автореферат диссертации по авиационной и ракетно-космической технике, 05.07.09, диссертация на тему:Разработка моделей и анализ пространственного движения относительно центра масс спускаемой капсулы при развертывании космической тросовой системы

На правах рукописи

Наумов Олег Николаевич

РАЗРАБОТКА МОДЕЛЕЙ И АНАЛИЗ ПРОСТРАНСТВЕННОГО ДВИЖЕНИЯ ОТНОСИТЕЛЬНО ЦЕНТРА МАСС СПУСКАЕМОЙ КАПСУЛЫ ПРИ РАЗВЁРТЫВАНИИ КОСМИЧЕСКОЙ ТРОСОВОЙ

СИСТЕМЫ

05.07.09 Динамика, баллистика, управление движением летательных аппаратов

Авторефера! лиссертации на соискание учёной степени канлидата технических наук

2 5 ОКТ 2012

005053764

На правах рукописи

Наумов Олег Николаевич

РАЗРАБОТКА МОДЕЛЕЙ И АНАЛИЗ ПРОСТРАНСТВЕННОГО ДВИЖЕНИЯ ОТНОСИТЕЛЬНО ЦЕНТРА МАСС СПУСКАЕМОЙ КАПСУЛЫ ПРИ РАЗВЁРТЫВАНИИ КОСМИЧЕСКОЙ ТРОСОВОЙ

СИСТЕМЫ

05.07.09 - Динамика, баллистика, управление движением летательных аппаратов

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата технических наук

Работа выполнена на кафедре математики и механики федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С. П. Королёва (национальный исследовательский университет)» (СГАУ).

Научный руководитель: Заболотнов Юрий Михайлович,

доктор технических наук, профессор.

Официальные оппоненты:

Сазонов Виктор Васильевич, доктор физико-математических наук, профессор, главный научный сотрудник федерального государственного бюджетного учреждения науки Институт прикладной математики им. М. В. Келдыша Российской академии наук;

Тимбай Иван Александрович, доктор технических наук, профессор, профессор кафедры высшей математики федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С. П. Королёва (национальный исследовательский университет)».

Ведущая организация: Федеральное государственное унитарное предприятие «Государственный научно-производственный ракетно-космический центр «ЦСКБ-Прогресс» (ФГУП ГНПРКЦ «ЦСКБ-Прогресс»), г. Самара.

Защита состоится 19 октября 2012 года в 12— часов на заседании диссертационного совета Д 212.215.04 при федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С. П. Королёва (национальный исследовательский университет)» по адресу 443086. г. Самара, Московское шоссе, 34.

С диссертацией можно познакомиться в библиотеке СГАУ.

Автореферат разослан 18 сентября 2012 года

Ученый секретарь диссертационного совета,

кандидат технических наук, доцент А.Г.Прохоров

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Используемые в настоящее время космические аппараты представляют собой сложные конструкции, состоящие из множества элементов. Особое место в космической технике занимают космические тросовые системы (КТС), которые могут создаваться на орбите из отдельных тел, отстоящих друг от друга на расстоянии от нескольких метров до десятков и сотен километров.

Космические тросовые системы могут быть использованы для решения чрезвычайно широкого круга задач: возвращение на Землю лёгких спускаемых капсул, содержащих полезный груз; исследование гравитационного поля Земли; создание искусственной гравитации на борту космического аппарата (КА); исследование ионосферы; съёмка земной поверхности с более высоким разрешением; орбитальные манёвры КА и т. д.

В последние несколько десятилетий были проведены натурные эксперименты по развёртыванию КТС, наиболее известными из которых являются: TSS-1, TSS-1R, OEDIPUS-A, OEDIPUS-C, SEDS-1, SEDS-2, YES2.

Реализация перечисленных и других экспериментов применения КТС требует подробного анализа динамики их движения, поэтому решению динамических задач, отражающих различные аспекты движения КТС, уделялось и уделяется большое внимание как у нас в стране: Алпатов А. П., Белецкий В. В., Левин Е. М., Сазонов В. В. и др., так и за рубежом: Cosmo M. L.,: Hoyt R. P., Mankala К. K.. Kruijff M., Robert L. F., Williams P. и др.

Эксперимент YES2, проведённый на КА «Фотон МЗ» в 2007 году, стал источником информации для исследования динамики КТС специалистами СГАУ и ФГУП ГНПРКЦ «ЦСКБ-Прогресс». Здесь следует отметить работы Асланова В. С., Заболотнова Ю. М., Ишкова С. А. и др. Работы, выполненные в СГАУ, были посвящены построению номинальных программ развёртывания КТС, вопросам динамики троса как распределённой системы, аэродинамической стабилизации движения КА с помощью тросовой системы, безопасности развёртывания КТС, задаче анализа плоских колебаний базового КА, с которого производится развёртывание тросовой системы. Однако вопросы анализа пространственного движения относительно центра масс спускаемой капсулы (СК) на упругом тросе при развёртывании КТС до настоящего времени не рассматривались.

В работе рассматривается КТС, состоящая из КА, СК и троса. Развёртывание троса осуществляется с помощью механизма управления, расположенного на борту КА. Анализ движения СК относительно центра масс необходим для обеспечения ограничений на углы ориентации СК относительно направления троса и на его угловую скорость. Развёртывание КТС без учёта этих ограничений может привести к провисанию троса (потеря управляемости), к образованию петель, к кручению троса, к большим угловым скоростям СК при его отделении от КТС после завершения

процесса развёртывания троса. Всё это существенно затруднит выполнение заданной целевой задачи. Наличие математических моделей движения СК относительно центра масс на упругом тросе и их анализ позволяет осуществить расчёт характеристик движения СК относительно центра масс на всём этапе развёртывания КТС. Данные по пространственному положению СК (углам ориентации) и его угловой скорости в момент отделения, включая их законы распределения, необходимы для прогнозирования дальнейшего движения СК.

Цель работы заключается в разработке математических моделей пространственного движения КТС с учетом колебаний относительно центров масс КА и СК, в параметрическом и статистическом анализе движения спускаемой капсулы для обеспечения заданных ограничений на характеристики её движения относительно центра масс. Для достижения цели работы необходимо:

1. Разработать математическую модель пространственного движения КТС при её развёртывании с учётом движения относительно центров масс КА и СК, массы троса, асимметрии СК и колебаний КА относительно местной вертикали.

2. Получить нелинейную математическую модель движения СК относительно центра масс на тросе, учитывающую действие гравитационного и аэродинамического моментов, в случае когда КА стабилизирован относительно местной вертикали при помощи своей собственной системы управления.

3. Получить приближённые квазилинейные уравнения пространственного движения СК относительно центра масс, учитывающие статическую и динамическую асимметрию СК.

4. Найти приближённое аналитическое решение для угла нутации (угла между продольной осью СК и направлением троса) при программном развёртывании КТС.

5. Провести анализ влияния статической и динамической асимметрии СК (под статической асимметрией понимается асимметрия положения точки крепления троса относительно оси динамической симметрии СК, под динамической асимметрией - несимметричный вид тензора инерции СК в связанных с ней осях), а также весомости троса и движения относительно центра масс КА на характеристики углового движения СК.

