автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Численные методы решения задач оптимального управления с разрывной правой частью

Введение.

Глава 1. Разрывные задачи оптимального управления.

§ 1. Различные подходы к определению разрывных систем и их решений.

§2. Разрывные системы.

§3. Оптимальные процессы в кусочно-непрерывных системах с фиксированными поверхностями разрыва.

§4. Необходимые и достаточные условия оптимальности в разрывных задачах оптимального управления с запаздыванием

Глава 2. Задачи оптимального управления в медицине.

§ 1. Модели, описывающие процесс распространения заболевания в однородном сообществе.

§2. Моделирование процесса распространения заболевания в неоднородном сообществе.

§3. Дискретная аппроксимация разрывной задачи оптимального управления.

Глава 3. Моделирование процесса распространения заболевания с учётом смертности и рождаемости населения.

§1. Необходимые условия оптимальности.

§2. Анализ различных способов описания поведения системы на поверхности переключения.

§3. Особое оптимальное управление.

§4. Дискретная аппроксимация задачи.

§5. Анализ влияния параметров задачи на оптимальное решение.

Термин "разрывная система" включает в себя большой класс моделей (составных, сложных, многоэтапных, дискретных, с промежуточными условиями и т.д.), которые описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями с кусочно-непрерывными правыми частями. В терминах разрывных систем формулируются многие содержательные инженерно-технические задачи, связанные, например, с движением летательных аппаратов в анизотропных средах, распространением сейсмических колебаний, работой вибромашин и вибротранспортеров, протеканием ударных и взрывных процессов, управлением манипуляторами, функционированием противоава-рийной автоматики электроэнергетических систем. Разрывные системы широко используются в экономике, химической технологии, теории автоматического регулирования, теории систем с переменной структурой и других областях науки. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью играют важную роль в самой математической теории оптимальных процессов при решении вопросов синтеза, разрешаемости краевых задач принципа максимума, чувствительности решений по начальным значениям и параметрам и т.д.

Теория оптимальных разрывных систем стала интенсивно развиваться в 1960-е годы в связи с практическими потребностями и общим интересом к проблемам управления. Ее истоки, как и теории оптимального управления, уходят в классическое вариационное исчисление. Негладкие задачи вариационного исчисления появились в XVII веке при изучении процессов распространения и преломления света в неоднородной среде. Они были предметом постоянного внимания математиков и механиков на протяжении всего развития вариационного исчисления. Одним из первых ученых, исследовавших разрывные задачи был Константин Каратеодори. Он рассматривал системы дифференциальных уравнений с измеримой правой частью. Негладкие вариационные задачи и разрывные решения изучались Эрдманом, Вейерштрассом, Размадзе, Величенко В.В., Филипповым А.Ф., Ащепковым Л.Т.

Если в теории гладких оптимальных систем получены такие фундаментальные результаты, как принцип максимума Л.С. Понтрягина, метод динамического программирования Р. Беллмана и ряд других, то успехи теории негладких систем значительно скромнее. Причина состоит в том, что разрывные системы обладают качественными отличиями от непрерывных систем, которые не укладываются в рамки существующих схем, и потому требуют разработки специальных подходов.

Другой крупной областью исследования дифференциальных уравнений являются дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументов. Наличие отклонения (запаздывания) в изучаемой системе зачастую оказывается причиной явлений, существенно влияющих на ход процесса. К таким уравнениям могут быть отнесены уравнения с постоянным, переменным, сосредоточенным и распределенным запаздыванием. Впервые дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом появились в литературе во второй половине XVIII веке, но их систематическое изучение началось лишь в XX веке в связи с потребностями ряда прикладных наук. Уравнения этого типа находят много приложений в теории автоматического управления, в теории автоколебательных систем, при изучении проблем, связанных с горением в ракетном двигателе, проблем долгосрочного прогнозирования в экономике, ряда биофизических проблем и во многих других областях науки и техники. Обилие приложений стимулирует бурное развитие теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, и в настоящее время эта теория принадлежит к числу наиболее быстро развивающихся разделов математического анализа.

Вопросы теории оптимальных систем с запаздыванием рассматривались в работах Колмановского В.Б., Хусаинова Д.Я., Андреевой Е.А.

Исследования в области оптимизации разрывных задач с запаздывающим аргументом проводились Андреевой Е.А. и Цирулевой В.М. В работах этих авторов приведены необходимые и достаточные условия оптимальности для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, систем дифференциальных уравнений в частных производных и приложения к задачам физики, экологии, медицины.

Математический аппарат теории оптимального управления не всегда эффективен при решении нелинейных задач. Поэтому наряду с разработкой теории непрерывных задач оптимизации развивается теория дискретных оптимизационных задач и численных методов решения таких задач.

