автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:О моделировании управляемого движения твердого тела и системы связанных твердых тел

На правах рукописи

Псрцева Ирина Анатольевна

О МОДЕЛИРОВАНИИ УПРАВЛЯЕМОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА И СИСТЕМЫ СВЯЗАННЫХ ТВЕРДЫХ ТЕЛ

05 13 18 - Магматическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ульяновск - 2007

003173131

Работа выполнена на кафедре механики и теории управления государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования Ульяновский государственный университет

Научный руководитель.

доктор физико-математических наук, профессор Андреев Александр Сергеевич

Официальные оппоненты.

доктор физико-математических паук,профессор Вельмисов Пегр Александрович, кандидат физико-математических наук, доцент Волков Максим Анатольевич

Ведущая организация:

ГОУ ВПО Мордовский государственный университет

Защита состоится ¿^ноября 2007 г в ¿2 ч ¿)£> мин на заседании диссертационного совета Д 212 278 02 при Ульяновском государственном университете по адресу Набережная р Свияги, 106, ауд 703

Отзывы по данной pa6oie просим направлять по адресу 432000, г Ульяновск, ул Л Толстого, 42, УлГУ, УНИ

С диссертацией можно ознакомился в библиотеке Ульяновского государственного университета, с авторефераюм - на сайте вуза http /'/www um ulsu ru

Автореферат разослан "_"_ 2007 г

Ученый секретарь диссертационного совета

Веревкин А Б

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Для широкого класса современных машин и приборов, включая многие самодвижущиеся аппараты - летающие, плавающие, катящиеся и шагающие по поверхности, - механическая модель задается в виде твердого тела и системы связанных твердых тел, соединенных посредством связей и упругих приспособлений Движение тела л системы гел, как и движение любой механической системы, удовлетворяет основным леоремам и принципам механики Но так как они представляют частный вид общей механической системы, целесообразно получить вид их уравнений движения, удобный для теоретического анализа и численного моделирования на ЭВМ Такое удобство может состоять как в описании движения в переменных, не имеющих особенностей (как, например, в случае углов Эйлера), так и в эффективном представлении уравнений движения для численного интегрирования Многие ученые разных стран ведут исследования в этой области, как в направлении вывода удобных алгоритмов составления уравнений движения, так и в решении различных прикладных задач Большой интерес, в частное 1 и, к моделированию движения твердого тела и системы связанных твердых тел, вызывают задачи управления движением спутника, космической станции Результаты исследования в этой области представлены в моно! рафиях Лурье АИ Леюва А М 2, Алексеева КБ3, Раушенбаха В В 4, Виттенбурга Й5, Лилова Л К

1 Лурье Л И Не которые задачи динамики (ж тем твердых тел Изв Ченинт р ионпех, тыа Л 1960, 210с

2Ле-юв А М Динамика полета и управление М , "Наука 1969, 359 с

^Алешесв К Б Экстенсивное управ тение ориентацией космического летатечьного аппарата М "Машиностроение 1977, 122 с

4Рауя1енбах В В , Токарь В И Управление ориентацией космических аппараюв М Наука 1974 ГЛ8 с

5Виттен6ург Й Динамика < истемы связанных те т М Наука 1980 290 с

('Ли юв Л К Модетированио систем связанных тем М Наука 1993 272 с

обзорах Сарычова В А 7, сборниках8 и др

Цель диссертационной работы

1 Вывод новой формы уравнений движения системы связанных твердых тел, удобной для анализа задач управления и численного моделирования на ЭВМ

2 Вывод новых способов исследования задач управления движением на основе меюда сравнения

3 Решение модельных задач об управлении движением твердого тела и системы связанных твердых тел

Методы исследования

В работе используются методы исследования и решения задач, широко применяемые в теории моделирования, в теоретической механике, в теории устойчивости и стабилизации движения, в теории управления, в теории дифференциальных уравнений

Научная новизна

Все основные результаты диссертационной работы являются новыми

Положения, выносимые на защиту

Автором защищаются следующие положения

- новая матричная форма уравнений движения свободной системы связанных твердых тел,

- новые методы исследования задач о стабилизации движения,

- решение задач об ориентации спутника относительно ииерциальной и вращающейся систем координат,

- решение задач о стабилизации поступательно-вращательного движения твердого тела и системы твердых тел

Теоретическая и практическая значимость

Работа имее! 1еорегический характер Результаты, полученные в

7Сарычсв В А Вопросы ориентации искусственных спутников Итоги науки и техн ВИНИТИ Сер Исстедование космич пространства, 1978,

^Ориентация искусственных спутников в Iравитационпых и магнитных ночих М Паука, 1970 301 с и др

диссертации, могут быть использованы в моделировании движения системы связанных твердых тел, в решении теорешческих и прикладных задач об управлении движением твердого тела, системы связанных твердых тел

Апробация работы

Отдельные результаты диссертации докладывались и обсуждались

на

- Международной конференции "Dinamical system modeling and stability investigation" Май 2003г Киев Украина,

- VII Международной конференции "Динамика технологических систем" 2004г Саратов,

- VII Крымской Международной математической школе "Метод функций Ляпунова и его приложения" 2004г Алушта Крым

- VI Международной конференции "Математическое моделирование физических, технических, экономических, социальных систем и процессов" 2005г Ульяновск

- VIII Крымской Международной математической школе "Метод функций Ляпунова и его приложения" 2006г Алушта Крым

- Х-XV ежегодной научно-практической конференции студентов и аспирантов Ульяновского государственного университета, 2001-200G гг УлГУ, г Ульяновск,

- семинарах кафедры механики и теории управления Ульяновского государственного университета, 2000-2006 гг УлГУ, г Ульяновск

- IX Международной научно-технич конференции "МИССУ" 2006г п Канака Крым

- X Международной научно-технич конференции "МИССУ" 2007г п Канака Крым

- VIII всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной матемашке 2007г Сочи-Адлер

Личный вклад автора

Постановка задачи предложена научным руководителем профессором А С Андреевым Основные результаты диссертации получены автором самостоятельно Публикации

По теме диссертации опубликовано 13 работ, в том числе 2 статьи в журналах, рекомендованных ВАК Структура и объем работы

Диссертация сосюиг из введения, трех глав, заключения, списка литературы Общий объем диссертации составляет 107 страниц

Содержание работы

Введение содержит обоснование актуальности рассмотренных в диссертции вопросов Определяются цель исследования, научная новизна и практическое значение Дается краткий обзор исследуемой проблемы и краткое содержание диссертации

В первой главе диссертации выводится новая форма уравнений движения свободной системы связанных твердых тел, состоящей из п твердых тел, соединенных между собой шарнирами с голономными связями, при этом сисхема не связана с внешним телом, движение коте poro задано как функция времени, а для описания соединения тел используются элементы теории графов5

В первых двух параграфах излагается вывод кинематических и динамических уравнений системы твердых тел

Уравнения движения получены из принципа Даламбера

71

- m,f,) + 6ттг(мг - L,)] + SW = 0

i=i

Lt = ItQt + й)г х Itü)t (г = 1, , га),

где 77ÍJ, гг, Lj, /,, Сиг, Ft, Мг обозначают массу тела г, радиус-вектор его центра масс относительно полюса, фиксированною в инерцнальном пространстве, момент количества абсолютною движения относительно этого центра масс, центральный ieinop инерции и абсолюхную уиювую

скорость, главный вектор и главный момент внешних сил, действующих на тело г, соответс1венно Линия действия Рг проходит через центр масс тела г Вектор 5гг представляет собой вариацию гг и ¿7Гг - произведение произвольного единичного вектора на бесконечно малый ух ол

Точки над гг и и>г обозначают дифференцирование по времени в инерциалыюй системе отсчета, вариации г, и 5тгг описывают вариации положения и ориентации 1ела г по отношению к этой инерциальной системе отсчета Слагаемое <51У представляет собой полную возможную работу, совершаемую в шарнирах системы Силы реакции не вносят вклада в нее, тк они предполагаются идеальными Возможная работ совершается в шарнирах пружинами, демпферами и другими подобными элементами

В качестве переменных, определяющих положение системы, примем радиус-векюр центра масс Тс, радиус-векторы каждого хела относительно центра масс - йг (г = 1, , п), относительные перемещения, угловые переменные, в том числе квазикоординаты, определяющие положение каждого тела отостельно инерциального просхрансхва Показано, что принцип Даламбсра в матричном виде

