автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование бифуркационных переходов и формирования мультистабильности в системах с запаздывающими связями

На правах рукописи

Балакин Максим Игоревич

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ БИФУРКАЦИОННЫХ ПЕРЕХОДОВ И ФОРМИРОВАНИЯ МУЛЬТИСТАБИЛЬНОСТИ В СИСТЕМАХ С ЗАПАЗДЫВАЮЩИМИ СВЯЗЯМИ

05.13.18 Математическое моделирование, численные методы п комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 □ Я!Ш 2015

005558100

Саратов 2015

005558100

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.».

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

Астахов Владимир Владимирович

Официальные оппоненты: Постнов Дмитрий Энгелевич,

доктор физико-математических наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского», профессор кафедры оптики и биофотоники физического факультета

Емельянов Валерий Валерьевич, кандидат физико-математических наук, ОАО «НПП «Алмаз», г. Саратов заместитель начальника отдела метрологии

Ведущая организация: Саратовский филиал института радиотехники

и электроники имени В.А. Котельникова Российской академии наук, г. Саратов

Защита состоится «18» марта 2015 г. в 13.30 на заседании диссертационного совета Д 212.242.08 при ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.» по адресу: 410054, Саратов, ул. Политехническая, 77, корп. 1, ауд. 319/1.

С диссертацией можно ознакомиться в научно-технической библиотеке ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.» по адресу: 410054, г. Саратов, ул. Политехническая, 77 и на сайте www.sstu.rn.

Автореферат разослан 2 ^ января 2015 года

Ученый секретарь

диссертационного совета уРСЯЪ???' А.А. Терентьев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Динамические системы с запаздыванием играют большую роль во многих областях науки и техники: радиофизике, механике, кибернетике, нелинейной оптике, биологии, медицине, экономике.

Эффективным средством анализа систем с запаздыванием является применение математических моделей в сочетании с методами нелинейной динамики: построение фазовых портретов, временных реализаций и спектров, бассейнов притяжения аттракторов и карт мультистабильности, анализ устойчивости состояний равновесия и предельных циклов, вычисление спектров ляпуновских показателей предельных множеств и проведение бифуркационного анализа.

Исследованию систем с временным запаздыванием посвящено значительное число публикаций в отечественной и зарубежной литературе. Большую роль в развитии этого направления с точки зрения общей теории, в рамках теории автоколебаний, теории синхронизации, теории динамического хаоса и управления хаосом сыграли работы Ю.И. Неймарка, В.П. Рубаника, В.Я. Кислова, С.А. Кащенко, И.С. Кащенко, Е.В. Григорьевой, Н.М. Рыскина, В.И. Пономаренко, М.Д. Прохорова, Н. ЗЬ^ег, К. 1кес1а, Т. Ьигуашпа, К. Руга§аз, Е. БИоИ, А. Ва1апоу, N. .ГапБоп, Р. РегНкошБкь Б. УапсЬик.

Известно, что введение запаздывания приводит к появлению мультистабильности в системе. В работах С.А. Кащенко с соавторами было установлено, что при очень больших запаздывания в системе возникает гипермультистабильность, бифуркационный механизм которой описывается нормальными формами типа уравнения Гинзбурга-Ландау. Однако несмотря на большое количество важных и значимых работ, посвященных системам с запаздыванием, остается открытым ряд вопросов. Например, как формируется мультистабильность при малых временах запаздывания, когда в фазовом пространстве системы возникает небольшое количество сосуществующих аттракторов, какие при этом наблюдаются характерные бифуркации, какова при этом структура фазового пространства мультистабильной системы. Данные вопросы рассматриваются в настоящей работе. Добавим, что большой интерес также вызывает вопрос о влиянии запаздывания в канале связи на динамику взаимодействующих систем. Например, как влияет запаздывание в канале связи на структуру языков синхронизации и области гашения автоколебаний (или так называемой амплитудной смерти) в случае диссипативно запаздывающей связи, на

бифуркационные переходы к режимам синхронизации через захват и через подавление, на формирование мультистабильности в области синхронизации. Данная работа направлена нд исследование указанных вопросов.

