автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование падения тел на землю при их движении из дальнего космоса

УД1

4842028

ЗеяСо

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПАДЕНИЯ ТЕЛ НА ЗЕМЛЮ ПРИ ИХ ДВИЖЕНИИ ИЗ ДАЛЬНЕГО КОСМОСА

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы

и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва-2011

7 АПР 2011

4842028

Работа выполнена на кафедре «Компьютерное моделирование» факультета аэромеханики и летательной техники Московского физико-технического института (государственного университета)

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук,

доцент Горелов Сергей Львович

Официальные оппоненты: д.ф.м.н., профессор Толстых Андрей Игоревич

к.ф.м.н., доцент Захаров Андрей Алексеевич

Ведущая организация: ФГУП центральный аэрогидродинамический институт им. проф. Н.Е. Жуковского - ЦАГИ

Защита состоится 14 апреля 2011г. в 10 часов на заседании диссертационного совета Д.215.001.01 при ВУНЦ ВВС "Военно-воздушная академия им. проф. Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина" по адресу: Москва, ул. Радио, д.17, "Научно-мемориальный музей Н.Е. Жуковского".

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ВУНЦ ВВС "Военно-воздушная академия им. проф. Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина"

С электронной версией автореферата диссертации можно ознакомиться на сайте http:// dissovet.ru

Автореферат разослан « »марта 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук

Jh

yl' ^py Ненашев A.C.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность диссертации

Интерес к задачам, связанным с падением тел из дальнего космоса на Землю, появился в последнее время в связи с разнообразными проектами полетов к планетам солнечной системы (марсианские проекты, проект "Фобос-грунт", и т.п.). Наиболее близкими к таким искусственным телам, падающим на Землю, являются природные падающие тела - метеоры. В работе рассматривается падение сферических тел из дальнего космоса на Землю.

Поскольку скорости входа в атмосферу Земли тел из дальнего космоса существенно больше орбитальных (минимальная скорость входа в атмосферу это вторая космическая скорость), то силы сопротивления и тепловые потоки к таким телам будут выше чем при орбитальном движении. В работе приводятся новые зависимости коэффициента сопротивления сферы и коэффициента теплового потока от чисел Рейнольдса, построенные с помощью самоподобной интерполяции.

В процессе входа тела в земную атмосферу последовательно реализуются все режимы обтекания от свободномолекулярного до континуального. Для расчета траектории движения этого тела требуется знание аэродинамических сил действующих на него вдоль траектории движения. А для определения нагрева тела при движении в атмосфере, что особенно актуально при больших скоростях входа в земную атмосферу (вторая космическая скорость и выше), требуется знание тепловых потоков к телу. Несмотря на большие достижения вычислительной математики, определение аэродинамических характеристик и тепловых потоков в разреженном газе в настоящее время слишком трудно, что обусловлено, в главном, сложностью кинетических уравнений. Трудности решения аэродинамических задач вызвали появление инженерных, полуэмпирических методов, использующих накопленные экспериментальные и расчетные данные.

Значительное распространение получил полуэмпирический метод аэродинамического расчета тел в гиперзвуковом потоке разреженного газа, основанный на гипотезе локальности, согласно которой аэродинамические коэффициенты сил, действующих на элемент поверхности тела, зависят лишь от местного угла между вектором скорости набегающего потока и нормалью к поверхности. Для аппроксимации этой зависимости используются тригонометрические разложения, единые во всем диапазоне изменения углов атаки и разреженности. Коэффициенты при членах разложения зависят только от режима обтекания (чисел Маха, Рейнольдса, температурного фактора и т.д.).

Другой полуэмпирический метод расчета аэродинамических характеристик тел в гиперзвуковом потоке разреженного газа получил развитие

в работах . Любой аэродинамический коэффициент С, представляется в виде С=С +(С.а-С.

I /оо V. /О |м/

Здесь индекс "а>" соответствует случаю обтекания тел идеальным газом, а индекс " 0 " соответствует свободномолекулярному обтеканию. Функция Р зависит от критериев подобия и в общем случае будет определяться также формой и положением тела.

Отметим, что с помощью методов, описанных выше, можно с достаточной точностью определить только аэродинамические характеристики. В данной работе для определения аэродинамических коэффициентов и коэффициента теплового потока в критических точках предлагается новый аналитический метод основанный на самоподобной интерполяции.

Целью настоящей работы является разработка математической модели для определения траектории движения сферических тел из дальнего космоса, оценки сил, действующих на такие тела и тепловых потоков в критической точке на основе численного метода решения дифференциальных уравнений движения с помощью нового метода самоподобной интерполяции, его тестирование на задачах динамики разреженных газов.

Метод самоподобной интерполяции тестируется на решении группы задач динамики разреженных газов :

• Решение модельных кинетических уравнений для медленных течений (задачи Куэтта и Пуазейля)

• Решение уравнения Больцмана (задачи получения аэродинамических характеристик и коэффициента теплового потока при обтекании плоской и треугольной пластин и сферы высокоскоростным потоком)

Расчетам неуправляемого движения спутников Земли посвящено множество работ. В диссертации рассматриваются особенности постановки задачи о движении тел из дальнего космоса, отличающиеся от орбитального движения. Численно решаются дифференциальные уравнения движения сферы в случае постоянного коэффициента сопротивления.

