автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Разработка термомеханической модели поведения металлов и сплавов при фазовом превращении

На правах рукописи

Родикова Ирина Сергеевна

РАЗРАБОТКА ТЕРМОМЕХАНИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ПОВЕДЕНИЯ МЕТАЛЛОВ И СПЛАВОВ ПРИ ФАЗОВОМ ПРЕВРАЩЕНИИ

05Л3.18 — Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2006

Работа выполнена в Московском государственном техническом университете

имени Н.Э. Баумана

Научный руководитель: д.т.н., проф. Кувыркин Г.Н.

Официальные оппоненты: д.ф.-мль, проф. Димитриенко Ю.И.,

к.ф.-м.н. Щерица О.В.

Ведущая организация: Институт проблем механики РАН

Защита состоится <о<2?> года в часов на заседании

диссертационного совета Д212Л41Л5 при Московском государственном техническом университете имени Н.Э. Баумана по адресу: 105005, г. Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5.

Отзыв на автореферат в двух экземплярах, заверенный печатью организации, просим высылать по адресу 105005, г. Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5., ученому секретарю совета Д212.141.15.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке Московского государственного технического университета имени Н.Э. Баумана.

Автореферат разослан

Ученый секретарь диссертационного совета д. ф.-м. н., проф. И.К. Волков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Известен широкий класс металлов и сплавов» которые в результате охлаждения переходят в новое фазовое состояние, характерной особенностью которого является линзообразная либо пластинчатая структура. Продукт превращения называют мартенситом. Мартенситное превращение происходит путем без-диффузиозной деформации сдвига при совместном движении атомов, т.е. движение происходит единым комплексом, благодаря чему происходит перестройка решетки исходной фазы в мартенситную.

Актуальность работы. К настоящему моменту времени известно огромное количество металлов и сплавов, подверженных мартенситному фазовому превращению. Это сплавы на основе TiNi, MnCu, CuZn, PtAl, CuAI, FeMn и другие. Они обладают рядом уникальных физико-механических свойств (эффект памяти формы, сверхупругость), благодаря которым они находят применение в различных отраслях промышленности (биомедицинская техника, космическая и ядерная промышленность, машиностроение и т.д.). В связи с этим возникает необходимость в математической модели для прогнозирования поведения таких металлов и сплавов, находящихся в переходном фазовом состоянии, при переменных термомеханических нагрузках. Известно большое число работ, посвященных разработке математической модели. В работах: Лихачева В.А., Кузьмина С.Л., Малинина В .Г., Абдрахманова С.А., Мовчана A.A. описывается фазовая деформацию материала, учитывающая эффекты пластичности превращения, памяти формы, сверхупругости. В работе Лурье С.А. рассмотрена термодинамическая модель поведения материала при фазовом превращении, в которой описывается диссипативная энергия тела, а также определяется зависимость объемной доли мартенсита от термонапряженного состояния. Однако в этих работах не учитывается кинетика фазового превращения, процессы аккумуляции теплоты и фазового превращения не разделены, а также термомеханические и фазовые свойства материала принимаются постоянными, либо определяются по правилу смеси, что вносит неточность в расчете напряженно-деформированного состояния конструкции из материала, находящегося в переходном фазовом состоянии. В связи с этим построение термомеханической модели поведения материала, находящегося в переходном фазовом состоянии, учитывающей все вышеперечисленные особенности, актуальна. Разработка подобной математической модели позволит более точно анализировать напряженно-деформированное состояние конструкции из материала, находящегося в переходном фазовом состоянии, а значит более эффективно использовать подобные материалы в устройствах и механизмах сложного функционального назначения.

Цель работы состоит в разработке математической модели поведения металлов и сплавов, находящихся в переходном фазовом состоянии (мартенсит-

аустеиит), под действием переменных термомеханических нагрузок и численном анализе протекающих в этом случае процессов.

Поставленная цель достигается на основе решения следующих задач:

• разработка термомеханической модели доведения металлов и сплавов при фазовом превращении;

• разработка соотношений, описывающих кинетику фазового превращения в металлах и сплавах;

• разработка схемы определения диапазона изменения термоупругих и фазовых свойств материала при фазовом превращении;

• построение схемы численного определения времени релаксации г;

• разработка и анализ численной модели процесса нестационарной теплопроводности и изменения напряженно-деформированного состояния цилиндрического тела при фазовом превращении.

Методы исследования. В теоретических исследованиях применялись фундаментальные положения термодинамики необратимых процессов для сплошной среды с внутренним параметром состояния, а также вариационные принципы и методы теории упругости микронеоднородных сред. В разделе численного моделирования использовались итерационные разностные методы для решения нелинейной системы дифференциальных уравнений с заданными краевыми условиями.

Достоверность результатов основана на корректном использовании методов механики деформируемого твердого тела, термодинамики необратимых процессов, вариационных принципов, строгости применяемых математических методов. Сформулированные в работе допущения обоснованы путем их содержательного анализа и методами применяемого математического аппарата. Достоверность подтверждается соответствием результатов численных расчетов фазовой диаграммы с экспериментальными данными других авторов.

Научная новизна. В рамках термодинамики необратимых процессов для сплошной среды с внутренним параметром состояния и кинетических представлений о природе фазового превращения разработана термомеханическая модель поведения металлов и сплавов, в которой процессы аккумуляции теплоты и фазового превращения независимы. На основе этой модели проведено исследование влияния характера изменения внутреннего параметра состояния на изменение температуры термически тонкого тела.

На основе двойственной вариационной формулировки задачи предложен метод оценки термомеханических и фазовых свойств материала при фазовом превращении.

В рамках разработанных термомеханической модели и оценок термомеханических и фазовых свойств материала проведен численный анализ задачи определения температурного поля и напряженно-деформированного состояния бесконечного цилиндра при его нестационарном нагреве. Разработан алгоритм численного расчета напряженно-деформированного состояния тела при фазо-

вом превращении с учетом зависимости температур начала-окончания фазового превращения от напряженного состояния тела. Исследовано влияние метода расчета термоупругих и фазовых свойств материала (свойств, проявляющихся только в процессе фазового превращения) на результаты численного моделирования термонапряженного и фазового состояния цилиндра.

Практическая ценность. Разработанная термомеханическая модель, учитывающая кинетический характер фазового превращения и зависимость свойств материала от его фазового состояния, позволяет описывать этот процесс при переменных температурных и силовых нагрузках во времени. Предлагаемая модель может быть использована в расчете конструкций и узлов исполнительных механизмов, работающих в условиях переменного термонапряженного состояния.

На защиту выносятся следующие положения.

• Термомеханическая модель поведения металлов и сплавов при фазовом превращении под действием переменных термомеханических нагрузок.

• Метод расчета температур начала-окончания фазового превращения материала, находящегося в условиях сложного напряженно-деформированного состояния.

• Анализ влияния характера изменения внутреннего параметра состояния на изменение температуры для термически тонкого тела.