Цель диссертационной работы состоит в развитии математических моделей характерных бифуркационных переходов, особенностей формирования мультистабильности и синхронизации в системах с запаздыванием в цепи обратной связи и канале связи.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Математическое моделирование и анализ динамики генератора с запаздывающей обратной связью в широком диапазоне управляющих параметров, выявление типичных режимов, мультистабильных состояний и типичных бифуркационных переходов.

2. Математическое моделирование и анализ динамики системы двух сильно неидентичных генераторов с запаздывающими обратными связями, выявление основных бифуркационных переходов и построение карт динамических режимов на плоскости управляющих параметров.

3. Математическое моделирование и анализ динамики системы двух генераторов с инерционной нелинейностью с запаздыванием в канале связи, выявление структуры основной области синхронизации и областей гашений автоколебаний.

Предметом исследования являются характерные бифуркационные переходы к режимам синхронизации и механизмы формирования мультистабильности в динамических системах с запаздыванием, описываемых дифференциальными и дифференциально-разностными уравнениями

Методы исследования. При решении задач, возникших в ходе диссертационного исследования, использовались методы нелинейной динамики, включая анализ устойчивости и бифуркаций состояний равновесия и предельных циклов, анализ характеристических уравнений и расчет мультипликаторов, построение фазовых портретов, временных реализаций и спектров колебательных процессов, построение карт режимов на плоскости управляющих параметров.

Для численного интегрирования систем с запаздыванием использовался модифицированный метод Рунге-Кутта, отличающийся учетом массива значений динамических переменных на интервале запаздывания. Для получения укороченных уравнений применялся метод медленно меняющихся амплитуд. Устойчивость состояний равновесия и

периодических решений оценивалась по собственным значениям и мультипликаторам. Для бифуркационного анализа использовались пакеты ООЕ-ВШТООЬ и ХРР-АиТ.

Научная новизна результатов работы (соответствует пунктам 2, 5, 6 паспорта специальности):

1. Развиты математические модели бифуркационных механизмов формирования мультистабильности в автономных системах с запаздыванием, что позволило выявить механизм формирования мультистабильности.

2. Построена модель взаимодействующих генераторов с инерционной нелинейностью с запаздыванием в канале связи в виде дифференциально-разностных уравнений.

3. Построена модель взаимодействующих генераторов с инерционной нелинейностью с запаздыванием в канале связи в виде обыкновенных дифференциальных уравнений для случая малого запаздывания.

4. На основе математических моделей построены разностные схемы и эффективные алгоритмы для систем с запаздыванием, отличающиеся учетом массива значений переменной на интервале запаздывания, что позволило провести исследование мультистабильных состояний.

5. Реализован комплекс программ для численного моделирования мультистабильности и синхронизации в системах с запаздыванием, что позволило провести исследование динамики рассматриваемых систем в широком диапазоне управляющих параметров.

6. Впервые проведен совместный анализ полной и укороченной математических моделей генератора с запаздывающей обратной связью, что позволило выявить механизм формирования мультистабильности. При вариации управляющих параметров неподвижная точка в фазовом пространстве многократно претерпевает суперкритическую бифуркацию Андронова-Хопфа, что ведет к увеличению числа седловых циклов. После первой бифуркации рождается устойчивый предельный цикл, а после каждой последующей - седловой предельный цикл. Устойчивость они приобретают после каскада субкритических бифуркаций Неймарка-Сакера.

7. В результате комплексного исследования неидентичных генераторов с запаздывающими обратными связями обнаружено явление мультистабильности, построены карты динамических режимов с учетом мультистабильности, проведен бифуркационный анализ.

