автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Кинетическое моделирование динамики фазовых переходов в твердом теле

На правах рукописи

ИВАНОВ Антон Валерьевич

КИНЕТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ ФАЗОВЫХ ПЕРЕХОДОВ В ТВЕРДОМ ТЕЛЕ

Специальность 05 13 18 Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ (в отраслях физико-математических наук)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

□ОЗ163040

Москва 2007

003163040

Работа выполнена в Институте Прикладной Математики им М В Келдыша РАН (ИПМ им М В Келдыша РАН)

Научные руководители

доктор физико-математических наук, профессор |Ю Л Климонтович

Научный консультант

Официальные оппоненты

Ведущая организация

кандидат физико-математических наук, В Д Левченко

кандидат физико-математических наук, Г И Змиевская

доктор физико-математических наук, профессор, зав кафедрой Б В Алексеев доктор физико-математических наук, профессор А В Дмитриев

Московский государственный институт радиотехники, электроники и автоматики (государственный университет)

Защита диссертации состоится « » 2007 г в _часов

на заседании диссертационного совета Д 002.024.02 в ИПМ им М В Келдыша РАН

по адресу г Москва, 125047, Миусская площадь, д 4

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИПМ им М В Келдыша РАН

Автореферат разослан О > 2007 г

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук

О В Щерица

Общая характеристика работы Актуальность темы

Для численного моделирования конденсированных сред в настоящее время широко используются методы молекулярной динамики Их преимуществом является базирование на так называемых «первых принципах», когда задавая явно потенциалы межчастичного взаимодействия, можно изучать динамику различных процессов, получать уравнения состояния. Основной проблемой молекулярной динамики, ограничивающей ее применение для решения практических задач, является высокая вычислительная сложность вообще говоря, необходимо решать систему из порядка 1023 уравнений движения, тогда как существующие вычислительные мощности позволяют решать систему из лишь порядка Ю7"10 уравнений Проведение расчетов в некоторой ограниченной области с периодическими граничными условиями навязывает системе «сверхдальний порядок» и может приводить к возникновению различных побочных эффектов

Для решения практических задач применяются, как правило, методы сплошной среды, адекватно описывающие самые разные физичские процессы Но серьезной проблемой является необходимость привлечения предположения о локальном термодинамическом равновесии, возникающего из-за использования уравнений состояния, которые могут быть получены экспериментально или численно А между тем, в конденсированных средах существует большое количество различных фазовых переходов, для адекватного описания динамики которых необходимо учитывать нарушение термодинамического равновесия

Молекулярная динамика оперирует с избыточным объемом информации (координаты и импульс каждой частицы), что и приводит в свою очередь к избыточной вычислительной сложности задачи Методы сплошной среды, напротив, используют минимум

информации (средние по физически бесконечно малому объему скорость, плотность и тд), что существенно уменьшает вычислительную сложность задачи, но позволяет описывать лишь процессы сохраняющие локальное термодинамическое равновесие

Для газов и плазмы переход от гамильтоновой системы к уравнениям сплошной среды возможен при помощи кинетической теории Кинетические уравнения, описывающие эволюцию функций распределения, могут быть получены из уравнений Гамильтона различными методами, например при помощи цепочки Боголюбова Функция распределения как раз является тем минимумом информации, который необходим для описания неравновесных процессов с приемлемой вычислительной сложностью Уравнения гидродинамики могут быть получены из кинетических уравнений методами Чепмена-Энскога или Боголюбова [1]

Для широкого круга физических проблем (фазовые переходы в магнетиках и сегнетоэлектриках, напыление тонких пленок, различные мартенситные переходы и т д) возникает необходимость решать эволюционную, динамическую неравновесную задачу, поскольку система имеет много различных равновесных и квазиравновесных решений, и без решения эволюционной задачи невозможно определить какое из них будет в итоге реализовано В этом случае методы молекулярной динамики часто не позволяют получить решение из-за черезмерной вычислительной сложности Представляется целесообразным использовать кинетические уравнения типа Фоккера-Планка, левая часть которых получена при помощи квазиклассического корреляционного метода несимметризованного самосогласованного поля (КНСП) [2] Фактически такой подход означает расщепление по физическим процессам Воздействие температуры рассматривается как воздействие окружающей среды на броуновские частицы Уравнения Фоккера-Планка являются традиционным инструментом для описания броуновского движения [3] Использование уравнений типа

Фоккера-Планка позволяет прозрачным образом, явно, задавать статистику описываемой системы (Больцмана, Бозе или Ферми) Кроме того для уравнений Фоккера-Планка хорошо разработаны численные методы решения [4]

Целью работы являются

1 Разработка численных кинетических моделей, описывающих при помощи уравнений Фоккера-Планка фазовые переходы в сегнетоэлектриках и магнетиках, процесс напыления тонких магнитных пленок

2 Разработка численных методов для решения используемых в моделях уравнений Фоккера-Планка и их реализация в виде соответствующих программ

3 Кинетическое моделирование фазовых переходов в сегнетоэлектриках и магнетиках

4 Кинетическое моделирование процесса напыления тонких магнитных пленок с учетом поступательного движения и эволюции магнитных моментов частиц

Научная новизна

Впервые построена кинетическая модель магнетиков на базе системы уравнений Фоккера-Планка, полученных при помощи КНСП, описывающих эволюцию функций распределения по магнитным моментам отдельных атомов

Впервые построена кинетическая модель процесса напыления тонких магнитных пленок на базе системы уравнений Фоккера-Планка, описывающих эволюции функций распределения отдельных частиц по по пространству, импульсу и магнитному моменту

Показано, что для сегнетоэлектриков и магнетиков в случае термодинамического равновесия от построенной модели возможен переход к теории фазовых переходов второго рода Ландау

Использованные в модели кинетические уравнения впервые решены численно методом стохастического аналога

Для управления численными расчетами создан оригинальный пакет ЯАСБ (система контроля результатов и алгоритмов)

Численно обнаружена существенная зависимость эффективности напыления тонкой магнитной пленки от величины обменного интеграла

Практическая ценность

Разработанные модели могут быть использованы для изучения различных неравновесных процессов в твердом теле, для описания которых необходимо учитывать действие шума (температуры) В частности, результаты, получаемые из моделирования кинетических уравнений могут служить основой для получения эффективных уравнений состояния, необходимых в моделях сплошной среды

Численное решение предлагаемых уравнений типа Фоккера-Планка может быть использовано для изучения различных ре-зонансов (стохастического, шумового, силового), в том числе в магнетиках В настоящее время на основе этих эффектов ведется разработка новых типов детекторов

Кинетическое моделирование напыления тонких магнитных пленок может использоваться для оптимизации параметров технологического процесса

Апробация работы

Результаты, представленные в диссертации, докладывались и обсуждались на Всероссийских и Международных научных кон-

ференциях XXIVth Inetrnational Conference of Phenomena in Ionized Gases «ICPIG-26» (Варшава, 1999), «Звенигородская конференция no физике плазмы и УТС» (Звенигород, 1999, 2006, 2007), «Уравнения состояния вещества» (пос Эльбрус, 2004, 2006), «Физика Экстремальных Состояний Вещества» (пос Эльбрус, 2005), 49-й научной конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук» (г Долгопрудный, 2006), «Математические модели нелинейных возбуждений, переноса, динамики, управления в конденсированных системах и других средах» (Тверь, 1998, Москва, 2000), 25-th International Symposium of Rarefied Gas Dynamics «RGD25» (Санкт-Петербург, Репино, 2006)

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, одного приложения, заключения и списка литературы Полный объем диссертации составляет 107 страниц Диссертация содержит 23 рисунка Список литературы включает 61 наименование

Содержание работы

Во введении содержится обзор проблемы, рассматриваемой в диссертации, анализ литературы, сформулированы цели диссертации и обоснована актуальность работы.

