автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Моделирование квазипериодической динамики импульсных систем автоматического регулирования

На правах рукописи

СУХОТЕРИН Евгений Александрович

МОДЕЛИРОВАНИЕ КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ

Специальность 05.13.18 — Математическое моделирование,

численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата технических наук

Воронеж - 2004

Работа выполнена в Курском государственном техническом университете'

Научный руководитель доктор технических наук, профессор

Жусубалиев Жаныбай Турсунбаевич

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

Михальченко Геннадий Яковлевич, кандидат технических наук, а,оцент Ткалич Сергей Андреевич

Ведущая организация Саратовский государственный университет

Защита состоится 4 ноября 2004 г. в часов на заседании диссертационного совета Д 212.037.01 Воронежского государственного техзического университета по адресу: 394026, г. Воронеж, Московский просп., 14.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного технического университета.

Автореферат разослан_октября 2004 г.

Учёный секретарь диссертационного совета

Питолин В. М.

zoos- ч

4S44 2

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Импульсные системы автоматического регулирования (САР) представляют собой важный класс нелинейных систем, широко используемых в различных областях промышленности, например, в машиностроении, энергетике, электрическом транспорте, нефтяной и газовой промышленности. Такие системы обычно описываются кусочно-гладкими дифференциальными уравнениями. Другие практические приложения, в которых приходится прибегать к рассмотрению кусочно-гладких динамических моделей, включают системы с сухим трением и виброударные осцилляторы, широкий класс устройств современной силовой электроники, электронные и радиотехнические системы с кусочно-гладкими характеристиками отдельных элементов.

Проблема сложной динамики в кусочно-гладких системах в последние годы привлекла столь значительное внимание исследователей, что сейчас уже можно говорить о формировании самостоятельного направления в нелинейной динамике — «хаос в кусочно-гладких динамических системах».

Большинство нелинейных явлений в кусочно-гладких динамических системах, открытых за эти годы, относятся преимущественно к исследованиям в области силовой электроники, теории управления, механики и аэрокосмической техники. Именно здесь впервые была осознана принципиальная роль С-бифуркаций [border-collision bifurcations) в организации сложного поведения, открыт ряд новых динамических явлений, таких, например, как бифуркации периодических режимов с участками скольжения, мягкое рождение нескольких аттракторов или хаоса из периодического движения через С-бифуркацию. В то же время, ожидаемых результатов в изучении нелинейных процессов в кусочно-гладких системах, связанных с двухчастотными режимами, получить пока не удаётся. Между тем, хорошо известно, что во многих практически важных классах систем, таких, например, как устройства силовой электроники, импульсные системы автоматического регулирования, реализуется переход к хаосу через квазипериодические режимы.

Переход к хаосу через разрушение двумерного тора является одним из классических сценариев хаотизации колебаний в диссипативных системах. В. С. Афраймович и Л. П. Шильников доказали теорему о разрушении двумерного тора с резонансной структурой и указали возможные пути возникновения хаотической динамики [В. С. Афраймович, Л. П. Шильников, 1983]. Общий характер выводов этой теоремы был подтверждён численно и экспериментально для широкого класса дискретных и потоковых систем. Однако, имеющиеся результаты относятся, главным образом, к гладким системам.

В кусочно-гладких системах механизмы разрушения двумерного тора могут принципиально отличаться от установленных Афраймовичем и Шильниковым. Это связано с тем, что в таких системах усложнение колебаний может быть связано как с локальными, гомо- и гетероклини-ческими бифуркациями, так и с С-бифуркациями. До настоящего времени остаётся невыясненным, какие типы бифуркаций ответственны за потерю

гладкости тора и последующее его разрушение в кусочно-гладких системах. ,

В нелинейной динамике эталонные, или базовые, модели играют чрезвычайно важную роль. К настоящему времени пока еще не выделен класс базовых математических моделей, позволяющих детально изучить закономерности, свойства и бифуркационные механизмы перехода к хаосу через разрушение двумерного тора в кусочно-гладких динамических системах.

В связи с этим поиск путей создания базовых моделей многомерных кусочно-гладких динамических систем, демонстрирующих переход к хаосу через разрушение двумерного тора, разработка алгоритмов и комплекса программ численного моделирования и анализа бифуркаций периодических движений на поверхности тора, анализ и выявление закономерностей потери гладкости и разрушения двумерного тора в кусочно-гладких системах являются актуальными задачами.

Диссертационная работа выполнена при реализации НИР, проводившихся в рамках международного сотрудничества Курского государственного технического университета с Центром моделирования, нелинейной динамики и необратимой термодинамики Датского технического университета. Исследование поддержано грантами Минобразования РФ по фундаментальным исследованиям в области естественных и точных наук (грант Е02-2.0-81, 2003-2004 гг.) и научной программы «Университеты России» (грант УР.03.01.004, 2004-2005 гг.), а также частично фондом Датского Совета по естественно-научным исследованиям (The Danish Natural Science Research Council, SNF).

Объект исследований. Преобразователи электрической энергии с релейным и широтно-импульсным регулированием.

Цель и задачи исследования. Разработка алгоритмов и комплекса программ численного моделирования и анализа бифуркаций; периодических движений на двумерном торе, анализ и выявление закономерностей потери гладкости и разрушения двумерного резонансного тора в кусочно-гладких динамических моделях импульсных систем автоматического регулирования.

Для достижения поставленной цели в диссертационной работе решаются следующие задачи:

1. Формирование базовых математических моделей широтно-импульс-ных систем автоматического регулирования с квазипериодической динамикой. (

2. Разработка алгоритмов и комплекса программ численного моделирования и анализа бифуркаций периодических движений на двумерном торе. ;

3. Анализ и выявление закономерностей разрушения резонансного тора в кусочно-гладких моделях систем автоматического регулирования с широтно-импульсной модуляцией (ШИМ). (

4. Исследование закономерностей разрушения резонансного тора в релейной системе с гистерезисом.

Научная новизна работы. В диссертационной работе получены следую-

щие результаты, характеризующиеся научной новизной:

1. Разработана обобщённая математическая модель, описывающая поведение систем автоматического регулирования с двумя различными видами широт?но-импульсной модуляции в форме кусочно-гладкого стробоскопического отображения методом сечения Пуанкаре, позволяющая использовать единый подход при разработке вычислительных алгоритмов моделирования и анализа квазипериодической динамики.

2. Разработаны алгоритмы численного моделирования и анализа бифуркаций на двумерном торе, позволяющие исследовать закономерности перехода к хаосу через разрушение двумерного резонансного тора и включающие: •

2.1. Гибридный алгоритм поиска периодических режимов, основанный на сочетании четырёх подходов:

- численного решения уравнения для неподвижной точки пг-кратного отображения, позволяющего находить устойчивые и неустойчивые циклы заданного периода независимо от типа;

- решения системы трансцендентных уравнений относительно коэффициентов заполнения импульсов, позволяющего находить устойчивые и неустойчивые циклы заданного типа;

- модифицированного метода установления, позволяющего находить устойчивые циклы, когда их существует несколько, различать периодические и апериодические колебания;

- описания траектории периодического движения при помощи символической характеристики и эвристического алгоритма поиска неустойчивых циклов. :

2.2. Алгоритм анализа локальной устойчивости периодических решений, основанный на линеаризации стробоскопического отображения в окрестности периодического движения и численно-аналитическом вычислении оператора монодромии, позволяющего с заданной точностью рассчитывать бифуркационные значения параметров и идентифицировать типы бифуркаций.

2.3. Алгоритм расчёта одномерных неустойчивых многообразий седло-вых движений кусочно-гладких систем, основанный на эвристическом алгоритме расчёта неустойчивых циклов и стандартном алгоритме расчёта неустойчивых многообразий седловых движений.

3. Разработанные алгоритмы бифуркационного анализа позволили впервые для резонансных языков кусочно-гладких динамических систем построить границы разрушения резонансного тора через гомоклиниче-скую бифуркацию и линии потери гладкости тора, связанные с появлением комплексных мультипликаторов резонансного цикла. Установлено, что в кусочно-гладких системах потеря гладкости тора при появлении комплексных мультипликаторов может происходить как непрерывно, так и скачком через С-бифуркацию простого изменения типа решения.

4. Анализ динамики математических моделей широтно-импульсных САР позволил установить следующие закономерности разрушения резонансного тора:

4.1. Выявлены два способа разрушения резонансного тора, связанные с

з

касанием устойчивых и неустойчивых многообразий седл°вых циклов. В первом случае, характерном для области мультистабильности, разрушение тора происходит через гетероклиническую бифуркацию при касании неустойчивого многообразия седлового цикла с устойчивым многообразием другого седлового цикла, не лежащего на торе. Во втором случае тор разрушается через гомоклиническую бифуркацию, когда неустойчивое многообразие седлового движения касается с устойчивым того же седлового цикла. ;

4.2. Установлено, что после разрушения тора устойчивый цикл может и не исчезать. Исчезновение устойчивого цикла происходит Следующим образом: седловой цикл, лежащий на границе бассейнов притяжения апериодического движения и устойчивого цикла, «подтягивается» к устойчивому циклу, сливается с ним и исчезает через С-бифуркацию. Поэтому в каждом клюве имеется область сосуществования устойчивого цикла с режимом апериодических колебаний, ограниченная С-бифуркационной линией и линией гомоклинической бифуркации.

5. Выявлено, что в релейной системе с гистерезисом разрушение резонансного тора происходит в соответствии с двумя сценариями Афраймовича-Шильникова, а именно, в результате бифуркации удвоения периода и через гомоклиническую бифуркацию.

Методы исследования. Полученные в диссертационной работе результаты базируются на использовании методов математического моделирования, теории обыкновенных дифференциальных уравнений, теории нелинейных колебаний, теории устойчивости и бифуркаций, методов вычислительной математики и теории автоматического управления.

Практическая ценность. Разработанные математические модели, методы, вычислительные алгоритмы и установленные в исследованиях закономерности квазипериодической динамики кусочно-гладких динамических систем могут быть использованы для анализа, моделирования; и проектирования широкого класса импульсных систем автоматического регулирования, устройств силовой электроники. \

При непосредственном участии автора разработаны методики, алгоритмы и пакет прикладных программ для исследования бифуркаций и хаотических колебаний в динамике систем автоматического регулирования с широтно-импульсной модуляцией. Разработка внедрена на ОАО «Счёт-маш» (г. Курск) и использована при проектировании импульсных источников электропитания с бестрансформаторным входом. ]

Научно-методические результаты, полученные в диссертационной работе, внедрены в учебный процесс и используются в Курском государственном техническом университете при изучении дисциплин i Моделирование», «Основы теории управления», «Математические методы расчёта электронных схем». ]

Апробация результатов. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и получили положительные!оценки на: Международной молодежной научной конференции «XXV Гагаринские чтения» (Москва, 1999); молодежной научно-технической конференции технических вузов Центральной России (Брянск, 2000, первое место в

конкурсе научных работ); 9-й Международной студенческой олимпиаде по автоматическому управлению (Санкт-Петербург, 2002); 11-й Международной конференции «Нелинейная динамика электронных систем» ("Nonlinear Dynamics of Electronic Systems 2003", NDES 2003, Шульс (Scuol/Schuls), Швейцария, 2003); Международной конференции «Физика и управление» ("Physics and control", PhysCon'03, Санкт-Петербург, 2003); 6-й Международной конференции «Распознавание» (Курск, 2003); 6-й Международной научно-технической конференции «Вибрация-2003» (Курск, 2003); научных семинарах кафедры вычислительной техники Курского государственного технического университета (1999-2004).