Вычисляются угол и точка входа в плотные слои атмосферы в зависимости от прицельного расстояния и скорости метеора. Проводятся комплексные исследования воздействия земной атмосферы на метеор. Вычисляются скорости движения вдоль траектории, силы действующие на метеор и оценивается температура поверхности для широкого диапазона определяющих параметров (прицельного расстояния, скорости на бесконечности, размеров и материала метеоров). Делаются оценки возможности разрушения метеоров.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Новый вариант метода самоподобной интерполяции для решения кинетических уравнений в области динамики разреженных газов, который позволяет получать интерполяционные формулы, описывающие кроссоверные явления любой природы на полубесконечных интервалах изменения параметров задачи.

2. Постановка задачи о моделировании падения тел на Землю при их движении из дальнего космоса на примере падения сферического метеора.

3. Алгоритм численного построения траектории движения сферического метеора и его реализация в виде комплекса программ для решения системы дифференциальных уравнений движения метеора (с учетом зависимости коэффициента сопротивления от числа Рейнольдса) совместно с уравнением баланса тепла.

Научная новизна.

1. Впервые применен новый вариант метода самоподобной интерполяции для решения кинетических уравнений и его тестирование на задачах динамики разреженного газа.

2. Построенный комплекс программ позволяет получить более широкий спектр характеристик движения сферических тел, чем существующие методики.

Степень обоснованности результатов.

Метод самоподобной интерполяции апробируется на задачах о решении кинетических уравнений в области динамики разреженных газов. Решаются задачи о медленных течениях разреженного газа (задача Куетта и задача Пуазейля) и задачи о течениях гиперзвуковых течениях разреженного газа (обтекание сферы). Решение этих задач, полученных с помощью самоподобной интерполяции, аэродинамических коэффициентов и коэффициета теплового потока сравниваются с известными эмпирическими и расчетными данными. Научная и практическая ценность.

Комплекс программ позволяет получить целый комплекс важных характеристик движения сферических тел: скорости движения тел в зависимости от высоты полета, сил, действующих на эти тела и тепловых потоков в критической точке вдоль траектории движения. Учет новых зависимостей аэродинамических коэффициентов и коэффициента теплового потока в критической точке от параметров разреженности, полученных с помощью варианта метода самоподобной интерполяции, позволяет оценивать коэффициенты сопротивления и коэффициент теплового потока для тел произвольной формы в гиперзвуковом потоке разреженного газа. А также

позволяет делать выводы о высотах, на которых возможно разрушение метеоров либо вследствие давления, превышающего предел прочности вещества метеоров, либо вследствие нагрева поверхности до температур плавления и выше в зависимости от определяющих параметров. Апробация результатов.

Результаты работы были представлены на следующих конференциях:

• «Труды 50-ой научной конференции МФТИ» (Жуковский, 2007)

• «Труды 52-ой научной конференции МФТИ» (Жуковский, 2009)

• «Труды 53-ой научной конференции МФТИ» (Жуковский, 2010)

и семинарах

Публикации.

Основные результаты диссертации опубликованы в 5 научных работах, в том числе в 2 статьях в журналах, включенных в перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертации на соискание ученой степени доктора и кандидата наук [4,5]. Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, трех глав, выводов и библиографического списка из 34 наименований. Работа содержит 78 страницы текста, 46 рисунков

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во Введении обосновывается актуальность темы диссертации, формулируется цель работы, описывается структура диссертации и приводится обзор работ по теме диссертации.

В первой главе представлен новый, пока широко не распространенный метод "самоподобной интерполяции", позволяющий получать интерполяционные формулы, описывающие кроссоверные явления любой природы на полубесконечных интервалах изменения параметров задачи и проводится тестирование этого метода на задачах о медленных течениях разреженного газа и гиперзвуковых течениях. Описание метода самоподобной интерполяции

В простейшем варианте, метод самоподобной интерполяции [4] позволяет построить интерполяционные формулы для функций, асимптотические разложения которых на границах полубесконечного интервала известны, и эти разложения представляют собой стандартные степенные ряды. Предположим, что

к

/О ) = «о> Дх)= ^ЛУ'1 хн>со

¡=0

Тогда интерполяционная формула первого порядка будет иметь вид

Во втором порядке

а0,х-»О Дха°,х->оо

а„,х-»0

Г (А = («,"" + в,х)"

В третьем порядке

Лх) = С'Ха~*°А а А а /Ч*Н к,/"'+£>хГ"2+£х2

п2 / «з

+ #3г

Тестирование метода самоподобной интерполяции на задачах о медленных течениях разреженного газа [4].

Основной проблемой задач динамики разреженного газа является получение решений в широком диапазоне чисел Кнудсена. Чаще всего, известно асимптотическое поведение параметров задачи в случае свободномолекулярного, реже близкого к свободномолекулярному течения газа, когда число Кп-*к>. Иногда, известна асимптотика и при Кп -» 0.

