автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Задачи определения ориентации и управления угловым движением твердого тела

На правах рукописи

БИРЮКОВ Вячеслав Геннадиевич

ЗАДАЧИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОРИЕНТАЦИИ И УПРАВЛЕНИЯ УГЛОВЫМ ДВИЖЕНИЕМ ТВЕРДОГО ТЕЛА (КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА)

Специальность 05.13.01 - Системный анализ, управление и обработка информации (в технических отраслях)

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Саратов 2005

Работа выполнена в Саратовском государственном университете им. Н.Г. Чернышевского и Институте проблем точной механики и управления РАН

Научный руководитель

доктор физико-математических

наук, профессор

Челноков Юрий Николаевич

Официальные оппоненты:

доктор технических профессор

Садомцев Юрий Васильевич

наук,

кандидат физико-математических наук, доцент

Корнев Владимир Викторович

Ведущая организация

Ракетно - космическая корпорация «Энергия» им. СП. Королева, г. Королев Московской обл.

Защита состоится 14 июня 2005 г. в 15.00 часов на заседании диссертационного совета К 002.227.01 при Институте проблем точной механики и управления РАН по адресу: 410028, Саратов, ул. Рабочая, 24.

С диссертацией можно ознакомиться в научно-технической библиотеке Института проблем точной механики и управления РАН.

Автореферат разослан апреля 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Д.Ю. Петров

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Задачи определения ориентации и управления угловым движением твердого тела играют важную роль в создании систем управления подвижными объектами. Так, например, при проведении научных или технических экспериментов на борту космического аппарата (КА) требуется знать ориентацию связанных с КА осей относительно инерциальной системы координат, управление же угловым положением необходимо для обеспечения нормальной работы различного рода оборудования (фотоаппаратов и телевизионных установок, оси визирования которых должны направляться на наблюдаемые объекты; солнечных батарей, плоскости приемных элементов которых должны быть перпендикулярны направлению солнечных лучей; антенн направленного излучения и приема радиотехнических устройств).

Решению задач определения ориентации и управления угловым движением твердого тела или космического аппарата, рассматриваемого как твердое тело, посвящено большое количество работ как в российских, так и в зарубежных изданиях. Но сложность решаемых здесь задач, связанная, в основном, с отсутствием общих аналитических решений дифференциальных уравнений углового движения и высокими требованиями, предъявляемыми к точности и эффективности алгоритмов численного решения, продолжает оставлять эту проблему актуальной.

Взаимное угловое положение связанной с твердым телом и инерциальной систем координат можно задавать при помощи различных кинематических параметров, таких как углы Эйлера-Крылова, направляющие косинусы, вектор конечного поворота, параметры Кэли-Клейна и параметры Эйлера (Родрига-Гамильтона).

Как отмечено, например, В.Н. Котляковым, В.Н. Бранецом, И.П.Шмыглевским, Ю.Н. Челноковым, Д.В. Лебедевым, среди всех кинематических параметров особое место занимают параметры Эйлера, которые имеют перед другими кинематическими параметрами известные аналитические и вычислительные преимущества. Кинематические дифференциальные уравнения углового движения твердого, записанные в этих параметрах, не вырождаются при любом угловом положении твердого тела, в отличие от кинематических уравнений Эйлера; параметры Эйлера имеют лишь одно уравнение связи, в отличие от шести уравнений для направляющих косинусов.

Особенно эффективны параметры Эйлера, рассматриваемые как компоненты кватерниона поворота. Применение кватернионов дает возможность создать весьма удобный и наглядный формализм, использующий параметры Эйлера.

Применению кватернионов при решении задач определения ориентации и управления утловым движением твердого тела посвящено

большое количество работ, в том числе работы В.Н. Котлякова, В.Н.Бранеца, И.П. Шмыглевского, Ю.Н. Челнокова, П.К. Плотникова, Д.В.Лебедева, А.И. Ткаченко, А.П. Панова, НА. Стрелковой, А.В.Молоденкова и др.

В диссертационной работе для описания углового положения твердого тела (космического аппарата), в большинстве случаев, используются кватернионы поворотов, а угловое движение описывается при помощи кватернионных кинематических дифференциальных уравнений.

Решение задачи определения углового положения КА с помощью бесплатформенной инерциальной навигационной системы (БИНС) заключается в измерении трех компонент вектора абсолютной угловой скорости КА и интегрировании кинематических дифференциальных уравнений углового движения КА на бортовом вычислителе в реальном масштабе времени. В связи с этим для определения ориентации КА используют как минимум три датчика угловой скорости с взаимно ортогональными осями чувствительности. Использование более трех датчиков угловой скорости позволяет производить диагностику неисправностей датчиков угловой скорости и дает возможность определять ориентацию КА, когда некоторые датчики угловой скорости выходят из строя.

Одной из задач диссертационной работы является задача построения алгоритмов определения неизвестной компоненты вектора абсолютной угловой скорости КА по двум другим известным компонентам этого вектора и информации о направлении местной вертикали. Такая задача возникает, например, в случае отказа одного из датчиков угловой скорости. Постановка этой задачи была в свое время сделана сотрудниками РКК «Энергия» В.Н. Бранецом и B.C. Рыжковым.

Другие задачи, исследованные в диссертационной работе, посвящены проблеме управления угловым движением твердого тела.

Построение управления угловым движением твердого тела в традиционной постановке включает задачу построения программного углового движения, программного управления и задачу построения управления, стабилизирующего программное угловое движение в малом. Задача построения программного углового движения и программного управления во многих случаях решается с помощью теории оптимального управления. Аналитическое решение этой задачи для наиболее часто используемых функционалов оптимизации при произвольных граничных условиях по угловому положению и угловой скорости твердого тела не найдено. Поэтому в общем случае приходится рассчитывать лишь на приближенное аналитическое или численное решение задачи.

Задача построения оптимальных законов изменения вектора кинетического момента КА, рассмотренная в диссертационной работе, относится к классу задач построения программного углового движения. Эта задача актуальна в связи с построением высокоточных систем

ориентации КА, использующих в качестве исполнительных устройств вращающиеся маховики.

Построение стабилизирующего управления угловым движением твердого тела, как отмечалось В.Н. Бранецем и И.П. Шмыглевским можно разделить на две задачи: кинематическая задача управления и динамическая задача управления. Под кинематической задачей управления ориентацией твердого тела понимается задача приведения жестко связанной с твердым телом системы координат к опорной (программной) системе координат, вращающейся в инерциальном пространстве с заданной угловой скоростью. Причем процесс ориентации заключается в том, что связанной системе координат сообщается абсолютная угловая скорость, равная сумме программной абсолютной угловой скорости и угловой скорости коррекции (стабилизации). Назначение угловой скорости коррекции, рассматриваемой в качестве управления, - изменять таким образом ориентацию связанного базиса, чтобы вызвать его совпадение с опорной системой координат.

В динамической задаче управления угловым движением твердого тела полагается, что управлением является не абсолютная угловая скорость коррекции, а управляющий момент, прикладываемый к твердому телу. Управляющий момент вызывает соответствующее движение твердого тела; при этом целью управления ориентацией остается также совмещение связанного базиса с опорным.

В работе рассмотрены задачи построения кинематических стабилизирующих управлений угловым движением твердого тела. На основе кватернионных дифференциальных уравнений возмущенного углового движения твердого тела и эталонных интегро-дифференциальных форм построены три группы законов управления, использующих в качестве кинематических параметров компоненты кватерниона ошибки ориентации, вектор конечного поворота, эйлеров угол поворота и единичный вектор, направленный вдоль эйлеровой оси поворота. Построенные в работе законы стабилизирующего управления обеспечивают (в кинематической постановке) перевод твердого тела из любого, заранее не заданного углового положения на любую выбранную программную траекторию и обеспечивают желаемые качественные и количественные характеристики переходного процесса.

Также в диссертационной работе построены кинематические оптимальные законы стабилизирующего управления. Такие законы управления также обеспечивают перевод твердого тела из любого начального углового положения на выбранную программную траекторию и при этом доставляют минимум интегральным критериям качества, характеризующим отклонение по компонентам кватерниона ошибки ориентации и общие энергетические затраты на управление.

Отметим, что рассмотренные кинематические задачи стабилизирующего управления имеют важные приложения в системах наведения различного рода движущихся объектов.

Каждая из исследованных в диссертации задач представляет самостоятельный интерес

Целями работы являются

- разработка алгоритмов определения неизвестной компоненты вектора абсолютной угловой скорости КА с использованием информации о направлении местной вертикали,

- построение в нелинейной постановке кинематических законов стабилизирующего управления угловым движением твердого тела обеспечивающих желаемые качественные и количественные характеристики переходных процессов, а также оптимальных кинематических законов стабилизирующего управления,

- построение оптимальных законов изменения вектора кинетического момента КА

Научная новизна работы заключается в следующем

- разработаны два алгоритма определения неизвестной компоненты вектора абсолютной угловой скорости КА по двум известным компонентам этого вектора и информации о направлении местной вертикали,

построены три новые группы нелинейных законов кинематического стабилизирующего управления угловым движением твердого тела, использующие различные кинематические параметры ориентации,

получены аналитические решения кинема шческой задачи оптимальной нелинейной стабилизации углового движения твердого тела

- построены законы оптимального изменения вектора кинетического момента КА, причем в случае сферически симметричного КА задача решена полностью аналитически, в случае, когда К А обтачает осью динамической симметрии, задача сведена к численному решению системы двух нелинейных алгебраических уравнений, для решения которой предложен эффективный метод выбора начальных приближений

Достоверность результатов подтверждается корректностью и строгостью используемых моделей и методов решения задач и чиспенным моделированием разработанных алгоритмов определения неизвестной компоненты вектора абсолютной угловой скорости К А и законов управления угловым движением твердого тела

На защиту выносятся:

- алгоритмы определения неизвестной компоненты вектора абсолютной угловой скорости КА по двум известным компонентам этого вектора и информации о направлении местной вертикали,

- кинематические законы стабилизирующего управления угловым движением твердого тела, использующие различные кинематические параметры,