Краткий обзор основных результатов теории разрывных задач. Математическая модель процесса управления представляет собой обычно совокупность обыкновенных дифференциальных уравнений вида: х = /{х,и,(), (1.1) где х, и- векторы состояния и управления; ? - независимая переменная, или уравнений с запаздыванием, с частными производными, разностных и др. Разрывные задачи управления имеют все атрибуты гладких задач, но отличаются от них в части описания математической модели: правые части (1.1) предполагаются разрывными на некоторых поверхностях пространства переменных х, заданных уравнениями х,/) = 0,. ,рм{х,1) = 0. (1.2)

Небольшое усложнение математической модели - добавление поверхностей разрыва (1.2) - вызывает появление серьезных вопросов методологического и качественного характера, связанных с определением, существованием и единственностью решений системы (1.1) - (1.2), зависимостью решений от начальных значений, устойчивостью и т.п. (см [2], [28], [50], [53]).

Наряду с этими проблемами возникают и другие, относящиеся собственно к теории управления: существование и единственность оптимальных процессов; необходимые и достаточные условия оптимальности; зависимость оптимальных процессов от вариаций исходных данных, управляемость, наблюдаемость, численные методы решения и т.д.

Перейдем к обзору основных результатов по необходимым и достаточным условиям оптимальности разрывных систем. Наиболее обстоятельно исследован случай протыкания траекторией поверхности разрыва без односторонних касаний [2], [15], [48]. Необходимые условия оптимальности имеют форму принципа максимума Л.С. Понтрягина [55] с дополнительными условиями скачка для сопряженных переменных. Случаи протыкания с касанием траектории поверхности разрыва изучались в [15], [55].

В работах Ащепкова Л.Т. разработан случай скольжения (залегания) оптимальных траекторий по поверхности разрыва, сформулированы некоторые аналоги принципа максимума.

Достаточным условиям оптимальности разрывных систем посвящены публикации [2], [15], [38]. Рассмотрены вопросы использования метода регулярного синтеза [30], решения разрывной задачи аналитического конструирования регулятора, применение достаточных условий оптимальности В.Ф. Кротова и полей экстремалей [2].

Численные методы для разрывных систем развиты пока слабо. Принципиальная возможность построения метода последовательных приближений на базе формулы приращения целевого функционала отмечалась в [2]. В работе Евтушенко Ю.Г. [30] предложен подход к решению задачи оптимального управления, основанный на сведении непрерывной задачи оптимального управления к конечномерной задаче нелинейного программирования, и некоторые способы организации итерационных процессов поиска оптимального управления. Некоторые способы организации итерационных процедур предложены в работе [44]. Методы градиентного спуска для нахождения оптимальных параметров разрывных систем рассматривались в [16], [51], [58].

Диссертация посвящена изучению оптимальных процессов разрывных систем управления с запаздыванием. Основное внимание в работе сконцентрировано на проблеме необходимых условий оптимальности и их применении для построения численных методов поиска решения практических задач, описываемых системой дифференциальных уравнений с разрывной правой частью.

Объектом исследования в диссертации являются нелинейные управляемые системы, описывающие процесс распространения заболевания при различных управляющих параметрах.

В главе 1 приведены основные результаты качественной теории разрывных систем и теории разрывных задач оптимального управления, полученные Каратеодори, Филипповым, Ащепковым, Андреевой. Это вопросы существования и единственности решения, продолжаемости и компактности множества решений, доопределения решения на поверхности разрыва, необходимые и достаточные условия оптимальности разрывных систем.

В главе 2 дан обзор задач оптимального управления, моделирующих процесс распространения заболевания при различных условиях (однородное общество - общество, состоящее из нескольких социальных групп, учет смертности - рождаемости населения, учет инкубационного периода заболевания) и при различных управляющих параметрах (вакцинация восприимчивого к заболеванию населения, изоляция инфицированного населения, проведение рекламной кампании).

Глава 3 посвящена решению разрывной задачи оптимального управления с запаздыванием, описывающей процесс распространения заболевания в однородном сообществе с учетом естественной смертности и рождаемости населения. Контроль за распространением заболевания осуществляется с помощью вакцинации. Проведено исследование параметров модели и исследование свойств решения в зависимости от различных наборов параметров.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Сформулируем основные результаты диссертационной работы.

1. Синтезирована и программно реализована система математических моделей, описывающих процесс распространения заболевания. Система включает модели, описываемые нелинейными дифференциальными уравнениями и дифференциальными уравнениями с разрывной правой частью и запаздыванием в аргументе фазового вектора. Получены необходимые условия оптимальности для указанных выше моделей.

2. Разработаны алгоритмы построения приближенного оптимального решения разрывных задач оптимального управления с запаздыванием для случая протыкания траекторией поверхности переключения, основанные на методе проекции градиента и итерационном методе.

