автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Математическое моделирование процессов тепло- и массообмена с подвижными границами

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА, ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В.ЛОМОНОСОВА

Факультет.вычислительной математики и кибернетики •" ~ На правах рукописи

ЖЕГЕБЯГЬЕВ Игорь Федорович

УДК 536.2:519.63

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ТЕШЮ-И МАССООШЕНА С ПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ

05.13.16 - применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва - 1989

Работа выполнена на кафедре прикладной математики Казахского ордена Трудового Красного Знамени государственного университета им. С.М.Кирова

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Ю.П.ПОПОВ; доктор физико-математических наук, профессор Г.С.РОСЛЯКОВ; доктор технических наук, старший научный сотрудник Н.И.НЖИТЕЖО

Ведущая организация - Институт проблем моделирования в

энергетике АН УССР

Защита диссертации состоится "_" _ 1989 г. на

заседании Специализированного Совета Д.053.37 при МГУ по адресу: 119899, г. Москва, Ленинские горы, МГУ, факультет вычислительной математики и кибернетики, второй учебный корпус, ауд. 685.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета вычислительной математики и кибернетики.

Автореферат разослан "_" _ 1989 г.

Ученый секретарь

Специализированного Совета, г г *

доктор физико-математических наук, профессор . Е.И.МОИСЕЕВ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБ01Ы

Актуальность проблемы. Современный этап развития науки и техники характеризуется широким использованием методов математического моделирования и ЭВМ при решении различных научных и прикладных задач, образованием и успешным развитием новой технологии и методологии проведения теоретических исследований, получившей название вычислительного эксперимента.*^ Применение вычислительного эксперимента как средства решения сложных прикладных проблем в каждом конкретном случае имеет свои особенности и связано с разработкой приемов и способов формализации изучаемых объектов и процессов, построением эффективных алгоритмов, позволяющих с наименьшими затратами времени получить решение с требуемой точностью.

Основные проблемы при изучении процессов тепломассообмена связаны с постановкой и решением задач при высоких плотностях тепловых потоков и больших скоростях течения, при фазовых и химических превращениях. Решение большого числа практически важных задач металлургии, теплоэнергетики, технологии получения композиционных материалов, обеспечения надежности элементов конструкций, работающих при высоких температурах связано с массопереносом при наличии изменения фазового состояния. Подобные задачи возникают и при исследовании процессов тепло- и массопереноса в условиях равновесной и неравновесной кристаллизации; теплового состояния теплозащитных материалов; при проектировании систем питания литейных форм, теплообменников с жидкометаллическими теплоносителями, тепловыделяющих элементов гетерогенных ядерных реакторов и др. Общим в рассматриваемых задачах является наличие подвижных границ, закон продвижения которых заранее неизвестен (задачи типа Стефана), что обусловливает нелинейность исходных уравнений. Аналитические решения подобных систем нелинейных уравнений в частных производных получить не удается. В связи с этим представляется актуальным разработка и построение адекватных математических моделей и эффективных методов их решения.

Исследованию задач Стефана (вопросы существования и единственности решения) посвящены работы Визинтина А., Данилюка И.И.,

Самарский A.A. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент. - Вестник АН СССР, 1979, Л 5.

- 3 -

Дюво Г., Ладыженской O.A., Ыейрманова A.M., Олейник O.A., При-мичерко М., Рубинштейна Л.И., Сестини Г. и др.

В разработку разностных методов решения задач тепло- и массопереноса с подвижными границами существенный вклад внесли Будак Б.М., Вабшцевич H.H., Васильев Ф.П., Карчевский М.М., Люм-кис Е.Д., Ляшко А.Д., Мажукин В.И., Меламед В.Г., Монахов В.Ы., Мухидинов Н.М., Нинитенко Н.И., Полежаев В.И., Попов Ю.П., Са-марокий A.A., Гарунин Е.Л., Фрязинов И.В., Дуглас Дж., Эрлих JI., Мейер Ж., Роуз М.Б., а также другие советские и зарубежные ученые.

Настоящая работа является частью комплексных исследований теплового состояния высокотемпературных объектов методом математического моделирования с привлечением цифровой и аналоговой вычислительной техники. Работа выполнялась по координационным планам АН СССР, АН КазССР (ГР Й 68048861; * 810.63009; № 018600833404), а также хозяйственным: договорам (ГР J68006I763; № 0182.3062030; № 0I840035I73; № 018440037344; Ji 018600118873 и ДР.).

Целью работы является:

- построение математических моделей сопряженного тепло- и массопереноса для систем с изменяющимся фазовым состоянием;

- создание методик и алгоритмов решения дифференциальных уравнений в частных производных параболического и эллиптического типов с разрывными коэффициентами, описывающих процессы теплопроводности, теплообмена и гидродинамики;

- развитие статического моделирования на основе использования аналоговых процессоров параллельного действия;

- проведение численных экспериментов по изучению процессов тепло- и массопереноса при наличии подвижных границ; выяснение условий, при которых возможно использование упрощенных математических моделей; обоснование практических рекомендаций для широкого диапазона параметров и граничных условий;

- совершенствование расчетных методик, методов получения композиционных материалов и оптимизация режимов их эксплуатации; технологии получения отливок сложной геометрии, систем питания отливок и др. на основе полученных новых качественных и количественных данных о протекающих в них процессах тепло- и массопереноса.

Научная новизна работы заключается в построении математических моделей, совершенствовании и разработке методик численного решения задач сопряженного тепло- и массопереноса при наличии физико- химических превращений; дальнейшем развитии метода статического моделирования задач тепло- и массообмена; получении ряда новых результатов в области сложного теплообмена, металлургической теплофизики, теплоэнергетики, фильтрации неньютоновской жидкости в пористой среде. К ним относятся исследования теплового состояния теплозащитных материалов при наличии плавления, испарения ; совместного переноса энергии теплопроводностью и излучением в композиционных материалах при наличии фазовых переходов; теплового состояния отливок различной конфигурации; течения затвердевающего расшива в каналах; задач упругого режима нелинейной фильтрации вязкопластической жидкости в многопластовой среде и т.п.