8. Показано наличие мультистабильности в предложенных генераторах с инерционной нелинейностью с запаздыванием в канале связи. Выявлено, что введение запаздывающей диссипативной связи приводит к

тому, что явление синхронизации наблюдается только для малых значений коэффициента связи. Показано, что увеличение запаздывания в канале связи между генераторами с инерционной нелинейностью приводит к расширению и перекрытию областей амплитудной смерти, подавление колебаний при этом может происходить при отсутствии расстройки по собственным частотам.

Достоверность полученных результатов обусловлена тем, что результаты, полученные с помощью численного интегрирования, расчета спектров, вычисления собственных значении и мультипликаторов не противоречат друг другу, и не противоречат ранее полученным результатам. Для расчетов использовались апробированные численные схемы и методы.

Основные положения и результаты, выносимые на защиту:

1. В результате совместного анализа полных и укороченных уравнений выявлено, что в генераторе с запаздывающей обратной связью мультистабильность формируется в результате двух основных типов бифуркаций - суперкритической бифуркации Андронова-Хопфа и субкритической бифуркации Неймарка-Сакера. При вариации управляющих параметров неподвижная точка в фазовом пространстве многократно претерпевает суперкритическую бифуркацию Андронова-Хопфа, что ведет к увеличению числа седловых циклов. Устойчивость они приобретают после ряда субкритических бифуркаций Неймарка-Сакера.

2. В математической модели системы двух взаимно связанных сильно неидентичных генераторов с запаздывающей обратной связью выявлено наличие мультистабильности, в зависимости от выбора начальных условий могут наблюдаться периодические, квазипериодические и хаотические решения. В основе возникновения мультистабильности лежит каскад суперкритических бифуркаций Андронова-Хопфа, который приводит к увеличению числа сосуществующих предельных циклов.

3. В результате анализа предложенных математических моделей установлено, что введение запаздывания в канал связи существенно меняет картину синхронизации двух генераторов с инерционной нелинейностью. По мере увеличения времени запаздывания характерная структура в виде языка синхронизации сохраняется только при малых значениях коэффициента связи. С увеличением связи выше некоторых значений область синхронизации отсутствует в смысле границы между областями периодических и квазипериодических колебаний. При любых значениях расстройки наблюдается устойчивый предельный цикл, вторая независимая частота не возбуждается.

Научная значимость. Результаты, представленные в диссертационной работе, развивают и дополняют современные представления радиофизики и нелинейной теории колебаний. Установленные в диссертации закономерности и механизмы формирования мультистабильности в системах с запаздывающей обратной связью, в частности в осцилляторе ван дер Поля с запаздывающей обратной связью, в осцилляторе Ландау-Стюарта с запаздывающей обратной связью, осцилляторе Ланга-Кобаяши существенно дополняют современную теорию многомодовых автоколебательных систем. Установленные закономерности перехода к синхронизации в системе генераторов с инерционной нелинейностью с запаздыванием в канале связи вносят вклад в представления о синхронизации взаимодействующих систем со сложными связями. Также результаты диссертации использованы при выполнении работ по грантам и проектам РФФИ (№ 12-02-01298-а), Министерства образования и науки РФ, Фонда содействия развитию малых предприятий (в рамках программы «У.М.Н.И.К.»).

Практическая значимость. Результаты, полученные в диссертационной работе, могут быть использованы в СВЧ электронике при разработке методов управления частотой генерации за счет переключения мод, учета влияния запаздывающих отражений от удаленной нагрузки на режимы работы многомодового генератора и выработки рекомендаций по возможности целенаправленных переходов между различными синхронными состояниями в ансамбле взаимодействующих многомодовых генераторов.

