автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.06, диссертация на тему:Теоретические и алгоритмические основы хаотической динамики релейных и широтно-импульсных систем автоматического управления

Введение

1 Выбор базовой модели для исследования закономерностей хаотической динамики, связанных с локальными бифуркациями, в релейных и широтно-импульсных системах автоматического управления

1.1 Постановка задачи и цель исследований.

1.2 Разбиение плоскости параметров отображения Хенона на области периодических и хаотических колебаний.

1.3 Бифуркационный анализ отображения Хенона.

Актуальность проблемы. Одно из основных направлений повышения уровня автоматизации технологических процессов связано с созданием высокоэффективных импульсно-модуляционных систем преобразования энергии [1-4].

Освоение промышленностью новых типов силовых полупроводниковых приборов [5-8], прогресс в области микроэлектроники открывают широкие возможности для разработки мощных преобразователей энергии импульсно-модуляционного типа на базе релейных и широтно-импульсных систем автоматического управления с принципиально новыми схемотехническими и конструктивными решениями, обеспечивающими высокое быстродействие, КПД, надёжность при сравнительной малой массе и габаритах. Такие ^ системы позволяют наиболее гибко с малыми потерями управлять потоком электрической энергии, изменять её параметры, реализовывать оптимальные способы управления технологическими процессами [1, 3, 4, 9].

Основной режим работы систем указанного класса — режим периодических колебаний, которые поддерживаются либо внешним периодическим воздействием (в системах с широтно-импульсной модуляцией), либо определяются свойствами самой системы (в релейных автоматических системах). В то же время в численных и физических экспериментах, а также в реальных условиях эксплуатации часто обнаруживаются более сложные динамические режимы, включая квазипериодические и хаотические колебания. При этом установлено, что в широких диапазонах изменения параметров возможна неединственность движений. Вследствие этого воздействие внешнего шума, даже сколь угодно малого, или вариации параметров, определяемые условиями эксплуатации и режимами работы нагрузки, могут приводить к катастрофическим явлени ям [10-13], проявляющимся в резкой смене характера динамики, например, во внезапном переходе от одних устойчивых периодических движений к другим либо в катастрофической хаотизации колебаний. Следствием этого является не только значительное увеличение динамических ошибок и ухудшение каче-^ ственных показателей, но и внезапные отказы технологического оборудования, приводящие в ряде случаев к крупным авариям [14-19].

Несмотря на достигнутые успехи в развитии теории управления и регулирования, теории нелинейных колебаний и хаоса, особенности сложной динамики релейных и широтно-импульсных систем автоматического управления, причины катастрофических явлений остаются неизученными. Это вынуждает проводить большой объём экспериментальных и натурных исследований с целью получения приемлемых для конкретных условий эксплуатации динамических характеристик, повышения надёжности и эксплуатационных показателей.

Исследованию колебаний в релейных и широтно-импульсных системах автоматического управления посвящены многочисленные работы (см., например, [20-49] и др.)- В большинстве работ решаются задачи определения усло-Ф вий существования периодических колебаний и анализа их устойчивости и, как правило, эти вопросы рассматриваются в отрыве от проблемы сложной динамики. В общей же теории релейных и нелинейных импульсных систем предметом изучения являются исключительно периодические режимы, что сужает класс рассматриваемых систем. Что касается систем со сложной динамикой, то число работ в этой области значительно меньше (см., например, [49-58] и др.), причем в основном они связаны с численным анализом хаотического поведения двумерных моделей конкретного класса систем управления с широтно-импульсной модуляцией. Результатов, относящихся к исследованию хаотических колебаний в релейных системах, практически нет.

Релейные и широтно-импульсные системы обычно описываются системами дифференциальных уравнений, правые части которых имеют разрывы первого рода на некоторых гладких поверхностях. Эти поверхности разделяют фазовое пространство динамической системы на отдельные области, в каждой из которых поведение системы описывается различными дифференциальными уравнениями с достаточно гладкими правыми частями. Подобные динамические системы называют ещё кусочно-гладкими. В кусочно-гладких системах переход от режимов периодических колебаний к хаотическим при изменении ^ параметров может происходить по типичным сценариям: каскад бифуркаций удвоения периода (сценарий Фейгенбаума), кризис периодических колебаний и переход к хаосу через перемежаемость (сценарий Помо-Манневиля) и различные варианты перехода к хаосу через квазипериодичность [59, 60].

Однако выяснилось, что в кусочно-гладких системах указанные механизмы далеко не исчерпывают все возможные сценарии хаотизации динамических режимов. Существует гораздо более широкий класс бифуркационных явлений и переходов к хаосу, пока ещё не охваченных определенной классификацией, теоретический и численный анализ которых представляет трудную задачу.