Первая глава содержит вывод уравнений типа Фоккера-План-ка при помощи квазиклассического корреляционного метода несим-метризованного самосогласованного поля, с традиционной для описания броуновского движения правой частью

Для сегнетоэлектрика с гамильтонианом

n 2 n i n n 2 N

г=1 г=1 г=1 з=1 V г=1

в пространственно-однородном случае получено уравнение Фок-кера-Планка, описывающее эволюцию функцию распределения ионов по смещению из положения равновесия и скорости

дЬ дх

1

т

аи

дх

д2а (ж) - дЕех1

д_1

дь

7

д_ ду

1 n n

«--ЕЕ

1=1

зФ*

о 2

N

(1)

г]

где т и ^ — масса и заряд иона, Е^ь ~ внешнее электрическое поле, х — смещение иона из положения равновесия, V — скорость иона, гу — вектор соединяющий центры ячеек кристаллической решетки, и = ах2/2 + Ьха/А — не зависящий от температуры Т ангармонический потенциал создаваемый ближайшими соседями, 7 — модельный параметр, эквивалентный коэффициенту трения для броуновской частицы Из уравнения Ландау-Лифшица

у = а[т(хН:»]-7 [т. х [т. х Н^] (2)

с помощью КНСП получена система уравнений Фоккера-Планка, описывающая эволюцию функций распределения отдельных атомов по магнитному моменту ш

дг

= 7 Ут^|т х [т х (н?* - ТУт)]] /,) (3)

Аналогичное уравнение было получено Брауном в 1963 г. из уравнений Гильберта со случайным ланжевеновским источником для системы монодоменных ферромагнитных микрочастиц [5]

Показано, что в случае термодинамического равновесия для сегнетоэлектриков и магнетиков возможен переход к теории фазовых переходов второго рода Ландау

Из уравнения Ландау-Лифшица для системы подвижных магнитных частиц с гамильтонианом

+ X] ^ан(Гг) + \¥еХсЬ + И^3 + + И/ех1;

г

получена система уравнений Фоккера-Планка, описывающая эволюцию функций распределения по импульсу, координате и магнитному моменту отдельных частиц:

^ + - V, (^ап + (Щ + т ■ Не<Г

дЬ

ггц

а

т х Н

¡«Л

)

Vm/¿ = 7pVp(ГVp/i + p/¿) +

+

т х

ш х

(1^-ТУт)] ]/*), (4)

где средний потенциал имееет вид

(щ = ¿2 [ - г0/)1)(г'' р'. < о <ы<1р'<ы.

3 п

Рассматривается система, состоящая из подложки, расположенной на 05 левой границе счетной области в точ- о

ке х = 0 и создающей потенциал ^ -0.5 иж.йи, и источника частиц расположен-

-1 5

ного на правой границе счетной обла- ' сти в точке х = Ь и имеющего вид 15{х — Ь)5{ь — г»о), где г>о — начальная скорость частиц. В качестве парно- Рис. 1. Зависимости II(г) го потенциала Щ межчастичного вза- и 0(г) имодействия используется потенциал

1 1.5 2 2.5 3

г/г о

Леннарда-Джонса. Зависимость обменного интеграла Я от расстояния выбирается в виде модельной функции

2(r) = J^exp(l-Ji

I' I \ ' nun

Щ6 fmm = здесь го — параметр потенциала Леннарда-

Джонса

При необходимости от (4), усредняя по нескольким периодам колебаний, можно перейти к системе уравнений не содержащих импульса

9}г ,

dt

:ffl

vm/8 =

ш х

mx Н

(]

eff

TV,

+

юхН

+ 7rVr (тУг/, - V, + т + Ш • Н65) /,) (5)

Вторая глава содержит описание численных методов моделирования используемых уравнений типа Фоккера-Планка

Численное решение уравнений типа Фоккера-Планка методом стохастического аналога проводится на массиве траекторий Уравнению Фоккера-Планка вида

df(X,t) dt

d2

дх,дх.

bi3(X,t)f(X.t)

1=1 1,0=1

сопостовляется уравнение стохастического аналога

•/¿О У<0

где Х(С) — марковский случайный процесс, с1\¥ — приращение винеровского процесса,

1 т d<т т

аг = Нг + ~ Ькг = Яг^кг^и,

1 °Хк г=1

<7 — интенсивность белого шума

Для сегнетоэлектриков, согласно методу расщепления по физическим процессам, на каждом шаге по времени /г. уравнение (1) заменяется последовательным решением системы

-Р(ж) = -ах -Ьх3 + а (х) + Е^и /х(х, V, г = £0) = /(х, V, Ь = ¿о),

df2(x, v) д

= 7^

(7)

dt 'dv

/2(х, u, t = t0) = /i(x, и, t = t0 + h), /(ж, г», i = i0 + h) = f2(x, v, t = ¿о + Л).

Для (6) записываются характеристики, являющиеся уравнениями движения

dx dv ч

которые численно решаются по центрированной явной схеме с перешагиванием второго порядка точности.

Vn-1/2 = «п-1 - 7jF(xn-i)

хп = + (8)

/г .

Vn = Vn—\j2 - -F(xn)

Для (7) по методу стохастического аналога строится соответствующая система стохастических дифференциальных уравнений

^ == -т« +

(где £(£) — источник нормально распределенного шума единичной интенсивности) которая затем решается численно методом

Артемьева

Здесь {£п} — последовательность нормально распределенных независимых случайных чисел с нулевым математическим ожиданием, = у/—2 log п cos(27г/?2п+1) {ßk} — последовательность случайных чисел, равномерно распределенных в интервале [0,1])

На основе массива траекторий для каждого момента времени восстанавливается функция распределения

Рассмотрим численную схему для траектории I уравнения г = s, индекс г далее опускаем) из системы (3). Каждая траектория хранится между n-ным и п + 1-ым шагами в декартовых координатах sn = sXni;r + syniy+szniz В сферических координатах tpn,0n с осью z'||hn уравнения для эволюции s (без диффузии) на шаге по времени h расщепляются по углам и могут быть решены аналитически независимо-

Введем матрицу вращения Е1(о, 5) вокруг произвольного единичного вектора о на произвольный угол 5 по правилу правого винта

Случайный момент сил, действующий на в в течении временного шага, можно задать как вращение на случайный угол £п с гауссовым распределением и интенсивностью л/ШгуТ вокруг вектора о ± 8П повернутого вокруг зп на случайный угол с равномерным

дер _ —eff.

