорость скольжения, т к отвечающее ему частное решение на поверхности обращается в нуль Тогда, учитывая, что

ЗУ0С1) дУ{1) (п коэффициенты при ^ , ^ , (р, ц) в (28) отличаются в

3/4 раза от коэффициентов соответствующих слагаемых (30), можно утверждать, что в 3/4 раза будут отличаться и значения коэффициентов, входящих в скорость скольжения, те в случае поперечного обтекания цилиндра

-0 40040871^|5-0 75000^|5 (32)

В случае продольного обтекания отличие составляет множитель 1/4 Отсюда можно сделать вывод о том, что при продольном обтекании цилиндра в 1/4 раза меньше будут и соответствующие коэффициенты скольжения

^1^-0 1334696^-0 25000^

Отмеченное выше соотношение не зависит от выбора метода решения рассматриваемого модельного уравнения, а полностью определяется структурой его левой части Полученные результаты показывают, что нельзя при расчете скорости термофореза цилиндрических аэрозольных частиц использовать коэффициенты скольжения, полученные для случая сферических частиц, что ранее имело место

Полученные в приближении Чепмена - Энскога результаты обобщены далее на случай барнеттовского приближения Согласно асимптотической теории при малых значениях чисел Кнудсена разложим массовую скорость и давление газа на две составляющие гидродинамическую и кинетическую Гидродинамические составляющие разложений удовлетворяют системе уравнений Стокса и имеют масштаб порядка характерного размера обтекаемого тела (в данном случае это радиус сферы) Кинетические составляющие играют заметную роль лишь в слое Кнудсена и имеют характерный масштаб порядка средней длины свободного пробега молекул газа

Для нахождения гидродинамических составляющих массовой скорости и давления построим функцию распределения в объеме газа, представив ее в виде

/я(г',у) = /°(С)[1 + Ф(г,С)] (33)

Подставляя (33) в (3) и переходя к безразмерным величинам, приходим к уравнению

--^ ~~ + --^ (рв +

дг г 1 дв sin в dip v дСт

Л .т. Л .Т.

+ (C2ctg<? - ад) — - (CvCectge + CrCv)— ] =

1 III ехр(_С'2) К(С'С,) Ф(г'С,) dC' ~ Ф(г'(34)

Здесь г = r'/L - безразмерный радиус - вектор Учитывая, что отношение правой части (34) к левой имеет порядок Кп-1 для построения его решения можно использовать метод последовательных приближений В изотермическом приближении представим Ф(г, С) в виде

Ф(г, С) = ф{т, С) + кфсь{г, с) + кЦ.в(г, С) + (35)

Подставляя (35) в (34) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях к, приходим к системе рекуррентных соотношений для определения С) и фв{г> С)

^(г, С) = 2CU(°\

Фсн(г, С) = рМ + 2Си(1) - СУ ^(г, С)- ; [№ + Ц + ~ СгСе) Ц - КСес^в + СГС,) ,

фв{т, С) = р(2> + 2Си® - СУ С)--^ [(С?+С5)(^-ад)^- (ЗДс^С^)

Полученные соотношения определяют в барнеттовском приближении решение (34) Построенная функция распределения удовлетворяет (34), однако она не удовлетворяет граничному условию на поверхности сферы Для того, чтобы она удовлетворяла этому условию, представим ее в виде

/(г', v) = /°(С) [1 + Ф(г, С) + У (г, С)] (36)

Для построения У(г, С) переопределим безразмерную координату так, чтобы размерный радиус - вектор был равен (2/у/п)1т (новую безразмерную координату снова обозначим через г) При таком способе обезразмеривания Яг1 — 2ж~1^2 Кп = к, а для нахождения У(г, С) получим уравнение

Сд¥ + к\С„дУ+ ду + (С2 + с2)дУ + Сг + Чсе -дё + + \Уе + с<р)дс +

яу яу

+ (с2аёе - сгсв)щ - (с^сва5в + ОД)^-] =

= 7Г"3/2

Л1 ехр(—С'2) К{С, С') У(г, С') <ГС' - У(г, С) (37)

Полагая отражение молекул газа от сферы диффузным, раскладывая У (г, С) в ряд по параметру к

У (г, С)|5 = кУ^т, С)|5 + к2У2( г, С)|5 + ,

находим

У!(г, С)|5 = -фсн(г, С)|5, У2(г, С)|5 = -Ы*, С)|5

В задачах скольжения Уг(г, в, С) = CoZl(r, /г) Тогда

Я2(г, л)|5 = -2иР + 2ц - 2 [д2 - 1]

о(0), 55™! Ьтв Н--

ц > О

дг

Построенное граничное условие ^(г, /х) отличается от использованного ранее наличием слагаемых, учитывающими вклад в скорость скольжения барнеттовской поправки к функции распределения Таким образом,

яс(0)

Л = + (<22 + о 5) ^ - (д2 +15)^ -

= 1 01619 - 0 76632 - 0 2337

Значения коэффициентов с точностью совпадают с аналогичными коэффициентами, полученными Соне

В случае обтекания сферы неизотермическим потоком в структуре функции распределения, построенной выше, появятся дополнительные слагаемые Соответствующая добавка к скорости скольжения имеет вид

т 1 д 1 5г(°)

д2т^ дт®

= 2816 ~1ьдв + 0 2 ~дГ

Соответствующий результат у Соне

(о) дт^

^' = -0 27922^ + 0 77873 —

Коэффициенты перед первой производной от возмущения температуры полностью совпадают, а отличие в коэффициентах перед смешанной производной объясняется погрешностью вычислений и не превышает 0 7%

Таким образом, причина расхождения результатов, полученных в рамках теории термофореза, от аналогичных результатов асимптотической теории состоит в том, что при первом подходе не учитывается полностью барнеттовская поправка функции распределения

Полученные результаты использованы для решения задачи о вращении сферы в изотермическом разреженном газе В случае медленных течений, когда число Рейнольдса Re <?; 1, можно пренебречь инерционными эффектами по сравнению с вязкостными При этом задача сводится к решению системы уравнений, состоящей из уравнения непрерывности и уравнения Навье - Стокса с полученными ранее граничными условиями скольжения В итоге построены профиль массовой скорости газа, увлекаемого вращающейся сферой

QoL L2 .

ию —-к —я Sin V,

v 1 + 3 43398 Kn - 6 19584 Kn2 г'2 и момент сил сопротивления действующих на сферу

Т _ З^/тт Í 3 43398 _ 6 19584\ Tfm~ L { + L V )

Сравнения полученных результатов с аналогичными приведены в таблицах 1 и 2

Таблица 1 Зависимость uv(r)

г «¥>(1) Щ> (2) (3) % (4) и<р (5)

9 1 0 3924 0 3788 0 4184 0 4122 0 3389

10 1 0 3158 0 3075 0 3505 0 3346 0 2751

11 1 0 2599 0 2546 0 2951 0 2770 0 2278

12 2 0 2138 0 2108 0 2465 0 2293 0 1886

13 0 1872 0 1856 0 2179 0 2020 0 1661

14 2 0 1555 0 1556 0 1833 0 1693 0 1382

Таблица 2 Зависимость Т/Г/т от радиуса сферы Ь

Ь Т/Т/т (1) Т/Т/т( 2) Т/Т}т (3) Т/Г/т( 4) Г/Г/т (5)

5 0 6080 0 5725 0 6182 0 6606 0 5203

7 0 5044 0 4863 0 5227 0 5291 0 4351

10 0 3996 0 3890 0 4244 0 4075 0 3494

1 - Лойалка (численно для линеаризованного уравнения Больцмана), 2 - представленная работа, 3 - Поддоскин, Юшканов (методом Лиза), 4 - гидродинамика со скольжением, 5 - Смирнов, Чекалов (методом Лиза)

Далее в работе с использованием модели диффузного отражения решены задачи о скольжении газа с учетом внутренней структуры его молекул В качестве основного уравнения использовано обобщение БГК - модели на случай учета вращательных степенй свободы газа

БГК - модель для простого (одноатомного газа) имеет вид

уУ/ = ^(/ев-/),

/ \ 3/2

I т \

т(у — и

|21

2 квТес

Молекула двухатомного газа представляет собой ротатор, вращающийся в плоскости, перпендикулярной вектору вращательного момента молекулы М В реальных физических задачах функцию распределения можно считать независящей от ориентации оси симметрии молекулы в этой плоскости, поэтому вращательное движение молекулы двухатомного газа полностью описывается заданием модуля вектора вращательного момента М = JьJ Учитывая сказанное, локально-равновесная функция распределения /г? может быть записана в виде

/ тп \3/2 J т(у-и)2 1

^-Пе"\21тквТед) квТечеХ"

2квТед 2&вТе(гЛ

В случае многоатомного газа (число атомов в молекуле N > 3) функция распределения зависит не только от вектора вращательного

момента молекулы М, но и от углов, определяющих ориентацию осей молекулы относительно М Поэтому в этом случае

( гп У/2 (лад1/2

/е? = Пед ( лр ) /о-7—т \Я/2 вХР

\21гквТщ) (2тгА;вТе?)з/2

2 квТе„ 2квТ(

гпу2

где ^ (г = 1 — 3) суть компоненты вектора момента инерции молекул газа

В работе показано, что учет вращательных степеней свободы молекул газа приводит к зависимости коэффициентов скольжения от числа Прандтля и температуры

Таблица 3 Зависимость коэффициентов скочьжения от числа Прандтля (Рг)

Газ Рг Г-(О) гт ^тп К(о) /3'

С12 0 64 1 1945 1 1567 1 1436 2 3467

СО 0 74 1 0331 1 0004 1 0354 2 1247

СН4 0 75 1 0193 0 9871 1 0216 2 0964

0 85 0 8994 0 8709 0 9014 1 8498

ищ 0 93 0 8220 0 7960 0 8239 1 6906

н2о 1 01 0 7569 0 7330 0 7586 1 5567

Глава 3. Моделирование процессов в разреженных газах с использованием неоднородного ЭС уравнения Больцмана с постоянной частотой столкновений

В третьей главе проводится построение математических моделей кинетических процессов вблизи поверхности сферы и цилиндра с использованием ЭС уравнения

Недостатком БГК - модели является то, что при переходе к гидродинамическому пределу она дает значение числа Прандтля Рг =

1, т е значение, отличающееся от получаемых и из самого уравнения Больцмана, и из экспериментальных измерений для одноатомных газов Чтобы при построении модельного уравнения получать правильное значение числа Прандтля, кроме уже использованной частоты столкновений Vq требуется еще один свободный параметр Это приводит к обобщению БГК - модели путем замены локального - максвел-ловского распределения локального - анизотропным

Фе?=n(^Tr)3/2(detл)1/2ехр[~ è - ~ (38)

г,j=l

А = Ш1 = НРг"1^ - Pr-^l - Pr^Pj-1 (39)

Если положить в (38) Pr = 1, снова придем к БГК - модели Построенное при таком подходе модельное уравнение

vV/ = ^$4-/), (40)

