автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Моделирование управляемых систем с запаздывающей обратной связью

На правах рукописи

Шепелев Георгий Александрович

Моделирование управляемых систем с запаздывающей обратной связью

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

-1 ЛЕК 2011

Ульяновск - 2011

005004744

Работа выполнена на кафедре информационной безопасности и теории управления в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Ульяновский государственный университет».

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, доцент,

Павликов Сергей Владимирович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор, Логинов Борис Владимирович

кандидат физико-математических наук, доцент, Безгласный Сергей Павлович

Ведущая организация:

ФГБОУ ВПО <гМосковский физико-технический институт» (государственный университет)

Защита состоится « 21 » декабря 2011 г. в 1430 часов на заседании диссертационного совет Д 212.278.02 при ФГБОУ ВПО «Ульяновский государственный университет», расположенном п адресу: г. Ульяновск, ул. Набережная реки Свияги, 106, корп. 1, ауд. 703.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ульяновского государственного университет с авторефератом на странице ВУЗа http://uni.ulsu.ru и па странице Высшей аттестационной к миссии при Министерстве образования и науки Российской Федерации — http://vak.ed.gov.ru.

Отзывы и замечания по автореферату просьба высылать по адресу: 432017, г. Ульяновск, ул. Толстого, д. 42, УлГУ, Отдел послевузовского и профессионального образования.

Ученый секретарь диссертационного совета,

2011 г.

кандидат физико-математических наук, доцент

Волков М. А.

Общая характеристика работы

Актуальность работы. Усложнение управляемых технических систем и процессов, необходимость создания более адекватных их моделей с учетом нелинейности, нестационарности и других факторов требует дальнейшего развития новых методов их моделирования, качественного и численного анализа соответствующих моделей.

Для моделируемых управляемых систем появляется важная необходимость учёта запаздывания, возникающего при передаче измерительных и управляющих сигналов, при воздействии на управляющие механизмы 2. К моделям с распределённым запаздыванием приводятся также системы с ПИ- и ПИД-управлениями 3i 4.

В конструировании автоматических систем широко используется разрывное управление. Их эффективность состоит в декомпозиции системы, реализации требуемого движения при конечных управляющих воздействиях за конечное время 6' 7> 8. Однако задачи качественного и численного обоснования применения таких управлений, их моделирование с учётом запаздывания в структуре обратной связи являются до сих пор малоисследованными.

Объектом исследования в настоящей диссертации являются управляемые системы и процессы с запаздыванием.

Предметом исследования выступают математические модели и методы построения релейных, а также нелинейных непрерывных управлений с запаздыванием, соответствующие алгоритмы и программы.

Цели и задачи диссертационной работы. Цель состоит в разработке математических ыо-елей непрерывных и релейных управлений с запаздыванием, выводе новых методов качественного анализа и компьютерного моделирования управляемых систем с последействием.

1 Красовский Н. Н., Осипов Ю. С. О стабилизации движений управляемо™ объекта с запаздыванием в системе регулирования // Известия академии наук СССР. Техническая кибернетика. 1963. № 6. С. 3-15

2 Колмановскнй В.Б., Носов В.Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействи-м. М.: Наука, 1981. 286 с.

3 Ананьевский И. М., Колмановскнй В. В. О стабилизации некоторых регулируемых систем с последействием / Автоматика и телемеханика. 1989. № 9. С. 34-42

4 Павликов С. В. О стабилизации движений управляемых механических систем с запаздывающим регулятором / Доклады Академии наук. 2007. Т. 412. № 2. С. 1-3

5 Айзерман М.А., Пятницкий Е.С. Основы теории разрывных систем. I // Автоматика и телемеханика. 1974.

7. С. 33-47

6 Айзерман М.А., Пятницкий Е.С. Основы теории разрывных систем. II // Автоматика и телемеханика. 1974. - 8. С. 39-61

7 Борцов Ю. А., Юнгер И. Б. Автоматические системы с разрывным управлением. л.: Энергоатомиздат. Ле-шпгр. отделение. 1986. 168 с.

8 Черноусько Ф.Л., Ананьевский И.М., Решмин С.А. Методы управления нелинейными механическими систе-ами. М.: ФИЗМАТЛИТ. 2006. 328с.

Для достижения этой цели были поставлены и решены следующие задачи:

1. Разработка математической модели позиционного релейного управления с запаздыванием в структуре обратной связи.

2. Развитие методов качественной теории функционально-дифференциальных уравнений с разрывной правой частью.

3. Вывод достаточных условий стабилизируемости управляемой системы с запаздыванием при гарантированной оценке качества управления, их численный анализ.

4. Разработка алгоритмов и программного комплекса для численного моделирования управляемых систем с учётом запаздывания в структуре обратной связи.

5. Компьютерное моделирование различных управляемых систем с непрерывным и релейным запаздывающим управлением.

Методы исследования. В диссертационной работе применялись методы математического моделирования управляемых систем, прямой метод Ляпунова исследования устойчивости, численные методы решения дифференциальных уравнений, методы объектно-ориентированного и структурного программирования.

Научная новизна. Разработаны новые качественные и численные методы моделирования нелинейных нестационарных управляемых систем.

Построены новые модели управляемых систем с непрерывными и релейными регуляторами. Разработаны эффективные алгоритмы и программы нахождения параметров таких управлений.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Модель релейного управления с запаздыванием в структуре обратной связи.

2. Новые результаты качественного анализа функционально-дифференциальных уравнений.

3. Методика решения задачи о стабилизации нелинейной управляемой системы с оценкой каче ства переходного процесса.

4. Численный метод с модификацией для моделирования процессов управления.

5. Комплекс программ численного анализа процесса управления с непрерывной и релейной запаздывающей обратной связью.

6. Компьютерные модели некоторых управляемых систем с запаздыванием.

Практическая значимость. Результаты, изложенные в диссертации, могут быть использованы для теоретических и практических разработок в конструирования управлений для нелинейных нестационарных управляемых систем, в том числе, робототехнических.

Разработанный комплекс программ tosp может быть использован для численного анализа систем, описываемых функционально-дифференциальными уравнениями с запаздывающим аргументом.

Достоверность полученных результатов. Достоверность результатов научных исследований обеспечивается строгостью постановок задач и математических методов их решения, результатами тестирования разработанного комплекса программ и компьютерного моделирования исследованных управляемых систем.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях:

1. XV Международная конференция «Моделирование динамических систем и исследование устойчивости». Киев, Украина. 25-27 мая, 2011 г.

2. Всероссийский семинар «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением». Ульяновск. 15-18 июня, 2010 г.

3. Всероссийский семинар «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением». Ульяновск. 9-12 июня, 2011 г.

4. Семинары кафедры Информационной безопасности и теории управления Ульяновского государственного университета.

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 8 печатных работах, из них 4 статьи в рецензируемых журналах из списка ВАК.

Личный вклад автора. Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Подготовка к публикации полученных результатов проводилась совместно с соавторами, причем вклад диссертанта был определяющим. Все представленные в диссертации результаты получены лично автором.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 3 глав, заключения, приложения и библиографии. Текст диссертации изложен на 246 страницах, из них 106 страниц основного текста и 140 страниц приложения. Диссертация содержит 32 рисунка и 92 библиографические ссылки.

Содержание работы

Во введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулирована цель, аргументирована научная новизна исследований и практическая значимость выводимых результатов, представлены выносимые на защиту научные положения.

В первой главе излагается математическое моделирование управляемых систем с релейным управлением, имеющим запаздывание в структуре обратной связи.

В теории автоматического управления так же как и в иных областях 2'3, возникают задачи, которые в принятой идеализации описываются системой дифференциальных уравнений с разрывными (кусочно-непрерывными) правыми частями. Это связано с наличием в системе элементов, которые в принятой идеализации рассматриваются как функциональные преобразователи с разрывной характеристикой, например, при использовании в структуре обратной связи управляемой системы двухпозиционных реле.

При моделировании управляемой системы посредством обыкновенных дифференциальных уравнений такая характеристика представляется в виде зависимости 5:

у = u(t,x).

Функция u(t,x) определяется следующим формальным разрывным описанием: в п -мерном евклидовом пространстве задана область G, разбитая достаточно гладкой поверхностью ^(t, х) = О :идве подобласти G+ и G~; заданы достаточно гладкие функции u+(t,z) и u~(t,x), определённые во всех точках этих подобластей соответственно; функция u(t,x), характеризующая рассматриваемый элемент, совпадает с и+ в G+, с и~ в G~, а в точках поверхности ip{t,x) терпит разрыв.

Развитие этого подхода в моделировании систем с разрывным управлением при учёте запаздывания состоит в следующем.