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Семейство базовых математических моделей широтно-импульсных систем автоматического регулирования с квазипериодической динамикой, алгоритмы численного моделирования и анализа бифуркаций на двумерном торе в кусочно-гладких динамических системах.

2. Закономерности потери гладкости и разрушения двумерного резонансного тора в кусочно-гладких математических моделях систем автоматического регулирования с широтно-импульсной модуляцией, связанные с С-бифуркациями, гомо- и гетероклиническими бифуркациями.

3. Закономерности разрушения двумерного тора с резонансной структурой в кусочно-гладкой автономной модели релейной системы с гистерезисом через бифуркацию удвоения периода и гомоклиническую бифуркацию.

Публикации. Основное содержание диссертационной работы отражено в 11 печатных работах. В работах, выполненных в соавторстве, соискателю принадлежат: в [1, 2] — результаты расчёта и анализа одной из картин ветвления для релейной системы с гистерезисом; в [3] — бифуркационный анализ резонансного языка с числом вращения 1:6; в [4, 8] — математическая модель, комплекс программ, алгоритмы бифуркационного анализа и результаты исследования сценария перехода к хаосу через квазипериодичность для системы автоматического регулирования с симметричной ШИМ-1; в [9, 10] — математическая модель, расчёт карт резонансных языков и анализ их расположения в плоскости параметров; в [5, 11] — анализ бифуркации рождения двумерного тора в релейной системе с гистерезисом.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырёх глав, заключения, списка литературы, включающего 149 наименований и приложения, изложена на 141 странице, содержит 46 рисунков и 1 таблицу.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы цель и задачи исследований, научная новизна и практическая ценность, указаны результаты реализации работы.

Первая глава — обзорная и посвящена анализу состояния проблемы перехода к хаосу через разрушение двумерного тора в кусочно-гладких динамических системах.

Возникновение хаотических колебаний через разрушение двумерного тора, на котором число вращения рационально, — широко распространённое явление. Прежде, чем разрушиться, тор обычно теряет гладкость. В настоящее время известны три основных пути к разрушению тора, установленные В. С. Афраймовичем и Л. П. Шильниковым [В. С. Афраймо-вич, Л. П. Шильников, 1983]. Во всех случаях изначально тор является гладким и на нём устойчивый цикл сосуществует с седловым циклом того же периода. Сам тор является объединением неустойчивых многообразий седловых циклов и устойчивых циклов.

Первый путь связан с потерей устойчивости периодического движения на торе в результате бифуркации удвоения периода либо бифуркации Андронова-Хопфа. Во втором случае тор разрушается при выходе из зоны резонанса через линию седло-узловой бифуркации. Наконец, третий путь связан с гомоклиническим касанием неустойчивого и устойчивого многообразий седлового цикла.

В кус очно-гладких системах сценарии перехода к хаосу через разрушение резонансного тора могут принципиально отличаться от установленных Афраймовичем и Шильниковым. Это связано с тем, что в таких системах усложнение колебаний может быть вызвано как локальными или гомоклиническими бифуркациями, так и С-бифуркациями. Исследования последних пяти-шести лет показывают, что С-бифуркации охватывают чрезвычайно большое многообразие динамических явлений и переходов к хаосу, так что пока даже не ставится задача их классификации, аналогичной той, что сложилась для сценариев хаотизации колебаний в гладких системах.

Анализ состояния проблемы по теме диссертации показывает, что, несмотря на интенсивное развитие исследований сложной динамики и хаоса в кусочно-гладких динамических системах в последнее десятилетие, проблема разрушения двумерного тора в таких системах остаётся пока не изученной. Между тем, хорошо известно, что во многих практически важных приложениях, например, в моделях макро- и микроэкономики, механических систем, релейных и импульсных систем автоматического регулирования, устройств современной силовой электроники, реализуется переход к хаосу через разрушение двумерного резонансного тора.

Поэтому разработка алгоритмов и комплекса программ численного анализа бифуркаций периодических движений на двумерном торе, анализ и выявление закономерностей потери гладкости и разрушения двумерного резонансного тора в кусочно-гладких динамических системах являются актуальными задачами.

Основной задачей бифуркационного анализа является установление общих закономерностей поведения динамической системы путём исследования некоторой базовой модели. Обычно эти закономерности проявляются и в поведении более широкого класса динамических систем. В связи с этим, поиск путей формирования базовых моделей представляется существенным элементом исследований.

Вторая глава посвящена формированию базовых математических мо-

делей широтно-импульсных систем автоматического регулирования с квазипериодической динамикой и разработке алгоритмов численного анализа бифуркаций на двумерном торе.

Конкретным примером такой системы является полупроводниковый преобразователь постоянного напряжения с широтно-импульсной модуляцией первого рода (ШИМ-1), математическая модель которого представляется в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений:

Здесь А — постоянная матрица 3x3, X = (х),Х2|Хз)Т — вектор состояния; В(Кф) — кусочно-постоянный вектор; Кф — сигнал на выходе пшротно-импульсного модулятора; £,(1,X) = г|>(Х(13)) — ипнМ, ** — момент выборки сигнала обратной связи г[)(Х) = а(х(Цт — ¡Зхг) + (1 — х)хз) для формирования управляющих импульсов К*; а, х ~ коэффициенты передачи и усиления корректирующего звена; 11у — задающий сигнал; 6 — коэффициент передачи датчика напряжения в цепи обратной связи; ИпнМ ^ внешнее периодическое воздействие с периодом а.

В работе рассматриваются две разновидности широтно-импульсной модуляции первого рода, отличающиеся выбором момента В первом случае, названном в работе симметричной ШИМ-1, управляющий сигнал Кф формируется исходя из значения -ф (X) только в начале тактового интервала: означает выделение целой части аргумента. При этом осуществляется модуляция переднего фронта,'а задний фронт симметричен переднему относительно середины тактового интервала.

Во втором случае, при двусторонней ШИМ-1, осуществляется модуляция обоих фронтов. Для этого выборка сигнала ар(Х) производится через половину периода квантования:

Исследование динамической системы (0 было сведено к изучению свойств кусочно-гладкого стробоскопического отображения

уъ. = еаЛ' Нк_,) -1) + - еаЛ'< +1, к = 1,2,...; 1 = 1,3. (г)

Здесь динамические переменные \¥ = (ш,\¥2,\¥3) связаны с компонентами вектора X линейным преобразованием; Л], Аг, Аз — собственные числа матрицы А; ъ^ и - коэффициенты заполнения импульса, определяемые по алгоритму

— = АХ + В^Х); В(1,Х) =В(КФ); Кф =

1+ар1(Щ,Х)) 2

(О

О, ср(ЖО)<0;

г*(И0, (ср(^0)>0)А(<р(Ш,1/2)<0);

1/2, <р(\У,1/2)>0;

(3)

где уь Ч, —• параметры, — корень уравнения г) = 0.

В (з) 'Н'1'(к_1) = е0^2^^-!) _ 1) + еоМ1/2-гк) ддд системы с двусторонней ШИМ-1 и = для системы с симметричной ШИМ-1.

Итерация отображения (2) осуществляется в два шага: сначала по ДМ^ вычисляется и в соответствии с (з). Затем получен а^ыгег^ о д -ставляются в (2) для расчёта 'к.

В силу своей простоты (с точки зрения численной реализации), математическая модель (г), (з) допускает детальный численно-аналитический бифуркационный анализ. Это позволило не только подробно исследовать структуру резонансных языков и бифуркации на торе, но и выявить основные закономерности потери гладкости двумерного тора в кусочно-гладких системах.

Период Т периодического решения динамической системы (1) является

кратным периоду внешнего воздействия: Т = та, т = 1,2,_Движение

с таким периодом будем называть га-циклом.

В кусочно-гладких системах возможно существование нескольких периодических движений различных типов. Число и типы устойчивых и неустойчивых движений, существующих при выбранных параметрах, как правило, априорно неизвестны. Это создаёт значительные трудности в исследованиях. Указанное противоречие удалось преодолеть с помощью сочетания трёх алгоритмов.

Первый алгоритм предназначен для поиска цикла заданного периода независимо от типа; тип определяется после того, как цикл найден.

Идея алгоритма основана на том, что та-цикп можно рассматривать как неподвижную точку отображения У/ = Р'т'(\У), = р о И о •■•оР/

^ V

т раз

Тогда решение задачи сводится к определению корней уравнения

Второй алгоритм ориентирован на поиск цикла заданного типа и периода.

Согласно этому алгоритму задача поиска периодического решения системы (д) сводится к решению системы трансцендентных уравнений относительно коэффициентов заполнения гу, к = 1,ш [В. С. Баушев, Ж. Т. Жусубалиев, 1992]:

Здесь выражения для (р^ и <р£ были получены аналитически с использованием (г), (з).

Для описания типа тп-цикпа в работе используется циклически эквивалентная последовательность символов Б = определяемая коэффициентами заполнения к = 1,гп: вк = «0», «1» или «*», если гу = 0,

Zk = 1/2 и 0 < Zk < 1/2 соответственно. Уравнения (4) и (5) решались численно методом Ньютона. Описанные алгоритмы позволяют находить как устойчивые, так и неустойчивые циклы.

Третий алгоритм базируется на модифицированном методе установления и позволяет определять устойчивые циклы, когда их существует множество, классифицировать их типы, различать периодические и апериодические колебания [Ж. Т. Жусубалиев, В. Н. Рудаков, 1998; Ж. Т. Жусубалиев, 2002].

Анализ бифуркаций на торе требует решения двух взаимосвязанных задач. Первая — это поиск циклов и анализ их локальной устойчивости. Основная проблемная ситуация заключается в необходимости найти все пары циклов, половина из которых — устойчивые, а половина — неустойчивые.

Для решения этой задачи в диссертации предложен следующий гибридный алгоритм. Вначале находятся устойчивые циклы при помощи сочетания трёх вышеописанных алгоритмов. Затем для каждого найденного цикла строится совокупность всех возможных символических характеристик, отличающихся от характеристики этого цикла не более, чем на заданное количество символов. Для каждой такой характеристики S формируется последовательность zy, к = 1, т, значения которых определяются следующим образом: zу. = 0, если s^ = «0»; z\ — 1/2, если sic = «1»; zk = С, 0 < С < 1/2, если s^ = «*». Эта последовательность используется в качестве начальных условий при решении системы уравнений (5) методом Ньютона. Если для заданных начальных условий метод Ньютона сходится и выполняются условия существования т>е-

шения (pk(zi,...,z'm) > OVk : zic = 0,5, ф^п,...,^) < OVk : zt = 0; <t>Hz),...,z'J > OVk: 4 = 0,5, <p[(zi,...,z'm) < OVk : z£ = 0, то проверяется, является ли полученное решение неустойчивым или устойчивым.