• Метод расчета диапазона изменения термомеханических и фазовых свойств материала при фазовом превращении.

• Метод численного расчета времени релаксации в кинетических уравнениях определения объемной доли мартенсита в материале.

• Алгоритм численного исследования термонапряженного и фазового состояния цилиндрического тела с учетом зависимостей термомеханических и фазовых свойств материала от его фазового состояния и температур начала-окончания фазового превращения от напряженного состояния тела.

Апробации работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на XII Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (ВМСППС 2003) 30 июня 5 июля 2003 г. Владимир; Международном симпозиуме «Образование через науку» 17 - 19 мая 2005 г. Москва; Международной научной конференции «Ракетно-космическая техника. Фундаментальные и прикладные проблемы механики» 4 — 6 мая 2006 г. Москва. Работа выполнена при поддержке программы «Университеты России» (проект УР 03.01.139) и РФФИ (проект № 05-01-00596)

Публикации. Основное содержание работы изложено в трех статьях [2, 4, 5] и трех тезисах докладов на конференциях [1, 3, 6].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, выводов, заключения, списка использованной литературы, содержащего

56 наименований, и списка основных обозначений и сокращений, используемых в тексте.

Общий объем диссертации 149 машинописные страницы, включая 52 рисунка, 2 таблицы,

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы, определены цели и методы исследования, научная новизна и практическая ценность полученных результатов, сформулированы основные положения, выносимые на защиту, структура и объем диссертационной работы.

В первой главе даны краткий анализ литературы об особенностях физико-механического поведения материалов при фазовом превращении, общие сведения и понятия для материалов с мартенситным механизмом неупругости. Дано краткое описание основных эффектов, проявляющихся в этих материалах, а также . существующих математических моделей процессов фазовых превращений.

Во второй главе приведен вывод основных соотношений термомеханической модели поведения металлов и сплавов при фазовом превращении. Проведен анализ численного моделирования кинетики фазовых превращений для термически тонкого тела.

При построении термомеханической модели поведения сплавов при фазовых превращениях использованы соотношения рациональной термодинамики необратимых процессов для сплошной среды с внутренними параметрами состояния. В качестве единственного внутреннего параметра состояния принята объемная доля % е [0,1] мартенсита в сплаве.

Полагается, что состояние рассматриваемой сплошной среды в окрестности любой материальной точки определяется массовыми плотностями свободной энергии ^ и энтропии Л, тензором напряжений с компонентами сгу

(/, у =1,з) и вектором плотности теплового потока с компонентами д,-, Аргументами этих функций являются: тензор малой деформации с компонентами еу, абсолютная температура Г, градиент абсолютной

температуры с компонентами &( и внутренний параметр состояния х •

Из закона сохранения энергии

рй^о^-Ъц^дх^рг, (1)

(где р - плотность, которая полагается неизменной в процессе фазовых превращений, и - массовая плотность внутренней энергии, г — массовая плотность мощности источников энерговыделения) и второго закона термодинамики (неравенства Клаузиуса-Дюгема) рк + <5(<?/ /Т)/дх1 ~ рг!Т > О для простого термомеханического процесса с учетом преобразования Лежандра и = Р + 7Ъ получены следующие соотношения

от,- = рдг/деу, а = -^/дг, др/ец = о (2)

Второй закон термодинамики принимает вид 6jy - (dT/dx^j fT > 0, где dp = —рх SF/dx - функция диссипации энергии.

Полагая малыми не только полную деформацию» но и температурную»

определенную тензором с компонентами е^ = и фазовую с

компонентами е^ в линейном приближении е^ =а^АТ,

= a\j^x» гДе — изменение значения абсолютной температуры, компоненты тензора коэффициентов температурного линейного расширения, - компоненты тензора коэффициентов фазовой деформации. Тогда объемная плотность свободной энергии представляется в виде:

pF - СуН - 4Г) - Wh - 4} - ¥)!г + РВ(Т- х)~

(3)

где Сщ — компоненты тензора модулей упругости, Б(Т,х) ~ часть свободной

энергии единицы массы тела, зависящая от абсолютной температуры и внутреннего параметра состояния, причем в{т$ 50) = 0 (7q — начальное значение абсолютной температуры). Закон сохранения энергии (1) с учетом равенств (2), (3) и зависимости компонентов вектора плотности теплового потока от градиента температуры (закон Фурье) переходит в уравнение теплопроводности вида

pcst - pmsx + TCmekl де\р/дТ = дТ/дх^)^ + pr + SD, (5) где л|р (Г, х) ~ компоненты симметричного тензора теплопроводности, с€ — -Тд В!дТ — удельная массовая теплоемкость при постоянной

•у

деформации, т£

— удельная массовая конфигурационная теплоемкость при постоянной деформации (количество энергии, затрачиваемой на фазовое превращение единицы массы).

Далее были рассмотрены две формы записи кинетического уравнения для определения внутреннего параметра состояния тх — х ~ Х> и rX ~ х(х ~ х)> где J", х ~ время релаксации и равновесное значение внутреннего параметра состояния. В первом приближении полагается х — Xf - const - объемная доля

мартенсита в сплаве к моменту окончания фазового превращения при Т = Af [х/ =0.0l), при Т -Мf {хf =0.99), где MSjf - температуры начала и

окончания прямого фазового превращения, As j- — температуры начала и

окончания обратного фазового превращения. Более сложное выражение для %

можно получить, если положить зависимость равновесного значения внутреннего параметра состояния от текущего значения температуры zfa,x2>x3,t) = (rfa,x2,x3,t)-Af)¡[As -Af).

Был проведен качественный анализ влияния характера изменения внутреннего параметра состояния на изменение температуры на примере термически тонкого тела {hl X «На у где h = V/St a=const - коэффициент теплоотдачи).

В том случае, если температура материала высока по сравнению с температурой Ms% то приложение напряжений также может вызвать мартенситное превращение. Получены зависимости температур начала и окончания фазового превращения материала находящегося в сложном напряженном состоянии, используя общие термодинамические закономерности:

M(A)lf = M{A)s f + к SijSij !<ju , (6)

где M{A)lf - температуры начала-окончания прямого (обратного) фазового

превращения при действии напряжения, к - коэффициент, зависящий от вида материала, s¡j - компоненты девиатора тензора напряжений, аи -

интенсивность напряжений.

В третьей главе предложена схема оценки термомеханических свойств и метод расчета фазовых свойств сплавов при фазовом превращении.

При фазовом превращении сплавы можно рассматривать как двух-компонентную смесь переменного состава. Экспериментальное определение термомеханических свойств при этом принципиально невозможно в силу кинетического характера фазового превращения. В этом случае актуальной становится проблема расчетно-теоретической оценки свойств сплавов при фазовом превращении. Методам оценки эффективных упругих свойств неоднородных материалов посвящены работы Шермергора Т.Д Победри Б.Е, Бахвалова Н.С., Панасенко Г.П., Димитриенко Ю.И. и др., однако в данном случае число подлежащих определению параметров модели превышает число обычно рассматриваемых. В отличие от теории упругости необходимо

дополнительно найти оценки температурных и фазовых свойств (т£, а^).