- оптимальные кинематические законы стабилизирующего управления угловым движением твердою тела,

- оптимальные (программные) законы изменения вектора кинетического момента КА

Практическая ценность. Разработанные алгоритмы определения неизвестной компоненты вектора абсопютной угловой скорости КА могут быть использованы в бесплатформенных системах определения ориентации КА как для диагностики неисправностей датчиков угловой скорости, так и в случае отказа датчиков угловой скорости для восстановления одной из компонент вектора угловой скорости Построенные кинематические законы стабилизирующего управления могут быть использованы в инерциальных системах управления движением летательных аппаратов (в частности, при построении так называемых интегрированных систем управления, систем наведения), в системах, реализующих принцип управления движением по абсолютному угловому положению выходного звена робота-манипулятора, в задачах анимации пространственных образов на экране ЭВМ а также в задачах управления ориентацией космического аппарата с использованием управляющих маховиков Оптимальные законы изменения вектора кинетического момента могут быть использованы в высокоточных системах ориентации КА, использующих вращающиеся маховики и гиродины в качестве исполнительных устройств

Использование результатов. Результаты, полученные в диссертационной работе, были использованы

1) в лаборатории механики, навигации и управления ИПТМУ РАН (г Саратов) при выполнении работ по заданию президиума РАН «Анализ и синтез законов управления движением в ньютоновском гравитационном поле на основе кватернионных методов механики и методов пространства состояний» (ГР № 019 80 002098, 1998-2000 гг), «Разработка теории управления движением на основе кватернионных и бикватернионных методов механики твердого тела и методов пространства состояний и ее приложение к управлению движением космических аппаратов и роботов-манипуляторов» (ГР Ко 012 00 102218, 2001-2003 гг). «Разработка кватернионных и бикватернионных моделей и методов механики твердого тела, методов пространства состояний в задачах динамики и управаения движением» (ГР М° 01 2 00 403260 2004-2005 гг) (руководитель НИР -д ф -м н , профессор Ю Н Челноков),

2) при выполнении проектов, поддержанных Российским фондом фундаментальных исследований и программой «Университеты России фундаментальные исследования» «Развитие кватернионных моделей и методов механики космического попета» (проект № 99-01-00192, 19992001 гг), «Разработка аналитических и численных методов решения задач оптимального управления пространственным движением космических аппаратов испотьзующих кватернионные переменные» (код проекта 015 04 0150, 2000-2001 гг), «Кватернионные модели и методы в пространственных нелинейных задачах оптимального управления

движением космических аппаратов» (проект № 02-01-00988, 2002-2004 гг.) (руководитель проектов - д.ф.-м.н., профессор Ю.Н. Челноков).

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались: на научных конференциях механико-математического факультета Саратовского государственного университета «Актуальные проблемы математики и механики» (1999-2004); на 32ч-34-м постоянно действующем научно-техническом семинаре «Проблемы теории, конструкции, проектирования и эксплуатации ракет» (Саратов, 2000-2002); на международной научно-технической конференции «Проблемы управления и связи» (Саратов, 2000); на международной конференции «Проблемы и перспективы прецизионной механики и управления в машиностроении» (Саратов, 2002); на международной конференции «Математическое моделирование физических, экономических, технических, социальных систем и процессов» (Ульяновск, 2003).

В целом работа докладывалась на научном семинаре лаборатории «Механика, навигация и управление движением» ИПТМУ РАН, руководимым д.ф.-м.н., профессором Ю.Н. Челноковым.

Публикации. По результатам исследований опубликовано 12 научных статей, список которых приводится в конце автореферата.

Объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованной литературы, двух приложений. Общий объем составляет 151 страницу, в том числе 23 рисунка, список литературы составляет 76 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность задач, исследуемых в диссертационной работе, сформулированы цели и задачи исследования, выполнен обзор работ по теме диссертации. Кратко изложены основные результаты работы по главам.

В первой главе рассматривается задача определения неизвестной компоненты вектора абсолютной угловой скорости КА по двум другим известным компонентам этого вектора и информации о направлении местной вертикали.

Алгоритмы решения этой задачи построены на основе известного аналитического решения кватернионного кинематического уравнения углового движения твердого тела, имеющего место в случае постоянного по модулю и направлению вектора абсолютной угловой скорости твердого тела на интервале дискретности вычислений, и кватернионного алгебраического соотношения перепроектирования единичного вектора местной вертикали.

Угловое движение системы координат, жестко связанной с КЛ. описывается при помощи кватернионного кинематического дифференциального уравнения

2Х = \°шх, (1)

где X - кватернион поворота, характеризующий ориентацию КА в инерциальной системе координат, со, - вектор абсолютной угловой скорости КА, заданный своими проекциями на оси связанной системы координат, символ «о» означает кватернионное произведение, а точка -производную по времени.

Для единичного вектора кх = ktit + k2i2 + kJ3 (где ¡|,'2>'з - орты гиперкомплексного пространства, к\.к2,къ - известные проекции вектора

к на оси связанной с КА системы координат), направленного вдоль местной вертикали справедливо равенство

po£r=j3op, (2)

где и = Хор о X - кватернион, характеризующий ориентацию связанной системы координат относительно орбитальной системы, Х"р - кватернион, характеризующий ориентацию орбитального трехгранника в инерциальной системе координат, волна означает сопряженный кватернион.

Для кватерниона Х"г справедливо следующее соотношение

Г"(0= М(ср*(/)-<р;)/2)+ sin((q>*(/)- Ф;)/2)), (3)

* *

где ф - значение истинной аномалии в текущий момент времени t, <р0 -значение ф* в начальный момент времени /0, X"p(f0) - кватернион начальной ориентации орбитальной системы координат.

Если КА совершает движение в центральном гравитационном поле под действием одной лишь гравитационной силы, то изменение истинной аномалии определяется дифференциальным уравнением'

¿Ф* = c(l + есоБф'У dt р2

где с = const - постоянная площадей, р - параметр орбиты, е -эксцентриситет орбиты.

В соответствии с теорией конечных поворотов приближенное значение кватерниона ориентации X, удовлетворяющего кватернионному кинематическому дифференциальному уравнению вращательного движения К А (1), в текущий момент времени /„ можно вычислять по рекуррентной формуле

5X(0=cos(raA/2) + (rat/w)sin(coty2), (5)

где X(tn |), },{tn) - значения кватерниона ориентации КА в моменты времени , и /„, 5А.(/„) - кватернион преобразования (приращения), h = t„ - - шаг вычислений.

Следует отметить, что соотношение (5) является точным аналитическим решением дифференциального уравнения (1) в случае

постоянного по модулю и направлению (на шаге И интегрирования) вектора абсолютной угловой скорости КА

С использованием частного аналитического решения (5) кватернионного дифференциального уравнения (1) и алгебраического соотношения (2) построены два алгоритма определения неизвестной компоненты вектора абсолютной угловой скорости, имеющие вид:

ю; = _ ™221 + (°зРь 0)« = ®\Р\+ЩРъ ю* = ®\Р\+ЩР1. (6) Л ' 2 Рг ' 3 Ръ

. 2 р-, д, . 2ръ . 2 р, д3

qъh цъ б/, цф г/2

где рк, дк, (к = 1,2,3) - компоненты векторов р, с/, вычисляемых по формулам

9 = К + Г"(0° <3 ° Ц'»-,).

Отметим, чго алгоритм (7) получен с разложением тригонометрических функций, входящих в соотношение (5), в ряды 'I ейлора, алгоритм (6) построен без таких разложений.

Построенные алгоритмы имеют простую структуру, однако содержат особые точки, в окрестности которых знаменатели соотношений (6) и (7) близки к нулю. Поскольку особые точки в алгоритмах (6) и (7) не совпадают, то, как показано в работе, они могут быть исключены с помощью использования комбинированного алгоритма, предполагающего переход вблизи особых ючек с одного алгоритма на другой.

Проведенное численное моделирование построенных алюритмов определения неизвестной компоненты вектора абсолютной угловой скорости КА показало их эффективность. Накапливающиеся (во времени) составляющие методических погрешностей алюритмов отсутствуют, а величины методических погрешностей зависят от конкретного вида углового движения КА. Так, для вращения КА вокруг фиксированной оси они отсутствуют, а для конического движения составляют 1-2%

Построенные алгоритмы, в отличие от алгоритмов определения неизвестной компоненты вектора абсолютной угловой скорости геостационарною КА, предложенных СВ. Рыжковым, используют в качестве кинематических параметров кватернионы поворотов, а не углы Эйлера; при их построении не используется конечно-разностная аппроксимация производных.

Во второй главе диссертационной работы рассмотрена задача построения векторных кинематических стабилизирующих законов управления угловым движением твердого тела.

Задача заключается в построении требуемой абсолютной угловой скорости, рассматриваемой в качестве управления, при сообщении которой твердому телу оно переходит асимптотически устойчивым образом из

любого, заранее не заданного начального углового положения Ц/0) на любую выбранную программную траекторию = Х°(/) и в дальнейшем совершает асимптотически устойчивое движение по этой траектории с заданной программной угловой скоростью. При этом переходный процесс должен иметь желаемые качественные и количественные характеристики.

Решение задачи основывается на нелинейных дифференциальных уравнениях возмущенного углового движения твердого тела, построенных с использованием теории конечных поворотов, и на приведении (за счет соответствующего выбора стабилизирующих управлений) этих уравнений к желаемому эталонному виду.

Действительное и программное угловые движения твердого тела описываются кватернионными кинематическими уравнениями:

2\ = \°ШХ, 2р = Х°°Ш?(/), (8)

где Л?, А. — кватернионы поворотов, характеризующие программную и действительную ориентации твердого тела в инерциальной системе координат; юг - абсолютная угловая скорость вращения твердого тела,

и°(0 - его программная угловая скорость, определенные своими проекциями соответственно в связанной X и программной 2 системах координат.

Отклонение действительной ориентации твердого тела от его программной ориентации задается при помощи кватернионов определяемых соотношениями

У=Х°Х°, (9)

Фигурирующий в них кватернион V определен своими компонентами в связанной системе координат (а, следовательно, и в программной системе координат), а кватернион V - в инерциальной системе координат.