6ЯТ{Р - тЁ) + дпТ(М - Тш - V) + Ш = О может быть приведен к следующему виду

{6тгт х В- 52т(Тц)){Р + тВт хш + т{Тц)Т{2" + 2 К) - гпд1)+ +6тгт{М -Тй)-У)~ 52т Х(а) + ¿тгг5У(а) = О,

где X^, У^ - есть соответственно сила и момент, вызываемые шарнирными силами

Отсюда выводится следующая форма принципа в квазикоординатах #1, ,7г„ и относительных перемещениях ,2„

5ж т(Вх{Р + тВт хш + тп(Т,и)1 {2" + 2К) - гпд1) + М - 1й - V + (а)) +

+б2т{Тц)(Р + тВт хш + т{Тц)т{2" + 2Л) - гпд1) + 5гтХ^ =■ О

Если шарниры являются шаровыми, тогда вариации дж независимы Отсюда имеем следующую группу уравнений

В х тВт х й> - 1й) + В х тп(Т1лУ 2" + В х Р+

+В х 2т(Тц)т}г — В х тд1 + М — V + БУ = 0 (1)

Вторая группа уравнений получается из соотношения

бгТ({Тц)тВ хш + (Тц)т(Тц)Т2" + (Тц)Р+

+2(Т»т(7»77г - (Т^тпд1 + X) = 0 (2)

в зависимости от того, какие ограничения накладывают связи на перемещения между телами 2 = 21 , в случае одномерных перемещений, 2 = + ¿^Г (£)/?2 Для двумерных перемещений

Если же связи допускают свободные пространственные смещения, то вариации 52 являются независимыми, из соотношений (2) имеем следующую группу уравнений

(7»т(7>)7 2" + {Тц)тпВ х ш +

+2(Т/2)т(7»ТЛ - (Т^тпд1 - X = 0 (3)

Совокупность уравнений (1), (3), уравнение движения центра масс Мгс = Р вместе с кинематическими уравнениями движения (в углах Эйлера или Брайнта, или Родрига-Гаминьтона) сос!авляют полную с овокупность уравнений, определяющих движение системы

Новизна полученных результатов состоит в том, что уравнения (1) и (3) имеют матричный вид, удобный для анализа и моделирования на ЭВМ Разработаны алгоритмы вывода полученных уравнений на ЭВМ В §3 главы 1 представлены уравнения движения космической станции, моделируемой в виде системы связанных твердых тел, допускающих как вращательное, так и поступательное движение тел относительно друг друга Определяется положение относи 1ельного равновесия станции в предположении, что ее цен!р масс движется по круговой орбше

Во второй главе диссертации представлены новые способы решения задач о схабилизируемости движений управляемой системы и их применение в решении задач прикладного характера

Рассмотрим управляемую систему, движение которой описывается системой дифференциальных уравнений

х = х(г, х, и), х(г,о, 0) ^ о, (4)

где х = (^1, ,хп)' - вектор п-мерного линейного действительного пространства Яп с нормой р|| = (х\ + + , й = (щ, ,йт)' - вектор управляющих воздействий, й 6 Ят, Ят ш-мернос линейное действительное пространство с нормой ||й|| = (й| + + й^)1*, X -вектор-функция, определенная и непрерывная в области й+ х Г х П."1, Г = {т е Л" ||5|| < Я, 0 < Н ^ +оо} и такая, что для некоторого класса О непрерывных управляющих воздействий й ГС х Г —> Ят, 0) = 0, выполняются условия существования и единственности решений системы (4) в области Я+ х Г

В дальнейшем будем рассматривав задачу о стабилизации невозмущенного движения х = 0 системы (4) в следующей постановке Определение 1. Управляющее воздействие й = х) называется стабилизирующим, если нулевое решение системы

т = Х°{1,х) = ХЦ,х,щ{Ь,х)) (5)

являехся равномерно асимптотически устойчивым с некоторой областью равномерною притяжения Гц = {а; е Яп ||а;|| < Н}

Пус1ь и — й°(Ь,х), й° е О, есть некоторое выбранное управляющее воздействие, под действием которого имеем уравнения управляемого движения в виде (5)

Предположим, что правая часть системы (5) удовлетворяет условию Липшица по х равномерно относительно t, те для любого компакта К С С существует число Ь — Ь{К), такое, что для любых х\, х-ь € К

и любого t Е R+ выполняется неравенство

||X°(f,af2) -Х°^хг)\\ < Ь\\х,-х2\\ (6)

В силу условия (6) находим, что правая часть X°(t, х) ограничена на каждом компактном множестве К С Г, гак как для каждого х € Г из неравенства (6) следует

||Х(г,х)|| = \\X{t,x) -X(i,6)|| ^ L||i|| ^ LM, М = max{||x||, х <Е К}

Отсюда согласно работам 9 10 для системы (5) можем определить семейство предельных систем

t

х = X*(t, х), X*(t, х)=^- hm [ X°(ti + г, х) dr (7)

at i—» оо J о

Пусть Ki - класс векторных функций

V = (V\V2, ,Vk)T, V Г —> i?fc

Rk - fc-мерное пространство с нормой || ограниченных, равномерно непрерывных на каждом множестве R х К, К С G Для каждой функции V € Ki, семейство сдвигов

{Vr(t,x) = V{t + T,x), те R+}

будет предкомпактио в некотором функциональном метри дуемом пространстве Fv непрерывных функций V Г —> Rk с открыто-компактной топологией

Ввел ем также аналог ичные классы Кг и Кз векторных функций

Y RxRk Я*? W RxGx Rk -> Rk

ограниченных и равномерно непрерывных по (t, у) € R х Л'2 и (■t,x,y) G R х К\ х К2 для любых компактных множеств Кг С G и

^Aitbtan Z 'topological dynamics of ordinary differential equations // J Differ Equat 1977 V 23 P 216-223

10Aifsf( m Z Uniform asymptotic stability via the limiliilg (qiiations // J Diffi r bquat 1978 V 27 У 172-189

К-> С Rk При этом дополнительно будем считать, что каждая функция Y € Кг непрерывно дифференцируема по у

Для каждой из функций V £ , Y G К2, W £ К3 могут быть построены семейС1ва предельных функций {V"*}, {?*}, {W*}, а для определенных последовательностей t3 —> +00 могут быть найдены предельные совокупности {X*, V*, Y*, И^*}11

Пусть для системы (5) сущес1вует функция V G Kj, V G С1, V(t, 0) s 0, производная которой в силу этой системы представима в виде

V(t,x) = Y(t,V(t,x)) + W(tfx,V(t,x)), Y(t, б) = 5, Й^Дб)=б

(8)

где функция У = Y(t, у), Y G К2 - квазимонотонная и непрерывно дифференцируемая по у G Rk, 5Y/dy G K2, функция № G Kj, W(t, x,y) < 0 для любых (t, x, y) G R x G x Rk

Из представления (8) следует, что V(t,x) - векюр-функция сравнения, а система

V = Y{t,y) (9)

является системой сравнения 12

Если V = V(t,x) - функция, удовлетворяющая уравнению (8), при этом V(tç), Хо) = Vq, а у = y(t, ¿q, Vo) - решение системы (9), определенное на интервале [to,to + Р), Р > 0, го на решении x — x(t,to,xo) системы (5) выполняв 1ся неравенство

V(t, x(t, ta, хо)) < y(t, t0, V0), Vt G [ta, «o + P)

Из условия Y G K2 следуех, что система (9) предкомпак1на и для нее можно определить семейство предельных систем сравнения

y = Y*{t,y), Y* G Fy (10)

11 Андреев АС, Лерегудова О А К методу (. раинения в задача об асиминличе« кой уст oit'mnoi ти//Прикчадная математика и механика Т70 Вып G 2006 с 965-976

12Метод векторных функций Ляпунова в теории \стоичигюп и/ Под ред А А Воронова В M Майорова M Наука, 1987 с 31 2

Из условий относительно правой части Y = Y(t,y) системы (9) следует, чю решения этой системы у = y(t, ¿о, уо) непрерывно дифференцируемы по (f0, Z/o) G х Rk Из свойства неубывания зависимости y(t, t0, у0) по у о следует, что матрица

ду0

является неотрицательной, нормированной, — I {I -

единичная матрица), фундаментальной матрицей для линейной системы в вариациях

- - _ - dY(t у)