Апробация работы. Результаты, представленные в диссертационной работе, докладывались на научных семинарах института электронной техники и машиностроения и кафедры радиоэлектроники и телекоммуникаций СГТУ имени Гагарина Ю.А., семинаре кафедры «Динамика машин» технического университета г. Лодзь (Польша), семинаре лаборатории теоретической нелинейной динамики (СФ ИРЭ РАН), семинаре лаборатории моделирования в нелинейной динамике (СФ ИРЭ РАН), семинаре кафедры нелинейной физики (СГУ имени Н.Г. Чернышевского), семинаре лаборатории исследования нелинейных явлений (СГУ имени Н.Г. Чернышевского), студенческой научной конференции «Presenting Academic Achievements to the World» (Саратов, 2010), XXIV и XXV международных научных конференциях «Математические методы в технике и технологиях» (Саратов, 2011, 2012), ежегодной школе-конференции «Нелинейные дни в Саратове для молодых» (Саратов, 201 1, 2012), VIII и IX всероссийских конференциях молодых ученых «Наноэлектроника, нанофотоника и

нелинейная физика» (Саратов, 2013, 2014), X международной школе-конференции «Хаос 2013» (Саратов, 2013).

Личный вклад автора. Аналитические и численные результаты, представленные в настоящей работе, получены лично автором. Постановка задач и обсуждение результатов проводились совместно с научным руководителем.

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 10 работ, в том числе 3 статьи в журналах из списка ВАК Минобрнауки РФ.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения. Полный объем диссертации составляет 153 страницы с 50 рисунками, 1 таблицей и 1 приложением. Список литературы содержит 103 наименования.

Краткое содержанке работы

Во введении дано обоснование актуальности работы, сформулированы цель исследований, научная новизна и положения, выносимые на защиту.

В первой главе проведено совместное исследование полной и укороченной математических моделей генератора с запаздывающей обратной связью. Получено полное дифференциально-разностное уравнение для генератора с мостом Вина и запаздыванием в цепи обратной связи: m + A*(t) + *(t) = [£ - x2(t - тd)]x(t - Tdl

где х- динамическая переменная, е - параметр подкачки, А - параметр диссипации, та - время запаздывания в цепи обратной связи. Проведены исследование устойчивости и бифуркаций состояния равновесия, анализ характеристического уравнения для линеаризованной системы. Описано влияние запаздывания на период возбуждаемых автоколебаний. Изучены основные бифуркационные переходы, приводящие к формированию мультистабильности. Показано, что при вариации управляющих параметров состояние равновесия в начале координат многократно претерпевает супекритическую бифуркацию Андронова-Хопфа, что ведет к увеличению числа седловых циклов. После первой бифуркации рождается устойчивый предельный цикл, после каждой последующей - седловой. Устойчивость они могут приобретать в результате каскада субкритических бифуркаций Неймарка-Сакера. Исследована структура плоскости параметров системы, построены карты динамических режимов в широком диапазоне значений управляющих параметров системы. Численное интегрирование проводилось с помощью модифицированного метода Рунге-Кутта четвертого порядка, отличающегося учетом массива значений динамической переменной на

интервале запаздывания. Такой подход позволяет изучить динамические режимы системы в случае развитой мультистабильности, при больших значениях запаздывания. Устойчивость квазигармонических решений оценивалась с помощью спектра мультипликаторов. Выявлена возможность возникновения в системе квазипериодических и хаотических колебаний. Показано, что переход к хаосу может происходить либо через каскад бифуркаций удвоения периода, либо через разрушение тора. Проанализировано влияние запаздывания на возникновение колебаний и формирование мультистабильности в системе.

а с с! е / д Н

О 5 10 15 20 25 го 35 40 45 50

Т<!