Построение требуемого вектора абсолютной угловой скорости (вектора управления) может быть выполнено либо в связанной системе координат по формуле

ш, = ю°(0 + 5ш,, (10)

либо в инерциальной системе координат по формуле

=й°(0 + Дш5, (И)

где отображения программной угловой скорости ш?(?) и полагаются известными функциями времени.

С использованием соотношений (9), дифференциальных уравнений (8) и выражений (10) и (11) построены две формы кватернионных дифференциальных кинематических уравнений возмущенного углового движения твердого тела:

IV = 5(о^ о V, 6со£ = X о Зсо^ о X, 2У* = У* о ДШ ДШ, = X о Дю; о X.

После выделения в этих уравнениях скалярной и векторной частей получены следующие дифференциальные уравнения:

2v0 = -V,,, 2У„ + 6(5^XV,, (12)

= -Дю, ■ V*. 2V* = УдДю1 + V* х Дсог. (13)

Величины 53)^ и Д6)~£ (стабилизирующие управления) строятся по принципу обратной связи такими, чтобы вторые уравнения систем (12) и (13), замкнутые этими управлениями, принимали вид линейных стационарных интегро-дифференциальных эталонных уравнений переходных процессов.

V, +Ау1 +В|у,Л = 0,

'о

1

V* + л'у* + в' =

(14)

(15)

где А, В, А, В' - постоянные кнадражые мафицы размерами 3x3, имеющие смысл коэффициентов усиления обратных связей, следующего вида:

>0 О 0] Г 0 ш2

с= 0 0+^3 0 -gl

.0 О £0] gi о

С= А,В,А',В'\ = а0,Ь0,а'0,Ь'0\ я, = а,, 6,, а,', 6*; (( = 1,2,3) С использованием описанного подхода построены три группы векторных кинематических законов стабилизирующего управления угловым движением твердого тела, использующих различные кинематические параметры:

1) законы управления, использующие компоненты кватерниона ошибки ориентации:

= + уоЫ, о^), До"), =-(1/Ч)(г^ + о у*), (17)

где

I I

= а0\\ + х \\ + ¿>0 + х ,

'о 'о

/ I

N1 = а0\ + V* х а' + Ь'0 + |у*(Л х Ъ',

а, = а,/, + а212 + а3(3, А, = + Ь212 + Ь~13,

а, = а,+ а212 + а31}, 6, = 6, + 62/2 + ¿>3<3; 2) законы управления, использующие вектор конечного поворота б :

=-2[

Дго, = -21 +

(18)

-¿О + ; (19)

'о 'о ]]

3) законы управления, использующие эйлеров угол поворота ф и отображение единичного вектора эйлеровой оси поворота ёс или е,:

бсо4 = , Дю,. = -к<рёх. (20)

Для построения законов управления (18), (19) использованы дифференциальные уравнения возмущенного углового движения в векторных переменных 9^, 9,, а законов (20) - дифференциальные уравнения возмущенного движения в эйлеровых переменных ср, в и предложенная Ю.Н. Челноковым концепция построения стабилизирующих управлений уиювым движением твердого тела, основывающаяся на теореме Ойлера-Даламбера и идеях А.Ю Ишлинского геометрического рассмотрения устойчивости движения твердого тела.

Построенные законы управления (17)-(19) проще известных законов управления, построенных с использованием ненормированных кватернионов поворотов Ю.Н. Челноковым, однако содержат особую точку V 0 = 0 (у0=0), когда угол эйлерова поворота равен 180°. В построенных законах, в отличие от законов, построенных В.Н. Бранецем и И П. Шмыглевским, могут быть аналитически строго определены коэффициенты усиления нелинейных обратных связей

исходя из требуемых количественных характеристик переходного процесса, интегро-дифференциальным уравнением (14) или (15).

Проведено аналитическое и численное исследования построенных законов стабилизирующего управления угловым движением твердого тела. Найдены условия, накладываемые на коэффициенты усиления нелинейных обратных связей, при которых невозмущенное угловое движение твердого тела асимптотически устойчиво.

Третья глава посвящена задаче оптимальной нелинейной стабилизации углового движения твердого тела. Задача заключается в построении оптимального кинематического стабилизирующего управления угловым движением твердого тела, движение которого описывается кватернионным дифференциальным уравнением возмущенного углового движения (12) или (13). При этом должен выполняться критерий качества переходного процесса

качественных и

описываемого

J = -j(ot;|v,,|2 +a2j5oj|2)afi или У = —jfa||v*| + а*2|Дсо|21л,

4 О 4 (Л '

a,, a2, aj, a2 = const >0, характеризующий отклонение по фазовым координатам и общие энергетические затраты на управление.

С использованием принципа максимума JI.C. Понтрягина построен закон управления в виде нелинейной функции фазовых и сопряженных переменных:

=(l/a2)voyl,ov, (21)

где у,. - векторная часть кватернионной сопряженной переменной у.

Кватернионное дифференциальное уравнение возмущенного углового движения (12) и дифференциальное уравнение относительно кватернионной сопряженной переменной, замкнутые законом управления (21), образуют собой систему нелинейных дифференциальных уравнений седьмого порядка:

2v0 =-(l/cx2)v, -у,„ 2V, =(l/a2Xv0y„ + v„xy,), 2% =a,v0v, . Найдено два первых интеграла системы (22):

aia2vo+|y,'| -С, |v,, ху,.| = G,

(22) (23)

где С, С - постоянные скалярные величины.

С использованием этих первых интегралов показано, что для того чтобы обеспечивалась асимптотическая устойчивость невозмущенного углового движения векторная часть сопряженной кватернионной переменной у должна быть коллинеарна векторной части кватерниона ошибки ориентации V.

С учетом этою требования оптимальный стабилизирующий закон управления (21) преобразован к следующему виду:

5ю? = -т/а,/а 2\>,.. (24)

Скалярная часть кватерниона ошибки ориентации V в этом случае изменяется по следующему закону:

у =1 + ехр(-л/а1 а "¡)о0 ^ у0(о)-1

1 - ехр(- т/a, а21 )D,

о(о)н

<0.

(25)

Из соотношений (25) видно, что невозмущенное движение твердого тела, для которого у0 = 1, будет асимптотически устойчивым.

С помощью метода динамического программирования Р. Беллмана в работе показано, что закон управления (24) удовлетворяет не только нео^ходимьтж. нп и достаточным условиям оптимальности.

Отметим, что аналогичные результаты получены (на основе дифференциальных уравнений возмущенного движения (13)) и для оптимального стабилизирующего закона управления Дю,.

С использованием теоремы Н.Н. Красовского в работе аналитически построены другие оптимальные нелинейные законы управления угловым движением твердого тела:

х- ai - л- а*

---Vv = ~Т,--

U + v0Kl + a2 v + voj|v»| + a2

которые также обеспечивают асимптотическую устойчивость любого выбранного невозмущенного движения, но доставляют минимум другим функционалам качества:

J = J(oti|v„| + ot2j5o>| +}v,.||5й}[)^/, f - |(а'|у*| + а2|Дю| + |у*||Дю])//. о о

Проведено моделирование построенных законов управления, которое показало эффективность построенных законов управления.

В четвертой главе диссертационной работы рассмотрена задача построения программного управления угловым движением КА, когда в качестве управления рассматривается вектор кинетического момента КА. Такая задача возникает, например, при управлении ориентацией КА при помощи управляющих маховиков.

Вектор абсолютной угловой скорости КА öJv связан с вектором кинетического момента КА 1.х следующим соотношением:

s^O/^+ii/sfe+O/c)^,

где А, В, С - осевыс моменты инерции КА, - компоненты

отображения вектора кинетического момента Lx на оси связанной системы координат.

С учетом этого кватернионное дифференциальное уравнение углового движения (1) пример следующий вид:

2Х = X о {{\/А)Ц + (1/ ß)/.,7, + (l/Cfe). (26)

Задача заключается в построении вектора кинетического момента

Av = Vi + L2h+Lsh> сообщение которого позволяет перевести КА из начального углового положения

Х(0) = Х° (27)

в заданное конечное угловое положение

Х(Т)= V (28)

и минимизирует интегральный квадратичный функционал качества

J = ¡(L\ + ¿2 + L\)dl, о

характеризующий энергетические затраты на управление.

Время управления Т считаем фиксированным, а управление неограниченным.

При помощи принципа максимума Л.С. Понтрягина была построена следующая система нелинейных дифференциальных уравнений для нахождения оптимального закона изменения вектора кинетического момента КА:

А =

в2

-с1 ■ - - с2

-ff I -

> 2 ™

А ^3 > А —

В1

V-2.

(29)

ЛЯС " J' " ABC ' 3 ABC имеющих структуру динамических уравнений Эйлера.

Найдены первые интегралы системы (29), они имеют вид (30) и (31):

¿I + ¿9 ~f" ¿-1 :

L = canst,

А2Ц + B2¡}2 + сЧ\ =h = const.

(30)

(31)

С использованием первых интегралов (30) и (31) построено аналитическое решение системы (29) в случае произвольной динамической конфигурации КА. Это решение выражается через эллиптические функции, что затрудняет аналитическое решение уравнения (26), замкнутого таким законом управления, а, следовательно, и затрудняет определение постоянных интегрирования через граничные условия движения (27) и (28).

В этом общем случае более эффективно численное построение оптимальных законов изменения вектора кинетического момента КА с помощью решения соответствующим образом поставленной краевой задачи.

В работе рассмотрены два частных случая: случай сферически симметричного КА и случай осевой симметрии КА.

В случае сферической симметрии (А = В = С) задача решена полностью аналитически. В этом случае закон оптимального изменения вектора кинетического момента КА имеет вид:

ш=ш=

2А V, arceos v„

Т sin(arccos v0)

, 4(/)= 4(о)=

2А v2 arceos v0 T sin(arccos v0)'

1з(,Мз(0Ь2^аГСС05^

(32)

T sin(arccos v0)'

где v = Я0 ° Хг, а оптимальная траектория - это плоский эйлеров разворот: Щ= 7? о (cos(Zf/2/i)+ (¿,/фп(£</2л)). Построенное решение совпадает с решением задачи оптимального в смысле энергозатрат кинематического программного разворота КА, построенного A.B. Молоденковым (поскольку /_( = Лсо(, / = 1,2,3).