Ш = H(t, t0, Уо)Уи Н = —щ- I

В дальнейшем будем полагать, что система сравнения (9) такова, что матрица <3>(i, io,Vo) имеет свойство для любого компакта К G Rk существуют числа М(К), и а(К) > 0 такие, что для любых (t,to,yo) G R+ х R+ х К имеют место неравенства

||Ф(Мо,Й>)||<М(Я), det t0 ,уо)><*(Ю (11)

Пусть

к

v(t, = ъ)или Vfo = тах{у!(^ 5), V2{t, z), , Vk{t, i)}

i=i

Тогда11 имеем следующий результат

Теорема 1. Предположим, что для системы (5) можно найгти управляющее воздействие й = щ(t,x) и вектор-функцию V 6 Кт такие, что

1) справедливо дифференциальное равенство (8),

2) нулевое решение у = 0 системы сравнения (9) равномерно устойчиво,

3) на каждом ограниченном решении системы сравнения (9) выполнено условие (11),

4) для любой предельной совокупности (X*, V*, Y*, W*) и каждого

ограниченного решения у — у* (t) ф 0 предельной системы сравнения (10) множество

{v\t,i) = vm f){w*(t,x,?(t)) = о}

не содержит решений предельной к (5) системы

Тогда управляющее воздействие й = vP(t,x) является стабилизирующим в соответствии с определением 1

В частном случае скалярной функции V имеет место следующий результат

Пусть производная этой функции нредставима в скалярном виде

Vit, х) = Y(t, V(t, ж)) + W(t, х, V{t, ж)) (12)

где фунция Y = Y(t, у), Y € К2 - непрерывно дифференцируемая по у € Я SY/ду £ К2, функция № е К3, W(t,x,y) < 0 для любых (t,x,y) £ Я х G х Я

Соответственно определяется скалярное уравнение сравнения

У — Y(t, у) (13)

Имеет место следующая теорема

Теорема 2. Предположим, что для системы (5) можно найти управляющее воздействие й = ü0(t,x) и скалярную функцию V удвлетворяютцие (12) такие, что

1) справедливо дифференциальное равенство (12),

2) нулевое решение у = 0 системы сравнения (13) равномерно усюйчиво,

3) для любой предельной совокупности (X*, V*, Y*, W*) и каждого ограниченного решения у ~ y*(t) ф 0 предельной системы сравнения множество

{V*(t, х) = v*(i)} f|{ y*(t)) = 0}

не содержит решений предельной к (5) системы

Тогда управляющее воздейС1вие й = ü°(t,x) является стабилизирующим

В частном случае, когда У — 0, имеем следующую возможность решения задачи о стабилизации

Теорема 3 Предположим, что для системы (5) можно найти управляющее воздействие й = и скалярную определенно-

положительную функцию V такие, что

1) V < <0, 1де IV <=К3,

2) для любой предельной совокупности (X*, ]¥*) множество {\¥* = 0} не содержит решений предельной системы (9) х = X* кроме нулевого г- = 0

Тогда управляющее воздействие й = является

стабилизирующим

Во втором параграфе главы решаются задачи устойчивого функционирования простейших гироскопических систем на примере плоского махемагического маятника на подвижном основании и гироскопа Фуко первого и второго рода

В §3 решена задача об ориентации спутника относительно инерциальной системы координат

Пусть Ох^г}^ есть абсолютная система координат, Отуг - система координат, неизменно связанная со спутником То Точка О совпадав 1 с центром масс спутника, Оа(3-у - система координат, совершающая поступательное движение относительно Пусть далее заданы два

орта 5о и го, причем ор1 5о занимает неизменное положение в системе Оа/Зу, а орт г0 занимает неизменное положение в системе Охуг

Рассмотрим задачу об ориентации спутника, при которой ось Го направлена по оси 5ц При решении задачи будем учитывать передвижение масс в космическом аппарате, вызванных либо изменением режима работы гиросиловых стабилизаторов, либо иными перемещениями масс в аппарате, те примем I =

В качестве уравнений движения возьмем уравнения в форме4

~ + шхК = М + Мг (14)

т

где ш - угловая скорость спутника, К = Iûj - кинетический момент О1носительно центра масс - точки О, I - хензор инерции, Mr = —dH/dt - управляющий момент гиросиловою схабилизатора, Н-кинетический момент подвижных масс, М- главный момент внешних сил, действующих на спутник Управляющим моментом будем считать весь момент Мупр = M + Мг

В принятой постановке уравнения вращательного движения (14) в системе координат Oxyz могут быхь записаны в виде

Tdü т __ -гт \ dl(t)

I— + Ith + и х Iûj uj х H = МуПр, I(t) =

Обозпачим через s2, г,, (г = 1,2,3) проекции векторов s0, fo на оси системы Oxyz Тогда вектор sq вращается по отношению к сисхеме Oxyz с ухловой скоростью —й) Следовательно,

Sq — —LU X 60

Показано, что решения задачи можно достичь выбором управляющего момента в виде

Мупр = -Вш + a(f)(f0 х so). a(t) > О

где — Вш - составляющая момента, линейная относительно й>, соответственно В = ß(t) есть матрица 3x3

Исследована следующая задача о трехосной ориентации спутника Пусхь заданы два ортогональных орта ôqx, S02, занимающих неизменное положение в системе координат Oaß-f, и пусть заданы два ортогональных орта f0x, Г02, неизменно связанных с системой координат Oxyz Рассмотрим задачу об ориентации спутника, при которой орт fox будет стабилизирован в направлении «ох > а °РТ ^02 в 'г аправлении su2 Положим ьоз = ¿01 х ?02, 'Пзз = foi х Й)2

Поставим задачу определения управляющего момента Мупр, который бы стабилизировал орт foi в направлении soi, а орт fo2 в направлении S02

Для составляющих векторов s0l в системе координат Oxyz имеем уравнения

% = -шх% (г = 1,2,3)

Показано, что решения задачи можно достичь выбором управляющего момента в виде

з

М = -Вш + J2bi(t)(f0l х so,), bt(t) > О i=i

где —Вш - составляющая момента, линейная относительно ¡D, соответственно В = В (t)~ есть матрица 3x3

В §1 третьей главы решаются задачи об ориентации спутника при помощи маховиков, на основании результатов, представленных в главе 2 В последующих двух параграфах решены задачи стабилизации поступательно-вращательного движения твердого тела, системы связанных твердых тел Приводятся результаты численного моделирования в этих задачах

В заключении диссертации излагаются ее основные результаты

- выведена новая матричная форма уравнений движения системы твердых тел, связанных шаровыми шарнирами, допускающими относительное перемещение тел,

- представлены новые способы исследования задач о стабилизации движений на основе метода сравнения, позволяющие расширить класс применяемых управлений,

- решен ряд модельных задач об управлении движением твердого тела и системы связанных твердых тел об одно- и трсх-осной ориентации спутника относительно инерциальной и вращающейся систем координат, об ориентации спутника при помощи маховиков, о стабилизации поступательно-вращательного движения твердого тела, системы связанных твердых тел

Публикации автора по теме диссертации в журналах, входящих в список ВАК.

1 Перцева И А Об ориентации спутника относительно вращающейся системы координат //Обозрение прикладной и промышленной математики, том 14, вып 4 М ОПиПМ -2007 -с 738-739

2 Перцева И А Об управлении нестационарным движением твердого те та //Обозрение прикладной и промышленной математики, гом 14, вып 4 М ОПиПМ-2007-с 740-741

Публикации по теме диссертации в журналах, не входящих в список ВАК.