Практическая значимость. Научные разработки, изложенные в диссертации, иэгуг представить интерес для специалистов, занимающихся решением задач взаимодействия излучения с материалами; гидродинамики и теплообмена; проектирования теплообменного оборудования с жидкометаллическими теплоносителями; металлургической теплофизики; фильтрации неньютоновской жидкости в пористой среде и др.

Результаты проведенных исследований используются в ряде организаций при проведении научно-технических разработок, а также - в учебном процессе на кафедре прикладной математики Казахского государственного университета при чтении спецкурсов, при выполнении курсовых и дипломных работ студентов, составлении учебно-методических пособий 114; 15; 22; 33; 40].

Апробация работы. Основные положения и результаты докладывались на:

Всесоюзном совещании по тепло- и массообмену (Минск, 1966, 1968, 1972, 1976); 1У Всесоюзной конференции по аналоговой и аналого-цифровой вычислительной технике (Москва, 1973); Всесоюзной конференции "Теплофизика технологических процессов" (Тольятти, 1972, 1976, 1978); Всесоюзной конференции "Применение »«шинных методов для решения краевых задач" (Харьков, 1976); Всесоюзном совещании-семинаре "Краевые задачи теории фильтрации" (Ужгород, 1976); Всесоюзном семинаре "Численные метода решения задач

фильтрации многофазной несжимаемой жидкости" (Ташкент, 1980); У,У1,УП,УШ Казахстанских межвузовских научных конференциях по математике и механике (Алма-Ата, 1974, 1977, 1984, Караганда, 1961); Межвузовской научной конференции "Применение вычислительной техники и математических методов в научных исследованиях" (Алш-Ата,1980); Всесоюзном семинаре "Эффективность малинного расчета краевых задач" (Куйбышев, 1982), Всесоюзном научно-техническом семинаре "Машинные метода и средства решения краевых задач" (Казань, 1984; Рига, 1985; Росгов-на-Дону, 1986); Всесоюзной шкоде-семинаре "Прикладные метода раочета физических полей" (ЧОМГИ АН УССР, пос.Кацивели, Крым.обл.,1984);выездном заседании Советского национального Комитета Мевдународной ассоциации по математическое и машинному моделированию {'imacs), (Алма-Ата, 1984); 1-ом Всесоюзном симпозиуме по макроскопической кинетике и химической газодинамике (Алма-Ата, 1984);2-ой Всесоюзной конференции "Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике" (Киев, 1985); Всесоюзной научно-технической конференции "Моделирование-85". Теория, средства, применения" (Киев, 1985); Всесоюзной научно-технической конференции "Применение композиционных материалов на полимерной и металлической матрицах в машиностроении" (Уфа, 1985); У1 Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике (Ташкент, 1986); Всесоюзной школе-семинаре "Комплексные лрограмш математической физики" (пос.Шушенское, 1986); Всесоюзном совещании "Аналитические методы расчета процессов тепло- и. массопереноса" (Душанбе, 1986); 2-ой Республиканской конференции "Интегральные уравнения в прикладном моделировании " (Киев, 1986);УП школе по пакетам прикладных программ (Москва, 1987) ; Всесоюзном научно-техническом семинаре "Моделирование физических полей" (Одесса, 1987); Минском мевдународ-ном форуме - Теплообмен, hbat/mass tbarufek. - ml f (Минск, 1988) и др.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 70 научных работ, в том числе две монографии 16,23). Основные результаты диссертации опубликованы в работах 11-411.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, выводов, списка цитируемой литературы (390 наименований) и приложения. Описание метода статического моделирования для решения краевых задач на 41 странице, 106 рисунков на 70

листах, 23 таблицы на 15 листах, акты внедрения на 9 листах вынесены в приложение. Основное содержание диссертации изложено на 274 страницах. Общий объем работы 409 страниц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность теш, излагаются цель, научная новизна и практическая значимость подученных результатов.

Первая глава посвящена математическому моделированию процессов тепломассопереноса при взаимодействии материалов с концентрационными потоками энергии, радаадионно-кондуктивного теплообмена при наличии физико-химических превращений. В начале первого параграфа приведен краткий обзор исследований, выполненных по указанной проблеме. Отмечается, что потребность в разработке и получении теплозащитных материалов привела к интенсивному развитию целого научного направления тепломассопереноса - теории тепловой защиты. Существенный вклад в развитие этого направления внесли Авдуевский B.C., Адаме К., Алфимов H.A., Василевский К.К., Дверняков B.C., Душин Ю.Л., Карасев А.Б., Кошкин В.К., Никитин А.Т., Панкратов Б.М., Полежаев Ю.В., Саттон Дж.У, Шашков А.Г., Шленский О.Ф., Юдин В.М. и другие советские и зарубежные ученые. Выполненные ими исследования позволили решить ряд проблем, связанных с тепломассопереносом в многокомпонентных армированных, разлагающихся и химически активных материалах, претерпевающих при высокоинтенсивном нагреве различные физико-химические превращения. Изучение сложного механизма нестационарного теплообмена при взаимодействии интенсивных потоков энергии с материалами, разработка и внедрение новых композиционных материалов (КМ) требует дальнейших экспериментальных и теоретических исследований. Из обширного класса возникающих при атом задач в диссертации рассматриваются вопросы, связанные с моделированием теплового состояния КМ, используемых в качестве теплозащитных в условиях радиационного нагрева. Успешное решение таких задач связано с построением математических моделей, сравнимых по точности с данными физического эксперимента, т.е. с наховдением и обоснованием минимального числа физико-химических параметров,

необходимых для удовлетворительного описания исследуемых явлений.

