автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование нелинейных управляемых систем с непрерывным и разрывным управлением

На правах рукописи

00505&»11

Петровичева Юлия Владимировна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ С НЕПРЕРЫВНЫМ И РАЗРЫВНЫМ УПРАВЛЕНИЕМ

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 9 КОЯ 2012

Ульяновск - 2012

005055817

Работа выполнена на кафедре информационной безопасности и теории управления в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Ульяновский государственный университет»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор,

Андреев Александр Сергеевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор, ФГБОУ ВПО «Ульяновский государственный технический университет», заведующий кафедрой высшей математики Вельмисов Петр Александрович

доктор физико-математических наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Мордовский государственный университет им. Н.П.Огарева», заведующий кафедрой дифференциальных уравнений Щенников Владимир Николаевич

Ведущая организация: ФГБОУ ВПО «Московский государственный

университет им. М.В. Ломоносова»

Защита диссертации состоится 19 декабря 2012 г. в Ю00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.278.02 при ФГБОУ ВПО «Ульяновский государственный университет», по адресу; г. Ульяновск, ул. Набережная реки Свияги, 106, корп. 1, ауд. 703.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Ульяновского государственного университета, с авторефератом - на сайте http://uni.ulsu.ru и на сайте Высшей аттестационной комиссии при Министерстве образования' и науки Российской Федерации -1Шр://уак.ес1. gov.ru.

Отзывы на автореферат просьба присылать по адресу: 432017, г. Ульяновск, ул. Л. Толстого, д. 42, Ульяновский государственный университет, Отдел послевузовского и профессионального образования.

Автореферат разослан «-/У » ноября 2012 года.

Ученый секретарь диссертационного совета,

кандидат физико-математических наук, доцент у Волков М.А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Усложнение структуры современных управляемых технических систем и технологических процессов вызывает значительное возрастание проблемы их математического моделирования с разработкой соответствующих комплексов численного анализа и компьютерных моделей. Это моделирование требует применения методов нелинейного анализа управляемых систем и процессов, значительно менее развитого по сравнению с их анализом в линейной и в приближенно линейной постановке. Одной из центральных задач теории и практики управления является проблема синтеза законов управления. Под синтезом управлений обычно понимают нахождение такой зависимости управляющих воздействий от обобщенных координат объекта и времени, чтобы он двигался в соответствии с целью управления. Исторически первой и ставшей теперь классической является задача стабилизации программных движений, когда цель управления состоит в изменении обобщенных координат объекта по заданному закону. Проблема разработки нелинейных моделей управляющих воздействий, обеспечивающих нелокальную стабилизацию программных движений, указанных в классической постановке, то есть при конечных отклонениях в ограниченной области пространства состояний, без каких-либо дополнительных упрощающих предположений, является предметом многочисленных исследований1,2'3'4'5'6,7. Обоснование новых моделей управления позволяет значительно повысить качество управляемых систем в части расширения спектра их возможных программных движений, оптимизации их параметров, точности оценки области возмущений и учета других факторов.

Объектом исследования являются конечномерные нелинейные управляемые системы с непрерывным и разрывным управлением.

Черноусько Ф.Л. Синтез управления нелинейной динамической системой / Ф.Л. Черноусько // ПММ. - 1992. -Т. 56, Вып. 2.-С. 179—191.

2 Пятницкий Е.С. Синтез систем стабилизации программных движений нелинейных объектов управления / Е.С. Пятницкий // Автоматика и телемеханика. - 1993. - № 7. - С. 19—37.

J Черноусько Ф.Л. Методы управления нелинейными механическими системами / Ф.Л. Черноусько, И.М. Ананьевский, С.А. Решмин. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006.-328 с.

Башкиров С.А. Алгоритмы управления движением и моделирование динамики многозвенных механизмов, передвигающихся по принципу бегущей волны / С.А. Башкиров // Известия РАН. Теория и системы управления. -2007.-№ 1.-С. 168—172.

5 Дружинин Э.И. Об устойчивости прямых алгоритмов расчета программных управлений в нелинейных системах/Э.И. Дружинин//Известия РАН. Теория и системы управления. -2007.-Т. 3.-№4. - С. 14-20.

6 Евграфов В.В. Динамика, управление, моделирование роботов с дифференциальным приводом / Евграфов В.В., Павловский В.В., Павловский В.Е //Известия РАН. Теория и системы управления. - 2007. - Т. 5.-Í6 5.-С. 171176.

7 Тягунов O.A. Математические модели и алгоритмы управления промышленных транспортных роботов / O.A. Тягунов // Информационно-измерительные и управляющие системы. - 2007. - № 5. - С. 63—69.

Предметом исследования являются математические модели и методы построения нелинейных непрерывных и релейных управлений, соответствующие алгоритмы и программы моделирования конкретных управляемых систем.

Цель и задачи работы. Цель диссертационной работы состоит в математическом обосновании новых моделей нелинейного управления конечномерными динамическими системами с выводом методов качественного и численного анализа соответствующих процессов управления, в определении эффективности новых моделей для решения задач прикладного характера.

Для достижения этой цели были поставлены и решены следующие задачи:

1. Разработка новой математической модели позиционного релейного управления.

2. Развитие методов качественного анализа дифференциальных уравнений с разрывной правой частью.

3. Разработка математических моделей управления движением твердого тела и системы связанных твердых тел.

4. Разработка соответствующего комплекса программ для численного моделирования управляемых систем.

Методы исследования. В диссертационной работе применялись следующие методы:

- Методы математического моделирования управляемых систем.

- Численные методы решения дифференциальных уравнений.

- Методы теории устойчивости и управления.

- Методы теоретической механики в моделировании технических систем.

- Методы объектно-ориентированного программирования.

Научная новизна. В диссертации разработаны новые методы моделирования управляемых систем с непрерывным и разрывным управлением. Построены новые нелинейные модели управления движениями твердого тела и системы связанных твердых тел.

Основные положения, выносимые на защиту. Автором защищаются следующие положения:

1. Новые модели управляемой системы с непрерывным и разрывным управлением, которые позволяют решать широкий класс задач о стабилизации программных нестационарных движений нелинейных управляемых систем в нелокальной постановке.

2. Новые результаты качественного и численного анализа нелинейных систем. Доказаны новые теоремы о предельном поведении движений и о стабилизации невозмущенного движения на основе применения знакопостоянных функций Ляпунова.

3. Комплекс программ по управлению движением систем, моделируемых твердым телом и связкой твердых тел, в том числе: процессом сближения летательного аппарата с движущимся объектом, движением космической станции, представляемой в виде двух связанных твердых тел.

Теоретическая и практическая значимость работы. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты диссертации применимы в теоретических и практических работах по построению управлений для систем с непрерывным и разрывным управлением. Комплекс программ, представленный в диссертации, может быть использован для численного анализа и компьютерного моделирования некоторых управляемых механических и других систем.

Достоверность. Достоверность полученных результатов обеспечивается строгостью постановок задач и математических методов их решения, доказательством теорем, использованием аналитических и численных расчетов, численным моделированием построенных моделей управления.

Апробация работы. Отдельные результаты и вопросы диссертации обсуждались в виде выступлений на следующих конференциях и семинарах:

- Семинар Симбирской молодежной научной школы по аналитической динамике, устойчивости и управлению движениями и процессами, посвященный памяти академика Валентина Витальевича Румянцева (Ульяновск, 8-12 июня 2009 г.).

- Выездное заседание Всероссийского семинара «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением» механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова под руководством член-корр. РАН В.В. Белецкого, проф. A.B. Карапетяна и Я.В. Татаринова (Ульяновск, 15-18 июня 2010 г.).

- Выездное заседание Всероссийского семинара «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением» механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова под руководством член-корр. РАН В.В. Белецкого и проф. A.B. Карапетяна (Ульяновск, 9-12 июня 2011 г.).

- XV Международная конференция «Моделирование и исследование устойчивости динамических систем» (Киев, Украина, 25-27 мая 2011 г.).

- Международная конференция «Моделирование, управление и устойчивость (MCS-2012)» (Крым, Севастополь, 10-14 сентября 2012 г.).

- Научные семинары кафедры информационной безопасности и теории управления Ульяновского государственного университета, проводимые под руководством A.C. Андреева (Ульяновск, 2008-2012 гг.).

Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в 12 печатных работах, из которых 4 входят в список изданий, рекомендованных ВАК. Список публикаций приведен в конце автореферата.

Личный вклад автора. Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Подготовка к публикации полученных результатов проводилась совместно с соавторами, причем вклад диссертанта был определяющим. Все представленные в диссертации результаты получены лично автором.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы из 128 источников отечественных и зарубежных авторов и одного приложения. Главы разбиты на параграфы. Общий объем диссертации составляет 176 страниц, основной текст диссертации изложен на 104 страницах. Диссертация содержит 26 рисунков.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении описываются исследуемые проблемы и задачи, дается обоснование актуальности рассмотренных в диссертации вопросов, определяется цель исследования, научная новизна и практическое значение. Дается краткий обзор научных работ, посвященных моделированию систем с непрерывным и разрывным управлением, краткое содержание диссертации.

В первой главе излагается математическое обоснование применения релейных управлений.

Рассматривается управляемая система, движение которой описывается системой дифференциальных уравнений

x = f(t,x,ü), /(г,0,0) = 0, (1)

где х = (дг,,...,*„)' - вектор n-мерного линейного действительного пространства R" с

нормой ||х| = (х, + , н = (и,,...,«„)' - вектор управляющих воздействий, ueR

R" - m-мерное линейное действительное пространство с нормой ||i/j| = («,2 + ... + и2т)2, /

- вектор-функция, определенная и непрерывная в области R*xDxRm, 0,+со), D = {x<eR" |х|| < Я, Я = Const > О или Н = +<»}.