(9) (10) (И) (12)

вп+х = 2 arctg (tg| exp(-7|Hf|

распределением на интервале [0,27т]

S; = H (~(sn, 2тг/ЗзО • Tv^——2y/fñT£n) sn (13) \ I1«х j

где in — орт соответствующий минимальной компоненте вектора

—eff —eff

Введем вектор hn = Hw/|Hm| Тогда развороты, вызванные прецессией и диссипацией

s" = S(h„, -a|ïïf |/i) ■ s'„

sn+i = H 2axctg (tg| exP(-7|irnV)) - 6>n) ■ <

(14)

6n — arccos h„ s"

Средний магнитный момент, необходимый для расчета эффективного поля соседей

= Y Е4 (15)

s l=i

где Na — размер массива траекторий

Уравнения Фоккера-Планка (4) решаются в одномерном по простанству и скорости и трехмерном по направлениям магнитного момента случае, на ансамбле траекторий, методом стохастического аналога с использованием расщепления по физическим процессам и метода, аналогичного PIC (particle m cell) Для левой, консервативной части уравнения решаются на шаге аналитически в каждой ячейке сетки Для правой, стохастической части, используется схема Эйлера или Артемьева

В начале шага п на основе массива характеристик на сетке по х вычисляются функции распределения /"(ж) = f /"(ж, v, s)dvds и намагниченность (s") (ж) = / s/"(ж, v, s)dvds На их основе вычисляются потенциалы UWà\\(x) + {£/") (х) и эффективные поля

_gfjn

H г (а;), а затем силы и покомпонентные градиенты эффективных полей Общая схема может быть представлена в следующем виде.

{хг, vt, sjn f(x), (s)(z)

->Uwall(x) + (U) (х), Ж*(х) ->

->F(x), ^HeS(x)-^{xuvl,sl}n+1

Для поступательной части (4) траектория описывается стохастическим дифференциальным уравнением

§Н (16)

^ = ^ + (U) (х) + s • БГ%)] - + yffijrm

Аналогично, для (5)'

Uva(x) + (U){x) + e НеЯ(х) +Л/27гШ)- (17)

дх _ д

=

Третья глава содержит результаты расчетов Для проверки работоспособности разработанных моделей проведено сравнение результатов расчетов в квазиравновесных постановках с известными аналитическими решениями Получено хорошее совпадение для спонтанной поляризации и адиабатического охлаждения внешним полем для сегнетоэлектриков и магнетиков

В неравновесном случае, при конечной немалой скорости изменения температуры, обнаружен эффект динамического температурного гистирезиса для сегнетоэлектриков и магнетиков Для пространственно-однородного ферромагнетика в случае восьми ближайших соседей поле обменного взаимодействия можно счи-

—ехсЬ

тать как Н = 8J, интеграл обменного взаимодействия 3 — = 3/8, при этом критическая температура Тс = 1 В окрестностях критической температуры Тс времена релаксации очень велики,

т т

а) б)

Рис. 2. Результаты моделирования уравнения (3) — зависимость модуля первого | (т) | (а) и второго центрированного (га2) — (т)2 (б) моментов функции распределения /(т) от температуры Т для разных значений скорости изменения температуры йТ/сЫ. Толстой линией показано решение для равновесного случая на основе теории молекулярного поля Вейсса

система «замораживается», то есть функция распределения изменяется очень медленно и не успевает реагировать на изменения температуры. В результате, в окрестностях Тс, при увеличении температуры первый момент оказывается больше своего равновесного значения, а при уменьшении — меньше (рис. 2). При 6Т/<И —» 0 эффект исчезает.

Для магнетиков изучены времена релаксации в зависимости от параметров модели.

Исследован процесс перемагничивания ансамбля невзаимодействующих частиц, проведено сравнение с аналитическим решением уравнения Ландау-Лифшица. Показано, что в случае начальных условий соответствующих неустойчивому равновесию (ан-

типараллельное расположение магнитных моментов и внешнего поля) температура (шум) играет большую роль в процессе пере-магничивания В случае неравновесных начальных условий при малых температурах численное решение уравнения (3) близко к аналитическому решению Ландау-Лифшица

Промоделировано движение доменной границы в ферромагнитной пленке

Приведены результаты для расчета процесса напыления тонкой магнитной пленки

Приложение посвящено описанию пакета РАСБ

На защиту выносятся следующие положения

1 С использованием квазиклассического корреляционного метода несимметризованного самосогласованного поля на основе кинетических уравнений типа Фоккера-Планка построены математические модели, описывающие фазовые переходы в сегнетоэлектриках и магнетиках а так же процесс напыления тонких магнитных пленок Показано, что теория фазовых переходов второго рода Ландау для сегнетоэлектриков и магнетиков может быть получена из уравнений Фоккера-Планка в случае термодинамического равновесия

2 Для полученных систем уравнений разработаны численные схемы и алгоритмы, основанные на методах стохастического аналога и расщепления по физическим процессам, адаптированных к специфике задачи. Для численного моделирования пленок дополнительно использован метод аналогичный методу PIC (частица в ячейке) Численные схемы реализованы в виде высокопроизводительного программного комплекса на

языках С++ и Python Для управления расчетами и анализа результатов разработан оригинальный пакет RACS (система контроля результатов и алгоритмов)

3. Показана, адекватность построенных моделей В квазистационарных случаях результаты расчетов совпадают с известными аналитическими решениями В сильно неравновесных случаях изменяются времена релаксации, появляются динамический температурный гистерезис и новые механизмы пе-ремагничивания Обнаружена существенная зависимость эффективности напыления от величины обменного интеграла при моделировании процесса напыления тонких магнитных пленок

Цитируемая литература

1 Уленбек Дж., Форд Дж Лекции по статистической механике — М Мир, 1965

2 Зубов В И Несимметризованные функции распределения и самосогласованная теория сильно ангармонических кристаллов// Вестник РУДН, серия Физика — 2003 — № 11 — С 119-141

3 Климонтович Ю.Л Статистическая теория открытых систем - М ТОО "Янус", 1995

4 Змиевская Г И Численные стохастические модели неравновесных процессов// Математическое моделирование, N11 — 1996 - Т 8, № 11 - С 3-40

5 Brown W.F Thermal fluctuation of a smgle-domain particle // Physical Review - 1963 - T 130, № 5 - С 1677

Публикации по теме диссертации

1 Иванов А.В Кинетическое моделирование динамики магнетиков // Математическое моделирование. — 2007 — Т 19, № 10 - С 89-104

2 Змиевская Г. И, Иванов А. В Численное моделирование фазовых переходов второго рода в твердом теле // Препринт Института Прикладной Математики им MB Келдыша, РАН - 1998 - № 76. - С 32.

