автореферат диссертации по авиационной и ракетно-космической технике, 05.07.09, диссертация на тему:Моделирование и анализ развертывания и снижения с околоземной орбиты тросовой системы со спускаемой капсулой

На правах рукописи

Фефелов Денис Иванович

МОДЕЛИРОВАНИЕ И АНАЛИЗ РАЗВЕРТЫВАНИЯ И СНИЖЕНИЯ С ОКОЛОЗЕМНОЙ ОРБИТЫ ТРОСОВОЙ СИСТЕМЫ СО СПУСКАЕМОЙ

КАПСУЛОЙ

Специальность 05.07.09 - динамика, баллистика, управление движением летательных аппаратов

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

0030В4Э32

Самара, 2007

003064932

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С. П. Королева» (СГАУ)

Научный руководитель

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор Заболотнов Юрий Михайлович доктор технических наук, профессор Горелов Юрий Николаевич доктор технических наук, профессор Ишков Сергей Алексеевич

Ведущая организация:

ФГУП ГНПРКЦ (г. Самара)

«ЦСКБ-Прогресс»

Защита состоится 27 сентября 2007г. в 10 часов на заседании диссертационного совета Д 212.215.04 при государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С. П. Королева» по адресу: 443086, г. Самара, Московское шоссе, 34, корпус ЗА

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке СГАУ Автореферат разослан «1С » августа 2007г.

Ученый секретарь диссертационного совета доцент, кандидат технических наук

Прохоров А. Г.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В настоящее время космонавтике необходимы новые технологии, повышающие результативность проводимых в космосе работ и делающих космическую технику более эффективной. К таким технологиям относится разнообразное применение космических тросовых систем (ТС), над разработкой которых сейчас работают во многих странах мира. В связи с этим в механике космических ТС постоянно возникают новые задачи, требующие адекватного решения.

В диссертации под ТС понимается система, состоящая из одного тела с прикрепленным к нему тросом или двух тел, соединенных тросом. Это может быть основной космический аппарат (КА), находящийся на околоземной орбите и связанный тросом со спускаемой капсулой (СК); СК с прикрепленным к ней тросом; связка двух СК, отделившихся от основного КА.

Тросовые системы могут быть использованы для решения чрезвычайно широкого круга задач: возвращение на Землю СК, содержащей полезный фуз; исследование гравитационного поля Земли; создание искусственной гравитации на КА, являющихся элементами вращающейся ТС; исследование ионосферы; съемка земной поверхности с более высоким разрешением; орбитальные маневры КА. За счет использования тросов, проводящих электрический ток, можно не только изменять высоту орбиты КА или космической станции, но и генерировать электроэнергию, необходимую для их работы. Существуют также проекты транспортных ТС, позволяющих поднимать грузы на орбиту и возвращать их обратно (космический лифт). Некоторые из этих задач были осуществлены (например, зондирование ионосферы реализовано в канадских проектах OEDIPUS A, OEDIPUS С). Другие, например космический лифт, пока невозможно реализовать. Тем не менее, есть задачи, которые реализуются уже сейчас. В сентябре 2007 года планируется запуск КА «Фотон-МЗ», на котором будет поставлен эксперимент в рамках проекта YES2 (Young Engineers Satellite - 2). В этом проекте участвует большое количество студентов, аспирантов и ученых из различных стран Европы. Основной задачей проекта является отработка технологии доставки с орбиты на Землю небольших грузов с использованием ТС. Эта задача достаточно важна, так как позволяет значительно ускорить получение необходимой информации. Например, с международной космической станции можно возвращать данные, полученные в результате экспериментов, и созданные там материалы сразу после их получения, не дожидаясь возвращения экипажа или грузового корабля на Землю.

Данная диссертация посвящена изучению развертывания и снижения ТС с СК с базового КА, движущегося по околоземной орбите. Такой спуск значительно более экономичен, чем возвращение СК с тормозной двигательной установкой. Для капсулы достаточно механизма управления, который, регулируя натяжение, обеспечит развертывание ТС, обрезание троса и спуск полезной нагрузки в заданном районе. Такая капсула не

требует коррекции движения с помощью двигательной установки и, следовательно, исключает затраты при выводе на орбиту самой установки и необходимого для ее работы количества топлива. Данная работа тесно связана с проектом УЕ82, так как одна из ее задач - независимая проверка результатов, полученных европейскими коллегами: предлагаемых законов управления и правильности выбора параметров ТС. Однако работа не ограничивается только проектом УЕ82, так как в ней проводятся также исследования, выходящие за рамки данного проекта: анализ влияния параметров тормозного механизма на его работу, изучение зависимости динамики ТС от модели взаимодействия с набегающим потоком.

Одним из самых важных элементов ТС, особенности работы которого существенно влияют на успех операции, является механизм управления развертыванием. Так, в совместной американо-японской серии тросовых экспериментов была недооценена сила трения в механизме управления. В результате при первом и втором эксперименте развертывание останавливалось после выпуска нескольких десятков метров троса. Поэтому был переделан механизм управления, чтобы добиться желаемого результата.

В данной работе построена математическая модель работы механизма управления развертыванием тросовой системы вместе с СК. Моделирование движения ТС с учетом работы управляющего механизма позволяет осуществить правильный выбор его параметров, соответствующих характеристикам СК и троса.

Таким образом, моделирование движения космической ТС, предназначенной для спуска с орбиты полезного груза, и выбор на этой основе значений параметров ТС из условия достижения заданных целей космической операции, является актуальной.

ТС рассматривается как система с распределенными параметрами. Трос считается не проводящим электрический ток, весомым и растяжимым. Механизм управления развертыванием может только изменять натяжение троса, но не может втягивать его обратно. Длина размотанного троса, скорость размотки и сила натяжения считаются измеряемыми параметрами и учитываются механизмом управления.

Моделирование движения ТС как системы с распределенными параметрами требует решение системы большого числа дифференциальных уравнений. Задача осложняется большой жесткостью системы, что приводит к значительным вычислительным трудностям. Это особенно проявляется при моделировании процесса развертывания ТС. В результате необходим поиск численных методов, позволяющих решать такого рода задачи. В работе построен явный метод пятого порядка точности, позволяющий справиться с возникающими при моделировании трудностями.

Целью работы является разработка методики моделирования движения космической тросовой системы со спускаемой капсулой как системы с распределенными параметрами, определение значений параметров тросовой системы и механизма управления, обеспечивающих наибольший (по

модулю) угол входа в плотные слои атмосферы для уменьшения рассеивания точек посадки.