В случае осевой симметрии КА (А = В *С) закон оптимального изменения вектора кинетического момента К А имеет вид:

л-

!,(/) = а sin(*Zj (о) + а) L (/) = а cos{кЦ (о) + а

а задача определения постоянных интегрирования я,а,/яо сведена к решению системы двух нелинейных алгебраических уравнений | у0 о,оъ{кА2 КЪ1 /2с)+ у3 $т(кЛ2 К3Т ¡2с)= со$(КТ/2), \у0&т(кА2К^/2с)-У3со$(кА2К;г/2с)=-(к2/к2)$т(КТ/2) относительно неизвестных К, К2 и использованию следующих соотношений:

(с,,с23

-СпС,

к,

кА2К3ТЛ С

+ (с12с2

-С., С,, )СОБ

(с12-с21)5ш

кЛ2К{I Л

V

^ П^ 22 )'

с

-о

с,» + Су

кА К}Т

-К3,

кА К3Т | ,

3 )сОБ

( кА2К~,Т

С

+ с,

(с,2 -С2,)5ш1

кА"К{Г С

■(с,, +с22) с

кА К}Т

(с

а = Ал[к2 + А"2, а = агс1ап(Л',/К2), Ц0 = А2К-1/с,

-- ТО Т1 где V = Л. о А, ,

■2(

У.У, + У„У

-уз> С]2 =2(У,У2 -у0У3), С13 =2(У,У3 +У0У2), ,), с22= у2-у2 + у2-у3, с23=2(у2у3-у0у,),

с3] = 2(у,у3 - у0у2), с32 = 2(у2у3 + У0У,), с„ = у2 - V? - V2 + у3 .

В работе показано, что при решении системы (33) в качестве начальных приближений можно использовать точные аналитические решения (32), полученные для случая сферической симметрии КА.

Оптимальная траектория в случае осевой симметрии КА имеет вид:

Щ = Х(0)° [сои{К1/2)+{к/к)ьт{&/2)]° |««(/с130г/2)+ Бш^г^)], где К = (^^апп/, +(\/А)асо5а12 + (с/Л2)/*30/3, =

Рассмотренная задача отличается от задачи построения оптимального закона изменения вектора кинетического момента КА, рассмотренной в работах О.В. Зелепукиной и Ю.Н. Челнокова, постановкой задачи (используется другой функционал качества, время переориентации фиксировано, управление полагается неограниченным) и используемой математической моделью движения. Кроме этого, рассматривается не только случай осевой симметрии КА, но и общий случай распределения масс КА.

Приведены результаты численного моделирования законов оптимального изменения вектора кинетического момента в случае осевой симметрии КА.

В заключении сформулированы основные результаты и выводы по диссертационной работе.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ ПО ДИССЕРТАЦИИ

1 Построены два алгоритма определения неизвестной компоненты вектора абсолютной угловой скорости космического аппарата по известным двум компонентам этого вектора и информации о направлении местной вертикали, основанные на использовании аналитического решения кватернионного дифференциального кинематического уравнения углового движения твердого тела для случая постоянного по модулю и направлению вектора абсолютной угловой скорости космического аппарата на интервале дискретности вычислений Разработанные алгоритмы не имеют накапливающихся методических погрешностей Каждый из алгоритмов содержит особые точки, однако комбинированное их использование позволяет эти особые точки исключить Проведенное численное моделирование алгоритмов показало их работоспособность и эффективность

2 С использованием двух форм кватернионных кинематических дифференциальных уравнений возмущенного углового движения твердого тела построены три группы новых стабилизирующих векторных законов управ!ения уповым движением твердого тела, обеспечивающих в нелинейной постановке асимптотическую устойчивость в большом любого выбранного невозмущенного углового движения твердого тела и использующих в качестве кинематических параметров компоненты кватерниона ошибки ориентации вектор конечного поворота, эйлеров угол и параметры ориентации эйлеровой оси вращения Проведено аналитическое и численное исследование полученных законов стабилизирующего управления Найдены условия, которым должны удовлетворять коэффициенты усиления нелинейных обратных связей

3 С использованием методов теории оптимального управления получены в различных нелинейных постановках аналитические решения кинематической задачи оптимальной нелинейной стабилизации углового движения твердого тела Построены оптимальные в смысле минимума функционалов, характеризующих отклонения по фазовым координатам и общие энергетические затраты на управление, стабилизирующие законы управления угловым движением твердого тела, использующие информацию о кватернионе ошибки ориентации тела и содержащие в явном виде коэффициенты функционалов минимизации При построении стабилизирующих оптимальных законов управления были использованы различные методы теории оптимального управления принцип максимума Л С Понтрягина, метод динамического программирования Р Беллмана и теорема Н Н Красовского Приведены результаты численного моделирования показывающие эффективность построенных законов управпения

4 Построены с помощью принципа максимума Л С Понтрягина законы оптимального (программного) в смысле минимума энергозатрат изменения вектора кинетического момента космического аппарата Для случая сферически симметричного космического аппарата найдено аналитическое решение задачи В случае, когда космический аппарат имеет ось динамической симметрии, задача сведена к решению системы двух нелинейных алгебраических уравнений, предложен эффективный метод нахождения начальных приближений для численного решения этой системы В общем случае, когда КА имеет произвольное распределение масс, законы оптимального управления найдены в виде эллиптических функций Приведены примеры численного решения задачи и моделирования управляемого движения КА в случае его осевой симметрии

5 Разработаны алгоритмы и программы численного решения изучаемых задач и моделирования управляемого углового движения твердого тела (КА)

Выражаю глубокую признательность д ф -м н, профессору Ю Н Че1нокову за постановку задач исследования, многолетнюю помощь в работе и обсуждение полученных результатов

Основные резулыагы диссертации опубликованы в работах:

1 Бирюков В I Построение мультипликационных врашении на основе теории кинематическою управления угловым движением твердого 1сла / В Г Ьирюков ЮН Чс щоков // Сб науч ciaien по материалам междунар науч-1ехн конф Саратов CI ГУ 2000 С 58 62

2 Бирюков В [ Векторное построение кинематического стабитиэируюшего управления угловым твижением твердою ieia / ЮН Че ihokob BI Ьирюков // Пробтемы теории конструкции проектирования и эксгпуатации ракет ракетных днш ai слей и наземно механического оборудования к ним 1р постоянно действующею науч техн семинара Саратов СФВАУ 2000 Выл 32 С 61 64

3 Ьирюков В Г Всморное построение кинематического стаби шэиру ющего управтения \гювым (вижснием гверюго тета / В Г Бирюков ЮН Четноков // Математика Механика Сб науч тр - Саратов СГУ 2000 -Вып 2 С 156-158

4 Ьирюков В Г Законы стабилизирующего управтения угловым движением твердого тела / В I Бирюков Ю Н Челноков // Аэродинамика У гарно-во шовые процессы Межвуз сб науч тр -Саратов СГУ, 2001 -Выи 15(18) -С 88-96

3 Ьирюков В Г Определение ориентации космическою аппарата по неполной информации об абсотклной угловой скорости и информации о направтении местной вертикали / В Г Бирюков ЮН Четноков // Пробтемы теории конструкции проектирования и эксплуатации ракет ракетных двигателей и наземно-механического оборулования к ним 1р постоянно тействующего науч техн семинара - Саратов СФВАУ 2001 -Вып 33 С 52 54

6 Ьирюков В Г Опредстсние неизвестной компоненты вектора абсоношой угловой скорости космического аппарата но информации о направлении честной вертикали / В Г Ьирюков ЮН Че шоков // Математика Механика Сб науч тр -Саратов СГУ 2001 -Вып 3 -С 157 160

7 Бирюков В Г Построение закоггов стабитизируюшего кинематическою управтения эйлеровым упом вращения космического аппарата / В Г Бирюков //

Проблемы теории, конструкции проектирования и эксплу атации ракет ракетных двигателей и назечно-механического оборудования к ним Тр постоянно действующего науч-техн семинара - Саратов СФВАУ 2002 -Вып 34 -С 81-82

8 Бирюков В Г Определение ориентации космического аппарата по неполной информации об абсолютной угловой скорости и информации о направлении местной вертикали / В Г Бирюков Ю Н Чечноков // Пробчечы точной механики и управзения Сб науч тр - Саратов ИПТМУ РАН, 2002 - С 33-38

9 Бирюков ВI Кинематическая задача оптимальной нелинейной стабилизации углового движения твердо! о тела / В Г Бирюков Ю Н Челноков // Математика Механика Сб науч тр -Саратов СГУ.2002 -Вып 4 -С 172-174

10 Бирюков В Г Построение законов кинематического стабичизирующего управления уповым движением твердого тепа с испозьзованием различных кинематических параметров / В Г Бирюков // Пробземы и перспективы прецизионной механики и управзения в машиностроении Сб науч статей по материалам междунар конф -Саратов И1ПМУ РАН, 2002 - С 130-132

11 Бирюков В I Построение законов кинемаз ического стабилизирующего управления угтовым движением твердого тета / В Г Бирюков // Математическое модетирование физических, экономических, технических, социальных систем и процессов Тр Пятой Мелданар конф -Ульяновск УчГУ 2003 -С 219-221

12 Бирюков В Г Оптимальное управление ориентацией космического аппарата с использованием в качестве управтения вектора кинетического момента / В Г Бирюков, А В Мозоденков Ю Н Челноков И Математика Механика Сб науч тр - Саратов СГУ,2004 - Вып 6 -С 171-174

БИРЮКОВ Вячеслав Геннадиевич

ЗАДАЧИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОРИЕНТАЦИИ И УПРАВЛЕНИЯ УГЛОВЫМ ДВИЖЕНИЕМ ТВЕРДОГО ГЕЛА (КОСМИЧГСКО1 О

АППАРАТА)

Специальность 05 13 01 Системный анализ управление и обрабсика информации (в технических страстях)

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико математических наук

Подписано в печать 18 04 2005 I Формат 60ч84 1/16 Объем 1 5 п т Тираж 100 экз Заказ V» 64

Ои1еча1ано в типографии Саратовскою университета 410012 I Саратов у! Астраханская 83

13 1-;.,» 982

Введение.