Полагается, что модель описывается векторным уравнением

x(t) = f(t,xuu), (1)

где t 6 R = (-00,4-00), х 6 К" — га-мерному действительному линейному пространству с нормой |z|, для некоторого действительного числа h > 0 определяется — банахово пространство непрерывных функций ¡р : [-/i,0] Ж" с нормой ||</;|| = sup |у(*)1> так чт0 Для непре-

-h < s < о

рывной функции х : R -4 8° и каждого t 6 R функция х( 6 C[-hi0j определяется равенством xt(s) = x(t + s) для -h < s < 0, под i(t) понимается правосторонняя производная производная, / есть некоторая вектор-функция, определённая и непрерывная в области R+ х Ся х Rp, Си = W € Сч-ад : < Я, 0 < Н < оо}, «еГ-m-мерному линейному действительно-

му пространству с некоторой нормой и.

1 Борцов Ю. А., Юнгер И. Б. Автоматические системы с разрывным управлением. Л.: Энергоатомиздат. Ле-

нингр. отделение. 1986. 168 с.

2 Иванов А. П. О свойствах решений основной задачи динамики в системах // ПММ. 2005. Т. 69. Выи. 3. С.

372-385

3 Иванов А. П. Об устойчивости равновесия в системах с трением // ПММ. 2007. Т. 71. Вып. 3. С. 427-438

4 Айзерман М.А., Пятницкий Е.С. Основы теории разрывных систем. I // Автоматика и телемеханика. 1974.

№ 7. С. 33-47

6 Айзермап М.А., Пятницкий Е.С. Основы теории разрывных систем. II // Автоматика и телемеханика. 1974. № 8. С. 39-61

Полагается, что управление и является позиционным и, из-за наличия запаздывания в структуре обратной связи, формируется в виде зависимости и : Их Сц —> Rm или и = u(t, <р).

Рассматривается модель релейного управления и € U, U — класс кусочно-непрерывных функций, имеющих разрывы на некотором множестве M С R х Сц. Моделью такого управления является, например, двухпозициопное реле с запаздыванием в формировании сигнала и воздействия.

Пусть и0 € U есть некоторое выбранное управление, под действием которого уравнения управляемого движения (1) принимают вид:

i(t) = /0(t,i,), /o(i,xt) = /(i,.E„u0(i,a;t)). (2)

При этом область Сц представима в виде

ch = V1\JD2\J...\JV1\JM,

Dj — открытое множество, и = u(t,ip) непрерывна в каждой подобласти R+ х Dj (j = 1,/), имеет конечные пределы при (ijt,Vit) —> € К х М, и всё получаемое множество предельных значений является выпуклым.

Вводится многозначная функция U = U°(t,if), Ua{t,tp) = u°{t,tp) при (t,ip) eRfx VQ, D0 = A U ■ • • U Dù U = (Uu..., Up)', Uf(t, <p) < Uj(t, f) < U+(t, v), fj = Î7p) для (t, <p) 6 H x M, a с ней и многозначное отображение

F0 = f(t,>p,U\t,<f>)).

Движением управляемой системы (1) называется абсолютно непрерывная функция х = x(t), удовлетворяющая дифференциальному включению

x(t)eF0(t,xt). (3)

Основополагающими в конструировании позиционного управления являются свойства управляемости и стабилизируемое™. Для исследования стабилизируемости в работе даётся развитие метода функционалов Ляпунова для включения (3), Пусть правые части (2) и (3) удовлетворяют соответственно равенствам

/o(t,0) = 0, Fo(t,0)s0.

Вводятся классические определения устойчивости '

Определение 1. Решение г = 0 включения (3) называется устойчивым, если для любого начального момента a g Е+ и любого малого числа е > 0 существует число S — ô(a, е) такое, что при всех ||v>|| < S и всех L > а для каждого решении (3) х = x(f), == ip, выполняется неравенство |z(i)| < е. Решение х = 0 равномерно устойчиво, если число J не зависит от начального момента а.

1 Андреев А. С. Устойчивость неавтономных функционально-дифференциальных уравнений. Ульяновск: УлГУ, 2005. 328 с. ISBN: 5-88866-192-9. :

Определение 2. Точка х — О называется:

• притягивающей для включения (3), если для любого а € R+ существует число т) = т;(с>) > О, для любого малого е > 0 и каждого ||<р|| < г; найдется значение <т — о{е,а,<р) такое, что для каждого решения (3) х = x(t), ха = ¡р, при всех t > а + а выполняется |i(i)| < е.

• равномерно притягивающей (равномерно по (а, <р)), если числа 77 и с не зависят соответственн от а и (а,<р).

Определение 3. Решение х = 0 называется: асимптотически устойчивым, если оно устойчиво и притягивающее; равномерно асимптотически устойчивым, если оно равномерно устойчивое и рав номерно притягивающее.

Для исследования устойчивости включения (3) вводятся следующие ограничения на правьк части (2) и (3).

Полагается, что функция F0 удовлетворяет условию

IF0(t, ¥>)| < N = JV(//t) V(i, (р) б R х Clh

при любом 0 < Hi < H.

Для простоты считается, что граница M не зависит явно от времени; в каждой подобласт! Dj ( j — 1, /) функция / = fo{t, v) непрерывна, на каждом компакте К С Dj удовлетворяет услови Липшица

j|/o(É, ^2) — Уо(г, Vi)il < z-llva — Vilf;

функция /o(t, ip) является равномерно непрерывной по (t, ip) G R+ x К.

При этих условиях в области R x D0, Do = D1 (J... U Di может быть построено семейств предельных к (2) уравнений 1

x(t) = /*(t,x().

Соответственно можно определить семейство предельных к (3) включений

x(t)eF'(t,xt), (4

где функция F*{t, <р) совпадает с /*(i, tp) в области Dl = (Di (J... (J Di) и доопределяется па гр нице А/*, где М* = (Ch\Dq) |~] Г при некотором множестве Г С С// 1. Связь между решениями (3) и (4) найдётся из следующей теоремы

Теорема 1. Пусть x = x (t), ха = <р 6 Сц, есть некоторое решение (3), определённое ограниченное компактом К С С# при всех t > а — h. Тогда дм любой последовательности.

1 Андреев А. С. Устойчивость неавтономных функционально-дифференциальных уравнений. Ульяновск: УлГ 2005. 328 с. ISBN: 5-88866-192-9.

{xk(t) = x(lk + t), tk 00} найдется подпоследовательность {^(i)}, некоторое предельное включение (4) и его некоторое решение х = x'(t), определенное при t е R такое, что xkj(t) -> x'(t.) равномерно по t е [-Г, Т], для каждого Т > 0.

Из этой теоремы выводится следующее свойство 2 квазиинвариантности положительного предельного множества решения х = x(t) включения (3).

Теорема 2. Пусть х = x(t), ха = ¡р, (а, у) 6 Du есть ограниченное при t > а - h компактом К с Оц решение (3). Тогда для каждой точки р е ui+(x(t)) существует предельное включение (4) и его некоторое решение х = x"(t), t 6 К такое, что {х£ : t £ М} С и>+ при всех t 6 R.

Рассматривается задача об устойчивости (3) на основе функционалов Ляпунова.

Пусть V : R+ х Сц -> R есть непрерывный функционал Ляпунова и х = х(<), х„ = tp — решение включения (3). Функция V(t) = V(t,xt) представляет собой непрерывную функцию времени t >а.

Верхней правосторонней производной от V вдоль решения х = x(t) включения (3) называется значение

V+{t, xt) = д1|т+ sup ^ [V{t + At,xt+&t) - V(t, xt)]. (5)

Если функционал К = V(t,ip) инвариантно дифференцируем в точке (t,<f) € R+ х си \ тогда V(t,ifi) определяется по формуле

г) = 9) + euP(g g(tl у) ■ + (6)

Рассматривается задача об определении свойств устойчивости, полагая, что для функционала его производная, определённая согласно формулам (5) или (6), удовлетворяет неравенству вида V(t,<p) < -W(t,<p) < 0, где функционал W = W(t,<p) ограничен и равномерно непрерывен на каждом множестве R+ х К.

В обозначениях и определениях из 2 доказаны следующие теоремы, развивающие результаты 23 на случай ФДУ с разрывной правой частью.

Теорема 3. Предположим, что:

1. существует функционал V : R+ х СГ R+ (г > 0) такой, что V(t, 0) = 0; V(t, <р) > а (|р(0)|),

V'(l,tp) < -W(t,(p) < 0 для всех (t,y) е R+ х Cr, а е К;

1 Ким А. В., Пименов В. Г. i-гладкий анализ и численные методы решения функционально-дифференциальных уравнений. М-Ижевск: НИЦ Регулярная и хаотическая динамика, 2004. 256 с. ISBN: 5-93972-379-9.

2 Андреев А. С. Устойчивость неавтономных функционально-дифференциальных уравнений. Ульяновск: УлГУ, 2005. 328 с. ISBN: 5-88866-192-9.

3 Павликов С. В. Метод функционалов Ляпунова в задачах устойчивости. Набережные Челны: Изд-во института управления, 2006. 264 с. ISBN: 5-93388-032-9.