Рассмотрим задачу Куэтта о медленном течении разреженного газа между параллельными пластинами, которые двигаются друг относительно друга, с равной и противоположной по направлению скоростью. Интегральное

модельное уравнение для нахождения распределения скорости газа &(х)между пластинами имеет вид

1/2

-1/2 ^

Г О -Л Г1

СП--X, а - + х.

. и ч {2 1)_

Здесь Зп (х) интеграл Абрамовича

о "х

требуется найти напряжение трения Рх: в зависимости от величины а = Кп 1 Из [4] имеем

Рх. . 4ж . Рг 4п 14ж

-^-=1--а, а-»0, =---г—, а-»со

2 Р° а а2

В первом порядке интерполяции имеем 1

Р° \у[л/а а-> оо Во втором порядке

4я

[я +а

Р'[

1 а_>0

Р'

а4тг

л !а

аг —> да

^1 + 4(л/^/2)3а + (лУ^/2)2а2

Рхг^ ^ ^ ^ хг

Ьд(«)

Рис.1 Зависимость напряжения трения от числа <2 . Кривая 1 - первый порядок интерполяции, кривая 2 - второй порядок, точки - численный расчет

Модельное уравнение для скорости газа ¿-(х) в течении Пуазейля

разреженного газа между двумя бесконечными параллельными неподвижными пластинами под действием малого градиента давления таком течении будет [4]

1 а 1/2 00 —г-х

2 л/Л _,/2 п

ыж

Г 11 Г П 11

а —х ~то а —1-х

. и л . и ^

Требуется вычислить расход газа 2(а)=— [ %{х)с1х для которого метод

«-1/2

самоподобной интерполяции дает

-0.45Ьп(а)+0.965 а->0, ()\а) = Ь.а-айЬп е-*°/а°+-е'

а

-о, /л„

—а+1.0162 а —>оо, а0=-0.45, а, =0.965, 60 =1.0162, 6, =0.1667 6

Q

Lg (c.)

-j.

i

Рис. 2 Зависимость расхода Q от числа а .Сплошная кривая - расчет по интерполяционной формуле, точки - расчет методом последовательных приближений

Тестирование метода самоподобной интерполяции на задачах о гиперзвуковых течениях разреженного газа.

Аэродинамические характеристики гиперзвуковых летательных аппаратов в связи с сильным влиянием вязкости очень сложны для расчета и зависят от многих параметров. Они основаны на решении кинетического уравнения Больцмана для функции распределения молекул по скоростям

Основной задачей при гиперзвуковых течениях разреженного газа является расчет аэродинамических характеристик летательных аппаратов и теплового потока в критических точках в широком диапазоне чисел Рейнольдса.

плотность и скорость набегающего потока, ц - коэффициент динамической

вязкости, Т0 - температура торможения.

Обтекание треугольной пластины

Исследуется задача гиперзвукового обтекания треугольной пластины под углом атаки. На основе теории вязкого взаимодействия пограничного слоя с невязким потоком ранее получены простые формулы для расчета вязких поправок к коэффициентам давления, трения и теплоотдачи плоской пластины

' --- ----и'

OXj

I = l[f(x,?)f(x,^-f(x,t)f(x£)]gbdbdßdl

Принято использовать число Рейнольдса Re0 = f ,

М{Т0)

где и,

>00

под углом атаки в широком диапазоне параметров подобия. Полные коэффициенты аэродинамических сил складываются из коэффициентов для невязкого случая и дополнительных коэффициентов, возникающих из-за влияния вязкости , тогда для этих коэффициентов можно записать

Сх = Сх„+-§1, Су = Сут + -7==

Использование метода самоподобной интерполяции первого порядка позволяет получить достаточно простые выражения для решения в промежуточной области. Так для коэффициента сопротивления можно записать

1

Сх=Сх +

1д(яе0)

Рис.3 Коэффициент сопротивления треугольнойпластины, = 10,а = 15°,Г, = 200,^ = 0.03, сплошная кривая — самоподобная интерполяция, точки - расчет методом ПЭМС.

Коэффициент сопротивления сферы

В случае гиперзвукового обтекания шара в режиме сплошной среды коэффициент сопротивления, согласно модифицированной теории Ньютона, равен

Сх = — с 2

7-1

V 7 у

(г+1)2

\!у-\

= 0.917 (г = 1.4)

В предельном случае свободномолекулярного режима коэффициент сопротивления равен

2 (7-1) Т

Сх„ = 2 +—_ /--; ^ =—; Т„ -температура поверхности шара

У А о

Для режима течения газа близкого к свободномолекулярному, исходя из метода первых столкновений

Сх = Сх,„ - С, Ие,

о

Для построения интерполяционной формулы первого порядка, имеем

-1

Ьд(Яе0)

Рис.4 Зависимость коэффициента сопротивления сферы от числа 11е0, /н, = 0.05 (сплошная кривая), эмпирическая формула (пунктирная кривая)

Тепловой поток в критической точке.