Фазовые траектории рассматриваемых динамических систем сшиваются из отдельных гладких участков. В кусочно-гладких системах возможны два типа бифуркаций. Первый тип — точно такой же, как и в гладких системах. Это так называемые локальные бифуркации, которые соответствуют потере ф устойчивости периодическим решением. Второй тип не имеет аналогов в гладких системах и связан с касанием границы областей сшивания одним из участков фазовой траектории периодического решения, в результате чего изменяется число участков, из которых сшивается траектория этого решения. Подобные нарушения топологической структуры фазового пространства получили название С-бифуркаций [61-64], или «border-collision bifurcations» [65, 66]. Простейшей бифуркационной картине при С-бифуркациях соответствует непрерывный переход решения одного типа в решение другого типа. Возможны и более сложные ситуации, например, удвоение, утроение периода колебаний, слияние двух решений различных типов и последующее их исчезновение. Исключительная сложность и чрезвычайно большое многообразие типов динамических явлений и переходов к хаосу в кусочно-гладких системах связаны как с локальными, так и с С-бифуркациями. Это обстоятельство требует w расширения и пересмотра сложившихся в теории колебаний представлений о закономерностях возникновения сложной динамики и хаоса в диссипативных системах.

Изучению С-бифуркаций и закономерностей хаотизации колебаний в кусочно-гладких системах в последние годы уделяется значительное внимание [61, 66-77]. Теоретические исследования стимулируются потенциальными приложениями результатов во многих областях науки и техники [78-94].

Основная проблемная ситуация заключается в том, что единой теории для исследования сложной динамики и хаоса в кусочно-гладких динамических системах в виде, удобном для приложений, до сих пор не создано. Имеющиеся результаты касаются, главным образом, динамических особенностей конкретного класса одномерных и двумерных кусочно-гладких отображений и не объединены общетеоретическими представлениями. Для рассматриваемого класса систем, в сравнении с гладкими, далеко не все вопросы о механизмах, свойствах и бифуркационных сценариях развития хаоса, причинах катастрофических явлений представляются сейчас теоретически ясными. Между тем, динамические системы указанного класса находят много приложений в различных задачах механики, современной теории автоматического управления и регулирования, радиофизики, радиотехники и электроники, силовой преобразовательной техники.

Поэтому поиск научно-технических путей обнаружения, прогнозирования и предотвращения хаотических колебаний и катастрофических явлений в импульсно-модуляционных преобразователях электрической энергии с релейным и широтно-импульсным регулированием является актуальной проблемой.

Научный аспект сформулированной проблемы заключается в необходимости развития теории хаотических колебаний в кусочно-гладких динамических системах, выявлении закономерностей и бифуркационных механизмов хаотизации динамических режимов и возникновения катастрофических явлений в релейных и широтно-импульсных системах автоматического управления.

Практическая часть проблемы включает разработку математических моделей, вычислительных алгоритмов и специализированного программного обеспечения для исследования и анализа сложной динамики и хаоса в релейных и широтно-импульсных системах автоматического управления, позволяющих выполнить обоснованный выбор структур и типов регуляторов, схем и параметров корректирующих устройств, устройств обратных связей, вида модуляции электрической энергии и обеспечить достижение требуемых показателей качества функционирования системы в широком диапазоне изменения параметров объекта управления и возмущающих воздействий.

Кроме того, практическая часть проблемы включает разработку способов внешней принудительной синхронизации колебаний релейных автоматических систем со сложной динамикой, позволяющих исключить хаотические движения, повысить точность регулирования и быстродействие, обеспечить устойчивую синхронизацию колебаний с заданной частотой.

Связь темы диссертации с научно-техническими программами. Диссертационная работа выполнена в рамках научно-исследовательских работ (НИР), проводившихся по общесоюзной научно-технической программе 0.54.01 «Создать и освоить в эксплуатации высокоэффективные средства и технологические процессы на железнодорожном транспорте», утвержденной постановлением Государственного комитета СССР по науке и технике № 535 от 31 декабря 1986 г., приложение 64, пункты 30.И. и 32.И «Создать и освоить производство электропоезда постоянного тока с конструктивной скоростью 200 км/ч типа ЭР200 улучшенной конструкции»; по межвузовской научно-технической программе «Оптимум», приказ Минвуза СССР № 358 от 16 мая 1986 г.; в соответствии с планами НИР Курского государственного технического университета на 1992-1997 гг. по теме 1.4.92, № гос. регистрации 01.9.70003503; в рамках совместных госбюджетных НИР с Орловским государственным техническим университетом на 1994-1996 гг., № гос. регистрации 01.9.40003748, № гос. регистрации 01.9.40003747; при реализации НИР, проводимой с 1999 г. совместно с Центром по исследованию хаоса и турбулентности Датского технического университета (Center for Chaos and Turbulence Studies, Department of Physics, Technical University of Denmark, Lyngby, Denmark) в рамках международного сотрудничества Курского государственного технического университета.