2. для каждой предельной пары (Г', Ш*) и любого числа Со > 0 множество {^'(¿.е) : с = с0} ПО^оС'^О — не содержит решений уравнения х(Ь) е кроме

нулевого х = 0.

Тогда решение х = 0 включения (3) асимптотически устойчиво. Теорема 4. Предположим, что:

1. существует функционал V : х Сг К.+ такой, что У{1,0) = 0; 01 (|у(0)|) < £ °2(1М1). -Щ1,Ч>) ^ 0 для всех («,¥>) еГ х С„ сц £ К;

2, для каждой предельной пары (Р", \У) множество {\¥*{1, ф) = 0} не содержит решения уравнения ¿(¿) € а^) кроме нулевого.

Тогда решение х = 0 включения (3) равномерно асимптотически устойчиво. Теорема 5. Предположим, что:

1. существует функционал V = К(<,0) = 0 такой, что для всех ((, еЕ+х Снх (О < Н1 < Н), а е (С выполнены неравенства

а(|М|)>К(4,«р)>0, К'(1,*>)<0;

2. решение х = 0 равномерно асимптотически устойчиво относительно предельного семейства

К^М)}.

Тогда решение 1 = 0 уравнения (3) равномерно устойчиво. Теорема 6. Предположим, что:

1. существует функционал V = такой, что для всех (<,<£>) € Е.+ х Ся1; а € К:

0< <а(|М1), ^ <0;

решение х = 0 равномерно асимптотически устойчиво относительно предельного семейства

{(^ЛП.^М)};

5. для каждой предельной пары при каждом малом Сд > 0 множество

(К»Ч41с) : с = со) П У) = 0} ме содержит решений уравнения х(() € х()-

Тогда решение х = 0 уравнения (3) равномерно асимптотически устойчиво.

Во второй главе излагаются результаты о стабилизации управляемых систем, описываемых уравнениями (1), при условии /(¿,0,0) з 0, или когда управлению и = 0 соответствует заданное движение 1 = 0.

Даются постановки задач о стабилизации, об оптимальной стабилизации и стабилизации с гарантированной оценкой качества управления.

Задача о стабилизации: требуется найти управляющее воздействие и = u(t,ip), u(t, 0) = ü, из некоторого класса U непрерывных управлений и : х Сц -> К"1, при котором невозмущённое движение х = 0 является асимптотически устойчивым (равномерно асимптотически устойчивым).

Задача об оптимальной стабилизации: требуется из управляющих воздействий, решающих задачу о стабилизации, выбрать и = u°(t,ip), при котором достигается минимум функционала

оо

1{и) = j IV dt, (7)

to

где W : R+ х Сц x Rm —> R+ есть некоторая непрерывная функция, задаваемая исходя из необходимой оценки качества переходного процесса.

Задача о стабилизации с гарантированной оценкой качества управления управляющее воздействие и = u°(l, ip) называется стабилизирующим с гарантированной оценкой качества управления P(t, ф), если оно решает задачу о стабилизации и при этом на каждом управляемом движении x°(t), г,"J = tp, справедливо неравенство

/(а0) < Р(а,<р). Вводится выражение типа Веллмана:

B[V,t,xt,u] = V + W{t,xt).

Доказаны следующие теоремы.

Теорема 7. Предположим, что можно найти функционал Ляпунова V = V(t, ¡р) и управляющее воздействие и = u°(t, tp) такие, что:

1. 0 < V(t,<p) < a(|HI), V{t,v,v?{t,v)) < -W°(t,<p) < 0, V(t,<p) 6 R+ хСн, а £ 1С;

2. для каждой предельной совокупности (F*,W*,V^(t,c)) множество {^'(f.c) : с = Со = const > 0} f]{W(t,ip) = 0} не содержит решений включения (3);

3. невозмущёпное движение х = 0 асимптотически устойчиво относительно множества К^Ч'.О) равномерно по (F', IV, V^1).

Тогда и = u°(t,tp) решает задачу о стабилизации.

Теорема 8. Предположим, что можно найти функционал Ляпунова V — V(t,tp) и управляющее воздействие и = u®(t,<p) такие, что:

1 Андреев А. С., Безгласный С. П. О стабилизации управляемых систем с гарантированной оценкой качества управления // ПММ. 1997. Т. 61. Вып. 1. С. 44-51

1- аЛМО)!) < К(г,¥>) < оаО^И), у(г, ч>) е 1+ х Сн, а, е К; з. в[к, г,х(, «(¿,£()] > о Уи е ¿7;

для каждой предельной пары множество ~ 0} не содержит решений

включения (4).

Тогда и = и°(1,<р) решает задачу об оптимальной стабилизации с функционалом качества 1(и°) =

Теорема 9. Пусть при условии 1 теоремы 8 также выполняются условия:

2. В[У,1,х{,и°(1,х()}< 0;

3. для каждой предельной пары множество = 0} не содержит решений включения (4).

Тогда и = ф) решает задачу о стабилизации с гарантированной оценкой качества управления Р = У(а,<р).

Решается задача о стабилизации системы моделируемой уравнением Вольтерра 1:

о

1(4) + с(*)/(х{Ь-к(Ь))) = | К{Ь,т)}{х{1 + т))<1т + и, -Ли

где предполагается, что функции с{£) и К(<,г) ограничены и равномерно непрерывны при I 6 М+, г £ [—Л0,0], 0 < Л(£) < Ло, Л0 > 0. Такими уравнениями описываются многие управляемые системы и процессы с запаздыванием: в моделировании динамики ядерных реакторов 2, экономических и технических процессов 3.

Решается задача о стабилизации состояния х — х — 0 этой системы, в том числе об оптимальной стабилизации, стабилизации с гарантированной оценкой качества управления, когда в (7) Ш = /(«, хи + Ьи2, IV = /(*, х{, ±() + Ь\и\.

Рассмотрена механическая система с нестационарными, голономными и идеальными связями, положение которой определяется п обобщенными координатами ^ — (дг,..., и соответственно, кинетическая энергия системы может быть представлена в виде

Т = Т2 + Т1+Т0,

= (8)

Ъ(<,<?,?) = В%д)д, Т0(!,д) = СЦ,д),

1 Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование. М.: Наука, 1976. 288 с.

2 Горяченко В.Д. Методы исследования устойчивости ядерных реакторов. М.: Атомиздат. 1977. 296 с.

3 Борцов Ю. А., Юнгер И. Б. Автоматические системы с разрывным управлением. Л.: Энергоатомиэдат. Ле-нингр. отделение. 1986. 168 с.

где A(t,q) — симметрическая положительно-определенная матрица размерности п х п, B(t,q) — матрица-столбец размерности п х 1, C(t,q) — скалярная функция. Предполагается, что входящие в (8) функции переменных (t,q) определены и непрерывно-дифференцируемы в области R+ х R".

Движение системы под действием управляющих сил U и других обобщенных сил Q = Q{t,q,q) (внешних, сил взаимодействия точек системы, трения и т.д.) описывается уравнениями Лагранжа

d (дТ\ дТ л „

Подстановкой в уравнения движения представления для кинетической энергии (8), они приводятся к виду

A(t,q)q = Qi(t,q,q) + U, (10)

где вектор Qj включает в себя все недостающие компоненты уравнений (9).

Пусть X = {(q°(t),q°(t)) : (£0,oo) -¥ R"} есть заданное множество программных движений в виде ограниченных трижды непрерывно дифференцируемых функций q = if{t) с ограниченными производными при t 6 [io> оо). Вводятся возмущения

x = q-q°(t), х — g — q°(t) и составляются уравнения возмущённого движения в соответствии с (10)

Ai{t,x)x = Q2(t,x,x)+U\ Ai(t,x) = A(t,q°{t) + x), Q2{t, x, i) = <?!(«, q°(t) + x, q\t) + x) - Q^t, q°(t), q°(t))+ (11)

+ (A(t,q0(t))-A(t,q°(t) + x))q0(t).

Рассматривается задача о стабилизации движения (9о№>9о(0) 6 X при учёте запаздывания в структуре обратной связи в классе кусочно-непрерывных управляющих воздействий, разрывных на поверхности вида

¿¿(Î) + xt) = 0, i/>i(t, 0) = 0 (i = ï~n) при условии равномерной асимптотической устойчивости нулевого решения уравнения

¿(¿) = -Ф(г,х(), ф = (12)

Показано, что такие управляющие воздействия могут быть построены в классе управлений

вида

U = ir°(t) + Ul, U1 = t/1(i,¿(t) + i(i,x(f - ft(i))), 0 <h(t)<h0. (13)

Этот результат имеет также место, когда U определяется равенством

U = (С/ь..., ап)', Ui = -;io • signai) + Vi(i, x(t - h{t))),

где число ft0> 0 находится на основе вычислительной схемы в программном комплексе tosp.