Важнейшей задачей прикладной аэротермодинамики больших сверхзвуковых скоростей является исследование теплообмена в окрестности критической точки, где реализуются максимальные величины тепловых потоков. Для расчета тепловых потоков в режиме разреженного газа используется метод прямого статистического моделирования решения кинетического уравнения Больцмана (Монте-Карло). В режиме сплошной среды широко применяются расчеты в рамках модели тонкого вязкого ударного слоя. Для представления данных по теплообмену часто используется безразмерный коэффициент - число

потока в условиях торможения и при температуре стенки в рассматриваемой точке. Обозначая число Стантона в свободномолекулярном случае Й,, а в

сплошной среде получаем

Стантона & =

, где д- тепловой поток, /;0, Ик - полная энтальпия

1

Рис.5 Тепловой поток в критической точке сферы: сплошная кривая - эмпирическая Формула, пунктир- самоподобная интерполяция, точки - расчет методом ЭВМС

В второй главе строится математическая модель для вычисления траекторий движения тел, падающих на Землю из дальнего космоса на примере сферических метеоров. Расчеты проводятся для разных прицельных расстояний, скоростей на бесконечности и разных размеров тел как для случая отсутствия сопротивления атмосферы, так и для случая, когда коэффициент сопротивления постоянен.

Исследуем падение тел из дальнего космоса к Земле без учета сопротивления атмосферы. Пусть метеор падает на Землю по направлению точно на центр Земли. Найдем максимальную скорость с которой метеор может коснуться поверхности Земли. На Рис. 6 представлены результаты расчетов [1] скорости падения метеора на поверхность Земли в зависимости от определяющих параметров безразмерной силы притяжения Земли а и безразмерного баллистического коэффициента с.

х Б Сх

УЯ т

Отметим, что во всех случаях большему значению безразмерного баллистического коэффициента с соответствует меньшее значение

относительной скорости падения метеора К3 / • Это объясняется тем, что при

увеличении баллистического коэффициента увеличивается сила сопротивления и движение метеора замедляется [2].

Отметим, также, что относительная скорость уменьшается вместе с параметром а при тех же значениях прицельного расстояния Ъ . Но, естественно, абсолютная скорость падения метеора увеличивается, так как

параметр а обратно пропорционален квадрату скорости на бесконечности а

относительная скорость на бесконечности обратно пропорциональна первой

степени . Для примера, на Рис. 7 изображены зависимости абсолютной

скорости падения метеора для двух случаев а = 1, я = 0.01 и с = 0.1.

В третьей главе осуществляется тестирование разработанной математической модели и реализующего ее численного алгоритма для задач определения траекторий движения тел, падающих на Землю из дальнего космоса на примере сферических метеоров. Расчеты проводятся для разных прицельных расстояний, скоростей на бесконечности и разных размеров тел. Для вычисления силы сопротивления и тепловых потоков при движении тел в атмосфере используются новые зависимости от чисел Рейнольдса, построенные на основе самоподобной интерполяции. Анализируется возможность разрушения метеоров от сил давления и нагрева в атмосфере.

Для решения уравнений движения спуска орбитальных искусственных

спутников Земли, как правило, задается угол входа (угол между вектором скорости спутника и горизонтом на определенной высоте), который определяется тормозным импульсом. В задачах движения тел из дальнего космоса удобнее задавать прицельное расстояние [2], то есть расстояние между вектором скорости на бесконечности и прямой, параллельной вектору скорости, проходящей через центр Земли.

Поскольку скорости входа в атмосферу Земли тел из дальнего космоса существенно выше орбитальных (минимальная скорость входа в атмосферу это вторая космическая скорость), то силы сопротивления и тепловые потоки к таким телам будут существенно выше чем при орбитальном движении [3].

В качестве примера, были проведены расчеты траекторий движения

сферического метеора радиуса гт , падающего на Землю [5]. Плотность вещества метеора была принята рт =2.5х103кг/л13 , что соответствует го магматических пород трахиту (предел прочности 60-70А/77а), или из горных

пород граниту (предел прочности 137 - 245МПа).

Вычислялись давление на поверхность падающего метеора, тепловой поток и температура в критической точке. Зная давление и предел прочности вещества метеора можно приблизительно вычислить высоту на которой происходит его разрушение.

Температура в критической точке приближенно определялась из закона Стефана-Больцмана

ц = еаТ\е = 0.8, ст = 5.67х1(Г8Вт!м2К4 Считая, что при температуре 2500 - 4000 К любое вещество плавится и

испаряется, можно определить высоту разрушения и сгорания метеора.

На Рис. 8-10 приведены графики результатов расчетов для двух скоростей на бесконечности Кя=1.65юи/с (левые графики), что соответствует

второй космической скорости У0 = 11.2км/с входа в атмосферу Земли

(/г = 120юи) и К. =71.15км/с , что соответствует скорости входа 12км!с .

Расчеты проводились для трех значений радиуса метеора гт = 0.01-м, 0.1 м, 1.0м

и трех придельных расстояний. На рисунках буквами а) обозначена зависимость

величины давления, буквами Ь) - зависимость теплового потока, буквами с) -зависимость температуры от высоты полета.

с)к„= 1.65; = 0.01; 1 -6 = 0.5; 2-6 = 1.; с) Р. =71.15; г. =0.01; 1-6 = 0.1; 2-6 = 0.5; 3-6 = 1.

Рис. 8 15

с)К„ = 1.65; /-„=0.1; 1-6 = 0.5; 2-5 = 1.; с)= 71.15; ra= 0.1; 1-6 = 0.1; 2-è = 0.5; 3-6 = 1.