Исследования поддержаны грантами в области транспортных наук (транспортная техника, 1993 г., 1994 г., 1996 г.), грантом по фундаментальным исследованиям в области «Автоматики и телемеханики, вычислительной техники, информатики, кибернетики, метрологии, связи» 12/4-98 № госрегистрации Ф 01.20.00 10074, 1998-1999 гг.

Цель работы. Создание теоретических и алгоритмических основ хаотической динамики релейных и широтно-импульсных систем автоматического управления, установление закономерностей и бифуркационных механизмов ха-отизации динамических режимов и возникновения катастрофических явлений, разработка релейных систем автоматического управления с улучшенными динамическими и эксплуатационными характеристиками.

В соответствии с этим в диссертационной работе решаются следующие задачи:

1. Создание теоретических и алгоритмических основ хаотической динамики релейных и широтно-импульсных систем автоматического управления, заключающееся в разработке:

• метода сведения математических моделей релейных и широтно-импульсных систем, представляемых в виде систем дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями, к отображению Пуанкаре;

• метода и алгоритма анализа локальной устойчивости периодических движений, включающей: построение алгоритма, позволяющего находить как устойчивые, так и неустойчивые периодические решения; определение условий сшивания решения уравнения в вариациях в точках разрыва с использованием аппарата обобщённых функций; получение рекуррентных соотношений для расчёта оператора монодро-мии;

• метода и алгоритма численного поиска периодических движений, ориентированного на случаи, когда имеет место полная априорная неопределённость относительно числа и типов устойчивых периодических решений, существующих при выбранных параметрах, а также наличия апериодических колебаний;

• единого подхода к анализу локальных бифуркаций и С-бифуркаций в многомерных кусочно-гладких динамических системах;

• вычислительных алгоритмов расчёта картин ветвления, бифуркационных диаграмм и карт динамических режимов;

• специализированного программного обеспечения для исследования и анализа хаотических колебаний в кусочно-гладких динамических системах.

2. Установление свойств карт динамических режимов в пространстве параметров, бифуркаций предельных циклов и сценариев перехода от режимов периодических колебаний к хаосу в релейных системах автоматического управления, выяснение причин возникновения хаотических колебаний и катастрофических явлений.

3. Выявление закономерностей хаотизации колебаний в системах управления с широтно-импульсной модуляцией. Анализ карты динамических режимов в пространстве параметров, изучение структуры С-бифуркационных границ и бифуркаций циклов, исследование сценариев переходов к хаосу через локальные бифуркации и С-бифуркации.

4. Выявление механизмов нарушения синхронизации колебаний и возникновения недетерминированных режимов в релейных системах с внешней принудительной синхронизацией.

5. Разработка и внедрение в промышленность системы автоматического управления электроприводами постоянного тока с улучшенными динамическими и эксплуатационными характеристиками.

Научная новизна.

1. Установлены закономерности, свойства и бифуркационные механизмы усложнения движений и хаотизации колебаний в релейных и широтно-импульсных системах автоматического управления, существо которых заключается в следующем:

1.1. Хаотическая динамика возникает, если при одних и тех же значениях параметров существует несколько локально устойчивых циклов и величина помехи превосходит радиусы областей притяжения этих движений.

1.2. Хаотические колебания могут возникать и в случае существования единственного устойчивого периодического движения за счёт перескока фазовой точкой, при наличии внешних случайных воздействий, с одной части траектории одного и того же устойчивого периодического движения на другую вследствие малости радиуса внутренней области притяжения.

1.3. С-бифуркации могут приводить не только к удвоению, но и к утроению, учетверению, упятерению периода колебаний, возникновению множества периодических движений с различными динамическими характеристиками, мягкому переходу от одного семейства циклов к другому с кратно соотносящимися периодами.

1.4. В многомерных кусочно-гладких неавтономных динамических системах реализуется новый тип сложного поведения, связанный с резонансными явлениями и переходами к хаосу через С-бифуркации циклов на поверхности двумерного тора.

1.5. Наиболее характерными сценариями перехода к хаосу являются:

• бесконечный каскад бифуркаций удвоения периода, оканчивающийся установлением апериодического движения;

• жёсткое возникновение множества локально устойчивых циклов с различными динамическими характеристиками, каждый из которых при изменении параметров может претерпевать конечную либо бесконечную последовательность прямых и обратных бифуркаций удвоения периода, завершающуюся переходом к хаосу;

• рождение из цикла режима двухчастотных квазипериодических колебаний через бифуркацию Андронова-Хопфа и последующее его разрушение;

• жёсткие переходы от устойчивых циклов к хаотическим или квазипериодическим колебаниям;

• конечная последовательность локальных бифуркаций удвоения периода и С-бифуркаций различных типов, завершающаяся хаоти-зацией колебаний.

2. Созданы теоретические и алгоритмические основы хаотической динамики релейных и широтно-импульсных систем автоматического управления, включающие в себя следующие новые результаты:

2.1. Единый подход к сведению математических моделей релейных и широтно-импульсных систем, представляемых в виде систем дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями, к отображению Пуанкаре.