называется эллипсоидально - статистическим или ЭС - моделью

Изложение материала в третьей главе ведется аналогично предыдущей В первых параграфах построены математические модели обтекания сферы изотермическим и неизотермическим потоками разреженного газа В случае диффузного отражения молекул газа сферой решение задачи в первом случае сводится к граничной задаче

+ Yi(r, l^) = ~J( 1 - /Я-) У!(г, г) ехр(—т2) dr, (41)

— 00

^ + у2(г, Д) = -L у (1 - /хт) У2(г, г) ехр(—г2) dr + ^(r, р) - 2^,

— 00

Yi{r,(J.)\s = -2Ukl)\s + ^Gv, м>0, ]uaY1(r,ti) = 0,

à 1—Юо

Y2{r,n)\s = -2UP\s, ц>0, lim У2(г, д) = 0 (42)

В случае неизотермического обтекания сферы граничная задача состоит из уравнений (18), (41) и

¿^Г+ г*(2)(г' ^ = /(1 ~ ^ Уа(2)(г'т) exP(-r2)dr+

—оо

+ ^»(r, м) - + (г, М) - (43)

с граничными условиями (20) - (22), (42)

Аналогично рассмотренному ранее случаю строится математическая модель теплового скольжения второго порядка С учетом рассмотренных эффектов скорость скольжения записывается в виде

Ue\s = -|(Qi + k)Gv - [0 5 (Q2 + 0 5) - (Q3 + QiQ2)fc]Gr + О 39041ВГ

Обобщение полученных результатов на случай двухмоментного граничного условия и поверхности цилиндра строится как и в случае БГК

- модели С использованием метода двух масштабов показано, что с учетом барнеттовских поправок к функции распределения выражение для скорости скольжения вдоль сферы совпадает с результатами, полученными Cora

С использованием полученных результатов в изотермическом приближении решена задача о медленном движении сферы в разреженном газе Решение сводится к системе уравнений непрерывности и Навье

— Стокса с полученными граничными условиями скольжения В качестве приложения вычислена сила сопротивления, действующая на движущуюся сферу со стороны газа

F = 6ttt]LU[1 - 1 14665 Кп + 0 9549 Кп2] (44)

Проведенное сравнение показывает, что различие результатов, рассчитанных в соответствии с (44) с экспериментальными данными, полученными Милликеном, не превышает 2 3%, с результатами Соне — Аоки и Береснева С А , Черняка В Г , Фомягина Г А соответственно не более 2 1% и 0 8%

Глава 4. Моделирование процессов в разреженных газах с использованием неоднородного БГК уравнения Больцмана с переменной частотой столкновений

В четвертой главе проводится построение математических моделей кинетических процессов вблизи поверхности сферы и цилиндра с использованием БГК уравнения Больцмана с переменной частотой столкновений (модели уравнения Вильямса)

Нелинейное уравнение Вильямса имеет вид

W/ = y(/.-/) (45)

Здесь w = |v—u(r')| - модуль скорости молекулы в системе, относительно которой газ в точке, задаваемой радиус - вектором г' покоится, а фукция /* имеет вид

3/2 г

PYT1 —

2 kBTt

Величины nt, u», Т, определяются из условия, что интеграл столкновений в (45) удовлетворяет условиям сохранения числа частиц, импульса и энергии

С использованием модели Вильямса построены математические модели обтекания сферы изотермическим и неизотермическим потоками разреженного газа и модель теплового скольжения второго порядка В случае диффузного отражения молекул газа сферой вычисление поправки к скорости изотермического скольжения, обусловленной кривизной поверхности, сводится к граничной задаче

+ СУ^(х, С) = ^-С J р{С) НС, C')F(2)(z, C)dC'—

'•=п*Ык) ехр

та .

■ (v - и*)

-(C9Cectge + CrCv) — (46)

y{2)(r, С)|5 - -2CeU¡2)\s, Сг > 0, у(2)(оо, С) = О

Здесь С) получено в задаче об изотермическом скольжении

вдоль плоской поверхности, р(С) — 7г~3//2Сехр(—С2), х — г — R,

к( С, С') == 1 + | с С' + i (С2 - 2 )(С'2 - 2)

Перейдем к сферической системе координат в пространстве скоростей

Сг = С cos г), Св = С sm 77 cos Се— С sm tj sm £ (47)

Подставляя (9), (10) и (47) в (46), домножая полученное уравнение на cos 77 и интегрируя по ту от 0 до 2тт, приходим к граничной задаче (/i = cos Г])

= {l-^Yiixrfdr-il-ftji+iiYfari, (48) -1

Y2(0,H) = -2U®\s, 0<Ц<1, У2( 00,^) = 0, (49)

из которой находим £/®|s = — ^ G„

В случае неизотермического обтекания сферы аналогичная поправка находится из граничной задачи

ft ^ + У2(г, Л) = f / (1 - г2) У2(г, г) dr, -1

y2(r,M)|5 = -2[/f|s, 0<м<1, У2(оо,м)-0,

из решения которой находим = О В модели теплового скольжения второго порядка Щ — 0 09611 Вт

Обобщение полученных результатов на случай двухмоментного граничного условия при использовании модели уравнения Вильямса носит более сложный характер, чем при использовании БГК и ЭС - моделей В задаче об изотермическом обтекании сферы отыскание зависимости скорости скольжения от коэффициентов аккомодации двух первых

моментов функции распределения сводится к граничнои задаче

ц— + г2(х, ,1,0 = 1/(1-Т2)йт / ехр(-С12)С'5г2{х, т, С')с1С'-

дг2

дх

+ (50)

г2(0, ц, С) = 242) + 242)|"С, 0 < л < 1, (51)

^2(а;,/х,С) = 2^2)|5 + о(1), ® +оо, -1 < ц < 0 (52) Разложим Е2{х,ц,С) по двум ортогональным многочленам

г2{х, ц, С) = <Р1(х, ц) + (С — а)(р2(х, ц)

Под ортогональностью здесь понимается равенство нулю интеграла

оо

/ ехр (-С2)С5/(С)д(С)<1С

Теперь краевая задача (50)-(52) эквивалентна двум граничным задачам

ц— + ц) = ^ /(1 - т2)<рг(х, т)йт-

дщ дх

- (1 - +рФАх^), (53)

<£>1(0, ц) = 2с42) + 2с1^ац, 0 < ц < 1, (54)

щ(х,ц) = 2[/й(2)|5 + о(1), х —>■ +оо, —1 с /л < 0 (55)

+ V> <") = Ц) ~ (1 - (56) с/ж с//г

<^2(0, = 2<42)Д, 0 < /Л < 1, (57)

¥>2(ж>а0 = °(1)) ж->+оо, -1 < < 0 (58)

Разрешив последние, получаем

Ue\s= GAK^-K^ Kn],

где К^ - совпадает с коэффициентом изотермического скольжения разреженного газа вдоль твердой плоской поверхности, а К13 - поправка к коэффициенту изотермического скольжения, обусловленная кривизной поверхности,

(1) _ 1 0912 + (gf1 - 1)[1 3328 + 0 5909(1 - д2)} + 0 6864(1 - д2) 18 ~ 1 — 0 03814(1 — q2)

К= [1 2818 - 5 2935(дГХ - 1) + (6 1117 + 3 7055(9f1 - 1))(1 - д2)+ + (1 7181 + 1 бввО^Г1 - 1))(1 - q2f][1 - 0 03814(1 - q2)]~2

В случае неизотермического обтекания сферы отыскание зависимости скорости скольжения от коэффициентов аккомодации носит еще более сложный характер и сводится к решению трех граничных задач, аналогичных (53) - (58) Существенной особенностью является то, что учет коэффициентов аккомодации приводит к появлению ненулевой поправки на кривизну в задаче об обтекании сферы неизотермическим потоком газа

Далее аналогично рассмотренным ранее во второй и третьей главах процедурам строится обобщение полученных результатов на случай цилиндрической поверхности и молекулярных газов Показано, что аналогично случаю БГК и ЭС - моделей учет внутренних степеней свободы молекул газа приводит к зависимости коэффициентов скольжения от числа Прандтля и температуры

Основные результаты работы

1 Развито новое научное направление - математическое моделирование кинетических процессов вблизи искривленных поверхностей, в рамках которого могут быть построены и исследованы математические модели самых разнообразных процессов кинетической теории

газа и плазмы, физики металлов, астрофизики, теории переноса нейтронов, электронов

2 В рамках созданного научного направления построены математические модели процессов обтекания потоком неоднородного по температуре и массовой скорости разреженного газа сферы и цилиндра, которые позволили сделать вывод о существенной зависимости коэффициентов скольжения второго порядка от геометрии обтекаемой поверхности и ориентации относительно нее градиента температуры и массовой скорости В частности, показано, что поправки на кривизну к коэффициентам теплового и изотермического скольжений при поперечном обтекании цилиндра отличаются в 3/4 раза от соответствующих коэффициентов, полученных для сферы, а в случае продольного в 1 /4 раза Данные соотношения не зависят от выбора метода решения использованных уравнений, а полностью определяются их внутренней структурой Из полученных результатов вытекает то, что коэффициенты скольжения второго порядка, полученные для обтекания сферы нельзя использовать при расчете скорости термофореза цилиндрических частиц, что ранее имело место

3 Построена математическая модель теплового скольжения второго порядка Найденное значение коэффициента скольжения второго порядка позволило теоретически подтвердить существование отрицательного (в направлении грандиента температуры) термофореза высокотеплопроводных аэрозольных частиц при малых значениях числа Кнудсена

4 Полученные результаты обобщены на случай двухмоментного граничного условия, что позволило установить зависимость коэффициентов скольжения от коэффициентов аккомодации тангенциального импульса и потока тангенциального импульса молекул газа Показано, что данная модель с высокой степенью точности аппроксимирует зеркально - диффузное граничное условие Максвелла Показано, что учет коэффициентов аккомодации приводит к ненулевой поправке на кривизну в модели обтекания неизотермическим потоком поверх-

ности сферы и цилиндра с использованием уравнения Вильямса

5 С использованием БГК и ЭС - моделей с постоянной частотой столкновений рассмотрена общая процедура постановки граничных условий на обтекаемых разреженным газом искривленных поверхностях С использованием предложенной процедуры вычислена в бар-неттовском приближении функция распределения в объеме газа, что позволило при постановке граничных условий учесть ряд новых эффектов, которые ранее не могли быть учтены и объяснены в рамках феноменологического подхода, используемого ранее в теории термо-фореза сферических аэрозольных частиц Учет такого рода явлений позволил дать ответ на вопрос о причинах расхождения результатов, полученных в рамках теории термофореза аэрозольных частиц, и аналогичных результатов, полученных в асимптотической теории первый подход не учитывает полностью вклад в скорость скольжения бар-неттовской поправки к функции распределения в объеме газа

6 В качестве приложения построена математическая модель вращения сферы в изотермическом разреженном газе Получены выражения для профиля массовой скорости газа, вызванного вращением сферы, и момента сил, действующих со стороны газа на вращающуюся сферу Показано, что в рассматриваемой задаче учет барнеттовской поправки к функции распределения при постановке граничных условий позволяет существенно улучшить результаты, полученные ранее методом Лиза К аналогичному результату приводит и учет барнеттовской поправки в задаче о движении сферы в изотермическом разреженном газе