Исследуется задача о стабилизации невозмущенного движения х = 0 системы (1) в следующей постановке2'8

Управляющее воздействие и = u°(t,x), и"(1,0) = 0, является стабилизирующим, если нулевое положение равновесия системы

x-f\t,x), /'('.*) = /(/.*,n°(i,*)) (2)

является равномерно асимптотически устойчивым с некоторой областью равномерного притяжения Д, = {х е R" |дс| <Н„< Н}.

При этом функция и = a°(t,x) принадлежит некоторому классу непрерывных или разрывных функций ueU при надлежащем доопределении системы (2) на поверхности разрыва и°(г,х).

Для случая непрерывного и" е U полагается, что функция /° удовлетворяет условию Липшица

£ = ЦК) (3)

для каждого компактного множества К с D, так что для системы (2) можно

« 9 10

определить семейство предельных систем '

x^f'{t,x\f\t,x) = ~ lim [f{tl+T,x)dT (4)

dt "

Представлена следующая теорема, используемая в дальнейшем в задачах моделирования с непрерывным управлением, являющаяся модификацией теоремы из работы10, и в которой через h: R* -» R* обозначена функция типа Хана11.

Теорема 1. Предположим, что для системы (1) можно найти управляющее воздействие u = u°(t,x) и функция Fe С1 такие, что:

а) Ä,(||x||) < V(t,x) < h2 (||х||) для всех (t,x) е R* xD;

б) для производной функции Ve силу (2) имеет место оценка

' Красовский H.H. Проблемы стабилизации управляемых движений // Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. Доп.4 М.: Наука. 1966. С.475-514.

' Artstein Z. Topological dynamics of ordinary differential equations / Z. Artstein // J. Differ. Equat - 1977 - V 23 №2.-P. 216-223.

Андреев A.C. К методу сравнения в задачах об асимптотической устойчивости / A.C. Андреев, O.A. Перегудова // Доклады Академии наук. - 2005. - Т. 400, № 5. - С. 621—624. Руш Н., Абетс П., Лалуа М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости. М.: Мир. 1980. 300 с.

V{t,x) < v(t)V(t,x) - fT(t,x), W{t,0) з 0,

где v: R* R и IV: R* x D ~> R* есть непрерывные функции, при этом

rj

тп < < т:, m(J,ml = const,

'о

функция Wудовлетворяет условию Липшица вида (3);

в) для каждой предельной пары if',W') множество W = 0} не содержит

решений предельной системы х = f'(t,x), кроме ^ = 0

Тогда управляющее воздействие u = u°(t,x) решает задачу стабилизации невозмущенного движения х = 0 системы (1) до его равномерной асимптотической устойчивости с заведомой оценкой области равномерного притяжения

d; = {*: Н <я„ = №'(#)}.

Пусть правая часть (2) является кусочно-непрерывной, а именно, область D при каждом t е R* представима в виде D = D0\JM, £>„ = D, \JD211...1Щ, где D/ -некоторые подобласти, М есть их граница меры нуль, {х = 0}е М,в каждой подобласти R+xDj {j = 1,/) функция /(t,x) непрерывна, а также удовлетворяет условию Липшица вида (3).

Множество М является множеством разрыва f, при этом для каждого фиксированного t е R функция / имеет конечный предел, f(t,xk)-> /0 = const для каждой последовательности xk -> х0 s М, с возможными различными значениями /0 в зависимости от выбора последовательности хк —> х0.

Вводится многозначная функция F = F(t,x), такая, что F(t,x) = f(t,x) для (t,x) е Rx D, F{t,x) доопределенная на множестве М согласно доопределениям12, таким образом, что на каждом отрезке ['0>'iJ (/„ < /,) множество {F(t, х); t0 < t < ti, x е £>} замкнуто и выпукло, F(t, х) /3- непрерывна по (t, х)12

В соответствии с этим для уравнения (2) можно ввести дифференциальное включение

X е F{t,x) (5)

для (i0,x0)6D которого можно найти решения x = x(t), x(t0) = x0, продолжимые до границы 5D области D.

12 Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью / А.Ф. Филиппов // М.: Наука. 1985.224 с.

Включение (5) также будет иметь нулевое решение которое в

дальнейшем считается единственным решением (5) для точки х0 = 0.

Для простоты изложения полагается, что множество М определяется векторным уравнением вида

Ф(Г,*) = 0

Ф = (Ф,,Ф2,...,ФД где функции Фу(/,х) являются ограниченными, равномерно непрерывными по для каждого компакта ЛГс£>. Отсюда для семейства

сдвигов{Фг(/.я) = Ф(г + т,х)} можно найти множество предельных функций Ф*(/,х)13, Ф* С. = +1>х)> 'к +с0> затем соответственно определить множество

М' ={(/,д:)€еЛх£):Ф*(г,х) = о} как границу области £>„* = Г)' и... и -О,* .

Аналогично случаю (/,/") можно доопределить функцию /'(',*) до многозначной функции /■"(',*) в точках множества Л/*, дополнив при необходимости множество значений лс) предельными значениями Р{г,х) по

последовательностям {¡к + Г,^ ->■ +оо,/ е Л} и -> х' е М').

Тем самым, можно ввести по отношению к (4) семейство предельных включений

(6)

для которых также будут выполнены условия существования решений для каждой точки (г0,х0)а IV х О.

Для функции К(1,х)еС1(ЯхЯ->Л*), У (г, 0) = 0 определим верхнюю производную в силу включения (5)12'14

Определим, что предельное включение (6) и функция IV* - IV* (¡,х) образуют предельную пару если они являются предельными для одной и той же

последовательности 1к +оо. Введем также множество

Р^Ч'.с) = {(Г,*): + t,xk)-* с для хк->х],

" Sell G.R. Nonautonomous differential equations and topological dynamics. 1,2/ G.R. Sell // Trans. Amer Math Soc 1967. V. 127. P. 241—283.

Алимов Ю.И. О применении прямого метода Ляпунова к дифференциальным уравнениям с неоднозначными правыми частями / Ю.И. Алимов//Автоматика и телемеханика. 1961. №7. С.817-830.

соответствующее паре (f\W').

Обозначим через M+((F*,W*)) множество, образуемое всеми решениями включения (6), лежащими на всем своем интервале определения в множестве {FJ1 (/,с):с = const)ПW(t,x) = 0}, M?({(F* ,W*)}) -объединение M+((F',W*)) по

всем (f*,W*).

Доказаны следующие теоремы, развивающие и обобщающие классические результаты^'14

Теорема 2. Предположим, что существует функция V = V(t,x),V е С1, с

+

производной V (t,x) < -W(t,x) < 0. Тогда для любого решения (5) х = x(t),x(tQ) = x0, определенного для всех t>t0 и ограниченного компактом К с D0, множество его предельных точек удовлетворяет соотношению а>+ с: М?({(F*,W )}), при этом, это решение неограниченно приближается к сечению множества M*({(F ,W )}) некоторым значением с = с0 = const.

Теорема 3. Предположим, что:

1) существует функция F = V(t,x), a, fx|) < V(t, *) < а1 фф ,а& К есть функция

типа Хана;

2) производная V* (Г, х) <-W(t, х) < 0;

3) для любой предельной пары (f',W') множество {W*(t,x) = 0} не

содержит никаких решений системы хе F*(t,x), кроме х = 0.

Тогда решение х = 0 включения (5) равномерно асимптотически устойчиво. Теорема 4. Допустим, что можно найти функцию Ляпунова V = V(t,x), удовлетворяющую следующим условиям:

1) й, (j|<Z>(f, *|)< V(t, х) < й2 |Ф(/, х)||}

2) производная в силу включения (5) V(t, х) <-W(Г, х) < 0;

3) для каждой предельной пары (f' ,IV') множество {||ф' (/, х)| = с„ = const > 0} n {W'(t, х) = 0} не содержит никаких решений включения (6);

4) решение х - 0 включения (6) асимптотически устойчиво относительно множества {Ф*(/, х) = 0> равномерно по отношению к соответствующему множеству {<£>"(/, х) = 0}.

Тогда решение х = 0 включения (5) равномерно асимптотически устойчиво.

Теорема 5. Условия (2) и (3) теоремы 4 могут быть заменены одним условием

3') производная х) 2 -Л3 (||ф(/, х)||).

а

При этом, если добавить условие {(Л^-1 (г)))""'¿/г < +оо, тогда возмущенные

о

движения достигают множества {Ф(1,х) = 0} через конечный промежуток времени.

Доказанные теоремы расширяют класс непрерывных и разрывных управлений, обеспечивающих стабилизацию системы (1) при конечных возмущениях. Применение разрывных управлений в определенной степени усложняет моделирование динамики управляемой системы (1) с помощью ЭВМ. Это связано с тем, что процесс их интегрирования на ЭВМ обычно задается в форме разностных схем, которые возникают при учете, например, конечности шага. интегрирования. Предложена модификация процедуры интегрирования, при которых движение, определяемое разностной схемой, будет сходиться к движению системы (4). Проведен сравнительный анализ новых моделей непрерывного и разрывного управлений на примере математического маятника.

Во второй главе излагаются результаты о математическом моделировании управляемой системы связанных твердых тел.

Многие механические системы могут быть представлены как системы твердых тел, связанных между собой в определенную конфигурацию посредством различных элементов - пружин, демпферов, шаровых или цилиндрических шарниров и т.д. Исследуется задача о составлении точных нелинейных дифференциальных уравнений управляемого движения таких систем в матричной форме.