2.2. Алгоритм численного поиска периодических движений, базирующийся на модифицированном методе установления, позволяющем эффективно определять устойчивые циклы, когда их существует множество, классифицировать их типы, различать периодические и апериодические колебания.

2.3. Метод поиска периодических решений, основанный на сведении задачи к решению системы трансцендентных уравнений относительно моментов разрывов правой части уравнений движения, позволяющий находить как устойчивые, так и неустойчивые периодические движения.

2.4. Обобщённый метод анализа локальной устойчивости периодических Г решений систем автономных и неавтономных систем дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями, в основе которого лежит нахождение матрицы пересчёта, определяющей величину скачка в точках разрыва решения системы уравнений в вариациях. Для построения матрицы пересчёта предложен аналитический подход, основанный на применении обобщённых функций. Доказано, что формирование матрицы пересчёта в общем случае некорректно и найдено условие корректности сшивания решения в точках разрыва.

2.5. Вычислительные алгоритмы анализа локальных бифуркаций и С-бифуркаций, расчёта картин ветвления и карт динамических режимов, позволяющих проанализировать механизмы, свойства и бифуркационные сценарии возникновения сложной динамики и хаоса в релейных и широтно-импульсных системах автоматического управления.

3. Впервые для многомерных релейных и широтно-импульсных систем автоматического управления проведён анализ структуры и свойств карты динамических режимов в пространстве параметров, построены картины ветвления периодических движений, определены типичные свойства смены колебательных режимов через локальные бифуркации и С-бифуркации. Выявлено, что в релейных и широтно-импульсных системах в широких диапазонах изменения параметров возможна неединственность движений, вследствие чего даже малые вариации параметров при наличии внешних случайных воздействий могут приводить к катастрофической смене характера динамики.

4. Установлено, что нарушение синхронизации колебаний в релейных системах с переменным алгоритмом внешней принудительной синхронизации происходит через субкритическую бифуркацию удвоения периода. Вследствие этого пороговые значения коэффициентов заполнения импульсов управления, соответствующие моментам переключения алгоритмов синхронизации, определяются не границами области устойчивости режима вынужденных колебаний на основной частоте, а границами области кон-вер гентности.

Методы исследования базируются на аппарате теории дифференциальных уравнений, теории нелинейных колебаний, теории устойчивости и бифуркаций, матричной алгебры, теории множеств, методов вычислительной математики и теории управления. Численная реализация математических моделей выполнялась на ЭВМ с помощью разработанного пакета прикладных программ. Экспериментальные исследования проводились на электропоездах ЭР200 № 1, ЭР200 № 2.

Практическая ценность диссертационной работы состоит в: а) разработке эффективных методов численного анализа хаотических колебаний в преобразователях электрической энергии с релейным и широтно-импульсным регулированием, позволяющих установить связь между структурой, параметрами системы и её колебательными свойствами, обнаруживать потенциально аварийные режимы функционирования, прогнозировать катастрофические явления; б) разработке математических моделей, создании вычислительных алгоритмов и пакета прикладных программ, позволяющих проводить бифуркационный анализ динамических режимов в пространстве параметров с целью получения практических рекомендаций по выбору структур регуляторов, схем корректирующих устройств и их параметров, обеспечивающих реализацию требований к показателям качества управления; в) установлении свойств карт динамических режимов в пространстве параметров, картин ветвлений, обеспечивающих единое описание и понимание механизмов, свойств и бифуркационных сценариев развития хаоса, причин хаотизации колебаний и катастрофических явлений в релейных и широтно-импульсных системах автоматического управления; г) разработке новых технических решений построения релейных систем с гистерезисом и релейных систем с внешней принудительной синхронизацией [96-99] с улучшенными динамическими характеристиками и их внедрении в промышленность для автоматизации и управления технологическими процессами и установками.

По сравнению с известным решением, предложенным в работах Зайцева А.П. и др. [95], разработанная релейная система с двойной внешней принудительной синхронизацией [96] позволяет вдвое повысить точность регулирования, исключить вынужденные колебания на пониженных частотах, кратных основной частоте модуляции, и хаотические режимы.

Разработанные методы и установленные в исследованиях закономерности сложной динамики и хаоса в кусочно-гладких динамических системах являются теоретической основой для исследования и проектирования широкого класса преобразователей электрической энергии систем автоматизации и управления технологическими процессами.

Реализация результатов работы. Результаты, полученные в диссертации, использовались при создании систем управления электроприводами первого отечественного высокоскоростного электропоезда ЭР200 [97-99]. Системы управления эксплуатировались в составе системы комплексной автоматизации управления электропоездом ЭР200 с 1987 г. по 1996 г. на линии Санкт-Петербург-Москва Октябрьской железной дороги. Система управления экспонировалась на: ВДНХ СССР (1986-1987 гг.) и отмечена одной золотой, двумя серебряными и двумя бронзовыми медалями; Национальной выставке СССР в Корейской Народно-Демократической Республике, г. Пхеньян (1987 г.).