7 Построенные математические модели обобщены на случай молекулярных газов Показано, что учет внутренней структуры молекул газа приводит к появлению зависимости характеристик процессов от числа Прандтля и температуры

8 Полученные в работе результаты могут быть обобщены на более сложные поверхности и использованы для упрощения численных расчетов, являясь критерием точности для последних

Список работ, опубликованных по теме диссертации

1 Латышев А В , Попов В Н , Юшканов А А Неоднородные кинетические задачи Метод сингулярных интегральных уравнений Монография Архангельск Поморский университет, 2004 - 266 с

2 Гайдуков М Н , Попов В Н Точное решение кинетического уравнения в задаче о неизотермическом скольжении разреженного газа вблизи слабо искривленной поверхности // Изв РАН Сер МЖГ 1998 № 2 С 165-173

3 Попов В Н Аналитическое определение скорости скольжения разреженного газа вдоль твердой цилиндрической поверхности // ЖТФ 2002 Т 72 Вын 10 С 15-21

4 Попов В Н Аналитическое решение задачи о тепловом скольжении второго порядка // Письма в ЖТФ 2002 Т 28 Вып 19 С 10-16

5 Попов В Н Применение метода Кейза в задаче о тепловом скольжении разреженного газа вдоль твердой цилиндрической поверхности //Прикладная механика и техническая физика 2002 №5 С 105-113

6 Латышев А В , Попов В Н , Юшканов А А К вопросу о вычислении скорости скольжения разреженного газа вдоль твердой цилиндрической поверхности // Письма в ЖТФ 2002 Т 28 Вып 5 С 70-74

7 Латышев А В , Попов В Н , Юшканов А А Применение метода Кейза в задаче о тепловом скольжении разреженного газа вдоль твердой сферической поверхности // Сибирский журнал индустриальной математики 2002 Т 5, № 3 (11) С 103-114

8 Попов В Н Аналитическое решение модельного кинетического уравнения с переменной частотой столкновений на примере задачи об обтекании цилиндрической поверхности // Письма в ЖТФ 2003 Т 29 Вып 3 С 33-40

9 Латышев А В , Попов В Н , Юшканов А А Вычисление скорости скольжения разреженного газа, обусловленного неравномерностью распределения температуры в слое Кнудсена // Сибирский журнал ин-

дустриальной математики 2003 Т 6, № 1 (13) С 60-71

10 Попов В Н Использование двухмоментного граничного условия в задаче о скольжении разреженного газа вдоль твердой цилиндрической поверхности//ЖТФ 2003 Т 73 Вып 5 С 19-23

11 Латышев А В , Попов В Н , Юшканов А А О влиянии свойств искривленной поверхности на значение коэффициента изотермического скольжения // Поверхность Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования 2003 № 6 С 104-110

12 Латышев А В , Попов В Н , Юшканов А А Аналитическое решение неоднородного кинетического уравнения в задаче о тепловом скольжении второго порядка // Изв РАН Сер МЖГ 2003 № 3 С 183-193

13 Попов В Н Постановка граничных условий на обтекаемых разреженным газом искривленных поверхностях // Письма в ЖТФ 2003 Т 29 Вып 14 С 87-94

14 Латышев А В , Попов В Н , Юшканов А А Решение эллипсоидально-статистической модели в задаче о тепловом скольжении разреженного газа вдоль поверхности сферы // Математическое моделирование 2003 т 15, № 8 с 118-128

15 Латышев А В , Попов В Н , Юшканов А А Вычисление скорости теплового скольжения второго порядка с использованием модельного кинетического уравнения с переменной частотой столкновений // Теплофизика высоких температур 2003 № 6 С 132-136

16 Латышев А В , Попов В Н , Юшканов А А Вычисление скорости скольжения разреженного газа вдоль твердой сферической поверхности с учетом коэффициентов аккомодации // Прикладная механика и техническая физика 2004 № 1 С 23-28

17 Латышев А В , Попов В Н , Юшканов А А Влияние кривизны поверхности на значение коэффициента изотермического скольжения // Журнал физической химии 2004 т 78, № 4 С 554-557

18 Латышев А В , Попов В Н , Юшканов А А Расчет скорости изотермического скольжения разреженного газа вдоль слабо искри-

вленной поверхности // Теплофизика и аэродинамика 2004 № 2 С 203-209

19 Латышев А В , Попов В Н , Юшканов А А Вычисление скорости скольжения молекулярного газа вдоль сферической поверхности малого радиуса кривизны // Письма в ЖТФ 2005 Т 31 Вып 3 С 40-48

20 Латышев А В , Попов В Н , Юшканов А А Вычисление скорости скольжения разреженного газа на основе уравнения Вильямса // Сибирский журнал индустриальной математики 2005 Т 8, № 1 (21) С 88-100

21 Латышев А В , Попов В Н , Юшканов А А Вычисление скорости скольжения молекулярного газа вдоль сферической поверхности с учетом коэффициентов аккомодации // ЖТФ 2005 Т 75 Вып 11 С 26-32

22 Латышев А В , Попов В Н , Юшканов А А Аналитическое решение задачи о тепловом скольжении второго порядка с учетом вращательных степеней свободы молекул газа // Письма в ЖТФ 2005 Т 31 Вып 21 С 49-57

23 Латышев А В , Попов В Н , Юшканов А А Влияние темепера-туры молекулярного газа на значения коэффициентов скольжения // Прикладная механика и техническая физика 2006 № 1 С 58-65

24 Попов В Н Аналитическое решение неоднородного кинетического уравнения в задаче об изотермическом скольжении разреженного газа вдоль твердой сферической поверхности // ИФЖ 2002 Т 75 № 3 С 107-110

25 Латышев А В , Попов В Н , Юшканов А А Аналитическое решение неоднородного кинетического уравнения с переменной частотой столкновений // ИФЖ 2002 Т 75 № 3 С 104-106

26 Латышев А В , Попов В Н , Юшканов А А Влияние неравномерности распределения температуры в слое Кнудсена на скорость теплового скольжения разреженного газа вдоль искривленной поверхности // ИФЖ 2003 Т 76 № 4 С 18-23

27 Попов В Н Аналитическое решение задачи о тепловом скольжении второго порядка для молекулярных газов // ИФЖ 2006 Т 79 № 3 С 190-194

28 Гайдуков М Н , Попов В Н Течение потока разреженного газа вблизи сферической поверхности М МПУ, Деп в ВИНИТИ от 07 12 95 № 3280-В95 27 с

29 Попов В Н , Гайдуков М Н Интегрирование произведения обобщенных функций // Математика, прикладная математика и проблемы их преподавания Межвузовский сборник научных трудов - Архангельск Изд-во Северной академии предпринимательства 1996 С 2831

30 Попов В Н , Гайдуков MHO зависимости коэффициента бар-неттовского скольжения от выбора модели интеграла столкновений // Вестник математического факультета Межвузовский сборник научных трудов Выпуск 1 - Архангельск Изд-во Поморского государственного университета им М В Ломоносова 1997 С 26-31

31 Попов В Н , Гайдуков М Н Об эквивалентности решений линеаризованных БГК и ЭС моделей кинетического уравнения Больцмана в задаче о тепловом скольжении разреженного газа вдоль твердой сферической поверхности // Вестник математического факультета Межвузовский сборник научных трудов Выпуск 1 - Архангельск Изд-во Поморского государственного университета им MB Ломоносова 1997 С 31-34

32 Попов В Н О газокинетических коэффициентах второго порядка Архангельск ПГУ Деп в ВИНИТИ от 12 03 97 № 732-В97 17 с

33 Гайдуков М Н , Попов В Н Аналитическое решение неоднородного кинетического уравнения с оператором столкновений в форме ЭС- модели в задаче о тепловом скольжении второго порядка // М МГИЭМ, 1996 3-я научно-техническая конференция с участием зарубежных специалистов "Вакуумная наука и техника" Москва, 1996

34 Гайдуков М Н , Попов В Н Точное решение ЭС модели ки-

нетического уравнения Больцмана в задаче о вычислении поправок к коэффициентам теплового и изотермического скольжений, обусловленных влиянием искривленности межфазной поверхности // Тверь ТГТУД996 2-я международная конференция "Математические модели нелинейных возбуждений, переноса, динамики, управления в конденсированных системах и других средах" Тверь, 1996

35 Гайдуков М Н , Попов В Н Об использовании линеаризованных БГК и ЭС моделей кинетического уравнения Больцмана в задаче о сдвиговом течении разреженного газа вдоль твердой слабо искривленной поверхности // Тверь ТГТУ, 1998 3-я международная конференция " Математические модели нелинейных возбуждений, переноса, динамики, управления в конденсированных системах и других средах" Тверь, 1998

36 Латышев А В , Попов В Н , Юшканов А А Аналитическое решение задачи об изотермическом скольжении разреженного газа вдоль твердой сферической поверхности // Дисперсные системы XX научная конференция стран СНГ 23-27 сентября 2002 года Тезисы докладов Одесса "Астропринт" 2002 С 178

37 А V Latyshev, V N Popov, A A Yushkanov The influence of the Curved Surface on a Meaning of the Isotermal Sliding Factor // 5 International Congress on Mathematical Modelling September 30 - October 6, 2002 Book of Abstracts Vol 2 Dubna, 2002 P 66

38 Латышев А В , Попов В H , Юшканов А А Аналитическое решение задачи о тепловом скольжении второго порядка // Кинетическая теория и динамика разреженных газов Материалы Всероссийского семинара 2-7 декабря 2002 года Новосибирск НГАСУ 2002 С 83

39 Попов В Н Об условии разрешимости одной краевой задачи для неоднородного интегро - дифференциального сингулярного уравнения Тезисы Международной научной конференции "Гармонический анализ на однородных пространствах, представления групп Ли и квантование", Тамбов, 25-29 апреля 2005, С 23-24

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Попов Василий Николаевич

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ В РАЗРЕЖЕННЫХ ГАЗАХ ВБЛИЗИ ИСКРИВЛЕННЫХ ПОВЕРХНО СТЕЙ

Подписано в печать 13 03 2007

Формат 60х901/|б Бумага 80 гр/м2 Гарнитура Times

Объем 2,5 п л Тираж 120 экз

Отпечатано в Издательском Центре ГОУ ВПО МГТУ «СТАНКИН» Лицензия на издательскую деятельность ЛР №01741 от 11 05 2000 127055, Москва, Вадковский пер, д За

Оглавление автор диссертации — доктора физико-математических наук Попов, Василий Николаевич

Введение.

Глава 1. Математические модели и методы в кинетической теории разреженного газа

1.1. Уравнение Больцмана и его модели.И

1.2. Граничные условия и их модели.

1.3. Модель гидродинамики со скольжением.

1.4. Представление факторизующей функции на разрезе

1.5. Дифференцирование по параметру интегралов, вычисленных в смысле главного значения.