6. Провести оценку влияния массы троса и колебаний базового КА на динамику движения СК относительно центра масс.

7. Проанализировать процесс демпфирования продольных колебаний троса и угловых колебаний СК при развёртывании КТС.

8. Провести статистический анализ характеристик углового движения СК в момент окончания развёртывания КТС.

Методы исследования. При разработке математических моделей и методов исследования движения СК, задании действующих сил и моментов использовались методы классической механики и математики.

Объектом исследования является СК, совершающая пространственное движение относительно центра масс на упругом тросе.

Предметом исследования являются математические модели пространственного движения относительно центра масс СК при развёртывании КТС.

Научная новизна. Научная новизна представленных в диссертации результатов заключается в следующем:

1. Получена математическая модель пространственного движения развёртываемой КТС с учётом движения относительно центра масс КА и СК, позволяющая оценивать влияние асимметрии СК, весомости троса, угловых колебаний КА относительно местной вертикали на движение СК относительно центра масс.

2. С использованием методов асимптотического анализа найдено приближённое аналитическое решение уравнений пространственного движения СК относительно центра масс, позволяющее оценивать максимальные углы нутации СК при программном развёртывании КТС.

3. Построена математическая модель развёртывания КТС, состоящей из неоднородных участков, позволяющая анализировать способы демпфирования продольных колебаний троса и угловых колебаний СК относительно направления троса.

4. Проведён статистический анализ движения СК относительно центра масс в момент окончания развёртывания КТС, на основании которого определены статистические законы распределения угла нутации и компонент угловой скорости СК при отделении от КТС.

Практическая значимость. Результаты исследований позволяют целенаправленно изменять параметры троса, СК и демпфирующих устройств с целью выполнения заданных ограничений на характеристики пространственного движения СК относительно центра масс. Полученное аналитическое решение может быть использовано для оценки значений углов нутации при построении программных законов развёртывания КТС. Математические модели и методы анализа реализованы в виде комплекса программ и могут быть использованы при подготовке будущих тросовых экспериментов на орбите.

Результаты работы внедрены в учебный процесс СГАУ.

Апробация результатов исследования. Результаты, полученные в диссертации, были представлены на следующих конференциях и семинарах: Всероссийская молодёжная научная конференция с международным участием «VIII Королёвские чтения» (г. Самара. 2007 г.); Международная молодёжная конференция «Туполевские чтения» (г. Казань. 2007 г., 2008 г.); Международная конференция «Научные и технологические эксперименты на малых космических аппаратах и малых спутниках» (г. Самара, 2008 г.. 2011 г.); Международная конференция с элементами научной школы для молодёжи «Перспективные информационные технологии для авиации и космоса» (г. Самара. 2010 г.); 9-я международная конференция «Авиация и

космонавтика - 2010» (г. Москва, 2010 г.); Международная конференция «XXXV Академические чтения по космонавтике» (г. Москва, 2011 г.)

Публикации. Результаты, представленные в диссертации, были опубликованы в 14 работах, в том числе пять статей опубликованы в рецензируемых журналах, рекомендованных Высшей аттестационной комиссией РФ.

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы и трёх приложений. Общий объём диссертационной работы составляет 180 страниц машинописного текста. Диссертация содержит 57 рисунков, список литературы включает 76 наименований.

Во введение обоснована актуальность, сформулирована цель, определена научная новизна и практическая значимость работы, приведено краткое описание глав диссертации.

В первой главе дан обзор основных работ, посвящённых проблеме динамики КТС. Проведено описание экспериментов, в которых использовались КТС. На основе анализа существующих работ сформулированы основные задачи диссертационной работы и разработана схема исследований.

Во второй главе разрабатываются математические модели движения СК относительно центра масс при управляемом развёртывании КТС. Описываются основные системы координат: неподвижная геоцентрическая; тросовая; связанные с СК и с КА системы координат, и определяется их взаимная ориентация

Наиболее полная модель движения КТС с весомым тросом, учитывающая пространственное движение относительно центра масс СК и КА, получена в работе в форме уравнений Лагранжа второго рода и имеет вид:

определяющая вращательные степени свободы КТС; ака, у/ка, <рка и

Здесь

матрица-столбец,

(1)

аск,ц/ск,<рск - углы нутации, прецессии, собственного вращения КА и СК, определенные относительно направления троса; в,/3 - углы, определяющие ориентацию троса относительно местной вертикали; со^д, , со, -матрицы-столбцы угловых скоростей КА, СК и троса, соответственно;

" тензоры инерции КА, СК и троса, соответственно; Р-

потенциальная энергия системы; [...]Т- оператор транспонирования; время; <3 - вектор обобщённых сил.

Уравнение для вычисления длины троса определяется следующим образом:

* с12Ь 1 т дР ^

т-------о,----со, =--+ (2)

Л2 2 ' дЬ 1 дЬ с

где Ь - длина троса; Рс - управляющая сила в механизме развёртывания

+ (4 • т® ■ /н2 + п-р ■ т1 — 3 • /и2 ■ т1 - т,21 троса; т =--.-г- - приведённая масса КТС.

8-и°+/7г2)

где пР- суммарная масса КА и троса; т, = р-Ь - масса развернувшегося

участка троса, р- погонная масса троса; ш2- масса СК.

Для случая, когда КА сориентирован вдоль местной вертикали и удерживается в этом положении за счёт работы системы стабилизации, в работе получены нелинейные уравнения движения СК относительно центра масс в форме кинематических и динамических уравнений Эйлера. Особенностью данной модели является то. что она учитывает действия момента от силы упругости троса, гравитационного и аэродинамического моментов, действующих на СК, а также подвижность тросовой системы координат введением в кинематические уравнения дополнительных поправочных слагаемых Дог, Ду/, Дф, которые определяются следующим образом:

= Бт (р-сЬ( соъ<р , Аф =—-—{а. со%(р-а)( бш^), (3)

Бта 'у 11

Аф = -^а(а>. соБ^-бУ, ът(р)-а). , 'у 'г

где со. . ё. .

у

координат на оси связанной с СК системы координат.

(4)

Для малых углов нутации СК с малой асимметрией из кинематических и динамических уравнений Эйлера для случая, когда на СК действует только момент от силы упругости троса, получены квазилинейные уравнения в комплексной форме:

£-і1х сох-£ + со2-£ = со 2(А:-і-Ау)еІФ +

+ +'' ¿х: + Зу:

~ж=с°х' (6)

Здесь ^ = / • аг • е'1// - комплексный угол нутации; комплексно-

А ;; • ¿К

сопряженная величина; £ =—; д=—=-; =—+

ей ¿/г

¿у2 = Ах-Т / ./ - частота колебаний СК на тросе для плоского случая; Т -модуль силы натяжения троса; ./х, Jy,Jz, у: - осевые и

центробежные моменты инерции СК; У — (уу + ./-)/ 2;

^ Ду - —— ; ^

У " У

у

JyZ = AJ = ^J - безразмерные параметры динамической асимметрии СК; _ J

Ах - расстояние от центра масс СК до точки крепления троса; I -мнимая единица; Ау, Аг - отклонения точки крепления троса к СК от его продольной оси; Ау = Ау/ Ах, А: = А:/Ах - безразмерные параметры статической асимметрии СК.