3. Проанализировано влияние параметров модели, описывающей процесс распространения заболевания с учетом смертности и рождаемости населения, на численное решение. Параметры модели получены из статистической справки по эпидемии гриппа за зимний период 1999 - 2000 гг. города Тверь.

Для модели проанализировано: a) чувствительность оптимального решения к возмущению начальных условий; b) чувствительность оптимального управления к изменению запаздывания; c) влияние параметров задачи на оптимальное решение;

1000

800

600

400

200

500000

1. Абрамов Ю.А. Модели, алгоритмы, программы. Тверь: ТвГУ, 1993.

2. Айзерман М.А., Пятницкий Е.С. Основы теории разрывных систем II Автоматика и телемеханика. 1974. №7. С. 33-47.

3. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин C.B. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979.

4. Андреева Е.А. Достаточные условия оптимальности для разрывной задачи оптимального управления с запаздыванием // Автоматика и телемеханика. 1989. №7. С. 59-66.

5. Андреева Е.А. Оптимальное управление системами, описываемыми функционально дифференциальными уравнениями. Калинин: КГУ, 1990.

6. Андреева Е.А. Оптимальное управление посадкой двухступенчатой ракеты на поверхность Луны II Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь: ТвГУ, 1998. С. 5-17.

7. Андреева Е.А. Оптимальное управление динамическими системами. Тверь: ТвГУ, 1999.

8. Андреева Е.А., Бенке X. Оптимальное управление и моделирование. Тверь: ТвГУ, 1996.

9. Андреева Е.А., Евтушенко Ю.Г. Численные методы решения задач оптимального управления для систем, описываемых интегро-дифференциальными уравнениями типа Фредгольма II Модели и методы оптимизации. 1989. №1. С. 4-13.

10. Ю.Андреева Е.А., Колмановский В.Б., Шайхет Л.Е. Управление системами с последействием. М.: Наука, 1992.

11. П.Андреева Е.А., Цирулева В.М. Оптимальное управление процессом распространения эпидемии И Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь: ТвГУ, 1997. С. 5-20.

12. Андреева Е.А., Цирулева В.М. Управление процессом распространения эпидемии. II Ученые записки: Материалы научн. конф., посвящ. 25-летия ун-та. Тверь: ТвГУ, 1996.

13. Модели управляемых систем / Е.А.Андреева, Ю.А.Пустарнакова, Н.А.Семыкина и др. Тверь: ТвГУ, 1999.

14. Ащепков Л.Т. Разрывные задачи оптимального управления. М.: Наука, 1987.

15. Ащепков Л.Т. Оптимальное управление разрывными системами. Новосибирск: Наука, 1987.

16. Ащепков Л.Т., Бадам У. Оптимизация параметров разрывных динамических систем II Автоматика и телемеханика. 1979. № 8. С. 13-20.

17. Биомоделирование. Сб. ст. М: ВЦ РАН, 1993.

18. Болтянский В. Г. Математические методы оптимального управления. М.: Наука, 1969.

19. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1981.

20. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1988.

21. Величенко В.В. О задачах оптимального управления для уравнений с разрывными правыми частями II Автоматика и телемеханика. 1966. №7. С. 20-30.

22. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Принцип максимума в теории оптимального управления. Минск: БГУ, 1974.

23. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Качественная теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1971.

24. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Особые оптимальные управления. М.: Наука, 1973.

25. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Методы оптимизации. Минск: БГУ, 1981.

26. Гноевский Л.С., Каменский Г.А., Эльсгольц Л.Э. Математические основы теории управляемых систем. М: Наука, 1969.

27. Грачев Н.И., Фильков А.Н. Алгоритмические основы оптимизации управляемых систем с разрывной правой частью. М.: ВЦ АН СССР, 1988.

28. Гришин С.А., Уткин В.И. О доопределении разрывных систем // Дифферент уравнения. 1980. Т. 16, №2. С. 227-235.

29. Евтушенко Ю.Г. Методы решения экстремальных задач и их применение в системах оптимизации. М: Наука, 1982.

30. Евтушенко Ю.Г., Жадан В.Г. К вопросу о систематизации численных методов нелинейного программирования. Москва, 1982.

31. Зубов В. И. Лекции по теории управления. М.: Наука, 1975.32.3уев С.М. Математические модели заболеваний и анализ экспериментальных данных. М: АН СССР, 1984.

32. Зуев С.М. Статистическое оценивание параметров математических моделей заболеваний /Под ред. Г.И. Марчука М: Наука, 1988.

33. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974.

34. Карпухин Г.И., Галитаров С.С. Современные средства и методы профилактики гриппа. Л: Медицина, 1977.

35. Колмановский В.Б. Об аппроксимации линейных управляемых систем с последействием //Проблемы управления и теории информации. 1974. Т. 3. №1.