3 Zmievskaya G.I., Ivanov A.V. Computer simulation of the second order phase transition m condeced matter // Препринт Института Прикладной Математики им. М В Келдыша, РАН - 1999 — Ш 78 - С 28

4 Zmievskaya GI, Ivanov А V Numerical simulation of the phase transition second order in condenced matter // Proc of XXIVth Int Conf on «Phenomena in Ionized Gases», Warsaw, Poland - 1999 - T IV. - С 59-60

5 Zmievskaya G.I, Ivanov A.V Second-order phase transition using stochastic simulation and surface microstructure formation // Proc of 22th Int Conf. on «Rarefied Gas Dynamics», Sydney — 2000

6 Иванов А.В., Левченко В Д. Применение пакета RACS для управления и анализа результатов параллельного кинетического моделирования взаимодействия мощного лазерного излучения с веществом // Труды международной конференции «Физика Экстремальных Состояний Вещества—2005», Росиия, пос Эльбрус - 2005 — С 28-29

7 Иванов А.В. Гибридное кинетическое моделирование динамики конденсированных сред// Труды международной конференции «Уравнения состояния вещества—2006», Россия, пос Эльбрус. - 2006. — С 58-60

8 Иванов А В Гибридное кинетическое моделирование дина-

мики магнетиков // Труды 49-й научной конференции МФТИ. - 2006 - С 254-256

9 Иванов А В, Д Т Хусейнов Кинетическое моделирование напыления тонких пленок // Труды 49-й научной конференции МФТИ - 2006 - С 251-253

10 Bondareva A.L , Zmievskaya GI, Ivanov A V. Plasma surface interaction thin film formation // Proc 25-th International Symposium of Rarefied Gas Dynamics «RGD25», Saint-Petersburg, Russia, July 21-28, 2006 — eds MS Ivanov and А К Rebrov - 2007 - Novosibirsk С 715-719

Подписано в печать 12 10 2007 г Исполнено 12 10 2007 г Печать трафаретная

Заказ № 901 Тираж 100 экз

Типография «11-й ФОРМАТ» ИНН 7726330900 115230, Москва, Варшавское ш, 36 (495) 975-78-56 www autoreferat ru

1. Введение

Глава 1. Кинетические уравнения в твердом теле

1.1. Пример вывода уравнения Фоккера-Планка для одноосного ионного сегнетоэлетрика

1.2. Уравнения Фоккера-П лапка для магнетиков.

1.3. Переход к феноменологической теории фазовых переходов второго рода Ландау

1.4. Модель тонкой магнитной пленки.

Глава 2. Численное моделирование уравнений Фоккера-План

2.1. Численная схема для одномерного по скорости и координате уравнения Фоккера-Планка

2.2. Моделирование уравнений Фоккера-Планка в пространстве направлений магнитного момента

2.3. Совместное моделирование магнитной и поступательной частей уравнения Фоккера-Планка в пространственно-неоднородном случае

Глава 3. Результаты расчетов

3.1. Тестирование модели на примере односного ионного сегнетоэлетрика

3.2. Сравнение кинетического описания и результатов решения уравнения Ландау-Лифшица.

3.3. Процесс напыления тонкой магнитной пленки

А.2. Формализм.94

А.З. Реализация.96

А.4. Утилиты командной строки .102

А.5. Полезные ссылки .107

1. Введение

Для численного моделировании конденсированных сред в настоящее время широко используются методы молекулярной динамики. Их преимуществом является базирование на так называемых «первых принципах», когда задавая явно потенциалы межчастичного взаимодействия, можно изучать динамику различных процессов, получать уравнения состояния. Основной проблемой молекулярной динамики, ограничивающей ее применение для решения практических задач, является высокая вычислительная сложность: вообще говоря, необходимо решать систему из порядка 1023 уравнений движения, тогда как существующие вычислительные мощности позволяют решать систему из лишь порядка Ю74"10 уравнений. Проведение расчетов в некоторой ограниченной области с периодическими граничными условиями навязывает системе «сверхдальний порядок» и может приводить к возникновению различных побочных эффектов.

Для решения практических задач применяются, как правило, методы сплошной среды, адекватно описывающие самые разные физические процессы. Но серьезной проблемой является необходимость привлечения предположения о локальном термодинамическом равновесии, возникающего из-за использования уравнений состояния, которые могут быть получены экспериментально или численно. А между тем, в конденсированных средах существует большое количество различных фазовых переходов, для адекватного описания динамики которых необходимо учитывать нарушение термодинамического равновесия.

Молекулярная динамика оперирует с избыточным объемом информации (координаты и импульс каждой частицы), что и приводит в свою очередь к избыточной вычислительной сложности задачи. Методы сплошной среды, напротив, используют минимум информации (средние по физически бесконечно малому объему скорость, плотность и т.д.), что существенно уменьшает вычислительную сложность задачи, но позволяет описывать лишь процессы сохраняющие локальное термодинамическое равновесие.

Для газов и плазмы переход от гамильтоновой системы к уравнениям сплошной среды возможен при помощи кинетической теории. Кинетические уравнения, описывающие эволюцию функций распределения, могут быть получены из уравнений Гамильтона различными методами, например при помощи цепочки Боголюбова. Функция распределения как раз является тем минимумом информации, который необходим для описания неравновесных процессов с приемлемой вычислительной сложностью. Уравнения гидродинамики могут быть получены из кинетических уравнений методами Чепмена-Энскога или Боголюбова [1].

Для широкого круга физических проблем (фазовые переходы в магнетиках и сегнетоэлектриках, напыление тонких пленок, различные мар-тенситные переходы и т.д.) возникает необходимость решать эволюционную, динамическую неравновесную задачу, поскольку система имеет много различных равновесных и квазиравновесных решений, и без решения эволюционной задачи невозможно определить какое из них будет в итоге реализовано. В этом случае методы молекулярной динамики часто не позволяют получить решение из-за черезмерной вычислительной сложности. Представляется целесообразным использовать кинетические уравнения типа Фоккера-Планка, левая часть которых получена при помощи квазиклассического корреляционного метода песимметризованного самосогласованного поля (КНСП) [2]. Фактически такой подход означает расщепление по физическим процессам. Воздействие температуры рассматривается как воздействие окружающей среды на броуновские частицы. Уравнения Фок-кера-Планка являются традиционным инструментом для описания броуновского движения [3]. Использование уравнений типа Фоккера-Планка позволяет прозрачным образом, явно, задавать статистику описываемой системы (Больцмана, Бозе или Ферми). Кроме того для уравнений Фоккера-Планка хорошо разработаны численные методы решения [4].

1.1. Состояние вопроса

Попытки применить кинетическую теорию для описания конденсированных сред предпринимались неоднократно, но не все из них были успешными. Так, использование уравнения Власова в статистической терии кристаллов [5, 6] приводит к серьезным противоречиям. Одновременное использование предположения мультипликативности и симметричности функции распределения означает, что каждый атом может с равной вероятностью находиться в любой ячейке кристаллической решетки, при этом существует значительная вероятность того, что несколько атомов могут находиться в одной ячейке. В результате, в частности переоценивается вклад отталкивания межатомных потенциалов во внутреннюю энергию кристалла, а при расхождении потенциала межатомного взаимодействия на малых расстояниях (как например для потенциала Леннарда-Джонса) возникает расходимость соответствующих интегралов.