3 Чудинова(Перцева) И А , Андреев АС К задаче об ориентации спутника относительно произвольной системы координат // Ученые записки УлГУ Серия Фундаменталыпле проблемы математики и механики сб ста гей, вып 1(10)-2001-е 3-11

4 Чудипова (Перцева) И А О стабилизации нестационарного движения твердого тела / / Ученые записки УлГУ Серия Фундаментальные проблемы математики и механики сб статей, вып 2(12)-2002-е 74-76

5 Чудинова (Перцева) И А К задаче об ориентации спутника при помощи маховиков//Механика и процессы управления сб науч Трудов УлГТУ-2002-c -80-84

6 Перцева И А О стабилизации программного движения твердого тела// Труды Международной конференции "Dinamical system modeling andstabihty investigation" Весшик Киевского нац Университета им Т Шевченко 2003-е 228

7 Перцева И А , Андреев АС О математическом моделировании движения системы связанных тел //Труды VII Международной конференции по динамике технологических систем Сараюв-2004-c 8-17

8 Перцева И А , Юрьева ОД О стабилизации движения линейной механической системы //VII Крымская Международная

математическая школа "Метод функций Ляпунова и его приложения" Таврический национальный ун-т Симферополь-2004-с 164

9 Перцева И А Об устойчивом функционировании простейших гироскопических приборов //Труды VI Международной конференции "Математическое моделирование физических, технических, экономических, социальных систем и процессов" Ульяновск УлГУ -2005-е 96

10 Перцева И А, Хуснутдинова РФ Стабилизация движения физическою маятника //Ученые записки УлГУ Серия Фундаментальные проблемы математики и механики сб статей, вып 1(16)-2006-с 52-56

11 Перцева И А Об оптимальной стабилизации вращательного движения- твердого тела с переменной массой // Труды IX Международной научно-технич конференции "МИССУ" Донецк изд Института прикладной математики и механики ПАН Украины-2006-с 66

12 Перцева И А , Андреев АС О стабилизации вращательного и поступательно вращательного движения космического аппарата //Механика 'твердого тела Изд Инст Приклад матем и механики-2006-Т 36 -с 189-195

13 Перцева И А О моделировании управляемой системы связанных твердых тел //Труды X Международной научно-технич конференции "МИССУ" Донецк изд Института прикладной математики и механики НАН Украины-2007-с 102

Подписано в печать 4 10 07 Формат 60x84/16 Уел печ л 1,0 Тираж 100 экз Заказ №144/5^

Отпечатано с оригинал-макета в Издательском центре Ульяновского государственного университета 432970, г Ульяновск, ул Л Толстого, 42

Введение.

Глава I. О моделировании уравнений движения твердого тела и системы связанных твердых тел

§1. Уравнения углового движения спутника, содержащего движущиеся массы

§2. Новая форма уравнений движения системы связанных твердых тел

§3. Уравнения движения космической станции на круговой орбите.

Глава II. Новые способы решения задач о стабилизируемости движения управляемой системы

§1.0 стабилизации управляемого движения.

§2. Об условиях устойчивого функционирования простейших гироскопических систем

§3. Об ориентации спутника относительно инерциальной и вращающейся системы координат

Глава III. Об управлении движением твердого тела и системы связанных твердых тел

§1.Решение задачи об ориентации спутника при помощи маховиков

§2. О стабилизации поступательно-вращательного движения твердого тела относительно неинерциальной системы координат

§3. Решение задачи трехосной ориентации в кватернионах твердого тела переменной массы в инерциальной и во вращающейся системах координат

Для широкого класса современных машин и приборов, включая многие самодвижущиеся аппараты - летающие, плавающие, катящиеся и шагающие по поверхности, - механическая модель задается в виде твердого тела и системы связанных твердых тел, соединенных посредством связей и упругих приспособлений. Движение тела и системы тел, как и движение любой механической системы, удовлетворяет основным теоремам и принципам механики. Но так как они представляют частный вид общей механической системы, целесообразно получить вид их уравнений движения, удобный для теоретического анализа и численного моделирования на ЭВМ. Такое удобство может состоять как в описании движения в переменных, не имеющих особенностей (как, например, в случае углов Эйлера), так и в эффективном представлении уравнений движения для численного интегрирования. Многие ученые разных стран ведут исследования в этой области, как в направлении вывода удобных алгоритмов составления уравнений движения, так и в решении различных прикладных задач. Из многочисленных публикаций можно выделить монографии [3,31,73,75,101,125], обзоры [74,82,104,114], сборники [51,89,122] и другие.

В монографии А.И. Лурье [75] уравнения движения составлены для системы двух связанных твердых тел, принимаемых за носитель и носимое тело. Эти уравнения могут быть также составлены для описания любой системы связанных твердых тел. Они удобны для исследования цепей тел в тех случаях, когда движение некоторых из тел задано кинематически, так как при этом уравнения динамики просто не учитываются. Особенно удобно пользоваться этими уравнениями, когда поведение системы предварительно изучается при кинематическом задании относительных перемещений некоторых носимых тел с тем, чтобы затем исследовать ее движение на основе уравнений динамики. Такая задача возникает, например, при необходимости выяснить, насколько будет отличаться истинное относительное движение управляемого твердого тела, осуществляемое при помощи приводных устройств, от его движения, предписанного кинематически.

В монографии [101] составлены уравнения углового движения носителя - космического корабля, несущего подвижные массы-носимые. Такие уравнения удобны в задачах, в которых законы движения всех носимых тел, по отношению к носителю, предписаны кинематически и среди носимых тел имеются тела, обладающие вращательным движением по отношению к носителю.

П.В. Харламов [126] перенес на систему твердых тел замечание А.И.Лурье о том, что в зависимости от выбора системы координат уравнения движения твердого тела могут иметь различную форму. Именно П.В. Харламов заметил, что «для системы твердых тел число возможных форм уравнений движения возрастает хотя бы потому, что при составлении уравнений движения входящие в рассматриваемую группу тела могут быть различными способами объединены в группы». П.В. Харламов использовал это обстоятельство при составлении уравнений движения системы твердых тел достаточно общего вида; получены обозримые уравнения, которые в некоторых случаях удается проинтегрировать.

П.В. Харламов ввел в уравнения движения системы связанных твердых тел единую угловую координату, определяющую вращение некоторого тела кинематической цепи относительно соседнего тела этой цепи. На основе выражений кинетического момента К и кинетической энергии Т он получил соотвествующие выражения для системы гиростатов и для системы гироскопов Лагранжа применительно к разным видам связей между последовательными телами каждой из этих систем. При помощи величин К и Т построены для таких систем интегралы моментов и кинетической энергии.

Уравнения движения в форме П.В. Харламова весьма удобны для объединения тел в группы различными способами и для выявления возможностей интегрирования этих уравнений. Такие особенности уравнений П.В. Харламова очень наглядно выявляются при исследовании движения совокупности гиростатов. Но в общем случае движение системы связанных твердых тел описывается нелинейными уравнениями с переменными параметрами, трудно поддающимися аналитическому исследованию.

Дальнейшая механизация составления уравнений движения системы тел в общем виде требует использования методов теории графов. Систематическое изложение методики составления искомых уравнений при помощи графов дано в монографии [31].

Состояние системы связанных твердых тел описывается большим числом параметров, определяющих геометрию системы, распределение масс в системе, природу внешних сил и сил, действующих в местах соединения тел. Для описания взаимодействия тел системы вводится понятие смежных тел. Два твердых тела называются смежными тогда и только тогда, когда они оказывают непосредственное силовое воздействие одно на другое. Силовое взаимодействие двух тел может возникать из-за наличия кинематической связи между ними в месте соединения тел , а при отсутствии такой связи - под действием сил различной природы, например, магнитных. Соединение между двумя смежными телами названо шарниром. Такой шарнир разумно называть обобщенным, так как, в силу данного определения, в шарнире объединены все силы взаимодействия между двумя смежными телами - как силы, возникающие благодаря связи, осуществляющей соединение тел, так и прочие силы. Для каждого шарнира существует только одна пара смежных тел. Кинематические связи, осуществляемые при помощи шарниров, должны быть идеальными.

Для изучения уравнений движения системы связанных твердых тел и свойств их решений в случае конкретных механических систем широко применяются вычислительные устройства. Матричные уравнения Й. Виттенбурга и Л.К. Лилова [31,73,155], обобщившие модели, разработанные в работах [138-140,143,144,147

151] составлены именно применительно к задаче программирования уравнений движения сложных механических систем.

Вывод новой формы уравнений движения системы связанных твердых тел в форме, удобной для моделирования на ЭВМ, по-прежнему остается актуальной задачей.

Большой интерес к моделированию движения твердого тела и системы связанных твердых тел вызывают задачи управления движением спутника, космической станции. Эти задачи могут быть различными, но в общем случае они сводятся к обеспечению либо заданного движения, либо заданной ориентации. В системе связанных твердых тел при этом выделяют одно основное тело, называемое носителем системы и остальные тела с ним связанные - носимыми. Относительные перемещения носимых тел используются для управления движением носителя (главным образом его вращательного движения или ориентации в пространстве), а также некоторых носимых тел. Из многочисленных исследований в этой области можно отметить, не претендуя на полноту, результаты, представленные в публикациях [3,23,29,32,37,49,82,97,99,101,105,115,120,128,142,155].

Системы ориентации и стабилизации спутника принято классифицировать на пассивные, полупассивные, полуактивные, активные и комбинированные [89].

Пассивные системы используют в качестве управляющих моментов только внешние силы. При этом бортовые источники энергии, датчики и логическая схема системы управления отсутствуют.