1.6. О применении метода Кейза к решению неоднородных модельных кинетических уравнений.

1.7. Основные результаты, полученные в первой главе.

2.1. Изотермическое скольжение разреженного газа вдоль твердой сферической поверхности.

2.2. Тепловое скольжение разреженного газа вдоль твердой сферической поверхности.

2.3. Тепловое скольжение второго порядка.

2.4. Переход к размерным величинам.

2.5. Учет коэффициентов аккомодации (приближение Чепмена Энскога).

2.6. Обтекание цилиндрической поверхности.

2.7. Граничные условия при обтекании сферы изотермическим потоком резреженного газа

2.8. Граничные условия при обтекании сферы неизотермическим потоком резреженного газа.

2.9. Вращение сферы в разреженном газе.

2.10. Учет коэффициентов аккомодации (приближение Барнетта)

2.11. Тепловое и изотермическое скольжение с учетом внутренней структуры молекул газа.

2.12. Тепловое скольжение второго порядка с учетом внутренней структуры молекул газа.

2.13. Влияние коэффициентов аккомодации на скорость скольжения структурных газов

2.14. Влияние температуры на значения коэффициентов скольжения структурных газов

2.15. Основные результаты, полученные во второй главе.

3.1. Изотермическое скольжение разреженного газа вдоль твердой сферической поверхности.

3.2. Тепловое скольжение разреженного газа вдоль твердой сферической поверхности.

3.3. Тепловое скольжение второго порядка.

3.4. Обтекание цилиндрической поверхности.

3.5. Переход к размерным величинам

3.6. Общая процедура постановки граничных условий на поверхности обтекаемой разреженным газом сферической поверхности

3.7. Обтекание сферы изотермическим потоком разреженного газа.

3.8. Учет коэффициентов аккомодации.

3.9. Основные результаты, полученные в третьей главе.

4.1. Изотермическое скольжение разреженного газа вдоль твердой сферической поверхности.

4.2. Тепловое скольжение разреженного газа вдоль твердой сферической поверхности.

4.3. Тепловое скольжение второго порядка.

4.4. Обтекание цилиндрической поверхности.

4.5. Переход к размерным величинам.

4.6. Учет коэффициентов аккомодации

4.7. Тепловое и изотермическое скольжение с учетом внутренней структуры молекул газа.

4.8. Влияние коэффициентов аккомодации на скорость скольжения структурных газов

4.9. Основные результаты, полученные в четвертой главе

Основные результаты работы.

Введение 2007 год, диссертация по информатике, вычислительной технике и управлению, Попов, Василий Николаевич

Актуальность темы. К настоящему времени ценой огромных усилий как отечественных, так и зарубежных ученых создана теория кинетических процессов над плоской поверхностью, в рамках которой построены математические модели динамики разреженного газа, физики плазмы, физики металлов, теоретической астрофизики.

Однако в последние годы наблюдается значительное возрастание интереса к проблемам математического моделирования кинетических процессов вблизи искривленных поверхностей. Это связано с необходимостью исследования движений аэрозольных частиц в неоднородных по температуре и концентрации газовых средах (термо - и диффузиофорез); при решении проблем, связанных с охраной окружающей среды (осаждение в фильтрах и каналах частиц, взвешенных в выбросах продуктов сгорания, конденсационных аэрозолей металлургических и химических комбинатов), с развитием новых микро - и нанотехнологий, в частности, с исследованием кинетических явлений в тонких металлических пленках или малых проводящих частицах при наличии внешних электромагнитных полей, в задачах о взаимодействии электромагнитного излучения с аэрозольными системами, состоящими из мелких частиц разнообразной формы, которые используются для экранировки электромагнитного излучения. Когда толщина пленок или размеры частиц становятся субмикронными, обычное макроскопическое описание отклика электронной плазмы металла на переменное (периодическое) электрическое поле становится неадекватным. Учет кривизны поверхности необходим и при изучении течения газов и газовых смесей в каналах наномикронного размеров. Это связано, с одной стороны, созданием мембран нового поколения, с нанометровыми каналами определенной геометрии, а с другой - обнаружением необычного поведения газов в этих каналах, в частности, заметного повышения скорости переноса газа и степени разделения газовых смесей, особенно при пониженных температурах. С актуальностью данной темы связано большое число работ, посвященных исследованиям в этой области путем прямого численного моделирования.

В представленной работе проблема математического моделирования кинетических процессов вблизи искривленных поверхностей рассматривается в контексте процессов, протекающих в неоднородных по температуре и массовой скорости разреженных газах. До недавнего времени аналитические методы исследования такого рода процессов отсутствовали. Основные результаты были получены приближенными, главным образом, моментными методами, были посвящены отдельным вопросам и носили разрозненный, а порой и противоречивый характер. Отсутствовали и систематические исследования в области моделирования процессов вблизи искривленных поверхностей в молекулярных газах.

Таким образом, актуальность данной работы заключена в систематическом исследовании математических моделей кинетических процессов, протекающих в неоднородных по температуре и массовой скорости разреженных газах вблизи искривленных поверхностей, с использованием различных моделей кинетических уравнений, моделей граничных условий и формы искривленных поверхностей, как для простых, так и для молекулярных газов.

Целью работы является математическое моделирование кинетических процессов в разреженных газах вблизи искривленных поверхностей. Для ее достижения были поставлены и решены следующие задачи:

- разработка аналитического метода исследования математических моделей кинетических процессов в разреженных газах вблизи искривленных поверхностей;

Метод исследования. В качестве основного метода в работе используется обобщение метода Кейза (метода разложения решений по собственным функциям соответствующего характеристического уравнения) на случай неоднородных интегро - дифференциальных уравнений.

Научная новизна работы заключается в следующем:

- рассмотрена общая постановка граничных условий с учетом барнет-товской поправки к функции распределения, что позволило при постановке граничных условий учесть ряд эффектов, которые ранее не могли быть учтены и объяснены в рамках феноменологического подхода, используемого в теории термофореза аэрозольных частиц;

- предыдущие результаты обобщены на случай молекулярных газов, что позволило учесть зависимость характеристик процессов от числа Прандтля и температуры.

Все результаты данной работы получены впервые.

Обоснованность и достоверность полученных результатов подтверждается соответствием с экспериментальными данными или результатами прямого численного моделирования. Все численные расчеты проводились с использованием выверенных и протестированных процедур.

Практическая ценность работы заключается в том, что полученные результаты могут быть использованы при исследовании движения аэрозольных частиц в неоднородных по температуре газовых средах (термо - и диффузиофорез); при решении проблем, связанных с охраной окружающей среды (осаждение в фильтрах и каналах частиц, взвешенных в выбросах продуктов сгорания), с исследованиями в области медицины, с проблемами физики атмосферы, физики гетерогенных систем, с созданием тонких химических технологий и т.п. Предложенный метод может быть использован в кинетической теории газа и плазмы, в теории переноса нейтронов, электронов, в теоретической астрофизике.

Апробация работы. Основные результаты дисертационной работы докладывались и обсуждались на следующих научно - технических конференциях и семинарах:

- на III научно-технической конференции с участием зарубежных специалистов "Вакуумная наука и техника", Гурзуф, 1996 г.

- на 5 -м Международном конгрессе по математическому моделированию, Дубна, 2002 г.

- на XX научной конференции стран СНГ по дисперсным системам, Одесса, 2002.

- на Всероссийском семинаре "Кинетическая теория и динамика разреженных газов", приуроченном к 130 - летию опубликования уравнения Больцмана, Новосибирск, 2002 г.

- теоретическом семинаре кафедры гидродинамики СПГУ, Санкт-Петербург, 2004 г.

- Международной научной конференции "Гармонический анализ на однородных пространствах, представления групп Ли и квантование", Тамбов, 2005.

- научных семинарах кафедры математического анализа МГОУ.

Заключение диссертация на тему "Математическое моделирование процессов в разреженных газах вблизи искривленных поверхностей"

Основные результаты и выводы

1. Развито новое научное направление - математическое моделирование кинетических процессов вблизи искривленных поверхностей, в рамках которого могут быть построены и исследованы математические модели самых разнообразных процессов кинетической теории газа и плазмы, физики металлов, астрофизики, теории переноса нейтронов, электронов.

2. В рамках созданного научного направления построены математические модели процессов обтекания потоком неоднородного по температуре и массовой скорости разреженного газа сферы и цилиндра, которые позволили сделать вывод о существенной зависимости коэффициентов скольжения второго порядка от геометрии обтекаемой поверхности и ориентации относительно нее градиента температуры и массовой скорости. В частности, показано, что поправки на кривизну к коэффициентам теплового и изотермического скольжений при поперечном обтекании цилиндра отличаются в 3/4 раза от соответствующих коэффициентов, полученных для сферы, а в случае продольного в 1/4 раза. Данные соотношения не зависят от выбора метода решения использованных уравнений, а полностью определяются их внутренней структурой. Из полученных результатов вытекает то, что коэффициенты скольжения второго порядка, полученные для обтекания сферы нельзя использовать при расчете скорости термофореза цилиндрических частиц, что ранее имело место.

3. Построена математическая модель теплового скольжения второго порядка. Найденное значение коэффициента скольжения второго порядка позволило теоретически подтвердить существование отрицательного (в направлении грандиента температуры) термофореза высокотеплопроводных аэрозольных частиц при малых значениях числа Кнудсена.

4. Полученные результаты обобщены на случай двухмоментного граничного условия, что позволило установить зависимость коэффициентов скольжения от коэффициентов аккомодации тангенциального импульса и потока тангенциального импульса молекул газа. Показано, что данная модель с высокой степенью точности аппроксимирует зеркально - диффузное граничное условие Максвелла. Показано, что учет коэффициентов аккомодации приводит к ненулевой поправке на кривизну в модели обтекания неизотермическим потоком поверхности сферы и цилиндра с использованием уравнения Вильямса.

5. С использованием БГК и ЭС - моделей с постоянной частотой столкновений рассмотрена общая процедура постановки граничных условий на обтекаемых разреженным газом искривленных поверхностях. С использованием предложенной процедуры вычислена в барнеттовском приближении функция распределения в объеме газа, что позволило при постановке граничных условий учесть ряд новых эффектов, которые ранее не могли быть учтены и объяснены в рамках феноменологического подхода, используемого ранее в теории термофореза сферических аэрозольных частиц. Учет такого рода явлений позволил дать ответ на вопрос о причинах расхождения результатов, полученных в рамках теории термофореза аэрозольных частиц, и аналогичных результатов, полученных в асимптотической теории: первый подход не учитывает полностью вклад в скорость скольжения барнеттовской поправки к функции распределения в объеме газа.

6. В качестве приложения построена математическая модель вращения сферы в изотермическом разреженном газе. Получены выражения для профиля массовой скорости газа, вызванного вращением сферы, и момента сил, действующих со стороны газа на вращающуюся сферу. Показано, что в рассматриваемой задаче учет барнеттовскои поправки к функции распределения при постановке граничных условий позволяет существенно улучшить результаты, полученные ранее методом Лиза. К аналогичному результату приводит и учет барнеттовской поправки в задаче о движении сферы в изотермическом разреженном газе.