Рис. 9

с)^ =1.65; rn¡ =1.0; 1-6 = 0.5; 2-¿> = l.; с) ^ = 71.15; /•„=1.0; 1-А = 0.1; 2-А = 0.5; 3-i = l.

Рис. 10

Прежде всего, как это можно было предположить, чем больше скорости метеоров, тем больше величины давления и тепловых потоков. Особенность зависимости положения максимумов давлений и тепловых, потоков от прицельных расстояний при разных скоростях полета заключается в том, что при сравнительно малых скоростях (вторая космическая скорость) с ростом прицельного расстояния максимумы сдвигаются в сторону более низких высот.

При больших скоростях =71.15км!с) с ростом прицельного расстояния

максимумы сдвигаются в область больших высот. Это объясняется тем, что при одних и тех же прицельных расстояниях при малых скоростях угол входа больше (более крутой вход), чем при больших скоростях.

Отметим, что до высот 50 - 60юг кривые зависимостей давления,

теплового потока и температуры от высоты для разных прицельных расстояний практически совпадают.

Критические температуры, при которых происходит плавление и испарение вещества метеоров, с ростом радиуса сдвигаются в область более низких высот и всегда эти высоты больше, чем те при которых давление становится равным пределу прочности материала ( для трахитов это

60 -10 МП а, для гранитов 140 - 240 МПа)

В заключении сформулированы выводы по проведенной автором диссертации работе.

1. Рассмотрен ряд задач газовой динамики (задача Куэтта, задача Пуазейля, обтекание треугольного крыла), для которых были известны асимптотические решения в граничных точках кроссоверного интервала. Для получения решения во всей области использованы самоподобные кроссоверные аппроксимации различных порядков. Для проверки точности были получены численные решения для промежуточных значений параметров. Сравнение показывает сравнительно высокую точность полученных аналитических формул. Делается вывод, что подобные методы можно использовать для экономии вычислительных средств в ряде практически важных задач.

2. В результате исследования моделей падения тел на Землю из дальнего космоса можно сделать вывод, что скорость падения метеора на поверхность Земли зависит от трех определяющих параметров. Скорость с которой метеор может коснуться поверхности Земли прежде всего зависит от параметра а, который обратно пропорционален квадрату скорости метеора на бесконечности. Скорость падения метеора зависит также от параметра с, который является безразмерным баллистическим коэффициентом, зависящим от вещества метеора и его размеров и прицельного параметра Ъ.

3. Математическая модель для расчета траекторий движения тел типа метеоров в атмосфере позволяет оценивать давление, тепловой поток и температуру поверхности объектов. Математическая модель позволяет делать выводы о высотах, на которых возможно разрушение объектов либо вследствие давления, превышающего предел прочности вещества объектов, либо вследствие нагрева поверхности до температур плавления и выше.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Зея Со, Падение тел на Землю // Труды 50-ой научной конференции МФТИ, «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук», 2007.

2. Зея Со, Падение метеора // Труды 52-ой научной конференции МФТИ, «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук», 2009.

3. Зея Со, Математическое моделирование падения тел на Землю при их движении из дальнего космоса // Труды 53-ой научной конференции МФТИ, «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук», 2010.

4. С.Л. Горелов, Зея Со, Самоподобная интерполяция в задачах динамики разреженного газа. // Ученые записки ЦАГИ - М: изд. отд. ЦАГИ, №5, 2010.

5. С.Л Горелов, Зея Со, Падение тел на Землю из дальнего космоса. // электронный журнал Труды МАИ, 2010 год.

Зея Со

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПАДЕНИЯ ТЕЛ НА ЗЕМЛЮ ПРИ ИХ ДВИЖЕНИИ ИЗ ДАЛЬНЕГО КОСМОСА

Подписано в печать 9.03.2011. Формат 60 х 84 1/1 Усл. печ. л. 1, 2. Тираж 100 экз. Заказ № 6

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский физико-технический институт (государственный университет)» 141700, Московская обл., г. Долгопрудный, Институтский пер., 9

Издательский сектор оперативной полиграфии 141700, Моск. обл., г. Долгопрудный, Институтский пер., 9

Введение.

Глава 1. Метод самоподобной интерполяции и его тестирование на задачах динамики разреженного газа

1.1. Самоподобная интерполяция

1.2. Медленные течения разреженного газа

1.2.1. Задача Куэтта

1.2.2. Течение Пуазейля

1.3. Гиперзвуковые течения разреженного газа

1.3.1. Обтекание треугольной пластины

1.3.2. Коэффициент сопротивления сферы

1.3.3. Тепловой поток в критической точке

Глава 2. Особенности постановок задач о падении тел в атмосфере Земли

2.1 Лобовой удар,

2.2. Падение с прицельным расстоянием

Глава 3. Расчет траекторий движения тел. Определение возможности разрушения метеоров при их падении на Землю

3.1 Зависимость угла входа от прицельного расстояния

3.2 Зависимость точки входа от прицельного расстояния

3.3 Расчет траектории падения метеора с учетом сопротивления атмосферы

3.4 Результаты расчетов Заключение Список литературы

На защиту выносятся следующие положения:

1. Новый вариант метода самоподобной интерполяции для решения кинетических уравнений в области динамики разреженных газов, который позволяет получать интерполяционные формулы, описывающие кроссоверные явления любой природы на полубесконечных интервалах изменения параметров задачи.