За основу принята следующая модель15. Пусть п - число тел в системе, структура взаимосвязей тел описывается ориентированным графом системы.

Движение системы п твердых тел согласно принципу Даламбера описывается уравнениями

+и,+М," -¿,.)]+<5Ж = 0

(=1

Ц = /Д +<а, х7:о): (/ = 1,..,и), (7)

15 Виттенбург Й. Динамика системы связанных тел /Й. Витгенбург-М.: Наука, 1980,11

290 с.

где тп г,, 1п }., со,, Р,, М, ,(/,, М" обозначают массу тела /, радиус-вектор его центра масс относительно полюса, фиксированного в инерциальном пространстве, момент количества абсолютного движения относительно этого центра масс, центральный тензор инерции и абсолютную угловую скорость, главный вектор и главный момент внешних и внешних управляющих сил, действующих на тело /, соответственно. Линия действия проходит через центр масс тела /. Вектор 57. представляет собой вариацию 71 и 8п1. — произведение произвольного единичного вектора на бесконечно малый угол.

Точки над 7) и щ обозначают дифференцирование по времени в инерциальной системе отсчета, вариации 7, и 8п1 описывают вариации положения и ориентации тела по отношению к этой инерциальной системе отсчета. Слагаемое 5\¥ представляет собой полную возможную работу, совершаемую в шарнирах системы. Силы реакции не вносят вклада в нее, так как они предполагаются идеальными. Возможная работа совершается в шарнирах пружинами, демпферами и другими, в том числе управляемыми силами.

Пусть 7С - радиус-вектор центра масс С всей системы относительно полюса, Л, - радиус-вектор тела г относительно С, 7,=7С + Я1. Подставлением 57^57с + 5Яп 71=7С+К1 в уравнение (7) получим уравнения

Л4 А/= Ём| ' (8)

;=1 ы ¿=1

I [«, • (/', + и, -тД)+ 5я, (л7, +Щ- %|+ ¿IV = 0 (9)

Первое уравнение определяет движение центра масс всей системы, второе имеет структуру уравнения (7), при этом вариации 6Я, и 5Л1 не являются независимыми, а связаны соотношениями, определяемыми связями в соединительных шарнирах между телами системы.

В матричной форме уравнение (9) может быть записано в виде

6КТ - {ё + П-т1)+ 5лТ -{м + М"-Ш-у)+Ш = 0 (10)

со следующими матрицами Я = ДД,..Д)Г, <5^ = 0®г,<»?„)',

бР=($-,ёР2;..,Зг„)т, П = {ихЛг-ЛпТ, Мч =(л7," , м={ц,щ,..,ц,Т, (о=(щ,('л,..,щ,)г, 7 = .....,7„),

т = где соответственно Л, 8я, 8г, Р, М, со, и, Ми есть матрицы-

столбцы, элементами которых являются векторы, а1 Ъ, а' у.Ь - скалярное и векторное произведение векторных столбцов и векторных матриц, 7 - матрица с квазидиагональными матрицами тензоров инерции тел, т - диагональная скалярная матрица с элементами т0 = .

Возьмем в качестве переменных, определяющих движение системы квазикоординаты л и относительные перемещения тел системы 2.

Определим возможную работу, совершаемую в шарнирах, через вариации 82' и8л„ по формуле

№ = -з^х™ + ^ЗУ""

Уравнение (10) в переменных и 21,..,2п принимает вид

(<5лТ хВ- §2Т + и + тВт х су + т{Тр)т (I + 2Й)-т^)+

+ ШТ (м + Ми - Ш - у)-51т ■ Х{а) + 5лт8¥и) = 0

При независимости вариаций 8л и 82 из (11) получаем уравнения 8лт-^Вх^+и + тВт ха + т(Тц)Т {2' +М + КГ -/¿-К + £Г(о)) = 0

82Т ■ (Тц)[Ё + О + тВ' х 5 + т(Тр)г [2' + 2Й)-т^') + 82Т Х{а) = 0

Если же шарниры являются шаровыми, допускающими независимые смещения, тогда получаем следующие уравнения

ВхтВт хё-7ё+Вхщ(Гр)г 2' + ВхЁ + Вхи + +Вх2т(Т /и)Т И-Вхт£ + М + М" -К+5У = 0

82Т{{Т^)тВ хы + {Тц)т(7»г2' + (7>)¥ + (7»О +

В случае, когда связи допускают произвольные пространственные смещения, вариации 52' являются независимыми, и из (12) имеем явные уравнения движения {Тц)т(Тц)Г 2' + {Тц)тВхю + (Тц)Т + (Тц)и + +2{Тр)т{Тц)т~И-{Тц)т£-Х = 0

В более общем случае, когда тела соединены шарнирами, допускающими относительные перемещения .V тел системы, находим уравнения движения в переменных/г и .V.

/ • со- В х тВТ X со- Вх т(Тц)т

(/ —■ 5Z

8s

82Z dsTds

+Bxmg' —Bx2m(Tfi)r h + V = BxF + BxU + M + M" +SY

' d2Z

Ц] {(.TM)mBxa+(Tjj)m(Tfj)7

—=- -i+i

-r — ds ds

+ (7» ^ + (7>) и + 2 (7>)т (Т/л)Т й - (7»тя^1 + X) = О Для полного определения движения системы к этим уравнениям следует добавить уравнение движения центра масс (8) и кинематические уравнения для вращательного движения каждого тела. В качестве таких уравнений могут быть взяты, например, уравнения в углах Эйлера, в кватернионах и т.д.

В параметрах Родрига-Гамильтона кинематические уравнения вращательного движения для к-то тела относительно инерциального пространства имеют вид

2Я,' +

2Л$ = + Я>* - А^щ*

(13)

В качестве кинематических уравнений могут быть выбраны уравнения через относительные угловые скорости П, связанные с со посредством равенств

П„ = -¿ЗД а = 1,2,.., л ¡-1

и использованы соответствующие уравнения вида

2Л> = ~^гУг ~^зУз

2Я, = Я^, + h (Л + - (Л + ) 2Л, = +2Щ)

2Я, = Vj + Л <Л + 20J) - Я, О», + 2fif )

(14)

Пусть

=riXt),Z=Z°(t), Z = Z(f), © = 5°(0, ^ = 0 (15)

"7 /Т<]) Т(">\ Т(4) л (*> 1 (*> 1 (*)ч

заданное программное движение, где Я = (Я ,...,Я ),Я = (Я, .Я^ ,Я, ) реализуемое суммарными управляющими силами Fc"(/) и моментами Ai ",(/)•

На основании теоремы I показано, что задача о стабилизации этого движения может быть решена непрерывным управлением

К = K4t) + F^c-rc\t))+F2(rc-rc°)

Û = Uo(t) + U\ (Z- Z° (f)) + Uq(Z- Z™(/))

= м°,(0 + л/1(й-ет°(0)+л?21. (16)

Также показано, что в соответствии с теоремой 4 задача о стабилизации движения (15) решается релейным управлением

U = B,&(H(Z- Z°(/)) + F(Z - Z<°>(f ))),

Jf = Bi&(H(i»-a\t))+F1X). (17)

при этом существование U°(t) и М,°Д/), обеспечивающих движение (15), является необязательным.

Представлен алгоритм построения разработанных моделей управления системой связанных твердых тел.

В третьей главе исследуется эффективность построенных моделей управления для решения задач прикладного значения с разработкой соответствующих алгоритмов и программ на С++.

Рассматривается задача о стабилизации программного поступательно-вращательного движения твердого тела переменной массы, в котором его центр инерции движется с заданной скоростью vc(t), а тело имеет постоянную ориентацию относительно заданной неинерциальной системы координат.

Пусть OÇtjÇ есть инерциальная система координат, Cxyz есть система координат с началом, совпадающим в каждый момент времени с центром инерции тела, оси которой Сх, Су и Cz имеют неизменные направления в теле, Сару — система координат, вращающаяся относительно OÇrjÇ с заданной угловой скоростью a>(i) = (ù>l(l),ùj2(t),co3(t)y.

Динамические уравнения движения тела в системе координат Cxyz примут следующий вид

m^- + m(mxvc) = F + R, . I^- + (a>x Ico) = MF + М„, (18)

где vt и ta соответственно абсолютная скорость центра инерции и'угловая скорость тела, m - масса тела, I - тензор инерции тела в осях Cxyz, F и М-равнодействующие внешних и реактивных сил, приложенных к телу, MFи MR~ моменты этих сил относительно центра инерции С ((хх у) - векторное произведение).

Пусть задан произвольный ограниченный режим движения V- у/,со = ар(1), получаемый согласно (18) при программном управлении Л = Лр(1) и Мк = Л/£(г), определяемых равенствами

/¿'(О = + т(а>хус)- ^

Угловое положение тела определяется при помощи параметров Родрига-Гамильтона (Л,, А,,/^,!,), задающих положения Схуг относительно СаРу, с кинематическими уравнениями (14).

Показано, что поставленная задача решается управляющими воздействиями Хя = + =ЖО(а>-й>') + сЯД = (Л,Л>А3)'

где А, В е Л* Я3"- есть некоторые непрерывные, ограниченные матрицы, с:/Г - непрерывная ограниченная функция.

Проведено численное моделирование процесса стабилизации движения

твердого тела переменной массы с тензором инерции / =

программном движении с поступательной скоростью у = у/ =(2;0;0)м/с с угловой скоростью &>=<г/(0=(0.5;0;0)рад/с. Сходимость процессов демонстрируется на рисунках 1-3.