В период с 1994 по 1997 г. совместно с ОАО «Экспериментальный завод», Холдинговая компания «Ленинец» (г. Санкт-Петербург) разработаны и изготовлены новые модификации систем управления электроприводами первого и второго электропоездов ЭР200 (ЭР200 № 1 и ЭР200 № 2) с улучшенными эксплуатационными и динамическими характеристиками, построенные на базе релейной системы с гистерезисом и релейной системы с двойной внешней принудительной синхронизацией [96, 98, 99]. Системы управления внедрены в промышленную эксплуатацию в составе систем комплексной автоматизации управления электропоездов ЭР200 № 1 и ЭР200 № 2 на линии Санкт-Петербург-Москва Октябрьской железной дороги (предприятие ТЧ-8, г. Санкт-Петербург).

Методы и алгоритмы численного анализа хаотических колебаний в релейных и широтно-импульсных системах, реализованные в виде специализированного пакета прикладных программ и результаты исследований конкретного класса преобразователей электрической энергии внедрены на: ОАО «Экспериментальный завод», Холдинговая компания «Ленинец», г. Санкт-Петербург; акционерной электротехнической компании (АЭК) «Динамо», г. Москва; ОАО «Счётмаш», г. Курск.

Научно-методические результаты, полученные в диссертационной работе, внедрены в учебный процесс и используются в Курском государственном техническом университете в курсах «Моделирование», «Математические основы теории динамических систем», «Математические модели процессов и систем», в курсовом и дипломном проектировании, при подготовке магистерских диссертаций.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертации докладывались и получили положительную оценку на следующих международных и республиканских конференциях, семинарах и симпозиумах: второй Республиканской школе-семинаре молодых ученых и специалистов «Преобразовательная техника в электроэнергетических, технологических установках и электроприводе», Львов, 1987; 4-й и 5-й Всесоюзных научно-технических конференциях «Проблемы преобразовательной техники», Киев, 1987, 1991; 5-й Всесоюзной научно-технической конференции «Динамические режимы работы электрических машин и электроприводов», Каунас, 1988; Международных конференциях «Оптико-электронные приборы и устройства в системах распознавания образов, обработки изображений и символьной информации», Курск, 1993, 1995, 1997, 1999; Международных школах-семинарах «Перспективные системы управления на железнодорожном, промышленном и городском транспорте», Алушта, Украина, 1994, 1995, 1996, 1997, 1998; 3-й Международной конференции «Измерение, контроль и автоматизация производственных процессов», Барнаул, 1994; 2-й и 3-й научно-технических конференциях «Вибрационные машины и технологии», Курск, 1995, 1997; Международной научно-технической конференции «Актуальные проблемы математического моделирования и автоматизированного проектирования в машиностроении», Казань, 1995; Научно-технической конференции с международным участием «Электротехнические системы транспортных средств и их роботизированных производств», Суздаль, 1995; 1-й Международной научно-теоретической и практической конференции «Проблемы и перспективы автоматизации производства и управления» Автоматизация-97, Ташкент, 1997; 5-й научно-технической конференция с международным участием «Материалы и упрочняющие технологии», Курск, 1997; Всероссийском электротехническом конгрессе с международным участием «На рубеже веков: итоги и перспективы (ВЭЛК-99)», Москва, 1999; 4th International Conference on Applications of Computer Systems ACS'97, Technical University of Szczecin, Poland, 1997; Workshop on Chaos in Living Systems, Center for Chaos and Turbulence Studies, Dept. of Physics, Technical University of Denmark, Lyngby, Denmark, 1999; Symposium on Nonlinear Dynamics in Biology ВЮ2000, Niels Bohr Institute, University of Copenhagen, Copenhagen, Denmark, 2000; Second International Conference on Control of Oscillations and Chaos COC'2000, Saint-Petersburg, Russia, 2000; 5th IFAC (International Federation of Automatic Control) Symposium on Nonlinear Control Systems NOLCOS'Ol, Saint-Petersburg, Russia, 2001; 6th International School on Chaotic Oscillations and Pattern Formation CHAOS'Ol, Saratov, Russia, 2001.

Результаты работы обсуждались на: научных семинарах Научно-исследовательского института автоматики и электромеханики при Томском университете систем управления и радиоэлектроники (1983-1991 гг.); научном семинаре Центра по изучению хаоса и турбулентности, физический факультет Технического университета Дании (Center for Chaos and Turbulence Studies, Dept. of Physics, Technical University of Denmark, Lyngby, Denmark, 2000); научных семинарах кафедры вычислительной техники Курского государственного технического университета (1992-2001 гг.).