На основании полученных результатов представлен следующий алгоритм решения задачи о декомпозиции управления общей механической системы (9):

1. выбор закона движения (12) с точки зрения оптимального решения задачи;

2. анализ управления U, обеспечивающего движение по этому закону;

3. нахождение параметров управления U, исходя из параметров системы, величины действующих неуправляющих сил Q(t, q, q) и управляющих сил í/°(í);

4. моделирование процесса управления на ЭВМ с целью анализа допустимости скользящего режима управления.

Полученный результат верен и в том случае, если управляющие воздействия формируются в виде обобщённых пропорционально-интегрального и релейного интегрально-дифференциального регуляторов

U = U(t, x(t)) + I F(s)x{t + s) ds, [/ = -(!■ sign ^i(t) + J F{s)x(t + s)ds j ,

где F = FT — неотрицательная матрица, полагаемая непрерывно дифференцируемой, с производной F(s) такой, что yTF(s)y > 0, yTF(sa)y > 0 при у ф 0 для некоторого so g [-h,0], р > О

Исследуется вопрос о виде оптимизируемого функционала для данного типа управления.

Третья глава посвящена программному комплексу tosp.

Приложение разработано на языке программирования высокого уровня С-Н- в интерактивной среде разработки Qt Creator. Используются следующие компоненты и библиотеки: много-платформенная библиотека Qt; встраиваемый язык сценариев Lúa; стандартная библиотека шаблонов для Си++ (stl).

Программа написана в объектпо-ориентированном стиле, и состоит из следующих компонентов:

• лексический анализатор;

• синтаксический анализатор;

• класс формул в виде двоичного дерева;

• блок дополнительных структур данных;

• блок численных методов;

• графический интерфейс.

Блок численных методов поддерживает реализацию как одношаговых, так и многошаговых методов, в том числе с фиксированной и переменной величиной шага. Реализован метод Дормана-Прин-■а 5(4) с автоматическим выбором длины шага и интерполяцией сплайнами четвёртого порядка 1. В численный метод была добавлена модификация: контроль изменения шага на основе заданного пользователем функционала Ляпунова.

Было проведено сравнение tosp с другими программами (Mathematica 2, MatLab 3' GNU ctave ") результаты которого представлены в таблице 1. Сравнение проводилось по следующим критериям:

1. поддержка метода Дормана-Принса 5(4);

2. возможность задания произвольной начальной функции;

3. поддержка переменного запаздывания;

4. возможность задания систем с распределённым запаздыванием;

5. контроль изменения длины шага на основе функционала Ляпунова.

Новизна численного метода, соответствующего алгоритма и программы состоит в возможности численного анализа более широкого класса систем уравнений с запаздыванием, в том числе с разрывной правой частью. Последнее свойство для управляемых систем достигается за счёт контроля вычислений на основе функционала Ляпунова.

Также в третьей главе приводится компьютерное моделирование различных управляемых систем с запаздыванием.

Представлены модели управления нестационарным режимом функционирования ядерного реактора, взаимодействия экономических агентов, управляемых робототехнических и других систем.

В числе этих исследованных задач следующая компьютерная модель манипуляцио/шого робота.

Рассмотрен манипулятор в виде двухзвенного механизма, звенья которого соединены между обой цилиндрическим шарниром, а сам двухзвеннык прикреплён к неподвижному основанию с по-ощью двухступенного шарнира, подвижная ось которого параллельна оси шарнира, соединяющего щенья (рисунок 1).

1 Хайрер Э., Нёрсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежёсткие задачи. .: Мир, 1990. 512 с. ISBN: 5-03-001179-Х.

2 Wolfram Research, Inc. Mathematica overview.. Дата последнего обращения 24.10.2011. URL: ttp://reference. wolfram.com/mathematica/tutorial/NDSolveDelayDifferentialEquations.htmI.

3 The MathWorks, Inc. R2011b Documentation. MATLAB, 2011. Дата последнего обращения 24.10.2011. URL: ittp://ww.mathworks.com/help/techdoc/ref/dde23 .html.

4 Ким А. В., Пименов В. Г. i-гладкий анализ и численные методы решения функционально-дифференциальных равнений. М.-Ижевск: НИЦ Регулярная и хаотическая динамика, 2004. 256 с. ISBN: 5-93972-379-9.

5 GNU. Octave: odepkg. Function reference. Дата последнего обращения 24.10.2011. URL: ttp://octave.sourceforge.net/odepkg/overview.html.

Таблица 1. Сравнение программ

Название программы 1 2 3 4 5

Mathematica X X

MatLab, пакет dde23 X

GNU Octave X

MatLab, пакет time-delay system toolbox X X

tosp X X X X X

В соотвествии с результатами второй главы задача управления решается с помощью следующих '

i

моментов

I

U, = -а, ■ sign {«(() + Ьл sin {^ЬА j I , U2 = -a, ■ sign |é(t) + b, sin } ,

U3 = -O] ■ sign {/}(*) + b, sin (+ Q J .

Численное моделирование процесса стабилизации программного движения -ф = -ф - 0, в = 6 = О, Р = 0, /3 = изображено на графиках 2, 3, 4. Показано поведение возмущённого движения при начальных условиях

to = 0, V(ío + s) = 0.78cos(s), f(to + s) = 1 - s; 0(ío + s) = -O.52cos(s), 0(ío + 5) = -O.7sm(| + s); ¡

/3(i0 + s) = -1.74 - 0.2s, p(t0 + s) = 0.5 + O.ls2, - h < s < 0.

i !

0 2 4 0

6 10 12 14

Рис. 2. Графики функций -ф(1), -ф(1)

05

•0.5

0 6 10 15 20 25 30 35

4 Рис. 3. Графики функций 0(£), ¿(¿)

1.5

0.5

О -0.8

О а 4 6 в 10 12 14

Рис. 4. Графики функций £(*)

В заключении перечислены основные результаты, полученные в диссертационной работе:

1. Разработана математическая модель управляемой системы релейного типа при учете запазды вания в структуре обратной связи. Моделирование проведено посредством применения функ ционально-дифференциальных уравнений с разрывной правой частью.

2. Дано развитие качественной теории функционально-дифференциальных уравнений с разрыв ной правой частью. Описана динамика таких уравнений, получены новые результаты по ме тоду функционалов Ляпунова в исследовании их устойчивости.

3. Решены задачи по оценке качества управления управляемых систем с запаздыванием. Разра ботаны алгоритмы построения стабилизирующих управлений запаздывающего типа для ряд< модельных систем, в том числе, механической и робототехнической.

4. Разработан комплекс программ для численного моделирования систем, описываемых зап-дывающими функционально-дифференциальными уравнениями.

5. Проведено компьютерное моделирование различных управляемых систем с непрерывным ' релейным запаздывающим управлением.

В приложении представлены исходные тексты программного комплекса 1оэр. Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю доктору физико-математ ческих наук, доценту Павликову Сергею Владимировичу и заведующему кафедрой ИБиТУ Ульяно ского государственного университета доктору физико-математических наук, профессору Андреев Александру Сергеевичу за постановку задач, детальное обсуждение результатов работы и всесторо! нюю поддержку.

Работа поддержана ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России) АВЦП «Развитие научного потенциала высшей школы» (проект № 2.1.1/11180), РФФИ (проект 11-01-00541), Советом по грантам Президента РФ (МД-7549.2010.1).

Список публикаций по теме диссертации

Публикации в изданиях, входящих в перечень ВАК

1. Дмитриева О. Г., Шепелев Г. А. О методах стабилизации движений управляемых механических систем // Вестник Нижегородского университета им. Н. И. Лобачевского. 2011. N0 4 Часть 2. С. 122-123.

2. Молгачев А. А., Шепелев Г. А. О динамической устойчивости вязкоупругих элементов // Научно-технический вестник Поволжья. 2011. N0 4. С. 71—76.

3. Павликов С. В., Шепелев Г. А. К задаче об оптимальной стабилизации управляемых систем // Труды Института системного анализа Российской академии наук (ИСА РАН). Динамика неоднородных систем. 2010. Т. 50(1). С. 26—35.

4. Павликов С. В., Шепелев Г. А. К методу функционалов Ляпунова в задаче об устойчивости функционально-дифференциальных уравнений с разрывной правой частью // Научно-технический вестник Поволжья. 2011. N0 1. С. 163—165.

Прочие издания

5. Аминаров А. В., Павликов С. В., Шепелев Г. А. Об управлении система ми с запаздыванием в структуре обратной связи // Труды XV международной конференции Моделирование динамических систем и исследование устойчивости. 25—27 Мая, 2011; Киев, Украина. Киев: 2011. С. 342.

6. Павликов С. В., Шепелев Г. А. К задаче об оптимальной стабилизации управляемых систем // Материалы Всероссийского семинара «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением» (Ульяновск, 15-18 июня 2010 г.). Ульяновск: Изд-во УлГУ, 2010. С. 52-53.

7. Павликов С. В., Шепелев Г. А. Метод функционалов Ляпунова в задаче об устойчивости // Ученые записки Ульяновского государственного университета. Серия Математика и информационные технологии. 2010. N0 1(2). С. 22-33.