Глава 1. Определение неизвестной компоненты вектора абсолютной угловой скорости космического аппарата

1.1. Постановка задачи.

1.2. Первый алгоритм решения задачи.

1.3. Второй алгоритм решения задачи.

1.4. Численное моделирование алгоритмов определения неизвестной компоненты вектора абсолютной угловой скорости.

1.5. Результаты численного моделирования.

1.6. Выводы.

Глава 2. Построение векторных кинематических стабилизирующих законов управления угловым движением твердого тела

2.1. Постановка задачи.

2.2. Построение законов управления, использующих векторную часть кватерниона ошибки ориентации.

2.3. Построение законов управления, использующих вектор конечного поворота.

2.4. Исследование законов управления ориентацией твердого тела

2.4.1. Законы управления со скалярными коэффициентами усиления нелинейных обратных связей.*.

2.4.2. Законы управления с матричными коэффициентами усиления нелинейных обратных связей.

2.5. Построение законов управления эйлеровым углом вращения твердого тела.

2.6. Численное моделирование законов управления.

2.7. Выводы.

Глава 3. Кинематическая задача оптимальной нелинейной стабилизации углового движения твердого тела

3.1. Постановка задачи.

3.2. Метод решения задачи.

3.3. Исследование дифференциальных уравнений задачи.

3.4. Оптимальные стабилизирующие законы управления.

3.5. Решение задачи оптимальной нелинейной стабилизации углового движения твердого тела с использованием теоремы Красовского.

3.6. Выводы.

Глава 4. Оптимальное управление ориентацией космического аппарата с использованием в качестве управления вектора кинетического момента

4.1. Постановка задачи.

4.2. Метод решения задачи.

4.3. Решение задачи для космического аппарата произвольной динамической конфигурации.

4.4. Случай сферической симметрии космического аппарата.

4.5. Случай осевой симметрии космического аппарата.

4.6. Числовой пример.

4.7. Выводы.

Задачи определения ориентации и управления угловым движением твердого тела играют важную роль в создании систем управления подвижными объектами. Так, например, при проведении научных или технических экспериментов на борту космического аппарата (КА) требуется знать ориентацию связанных с КА осей относительно инерциальной системы координат, управление же угловым положением необходимо для обеспечения нормальной работы различного рода оборудования (фотоаппаратов и телевизионных установок, оси визирования которых должны направляться на наблюдаемые объекты; солнечных батарей, плоскости приемных элементов которых должны быть перпендикулярны направлению солнечных лучей; антенн направленного излучения и приема радиотехнических устройств).

Решению задач определения ориентации и управления угловым движением КА, рассматриваемого как твердое тело, посвящено большое количество работ как в российских, так и в зарубежных изданиях. Но сложность решаемых здесь задач, связанная, в основном, с отсутствием общих аналитических решений дифференциальных уравнений углового движения и высокими требованиями, предъявляемыми к точности алгоритмов численного решения, продолжает оставлять эту проблему актуальной.

Задача определения ориентации КА заключается в определении взаимного углового положения осей системы координат, связанной с твердым телом (космическим аппаратом), и осей инерциальной системы координат, начало которой находится в центре масс Земли, а оси направлены на удаленные (неподвижные) звезды. В качестве связанной с КА системы координат, как правило, выбирают систему координат с началом в центре масс КА, а оси направляются по главным центральным осям инерции КА.

Взаимное угловое положение связанной и инерциальной систем координат можно задавать при помощи различных кинематических параметров, таких как углы Эйлера-Крылова, направляющие косинусы, вектор конечного поворота, параметры Кэли-Клейна и параметры Родрига-Гамильтона (Эйлера).

Среди всех параметров особое место занимают параметры Родрига-Гамильтона. Эти параметры не вырождаются при любом угловом положении КА, в отличие от углов Эйлера-Крылова, [4,19,20,37] и имеют лишь одно уравнение связи, в отличие от шести для направляющих косинусов.

Особенно эффективны параметры Родрига-Гамильтона, рассматриваемые как компоненты кватерниона поворота. Применение кватернионов дает возможность создать весьма удобный и наглядный формализм, использующий параметры Родрига-Гамильтона.

Кватернионы впервые ввел в математику W.R. Hamilton в 1843 г. В работе [69] W.R. Hamilton описывает теорию созданных им кватернионов, исследуя возможность применения их для изучения геометрии пространства.

Применению кватернионов при решении задач определения ориентации и управления угловым движением твердого тела посвящено большое количество работ [18-22,27,32-35,37,40,42,43,47-49,53-64] в том числе В.Н. Бранеца, И.П. Шмыглевского, В.Н.Кошлякова, Ю.Н. Челнокова, П.К. Плотникова, Д.В. Лебедева, А.И. Ткаченко, А.П. Панова, Ю.В. Казначеева, М.Б. Чертока, Н.А. Стрелковой, А.В. Молоденкова, О.В. Зелепукиной и др.

В бесплатформенных инерциальных навигационных системах (БИНС) определение ориентации КА осуществляется путем измерения проекций вектора абсолютной угловой скорости на оси связанной системы координат при помощи датчиков угловой скорости, установленных на борту КА, и интегрирования дифференциальных кинематических уравнений углового движения в реальном времени.

Дифференциальные кинематические уравнения углового движения твердого тела в параметрах Родрига-Гамильтона имеют следующий вид [38]:

2Xn = -Х,(о, — Х-уЫ-у — X-iCO где X2, ^з ~ параметры Родрига-Гамильтона, ©,,0)2,0)3- проекции вектора абсолютной угловой скорости твердого тела на оси связанной с твердым телом системы координат.

Если ввести кватернион ориентации, компонентами которого являются параметры Родрига-Гамильтона Х0, Х{, Х2, Х3, то дифференциальные кинематические уравнения углового движения твердого тела запишутся в следующем виде [20]: где символ "о" - обозначает кватернионное произведение, ш = +co2/2+юз/з кватернион абсолютной угловой скорости,

X = X0+Xlil+X2i2 + X2i3 - кватернион ориентации твердого тела, /',, /2, /3 -векторные мнимые единицы Гамильтона, подчиняющиеся следующим правилам умножения:

Задаче построения общего аналитического решения системы дифференциальных уравнений (1) для частных случаев углового движения твердого тела и разработке численных алгоритмов интегрирования этой системы, а также оценке погрешностей этих алгоритмов посвящено большое количество работ [1,20,37,44,49,53-57,70].

В работе [20] разработаны различные алгоритмы определения ориентации твердого тела в параметрах Родрига-Гамильтона по известным проекциям вектора абсолютной угловой скорости твердого тела на связанные оси, а также проведена оценка погрешностей построенных алгоритмов.

2Х = X о со

2) h 0 h = h 0 h = /3 ° г3 = -1, h 0 h = ~h 0 h = h > h 0 h ~ ~h 0 h = h > h 0 h = 0 h = h •

В [36] приведен нелинейный алгоритм определения ориентации твердого тела в параметрах Родрига-Гамильтона по результатам сопровождающихся погрешностями измерений вектора угловой скорости твердого тела и проекций на оси, связанные с телом, какого-либо вектора, положение которого известно в подвижной системе координат. Полученный в этой работе алгоритм имеет достаточно простой вид, что делает возможным его реализацию в реальном масштабе времени на бортовой ЭВМ космического аппарата.

В статье [70] найдено приближенное аналитическое решение кинематических дифференциальных уравнений углового движения твердого тела (1). Это решение построено на основе известного решения для случая, когда вектор угловой скорости постоянен по модулю и по направлению. В статье также приводятся результаты решения задачи об осесимметричном твердом теле, подверженном действию постоянного крутящего момента, который не меняет своего направления относительно тела. Результаты сравниваются с результатами численного решения.

В работе [44] исследуется комбинированный алгоритм определения ориентации твердого тела. Методом математического моделирования этот алгоритм сравнивается с другими известными алгоритмами.

На основе метода векторного рассогласования в работах [54,55] построены алгоритмы определения ориентации приборного трехгранника с использованием информации об угловом положении другого трехгранника, неизменным и неизвестным образом ориентированного относительно приборного трехгранника, при условиях, что начальная ориентация приборного трехгранника не задана. При этом в [54] все измерения полагаются идеальными, а в [55] строятся алгоритмы, учитывающие инструментальные погрешности датчиков угловой скорости.

Оценки погрешностей численного интегрирования кинематических дифференциальных уравнений углового движения твердого тела посвящены работы [1,16,43,49,53,57] и др.

В работах [28,30] рассмотрена возможность определения ориентации твердого тела по измерениям одного направления при малых колебаниях твердого тела относительно центра масс. В этих работах для построения алгоритма определения ориентации используется метод наименьших квадратов. Характер колебаний полагается известным.

Управление ориентацией КА является в большинстве случаев главным режимом управления его движением [50]. Это следует из того, что управление ориентацией, как правило, происходит непрерывно, нередко продолжаясь многие месяцы, в то время как длительность других режимов - коррекции траектории, спуска, сближения - исчисляются десятками минут или секунд. Кроме того, эти режимы неосуществимы без управления ориентацией, которое предшествует коррекции орбит или спуска, обеспечивая необходимые повороты корпуса КА перед запуском двигателя, или является составным элементом сложного движения, связанного со сближением двух КА.

В работе [50] дано следующее определение понятия "управление ориентацией КА": управление ориентацией КА называется осуществление заданного углового движения триэдра осей, э/сестко связанного с корпусом КА, относительно некоторой заданной системы одноименных осей (начала обоих триэдров находятся в одной и той же точке корпуса КА), при котором движение вокруг центра масс не влияет на движение самого центра масс.