Локальная устойчивость т-цикла определяется собственными числами основной матрицы F(T) (мультипликаторами pi, р2, Рз)) которая рассчитывалась по рекуррентной формуле

dWk -

dWic_i

Вторая задача — расчёт неустойчивых многообразий седлового цикла. В диссертации использовался стандартный алгоритм расчёта одномерных неустойчивых многообразий [Т. S. Parker, L. О. Chua, 1987,1989; В. С. Анищенко, 1990], идея которого заключается в следующем. Пусть W* — точка тп-цикла. Например, для системы с симметричной ШИМ-1 W* может быть получена как

где zj, ..., zm — решение системы (5). Пусть один из мультипликаторов цикла, например pj, лежит вне единичного крута, а остальные —

внутри. Тогда мультипликатору р1 соответствует одномерное неустойчивое многообразие, которое можно построить следующим образом. Сначала вычисляется собственный вектор основной матрицы, соответствующий мультипликатору р^ Затем в направлении этого вектора из точки "" откладывается отрезок очень малой длины. На полученном отрезке задаются N эквидистантных точек, каждая из которых поочерёдно выбирается в качестве начальных условий. Наконец, с выбранных начальных условий производится большое число итераций отображения (г).

Таким образом, алгоритм анализа бифуркаций на двумерном торе включает следующие шаги:

1. Поиск периодических решений.

2. Анализ локальной устойчивости периодических решений.

3. Построение неустойчивых многоообразий седлового цикла.

Реализация алгоритмов бифуркационного анализа квазипериодической

динамики многомерных кусочно-гладких динамических систем не может быть выполнена средствами стандартных пакетов математического моделирования и численного анализа, вследствие чего возникла необходимость разработки специализированного комплекса программ. Разработанные программы являются частью специализированного пакета программного обеспечения, созданного научной группой под руководством проф. Ж. Т. Жусубалиева и предназначенного для анализа сложной динамики и хаоса в кусочно-гладких динамических системах. Структура пакета показана на рис. 1. Модули, разработанные автором для модели (1), выделены на схеме двойной рамкой. Для релейной системы с гистерезисом,

рассматриваемой в четвёртой главе, математическая модель и программы бифуркационного анализа были разработаны ранее Ж. Т. Жусубалиевым и др. [Ж. Т. Жусубалиев, 1997; Ж. Т. Жусубалиев, В. Н. Рудаков, 1998, Ж. Т. Жусубалиев, 2002].

Комплекс программ позволяет:

1. Рассчитывать бифуркационные диаграммы вдоль заданной траектории деформации в пространстве параметров.

2. Строить двупараметрические карты динамических режимов для выбранного двумерного сечения в пространстве параметров.

3. Проводить анализ локальных, гомоклинических, гетероклинических и С-бифуркаций, в том числе на двумерном торе.

4. Рассчитывать фазовые портреты, области притяжения аттракторов двумерных отображений, спектры Фурье и временные зависимости динамических переменных.

Третья глава посвящена исследованию закономерностей потери гладкости и разрушения двумерного резонансного тора в кусочно-гладких динамических моделях (2), (з), описывающих поведение систем автоматического регулирования с пшротно-импульсной модуляцией.

Карты динамических режимов для систем с симметричной и двусторонней ШИМ-1 имеют одинаковую общую структуру. На рис. 2 приведена карта динамических режимов для системы с симметричной ШИМ-1 в плоскости управляющих параметров (а,х)-

Через П),) на рис. 2 обозначена область существования устойчивого цикла периода 1. Сверху эта область ограничена кривой бифуркации Андронова-Хопфа Установлено, что эта бифуркация является субкритической для системы с симметричной ШИМ-1 и суперкритической — для системы с двусторонней ШИМ-1.

Выше области располагаются области резонанса на двумерном торе. На рис. 2 через Н 5,1-Н о] обозначены резонансные языки относительно большой площади с числами вращения 1:5-1:13 соответственно. Установлено, что, как и в гладких системах, глобальная структура расположения областей резонанса в плоскости параметров определяется правилом Фэй-ри [Б.-Ь. Нао, 1989; В. С. Анищенко, 1990].

Резонансные языки можно условно разделить на две группы в зависимости от типа внутренней структуры и бифуркаций в пределах языка. К первой группе будем относить резонансные языки, в пределах которых переходы от одних динамических режимов к другим происходят мягко. Ко

второй группе относятся языки, содержащие области мультистабильно-сти. Для системы с симметричной ШИМ-1 число сосуществующих циклов в областях мультистабильности равно двум, а для системы с двусторонней ШИМ-1 может достигать четырёх.

На рис. 3 показана типичная структура резонансного языка, принадлежащего ко второй группе. В работе [3] нами до некоторой степени подробности была изучена структура резонансных языков и бифуркации на двумерном торе в рамках локальной теории устойчивости. К настоящему времени нам удалось существенно развить эти результаты. Основной результат этих исследований состоит в следующем.

1. Впервые построены границы разрушения резонансного тора через гомоклиническую бифуркацию (линии ^^ на рис. 3) и линии потери гладкости тора, связанные с появлением комплексных мультипликаторов резонансного цикла. Исследования показали, что потеря гладкости тора при появлении комплексных мультипликаторов может происходить как непрерывно (на линиях сцЬь г = 1,4), так и скачком через С-бифуркацию простого изменения типа решения (на линиях Ъ^, i = 3,4). На рис. 3 в заштрихованных областях устойчивый цикл имеет пару комплексно-сопряжённых мультипликаторов, в незаштрихованных — только вещественные.

2. Выявлены два способа разрушения резонансного тора, связанные с касанием устойчивых и неустойчивых многообразий седловых циклов. В первом случае разрушение тора происходит через гетероклиническую бифуркацию при выходе из области мультистабильности (рис. 4, 5). Такие области обозначены на рис. 3 римскими цифрами I—VI Во втором случае тор разрушается через гомоклиническую бифуркацию на линии М^.

2.1. На рис. 5 показаны фрагменты фазовых портретов отображения Пуанкаре, иллюстрирующие основные этапы разрушения тора через ге-тероклиническую бифуркацию при изменении параметров вдоль сечения, обозначенного на рис. 3 через А. В исходной точке существует резонанс-

ный тор, на котором лежат устойчивые &12 и седловые 5с1|, sd2 циклы (см. рис. 4). При изменении параметров на неустойчивом многооб-лЬ/

разии М^сУ седлового цикла бс)2 вблизи точек устойчивого цикла образуются складки (см. рис. 5,а) Затем эта складчатая структура касается устойчивого многообразия другого седлового цикла 5с1) (см. рис. 5,6), что приводит к разрушению резонансного тора (см. рис. 5,в). После разрушения тора устойчивый цикл 51; продолжает существовать вплоть до границы области мультистабильности, на которой седловой цикл Бс),, лежащий на границе бассейнов притяжения устойчивых циклов 51) и 512, «подтягивается» к устойчивому циклу сливается с ним и исчезает через С-бифуркацию. '

2.2. Разрушение тора через гомоклиническую бифуркацию на линии Ыьс! происходит по такому же сценарию, за исключением того, что на торе лежит одна пара циклов.' После разрушения тора устойчивый цикл сосуществует с апериодическим режимом. Область сосуществования устойчивого цикла с режимом апериодических колебаний ограничена линией и С-бифуркационной линией, где устойчивый цикл сливается с седловым и исчезает. На рис. 3 —! это области С(, Т. = 0,3.

Четвёртая глава посвящена исследованию закономерностей хаотизации колебаний через разрушение двумерного тора в релейной системе с гистерезисом, 1

В качестве базовой модели рассматривается система кусочно-гладких автономных дифференциальных уравнений, описывающая поведение преобразователя электрической энергии с релейным регулированием:

— =П(-х, -х2 + П);

СП

ахз сН

ц(1+Кфк)

хг - ухь - цх4;

¿х2 , 1 + Кфк

¿Х4 _ ^ /Хз _ Х4

сН ~ \а

хз);

(6)

Здесь г), О, у, ц, у, к, (3, Л — параметры; Кф к — выходной сигнал релейного элемента в интервале ^ < I < ^н, где ^ к = 1,2... — моменты переключения релейного элемента: \

Кфк = Кфк_1аеп{хо + НГк Ч(Х)}, Кф0 = -1,

'13

Входной сигнал релейного элемента (сигнал ошибки) £,(Х) = 0Х( — Uy. Здесь Uy — задающее воздействие; • +Хо и —Хо — пороговые значения релейного элемента; с — коэффициент передачи датчика обратной связи по выходному напряжению. В (б) динамические переменные и варьируемые параметры П и ß нормированы. ,

Число переключений релейного элемента за период периодического

движения четно и равно 2т, т. = 1,2,_Движение с таким периодом

будем называть m-циклом динамической системы (6).

На рис. 6 показана карта динамических режимов системы (б) в области пространства параметров {(Q,ß) : 95 ^ il ^ 170; 20 ^ ß ^ 35}. Установлено, что в этой области расположено несколько бифуркационных границ, на которых через суперкритическую бифуркацию Андронова-Хопфа возникает квазипериодический режим. Такие границы на рис. 6 обозначены как N¡,1"', пг = 1, 2, 5, где m — период цикла, претерпевающего бифуркацию Траектория квазипериодических режимов, рождающихся на этих границах, лежит на поверхности одно-, двух- и пятиоборотного тора соответственно. |

На рис. 6,а через П7.1, ГТ9.1 И П12.1 'обозначены резонансные языки с числами вращения 3-7, 4:9 и 5:12 соответственно. Выявлено, что резонансные языки имеют классическую структуру языков Арнольда. На рис. 6,6 показана структура резонансного языка на примере ГТ7.1- Здесь N, — линии седло-узловой бифуркации; N — линия удвоения периода. Установлено, что разрушение резонансного тора происходит в результате следующих бифуркаций: ,

1. Гомоклинической бифуркации на границе Nhcl при изменении параметров вдоль направлений, показанных на рис. 6,6 сплошными стрелками. Процесс разрушения тора для этого случая проиллюстрирован на

рис. 7,а,б. Разрушение тора при гомоклинической бифуркации происходит аналогично тому, как это описано в третьей главе для неавтономной системы (i). Отличие заключается в том, что устойчивый и неустойчивый циклы исчезают не через С-бифуркацию, а через седло-узловую бифуркацию. На рис. 6,6 штриховкой обозначены области сосуществования устойчивого цикла и апериодического режима

2. Бифуркации удвоения периода на границе N_ при изменении параметров ВДОЛЬ направлений, показанных на рис. 6,6 пунктирными стрел-" ками. При движении к границе удвоения периода резонансный ЩКЛ сначала становится из узла устойчивым фокусом. После этого резонансный тор уже не является гладким, поскольку неустойчивые многообразия сед-лового цикла накручиваются на точки устойчивого цикла. На рис. 7,в показан фазовый портрет после удвоения периода, когда резонансного тора уже не существует. Здесь st — цикл удвоенного пергода, sd~, sd+ — седловые циклы с отрицательным и положительным максимальным по модулю мультипликатором соответственно; М± — неустойчивые полумногообразия соответствующих седловых циклов.