В соответствие исходной неоднородной среде поставлена однородная, описываемая определяющими соотношениями ац = Сще^ где сг^, s¡j —

средние значения компонентов тензоров напряжений и деформации в объеме представительного элемента, С^ц — эффективные компоненты тензора

модулей упругости. Для средних по объему характерного элемента гетерогенного материала, а также для средних по объемам включения и матрицы компонентов тензоров напряжений и деформации

а а а 12 12

<Tij =Cijkl Ski, <?¡j =Xl&v + Z2aü* s¡j =Xl£ij+ %2eij> (7) a

где « = 1,2; X\ - X\ X2 XI CyW - компоненты тензора модулей упругости

ce ce

включения (мартенсита) и матрицы (аустенита); a¡j, s¡j ~ средние значения

компонентов тензоров напряжений и деформации в объеме включения и матрицы. Было принято предположение, что компоненты гетерогенного двухкомпонентного материала и эквивалентного гомогенного изотропны. Выражение для потенциальной энергии деформации рассматриваемого объема материала, как следует из (7), имеет вид:

1 ifll 22^ И»] = Г \^ijdV = - Х\ ¡Су £ij dV + Х2 £v dV ¿y V V V

I /I 2 У2 1 + 2 Х1Х2 ^и~<?и уУ = и1[и]+и2[и]+ Щг[«1 (8)

где С/^« ], С/2И и ~ средние значения потенциальной энергии деформа-

ции компонентов материала и энергии их взаимодействия,

и12[й] = ^Ак \(Ку-К\К-Кк)еУг+\Аи ¡{»у

* у У

Ая =2щм2/{#1Х2(Р1 -М2?Мк1 Лк =^1^2/(^1^2(^1 ?&к)>

Ку = ХхК\+Х2%2> ** +%2Ч1>

ИУ =Х\И\ +Х2М2> Ад =Х1МГ1 +Х2&21> где Ку$ ¿¿у> К к, ¿¡к — оценки упругих свойств по Фойгту и Рейссу соответственно, е,у — компоненты девиатора деформации.

В том случае, когда эффективные значения К и ц фиксированы, любое изменение эффективных значений сгу и еу приводит к соответствующему

изменению средних значений этих величин в компонентах материала. С другой

а а а

стороны, можно задать вариации средних значений ы/, а у и еу, не изменяя эффективные значения переменных и,-, сг(у и £у. Это приводит к изменению

а а а

величины эффективных модулей. Пусть и/, сг,у, с у - истинные поля вектора перемещения и тензоров напряжений и деформации. Возможные поля вектора а*

перемещений uj были определены следующим образом: необходимо, чтобы на

поверхности рассматриваемого тела и г- = и /, а для соответствующих им значений компонентов тензора деформации выполнялись условия

о

I* 2* 12 а а а

Х1£и + Х2£У ~£у> Х\ ¿у = 0, где деу = - вариации

компонентов тензора деформации. Тогда из принципа минимума потенциальной энергии и соотношения (8) для данного случая следуют оценки К* и ц* сверху

К*<.{Ку+Кк)!2, (9)

Из принципа минимума дополнительной энергии получены оценки К* и //* снизу

К* *2КкКу/(Ку М*МУ/(РУ +Мя). (Ю)

Оценки (9), (10) существенно уже оценок по ФоЙгту и Рейссу и Хашину-Штрикману.

Метод оценивания границ значений аналогичен. Для средних по объему представительного элемента гетерогенного материала, а также для

средних по объемам компонентов материала значений дТа /дх{ верно а а^ / 1 2

8Та/дх(, Я1=Х\Чх+Х2 дГ/ас/ = Х\ дт\+ Х2 дТ2!дх( .(11) где а = 1,2; дТ/дх{ — средние значения компонентов вектора плотности теплового потока и градиента температуры в объеме представительного элемента. Было принято, что компоненты гетерогенного двухкомпонентного материала и эквивалентного гомогенного изотропны. Из соотношения (11) и представления альтернативных функционалов задачи теплопроводности

получены оценки для эффективных значений

(#> + * Л« 2 2$)$)/$) + ¿р),

где, + Ш =*МТ)У

Для оценки величины а^ и са двухкомпонентной смеси были

использованы выражения дополнительной работы тела = - |рФс/К -

¥

- [(Т,уИ((/5 и потенциальной энергии тела /[н,0]= /¡»¡)с1У— jpfщdS,

V

где и Зи — части поверхности 5, на которых заданы компоненты векторов плотности поверхностных сил р® и вектора перемещения щ. В отсутствии 8

1/2

массовых сил У[<7,0] = /[ы,0], Если в выражениях J\a,d\ и /[«,истинные поля деформации и напряжений при заданных граничных условиях

crfjnj — pf = const, и\ = uf = ^^y > €V ~ cons* (12)

заменить на произвольные, не обязательно удовлетворяющие уравнениям равновесия в объеме V, но обязательно граничным условиям, то должны выполняться неравенства -J[<t,6>]<-J\<J,^/[«,#], где /[й,в\ -

дополнительная работа тела и полная потенциальная энергии тела, вычисленные на произвольных полях деформации и напряжений.

Воспользовавшись первым граничным условием (12), приняв cry = crfj и

неизвестные деформации однородными, которые определяются из условия минимума верхней границы последней системы неравенств

(с^^Го^а«}2/^)-^^)2))^^^). (13)

(и)

где с = (Ка(г))/(ЛГ), Ь = 2 ({l/K) - 1Д. )/9, Ь= 2(l/К.-1/<АГ»/9,

? - 9\U,W?) - (*»W) 7<*>) /2'D = [fa + " вТ 1

Диапазон изменения температуры, в котором происходят фазовые превращения, достаточно узок Щ/Tq «1. В этом случае в соотношении (3)

принято В{Г^х)-~се ^2/(2Г0) + тг 9x/Tq -ysX2fa. Тогда уравнение теплопроводности для тела объемом F, находящегося в однородном поле температуры, при в^ = 0 и г — 0 примет вид

рс£в-pmsx + p{m£ 9/Tq-y£x)x = Q{t), где S - площадь поверхности представительного элемента, q(t) - плотность подводимого к этой поверхности теплового потока, Q(t) = q(t)S/V - количество теплоты, полученное единицей объема представительного элемента в единицу времени. Из последнего равенства следуют верхние и нижние границы значений т£ и у е

mTd0™ М = [cf>d™n [х) - QT (t)\as - A f\ (15)

yf'd0Wn ix)=mf^own {Z)(T- As tAs-Af )/(t - Ay]As. (16)

где Cg0wnf - нижняя и верхняя границы удельной массовой теплоемкости

материала, mdown, m£p - нижняя и верхняя границы удельной массовой

конфигурационной теплоемкости материала, ydown, у"р ~ нижняя и верхняя

границы коэффициента y£i Qj(г) — количество теплоты переданного единице массы материала при его нагревании на 1К. Соотношения (15) и (16) получены с учетом предположения, что диссипация энергии отсутствует, а х линейно зависит от текущего значения температуры.