2. Постановка задачи о моделировании падения тел на Землю при их движении из дальнего космоса на примере падения сферического метеора.

3. Алгоритм численного построения траектории движения сферического метеора и его реализация в виде комплекса программ для решения системы дифференциальных уравнений движения метеора (с учетом зависимости коэффициента сопротивления от числа Рейнольдса) совместно с уравнением баланса тепла.

Актуальность диссертации

Интерес к задачам, связанным с падением тел из дальнего космоса на Землю, появился в последнее время в связи с разнообразными проектами полетов к планетам солнечной системы (марсианские проекты, проект "Фобос-грунт", и т.п.). Наиболее близкими к таким искусственным телам, падающим на Землю, являются природные падающие тела - метеоры. В работе рассматривается падение сферических тел из дальнего космоса на Землю.

Поскольку скорости входа в атмосферу Земли тел из дальнего космоса существенно больше орбитальных (минимальная скорость входа в атмосферу это вторая космическая скорость), то силы сопротивления и тепловые потоки к таким телам будут выше чем при орбитальном движении. В работе приводятся новые зависимости коэффициента сопротивления сферы и коэффициента теплового потока от чисел Рейнольдса, построенные с помощью самоподобной интерполяции.

В процессе входа тела в земную атмосферу последовательно реализуются все режимы обтекания от свободномолекулярного до континуального. Для расчета траектории движения этого тела требуется знание аэродинамических сил действующих на него вдоль траектории движения. А для определения нагрева тела при движении в атмосфере, что особенно актуально при больших скоростях входа в земную атмосферу (вторая космическая скорость и выше), требуется знание тепловых потоков к телу. Несмотря на большие достижения вычислительной математики, определение аэродинамических характеристик и тепловых потоков в разреженном газе в настоящее время слишком трудно, что обусловлено, в главном, сложностью кинетических уравнений. Трудности решения аэродинамических задач вызвали появление инженерных, полуэмпирических методов, использующих накопленные экспериментальные и расчетные данные.

Значительное распространение получил полуэмпирический метод аэродинамического расчета тел в гиперзвуковом потоке разреженного газа, основанный на гипотезе локальности, согласно которой аэродинамические коэффициенты сил, действующих на элемент поверхности тела, зависят лишь от местного угла между вектором скорости набегающего потока и нормалью к поверхности. Для аппроксимации этой зависимости используются тригонометрические разложения, единые во всем диапазоне изменения углов атаки и разреженности. Коэффициенты при членах разложения зависят только от режима обтекания (чисел Маха, Рейнольдса, температурного фактора и т.д.).

Другой полуэмпирический метод расчета аэродинамических характеристик тел в гиперзвуковом потоке разреженного газа получил развитие в работах . Любой аэродинамический коэффициент С, представляется в виде

С| = С,.+(С,0-С1(В)*' Здесь индекс "<»" соответствует случаю обтекания тел идеальным газом, а индекс "О" соответствует свободномолекулярному обтеканию. Функция ^ зависит от критериев подобия и в общем случае будет определяться также формой и положением тела.

Отметим, что с помощью методов, описанных выше, можно с достаточной точностью определить только аэродинамические характеристики. В данной работе для определения аэродинамических коэффициентов и коэффициента теплового потока в критических точках предлагается новый аналитический метод основанный на самоподобной интерполяции.

Целью настоящей работы является разработка математической модели для определения траектории движения сферических тел из дальнего космоса, оценки сил, действующих на такие тела и тепловых потоков в критической точке на основе численного метода решения дифференциальных уравнений движения с помощью нового метода самоподобной интерполяции, его тестирование на задачах динамики разреженных газов.

Метод самоподобной интерполяции тестируется на решении группы задач динамики разреженных газов :

• Решение модельных кинетических уравнений для медленных течений (задачи Куэтта и Пуазейля)

• Решение уравнения Больцмана (задачи получения аэродинамических характеристик и коэффициента теплового потока при обтекании плоской и треугольной пластин и сферы высокоскоростным потоком)

Расчетам неуправляемого движения спутников Земли посвящено множество работ. В диссертации рассматриваются особенности постановки задачи о движении тел из дальнего космоса, отличающиеся от орбитального движения. Численно решаются дифференциальные уравнения движения сферы в случае постоянного коэффициента сопротивления.

Вычисляются угол и точка входа в плотные слои атмосферы в зависимости от прицельного расстояния и скорости метеора. Проводятся комплексные исследования воздействия земной атмосферы на метеор. Вычисляются скорости движения вдоль траектории, силы действующие на метеор и оценивается температура поверхности для широкого диапазона определяющих параметров (прицельного расстояния, скорости на бесконечности, размеров и материала метеоров). Делаются оценки возможности разрушения метеоров.

Научная новизна.

1. Впервые применен новый вариант метода самоподобной интерполяции для решения кинетических уравнений и его тестирование на задачах динамики разреженного газа.