1 + 2е~2' 0 0

0 2 +г'1' 0

0 0 3-е

х, м/с 2

2

1 1 ..Л,"

10 "15 20

25 30 и с

10

13

20 25 30

с

Рис. 1. Процесс стабилизации по относительной Рис. 2. Процесс стабилизации по относительной

поступательной скорости

угловой скорости

X 2 Г

10

15

20

25 30 % с

Рис. 3. Процесс стабилизации заданного относительного положения тела Показано, что задача приведения твердого тела в заданное программное движение решается также управляющими воздействиями вида

(ХЛ =~Мг(ГД =-6,-^пС^+АЛ,), (г = и) Численное моделирование этого процесса для начальных значений = (2;0.4;1), у[0 = (0.1;0.6;1.1), X = (0.91;-0.2;-0.2;0.3) приведено на рисунках 4-6.

м/с

У. рад/с

10

15 20 25 30

V-

V

10

15 20 25 30 и с

Рис. 4. Процесс стабилизации по относительной Рис. 5. Процесс стабилизации по относительной поступательной скорости угловой скорости

А.

2

10

15 20

Рис. 6. Процесс стабилизации заданного относительного положения тела

25 30 г, с

Далее в главе аналогичным образом строится модель аппарата для его сближения с космическим комплексом. Рассматривается летательный аппарат как твердое тело массой т и структурой, определяемой относительно заданной в теле системы координат Схуг (С — центр инерции тела) матрицей инерции I. Будем полагать, что системы ориентации летательного аппарата и космического комплекса с достаточной точностью замеряют дистанционные и вращательные их параметры. Пусть Оару есть система координат, неизменно связанная с орбитальным комплексом, вращающаяся относительно некоторой инерциальной системы координат с угловой скоростью й(1) = («,(/), со}(1), а>3(1))' и угловым ускорением *(') = (£,(')> е2(0, £,«))'.

Вводятся параметры сближения: отклонение аппарата от станции х, отклонение его угловой скорости^, параметры относительного углового положения

Показано, что задача синтеза управляющих воздействий Хя и , обеспечивающих равномерную асимптотическую устойчивость положения

равновесия системы х = 0, х = 0,_у = О, Л, =Л2 = /Ц = О, А, = 1 решается в виде управляющих воздействий

хв = = ЖОу-с(ОЯД = (ЛЛЛ)'

Проведено численное моделирование процесса сближения летательного аппарата с орбитальным комплексом, движущимся с поступательной скоростью V = V/ = (2;0;0) м/с и с угловой скоростью (о = сир(1) = (0.5; 0;0) рад/с. Сходимость процессов демонстрируется на рисунках 7-9.

X, м/с

20 25 30 Ъс

15 20 25 30

Рис. 7. Процесс стабилизации по относительной Рис.8. Процесс стабилизации по относительной поступательной скорости угловой скорости

С/

О 5 10 15 20 25 30

1, с

Рис. 9. Процесс стабилизации заданного относительного положения тела Показано, что задача приведения твердого тела в заданное программное движение также решается релейными управляющими воздействиями вида

(уд (< = и)

Численное моделирование этого процесса для начальных значений д:10 - (2;0.4;1), *о=°. Ую =(0.1;0.6;1.1), А = (0.91;-0.2;-0.2;0.3) приведено на рисунках 10-12.

X, м/с

2 1 О -1 -2

10

20

30

40 I, с

2 1 0 -1 -2

У. Р'Д'С

/ч * * . # *

к

\У\ ъ у

О

10

20

30

40 и с

Рис. 10. Процесс стабилизации по относительной Рис. 11. Процесс стабилизации по относительной поступательной скорости угловой скорости

Л

0 10 20 30

с

Рис. 12. Процесс стабилизации заданного относительного положения тела

Модель управляемой системы связанных твердых тел, представленная в главе 2, использована для решения задачи о стабилизации движения космической станции, состоящей из двух твердых тел, в котором центр масс станции движется по круговой орбите, а тела находятся в одном из положения относительного равновесия15. Решение задачи достигается в соответствии с алгоритмом, представленным в главе 2, согласно формулам (13)-(17). Разработан соответствующий комплекс программ, проведены численное моделирование и анализ переходного процесса.

В заключении оценивается степень выполнения поставленных задач, перечислены основные полученные в диссертации результаты:

1. Разработаны новые математические модели позиционного непрерывного и релейного управлений, обеспечивающих нелокальную стабилизацию нелинейной управляемой системы.

2. Дано развитие качественной теории дифференциальных уравнений с разрывной правой частью. Описана динамика таких уравнений, получены новые результаты по прямому методу Ляпунова в исследовании их устойчивости.

3. Разработана компьютерная модель управления движением твердого тела, в том числе, в задаче сближения летательного аппарата с движущимся объектом.

4. Разработанная модель управляемого движения системы связанных твердых тел использована для численного моделирования управления движением космической станцией, составленной из двух тел.

В приложении для управляемой системы представлены исходные тексты комплекса программ численного интегрирования процесса стабилизации, описываемой дифференциальными уравнениями с непрерывной и разрывной правой частью, программ моделирования процесса управления движением твердого тела и космической станции.

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю, заведующему кафедрой ИБиТУ Ульяновского государственного университета, доктору физико-математических наук, профессору Андрееву Александру Сергеевичу за постановку задач, детальное обсуждение результатов работы и всестороннюю помощь.

Работа поддержана ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» (соглашение № 14.В37.21.0516), АВЦП «Развитие научного потенциала высшей школы» (проект №2.1.1/11180), РФФИ (проект №11-01-00541).

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Публикации в изданиях, входящих в перечень ВАК

1. Андреев A.C., Дмитриева О.Г., Петровичева Ю.В. Об устойчивости нулевого решения системы с разрывной правой частью // Научно - технический вестник Поволжья. - 2011. -№ 1.-С. 15-20.

2. Павликов C.B., Петровичева Ю.В. Об управлении движением твердого тела с измерением и без измерения скоростей // Обозрение прикладной и промышленной математики. -2010. - Т.17, Вып. 4. - С. 580-581.

3. Перцева И.А., Петровичева Ю.В. К задаче о стабилизации нестационарного движения управляемой системы // Труды Института системного анализа Российской академии наук. Динамика неоднородных систем. - 2010. - Т. 50. - № 1- С. 43-52.

4. Перцева И.А., Петровичева Ю.В. Об управлении движением твердого тела // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2010. -Т. 17, Вып. 2. - С. 293294.

Прочие издания

5. Авдонин В.В., Артемова А.О., Петровичева Ю.В. Управление движением системы связанных твердых тел // Материалы Всероссийского семинара «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением». - Ульяновск, 2011.-С. 7-9.

6. Андреев A.C., Петровичева Ю.В. К задаче сближения летательного аппарата с космической станцией // Фундаментальные проблемы системной безопасности. Вычислительный центр им. A.A. Дородницына РАН. - Москва, 2012. - Вып. 3. -С.434-436.

7. Андреев A.C., Артемова А.О., Петровичева Ю.В. О моделировании управляемого движения системы связанных твердых тел // Труды XV Международной конференции «Моделирование динамических систем и исследование устойчивости». -Киев, Украина, 2011. - С. 343.

8. Андреев A.C. Петровичева Ю.В. Управление летательным аппаратом при его сближении с космической станцией // Материалы докладов Всероссийского семинара «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением». -Ульяновск, 2011. - С. 28-31.

9. Ким Е.Б., Петровичева Ю.В. О методе В.В. Румянцева решения задачи оптимальной стабилизации // Тезисы докладов Симбирской молодежной научной школы по аналитической динамике, устойчивости и управлению движениями и процессами. - Ульяновск, 2009. - С. 61-63.

10. Панчина Т.Б., Петровичева Ю.В. О стабилизации поступательно-вращательного движения твердого тела переменной массы // Материалы докладов Всероссийского семинара «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением». - Ульяновск, 2010. - С. 56.

11. Петровичева Ю.В. Математическая модель управляемого движения свободной системы связанных твердых тел // Труды X Международной Четаевской конференции «Аналитическая механика, устойчивость и управление». - Казань, 2012. - Т. 3. Секция 3. Управление. Ч. II. - С. 226-230.

12. Петровичева Ю.В. О стабилизации движений управляемых систем с кусочно-непрерывным управлением // Международная конференция «Моделирование, управление и устойчивость (МС8-2012)». - Крым, Севастополь, 2012. - С. 94-95.

Подписано в печать 15.11.2012. Формат 60 х 84/16. Гарнитура Times New Roman. Усл. печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ № 205

Отпечатано с оригинал-макета в Издательском центре Ульяновского государственного университета 432017, г. Ульяновск, ул. JI. Толстого, 42

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ ПРИМЕНЕНИЯ РЕЛЕЙНЫХ УПРАВЛЕНИЙ.

1.1. О моделировании нелинейных управляемых систем с непрерывным управлением.

1.2. Об устойчивости системы с разрывной правой частью.

1.3. О моделировании динамики управляемых систем с разрывным управлением.

ГЛАВА 2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ УПРАВЛЯЕМОЙ СИСТЕМЫ СВЯЗАННЫХ ТВЕРДЫХ ТЕЛ.

2.1. Уравнения управляемого движения моделируемой системы связанных твердых тел.

2.2. Структуры управления системой связанных твердых тел и соответствующие алгоритмы ее построения.

ГЛАВА 3. АЛГОРИТМЫ И ПРОГРАММЫ УПРАВЛЕНИЯ СИСТЕМ, МОДЕЛИРУЕМЫХ В ВИДЕ СИСТЕМЫ СВЯЗАННЫХ ТВЕРДЫХ ТЕЛ.

3.1. Задача о стабилизации программного поступательно-вращательного движения твердого тела переменной массы.