Методы исследования. При разработке математической модели движения тросовой системы, задании действующих сил, построении численного метода интегрирования и оценке погрешностей моделирования использовались классические методы механики, математики и численного анализа, а также методы и подходы, развитые В. В. Белецким, Е. М. Левиным, Ф. Дигнатом, В. Шиленом, М. L. Cosmo, Е. С. Lorenzini и др.

Научная новизна. Научная новизна представленных в диссертации результатов заключается в следующем:

1. Разработана математическая модель движения развертываемой космической ТС с СК с переменным количеством дискретных элементов и с учетом работы тормозного механизма.

2. Построен явный численный метод пятого порядка точности, позволяющий моделировать с заданной точностью развертывание ТС и ее свободное движение при спуске с орбиты после обрезания троса около КА.

3. Проведен анализ параметров капсулы и троса и особенностей работы управляющего механизма на процесс развертывания ТС.

4. Проведен анализ характеристик капсулы и троса на условия входа СК в атмосферу.

Практическая значимость. Результаты моделирования движения ТС с СК включены в заключительные материалы эскизного проекта YES2 Европейского космического агентства.

Результаты исследования позволяют целенаправленно изменять параметры троса, СК и механизма управления развертыванием, добиваясь требуемого поведения ТС во время развертывания и необходимых значений параметров входа СК в атмосферу.

Разработанное программное обеспечение позволяет исследовать различные аспекты движения и развертывания ТС и по получаемым результатам сравнивать разные законы управления для уменьшения ошибок управления и увеличения угла входа центра масс (ЦМ) ТС в атмосферу. Результаты работы, выносимые на защиту:

1. Конечно-элементная математическая модель движения ТС с СК, позволяющая исследовать ее пространственное движение с учетом гравитационных, аэродинамических, упругих и диссипативных сил.

2. Численный метод интегрирования пятого порядка точности с переменным шагом, предназначенный для моделирования движения ТС с заданной точностью.

3. Параметрические исследования и результаты моделирования процесса развертывания ТС с СК.

4. Параметрические исследования и результаты моделирования свободного движения ТС до входа в плотные слои атмосферы.

5. Рекомендации по выбору проектных параметров ТС и тормозного механизма для реализации задачи спуска капсулы с полезной нагрузкой на поверхность Земли.

Апробация результатов исследования. Основные научные положения и результаты работы докладывались и обсуждались на Российско-европейской летней аэрокосмической школе (г. Самара, 2004 г.), XII Всероссийском научном семинаре по управлению движением и навигации летательных аппаратов (г. Самара, 2005 г.), первой и второй Всероссийских научных конференциях «Математическое моделирование и краевые задачи» (г.Самара, 2004,2005гг.), Международной европейской конференции по аэрокосмическим наукам (ЕиСЛЗБ, г. Москва, 2005 г.).

Публикации. Результаты исследований опубликованы в пяти печатных работах, в том числе в двух журналах, рекомендованных ВАК, [4,5] в приведенном списке работ.

Структура, объем и содержание диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, трех приложений и списка литературы. Объем диссертации составляет 131 страницу.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается общая характеристика задачи, обосновывается ее актуальность, научная новизна и практическая ценность; формулируется цель работы; описывается содержание глав диссертации.

В первой главе проводится аналитический обзор основных работ отечественных и зарубежных авторов, посвященных космическим тросовым системам. На основании этого обзора выделен круг вопросов, требующих дополнительного исследования.

Особое внимание уделено сравнению используемых математических моделей. Установлено, что большинство авторов используют весьма упрощенные модели, не учитывающие, например, такие факторы, как наличие атмосферы, весомость и растяжимость троса. Однако наряду с такими моделями существуют и более сложные. Среди них, в первую очередь, следует выделить модель в частных производных, предложенную В. В. Белецким и Е. М. Левиным. Это наиболее полная математическая модель, которая однако приводит к значительным вычислительным затратам при ее реализации. Другой моделью, отличающейся значительной сложностью, является конечно-элементная модель, разработанная Ф. Дигнатом и В. Шиленом. При увеличении количества элементов точность этой модели приближается к точности модели в частных производных. Однако для получения адекватных результатов достаточно иметь значительно меньшее число элементов. Недостатком этой модели является то, что она не учитывает влияние атмосферы на движение ТС, что допустимо только на высотах более 400 км.

Описываются основные этапы спуска груза с орбиты: 1. Развертывание. Начинается с отделения СК от КА, с последующим увеличением расстояния между ними и остановкой при достижении некоторой заданной длины троса (в работе длина развернутого троса составляла 30 км). В работе этот этап делится на три стадии. Первая стадия включает в себя отвод СК на расстояние в несколько километров и

стабилизацию связки относительно локальной геовертикали. Это обеспечивает безопасность КА при малых расстояниях между ним и СК, Вторая стадия - ускоряющееся разматывание троса. Третья стадия — торможение и завершение развертывания.

2. Маятниковое движение. Этот этап наступает после завершения развертывания ТС и заключается в том, что капсула с тросом возвращаются к локальной геовертикапи в плоскости орбиты. При этом скорость СК уменьшается.

3. Свободное движение капсулы с тросом (или отдельно капсулы и троса) до достижения плотных слоев атмосферы (100 км).

4. Спуск капсулы в атмосфере на поверхность Земли. Данный этап в работе не рассматривается.

На основании проведенного анализа сформулированы основные задачи, решаемые в работе.

Во второй главе описана разработанная математическая модель ТС, которая предназначена для описания движения космической тросовой системы фиксированной длины. Уравнения пространственного движения системы записываются в геоцентрической системе координат. ТС рассматривается как система N материальных точек, связанных между собой упругими связями, моделирующими гибкий трос. Модель учитывает гравитационные и аэродинамические силы, силы упругих связей между точками системы и демпфирование вследствие потерь энергии при деформации в материале троса. Для определения гравитационных сил используется модель центрального поля притяжения:

1

где М/с -масса Земли, у - гравитационная постоянная, т, и г, — соответственно масса и радиус-вектор /'-ой точки системы (г, - модуль вектора г,).

Плотность используемой модели атмосферы зависит только от высоты. При расчете аэродинамических сил каждый участок между точками системы представляется как цилиндр, диаметр которого равен диаметру троса, а длина равна расстоянию между точками. При определении аэродинамических сил используется теория свободномолекулярного потока. Аэродинамические характеристики троса при его движении в потоке разреженного газа зависят от характера взаимодействия молекул набегающего потока с поверхностью тела. Существуют два предельных случая такого взаимодействия: диффузное отражение и зеркальное отражение.