Формулируются предложенные упрощенные математические модели, описывающие тепловые процессы, протекающие внутри исходного материала, считая условия на внешней поверхности заданными. Наиболее простой является одномерная тепловая модель, при построении которой предполагается, что в рассматриваемой системе имеют место фазовые переходы первого рода (плавление, испарение), перенос энергии осуществляется только геплоцроводностыо, а образующиеся пары вещества сразу же удаляются, т.е. подвижная граница испарения является внешней поверхностью. Приводятся одномерные модели для расчета теплового состояния композиционных материалов, выполненных на основе пористой матрицы из тугоплавких сплавов, поры которых заполнены органическим связующим, разлагающимся при нагревании с образованием газообразных продуктов разложения и пористого каркаса. Предложены полуэмпирические модели, описывающие тепловое состояние вспенивающихся тепло- и огнезащитных покрытий. Модели построены на основе анализа экспериментальных данных и с учетом изменения основных термодинамических параметров в зоне физико-химических превращений.

При изменении теплового импульса по координате, наличии анизотропии теплофизических свойств необходимо использовать двух-и трехмерные модели. Построена двумерная модель, описывающая тепловые состояния материала, обладающего анизотропной теплопроводностью. Предполагается, что величина и продолжительность теплового импульса таковы, что возможно появление подвижных поверхностей раздела фаз (плавление, испарение); в исследуемом материале имеют место фазовые переходы первого рода, конвективным переносом энергии в жидкой фазе можно пренебречь; образующиеся на подвижной границе испарения пары вещества удаляются после образования.

В следующем параграфе приводятся разностные схемы для расчета теплового режима материалов при наличии плавления и испарения. Предложены явные конечно-разностные схемы с явным выделением подвижных границ на сетке с постоянными параметрами. Значения температуры в узловых точках, отстоящих от подвижной границы на расстоянии меньше, чем шаг сетки, находятся с помощью соответ-

ствугацих интерполяционных формул. При решении двумерных задач введением функции теплосодержания исключается из рассмотрения подвижная граница плавления. Приводятся также итерационные неявные конечно-разностные схемы с использованием преобразова - -ний координат, с помощью которых производится отображение исходной области с подвижными границами в область с фиксированными границами.

Путем проведения численных экспериментов найдены скорости продвижения границ фазовых переходов (плавление, испарение) и нестационарные температурные поля в теплозащитных покрытиях различной геометрии в широкой области изменения теплофизических параметров, начальных и граничных условий; решения получены при постоянных и изменяющихся со временем граничных условиях.На примере одномерной тепловой задачи исследовано влияние учета изменения теплофизических свойств от температуры и возможности использования в расчетах усредненных коэффициентов переноса. Показано, что при интенсивных тепловых потоках пренебрежение температурной зависимостью приводит к расхождению в решениях на несколько десятков процентов, что особенно отчетливо наблвдает-ся, если тепловой поток резко возрастает во времени. Для приближенных расчетов и предварительных оценок, когда не требуется большой точности, можно считать тепловые свойства в пределах каждой из фаз постоянными; при этом важно правильно выбрать величины усредненных в рассматриваемом интервале температур теплофизических параметров.

В § 1.2 приведены б&номерные математические модели для расчета взаимодействия теплозащитных материалов на полимерной основе с лазерным излучением. Результаты численных расчетов сравнивались с данными натурных испытаний и данными, полученными другими авторами.

В § 1.3. рассматриваются задачи совместного переноса энергии теплопроводностью и излучением при наличии фазовых переходов. Построены одномерные математические модели, выполнены численные эксперименты по исследованию влияния теплового излучения на процессы тепло- и массопереноса в материалах, отличающихся от полностью непрозрачных, а также в материалах, образующих при

физико-химических превращениях пористую структуру. Предлагается оледувдая модель терморазложения полимерного материала: при достижении температуры (7^ - температура начала

терморазлохения) происходит деполимеризация. Приближенно атот процесс рассматриваем как изотермический фазовый переход при

Т=Ту , сопровождающийся поглощением тепла на подвижной границе раздела фаз. При дальнейшем нагревании происходит термическое разложение с образованием жидкого слоя; в жидкой фазе перенос энергии осуществляется теплопроводностью и излучением (жидкая фаза - поглощающая, испускающая и изотропно рассеивающая среда), подвижная граница является диффузно испускающей и поглощающей поверхностью, с течением времени внешняя граница жидкого слоя прогревается до температуры испарения тис~ соти£ и появляется подвижная граница испарения. Температурные

поля] и положение подвижных границ определяются из совместного интегрирования уравнения теплопроводности и уравнения, переноса излучения. Для численного решения полученной системы нелинейных уравнений используется итерационная двухслойная неявная конечно-разностная схема с явным выделением подвижных границ} численное интегрирование уравнения переноса излучения осуществляется, следуя методу дискретных ординат.

Для КМ, разлагающихся при нагревании с образованием газообразных продуктов разложения (ГШ5) и пористого остатка, построена математическая модель терморазложения с учетом переноса энергии теплопроводностью, излучением и конвекцией в образующейся пористой среде. Предполагается, что кинетика терморазложения описывается законом Аррениуса; ГПР в процессе фильтрации подвергается дальнейшему разложению до низкомолекулярных компонентов, а на стенках пор осаждается пиролитический кокс. Образование разветвленной пористой структуры приводит к необходимости учета поглощения излучения как в каркасе, так и в порах; поглощение излучения в исходном материале и в каркасе рпЗсывается законом Бугера, в котором глубина проникновения излучения задается по данным физического эксперимента. Для учета распространения и поглощения излучения в порах используется модель каналированного излучения; при достижении на внешней поверхности температуры испарения появляется подвижная граница испарения. Численное реше-

ние полученной системы нелинейных уравнений осуществлялось по итерационной двухслойной неявной конечно-разностной схеме сквозного счета. В расчетах использовалась неравномерная сетка со сгущением узлов в окрестности внешней поверхности. В качестве КМ рассматривался стеклопластик на фенольной основе, по составу и теплофизическим свойствам которого имеются полные и достоверные данные. При проведении численных расчетов наряду с основной моделью проводились расчеты по упрощенным моделям, в которых различным образом учитывался перенос энергии излучением в пористой среде; приведен сравнительный анализ полученных результатов.