3.2. Задача о сближении летательного аппарата с космическим комплексом.

3.3. Об управлении движением космической станции.

Аналитические исследования устойчивости некоторых динамических систем привели к возникновению новой самостоятельной науки - теории автоматического управления (регулирования) (ТАУ) [62]. Основы этой теории принято связывать с публикациями Дж. К. Максвелла «О регуляторах» (1868), И. А. Вышнеградского «О регуляторах прямого действия» (1876) и его последователя А. Стодолы «О регулировании турбин» (1893). К настоящему времени ТАУ - общепризнанная и интенсивно развивающаяся наука, достигшая впечатляющих успехов, нашедшая широкое применение в ряде областей науки и техники и на данный момент насчитывающая огромное число методов решения разнообразных задач.

Проблема синтеза законов управления является одной из центральных задач теории автоматического управления. Под синтезом управлений обычно понимают нахождение такой зависимости управляющих воздействий от обобщенных координат объекта и от времени, чтобы он двигался в соответствии с целью управления. Различие в постановках задачи синтеза связано с различием в формулировке цели управления.

Важным этапом решения проблемы синтеза систем автоматического управления (САУ) составила теория оптимального управления, сформировавшаяся, прежде всего, на базе классического вариационного исчисления, принципа максимума Л. С. Понтрягина [82] и динамического программирования Р. Беллмана [29], разрабатывающая теорию и методы структурного синтеза таких систем в виде решения задачи синтеза алгоритмов управления для заданного объекта управления, и требующей, прежде всего, знания его математической модели. Такая модель в отличие от физического объекта составляется из идеализированных звеньев или блоков, которые должны быть достаточно строго математически описаны. При математическом описании выделяются наиболее существенные свойства и признаки конкретной системы и представляются в форме, удобной для последующего теоретического и экспериментального исследования. Результаты иследований по теории оптимальной стабилизации управляемых систем и моделированию оптимальных систем управления на основе линейных объектов (в том числе, «Метод аналитического конструирования оптимальных регуляторов» (метод АКОР) Летова—Калмана), представлены в работах [5, 30, 35, 45, 58, 90].

Значительно менее исследованными были нелинейные системы, однако по мере становления теории автоматического управления постепенно на первый план стало выходить исследование таких систем управления и разработка методов их проектирования, поскольку все реальные системы заведомо нелинейные [2, 3, 42, 89].

Широкое применение в моделировании структур управления нелинейными системами получил прямой метод Ляпунова (метод функций Ляпунова) [61], составляющий основу современной нелинейной теории САУ, и включающий помимо условий устойчивости, исследование качества процессов управления и методы структурного синтеза.

Исследование моделей нелинейных систем управления началось с анализа влияния отдельных типовых нелинейностей в линейных в остальном системах, учете влияния и нейтрализации нежелательных нелинейностей (компенсация статических нелинейностей, вибрационная линеаризация зон нечувствительности и лифтов и т.д.). Затем появились работы о введении специальных нелинейностей для улучшения динамических свойств систем.

Были разработаны методы исследования нелинейных систем анализа устойчивости, качества, методы параметрического синтеза, в частности, гармоническая линеаризация, использование фазовой плоскости, компьютерное моделирование.

Конечная цель моделирования и проектирования САУ состоит в получении документации для производства и эксплуатации такой системы, которая удовлетворяла бы заданным техническим требованиям, таким как точность, быстродействие, энергопотребление, надёжность и т.д., вплоть до стоимости. Особенность моделирования САУ состоит в анализе показателей процесса управления (алгоритмы, численное значение параметров, качественные показатели процесса управления), так как при их создании весьма желательно иметь представление об их теоретически предельных возможностях. Это важно для того, чтобы оценить технический уровень разработанной системы по степени её близости к теоретически предельному уровню и, конечно, для того, чтобы, прежде всего, убедиться в принципиально реализуемости системы с требуемыми свойствами.

Для предельно простого линейного приближения, дающего строго аналитическое решение этой задачи, разработаны алгоритмы синтеза оптимальных САУ, основанные на перечисленных выше методах исследования линейных систем.

Для нелинейных САУ разработаны методы синтеза на основе прямого метода Ляпунова, но поскольку отсутствуют универсальные способы построения функций Ляпунова, алгоритмы синтеза управления нелинейной системы строятся строго для каждой системы в отдельности.

С ускоряющимся темпом научно-технического развития в середине XX в. были разработаны методы оптимизации, позволяющие численно на ЭВМ решать определенные классы задач. Это, прежде всего, уже упомянутые принцип максимума Л. С. Понтрягина (1961) [82] и метод динамического программирования Р. Беллмана (1957) [29], представляющий собой синтез вариационного исчисления и метода функций Ляпунова [45, 53, 63], на котором базируются основные методы стабилизации движений управляемых систем, в том числе механических, на бесконечном интервале времени [19, 53-55, 92, 97] и синтеза управления на конечном отрезке времени [47, 50] с применением функции Ляпунова. На основе этих общих математических методов были разработаны уже инженерные методы синтеза САУ, ориентированные на свойства конкретных объектов управления - упомянутый выше метод АКОР Летова-Калмана (1960), метод функционала обобщённой работы (ФОР) А. А. Красовского (1973), синергетический подход А. А. Колесникова (1994), методы самоорганизующихся систем, в том числе с использованием технологий искусственного интеллекта, и т.д.

Применение теории моделирования [51, 64, 94, 110] позволяет проанализировать подходы и алгоритмы решения задач об управлении механическими системами с точки зрения их эффективности по затратам управления, времен переходного процесса и динамики. Подробно этим вопросам уделено внимание в работах [8, 71, 81].

Математическое моделирование нелинейных управляемых систем с разработкой соответствующих комплексов численного анализа и компьютерных моделей требует применения методов нелинейного анализа управляемых систем и процессов, значительно менее развитого по сравнению с их анализом в линейной и в приближенно линейной постановке. Классической задачей синтеза законов управления является задача стабилизации программных движений, когда цель управления состоит в изменении обобщенных координат объекта по заданному закону. Разработка нелинейных моделей управляющих воздействий, обеспечивающих нелокальную стабилизацию программных движений, при конечных отклонениях в ограниченной области пространства состояний, без каких-либо дополнительных упрощающих предположений, является предметом многочисленных исследований [38, 39, 85, 99, 107, 108].

Таким образом, проведенный анализ позволяет утверждать о перспективности и актуальности развития направлений по обоснованию новых моделей управления для повышения качества управляемых систем в части расширения спектра их возможных программных движений, оптимизации их параметров, точности оценки области возмущений и учета других факторов.

Цель и задачи диссертационной работы. Цель диссертационной работы состоит в математическом обосновании новых моделей нелинейного управления конечномерными динамическими системами с выводом методов качественного и численного анализа соответствующих процессов управления, в определении эффективности новых моделей для решения задач прикладного характера.

Для достижения этой цели были поставлены и решены следующие задачи:

1. Разработка новой математической модели позиционного релейного управления.

2. Развитие методов качественного анализа дифференциальных уравнений с разрывной правой частью.

3. Разработка математических моделей управления движением твердого тела и системы связанных твердых тел.

4. Разработка соответствующего комплекса программ для численного моделирования управляемых систем.

Научная новизна. В диссертации разработаны новые методы моделирования управляемых систем с непрерывным и разрывным управлением. Построены новые нелинейные модели управления движениями твердого тела и системы связанных твердых тел.

Теоретическая и практическая значимость работы. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты диссертации применимы в теоретических и практических работах по построению управлений для систем с непрерывным и разрывным управлением. Комплекс программ, представленный в диссертации, может быть использован для численного анализа и компьютерного моделирования некоторых управляемых механических и других систем.

Основные положения, выносимые на защиту. Автором защищаются следующие положения:

1. Новые модели управляемой системы с непрерывным и разрывным управлением, которые позволяют решать широкий класс задач о стабилизации программных нестационарных движений нелинейных управляемых систем в нелокальной постановке.

2. Новые результаты качественного и численного анализа нелинейных систем. Доказаны новые теоремы о предельном поведении движений и о стабилизации невозмущенного движения на основе применения знакопостоянных функций Ляпунова.

3. Комплекс программ по управлению движением систем, моделируемых твердым телом и связкой твердых тел, в том числе: процессом сближения летательного аппарата с движущимся объектом, движением космической станции, представляемой в виде двух связанных твердых тел.

В первой главе диссертации излагается математическое обоснование применения релейных управлений.

В первом параграфе рассмотрены управляемые системы, моделируемые неавтономными дифференциальными уравнениями с непрерывным управлением. Получена теорема, используемая в дальнейшем в задачах моделирования с непрерывным управлением, являющаяся модификацией теоремы из работы [13].

Во втором параграфе рассмотрены системы, моделируемые неавтономными дифференциальными уравнениями с разрывными правыми частями, поскольку развития таких уравнений требуют многочисленные современные задачи механики, техники и теории автоматического управления [24, 26, 28, 37, 40, 67, 70, 76, 83, 84, 86, 98, 101, 104, 107]. Результаты по исследованию таких уравнений представлены в работах многих математиков [2, 3, 102, 103, 111, 122, 127]. Было показано, что многие утверждения классической теории дифференциальных уравнений [32, 48, 91, 95, 106, 117] остаются справедливыми и для уравнений с разрывными правыми частями. Обосновано применение к таким уравнениям известных методов исследования, конечно с определенными ограничениями. Наиболее полно исследования по качественной теории дифференциальных уравнений с разрывной правой частью представлены в монографии [102].