Для нахождения оценки был рассмотрен процесс охлаждения

(нагревания) тела в отсутствии напряжений. В этом случае деформация тела состоит из.температурной и фазовой:

0> (17)

Знак у коэффициента фазовой деформации в правой части равенства (17) определяется свойствами кристаллической структуры и составом

рассматриваемого материала. Границы значения определяются из

равенства (17), где границы определены для изотропного материала по

формуле (14).

В четвертой главе на основе соотношений полученной термомеханической модели был разработан алгоритм численного анализа термонапряженного и фазового состояния цилиндрического тела, испытывающего как механические, так и температурные воздействия. Из анализа результатов сделаны выводы о влиянии характера изменения внутреннего параметра состояния, а, также метода расчета термоупругих и фазовых свойств на численное моделирование термонапряженного и фазового состояния материала. Построена численная модель части фазовой диаграммы (мартенсит-аустенит).

В первом параграфе моделируется процесс нагревания бесконечно длинного цилиндра с внешним радиусом R^ и внутренним Ra с заданной начальным распределением температуры 7q = const. На внешней поверхности

цилиндра действует конвективный тепловой поток плотностью а (г00 - T(R{,)),

где Т™ = const - температура среды, - температура внешней

поверхности цилиндра. Внутренняя поверхность цилиндра теплоизолирована. Математическая модель этой задачи имеет вид:

рс£ {x)f{rt i)~ pmE (x)x(r, t) = (1/г) Э(4Г> (хУ(дТ(г, t)ldr))ldr; (6T(r,t)/dr)r=Ra =0, {A(x]dT{r,t)/er\=Rt> =а(гсо -Г(г,/)] , (18)

Г(г,0)=Г0, x(rfi) = Z0-Внутренний параметр состояния задается одним из следующий кинетических уравнений

*Х = Х~Х> (19)

*х = х(х~х\ (20)

где равновесное значение внутреннего параметра состояния принимается пропорционально текущему значению температуры цилиндра

¿МЦгМ-^)/^-^).

Вследствие того, что свойства материала зависят от искомых функций (объемной доли мартенсита и текущего значения температуры), система дифференциальных уравнений (18), (19) ((18), (20)) нелинейная относительно искомых величин. Для приближенного решения нелинейной задачи теплопроводности применялась разностная схема предиктор-корректор, в которой система основных дифференциальных уравнений, входящих в уравнения математической модели, а также граничные условия аппроксимируются с первым порядком по шагу разбиения интервала времени исо вторым по шаху разбиения

Во втором параграфе для исследования устойчивости этой схемы применялся принцип замороженных коэффициентов и метод гармоник, которые показали, что разностная схема условно устойчива при х ~0 с ограничением на шаг по времени Дг < 2г и абсолютно устойчива для остальных значений х• Достоверность полученного условия проверена на примере нагревания вышеописанного цилиндра. Расчет осуществлялся при следующих значениях времени релаксации т = 1.0 с, интервала времени наблюдения

процесса теплопроводности [о,^^} ($*ор - 2 • 103 с и различных значениях числа точек разбиения l + Ni \ + Nt интервалов пространства и времени. Анализ численной модели задачи показывает неустойчивость при приближении X к нулевому значению и следующих значениях N1 =10,100. При Nt =1000 (Д? = 2с) решение устойчиво, что подтверждает ограничение (2с < 2 О.Ос).

Была рассмотрена задача нестационарной теплопроводности цилиндра из сплава никелид титана с процентным содержанием никеля 46.2%. (N1 46.2) при исходных данных Иа = 0.2 м, Яь = 0.5м, А3 =298 К, Лу =313 К, Г0 =298 К,

Г00 =413 К, р — 6.44-103 кг/м3, Се = 520 Дж/кг-К, с¿К =448 Дж/кг-К, т* = 719 к Дж/кг, т^ = 2079 к Д ж/кг, ЯА = Iм = 1.0 Вт/м • К,

а =5.0 Вт/м2*К, т -103 с, г^=2-103 с, N = А7 = 100. Зависимости се(х\

те(х) ~ определяются из оценок (13), (15), А^ принимается постоянной.

Численное моделирование температурного и фазового состояния тела при описании закона изменения объемной доли мартенсита кинетическим уравнением (20) показывает, что процесс нагревания цилиндра по радиусу и по времени происходит быстрее, чем при описании закона изменения х кинетическим уравнением (19). Особенно это видно в области внешнего

радиуса цилиндра в конечный момент времени. Однако процесс фазового превращения происходит существенно медленнее. В области внешнего радиуса цилиндра разность в фазовых долях мартенсита достигает 19%. Использование верхней или нижней оценок теплоемкостей материала не приводит к существенным изменениям значений температуры и объемной доли мартенсита. Максимальная разница в фазовых долях мартенсита составляет 1.6%.

В третьем параграфе построена модель для численного определения напряженно-деформированного состояния равномерно нагретого до

температуры Г00 бесконечно длинного цилиндра с жестко закрепленной внутренней поверхностью. Внешняя поверхность цилиндра свободна от нагрузки рь = 0. Математическая модель этой задачи имеет вид:

dar ¡dr + (о> - Су )jr = О,

<Tr(r.z)= [о - уЬс)У + у{х)~ "(1 + v(xia^(x)AT + а<*>(*) v<p{r;x) = [о ■-vix))-r + -(1 + v(z)pT)(z)*r + (21)

u(Ra)= 0, <jr(Rb,x)=®>

где и(г) - радиальное перемещение, АТ = Т°°-Tq = const, &x{r)= xir)~ Zo> дифференцирование ведется по радиальной координате. Внутренний параметр состояния задается линейно зависящим от текущего значения температуры (стационарный процесс)

Ж)-иТ»<А°(г\ х(г)=0,Т«>>А*(г).

где температуры фазового превращения определяются из уравнения (6). Так как A** f зависят от напряженного состояния тела, то и термоупругие свойства,

которые входят в уравнения равновесия, также зависят от напряженно-деформированного состояния. Для решения этой нелинейной задачи расчета напряженнотд еформиро ванн ого состояния построен итерационный разностный алгоритм, в котором распределение объемной доли мартенсита, найденное на предыдущей итерации, используется в расчете НДС на текущей. На первой итерации % определяется для случая a ¡j — 0. Условие окончания

V

Кь

итерационного процесса принимается в виде |

где ^ (г) - распределение температуры начала (окончания) фазового

превращения на к-ой итерации, е - погрешность итерационного метода. На каждой итерации для решения задачи расчета напряженно-деформированного состояния применяется разностный метод, который аппроксимирует дифференциальные уравнения математической модели (21) со вторым порядком по шагу разбиения интервала

Была рассмотрена задача определения напряженно-деформированного состояния цилиндра из сплава никелид титана (N1 46.2). Расчет проведен для термоупругих свойств, полученных на основе двойственной вариационной формулировки задачи (оценки (9), (10), (14), (17)), и для свойств рассчитанных по правилу смеси.