Рис. 1. Структура пространства параметров мультистабильной системы (I) Также в рамках первой главы исследован механизм формирования мультистабильности в осцилляторе Ландау-Стюарта с запаздывающей обратной связью для случаев малого и умеренного запаздывания. Получено дифференциально-разностное уравнение исследуемой модели с помощью применения метода медленно меняющихся амплитуд к системе (1):

а = -^а(т) + а(т-тй)е-т"|^-^|а(т-Гй|2|, (2)

где а - медленно меняющаяся величина, е - параметр подкачки, л - параметр диссипации, т(/- время запаздывания в цепи обратной связи. Выявлено, что сценарий формирования мультистабильных состояний аналогичен сценарию для системы (1). Проведен линейный анализ системы, рассчитаны собственные значения матрицы линеаризации. Получена общая структура

пространства управляющих параметров системы. Проведен двухпараметрический бифуркационный анализ системы на основе собственных значений и мультипликаторов. Показано, что мультистабильность формируется различными комбинациями динамических режимов. Выявлено влияние седловых предельных циклов на бифуркационные переходы и структуру фазового пространства системы.

Та

Рис. 2. Линии бифуркационных значений состояний равновесия и предельных циклов системы (2). Л = 3

Во второй главе проведено исследование сложной динамики системы из двух связанных сильно неидентичных осцилляторов Ланга-Кобаяши:

Ё5,1 = 2 С1 + "О^м + - г) + с5ЛЕ5Л\Е1в\2,

I = £(р - - (1 + %))|Я5,г|2). (3)

Индекс 5 соответствует коротковолновому излучению, индекс Ь -длинноволновому излучению; Ез1 - медленно меняющаяся комплексная амплитуда; — разность населенностей; а - альфа-фактор; К -

коэффициент обратной связи; срз1 - фаза обратной связи; - константа связи; Т - временной масштаб; - мощность накачки. Аналитически получены условия возбуждения колебательных мод. Продемонстрирована возможность существования в системе сложных, в том числе хаотических, колебаний. Изучены характерные бифуркационные переходы в системе. Построены однопараметрические бифуркационные диаграммы. Выявлено,

что при малых значениях коэффициента обратной связи в рассматриваемой системе при вариации времени запаздывания наблюдается чередование стационарных и периодических решений. Проведен анализ динамических режимов системы в широком диапазоне управляющих параметров. Показано наличие мультистабильности в системе. При вариации управляющих параметров состояние равновесия в системе многократно претерпевает суперкритическую бифуркацию Андронова-Хопфа, что ведет к увеличению числа сосуществующих предельных циклов в системе. Выявлено, что мультистабильные состояния формируются различными комбинациями периодических, квазипериодических и хаотических режимов.

0.1 -,-,-,- , 0-2-

015

№

С.+С,

0.5 0.75 1 1.25 1.5 Р

Ц'я»

5 06 О У $3 05 1 Г !2 '3

14 «5 1>

Рис. 3. Линии бифуркационных значений в окрестности основного языка синхронизации для конечномерной системы (5) (а) и системы, описываемой дифференциально-разностным

уравнением (4) (Ь)

В третьей главе предложены математические модели генераторов с инерционной нелинейностью, отличающиеся учетом запаздывания в канале связи:

х1 = тхг - х1г1 + ух + е(х2&- т) - ха(0), Ух = -XI,

¿1 = 1 -/(>1(0)-х2 = тх2 - рх2г2 + ру2 4- гг^О - т) - х2(0)<

У г = -*г>

¿г = -д(?2 - /(*2«0), /(*) = е* - 1.

Х1,2-У1,2>г1,2 ~ динамические переменные; т,д - управляющие параметры динамических систем; р - параметр расстройки; е - параметр связи; т -время запаздывания в канале связи. В случае малого запаздывания слагаемые с отклоняющимися аргументами можно разложить в ряд Тейлора. В этом случае конечномерная система будет иметь вид

1

Х1 = 1_£2Тг (тх1 ~ Рх121 + РУг)

ЕТ Е

~ 1 - £2Т2 (ШХ2 - + У2) + -^Г^ (Х2 -У\ =

¿1 = -5(^1 - е*» + 1),

1 (5^

¿2 = 1_£2Т2 (ШХ2 ~ Рх2?2 + РУ2)

£Т Е

~ 1 - Е2т2 (-ТПУ1 ~ + РУх) ~ хг)-

У2 =

¿2 = - е** + 1).