Базарову [7] отчасти удалось преодолеть эти противоречия, введя обрезание одночастичной функции распределения на некотором расстоянии от узла кристаллической решетки, определяемом из вариационного принципа. Но основные проблемы остались, в частности атомы все равно могли «туннелировать» из ячейки в ячейку.

Первые успехи были достигнуты на основе идеи Терлецкого [8, 9], Стру-минского [10] и Кога [11] о необходимости использования несимметричной УУ-частичной функции распределения, что привело к созданию квазиклассического корреляционного метода нссимметризованного самосогласованного поля (КНСП). Получаемая в итоге система кинетических уравнений в некотором смысле эквивалентна исходной системе гамильтоновых уравнений движения частиц, но каждая частица описывается не координатой и импульсом а своей одночастичной функцией распределения по координате и импульсу. Такая система значительно более сложна, чем исходная система уравнений движения, но она может быть существенно упрощена различными методами. В частности при введении дальнего порядка для идеального кристалла система из N кинетических уравнений, описывающих эволюцию N одночастичных функций распределения, сводится к системе из К уравнений в периодических граничных условиях, где К — число частиц в элементарной кристаллической ячейке. Так же дальний порядок может вводится лишь по некоторым направлениям, что позволяет переходить к квазиодномерным и квазидвумерным моделям, описывающим, например, тонкие пленки.

Левая часть кинетических уравнений, получаемых из КНСП (фактически уравнений Власова), непосредственно следует из уравнения Лиувилля и является консервативной, для нее гамильтониан системы является иитегралом движения, то есть любая функция от гамильтониана является стационарным решением 1 [1] (стр. 17). В левую часть температура системы не входит. Одна из возможностей нахождения равновесного решения полученной системы — разложение потенциалов межчастичного взаимодействия в ряд Тэйлора в окрестностях минимума и использование равновесного распределения Больцмана, что позволяет в итоге перейти к системе алгебраических трансцендентных уравнений для моментов функций распределения, решаемых численно. Такой подход позволяет ввести в модель температуру и получить уравнения состояния для различных идеальных кристаллов [2].

В то же время решение нестационарных задач, за исключением самых тривиальных случаев может быть получено лишь численно. Для численного решения уравнений типа Фоккера-Плаика оптимальным представляется использование метода стохастического аналога [4, 12-15].

Сегнетоэлектрики в настоящее время изучены очень хорошо [16], и являются традиционным объектом для апробации различных моделей фазовых переходов второго рода. Многие модели сегнетоэлектриков использует явную феноменологическую зависимость потенциала от температуры Т типа / Т^с , оо и(х, Т) = а — + Ь—. v ' ' Тс 2 4

В частности, такой вид имеет термодипамичский потенциал Ф в феноменологической теории фазовых переходов второго рода Ландау [17]. Но больший интерес представляют модели построенные из «первых принципов», в которых фазовый переход возникает в результате совместного действия самосогласованных полей и шума (температуры).

При условии, что гамильтониан не зависит явно от времени, например за счет внешних периодических сил

В настоящее время в магнетиках [18-20] обнаружен ряд различных фазовых переходов, имеющих большое прикладное значение. Для их описания и анализа широко применяется численное моделирование. Обычно динамика магнетиков рассматривается на основе уравнений Ландау-Лифшица (или Гильберта) для магнитных моментов частиц системы [21, 22], стационарные состояния рассчитываются из различных энергетических соображений.

Система магнитных моментов как правило имеет несколько устойчивых состояний. Релаксация системы к тому или иному состоянию существенно зависит от неоднородностей (дефектов, границ образца), начальных условий, моделей релаксации и температуры (шума). В частности, именно шум приводит к спонтанному перемагничиванию (переходу между устойчивыми состояниями). Подавляющее большинство современных моделей магнетиков при описании динамики не учитывают воздействия шума (уравнение Ландау-Лифшица), либо не учитывают собственно динамику (процессы релаксации).

Описание динамики магнетиков па основе уравнений Ландау-Лифшица или Гильберта с учетом температуры при помощи источника Ланжевена уже проводилось в некоторых работах. В работе [23] шум вводится как дополнительное случайное слагаемое £(х,г) к эффективному полю Случайное поле задается в виде дельта-коррелированной случайной гауссовой величины с интенсивностью, определяемой из флуктуационно-диссипаци-онной теоремы.

В работе [24] аналогичное слагаемое добавлялось к эффективному полю лишь в диссипативный член уравнения Гильберта.

Однако, такой модельный, феноменологический подход представляется не очень корректным. Свойства шума могут существенно влиять на результаты расчетов. Для корректного определения свойств шума представляется целесообразным использовать кинетические уравнения и метод стохастического аналога [4, 15].

В данной работе предложена система уравнений типа Фоккера-План-ка для эволюции функций распределения по магнитному моменту частиц системы, что позволяет корректно учитывать действие температуры, вводить понятия ближнего и дальнего порядка (в том числе по избранным направлениям внутри идеальных областей). Описание на уровне функций распределения является промежуточным между молекулярно-динамиче-ским и термодинамическим подходами и оперирует с необходимым минимумом информации для моделирования сильно неравновесных процессов в неоднородных системах.

Аналогичное уравнение Фоккера-Планка описывающее распределение магнитных моментов в сферических координатах для ансамбля монодоменных невзаимодействующих микрочастиц ферромагнетика (так называемая суперпарамагнитная система) было выведено Брауном [25] на основе уравнений Гильберта и Ланжевена. В дальнейшем это уравнение упрощалось и сводилось к системе уравнений для моментов фунцкции распределения (сферических гармоник) [26-30], а затем в некоторых частных случаях решалось численно, но его применение не выходило за рамки анализа различных систем монодоменных микрочастиц.

Так в работе [31] рассматривалось уравнение Фоккера-Планка для динамики намагниченности однодоменной частицы в тепловом резервуаре с температурой Т, но при решении уравнение было существенно упрощено, сведено к системе уравнений моментов проекции намагниченности на направление задаваемое внешнем полем, которые были разложены в ряд Фурье и решены численно методом матричной прогонки. Полученное решение было рассмотрено лишь в общем виде с точки зрения возникновения шумового резонанса.

В работе [32] были доказаны теоремы о существовании и единственности обобщенного и и классического решений задачи Коши для системы кинетических уравнений среднего поля типа Власова-Пуассона, описывающей модель твердого магнетика. Но в исследованной системе отсутствовала диссипация и не учитывалось влияния шума (уравнения выводились для магнитных моментов, прецессирующих в среднем поле).

Напыление тонких магнитных пленок является актуальной задачей. Тонкие магнитные пленки широко используются в различных устройствах хранения и преобразования информации. В настоящее время на эту тему имеется большое количество экспериментальных (напр. [33, 34]) работ.

Для моделирования напыления тонких пленок традицонно используются два подхода. На микроскопическом уровне применяют методы молекулярной динамики [35-38], но моделирование систем подвижных магнитных частиц при помощи методов молекулярной динамики является в настоящее время скорее некоторой экзотикой.

На значительно больших пространственных масштабах используют различные кинетические уравнения описывающие эволюцию функции распределения размеров зародышей или слоев. Подробный обзор этого подхода содержиться в [39]. Кроме того, на эту тему существует большое количество работ Г.И. Змиевской с соавторами [14,40-43], а так же других авторов [44-47].

