автореферат диссертации по авиационной и ракетно-космической технике, 05.07.09, диссертация на тему:Аэродинамическая стабилизация с помощью тросовой системы движения космических аппаратов при спуске в атмосфере

На правах рукописи

Еленев Дмитрий Валерьевич

АЭРОДИНАМИЧЕСКАЯ СТАБИЛИЗАЦИЯ С ПОМОЩЬЮ ТРОСОВОЙ СИСТЕМЫ ДВИЖЕНИЯ КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ ПРИ СПУСКЕ В АТМОСФЕРЕ

Специальность 05.07.09 - динамика, баллистика, управление движением летательных

аппаратов

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Самара 2007

003064941

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. Королева» (СГАУ) на кафедре динамики полета и

доктор технических наук, профессор Забологнов Юрий Михайлович

доктор технических наук, профессор Горелов Юрий Николаевич,

проректор по научной работе Государственного образовательного учреждения высшего

профессионального образован™ «Самарский государственный университет»

доктор технических наук, профессор Титов Борис Александрович,

заведующий кафедрой оргашвации и управления перевозками на транспорте СГАУ

Федеральное государственное унитарное предприятие государственный научно-производственный ракетно-космический центр "ЦСКБ - Прогресс" (г. Самара)

Защита состоится «27» сентября 2007 г. в _ часов на заседании

диссертационного совета Д 212.215.04 при государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С. П. Королева» по адресу: 443086, г. Самара, Московское шоссе, 34, корпус ЗА

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке СГАУ

Автореферат разослан «23» августа 2007 г.

систем управления. Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущее предприятие:

Ученый секретарь диссертационного

совета доцент,

кандидат технических наук

Прохоров А. Г.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Одним из основных и наиболее ответственных этапов космического полета является спуск с орбиты на поверхность планеты. Традиционно применяемые конструктивно-компоновочные схемы космических аппаратов (КА) не всегда могут обеспечить выполнение ограничений, накладываемых тактико-техническими требованиями на контролируемые характеристики пространственного движения КА в атмосфере. Стремление повысить эффективность решаемых при спуске задач путем введении новых аэродинамических схем КА обусловливает необходимость решения принципиально новых проектно-баллистических задач, связанных с обеспечением устойчивости движения в атмосфере. Одним из перспективных средств обеспечения устойчивого движения КА является использование связанных с ним с помощью специальных тросов аэродинамических стабилизаторов (АС). Систему «КА-трос-АС» будем называть тросовой системой (ТС).

ТС могут быть использованы для аэродинамической стабилизации движения КА на различных участках полета: на низких орбитах движения вокруг Земли или других планет, имеющих атмосферу; в верхних слоях атмосферы (на высотах 100-200 км) для предварительной стабилизации движения перед спуском; в плотных слоях атмосферы для обеспечения устойчивого движения перед приземлением. В настоящее время изучается возможность применения ТС для стабилизации движения аварийных спускаемых средств пилотируемых орбитальных комплексов, а также разгонных блоков ракет-носителей для уменьшения районов их возможного падения. Применение ТС позволяет снизить требования к аэродинамическим характеристикам КА и их отклонениям от номинальных значений, так как выбором параметров троса и АС можно обеспечить практически любой запас статической устойчивости системы.

Поэтому актуальной является задача аэродинамической стабилизации движения КА с помощью ТС.

Объектом исследования является система тел «КА-трос-АС», движущаяся в атмосфере планеты.

Предметом исследования являются методы и модели, используемые для решения задачи аэродинамической стабилизации движения КА с помощью ТС.

Достоверность научных положений, результатов и выводов базируется на обоснованности допущений, положенных в основу математического моделирования, использовании положений механики и математического анализа.

Цель работы. Целью диссертационной работы является построение математической модели пространственного движения системы «КА-трос—АС» в атмосфере, получение и исследование условий устойчивости движения системы и

определение на этой основе значений параметров АС и троса, обеспечивающих заданные характеристики ее движения.

Методика исследования. Достижение цели работы основано на использовании методов механики, математики и численного анализа, а также методов и подходов, развитых В. В. Белецким, Е. М. Левиным, В. А. Ярошевским, К. Б. Алексеевым, Г. Г. Бебениным, Н. С. Аржаниковым и др.

Научная повита. В ходе решения сформулированной задачи получены следующие научные результаты, выносимые на защиту:

1. Математическая модель пространственного движения ТС в атмосфере, учитывающая динамику вращательного движения КА и АС относительно их центров масс.

2. Алгоритм выбора коэффициента увеличения периодов колебаний, обеспечивающий ускоренный расчет процесса спуска ТС в атмосфере с заданной точностью.

3. Метод определения условий статической устойчивости движения ТС в атмосфере, зависящих от геометрических и массово-инерционных характеристик КА и АС.

4. Результаты параметрического анализа статических условий устойчивости движения ТС в атмосфере.

Практическая значимость и внедрение результатов. Практическое значение работы состоит в том, что основные результаты исследования движения ТС в атмосфере доведены до математических моделей, удобных для инженерных расчетов и позволяющих осуществлять анализ альтернативных проектных решений при спуске КА в атмосфере.

Разработанное программное обеспечение позволяет производить расчет пространственного движения ТС в атмосфере с учетом вращательного движения КА и АС.

Результаты исследования использованы для независимой оценки альтернативных схем спуска с орбиты легкой капсулы при осуществлении эксперимента с тросовой системой, проводимого Европейским космическим агентством совместно с ФГУП ГНПРКЦ «ЦСКБ - Прогресс» (г. Самара).

Тема работы поддержана грантом РФФИ, в котором автор является исполнителем (проект № 07-01-96606, научный руководитель Заболотнов Ю. М.).

Апробация результатов исследования. Основные положения и результаты работы докладывались и обсуждались на российско-европейских летних аэрокосмических школах (г. Самара, 2003, 2004 гг.), всероссийском научном семинаре по управлению движением и навигации летательных аппаратов (г. Самара, 2003 г.), академических чтениях по космонавтике (г. Москва, 2004 г.).

Публикации. Результаты исследований опубликованы в 6 печатных работах, в том числе в двух реферируемых журналах, рекомендованных ВАК ([5,6] в списке публикаций).

Структура, объем и содержание диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы и четырех приложений. Объем диссертации составляет 117 страниц машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, определена цель исследования, сформулирована научная новизна полученных результатов, приведены сведения об апробации работы и публикациях, изложено краткое содержание диссертации.

В первой главе сформулирована научно-техническая задача аэродинамической стабилизации движения КЛ с помощью ТС. Проведен аналитический обзор исследований в данной предметной области.