При диффузном отражении аэродинамическая сила имеет лишь составляющую в направлении скорости набегающего потока (силу лобового сопротивления), которая для »-ого элементарного цилиндра определяется следующим образом:

где Ус1 - скорость центра симметрии цилиндра (Ус1 - модуль вектора Рс1), С/ = 2,2 - коэффициент силы аэродинамического сопротивления цилиндра, Я, = - характерная площадь, £> - диаметр троса, р, - плотность атмосферы, I, - длина цилиндра, а, - угол атаки цилиндра.

При зеркальном отражении аэродинамическая сила К„, перпендикулярна оси симметрии цилиндра и имеет относительно вектора скорости две составляющие: силу лобового сопротивления и аэродинамическую подъемную силу, а ее абсолютная величина вычисляется следующим образом

та,,

с _ Рщ_ г- . г С- _ +

-—) . , » Рюу рЮ!---

- - L С -С. I. „

где С, = £, х , а = —1г—'1-J1-. Сила Fm приложена в центре симметрии L¡,Cly -CuL,y

цилиндра. На каждую из точек, расположенных на концах цилиндра, приходится половина этой силы.

Для определения силы упругости троса используется закон Гука, предполагающий линейную зависимость силы от растяжения. Исходя из этого, можно записать силу, действующую наточку / со стороны точки /-1, в виде (такая же по абсолютной величине, но противоположная по направлению сила действует на точку ;-1 со стороны точки /):

г i

м>/ Ч

где к = Е-А - коэффициент жесткости, Е - модуль Юнга, А - площадь поперечного сечения троса; и L¡ =|Z(| =|r( — соответственно длина элемента троса в нерастянутом и растянутом состоянии; а, - безразмерный коэффициент, равный нулю или единице. Коэффициент а, = 0 для концевых тел (/=1 или i-N+1) и при выполнении условия: L, < . В остальных случаях «,= 1.

Для описания демпфирования используется линейная модель трения:

где коэффициент демпфирования троса, V¡¡- относительная скорость

, Е-А

точек. В случае гистерезисного трения имеем «v = ---7, где rj -

L, ■a>¡

коэффициент потерь в материале, со, - оценка частоты колебаний элементарного цилиндра.

В результате движение тросовой системы описывается системой дифференциальных уравнений первого порядка:

Л(0 = /(?,). (1)

где = ^ = + - сила,

действующая на ¡-й элемент системы.

Проверка адекватности модели (1) была проведена на модельных задачах: моделировались движения пружинного и физического маятников с упругим тросом как систем с распределенными параметрами. При решении этих задач модель показала быструю сходимость к некоторому «точному» решению по мере увеличения числа элементов.

Приведен построенный для данной работы явный численный метод пятого порядка точности с переменным шагом. Он представляет собой вложенную пару явных методов Рунге-Кутты-Нюстрема 4-го и 5-го порядков точности. Вложенность методов позволяет произвести оценку локальной погрешности интегрирования на каждом шаге, что используется в алгоритме изменения шага интегрирования. При сравнении с другими методами предложенный метод обеспечил наименьшие отклонения энергии от начального значения для модельных задач. Проведено сравнение построенного метода с известными методами по правилу Рунге на примере моделирования свободного движения ТС с капсулой, показавшее, что предложенный метод обеспечивает либо меньшую погрешность интегрирования, либо значительно меньшее время интегрирования при сравнимой погрешности.

В третьей главе проводится анализ процесса развертывания ТС. Для этого построена модель механизма управления развертыванием, используемого в проекте УЕБ2. Считается, что механизм работает дискретно: включается, совершает поворот на некоторый угол, после чего выключается. Трос соскальзывает с цилиндра механизма управления под действием силы упругости, возникающей в первом элементе троса. Исходя из предположения, что скорость развертывания ТС равна скорости скольжения троса по валу механизма, выведена следующая зависимость управляющей силы от угла поворота механизма ср:

а^Н2 НПх + Щ2 ,п

—1—--е ^ах ,ирн<р>0

о' (Д*+26) / * , (2)

Т0,при<р = О

где Тв- величина, характеризующая силы трения, действующие на трос до его попадания на вал механизма; р - погонная масса троса; ц - коэффициент трения троса о вал; а, - составляющая ускорения скольжения троса по поверхности вала, направленная вдоль троса; Я - радиус вала; Ул,р/ - скорость развертывания ТС; х - переменная интегрирования.

Р =

упр

'<1ер! Гс1ср1 аь^ер! .

------Ужр/-

Исследовано влияние коэффициента трения ц троса о вал на управляющую силу и показано, что даже небольшие изменения коэффициента трения существенно влияют на управляющую силу при больших углах намотки <р. Учитывая, что при развертывании этот угол значительную часть времени находится в диапазоне 30-50 рад, неточность знания коэффициента трения может привести к серьезным ошибкам управления.

Математическая модель ТС, рассмотренная в главе 2 доработана с учетом изменения числа элементов по мере выпуска троса и с учетом воздействия механизма управления, что позволяет исследовать развертывание ТС. К силам, действующим на ТС постоянной длины, добавлена сила, создаваемая механизмом управления Я1 . В систему дифференциальных уравнений (1) добавлены еще два уравнения:

<11 ~ м,,/ л

Здесь ь+р, - длина выпущенной части первого элемента троса (принимается за нерастянутую длину первого элемента); УЛр1 - скорость развертывания ТС (поскольку механизм не может втягивать трос, то на скорость развертывания накладывается ограничение \'л.р, ¿0); = тх - Г -сила, которая обеспечивает развертывание тросовой системы (сила считается равной нулю, если Т, < Рупр и У^р1 = 0); Тх - сила упругости в первом элементе троса; Ру„р - управляющая сила, которая находится из соотношения (2); мЛр1 - М, + М, - эквивалентная масса тормозного механизма, которая складывается из массы троса М,, находящегося в устройстве управления, и некоторой постоянной величины м,, характеризующей работу элементов, измеряющих скорость развертывания и силу натяжения и предотвращающих соскальзывание троса в случае его провисания.

Необходимое изменение управляющей силы определяется следующим образом

а/>, = ¿¿(г.-- ур) •

где Ур и Ьр - программные значения скорости и длины троса, Ь - нерастянутая длина выпущенной части троса, Уаср1 - скорость развертывания ТС, кь и ку • коэффициенты обратной связи, которые подбираются для обеспечения эффективного управления развертыванием ТС. Требуемый для изменения управляющей силы поворот управляющего механизма предложено оценивать по формуле:

1 ДГ

V- Гупр+Р^ер! где УЛг, - скорость развертывания ТС.