Полученная модель (4) - (6) не учитывает подвижность тросовой системы координат.

В третьей главе проводится исследование движения СК относительно центра масс по описанным выше математическим моделям. Анализируется движение СК симметричной формы, оценивается влияние малой асимметрии СК, весомости троса и колебаний КА относительно местной вертикали на пространственное движение СК относительно центра масс.

Сначала рассматривается движение СК при отсутствии асимметрии и при программном развёртывании КТС. В этом случае с помощью усреднения уравнений (4) - (6) получено приближённое аналитическое решение для амплитуд колебаний угла нутации:

Л,2 = Л,2(0)

—2 2 N°25 J х •C0X 2, лчч +®o(0)

T2 2

■'г ,£УГ 2 /• 4

(7)

2

Здесь а>0(г) = Ax-T0(r)/J\ T^(r) - значение силы натяжения троса для номинальной программы развёртывания; г - вектор медленно изменяющихся параметров, определяющих изменения программной силы натяжения;

2 2 й)х = а>х(0) = const, а)о (0) - начальное значение функции щ (г).

Начальные значения амплитуд колебаний Л12(0), соответствующие

начальной ориентации СК и его начальным угловым скоростям,

определяются из выражений: A^Oje'^^0-1 + А2(=£(0),

^(OMWe'^to) +M2(0)iB2(0)e/«(0, =i(0)t ^ fo

оа>х at доз at где <i>[ 2 - частоты колебаний; &>i2(0)~ начальные значения частот колебаний; у\ 2(0) - начальные фазы колебаний.

Для оценки характеристик движения СК относительно центра масс используются следующие соотношения: ormax = А\ + А2, cr^ = |А] — А2\,

^rnax = \Am +A2CO2I G)mm =\Alol-A2co2\, где , ^min и ^max' ^min соответственно оценки огибающих кривых для угла нутации аг = |£| и

I 2 2

угловой скорости СК СОп = Jd)y Л-(О. .

В качестве примера, для программной зависимости силы натяжения (рис. 1) на рис. 2 представлены графики изменения угла нутации, полученные численным интегрированием нелинейных уравнений в форме уравнений Эйлера, с наложенными на них огибающими кривыми, определёнными согласно (7). При построении графиков, приведённых на рис. 1 и на рис. 2, использовались следующие исходные данные для СК, близкой по форме к

2

сфере: масса и моменты инерции СК - т2 = 20 кг, J =0,36 кг-м , J = 0,32 кг • м2; расстояние от центра масс СК до точки крепления троса -Ах = 0,2 м; начальные условия пространственного движения относительно центра масс СК - iyv(0) = 0,05 с"1, а(0) = 0, ^(0) = 0, ог(0) = 8°.

7о, Н

с

а) а,'

б) а°

Рис. 1 - Программное изменение силы натяжения троса

с

'">• I, с

Рис. 2 - Изменение угла нутации СК Графики, изображённые на рис. 2а, получены при сглаженной зависимости номинальной силы натяжения от времени (рис. 1, пунктирная линия), а на рис. 26 - с использованием зависимости с релейным переключением (рис. 1, сплошная линия). При использовании релейного переключения погрешность аналитического решения существенно увеличивается (рис. 26) по сравнению с использованием сглаженной зависимости (рис. 2а). Из проведённого анализа следует, что аналитическое решение (7) хорошо совпадает с численным решением на участках медленного изменения номинальной силы натяжения, однако в точках быстрого изменения силы натяжения (в точках релейного переключения) погрешность аналитического решения может достигать 50%.

Точность полученного аналитического решения (7) проверялась также

для больших углов нутации СК (до 90"). Было установлено, что в случае использования сглаженной программной зависимости силы натяжения от времени погрешность аналитического решения не превышает 10%.

Анализ движения СК относительно центра масс при наличии статической и динамической асимметрии показал, что если отделение СК от базового КА происходит с достаточно малыми угловыми скоростями (менее

0,1 с ') и с малыми углами нутации (менее 30°) при безразмерных

[~Рг Р2

параметрах асимметрии А1=\1Ау + Аг , А2 = л/+ ^хг ,

А3 = \]АJ +Jyz , не превышающих 0,1. то колебания СК по углу нутации

остаются ограниченными (не превышают 90°). В этом случае влияние асимметрии проявляется в появлении «биений» в амплитуде колебаний, что иллюстрирует рис. 3.

О 2иЮ3 4»Ю3 6«! О1 8*103 1*10' ^ £

Рис. 3 - Изменение угла нутации для асимметричной СК (А,=А2=Д3=0,1)

Если СК имеет начальную закрутку вокруг продольной оси, то его движение становится более сложным. В некоторых случаях, при данном уровне асимметрии (А[ = Д2 = А3 = 0,1), возможна потеря устойчивости движения по углу нутации вследствие появления в системе резонансов.

Оценка влияния массы троса на движение СК, проводилась с использованием математической модели (1) - (2). В результате было установлено, что некоторое изменение (на несколько градусов) амплитудных характеристик угла нутации появляется только на тех участках развёртывания КТС (6000...8300 е.. рис. 1), когда длина троса превышает 15...20 км и происходит выпуск троса с относительно большими скоростями и ускорениями. Расчёты проводились для номинальной программы развёртывания троса, которая использовалась в эксперименте УЕ82. Амплитуда колебаний по углу нутации с увеличением линейной плотности материала троса изменяется незначительно (при увеличении массы троса в четыре раза амплитуда колебаний по углу нутации изменяется не более чем на 4е).

Оценка влияния колебаний КА относительно местной вертикали на движение СК относительно центра масс проводилась по математической модели (1) - (2). Рассматривался случай, когда массы базового КА (6000 кг) с одной стороны, СК и троса с другой (20 кг) существенно различаются, что соответствовало эксперимент} УЕ82. Для рассматриваемого случая колебания КА практически не влияли на угловое движение СК, а амплитудные характеристики движения изменялись незначительно.

В четвёртой главе предложены и проанализированы способы демпфирования продольных и поперечных колебаний СК на упругом тросе при развёртывании КТС.

Для анализа работы продольного демпфера колебаний СК на упругом тросе разработана математическая модель развёртывания весомого троса, отличительной чёртой данной модели является то, что она описывает процесс развёртывания троса, состоящего из трёх разнородных участков различной жёсткости. Один из участков (средний) представляет собой стержень, работающий как на сжатие, так и на растяжение, и играющий роль демпфера продольных колебаний троса.

Введение участков с различной жёсткостью связано с тем, что СК может отделяться от КА со скоростью, отличной от расчётной скорости, и в направлении, отличном от номинального. Это может привести к резким изменениям значения силы натяжения в первые секунды развёртывания троса, к рикошетному движению и, как следствие, к соударению СК с КА. Поэтому на первом участке троса (считая от СК) предлагается использовать материал с уменьшенной жёсткостью, а на втором участке использовать специальный материал, который демпфирует продольные колебания. Третий участок имеет длину, практически равную длине всего троса (в данной задаче 30 км), и может быть изготовлен из высокопрочного жёсткого материала, например, из материала «Эупеета». Подобная структура троса использовалась в эксперименте УЕ82. Отличие предложенной схемы от схемы, использованной в эксперименте УЕ82, заключается в том, что первый участок предлагается изготавливать из материала с малой жёсткостью.