Разработанные математические модели систем автоматического регулирования с широтно-импульсной модуляцией и алгоритмы моделирования и бифуркационного анализа положены в оснопу специализированного пакета прикладных программ, реализованного на языке Borland Pascal.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Разработана обобщённая математическая модель, описывающая поведение систем автоматического регулирования с двумя различными видами широтно-импульсной модуляции в форме кусочно-гладкого стробоскопического отображения методом сечения Пуанкаре, позволяющая использовать единый подход при разработке вычислительных алгоритмов моделирования и анализа квазипериодической динамики.

2. Разработаны алгоритмы численного моделирования и анализа бифуркаций на двумерном торе, позволяющие исследовать закономерности перехода к хаосу через разрушение двумерного резонансного тора и включающие:

2.1. Гибридный алгоритм поиска периодических режимов, основанный на сочетании четырёх подходов:

- численного решения уравнения для неподвижной точки т-кратного отображения, позволяющего находить устойчивые и неустойчивые циклы заданного периода независимо от типа;

- решения системы трансцендентных уравнений относительно коэффициентов заполнения импульсов, позволяющего находить устойчивые и неустойчивые циклы заданного типа;

- модифицированного метода установления, позволяющего находить устойчивые циклы, когда их существует несколько, различать периодические и апериодические колебания;

- описания траектории периодического движения при помощи символической характеристики и эвристического алгоритма поиска неустойчивых циклов.

2.2. Алгоритм анализа локальной устойчивости периодических решений, основанный на линеаризации стробоскопического отображения в окрестности периодического движения и численно-аналитическом вычислении оператора монодромии, позволяющего с заданной точностью рассчитывать бифуркационные значения параметров и идентифицировать типы бифуркаций.

2.3. Алгоритм расчёта одномерных неустойчивых многообразий седло-вых движений кусочно-гладких систем, основанный на эвристическом алгоритме расчёта неустойчивых циклов и стандартном алгоритме расчёта неустойчивых многообразий седловых движений.

Разработанные алгоритмы численного моделирования и анализа бифуркаций на двумерном торе реализованы в виде комплекса программ на языке Borland Pascal.

3. Разработанные алгоритмы бифуркационного анализа позволили впервые для резонансных языков кусочно-гладких динамических систем построить границы разрушения резонансного тора через гомоклиниче-скую бифуркацию и линии потери гладкости тора, связанные с появлением комплексных мультипликаторов резонансного цикла. Установлено, что в кусочно-гладких системах потеря гладкости тора при появлении комплексных мультипликаторов может происходить как непрерывно, так и скачком через С-бифуркацию простого изменения типа решения.

4. Анализ динамики математических моделей широтно-импульсных САР позволил установить следующие закономерности разрушения резонансного тора:

4.1. Выявлены два способа разрушения резонансного тора, связанные с касанием устойчивых и неустойчивых многообразий седловых циклов. В первом случае, характерном для области мультистабильности, разрушение тора происходит через гетероклиническую бифуркацию при касании неустойчивого многообразия седлового цикла с устойчивым многообразием другого седлового цикла, не лежащего на торе. Во втором случае тор разрушается через гомоклиническую бифуркацию, когда неустойчивое многообразие седлового движения касается с устойчивым того же седл°в°го цикла.

4.2. Установлено, что после разрушения тора устойчивый цикл может и не исчезать. Исчезновение устойчивого цикла происходит следующим образом: седловой цикл, лежащий на границе бассейнов притяжения апериодического движения и устойчивого цикла, «подтягивается» к устойчивому циклу, сливается с ним и исчезает через С-бифуркацию. Поэтому в каждом клюве имеется область сосуществования устойчивого цикла с режимом апериодических колебаний, ограниченная С-бифуркационной линией и линией гомоклинической бифуркации.

5. Выявлено, что в релейной системе с гистерезисом разрушение резонансного тора происходит в соответствии с двумя сценариями Афраймовича-Шильникова, а именно, в результате бифуркации удвоения периода и через гомоклиническую бифуркацию.

6. При непосредственном участии автора разработаны методики, алгоритмы и специализированный пакет прикладных программ для исследования бифуркаций и хаотических колебаний в динамике систем автоматического регулирования с широтно-импульсной модуляцией. Разработка использована при проектировании импульсных источников электропитания с бестрансформаторным входом.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ В СЛЕДУЮЩИХ РАБОТАХ:

1. Жусубалиев Ж. Т., Сухотерин Е. А. Хаотические колебания в динамике релейной системы с гистерезисом // Информационные технологии моделирования и управления: Межвуз. сб. науч. тр.— Воронеж: ВГТУ, 1999.- С. 75-82.

2. Bifurcations and chaotic oscillations in an automatic control relay system with hysteresis / Zh. T. Zhusubaliyev, E. A. Soukhoterin, V. N. Rudakov, Yu. V. Kolokolcv, E. Mosekilde // Int. J. Bifurcation Chaos. - 2001. - Vol. 11, no. 5.-Pp. 1193-1231.

3. Zhusubaliyev Zh. Т., Soukhoterin E. A., Mosekilde E. Border-collision bifurcations on a two-dimensional torus // Chaos, Solitons and Fractals. —

2002.- Vol. 13, no. 9. - Pp. 1889-1915.

4. Zhusubaliyev Zh. Т., Soukhoterin E. A., Mosekilde E. Quasi-periodicity and border-collision bifurcations in a DC/DC converter with pulsewidth modulation // IEEE Trans. Circuits and Systems I: Fund. Theory and Appl. —

2003.- Vol. 50, no. 8.- Pp. 1047-1057.

5. Жусубалиев Ж. Т., Сухотерин Е. А. Квазипериодические колебания в релейной системе с гистерезисом // Системы управления и информационные технологии. — 2004. — № 1. — С. 15-20.

6. Сухотерин Е. А. Динамяка стабилизированных преобразователей с релейным регулированием в системах электроснабжения космических аппаратов // XXV Гагаринские чтения: Материалы Междунар. молодёжной науч. конф.— М.: 1999.— С. 877. ' ,.

7. Сухотерин Е. А. Бифуркационный анализ математической модели релейной системы с гистерезисом // Материалы молодёжной науч.-техн. конф. техн. вузов Центр. России.— Брянск: 2000.— С. 47-49.

№18724

8. Иванова Е. Н., Сухотерин Е. А. Развитие сложного поведения в кусочно-гладких системах управления (Development of complex behaviour in piecewise-smooth control systems) // Труды 9-й Междунар. студ. олимпиады по автом. управлению (Baltic Olympiad). — СПб.: 2002.— С. 69-73.

9. Zhusubaliyev Zh. Т., Soukhoterin E. A., Mosekilde E. Chaos in piecewise-smooth dynamical systems // Nonlinear Dynamics of Electronic Systems 2003 (NDES 2003): Proc. of 11th int. conf. — Scuol/Schuls, Switzerland: 2003. — Pp. 299-302.

10. Жусубалиев Ж. Т., Сухотерин Е. А., Мосекильде Э. Сложность и хаос в кусочно-гладких динамических системах (Complexity and chaos in piecewise-smooth dynamical systems) // Физика и управление 2003 (PhysCon'03): Труды Междунар. конф.- СПб.: 2003.- С. 1159-1164.

11. Жусубалиев Ж. Т., Сухотерин Е. А. Квазипериодические колебания в кусочно-гладкой динамической модели релейной системы с гистерезисом // Вибрационные машины и технологии: сб. науч. тр. по мат. VI Междунар. НТК «Вибрация-2003». — Курск: 2003. — С. 157-158.

ИД X* 06430 от 10.12.01.

Подписано в печать 30.09.04. Формат 60x84 1/16. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ №

Курский государственный технический университет. Издательско-полиграфический центр Курского государственного технического университета. 305040, Курск, ул. 50 лет Октября, 94.

V

Введение

1 Переход к хаосу через разрушение двумерного тора в кусочно-гладких динамических системах

1.1 Переход к хаосу через разрушение двумерного тора

1.2 Особенности сложной динамики кусочно-гладких динамических систем.

Актуальность теш*. Импульсные системы автоматического регулирования (САР) представляют собой важный класс нелинейных систем, широко используемых в различных областях промышленности, например, в машиностроении, энергетике, электрическом транспорте, нефтяной и газовой промышленности. Такие системы обычно описываются кусочно-гладкими дифференциальными уравнениями. Другие практические приложения, в которых приходится прибегать к рассмотрению кусочно-гладких динамических моделей, включают системы с сухим трением и виброударные осцилляторы, широкий класс устройств современной силовой электроники, электронные и радиотехнические системы с кусочно-гладкими характеристиками отдельных элементов.

Проблема сложной динамики в кусочно-гладких системах в последние годы привлекла столь значительное внимание исследователей, что сейчас уже можно говорить о формировании самостоятельного направления в нелинейной динамике — «хаос в кусочно-гладких динамических системах».

Большинство нелинейных явлений в кусочно-гладких динамических системах, открытых за эти годы, относятся преимущественно к исследованиям в области силовой электроники, теории управления (см., например, [1-6]), механики и аэрокосмической техники. Именно здесь впервые была осознана принципиальная роль С-бифуркаций (border-collision bifurcations) [7-10] в организации сложного поведения, открыт ряд новых динамических явлений, таких, например, как бифуркации периодических режимов с участками скольжения (sliding bifurcations, multisliding bifurcations, chattering) [11-14], мягкое рождение нескольких аттракторов или хаоса из периодического движения через С-бифуркацию (multiple-choice bifurcations) [15-17]. В то же время, ожидаемых результатов в изучении нелинейных процессов в кусочно-гладких системах, связанных с двухчастотными режимами, получить пока не удаётся. Между тем, хорошо известно, что во многих практически важных классах систем, таких, например, как устройства силовой электроники, импульсные системы автоматического регулирования, описываемые кусочно-гладкими дифференциальными уравнениями или кусочно-гладкими отображениями, реализуется квазипериодический сценарий развития сложной динамики.

Переход к хаосу через разрушение двумерного тора является одним из классических сценариев хаотизации колебаний в диссипативных системах [18-21]. В. С. Афраймович и Л. П. Шильников доказали теорему о разрушении двумерного тора с резонансной структурой и указали возможные пути возникновения хаотической динамики [22]. Общий характер выводов этой теоремы был подтверждён численно и экспериментально для широкого класса дискретных и потоковых систем [23-28]. Однако, имеющиеся результаты относятся, главным образом, к гладким системам.

В кусочно-гладких системах механизмы разрушения двумерного тора могут принципиально отличаться от установленных Афраймо-вичем и Шильниковым [5, 29-32]. Это связано с тем, что в таких системах усложнение колебаний может быть связано как с локальными, гомо- и гетероклиническими бифуркациями, так и с С-бифуркациями. До настоящего времени остаётся невыясненным, какие типы бифуркаций ответственны за потерю гладкости тора и последующее его разрушение в кусочно-гладких системах.