Проведено численное моделирование процесса развертывания ТС по различным номинальным программам развертывания с учетом обратной связи по ошибкам управления и без нее. Одна из программ предложена в рамках проекта УЕ82, вторая разработана в Самарском государственном аэрокосмическом университете С.А. Наумовым.

Исследовано влияние атмосферы, массы СК, параметров работы управляющего механизма на процесс развертывания ТС. На рисунке 1 показана зависимость проекции аэродинамической силы на линию КА-СК от угла а между тросом и орбитальной скоростью ЦМ троса.

Рисунок 1 - Величина проекции аэродинамической силы на высотах 300 км (—•) и 268 км (—) Из рисунка следует, что если трос отклонен от геовертикали по направлению движения, то развертывание тормозится (отрицательные значения), а при отклонении в противоположную сторону оно ускоряется. Поэтому сила аэродинамического сопротивления может по-разному влиять на процесс развертывания ТС в зависимости от реализуемой номинальной программы развертывания.

Влияние массы СК на процесс развертывания ТС также заметно (рисунок 2), хотя ее масса значительно меньше массы КА. На рисунке 2 ось ординат у совпадает с локальной геовертикалью, а ось абсцисс х перпендикулярна ей, лежит в плоскости орбиты и направлена по направлению движения КА, начало координат совпадает с ЦМ КА. Во время первой стадии развертывания, когда СК играет основную роль, значительно превосходя трос по массе и площади поперечного сечения, капсулы с меньшей массой подвергаются максимальному воздействию сил аэродинамического сопротивления (рисунок 2а). На более тяжелых капсулах это воздействие сказывается меньше. Во время дальнейшего развертывания различия между траекториями менее заметны (рисунок 26) и графики практически совпадают.

Рисунок 2 - Траектория СК относительно КА при различной массе СК на первой (а), второй и третьей (б) стадиях развертывания

(----6 кг,- 12 кг,---20 кг, —- 30 кг)

Исследовано влияние на процесс развертывания инерционности (масса М,) механизма управления. Заданную инерционность механизма легко обеспечить, пропустив выпускаемый трос между двумя вращающимися колесиками. Из рисунков 3 и 4 следует, что для большого диапазона значений инерционности (от одного грамма до 0,5 кг) траектории капсулы практически совпадают. Выделяются два случая - механизмы с очень маленькой и очень большой инерционностью.

При очень малой инерционности механизма управления (менее одного грамма) развертывание не удается удержать в рамках заданной программы, так как начинается неконтролируемый сход троса с катушки.

Рисунок 3 — Траектория СК относительно КА для различной инерционности управляющего механизма на первой (а) и на всех трех (б) стадиях развертывания (----10 кг,--0,5 кг; — 0,05 кг;.....0,001 кг;- 0,0001 кг)

а) б)

Рисунок 4 - Детализированные участки траектории СК относительно КА в начале второй стадии (а) и конце (б) развертывания (обозначения соответствуют рисунку 3)

Для механизма с большой инерционностью резко уменьшаются временные затраты на интегрирование, что является признаком уменьшения частот колебаний в системе. Следовательно, большая инерционность позволяет гасить колебания в ТС во время развертывания, поскольку скорость развертывания меняется более плавно и, следовательно, нет скачков силы натяжения. Однако у механизмов с большой инерционностью замедляется реакция системы управления, что затрудняет выполнение номинальной программы развертывания, требующей быстрого изменения скоростей развертывания.

Проведен анализ влияния параметров работы (дискретности включения механизма и продолжительности его работы) управляющего механизма на точность развертывания ТС. Показано, что при их обоснованном выборе ошибки управления не превосходят допустимых значений для всех рассмотренных номинальных программ развертывания. В качестве рекомендованных значений предложены дискретность не менее 10 Гц и продолжительность включения не менее 0,05 секунды.

В четвертой главе проведено исследование снижения СК с тросом после обрезания последнего около КА. Моделирование осуществлялось до достижения центром масс системы высоты 100 км (высота условной границы атмосферы).

При движении СК вместе с тросом исследовалось изменение конфигураций механической системы. Если в момент обрезания трос ориентирован по прямой, близкой к локальной вертикали, то затем верхняя его часть уходит вперед, что обусловлено ее большей начальной скоростью. Постепенно под действием сил натяжения общие размеры системы уменьшаются, трос перестает быть натянутым и приближается к капсуле. На высоте ниже 200 км (после 800 секунд полета) начинает проявляться разница в конфигурациях тросовой системы (таблица 1). В результате при диффузном отражении трос полностью оказывается позади капсулы, выполняя роль аэродинамического стабилизатора. При зеркальном отражении на конечном этапе снижения также заметно выдвижение СК вперед, однако ТС не успевает развернуться, как в случае диффузного отражения. Поэтому можно

говорить о том, что использование как первой модели, так и второй приводит к одному качественному результату: аэродинамической стабилизации ТС при входе в атмосферу.

Таблица 1 - Сравнение конфигураций ТС при различных моделях

Время, с Модель зеркального отражения Модель диффузного отражения

800

900 -У

1000

1100

1210

1250 ■*ч-—

1296 -к-

Конец (1307 е., 1312 с.) —^——

Установлено, что использование совместного снижения троса с СК ведет к более крутому входу ТС в атмосферу. Исследованы гипотетические случаи, когда в момент обрезания троса к нему прикрепляется верхнее концевое тело с большой характерной площадью (аэродинамический стабилизатор) или большой массой (гравитационный стабилизатор) и влияние этих тел на траекторию движения ТС до момента входа в атмосферу. Полученные результаты представлены в таблице 2.

Таблица 2 - Сравнение значений параметров входа ЦМ ТС в атмосферу (высота 100 км)

Капсула с тросом Только капсула Гравитационная стабилизация Аэродинамическая стабилизация

Дифф. Зерк. Дифф. Зерк. Дифф. Зерк.

Время спуска, с фшд 1307 1287 1469 1540 1301 1312

Скорость входа, м/с 7087 6873 7856 7008 7242 6916 6813

Угол входа, град -1,88 -1,98 -1,33 -1,83 -1,99 -2,05 -2,48

Исследовано влияние модуля Юнга материала троса на спуск ТС. Трос с меньшим модулем Юнга обеспечивает более быстрый спуск, меньшую скорость и больший угол входа в атмосферу (рис.5).