Единственным эффективным методом исследования и решения задач устойчивости, стабилизации и управления нелинейными системами является по существу прямой метод Ляпунова. Его сложность состоит в отсутствии универсальных способов построения функций и функционалов Ляпунова. Эффективность достигается модификацией, развитием и обобщением общих классических и известных теорем этого метода. Развитие прямого метода Ляпунова значительно расширяет его применение для задач управления. Например, в одной из самых известных последних монографий по управлению нелинейными системами [104] представлены материалы исключительно для стационарных систем, что связано, прежде всего, с соответствующим классом используемых подходов из теории устойчивости, в том числе, класса теорем типа

Ляпунова. До настоящего времени решение задач о стабилизации и управлении движением нелинейных систем с применением функций Ляпунова основывались на знакоопределенных функциях [25, 42, 50, 53, 55, 84]. В последнее время целью ряда работ является развитие второго метода Ляпунова в направлении использования в задачах устойчивости знакопостоянных функций Ляпунова. Этому направлению посвящены работы [10, 15, 16, 19, 20]. Одно из направлений развития прямого метода Ляпунова основано на построении динамики уравнений и выявления качественных предельных свойств их решений. В автономном случае это свойство обращается в свойство инвариантности, являющееся достаточно известным [102].

Использование свойства инвариантности значительно расширило применимость прямого метода Ляпунова за счет использования знакоопределенных и знакопостоянных функций со знакопостоянной производной. Соответствующие теоремы для непрерывных автономных и периодических по времени уравнений получены ещё в 50 - 60-е годы в работах Н. Н. Красовского [52] и Ж. П. Ла-Салля [57], развиты в работах Н. Г. Булгакова [34], для непрерывных неавтономных уравнений в работах [11, 13, 17, 18, 49, 75, 116], для автономных уравнений с разрывной правой частью в [7, 66]. Представляется важным вывод предельных свойств решений и для неавтономных уравнений с разрывной правой частью, что также показано в данном параграфе.

На основе топологической динамики таких уравнений в области их непрерывности и с последующим достроением предельных к ним уравнений до дифференциальных включений определено свойство квазиинвариантности положительного предельного множества решения уравнения с разрывной правой частью. На основе этого свойства обосновано развитие прямого метода Ляпунова при использовании знакопостоянных функций Ляпунова в решении задачи устойчивости для этих уравнений и задач стабилизации и управления нелинейными управляемыми системами с кусочно-непрерывными управлениями.

Также во втором параграфе даны основные определения и доказаны теоремы об устойчивости, равномерной устойчивости, эквиасимптотической устойчивости и равномерной асимптотической устойчивости.

Доказанные теоремы, приведенные в первом и втором параграфах, развивают и обобщают классические результаты непрерывных и разрывных управлений, обеспечивающих стабилизацию системы при конечных возмущениях.

В третьем параграфе рассматривается задача интегрирования дифференциальных уравнений с разрывной правой частью. Известные схемы интегрирования могут давать большие погрешности. Предлагается использовать для контроля за вычислениями известную для системы функцию Ляпунова. Разработанные соответствующие алгоритм и программа, представленны в приложении. Этот алгоритм показан в решении задачи о стабилизации программного движения перевернутого математического маятника.

Во второй главе диссертации излагаются результаты о математическом моделировании управляемой системы связанных твердых тел, выводятся уравнения управляемого движения такой системы. Вывод удобных уравнений движения для численного интегрирования и решение всевозможных прикладных задач является предметом исследования многих ученых различных стран [31, 43, 59, 60, 68, 69, 88, 96, 100, 105, 109, 113-115, 118-125]. В диссертации, в качестве параметров, определяющих движение системы, выбраны координаты центра масс, относительные перемещения тел, их абсолютные или относительные угловые скорости, угловые переменные, определяющие положение тел. На основе полученных уравнений движения связанных твердых тел разработан алгоритм построения непрерывного и релейного управлений, обеспечивающих нелокальную стабилизацию заданного программного движения системы. Разработанный алгоритм является общим. Его реализация в виде программы представлена в моделировании управляемого движения космической станции, приведенного в параграфе 3.3 диссертации.

В третьей главе диссертации излагается эффективность построенных моделей управления, описанных выше, для решения задач прикладного значения с разработкой соответствующих алгоритмов и программ на С++.

В первом параграфе излагается решение задачи о глобальной стабилизации нестационарного поступательно-вращательного движения твердого тела переменной массы, в котором его центр масс движется с заданной переменной скоростью, а тело имеет заданную ориентацию относительно неинерциальной системы координат, непрерывными и релейными управлениями. Разработаны алгоритм и программа численного анализа процесса стабилизации, позволяющего определить возможные параметры процесса управления и область начальных возмущений.

Во втором параграфе, по аналогии с предыдущей задачей, показано решение задачи о сближении летательного аппарата с космической станцией. Разработана структура непрерывного и релейного управлений, решающих задачу сближения при любых параметрах поступательно-вращательного движения станции.

Третий параграф посвящен решению задачи о стабилизации движения космической станции, состоящей из двух твердых тел, в котором центр масс станции движется по круговой орбите, а тела находятся в одном из положений относительного равновесия, в соответствии с моделью управляемой системы связанных твердых тел, приведенной во второй главе на основе предложенного алгоритма.

В диссертации разработан комплекс программ по управлению движением систем, моделируемых твердым телом и связкой твердых тел, исходные тексты которого представлены в приложении. Также проведено численное моделирование и анализ переходного процесса всех решенных в диссертации задач.

В заключении приведены основные полученные в диссертации результаты, оценивается степень выполнения поставленных задач.

Апробация работы. Отдельные результаты и вопросы диссертации обсуждались в виде выступлений на следующих конференциях и семинарах:

- Семинар Симбирской молодежной научной школы по аналитической динамике, устойчивости и управлению движениями и процессами, посвященный памяти академика Валентина Витальевича Румянцева (Ульяновск, 8-12 июня 2009 г.).

- Выездное заседание Всероссийского семинара «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением» механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова под руководством член-корр. РАН В. В. Белецкого, проф. А. В. Карапетяна и Я. В. Татаринова (Ульяновск, 15-18 июня 2010 г.).

- Выездное заседание Всероссийского семинара «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением» механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова под руководством член-корр. РАН В. В. Белецкого и проф. А. В. Карапетяна (Ульяновск, 9-12 июня 2011 г.).

- XV Международная конференция «Моделирование и исследование устойчивости динамических систем» (Киев, Украина, 25-27 мая 2011 г.).

- Международная конференция «Моделирование, управление и устойчивость (МС8-2012)» (Крым, Севастополь, 10-14 сентября 2012 г.).

- Научные семинары кафедры информационной безопасности и теории управления Ульяновского государственного университета, проводимые под руководством А. С. Андреева (Ульяновск, 2008-2012 гг.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 12-х печатных работах [1, 12, 21, 22, 23, 46, 72, 73, 77, 78, 79, 80], из которых 4 входят в список изданий, рекомендованных ВАК.

Личный вклад автора. Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Подготовка к публикации полученных результатов проводилась совместно с соавторами, причем вклад диссертанта был определяющим. Все представленные в диссертации результаты получены лично автором.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы из 128 источников отечественных и зарубежных авторов и одного приложения. Главы разбиты на параграфы. Общий объем диссертации составляет 176 страниц, основной текст диссертации изложен на 104 страницах. Диссертация содержит 26 рисунков.

Основные результаты диссертационной работы состоят в следующем:

1. Разработаны новые математические модели позиционного непрерывного и релейного управлений, обеспечивающих нелокальную стабилизацию нелинейной управляемой системы.

2. Дано развитие качественной теории дифференциальных уравнений с разрывной правой частью. Описана динамика таких уравнений, получены новые результаты по прямому методу Ляпунова в исследовании их устойчивости.

3. Разработана компьютерная модель управления движением твердого тела, в том числе, в задаче сближения летательного аппарата с движущимся объектом.

4. Разработанная модель управляемого движения системы связанных твердых тел использована для численного моделирования управления движением космической станцией, составленной из двух тел.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Авдонин В. В. Управление движением системы связанных твердых тел / В. В. Авдонин, А. О. Артемова, Ю. В. Петровичева // Материалы Всероссийского семинара «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением». Ульяновск, 2011. - С. 7-9.

2. Айзерман М. А. Основы теории разрывных систем I / М. А. Айзерман, Е. С. Пятницкий // Автоматика и телемеханика. 1974. - № 7. — С. 33-47.

3. Айзерман М. А. Основы теории разрывных систем II / М. А. Айзерман, Е. С. Пятницкий // Автоматика и телемеханика. 1974 - № 8. -С. 39-61.

4. Александров А. Ю. Об устойчивости положений равновесия нелинейных неавтономных механических систем / А. Ю. Александров // ПММ. 2007. - Т. 71, Вып. 3. - С. 361-376.

5. Александров В. В. Оптимизация динамики управляемых систем / В. В. Александров, В. Г. Болтянский, С. С. Лемак, А. Парусников, В. М. Тихомиров. М.: МГУ, 2000. - 303 с.

6. Алексеев К. Б. Экстенсивное управление ориентацией космического летательного аппарата / К. Б. Алексеев М.: Машиностроение, 1977. - 122 с.

7. Алимов Ю. И. О применении прямого метода Ляпунова к дифференциальным уравнениям с неоднозначными правыми частями / Ю. И. Алимов // Автоматика и телемеханика. 1961. - № 7. - С. 817-830.

8. Анализ и оптимальный синтез на ЭВМ систем управления // Под. ред. А. А. Воронова и И. А. Орурка. М.: Наука. - 1984. - 412 с.

9. Ананьевский И. М. Два подхода к управлению механической системой с неизвестными параметрами // Известия РАН. Теория и системы управления. 2001. - № 2. - С. 39-47.