В нелинейной динамике эталонные, или базовые модели играют чрезвычайно важную роль. К настоящему времени пока ещё не выделен класс базовых математических моделей, позволяющих детально изучить основные закономерности, свойства и бифуркационные механизмы перехода к хаосу через разрушение двумерного тора в кусочно-гладких динамических системах.

В связи с этим поиск путей создания базовых моделей многомерных кусочно-гладких динамических систем, демонстрирующих переход к хаосу через разрушение двумерного тора, разработка алгоритмов и комплекса программ численного анализа бифуркаций периодических движений на поверхности тора, анализ и выявление закономерностей потери гладкости и разрушения двумерного тора в кусочно-гладких системах являются актуальными задачами.

Диссертационная работа выполнена при реализации НИР, проводившихся в рамках международного сотрудничества Курского государственного технического университета с Центром моделирования, нелинейной динамики и необратимой термодинамики Датского технического университета. Исследование поддержано грантами Министерства образования Российской Федерации по фундаментальным исследованиям в области естественных и точных наук (грант Б02-2.0-81, 2003-2004 гг.) и научной программы «Университеты России» (грант УР.03.01.004, 2004-2005 гг.), а также частично фондом Датского Совета по естественнонаучным исследованиям (The Danish Natural Science Research Council, SNF).

Объект исследований. Преобразователи электрической энергии с релейным и широтно-импульсным регулированием.

Цель и задачи исследования. Разработка алгоритмов и комплекса программ численного моделирования и анализа бифуркаций периодических движений на двумерном торе, анализ и выявление закономерностей потери гладкости и разрушения двумерного резонансного тора в кусочно-гладких динамических моделях импульсных систем автоматического регулирования.

Для достижения поставленной цели в диссертационной работе решаются следующие задачи:

1. Формирование базовых математических моделей широтно-импульсных систем автоматического регулирования с квазипериодической динамикой.

2. Разработка алгоритмов и комплекса программ численного моделирования и анализа бифуркаций периодических движений на двумерном торе.

3. Анализ и выявление закономерностей разрушения резонансного тора в кусочно-гладких моделях систем автоматического регулирования с широтно-импульсной модуляцией (ШИМ).

4. Исследование закономерностей разрушения резонансного тора в релейной системе с гистерезисом.

Научная новизна работы. В диссертационной работе получены следующие результаты, характеризующиеся научной новизной:

1. Разработана обобщённая математическая модель, описывающая поведение систем автоматического регулирования с двумя различными видами широтно-импульсной модуляции в форме кусочно-гладкого стробоскопического отображения методом сечения Пуанкаре, позволяющая использовать единый подход при разработке вычислительных алгоритмов моделирования и анализа квазипериодической динамики.

2. Разработаны алгоритмы численного моделирования и анализа бифуркаций на двумерном торе, позволяющие исследовать закономерности перехода к хаосу через разрушение двумерного резонансного тора и включающие:

2.1 Гибридный алгоритм поиска периодических режимов, основанный на сочетании четырёх подходов:

• численного решения уравнения для неподвижной точки т-кратного отображения, позволяющего находить устойчивые и неустойчивые циклы заданного периода независимо от типа;

• решения системы трансцендентных уравнений относительно коэффициентов заполнения импульсов, позволяющего находить устойчивые и неустойчивые циклы заданного типа;

• модифицированного метода установления, позволяющего находить устойчивые циклы, когда их существует несколько, различать периодические и апериодические колебания;

• описания траектории периодического движения при помощи символической характеристики и эвристического алгоритма поиска неустойчивых циклов.

2.2 Алгоритм анализа локальной устойчивости периодических решений, основанный на линеаризации стробоскопического отображения в окрестности периодического движения и численно-аналитическом вычислении оператора монодромии, позволяющего с заданной точностью рассчитывать бифуркационные значения параметров и идентифицировать типы бифуркаций.

2.3 Алгоритм расчёта одномерных неустойчивых многообразий седловых движений кусочно-гладких систем, основанный на эвристическом алгоритме расчёта неустойчивых циклов и стандартном алгоритме расчёта неустойчивых многообразий седловых движений.

3. Разработанные алгоритмы бифуркационного анализа позволили впервые для резонансных языков кусочно-гладких динамических систем построить границы разрушения резонансного тора через гомоклиническую бифуркацию и линии потери гладкости тора, связанные с появлением комплексных мультипликаторов резонансного цикла. Установлено, что в кусочно-гладких системах потеря гладкости тора при появлении комплексных мультипликаторов может происходить как непрерывно, так и скачком через С-бифуркацию простого изменения типа решения.

4. Анализ динамики математических моделей широтно-импульсных САР позволил установить следующие закономерности разрушения резонансного тора:

4.1 Выявлены два способа разрушения резонансного тора, связанные с касанием устойчивых и неустойчивых многообразий седловых циклов. В первом случае, характерном для области мультистабильности, разрушение тора происходит через ге-тероклиническую бифуркацию при касании неустойчивого многообразия седлового цикла с устойчивым многообразием другого седлового цикла, не лежащего на торе. Во втором случае тор разрушается через гомоклиническую бифуркацию, когда неустойчивое многообразие седлового движения касается с устойчивым того же седлового цикла.

4.2 Установлено, что после разрушения тора устойчивый цикл может и не исчезать. Исчезновение устойчивого цикла происходит следующим образом: седловой цикл, лежащий на границе бассейнов притяжения апериодического движения и устойчивого цикла, «подтягивается» к устойчивому циклу, сливается с ним и исчезает через С-бифуркацию. Поэтому в каждом клюве имеется область сосуществования устойчивого цикла с режимом апериодических колебаний, ограниченная С-бифуркационной линией и линией гомоклинической бифуркации.

5. Выявлено, что в релейной системе с гистерезисом разрушение резонансного тора происходит в соответствии с двумя сценариями Афраймовича-Шильникова, а именно, в результате бифуркации удвоения периода и через гомоклиническую бифуркацию.

Методы исследования. Полученные в диссертационной работе результаты базируются на использовании методов математического моделирования, теории обыкновенных дифференциальных уравнений, теории нелинейных колебаний, теории устойчивости и бифуркаций, методов вычислительной математики и теории автоматического управления.

Практическая ценность. Разработанные математические модели, методы, вычислительные алгоритмы и установленные в исследованиях закономерности квазипериодической динамики кусочно-гладких динамических систем могут быть использованы для анализа, моделирования и проектирования широкого класса импульсных систем автоматического регулирования, устройств силовой электроники.

При непосредственном участии автора разработаны методики, алгоритмы и пакет прикладных программ для исследования бифуркаций и хаотических колебаний в динамике систем автоматического регулирования с широтно-импульсной модуляцией. Разработка внедрена на ОАО «Счётмаш» (г. Курск) и использована при проектировании импульсных источников электропитания с бестрансформаторным входом.

Научно-методические результаты, полученные в диссертационной работе, внедрены в учебный процесс и используются в Курском государственном техническом университете при изучении дисциплин «Моделирование», «Основы теории управления», «Математические методы расчёта электронных схем».

Апробация результатов. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и получили положительные оценки на: Международной молодёжной научной конференции «XXV Га-гаринские чтения» (Москва, 1999); молодёжной научно-технической конференции технических вузов Центральной России (Брянск, 2000, первое место в конкурсе научных работ); 9-й Международной студенческой олимпиаде по автоматическому управлению (Санкт-Петербург, 2002); 11-й Международной конференции «Нелинейная динамика электронных систем» ("Nonlinear Dynamics of Electronic Systems 2003", NDES 2003, Шульс (Scuol/Schuls), Швейцария, 2003); Международной конференции «Физика и управление» ("Physics and control", PhysCon'03, Санкт-Петербург, 2003); 6-й Международной конференции «Распознавание» (Курск, 2003); 6-й Международной научно-технической конференции «Вибрация-2003» (Курск, 2003); научных семинарах кафедры вычислительной техники Курского государственного технического университета (1999-2004).

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Семейство базовых математических моделей широтно-импульс-ных систем автоматического регулирования с квазипериодической динамикой, алгоритмы численного моделирования и анализа бифуркаций на двумерном торе в кусочно-гладких динамических системах.

2. Закономерности потери гладкости и разрушения двумерного резонансного тора в кусочно-гладких математических моделях систем автоматического регулирования с широтно-импульсной модуляцией, связанные с С-бифуркациями, гомо- и гетероклиниче-скими бифуркациями.

3. Закономерности разрушения двумерного тора с резонансной структурой в кусочно-гладкой автономной модели релейной системы с гистерезисом через бифуркацию удвоения периода и го-моклиническую бифуркацию.

Публикации. Результаты диссертации отражены в 11 печатных работах. В работах, выполненных в соавторстве, соискателю принадлежат: в [33, 34] — результаты расчёта и анализа одной из картин ветвления для релейной системы с гистерезисом; в [30] — бифуркационный анализ резонансного языка с числом вращения 1:6; в [35, 36] — математическая модель, комплекс программ, алгоритмы бифуркационного анализа и результаты исследования сценария перехода к хаосу через квазипериодичность для системы автоматического регулирования с симметричной ШИМ-1; в [37, 38] — математическая модель, расчёт карт резонансных языков и анализ их расположения в плоскости параметров; в [39, 40] — анализ бифуркации рождения двумерного тора в релейной системе с гистерезисом.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырёх глав, заключения, списка литературы, включающего 149 наименований и приложения, изложена на 141 странице, содержит 46 рисунков и 1 таблицу.

4.5 Основные результаты и выводы

1. Установлено, что в релейной системе с гистерезисом квазипериодические и резонансные режимы располагаются на различных типах (одно-, двух- и пятиоборотном) двумерных торов в фазовом пространстве, возникающих через суперкритическую бифуркацию Андронова-Хопфа из циклов соответствующего периода.

2. Выявлен бифуркационный переход, при котором эргодический пятиоборотный тор мягко трансформируется в эргодический од-нооборотный тор. Установлено, что этот переход связан с гомо-клинической бифуркацией.

3. Выявлено, что в релейной системе с гистерезисом разрушение резонансного тора происходит в соответствии с двумя сценариями Афраймовича-Шильникова, а именно:

3.1 В результате бифуркации удвоения периода. В этом случае резонансный тор сначала теряет гладкость при появлении пары комплексно-сопряжённых мультипликаторов устойчивого цикла. Затем резонансный цикл теряет устойчивость (один из мультипликаторов выходит из единичного круга через — 1), что приводит к возникновению цикла удвоенного периода и разрушению резонансного тора.

3.2 Через гомочслиническую бифуркацию. При этом сначала на неустойчивом многообразии седлового цикла возникают складки, затем это многообразие первый раз касается устойчивого многообразия седлового цикла. Дальнейшее изменение параметров приводит к возникновению точек трансверсально-го пересечения и, наконец, ко второму касанию неустойчивого и устойчивого многообразий седлового цикла и разрушению тора.

Заключение

В диссертационной работе решена задача разработки базовых моделей многомерных кусочно-гладких динамических систем, демонстрирующих переход к хаосу через разрушение двумерного тора, алгоритмов и комплекса программ численного анализа бифуркаций периодических движений на поверхности тора, анализа и выявления закономерностей потери гладкости и разрушения двумерного тора в кусочно-гладких системах.