Анализ данной схемы показал, что наличие участка малой жёсткости позволяет расширить диапазон допустимых скоростей отделения СК от КА на 5%. Наличие демпфера продольных колебаний на втором участке троса позволяет погасить продольные колебания в КТС менее чем за 500 секунд при использовании демпфера продольных колебаний с коэффициентом демпфирования (коэффициент потерь в материале) более 0,01.

Для демпфирования угловых колебаний СК предлагается использовать сферический вязкий демпфер в месте крепления троса к СК. Для моделирования процесса демпфирования в этом случае используются уравнения в форме уравнений Эйлера, в правую часть которых вводится диссипативный момент М^ = ~кр-Дсо, где кр- коэффициент

демпфирования вязкого сферического демпфера, Асо - вектор угловой скорости вращения СК относительно тросовой системы координат. Диссипативный момент действует на СК и на участок троса, прилегающий к демпферу в виде пары сил.

В качестве примера на рис. 4 показан результат демпфирования колебаний по углу нутации для СК с асимметрией: Д|=Д2=Дз=0,1 при кр =0,01.

л

■Ч /\ ,

Д \ Ддл, А

\/ V V ^

Рис. 4 - Изменение угла нутации СК при наличии поперечного демпфера Из рис. 4 следует, что угол нутации стремится к некоторому

определённому балансировочному значению 5,7°, которое определяется величиной статической асимметрии. Если имеется только динамическая асимметрия СК, то угол нутации стремится к нулю.

Наличие демпферов продольных колебаний троса и угловых колебаний СК позволяет избежать возможных резонансных явлений при спуске СК на тросе в случае отделения СК от КА с большими начальными угловыми скоростями.

В пятой главе проводится статистический анализ основных характеристик пространственного движения относительно центра масс СК в момент окончания развёртывания КТС: значений угла нутации, модуля и компонент вектора угловой скорости СК. Данные исследования необходимы для прогнозирования движения СК после окончания развёртывания КТС.

При статистическом моделировании для случайных возмущений были приняты следующие законы распределения:

1. Проекции угловой скорости СК на оси связанной СК при отделении от КА распределены по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и с заданным стандартным отклонением а(у.

2. Начальные значения углов прецессии и собственного вращения распределены равномерно на отрезке [0, 2тг].

3. Начальный угол нутации распределён равномерно на отрезке [°> «шах]-

4. Безразмерные параметры асимметрии распределены по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и со стандартным

ОТКЛОНеНИеМ <Тд.

В работе показано, что если Ъаш < 0,1 с"^,3сгд<0,1 и атах < 30°, то

гистограммы для значений угла нутации в конце развёртывания КТС могут быть аппроксимированы бета-распределением или распределением Релея, гистограммы для проекций вектора угловой скорости СК (Ох, (Оу и &>_ -

нормальным законом распределения, а гистограммы для модуля угловой скорости - бета-, гамма- или распределением Релея, что подтверждается применением критерия согласия Пирсона с уровнем значимости 0.05.

В работе также была разработана методика регрессионного анализа при проведении статистического моделирования движения СК для оценки вклада отдельных случайных возмущений в полную дисперсию рассматриваемых

характеристик движения СК. Например, в случае, когда 3(7^=0,1 с',

3Од =0,1 и «тах =30°. вклад разбросов начального угла нутации а(0) и начальной угловой скорости СК вокруг продольной оси а>х(0) в дисперсию угла нутации в конечной точке является определяющим (36,5% и 29,1% соответственно). Адекватность полученных уравнений регрессии проверялась с использованием критерия Фишера.

В приложениях приводится: подробный вывод уравнений движения КТС в форме уравнения Лагранжа второго рода; построение номинальной программы развёртывания КТС при пространственном движении троса; вид тензора инерции СК в подвижной тросовой системе координат.

В заключении формулируются основные результаты и выводы по работе.

Основные результаты работы:

1. Разработана математическая модель пространственного движения космической тросовой системы (КТС) в форме уравнений Лагранжа второго рода, позволяющая исследовать динамику движения относительно центра масс спускаемой капсулы (СК) при развёртывании тросовой системы с учётом асимметрии СК, весомости троса и колебаний базового космического аппарата (КА) относительно местной вертикали.

2. Разработана нелинейная математическая модель движения СК при развёртывании КТС в форме уравнений Эйлера, которая позволяет учитывать действие гравитационного и аэродинамического моментов на СК.

3. Получены квазилинейные уравнения движения СК с малой асимметрией в комплексной форме для малых углов нутации, допускающие анализ асимптотическими методами.

4. Методом усреднения найдено приближённое аналитическое решение уравнений пространственного движения симметричной СК, позволяющее оценивать влияние программы развёртывания КТС на величину угла нутации и угловой скорости СК при проектировании КТС.

5. Проведён анализ влияния статической и динамической асимметрии на движение относительно центра масс СК при развёртывании КТС, позволяющий оценивать допустимые значений безразмерных параметров асимметрии.

6. Проведена оценка влияния весомости троса и колебаний КА на движение СК относительно местной вертикали. Показано, что если массы КА и СК с тросом существенно различаются (не менее чем на два порядка), то эти факторы практически не влияют на характеристики движения СК относительно центра масс, и ими можно пренебречь.

7. Предложены и исследованы способы демпфирования продольных колебаний троса и угловых колебаний СК на упругом тросе, позволяющие

14

расширить диапазоны возможных скоростей отделения от КА и допустимых значений асимметрии СК.

8. Проведено статистическое моделирование развёртывания КТС и получены оценки для законов распределения угла нутации, модуля угловой скорости и компонентов вектора угловой скорости СК на момент окончания развёртывания КТС. Данные результаты необходимы для проведения статистического моделирования дальнейшего движения СК.

СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Основное содержание диссертации опубликовано в изданиях, определённых Высшей аттестационной комиссией Министерства образования и науки Российской Федерации:

1. Заболотнов, Ю. М. Движение спускаемой капсулы относительно центра масс при развертывании орбитальной тросовой системы [Текст] / Ю. М. Заболотнов, О. Н. Наумов // Космические исследования, т. 50, № 2, 2012,- С. 177-187.

2. Наумов, О. Н. Анализ влияния статической и динамической асимметрии на вращательное движение капсулы при управляемом развертывании тросовой систем [Текст] / О. Н. Наумов // Электронный журнал Труды МАИ. Выпуск № 43, 2011. URL: http://w\v\v.maixu/science/trudy/published.php?[D=24767 - загл. с экрана.

3. Наумов, О. Н. Демпфирование колебаний спускаемой капсулы при управляемом развертывании тросовой системы [Текст] / О. Н. Наумов // Полёт, №2, 2012. - С. 45-50.

4. Наумов, О. Н. Статистический анализ вращательного движения легкой спускаемой капсулы при развертывании космической тросовой системы [Текст] / О. Н. Наумов // Изв. вузов. Авиационная техника, №2, 2012. - С. 37-40.