Вторая глава посвящена математическому моделированию процессов теплообмена и гидродинамики при затвердевании металлов и сплавов, термодиффузионных процессов в химических источниках тока. Приводятся известные равновесные и квазиравновесные модели затвердевания, которые использовались в работе при численном исследовании условий охлаждения сплавов при получении отливок различной конфигурации. В случае изотермических фазовых переходов применяется энтальпийный. подход с последующим сглаживанием разрывных коэффициентов в окрестности границы раздела фаз. Исходная краевая задача сводится к интегрированию квазилинейного уравнения теплопроводности в области с фиксированными границами с соответствующими начальными и граничными условиями. К подобной системе уравнений сводится и задача о затвердевании сплавов в квазиравновесных условиях. Численные расчеты выполнялись с использованием однородных разностных схем сквозного счета, разработанных и предложенных в работах А.А.Самарского.

Для решения одно- и двумерных задач затвердевания металлов и сплавов разработан и составлен комплекс прикладных программ (КПП). В КПП применяются разностные схемы сквозного счета (явная схема, экономичные разностные схемы: локально-одномерные, переменных нацравлений), получаемые интегро-интерполяционным методом; предусматривается возможность решения задач в декартовой, цилиндрической и сферической координатных системах, задания различных типов граничных условий, учета температурной зависимости теплофизических овойств, усадки металла при затвердевании, нали-

чия холодильников. С помощью КПП проведено численное исследование теплового состояния и динамики затвердевания титановых сплавов при получении полых отливок в вакуумных установках (одномерный олучай). Изучалось влияние на время затвердевания в геометрическом и термическом центрах начальной температуры расплава и форш, размеров и геометрии отливки, материала формы. Показано, что при получении полых отливок (неограниченная пластина, цилиндр, шар) влияние стержня связано с двумя противоположными эффектами нагрева и кривизны. В зависимости от размера стержня влияние одного из них становится преобладающим. На основе проведен -ных численных экспериментов рассчитаны поправочные коэффициенты модуля для приближенного расчета времени затвердевания полых отливок, рассматривая их как эквивалентные тонкие пластины. Выполнены численные эксперименты по исследованию теплового состояния двумерных отливок из сплавов титана различной геометрии, получаемых в оболочковых и массивных формах. В частности, проведено численное исследование процессов затвердевания сплавов титана (ВИ,ВТ5Д,ВТ9Л) при получении отливок ь , т и х - образного сечения. Расчеты выполнены с целью сравнения динамики охлаждения различных элементов, изучения влияния относительной толщины соединений на время затвердевания в геометрическом и термическом центрах, положение термического центра, определения оптимальной толщины элемента, при которой компенсируется эффект нагрева отливки вследствие образования углов сопряжений при соединении элементов неодинаковой толщины.

Предложена методика численного решения двумерных задач стационарной конвекции жидкости с переменной вязкостью с использованием уравнения четвертого порядка для функции тока. Сочетание такого подхода с методом фиктивных областей позволило построить эффективный алгоритм для численного решения задач динамики вязкой жидкости с фазовым переходом. Уравнение движения решается в области О. = и32г ( - твердая фаза, -

расплав) по итерационной схеме стабилизирующей поправки. На каждом дробном шаге система линейных алгебраических уравнений решается методом немонотонной прогонки для пятиточечных разностных уравнений. Уравнение энергии интегрируется по итерационной схеме переменных направлений. Итерационные параметры при решении уравнения движения и энергии подбираются экспериментально в зависи-

мости от значений чисел Грасгофа , Црандтля и шага сетки. Граница раздела фаз определяется по положению изотерм = 9т - температура затвердевания. Приводятся результаты численных расчетов по решению ряда модельных задач, а также сравнение о известными результатами, полученными о использованием двухполевого метода.

Заключительная часть второй главы посвящена математическому моделированию дайузионных и тепловых процессов в химических источниках тока (ХИТ) с литиевым анодом. Особенностью процесса является тот факт, что на поверхности лития растут, наслаиваются и стабилизируются различные по составу и свойствам пленки, пассивирующие поверхность литиевого анода, существенно влияющие на распределение концентраций и температуры в жидкой фазе. С целью выяснения степени влияния тепловых и диффузионных эффектов на процесс пассивации, определяющей надежность и срок работы ХИТ, предложен ряд одномерных моделей термодиффузионной пассивации: модель образования пленки для случая диффузионно-контролируемого процесса; модель образования вторичных пленок; математическая модель терыодиффузионной пассивации. Сформулированные краевые задачи сводятся к одно- и многофронтовым задачам типа Стефана со специфическими условиями на подвижных границах. Для численного решения использовались итерационные неявные конечно-разностные схемы с явным выделением подвижных границ. Проведенные численные расчеты и сравнения с экспериментальными данными показали, что предложенные математические модели могут быть использованы дои долгосрочного прогноза режима работы ХИТ заданного состава, определения температуры раствора и толщины пассивирующей пленки, а также при постановке и решении обратных задач термодиффузионной пассивации.

В третьей главе рассматриваются эадачи сопряженного тепло-и массообмзна, связанные с исследованием гидродинамики и теплообмена цри течении затвердевающей жддкости в каналах правильной формы. Приводятся алгоритмы численного решения в переменных функция тока - завихренность; „скорооть-давление" с использованием преобразования координат,отображающего область существования каждой из фаз в фиксированную область. Обсуждаются результаты

численных экспериментов, полученных на основе полных и упрощенных математических моделей, используемых для расчета стационарного, квазистационарного и нестационарного режимов затвердевания.