<тг, МПа

¿Гр, МПа

-т

-8

1 1 1 ________]._.._.

/ / г

•'•'У \ . 1

0.3

0.15

0.3

0,33

0.4

0.45

0.5

Г, м

Рис.1. Зависимость радиального Рис.2. Зависимость окружного компонента

компонента тензора напряжений от радиуса тензора напряжений от радиуса цилиндра цилиндра

На рис. 1,2,3 представлен результат численного моделирования напряженного состояния цилиндра равномерно нагретого до температуры

Т00 -313К, на рис. 4 распределение объемной доли мартенсита. Сплошная линия на рисунках соответствует решению задачи при верхней оценке термоупругих свойств, штриховая - оценке термоупругих свойств, полученных по правилу смеси, штрихпунктиря ая — нижней оценке термоупругих свойств. Из рис. 1-3, видно, что метод расчета термоупругих свойств, используемый в процессе численного моделирования напряженного состояния тела, существеннее влияет на результат распределения окружного и осевого компонентов тензора напряжений, чем на распределение радиального. Если в процессе численного моделирования напряженного состояния тела

использовать свойства материала, полученные по правилу смеси, то решение будет существенно отклоняться от распределения поля напряжений, полученного на основе оценок свойств из вариационных формулировок. Следовательно, использование правила смеси в расчете термоупругих свойств материала дает существенную погрешность в расчете конструкций из материала, находящегося в переходном фазовом состоянии.

, <УХ> МПа ; ' : х

г.м

ЛМ

Рис.3. Зависимость осевого компонента Рис.4. Зависимость объемной доли мартенсита тензора напряжений от радиуса цилиндра от радиуса цилиндра

Рис. 4. показывает влияние напряженного состояния тела на его фазовое состояние. В отсутствии напряжений значение температуры цилиндра 313 К соответствует аустенитному фазовому состоянию х(г) = 0 ■ Следовательно, процесс фазового превращения происходит с запаздыванием. Это означает что, разделение теплофазовой деформации на температурную и фазовую составляющие позволило более точно описать напряженное состояние тела при

фазовом превращении, поскольку фазовая деформация сс^^{х{г)— хо) растет с запаздыванием из-за влияния напряженного состояния тела на его фазовое превращение.

В четвертом параграфе построена численная модель термонапряженного и фазового состояний бесконечно длинного цилиндра при его нестационарном нагревании. На внешней поверхности цилиндра действует конвективный

тепловой поток плотностью а(г°° - )). Внутренняя поверхность цилиндра теплоизолирована и жестко закреплена. Внешняя - свободна от напряжений. Математическая модель термофазового состояния описывается системой (18), а закон изменения х ~ кинетическим уравнением (19), где равновесное значение

X принимается в виде х(7"(г, /)) = (г(г, /) - А^ (г, /))/ (л ° (г, /) /)) и

температуры начала-окончания фазового превращения определяются из соотношения (6). Напряженное состояние тела вследствие нестационарности процесса будет зависеть от времени, следовательно, математическая модель

напряженно-деформированного состояния будет совпадать с системой (21), в КОТОрОЙ u=u(r,t), CTjj = <Jjj(r,t).

Для решения этой нелинейной задачи был использован итерационный разностный метод. На первой итерации находятся температурное и фазовое

состояния тела при Л^j-(r,t)= As j- = const. Эта задача аналогична задаче

нестационарной теплопроводности, описанной в первом параграфе этой главы, она решается также методом предиктор-корректор. Полученное решение будет соответствовать задаче определения температурного и фазового состояний тела в отсутствии напряженного состояния. Найденные распределения температуры и внутреннего параметра состояния подставляются в задачу определения напряженно-деформированного состояния тела (21), которая решается разностным методом для каждого слоя времени.

Расчет проведен для цилиндра из сплава никелид титана (Ni 46.2). Термоупругие свойства определяются из верхних оценок соотношений (9), (13), (15), (14), (17). Анализ результатов показывает, что напряженное состояние тела оказывает влияние на процессы теплопроводности и фазового превращения. Нагревание цилиндра, находящегося под действием приложенных напряжений, происходит быстрее (максимальная разница в значениях температуры тела, находящегося в напряженном состоянии и без, составляет 4К). Однако процесс перехода материала из низкотемпературной фазы в высокотемпературную происходит со значительным запаздыванием (максимальная разница значений объемной доли мартенсита, полученной в процессе численного моделирования фазового состояния тела с учетом зависимости температур начала-окончания фазового превращения от напряженного состояния и без, составляет 25%).

В пятом параграфе предложен метод расчета времени релаксации г путем сравнения фазовой диаграммы, полученной в результате численного моделирования термофазового состояния термически тонкого тела при его нестационарном нагревании, с фазовой диаграммой, полученной из экспериментальных данных. Задача теплопроводности была рассмотрена для сплава никелид титана (Ni 46.2). Наилучшее совпадение фазовой диаграммы, полученной на основе численной модели, и фазовой диаграммы, полученной из опытных данных, происходит при г = 1000 с.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ ПО РАБОТЕ

1. Разработана термомеханическая модель поведения металлов и сплавов при фазовом превращении, в которой разделены процессы аккумуляции теплоты и фазового превращения и учтен кинетический характер фазового превращения.

2. Проведен анализ влияния характера изменения внутреннего параметра состояния на изменение температуры для термически тонкого тела.

3. Построена численная модель фазовой диаграммы «объемная доля мартенсита — температура».

4. Разработан метод определения диапазона изменения термомеханических и фазовых свойств материала при фазовом превращении.

5. Разработаны алгоритм и комплекс программ, моделирующие термонапряженное и фазовое состояния бесконечного полого цилиндра при его нестационарном нагревании в интервале температур фазового превращения. Анализ результатов компьютерного моделирования показывает:

• метод расчета термоупругих и фазовых свойств материала влияет на результат численного моделирования напряженного и фазового состояния тела и несущественно - на процесс теплопроводности;

• если в процессе численного моделирования напряженного состояния тела использовать свойства материала, полученные по правилу смеси, то решение будет существенно отклоняться от распределения поля напряжений, полученного на основе оценок свойств из вариационных принципов;

• напряженное состояние тела оказывает существенное влияние на процессы теплопровода ости и фазового превращения;

• разделение теплофазовой деформации на температурную и фазовую составляющие позволило более точно описать напряженное состояние тела. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ В

РАБОТАХ

1. Кувыркин Г.Н., Федулова И.С. Численное моделирование термомеханических свойств сплавов с эффектом памяти формы // Тр. XII международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам. — М., 2003. —Т. 2,-С. 394 - 396.

2. Кувыркин Г.Н., Федулова И.С. Анализ кинетики фазовых переходов в сплавах с эффектом памяти формы // Теплофизика высоких температур, —

2005.-Т. 43, № 1.-С. 121 - 126.