При решении задачи диссертационной работы получены следующие результаты.

1. Разработана обобщённая математическая модель, описывающая поведение систем автоматического регулирования с двумя различными видами широтно-импульсной модуляции в форме кусочно-гладкого стробоскопического отображения методом сечения Пуанкаре, позволяющая использовать единый подход при разработке вычислительных алгоритмов моделирования и анализа квазипериодической динамики.

2. Разработаны алгоритмы численного моделирования и анализа бифуркаций на двумерном торе, позволяющие исследовать закономерности перехода к хаосу через разрушение двумерного резонансного тора и включающие:

2.1 Гибридный алгоритм поиска периодических режимов, основанный на сочетании четырёх подходов:

• численного решения уравнения для неподвижной точки тп-кратного отображения, позволяющего находить устойчивые и неустойчивые циклы заданного периода независимо от типа;

• решения системы трансцендентных уравнений относительно коэффициентов заполнения импульса, позволяющего находить устойчивые и неустойчивые циклы заданного типа;

• модифицированного метода установления, позволяющего находить устойчивые циклы, когда их существует несколько, различать периодические и апериодические колебания;

• описания траектории периодического движения при помощи символической характеристики и эвристического алгоритма поиска неустойчивых циклов.

2.2 Алгоритм анализа локальной устойчивости периодических решений, основанный на линеаризации стробоскопического отображения в окрестности периодического движения и численно-аналитическом вычислении оператора монодромии, позволяющего с заданной точностью рассчитывать бифуркационные значения параметров и идентифицировать типы бифуркаций.

2.3 Алгоритм расчёта одномерных неустойчивых многообразий седловых движений кусочно-гладких систем, основанный на эвристическом алгоритме расчёта неустойчивых циклов и стандартном алгоритме расчёта неустойчивых многообразий седловых движений.

Разработанные алгоритмы численного анализа бифуркаций на двумерном торе реализованы в виде комплекса программ на языке Borland Pascal.

3. Разработанные алгоритмы бифуркационного анализа позволили впервые для резонансных языков кусочно-гладких динамических систем построить границы разрушения резонансного тора через гомоклиническую бифуркацию и линии потери гладкости тора, связанные с появлением комплексных мультипликаторов резонансного цикла. Установлено, что в кусочно-гладких системах потеря гладкости тора при появлении комплексных мультипликаторов может происходить как непрерывно, так и скачком через С-бифуркацию простого изменения типа решения.

4. Анализ динамики математических моделей широтно-импульсных САР позволил установить следующие закономерности разрушения резонансного тора:

4.1 Выявлены два способа разрушения резонансного тора, связанные с касанием устойчивых и неустойчивых многообразий седловых циклов. В первом случае, характерном для области мультистабильности, разрушение тора происходит через ге-тероклиническую бифуркацию при касании неустойчивого многообразия седлового цикла с устойчивым многообразием другого седлового цикла, не лежащего на торе. Во втором случае тор разрушается через гомоклиническую бифуркацию, когда неустойчивое многообразие седлового движения касается с устойчивым того же седлового цикла.

4.2 Установлено, что после разрушения тора устойчивый цикл может и не исчезать. Исчезновение устойчивого цикла происходит следующим образом: седловой цикл, лежащий на границе бассейнов притяжения апериодического движения и устойчивого цикла, «подтягивается» к устойчивому циклу, сливается с ним и исчезает через С-бифуркацию. Поэтому в каждом клюве имеется область сосуществования устойчивого цикла с режимом апериодических колебаний, ограниченная С-бифуркационной линией и линией гомоклинической бифуркации.

5. Выявлено, что в релейной системе с гистерезисом разрушение резонансного тора происходит в соответствии с двумя сценариями Афраймовича-Шильникова, а именно, в результате бифуркации удвоения периода и через гомоклиническую бифуркацию.

6. При непосредственном участии автора разработаны методики, алгоритмы и специализированный пакет прикладных программ для исследования бифуркаций и хаотических колебаний в динамике систем автоматического регулирования с широтно-импульсной модуляцией. Разработка использована при проектировании импульсных источников электропитания с бестрансформаторным входом.

1. Исследование локальной устойчивости периодических режимов в нелинейных импульсных системах / О. А. Алейников, В. С. Ба-ушев, А. В. Кобзев, Г. Я. Михальченко // Электричество.— 1991. — № 4.— С. 23-31.

2. Баушев, В. С. О недетерминированных режимах функционирования стабилизатора напряжения с широтно-импульсным регулированием / В. С. Баушев, Ж. Т. Жусубалиев // Электричество,- 1992.- № 8,- С. 47-53.

3. Баушев, В. С. Стохастичность в динамике стабилизатора напряжения с широтно-импульсным регулированием / В. С. Баушев, Ж. Т. Жусубалиев, С. Г. Михальченко // Электричество. — 1996.- X* 3.- С. 69-75.

4. Nonlinear phenomena in power electronics: bifurcations, chaos, control, and applications / Ed. by S. Banerjee, G. C. Verghese.— IEEE Press, 2001.— 472 pp.

5. Zhusubaliyev, Zh. T. Bifurcations and Chaos in Piecewise-Smooth Dynamical Systems / Zh. T. Zhusubaliyev, E. Mosekilde. — Singapore: World Scientific, 2003. — 376 pp.

6. Tse, С. K. Complex behavior of switching power converters / С. K. Tse. — Boca Raton, USA: CRC Press, 2003.

7. Фейгин, М. И. Удвоение периода колебаний при С-бифуркациях в кусочно-непрерывных системах / М. И. Фейгин // Прикладная механика и механика. — 1970. — Т. 34, № 5. — С. 861-869.

8. Фейгин, М. И. Вынужденные колебания систем с разрывными нелинейностями / М. И. Фейгин. — М.: Наука, 1994. — 288 с.

9. Hommes, С. Н. "Period three to period two" bifurcation for piecewise linear models / С. H. Hommes, H. E. Nusse //J. Economics.— 1991.- Vol. 54.- Pp. 157-169.

10. Johansson, К. H. Fast switching in relay feedback systems / К. H. Johansson, A. Rantzer, K. J. Astrom // Automatica. — 1999. — Vol. 35, no. 4.- Pp. 539-552.

11. Johansson, К. H. Limit cycles with chattering in relay feedback systems / К. H. Johansson, A. Barabanov, K. J. Astrom // IEEE Transactions on Automatic Control.— 2002,— Vol. 47, no. 9.— Pp. 1414-1423.

12. Kapitaniak, T. Multiple choice bifurcations as a source of unpredictability in dynamical systems / T. Kapitaniak, Yu. L. Maistrenko // Phys. Rev. E.— 1998.— Vol. 58, no. 4.— Pp. 5161-5163.

13. C-bifurcations in the dynamics of control system with pulse-width modulation / Zh. T. Zhusubaliyev, V. S. Titov, E. Yu. Emelyanova,

14. E. A. Soukhoterin // Материалы 2-й международной конференции «Управление колебаниями и хаосом» ("Control of Oscillations and Chaos", COC'2000). — Vol. 1.— СПб.: 2000.— Pp. 203-204.

15. Zhusubaliyev, Zh. T. Border-collision bifurcations and chaotic oscillations in a piecewise-smooth dynamical system / Zh. T. Zhusubaliyev, E. A. Soukhoterin, E. Mosekilde // Int. J. Bifurcation Chaos. — 2001.— Vol. 11, no. 12.— Pp. 2977-3001.

16. Ruelle, D. On the nature of turbulence / D. Ruelle, F. Takens // Commun. Math. Phys.- 1971.- Vol. 20.- Pp. 167-192.

17. Рюэль, Д. О природе турбулентности / Д. Рюэль, Ф. Такенс // Странные аттракторы / Под ред. Я. Г. Синая, Л. П. Шильнико-ва.— М.: Мир, 1981.— С. 117-151.

18. Newhouse, S. Occurrence of strange axiom A attractors near quasi-periodic flows on Tm, m > 3 / S. Newhouse, D. Ruelle,

19. F. Takens // Comm. Math. Phys.— 1979.— Vol. 64, no. 1.— Pp. 35-40.

20. Universal transition from quasiperiodicity to chaos in dissipative systems / S. Ostlund, D. Rand, J. Sethna, E. D. Siggia // Physica D. — 1983. — Vol. 8, no. 3. — Pp. 303-342.

21. Афраймович, В. С. Инвариантные двумерные торы, их разрушение и стохастичность / В. С. Афраймович, Л. П. Шильников // Методы качественной теории дифференциальных уравнений. — Горький: Изд-во Горьк. ун-та, 1983. — С. 3-26.

22. Maurer, J. Rayleigh-Benard experiment in liquid helium: Frequency locking and the onset of turbulence / J. Maurer, A. Libchaber //J. Phys. Lett. — 1979. no. 50. - Pp. L419-L423.

23. Bifurcations from an invariant circle for two-parameter families of maps of the plane: A computer-assisted study / D. G. Aranson, M. A. Chori, G. R. Hall, R. P. McGenehe // Comm. Math. Phys. — 1982. — no. 83. — Pp. 303-354.

24. Pranceschini, V. Bifurcations of tori and phase locking in a dissipative system of differential equations / V. Pranceschini // Physica D. — 1982. — Vol. 6, no. 3. — Pp. 285-304.

25. Stavans, J. Experimental study of quasiperiodicity in a hydrodynamical systems / J. Stavans // Phys. Rev. A.— 1987.— no. 35. Pp. 4314r-4328.

26. Аншценко, В. С. Механизмы разрушения инвариантной кривой в модельном отображении плоскости / В. С. Анищенко, М. А. Сафонова // Радиотехника и электроника.— 1987.— Т. 32, № 6.— С. 1207-1216.

27. Жусубалиев, Ж. Т. Теоретические и алгоритмические основы хаотической динамики релейных и широтно-импульсных систем автоматического управления: Дисс. докт. техн. наук: 05.13.06. — Курск, 2002. — 357 с.

28. Zhusubaliyev, Zh. Т. Border-collision bifurcations on a two-dimensional torus / Zh. T. Zhusubaliyev, E. A. Soukhoterin, E. Mosekilde // Chaos, Solitons and Fractals.— 2002.— Vol. 13, no. 9. — Pp. 1889-1915.

29. Zhusubaliyev, Zh. T. Torus birth bifurcations in piecewise-smooth dynamical systems / Zh. T. Zhusubaliyev, E. Mosekilde // Phys. Rev. E. — 2004. — submitted.

30. Zhusubaliyev, Zh. T. Torus breakdown in piecewise-smooth dynamical systems / Zh. T. Zhusubaliyev, E. Mosekilde // Phys. Rev. Lett. — 2004. — submitted.

31. Bifurcations and chaotic oscillations in an automatic control relay system with hysteresis / Zh. T. Zhusubaliyev, E. A. Soukhoterin, V. N. Rudakov et al. // Int. J. Bifurcation Chaos. — 2001. — Vol. 11, no. 5.- Pp. 1193-1231.