1.2. Целью работы являются

1. Разработка численных кинетических моделей, описывающих при помощи уравнений Фоккера-Планка фазовые переходы в сегнетоэлек-триках и магнетиках; процесс напыления тонких магнитных пленок.

2. Разработка численных методов для решения используемых в моделях уравнений Фоккера-Планка и их реализация в виде соответствующих программ.

3. Кинетическое моделирование фазовых переходов в сегнетоэлектри-ках и магнетиках.

4. Кинетическое моделирование процесса напыления тонких магнитных пленок с учетом поступательного движения и эволюции магнитных моментов частиц.

1.3. В работе решены следующие задачи

В рамках единого подхода (квазиклассического корреляционного метода несимметризованного самосогласованного поля) получены кинетические уравнения Фоккера-Планка, описывающие динамику сегнетоэлектриков, магнетиков и процесса напыления тонких магнитных пленок находящихся в термостате. Для описания отдельных частиц используются функции распределения по пространству, скорости, магнитному моменту, трактующиеся как результат усреднения по малым временам. Полученные системы уравнений легко упрощаются в случае предположения о дальнем порядке, позволяют эффективно описывать процессы с существенно различными характерными временами.

Показано, что феноменологическая теория фазовых переходов второго рода Ландау для сегнетоэлектриков и магнетиков может быть получена из предложенных уравнений Фоккера-Планка в случае термодинамического равновесия.

Предложенные системы уравнений решаются численно, на массиве траекторий, с использованием расщепления по физическим процессам и метода стохастического аналога. Для численного моделирования пленок так же использован метод, близкий к методу PIC (частица в ячейке). Численные схемы реализованы в виде высокопроизводительного кода на языках С++ и Python. Для управления расчетами разработан оригинальный пакет RACS (Results к Algorithms Control System — система контроля результатов и алгоритмов) , берущий на себя всю черную работу по реализации интерфейса, упорядоченного хранения и поиска результатов, хранения исходного кода алгоритмов, воспроизведения расчетов и т.д.

Уравнения Фоккера-Планка получены для пространственно-однородных одноосных ионных сегнетоэлектриков из уравнений движения ионов вдоль «легкой» оси. Численно решена 1D1V2 задача. Исследован эффект динамического температурного гистерезиса. Уравнения Фоккера-Планка обобщены на случай адиабатически изолированной системы, проведены

2В дальнейшем для обозначения размерности задачи будут исполыцоваться выражения вида /DmVnS, где I— размерность конфигурационного пространства, m — размерность пространства скоростей (импульсов), п — размерность пространства магнитного момента. расчеты по адибатическому охлаждению внешним полем.

Для магнетиков уравнения Фокксра-Планка получены из системы уравнений Ландау-Лифшица, описывающей динамику системы магнитных моментов атомов кристаллической решетки.3 Численно решена ЗБ задача. Результаты кинетического моделирования существенно отличаются от результатов для системы Ландау-Лифшица:

• изменяются времена релаксации;

• появляются новые механизмы перемагничивания;

• учет шума при решении динамической задачи приводит к появлению новых эффектов, таких как динамический температурный гистерезис.

Приведены результаты расчетов для перемагничивания ансамбля невзаимодействующих магнитных моментов, динамики возникновения спонтанной поляризации при фазовом переходе парамагнетик-ферромагнетик, движения доменной границы в ферромагнетике.

Для напыления тонких магнитных пленок использовалась модельная зависимость обменного интеграла от расстояния. Численно решены Ю1\/35 и ЮЗБ задачи. Исследована зависимость эффективности напыления пленки от величины обменного интеграла, температуры и других параметров.

Аналогичное уравнение Фоккера-Планка было выведено Брауном в 1963 г. из уравнения Гильберта при помощи метода Ланжевена [25], но только для ансамбля монодоменных ферромагнитных микрочастиц и использовалось различными исследователями только для изучения явлений суперпарамагнетизма.

1.4. Научная новизна

Впервые построена кинетическая модель магнетиков на базе системы уравнений Фоккера-Планка, полученных при помощи КНСП, описывающих эволюцию функций распределения по магнитным моментам отдельных атомов.

Впервые построена кинетическая модель процесса напыления тонких магнитных пленок на базе системы уравнений Фоккера-Планка, описывающих эволюции функций распределения отдельных частиц по пространству, импульсу и магнитному моменту.

Показано, что для сегнетоэлектриков и магнетиков в случае термодинамического равновесия от построенной модели возможен переход к теории фазовых переходов второго рода Ландау.

Использованные в модели кинетические уравнения впервые решены численно методом стохастического аналога.

Для управления численными расчетами создан оригинальный пакет РАСБ (система контроля результатов и алгоритмов).

Численно обнаружена существенная зависимость эффективности напыления тонкой магнитной пленки от величины обменного интеграла.

1.5. Практическая ценность

Разработанные модели могут быть использованы для изучения различных неравновесных процессов в твердом теле, для описания которых необходимо учитывать действие шума (температуры). В частности, результаты, получаемые из моделирования кинетических уравнений могут служить основой для получения эффективных уравнений состояния, необходимых в моделях сплошной среды.

Численное решение предлагаемых уравнений типа Фоккера-Планка может быть использовано для изучения различных резонансов (стохастического, шумового, силового), в том числе в магнетиках. В настоящее время на основе этих эффектов ведется разработка новых типов детекторов.

Кинетическое моделирование напыления тонких магнитных пленок может использоваться для оптимизации параметров технологического процесса.

1.6. На защиту выносятся следующие положения

1. С использованием квазиклассического корреляционного метода несим-метризованного самосогласованного поля на основе кинетических уравнений типа Фоккера-Планка построены математические модели, описывающие фазовые переходы в сегнетоэлектриках и магнетиках а так же процесс напыления тонких магнитных пленок. Показано, что теория фазовых переходов второго рода Ландау для сегнетоэлектриков и магнетиков может быть получена из уравнений Фоккера-Планка в случае термодинамического равновесия.

2. Для полученных систем уравнений разработаны численные схемы и алгоритмы, основанные на методах стохастического аналога и расщепления по физическим процессам, адаптированных к специфике задачи. Для численного моделирования пленок дополнительно использован метод аналогичный методу PIC (частица в ячейке). Численные схемы реализованы в виде высокопроизводительного программного комплекса на языках С++ и Python. Для управления расчетами и анализа результатов разработан оригинальный пакет RACS (система контроля результатов и алгоритмов).

3. Показана адекватность построенных моделей. В квазистационарных случаях результаты расчетов совпадают с известными аналитическими решениями. В сильно неравновесных случаях изменяются времена релаксации, появляются динамический температурный гистерезис и новые механизмы перемагничивания. Обнаружена существенная зависимость эффективности напыления от величины обменного интеграла при моделировании процесса напыления тонких магнитных пленок.

1.7. Личный вклад автора

Уравнение Фоккера-Планка для сегнетоэлектриков было получено Ю.Л. Климонтовичем [3], но автор использовал несколько иное уравнение полученное из других соображений.