К настоящему времени накоплен значительный опыт разработки и использования методов расчета параметров движения КЛ в атмосфере. Значительный вклад в исследования неуправляемого движения КА внесли Ярошевский В. А., Иванов Н. М., Каменков Е. Ф., Кузмак Г. Е., Шилов А. А., Дмитриевский А. А., Асланов В. С., Заболотнов Ю. М., Тимбай И. В. и др.

Метод аэродинамической стабилизации движения КА по отношению к вектору его скорости с помощью ТС не является новым и описан в монографии Алексеева К.Б., Бебенина Г.Г. «Управление космическим летательным аппаратом» (1975 год). Однако подробного анализа движения таких ТС с учетом особенностей формы и массово-инерционных характеристик КА и АС не проводилось.

Несмотря на значительное число работ по вопросам использования эффективных численных методов решения систем дифференциальных уравнений, описывающих пространственное движение КА в атмосфере, задача выбора коэффициента увеличения периодов колебаний, обеспечивающего ускоренный расчет процесса спуска ТС в атмосфере с заданной точностью, в полном объеме не рассмотрена и поэтому требует дополнительных исследований.

На основании проведенного в работе анализа имеющихся результатов по аэродинамической стабилизации движения КА с помощью ТС сформирована схема исследований, проведенных в диссертационной работе (рисунок 1).

на устойчивость движения ТС в атмосфере

Рисунок 1 - Схема исследований Вторая глава посвящена построению математической модели пространственного движения связки «КЛ-трос-АС» в атмосфере. Описаны системы координат (СК), силы, действующие на механическую систему в атмосфере, и допущения, использованные для вывода уравнений движения.

Вывод уравнений движения ТС в атмосфере (рисунок 2) основан на совместном применении теоремы об изменении кинетического момента для каждого тела, теоремы о движении центра масс системы твердых тел и на геометрических уравнениях связей между телами. Диссипация энергии за счет сил трения в точках крепления троса не учитывается. Изменение гравитационного ускорения в пределах размеров ТС полагается пренебрежимо малым, а минимальная длина троса выбирается из условия незначительности аэродинамического влияния КА и АС друг на друга. Рассматриваемая динамическая система имеет двенадцать степеней свободы и описывается системой из двадцати одного обыкновенного дифференциального уравнения, записанной в неявной форме. Уравнения движения центра масс всей системы записаны в упрощенной форме, так как в работе не рассматриваются вопросы расчета координат точек приземления ТС.

Система динамических дифференциальных уравнений, описывающих вращательные движения системы, в матричной форме имеет вид

А-со = В, (1)

где А - квадратная матрица переменных коэффициентов, зависящих от углового положения и угловых скоростей каждого тела, т = [гох|, ау1, &>2|, , о)у2 , , ¿)г, ] -вектор компонентов угловых ускорений, В- вектор правых частей динамических дифференциальных уравнений.

Полученные динамические уравнения (1) дополняются кинематическими уравнениями Эйлера для двух тел и троса и уравнениями движения центра масс, которые записываются в традиционной форме.

При численном интегрировании дифференциальных уравнений движения системы, имеющих неявную форму, использован классический метод Рунге-Кутгы четвертого порядка точности с

Рисунок 2 - Рассматриваемая тросовая система переменным шагом.

Для невозмущенного случая движения ТС, когда КА н АС представляют собой осесимметричкые тела, а скоростной напор постоянен, получено несколько интегралов движения системы: 1) интеграл, аналогичный интегралу энергии; 2) интеграл, описывающий закон сохранения проекции вектора кинетического момента системы на направление вектора скорости центра масс системы; 3) интегралы, описывающие законы сохранения проекций векторов кинетических моментов каждого тела на их оси симметрии. Первые два интеграла справедливы только для сферических тел. Остальные интегралы справедливы для произвольных осесимметричных тел даже в случае медленного изменения скоростного напора. Полученные интегралы движения были использованы для тестирования разработанной программы численного интегрирования уравнений пространственного движения ТС.

Третья глава посвящена сокращению трудоемкости интегрирования системы дифференциальных уравнений с помощью метода увеличения периодов колебаний. Рассматриваемый метод предложен Ярошевским В. С. и Воейковым В. В. и в дальнейшем был развит для случая многомерных вращательно-колебательных движений Заболотновым Ю. М. Сущность метода заключается в построении преобразованной системы, быстрые переменные которой изменяются с меньшей частотой, что позволяет существенно ускорить процесс расчета. Вид преобразованной системы выбирается исходя из инвариантности уравнений первого приближения метода усреднения для обеих систем, что ведет, например, к совпадению амплитуд колебаний быстрых переменных. Метод особенно эффективен для систем, характеризуемых высокими исходными частотами.

Пусть система общего вида, описывающая многомерные вращательно-колебательные движения, описывается уравнениями вида

^ = еХ1(х,у)+е\..,^ = У0(х,у)+еГ,(Х,у)+е\.., . (2)

т ш

где с - малый параметр, х = - вектор медленных переменных системы,

У = \у1'У1' -'УтТ ' вектор быстрых переменных системы, Х,(х,у) - п-мерные вектор-функции (г = 1 ,п), У,(х,у)- т-мерные вектор-функции (¡ = 0,м1). Функции X! и У, удовлетворяют условиям теоремы о первом приближении метода усреднения.

При применении метода увеличения колебаний исходная система (2) преобразуется к системе вида

си ш

где 0 < К(х.)< 1 - некоторый коэффициент увеличения периодов, знак * - обозначает переменные преобразованной системы.

Вид преобразованной системы уравнений движения ТС должен соответствовать виду общей преобразованной сисгемы (3). Поэтому необходимо, во-первых, разделить все интегрируемые переменные на медленные и быстрые и, во-вторых, в правых частях дифференциальных уравнений выделить функции, характеризующие действие возмущений X,(х.,у.), У,(х.,у).

Разделение переменных и выделение возмущающих функций проводится из имеющегося опыта использования метода увеличения периодов колебаний для расчета движения в атмосфере одного почти симметричного тела. В этом случае вектора медленных и быстрых переменных имеют следующий вид:

где и - вектор параметров движения центра масс системы, а = [«^«^а,]7, ф = \Ф^,Ф2,Ф,Х■> 7-\у1'71'Уг\ • углы атаки, собственного вращения, крена КА, АС и троса, соответственно. В дальнейшем индекс «1» относится к КА, индекс «2» - к АС и индекс «3»-к тросу.

В уравнениях для быстрых переменных в возмущающих функциях У, {х,у) учитываются демпфирующие моменты относительно поперечных осей каждого тела и другие малые возмущения, возникающие от асимметрии (геометрической и массовой) почти симметричных тел. В кинематических уравнениях для углов а,ф,у к малым возмущениям следует отнести слагаемые, возникающие от неинерциальности подвижных связанных СК.