-1.5 -1.55

г1'6

.65

А

-1.7 -1.75

/

7620 7600 7580 7560 | 7540 >" 7520 7500 7480 7460

Ч ■ V*'

4 /

-3 -1 1

^ град

11 13 15

5 7 В, град

9 11 13 15

а) б) Рисунок 5 - Угол входа 3 (а) и скорость входа V (б) центра масс ТС в атмосферу в зависимости от начального угла между тросом и вертикалью 0 для тросов различной жесткости (— — Е»10'Па,- Е=10" Па,.....Е=1012Па)

Исследовано влияние массы капсулы и диаметра троса на спуск ТС. Анализ показал, что ТС с более легкой СК быстрее теряет скорость. Также установлено, что даже незначительное увеличение диаметра троса может значительно изменить конфигурацию ТС и параметры входа в атмосферу (таблица 3, рисунок б).

Таблица 3 - Сравнение параметров входа ЦМ ТС в атмосферу для тросов различного диаметра

Диаметр троса, ми Время спуска, с Скорость входа, м/с Угол входа 9, град.

0,50 1437 7565 -1,58

0,75 1428 7526 -1,83

1,00 1419 7449 -1,69

я) б) в)

Рисунок 6 - Конфигурации ТС при входе в атмосферу для капсулы массой 20кг, диаметр троса а) 0,50 мм, б) 0,75 мм, в) 1,00 мм

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Разработана дискретная математическая модель для моделирования движения космической тросовой системы при ее развертывании и на участке свободного движения при спуске капсулы с околоземной орбиты.

2. Построен численный метод интегрирования пятого порядка точности с переменным шагом интегрирования, обеспечивающий наименьшую погрешность расчетов при моделировании движения тросовой системы.

3. Получена математическая модель работы механизма управления, применяемого в проекте УЕ82, и показано, что учет особенностей его работы

является обязательным при проектировании системы управления тросовой системы.

4. Определены основные параметры механизма управления, выбор значений которых позволяет обеспечить требуемое развертывание тросовой системы.

5. Определены значения параметров дискретной работы механизма управления, обеспечивающие развертывание тросовой системы с капсулой для рассмотренных номинальных программ управления.

6. Показано, что при совместном спуске троса и спускаемой капсулы трос играет роль аэродинамического стабилизатора.

7. Проанализировано влияние характеристик троса и спускаемой капсулы на процесс развертывания тросовой системы и на ее снижение после обрезания троса и показано, что к большему по модулю углу входа системы в атмосферу приводит: совместный спуск капсулы и троса, использование тросов с меньшей жесткостью, использование тросов большего диаметра.

Материалы диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Заболотнов Ю.М., Фефелов Д.И. Математическая модель движения тросовой системы с распределенными параметрами. // Математическое моделирование и краевые задачи. Серия: Моделирование и оптимизация динамических систем и систем с распределенными параметрами. СамГТУ,

2004. с. 86-88.

2. Заболотнов Ю.М., Фефелов Д.И. Выбор метода решения системы ОДУ при моделировании развертывания тросовой системы как системы с распределенными параметрами. // Математическое моделирование и краевые задачи. Серия; Моделирование и оптимизация динамических систем и систем с распределенными параметрами. СамГТУ, 2005. с. 103-106.

3. Фефелов Д.И. Моделирование развертывания тросовой системы и движения легкой капсулы с тросом на внеатмосферном участке спуска с орбиты // Сб. трудов 12 Всероссийского научно-технического семинара по управлению движением и навигации летательных аппаратов. Самара: СГАУ,

2005.-с.131-136.

4. Заболотнов Ю.М., Фефелов Д.И. Выбор численного метода для моделирования движения тросовой системы со спускаемой капсулой // Наука производству. - 2006. - № 6. - с.53-54.

5. Заболотнов Ю.М., Фефелов Д.И. Динамика движения капсулы с тросом на внеатмосферном участке спуска с орбиты // Известия СНЦ РАН. - 2006. -Т8. - № 3. - с.841-848.

Подписано в печать 07.08.2007. Формат 60x84/16 Усл. печ. л. 1,00. Тираж 100 экз.

Отпечатано с готовых оригинал-макетов СГАУ в типографии AHO «Издательство СНЦ РАН»

ОСНОВНЫЕ УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

ВВЕДЕНИЕ

1 АНАЛИТИЧЕСКИЙ ОБЗОР И РЕШАЕМЫЕ ЗАДАЧИ

1.1 Аналитический обзор работ по динамике движения космических тросовых систем

1.2 Математические модели движения тросовых систем

1.3 Описание решаемых задач

2 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДВИЖЕНИЯ ТРОСОВОЙ СИСТЕМЫ И ВЫБОР ЧИСЛЕННОГО МЕТОДА ИНТЕГРИРОВАНИЯ

2.1 Математическая модель движения тросовой системы с распределенными параметрами

2.2 Численное решение модельных задач с помощью конечно-элементной модели тросовой системы

2.2.1 Моделирование движения пружинного маятника

2.2.2 Моделирование движения математического и физического маятников

2.3 Выбор численного метода

3 МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА.РАЗВЕРТЫ&АНИЯ ОРБИТАЛЬНОЕ КОСМИЧЦСКОИ ТРОСОВОЙ СИСТЕМЫ СО СПУСКАЕМОЙ КАПСУЛОЙ

3.1 Модель механизма управления развертыванием тросовой системы

3.2 Математическая модель развертывания тросовой системы

3.3 Моделирование процесса развертывания тросовой системы

3.4 Исследование влияния параметров^правляющего механизма на процесс развертывания тросовой системы

4 ДВИЖЕНИЕ ТРОСОВОЙ СИСТЕМЫ ПРИ СПУСКЕ С ОРБИТЫ СПУТНИКА ЗЕМЛИ

4.1 Моделирование движения капсулы с тросом на внеатмосферном участке спуска с орбиты

4.2 Исследования влияния различных факторов на динамику движения тросовой системы с капсулой

Актуальность темы. В настоящее время космонавтике необходимы новые технологии, повышающие результативность проводимых в космосе работ и делающих космическую технику более эффективной. К таким технологиям относится разнообразное применение космических тросовых систем (ТС), над разработкой которых сейчас работают во многих странах мира. В связи с этим в механике космических ТС постоянно возникают новые задачи, требующие адекватного решения.

В диссертации под ТС понимается система, состоящая из одного тела с прикрепленным к нему тросом или двух тел, соединенных тросом. Это может быть основной космический аппарат (КА), находящийся на околоземной орбите и связанный тросом со спускаемой капсулой (СК)^СК с прикрепленным к ней тросом^связка двух СК, отделившихся от основного КА.