5. Заболотнов, Ю. М. Анализ пространственного вращательного движения концевого тела при развертывании орбитальной тросовой системы [Текст] / Ю. М. Заболотнов. О. Н. Наумов // Известия СНЦ РАН. Т. 11, №3, 2009.-С. 249-256.

В прочих изданиях:

6. Наумов, О. Н. Статистический анализ вращательного движения капсулы на тросе [Текст] / О. Н. Наумов // Электронный многопредметный научный журнал «Исследовано в России». - М: МФТИ, 072, 2009. - С. 943952. URL:

http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2009/072.pdf- загл. с экрана.

7. Заболотнов, Ю. М. Анализ вращательного движения тела на упругом тросе [Текст] / Ю. М. Заболотнов, О. Н. Наумов. Тезисы докладов первой международной конференции «Научные и технологические эксперименты на малых космических аппаратах и малых спутниках». - Самара, 2008. -С. 179.

8. Заболотнов, Ю. М. Движение вокруг центра масс малого космического аппарата [Текст] // Ю. М. Заболотнов, О. Н. Наумов // Тезисы докладов второй международной конференции «Научные и технологические эксперименты на автоматических космических аппаратах и малых спутниках». — Самара, 2011. — С. 271-274.

9. Заболотнов, Ю. М. Статистический анализ влияния диссипации на движение вокруг центра масс капсулы при управляемом развёртывании космической тросовой системы [Текст] / Ю. М. Заболотнов, О. Н. Наумов // Актуальные проблемы российской космонавтики: Труды XXXV Академических чтений по космонавтике. - Москва, 2011. - С. 138-139.

10. Заболотнов, Ю. М. Статистическая модель и программа оценки вероятностных характеристик вращательного движения капсулы на тросе [Текст] / Ю. М. Заболотнов, О. Н. Наумов // Труды международной конференции с элементами научной школы для молодежи «Перспективные информационные технологии для авиации и космоса». - Самара, 2010. - С. 651-655.

11. Заболотнов, Ю. М. Движение космической тросовой системы с учетом вращательного движения концевых тел [Текст] / Ю. М. Заболотнов, О. Н. Наумов // Тезисы международной молодёжной научной конференции «XV Туполевские чтения». - Казань: КГТУ им. А. Н. Туполева. Том 1, 2007.

- С. 14-15.

12. Заболотнов, Ю. М. Математическая модель движения космической тросовой системы с учетом вращательного движения спускаемой капсулы [Текст] / Ю. М. Заболотнов. О. Н. Наумов // Тезисы всероссийской молодёжной научной конференция с международным участием «VIII Королёвские чтения». - Самара, 2007. - С. 33.

13. Заболотнов, Ю. М. Движение космической тросовой системы в нецентральном гравитационном поле [Текст] / Ю. М. Заболотнов, О. Н. Наумов // Тезисы международной молодёжной научной конференции «XVI Туполевские чтения». - Казань: КГТУ им. А. Н. Туполева. Том 1, 2008.

- С. 20-21.

14. Заболотнов Ю. М. Анализ пространственного движения космической тросовой системы с учетом вращательного движения концевых тел [Текст] / Ю. М. Заболотнов, О. Н. Наумов // Управление и навигация летательных аппаратов. Сб. трудов XV Всероссийского семинара по управлению движением и навигации, - Самара: СГАУ, 2012. - С. 104-107.

Подписано в печать 10.09.2012. Формат 60x84 1/1, тираж 100 ткз. Отпечатано с готового оригинал-макета 443086 г. Самара. Московское шоссе, 34

Основные условные обозначения.

Введение.

1. Аналитический обзор и решаемые задачи.

1.1 Обзор проектов и экспериментов, в которых использовались космические тросовые системы.

1.2 Обзор математических моделей и методов исследования динамики космических тросовых систем.

1.3 Схема диссертационного исследования.

2. Математические модели движения.

2.1 Нелинейная математическая модель движения КТС с учётом вращательного движения КА в форме уравнения Лагранжа.

2.2 Нелинейная модель вращательного движения СК при развёртывании

КТС в форме уравнений Эйлера.

2.3 Квазилинейные уравнения движения СК с малой асимметрией.

2.4 Результаты второй главы.

3. Анализ движения СК вокруг центра масс.

3.1 Анализ движения СК при отсутствии асимметрии.

3.2 Анализ движения СК при наличии статической и динамической асимметрии.

3.3 Анализ движения СК при учёте вращательного движения КА и весомости троса.

Актуальность темы. Используемые в настоящее время космические аппараты представляют собой сложные конструкции, состоящие из множества элементов. Особое место в космической технике занимают космические тросовые системы (КТС), которые могут создаваться на орбите из отдельных тел, отстоящих друг от друга на расстоянии от нескольких метров до десятков и сотен километров.

Космические тросовые системы могут быть использованы для решения чрезвычайно широкого круга задач: возвращение на Землю лёгких спускаемых капсул, содержащих полезный груз; исследование гравитационного поля Земли; создание искусственной гравитации на борту космического аппарата (КА); исследование ионосферы; съёмка земной поверхности с более высоким разрешением; орбитальные манёвры КА и т. д.

В последние несколько десятилетий были проведены натурные эксперименты по развёртыванию КТС, наиболее известными из которых являются: TSS-1, TSS-1R, OEDIPUS-A, OEDIPUS-C, SEDS-1, SEDS-2, YES2.

Реализация перечисленных и других экспериментов применения КТС требует подробного анализа динамики их движения, поэтому решению динамических задач, отражающих различные аспекты движения КТС, уделялось и уделяется большое внимание как у нас в стране: Алпатов А. П., Белецкий В. В., Левин Е. М., Сазонов В. В. и др., так и за рубежом: Cosmo M. L., Hoyt R. P., Mankala К. K., Kruijff M., Robert L. F., Williams P. и др.

Эксперимент YES2, проведённый на КА «Фотон МЗ» в 2007 году, стал источником ииформации для исследования динамики КТС специалистами СГАУ и ФГУП ГНПРКЦ «ЦСКБ-Прогресс». Здесь следует отметить работы Асланова В. С., Заболотнова Ю. М., Ишкова С. А. и др. Работы, выполненные в СГАУ, были посвящены построению номинальных программ развёртывания КТС, вопросам динамики троса как распределённой системы, аэродинамической стабилизации движения КА с помощью тросовой системы, безопасности развёртывания КТС, задаче анализа плоских колебаний базового КА, с которого производится развёртывание тросовой системы. Однако вопросы анализа пространственного движения относительно центра масс спускаемой капсулы (СК) на упругом тросе при развёртывании КТС до настоящего времени не рассматривались.