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Результаты теоретических исследований и численного моделирования динамики релейных и широтно-импульсных систем автоматического управления по установлению структуры карт динамических режимов в пространстве параметров, общих свойств усложнения колебаний через локальные бифуркации и С-бифуркации, выявлению закономерностей и бифуркационных механизмов хаотизации динамических режимов и возникновения катастрофических явлений.

2. Теоретические и алгоритмические основы хаотической динамики релейных и широтно-импульсных систем автоматического управления, включающие в себя:

2.1. Единый подход к сведению математических моделей релейных и широтно-импульсных систем, представляемых в виде систем дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями, к отображению Пуанкаре.

2.2. Алгоритм численного поиска периодических движений, базирующийся на модифицированном методе установления.

2.3. Метод поиска периодических решений, основанный на сведении задачи к решению системы трансцендентных уравнений относительно моментов разрывов правой части уравнений движения.

2.4. Обобщённый метод анализа локальной устойчивости периодических решений систем автономных и неавтономных систем дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями.

2.5. Вычислительные алгоритмы анализа локальных бифуркаций и С-бифуркаций, расчёта картин ветвления и карт динамических режимов.

3. Методы повышения качества регулирования, предотвращения хаотических колебаний и катастрофических явлений в релейных системах автоматического управления.

Публикации. Результаты диссертации отражены в 74 печатных работах и 1 отчёте по госбюджетной научно-исследовательской работе. Среди опубликованных работ имеется одна монография, 35 статей и 9 авторских свидетельств на изобретения.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, семи глав, заключения, списка литературы, включающего 262 наименования и приложения, изложена на 357 страницах (без приложения) и поясняется 155 рисунками и 15 таблицами.

7.3 Основные результаты и выводы

1. Разработаны и внедрены в промышленность системы автоматического управления электроприводами постоянного тока с улучшенными динамическими и эксплуатационными характеристиками, построенные на базе релейной системы с гистерезисом и релейной системы с двойной внешней принудительной синхронизацией, функционирующие в составе систем комплексной автоматизации управления первым и вторым высокоскоростными электропоездами ЭР200. Такая система обеспечила снижение вероятности катастрофических отказов силового электрооборудования электропоезда в два раза.

2. Применение двойной внешней принудительной синхронизации в пусковых режимах позволило снизить статическую ошибку регулирования с 10% . 15% до 4,8% . 6%, исключить хаотические колебания, которые обычно приводят к резкому возрастанию пульсаций тока, потребляемого из контактной сети (в 2-3 раза) и, как следствие, генерированию широкого спектра помех в питающую сеть, отрицательно влияющих на работу систем рельсовой автоматики, обеспечивающих безопасность движения.

3. Использование релейной системы с гистерезисом в режимах торможения вместо системы с внешней принудительной синхронизацией позволило исключить перерегулирование тока якоря, уменьшить статическую ошибку регулирования до 0,6%, снизить пульсации тока в цепи двигателей и динамические потери в ключевых элементах силового преобразователя, уменьшить нижнее предельное значение скорости электродинамического торможения с 35 км/ч до 5 км/ч.

Заключение

В диссертационной работе решена проблема нахождения научно-технических путей обнаружения, прогнозирования и предотвращения хаотических колебаний и катастрофических явлений в импульсно-модуляционных преобразователях электрической энергии с релейным и широтно-импульсным регулированием.

Основными результатами диссертации являются:

1. Установленные закономерности, свойства и бифуркационные механизмы усложнения движений и хаотизации колебаний в релейных и широтно-импульсных системах автоматического управления, существо которых заключается в следующем:

1.1. Хаотическая динамика возникает, если при одних и тех же значениях параметров существует несколько локально устойчивых циклов и величина помехи превосходит радиусы областей притяжения этих движений.

1.2. Хаотические колебания могут возникать и в случае существования единственного устойчивого периодического движения за счёт перескока фазовой точкой, при наличии внешних случайных воздействий, с одной части траектории одного и того же устойчивого периодического движения на другую вследствие малости радиуса внутренней области притяжения.

1.3. С-бифуркации могут приводить не только к удвоению, но и к утроению, учетверению, упятерению периода колебаний, возникновению множества периодических движений с различными динамическими характеристиками, мягкому переходу от одного семейства циклов к другому с кратно соотносящимися периодами.

1.4. В многомерных кусочно-гладких неавтономных динамических системах реализуется новый тип сложного поведения, связанный с резонансными явлениями и переходами к хаосу через С-бифуркации циклов на поверхности двумерного тора.

1.5. Наиболее характерными сценариями перехода к хаосу являются:

• бесконечный каскад бифуркаций удвоения периода, оканчивающийся установлением апериодического движения;

• жёсткое возникновение множества локально устойчивых циклов с различными динамическими характеристиками, каждый из которых при изменении параметров может претерпевать конечную либо бесконечную последовательность прямых и обратных бифуркаций удвоения периода, завершающуюся переходом к хаосу;

• рождение из цикла режима двухчастотных квазипериодических колебаний через бифуркацию Андронова-Хопфа и последующее его разрушение;

• жёсткие переходы от устойчивых циклов к хаотическим или квазипериодическим колебаниям;

• конечная последовательность локальных бифуркаций удвоения периода и С-бифуркаций различных типов, завершающаяся хаоти-зацией колебаний.