Полупассивные системы не содержат датчиков ориентации, в качестве основного источника управляющих моментов используют внешние силы, а бортовая энергия используется незначительно.

В полуактивных системах применяются датчики ориентации, но не по всем каналам управления. По одним каналам для управления могут использоваться моменты взаимодействия исполнительных органов спутника с внешними силами, а по другим - реактивные двигатели или внутренние моменты.

В активных системах применяются датчики ориентации для всех управляемых степеней свободы. Управление производится с использованием моментов сил тяги, реактивных двигателей или моментов внешних сил, а также, если это экономично, с использованием управляющих моментов, обусловленных внутренними источниками. Для повышения экономической и технической эффективности активных систем применяются различные логические управляющие устройства.

Комбинированные или гибридные системы имеют число управляемых степеней свободы более трех и представляют собой различные комбинации рассмотренных выше систем.

Решения задач о стабилизации движений механических систем, в том числе, об управлении спутниками, во многом опираются на математическую теорию управляемых систем.

Большой вклад в развитии теории управления систем внесли советские и российские ученые. Основу исследований в этой области более полувека назад положили работы А.А.Фельдбаума, Я.Н.Ройтенберга, JI.C. Понтрягина, Н.Н.Красовского и их учеников (см.[65,98,103,123]), а чуть позже работы известных зарубежных ученых Р.Беллмана, Р.Калмана, Л.Маркуса и других (см. [27,28,53,70,103,127,137,141]).

Проблема аналитического конструирования регуляторов, поставленная A.M. Летовым (см.[68,69]), была развита H.H. Красовским и его школой в теорию оптимальной стабилизации управляемых движений [63]-[65], тесно смыкающейся с теорией устойчивости.

Решение задачи о существовании стабилизирующего управления для линейных уравнений возмущенного движения было развито в теорию стабилизации по первому приближению установившихся движений, были выделены критические случаи стабилизации и указаны способы построения стабилизирующих воздействий в критических случаях. Эти и иные результаты работ

4,34,35,39,40,55,102], а также других работ подробно освещены в обзорах [108], монографиях [27,28,53,58,60-62], включены во многие учебники (например, [2,25]) и широко используются при расчетах систем управления [5,66,67,78] и др.

Методы исследования задач стабилизации и оптимальной стабилизации тесно переплетаются с классическими методами теории устойчивости [59,67,69,106,109,113]. В.В. Румянцев предложил полуобратный метод [106,107], состоящий в определении части подитегральной функции минимизируемого функционала по известной оптимальной функции Ляпунова, являющейся устойчивой функцией Ляпунова для системы без управления. Развитие этого метода проведено в [13,152].

Решения задач об устойчивости установившихся движений голономных и неголономных механических систем и др. служит основой для эффективного решения соответствующих задач о стабилизации и управляемости движений управляемых механических систем [24,26,33,57,71,72,124]

Большие исследования в области теории устойчивости и стабилизации движений, включая задачи об управлении движением системы связанных твердых тел, проведены в трудах В.И.Зубова [43-47] и его научной школы.

Развитие техники приводит к необходимости искать новые пути и средства в решении задач управления механическими системами с учетом нелинейности, нестационарности и многосвязности объектов управления. Из многочисленных последних работ в этой области отметим работы [40,41]. Все большее внимание уделяется моделированию систем управления на ЭВМ [5,48,56,73,78,79,81,8588,112,118,132,150].

Развитие прямого метода Ляпунова [38,43,76,129] исследования асимптотической устойчивости невозмущенного движения неавтономной системы на основе знакопостоянной функции Ляпунова [7-11,14-16] позволило значительно расширить решения задач о стабилизации нестационарных движений механических систем [12,17,18] по сравнению с имевшимися ранее результатами в этой области [26,36,42,54,83].

Новые результаты о достаточных условиях асимптотической устойчивости на основе принципа сравнения [19] позволяют вывести новые методы решения задач о стабилизируемости движений систем, моделируемых твердым телом или системой твердых тел, в том числе, спутников.

Целью диссертационной работы являются:

- вывод новой формы уравнений движения системы связанных твердых тел, удобной для анализа задач управления и численного моделирования на ЭВМ;

- вывод новых способов исследования задач управления движением на основе метода сравнения;

- решение модельных задач об управлении движением твердого тела и системы связанных твердых тел.

В первой главе диссертации представлены уравнения движения, принятых в данной работе математических моделей, системы связанных твердых тел. В §1 дана модель Раушенбаха, Токаря [101] уравнений углового движения космического аппарата, учитывающих подвижность масс, входящих в его состав. В §2 проводится вывод новой формы уравнений движения системы связанных твердых тел. Этот вывод основан на использовании элементов теории графов в соответствии с методикой, изложенной в работах Виттенбурга и Лилова [31,73,155]. Новизна уравнений состоит в предположении, что тела системы связаны не только шаровыми шарнирами, но и связями, допускающими относительное поступательное движение относительно пары смежных тел. При этом система тел считается свободной, в качестве переменных, описывающих движение, выбираются координаты центра масс системы, переменные, определяющие угловое положение каждого тела, и относительное перемещение смежных тел.

Выведенные уравнения удобны для аналитического и численного исследования в выбранных переменных.

В §3, в переменных, описанных в §2, выводятся уравнения движения космической станции. При этом предполагается, что ее центр масс движется по круговой орбите, она состоит из твердых тел, соединенных между собой шарнирами, допускающими произвольное угловое движение и определенное относительное поступательное движение смежных тел. Найдены положения относительного равновесия станции в орбитальной системе координат.

Результаты первой главы диссертации опубликованы в работах [20,94].

Во второй главе представлены новые способы решения задач о стабилизируемости движений управляемой системы тел. Эти методы основаны на использовании новых теорем об асимптотической устойчивости с применением метода сравнения. Эффективность новых способов демонстрируется в §2 при выводе достаточных условий устойчивого функционирования простейших гироскопических систем. Далее решается задача об ориентации спутника относительно инерциальной системы координат. Используемая модель позволяет применить для одноосной и трехосной ориентации перемещения в спутнике носимых тел или управляющих моментов, приложенных к этим телам. Алгоритм построения управляющего момента является значительно более общим по сравнению с предложенными ранее в работах [1,44-46,116118].

Результаты второй главы диссертации опубликованы в работах [21,22,91,92,95,133].

В §1 третьей главы излагается новая методика решения задач об ориентации спутника при помощи маховиков. Это решение позволяет распространить предложенное в [44] исследование маховиков для задачи ориентации спутника относительно неинерциальной системы координат.

В §2 обоснован новый алгоритм решения задачи о стабилизации вращательного движения твердого тела относительно неинерциальной системы координат.

Более удобным для описания трехосной ориентации являются кватернионы. Их применение в задачах ориентации тела в инерциальной и во вращающейся системах координат приводятся в §3.

Результаты третьей главы диссертации опубликованы в работах [21,90,93,96,130,131]

В заключении приводятся основные результаты диссертации.

Таким образом, в диссертации выведена новая форма уравнений движения системы связанных твердых тел; обоснованы новые способы решения задач об управлении движением, и на этой основе решены различные задачи об ориентации спутника, о стабилизации заданного движения космической станции.

Автором защищаются следующие научные положения:

- новая форма уравнений движения свободной системы связанных твердых тел в переменных, определяющих положение центра масс системы, абсолютного вращательного движения каждого тела, относительного движения смежных тел;

- новые способы решения задач о стабилизируемости движения управляемых механических систем;

- решение различных задач об ориентации космического аппарата относительно инерциальной и неинерциальной систем координат и о стабилизации его заданного поступательно-вращательного движения.

Основные результаты диссертации доложены на

- Международной конференции "Dinamical system modeling and stability investigation". 27-30 мая 2003г. Киев.Украина;

- VII Международной конференции "Динамика технологических систем". 4-9 октября 2004г. Саратов;

- VII Крымской Международной математической школе "Метод функций Ляпунова и его приложения". 11-18 сентября 2004г. Алушта. Крым.

VI Международной конференции "Математическое моделирование физических, технических, экономических, социальных систем и процессов". 19-21 октября 2005г. Ульяновск.

- VIII Крымской Международной математической школе "Метод функций Ляпунова и его приложения". 10-17 сентября 2006г. Алушта. Крым.

- X-XV ежегодной научно-практической конференции студентов и аспирантов Ульяновского государственного университета, 20012006 гг. УлГУ, г. Ульяновск;

- семинарах кафедры механики и теории управления Ульяновского государственного университета, 2000-2006 гг. УлГУ, г. Ульяновск.