Коэффициент увеличения периодов колебашш К(х.), где х, - вектор медленных переменных в преобразованной системе, задастся в виде К(с/)= КпКд, где Кп=соп$1 -постоянный по траектории коэффициент, определяемый инерционно-массовыми и аэродинамическими параметрами тел; Кч - коэффициент, учитывающий изменение частот колебаний системы по траектории; <7 - скоростной напор.

Так как все частоты колебаний тел при их движении в атмосфере пропорциональны величине -^д, то коэффициент ^ определяется как отношение

увеличения периодов, (¡(Н) - скоростной напор на текущей высоте.

Предложен метод выбора коэффициента Кп, позволяющий заранее оценивать величину коэффициента по заданным параметрам связки и длины троса по следующему алгоритму: 1) задается «эталонная» ТС с некоторыми известными параметрами; 2) для «эталонной» ТС, исходя из заданной погрешности вычислений, на основании численных экспериментов проводится выбор коэффициента увеличения периодов колебаний К/, 3) аналитически оцениваются собственные частоты «эталонной» ТС; 4) для рассматриваемой ТС также оцениваются величины собственных частот; 5) на основании сравнения частот «эталонной» ТС и рассчитываемой ТС задается повый коэффициент увеличения периодов колебаний Кл.

Результаты численных расчетов показали, что требуемый коэффициент увеличения периодов колебаний можно оценить по формуле:

где тахйг', шаха,., - соответственно оценки максимальных частот «эталонной» ТС и

рассматриваемой ТС, - коэффициент увеличения периодов, соответствующий «эталонной» ТС.

Показано, что применение метода для данной задачи позволяет получить значительно больший выигрыш (в несколько десятков раз) в объеме вычислений по сравнению с выигрышем при интегрировании уравнений движения одного твердого тела в атмосфере. В качестве примера на рисунке 3 приведены зависимости углов атаки троса аг,(/) и «,.(/), вычисленные в соответствии с исходной и преобразованной системами. Они показывают, что амплитуды колебаний углов атаки практически совпадают, хотя период колебаний преобразованной системы существенно больше.

скоростной напор на высоте начала применения метода

А'„ = К1

шах о>1

(4)

шах®.

'с!

. ж град

грал

2й> «0 «О щ

а) исходная система 5) прообразованная систеш

Рисунок 3 - Зависимости углов атаки от времени

В четвертой главе анализируются вопросы устойчивости движения ТС а гп моефсрс.

Рассмотрено плоское движение связки «КА-трое-АС». Необходимая математическая модель получается как Частный случай полученной ранее пространственной модели. Рассмотрение ¡шоской задачи связано с записью условий етагической устойчивости (необходимых условий устойчивости) движения системы в атмосфере, а именно, статической устойчивости частого решения и, =0 (; = 1.3).

Интеграл, аналогичный интегралу энергии, позволил получить простое условие статической устойчивости движения ТС для сферических тел:

яцА,-!»,£,< 0, (5)

где , т, - соответственно массы, а А', А1, - модули векторов аэродинамических сл.1!, действующих на 1СА и АС.

Для получения более общих условий магической устойчивости движения ТС, состоящей из осссиммегричных тел, рассматривается случай малых колебаний относительно положении равновесия а, -0, 1,3. Анализ статической устойчивости в этом случай сводится к анализ}' значении коряей полинома третьей стакан относительно Я2:

+ 0, (6)

где рг = , тхг = д =-[«, / г +г,) + т1,/,г|+г3) + /,/, 1йй

т, + т,

г* -

-М, \+1:Дй,г, ЛЯ

1 +т2 )

»!. + Щ,

т, + т..

й®!, = (Сл + С°, /,,/2 - поперечные осевые моменты инерции КА и АС, /?,^, Я11([, К-и1,К2у1 - проекции аэродинамических сил на оси траекторией системы координат, начало которой совпадает с центром масс ТС; Ся и С", - аэродинамические коэффициенты (С„ < 0, С" > 0), д - скоростной напор, - характерные площади КА и АС, ¿ = 1,2.

Решение а, = 0, / = 1,3 будет статически устойчиво, если все корни характеристического уравнения (5) чисто мнимые. Если система статически устойчива, то характеристическое уравнение позволяет определить частоты малых колебаний рассматриваемой ТС в плоском случае.

Область статической устойчивости может быть записана в параметрах Вышнеградского: ДЛ,Я)< 0,

, В А2 где /(4В) = |___

Л-В-3 л3 6 27

Чх

\lhPl

и В=-

ЩРх

- параметры Вышне-

Рисунок 4 - Поведение функции ДА, В)

градского. На рисунке 4 показано типичное поведение функции /(Л, В). При переходе функции через 0 (с минуса на плюс) система теряет устойчивость.

Анализируя в общем случае решения алгебраического уравнения (6) и вид его коэффициентов для осесимметричных тел, можно сделать следующие выводы: 1) необходимое условие статической устойчивости движения ТС для сферических тел (5) сохраняется и для тел вращения в виде АЯХ <0, так как при ДЯ, =0 все корни уравнения (6) нулевые и при переходе параметра АЯХ через ноль система теряет устойчивость; 2) потеря статической устойчивости в системе возможна также при переходе через ноль значения параметра ЛЯГ - ЛЯ", что приводит к обнулению двух корней уравнения (6). Поэтому условие

лл,-дд;<о (7)

также является необходимым условием статической устойчивости рассматриваемой ТС для случая осесимметричных тел. Если тела в ТС сферические, то условия статической устойчивости (5) и (7) тождественно совпадают.

Проведена оценка влияния гироскопических и демпфирующих сил на частоты малых колебаний системы и на ее статическую устойчивость. Рассмотрена пространственная модель движения ТС, когда угловые скорости вращения КА и АС

вокруг их осей симметрии отличны от нуля. При малых углах атаки модель записывается в комплексной форме

ш ш

(8)

где квадратные матрицы Г и А размерностью 3x3 характеризуют соответственно гироскопические и демпфирующие силы; матрицы Р и С соответствуют плоскому случаю движения ТС; £ = У,,<!;2,€,Т - вектор комплексных углов атаки, £ = ¡ар"'; у1 -углы крена тел и троса по отношению к плоскости полета центра масс ТС; у - мнимая единица, ¡=1,2,3.

Рассматривается случай диагональной матрицы />, а матрица гироскопических слагаемых имеет вид

- - }0>л и,2 + тпг22) -

~ ja>x\^n\lr\ ^

где 0)^,0)^,(0^ - угловые скорости тел при их вращении вокруг своих осей симметрии, Iху , 2Х2 - моменты инерции КЛ и АС относительно тех же осей.