2. Построенный комплекс программ позволяет получить более широкий спектр характеристик движения сферических тел, чем существующие методики.

Степень обоснованности результатов.

Метод самоподобной интерполяции апробируется на задачах о решении кинетических уравнений в области динамики разреженных газов. Решаются задачи о медленных течениях разреженного газа (задача Куетта и задача Пуазейля) и задачи о течениях гиперзвуковых течениях разреженного газа (обтекание сферы). Решение этих задач, полученных с помощью самоподобной интерполяции, аэродинамических коэффициентов и коэффициета теплового потока сравниваются с известными эмпирическими и расчетными данными.

Научная и практическая ценность.

Комплекс программ позволяет получить целый комплекс важных характеристик движения сферических тел: скорости движения тел в зависимости от высоты полета, сил, действующих на эти тела и тепловых потоков в критической точке вдоль траектории движения. Учет новых зависимостей аэродинамических коэффициентов и коэффициента теплового потока в критической точке от параметров разреженности, полученных с помощью варианта метода самоподобной интерполяции, позволяет оценивать коэффициенты сопротивления и коэффициент теплового потока для тел произвольной формы в гиперзвуковом потоке разреженного газа. А также позволяет делать выводы о высотах, на которых возможно разрушение метеоров либо вследствие давления, превышающего предел прочности вещества метеоров, либо вследствие нагрева поверхности до температур плавления и выше в зависимости от определяющих параметров.

Апробация результатов.

Результаты работы были представлены на следующих конференциях и семинарах:

• 50-ая научная конференция МФТИ (Жуковский, 2007)

• 52-ая научная конференция МФТИ (Жуковский, 2009)

• 53-я научная конференция МФТИ (Жуковский, 2010)

• Семинары кафедры компьютерного моделирования ФАЛТ МФТИ (Жуковский, 2004-2011)

Публикации.

1. Зея Со, Падение тел на Землю // Труды 50-ой научной конференции МФТИ, «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук», 2007.

2. Зея Со, Падение метеора // Труды 52-ой научной конференции МФТИ, «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук», 2009.

3. Зея Со, Математическое моделирование падения тел на Землю при их движении из дальнего космоса // Труды 53-ой научной конференции МФТИ, «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук», 2010.

4. С.Л. Горелов, Зея Со, Самоподобная интерполяция в задачах динамики разреженного газа. // Ученые записки ЦАГИ - М: изд. отд. ЦАГИ, №5, 2010.

5. С.Л Горелов, Зея Со, Падение тел на Землю из дальнего космоса. // электронный журнал Труды МАИ, 2010 год.

Статьи 4 и 5 опубликованы в журналах, включенных в перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертации на соискание ученой степени доктора и кандидата наук.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, трех глав, выводов и библиографического списка из 34 наименований. Работа содержит 78 страницы текста, 46 рисунков.

Заключение

В заключении сформулированы выводы по проведенной автором диссертации работе.

1. Рассмотрен ряд задач газовой динамики (задача Куэтта, задача Пуазейля, обтекание треугольного крыла), для которых были известны асимптотические решения в граничных точках кроссоверного интервала. Для получения решения во всей области использованы самоподобные кроссоверные аппроксимации различных порядков. Для проверки точности были получены численные решения для промежуточных значений параметров. Сравнение показывает сравнительно высокую точность полученных аналитических формул. Делается вывод, что подобные методы можно использовать для экономии вычислительных средств в ряде практически важных задач.

2. В результате исследования моделей падения тел на Землю из дальнего космоса можно сделать вывод, что скорость падения метеора на поверхность Земли зависит от трех определяющих параметров. Скорость с которой метеор может коснуться поверхности Земли прежде всего зависит от параметра а, который обратно пропорционален квадрату скорости метеора на бесконечности. Скорость падения метеора зависит также от параметра с, который является безразмерным баллистическим коэффициентом, зависящим от вещества метеора и его размеров и прицельного параметра Ъ.

3. Математическая модель для расчета траекторий движения тел типа метеоров в атмосфере позволяет оценивать давление, тепловой поток и температуру поверхности объектов. Математическая модель позволяет делать выводы о высотах, на которых возможно разрушение объектов либо вследствие давления, превышающего предел прочности вещества объектов, либо вследствие нагрева поверхности до температур плавления и выше. Список литературы

1. Алексеева Е.В., Баранцев Р.Г. Локальный метод аэродинамического расчета в разреженном газе. Л., Изд. ЛГУ, 1976, 210 с.

2. Галкин B.C., Ерофеев А.И., Толстых А.И. Приближенный метод расчета аэродинамических характеристик тел в гиперзвуковом потоке разреженного газа. Труды ЦАГИ, 1977, вып. 1833, с. 6-10.

3. Бунимович А.И., Чистолинов В.Г. Аналитический метод определения аэродинамических характеристик тел в гиперзвуковом потоке газа различной разреженности. Труды ЦАГИ, 1977, вып. 1833, с. 11-27.

4. Галкин B.C., Ерофеев А.И., Толстых А.И. О приближенном методе аэродинамического расчета в разреженном газе. Труды ЦАГИ, 1981, вып. 2111, с. 27-35.