Тросовые системы могут быть использованы для решения чрезвычайно широкого круга задач: возвращение на Землю СК, содержащей полезный груз; исследование гравитационного поля Земли; создание искусственной гравитации на КА, являющихся элементами вращающейся ТС; исследование ионосферы; съемка земной поверхности с более высоким разрешением; орбитальные маневры КА. За счет использования тросов, проводящих электрический ток, можно не только изменять высоту орбиты КА или космической станции, но и генерировать электроэнергию, необходимую для их работы. Существуют также проекты транспортных ТС, позволяющих поднимать грузы на орбиту и возвращать их обратно (космический лифт). Некоторые из этих задач были осуществлены (например, зондирование ионосферы реализовано в канадских проектах OEDIPUS A, OEDIPUS С). Другие, например космический лифт, пока невозможно реализовать. Тем не менее, есть задачи, которые реализуются уже сейчас. В сентябре 2007 года планируется запуск КА «Фотон-МЗ», на котором будет поставлен эксперимент в рамках проекта YES2 (Young Engineers Satellite - 2). В этом проекте участвует большое количество студентов, аспирантов и ученых из различных стран Европы. Основной задачей проекта является отработка технологии доставки с орбиты на Землю небольших грузов с использованием ТС. Эта задача достаточно важна, так как позволяет значительно ускорить получение необходимой информации. Например, с международной космической станции можно возвращать данные, полученные в результате экспериментов, и созданные там материалы сразу после их получения, не дожидаясь возвращения экипажа или грузового корабля на Землю.

Данная диссертация посвящена изучению развертывания и снижения ТС с СК с базового КА, движущегося по околоземной орбите. Такой спуск значительно более экономичен, чем возвращение СК с тормозной двигательной установкой. Для капсулы достаточно механизма управления, который, регулируя натяжение, обеспечит развертывание ТС, обрезание троса и спуск полезной нагрузки в заданном районе. Такая капсула не требует коррекции движения с помощью двигательной установки и, следовательно, исключает затраты при выводе на орбиту самой установки и необходимого для ее работы количества топлива. Данная работа тесно связана с проектом YES2, так как одна из ее задач - независимая проверка результатов, полученных европейскими коллегами: предлагаемых законов управления и правильности выбора параметров ТС. Однако работа не ограничивается только проектом YES2, так как в ней проводятся также исследования, выходящие за рамки данного проекта: исследование влияния параметров тормозного механизма на процесс развертывания ТС, изучение зависимости динамики ТС от модели взаимодействия ТС с набегающим потоком.

Одним из самых важных элементов ТС, особенности работы которого существенно влияют на успех операции, является механизм управления развертыванием. Так, в совместной американо-японской серии тросовых экспериментов была недооценена сила трения в механизме управления. В результате при первом и втором эксперименте развертывание останавливалось после выпуска нескольких десятков метров троса. Поэтому был переделан механизм управления, чтобы добиться желаемого результата.

В данной работе построена математическая модель работы механизма управления развертыванием тросовой системы вместе с СК. Моделирование движения ТС с учетом работы управляющего механизма позволяет осуществить правильный выбор его параметров, соответствующих характеристикам СК и троса.

Таким образом, моделирование движения космической ТС, предназначенной для спуска с орбиты полезного груза, и выбор на этой основе значений параметров ТС из условия достижения заданных целей космической

Г 9 операции, является актуальной.

ТС рассматривается как система с распределенными параметрами. Трос считается не проводящим электрический ток, весомым и растяжимым. Механизм управления развертыванием может только изменять натяжение троса, но не может втягивать его обратно. Длина размотанного троса, скорость размотки и сила натяжения считаются измеряемыми параметрами и учитываются механизмом управления.

Моделирование движения ТС как системы с распределенными параметрами требует решени^ системы большого числа дифференциальных уравнений. Задача осложняется большой жесткостью системы, что приводит к значительным вычислительным трудностям. Это особенно проявляется при моделировании процесса развертывания ТС. В результате необходим поиск численных методов, позволяющих решать такого рода задачи. В работе построен явный метод пятого порядка точности, позволяющий справиться с возникающими при моделировании трудностями.

Целью работы является разработка методики моделирования движения космической тросовой системы со спускаемой капсулой как системы с распределенными параметрами, определение значений параметров тросовой системы и механизма управления, обеспечивающих наибольший (по модулю) угол входа в плотные слои атмосферы для уменьшения рассеивания точек посадки.

Методы исследования. При разработке математической модели движения тросовой системы, задании действующих сил, построении численного метода интегрирования и оценке погрешностей моделирования использовались классические методы механики, математики и численного анализа, а также методы и подходы, развитые В. В. Белецким, Е. М. Левиным, Ф. Дигнатом, В. Шиленом, М. L. Cosmo, Е. С. Lorenzini и др.

Научная новизна. Научная новизна 'представленных в диссертации результатов заключается в следующем:

1. Разработана математическая модель движения развертываемой космической ТС с СК с переменным количеством дискретных элементов и с учетом работы тормозного механизма.

2. Построен явный численный метод пятого порядка точности, позволяющий моделировать с заданной точностью развертывание ТС и ее свободное движение при спуске с орбиты после обрезания троса около КА.

3. Проведен анализ параметров капсулы и троса и особенностей работы управляющего механизма на процесс развертывания ТС.

4. Проведен анализ характеристик капсулы и троса на условия входа СК в атмосферу.

Практическая значимость. Результаты моделирования движения ТС с СК включены в заключительные материалы эскизного проекта YES2 Европейского космического агентства.

Результаты исследования позволяют целенаправленно изменять параметры троса, СК и механизма управления развертыванием, добиваясь требуемого поведения ТС во время развертывания и необходимых значений параметров входа СК в атмосферу.

Разработанное программное обеспечение позволяет исследовать различные аспекты движения и развертывания ТС и по получаемым результатам сравнивать разные законы управления для уменьшения ошибок управления и увеличения угла входа центра масс (ЦМ) ТС в атмосферу. Результаты работы, выносимые на защиту:

1. Конечно-элементная математическая модель движения ТС с СК, позволяющая исследовать ее пространственное движение с учетом гравитационных, аэродинамических, упругих и диссипативных сил.

2. Численный метод интегрирования пятого порядка точности с переменным шагом, предназначенный для моделирования движения ТС с заданной точностью.

3. Параметрические исследования и результаты моделирования процесса развертывания ТС с СК.