36. Кротов В.Ф., Гурман В.И. Методы и задачи оптимального управления. М.: Наука, 1973

37. Кугушев Е.И. Метод предельного перехода. Достаточные условия оптимальности'. Препринт ИПМ АН СССР №2. М., 1974.

38. Лесин В.В., Лисовец Ю.П. Основы метод оптимации. М.: Изд-во МАИ, 1995.

39. Марчук Г.И. Математические модели в иммунологии. М: Наука, 1991.

40. Марчук Г.И. Сопряженные уравнения и анализ сложных систем. М: Наука, 1982.

41. Математические методы в клинической практике. Сб. под ред. Г.И. Марчука, Н.И. Нисевич. Новосибирск: Наука, 1978.

42. Моисеев H.H. Численные методы в теории оптимальных систем. М.: Наука, 1971.

43. Моисеев H.H., Иванов Ю.П., Столярова Е.М. Методы оптимизации. М: Наука, 1978.

44. Михалевич B.C., Кукса А.И. Методы последовательной оптимизации. М: Наука, 1983.46.0ртега Дж., Рейнболдт В. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими переменными. М.:Мир, 1975.

45. Полак Б.Т. Введение в оптимазацию. М: Наука, 1983.

46. Понтрягин JI.C., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М: Наука, 1966.

47. Ризниченко Г.М., Рубин A.A. Математические модели биологических продукционных процессов. М: Изд-во Моск. ун-та, 1993.

48. Уткин В.И. Скользящие режимы в задачах оптимизации и управления. М: Наука, 1984.

49. Фаткин Ю.М., Чарный В.И. Итерационный процесс определения оптимального управления в системах с иерархической структурой // Автоматика и телемеханика. 1973. №11. С. 102-112.

50. Федоренко Р.П. Приближенное решение задач оптимального управления. М.: Наука, 1978.

51. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985.

52. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой ча-<?тью//Матем. сб. 1960. Т. 51(93), №1. С. 98-128.

53. Хо Анг Дыонг. Условия скачка в одной задаче оптимального управления //Дифференц. уравнения. 1966. Т. 2, №5. С. 619-627.

54. Цирулева В.М. Численный метод решения разрывных задач оптимального управления с запаздыванием. Автореф. дис. канд. физ.-мат. наук. 1993.

55. Цирулева В.М. Численный метод решения линейной разрывной задачи оптимального управления с запаздыванием. Исследование операций. Модели, системы, решения. М: ВЦ РАН, 1991.

56. Ченцов И.П. О применении градиентных методов к решению некоторых разрывных задач оптимального управления // Кибернетика. 1976. №1. С. 87-92.

57. Шаповалова И. А. Оптимальное управление процессом распространения заболевания // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь: ТвГУ, 1998. С.180-185.

58. Шаповалова И.А. Моделирование процесса распространения заболевания И Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь: ТвГУ, 1999. С.142-155.

59. Шаповалова И. А. Управление процессом распространения заболевания с учетом смертности и рождаемости населенияII Ученые записки Тверского государственного университета. Т. 5. Тверь: ТвГУ, 1999. С. 63-65.

60. Шаповалова И. А. Особое оптимальное управление в модели распространения заболеванияII Методы и алгоритмы исследования задач оптимального управления: Сб. научных тр. ВЦ РАН, ТвГУ. Тверь: ТвГУ, 2000, С.71-77.

61. Шокин Ю.И. Эволюционное моделирование: Сб. научн. тр. Новосибирск: Наука, 1992. 66.Эпидемиология. / Н.Д. Юшук, М.А. Жогова, В.В. Бущуева и др. М: Медицина, 1993.

62. Andersson Н., Djehiche В. A thereshold limit theorem for the stochastic logical epidemic //J. Appl. Probab. 1998. 35. № 3. P. 651-661.

63. Behncke H. The control og Deterministic Epidemics // Math. Biosciences.1992. V.2. P. 101-112.

64. Behncke H. The control og Deterministic Epidemics // Math. Appl. Sci.1993. V.3.P. 298-311.

65. Morton R., Wickwire K.H. On the optimal control of a deterministic epidemics //Adv. Appl. Prob. 1974. V.6. P. 622-635.

66. Sethi S. Dynamical optimal control models in advertisihg a survey!I SIAM Review. 1977. V.19. P.685-725.

67. Wickwire K.H. A note on the optimal control of carrier-barne epidemics // J. Appl. Prob. 1975. V.12. P. 565-568.

68. Wickwire K.H. Mathematical models for the control of pests and infections diseases//Theor. Popul. Biol. 1977.11. P. 182-238.

69. Wickwire K.H. Optimal isolation policies for deterministic and stochastic epidemics ////Math. Biosciences. 1975. 26. P. 325-346.75 .www, gripp. ru / about-gripp 76.www.rmj.ru