Системе дифференциальных уравнений (8) соответствует характеристическое алгебраическое уравнение:

сы[рХг + (Г + 0)Л + с] = 0. (9)

При Г = О = О характеристические уравнения (6) и (9) совпадают.

Анализ корней уравнения (9) показывает, что наличие гироскопических и демпфирующих членов в уравнениях не может нарушить условия статической устойчивости движения ТС, полученных для плоского случая. Это соответствует известным общим теоремам теории устойчивости движения механических систем. Характеристическое уравнение (9) позволяет оценить изменение частот системы при действии на нее гироскопических и демпфирующих сил.

Проведено исследование влияния угловых скоростей вращения тел на собственные частоты ТС. На рисунке 5 в качестве примера приведена зависимость наиболее низкой частоты системы от угловой скорости вращения КА тл. Влияние угловой скорости тл заключается в следующем: частота, определенная при ох1 = 0 (линия 1 на

Рисунок 5 - Пример расщепления частот

рисунке 5), разделяется на две частоты (линии 2 и 3), которые расположены по обе стороны от исходной, то есть происходит расщепление частот на две. Влияние угловых скоростей о)у1,ал на частоты системы аналогично. Основное влияние на изменение частот при увеличении угловых скоростей сох1,а>х2,сох, оказывают отношения величин моментов инерции входящих в ТС тел: чем меньше отношения моментов инерции / /, н Iс2 / /2> тем расщепление частот происходит на меньшие величины. Наибольшее по величине расщепление частот наблюдается для сферических тел. Если тела, входящие в систему, специально не закручены вокруг своих продольных осей, отличие частот системы в, пространственном случае движения от частот плоского случая незначительно.

Оценено влияние дополнительного стабилизирующего фактора, связанного с изменением длины троса гг(г) во время движения ТС, на ее устойчивость.

Вычислены дополнительные слагаемые в уравнениях движения ТС, зависящие от скорости и ускорения изменения длины троса. Проведенный анализ относится к вопросам динамической устойчивости движения ТС, так как при этом рассматривается медленное изменение амплитуд колебаний углов атаки а,, / = 1,3 в процессе спуска ТС в атмосфере. Установлено, что если скорость изменения длины троса имеет тот же порядок, что и скорость изменения скоростного напора (медленное изменение этих парамегров но сравнению с быстрыми колебаниями но углам атаки в ТС), то влияние изменения длины троса на амплитуды колебаний углов атаки незначительно. Тем не менее, выбором закона изменения длины троса г,(1) можно добиться несколько лучшей (несколько градусов по амплитудам колебаний) стабилизации движения ТС. С другой стороны, если условие медленности изменения длины троса не выполняется, то, как показали расчеты, при определенной предельной скорости развертывания ТС может потерять устойчивость движения.

В пятой главе рассмотрены вопросы выбора параметров АС и длины троса при заданных проектных параметрах КА с целью минимизации массы АС. Проектными параметрами являются масса и геометрические характеристики АС и длина троса. Принято допущение, что размеры АС можно изменять в определенных пределах, не изменяя его формы. При решении задачи учитываются следующие ограничения: на значения углов атаки каждого из тел, входящих в ТС; на угловые скорости вращательного движения; на величину силы натяжения троса и ограничения, накладываемые на параметры движения центра масс ТС.

Выполнение ограничений на значения углов атаки связано с вопросами устойчивости движения ТС, рассмотренными в четвертой главе. Выполнение условий

устойчивости решения а,= 0, i = U является необходимым условием выполнения ограничений по угловому движению ТС.

Ограничения на угловые скорости вращательного движения и на величину силы натяжения троса обеспечиваются при выполнении условий устойчивости ТС по углам атаки. Увеличение угловых скоростей в ТС приводит к возрастанию силы натяжения троса, которая может привести к его разрыву. Значения угловых скоростей зависят от значений собственных частот ТС.

Задача выбора параметров ТС формулируется следующим образом: необходимо выбрать геометрические и массово-инерционные параметры АС и длину троса, исходя из минимума массы АС с учетом ограничений на параметры вращательного'движения (углы атаки, угловые скорости вращения и силу натяжения троса).

Проведено исследование влияния параметров ТС на ее собственные частоты, которые определялись в соответствии с оценками, полученными во второй главе. Получены следующие основные результаты: 1) при уменьшении массы й при увеличении размеров АС собственные частоты увеличиваются; 2) при увеличении длины троса собственные частоты уменьшаются и асимптотически приближаются к некоторому предельному значению; 3) при заданных параметрах КА всегда существует некоторая предельная масса АС (при ее увеличении), при которой происходит потеря устойчивости.

На рисунке 6 в качестве примера показаны зависимости собственных частот системы от массы АС для системы «конус - конус» в случае легкого К А (масса 10 кг), которые демонстрируют потерю устойчивости движения ТС при увеличении массы АС (устойчивой системе ira рисунке 6 соответствует существование трех положительных частот).

8

150

100

tq. ....

—

м,

Поскольку натяжение троса определяется при численном интегрировании полной системы уравнений движения в атмосфере, то был проведен анализ влияния различных параметров ТС на величину силы натяжения. Установлено, что сила натяжения в первую очередь зависит от

0i-1-1 -1-- i

0 03 1 15 2

ш2,кг

Рисунок 6 - Пример зависимость частот системы от массы АС

15

2 характерной площади АС, при

этом влияние длины троса

незначительно.

Для выбора параметров ТС разработана методика, основанная на задании требуемых собственных частот и совместном решении трех нелинейных уравнений, составленных из условия, что характеристическое уравнение (6) имеет заданные корпи.

Проведен анализ устойчивости движения ТС и силы натяжения троса для различных конфигураций КЛ и ЛС: «цилиндр - полусфера» (примером может служить связка «отсек разгонного блока - отделяемое днище бака», рассмотренная в НТО № 8514711-2220/99-215 ЦНИИМАШ), «цилиндр - цилиндр» (разгонный блок, разделенный на две части - бак горючего и бак окислителя), «конус - конус» (легкая спускаемая капсула с АС). Показано, что каждая конфигурация ТС требует своих подходов при выборе ее параметров. Установлено, что при больших массах ТС основным ограничением, которое необходимо учитывать, является сила натяжения троса. На рисунке 7 показана зависимость силы натяжения троса N (в II) от времени для легкого КА (массой 10 кг) в форме конуса с коническим ЛС. Показано, что при использовании конфигурации «конус - конус» можно выбрать такие параметры АС, что компенсируется динамическая неустойчивость КА, выполненного в виде конуса с углом при его вершине 90° и более. Это позволяет проектировать ТС с большой площадью миделя АС и использовать их при спуске без применения парашютных систем. Основные научные и практические результаты выполненной работы состоят в следующем.