2. Теоретические и алгоритмические основы хаотической динамики релейных и широтно-импульсных систем автоматического управления, включающие в себя:

2.1. Единый подход к сведению математических моделей релейных и широтно-импульсных систем, представляемых в виде систем дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями, к отображению Пуанкаре.

2.2. Алгоритм численного поиска периодических движений, базирующийся на модифицированном методе установления, позволяющем эффективно определять устойчивые циклы, когда их существует множество, классифицировать их типы, различать периодические и апериодические колебания.

2.3. Метод поиска периодических решений, основанный на сведении задачи к решению системы трансцендентных уравнений относительно моментов разрывов правой части уравнений движения, позволяющий находить как устойчивые, так и неустойчивые периодические движения.

2.4. Обобщённый метод анализа локальной устойчивости периодических решений систем автономных и неавтономных систем дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями, в основе которого лежит нахождение матрицы пересчёта, определяющей величину скачка в точках разрыва решения системы уравнений в вариациях. Для построения матрицы пересчёта предложен аналитический подход, основанный на применении обобщённых функций. Доказано, что формирование матрицы пересчёта в общем случае некорректно и найдено условие корректности сшивания решения в точках разрыва.

2.5. Вычислительные алгоритмы анализа локальных бифуркаций и С-бифуркаций, расчёта картин ветвления и карт динамических режимов, позволяющих проанализировать механизмы, свойства и бифуркационные сценарии возникновения сложной динамики и хаоса в релейных и широтно-импульсных системах автоматического управления.

3. Впервые для многомерных релейных и широтно-импульсных систем автоматического управления проведён анализ структуры и свойств карты динамических режимов в пространстве параметров, построены картины ветвления периодических движений, определены типичные свойства смены колебательных режимов через локальные бифуркации и С-бифуркации. Выявлено, что в релейных и широтно-импульсных системах в широких диапазонах изменения параметров возможна неединственность движений, вследствие чего даже малые вариации параметров при наличии внешних случайных воздействий могут приводить к катастрофической смене характера динамики.

4. Установлено, что нарушение синхронизации колебаний в релейных системах с переменным алгоритмом внешней принудительной синхронизации происходит через субкритическую бифуркацию удвоения периода. Вследствие этого пороговые значения коэффициентов заполнения импульсов управления, соответствующие моментам переключения алгоритмов синхронизации, определяются не границами области устойчивости режима вынужденных колебаний на основной частоте, а границами области кон-вергентности.

5. Разработаны алгоритмы и специализированное программное обеспечение для анализа сложной динамики и хаоса в релейных и широтно-импульсных системах автоматического управления, позволяющие выполнить обоснованный выбор типов регуляторов, схем и параметров корректирующих устройств, вида модуляции и обеспечить достижение требуемых показателей качества функционирования системы в широком диапазоне изменения параметров объекта управления и возмущающих воздействий.

6. Оригинальность технических решений построения релейных систем автоматического управления защищена авторскими свидетельствами на изобретения; основные из них внедрены в промышленность.

1. Глазенко Т.А., Томасов B.C. Состояние и перспективы применения полупроводниковых преобразователей в приборостроении // Изв. вузов. Приборостроение. 1996. Т. 39. № 3. С. 6-12.

2. Кобзев A.B. Многозонная импульсная модуляция (Теория и применение в системах преобразования параметров электрической энергии). — Новосибирск: Наука, Сибирское отделение. 1979. — 304 с.

3. Розанов Ю.К. Полупроводниковые преобразователи со звеном повышенной частоты. — М.: Энергоатомиздат. 1987. — 184 с. /

4. Вентильные преобразователи с переменной структурой / Тонкаль В.Е., Руденко B.C., Жуйков В.Я. и др.; Под ред. Шидловского А.К. — Киев: Наукова думка. 1990. — 336 с.

5. Дарзнен С.А., Любутин С.К., Рукин С.Н., Словиковский Б.Г., Цыра-нов С.Н. SOS-диоды: наносекундные прерыватели сверхплотных токов // Электротехника. 1999. ДО 4. С. 20-28.

6. Чибиркин В.В. Создание силовых полупроводниковых приборов для преобразователей электроподвижного состава // Электротехника. 1998. № 3. С. 1-9.

7. Флоренцев С.Н. Состояние и перспективы развития приборов силовой электроники на рубеже столетий (анализ рынка) // Электротехника. 1999. ДО 4. С. 2-10.

8. Пелли Б.P. IGBT — биполярные транзисторы с изолированным затвором // Электротехника. 1996. № 4. С. 16-20.