Численная схема для уравнения Фоккера-Планка описывающего сегне-тоэлектрики была разработана совместно с Г.И. Змиевской.

Остальные результаты работы получены самостоятельно.

1.8. Достоверность и обоснованность научных результатов

Уравнения Фоккера-Планка получены из теоремы Лиувилля с использованием цепочки Боголюбова. Использовано приближение мультипликативности, традиционное для твердого тела. Добавленная феноменологически правая часть (фоккер-планковский «интеграл столкновений») необходима для обеспечения релаксации системы к равновесному решению Больц-мана.

Корректность полученных уравнений подтверждается для сегнетоэлек-триков и магнетиков возможностью перехода в равновесном случае к теории фазовых переходов второго рода Ландау.

Достоверность и обоснованность результатов численного моделирования достигается использованием метода расщепления по физическим процессам, метода стохастического аналога, схемы Рунге-Кутта и метода, аналогичного PIC (частица в ячейке), а так же многочисленными тестами и сравнениями с известными аналитическими решениями для различных частных случаев.

1.9. Апробация работы

Результаты, представленные в диссертации, докладывались и обсуждались на Всероссийских и Международных научных конференциях: XXIVth Inetrnational Conference of Phenomena in Ionized Gases «ICPIG-26» (Варшава, 1999), «Звенигородская конференция по физике плазмы и УТС» (Звенигород, 1999, 2006, 2007), «Уравнения состояния вещества» (пос. Эльбрус, 2004, 2006), «Физика Экстремальных Состояний Вещества» (пос.Эльбрус, 2005), «Математические модели нелинейных возбуждений, переноса, динамики, управления в конденсированных системах и других средах» (Тверь, 1998; Москва, 2000), 25-th International Symposium of Rarefied Gas Dynamics «RGD25» (Санкт-Петербург, Репино, 2006). На 49-й научной конференции

МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук» (г.Долгопрудный, 2006).

1.10. Публикации

Результаты, представленные в диссертации, опубликованы в работах: [48-57].

Заключение

В данной работе в рамках единого подхода (квазиклассического корреляционного метода несимметризованного самосогласованного поля) получены кинетические уравнения Фоккера-Планка, описывающие динамику сегнетоэлектриков, магнетиков и процесса напыления тонких магнитных пленок находящихся в термостате. Для описания отдельных частиц используются функции распределения по пространству, скорости, магнитному моменту, трактующиеся как результат усреднения по малым временам. Полученные системы уравнений легко упрощаются в случае предположения о дальнем порядке, позволяют эффективно описывать процессы с существенно различными характерными временами.

Предложенные системы уравнений решаются численно, на массиве траекторий, с использованием расщепления по физическим процессам и метода стохастического аналога. Для численного моделирования пленок так же использован метод, близкий к методу PIC (частица в ячейке). Численные схемы реализованы в виде высокнроизводительного кода на языках С++ и Python с использованием пакета RACS.

Показано, что феноменологическая теория фазовых переходов второго рода Ландау для сегнетоэлектриков и магнетиков может быть получена из предложенных уравнений Фоккера-Планка в случае термодинамического равновесия.

Проведено тестирование предложенных моделей для постановок имеющих аналитическое решение, проведено сравнение результатов традиционных подходов и кинетического моделирования.

Предлагемый подход можеть быть обобщен на случай систем со статистиками Феми и Бозе, что открывает возможность моделирования динамики различных квантовых эффектов с минимальными вычислительными затратами.

Хочется выразить глубокую благодарность Г.И. Змиевской за ценные замечания, многочисленные консультации и активное обсуждение различных аспектов данной работы на всем ее протяжении.

1. Улепбек Дэю., Форд Дж. Лекции по статистической механике. — М.: Мир, 1965.

2. Зубов В.И. Несимметризованные функции распределения и самосогласованная теория сильно ангармонических кристаллов // Вестник РУДН, серия Физика. 2003. - № И. - С. 119-141.

3. Климонтович Ю.Л. Статистическая теория открытых систем. — М.: ТОО "Янус", 1995.

4. Змиевская Г. И. Численные стохастические модели неравновесных процессов // Математическое моделирование. — 1996. — Т. 8, № И. — С. 3-40.

5. Власов A.A.// Изв. АН СССР, сер.физ. 1944. - Т. 8. - С. 248.

6. Власов A.A. Теория многих частиц. М.: ГИТТЛ, 1950.

7. Базаров И.П. Статистическая теория кристаллического состояния. — М,: издательство МГУ, 1972.

8. Zubov V.l., Terlctsky У.Р.Ц Ann.Phys. 1970. - Т. 24. - С. 97.

9. Терлецкий Я.П., Зубов В.И. // Вестн. Моск. ун-та, физ., астрон. — 1968. № 5. - С. 53.

10. Струминский В.В.Ц ДАН СССР. 1966. - Т. 171. - С. 541.

11. И. Кога Т. Введение в кинетическую теорию стохастических процессов в газах. — М.: Наука, 1983.

12. Artemiev S.S., Averina Т. A. Numerical analysis of system of ordinary and stochastic differential equations. — The Netherlands: Utrecht, 1997.

13. Zmievskaya G.I. Numerical stoshastic models of non-equilibrium processes // Mat. modelirovanie. 1996. - T. 8, № 11. - C. 3-40.

14. Zmievskaya G.I. Stoshastic analogs of nonequilibrium collisional processes // Plasma Physics. 1997. - T. 23, № 4. - C. 45-60.

15. Змиевская Г.И. Стохастические аналоги неравновесных столкнови-тельных процессов// Физика плазмы. — 1997. — Т. 23, К0- 4. — С. 45-60.

16. Струков Б.А., Леваток А.П. Физические основы сегнетоэлектриче-ских явлений в кристаллах. — М.: Наука, 1995.

17. Паташинский А.З., Покровский B.JI. Флуктуационная теория фазовых переходов. — М.: Наука, 1975.

18. Воисовский С.В. Магнетизм. — М.: Наука, 1971.

19. Вонсовский С.В. Магнетизм микрочастиц. — М.: Наука, 1973.

20. Вонсовский С.В., Шур Я.С. Ферромагнетизм. М.: ОГИЗ, 1948.

21. Ахиезер А.И., Баръяхтар В.Г., Пелетминский С.В. Спиновые волны. М.: Наука, 1967.

22. Львов B.C. Нелинейные спиновые волны. — М.: Наука, 1987.

23. Каретникова Н.В., Нефедов И.М., Сапооюков М.В., Фраерман А.А., Шерешевский И.А. Неоднородные состояния и механизм перемагни-чивания цепочки классических диполей // Физика твердого тела. — 2001. Т. 43, № И. - С. 2030.

24. Sun J.Z. Spin angular momentum transfer in current-perpendicular nanomagnetic junctions// IBM J. RES & DEV. 2006. - T. 50, № 1. -C. 81-100.

25. Brown W.F. Thermal fluctuation of a single-domain particle // Physical Review. 1963. - T. 130, № 5. - C. 1677.

26. Raikher Yu.L., Stepanov V.I. Stochastic resonance and phase shifts in superparamagnetic particles // Phys. Rev. B. — 1995. — T. 52, 5. — C. 3493.