8. Шепелев Г. А. О стабилизации функционально-дифференциальных уравнений запаздывающего типа кусочно-непрерывными управлениями // Материалы Всероссийского семинара «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением» (Ульяновск, 9-12 июня 2011 г.). Ульяновск: Изд-во УлГУ, 2011. С. 146-149.

Подписано в печать 17.11.11 Формат 60x84/16. Гарнитура Times New Roman. Усл. п.л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ №219IS69

Отпечатано в Издательском центре Ульяновского государственного университета 432017, г. Ульяновск, ул. Л. Толстого, 42

Введение

Глава 1. Математические основы моделирования управляемых систем с разрывным запаздывающим управлением.

1.1. Модель управляемой системы с обратной связью.

1.2. Динамические свойства функционально-дифференциальных уравнений с разрывной правой частью.

1.3. Развитие метода функционалов Ляпунова.

Глава 2. Стабилизация управляемых систем

2.1. Постановка задачи о стабилизации управляемых систем

2.2. Управляемая система, моделируемая уравнением типа Воль-терра.

2.3. Задача об управлении механической системой.

Глава 3. Программа для численного решения функционально-дифференциальных уравнений.

3.1. Внутреннее устройство программы.

3.2. Модуль численных методов.

3.3. Сравнение с другими программами и компьютерное моделирование управляемых механических систем, физических и экономических процессов.

Бурное развитие в 50-х годах XX века промышленного производства, его автоматизация стимулировали интенсивные исследования по теории автоматического управления (ТАУ) и её приложениям, по моделированию систем управления. Применявшиеся до этого времени методы моделирования посредством линейных систем теряли свою эффективность.

Получило широкое развитие синтезирование в системах автоматического регулирования (САР). Это развитие началось ещё в линейной ТАУ с разработки методов и средств улучшения динамки таких систем (их устойчивости и качества) — корректирующих устройств последовательных связей, основным из которых стало ПИД-звено (пропорционально-интегрально-дифференциальное) , и корректирующих обратных связей — гибких, инерционных и т.д. [85].

Следующим качественно новым этапом решения проблемы синтеза САР стала разработка теории и методов структурного синтеза таких систем в виде решения задачи синтеза алгоритмов управления для заданного объекта управления. В начале они находились как функции времени, т.е. для реализации в виде систем программного управления, а затем — как функции выходных переменных объекта управления, т.е. в виде замкнутой системы с обратными связями.

Основу этих разработок составила теория оптимального управления, сформировавшаяся прежде всего на базе классического вариационного исчисления, принцип максимума Л. С. Понтрягина и динамического программирования Р. Беллмана [21, 63].

Задача синтеза алгоритма управления для заданного объекта управления требует, прежде всего, знания его математической модели. Отсюда возникла проблема идентификации, включая определение структуры объекта и оценка его параметров по экспериментальным данным, и соответствующая теория и методика.

Завершением развития методов синтеза оптимальных систем управления для линейных объектов стал «Метод аналитического конструирования оптимальных регуляторов» (метод АКОР) Летова—Калмана [35, 40, 46].

По мере становления теории автоматического управления постепенно на первый план стало выходить моделирование нелинейных систем управления и разработка методов их проектирования, поскольку все реальные системы заведомо нелинейны.

Фундаментальной основой теории нелинейных систем управления явились труды A.M. Ляпунова, создавшего теорию устойчивости движения — прямой метод Ляпунова (метод функций Ляпунова) [47]. Эта теория составляет основу современной нелинейной теории САР, включая помимо устойчивости исследование качества процессов управления и методы структурного синтеза.

Исследование нелинейных систем управления началось с моделирования и анализа влияния отдельных типовых нелинейностей в линейных в остальном системах, разработке способов ослабления влияния и нейтрализации нежелательных нелинейностей (компенсация статических нелинейностей, вибрационная линеаризация зон нечувствительности и лифтов и т.д.). Затем появились работы о введении специальных нелинейностей для улучшения динамических свойств систем, их моделирования.

Были разработаны методы исследования нелинейных систем — анализа устойчивости, качества, методы параметрического синтеза, в частности, гармоническая линеаризация, использование фазовой плоскости, компьютерное моделирование.

Конечная цель разработки САР, т.е. их моделирования и проектирования, состоит в получении документации для изготовления (производства) и применения (эксплуатации) такой системы, которая удовлетворяла бы заданным техническим требованиям. Последние включают функциональное назначение системы, требования к качеству функционирования (точность, быстродействие, энергопотребление, надёжность и т.д. вплоть до стоимости). Особенность моделирования и проектирования САР заключается в том, что первостепенное значение из всех требований имеют показатели именно процесса управления (алгоритмы, численное значение параметров, качественные показатели процесса управления) по сравнению с конструктивными и другими данными.

Перечисленные выше методы моделирования линейных и нелинейных САУ позволили разработать различные методы такого синтеза на соответствие заданным требованиям. Однако при создании САУ, как и других технических систем, весьма желательно иметь представление об их теоретически предельных возможностях. Это важно для того, чтобы оценить технический уровень разработанной системы по степени её близости к теоретически предельному уровню и, конечно, для того, чтобы, прежде всего, убедиться в принципиальной реализуемости системы с требуемыми свойствами.

Для решения этой задачи во второй половине XX века в ТАУ сформулировался специальный раздел оптимальных САР. В нём содержатся математические методы структурного и параметрического синтеза систем управления на оптимум критериев, дающих количественную оценку их основных характеристик. По существу, этот раздел ТАУ является чисто математическим, т.е. разделом математики, и входящие в него методы разработаны математиками.

Для предельно простого линейного приближения, но дающего зато строго аналитическое решение этой задачи, разработаны методы такого синтеза оптимальных САУ, основанные на перечисленных выше методах исследования линейных систем.

Для нелинейных САУ с одной нелинейностью были разработаны методы синтеза на основе прямого метода Ляпунова. В общем случае нелинейной системы применяется классическое вариационное исчисление, которое и было создано в своё время по запросам практики, хотя и без связи с проблемой управления. В середине XX века были разработаны методы оптимизации, позволяющие численно на ЭВМ решать значительно более сложные задачи. Это, прежде всего, уже упомянутые принцип Л. С. Понтрягина [63], метод динамического программирования Р. Беллмана [21]. На основе этих общих математических методов были разработаны уже инженерные методы синтеза САУ, ориентированные на свойства конкретных объектов управления — метод АКОР Летова—Калмана [35, 40, 46], метод функционала обобщённой работы (ФОР) А. А. Красовского, синергетический подход А. А. Колесникова, методы самоорганизующихся систем, в том числе с использованием технологий искусственного интеллекта, и т.д. (см. [85]).

Актуальность работы. Усложнение управляемых технических систем и процессов, необходимость создания более адекватных их моделей с учетом нелинейности, нестационарности и других факторов требует дальнейшего развития новых методов их моделирования, качественного и численного анализа соответствующих моделей.

Для моделируемых управляемых систем появляется важная необходимость учёта запаздывания, возникающего при передаче измерительных и управляющих сигналов, при воздействии на управляющие механизмы [39, 44]. К моделям с распределённым запаздыванием приводятся также системы с ПИ- и ПИД-управлениями [6, 57].

В конструировании автоматических систем широко используется разрывное управление. Их эффективность состоит в декомпозиции системы, реализации требуемого движения при конечных управляющих воздействиях за конечное время [1, 2, 23, 82]. Однако задачи качественного и численного обоснования применения таких управлений, их моделирование с учётом запаздывания в структуре обратной связи являются до сих пор малоисследованными.

Цели и задачи диссертационной работы. Цель состоит в разработке математических моделей непрерывных и релейных управлений с запаздыванием, выводе новых методов качественного анализа и компьютерного моделирования управляемых систем с последействием.

Для достижения этой цели были поставлены и решены следующие задачи:

1. Разработка математической модели позиционного релейного управления с запаздыванием в структуре обратной связи.

2. Развитие методов качественной теории функционально-дифференциальных уравнений с разрывной правой частью.

3. Вывод достаточных условий стабилизируемости управляемой системы с запаздыванием при гарантированной оценке качества управления, их численный анализ.

4. Разработка алгоритмов и программного комплекса для численного моделирования управляемых систем с учётом запаздывания в структуре обратной связи.

5. Компьютерное моделирование различных управляемых систем с непрерывным и релейным запаздывающим управлением.

Научная новизна. Разработаны новые качественные и численные методы моделирования нелинейных нестационарных управляемых систем.

Построены новые модели управляемых систем с непрерывными и релейными регуляторами. Разработаны эффективные алгоритмы и программы нахождения параметров таких управлений.

Практическая значимость. Результаты, изложенные в диссертации, могут быть использованы для теоретических и практических разработок в конструировании управлений для нелинейных нестационарных управляемых систем, в том числе, робототехнических.