5. Алексеева. С.Н., Мирошин Р.Н. О зависимости параметров локального взаимодействия от числа Кнудсена. В сб.: Аэродинамика разреженных газов, № 7, Л. Изд. ЛГУ, 1974, с. 180-190.

6. Perminov V.D., Gorelov S.L., Freedlender O.G., Khmelnitsky A.A. Approximate Aerodynamic Analysis for complicated Bodies in Rarefied Gas Flows. In Rarefied Gas Dyn., 17 th Symp., 1990, New York, N.Y., 1991,,p. 554-561.

7. Горенбух П.И. О приближенном расчете аэродинамических характеристик простых тел при гиперзвуковом обтекании разреженным газом. Труды ЦАГИ, 1990, вып. 1833, с. 28-43.

8. Gluzman S., Yukalov V.l. "Unified approach to crossover phenomena", Physical review, 1998, V58, №4.

9. Коган M.H. "Динамика разреженног газа", M., «Наука», 1967.

10. Lo S.S., Loyalka S.K. An efficient computation of near-continuum rarefied gas flows. J.of Applied Math. And Phys. (ZAMP), 1982,V33, №3,.

11. Горелов С.Л., Зейяр Со. Самоподобная интерполяция в задачах динамики разреженного газа. Ученые записки ЦАГИ. 2010, № 5.

12. Горелов С.Л. Применение метода самоподобной интерполяции к задачам динамики разреженного газа. ПММ, 2005, т.69, вып. 3, с. 438-444.

13. Николаев B.C. "Аппроксимационные формулы для аэродинамических коэффициентов плоской пластины в широком диапазоне параметров подобия", Ученые записки ЦАГИ, 1979, №4.

14. Перепухов В.А. Применение метода Монте-Карло в динамике сильно разреженного газа. — В сб. Динамика разреженного газа и молекулярная газовая динамика. — Труды ЦАГИ, 1972, вып. 1411, с. 54-72.

15. Горелов С.Л., Ерофеев А.И. "Особенности обтекания пластины гиперзвуковым потоком разреженного газа", Труды ЦАГИ, 1981, вып. 2111.

16. Горелов С.JI., Ерофеев А.И. "Пространственное обтекание тел простой формы разреженным газом", Труды ЦАГИ, 1985, вып. 2269.

17. Кошмаров Ю.А., Рыжов Ю.А. Прикладная динамика разреженного газа. М: Машиностроение, 1977, — 184 с.

18. Горелов C.JI., Русаков С.В. "Физико-химическая модель гиперзвукового обтекания тел разреженным газом", Изв. РАН, МЖГ, 2002, №3.

19. Ботин А.В., Провоторов В.П., Рябов В.В., Степанов Э.А., "Теплообмен в окрестности пространственной критической точки неравновесного вязкого ударного слоя при произвольной каталитической активности поверхности", Труды ЦАГИ, 1993, вып. 2514.

20. Фэй ДА., Риддел Ф.Р., "Теоретический анализ теплообмена в передней критической точке, омываемой диссоциированным воздухом"/ В кн.: Газодинамика и теплообмен при наличии химических реакций.—М.: ИЛ, 1962.

21. G. Contopoulos. Problems In Stellar Dynamics. In "Space Mathematics", Part 1, Amer. Math. Soc., 1966, p. 169.

22. Эльясберг П.Е. Введение в теорию полета искусственных спутников Земли.М: Наука, 1965.

23. S.L. Gorelov, V.A. Zharov, Y.I. Khlopkov. The velocities distribution function for particles in a space "debris". Proceedings of the 20th Int. Symp., 1996, Beijing, China.

24. S.L. Gorelov and A.S. Zarubkin. The Initial Stage of "Space Debris" Cloud Formation during Planetary Satellite Breakdown. Cosmic Research, vol. 43, No. 4, 2005, pp. 254-258. Translated from Kosmicheskie Issledovaniya, vol. 43, No. 4, 2005, pp. 269273.

25. Ярошевский В.А. Вход в атмосферу космических летательных аппаратов. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1988. с. 336.

26. Зея Со, Падение тел на Землю // Труды 50-ой научной конференции МФТИ, «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук», 2007.

27. D. King-Hele, Theory of satellite orbits in an atmosphere. London, Butterworths, 1964, p.190.

28. W. Brofman, Approximate Analytical Solution for Satellite Orbits Subject to Small Thrust or Drag, AIAA Journal, v.5, 6, JUNE 1967, p. 1121-1128.

29. JIox У. Динамика и термодинамика спуска в атмосфере планеты. - М: Мир, 1966.

30. Мартин Дж. Вход в атмосферу. - М: Мир, 1969.

31. Чепмен Д.Р. Приближённый аналитический метод, исследования входа тел в атмосферу планет. — М.: ИЛ, 1962.

32. Зея Со, Падение метеора // Труды 52-ой научной конференции МФТИ, «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук», 2009.

33. Тирский Г.А. Взаимодействие космических тел с атмосферам Земли и планет. — Соросовский образовательный журнал (СОЖ), 2000, т.6, №5, с.76-82.

34. С.Л Горелов, Зея Со, Падение тел на Землю из дальнего космоса. // электронный журнал Труды МАИ, 2010 год.7