1. Построена математическая модель пространственного движения ТС, учитывающая динамику вращательного движения КА и АС и представляющая собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений в неявной форме. Применение метода увеличения периодов колебаний позволяет в 10 и более раз уменьшить вычислительные затраты при расчете движения ТС по полученным дифференциальным уравнениям.

2. Анализ статической устойчивости движения ТС сводится к анализу корней кубического характеристического уравнения, значения которых зависят от геометрических и массово-инерционных характеристик КА, АС. При заданных параметрах КА статическая устойчивость ТС определяется только характеристиками АС и не зависит от длины троса. Влияние гироскопических сил приводит к явлению расщепления частот и не приводит к потере устойчивости движения ТС. Увеличение длины троса в процессе спуска приводит к уменьшению амплитуд колебаний в системе.

Рисунок 7 - Сила натяжения троса для связки «конус-конус»

3. Влияние изменения длины троса на амплитуды колебаний углов атаки незначительно, если скорость изменения длины троса имеет тот же порядок, что и скорость изменения скоростного напора.

4. Предложенная методика выбора параметров ТС, основанная на использовании полученных условий статической устойчивости движения, позволяет уменьшить величину ее собственных частот в два и более раза.

5. При проектировании ТС основным ограничением является сила натяжения троса, величина которой увеличивается при увеличении массы всей системы.

6. При движении в атмосфере легкой капсулы массой 10 кг в форме конуса с углом при его вершине более 90° применение конического АС позволяет обеспечить динамическую устойчивость движения ТС на всей траектории ее спуска в атмосфере.

Материалы диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Еленев Д.В. Математическое моделирование движения связки двух твердых тел в атмосфере // Аспирантский вестник Поволжья, №2/2002, с. 22-23.

2. Заболотнов Ю.М., Еленев Д.В. Движение связки двух твердых тел на тросе в атмосфере // Управление движением и навигация летательных аппаратов: Сб. Тр. XI Всерос. научно-техн. семинара по управлению движением и навигации летательных аппаратов / Самаре, гос. аэрокосм, ун-т, Самара, 2003, с. 78-82.

3. Yelenev D.V. Motion of two connected by tether bodies in the atmosphere // Proceedings of the Russian-European Summer Space School 'Future Space Technologies and Experiments in Space'. 30 June - 11 July, Samara State Aerospace University, Santara, Russia, WPP229, p. 171 - 172, 2003.

4. Заболотнов Ю.М., Еленев Д.В. Моделирование и анализ движения в атмосфере связки двух тел, соединенных тросом II Актуальные проблемы развития отечественной космонавтики: Труды XXVIII академических чтений по космонавтике. М., 2004, с. 115-116.

5. Заболотнов Ю.М., Еленев Д.В. Выбор параметров тросовой системы «Спускаемый аппарат - аэродинамический стабилизатор» // Наука - производству, 2006 № 6(93), с. 49-52.

6. Заболотнов Ю.М., Еленев Д.В. Движение в атмосфере тросовой системы спускаемый аппарат - аэродинамический стабилизатор // Известия СНЦ РАН, т.8, № 3, 2006, с.833-840.

Подписано в печать 10.08.2007. Формат 60х 84/16 Усл. печ. л. 1,00. Тираж 100 экз. Отпечатано с готовых оригинал-макетов СГАУ

ВВЕДЕНИЕ.

1 АНАЛИЗ ПРОБЛЕМЫ И РЕШАЕМЫЕ ЗАДАЧИ.

1.1 Аэродинамическая стабилизация движения космических аппаратов.

1.2 Схема исследований и решаемые задачи.

2 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДВИЖЕНИЯ СВЯЗКИ КОСМИЧЕСКИЙ АППАРАТ - АЭРОДИНАМИЧЕСКИЙ СТАБИЛИЗАТОР В АТМОСФЕРЕ.

2.1 Динамические уравнения движения системы.

2.2 Дифференциальные уравнения движения системы в атмосфере.

2.3 Интегралы невозмущенного движения системы.

3 ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА УВЕЛИЧЕНИЯ ПЕРИОДОВ КОЛЕБАНИЙ ДЛЯ УСКОРЕНИЯ ЧИСЛЕННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТРОСОВОЙ СИСТЕМЫ В АТМОСФЕРЕ.

3.1 Теоретические основы метода увеличения периодов колебаний.

3.2 Преобразованная система уравнений движения тросовой системы в атмосфере.

3.3 Алгоритм выбора коэффициента увеличения периодов колебаний.

3.4 Численные результаты применения метода увеличения периодов колебаний для расчета движения тросовых систем.

4 УСТОЙЧИВОСТЬ СВЯЗКИ КОСМИЧЕСКИЙ АППАРАТ -АЭРОДИНАМИЧЕСКИЙ СТАБИЛИЗАТОР ПРИ ДВИЖЕНИИ В АТМОСФЕРЕ.

4.1 Статическая устойчивость механической системы.

4.2 Устойчивость движения системы в атмосфере с учетом гироскопических слагаемых.

4.3 Оценка влияния на устойчивость движения системы демпфирующих моментов.

4.4 Оценка влияния на устойчивость движения системы изменения длины троса.

5 ВЫБОР ПАРАМЕТРОВ ТРОСОВОЙ СИСТЕМЫ.

5.1 Постановка задачи проектирования.

5.2 Исследование влияния на собственные частоты параметров тросовой системы.

5.3 Анализ влияния параметров тросовой системы на величину натяжения троса.

5.4 Определение параметров тросовой системы исходя из заданных значений ее собственных частот.

5.5 Анализ движения и выбор параметров тросовых систем для различных форм космического аппарата и аэродинамического стабилизатора.

Актуальность темы. Одним из основных и наиболее ответственных этапов космического полета является спуск с орбиты на поверхность планеты. Традиционно применяемые конструктивно-компоновочные схемы космических аппаратов (КА) не всегда могут обеспечить выполнение ограничений, накладываемых тактико-техническими требованиями на контролируемые характеристики пространственного движения КА в атмосфере. Стремление повысить эффективность решаемых при спуске задач путем введении новых аэродинамических схем КА обуславливает необходимость решения принципиально новых проектно-баллистических задач, связанных с обеспечением устойчивости движения в атмосфере. Одним из перспективных средств обеспечения устойчивого движения КА является использование связанных с ним с помощью специальных тросов аэродинамических стабилизаторов (АС). Систему «КА-трос-АС» будем называть тросовой системой (ТС).