7. Построенные математические модели обобщены на случай молекулярных газов. Показано, что учет внутренней структуры молекул газа приводит к появлению зависимости характеристик процессов от числа Прандтля и температуры.

8. Полученные в работе результаты могут быть обобщены на более сложные поверхности и использованы для упрощения численных расчетов, являясь критерием точности для последних.

Библиография Попов, Василий Николаевич, диссертация по теме Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

1. Латышев А.В., Яламов Ю.И., Манчурян Г.А. Интегральные уравнения типа свертки в граничных задачах кинетической теории газов// ДАН СССР. Т. 284, № 2. 1985. С. 331-333.

2. Латышев А.В., Яламов Ю.И. Интегро-дифференциальные уравнения типа свертки в граничных задачах кинетической теории газов // МОПИ им.Н.К.Крупской. М., Деп. в ВИНИТИ № 8307-В88.1987. 153 с.

3. Латышев А.В. Введение в кейсологию. Аналитические методы и граничные задачи для модельных кинетических уравнений // ОТП РАН. Деп. в ВИНИТИ от 16.09.1996. №2823-В96. 237 С.

4. Латышев А.В. Точные решения и приложения кинетических модельных уравнений Больцмана. Деп. в ВИНИТИ. № 7208-В88. 1988. 194 С.

5. Латышев А.В. Аналитическое решение уравнения Больцмана с оператором столкновений смешанного типа. // ЖВММФ. 1991. Т. 31, № 3. С. 436-447.

6. Латышев А.В. Аналитические методы решения модельных кинетических уравнений и их приложения. Дис. д.ф.-м.н. // М: ИПМ им. М.В. Келдыша РАН. 1993. 249 С.

7. Латышев А.В. Аналитическое решение векторных модельных кинетических уравнений с постоянным ядром и их приложения, // ТМФ. 1993. Т 97, № 2. С. 283-304.

8. Латышев А.В., Слободской Г.В. Решение задачи о распределении газовых молекул в слое с зеркальными граничными условиями // ИФЖ. 1999. Т. 72, № 5. С. 862-870.

9. Латышев А.В., Юшканов А.А. Аналитическое решение модельного БГК уравнения Больцмана в задаче о температурном скачке с учетом аккомодации энергии. // Математическое моделирование. 1992. Т. 4, № 10. С. 61-66.

10. Латышев А.В., Юшканов А.А. Аналитическое решение задачи о скачке температуры в газе с вращательными степенями свободы // ТМФ. 1993. Т 95, № 3. С. 530-541.

11. Латышев А.В., Юшканов А.А. Аналитическое решение граничных задач для нестационарных кинетических уравнений в слое с зеркальными граничными условиями // ОТП РАН. Деп. в ВИНИТИ от 25.04.96. № 1359-В96. 43 с.

12. Латышев А.В., Юшканов А.А. Точные решения граничных задач для модельных уравнений Больцмана с переменной частотой столкновений. Монография. Деп. в ВИНИТИ от 25.04.96. № 1360-В96.

13. Латышев А.В., Юшканов А.А. Задача Крамерса для эллипсоидально-статистического уравнения Больцмана с частотой, пропорциональной скорости молекул // ЖВММФ. 1997. Т. 37, № 4. С. 483-493.

14. Латышев А.В., Юшканов А.А. Тепловое и изотермическое скольжение в новом модельном кинетическом уравнении Лиу // ПЖТФ. 1997. Т. 23, № 14. С. 13-17.

15. Латышев А.В., Юшканов А.А. Аналитическое решение задачи о скольжении газа с использованием модельного уравнения Больцмана с частотой, пропорциональной скорости молекул // Поверхность. 1997. № 1. С. 92-99.

16. Латышев А.В., Юшканов А.А., Слободской Г.В. Граничная задача для кинетического уравнения в слое с зеркальными граничными условиями // ПМТФ. 1997. Т. 38, № 6. С. 32-40.

17. Латышев А.В., Юшканов А.А. Точные решения граничных задач для молекулярных газов. Монография // Отдел теоретических проблем РАН. Деп. в ВИНИТИ 4.06.1998 г., № 1725-В 98. 186 с.

18. Латышев А.В. , Юшканов А.А. Нестационарная граничная задача для модельных кинетических уравнений при критических параметрах // ТМФ. 1998. Т 116, № 2. С. 305.

19. Латышев А.В., Юшканов А.А. Задача Пуазейля для эллипсоидально-статистического уравнения и почти зеркальных граничных условий // ЖТФ. 1998. Т. 68, № И. С. 27-32.

20. Латышев А.В., Юшканов А.А. Тепловое скольжение для газа с частотой столкновений, пропорциональной скорости молекул // ИФЖ. 1998. Т. 71, № 2. С. 353-360.

21. Латышев А.В., Юшканов А.А. Аналитическое решение задачи о скин-эффекте при произвольном коэффициенте аккомодации тангенциального импульса электронов // ЖТФ. 2000. Т. 70, № 8. С. 18.

22. Латышев А.В., Юшканов А.А. Аналитическое решение задач скольжения с использованием нового кинетического уравнения // ПЖТФ. 2000. Т. 26, № 23. С. 16-24.

23. Латышев А.В., Юшканов А.А. Слабое испарение (конденсация) с произвольным коэффициентом испарения в газах с постоянной частотой столкновений молекул // ИФЖ. 2000. Т. 73, № 3. С. 542-550.

24. Латышев А.В., Юшканов А.А. Анализ соотношений Онзагера аналитическими методами в кинетической теории газов // Известия РАН. Сер. МЖГ. 2001 г. № 1. С. 173-181.

25. Латышев А.В., Юшканов А.А. Влияние свойств поверхности на скольжение газа с переменной частотой столкновений молекул // Поверхность. 2001 г. № 7. С. 79-87.

26. Латышев А.В., Юшканов А.А. Аналитическое вычисление параметров молекулярного газа на поверхности в задаче Смолуховского // ПМТФ. 2001. Т. 42, № 3. С. 91-100.

27. Латышев А.В., Юшканов А.А. Анализ соотношений Онзагера с помощью эллипсоидально-статистического уравнения // ПЖТФ. 2002. Т. 28, № 9. С. 77-85.

28. Латышев А.В., Юшканов А.А. Задача Смолуховского для молекулярных газов с учетом коэффициентов аккомодации поступательной и вращательной энергии молекул // ПММ. 2002. Т. 66, Вып. 5. С. 845-854.

29. Латышев А.В., Юшканов А.А. Аналитическое решение граничных задач кинетической теории: Монография. М.: МГОУ, 2004. 286 с.

30. Латышев А.В., Юшканов А.А. Кинетические уравнения типа Ви-льямса и их точные решения: Монография. М.: МГОУ, 2004. 271 с.

31. Латышев А.В., Юшканов А.А. Граничные задачи для молекулярных газов: Монография. М.: МГОУ, 2005. 264 с.

32. Савков С.А., Юшканов А.А. Аналитическое решение кинетического уравнения в задаче о точечных источниках в двухатомном газе // ТМФ. 2002. Т 133, № 1. С. 132.

33. Савков С.А., Юшканов А.А. Аналитическое решение БГК-модели нестационарного уравнения Больцмана // ТМФ. 1997. Т 113, № 1. С. 139-149.

34. Слободской Г.В. Граничные задачи для нестационарного кинетического уравнения // ОТП РАН.- М. 1995. Деп. в ВИНИТИ 07.12.95 № 3278 В95.

35. Слободской Г.В. Полнота и ортогональность собственных функций нестационарного векторного кинетического уравнения // ОТП РАН. М. 1996. Деп. в ВИНИТИ 30.09.96. № 2900-В96.

36. Слободской Г.В. Граничные задачи для нестационарного кинетического уравнения // ОТП РАН. М. 1995. Деп. в ВИНИТИ 07.12.95. № 3278-В95.

37. Слободской Г.В. Полнота и ортогональность собственных функций нестационарного векторного кинетического уравнения // ОТП РАН. М. 1996. Деп. в ВИНИТИ 30.09.96. № 2900-В96.

38. Слободской Г.В. Характеристическое уравнение для нестационарного скалярного кинетического уравнения и его свойства // ОТП РАН. М. 1996. Деп. в ВИНИТИ 30.09.96. № 2901-В96.

39. Слободской Г.В., Латышев А.В., Юшканов А.А. Граничная задача для кинетического уравнения в слое с зеркальными граничными условиями// ПМТФ. 1997. Т.38, № 6. С. 26-34.

40. Эрнст М.Х. Точные решения нелинейного уравнения Больцмана и близких кинетических уравнений // Неравновесные явления: Уравнение Больцмана. Под ред. Дж. Либовица и Е.У. Моторолла.- М.: Мир. 1986. С. 60-131.

41. Arinshtein A., Uvarova L., Latyshev A. Mathematical models of NonLinear Excitations, Transfer, Dynamics, and Control in Condensed Systerns, and Other Media". Kluwer Academic/Plenum Publishers, New York, 1999. 440 p.

42. Aoki K., Cercignani C. A technique for time-dependent boundary vallue problems in the kinetic theory of gases. Part I. Basic analysis// ZAMP. 1984. V.35. P. 127-143.

43. Aoki K., Cercignani C. A technique for time-dependent boundary vallue problems in the kinetic theory of gases. Part II. Application to sound propagation// ZAMP. 1984. V. 35. P. 345-362.

44. Bardos C., Caflish R.E., Nicolaenko B. The Milne and Kramers problems for the Boltzmann equation of a hard sphere gase // Commun. Pure and Appl. Math. 1986. V. 39, № 3. P. 323-352.

45. Case K.M. Elementary solution of the transport equation and their applications// Annals of Physics. 1960. V. 9, № 1. P. 1-23.

46. Cercignani C. Elementary solutions of the linearized gas-dynamics Boltzmann equation and their application to the slip-flow // Annals of Physics. 1962. V. 20. P. 219-233.

47. Cercignani C. The Method of Elementary Solutions for Kinetic Models with Velocity-Dependent Collision Frequecy// Annals of Physics. 1966. V. 20. P. 469-481.

48. Cercignani C. Analitic Solution of the temperature jump problems for the BGK model. // TTSP. 1977. V. 6(1). P. 29-56.

49. Cercignani C., Sernagioto F. The method of elementary solutions for time-dependent problems in linearized kinetic theory// Annals of Physics. 1964. V. 30. P. 154-167.

50. Cercignani C., Siewert C.E. On partial indices for a matrix Rimann-Hlbert problem // ZAMP. 1982. V. 31. p. 297-299.

51. Frezzotti A. The propagation of sound waves in an ultrarelativistic gas according to the method of elementary solutions// AIMETA, Toronto. 1986. P. 725-729.

52. Frisch H. A Cauchy integral equation method for analytic solution of half-space convolution equation// J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer. 1988. V. 39, № 2. P. 149-162.

53. Frisch H., Frisch U. A method of Cauchy integral equation for noncoherent transfer in half-space// J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer. 1982. V. 28, № 5. P. 361-375.