Построена консервативная итерационная схема типа метода переменных направлений на регулярной сетке в переменных .завихренность-функция тока-температура" Применение монотонной аппроксимации конвективных членов позволило построить разностную схему, устойчивую в широком диапазоне изменения чисел Грасгофа, Праццтля и Рейнольдов. На каждой итерации значения вихря скорости на подвижной границе фазового перехода подправляются (внешний итерационный цикл), следуя методике Полежаева В.И. - Пирсона или приближенной формуле Тома.

Для численного исследования нестационарных течений с заданным расходом (в приближении пограничного слоя, Рр>> { ) построена итерационная неявная разностная схема в переменных скорость-давление-температура с явным выделением границы раздела фаз. Метод основывается на четырезегочечной неявной разностной схеме с использованием скалярной прогонки для уравнений второго порядка и шеститочечной схемы для уравнения неразрывности, градиент давления рассчитывается из условия постоянства расхода жидкости.

Построена явная конечно-разностная схема на равномерной сетке для расчета обтекания расплавом холодной изотермической пластины. Значения температуры и компонент вектора скорости (и , v) в узловых точках, отстоящих от границы раздела фаз на расстоянии меньшем, чем шаг сетки, определяются методом интерполяции. Приводятся результаты численных экспериментов. Наряду с основными расчетными моделями рассматриваются и упрощенные математические модели (течения с заданными профилями скорости при постоянном градиенте давления - стационарный и квазистационарный случай; течения с заданным расходом - приближение пограничного слоя; нестационарные и квазистационарные задачи); обсуждаются и анализируются случаи, где использование их позволяет получить необходимые результаты о точностью достаточной для инженерных расчетов. На основе выполненных численных экспериментов сделан сравнительный анализ различных математических моделей; определены

область значений параметров, при которых имеет место блокирование канала, изменение коэффициента теплоотдачи по длине канала, время достижения стационарного состояния.

В четвертой главе приводится предложенная методика численного решения одно- и двумерных задач нестационарной фильтрации неньютоновской жидкости в пористой среде, результаты численных экспериментов по изучению движения жидкости в слоистых пластах, гидродинамического анализа нестационарного взаимодействия пластов с учетом структурно-механических свойств жидкости, закономерностей перемещения фронта возмущения и границы области взаимодействия пластов.

В § 4.1. рассматриваются различные математические модели фильтрации неньютоновской жидкости во взаимодействующих пластах. Неньютоновские свойства пластовой нефти в значительной степени определяют показатели разработки нефтяных месторождений: срок эксплуатации залежи, полноту выработки запасов нефти,и,как следствие, текущую и конечную нефтеотдачу. Отмечается, что в настоящее время достаточно подробно исследованы задачи фильтрации жидкости в пористой среде с применением линейного закона в многослойных пластах как в рамках упрощенных моделей, так и в гидродинамической постановке. Однако лишь ограниченное число работ посвящено применению нелинейных законов фильтрации жидкости в многослойных средах. Наиболее полные исследования реологических свойств пластовых нефтей и их учет в фильтрационных расчетах выполнены в работах Алишаева В.А., Алишаева М.Г., Бернар-динера М.Г., Гурбанова Г.С., Ентова В.М., Зайцева Ю.В., Карчев-ского М.М., Ковалева А.Г., Ляшко А.Д. .Мирзаджанзаде А.Х.,• Моло-ковича Ю.М,, Мухитдинова Н.М., Непримерова H.H., Полянина В.Д., Скворцова Э.В., Христиановича С.А. и др. Для изучения движения неньютоновских жидкостей в слоистых пластах и исследования обменных процессов между ними в работе использовались математические мэдели, полученные на основе обобщенного закона Дарси (А.Х. Мирзаджанзаде), а также закона фильтрации с учетом движения жидкости при малых градиентах давления (Мирзаджанзаде А.Х., Ковалев А.Т., Зайцев Ю.В., Молокович Ю.М.).

В § 4.2 рассматриваются разностные метода решения уравнений нелинейной фильтрации. Для решения одномерных задач неста-

ционарной фильтрации ВПЖ построены итерационные неявные конечно-разностные схемы:

- с переменным шагом по времени и с явным выделением подвижной границы возмущения;

- на равномерной сетке в предположении, что граница возмущения изменяется от времени по линейному закону при переходе с одного временного слоя на другой; в узловых точках, находящихся в окрестности подвижной границы используется четырехточечная неявная схема с переменными шагами по координате и времени;

- для решения задач с учетом движения жидкости при малых градиентах давления; при решении разностных уравнений используется потоковый вариант метода прогонки.

Для расчета двумерных задач нестационарной фильтрации во взаимодействующих пластах с учетом переменного градиента давления используется алгоритм, построенный на основе комбинации разностных схем, предложенных дат решения одномерных задач (предполагается, что в ХП пластах фильтрация ВПЖ происходит преимущественно в горизонтальном направлении, а в СП пластах-вертикальном).

Проведенные численные эксперименты показали, что имеет место сходимость предложенных разностно-итерационных алгоритмов. Оценки точности и рекомендации по выбору параметров сетки сделаны на основе решения ряда модельных задач, сравнения с данными, полученными с помощью других приближенных методов.

В § 4.3. представлены результаты численных расчетов нелинейной фильтрации вязкопластичной жидкости (ВПЖ) в пористой среде. Выполнены исследования фильтрации жидкости с начальным градиентом в условиях гидродинамического взаимэдействия пластов (двухшгастовая система, осесимметричное течение). Решение задачи осуществлялось с учетом свойств нефти месторождений Западного Казахстана. Найдены пространственно-временные изменения давления , положения фронта возмущения =

и границы области взаимодействия пластов , значения

перетока жидкости через границу раздела пластов и дебита на скважине. Проведена количественная оценка дебитов и перетоков жидкости в зависимости от свойств нефти и параметров пластов. Показано, что при упругом режиме в зависимости от параметров

плаотов отбор нефти можно проводить по толщине хорошопроницае-мого (ХП) пласта, что стабилизирует технико-экономические показатели эксплуатации скважин.