ТС могут быть использованы для аэродинамической стабилизации движения КА на различных участках полета: на низких орбитах движения вокруг Земли или других планет, имеющих атмосферу; в верхних слоях атмосферы (на высотах 100-200 км) для предварительной стабилизации движения перед спуском; в плотных слоях атмосферы для обеспечения устойчивого движения перед приземлением. В настоящее время изучается возможность применения ТС для стабилизации движения аварийных спускаемых средств пилотируемых орбитальных комплексов, а также разгонных блоков ракет-носителей для уменьшения районов их возможного падения. Применение ТС позволяет снизить требования к аэродинамическим характеристикам КА и их отклонениям от номинальных значений, так как выбором параметров троса и АС можно обеспечить практически любой запас статической устойчивости системы.

Поэтому актуальной является задача аэродинамической стабилизации движения КА с помощью ТС.

Тема работы поддержана грантом РФФИ, в котором автор является исполнителем (проект № 07-01-96606, научный руководитель Заболотнов Ю.М.).

Цель работы. Целью диссертационной работы является построение математической модели пространственного движения системы «КА-трос-АС» в атмосфере, получение и исследование условий устойчивости движения системы и определение на этой основе значений параметров АС и троса, обеспечивающих заданные характеристики ее движения.

Методы исследования. Достижение цели работы основано на использовании методов механики, математики и численного анализа, а также методов и подходов, развитых В.В. Белецким, Е.М. Левиным /1/, В.А. Ярошевским /2/, К.Б. Алексеевым, Г.Г. Бебениным /3/, Н.С. Аржаниковым /4/ и др.

Научная новизна представленных в диссертации результатов заключается в следующем:

1. Построена математическая модель пространственного движения тросовой системы в атмосфере, учитывающая динамику вращательного движения концевых тел вокруг их центров масс.

2. Получены и исследованы условия устойчивости тросовой системы в атмосфере, зависящие от геометрических и массово-инерционных характеристик КА и АС.

3. Предложен алгоритм выбора коэффициента увеличения периодов колебаний для ускоренного численного расчета движения тросовой системы в атмосфере.

4. Проведены параметрические исследования статических условий устойчивости движения ТС в атмосфере.

Практическая ценность исследования. Практическое значение работы состоит в том, что основные результаты исследования движения ТС в атмосфере доведены до математических моделей, удобных для инженерных расчетов и позволяющих осуществлять анализ альтернативных проектных решений при спуске КА в атмосфере.

Разработанное программное обеспечение позволяет производить расчет пространственного движения ТС в атмосфере с учетом вращательного движения концевых тел.

Результаты исследования использованы для независимой оценки альтернативных схем спуска с орбиты легкой капсулы при осуществлении эксперимента с тросовой системой, проводимого Европейским космическим агентством совместно с ФГУП ГНПРКЦ «ЦСКБ - Прогресс» (г. Самара).

Результаты работы, выносимые на защиту:

1. Математическая модель пространственного движения ТС в атмосфере, учитывающая динамику вращательного движения КА и АС относительно их центров масс.

2. Алгоритм выбора коэффициента увеличения периодов колебаний, обеспечивающий ускоренный расчет процесса спуска ТС в атмосфере с заданной точностью.

3. Метод определения условий статической устойчивости движения ТС в атмосфере, зависящих от геометрических и массово-инерционных характеристик КА и АС.

4. Результаты параметрического анализа статических условий устойчивости движения ТС в атмосфере.

Апробация результатов исследования. Основные научные положения и результаты работы докладывались и обсуждались на российско-европейских летних аэрокосмических школах (г. Самара, 2003, 2004г), всероссийском научном семинаре по управлению движением и навигации летательных аппаратов (г. Самара, 2003 г), академических чтениях по космонавтике (г. Москва, 2004 г.).

Публикации. Результаты исследований опубликованы в 6 печатных работах /5-10/, в том числе в двух журналах, рекомендованных ВАК /9-10/.

В первой главе сформулирована научно-техническая задача аэродинамической стабилизации движения КА с помощью ТС. Проведен аналитический обзор исследований в данной предметной области. На основании проведенного в работе анализа имеющихся результатов по аэродинамической стабилизации движения КА с помощью ТС сформирована схема исследований, проведенных в диссертационной работе.

Вторая глава работы посвящена построению математической модели пространственного движения связки КА - АС в атмосфере. Описываются системы координат, силы, действующие на механическую систему в атмосфере, и допущения, использованные для вывода уравнений движения. Для невозмущенного случая движения тросовой системы, когда КА и АС представляют собой симметричные тела, а скоростной напор постоянен, получены несколько интегралов движения системы: 1) интеграл, аналогичный интегралу энергии; 2) интеграл, описывающий закон сохранения проекции вектора кинетического момента системы на направление вектора скорости центра масс системы; 3) интегралы, описывающие законы сохранения проекций векторов кинетических моментов каждого тела на их оси симметрии.

Третья глава посвящена применению метода увеличения периодов колебаний для ускорения численного моделирования движения тросовой системы в атмосфере. Сущность данного метода заключается в построении преобразованной системы, быстрые переменные которой изменяются с меньшей частотой, что позволяет существенно ускорить процесс численного расчета. Вид преобразованной системы выбирается исходя из инвариантности уравнений первого приближения метода усреднения для обеих систем, что ведет, например, к совпадению амплитуд колебаний быстрых переменных. Предлагается алгоритм выбора коэффициента увеличения периодов для систем, характеризуемых несколькими частотами.

Алгоритм основан на сравнении оценок частот колебаний некоторой «эталонной» системы (для этой системы коэффициент подобран заранее) и рассматриваемой системы, расчет которой производится. Показывается, что применение метода увеличения периодов колебаний для расчета движения тросовой системы в атмосфере позволяет в десять и более раз уменьшить объем вычислений на ЭВМ.

В четвертой главе анализируются вопросы устойчивости движения тросовой системы атмосфере. Прежде всего, было рассмотрено плоское движение связки «космический летательный аппарат - аэродинамический стабилизатор». Для получения статических условий устойчивости движения тросовой системы, состоящей из осесимметричных тел (не обязательно сферических), рассматривается случай малых колебаний системы относительно положения равновесия. Производится оценка влияния гироскопических и демпфирующих сил на частоты малых колебаний системы и на ее статическую устойчивость. Для этого рассматривается пространственная модель движения тросовой системы, когда угловые скорости вращения тел вокруг их осей симметрии отличны от нуля. В последнем разделе главы оценивается влияние изменение длины троса на устойчивость движения тросовой системы в атмосфере. Показывается, что изменением длины троса можно улучшить динамическую устойчивость системы.