В работе рассматривается КТС, состоящая из КА, СК и троса. Развёртывание троса осуществляется с помощью механизма управления, расположенного на борту КА. Анализ движения СК относительно центра масс необходим для обеспечения ограничений на углы ориентации СК относительно направления троса и на его угловую скорость. Развёртывание КТС без учёта этих ограничений может привести к провисанию троса (потеря управляемости), к образованию петель, к кручению троса, к большим угловым скоростям СК при его отделении от КТС после завершения процесса развёртывания троса. Всё это существенно затруднит выполнение заданной целевой задачи. Наличие математических моделей движения СК относительно центра масс на упругом тросе и их анализ позволяет осуществить расчёт характеристик движения СК относительно центра масс на всём этапе развёртывания КТС. Данные по пространственному положению СК (углам ориентации) и его угловой скорости в момент отделения, включая их законы распределения, необходимы для прогнозирования дальнейшего движения СК.

Цель работы заключается в разработке математических моделей пространственного движения КТС с учетом колебаний относительно центров масс КА и СК, в параметрическом и статистическом анализе движения спускаемой капсулы для обеспечения заданных ограничений на характеристики её движения относительно центра масс.

Для достижения цели работы необходимо:

1. Разработать математическую модель пространственного движения КТС при её развёртывании с учётом движения относительно центров масс КА и СК, массы троса, асимметрии СК и колебаний КА относительно местной вертикали.

2. Получить нелинейную математическую модель движения СК относительно центра масс на тросе, учитывающую действие гравитационного и аэродинамического моментов, в случае когда КА стабилизирован относительно местной вертикали при помощи своей собственной системы управления.

3. Получить приближённые квазилинейные уравнения пространственного движения СК относительно центра масс, учитывающие статическую и динамическую асимметрию СК.

4. Найти приближённое аналитическое решение для угла нутации (угла между продольной осыо СК и направлением троса) при программном развёртывании КТС.

5. Провести анализ влияния статической и динамической асимметрии СК (под статической асимметрией понимается асимметрия положения точки крепления троса относительно оси динамической симметрии СК, под динамической асимметрией - несимметричный вид тензора инерции СК в связанных с ней осях), а также весомости троса и движения относительно центра масс КА на характеристики углового движения СК.

6. Провести оценку влияния массы троса и колебаний базового КА на динамику движения СК относительно центра масс.

7. Проанализировать процесс демпфирования продольных колебаний троса и угловых колебаний СК при развёртывании КТС.

8. Провести статистический анализ характеристик углового движения СК в момент окончания развёртывания КТС.

Методы исследования. При разработке математических моделей и методов исследования движения СК, задании действующих сил и моментов использовались методы классической механики и математики.

Объектом исследования является СК, совершающая пространственное движение относительно центра масс на упругом тросе.

Предметом исследования являются математические модели пространственного движения относительно центра масс СК при развёртывании КТС.

Научная новизна. Научная новизна представленных в диссертации результатов заключается в следующем:

1. Получена математическая модель пространственного движения развёртываемой КТС с учётом движения относительно центра масс КА и СК, позволяющая оценивать влияние асимметрии СК, весомости троса, угловых колебаний КА относительно местной вертикали на движение СК относительно центра масс.

2. С использованием методов асимптотического анализа найдено приближённое аналитическое решение уравнений пространственного движения СК относительно центра масс, позволяющее оценивать максимальные углы нутации СК при программном развёртывании КТС.

3. Построена математическая модель развёртывания КТС, состоящей из неоднородных участков, позволяющая анализировать способы демпфирования продольных колебаний троса и угловых колебаний СК относительно направления троса.

4. Проведён статистический анализ движения СК относительно центра масс в момент окончания развёртывания КТС, на основании которого определены статистические законы распределения угла нутации и компонент угловой скорости СК при отделении от КТС.

Практическая значимость. Результаты исследований позволяют целенаправленно изменять параметры троса, СК и демпфирующих устройств с целыо выполнения заданных ограничений на характеристики пространственного движения СК относительно центра масс. Полученное аналитическое решение может быть использовано для оценки значений углов нутации при построении программных законов развёртывания КТС. Математические модели и методы анализа реализованы в виде комплекса программ и могут быть использованы при подготовке будущих тросовых экспериментов на орбите.

Результаты работы внедрены в учебный процесс СГАУ.

Результаты работы, выносимые на защиту:

1. Математическая модель пространственного движения СК относительно центра масс при управляемом развёртывании КТС, учитывающая массу троса, асимметрию СК и колебания КА относительно местной вертикали.

2. Квазилинейная математическая модель пространственного вращательного движения СК с малой асимметрией при малых углах нутации.

3. Аналитическое решение квазилинейных уравнений для угла нутации СК при программном развёртывании КТС и при отсутствии асимметрии.

4. Результаты исследования влияния статической и динамической асимметрии СК на параметры его пространственного движения относительно центра масс.

5. Математическая модель движения тросовой системы, состоящей из разнородных участков троса.

6. Результаты анализа процессов демпфирования продольных колебаний троса и угловых колебаний СК.

7. Результаты статистического анализа движения СК относительно центра масс.

Апробация результатов исследования. Результаты, полученные в диссертации, были представлены и докладывались на следующих конференциях и семинарах:

1. Всероссийская молодёжная научная конференция с международным участием «VIII Королёвские чтения». Самара, 2007 г.

2. Международные молодежные конференции «Туполевские чтения». Казань, 2007 и 2008 годы.

3. Международная конференция «Научные и технологические эксперименты на малых космических аппаратах и малых спутниках». Самара, 2008 г.

4. Международная конференция с элементами научной школы для молодежи «Перспективные информационные технологии для авиации и космоса», Самара, 2010.

5. 9-я международная конференция «Авиация и космонавтика -2010». Москва, 2010 г.

6. Международная конференция «XXXV Академические чтения по космонавтике». Москва, 2011 г.

7. Вторая международная конференция «Научные и технологические эксперименты на автоматических космических аппаратах и малых спутниках». Самара, 2011 г.

Публикации. Результаты, представленные в диссертации, были опубликованы в 14 работах [42 - 55], в том числе пять статей опубликованы в рецензируемых журналах, рекомендованных Высшей аттестационной комиссией РФ [42 - 46].

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и трёх приложений. Объём диссертации составляет 180 страниц машинописного текста.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В результате проведенных в диссертационной работе исследований получены следующие основные результаты:

1. Разработана математическая модель пространственного движения космической тросовой системы (КТС) в форме уравнений Лагранжа второго рода, позволяющая исследовать динамику движения относительно центра масс спускаемой капсулы (СК) при развёртывании тросовой системы с учётом асимметрии СК, весомости троса и колебаний базового космического аппарата (КА) относительно местной вертикали.

2. Разработана нелинейная математическая модель движения СК при развёртывании КТС в форме уравнений Эйлера, которая позволяет учитывать действие гравитационного и аэродинамического моментов на СК.

3. Получены квазилинейные уравнения движения СК с малой асимметрией в комплексной форме для малых углов нутации, допускающие анализ асимптотическими методами.

4. Методом усреднения найдено приближённое аналитическое решение уравнений пространственного движения симметричной СК, позволяющее оценивать влияние программы развёртывания КТС на величину угла нутации и угловой скорости СК при проектировании КТС.

5. Проведён анализ влияния статической и динамической асимметрии на движение относительно центра масс СК при развёртывании КТС, позволяющий оценивать допустимые значений безразмерных параметров асимметрии.