Представлены результаты расчетов фильтрации БП1 в продуктивном пласте со слабопроницаемой (СП) кровлей (плоско-параллельное течение). Распределение давления, положение подвижной границы взаимодействия пластов, значения перетока через кровлю в зависимости от времени определены для случаев заданного забойного давления и постоянного дебита при закрытом и открытом режимах эксплуатации пропластка. Использовались модели с начальным градиентом и с полигональным законом фильтрации.

Заключительная часть главы посвящена обсуждению численных результатов, полученных при изучении фильтрации ВПЖ во взаимодействующих пластах (схема перетекания Хантуша). Рассчитаны зависимости величины перетока, положения границы возмущения для различных режимов эксплуатации пластов, значений коэффициента связи, начального градиента. При использовании в ХП пласте полигонального закона фильтрации характер гидродинамического взаимодействия пластов зависит и от величины вязкости при малых и больших градиентах. Показано, что для нестационарного взаимодействия пластов учет течения жидкости с малыми скоростями в разрабатываемом пласте оказывает заметное влияние на переток. С ростом отношения вязкостей при малых и больших градиентах давления уменьшается переток из СП пласта в ХП пласт ,что влияет на время отбора жвдкости из слабопронвдаемого пласта.

Полученные автором результаты, связанные с дальнейшим развитием метода статического моделирования ^ для решения дифференциальных уравнений в частных производных, приведены в приложении. Метод послужил основой для создания специализированных вычислительных устройств (статических электроинтеграторов -СЭИ) с представлением информации в аналоговой форме. Отличительными особенностями СЭИ, разработанных в лаборатории математического моделирования Казахского государственного университета, являются применение процессоров аналогового действия с пере-

А.Т.Лукьянов. Исследование уравнений математической физики методом статического моделирования. - Автореф.диссер.... док.физ.-мат.наук, Киев, 1969.

- 17 -

страиваемой структурой, сочетание дискретных ввода и вывода с аналоговой формой вычислений, применение многослойных сеточных областей для учета изменения коэффициентов, приборная экономичность при решении пространственных задач, достигаемая использованием различных модификаций схем расщепления исходных дифференциальных операторов. Предложена методика аналогового моделирования задач тепло- и массообмена с подвижными границами,которая использовалась при решении одно- и двумерных задач теплопроводности с фазовыми переходами, нелинейной фильтрации ВПЖ в пористой ареде и до.

ВЫВОДЫ

Перечислим основные результаты, полученные в работе:

1. Разработаны и проанализированы приближенные расчетные схемы для исследования процессов тепломассопереноса при взаимодействии материалов с концентрированными потоками энергии при наличии физико-химических превращений:

- для разрушающихся композиционных материалов (в условиях радиационного нагрева) предложена приближенная модель терморазложения с учетом переноса энергии теплопроводностью, конвекцией и излучением в образующейся пористой среде, физико-химических превращений в зоне разложения; разработаны полуэмпирические модели для расчета теплового состояния вспенивающихся огнезащитных материалов;

- на основе численных экспериментов найдены нестационарные температурные поля и скорости продвижения границ фазовых переходов (плавление, испарение) в широкой области изменения определяющих параметров с учетом температурной зависимости теплофизи-ческих свойств и изменения граничных условий со временем.

2. Разработаны комплексы прикладных программ для численного расчета теплового состояния одно- и двумерных задач нестационарной теплопроводности при наличии фазовых переходов:

- проведено исследование закономерностей затвердевания одно-и двумерных отливок различной геометрии из сплавов титана, получаемых в оболочковых и массивных формах;

- предложен алгоритм численного решения стационарных задач тепловой конвекции с учетом изменения вязкости от температуры на основе использования уравнения движения, записанного относительно функции тока; сочетание этого подхода с методом фиктивных областей позволило построить эффективный метод для исследования двумерных стационарных сопряженных задач типа Стефана;

- составлены одномерные математические модели, описывающие термоди^фузионные процессы в химических источниках тока.

3. Составлены математические модели, описывающие процессы совместного переноса импульса, энергии и массы при течении затвердевающего расплава в каналах;

- предложен алгоритм численного решения сопряженных задач типа Стефана в переменных^функция тока-завихренность. В основе алгоритма лежит замена независимых переменных, с помощью которых преобразуются подвижные области существования каждой из фаз в фиксированные области; для полученной системы нелинейных дифференциальных уравнений построена итерационная схема переменных направлений с монотонной аппроксимацией конвективных членов;

- построены упрощенные математические модели, описывающие процессы тепло- и массопереноса при ламинарном течении вязкой несжимаемой жидкости, затвердевающей на стенках плоско-параллельного канала и круглой трубы; рассмотрены случаи течения: с заданными профилями скорости при постоянном градиенте давления (стационарный и квазисгационарный случаи); с заданным расходом (приближение пограничного слоя, нестационарные и квазистационарные задачи); предложены итерационные неявные конечно-разностные схемы с явным выделением подвижной поверхности раздела фаз для численного решения сформулированных краевых задач;

- на основе выполненных численных экспериментов на ЭВМ сделан сравнительный анализ различных математических моделей, определены область значений параметров, при которых имеет место блокирование канала, изменение коэффициента теплоотдачи по длине канала, время достижения стационарного состояния.

4. Для решения одно- и двумерных задач нестационарной фильтрации вязкопластической жидкости в многопластовых системах предложены итерационные неявные разностные схема с переменными параметрами сетки и явным выделением подвижных границ;

- проведены численные эксперименты, связанные с исследованием влияния гидродинамических параметров на процессы нестационарного взаимодействия пластов, нефтеотдачу по каждому про-пластку на примере месторождений нефти Западного Казахстана; установлена область значений параметров связи пластов, для которых можно использовать упрощенные модели перетекания, описывающие гидродинамическое взаимодействие пластов.