- IX Международной научно-технич. конференции "Моделирование, идентификация и синтез систем управления". 16-27 сентября 2006г. п.Канака. Крым .

X Международной научно-технич. конференции "Моделирование, идентификация и синтез систем управления". 16-27 сентября 2007г. л.Канака. Крым .

VIII всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике. 29сентября-4 октября 2007г. Сочи-Адлер.

Диссертационная работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты 99-0101005, 02-01-00877, 05-01-00765)

Автор благодарит научного руководителя проф.А.С.Андреева и членов кафедры механики и теории управления Ульяновского государственного университета за постоянное внимание к данной работе.

Заключение

В диссертации получены следующие основные результаты.

Выведена новая, удобная для аналитического и численного анализа, матричная форма уравнений движения системы твердых тел, связанных шаровыми шарнирами, допускающими относительное перемещение тел. Составлен алгоритм моделирования движения системы тел по этой форме уравнений. На их основе определены условия существования положения относительного равновесия космической станции на круговой орбите.

Представлены новые способы исследования задач о стабилизации движений на основе метода сравнения. Они позволяют применительно к управляемым механическим системам расширить класс используемых управлений. Это продемонстрировано на примере моделирования простейших гироскопических систем.

Решен ряд модельных задач об управлении движением твердого тела и системы связанных твердых тел: об одно- и трех-осной ориентации спутника относительно инерциальной и вращающейся систем координат; об ориентации спутника в пространстве при помощи маховиков; о стабилизации поступательно-вращательного движения твердого тела.

1. Александров А.Ю. Об устойчивости положений равновесия нелинейных неавтономных механических систем. // ПММ. Т.71. Вып.З. 2007. С.361-376.

2. Александров В.В., Болтянский В.Г., Лемак С.С., Парусников А., Тихомиров В.М. Оптимизация динамики управляемых систем. М.:МГУ. 2000. 303 с.

3. Алексеев К.Б. Экстенсивное управление ориентацией космического летательного аппарата. М.Машиностроение. 1977. 122 с.

4. Альбрехт Э.Г. Об оптимальной стабилизации нелинейных систем // ПММ. 1961. Т.25. Вып.5.

5. Анализ и оптимальный синтез на ЭВМ систем управления // Под ред. А.А.Воронова и И.А.Орурка. М.:Наука. 1984. 412с.

6. Анапольский Л.Ю., Иртегов В.Д., Матросов В.М. Способы построения функций Ляпунова // Итоги науки и техники. Общая механика. М.:ВИНИТИ. 1975. Т.2. С.53-112.

7. Андреев A.C. Об асимптотической устойчивости и неустойчивости неавтономных систем // ПММ. 1979. Т.49. Вып.5. С.796-805.

8. Андреев A.C. Об асимптотической устойчивости и неустойчивости нулевого решения неавтономной системы // ПММ. 1984. Т.48. Вып.2. С.225-232.

9. Андреев A.C. Об асимптотической устойчивости и неустойчивости нулевого решения неавтономной системы относительно части переменных // ПММ. 1984. Т.48. Вып.5. С. 707-713.

10. Андреев A.C. Об устойчивости положения равновесия неавтономной механической системы // ПММ. 1996. Т.60. Вып.З. С.388-396.

11. И. Андреев A.C. О развитии прямого метода Ляпунова в задачах устойчивости // "Компьютерные технологии, наука и образование в XXI веке". Материалы V Международной открытой сессии "Modus Academicus". Ульяновск, 30 ноября. 2001г.

12. Андреев A.C. О влиянии структуры сил на устойчивость положения равновесия неавтономной механической системы // Проблемы механики. Сборник статей к 90-летию со дня рождения А.Ю.Ишлинского. Москва: Физматлит. 2003. С.87-93.

13. Андреев A.C., Безгласный С.П. О стабилизации управляемых систем с гарантированной оценкой качества управления // ПММ. 1997. Т.61. Вып.1. С.44-51.

14. Андреев A.C., Войкова Т.А. Знакопостоянные функции Ляпунова в задачах об устойчивости // Механика твердого тела. 2002. Вып.32. С.109-116.

15. Андреев A.C., Войкова Т.А. Об исследовании устойчивости неустановившегося движения на основе знакопостоянных функций Ляпунова / / Ученые записки УлГУ. Серия "Фундаментальные проблемы математики и механики". 2002. Вып.1(11). С.8-15.

16. Андреев A.C., Войкова Т.А. Об устойчивости неустановившегося движения механической системы / / ПММ. 2004. Т.68. Вып.4. С.678-686.

17. Андреев A.C., Ким Е.Б. О глобальной стабилизируемости и управляемости нелинейной системы // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2004. Т.Н. Вып.З. С.613-614.

18. Андреев A.C., Ким Е.Б. Об оптимальной стабилизации установившегося движения управляемой системы // Механика твердого тела. ИПММ HAH Украины. 2004. Т.34. С.119-126.

19. Андреев A.C., Перегудова O.A. К методу сравнения в задачах об асимптотической устойчивости // ПММ. 2006. Т.70. В.6. С.965-976.

20. Андреев A.C., Перцева И.А. О математическом моделировании движения системы связанных тел.// Труды VII Международной конференции по динамике технологических систем. 4-9 октября 2004. Саратов. С.8-17

21. Андреев A.C., Перцева И.А. О стабилизации вращательного и поступательно вращательного движения космического аппарата.// Механика твердого тела. ИПММ HAH Украины. 2006. Т.36. С.83-89

22. Андреев A.C., Чудинова И.А. К задаче об ориентации спутника относительно произвольной системы координат.// Ученые записки УлГУ. Серия Фундаментальные проблемы математики и механики. 2001. Вып. 1(10). С.3-11

23. Артюхин Ю. П., Каргу Л. И., Силаев В. Л. Системы управления космических аппаратов, стабилизированных вращением. М.-.Наука. 1979. 295 с.

24. Атанасов В.А., Лилов Л.К. О стабилизируемости установившихся движений систем с псевдоциклическими координатами // ПММ. 1988. Т.52. Вып.5. С.713-718.

25. Афанасьев В.Н., Колмановский В.В., Носов В.Р. Математическая теория конструирования систем управления. М.:Высшая школа. 2003. 615 с.

26. Балашевич Н.В., Габасов Р., Кирилова Ф.М. Стабилизация динамических систем в условиях постоянно действующих вращений // ПММ. 1996. Т.60. Вып.2. С.198-204.

27. Беллман Р., Гликсберг И., Гросс О. Некоторые вопросы математической теории управления. М.:ИЛ. 1962.

28. Беллман Р.,Калаба Р. Динамическое программирование и современная теория управления М.:Наука, 1969. 118 с.

29. Боевкин В. И., Гуревич Ю. Г., Павлов Ю. Н., Толстоусов Г. Н. Ориентация искусственных спутников в гравитационном и магнитном полях. М.:Наука. 1976. 304с.

30. Бранец В.Н., Шмыглевский И.П. Применение кватернионов в задачах ориентации твердого тела. М.:Наука. 1973. 319 с.

31. Виттенбург Й. Динамика систем твердых тел. М.:Мир. 1980. 290с.

32. Гантмахер Ф. Р., Левин Л. М. Теория полета неуправляемых ракет. М.:Физматгиз. 1959. 360с.

33. Габасов В., Лубочкин A.B. Стабилизация линейных механических систем оптимальными управлениями линейно-квадратичных задач // ПММ. 1998. Т.62. Вып.4. С.556-565.

34. Габриелян М.С. О стабилизации неустановившихся движений механических систем // ПММ. 1964. Т.28. Вып.З.

35. Габриелян М.С., КрасовскиЙ H.H. К задаче о стабилизации механической системы // ПММ. 1964. Т.28. Вып.5.

36. Гинзбург А.Р., Тимофеев A.B. Об адаптивной стабилизации программных движений механических систем // ПММ. 1977. Т.41. Вып.5. С.859-869.

37. Дегтярев Г.Л., Сиразетдинов Т.К. Теоретические основы оптимального управления упругими космическими аппаратами. М.¡Машиностроение. 1986. 214 с.

38. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Физматгиз. 1967. 472с.

39. Емельянов C.B. Системы автоматического управления с переменной структурой. М.:Наука. 1967. 336с.

40. Емельянов C.B., Коровин С.К. Теория нелинейной обратной связи при определенности// Университеты России. МГУ. Т.1 Математическое моделирование. 1993. С.214-278.