Управление угловым движением КА необходимо во многих случаях [17]. Приведем примеры некоторых из них.

КА должен совершать угловые маневры вокруг центра масс с целью придания его осям определенного пространственного положения. Например, в момент схода с орбиты и перехода с одной орбиты на другую необходимо придать осям аппарата определенную ориентацию. Оси обитаемых КА должны занимать определенное пространственное положение, особенно при полетах вблизи планет, с целью создания элементарного комфорта.

Для управления угловым движением КА используются управляющие реактивные двигатели, линии действия сил тяги которых не проходят через центр масс аппарата; вращающиеся маховики; гироскопические стабилизаторы; устройства, основанные на использовании градиента гравитационного поля, светового давления, магнитного и электрического полей.

Построение управления угловым движением КА в традиционной постановке включает задачу построения программного углового движения, программного управления и задачу построения управления, стабилизирующего программное угловое движение в малом. Задача построения программного углового движения и программного управления во многих случаях решается с помощью теории оптимального управления [2,19,20,22,2527,29,39,40,52,66,71,73]. Аналитическое решение этой задачи для наиболее часто используемых функционалов оптимизации при произвольных граничных условиях по угловому положению и угловой скорости твердого тела не найдено. Поэтому в общем случае приходится рассчитывать лишь на приближенное аналитическое или численное решение задачи.

В кинематической постановке задача оптимального управления ориентацией твердого тела исследовалась в [20]. В этой работе решена задача оптимального по быстродействию кинематического разворота для ограниченной по модулю угловой скорости.

Одной из первых работ, посвященных оптимальному по быстродействию управлению переориентацией твердого тела в динамической постановке, является работа [52], где для случая несимметричного твердого тела рассматривается задача плоского разворота вокруг заданной неподвижной оси. Предполагается, что проекции вектора управляющего момента на главные оси инерции вращающегося тела ограничены по величине. На основе принципа оптимальности В.Ф. Кротова проведен синтез оптимального управления.

В работах [2,45] рассматривается задача оптимального по быстродействию пространственного разворота твердого тела одним поворотом вокруг неподвижной оси (эйлеровой оси вращения) при условии, что известны ограничения на компоненты вектора управляющего момента.

В работе [22] рассматривается задача оптимального по быстродействию разворота твердого тела с одной осью симметрии в предположении, что вектор управления ограничен эллипсоидом, подобным эллипсоиду инерции. Оптимальное решение найдено в классе траекторий, на которых кинетический момент твердого тела имеет постоянное направление в инерциальном пространстве.

Как указано в [20,21] построение стабилизирующего управления угловым движением К А можно разделить на две задачи: кинематическая задача управления и динамическая задача управления. Под кинематической задачей управления ориентацией КА понимается задача приведения жестко связанной с КА системы координат к опорной (программной) системе координат, вращающейся в инерциальном пространстве с заданной угловой скоростью. Причем процесс ориентации заключается в том, что связанной системе координат сообщается абсолютная угловая скорость, равная сумме программной абсолютной угловой скорости и угловой скорости коррекции. Назначение угловой скорости коррекции, рассматриваемой в качестве управления - изменять таким образом ориентацию связанного базиса, чтобы вызвать его совпадение с опорной системой координат.

В динамической задаче управления угловым движением КА полагается, что управлением является не абсолютная угловая скорость коррекции, а управляющий момент, прикладываемый к КА. Управляющий момент вызывает соответствующее движение КА; при этом целью управления ориентацией остается также совмещение связанного базиса с опорным.

Построение стабилизирующего управления в малом осуществляется на основе линеаризованных дифференциальных уравнений возмущенного углового движения твердого тела.

Большое количество работ посвящено другому подходу к построению управления угловым движением твердого тела, например, [18,19,74,75]. Этот подход использует принцип обратной связи для формирования законов управления и метод Ляпунова для анализа устойчивости управляемого углового движения твердого тела. Во многих работах этот подход используется для построения управления большими пространственными поворотами КА, рассматриваемого как твердое тело. В большинстве этих работ изучается задача переориентации твердого тела: задача перевода твердого тела из одного фиксированного углового положения в другое (при нулевых угловых скоростях твердого тела в начальном и конечном положениях). Законы управления строятся в виде линейных или нелинейных компонент кватерниона ошибки ориентации и вектора угловой скорости твердого тела так, чтобы процесс переориентации был асимптотически устойчивым в большом или целом.

В работах [48,58-64] изучается более общая задача построения управления, обеспечивающего асимптотически устойчивый в большом или целом перевод твердого тела, имеющего произвольную начальную угловую скорость, из его произвольного заранее не заданного углового положения на любую выбранную программную траекторию углового движения и дальнейшее асимптотически устойчивое движение твердого тела по этой траектории. При этом переходный процесс должен иметь желаемые качественные и количественные характеристики.

Настоящая диссертационная работа содержит четыре главы основного текста.

В первой главе рассмотрена задача построения алгоритма нахождения неизвестной компоненты вектора абсолютной угловой скорости КА по известным двум другим компонентам этого вектора и показаниям датчика местной вертикали. Такая задача возникает в случае выхода из строя одного из трех датчиков угловой скорости. Эта задача изучалась С.В. Рыжковым для случая геостационарного спутника. Им был построен алгоритм определения ориентации по неполной информации о векторе угловой скорости, использующий углы Эйлера-Крылова в качестве кинематических параметров. В настоящей работе, в отличие от исследований, проведенных С.В. Рыжковым, на движение центра масс КА не накладывается никаких ограничений, в качестве математической модели, описывающей угловое движение КА, взяты кватернионные кинематические дифференциальные уравнения. С использованием аналитического решения кватернионного кинематического уравнения (1) углового движения твердого тела, имеющего место в случае постоянного по модулю и направлению вектора абсолютной угловой скорости твердого тела на интервале дискретности вычислений, построены два алгоритма определения неизвестной компоненты вектора угловой скорости КА. Соотношения, по которым определяется искомая компонента, имеют простую структуру, однако содержат особые точки, которые, как показано в работе, могут быть исключены за счет комбинированного использования этих алгоритмов. Приведены результаты численного моделирования в виде графиков методических погрешностей.

Во второй главе работы рассмотрена задача построения векторных кинематических стабилизирующих законов управления угловым движением твердого тела. На основе кинематических дифференциальных уравнений углового движения твердого тела и его программного углового движения, а также формулы сложения конечных поворотов построены две формы кинематических дифференциальных уравнений возмущенного углового движения твердого тела в кватернионной и векторной формах в предположении, что параметры программного углового движения и управление являются произвольными, но заданными функциями времени. При этом использованы два способа описания ошибки по угловой скорости: 1) векторный, когда ошибка по угловой скорости формируется в виде векторной разности векторов действительной и программной угловых скоростей; 2) формальный, когда ошибка по угловой скорости формируется в виде разностей проекций соответствующих векторов, определенных в разных системах координат.

С использованием построенных уравнений возмущенного углового движения найдены две группы векторных кинематических законов стабилизирующих управлений, обеспечивающих асимптотическую устойчивость в большом произвольно выбранного программного углового движения твердого тела. Уравнения возмущенного движения, замкнутые полученными законами управления принимают эталонный вид: вид линейных стационарных дифференциальных уравнений относительно векторной части кватерниона ошибки ориентации или вектора конечного поворота, характеризующего ошибку ориентации твердого тела. Также построены законы управления, использующие в качестве кинематических параметров единичный вектор оси эйлерова поворота и угол эйлерова поворота. Проведено аналитическое и численное исследование построенных законов управления.

Построенные в работе законы кинематического стабилизирующего управления проще известных законов управления, построенных в [48] с использованием ненормированных кватернионов поворотов, однако содержат особую точку. В построенных законах, в отличие от законов, построенных в работе [18], могут быть аналитически строго определены коэффициенты усиления нелинейных обратных связей, исходя из требуемых качественных и количественных характеристик переходного процесса.

В третьей главе рассмотрена кинематическая задача оптимальной нелинейной стабилизации углового движения твердого тела. Задача заключается в построении вектора абсолютной угловой скорости твердого тела, рассматриваемого в качестве управления, при сообщении которого твердому телу оно переходит асимптотически устойчивым образом из любого, заранее не заданного начального углового положения, на любую выбранную программную траекторию и в дальнейшем совершает асимптотически устойчивое движение по этой траектории. При этом должен выполняться некоторый критерий качества переходного процесса.

В качестве функционалов минимизации выбирались функционалы, имеющие смысл смешанных интегральных критериев качества, характеризующих отклонения по фазовым координатам и общие энергетические затраты на управление.

С использованием принципа максимума JI.C. Понтрягина получены законы оптимальных управлений в виде функций фазовых и сопряженных переменных. Найдены первые интегралы дифференциальных уравиеиий задачи, использование которых позволило построить законы оптимального управления в виде линейных функций компонент кватернионов, характеризующих отклонение действительной ориентации твердого тела от его программной ориентации. Показано, что коэффициенты законов управления выражаются через весовые коэффициенты функционалов минимизации. Найдены аналитические решения кватернионных нелинейных дифференциальных уравнений возмущенного углового движения твердого тела, замкнутых построенными законами управления. Из построенных аналитических решений видно, что движение замкнутой системы асимптотически устойчиво. Показано, что построенные управления совпадают с управлениями, построенными с помощью метода динамического программирования Р. Беллмана, что говорит о том, что эти управления удовлетворяют не только необходимым, но и достаточным условиям оптимальности.

В этой главе также были аналитически построены оптимальные стабилизирующие законы управления с использованием теоремы Н.Н. Красовского [31,51], обеспечивающие асимптотическую устойчивость невозмущенного движения и минимизирующие другие функционалы, характеризующие качество переходного процесса.