54. Frisch H. Analytical solutionof the slip-flow problem by a Caychy integral method// J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer. 1988.

55. Greenberg W., van der Мее С. V. M., Protopopescu V. Boundary value problems in abstract kinetic theory. Operator Theory: Advances and Applications. 1987. V. 23.

56. Kriese J.T., Chang T.S., Siewert C.E. Elementary Solutions of Couplied Model Equations in the Kinetic Theiry of Gases// Jnt.j. Eng. Sci. 1974. V. 12. P. 441-470.

57. Latyshev A.V. Boundary value problems for a model Boltzmann equation with frequency proportional to the molecule velocity // Fluid Dynamics. 1996. V. 31 (3). P. 454-466.

58. Latyshev A.V., Timchenko O.V. Theory and accurate solutions of the problem of the isotermal slip of a medium-density binary gas // Com-put. Maths. Math. Phys. 1995. V. 35 (4). P. 459-469.

59. Latyshev A.V., Yushkanov A.A. The Kramers problem for the ellipsoidal statistical Boltzmann equation with frequency proportional to the velocity of molecules // Comput. Maths and Math. Phys. 1997. Vol. 37. (4). P. 481-491.

60. Latyshev A.V., Yushkanov A.A. Nonstationary boundary problem for model kinetic equations at critical parameters // Teor. Math. Phys. 1998. V. 116. № 2. P. 978-989.

61. Latyshev A.V., Yushkanov A. A. The temperature jump and slow evaporation in molecular gases //J. Of experimental and theoretical physics. 1998. V. 87. №. 3. P. 518-526.

62. Latyshev A.V., Yushkanov A.A. Analytical calculation of the parameters of a molecular gas on a surface in the Smoluchowski problem //J. of Applird Mechanics and Technical Physics. 2001. V. 42, № 3. P 460-468.

63. Latyshev A.V., Yushkanov A.A. Analytical solution of a Gas Sliding Problem Using a New Kinetic Equation//Technical Physics Problem. 2001. V. 26, № 12. P 1034-1037.

64. Latyshev A.V., Yushkanov A.A. Analytic solutions of Boundary Value Problem for Model Kinetic Equations //In book "Mathematical Modeling. Problems, Methods, Applications". Kluwer Academic/Plenum Publishers. - New York, Moscow. 2001. P. 17-24.

65. Latyshev A.V., Uvarova L.A. Mathematical Modeling. Problems, Methods, Applications". Kluwer Academic/Plenum Publishers. New York, Moscow. 2001. 297 p.

66. Liu G. A method for constracting a model form for the Boltzmann equation // Physics of Fluids A. Fluid Dynamics. 1990. V. 2, № 2. P. 277-280.

67. Pao Y.-P. Some boundary value problems in the kinetic theory of gases // Phys. Fluids. 1971. V. 14, № 11. P. 2285-2290.

68. Siewert C.E., Burniston E.E., Thomas J.R. Discrete spectrum basic to kinetic theory // The ph. fluids. 1973. V. 16. № 9. P. 1532-1533.

69. Siewert C.E. The H-matries for time-dependent problems in rarefield gas dynamics // ZAMP. 1979. V. 30. P. 1005-1010.

70. Siewert C.E., Burniston E.E. Half-space analysis basic to the time-dependent BGK model in the kinetic theory of gases // Jour, math. phys. 1977. V. 18, № 3. P. 376-379.

71. Siewert C.E., Garcia R.D.M., Granfjean P. A concise, and accurate solution for Poiseuille flow in a plane chanel // Math. Phys. 1980. V. 21(12). P. 2760-2763.

72. Siewert C.E., Kelley C.T. An analytical solution to a matrix Rieman-Hilbert Problem // ZAMP. 1980. V. 31. P. 344-351.

73. Siewert C.E., Kelley C.T., Garcia R.D.M. An analytical Expression for the H matrix relevant to Rayleigh scattering// J. Math. Anal, and Appl. 1981. V. 84. P. 509-518.

74. Siewert C.E., Thomas J.R. Analitical solution to two matrix Riemann-Hilbert problems // ZAMP. 1982. V. 33. P. 626-639.

75. Thomas J.R., Siewert C.E. Sound-Wave Propagation in Rarefied Gas// TTSP. 1979. V. 8(4), P. 219-240.

76. Акимов Д.Н. Аналитические решения неоднородных модельных кинетических уравнений. Дисс. канд. физ. мат. наук. М.: МПУ. 1998. 95 с.

77. Акимов Д.Н., Гайдуков М.Н. Точное вычисление скорости скольжения простого газа вдоль сферической поверхности. В сб.: "Современные проблемы физики аэр о дисперсных систем." / / МОПИ им. Н.К.Крупской. М. 1991. Деп. в ВИНИТИ N4900-B91

78. Алехин Е.И. Граничные условия при обтекании многокомпонентной смесью газов летучей несферической поверхности при числах Кнудсена от 0.01 до 0.3 // ИФЖ. 1997. Т. 70, № 4. С. 675-680.

79. Алехин Е.И., Головкина И.Н., Яламов Ю.И. О влиянии гетерогенных химических реакций на скорость скольжения неоднородной многокомпонентной газовой смеси // ЖТФ. 1997. Т. 67, № 5. С. 2934.

80. Арсентьев А.А. Лекции по кинетической теории. М.: Наука, 1992.

81. Баранцев Р.Г. Взаимодействие разреженных газов с обтекаемыми поверхностями. М.: Наука, 1975. 344 с.

82. Бобылев А.В. Точные и приближенные методы в теории нелинейных кинетических уравнений Больцмана и Ландау. М.: ИПМ имени М.В. Келдыша, 1987.

83. Больцман Л. Лекции по теории газов. М.: Гостехиздат. 1956.

84. Варгафтик Н.Б. Справочник по теплофизическим свойствам газов и жидкостей. М.: Государственное издательство физико-математической литературы. 1963. 708 с.

85. Веденяпин В.В. Кинетические уравнения Больцмана и Власова. М.: Физматлит. 2001.

86. Веденяпин В.В. Кинетическая теория по Максвеллу, Больцману и Власову. М.: МГОУ. 2005.

87. Веденяпин В.В., Орлов Ю.Н. О законах сохранения для полиномиальных гамильтонианов и для дискретных моделей уравнения Больцмана // ТМФ. 1999. Т 121, № 2. С. 307-316.

88. Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике. М.: Наука, 1977.

89. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1988.

90. Гайдуков М.Н., Попов В.Н. Течение потока разреженного газа вблизи сферической поверхности. М.: МПУ, Деп. в ВИНИТИ от 07.12.95. № 3280-В95. 27 с.

91. Гайдуков М.Н., Попов В.Н. Точное решение кинетического уравнения в задаче о неизотермическом скольжении разреженного газа вблизи слабо искривленной поверхности // Изв. РАН. Сер. МЖГ. 1998. № 2. С. 165-173.

92. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.:Наука, 1977, 640 с.

93. Гахов Ф.Д., Черский Ю.И. Уравнения типа свертки. М.: Наука. 1978, 269 с.

94. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия над ними (Обобщенные функции. Вып.1). М.: Физматгиз, 1959.

95. Гордевский В.Д. Приближенное двухпотоковое решение уравнения Больцмана // ТМФ. 1998. Т 114, № 1. С. 126-137.

96. Горелов C.JI. Термофорез и фотофорез в разреженном газе // Изв. АН СССР, Серия МЖГ. 1976. № 5. С. 178-182

97. Дьяконов С.Н., Ефремов Э.В., Морозов А.А. Влияние коэффициента испарения на термофорез летучей однокомпонентной капли в бинарной смеси газов // ЖТФ. 2002. Т. 72, № 3. С. 11-17.

98. Дьяконов С.Н., Яламов Ю.И. Термофорез касающихся твердых сфер вдоль линии их центров // ЖТФ. 1998. Т. 68, № 6. С. 2532.

99. Жданов В.М., Алиевский М.Я. Процессы переноса и релаксации в молекулярных газах. М.: Наука, 1989. 336 с.

100. Коган М.Н. Динамика разреженного газа. Кинетическая теория. М.: Наука, 1967. 440 с.

101. Коленчиц О.А. Тепловая акомодация систем газ твердое тело. Минск: "Наука и техника", 1977. - 126 с.

102. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1970.

103. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, гл. ред. физ.-мат. лит., 1984.

104. Кейз К.М., Цвайфель П.Ф. Линейная теория переноса. М.: Мир, 1972.

105. Лаврентьев А.Л., Шабат Б.В. Методы ТФКП. М.: Наука. 1965. 716 с.

106. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука, 1986.

107. Латышев А.В. Аналитические аспекты решения модельных кинетических уравнений // ТМФ. 1990. Т 85, № 3. С. 428-431.

108. Латышев А.В. Применение метода Кейза к решению линеаризованного кинетического БГК уравнения в задаче о температурном скачке // ПММ. 1990. Т. 54, № 4. С. 581-586.

109. Латышев А.В. Аналитическое решение эллипсоидально-статистического модельного уравнения Больцмана // Известия РАН. Серия МЖГ. 1992. № 2. С. 151-164.

110. Латышев А.В., Попов В.Н., Юшканов А.А. К вопросу о вычислении скорости скольжения разреженного газа вдоль твердой цилиндрической поверхности // ПЖТФ. 2002. Т. 28. Вып. 5. С. 70-74.

111. Латышев А.В., Попов В.Н., Юшканов А.А. Применение метода Кейза в задаче о тепловом скольжении разреженного газа вдоль твердой сферической поверхности // Сибирский журнал индустриальной математики. 2002. Т. V, № 3 (И). С. 103-114.

112. Латышев А.В., Попов В.Н., Юшканов А.А. Аналитическое решение неоднородного кинетического уравнения с переменной частотой столкновений // ИФЖ. 2002. Т. 75. № 3. С. 104-106.

113. Латышев А.В., Попов В.Н., Юшканов А.А. Применение метода Кейза в задаче о тепловом скольжении разреженного газа вдоль твердой сферической поверхности // Сибирский журнал индустриальной математики. 2002. Т.5, № 3 (11). С. 103-114.

114. Латышев А.В., Попов В.Н., Юшканов А.А. О влиянии свойств искривленной поверхности на значение коэффициента изотермического скольжения // Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования. 2003. № 6. С. 111-116.

115. Латышев А.В., Попов В.Н., Юшканов А.А. Аналитическое решение неоднородного кинетического уравнения в задаче о тепловом скольжении второго порядка // Изв. РАН. Сер. МЖГ. 2003. № 3. С. 183-193.

116. Латышев А.В., Попов В.Н., Юшканов А.А. Вычисление скорости скольжения разреженного газа, обусловленного неравномерностью распределения температуры в слое Кнудсена // Сибирский журнал индустриальной математики. 2003. Т.6, № 1 (13). С. 60-71.

117. Латышев А.В., Попов В.Н., Юшканов А.А. Вычисление скорости теплового скольжения второго порядка с использованием модельного кинетического уравнения с переменной частотой столкновений // Теплофизика высоких температур. 2003. № 6. С. 132-136.