32. Жусубалиев, Ж. Т. Квазипериодические колебания в релейной системе с гистерезисом / Ж. Т. Жусубалиев, Е. А. Сухотерин // Системы управления и информационные технологии. — 2004. — № 1.- С. 15-20.

33. Анищенко, В. С. Нелинейная динамика хаотических и стохастических систем / В. С. Анищенко, Т. Е. Вадивасова, В. В. Астахов. — Саратов: Изд-во Саратовского ун-та, 1999. — 368 с.

34. Нелинейные эффекты в хаотических и стохастических системах / В. С. Анищенко, В. В. Астахов, Т. Е. Вадивасова и др. — Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. — 544 с.

35. Кузнецов, С. П. Динамический хаос / С. П. Кузнецов. Сер. Современная теория колебаний и волн.— М.: Изд-во физико-математической литературы, 2001.— 296 с.

36. Пиковский, А. Синхронизация. Фундаментальное нелинейное явление / А. Пиковский, М. Розенблюм, Ю. Курте.— М.: Техносфера, 2003. — 496 с.

37. Арнольд, В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения / В. И. Арнольд, Ю. С. Ильяшенко.— М.: ВИНИТИ, 1985.— Т. 1. Динамические системы — 1, ч. I из Итоги науки и техники. Сер. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. — 149 с.

38. Maistrenko, V. Torus breakdown in noninvertible maps / V. Maistrenko, Yu. Maistrenko, E. Mosekilde // Phys. Rev. E.— 2003. — Vol. 67, no. 4. — Pp. 046215-1-046215-6.

39. Теория бифуркаций / В. И. Арнольд, В. С. Афраймович, Ю. С. Ильяшенко, Л. П. Шильников. — М.: ВИНИТИ, 1986.— Т. 5. Динамические системы — 5, ч. I из Итоги науки и техники. Сер. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. — 218 с.

40. Afraimovich, V. S. Invariant two-dimensional tori, their breakdown and stochasticity / V. S. Afraimovich, L. P. Shilnikov // Amer. Math. Soc. Transl. — 1991. — Vol. 149, no. 2. — Pp. 201-212.

41. Bifurcation theory / V. I. Arnold, V. S. Afraimovich, Y. S. Il'yashenko, L. P. Shilnikov // Dynamical Systems, Encyclopaedia of Mathematical Sciences 5. — Berlin: Springer-Verlag, 1994.

42. Жусубалиев, Ж. Т. О синхронизации квазипериодических колебаний при С-бифуркациях в неавтономной кусочно-линейной динамической системе / Ж. Т. Жусубалиев, Е. Ю. Емельянова // Изв. ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика. — 2000. — Т. 8, № 5. С. 15-30.

43. Ivanova, E. N. Development of complex behaviour in piecewise-smooth control systems / E. N. Ivanova, E. A. Soukhoterin / / Preprints of the 9th International student Olympiad on automatic control (Baltic Olympiad).— Saint-Petersburg: 2002. — Pp. 69-73.

44. Zhusubaliyev, Zh. T. Complexity and chaos in piecewise-smooth dynamical systems / Zh. T. Zhusubaliyev, E. A. Soukhoterin,

45. E. Mosekilde // Proc. of int. conf. "Physics and Control 2003" (PhysCon'03).— Saint-Petersburg: 2003.— Pp. 1159-1164.

46. Zhusubaliyev, Zh. T. Routes to chaos in piecewise-smooth dynamical systems / Zh. T. Zhusubaliyev, B. A. Soukhoterin, Б. Mosekilde // Electronic Transactions on Numerical Analysis. — 2003. — in press.

47. Жусубалиев, Ж. Т. Квазипериодическая динамика релейной системы с гистерезисом / Ж. Т. Жусубалиев, Е. А. Сухоте-рин // Материалы 6-й междунар. конф. «Распознавание-2003». — Курск: 2003. — С. 274-276.

48. Жусубалиев, Ж. Т. Бифуркации и хаос в релейных и широтно-импульсных системах автоматического управления / Ж. Т. Жусубалиев, Ю. В. Колоколов.— М.: Машиностроение-1, 2001.— 120 с.

49. Local analysis of C-bifurcations in n-dimensional piecewise-smooth dynamical systems / M. di Bernardo, M. I. Feigin, S. J. Hogan, M. E. Homer // Chaos, Solitons and Fractals.— 1999.— Vol. 10, no. 11.— Pp. 1881-1908.

50. Halse, C. C-bifurcations and period-adding in one-dimensional piecewise-smooth maps / C. Halse, M. Homer, M. di Bernardo // Chaos, Solitons and Fractals. — 2003. — Vol. 18. — Pp. 953-976.

51. Banerjee, S. Border collision bifurcations in two-dimensional piecewise smooth maps / S. Banerjee, C. Grebogi // Phys. Rev. E.— 1999.— Vol. 59, no. 4.— Pp. 4052-4061.

52. Banerjee, S. Bifurcations in two-dimensional piecewise smooth maps — Theory and applications in switching circuits / S. Banerjee, P. Ranjan, C. Grebogi // IEEE Trans. Circuits and Systems I: Fund. Theory and Appl.— 2000.— Vol. 47, no. 5.— Pp. 633-643.

53. Border-collision bifurcations in the buck converter / G. H. Yuan, S. Banerjee, E. Ott, J. A. Yorke // IEEE Trans. Circuits and Systems I: Fund. Theory and Appl.— 1998.— Vol. 45, no. 7.— Pp. 707-716.

54. Jain, P. Border-collision bifurcations in one-dimensional discontinuous maps / P. Jain, S. Banerjee // Int. J. Bifurcation Chaos.— 2003.— Vol. 13, no. 11.— Pp. 3341-3351.

55. Parui, S. Border collision bifurcations at the change of state-space dimension / S. Parui, S. Banerjee // Chaos.— 2002.— Vol. 12, no. 4. — Pp. 1054-1069.

56. Фейгин, M. И. О рождении семейств субгармонических режимов в кусочно-непрерывной системе / М. И. Фейгин // Прикладная механика и механика. — 1974. — Т. 38, X* 5. — С. 810-818.

57. Фейгин, М. И. О структуре с-бифуркационных границ кусочно-непрерывных систем / М. И. Фейгин // Прикладная механика и механика. — 1978. — Т. 42, № 5. — С. 820-829.

58. Nusse, Н. Е. Border-collision bifurcations: An explanation for observed bifurcation phenomena / H. E. Nusse, E. Ott, J. A. Yorke // Phys. Rev. E. — 1994. — Vol. 49. — Pp. 1073-1076.

59. Nusse, H. E. Border-collision bifurcation for piecewise smooth one-dimensional maps / H. E. Nusse, J. A. Yorke // Int. J. Bifurcation Chaos. — 1995. — Vol. 5, no. 1. — Pp. 189-207.

60. Secondary bifurcations and high periodic orbits in voltage controlled buck converter / M. di Bernardo, E. Fossas, G. Olivar, F. Vasca // Int. J. Bifurcation Chaos.— 1997.— Vol. 7.— Pp. 2755-2771.

61. Switchings, bifurcations, and chaos in DC/DC converters / M. di Bernardo, F. Garofalo, L. Glielmo, F. Vasca // IEEE Trans. Circuits and Systems I: Fund. Theory and Appl. — 1998. — Vol. 45, no. 2.— Pp. 133-141.

62. Multiple attractor bifurcations: a source of unpredictability in piecewise smooth systems / M. Dutta, H. E. Nusse, E. Ott et al. // Phys. Rev. Lett.- 1999.- Vol. 83, no. 21.- Pp. 4281-4284.

63. Hopf bifurcation and chaos from torus breakdown in a PWM voltage-controlled DC-DC boost converter / A. El Aroudi, L. Benadero, E. Toribio, G. Olivar // IEEE Trans. Circuits and Systems I: Fund. Theory and Appl. — 1999.— Vol. 46.— Pp. 1374-1382.

64. Quasiperiodicity and chaos in the DC-DC buck-boost converter / A. El Aroudi, L. Benadero, E. Toribio, S. Machiche // Int. J. Bifurcation Chaos. — 2000. — Vol. 10, no. 2. — Pp. 359-371.

65. El Aroudi, A. Quasi-periodic route to chaos in a PWM voltage-controlled DC-DC boost converter / A. El Aroudi, R. Leyva // IEEE Trans. Circuits and Systems I: Fund. Theory and Appl. — 2001. — Vol. 48, no. 8. — Pp. 967-978.

66. El Aroudi, A. Quasi-periodic phenomena and phase-locked orbits in DC-DC boost switching regulators / A. El Aroudi, G. Olivar // Proc. of 15th IFAC Congress. — Barcelona, Spain: 2002, July 22-26.

67. Rasmussen, D. R. Bifurcations and chaos in a generic management model / D. R. Rasmussen, E. Mosekilde // Eur. J. Oper. Res.— 1988.- Vol. 35, no. 1.- Pp. 80-88.

68. Mosekilde, E. Deterministic chaos in the beer production-distribution model / E. Mosekilde, E. R. Larsen // Syst. Dyn. Rev. — 1988. — Vol. 4, no. 1-2.- Pp. 131-147.

69. Hicks' trade cycle revisited: Cycles and bifurcations / M. Gallegati, L. Gardini, T. Puu, I. Sushko // Math. Comp. Sim.— 2003.— Vol. 63. Pp. 505-527.

70. Johnson, M. A. Experimental characterization of quasiperiodicity and chaos in a mechanical system with delay / M. A. Johnson,

71. F. С. Moon 11 Int. J. Bifurcation Chaos.— 1999.— Vol. 9, no. 1.— Pp. 49-65.

72. Domenichini, F. Quasiperiodicity and chaos in the dynamics of an elastically mounted circular cylinder / F. Domenichini // Eur. J. Mech. — 2002. — Vol. 21, no. 3. — Pp. 341-354.

73. Vittori, G. Quasiperiodicity and phase locking route to chaos in the 2-D oscillattory flow around a circular cylinder / G. Vittori, P. Blondeaux // Phys. Fluids A.— 1993.— Vol. 5, no. 3.— Pp. 1866-1868.

74. Mustafa, G. Experimental evidence of quasiperiodicity and its breakdown in the column-pendulum oscillator / G. Mustafa, A. Ertas // J. Dyn. Syst. Meas. Contr.— 1995.— Vol. 117, no. 2.— Pp. 218-225.

75. Глазенко, Т. А. Состояние и перспективы применения полупроводниковых преобразователей в приборостроении / Т. А. Глазенко, В. С. Томасов // Известия ВУЗов. Приборостроение.— 1996. Т. 39, № 3. - С. 6-12.

76. Розанов, Ю. К. Полупроводниковые преобразователи со звеном повышенной частоты / Ю. К. Розанов.— М.: Энергоатомиздат, 1987.- 184 с.

77. Кобзев, А. В. Модуляционные источники питания РЭА / А. В. Кобзев, Г. Я. Михальченко, Н. М. Музыченко. — Томск: Радио и связь, Томский отдел, 1990. — 336 с.