41. Емельянов C.B., Коровин С.К. Новые типы обратной связи. Управление при неопределенности. М.:Наука, 1997. 352 с.

42. Зотов Ю.К., Тимофеев A.B. Управляемость и стабилизация програмных движений обратимых механических и электромеханических систем.//ПММ. 1992. Т.56. Вып.6. С.969-975.

43. Зубов В.И. Методы Ляпунова и их применение. Л.:Изд-во ЛГУ. 1957. 240 с.

44. Зубов В.И. Лекции по теории управления. М.:Наука 1975. 495с.

45. Зубов В.И. Проблемы устойчивости процессов управления. М. .-Наука. 1975.

46. Зубов В.И. Динамика управляемых систем. М.:Высш.школа. 1982. 285 с.

47. Зубов В.И. Аналитическая динамика системы тел. Л.:Изд-во ЛГУ. 1983. 244 с.

48. Зуев А.Л. Стабилизация неавтономных систем по части переменных с помощью управляемых функций Ляпунова // Проблемы управления и информатики. 2000. №4. С.25-34.

49. Иванов Н. М., Лысенко Л. Н., Мартынов А. И. Методы теории систем в задачах управления космическим аппаратом. М.:Машиностроение. 1981. 254 с.

50. Икрамов Х.Б. Численное решение матричных уравнений. М.:Наука. 1984. 412 с.

51. Искусственные спутники Земли//Сб. Изд-во АН СССР. 1963. Вып.16.

52. Ишлинский А. Ю. Ориентация, гироскопы и инерциальная навигация. М.:Наука. 1976. 670 с.

53. Калман Р., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем. М.:Мир. 1971. 400 с.

54. Каменецкий В.А. Параметрическая стабилизация нелинейных систем управления с фазовыми ограничениями // АиТ. 1996. №10. С.65-71.

55. Кириллова Ф.М. К задаче об аналитическом конструировании регуляторов// ПММ. 1961. T.XXV .В.З

56. Клименко Е.Л., Коваленко Н.П., Онищенко С.М., Сусол М.Н. Анализ алгоритмов жесткостного синтеза нелинейных систем стабилизации // Проблемы управления и информатики. 2006. т. С.42-52.

57. Клоков A.C., Самсонов В.А. О стабилизируемое™ тривиальных установившихся движений гироскопически связанных систем с псевдоциклическими координатами // ПММ. 1985. Т.49. Вып.2. С.199-202.

58. Ковалев A.M. Нелинейные задачи управления и наблюдения в теории динамических систем. Киев:Наукова думка. 1980. 174с.

59. Коробов В.И. Общий подход к решению задачи синтеза ограниченных управлений в задаче управляемости // Матем. сборник. 1979. Т.109(151). №4(8). С.582-606.

60. Красовский A.A. Динамика непрерывных самонастраивающихся систем. М.:Физматлит. 1963. 468с.

61. Красовский A.A. Системы автоматического управления полетом и их аналитическое конструирование. М.гНаука. 1973.

62. Красовский A.A., Буков В.П. Шендрик B.C. Универсальные алгоритмы оптимального управления непрерывными процессами. М.гНаука. 1977. 272 с.

63. Красовский H.H. К теории оптимального регулирования// Автоматика и телемеханика. 1957. Т.18. №11. С.1005-1016.

64. Красовский H.H. Проблемы стабилизации управляемых движений // Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. Доп.4 М.гНаука. 1966. С.475-514

65. Красовский H.H. Теория оптимальных управляемых систем// Сб.:Механика в СССР за 50 лет. М.гНаука. 1968. Т.1 С.179-244.

66. Краснощеков П.С., Петров A.A. Принципы построения моделей. М.:Изд-во МГУ. 1983. 264 с.

67. Кунцевич В.М., Лычак М.М. Синтез систем автоматического управления с помощью функций Ляпунова. М.:Наука. 1977. 400с.

68. Летов А. М. Аналитическое конструирование регуляторов // Автоматика и телемеханика. 1960. JV4. С.436-441. №5. С.561-568. М. С.661-665.1961. т. С.425-435; 1962. №11. С.1405-1413.

69. Летов А. М. Динамика полета и управление. М.:Наука. 1969. 359с.

70. Ли Э.Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. М.гНаука. 1972. 574с.

71. Лилов Л.К. О некоторых свойствах размерности воздействия стабилизирующего механическую систему // ПММ. 1971. Т.35. Вып.2. С.290-299.

72. Лилов Л.К. О стабилизации стационарных движений механических систем по части переменных // ПММ. 1972. Т.Зб. Вып.6. С.977-985.

73. Лилов Л.К. Моделирование систем связанных тел. М.:Наука. 1993. 272 с.

74. Литвин-Седой М.З. Механика систем связанных твердых тел.// Итоги науки и техники. Сер. Общая механика. 1982. Т.5.

75. Лурье А. И. Некоторые задачи динамики систем твердых тел. Л.:Изд-во. Ленингр. политех, ин-та. 1960. № 210.

76. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. Доп. 4. М.:Наука. 1966. С.475-514.

77. Маркеев А.П. Теоретическая механика. М.:ЧеРО. 1999. 569 с.

78. Математические задачи динамической имитации аэрокосмических полетов/ Под ред.проф.В.А.Садовничего. М.:МГУ. 1995. 159с.

79. Математическое моделирование / Под ред.Дж.Эндрюса, Р.Мак-Лоуна; пер. с англ. М.:Мир. 1979. 278 с.

80. Матросов В.М. Метод векторных функций Ляпунова: анализ динамических свойств нелинейных систем. М:Физматлит. 2001. 380 с.

81. Метод векторных функций Ляпунова в теории устойчивости/ Под ред. А.А.Воронова, В.М.Майорова. М.:Наука. 1987. С.312

82. Морозов В.М. Устойчивость движения космических аппаратов.//Итоги науки и техники. Общая механика. М.:ВИНИТИ. 1971. С.5-84.

83. Мухаметзянов И.А. Построение систем асимптотически устойчивого в целом программного движения // Вестник Рос. унив-та дружбы народов. Сер. Прикл. мат. и инф. 1998. №1. С.16-21.

84. Новоселов В. С. Аналитическая механика систем с переменными массами. Л:Изд-во ЛГУ. 1969. 240 с.

85. Окунев Ю.М., Парусников Н.А. Структурные и алгоритмические аспекты моделирования задач управления. М.:Изд-во МГУ. 1983.

86. Онищенко С.М. Жесткая монотонная стабилизация нелинейных систем прямым методом Ляпунова// Изв.АН СССР. Техн.кибернетика. 1991. №4. С.35-38.

87. Онищенко С.М. Прямой подход к синтезу нелинейных систем стабилизациигметод прямого жесткого синтеза// Проблемы управления и информатики. 2000. №3. С.17-25.

88. Осадченко Н.В. Вычислительный эксперимент в динамике систем твердых тел и его обеспечение// Современные проблемы физики и ее приложений. Всес. конф. (Москва, 19-21 апреля 1987). Ч.Н.Тез.докл. М.:ВИНИТИ. 1987. С.82.

89. Ориентация искусственных спутников в гравитационных и магнитных полях. М.:Наука. 1976. 301 с.

90. Перцева И.А.О стабилизации программного движения твердого тела// Труды Международной конференции "Di-namical system modeling andstability investigation" (Киев, 27-30 мая 2003). Вестник Киевского нац. Университета им.Т.Шевченко. 2003. С.228.

91. Перцева И.А.,Хуснутдинова Р.Ф. Стабилизация движения физического маятника//Ученые записки УлГУ. Серия Фундаментальные проблемы математики и механики. 2006. Вып. 1(16). С.52-56.

92. Перцева И.А. Об ориентации спутника относительно вращающейся системы координат.// Обозрение прикладной и промышленной математики. М.: ОПиПМ. 2007. Т. 14. Вып.З. С.268-270.

93. Перцева И.А.Об управлении нестационарным движением твердого тела // Обозрение прикладной и промышленной математики. М.: ОПиПМ. 2007. Т.14. Вып.З. С.271-273.

94. Поляков Г. Г. Радиальная система связанных спутников. Космич. исслед. 1981. Т.19. № 3. 467-470 с.

95. Понтрягин JI.С. и др. Математическая теория оптимальных процессов.4-е изд. М.:Наука. Гл.ред.физ-мат.лит. 1983. 392 с.