6. Проведена оценка влияния весомости троса и колебаний КА на движение СК относительно местной вертикали. Показано, что если массы КА и СК с тросом существенно различаются (не менее чем на два порядка), то эти факторы практически не влияют на характеристики движения СК относительно центра масс, и ими можно пренебречь.

7. Предложены и исследованы способы демпфирования продольных колебаний троса и угловых колебаний СК на упругом тросе, позволяющие расширить диапазоны возможных скоростей отделения от КА и допустимых значений асимметрии СК.

8. Проведено статистическое моделирование развёртывания КТС и получены оценки для законов распределения угла нутации, модуля угловой скорости и компонентов вектора угловой скорости СК на момент окончания развёртывания КТС. Данные результаты необходимы для проведения статистического моделирования дальнейшего движения СК.

1. Hoyt, R. P. Remediation of radiation belts using electrostatic tether structures Text. / R.P. Hoyt, В. M. Minor // Aerospace Conf., 2005 IEEE. Big Sky, MT, pp. 583-594.

2. Robert, P. Hoyt. Cislunar tether transport system Text. / Robert P. Hoyt, Chancey Uphoff // AIAA-99-2690, pp. 1-15. Электронный ресурс, режим доступа свободный: http://www.tethers.com/papers/CislunarAIAAPaper.pdf -Загл. с экрана.

3. Hoyt, R. P. The Terminator Таре: A cost-effective de-orbit module for end-of-life disposal of LEO satellites Text. / Hoyt, R. P., et al. // AIAA Space 2009 Conference and Exposition, September 14, 2009 -September 17, pp. 1 -9.

4. Белецкий, В. В. Динамика космических тросовых систем Текст. / В. В. Белецкий, Е. М. Левин. М.: Наука, 1990. - 336 с.

5. Cosmo, М. L. Tethers in space handbook // Third edition Text. / M.L. Cosmo, E. C. Lorenzini. December, 1997, pp. 1-274.

6. Проект TSS-1 электронный ресурс, режим доступа свободный: http://nssdc.gsfc.nasa.gov/nmc/spacecraftDisplay.do?id=TSS-l Загл. с экрана.

7. Туе, G. On the Dynamics of Spinning Tethered Space Vehicles Text. / Tyc, G. and Ray P.S. Han // Philosophical Transactions: Mathematical, Physical & Engineering Sciences of the Royal Society, 359, 2161-2190,2001.

8. Электронный ресурс Канадского космического агентства, режим доступа свободный:http://www.asc-csa.gc.ca/images/recherche/images/90 hr.jpg Загл. с экрана.

9. Vigneron, F. R. Tether deployment and trajectory modeling for space plasma science missions Text. / F. R. Vigneron, F. Schultz, A. M. Jablonski, G. Tyc // Journal of spacecraft and rockets. Vol. 37, No, 1, January-February 2000.

10. Michel Kruijff. Applicability of tether deployment simulation and tests based on YES 2 flight data Text. / Michel Kruijff. AIAA -2008-7036, pp. 1-24.

11. Проект YES2 Электронный ресурс. Режим доступа свободный: http://www.yes2.info/ Загл. с экрана.

12. Белецкий, В. В. Об относительном движении связки двух тел на орбите Текст. / В.В. Белецкий, Е.Т. Новикова // Космическиеисследования, 1969. Т. 7. Вып. 3. С. 377-384.

13. Алпатов, А. П. Динамика космических систем с тросовыми ишарнирными соединениями Текст. / А. П. Алпатов и др. Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Институт компьютерных исследований, 2007. - 560 с.

14. Сазонов В. В. Математическое моделирование развертывания тросовой системы с учетом массы троса Текст./ В.В. Сазонов. М.: Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша. - 2006. - 36 с.

15. Фефелов Д. И. Моделирование и анализ развертывания и снижения соколоземной орбиты тросовой системы со спускаемой капсулой152

16. Текст. : дис. канд. техн. наук : 05.07.09 : защищена 27.09.2007 / Фефелов Денис Иванович ; Самар. гос. аэрокосм. ун-т им. С. П. Королева. Самара : СГАУ, 2007. - 131 с.

17. Дигнат, Ф. Управление колебаниями орбитальной тросовой системы Текст. / Ф. Дигнат, В. Шилен // Прикладная математика имеханика. 2000. Том 64. Вып. 5. С. 747-754.

18. Еленев, Д. В. Движение космического аппарата с тросовымаэродинамическим стабилизатором Текст. / Д. В. Еленев, Ю. М. Заболотнов. Самара: Издательство СНЦРАН, 2011. - 114 с.

19. Martin, В. Larsen. Nonlinear control of electrodynamics tether in equatorial or somewhat inclined orbits Text. / Martin B. Larsen, Morgens Blanke. Proceedings of the 15th Mediterranean conference on control and automation, July 27-29, 2007, pp. 1 6.

20. Kalyan, K. Mankala. A boundary controller on linear infinite dimensional system for station keeping of a tethered satellite system Text. / Kalyan K. Mankala, Sunil K. Agrawal // American control conference, 14-16 June 2006, pp. 1-6.

21. Williams, P. Dynamics and control of spinning tethers for rendezvous in elliptical orbit Text. / Paul Williams // Journal of Vibration and control, 12(7), 2006, pp. 731-771.

22. Mankala, К. K. Dynamic modeling and simulation of satellite tethered systems Text. / К. K. Mankala, S. K. Agrawal // Journal of vibration and acoustics, v. 127, n. 2, 2005, pp. 144 156.

23. Асланов, В. С. Уравнения движения орбитальной тросовой системы с учетом колебаний космического аппарата Текст. / В. С. Асланов, Н. Р. Стратилатов // Вестник СГАУ, №1, 2008. С. 16 - 22.

24. Стратилатов, Н. Р. Динамика космической тросовой системы для доставки полезной нагрузки на Землю Текст. / Н. Р. Стратилатов // Диссертация кандидата технических наук: 01.02.01 / Сам. гос. аэрокосм, ун-т им. С. П. Королёва. Самара, 2010.-124 с.

25. Белецкий, В. В. Модельная задача о космическом лифте Текст. / В. В. Белецкий, М. Б. Иванов, Е. И. Отставнов // Космические исследования Т. 43, № 2, 2005. - С.157-160.

26. Robert, L. Forward. Terminator tether: spacecraft deorbit device Text. / Robert L. Forward, Robert P. Hoyt // Journal of spacecraft and rockets -Vol. 37, № 2, March-April 2000, pp. 187 196.

27. Guang Zhai. System dynamics and feedforward control for tether-net space robot system Text. / Guang Zhai, Yue Qiu, Bin Liang and Cheng Li // International journal of advanced robotic systems, vol. 6, № 2 (2009) ISSN 1729-8806, pp. 137-144.

28. Eric, L. Near-Earth asteroid mission using tether sling shot assist Text. / Eric L., M. Lanoix, Arun K. Mirsa // Journal of spacecraft and rockets Vol. 37, № 2, March-April 2000, pp. 475 - 480.

29. Лаптев, E. В. Метод учёта характеристик троса при моделировании движения орбитальной тросовой системы Текст. / Е. В. Лаптев // Вестник СГАУ, № 2, 2010, с. 34-38.