5. Получил развитие метод статического (дискретного во времени) моделирования нелинейных задач тепло- и массопереноса с подвижными границами; разработаны принципы построения аналоговых и квазианалоговых процессоров переменной структуры с непрерывным представлением основной информации и дискретным управлением, обеспечивающие высокую производительность и экономичность аппаратурной реализации параллельных процессоров.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ ОТРАЖЕНО В РАБОТАХ:

1. Жеребятьев И.Ф., Лукьянов А.Т., Прилепский В.Н., Пузач В.Г. Численный расчет температурных полей в теплозащитных покрытиях. - Теплофизика высоких температур, 1966, Л 3, с.407-411.

2. Жеребятьев И.Ф., Лукьянов А.Т., Рыкова Н.П. Математическое моделирование нелинейных уравнений параболического типа. -В кн.: Тепло- и масооперенос, т. У1, Минск: Наука и техника, 1966, с. 395-404.

3. Вулис Л.А., Жеребятьев И.Ф., Кашкаров В.П., Лукьянов А.Т. Численное решение нелинейных уравнений теории теплопроводности. - В кн.: Проблемы теплоэнергетики и прикладной теплофизики, вып. 4, Алма-Ата: Наука, 1967, с, 146-154.

4. Жеребятьев И.Ф., Лукьянов А.Т. Моделирование разностных аппроксимаций нелинейного уравнения теплопроводности. - В кн.: Тепло- и масооперенос, т. 8, Минск: Наука и техника, 1968,

с. 424-436.

5. Жеребятьев И.Ф., Лукьянов А.Т. Моделирование неявных разностных охем для решения уравнения теплопроводности. - Вестник АН КазССР, Л 10, 1968, с. 59-62.

6. Жеребятьев И.Ф,Лукьянов А.Т. Математическое моделирование уравнений типа теплопроводности с разрывными коэффициентами. - М.: Энергия, 1968. - 56 с.(монография).

7. Жеребятьев И.Ф., Лукьянов А.Т., Кубышкина В.Д., Цустылыш-ков Л.М. Решение задач тепло- и массопереноса методом математического моделирования. - В кн.: Математическое моделирование на интеграторах ЭГДА - 9/60. Труда Всесоюзного семинара, Киев: институт математики АН УССР, 1968, с. 396-404.

8. Жеребятьев И.Ф. Решение задачи о температурном поле при льдообразовании в интервале температур. - В кн.: Физика, вып. I, Алма-Ата, 1970, с. 143-146.

9. Жеребятьев И.Ф., Лукьянов А.Т. Численный расчет теплового состояния слитка в процесое прокатки. - В кн.: Теплофизика технологических процессов. Куйбышев, 1970, с. 200-203.

10. Жеребятьев И.Ф., Субботина Н.И. Численный расчет теплового состояния материалов при нарушении структуры. - Материалы докладов 1У Казахстанской межвузовской научной конференции по математике и механике, ч.1, Алма-Ата, 1971, с. 216-220.

11. Жеребятьев И.Ф., Лукьянов А.Т. О применении метода статического моделирования дат решения задач технологической теплофизики. - Конференция "Теплофизика технологических процессов", тезисы докладов секции: Математические методы и моделирование. - Тольятти, 1972, с. 28-31.

12. Жеребятьев И.Ф., Лукьянов А.Т. Моделирование многомерных задач теплопроводности с фазовыми переходами. - Инженерно-физический журнал, т.ХХП, й 3, 1972, с. 553-559.

13. Жеребятьев И.Ф., Лукьянов А.Т. Численное решение задач тепло-и массопереноса с применением статического моделирования. -

В кн.: Тепло- и массоперенос, т. 8, Минск: изд. ЙТМО АН БССР, 1972, с. 480-492.

14. Жеребятьев И.Ф., Лукьянов А.Т. Лабораторный практикум "Математическое моделирование", ч. I, Алма-Ата: КазГУ, 1972. -110 с. (учебно-методическое пособие).

15. Зенков А.П., Жеребятьев И.Ф., Лукьянов А.Т. Лабораторный практикум "Математическое моделирование", ч. II, Алма-Ата: КазГУ, 1972. - 90 с. (учебно-методическое пособие).

16. Дзибалов Ю.И., Жеребятьев И.Ф., Лукьянов А.Т. Развитие метода статического моделирования. - В кн.: Применение машинных методов для решения краевых задач. - Киев: Наукова думка, 1976, с. 64-72.

17. Жеребятьев И.Ф., Каримов А., Лукьянов А.Т. Моделирование задач нестационарной фильтрации с начальным градиентом в условиях гидродинамического взаимодействия пластов. - Тезисы докладов Всесоюзного совещания-семинара "Краевые задачи теории фильтрации", Ужгород, 1976, с. 116-11?.

18. Жеребятьев И.Ф., Тулегенов М.А. Численное решение задачи о затвердевании движущегося расплава. - В кн.: Аналитические, численные и аналоговые методы в задачах теплопроводности. -Киев; Наукова душа, 1977, с. II4-I20.

19. Жеребятьев И.Ф., Каримэв А., Лукьянов А.Т. Численное решение задач нестационарной фильтрации в условиях гидродинамического взаимодействия пластов. - В кн.: Сборник по воцросам ме-

. ханики и прикладной математики, вып. 9, Алма-Ата: КазГУ, 1977, с. I54-161.

20. Жеребятьев И.Ф., Мун A.C. Неявная конечно-разностная схема для численного решения пространственных задач теплопроводности о подвижными границами. - В кн.; Методы и средства численного интегрирования краевых задач. - Алма-Ата: КазГУ, 1977, с. 13-21.