Изучено влияние параметра возбуждения на динамику системы. Изучены характерные бифуркационные переходы и условия формирования мультистабильности в системе. Выявлено влияние параметра возбуждения на характерные колебательные режимы в системе. Анализ собственных значений для неподвижной точки показал, что с ростом параметра возбуждения наблюдается последовательность из двух бифуркаций Андронова-Хопфа. Первая приводит к возбуждению синфазных колебаний в системе, а вторая - к возбуждению противофазных колебаний. При существенных значениях времени запаздывания данные режимы сосуществуют. Изучено влияние запаздывания на характерные бифуркационные переходы в окрестности основного языка синхронизации, возбуждение и подавление колебаний. Проведено сравнение бифуркационных переходов в системе, описываемой дифференциально-разностными уравнениями, и в конечномерной системе. В исходной системе увеличение запаздывания приводит к расширению и перекрытию областей подавления колебаний, при значениях коэффициента связи выше критических колебания в системе отсутствуют при любых значениях расстройки по собственным частотам. В конечномерной системе увеличение задержки в канале связи приводит к уменьшению областей амплитудной

смерти, при этом наблюдается эффект широкополосной синхронизации. Для любых значений расстройки колебаний в одном из генераторов полностью подавлены, вторая независимая частота при вариации расстройки не возбуждается. Таким образом, характерная структура в виде языка синхронизации сохраняется только при малых значениях коэффициента связи.

В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы.

Основные результаты и выводы

1. Развиты математические модели бифуркационных механизмов формирования мультистабильности в автономных системах с запаздыванием, что позволило выявить механизм формирования мультистабильности.

2. Построена модель взаимодействующих генераторов с инерционной нелинейностью с запаздыванием в канале связи в виде дифференциально-разностных уравнений.

3. Построена модель взаимодействующих генераторов с инерционной нелинейностью с запаздыванием в канале связи в виде обыкновенных дифференциальных уравнений для случая малого запаздывания.

4. На основе математических моделей построены разностные схемы и эффективные алгоритмы для систем с запаздыванием, отличающиеся учетом массива значений переменной на интервале запаздывания, что позволило провести исследование мультистабильных состояний.

5. Реализован комплекс программ для численного моделирования мультистабильности и синхронизации в системах с запаздыванием, что позволило провести исследование динамики рассматриваемых систем в широком диапазоне управляющих параметров.

6. Впервые проведен совместный анализ полной и укороченной математических моделей генератора с запаздывающей обратной связью, что позволило выявить механизм формирования мультистабильности. При вариации управляющих параметров неподвижная точка в фазовом пространстве многократно претерпевает суперкритическую бифуркацию Андронова-Хопфа, что ведет к увеличению числа седловых циклов. После первой бифуркации рождается устойчивый предельный цикл, а после каждой последующей - седловой предельный цикл. Устойчивость они приобретают после каскада субкритических бифуркаций Неймарка-Сакера.

7. В результате комплексного исследования неидентичных генераторов с запаздывающими обратными связями обнаружено явление

мультнстабильности, построены карты динамических режимов с учетом мультистабильности, проведен бифуркационный анализ.

8. Показано наличие мультистабильности в предложенных генераторах с инерционной нелинейностью с запаздыванием в канале связи. Выявлено, что введение запаздывающей диссипативной связи приводит к тому, что явление синхронизации наблюдается только для малых значений коэффициента связи. Показано, что увеличение запаздывания в канале связи между генераторами с инерционной нелинейностью приводит к расширению и перекрытию областей амплитудной смерти, подавление колебаний при этом может происходить при отсутствии расстройки по собственным частотам.