78. Моин, В. С. Стабилизированные транзисторные преобразователи / В. С. Моин. — М.: Энергоатомиздат, 1986.— 376 с.

79. Берендс, Д. А. Приборы и системы автоматического управления с широтно-импульсной модуляцией / Д. А. Верендс, Р. М. Куку-лиев, К. К. Филиппов.— Л.: Машиностроение, 1989.— 272 с.

80. Четти, П. Р. К. Проектирование ключевых источников электропитания / П. Р. К. Четти. — М.: Энергоатомиздат, 1990. — 191 с.

81. Бахвалов, Н. С. Численные методы / Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков.— М.: Наука, 1987.

82. Деннис, Д. Численные методы безусловной оптимизации и решения нелинейных уравнений / Д. Деннис, Р. Шнабель. — М.: Мир, 1988. — 440 с.

83. Розенвассер, В. Н. Колебания нелинейных систем / Е. Н. Розен-вассер.— М.: Наука, 1969.— 576 с.

84. Рудаков, В. Н. Хаос в динамике стабилизированных преобразователей электрической энергии с релейным регулированием: Дисс канд. техн. наук: 05.13.07.— Курск, 1998.— 180 с.

85. Parker, Т. S. Practical numerical algorithms for chaotic systems / T. S. Parker, L. O. Chua. — New York: Springer-Verlag, 1989. — 362 pp.

86. Паркер, Т. С. Введение в теорию хаотических систем для инженеров / Т. С. Паркер, Л. О. Чуа // ТИИЭР.- 1987.- Т. 75, № 8. С. 6-40.

87. Bifurcations of attracting cycles from time-delayed Chua's circuit / Yu. L. Maistrenko, V. L. Maistrenko, S. I. Vikul, L. O. Chua // Int. J. Bifurcation Chaos.— 1995.— Vol. 5, no. 3.— Pp. 653-671.

88. Я. 3. Цыпкин. Релейные автоматические системы / Я. 3. Цып-кин.— М.: Наука, 1974.— 576 с.

89. Tsypkin, Ya. Z. Relay control systems / Ya. Z. Tsypkin. — Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1984. — 530 pp.

90. Андронов, А. А. Теория колебаний / А. А. Андронов, А. А. Витт, С. Э. Хайкин.— М.: Физматгиз, 1959.— 916 с.

91. Fltigge-Lotz, I. Discontinuous and optimal control / I. Fliigge-Lotz. — New York, NY, USA: McGraw-Hill, 1968. 296 pp.

92. Astrom, K. J. Oscillations in systems with relay feedback / K. J. Astrom // Adaptive control, filtering, and signal processing, IMA volumes in mathematics and its applications, Vol. 74. — Berlin: Springer-Verlag, 1995. — Pp. 1-25.

93. Holmberg, U. Relay feedback of simple systems: Ph. D. thesis TFRT-1034 / Dept. of Automatic Control, Lund Institute of Technology, Lund, Sweden. — 1991.

94. Johansson, К. H. Relay feedback and multivariable control: Ph. D. thesis TFRT-1048 / Dept. of Automatic Control, Lund Institute of Technology, Lund, Sweden. — 1997.

95. Fltigge-Lotz, I. Discontinuous automatic control / I. Fliigge-Lotz. — Princeton: Princeton Univ. Press, 1953. — 176 pp.

96. Уткин, В. И. Скользящие режимы в задачах оптимизации и управления / В. И. Уткин.— М.: Наука, 1981.— 368 с.

97. Utkin, V. I. Sliding modes in control optimization / V. I. Utkin.— Berlin: Springer-Verlag, 1992. — 286 pp.

98. Balasubramanian, R. Stability of limit cycles in feedback systems containing a relay / R. Balasubramanian // IEE Proc. D. — 1981. — Vol. 128, no. 1. — Pp. 24-29.

99. Atherton, D. P. Analysis and design of relay control systems / D. P. Atherton // CAD for control systems / Ed. by D. A. Linkens. — New York: Marcel Dekker, 1993. — Pp. 367-394.

100. Megretski, A. Global stability of oscillations induced by relay feedback / A. Megretski // Preprints of IFAC 13th World Congress, Vol. E. — San Francisco, 1996. — Pp. 49-54.

101. Goncalves, J. M. Global stability of relay feedback systems: Tech. rep. / J. M. Goncalves, A. Megretski, M. A. Dahleh: Preprint LIDS-P-2458, Dept. of Elec. Eng. Сотр. Sci., MIT, Cambridge, MA., 1999.

102. Баушев, В. С. К анализу релейных САР тока в режимах электродинамического торможения высокоскоростных электропоездов / В. С. Баушев, Ж. Т. Жусубалиев, Ю. В. Колоколов // Электричество. — 1989. — № 7. — С. 66-70.

103. Тищенко, В. Н. Исследование режима автоколебаний асинхронного электропривода с релейным тиристорным регулятором тока / В. Н. Тищенко, В. Н. Ковалёв // Электричество. — 1991.— X* 4.- С. 25-31.

104. Modern power electronics: Evolution, technology, and applications / Ed. by В. K. Bose. — New York: IEEE Press, 1992.

105. Зайцев, А. П. Устойчивость синхронизации колебаний релейно-импульсной системы регулирования тока / А. П. Зайцев, В. А. Подлягин // Изв. ВУЗов. Электромеханика.— 1987.— X» 7. С. 94-98.

106. Колоколов, Ю. В. Формирование принципов построения релейно-импульсных регуляторов тока тяговых двигателей постоянного тока / Ю. В. Колоколов // Электричество.— 1990.— X« 9. — С. 35-44.

107. Dynamics and control of large space structures / G. S. Nurre, R. S. Ryan, H. N. Scofield, J. L. Sims // J. of Guidance, Control and Dynamics. — 1984. — Vol. 7, no. 5. — Pp. 514-526.

108. Постников, H. С. Стохастические колебания в ядерном реакторе с релейной системой регулирования / Н. С. Постников // Атомная энергия.— 1994.— Т. 76, X* 1.— С. 3-11.

109. Postnikov, N. S. Dynamic chaos in relay systems with hysteresis / N. S. Postnikov // Computational Mathematics and Modeling.— 1997. no. 8. - Pp. 62-72.

110. Постников, H. С. Стохастичность релейных систем с гистерезисом / Н. С. Постников // Автоматика и телемеханика. — 1998. — X« 3. С. 57-68.

111. Johansson, K. H. Global analysis of third-order relay feedback systems / K. H. Johansson, A. Rantzer // Preprints of IFAC 13th World Congress, Vol. E. — San Francisco, 1996. — Pp. 55-60.

112. Brockett, R. W. Hybrid models for motion control systems / R. W. Brockett // Essays in control: perspectives in the theory and its applications. — Boston: Birkhauser, 1993. — Pp. 29-53.

113. Delta-sigma data converters — theory, design, and simulation / Ed. by S. R. Norsworthy, R. Schreier, G. C. Temes. — New York: IEEE Press, 1997. — 512 pp.

114. Aziz, P. M. An overview of sigma-delta converters / P. M. Aziz, H. V. Sorensen, J. van der Spiegel // IEEE Signal Processing Magazine.- 1996.- T. 13, № 1.- C. 61-84.

115. Holzhiiter, Th. Simulation of relay control systems using MATLAB/SIMULINK / Th. Holzhiiter // Control Engineering Practice. — 1998. — no. 6. — Pp. 1089-1096.

116. Palmor, Z. J. Limit cycles in decentralized relay systems / Z. J. Palmor // Int. J. Control.- 1992.- no. 56.— P. 744.

117. Palmor, Z. J. A general and exact method for determining limit cycles in decentralized relay systems / Z. J. Palmor, Y. Halevi, T. Efrati // Automatica. 1995. - Vol. 31, no. 9. - Pp. 1333-1339.

118. Жусубалиев, Ж. Т. Бифуркации и хаос в релейных и широтно-импульсных системах автоматического управления / Ж. Т. Жусубалиев, Ю. В. Колоколов.— М.: «Машиностроение-1», 2001. — 120 с.

119. Жусубалиев, Ж. Т. Хаотические колебания в релейной системе с гистерезисом / Ж. Т. Жусубалиев, В. С. Титов // Автоматика и телемеханика.— 2001.— № 1.— С. 67-79.

120. Giannakopoulos, F. Closed trajectories in planar relay feedback systems / F. Giannakopoulos, K. Pliete // Dynamical systems.— 2002. — Vol. 17, no. 4. — Pp. 343-358.

121. Неймарк, Ю. И. Стохастические и хаотические колебания / Ю. И. Неймарк, П. С. Ланда.— М.: Наука, 1987.— 424 с.

122. Neimark, Yu. I. Stochastic and chaotic oscillations / Yu. I. Neimark, P. S. Landa. — Dordrecht: Kluwer Academic Publ., 1992.— 512 pp.

123. Алексеев, А. С. Электронная модель двухпозиционного регулятора температуры с зоной опережения / А. С. Алексеев // ДАН СССР. — 1952. Т. 57, № 3. - С. 393-396.

124. Алексеев, А. С. Двухпозиционный регулятор температуры с зоной опережения / А. С. Алексеев // Памяти А. А. Андронова.— М.: Изд-во АН СССР, 1955.- С. 45-76.

125. Cook, P. A. Simple feedback systems with chaotic behavior / P. A. Cook // Syst. Contr. Lett.- 1985.— no. 6.— Pp. 223-27.

126. Amrani, D. Designing autonomous relay systems with chaotic motion / D. Amrani, D. P. Atherthon // Proc. 28th IEEE Conf. Decision and Control. — Vol. 1. — Tampa, FL: 1989. — Pp. 932-936.

127. Genesio, R. Chaos prediction in a third order relay system: Internal report RT 29/90 / R. Genesio, A. Tesi.— Italy: Dipartimento di Sistemi ed Informática, University of Florence, 1990.

128. Крутова, И. H. Исследование процесса стабилизации многомерной динамической системы с релейным управлением / И. Н. Крутова // Автоматика и телемеханика. — 1999. — К2 4. — С. 27-43.

129. Крутова, И. Н. Об устойчивости режима стабилизации космического аппарата с учетом упругих колебаний / И. Н. Крутова // Автоматика и телемеханика. — 1999. — К« 7. — С. 44-58.

130. Жусубалиев, Ж. Т. Бифуркации и хаотические движения в релейных системах автоматического регулирования / Ж. Т. Жусубалиев // Материалы НТК «Распознавание-97». — Курск: 1997. — С. 25-29.

131. Жусубалиев, Ж. Т. Хаотические колебания в кусочно-линейной модели релейной системы с гистерезисом / Ж. Т. Жусубалиев // Изв. ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика. — 2000. — Т. 8, №4.- С. 37-51.

132. Kassakian, J. G. Principles of power electronics / J. G. Kassakian, M. F. Schlecht, G. C. Verghese. Addison-Wesley Series in Electrical Engineering. — Reading, MA: Addison-Wesley, 1991. — 740 pp.

133. Mohan, N. Power electronics: converters, applications and design / N. Mohan, Т. M. Undeland, W. P. Robbins. — 3 edition. — Wiley Text Books, 2002. — 824 pp.