30. Заболотнов, Ю. М. Движение в атмосфере тросовой системы спускаемый аппарат аэродинамический стабилизатор Текст. / Ю. М. Заболотнов, Д. В. Еленев // Известия СНЦ РАН, т.8, № 3, 2006. - С. 833 - 840.

31. Заболотнов, Ю. М. Динамика движения капсулы с тросом на внеатмосферном участке спуска с орбиты Текст. / Ю.М. Заболотнов, Д.И. Фефелов // Известия СНЦ РАН, т.8, № 3, 2006. С. 841 - 848.

32. Заболотнова, О. Ю. Синтез алгоритмов управления для развертывания космической тросовой системы Текст. / О.Ю. Заболотнова // Полет, № 10, 2010.

33. Белецкий, В. В. Движение искусственного спутника Земли относительно центра масс Текст. / В. В. Белецкий // Москва. Наука, 1965-416 с.

34. Асланов В. С. Малые колебания осесимметричного космического аппарата с тросовой системой текст. / В. С. Асланов, Н. Р. Стратилатов // Вестник СамГУ Естественнонаучная серия. Механика. № 6(65), с. 202 - 208.

35. Наумов, С. А. Управление развертыванием орбитальной тросовой системы для спуска малой капсулы Текст. / С. А. Наумов // дис. канд. техн. наук: 05.07.09 Самара, 2006, 96 с.

36. Ишков, С. А. Определение параметров орбитальной тросовой системы, предназначенной для спуска малых капсул с орбиты Текст. /

37. С. А. Ишков, И. В. Шейников // Известия СНЦ РАН, т.11, № 5, 2009.-С. 208-215.

38. Ишков, С. А. Управление развертыванием орбитальной тросовой системы Текст. / С. А. Ишков, С. А. Наумов // Вестник СГАУ. 2006. Вып.1.-С. 81-90.

39. Заболотнов, Ю. М. Движение спускаемой капсулы относительно центра масс при развертывании орбитальной тросовой системы Текст. / Ю. М. Заболотнов, О. Н. Наумов // Космические исследования, т.50, №2, 2012.-С.177-187.

40. Наумов, О. Н. Демпфирование колебаний спускаемой капсулы при управляемом развертывании тросовой системы Текст. / О. Н. Наумов // Полет, №2, 2012. С. 45-50.

41. Наумов, О. Н. Статистический анализ вращательного движения легкой спускаемой капсулы при развертывании космической тросовой системы Текст. / О. Н. Наумов // Изв. вузов. Авиационная техника, №2, 2012.-С. 37-40.

42. Заболотнов, Ю. М. Анализ пространственного вращательного движения концевого тела при развертывании орбитальной тросовой системы Текст. / Ю. М. Заболотнов, О. Н. Наумов // Известия СНЦ РАН. Т.11. №3. - 2009. - С. 249-256.

43. Наумов, О. Н. Статистический анализ вращательного движения капсулы на тросе электронный ресурс. // О. Н. Наумов. Электронный многопредметный научный журнал «Исследовано в России». М:

44. МФТИ, 072, стр. 943-952, 2009 г. Режим доступа http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2009/072.pdf Загл. с экрана.

45. Коренев, Г. В. Тензорное исчисление Текст. / Г. В. Коренев. Учеб. Пособие: Для вузов. М.: Изд-во МФТИ, 2000. - 240 с.

46. ГОСТ 25645.101-83 Атмосфера Земли верхняя. Модель плотности для проектных баллистических расчетов искусственных спутников Земли. - М.: Издательство стандартов. - 172 с.

47. Мирер, С. А. Механика космического полета. Орбитальное движение Текст. / С. А. Мирер. Учебное пособие. М: Резолит, 2007. - 270 с.

48. Мепоп, С. Design and Testing of a Space Mechanism for Tether Deployment Text. / С. Menon, M. Kruijff, A. Vavonliotis // J. Spacecraft and Rockets, Vol.44, No.4, July-August, 2007.

49. Рубановский, В. Н. Устойчивость стационарных движений в примерах и задачах Текст. / В. Н. Рубановский, Самсонов В. А. Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотичная динамика», 2003. - 304 с.

50. Маркеев, А. П. Теоретическая механика Текст. / А. П. Маркеев. Учебник для университетов. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001, 592 с.

51. Боголюбов, Н. Н. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний Текст. / Н. Н. Боголюбов, Ю. А. Митропольский // (3-е изд.)-М.: Физматгиз, 1963.

52. Моисеев, Н. Н. Асимптотические методы нелинейной механики Текст. / Н. Н. Моисеев. 2-е изд., перераб. - М.: Наука, 1981. - 400 с.

53. Ярошевский, В. А. Движение неуправляемого тела в атмосфере Текст. / В. А. Ярошевский. М.: Машиностроение, 1978. - 168 с.

54. Заболотнов, Ю. М. Асимптотический анализ квазилинейных уравнений в атмосфере КА с малой асимметрией I Текст. / Ю. М. Заболотнов // Космические исследования, Т. 31, № 6, 1993. С. 39-50.

55. Ландау, JI. Д. Теоретическая физика: Т.1. Механика Текст. / J1. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. Учеб. Пособ.: Для вузов. 5-е изд., стереот. -М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 224 с.

56. Заболотнов, Ю. М. Асимптотический анализ квазилинейных уравнений движения в атмосфере КА с малой асимметрией III Текст. / Ю.М. Заболотнов // Космические исследования, Т. 32. № 4-5, 1994. -С. 112-125.

57. Заболотнов, Ю. М. Применение метода интегральных многообразий для построения резонансных кривых в задаче входа КА в атмосферу Текст. / Ю. М. Заболотнов, В. В. Любимов // Космические исследования. Т. 41, № 5, 2003.- С. 481-487.

58. Пановко, Я. Г. Введение в теорию механических колебаний Текст. / Я. Г. Пановко. Учеб. Пособие для вузов,- 3-е изд., перераб. -М.: Наука. Гл. ред. физ. -мат. лит., 1991. 256 с.

59. Пугачев, В. С. Теория вероятностей и математическая статистика Текст. / В. С. Пугачев. Учеб. Пособие. 2-е изд., исправл. и дополн. -М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. - 496 с.

60. Протасов, К. В. Статистический анализ экспериментальных данных Текст. / К. В. Протасов. М.: Мир, 2005. - 142 с.

61. Вадзинский Р. Н. Справочник по верояностным распределениям Текст. / Р. Н. Вадзинский . СПб.: Наука, 2001. - 295 с.

62. Хастингс Н. Справочник по статистическим распределениям Текст. / Н. Хастингс, Дж. Пикок // Пер. с англ. А. К. Зворкина- М.: Статистика,1980.-95 с.

63. Демиденко, Е. 3. Линейная и нелинейная регрессия Текст. / Е. 3. Демиденко // Москва, издательство «Финансы и статистика»,1981.-303 с.

64. Охорзин, В. А. Прикладная математика в системе МАТНСАБ Текст. / В. А. Охорзин. Учебное пособие. 2-е изд, испр. И доп. СПб.: Издательство «Лань», 2008. - 352 с.