10. Андреев А. С. Знакопостоянные функции Ляпунова в задачах об устойчивости / А. С. Андреев, Т. А. Бойкова // Механика твердого тела. -2002. Вып. 32 - С.109-116.

11. Андреев А. С. К задаче сближения летательного аппарата с космической станцией / А. С. Андреев, Ю. В. Петровичева // Фундаментальные проблемы системной безопасности. Вычислительный центр им. A.A. Дородницына РАН. Москва, 2012. - Вып. 3. - С. 434-436.

12. Андреев А. С. К методу сравнения в задачах об асимптотической устойчивости / А. С. Андреев, О. А. Перегудова // Доклады Академии наук. 2005. - Т. 400, № 5. - С. 621-624.

13. Андреев А. С. Метод знакопостоянных функций Ляпунова в задачах о стабилизации и синтезе управления для нелинейной управляемой системы / А. С. Андреев, Е. И. Беликова // Автоматизация процессов управления. Ульяновск 2009. - № 1(15). - С. 65-72.

14. Андреев А. С. О стабилизации движения нестационарной управляемой системы / А. С. Андреев, В. В. Румянцев // Автоматика и телемеханика. 2007. - № 8. - С. 18-31.

15. Андреев А. С. О стабилизации движения нестационарной управляемой системы / А. С. Андреев, В. В. Румянцев // Доклады Академии наук. 2007. - Т. 416, № 5. - С. 627-629.

16. Андреев А. С. Об асимптотической устойчивости и неустойчивости неавтономных систем / А. С. Андреев // ПММ. 1979. - Т. 43, Вып. 5 - С. 796-805.

17. Андреев А. С. Об асимптотической устойчивости и неустойчивости нулевого решения неавтономной системы / А. С. Андреев // ПММ. 1984. - Т. 48, Вып. 2. - С. 225-232.

18. Андреев А. С. Об оптимальной стабилизации установившегося движения управляемой системы / А. С. Андреев, Е. Б. Ким // Механика твердого тела. ИПМН HAH Украины (Донецк). 2004. - Т. 34. - С. 119— 126.

19. Андреев А. С. Об устойчивости неустановившегося движения на основе знакопостоянных функций Ляпунова / А. С. Андреев, Т. А. Бойкова // Ученые записки УлГУ. Серия «Фундаментальные проблемы математики и механики». 2002. - Вып. 1(11). - С. 8-15.

20. Андреев А. С. Об устойчивости нулевого решения системы с разрывной правой частью / А. С. Андреев, О. Г. Дмитриева, Ю. В. Петровичева // Научно-технический вестник Поволжья. 2011. - № 1. - С. 15-20.

21. Андронов А. А. Теория колебаний / А. А. Андронов, А. А. Витт, С. Э. Хайкин М.: Физматгиз. -1959.

22. Афанасьев В. Н. Математическая теория конструирования систем управления: Учеб. для вузов / В. Н. Афанасьев, В. Б. Колмановский, В. Р. Носов 3-е изд., испр. и доп. М.: Высш. шк., 2003. - 614 с.

23. Барбашин Е. А. Введение в теорию устойчивости / Е. А. Барбашин М.: Наука. - 1967.

24. Барбашин Е. А. К теории релейных дифференциальных уравнений / Е. А. Барбашин, Ю. И. Алимов // Известия ВУЗов. Математика. 1962. -№ 1. - С. 3-13.

25. Баутин Н. Н. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости / Н. Н. Баутин, Е. А. Леонтович М.: Наука. -1976.

26. Беллман Р. Динамическое программирование / Р. Беллман М.: ИЛ, 1960.-400 с.

27. Блинов А. П. К оптимальной стабилизации управляемых систем / А. П. Блинов // ПММ. 1982. -Т. 46, Вып. 3. - С. 366-373.

28. Боевкин В. И. Ориентация искусственных спутников в гравитационных и магнитных полях / В. И. Боевкин, Ю. Г. Гуревич, Ю. Н. Павлов, Г. Н. Толстоусов М.: Наука, 1976. - 301 с.

29. Бокштейн М. Ф. Теоремы существования и единственности решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений / М. Ф. Бокштейн // Учен. Записки МГУ, матем. 1939. - Вып. 15. - С. 3-72.

30. Бранец В. Н. Применение кватернионов в задачах ориентации твердого тела //В. Н. Бранец, И. П. Шмыглевский. М.: Наука, 1973. -320с.

31. Булгаков Н. Г. Знакопостоянные функции в теории устойчивости / Н. Г. Булгаков Минск: Университетское, 1984. — 78 с.

32. Буков В. П. Универсальные алгоритмы оптимального управления непрерывными процессами / В. П. Буков, А. А. Красовский, В. С. Шендрик. М.: Наука. 1977. - 272 с.

33. Виттенбург Й. Динамика системы связанных тел / Й. Виттенбург -М.: Наука, 1980.-290 с.

34. Гелиг А. X. Устойчивость нелинейных систем с неединственным состоянием равновесия / А. X. Гелиг, Г. А. Леонов, В. А. Якубович М.: Наука, 1978.

35. Дружинин Э. И. Об устойчивости прямых алгоритмов расчета программных управлений в нелинейных системах / Э. И. Дружинин //

36. Известия РАН. Теория и системы управления. 2007. - Т. 3, № 4. - С. 14 -20.

37. Евграфов В. В. Динамика, управление, моделирование роботов с дифференциальным приводом / В. В Евграфов, В. В. Павловский, В. Е Павловский // Известия РАН. Теория и системы управления. 2007. - Т. 5, №5.-С. 171-176.

38. Емельянов С. В. Избранные труды по теории управления / С. В. Емельянов М.: Наука, 2008. - 450 с.

39. Зотов Ю. К. О линейной стабилизации программных движений нелинейных управляемых динамических систем / Ю. К. Зотов // ПММ. -2005. Т. 69, Вып. 4. - С. 547-568.

40. Зубов В. И. Лекции по теории управления. М.: Наука. - 1975.495 с.

41. Искусственные спутники Земли // Сборник. Вып. 16. Изд-во АН СССР, 1963.

42. Каленова В. И. К вопросу об исследовании линейных нестационарных систем / В. И. Каленова, В. М. Морозов, П. М. Соболевский // Вестник МГУ. 2009. - № 1. - С. 51-57.

43. Калман Р. Очерки по математической теории систем / Р. Калман, П. Фалб, М. Арбиб М.: Мир, 1971. - 400 с.

44. Ковалев А.М. Нелинейные задачи управления и наблюдения в теории динамических систем. Киев: Наукова думка. — 1980. 174 с.

45. Коддингтон Э. А. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений / Э. А. Коддингтон, Н. Левинсон М.: ИЛ, 1958.

46. Косов А. А. О глобальной устойчивости неавтономных систем. I, II / А. А. Косов // Известия высших учебных заведений. Математика. -1997. № 7(422). - С. 28-35;- № 8(423). - С. 33-42.

47. Коробов В. И. Метод функции управляемости. М. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хлотическая динамика». - 2007. - 576 с.

48. Краснощекое П. С. Принципы построения моделей / П. С. Краснощекое, А. А. Петров. М.: Изд-во МГУ. - 1983. - 264 с.

49. Красовский Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Физматгиз, 1959.

50. Красовский Н. Н. Проблемы стабилизации управляемых движений / Н. Н. Красовский, И. Г. Малкин // Теория устойчивости движения. Доп. 4 М.: Наука. -1966. С. 475-514.

51. Красовский Н. Н. Теория оптимальных управляемых систем // Сб.: Механика в СССР за 50 лет. М.: Наука. 1968. - Т. 1 - С. 179-244.

52. Кунцевич В. М. Синтез систем автоматического управления с помощью функций Ляпунова / В. М. Кунцевич, М. М. Лычак. М.: Наука, 1977.-400 с.

53. Летов А. М. Аналитическое конструирование регуляторов // Автоматика и телемеханика. 1960. - №4. - С.436-441; - №5. -С.561-568; -№6. - С. 661-665; -1961. - №4. - С. 425^35; - 1962. - №11. - С. 14051413.

54. Лефшец С. Устойчивость нелинейных систем автоматического управления / С. Лефшец. М.: Мир, 1967.

55. Лилов Л. К. Моделирование систем связанных тел / Л. К. Лилов -М.: Наука, 1993.-272 с.

56. Литвин Седой М. 3. Механика систем связанных твердых тел / М. 3. Литвин - Седой // Итоги науки и техники. Сер. «Общая механика». -М.: ВИНИТИ, 1982. - Т. 5. - С. 3-61.

57. Лурье А. И. Некоторые задачи динамики систем твердых тел / А. И. Лурье // Изв. Ленингр. Политех. Ин-та. 1960. - № 210.

58. Ляпунов А. М. Избранные труды. Работы по теории устойчивости / А.М. Ляпунов. М.: Наука, 2007. - 574 с.

59. Максвелл Д. К. Теория автоматического регулирования / Д. К. Максвелл, И. А. Вышнеградский, А. Стодола М.: Издательство АН СССР, 1949.-430 с.

60. Малкин И. Г. Теория устойчивости движения. Доп. 4. М.: Наука. 1966. - С. 475-514.

61. Математическое моделирование / Под ред. Дж. Эндрюса, Р. Мак-Лоуна; пер. с англ. М.: Мир. 1979. - 278 с.

62. Матросов В. М. Метод векторных функций Ляпунова: анализ динамических свойств нелинейных систем. М: Физматлит. 2001. - 380 с.

63. Аналитическая механика, устойчивость и управление движением». -Ульяновск, 2010. С. 56.