В пятой главе рассматриваются вопросы выбора параметров аэродинамического стабилизатора и длины троса при заданных проектных параметрах космического аппарата. При выборе параметров АС и троса необходимо, прежде всего, учитывать традиционные критерии, возникающие при проектировании космических и спускаемых летательных аппаратов. К этим критериям проектирования нужно отнести стоимость изготовления аппаратов и их массу. К подбираемым параметрам можно отнести: массу АС, длину троса и размеры АС. Считается, что размеры АС в определенных пределах можно изменять, не изменяя его формы, то есть, сохраняя пропорциональность между основными его геометрическими характеристиками. Для выбора параметров тросовой системы предлагается использовать методику, основанную на задании требуемых собственных частот системы и в совместном решении трех нелинейных уравнений, составленных из условия, чтобы характеристическое уравнение имело заданные корни. В последнем разделе главы рассматривается анализ и выбор параметров для трех вариантов тросовой системы: «цилиндр-полусфера», «цилиндр - цилиндр» и «конус - конус». Аэродинамические характеристики рассматриваемых тел определялись по методу Ньютона для гиперзвуковых скоростей полета в атмосфере.

Основные результаты пятой главы и выводы

1. Сформулирована задача баллистического проектирования тросовой системы как задача выбора значений параметров АС и длины троса, обеспечивающих заданные ограничения на контролируемые характеристики движения ТС в атмосфере и минимум массы аэродинамического стабилизатора.

2. Проведено исследование влияния на собственные частоты системы параметров АС и длины троса. Установлено, что при увеличении массы АС частоты системы уменьшаются и при некотором критическом значении массы система обязательно теряет статическую устойчивость. Показано, что при увеличении длины троса частоты системы изменяются незначительно и стремятся асимптотически к некоторым предельным значениям.

3. Исследовано влияние на натяжение троса параметров ТС и аэродинамического стабилизатора. Установлено, что натяжение троса имеет две составляющие: динамическую и статическую. Установлено, что значения сил натяжения очень чувствительны к изменению размеров АС и при его увеличении быстро возрастают. Показано, что максимальная величина натяжения троса в основном определяется массой всей ТС и что при ее увеличении сила натяжения возрастает приблизительно по линейному закону.

4. Предложен алгоритм выбора проектных параметров АС и длины троса, основанный на решении ряда обратных задач, позволяющих по заданным частотам системы определить ее параметры. Данный алгоритм позволяет в ряде случаев существенно понизить уровень частот в системе.

5. Рассмотрен выбор параметров конкретных ТС с заданной конфигурацией: «цилиндр - полусфера», «цилиндр - цилиндр», «конус -конус». Показано, что каждая такая ТС требует своих подходов при выборе ее параметров. Установлено, что при больших массах ТС основным ограничением, которое необходимо учитывать, является натяжение троса.

6. Показано, что при использовании ТС «конус - конус» параметры АС можно выбрать так, чтобы скомпенсировать динамическую неустойчивость космического аппарата, выполненного в виде конуса с углом при его вершине 90° и больше. Это позволяет проектировать системы с большой площадью миделя и использовать их при спуске на поверхность Земли без применения парашютных систем.

103

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе получены следующие основные результаты:

1. Построена математическая модель пространственного движения тросовой системы в атмосфере, учитывающая динамику вращательного движения космического аппарата и аэродинамического стабилизатора.

2. Найдено несколько первых интегралов рассматриваемой системы дифференциальных уравнений движения системы в невозмущенном случае. Проведено тестирование полученной математической модели движения тросовой системы в атмосфере с использованием найденных интегралов невозмущенного движения.

3. Получены условия статической устойчивости тросовой системы в атмосфере, зависящие от геометрических и массово-инерционных характеристик КА и АС. Выделены обобщенные параметры системы, определяющие устойчивость ее движения в атмосфере.

4. Проведено исследование влияния на устойчивость движения системы отдельных ее параметров, в том числе длины троса, массы АС, его размеров и формы.

5. Исследовано влияния гироскопических и демпфирующих сил на частоты малых колебаний системы и на ее статическую устойчивость.

6. Проведена оценка влияния изменения длины троса на устойчивость движения тросовой системы в атмосфере.

7. Сформулирована задача баллистического проектирования тросовой системы как задача выбора значений параметров АС и длины троса, обеспечивающих заданные ограничения на контролируемые характеристики движения ТС в атмосфере и минимум массы аэродинамического стабилизатора.

8. Проведено исследование влияния на собственные частоты системы параметров АС и длины троса.

9. Исследовано влияние на натяжение троса параметров ТС и аэродинамического стабилизатора.

10. Предложен алгоритм выбора проектных параметров АС и длины троса, основанный на решении ряда обратных задач, позволяющих по заданным частотам системы определить ее параметры. Данный алгоритм позволяет в ряде случаев существенно понизить уровень частот в системе.

11. Рассмотрен выбор параметров конкретных ТС с заданной конфигурацией: «цилиндр - полусфера», «цилиндр - цилиндр», «конус -конус». Показано, что каждая такая ТС требует своих подходов при выборе ее параметров.

12. Известный метод увеличения периодов колебаний адаптирован для задачи ускоренного расчета движения тросовой системы в атмосфере. Определена форма преобразованной системы метода увеличения периодов колебаний, позволяющая с приемлемой точностью рассчитывать движение тросовой системы в атмосфере.

13. Предложен алгоритм выбора коэффициента увеличения периодов колебаний для систем со многими степенями свободы, позволяющий определить его величину без проведения предварительных численных экспериментов. Показано, что выигрыш в трудоемкости вычислений зависит от исходных частот рассчитываемой системы дифференциальных уравнений и для тросовых систем тем больше, чем меньше общая масса механической системы. На численных примерах показано, что выигрыш может составлять 10 и более раз.

По результатам исследований, проведенных в работе, можно сделать следующие выводы:

1. Необходимыми условиями статистической устойчивости движения механической системы для симметричных тел являются условия ARx < 0 и ARx - AR" < 0, так как при переходе этих параметров через ноль система теряет устойчивость.

2. Показано, что наличие гироскопических и диссипативных членов в уравнениях движения (при положительной определенности диссипативной матрицы) не может разрушить условий статической устойчивости движения системы, полученных для плоского случая, что соответствует известным общим теоремам теории устойчивости движения механических систем.

3. Установлено, что присутствие гироскопических членов в системе приводит к явлению расщепления частот, которое заключается в появлении шести частот вместо трех, каждая пара которых рождается из одной частоты, определенной для плоского случая движения системы. Установлено, что присутствие диссипативных членов в пространственном случае приводит к еще большему расщеплению частот системы.

4. Показано, что наличие диссипативных членов в плоском случае ведет к появлению отличных от нуля вещественных частей корней характеристического уравнения, знак которых определяет асимптотическую устойчивость системы.