3. Кувыркин Г.Н., Родикова И.С. Оценка термомеханических свойств сплавов в зоне фазового перехода // Образование через науку: Труды международного симпозиума. -М., 2005. - С. 591,

4. КувьГркин Г.Н., Родикова И.С. Термомеханическая модель поведения металлов и сплавов в зоне фазового превращения // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Естественные науки. —2006. -№1. - С. 65 - 76.

5. Кувыркин Г.Н., Родикова И.С. Оценка термомеханических свойств металлов и сплавов в зоне фазового превращения Я Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Естественные науки. —2006. - №2. - С. 31 - 44.

6. Родикова И.С. Анализ кинетики фазового перехода в зависимости от термоупругих соотношений // Ракетно-космическая техника. Фундаментальные и прикладные проблемы: Труды международной научной конференции, посвященной 90-летию В.И. Феодосьева. - М.,

2006. - С. 85.

Принято к исполнению 23/10/2006 Исполнено 24/10/2006

Заказ № 765 Тираж: МОэкз.

Типография «11-й ФОРМАТ» ИНН 7726330900 Москва, Варшавское ш., 36 (495) 975-78-56 www.autoreferat.ru

ОСНОВНЫЕ СОКРАЩЕНИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ.

ВВЕДЕНИЕ.

1. ОСОБЕННОСТИ ФУНКЦИОНАЛЬНО-МЕХАНИЧЕСКОГО ПОВЕДЕНИЯ МЕТАЛЛОВ И СПЛАВОВ С ФАЗОВЫМИ ПРЕВРАЩЕНИЯМИ.

1.1. Физические процессы и основные эффекты, наблюдаемые при фазовых превращениях.

1.2. Природа фазового превращения.

1.2.1. Эффект пластичности превращения.

1.2.2. Эффект памяти формы.

1.2.3. Сверхупругость.

1.2.4. Обратимая память формы.

1.2.5. Движущая сила превращения.

1.3. Анализ существующих математических моделей процессов фазовых превращений.

2. ТЕРМОМЕХАНИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПОВЕДЕНИЯ МЕТАЛЛОВ И СПЛАВОВ ПРИ ФАЗОВОМ ПРЕВРАЩЕНИИ.

2.1. Вывод основных соотношений.

2.2. Анализ кинетики фазовых превращений в сплавах.

2.3. Термомеханическая модель фазового превращения, вызванного напряжением.

3. ОЦЕНКА СВОЙСТВ МЕТАЛЛОВ И СПЛАВОВ ПРИ ФАЗОВОМ ПРЕВРАЩЕНИИ.

3.1. Оценка термомеханических свойств металлов и сплавов при фазовом превращении.

3.1.1. Определение диапазона изменения упругих свойств материала при фазовом превращении.

3.1.2. Определение диапазона изменения теплопроводности материала при фазовом превращении.

3.1.3. Определение диапазона изменения величин температурного коэффициента линейного расширения и теплоемкости материала при фазовом превращении.

3.2. Оценка фазовых свойств материала при фазовом превращении.

4. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕРМОНАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ ПРИ ФАЗОВОМ ПРЕВРАЩЕНИИ.

4.1. Численное моделирование процесса нестационарной теплопроводности с учетом фазового превращения.

4.2. Исследование устойчивости используемой разностной схемы.

4.3. Численное моделирование напряженно-деформированного состояния равномерно нагретого тела с учетом фазового превращения

4.4. Численное моделирование напряженно-деформированного состояния и процесса нестационарной теплопроводности тела с учетом фазового превращения.

4.5. Численное моделирование фазовой диаграммы «объемная доля мартенсита - температура». Метод расчета параметра релаксации.

Известен широкий класс металлов и сплавов, которые в результате охлаждения переходят в новое фазовое состояние, характерной особенностью которого является линзообразная либо пластинчатая структура. Продукт превращения называют мартенситом. Мартенситное превращение происходит путем бездиффузиозной деформации сдвига при совместном движении атомов, т.е. движение происходит единым комплексом, благодаря чему происходит перестройка решетки исходной фазы в мартенситную.

Актуальность работы. К настоящему моменту времени известно огромное количество металлов и сплавов, подверженных мартенситному фазовому превращению. Это сплавы на основе Т1№, МпСи, СиХп, Р1А1, СиА1, БеМп и другие. Они обладают рядом уникальных физико-механических свойств (эффект памяти формы, сверхупругость), благодаря которым они находят применение в различных отраслях промышленности (биомедицинская техника, космическая и ядерная промышленность, машиностроение и т.д. [11]). В связи с этим возникает необходимость в математической модели для прогнозирования поведения таких металлов и сплавов, находящихся в переходном фазовом состоянии, при переменных термомеханических нагрузках. Существует множество работ, посвященных изучению на физическом уровне поведения материалов при фазовом превращении [12, 30, 44, 52], а также, посвященных разработке математической модели [1-4, 10, 29-44, 55-56]. Авторы этих работ описывают фазовую деформацию материала, учитывающей эффекты пластичности превращения, памяти формы, сверхупругости. Также рассмотрена термодинамическая модель поведения материала при фазовом превращении, в которой описывается диссипативная энергия тела, а также определяется зависимость объемной доли мартенсита от термонапряженного состояния. Однако в этих работах не учитывается кинетика фазового превращения, процессы аккумуляции теплоты и фазового превращения не разделены, а также термомеханические и фазовые свойства материала принимаются постоянными, либо определяются по правилу смеси, что вносит неточность в расчете напряженно-деформированного состояния конструкции из материала, находящегося в переходном фазовом состоянии. В связи с этим построение термомеханической модели поведения материала, находящегося в переходном фазовом состоянии, учитывающей все вышеперечисленные особенности, актуальна. Разработка подобной математической модели позволит более точно анализировать напряженно-деформированное состояние конструкций из материала, находящегося в переходном фазовом состоянии, а значит более эффективно использовать подобные материалы в устройствах и механизмах сложного функционального назначения.

Цель работы состоит в разработке математической модели поведения металлов и сплавов, находящихся в переходном фазовом состоянии (мартенсит-аустенит), под действием переменных термомеханических нагрузок и численном анализе протекающих в этом случае процессов.

Поставленная цель достигается на основе решения следующих задач:

• разработка термомеханической модели поведения металлов и сплавов при фазовом превращении;

• разработка соотношений, описывающих кинетику фазового превращения в металлах и сплавах;

• разработка схемы определения диапазона изменения термоупругих и фазовых свойств материала при фазовом превращении;

• построение схемы численного определения времени релаксации г;

• разработка и анализ численной модели процесса нестационарной теплопроводности и изменения напряженно-деформированного состояния цилиндрического тела при фазовом превращении.

Методы исследования. В теоретических исследованиях применялись фундаментальные положения термодинамики необратимых процессов для сплошной среды с внутренним параметром состояния, а также вариационные принципы и методы теории упругости микронеоднородных сред. В разделе численного моделирования использовались итерационные разностные методы для решения нелинейной системы дифференциальных уравнений с заданными краевыми условиями.