В четвертой главе рассматривается задача управления угловым движением космического аппарата, когда в качестве управления выступает вектор кинетического момента КА. Такая постановка задачи возникает, например, при управлении ориентацией КА с использованием управляющих маховиков. Задача заключается в построении вектора кинетического момента КА, сообщение которого КА обеспечивает его перевод из заданного начального в требуемое конечное угловое положение. При этом функционал, интегрантом которого является квадрат модуля кинетического момента, должен принимать минимальное значение. Такой функционал характеризует общие энергетические затраты на управление. Полагается, что на вектор кинетического момента не наложено никаких ограничений, а время переориентации задано.

Поставленная задача решалась на основе кватернионного дифференциального уравнения, связывающего вектор кинетического момента КА с кватернионом ориентации КА и принципа максимума Л.С. Понтрягина. Найдено аналитическое решение задачи для случая, когда КА обладает сферической симметрией. В случае осесимметричного КА задача сведена к решению системы двух нелинейных алгебраических уравнений, предложен эффективный метод нахождения начальных приближений для численного решения этой системы. В общем случае, когда КА имеет произвольное распределение масс, законы оптимального управления найдены в виде эллиптических функций, что затрудняет аналитическое исследование уравнений углового движения КА, замкнутых этими управлениями. Приведены результаты численного моделирования управляемого движения КА в случае его осевой симметрии.

Рассмотренная задача отличается от задачи построения оптимального закона изменения вектора кинетического момента КА, рассмотренной в работе [27], постановкой задачи (используется другой функционал качества, время переориентации фиксировано, управление полагается неограниченным) и используемой математической моделью движения. Кроме этого, рассматривается не только случай осевой симметрии КА, но и общий случай распределения масс КА.

4.7. Выводы

Рассмотрена задача построения программного управления угловым движением космического аппарата, когда в качестве управления выступает вектор кинетического момента КА. Такая постановка задачи возникает, например, при управлении ориентацией КА с использованием управляющих маховиков. Задача заключается в построении вектора кинетического момента КА, сообщение которого КА обеспечивает его перевод из заданного начального в требуемое конечное угловое положение. При этом функционал, интегрантом которого является квадрат модуля кинетического момента, должен принимать минимальное значение. Такой функционал характеризует общие энергетические затраты на управление. Полагается, что на вектор кинетического момента не наложено никаких ограничений, а время переориентации задано.

Поставленная задача решена на основе кватернионного дифференциального уравнения, связывающего вектор кинетического момента КА с кватернионом ориентации КА и принципа максимума J1.C. Понтрягина. Найдено аналитическое решение задачи для случая, когда КА обладает сферической симметрией. В случае осесимметричного КА задача сведена к решению системы двух нелинейных алгебраических уравнений и предложен эффективный метод нахождения начальных приближений для численного решения этой системы. В общем случае, когда КА имеет произвольное распределение масс, законы оптимального управления найдены в виде эллиптических функций, что затрудняет аналитическое исследование уравнений углового движения КА, замкнутых этими управлениями. Приведены результаты численного моделирования управляемого движения КА в случае его осевой симметрии.

Рассмотренная задача отличается от задачи построения оптимального закона изменения вектора кинетического момента КА, рассмотренной в работе [27], постановкой задачи (используется другой функционал качества, время переориентации фиксировано, управление полагается неограниченным) и I используемой математической моделью движения. Кроме этого, рассматривается не только случай осевой симметрии КА, но и общий случай распределения масс КА.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Построены два алгоритма определения неизвестной компоненты вектора абсолютной угловой скорости космического аппарата по известным двум компонентам этого вектора и информации о направлении местной вертикали, основанные на использовании аналитического решения кватернионного дифференциального кинематического уравнения углового движения твердого тела для случая постоянного по модулю и направлению вектора абсолютной угловой скорости космического аппарата на интервале дискретности вычислений. Разработанные алгоритмы не имеют накапливающихся методических погрешностей. Каждый из алгоритмов содержит особые'точки, однако комбинированное их использование позволяет эти особые точки исключить. Проведенное численное моделирование алгоритмов показало их работоспособность и эффективность.

2. С использованием двух форм кватернионных кинематических дифференциальных уравнений возмущенного углового движения твердого тела построены три группы новых стабилизирующих векторных законов, управления угловым движением твердого тела, обеспечивающих в нелинейной постановке асимптотическую устойчивость в большом любого выбранного невозмущенного углового движения твердого тела и использующих в качестве кинематических параметров компоненты кватерниона ошибки ориентации, вектор конечного поворота, эйлеров угол и параметры ориентации эйлеровой оси вращения. Проведено аналитическое и численное исследование полученных законов стабилизирующего управления. Найдены условия, которым должны удовлетворять коэффициенты усиления нелинейных обратных связей.

3. С использованием методов теории оптимального управления получены в различных нелинейных постановках аналитические решения кинематической задачи оптимальной нелинейной стабилизации углового движения твердого тела. Построены оптимальные в смысле минимума функционалов, характеризующих отклонения по фазовым координатам и общие энергетические затраты на управление, стабилизирующие законы управления угловым движением твердого тела, использующие информацию о кватернионе ошибки ориентации тела и содержащие в явном виде коэффициенты функционалов минимизации. При построении стабилизирующих оптимальных законов управления были использованы различные методы теории оптимального управления: принцип максимума JI.C. Понтрягина, метод динамического программирования Р. Беллмана и теорема Н.Н. Красовского. Приведены результаты численного моделирования, показывающие эффективность построенных законов управления.

4. Построены с помощью принципа максимума Л.С. Понтрягина законы оптимального (программного) в смысле минимума энергозатрат изменения вектора кинетического момента космического аппарата. Для случая сферически симметричного космического аппарата найдено аналитическое решение задачи. В случае, когда космический аппарат имеет ось динамической симметрии, задача сведена к решению системы двух нелинейных алгебраических уравнений, предложен эффективный метод нахождения начальных приближений для численного решения этой системы. В общем случае, когда КА имеет произвольное распределение масс, законы оптимального управления найдены в виде эллиптических функций. Приведены примеры численного решения задачи и моделирования управляемого движения КА в случае его осевой симметрии.

5. Разработаны алгоритмы и программы численного решения изучаемых задач и моделирования управляемого углового движения твердого тела (КА).

Выражаю • глубокую признательность д.ф.-м.н., профессору Ю.Н.Челнокову за постановку задач исследования, многолетнюю помощь в работе и обсуждение полученных результатов.

1. Авраменко Л.Г. О погрешностях численного интегрирования кинематических уравнений в параметрах Родрига-Гамильтона / Л.Г. Авраменко, В.Б. Ларин // Изв. АН СССР. МТТ. 1986. - № 3. - С. 45-50.

2. Алексеев К.Б. Экстенсивное управление ориентацией КЛА / К.Б. Алексеев. -М.: Машиностроение, 1977. 121 с.

3. Андреев В.Д. Теория инерциальной навигации. Автономные системы / В.Д. Андреев. М.: Наука, 1966. - 579 с.

4. Бежко А.П. Применение кватернионов в теории конечного поворота твердого тела / А.П. Бежко, В.Н. Бранец, Ю.М. Захаров, И.П. Шмыглевский//Изв. АН СССР. МТТ.- 1971.-№ 1.-С. 123-134.

5. Бирюков В.Г. Построение мультипликационных вращений на основе теории кинематического управления угловым движением твердого тела / В.Г. Бирюков, Ю.Н. Челноков // Сб. науч. статей по материалам междунар. науч.-техн. конф. Саратов: СГТУ, 2000. - С. 58-62.

6. Бирюков В.Г. Векторное построение кинематического стабилизирующего управления угловым движением твердого тела / В.Г. Бирюков, Ю.Н. Челноков // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: СГУ, 2000. -Вып. 2.-С. 156-158.

7. Бирюков В.Г. Законы стабилизирующего управления угловым движением твердого тела / В.Г. Бирюков, Ю.Н. Челноков // Аэродинамика. Ударно-волновые процессы: Межвуз. сб. науч. тр. Саратов: СГУ, 2001. - Вып. 15(18).-С. 88-96.

8. Бирюков В.Г. Определение неизвестной компоненты вектора абсолютной угловой скорости космического аппарата по информации о направлении местной вертикали / В.Г. Бирюков, Ю.Н. Челноков // Математика.

9. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: СГУ, 2001. - Вып. 3. - С. 157-160.1

10. Бирюков В.Г. Кинематическая задача оптимальной нелинейной стабилизации углового движения твердого тела / В.Г. Бирюков, Ю.Н. Челноков // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: СГУ, 2002. -Вып. 4.-С. 172-174.

11. Боданский Е.Д., О погрешностях численного интегрирования кинематических уравнений Пуассона / Е.Д. Боданский, В.Д. Фурман // Космические исследования. 1970. - Т. 8. - Вып. 6. - С. 944-948.

12. Боднер В.А. Теория автоматического управления полетом / В.А. Боднер. М.: Наука, 1964.-700 с.

13. Бранец В.Н. Кинематическая задача ориентации во вращающейся системе координат / В.Н. Бранец, И.П. Шмыглевский // Изв. АН СССР. МТТ. 1972. -№ 6. - С. 36-43.

14. Бранец В.Н. Применение кватернионов в задачах управления угловым положением твердого тела / В.Н. Бранец, И.П. Шмыглевский // Изв. АН СССР. МТТ. 1972. - № 4. - С. 24-31.

15. Бранец В.Н. Применение кватернионов в задачах ориентации твердого тела / В.Н. Бранец, И.П. Шмыглевский. М.: Наука, 1973. - 320 с.

16. Бранец В.Н. Введение в теорию бесплатформенных инерциальных навигационных систем / В.Н. Бранец, И.П. Шмыглевский. М.: Наука, 1992.-280 с.

17. Бранец В.Н. Оптимальный разворот твердого тела с одной осью симметрии / В.Н. Бранец, Ю.В. Казначеев, М.Б. Черток // Космические исследования. 1984. - Т. 22. - Вып. 3. - С. 352-360.

18. Ванько В.И. Вариационное исчисление и оптимальное управление / В.И. Ванько, О.В. Ермошина, Г.Н. Кувыркин. М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001.-488 с.

19. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц / Ф.Р. Гантмахер. М.: Наука, 1988. - 576

20. Гуляев В.И. Оптимальное по быстродействию управление трехосной ориентацией твердого тела при ограниченных параметрах управления /

21. B.И. Гуляев, В.Л. Кошкин, И.В. Савилова // Изв. АН СССР. МТТ. 1986. -№5. - С. 11-15.

22. Гурман В.И. Оптимальное управление ориентацией осесимметричного вращающегося космического аппарата / В.И. Гурман, Э.К. Лавровский,

23. C.И. Сергеев // Космические исследования. 1970. - Т. 8. - Вып. 3. - С. 341-349.

24. Зелепукина О.В. Построение законов оптимального изменения вектора кинетического момента динамически симметричного космического аппарата / О.В. Зелепукина, Ю.Н. Челноков // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: СГУ, 2004. - Вып. 6. - С. 189-192.

25. Каленов Н.Е. О возможности определения ориентации ИСЗ по одновекторной схеме при малых колебаниях спутника относительно центра масс / Н.Е. Каленов // Космические исследования. 1970. - Т. 8. -Вып. 5.-С. 787-789.

26. Красовский Н.Н. Проблемы стабилизации управляемых движений. В кн.: Малкин И.Г. «Теория устойчивости движения», доп. 4. М.: Наука, 1966.

27. Кошляков В.Н. О применении параметров Родрига-Гамильтона и Кэйли-Клейна в прикладной теории гироскопов / В.Н. Кошляков // ПММ. 1965. - Т. 29. - Вып. 4. - С. 729-733.

28. Кошляков В.Н. Об уравнениях движения тяжелого твердого тела около неподвижной точки / В.Н. Кошляков // Укр. матем. журн. 1973. - Т. 25. -Вып. 5.-С. 677-681.

29. Кошляков В.Н. О применении параметров Родрига-Гамильтона и Кэйли-Клейна к задаче о движении тяжелого твердого тела около неподвижной точки / В.Н. Кошляков // Укр. матем. журн. 1974. - Т. 26. - Вып. 2. - С. 179-187.

30. Кошляков В.Н. Параметры Родрига-Гамильтона и их приложения в механике твердого тела / В.Н. Кошляков. Киев: Изд-во ин-та мат. АН Украины, 1994.-176с.

31. Ларин В.Б. Об определении ориентации твердого тела / В.Б. Ларин, К.Н. Науменко // Изв. АН СССР. ШТ. 1983. - № 3. - С. 24-32.

32. Лебедев Д.В. Системы инерциального управления. Алгоритмические аспекты / Д.В. Лебедев, А.И. Ткаченко. Киев: Наукова думка, 1991. -208с.

33. Лурье А.И. Аналитическая механика / А.И. Лурье. М.: Физматгиз, 1961. -824 с.

34. Маланин В.В. Оптимальное управление ориентацией и винтовым движением твердого тела / В.В. Маланин, Н.А. Стрелкова. Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотичная динамика», 2004. - 204 с.

35. Нильсон Г.М. Мультипликационные вращения на 4-мерной сфере с помощью кватернионов и сплайнов / Г.М. Нильсон, Р.В. Хейланд // Изв. РАН Программирование. 1992. - № 4. - С. 17-27.

36. Панков А.А. Исследование хватернионных законов кинематического управления ориентацией твердого тела по угловой скорости / А.А. Панков, Ю.Н. Челноков // Изв. РАН. МТТ. 1995. - № 6. - С. 3-13.

37. Панов А.П. Математические основы теории инерциальной ориентации/

38. A.П. Панов. Киев: Наукова думка, 1995. - 279 с.

39. Переляев С.Е. Новый комбинированный алгоритм определения ориентации твердого тела / С.Е. Переляев // Изв. РАН. МТТ. - 2000. - № 1.-С. 3-19.

40. Петров Б.Н. Аналитическое решение задачи управления пространственным поворотным маневром / Б.Н. Петров, В.А. Боднер

41. B.А., К.Б. Алексеев // Докл. АН СССР. 1970. - 192. - № 6. - С. 12351238.

42. Плотников П.К. Измерительные гироскопические системы / П.К. Плотников. Саратов, 1976. - 168 с.

43. Плотников П.К. Построение и анализ кватернионных дифференциальных уравнений задачи определения ориентации твердого тела с помощью бесплатформенной инерциальной навигационной системы / П.К. Плотников // Изв. РАН. МТТ. - 1999. - № 2. - С. 3-13.

44. Плотников П.К. Кинематическая задача управления ориентацией твердого тела / П.К. Плотников, А.Н. Сергеев, Ю.Н. Челноков // Изв. АН СССР. МТТ. -1991. - № 5. - С. 9-18.

45. Плотников П.К. Сравнительный анализ точности алгоритмов определения ориентации объекта в параметрах Родрига-Гамильтона и направляющих косинусах / П.К. Плотников, Ю.Н. Челноков // Космические исследования. 1979. - Т. 17. - Вып. 3. - С. 371-377.

46. Раушенбах Б.В. Управление ориентацией космических аппаратов / Б.В. Раушенбах, Е.Н. Токарь. М.: Наука, 1974. - 600 с.

47. Ройтенберг Я.Н. Автоматическое управление / Я.Н. Ройтенберг. М.: Наука, 1978.-552 с.

48. Соловьев В.П. Об оптимальном развороте космического аппарата вокруг произвольной неподвижной оси / В.П.Соловьев // Космические исследования. 1969. - Т. 7. - Вып. 1. - С. 42-50.

49. Ткаченко А.И. Погрешности вычисления параметров Родрига-Гамильтона / А.И. Ткаченко // Изв. АН СССР. МТТ. 1973. - № 1. - С. 32-37.

50. Ткаченко А.И. Определение ориентации и калибровка пространственного измерителя угловой скорости с использованием угловой информации '/ А.И. Ткаченко // Изв. АН СССР. МТТ. 1983. - № 3. - С. 19-23.

51. Ткаченко А.И. Определение ориентации приборного трехгранника с использованием угловой информации / А.И. Ткаченко // Изв. АН СССР. МТТ.-1982.-№6.-С. 15-21.

52. Ткаченко А.И. К определению ориентации объекта, имеющего неподвижную точку / А.И. Ткаченко // Прикл. механика. 1984. - Т. 20. -№ 12.-С. 101-105.

53. Челноков Ю.Н. Об определении ориентации объекта в параметрах Родрига-Гамильтона по его угловой скорости / Ю.Н. Челноков // Изв. АН СССР. МТТ. 1977. - № 3. - С. 11-20.

54. Челноков Ю.Н. Кватернионное решение кинематических задач управления ориентацией твердого тела: уравнения движения, постановка задач, программное движение и управление / Ю.Н. Челноков // Изв. РАН. МТТ. 1993. - № 4. - С. 7-14.

55. Челноков Ю.Н. Кватерннонный синтез нелинейного управления ориентацией движущегося объекта / Ю.Н. Челноков // Изв. РАН. Теория и системы управления. 1995. - № 2. - С. 12-23.

56. Челноков Ю.Н. Кватернионы и динамика управляемого движения твердого тела / Ю.Н. Челноков // Изв. РАН. МТТ. 1996. - № 2. - С. 1323.

57. Челноков Ю.Н. Построение управлений угловым движением твердого тела, использующее кватернионы и эталонные формы уравнений переходных процессов. Ч. 1 / Ю.Н. Челноков // Изв. РАН. МТТ. 2002. -№1.-С. 3-17.

58. Челноков Ю.Н. Построение управлений угловым движением твердого тела, использующее кватернионы и эталонные формы уравнений переходных процессов. Ч. 2 / Ю.Н. Челноков // Изв. РАН. МТТ. 2002. -№2.-С. 3-17.

59. Шкляр В.Н. К задаче оптимального пространственного разворота космического аппарата относительно центра масс / В.Н. Шкляр, A.M. Малышенко // Космические исследования. 1975. - Т. 13. - Вып. 4. - С. 473-480.

60. Carrington С.К. Optimal Nonlinear Feedback Control for Spacecraft Attitude Maneuvers / C.K. Carrington, J.L. Junkins // Journal of Guidance, Control and Dynamics. 1986. - Vol. 9. -№ 1. - P. 99-107.

61. Dwyer T.A.W. Exact Nonlinear Control of Spacecraft Maneuvers with Inertial Momentum Transfer / T.A.W. Dwyer // Journal of Guidance, Control and Dynamics. 1986. - Vol. 9. - P. 240-247.

62. Hamilton W.R. Lectures on Quaternions / W.R. Hamilton. Dublin: Hodges and Smith, 1853.

63. Kane T.R. Solution of Kinematical Differential Equations for a Rigid Body / T.R. Kane // Journal of Applied Mechanics. March 1973. - Pp. 109-113.

64. Redding D.S. Optimized Rotation-axis Attitude Maneuver Controller for the Space Shuttle Orbiter / D.S. Redding, N.J. Adams // Journal of Guidance, Control and Dynamics. 1987. - Vol. 10. - P. 4-13.

65. Scrivener S.L. Survey of Time-Optimal Attitude Maneuvers / S.L. Scrivener, R.S. Thompson // Journal of Guidance, Control and Dynamics. 1994. - Vol. 12.-№2.-Pp. 225-233.

66. Vadali S.R. Spacecraft Large Angle Rotation Maneuvers with Optimal Momentum Transfer / S.R. Vadali, J.L. Junkis // Journal of the Astronautical Sciences. 1983. - Vol. 31. - P. 217-235.

67. Wie B. Quaternion Feedback for Spacecraft Large Angle Maneuvers / B. Wie, P.M. Barba // Journal of Guidance, Control and Dynamics. 1985. - Vol. 8. -№ 3. - Pp. 360-365.

68. Wie B. Quaternion Feedback Regulator for Spacecraft Eigenaxis Rotations / B. Wie, H. Weiss, A. Arapostathis // Journal of Guidance, Control and Dynamics. 1989. - Vol. 12. - № 3. - Pp. 375-380.

69. Yuan J. S-C. Closed-loop Manipulator Control Using Quaternion Feedback / J. S-C. Yuan // IEEEJ. Rob. and Autom. 1988. - № 4. - P. 434-440.