118. Латышев А.В., Попов В.Н., Юшканов А.А. Вычисление скорости скольжения разреженного газа вдоль твердой сферической поверхности с учетом коэффициентов аккомодации // ПМТФ. 2004. № 1. С. 23-28.

119. Латышев А.В., Попов В.Н., Юшканов А.А. Вычисление скорости скольжения разреженного газа вдоль твердой сферической поверхности с учетом коэффициентов аккомодации // Прикладная механика и техническая физика. 2004. № 1. С. 23-28.

120. Латышев А.В., Попов В.Н., Юшканов А.А. Неоднородные кинетические задачи. Метод сингулярных интегральных уравнений: Монография. Архангельск: Поморский университет. 2004. 266 с.

121. Латышев А.В., Попов В.Н., Юшканов А.А. Расчет скорости изотермического скольжения разреженного газа вдоль слабо искривленной поверхности // Теплофизика и аэродинамика. 2004. № 2. С. 203-209.

122. Латышев А.В., Юшканов А.А. Аналитическое решение неоднородных кинетических уравнений в задаче теплового скольжения второго порядка. // Математическое моделирование. 1992. Т. 4, № 4. С. 55-62.

123. Латышев А.В., Юшканов А.А. Аналитическое решение задачи о скачке температуры в газе в вращательными степенями свободы // ТМФ. 1993. Т. 95. № 3. С. 530-540.

124. Латышев А.В., Юшканов А.А. Граничные задачи для модельного уравнения Больцмана с частотой, пропорциональной скорости молекул // Известия РАН. Сер. МЖГ. 1996. № 3. С. 140-153

125. Латышев А.В., Юшканов А.А. Точные решения граничных задач для модельных уравнений Больцмана с переменной частотой столкновений //ОТП РАН. Деп. в ВИНИТИ от 25.04.96. № 1360 В 96. 238 с.

126. Латышев А.В., Юшканов А.А. Аналитическое решение граничных задач для нестационарных кинетических уравнений в слое сзеркальными граничными условиями. ОТП РАН. Деп. в ВИНИТИ 25.04.1996, № 1359-В96, 43 с.

127. А. В. Латышев, А. А. Юшканов. Точные решения граничных задач для молекулярных газов. Монография. Деп. в ВИНИТИ от 4.06.1998, № 1725—В 98. 186 с.

128. Латышев А.В., Юшканов А.А. Скачок температуры и слабое испарение в молекулярных газах // ЖЭТФ. 1998. Т. 114. Вып. 3(9). С. 956-971.

129. Латышев А.В., Юшканов А.А. Задача Смолуховского в полиатомных газах // ПЖТФ. 1998. Т. 24. № 17. С. 85-90.

130. Латышев А.В., Юшканов А.А. Аналитическое вычисление параметров молекулярного газа на поверхности в задаче Смолуховского //ПМТФ. 2001. Т. 42. № 3. С. 91-100.

131. Латышев А.В., Юшканов А.А. Аккомодационные двухмоментные граничные условия в задачах о тепловом и изотермическом скольжениях // ИФЖ. 2001. Т. 74. № 3. С. 63-69.

132. Латышев А.В., Юшканов А.А. Влияние свойств поверхности на скольжение газа с переменной частотой столкновений молекул // Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования. 2001. № 7. С. 79-87.

133. Латышев А.В., Юшканов А.А. Задача Смолуховского для молекулярных газов с учетом коэффициентов аккомодации поступательной и вращательной энергии молекул // ПММ. 2002. Т. 66. Вып. 5. С. 845-854.

134. Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Физическая кинетика. М.: Наука, 1979. 528 с.

135. Малай Н.В. Гидродинамическое сопротивление гидрозольной частицы сфероидальной формы, нагреваемой внутренними источниками тепла при малых числах Рейнольдса // ИФЖ. 1999. Т. 72, № 4. С. 651-656.

136. Малай Н.В. Обтекание неравномерно нагретой капли потоком жидкости при произвольных перепадах температуры в ее окрестности // ИФЖ. 2000. Т. 73, № 4. С. 728-739.

137. Малай Н.В. К вопросу о движении нагретой сфероидальной частицы при малых числах Рейнольдса // ИФЖ. 2002. Т. 75, № 3. С. 44-47.

138. Малай Н.В. К вопросу о гравитационном движении равномерно нагретой капли в вязкой жидкости // ЖТФ. 2002. Т. 72, № 3. С. 7-11.

139. Малай Н.В. К вопросу о термофоретическом движении нагретой сферической капли в вязкой жидкости // ЖТФ. 2002. Т. 72, № 3. С. 35-44.

140. Малай Н.В., Щукин Е.Р., Яламов Ю.И. Движение твердой нагретой сфероидальной частицы в вязкой жидкости с однородным внутренним тепловыделением // ЖТФ. 2001. Т. 71, № 8. С. 13-17.

141. Маясов Е.Г., Юшканов А.А., Яламов Ю.И. О термофорезе нелетучей сферической частицы в разреженном газе при малых числах Кнудсена // ПЖТФ. 1988. Т. 14, № 6. С. 498-502.

142. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука. 1968.

143. Поддоскин А.В., Юшканов А.А., Яламов Ю.И. К вопросу о термофорезе умеренно крупных аэрозольных частиц // ЖТФ. 1980. Т. 50, № 1. С. 158-161.

144. Поддоскин А.Б., Юшканов А.А., Яламов Ю.И. Теория термофореза умеренно крупных аэрозольных частиц // ЖТФ. 1982. Т. 52, №11. С. 2253-2261.

145. Поддоскин А.Б., Юшканов А.А. Вращение сферы в неограниченном газе // Изв. АН СССР. МЖГ. 1997. № 1. С. 165-171.

146. Попов В.Н. Вывод граничных условий для макропараметров путем строгого решения модельных кинетических уравнений. Дис. к.ф.-м.н. М.: МПУ им. Крупской. 1996. 138 с.

147. Попов В.Н. Аналитическое определение скорости скольжения разреженного газа вдоль твердой цилиндрической поверхности // ЖТФ. 2002. Т. 72. Вып. 10. С. 15-21.

148. Попов В.Н. Аналитическое решение неоднородного кинетического уравнения в задаче об изотермическом скольжении разреженного газа вдоль твердой сферической поверхности // ИФЖ. 2002. Т. 75. № 3. С. 107-110.

149. Попов В.Н. Аналитическое решение задачи о тепловом скольжении второго порядка // Письма в ЖТФ. 2002. Т. 28. Вып. 19. С. 10-16.

150. Попов В.Н. Использование двухмоментного граничного условия в задаче о скольжении разреженного газа вдоль твердой цилиндрической поверхности // ЖТФ. 2003. Т. 73. Вып. 5. С. 19-23.

151. Попов В.Н. Применение метода Кейза в задаче о тепловом скольжении разреженного газа вдоль твердой цилиндрической поверхности // ПМТФ. 2002. № 5. С. 105-113.

152. Попов В.Н. Аналитическое решение модельного кинетического уравнения с переменной частотой столкновений на примере задачи об обтекании цилиндрической поверхности // Письма в журнал технической физики. 2003. Т. 29. № 3. С. 33-40.

153. Попов В.Н. Постановка граничных условий на обтекаемых разреженным газом искривленных поверхностях // Письма в ЖТФ. 2003. Т. 29. Вып. 14. С. 87-94.

154. Савков С.А. Об учете аккомодации энергии при вычислении потока тепла от сферической частицы при произвольных числах Кнудсена // ИФЖ. 2002. Т. 75, № 3. С. 111-118.

155. Савков С.А., Юшканов А.А. К вопросу о вычислении потока тепла между коаксиальными цилиндрами при произвольных числах Кнудсена // ЖТФ. 2000. Т. 70, № 11. С. 9-15.

156. Савков С.А., Юшканов А.А. Об учете аккомодации энергии при вычислении потока тепла от сферической частицы в двухатомном газе // ИФЖ. 2002. Т. 75, № 5. С. 149-155.

157. Савков С.А., Юшканов А.А., Яламов Ю.И. О вычислении потока тепла от сферической частицы в молекулярном газе // ЖТФ. 2001. Т. 71, № 10. С. 36-41.

158. Смирнов Л.П., Чекалов В.В. Медленное вращение сферы в ограниченном объеме разреженного газа // Изв. АН СССР. МЖГ. 1978. № 4. С. 117-124.

159. Силин В.П. Введение в кинетическую теорию газов. М.: Наука, 1971. 332 с.

160. Ферцигер Дж., Капер Г. Математическая теория процессов переноса в газах. М.: Мир, 1976. 554 с.

161. Холвей Л. Новые статистические модели в кинетической теории: методы конструкций // Механика. М.: ИЛ, вып.6, 1967.

162. Черчиньяни К. Математические методы в кинетической теории газов. М.: Мир, 1973. 245 с.

163. Черчиньяни К. Теория и приложения уравнения Больцмана. М.: Мир. 1978. 495 с.

164. Черчиньяни К. О методах решения уравнения Больцмана // Неравновесные явления. Уравнение Больцмана. С 132-203. Под ред. Дж. Л. Либовица и Е. У. Монторолла. М.: Мир. 1986. 269 с.

165. Шахов Е.М. Метод исследования разреженного газа. М.: Наука, 1974. 207 с.

166. Шидловский В.П. Введение в динамику разреженного газа. М.: Наука, 1965. 217 с.

167. Яламов Ю.И., Галоян B.C. Динамика капель в неоднородных вязких средах. Ереван: Луйс, 1985. 204 с.

168. Яламов Ю.И., Поддоскин А.А., Юшканов А.А. О граничных условиях при обтекании неоднородно нагретым газом сферической поверхности малой кривизны // ДАН СССР. 1980. Т. 254, №2. С. 343346.

169. Aoki К., Kanba К., Takata S. Numerical analysis of a supersonic rarefied gas flow past a fiat plate // Phys. Fluids. 1997. V. 9. № 4. P. 11441161.

170. Aoki K., Takata S., Aikawa H., Golse F. A rarefied gas flow caused by a discontinuous wall temperature // Phys. Fluids. 2001. V. 13. № 9. P. 2645-2661.

171. Bardos C., Calflish R.E., Nicolaenco B. The Milne and Kramers problems for the Boltzmann equetion of a hard sphera gas // Commun. Pure and Appl. Math. 1986. V. 39. № 3. P. 323-352.

172. Beresnev S., Chernyak V. Thermophoresis of a spherical particle in a rarefied gas: Numerical analysis based on the model kinetic equations // Phys. Fluids. 1995. V. 7. № 7. P. 1743-1756.

173. Bhatnagar P.L., Gross E.M., Krook M. Model for collision processes in gases. I. Smull amplitudeprocesses in charged and neutral one component systems // Phys.Revew. 1954. V. 94. № 3. P. 511-525.

174. Beresnev S.A., Chernyak V.G. and Fomyagin G.A. Motion of a spherical particle in a rarefied gas. Part 2. Drag and thermal polarization // J. Fluid Mech. 1990. № 219. P. 405-421.