Достоверность результатов основана на корректном использовании методов механики деформируемого твердого тела, термодинамики необратимых процессов, вариационных принципов, строгости применяемых математических методов. Сформулированные в работе допущения обоснованы путем их содержательного анализа и методами применяемого математического аппарата. Достоверность подтверждается соответствием результатов численных расчетов фазовой диаграммы с экспериментальными данными других авторов.

Научная новизна. В рамках термодинамики необратимых процессов для сплошной среды с внутренним параметром состояния и кинетических представлений о природе фазового превращения разработана термомеханическая модель поведения металлов и сплавов, в которой процессы аккумуляции теплоты и фазового превращения независимы. На основе этой модели был проведен качественный анализ влияния характера изменения внутреннего параметра состояния на изменение температуры для термически тонкого тела.

На основе двойственной вариационной формулировки задачи предложен метод оценки термомеханических и фазовых свойств материала при фазовом превращении.

В рамках разработанных термомеханической модели и оценок термомеханических и фазовых свойств материала проведен численный анализ задачи определения температурного поля и напряженно-деформированного состояния бесконечного цилиндра при его нестационарном нагреве. Разработан алгоритм численного расчета напряженно-деформированного состояния тела при фазовом превращении с учетом зависимости температур начала-окончания фазового превращения от напряженного состояния тела. Исследовано влияние метода расчета термоупругих и фазовых свойств (свойств, проявляющихся только в процессе фазового превращения) материала на результаты численного моделирования термонапряженного и фазового состояния цилиндра.

Практическая ценность. Разработанная термомеханическая модель, учитывающая кинетический характер фазового превращения и зависимость свойств материала от его фазового состояния, позволяет описывать этот процесс при переменных температурных и силовых нагрузках во времени. Предлагаемая модель может быть использована в расчете конструкций и узлов исполнительных механизмов, работающих в условиях переменного термонапряженного состояния.

Основные положения, выносимые на защиту.

• Термомеханическая модель поведения металлов и сплавов при фазовом превращении под действием переменных термомеханических нагрузок.

• Метод расчета температур начала-окончания фазового превращения материала, находящегося в условиях сложного напряженно-деформированного состояния.

• Анализ влияния характера изменения внутреннего параметра состояния на изменение температуры для термически тонкого тела.

• Метод расчета диапазона изменения термомеханических и фазовых свойств материала при фазовом превращении.

• Метод численного расчета времени релаксации в кинетических уравнениях определения объемной доли мартенсита в материале.

• Алгоритм численного исследования термонапряженного и фазового состояния цилиндрического тела с учетом зависимостей термомеханических и фазовых свойств материала от его фазового состояния и температур начала-окончания фазового превращения от напряженного состояния тела.

Апробации работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на XII Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (ВМСППС 2003) 30 июня 5 июля 2003 г. Владимир; Международном симпозиуме «Образование через науку» 17-19 мая 2005 г. Москва; Международной научной конференции «Ракетно-космическая техника. Фундаментальные и прикладные проблемы механики» 4-6 мая 2006 г. Москва. Работа выполнена при поддержке программы «Университеты России» (проект УР 03.01.139) и РФФИ (проект № 05-01-00596)

Публикации. Основное содержание работы изложено в трех статьях [27, 24, 25] и трех тезисах докладов на конференциях [25, 23, 48].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, выводов, заключения, списка использованной литературы, содержащего 56 наименований, и списка основных обозначений и сокращений, используемых в тексте.

Основные результаты и выводы по работе

1. Разработана термомеханическая модель поведения металлов и сплавов при фазовом превращении, в которой разделены процессы аккумуляции теплоты и фазового превращения и учтен кинетический характер фазового превращения.

2. Проведен анализ влияния характера изменения внутреннего параметра состояния на изменение температуры для термически тонкого тела.

3. Построена численная модель фазовой диаграммы «объемная доля мартенсита - температура».

4. Разработан метод определения диапазона изменения термомеханических и фазовых свойств материала при фазовом превращении.

5. Разработаны алгоритм и комплекс программ, моделирующие термонапряженное и фазовое состояния бесконечного полого цилиндра при его нестационарном нагревании в интервале температур фазового превращения. Анализ результатов компьютерного моделирования показывает:

• метод расчета термоупругих и фазовых свойств материала влияет на результат численного моделирования напряженного и фазового состояния тела и несущественно - на процесс теплопроводности;

• если в процессе численного моделирования напряженного состояния тела использовать свойства материала, полученные по правилу смеси, то решение будет существенно отклоняться от распределения поля напряжений, полученного на основе оценок свойств из вариационных принципов;

• напряженное состояние тела оказывает существенное влияние на процессы теплопроводности и фазового превращения;

• разделение теплофазовой деформации на температурную и фазовую составляющие позволило более точно описать напряженное состояние тела.

1.Абдрахманов С.А. Экспериментальное исследование реактивных усилий при изгибе балки с эффектом запоминания формы // Изв. АН Кирг. ССР. Физико-технические науки. 1989.№3. С. 14 16.

2. Абдрахманов С. Деформация материалов с памятью формы при термосиловом воздействии. Бишкек: Илим, 1991. - 115 с.

3. Абдрахманов С. Дюшекеев К. Изгиб и кручение брусьев из материалов с памятью формы. Бишкек: Илим, 1992. - 53 с.

4. Бердичевский В.Л. Вариационные принципы механики сплошной среды. -М.: Наука, 1983. 448 с.

5. Ван Флек Л. Теоретическое и прикладное материаловедение: Пер. с англ. М: Мир, 1975. - 472 с.

6. Ванъко В.И., Ермошина О.В., Кувыркин Г.Н. Вариационное исчисление и оптимальное управление: Учеб. для вузов / Под ред. B.C. Зарубина, А.П. Крищенко. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1999. -488 с.

7. Власова Е.А., Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики: Учеб. для вузов / Под ред. B.C. Зарубина, А.П. Крищенко. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001. - 700 с.

8. Васин P.A., Еникеев Ф.У. Введение в механику сверхпластичности: В 2 ч. Уфа: Гилем, 1998. - Ч. I. - 280 с.

9. Гюнтер Э.В. Эффекты памяти формы и их применение в медицине. Новосибирск: Наука, 1992. - 741 с.

10. Делэй Л., Варлшонт X. Кристаллография и термодинамика мартенсита в сплавах, обладающих эффектом запоминания формы // Эффект памяти формы в сплавах: Пер. с англ. / Под ред. В.А. Займовского. М., 1979.-С. 87-110.

11. Димитриенко Ю.И. Механика композиционных материалов при высоких температурах. -М.: Машиностроение, 1997. 368 с.

12. Ефименко A.B., Кувыркин Г.Н. Новые оценки эффективных упругих модулей двухкомпонентных композитов // Изв. РАН. Механика твердого тела. -1994. №1. - С. 18-26.