4. Параметрические исследования и результаты моделирования свободного движения ТС до входа в плотные слои атмосферы.

5. Рекомендации по выбору проектных параметров ТС и тормозного механизма для реализации задачи спуска капсулы с полезной нагрузкой на поверхность Земли.

Апробация результатов исследования. Основные научные положения и результаты работы докладывались и обсуждались на Российско-европейской летней аэрокосмической школе (г. Самара, 2004 г.), XII Всероссийском научном семинаре по управлению движением и навигации летательных аппаратов (г. Самара, 2005 г.), первой и второй Всероссийских научных конференциях «Математическое моделирование и краевые задачи» (г.Самара, 2004,2005 гг.), Международной европейской конференции по аэрокосмическим наукам (EUCASS, г. Москва, 2005 г.).

Публикации. Результаты исследований опубликованы в пяти печатных работах, в том числе в двух журналах, рекомендованных ВАК.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и четырех приложений.

Основные результаты третьей главы

Таким образом, в третьей главе получены следующие основные результаты:

1. Построена модель механизма управления развертыванием, используемого в проекте YES2.

2. Построена конечно-элементная модель космической ТС с переменным числом элементов, позволяющая исследовать ее развертывание.

3. Проведено моделирование развертывания по номинальным программам развертывания, предложенных в проекте YES2 и в [17].

4. Проведено моделирование развертывания с наличием ОС и без нее и показано, что ОС на всем протяжении развертывания ТС дает наилучший результат.

5. Исследовано влияние атмосферы на процесс развертывания ТС и показана необходимость ее учета. Предложено формировать программу развертывания таким образом, чтобы использовать атмосферу для ускорения или замедления процесса развертывания.

6. Исследовано влияние массы капсулы на процесс развертывания ТС и показано, что предпочтительно использовать капсулы большей массы.

7. Исследовано влияние инерционности управляющего механизма на процесс развертывания ТС и установлено, что увеличение инерционности уменьшает скачки натяжения и уменьшает частоты колебаний. С другой стороны высокая инерционность механизма управления мешает быстро менять скорость развертывания в соответствии с номинальной программой. Сделан вывод о необходимости увеличения инерционности управляющего механизма до тех пор, пока это не начинает препятствовать осуществлению желаемой программы развертывания.

8. Исследовано влияние параметров работы управляющего механизма на процесс развертывания ТС. Предложены значения его частоты включения (10 Гц) и времени работы (0,01 с), обеспечивающие устойчивое движение ТС для всех расмотренных номинальных программ развертывания.

9. Проведено сравнение вариантов работы управляющего механизма как реле и как линейного элемента с насыщением. Показано, что для этих вариантов нет существенной разницы в траекториях развертывания.

Ю.Коэффициент трения в механизме управления может сильно повлиять на развертывание, значительно изменив создаваемое механизмом натяжение.

4. ДВИЖЕНИЕ ТРОСОВОЙ СИСТЕМЫ ПРИ СПУСКЕ С ОРБИТЫ ИСКУССТВЕННОГО СПУТНИКА ЗЕМЛИ

Рассмотрим движение капсулы с тросом на внеатмосферном участке спуска с орбиты искусственного спутника Земли (ИСЗ) до входа в плотные слои атмосферы на высоте 100 км. Данная задача возникает в случае использования развертываемой ТС для доставки малых полезных грузов на поверхность Земли с КА, находящегося на орбите ИСЗ. Подобный эксперимент планируется провести в рамках совместного российско-европейского проекта YES2 [21].

Первоначально капсула закреплена на КА. Механизм отделения сообщает капсуле начальную скорость, близкую к 2 м/с и направленную по локальной геовертикали к Земле. Развертывание происходит под действием гравитационных сил по заданному программному закону с помощью тормозного механизма. После достижения заданной длины трос фиксируется, и капсула на тросе некоторое время совершает маятниковое движение, после чего трос обрезается около КА.

4.1 Моделирование движения капсулы с тросом на внеатмосферном участке спуска с орбиты

Спуск ТС моделировался на основании данных, полученных в рамках проекта YES2 (Приложение 3). На рис. 4.1 показано состояние тросовой системы в момент обрезания троса. Длина троса составляет 30 км, причем капсула оказывается выдвинутой вперед относительно КА на 2,8 км. Угол между тросом и локальной геовертикалью составляет около 5 град. Стрелками показано распределение скоростей в различных частях троса. Видно, что скорость верхней точки имеет только горизонтальную составляющую. У более низко расположенных элементов троса появляется вертикальная составляющая, достигающая в самой нижней точке 5,5 м/с. Абсолютная величина скорости при этом уменьшается с 7726 м/с до 7661 м/с, то есть капсула движется медленнее КА. о

-5 •10

I -15 *

•20

•25 -30

-1 0 1 2 3 4 5 у, КМ

Рисунок 4.1 - Начальное положение троса и начальное распределение скоростей При моделировании были приняты следующие данные: диаметр троса 0,0005 м, масса троса 5 кг, модуль Юнга 1,2*1010 н/м2, масса капсулы 20 кг, площадь миделя капсулы 0,8 м . Моделирование осуществлялось (для равномерно натянутого троса с разбиением его на 25, 35, 40, 45 и 50 элементов) до момента, когда центр масс системы опускался на высоту 100 км. Во всех случаях изменение конфигурации ТС примерно одинаковое, в то время как параметры входа в атмосферу меняются достаточно существенно. Так, расстояние между точками входа при разбиении на 25 и 35 элементов составляют почти 10 км, а разница скоростей более 35 м/с. В случае расчета с 45 и 50 элементами эти величины в пять раз меньше. Кроме того, на основании данных о конфигурации и натяжении троса в одном из вариантов развертывания ТС [21] моделировался более сложный случай, когда натяжение троса неравномерно, а сам он немного провисает. Окончательно трос в этом случае в результате дискретизации был разбит на 47 элементов, что обеспечивало достаточную точность моделирования. Отметим, что от количества элементов в существенной степени зависит время расчета спуска рассматриваемой механической системы. Так, например, для 20 элементов расчет занимает 15-20 минут, а для 47 элементов около часа.

Моделировалось 4 варианта спуска с орбиты:

1. движение капсулы с тросом;

2. спуск капсулы без троса;

3. движение капсулы с тросом и дополнительным концевым телом с малой характерной площадью (гравитационная стабилизация движения системы);

4. движение капсулы с тросом и дополнительным концевым телом с большой характерной площадью (аэродинамическая стабилизация движения тросовой системы).