Список публикаций по теме диссертации

Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК РФ

1. Астахов, В.В. Механизм формирования мультистабильности в генераторе ван дер Поля с запаздывающей обратной связью / В.В. Астахов, М.И. Балакин // Вестник СГТУ. 2012. № 3. Вып. 1. С. 24-28.

2. Кочкуров, JI.A. Динамика двух нелинейно связанных неидентичных осцилляторов Ланга-Кобаяши / Л.А. Кочкуров, М.И. Балакин // Известия высших учебных заведений: Прикладная нелинейная динамика. 2013. Т. 21. № 3. С. 29-36.

Публикации в изданиях, входящих в SCOPUS

3. Kochkurov, L.A. Numerical modeling of terahertz generation via difference-frequency mixing in two-color laser / L.A. Kochkurov, M.I. Balakin, L.A. Melnikov, V.V. Astakhov//Proceedings of. SPIE. 2013. V. 8699. P. 1-12.

Тезисы докладов и статьи в сборниках трудов конференций

4. Balakin, M.I. Dynamical behavior of van der Pol generator with time delayed feedback / M.I. Balakin // Представляем научные достижения миру. Естественные науки: материалы научной конференции молодых ученых «Presenting academic achievements to the World», 3-4 марта 2011 г. Саратов: Изд-во. Сарат. ун-та, 2011. Вып. 2. С. 5-9.

5. Балакин, М.И. Мультистабильность и переходы к хаосу в генераторе ван дер Поля с запаздывающей обратной связью / М.И. Балакин, В.В. Астахов // Математические методы в технике и технологиях - ММТТ-24: сб. тр. XXIV междунар. науч. конф.: в 10 т. Т. 1. Секция 1 / под общ. ред. B.C. Балакирева. Киев: Нац. ун-т Украины «КПИ», 2011. С. 16-20.

6. Кочкуров, Л.А. Эффективный генератор терагерцового излучения / Л.А. Кочкуров, М.И. Балакин, Л.А. Мельников, В.В. Астахов // Участники школы молодых ученых и программы УМНИК: сб. тр. XXVV Междунар.

науч. конф. / под общ. ред. А.А. Большакова. Саратов: Сарат. гос. техн. ун-т, 2012. С. 13-14.

7. Балакин, М.И. Бифуркационный анализ осциллятора Ландау-Стюарта с запаздыванием I М.И. Балакин, В.В. Астахов // Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика, сб. тр. VIII Всерос. конф. молодых ученых. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2013. С. 33.

8. Кочкуров, Л.А. Бифуркационный анализ двух связанных неидентичных осцилляторов Ланга-Кобаяши / Л.А. Кочкуров, М.И. Балакин, Л.А. Мельников, В.В. Астахов // Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика: сб. тр. VIII Всерос. конф. молодых ученых. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2013. С. 130.

9. Астахов, C.B. Эффекты синхронизации и гашения колебаний во взаимодействующих генераторах с инерционной нелинейностью с запаздывающей связью / C.B. Астахов, М.И. Балакин, В.В. Астахов // Хаотические автоколебания и образование структур (ХАОС-2013): материалы X Междунар. школы-конференции. Саратов: ООО «Издательский центр «Наука», 2013. С. 58.

10. Балакин, М.И. Бифуркационные переходы и формирование мультистабильных состояний в осцилляторе ван дер Поля с запаздыванием / М.И. Балакин, В.В. Астахов // Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика: сб. тр. IX Всерос. конф. молодых ученых. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2014. С. 17-18.

Формат 60x84 1/16 Уч.-изд.л. 1,0 Бесплатно

Подписано в печать 13.01.15

Бум. офсет. Усл. печ.л. 1,0

Тираж 100 экз. Заказ 4

Саратовский государственный технический университет

410054, Саратов, Политехническая ул., 77 Отпечатано в Издательстве СГТУ. 410054, Саратов, Политехническая ул., 77 Тел.: 24-95-70; 99-87-39, e-mail: izdat@sstu.rii