Разработанный комплекс программ 1юзр может быть использован для численного анализа и компьютерного моделирования управляемых и других систем, описываемых функционально-дифференциальными уравнениями с запаздывающим аргументом.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Модель релейного управления с запаздыванием в структуре обратной связи.

2. Новые результаты качественного анализа функционально-дифференциальных уравнений.

3. Методика решения задачи о стабилизации нелинейной управляемой системы с оценкой качества переходного процесса.

4. Численный метод с модификацией для моделирования процессов управления.

5. Комплекс программ численного анализа процесса управления с непрерывной и релейной запаздывающей обратной связью.

6. Компьютерные модели некоторых управляемых систем с запаздыванием.

В первой главе диссертации представлены исследования по математическим основам моделирования управляемых систем с запаздыванием в структуре обратной связи.

Как указывалось, основные исследования по моделированию управляемых систем с обратной связью были начаты в рамках проблемы аналитического конструирования регуляторов, поставленной А. М. Летовым [46]. Большую 9 роль сыграли также многочисленные исследования по развитию и применению принципа максимума Л. С. Понтрягина [63], динамического программирования Р. Беллмана [21]. Широкие исследования по этой проблеме были проведены Н. Н. Красовским и его школой, результатом которых стала теория оптимальной стабилизации управляемых движений [42-44], тесно связанная с теорией устойчивости.

Была исследована задача о существовании стабилизирующего управления для линейных уравнений возмущенного движения. При этом выяснилась существенная роль условий управляемости линейных систем. Показано, что если существует стабилизирующее воздействие, то задача об оптимальной стабилизации таких систем разрешима. В соответствии с теорией устойчивости по первому приближению развита теория стабилизации по первому приближению установившихся движений, выделены критические случаи стабилизации и указаны способы построения стабилизирующих воздействий в критических случаях. Эти и иные результаты приведены в [42].

Большое применение на практике получили системы с разрывным управлением. Исследования качественной теории систем с релейными управлениями привели к необходимости развития теории дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями. Исследованию этих уравнений были посвящены работы многих математиков [76, 77, 86, 90, 92]. В этих работах было показано, что многие утверждения классической теории дифференциальных уравнений остаются справедливыми и для уравнений с разрывными правыми частями. Обосновано применение к таким уравнениям известных методов исследования, конечно с определенными ограничениями. Рассмотрены те свойства решений, которые обусловлены разрывностью правой части уравнения. Достаточно полно исследования по качественной теории дифференциальных уравнений с разрывной правой частью представлены в монографии [78]. Новые результаты по топологической динамике таких уравнений получены в работах [И, 13].

Для построения математических моделей разрывных управлений с запаздывающей обратной связью в первой главе проводится соответствующее развитие метода функционалов Ляпунова в исследовании устойчивости функционально-дифференциальных уравнений с конечным запаздыванием. Выводимые результаты включаются в общую теорию устойчивости следующим образом.

Функционально-дифференциальные уравнения (ФДУ) применяются в моделировании многих сложных систем и процессов, в том числе управляемых [22, 24, 28, 29, 39, 52, 80, 81]. Исследование устойчивости таких уравнений является значительно более сложной задачей по сравнению с обыкновенными дифференциальными уравнениями. Развитие прямого метода Ляпунова для этих уравнений является ещё более актуальным по сравнению с обыкновенными, так как применение линейного приближения менее эффективно.

Классические теоремы об исследовании устойчивости ФДУ на основе функционалов Ляпунова из [39, 41, 69, 81] получили развитие в монографиях [8, 37, 54, 62, 84] и других работах (см. [10]).

Построением топологической динамики неавтономных непрерывных ФДУ и выводом на этой основе свойства квазиинвариантности [8, 17] получены новые эффективные методы исследования устойчивости с применением функционалов Ляпунова [8, 54, 62].

Во втором параграфе первой главы проводится построение топологической динамики неавтономных ФДУ с разрывной правой частью при конечном запаздывании.

Это построение позволяет развить применение функционалов Ляпунова в задачах устойчивости для указанных уравнений, что излагается в третьем параграфе первой главы.

Исследованиям по управлению системами с учетом запаздывания в структуре обратной связи посвящено сравнительно малое количество работ. Они проводились для линейных уравнений или на основе линейного приближения [10, 20, 27], в автономном случае с применением классической теоремы Ляпунова-Красовского [41]. Развитие прямого метода Ляпунова позволило значительно расширить круг решаемых задач [8, 37, 53, 54, 57, 62, 73, 74].

Ещё более сложной задачей является задача об оптимальной стабилизации нелинейной системы. Для систем, моделируемых обыкновенными дифференциальными уравнениями (ОДУ) помимо рассмотрения линейного приближения, упомянутого выше, предлагались также другие способы решения такого уравнения: для нелинейных систем при малых возмущениях по степеням этих возмущений [32], квазиоптимальной стабилизации для систем с нелинейностью, зависящей от малого параметра [19, 36]. Широкое применение получил предложенный В. В. Румянцевым полуобратный метод [70], состоящий в определении части подынтегральной функции минимизируемого функционала по известной оптимальной функции Ляпунова, являющейся устойчивой функцией Ляпунова для системы без управления. Как развитие полуобратного метода в работах [12, 87] дана постановка задачи о стабилизации невозмущенного движения с гарантированной оценкой качества управления и ее решения на основе функции Ляпунова. Для систем, моделируемых ФДУ основные результаты по оптимальной стабилизации получены в работах А. В. Кима [37].

Во второй главе диссертации представлены результаты по решению задачи стабилизации нелинейных систем с запаздывающей обратной связью. В первом параграфе доказаны теоремы о стабилизации, об оптимальной стабилизации и стабилизации с гарантированной оценкой качества управления. В основе доказательства применение теорем об асимптотической устойчивости из первой главы.

Исследование многих задач о стабилизации движений с учётом запаздывания приводит к уравнению типа Вольтерра. Во втором параграфе второй главы приводятся результаты по решению задачи о стабилизации такой системы.

В третьем параграфе второй главы рассмотрена задача о построении релейного управления с запаздывающей обратной связью для механической системы, движение которой описывается уравнениями Лагранжа второго рода.

Эта задача вызывает в последнее время большой интерес. Содержание этой задачи состоит в следующем: требуется построить такой закон изменения управляющих сил и указать такую область допустимых начальных отклонений, что любая траектория возмущённой управляемой системы с начальной точкой из этой области через конечное время выйдет на номинальную траекторию и будет двигаться вдоль неё, каковы бы ни были возмущения, удовлетворяющие заданным ограничениям. Поставленная задача слежения решена на основе принципа декомпозиции и построении релейных управлений в работах Ф. Л. Черноусько, И. М. Ананьевского и С. А. Решмина [7, 82].

Известен [31] метод решения этой задачи, основанный на теории «замороженных» коэффициентов, который заключается в предположении, что параметры системы и сама отслеживаемая траектория изменяются достаточно медленно, чтобы этим изменением можно было пренебречь. Такой подход, развитый в работах М. С. Ефремова, А. Е. Полякова и В. В. Стрыгина [31, 75], не позволяет решать задачи слежения для механических систем, параметры которых изменяются со временем, и отслеживать быстрые движения таких систем. Кроме того, этот подход накладывает жесткие ограничения на спектр матриц, описывающих механическую систему. В работе [62] задача слежения решена с помощью построения вектор-функции Ляпунова с компонентами вида прямоугольной векторной нормы. Отметим, что методика работы [62] может быть применена к исследованию механических систем, моделируемых нестационарными нелинейными уравнениями, без наложения жестких ограничений на скорость изменения параметров системы и отслеживаемой траектории. Методика работы [31] использована в [30] для стабилизации углового положения космического аппарата с упругими динамическими элементами, обладающими диссипативными свойствами. Эффективные способы построения управления в системе с запаздывающей обратной связью на основе функционалов Ляпунова предложены в работах [53, 54, 56, 57].

Большое внимание методам управления нелинейными механическими системами уделяется в исследованиях научной школы академика Ф. Л. Черно-усько. Особое внимание при этом уделяется декомпозиции сложных управляемых систем, построению управлений при неизвестных инерционных параметрах, с учетом ограничений на управление и фазовые координаты, с приведением в терминальное состояние за конечный промежуток времени, динамике процесса управления. Определенная часть этих исследований подытожена в монографии [82]. В ней излагаются два подхода к декомпозиции управления системой. Первый подход основан на построении синтезирующего управления, исходя из решения задачи об оптимальном управлении одномерной механической системой в соответствии с принципом максимума Понтряги-на [63]. Другой подход основан на последовательном построении управления, которое вначале переводит движения всей системы за конечное время в заданную область, а затем из нее в терминальное состояние. Представлен алгоритм построения кусочно-линейной управляемой системы с помощью функции Ляпунова. Рассмотрены также другие общие и конкретные задачи. Приведение управляемой системы в заданное терминальное состояние невозможно при непрерывных обратных связях. Предлагается использовать для этого разрывные управления вида 11 — —/л ■ sign(<j, — (?(£)). При таком управлении замкнутая механическая система начинает двигаться в скользящем режиме, так что нелинейная многосвязная динамическая система высокого порядка через конечный интервал времени начинает двигаться в силу простейшей одномерной системы. Этот способ декомпозиции управления, предложенный Е. С. Пятницким [65-68] развит в работах [49, 50].