175. Beylich A.E. Solving the kinetic equation for all Knudsen numbers // Phys. Fluids. 2000. V. 12. № 2. P. 444-465.

176. Brock J.R. On the theory of thermal forces acting on aerosol particles // J.Coll.Int.Sci. 1962. V.17. P. 768-780.

177. Brock J.R. Investigation of a first-order slip-flow continium analysis: the thermal force // J.Phys.Chem. 1962. V. 66. № 10. P. 1763-1767.

178. Chen S., Martinez D., Mei R. On boundary conditions in lattice Boltz-mann methods // Phys. Fluids. 1996. V. 8. № 9. P. 2527-2536.

179. Chen Y., Ohashi H., Akiyama M. Prandtl number of lattice Bhatnagar-Gross-Krook fluid // Phys. Fluids. 1995. V. 7. № 9. P. 2280-2282.

180. Cercignani C. Elementary solutions of the linearized gas-dinamics Boltzmann equation and their application to the slip-flow.//Annals of Physics, 1962. V. 20. P. 219-233.

181. Cercignani C. The Kramers problem for a not completely diffusing wall // J. Math. Phys. Appl. 1965. V 10. № 3. P. 568-586.

182. Cercignani C. The method of elementary solutions for kinetic models with velosity-depend collision frequency // Ann. Phys. 1966. V. 40. № 43. P. 469-481.

183. Cercignani C., Lampis M. Kinetic model for gas-surface interaction // Transport Theory and Stat. Phys. 1971. V 1. P. 101-114.

184. Cercignani C., Foresty P., Sernangiotto F. Dependenca of the slip coefficient on the form of the collision frequency // Nuovo Cimento. 1968. V. 57. Ser. B. № 2. P. 297-306.

185. Cercignani C., Pagani D.C. Flow of rarefied gas past an axisymmetric body. 1. General remarks // Phys. Fluids. 1968. № 11. P. 1359-1399.

186. Cercignani C., Pagani D.C., Bassanini P. Flow of rarefied gas past an axisymmetric body. 2. Case of sphere // Phys. Fluids. 1968. № 11. P. 1399-1403.

187. Cercignani С., Protopopescu V. The special decomposition for a linear transport operator // J. Stat. Phys. 1982. V. 29. № 2. P. 363-377.

188. Cercignani C., Tironi G. Some application of linearize kinetic model with correct Prandtl number // Nuovo Cimento. 1966. V. 43. № IB. P. 64-68.

189. Chikhaoui A., Dudon J.P., Genieys S., Kustova E.V., Nagnibeda E.A. Multitemperature kinetic model for heat transfer in reacting gas mixture flows // Phys. Fluids. 2000. V. 12. № 1. P. 220-232.

190. Cowperthwaite M. An exact solution for axial flow in cylindrically symmetric, steady-state detonation in polytropic explosive with an arbitrary rate of decomposition // Phys. Fluids. 1994. V. 6. № 3. P. 13571378.

191. Deriaguin B.V., Yalamov Yu.I. // Internat. Rev. Aerosol Physics and Chemistry. Pergamon Press, 1972. Vol. 3, Pt. 2. P. 1-200.

192. Devenish B.J., Swailes D.C., Sergeev Y.A., Kurdyumov V.N. A PDF model for dispersed particles with inelastic particle-wall collisions // Phys. Fluids. 1999. V. 11. № 7. P. 1858-1868.

193. Din X.-D., Michaelides E.E. Kinetic theory and molecular dynamics simulations of microscopic flows // Phys. Fluids. 1997. V. 9. J№ 12. P. 3915-3925.

194. Dinavahi S.P.G., C. David Pruett, Thomas A. Zang Direct numerical simulation and data analysis of a Mach 4.5 transitional boundary-layer flow // Phys. Fluids. 1994. V. 6. № 3. P. 1323-1330.

195. Dwyer H. A. Thirteen-moment theory of the thermal force on a spherical particle // Phys. Fluids. 1967. V. 10, № 5. P. 976-984.

196. Epstein P.S. Zur Theorie des Radiometers. // Z.Phys. 1929. Bd 54. S. 537-563.

197. Garzo V., M. Lopez de Наго Kinetic model for heat and momentum transport // Phys. Fluids. 1994. V. 6. № 11. P. 3787-3794.

198. Holway L.H., Jr. Approximation procedres for kinetic theiry. Ph. D. Thesis, Harvard. 1963.

199. Jenkins J.T., Zhang C. Kinetic theory for identical, frictional, nearly elastic spheres // Phys. Fluids. 2002. V. 14. № 3. P. 1228-1235.

200. Jeong J.-T. Slip boundary condition on an idealized porous wall // Phys. Fluids. 2001. V. 13. № 7. P. 1884-1890.

201. Lea K.C., Loyalka S.K. Motion of sphere in a rarefied gas. 2. Role of temperature variation in the Knudsen layer // Phys. Fluids. 1986. № 29. P. 3886-3888.

202. Lim C.Y., Shu C., Niu X.D., Chew Y.T. Application of lattice Boltzmann method to simulate microchannel flows // Phys. Fluids. 2002. V. 14. № 7. P. 2299-2308.

203. Kobine J. J., Mullin Т., Nonlinear phenomena in hybrid Couette flow composed of planar and circular shear // Phys. Fluids. 2001. V. 13. № 6. P. 1583-1593.

204. Lord R. G. Some further extensions of the Cercignani-Lampis gas-surface interaction model // Phys. Fluids. 1995. V. 7. № 5. P. 11591161.

205. Loyalka S.K. The Qn and Fn integrals for the BGK model // Transport theory and statistical physics. 1975. V .4, P. 55-65.

206. Loyalka S.K. Motion of sphere in gas: Numerical solution of the linearized Boltzmann equation // Phys. Fluids A. 1992. V. 4 (5). P. 10491056.

207. Minier J.-P., Pozorski J. Wall-boundary conditions in probability density function methods and application to a turbulent channel flow // Phys. Fluids. 1999. V. 11. № 9. P. 2632-2644.

208. Martys N.S. Improved approximation of the Brinkman equation using a lattice Boltzmann method // Phys. Fluids. 2001. V. 13. № 6. P. 18071810.

209. Millikan R.A. The general law of fall of small spherical body through a gas // Phys. Rev. 1923. V. 22. P. 1-23.

210. Montanero J. M., Santos A., Garzo V. Monte Carlo simulation of the Boltzmann equation for uniform shear flow // Phys. Fluids. 1996. V. 8. № 7. P. 1981-1983.

211. Noble D.R., Chen S., Georgiadis J.G., Buckius R.O. A consistent hy-drodynamic boundary condition for the lattice Boltzmann method // Phys. Fluids. 1995. V. 7. № 1. P. 203-209.

212. Noack B.R., Eckelmann H. A low-dimensional Galerkin method for the three-dimensional flow around a circular cylinder // Phys. Fluids. 1994. V. 6. № 1. P. 124-143.

213. T. Ohwada, Y. Sone. Analysis of thermal stress slip flow and negativ thermophoresis using Boltzmann equation for hard-spere molecules // Eur. J. Mech. B. Fluids. № 11. 1992. P. 389-414.

214. Onishi Y. Kinetic theory analysis for temperature and density fields of a slightly rarefied binary gas mixture over a solid wall // Phys. Fluids. 1997. V. 9. № 1. P. 226-238.

215. Pao Y.-P. Some boundary-value problems in the kinetic theory of gases // Phys. Fluids. 1971. V. 14. № 11. P. 2285-2290.

216. Peters M.H. Analytical (perturbation) solution to the problem of free-molecule gas flows in two-body systems: Results for flows over two unequal-size cylinders // Phys. Fluids. 1996. V. 8. № 4. P. 1089-1106.

217. Siewert C.E. and Sharipov F.Model equations in rarefied gas dynemics: viscous-slip and thermal-slip coefficients. // Phys. Fluids. 2002. V 14. № 12. P. 4123-4129.

218. Sharipov F. Rarefied gas flow through a slit. Influence of the boundary condition // Phys. Fluids. 1996. V. 8. № 1. P. 262-268.

219. Sone Y. Asymptotic Theory of Flow of Rarefied Gas over a Smooth Boundary 1.// Rarefied gas dynamics. New York, Academic Press, 1969. V. 1. P. 243-253.

220. Sone Y. Asymptotic Theory of Flow of Rarefied Gas over a Smooth Boundary 2.// Rarefied gas dynamics. Italy. 1971. V.2. P. 737-749.

221. Sone Y., Aoki K. Forces on a spherical particle in a slightly rarefied gas // Rarefied gas dynamics. New York. 1977. V. 51. part 1. P. 417-433.

222. Sone Y., Aoki K., Sugimoto H. The Benard problem for a rarefied gas: Formation of steady flow patterns and stability of array of rolls // Phys. Fluids. 1997. V. 9. № 12. P. 3898-3914.

223. Sone Y., Sugimoto H., Aoki K. Cylindrical Couette flows of a rarefied gas with evaporation and condensation: Reversal and bifurcation of flows // Phys. Fluids. 1999. V. 11. № 2. P. 476-490.

224. Sone Y., Takata S., Golse F. Notes on the boundary conditions for fluid-dynamic equations on the interface of a gas and its condensed phase // Phys. Fluids. 2001. V. 13. № 1. P. 324-334.

225. Sone Y., Takata S., Sugimoto H. The behavior of a gas in the continuum limit in the light of kinetic theory: The case of cylindrical Couette flows with evaporation and condensation // Phys. Fluids. 1996. V. 8. № 12. P. 3403-3413.

226. Takeo Soga. A kinetic analysis of thermal force on a spherical particle of high thermal condactivity in monoatomic gas // Phys. Fluids. 1986. V. 29. № 4. P. 976-985.

227. Tsai K., Fox R.O. Modeling multiple reactive scalar mixing with the generalized IEM model // Phys. Fluids. 1995. V. 7. № 11. P. 2820-2830.

228. Tutty O.R., Price W.G., Parsons A.T. Boundary layer flow on a long thin cylinder // Phys. Fluids. 2002. V. 14. № 2. P. 628-637.

229. Waichman K. Kinetic study of the effects of boundary geometry on rarefied vapor flow // Phys. Fluids. 1996. V. 8. № 5. P. 1321-1329.

230. Welander P. On the temperatura jump in a rarefied gas. // Arkiv for Fysik. 1954. Bd. 7. № 44. P. 507-564.

231. Williams M.M.R. Boundary-value problems in the kinetic theory of gases. Part 1. Slip flow // J. Fluid. Mech. 1969. V. 86. Part 1. P. 145157.

232. Xu K. Regularization of the Chapman-Enskog expansion and its description of shock structure // Phys. Fluids. 2002. V. 14. № 4. P. L17-L20.

233. В диссертационный Совет Д 212.142.031. Справкао практическом применении результатов диссертационной работы Попоиа B.II. "Математическое моделирование процессом м разреженных газах вблизи искривленных поверхностей"

Похожие работы

Информатика, вычислительная техника и управление
05.13.00