64. Перегудова О. А. О стабилизации движений неавтономных механических систем / О. А. Перегудова // ПММ. 2009. - Т. 73, Вып. 2. -С.176-188.

65. Перегудова О. А. О стабилизации программного движения нелинейных механических систем при помощи кусочно-непрерывных управлений / О. А. Перегудова // Автоматизация процессов управления. №4(17).-2010.

66. Перцева И. А. О математическом моделировании движением системы связанных твердых тел / И. А. Перцева, А. С. Андреев // Труды 7— ой международной конференции по динамике технологических систем. -Саратов, 2004. С. 8-17.

67. Перцева И. А. К задаче о стабилизации нестационарного движения управляемой системы / И. А. Перцева, Ю. В. Петровичева // Труды Института системного анализа Российской Академии наук. 2010. -Т. 43(2).- С. 43-52.

68. Перцева И. А. Об управлении движением твердого тела / И. А. Перцева, Ю. В. Петровичева // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2010. - Т. 17, Вып. 2. - С. 293-294.

69. Петровичева Ю. В. О стабилизации движений управляемых систем с кусочно-непрерывным управлением // Международная конференция «Моделирование, управление и устойчивость (МС8-2012)». -Крым, Севастополь, 2012. С. 94-95.

70. Погорелов Д. Ю. Современные алгоритмы компьютерного синтеза уравнений движения систем тел / Д. Ю. Погорелов // Известия РАН. Теория и системы управления. 2005. - № 4. - С. 5-15.

71. Понтрягин Л. С. Математическая теория оптимальных процессов / Л. С. Понтрягин, В. Г. Болтянский, Р. В. Гамкрелидзе М.: Наука, 1983. -392 с.

72. Пятницкий Е. С. Принцип декомпозиции в управлении механическими системами / Е. С. Пятницкий // ДАН СССР. 1988. - Т. 300,№2.-С. 300-303.

73. Пятницкий Е. С. Синтез иерархических систем управления механическими объектами на принципе декомпозиции, I и II / Е. С. Пятницкий // Автоматика и телемеханика. 1989. - № 1. - С. 87-99; № 2. -С. 57-71.

74. Пятницкий Е. С. Синтез систем стабилизации программных движений нелинейных объектов управления / Е. С. Пятницкий // Автоматика и телемеханика. 1993. - № 7. - С. 19-37.

75. Пятницкий Е. С. Синтез управления манипуляционными роботами на принципе декомпозиции / Е. С. Пятницкий // Известия АН СССР. Техническая кибернетика. 1987. - № 3. - С. 92-99.

76. Раус Э. Дж. Динамика системы твердых тел Ч. 1, 2 / Э. Дж. Раус -М.: Наука, 1983. 464 с. - 544 с.

77. Раушенбах В. В. Управление ориентацией космических аппаратов / В. В. Раушенбах, В. И. Токарь М.: Наука, 1974. - 598 с.

78. Решмин С. А. Синтез управления в нелинейной динамической системе на основе декомпозиции / С. А. Решмин, Ф. Л. Черноусько // ПММ. 1998.-Т. 62, Вып. 1.-С. 121-128.

79. Рубановский В. Н. Устойчивость установившихся движений сложных механических систем / В. Н. Рубановский // Итоги науки и техники. Сер «Общая механика». М.: ВИНИТИ, 1982 - Т. 5. - С. 62-134.

80. Румянцев В. В. Метод функций Ляпунова в теории устойчивости движения // Сб.: Механика в СССР за 50 лет. М.: Наука. - 1968. -Т. 1. -С. 7-66.

81. Румянцев В. В. Об оптимальной стабилизации управляемых систем / В. В. Румянцев // ПММ. 1970. - Т. 34, Вып. 3. - С. 440-456.

82. Руш Н. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости / Н. Руш, П. Абетс, М. Лалуа М.: Мир. - 1980. - 300 с.

83. Самарский А. А., Михайлов А. П. Математическое моделирование. М.: Физматлит. 2002. - 316 с.

84. Сансоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Дж. Сансоне М.: ИЛ, 1954. - Т. 2.

85. Сарычев В. А. Вопросы ориентации искусственных спутников / В. А. Сарычев // Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Сер. «Исследование космич. пространства». 1978. -№ 11.

86. Смирнов Е. Я. Управление движением механических систем / Е. Я. Смирнов, В. Ю. Павликов, П. П. Щербаков, А. В. Юрков // Л.: Изд-во ЛГУ.-1985.-316 с.

87. Теория систем с переменной структурой / Под ред. Емельянова С. В. -М.: Наука, 1970.

88. Тягунов О. А. Математические модели и алгоритмы управления промышленных транспортных роботов / О. А. Тягунов // Информационно-измерительные и управляющие системы. 2007. - № 5. - С. 63-69.

89. Управление в космосе. Труды III Международного симпозиума ИФАК по автоматическому управлению в мирном использовании космического пространства.Франция, Тулуза, март 1970. Т. 1. — Изд-во Наука, 1972.

90. Уткин В. И. Скользящие режимы в задачах оптимизации и управления / В. И. Уткин // М.: Наука. 1981. - 368 с.

91. Филиппов А. Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью / А. Ф. Филиппов // М.: Наука. 1985. - 224 с.

92. Филиппов А. Ф. Устойчивость для дифференциальных уравнений с разрывными и многозначными правыми частями / А. Ф. Филиппов // Диф. уравн. 1979. - Т. 15, № 6. - С. 1018-1027.

93. Халил X. К. Нелинейные системы / X. К. Халил М. - Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", Институт компьютерных исследований, 2009. - 832 с.

94. Харламов П. В. О равномерных вращениях тела, имеющего неподвижную точку / П. В. Харламов // ПММ. 1965. - Т. 29, Вып. 2. - С. 373-375.

95. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Ф. Хартман М.: Мир, 1970.

96. Черноусько Ф. Л. Методы управления нелинейными механическими системами / Ф. JI. Черноусько, И. М. Ананьевский, С. А. Решмин. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. - 328 с.

97. Черноусько Ф. Л. Синтез управления нелинейной динамической системой / Ф. Л. Черноусько // ПММ. 1992. - Т. 56, Вып. 2. -С. 179-191.

98. Чистяков А. Ю. Структура, схемы и математические модели робототехнических систем с механизмами параллельной структуры / А. Ю. Чистяков // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. -2006.-№8.-С. 73-78.

99. Чуличков А. И. Математические модели нелинейной динамики. М.: Физматлит. 2003. - 244 с.

100. Якубович В. А. Периодические и почти периодические предельные режимы регулируемых систем с несколькими, вообще говоря, разрывными нелинейностями / В. А. Якубович // ДАН. 1966. - Т. 171, № З.-С. 533-536.

101. Artstein Z. Topological dynamics of ordinary differential equations / Z. Artstein // J. Differ. Equat. 1977. - V. 23, № 2. - P. 216-223.

102. Gupta V. K. Dynamic analysis of multi-rigid-body systems / V.K. Gupta // Trans. ASME. J. Eng. Ind., 1974. -V. 96, № 3. P. 886-892.

103. Huston R. L. Multibody structural dynamics including translation between the bodies / R. L. Huston, C. Passerello // Comput. and Struct., 1980. -V. 12, №5.-P. 713-720.

104. Huston R. L. On multi-rigid-body system dynamics / R. L. Huston, C. Passerello // Comput and Struct., 1979. V. 10, № 3. p. 439-446.

105. Iggidr A. On the stability of nonautonomous systems / A. Iggidr, G. Sallet // Automatica 39. 2003. - P. 167-171.

106. Kamke E. Zur Theorie der System gewöhnlicher Differentialgleichungen / E. Kamke // Acta Math., 1932, V. 58, № 1, P. 57-85.

107. Kreuzer E. Dynamische Analyse offener Gelenkketten Mehrkorpersystemen / E. Kreuzer // Z. angew. Math, und Mech., 1981. V. 61, № 4. - P. 20-21.

108. Kreuzer E. Symbolische Berechnung der Bewegungsgleichungen von Mehrkorpersystemen / E. Kreuzer // Fortschr. Ber. VDI-Z., 1979, Rll, № 32. -P. 1-120.

109. Leimanis E. The general problem of the motion of coupled rigid bodies about a fixed point / E. Leimanis Berlin e.a., Springer, 1965. - 337 pp.

110. Levinson D. A. Equations of motion for multiple-rigid-body systems via symbolic manipulation / D. A. Levinson // J. Spacecraft, and Rockets, 1977. V. 14, № 8. - P. 479^187.

111. Plis A. Measurable orientor fields / A. Plis // Bull. Acad. Polon. sei., ser. math., astr., phys. 1966, 13, № 8. - P. 565-569.

112. Roberson R. E. Two decades of spacecraft attitude control / R. E. Roberson // AIAA Journal. -1979. -V. 17. № 2.

113. Schiehlen W. Mehrkorpersysteme ein Prozessmodell fur den Maschi-nenbau / W. Schiehlen // VDI-Ber, 1977. - № 276. - P. 233-239.

114. Sell G. R. Nonautonomous differential equations and topological dynamics. 1, 2 / G. R. Sell // Trans. Amer. Math. Soc. 1967. - V. 127. - P. 241-283.

115. Turowicz A. Remarque sur la définition des quasitrajectoires d'un systèm de commande nonlinéaire / A. Turowicz // Bull. Acad. Polon. sci., ser. math., astr., phys. 1963,11, № 6. - P. 367-368.

116. Wittenburg J. Relative equilibrium position and their stability for a multi-body satellite in a circular orbit / J. Wittenburg, L. Lilov. Ing.-Arch. 44. - 1975.105