96. Попов В. И. Системы ориентации и стабилизации космических аппаратов. М.¡Машиностроение. 1977.

97. Раус Э.Дж.Динамика системы твердых тел. 4.1,2. М.¡Наука. 1983. 464 с. 544 с.

98. Раушенбах В.В., Токарь В.И. Управление ориентацией космических аппаратов. М.¡Наука. 1974. 598 с.

99. Репин Ю.М., Третьяков В.Е. Решение задачи об аналитическом конструировании регуляторов на электронных моделирующих устройствах // Автоматика и телемеханика. 1963. Т.24. Вып.6.

100. Ройтенберг Я.Н. Автоматическое управление. М.: Наука. 1971. 395 с.

101. Рубановский В.Н. Усточивость установившихся движений сложных механических систем // Итоги науки и техники. Общая механика. М.:ВИНИТИ. 1982. Т.5. С.62-134.

102. Румянцев В. В. Об устойчивости стационарных движений спутников. М.; Вычисл. центр АН СССР. 1967. Вып.4. 141 с.

103. Румянцев В. В. Об оптимальной стабилизации управляемых систем.// ПММ. 1970. Т.34. №3. С.440-456.

104. Румянцев В.В. Об управлении и стабилизации систем с циклическими координатами // ПММ. 1972. Т.36. Вып.6. С.966-976.

105. Румянцев В.В. О развитии исследований в СССР по теории устойчивости движения // Дифференц. уравнения. 1983. Т.19. №5. С.739-776.

106. Румянцев В.В., Озиранер A.C. Устойчивость и стабилизация движения по отношению к части переменных. М.: Наука. 1987. 253 с.

107. Руш Н., Абетс П., Лалуа М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости. М.: Мир. 1980. 300 с.

108. Самарский A.A. Теория разностных схем. М.:Наука. 1989. 616с.

109. Самарский A.A., Михайлов А.П. Математическое моделирование. М.:Физматлит. 2002. 316 с.

110. Самсонов В.А. О стабилизируемости установившихся движений систем с псевдоциклическими координатами // ПММ. 1983. Т.45. Вып.З. С.512-520.

111. Сарычев В.А. Вопросы ориентации искусственных спутников.// Итоги науки и техн. Сер. Исследование космич. пространства. М.:ВИНИТИ. 1978. Т.Н.

112. Сарычев В.А., Сазонов В. В. Оптимальное демпфирование нутационного движения спутников, стабилизируемых вращением. Celest. Mech. 1976. Т. 13. №3. 383-405 с.

113. Смирнов Е.Я. Некоторые задачи математической теории управления. Л.:Изд-во ЛГУ. 1981. 198 с.

114. Смирнов Е.Я., Ермолин Т.В. Стабилизация программых движений механических систем по части переменных // Вопросы кач. теории дифф. уравнений. Новосибирск. 1988. С.251-260.

115. Смирнов Е.Я., Павликов В.Ю., Щербаков П.П., Юрков A.B. Управление движением механических систем. Л.:Изд-во ЛГУ. 1985. 316 с.

116. Справочник по теории автоматического регулирования / Под ред.А.А.Кравченко. М.'.Наука. 1987.

117. Ткаченко В.А. Анализ динамики прецессионного разворота космического аппарата с силовым маховиком и упругими амортизаторами при одноосной коррекции. Космич. исслед. 1978. Т. 16. № 3. 353-360 с.

118. Уилкинсон Дж., Райнш К. Справочник алгоритмов на языке АЛГОЛ. Линейная алгебра. М.¡Машиностроение. 1976. 363 с.

119. Управление в космосе// Труды III Международного симпозиума ИФАК по автоматическому управлению в мирном использовании космического пространства(Франция, Тулуза, март 1970) М.:Наука. 1972. Т.1. 1972.

120. Фельдмаум A.A., Бутковский А.Г. Методы теории автоматического управления. М:Наука. 1971.

121. Формальский A.M. Управляемость и устойчивость систем с ограниченными ресурсами. М.:Наука. 1974. 368 с.

122. Харламов П.В. Лекции по динамике твердого тела. Новосибирск.: Новосиб.ун-т. 1965. 221 с.

123. Харламов П.В. Оравномерных вращениях тела, имеющего неподвижную точку.// ПММ. 1965. Т.29. №2. С.373-375.

124. Чаки Ф. Современная теория управления. М.:Мир. 1975. 424 с.

125. Черноусько Ф.Л. О движении твердого тела с подвижными внутренними массами. Изв. АН СССР. Мех. тверд, тела. 1973. № 4. 33-44 с.

126. Четаев И.Г. Устойчивость движения. Изд. 2-е, испр. М.:Гостехиздат. 1955. 207 с.

127. Чудинова И.А. (Перцева) О стабилизации нестационарного движения твердого тела// Ученые записки УлГУ. Серия

128. Фундаментальные проблемы математики и механики. 2002. вып. 2(12). С.74-76.

129. Чудинова И.А. (Перцева) К задаче об ориентации спутника при помощи маховиков // Механика и процессы управления. Сборник трудов УлГТУ. 2002. С.80-84.

130. Чуличков А.И. Математические модели нелинейной динамики. М.:Физматлит. 2003. 244 с.

131. Artstein Z. Topological dynamics of ordinary differential equations // J. Differ. Equat. 1977. V.23. №2. P.216-223.

132. Artstein Z. Uniform asymptotic stability via the limiting equations // J. Differ. Equat. 1978. V.27. P.172-189.

133. Artstein Z. Stabilization with relaxed controls // Nonlinear Analysis, Theory, Methods, Applications. 1983. Vol.7. Ml. P.1163-1173.

134. Bellman R. Dynamic Programming. Princeton:Univ.Press. 1957. 342 p.

135. Gupta V. К Dynamic analysis of multi-rigid-body systems. TYans. ASME. J. Eng. Ind. 1974. V.96. A'» 3. P. 886-892.

136. Huston R. L., Passerello C. On multi-rigid-body system dynamics. Corn-put and Struct. 1979. V.10. № 3. P.439-446.

137. Huston R. L., Passerello C. Multibody structural dynamics including translation between the bodies. Comput. and Struct. 1980. V.12. № 5. p.713- 720.

138. Kalman R.E. On the general theory of control system // Rroc.l IFAC Congr.(Moscow, 1960). London:Butherworths. 1960. P.481-492.

139. Kane T. R., Levinson D. A. Formulation of equations of motion for complex spacecraft. J. Guidance and Contr. 1980. V.3. № 2. P.99-112.

140. Kreuzer E. Symbolische Berechnung der Bewegungsgleichungen von Mehrkorpersystemen. Fortschr. Ber. VDI-Z. 1979. № 32. P.l-120.

141. Kreuzer E. Dynamische Analyse offener Gelenkketten. Z. angew. Math, und Mech. 1981. V.61. № 4. P.20-21.

142. La Salle J.P. Stability theory for ordinary differential equations // J. Different. Equat. 1968. V.4. M. P.57-65.

143. La Salle J.P.Lefschetz S. Stability by Liapunov's Direct Method With Applications. N.Y.: Acad.Press. 1961.(Русский перевод: Jla-Салль Ж., Лефшец С. Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова. М.:Мир. 1964.)

144. Leimanis Е. The general problem of the motion of coupled rigid bodies about a fixed point. Berlin e. a. Springer. 1965. 337 pp.

145. Levinson D. A. Equations of motion for multiple-rigid-body systems via symbolic manipulation. J. Spacecraft, and Rockets. 1977. V.14. № 8. 479-487 p.

146. Roberson R. E. Two decades of spacecraft attitude control. AIAA Journal. 1979. V.17. № 2.

147. Schiehlen W. Mehrkorpersysteme ein Prozessmodell fur den Maschi-nenbau. VDI-Ber. 1977. № 276. P.233-239.

148. Sheldon S.L., Chang T.K., Peng C. Adaptive Guaranteed Cost Control of Systeme with Unartnin Parameters // IEEE Transactions on Automatic Control. August 1972. V.AC-17. N 4. P.474 -483.

149. Sell G.R. Nonautonomous differential equations and topological dynamics. 1, 2 // Trans. Amer. Math. Soc. 1967. V.22. P.254-269.

150. Wakeman D.R. An application of topological dynamics to obtain a new invariance property of nonautonomous ordinary differential equations. // J. Differ. Equat. 1975. V. 17. P.259-295.

151. Wittenburg J, Lilov L. Relative equilibrium position and their stability for a multi-body satellite in a circular orbit. Ing.-Arch. 1975.