В первом случае были получены результаты для обеих рассматриваемых моделей взаимодействия частиц набегающего потока с поверхностью троса. На рис. 4.2 приводится сравнение траекторий (показано расстояние между ЦМ) системы (капсула и трос), полученных при использовании моделей диффузного и зеркального отражения.

Видно, что расстояние между траекториями в течение первых 1280 секунд полета не превышает 500 метров, а потом оно возрастает и к 1307-й секунде (окончание спуска системы при зеркальном отражении) достигает 5 км. Из этого следует, что до высоты порядка 110 км траектории ЦМ в обоих случаях практически совпадают. Заметим, что при использовании модели зеркального отражения траектория ЦМ системы проходит немного ниже, что приводит к более быстрому замедлению движения и к потери высоты полета.

90

5600

5000-

4500--а 4000-------в 3500 к 3000 2 2500 и 2000 а 1500

1000

500 0

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 время, с

Рисунок 4.2 - Расстояние между центрами масс При движении капсулы вместе с тросом представляет интерес изменение конфигурации механической системы. Если в момент обрезания троса она ориентирована по прямой, близкой к локальной геовертикали, то потом верхняя часть троса уходит вперед, что обусловлено ее большей начальной скоростью. Постепенно, под действием сил натяжения, общие размеры системы уменьшаются, трос перестает быть натянутым и приближается к капсуле. При спуске ниже 200 км (после 800 с полета) начинает проявляться разница в конфигурациях ТС (табл. 4.1).

В результате при диффузном отражении трос полностью оказывается позади капсулы, выполняя роль аэродинамического стабилизатора. При зеркальном отражении на финальном этапе также заметно выдвижением капсулы вперед, очень похожее на аналогичное движение капсулы при диффузном отражении, однако ТС не успевает развернуться, как в первом случае. Поэтому можно считать, что использование обеих моделей приводит к одному качественному результату: аэродинамической стабилизации системы при входе в плотные слои атмосферы.

Все дальнейшие расчеты были проведены при использовании модели диффузного отражения молекул набегающего потока в режиме свободномолекулярного течения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Разработана математическая модель для моделирования движения космической тросовой системы при ее развертывании и на участке свободного движения при спуске капсулы с околоземной орбиты.

2. Построен численный метод интегрирования пятого порядка точности с переменным шагом интегрирования, обеспечивающий наименьшую погрешность расчетов при моделировании движения тросовой системы.

3. Получена математическая модель работы механизма управления, применяемого в проекте YES2, и показано, что учет особенностей его работы является обязательным при проектировании системы управления тросовой системы.

4. Определены основные параметры механизма управления, выбор значений которых позволяет обеспечить требуемое развертывание тросовой системы.

5. Определены значения параметров дискретной работы механизма управления, обеспечивающие развертывание тросовой системы с капсулой для рассмотренных номинальных программ управления.

6. Показано, что при совместном спуске троса и спускаемой капсулы трос играет роль аэродинамического стабилизатора.

7. Проанализировано влияние характеристик троса и спускаемой капсулы на процесс развертывания тросовой системы и на ее снижение после обрезания троса и показано, что к большему по модулю углу входа системы в атмосферу приводит: совместный спуск капсулы и троса, использование тросов с меньшей жесткостью, использование тросов большего диаметра.

1. Аржанников Н.С., Садекоеа Г.С. Аэродинамика летательных аппаратов.- М.: Высшая школа, 1983.- 360 с.

2. Белецкий В.В., Новикова Е.Т. Об относительном движении связки двух тел на орбите // Космические исследования. 1969. Т. 7. Вып. 3. с. 377-384.

3. Белецкий В.В. Об относительном движении связки двух тел на орбите, II // Космические исследования. 1969. Т. 7. Вып. 6. с. 827-840.

4. Белецкий В.В., Бронштейн M.JI., Пропирный Г.А., Оценка параметров зеркально-диффузионной модели отражения по движению относительно центра масс спутников серии «Протон»// Космические исследования. 1973. Т. 9. Вып. 2. с. 171-179.

5. Белецкий В.В., Новикова Е.Т. О пространственном движении связки двух тел // Изв. АН СССР. Сер. Механика твердого тела. 1971. № 6. с. 25-28.

6. Белецкий В.В., Левин Е.М. Механика орбитальной тросовой системы // Космические исследования. 1980. Т. 12. Вып. 5. с. 678-688.

7. Белецкий В.В., Левин Е.М. Динамика космических тросовых систем. -М.: Наука, 1990.-329 с.

8. Дигнат Ф., Шилен В. Управление колебаниями орбитальной тросовой системы // Прикладная математика и механика. 2000. Том 64. Вып. 5. с. 747-754.

9. Иванов В.А. Тросовые системы в космосе // Авиация и космонавтика. 1984. № 5. с. 43-44.

10. Митинский А.Ю. Прикладные задачи механики. Книга 2. Механика упругих и абсолютно твердых тел. М.: Наука, 1986. - 416с.

11. Левин Е.М. О развертывании протяженной связки двух тел на орбите // Космические исследования. 1983. Т. 21. Вып. 1. с. 121-124.

12. Левин Е.М. Об устойчивости стационарных движений связки двух тел на орбите под действием гравитационных и аэродинамических сил.// Космические исследования. 1984. Т. 22. Вып. 5. с. 675-682.

13. Наумов С.А. Управление развертыванием орбитальной тросовой системы для спуска малой капсулы // Автореферат диссертации на соискание ученой степени к.т.н. Самара: СГАУ, 2006,16с.

14. Матвеев Е.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений: Учеб. пособие.-5-е изд., доп.- СПб.:Лань, 2003.-832 с.

15. Модели атмосферы Электронный ресурс. Режим доступа: http://modelweb.gsfc.nasa.gov/atmos/atmosindex.htmK свободный.

16. Ю.Мэтьюз Дж. Г., Финк К.Д., Численные методы. Использование Matlab. 3-е издание: Пер. с англ. -М: Издательский дом «Вильяме», 2001. -720 стр.

17. Проект YES2 Электронный ресурс. Режим доступа: http://www.yes2.info/, свободный.

18. Pernicka H., Dancer M, Abrudan A. Simulation of the dynamics of a short tethered satellite system Электронный ресурс., Режим доступа: http://web.umr.edu/~mrsat/Documents/RI Tether%208-12-04.pdf, сободный.

19. Заболотнов Ю.М., Фефелов Д.И. Динамика движения капсулы с тросом на внеатмосферном участке спуска с орбиты // Известия СНЦ РАН. 2006. - Т8. -№3.-с.841-848.