21. Будникова Т.Ф., Жеребятьев И.Ф., Кенжетаев К.К., Поликарпов A.C. Расчет времени затвердевания бинарного сплава в форме сложной геометрии. - В кн.: Методы и средства математического моделирования. - Алма-Ата: КазГУ, 1979, с.45-56.

22. Жеребятьев И.Ф. Численное решение задач тепло- и массообме-на с подвижными границами. - Алма-Ата: КазГУ, 1979. - 64 с. (учебно-методическое пособие).

23. Дзибалов Ю.й., Жеребятьев И.Ф., Лукьянов А.Т., Тулепбаев М. Б. Статические электроинтеграторы и их применение. - Алма-Ата: Наука, 1980. - 220 с. (монография).

24. Жеребятьев И.Ф., Кенжетаев К.К. Алгоритм численного исследования свободной конвекции в кристаллизующемся слитке. - В кн.: Тез.докл. 7-ой Казахстанской межвузовской конференции по математике и механике, Караганда, 1981, с. 53.

25. Жеребятьев И.Ф., Шепеленко Т.Ф. Численный расчет конвективного движения вязкой несжимаемой жидкости в области с подвижными границами. - В кн.: Математическое моделирование нестационарных процессов. - Алма-Ата: КазГУ, 1982, с. 11-17.

26. Жеребятьев И.Ф., Лукьянов А.Т. Математическое моделирование задач тепло- и массообмена с подвижными границами. - В кн.: Проблемы нелинейной электротехники, ч. 3, - Киев: Наукова думка, 1964, с. 17-19.

27. Жеребягьев И.Ф., Костннго В.П., Курбатов А.П., Плашевский А.Ю. Математическое моделирование коррозии при ограничении массопереносом. - В кн.: 1-ый Всесоюзный симпозиум по макроскопической кинетике и химической газодинамике, т. I, ч.2.

- М.: 1984, с. 16.

2;8. Жеребятьев И.Ф. Математическое моделирование теплового режима полупрозрачных материалов. - В кн.: Математика и механика. Тез.докл. УШ Республиканской межвузовской научн.кон|>. по математике и механике. Часть П. Вычислительная и прикладная математика. Алма-Ата, 1964, с. 75.

29. Жеребятьев И.Ф., Лукьянов А.Т., Подкопаев Ю.Л. Исследование гидродинамики и теплообмена внутренних течений жидкости с переменными свойствами . - В кн.: П Всесоюзная конференция, Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике. Тез. докл..Киев, 1985, с. 89-92.

30. Жеребятьев И.Ф., Лукьянов А.Т., Подкопаев Ю.Л. Численное решение задач тепловой конвекции жидкости с переменной вязкостью. - В кн.: Прикладные задачи математической физики и функционального анализа. - Алма-Ата: Наука, 1985, с. 58-64.

31. Будникова Т.Ф., Жеребятьев И.Ф. Расчет теплообмена при течении затвердевающей жидкости в каналах. - В кн.: Методы и средства математического моделирования. - Алма-Ата: КазГУ,

1985, с. 29-37.

32. Будникова Т.Ф., Жеребятьев И.Ф. Моделирование процессов теплообмена при ламинарном течении затвердевающей жидкости в каналах. - В кн.: Математическое моделирование процессов переноса. - Алма-Ата: КазГУ, 1986, с. 8-15.

33. Жеребятьев И.Ф. Численные методы решения задач тепло- и массообмена с подвижными границами. - Алма-Ата: КазГУ,

1986. - 36 с. (учебно-методическое пособие).

34. Жеребятьев И.Ф., Кенжетаев К.К., Лукьянов А.Т. Пакет прикладных программ для решения задач тепломассопереноса. -В кн.: Вычислительные методы и математическое моделирование. Тез.докл. Всесоюзной школы-семинара по комплексам про-

грамм (с.Щушенское). -М., 1986, с. 27.

35. Жеребятьев И.Ф., Лукьянов А.Т., Плашевский А.Ю. Аналитическое и численное решение задач диффузионной пассивации. - В кн.: Аналитические методы расчета процеосов тепло- и массо-переноса. Тез.докл. Всесоюзного совещания, Душанбе: Дониш, 1986, с. 124-125.

36. Будникова Т.Ф., Жеребятьев И.Ф., Кенжетаев К.К., Подкопаев Ю.Л. Численное моделирование течений вязкой жидкости при наличии фазовых переходов. - В кн.: Шестой Всесоюзнай съезд по теоретической и прикладной механике. Аннотации докладов. Ташкент, 1986, с. 139.

37. Жеребятьев И.Ф. Математическое моделирование процессов теп-

• ло- и массопереноса при взаимодействии концентрированных потоков анергии с материалами. - Казах.ун-т, Алма-Ата, 1937.

- 21 с. - Деп. в КазНШНТИ 29.09.87, № 1641.

38. Жеребятьев И.Ф. Численное решение задач типа Стефана. -Алма-Ата:КазГУ, 1987. - 37 с. (учебно-методическое пособие).

39. Жеребятьев И.Ф., Лукьянов А.Т., Плашевский А.Ю. Об одном аналитическом решении задачи диффузионной пассивации. -Журнал химической технологии, IS88, № 2, с. 163-167.

40. Жеребятьев И.Ф., Кенжетаев К.К. Комплекс прикладных программ для решения нестационарных задач теплопроводности и ди|фузии

- В кн.: Математическое моделирование нестационарных процессов. - Алма-Ата: КазГУ, 1988, с. 74-80.

41. Будникова Т.Ф., Жеребятьев И.Ф., Подкопаев Ю.Л. Математическое моделирование тепло- и массообмена в средах с изменяющимся фазовым состоянием. - В кн.: Тепломоссообмен - heat/mass

transfer - mif . Избранные доклады, сек. 8; 9, Минск, ИТМО АН БССР, 1969. - с. I00-II3.