Третья глава посвящена разработанному программному комплексу tosp. В первом параграфе даётся подробное описание tosp, приводятся диаграммы статической структуры компонентов программы, грамматика синтаксического анализатора, описание графического интерфейса, а также формат файлов,, используемых для хранения систем.

Во втором параграфе третьей главы описывается модуль численных методов в tosp. Приводится диаграмма статической структуры классов численных методов. Излагается проведённая модификация метода Дормана-Принса 5(4), которая адаптирует метод для анализа систем с разрывными правыми частями.

В третьем параграфе третьей главы проведено сравнение tosp с другими программами по возможностям численного моделирования запаздывающих функционально-дифференциальных уравнений, в том числе с разрывной правой частью. Представлены компьютерная модель манипуляционного робота в виде двухзвенного механизма, а также компьютерное моделирование процесса стабилизации программного поступательно-вращательного движения твёрдого тела, выполненные с помощью программного комплекса tosp.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях:

1. XV Международная конференция «Моделирование динамических систем и исследование устойчивости». Киев, Украина. 25-27 мая, 2011 г.

2. Всероссийский семинар «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением». Ульяновск. 15-18 июня, 2010 г.

3. Всероссийский семинар «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением». Ульяновск. 9-12 июня, 2011 г.

4. Семинары кафедры Информационной безопасности и теории управления Ульяновского государственного университета.

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 8 [4, 26, 51, 5861, 83] печатных работах, из них 4 [26, 51, 58, 61] статьи в рецензируемых журналах из списка ВАК.

Личный вклад автора. Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Подготовка к публикации полученных результатов проводилась совместно с соавторами, причем вклад диссертанта был определяющим. Все представленные в диссертации результаты получены лично автором.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 3 глав, заключения, приложения и библиографии. Текст диссертации изложен на 246 страницах, из них 106 страниц основного текста и 140 страниц приложения. Диссертация содержит 32 рисунка и 92 библиографические ссылки.

Основные результаты, полученные в диссертационной работе:

1. Разработана математическая модель управляемой системы с разрывным управлением при учете запаздывания в структуре обратной связи. Моделирование проведено посредством построения функционально-дифференциальных уравнений с разрывной правой частью.

2. Дано развитие качественной теории функционально-дифференциальных уравнений с разрывной правой частью. Описана динамика таких уравнений, получены новые результаты по методу функционалов Ляпунова в исследовании их устойчивости. Соответствующие результаты развивают ряд известных результатов [8, 14-16, 41, 44, 53-57, 71].

3. Решены задачи по оценке качества управления управляемых систем с запаздыванием. Разработаны алгоритмы построения стабилизирующих управлений запаздывающего типа, в том числе, с оценкой качества управления, для системы, моделируемой уравнением типа Вольтерра, для механической системы, моделируемой уравнениями Лагранжа.

4. Разработан комплекс программ для численного моделирования систем, описываемых запаздывающими функционально-дифференциальными уравнениями.

5. Проведено компьютерное моделирование процесса управления с учетом запаздывания в структуре обратной связи для следующих систем:

• некоторых моделей ядерного реактора;

• робототехнических систем в виде двухзвенного манипулятора и свободного твердого тела;

• взаимодействие двух экономических агентов.

Заключение

1. Айзерман М. А., Пятницкий Е. С. Основы теории разрывных систем. 1.// Автоматика и телемеханика. 1974. № 7. С. 33-47.

2. Айзерман М. А., Пятницкий Е. С. Основы теории разрывных систем. II // Автоматика и телемеханика. 1974. № 8. С. 39-61.

3. Александров В. В., Болтянский В. Г., Лемак С. С. и др. Оптимизация динамики управляемых систем. М.: МГУ, 2000. 303 с.

4. Анализ и оптимальный синтез на ЭВМ систем управления, Под ред. А. А. Воронова, И. А. Орурка. М.: Наука, 1984. 344 с.

5. Ананьевский И. М., Колмановский В. Б. О стабилизации некоторых регулируемых систем с последействием // Автоматика и телемеханика. 1989. № 9. С. 34-42.

6. Ананьевский И. М., Решмин С. А. Метод декомпозиции в задаче об отслеживании траекторий механических систем // Известия РАН. Теория и системы управления. 2002. № 5. С. 25-32.

7. Андреев А. С. Устойчивость неавтономных функционально-дифференциальных уравнений. Ульяновск: УлГУ, 2005. 328 с. ISBN: 5-88866-192-9.

8. Андреев А. С. Метод функционалов Ляпунова в задаче об устойчивости функционально-дифференциальных уравнений // Автоматика и телемеханика. 2009. № 9. С. 4-55.

9. Андреев А. С., Артемова А. О., Габунов Р. С. О математическом моделировании релейных управлений // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2011. Т. 18, № 1. С. 99-100.

10. Андреев А. С., Безгласный С. П. О стабилизации управляемых систем с гарантированной оценкой качества управления // ПММ. 1997. Т. 61, № 1. С. 44-51.

11. Андреев А. С., Дмитриева О. Г., Петровичева Ю. В. Об устойчивости нулевого решения системы с разрывной правой частью // Научно-технический вестник Поволжья. 2011. № 1. С. 15-21.

12. Андреев А. С., Павликов С. В. Незнакоопределенные функционалы Ляпунова в задаче об устойчивости функционально-дифференциальных уравнений с конечным запаздыванием // Механика твёрдого тела. 2004. № 34. С. 112-118.

13. Андреев А. С., Румянцев В. В. О стабилизации движения нестационарной управляемой системы // Автоматика и телемеханика. 2007. № 8. С. 18-31.

14. Андреев А. С., Хусанов Д. X. К методу функционалов Ляпунова в задаче об устойчивости и неустойчивости // Дифференциальные уравнения. 1998. Т. 34, № 7. С. 876-885.

15. Андреев А. С., Хусанов Д. X. Предельные уравнения в задаче об устойчивости функционально-дифференциального уравнения // Дифференциальные уравнения. 1998. Т. 34, № 4. С. 435-440.

16. Андреева Е. А., Колмановский Е. В., Шайхет Л. Е. Управление системами с последействием. М.: Наука, 1992. 336 с.

17. Афанасьев В. Н., Колмановский В. В., Носов В. Р. Математическая теория конструирования систем управления. М.: Высшая школа, 2003. 615 с.

18. Балашевич Н. В., Габасов Р., Кириллова Ф. М. Синтез оптимальной обратной связи и стабилизация систем с запаздыванием по управлению // ПММ. 1998. Т. 62, № 1. С. 139-150.

19. Беллмаи Р. Динамическое программирование. М.: Изд-во «Иностранная литература», 1960. 400 с.

20. Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения. М.: Мир, 1967. 548 с.

21. Борцов Ю. А., Юнгер И. Б. Автоматические системы с разрывным управлением. Л.: Энергоатомиздат. Ленингр. отделение, 1986. 168 с.

22. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование. М.: Наука, 1976. 288 с.

23. Горяченко В. Д. Методы исследования устойчивости ядерных реакторов. М.: Атомиз-дат, 1977. 296 с.

24. Дмитриева О. Г., Шепелев Г. А. О методах стабилизации движений управляемых механических систем // Вестник Нижегородского университета им. Н. И. Лобачевского. 2011. № 4 Часть 2. С. 122-123.

25. Долгий Ю. Ф. К стабилизации линейных автономных систем дифференциальных уравнений с распределенным запаздыванием // Автоматика и телемеханика. 2007. № 10. С. 92-105.

26. Емельянов С. В. Избранные труды по теории управления. М.: Наука, 2006. 450 с. ISBN: 5-02-035338-8.

27. Емельянов С. В., Коровин С. К. Новые типы обратной связи. Управление при неопределённости. М.: Наука, 1997. 352 с.

28. Ефремов М. С. Алгоритм активной стабилизации космического аппарата с вязкоупру-гими элементами в условиях неопределенности // ПММ. 2006. Т. 70, № 5. С. 801-812.

29. Ефремов М. С., Поляков А. Е., Стрыгин В. В. Новый алгоритм слежения для некоторых механических систем // ПММ. 2005. Т. 69, № 1. С. 30-41.

30. Зубов В. И. Проблема устойчивости процессов управления. 2-е изд. СПб.: НИИ химии СПбГУ, 2001. 353 с. ISBN: 5-7997-0307-3.

31. Иванов А. П. О свойствах решений основной задачи динамики в системах // ПММ. 2005. Т. 69, № 3. С. 372-385.