27. Raikher Yu.L., Stepanov V.I. Linear and cubic dynamic susceptibilities of superparamagnetic fine particles // Phys. Rev. B. — 1997. — T. 55, № 22. C. 15005.

28. Калмыков Ю.П., Титов С.В. Комплексная магнитная восприимчивость одноосных суперпарамагнитных частиц в сильном постоянном магнитном поле // Физика твердого тела. — 1998. — Т. 40, № 9. — С. 1642-1649.

29. Калмыков Ю.П., Титов С. В. К расчету коэффициентов в моментной системе уравнений, описывающей кинетику намагниченности суперпарамагнитных частиц// Физика твердого тела. — 1999. — Т. 41, № 11. -С. 2020-2027.

30. Калмыков Ю.П., Титов C.B. Нелинейный отклик суперпарамагнитных частиц на мгновенное изменение сильного постоянного магнитного поля// Физика твердого тела. 2000. - Т. 42, № 5. - С. 893-898.

31. Райхер Ю.Л., Степанов В.И. Избирательное подавление старших гармоник намагниченности в суперпарамагнитной системе// Физика твердого тела. 2001. - Т. 43, № 2. - С. 270.

32. Сакбаев В.Ж. О задаче Коши для уравнения среднего поля, описывающего модель твердого магнетика // Математические заметки. — 2001. Т. 70, № 3. - С. 434.

33. Горбонадзе A.M., Топоров А.Ю., Никитин П.И. Особенности лазерного напыления аморфных магнитных пленок состава Со—Fe — В — Si в неоднородном магнитном поле // Квантовая Электроника. — 1998. — Т. 25, m 1. С. 82-84.

34. Алфимов М.В. Нанотехнологии. Роль компьюетрного моделирования. // Российские нанотехнологии. 2007. - Т. 2, № 7-8. — С. 1.

35. Головнев И.Ф., Басова Т.В., Кольцов Е.К., Игуменов И.К. Применение метода молекулярной динамики для исследования процессов ростамолекулярных пленок// Журнал структурной химии. — 2006. — Т. 47, № 3. С. 546.

36. Искандарова И.М., Книжник А.А., Белов И.В., Рыкова Е.А., Бага-турянц А.А., Уманский С.Я,, Потапкин Б.В., Stoker M.W. Моделирование роста пленки в процессе атомного осаждения слоев // Физико-химическая кинетика в газовой динамике. — 2006. — Т. 4.

37. Кривцов A.M., Морозов Н.Ф. О механических характеристиках нано-размерных объектов// Физика твердого тела. — 2002. — Т. 44, № 12. — С. 2158-2163.

38. Кукушкин С.А., Осипов В.А. Процессы конденсации тонких пленок // Успехи физических наук. 1998. - Т. 168, № 10. - С. 1083-1116.

39. Zmievskaya G.I., Bondareva A.L., Levchenko V.D., Levchenko T.V. A kinetic stochastic model of blistering and nanofilm islands deposition: self-organization problem // Journal of Physics D:Appl.Phys. — 2007. — T. 40. C. 4842-9.

40. Змиевская Г.И., Бондарева А.Л. Стохастическое моделирование флук-туационной стадии образования тонких пленок // Доклады Академии Наук. 2005. - Т. 401, № 4. - С. 471-5.

41. Змиевская Г.И., Пярнпуу А.А., Шематович В.И. Моделирование физико-химических процессов в смесях газов // ДАН СССР. — 1979. — Т. 247, № 3. С. 561-4.

42. Сигов Ю.С. Вычислительный эксперимент: мост между прошлым и будущим физики плазмы. Избранные труды. — Составители Змиев-ская Г.И., Левченко В. Д. — М.: Наука, 2001.

43. Дубровский В.Г., Сибирев Н.В., Цырлин Г.Э. Кинетическая модель роста нанометровых нитевидных кристаллов по механизму «пар—жидкость-кристалл» // Письма в ЖТФ. 2004. - Т. 30, № 16. - С. 41-50.

44. Дубровский В.Г., Сибирев Н.В., Цырлин Г.Э., Устинов В.М. Теория формирования многослойных пленок на поверхности твердого тела // Физика и техника полупроводников. — 2006. — Т. 40, № 3. — С. 257-263.

45. Дубровский В.Г., Цырлин Г.Э. Кинетика роста тонких пленок при зародышевом механизме формирования слоев // Физика и техника полупроводников. 2005. - Т. 39, № И. - С. 1312-1319.

46. Карпов С.Ю., Майоров М.А. Кинетическая модель роста GaAs( 100) из молекулярных пучков // Письма в ЖТФ. — 1997. — Т. 23, № 1. — С. 64-71.

47. Bondareva A.L., Zmievskaya G.I., Ivanov A.V. Plasma surface interaction: thin film formation // Proc. 25-th International Symposium of Rarefied Gas Dynamics «RGD25», Saint-Petersburg, Russia, July 21-28, 2006.- 2007.-C. 715-719.

48. Zmievskaya G.I., Ivanov A.V. Computer simulation of the second order phase transition in condeced matter// Препринт Института Прикладной Математики им. М.В.Келдыша, РАН. 1999. - № 78. - С. 28.

49. Zmievskaya G.I., Ivanov A. V. Numerical simulation of the phase transition second order in condenced matter // Proc. of XXIVth Int.Conf. on «Phenomena in Ionized Gases», Warsaw, Poland. — 1999. — Т. IV. — C. 59-60.

50. Zmievskaya G.I., Ivanov A.V. Second-order phase transition using stochastic simulation and surface inicrostructure formation// Proc. of 22th Int.Conf. on «Rarefied Gas Dynamics», Sydney. — 2000.

51. Змиевская Г.И., Иванов А.В. Численное моделирование фазовых переходов второго рода в твердом теле// Препринт Института Прикладной Математики им. М.В.Келдыша, РАН. 1998. - № 76. - С. 32.

52. Иванов А.В. Гибридное кинетическое моделирование динамики конденсированных сред // Труды международной конференции «Уравнения состояния вещества—2006», Россия, пос.Эльбрус. — 2006. — С. 58-60.

53. Иванов А.В. Гибридное кинетическое моделирование динамики магнетиков // Труды 49-й научной конференции МФТИ. — 2006. — С. 254-256.

54. Иванов А.В. Кинетическое моделирование динамики магнетиков // Математическое моделирование. — 2007. — Т. 19, № 10. — С. 89-104.

55. Иванов А.В., Д. Т. Хусейнов. Кинетическое моделирование напыления тонких пленок// Труды 49-й научной конференции МФТИ. — 2006. — С. 251-253.

56. Боголюбов H.H. Проблемы динамической теории многих частиц в статистической физике. — М.: Гостехиздат, 1946.

57. Гуров Л.П. Основания кинетической теории. — М.: Наука, 1965.

58. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика. — М.: Наука, 1976.

59. Левин В.Г., Вдовии Ю.А., Мямлин В.А. Курс теоретической физики, Т.2. М.: Физматгиз, 1962.