5. Показано, что увеличение длины троса всегда приводит к некоторой стабилизации движения системы по всем переменным (амплитуды колебаний углов атаки КА, АС и троса уменьшаются). Поэтому увеличение длины троса в процессе спуска может служить дополнительным стабилизирующим фактором, улучшающим свойства устойчивости тросовой системы.

6. Установлено, что при увеличении массы АС частоты системы уменьшаются и при некотором критическом значении массы система обязательно теряет статическую устойчивость. Показано, что при увеличении длины троса частоты системы изменяются незначительно и стремятся асимптотически к некоторым предельным значениям.

7. Установлено, что натяжение троса имеет две составляющие: динамическую и статическую. Показано, что значения сил натяжения очень чувствительны к изменению размеров АС и при его увеличении быстро возрастают. Установлено, что максимальная величина натяжения троса в основном определяется массой всей ТС и что при ее увеличении сила натяжения возрастает приблизительно по линейному закону.

8. Установлено, что при больших массах ТС основным ограничением, которое необходимо учитывать при движении в атмосфере является натяжение троса.

9. Показано, что при использовании ТС «конус - конус» параметры АС можно выбрать так, чтобы скомпенсировать динамическую неустойчивость КА, выполненного в виде конуса с углом при его вершине 90° и больше. Это позволяет проектировать системы с большой площадью миделя и использовать их при спуске на поверхность Земли без применения парашютных систем.

1. Белецкий В.В., Левин Е.М. Динамика космических тросовых систем. М.: Наука, 1990. 328 с.

2. Ярошевский В.А. Движение неуправляемого тела в атмосфере. М.: Машиностроение, 1978. 168 с.

3. Алексеев К.Б., Бебенин Г.Г. Управление космическими летательными аппаратами. М.: Машиностроение, 1974.343 с.

4. Аржаников Н.С., Садекова Г.С. Аэродинамика летательных аппаратов. М.: Высшая школа, 1983.360 с.

5. Еленев Д.В. Математическое моделирование движения связки двух твердых тел в атмосфере // Аспирантский вестник Поволжья, №2/2002, с. 22-23.

6. Заболотнов Ю.М., Еленев Д.В. Моделирование и анализ движения в атмосфере связки двух тел, соединенных тросом // Актуальные проблемы развития отечественной космонавтики: Труды XXVIII академических чтений по космонавтике. М., 2004. С. 115-116.

7. Заболотнов Ю.М., Д.В. Еленев Д.В. Движение в атмосфере тросовой системы спускаемый аппарат аэродинамический стабилизатор // Известия СНЦ РАН, т.8, №3, 2006, с.833-840.

8. Заболотнов Ю.М., Еленев Д.В. Выбор параметров тросовой системы «Спускаемый аппарат аэродинамический стабилизатор» // Наука -производству, 2006 № 6(93), с. 49-52.

9. Иванов Н. М., Лысенко JI. Н. Баллистика и навигация космических аппаратов. М.: Дрофа, 2004. 544 с.

10. Константинов М.С., Каменков Е.Ф., Перелыгин Б.П., Безвербый В.К. Механика космического полета / Под редакцией В.П. Мишина. М.: Машиностроение, 1989.

11. Кузмак Г.Е. Динамика неуправляемого движения летательных аппаратов при входе в атмосферу. М.: Наука, 1970. 348 с.

12. Шилов А. А., Васильев А.Ф. Динамическая устойчивость пространственного движения летательных аппаратов на больших углах атаки при некоторых видах инерционно-аэродинамической асимметрии // Труды ЦАГИ, 1971, вып. 1345, 68 с.

13. Дмитриевский А.А., Лысенко Л.Н., Богодистов С.С. Внешняя баллистика. М.: Машиностроение, 1991, 640 с.

14. Асланов B.C., Дорошин А.В., Круглов Г.Е. Уменьшение ошибок стабилизации соосных тел переменного состава при входе в атмосферу // Вест. СГАУ, 2002, №1, с. 126-134.

15. Заболотнов Ю.М. Асимптотический анализ квазилинейных уравнений движения в атмосфере КА с малой асимметрией. I // Космические исследования, 1993, т.31, вып.6, 39-50 с.

16. Тимбай И. А. Модели и методы исследования переходных режимов движения твердого тела в атмосфере:Автореф. дис. . д-ра техн. наук: Спец. 01.02.01 Теоретическая механика/Самар. гос. аэрокосм, ун-т им. С. П. Королева,- Самара: Б. и., 1998. 31 с.

17. Zabolotnov Y.M. Movement of Light Re-entry Capsule around of the Centre of Mass in an Atmosphere. Netherlands: ESA, 2003.

18. Ярошевский В.А., Воейков В.В. Метод ускорения расчета быстрых квазипериодических движений на цифровых вычислительных машинах. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1964, т.4, №1, с. 168-171.

19. Белоконов В.М., Белоконов И.В., Заболотнов Ю.М. Метод ускоренного моделирования квазипериодического движения в атмосфере твердого почти осесимметричного тела. Механика твердого тела, 1984, №2, с. 43-50.

20. Заболотнов Ю.М. Метод уточнения решений усредненных систем дифференциальных уравнений. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1986, т.26, №5, с. 686-693.

21. Динамика летательных аппаратов в атмосфере. Термины, определения и обозначения. ГОСТ 20058-80, 1981. 51 с.

22. Бухгольц Н.Н. Основной курс теоретической механики: В 2-х ч. М.: Наука, 1972.

23. Маиевский Н.В. Курс внешней баллистики. Санкт - Петербург, 1870.-679 с.

24. Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения. М.: Наука, 1971,312 с.

25. Макаров И.М., Менский Б.М. Линейные автоматические системы. -М.: Машиностроение, 1977.

26. Теория автоматизированного управления. Линейные непрерывные системы. Учеб. пособие / К.Ш. Либерзон, Самара 2003,214 с.

27. Дорф Р. Современные системы управления / Р. Дорф, Р. Бишоп. М.: Лаборатория Базовых знаний, 2002. 832 с.

28. Филлипс Ч., Харбор Р. Системы управления с обратной связью. М.: Лаборатория базовых знаний, 2001.

29. Попович П.Р., Скребушевский Б.С. Баллистическое проектирование космических систем. М.: Машиностроение, 1987. 240 с.

30. Проектирование спускаемых автоматических космических аппаратов / Под ред. В.М. Ковтуненко. М.: Машиностроение, 1985. 264 с.

31. Панкратов Б.М. Спускаемые аппараты. М.: Машиностроение, 1984. 237с.

32. Анализ факторов, влияющих на движение, разрушение и разбросы точек падения отделяемых частей ракет-носителей типа «Протон», «Русь». НТО № 851-4711-2220/99-215, ЦНИИМАШ, 1999.35. http://www.yes2.info/ YES2 Spacemail, 2005.