32. Иванов А. П. Об устойчивости равновесия в системах с трением // ПММ. 2007. Т. 71, № 3. С. 427-438.

33. Калман Р., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем. М.: Мир, 1971. 400 с.

34. Камеиецкий В. А. Параметрическая стабилизация нелинейных систем управления с фазовыми ограничениями // Автоматика и телемеханика. 1996. по. 10. Рр. 65-71.

35. Ким А. В. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости систем с последействием. Екатеринбург: Изд-во Уральского ун-та, 1992. 144 с.

36. Ким А. В., Пименов В. Г. i-гладкий анализ и численные методы решения функционально-дифференциальных уравнений. М.-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2004. 256 с. ISBN: 5-93972-379-9.

37. Колмановский В. В., Носов В. Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием. М.: Наука, 1981. 448 с.

38. Красовский А. А., Буков В. Н., Шендрик В. С. Универсальные алгоритмы оптимального управления непрерывными процессами. М.: Наука, 1977. 272 с.

39. Красовский Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Физматгиз, 1959. 211 с.

40. Красовский Н. Н. Проблемы стабилизации управляемых движений // Малкин И. Г. Теория устойчивости движения. Доп. 4. М.: Наука, 1966. С. 475-514.

41. Красовский Н. Н. Теория управления движением. М.: Наука, 1968. 476 с.

42. Красовский Н. Н., Осипов Ю. С. О стабилизации движений управляемого объекта с запаздыванием в системе регулирования // Известия академии наук СССР. Техническая кибернетика. 1963. № 6. С. 3-15.

43. Кунцевич В. М., Лычак М. М. Синтез систем автоматического управления с помощью функций Ляпунова. М.: Наука, 1977. 400 с.

44. Летов А. М. Динамика полета и управления. М.: Наука, 1969. 360 с.

45. Ляпунов А. М. Избранные труды: работы по теории устойчивости. М.: Наука, 2007. 574 с.

46. Малкин И. Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука, 1966. 530 с.

47. Матюхин В. И. Устойчивость движений манипуляционных роботов в режиме декомпозиции // Автоматика и телемеханика. 1989. № 3. С. 33-44.

48. Матюхин В. И. Универсальные законы управления механическими системами. М.: МАКС Пресс, 2001. 252 с.

49. Молгачев А. А., Шепелев Г. А. О динамической устойчивости вязкоупругих элементов // Научно-технический вестник Поволжья. 2011. № 4. С. 71-76.

50. Мышкис А. Д. Общая теория дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом // Успехи мат. наук. 1949. Т. 4, № 5. С. 99-141.

51. Павликов С. В. О стабилизации движения управляемой системы с запаздыванием // Механика твёрдого тела. 2005. № 35. С. 212-216.

52. Павликов C.B. Метод функционалов Ляпунова в задачах устойчивости. Набережные Челны: Изд-во института управления, 2006. 264 с. ISBN: 5-93388-032-9.

53. Павликов С. В. Знакопостоянные функционалы Ляпунова в задаче об устойчивости функционально-дифференциального уравнения // ПММ. 2007. Т. 71, № 3. С. 377-388.

54. Павликов С. В. Метод знакопостоянных функционалов Ляпунова в исследовании устойчивости функционально-дифференциальных уравнений // Вестник ОГУ. 2007. № 3. С. 158-162.

55. Павликов С. В. О стабилизации движений управляемых систем с запаздывающим регулятором // Доклады Академии Наук. 2007. Т. 412, № 2. С. 176-178.

56. Павликов С. В., Шепелев Г. А. К задаче об оптимальной стабилизации управляемых систем // Труды Института системного анализа Российской академии наук (ИСА РАН). Динамика неоднородных систем. 2010. Т. 50(1). С. 26-35.

57. Павликов С. В., Шепелев Г. А. Метод функционалов Ляпунова в задаче об устойчивости // Ученые записки Ульяновского государственного университета. Серия Математика и информационные технологии. 2010. № 1(2). С. 22-33.

58. Павликов С. В., Шепелев Г. А. К методу функционалов Ляпунова в задаче об устойчивости функционально-дифференциальных уравнений с разрывной правой частью // Научно-технический вестник Поволжья. 2011. № 1. С. 163-165.

59. Перегудова О. А. Метод сравнения в задачах устойчивости и управления движениями механических систем. Ульяновск: Изд-во УлГУ, 2009. 253 с.

60. Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов. 4-е изд. М.: Наука, 1983. 392 с.

61. Прасолов А. В. Динамические модели с запаздыванием и их приложения в экономике и инженерии: Учебное пособие. СПб.: Издательство «Лань», 2010. 192 с. ISBN: 978-5-8114-0931-0.

62. Пятницкий Е. С. Синтез управления манипуляционными роботами на принципе декомпозиции // Известия АН СССР. Техническая кибернетика. 1987. № 3. С. 92-99.

63. Пятницкий Е. С. Принцип декомпозиции в управлении механическими системами // ДАН СССР. 1988. Т. 300, № 2. С. 300-303.

64. Пятницкий Е. С. Синтез иерархических систем управления механическими объектами на принципе декомпозиции. I // Автоматика и телемеханика. 1989. № 1. С. 87-99.

65. Пятницкий Е. С. Синтез иерархических систем управления механическими объектами на принципе декомпозиции. I // Автоматика и телемеханика. 1989. № 2. С. 57-71.

66. Разумихин Б. С. Устойчивость эредитарных систем. М.: Наука, 1988. ISBN: 5-02-006601-Х.

67. Румянцев В. В. Об оптимальной стабилизации управляемых систем // ПММ. 1970. № 3. С. 440-456.

68. Румянцев В. В., Андреев А. С. О стабилизации движения нестационарной управляемой системы // Доклады Академии наук. 2007. Т. 416, № 5. С. 627-629.

69. Руш Н., Абетс П., Лалуа М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости, Под ред.

70. B. В. Румянцева. М.: Мир, 1980. 300 с.

71. Седова Н. О. Глобальная асимптотическая устойчивость и стабилизация в нелинейной каскадной системе с последействием // Изв. вузов. Математика. 2008. N2 11.1. C. 208-223.

72. Седова Н. О. Локальная и полуглобальная стабилизация в каскаде с запаздыванием // Автоматика и телемеханика. 2008. № 6. С. 70-81.

73. Стрыгин В. В., Фридман Л. М., Поляков А. Е. Локальная стабилизация релейных систем с запаздыванием // Доклады Академии Наук. 2001. Т. 379, № 5. С. 603-605.

74. Уткин В. И. Скользящие режимы в задачах оптимизации и управления. М.: Наука, 1981. 368 с.

75. Филиппов А. Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью // Матем. сборн. 1960. Т. 51(93), № 1. С. 99-128.

76. Филиппов А. Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Физ-матгиз, 1985. 224 с.

77. Хайрер Э., Нёрсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежёсткие задачи. М.: Мир, 1990. 512 с. ISBN: 5-03-001179-Х.

78. Халил X. К. Нелинейные системы. М.-Ижевск: НИЦ «РХД», 2009. 832 с. ISBN: 978-5-93972-724-2.

79. Хейл Д. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1984. 421 с.

80. Черноусько Ф. Л., Ананьевский И. М., Решмин С. А. Методы управления нелинейными механическими системами. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. 328 с.

81. Шестаков А. А. Обобщённый прямой метод Ляпунова для систем с распределёнными параметрами. М.: Наука, 1990. 317 с. ISBN: 5-02-014301-4.

82. Юревич Е. И. Теория автоматического управления. 3-е изд. СПб.: БХВ-Петербург, 2007. 560 с.

83. Якубович В. А. Периодические и почти периодические предельные режимы регулируемых систем с несколькими, вообще говоря, разрывными нелинейностями // ДАН. 1966. Т. 171, № 3. С. 533-536.

84. Chang S., Peng Т. Adaptive guaranteed cost control of systems with uncertain parameters // IEEE Transactions on automatic control. 1972. Vol. 17. Pp. 474-483.

85. Wolfram Research, Inc. Mathematica overview. Дата последнего обращения 24.10.2011. URL: http: //reference .wolfram, com/mathematica/tutorial/ NDSolveDelayDifferentialEquations.html.

86. GNU. Octave: odepkg. Function reference. Дата последнего обращения 24.10.2011. URL: http://octave.sourceforge.net/odepkg/overview.html.

87. Plis A. Measurable orientor fields // Bull. Acad. Polon. sci., ser. math., astr., phys. 1966. Vol. 13, no. 8. Pp. 565-569.

88. The MathWorks, Inc. R2011b Documentation. MATLAB, 2011. Дата последнего обращения 24.10.2011. URL: http://www.mathworks.com/help/techdoc/ref/dde23. html.

89. Turowicz A. Remarque sur la définition des quasitrajectoires d'un systém de commande non-linéaire // Bull. Acad. Polon. sci., ser. math., astr., phys. 1963. Vol. 11, no. 6. Pp. 367-368.