13. Зарубин B.C. Прикладные задачи термопрочности элементов конструкций. М.: Машиностроение, 1985. - 296 с.

14. Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Прогнозирование теплофизических и термоупругих характеристик композитов // Вестник МГТУ. Машиностроение. 1994. - №2. - С. 78 - 83.

15. Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Математические модели термомеханики. -М.: Физматлит, 2002. 168 с.

16. Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Математическое моделирование термомеханических процессов при интенсивном тепловом воздействии // Теплофизика высоких температур. 2003. - Т. 43, №. 2. - С. 250 - 300.

17. Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. О построении термомеханической модели релаксирующего твердого тела // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Естественные науки. 2001. - №2. - С. 23 - 30.

18. Корн. Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). Определения, теоремы, формулы. 6-е изд.: Пер. с англ. СПб.: Изд-во «Лань», 2003. - 832 с.

19. Кристенсен Р. Введение в механику композитов: Пер. с англ. -М.: Мир, 1982.-333 с.

20. Кувыркин Г.Н. Основные соотношения механики сплошной среды: Учеб. Пособие / Под. ред. B.C. Зарубина. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1995. 76 с.

21. Кувыркин Г.Н., Родикова КС. Оценка термомеханических свойств сплавов в зоне фазового перехода // Образование через науку: Труды международного симпозиума. -М., 2005. -С. 591.

22. Кувыркин Г.Н., Родикова КС. Термомеханическая модель поведения металлов и сплавов в зоне фазового превращения // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Естественные науки. 2006. - №1. - С. 65 - 76.

23. Кувыркин Г.Н., Родикова КС. Оценка термомеханических свойств металлов и сплавов в зоне фазового превращения // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Естественные науки. 2006. - №2. - С. 31 - 44.

24. Кувыркин Т.К., Федулова КС. Анализ кинетики фазовых переходов в сплавах с эффектом памяти формы // Теплофизика высоких температур. — 2005. Т. 43, № 1. - С. 121 -126.

25. Лариков Л.Н., Кинетика релаксационных процессов в нанокристаллических соединениях // Металлофизика и новейшие технологии.- 1997.-Т. 19, №1.- С. 19-31.

26. Лихачев В.А. Эффект памяти формы // Соросовский образовательный журнал. 1997. - №3. - С. 107 -114.

27. Лихачев В.А., Кузьмин С.Л., Каменцева З.П. Эффект памяти формы. Л.: Изд-во ЛГУ, 1987. - 216 с.

28. Лихачев В.А., Малинин В.Г. Структурно-аналитическая теория пластичности материалов со свойствами памяти формы // Математическиемодели пластической деформации: Материалы семинара. Томск, 1989. -С.З-11.

29. Лихачев В.А., Малинин В.Г. Новая концепция прочности // Структура и свойства металлических материалов и композиций: Материалы семинара. Новгород, - 1989. - С. 4 - 31.

30. Лихачев В.А., Малинин В.Г. Теория механического поведения с эффектом памяти формы // Математические модели пластической деформации: Материалы семинара. Томск, - 1990. - С.93 - 104.

31. Лихачев В.А., Малинин В.Г. Структурно-аналитическая теория прочности. -СПб.: Наука, 1993. - 471 с.

32. Лихачев В.А., Малинин В.Г., Овчаренко С.Я. Деформация ориентированного превращения у сплава CuAlMnCo // Материалы с новыми функциональными свойствами: Материалы семинара. Новгород-Боровичи.- 1990.-С. 100-101.

33. Лурье С.А. О термодинамических определяющих соотношениях для материалов с памятью формы // Изв. РАН. Механика твердого тела.- 1997.-№5.-С. 110-121.

34. Малинин H.H. Прикладная теория пластичности и ползучести.- М.: Машиностроение, 1968. 400 с.

35. Малинин H.H. Ползучесть в обработке металлов. М.: Машиностроение, 1986. - 216 с.

36. Мовчан A.A. Микромеханические определяющие уравнения для сплавов с памятью формы // Проблемы машиностроения и надежности машин. 1994. - №6. - С. 47 - 53.

37. Мовчан A.A. Микромеханический подход к описанию деформации мартенситных превращений в сплавах с памятью формы // Изв. РАН. Механика твердого тела. 1995. - № 1. - С. 197 - 204.

38. Мовчан A.A. Выбор аппроксимации фазовой диаграммы перехода и модели исчезновения кристаллов мартенсита для сплавов с памятью формы

39. Проблемы машиностроения и надежности машин. 1995. - Т.36, №2. -С. 173 - 181 .

40. Мовчан A.A. Аналитическое решение задач о прямом и обратном превращении для сплавов с памятью формы // Изв. РАН. Механика твердого тела. 1996. - № 4. - С. 136 - 144.

41. Мовчан A.A., Кузнецов A.B. Численно-аналитический метод решения связных задач определения напряжено-деформированного состояния для сплавов с памятью формы // Механика композиционных материалов и конструкций. 1995. -Т. 1, №2 - С. 39 - 47.

42. Сплавы с эффектом памяти формы / К. Ооцука, К. Симидзу, Ю. Судзуки и др.: Пер. с японск. -М.: Металлургия, 1990. -224 с.

43. Пискунов Н.И. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов: В 2 т. М: Наука, 1965. - Т. I. - 548 с.

44. Победря Б.Е. Механика композиционных материалов. М.: Изд-во Московского университета, 1984. - 336 с.

45. Пригожий И., Кондепуди Д. Современная термодинамика. От тепловых двигателей до диссипативных структур: Пер. с англ. М.: Мир, 2002.-461 с.

46. Родригес С., Браун JI.C. Механические свойства сплавов, обладающих эффектом запоминания формы // Эффект памяти формы в сплавах: Пер. с англ. / Под ред. В.А. Займовского. М., 1979. - С. 36 - 60.

47. Самарский A.A., Тулин A.B. Численные методы: Учеб. пособие для вузов. М.: Наука, 1989. - 432 с.

48. Справочник по конструкционным материалам / Б.Н. Арзамасов, Т.В.Соловьева, С.А. Герасимов и др.; Под ред. Б.Н. Арзамасова, Т.В.Соловьевой. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2005. - 640 с.

49. Тихонов А.С., Герасимов А.П., Прохорова И.И. Применение эффекта памяти формы в современном машиностроении. М.: Машиностроение, 1981. - 81 с.

50. Шермергор Т.Д. Теория упругости микронеоднородных сред. -М.: Наука, 1977.-400 с.

51. N. Siderey, Е. Patoor, A. Berveiller, Constitutive equations for poly crystalline thermo elastic shape memory alloys. Intracranial interactions and behavior of the Grain // Inter. J. of Solids and Struct. 1999. - V. 36, № 8. -P. 289-305.

52. S. Marfia, E. Sacco, Superelastic and shape memory effects in laminated shape-memory-alloy beams // AIAA J. 2003. - V. 41, № 1. -P. 100-115.