9. Кобзев A.B., Михальченко Г.Я., Музыченко Н.М. Модуляционные источники питания РЭА. — Томск: Радио и связь, Томский отдел, 1990.

10. Thorn R. Stabilité structurulle et morphogenes. — New York: Benjamin. 1972.

11. Zeeman E.C. Catastrophe theory: Selected papers. 1972-1977. — Reading Mass.: Addison-Wesley. 1977.

12. Постон Т., Стюарт. И. Теория катастроф и её приложения. М.: Мир. 1984.

13. Арнольд В.И. Теория катастроф. — М.: Наука, 1990. —- 128 с.

14. Жусубалиев Ж.Т. К исследованию хаотических режимов преобразователя напряжения с широтно-импульсной модуляцией // Электричество. 1997. № 6. С. 40-46.

15. Рудаков В.Н. Хаос в динамике стабилизированных преобразователей электрической энергии с релейным регулированием. Дисс. . канд. техн. наук. — Курск, 1998. — 180 с.

16. Пинаев C.B. Динамика электроприводов систем автоматизации технологических процессов с релейно-импульсным регулированием. Дисс. . канд. техн. наук. — Курск, 1999. — 188 с.

17. Емельянова Е.Ю. Бифуркации и хаотические колебания в преобразователях электрической энергии с широтно-импульсной модуляцией систем автоматизации технологических процессов. Дисс. . канд. техн. наук. — Курск, 2000. — 165 с.

18. Косчинский C.J1. Закономерности возникновения недетерминированных процессов в автоматизированных тяговых электроприводах постоянноготока с широтно-импульсной модуляцией / Автореферат дисс. . канд. техн. наук. — Орёл, 1998. — 24 с.

19. Жусубалиев Ж.Т., Колоколов Ю.В., Пинаев С.В., Рудаков В.Н. Детерминированные и хаотические режимы преобразователя напряжения с широтно-импульсной модуляцией // Изв. РАН. Энергетика. 1997. № 3. С. 157-170.

20. Тищенко В.Н., Ковалёв В.Н. Исследование режима автоколебаний асинхронного электропривода с релейным тиристорным регулятором тока // Электричество. 1991. № 4. С. 25-31.

21. Palmor Z.J. A General and Exact Method for Determining Limit Cycles in Decentralized Relay Systems // Automatica. 1995. N 31. P. 1333-1339.

22. Th. Holzhüter. Simulation of Relay Control Systems using MATLAB/SIMULINK // Control Engineering Practice. 1998. N 6. P. 1089-1096.

23. Цыпкин Я.З. Релейные автоматические системы. — М.: Наука, 1974. — 576 с.

24. Gelig A.Kh., Churilov A.N. Stability and oscillations of nonlinear pulse-modulated systems. — Birkháuser, Boston, 1998.

25. Розенвассер E.H. Колебания нелинейных систем. — M.: Наука, 1969. — 576 с.

26. Брусин В.А., Неймарк Ю.И., Фейгин М.И. О некоторых случаях зависимости периодических движений релейной системы от параметров // Изв. ВУЗов. Радиофизика. 1963. Т. 6. № 4. С. 784-800.

27. Palmor Z.J. Limit cycles in decentralized relay systems // Int. J. Control. 1992. № 56. P. 744.

28. Джури Э.И. Импульсные системы автоматического управления — М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит. 1963. — 456 с.

29. Гелиг А.Х., Чурилов А.Н. Колебания и устойчивость нелинейных импульсных систем — СПб.: Издательство С.-Петербургского университета. 1993. — 268 с.

30. Каретный О.Я., Кипнис М.Н., Петрова Ю.Б. Применение импульсных частотных характеристик для исследования периодических режимов в системах с интегральной широтно-импульсной модуляцией / / Автоматика и телемеханика. 1988. № 8. С. 59-68.

31. Ерихов М.М., Островский М.Я. Достаточные условия существования Т-периодических режимов в системах с «линейной» интегральной широтно-импульсной модуляцией // Автоматика и телемеханика. 1987. № 9. С. 26-30.

32. Ерихов М.М., Островский М.Я. Условия существования Т-периодических режимов в системах с широтно-импульсной модуляцией второго рода / / Автоматика и телемеханика. 1986. № 10. С. 169-172.

33. Каретный О.Я., Кипнис М.Н. Периодические режимы работы широтно-импульсных систем управления. I, II // Автоматика и телемеханика. 1987. № 11. С. 46-54. № 12. С. 42-48.

34. Гелиг А.Х., Чурилов А.Н. Исследование периодических режимов в широтно-импульсных системах // Автоматика и телемеханика. 1989. № 2. С. 30-39.

35. Гелиг А.Х., Чурилов А.Н. Периодические режимы в широтно-импульсных системах с переменной структурой линейной части // Автоматика и телемеханика. 1990. № 12. С. 94-100.

36. Кунцевич В.М., Чеховой Ю.Н. Нелинейные системы управления с частотно- и широтно-импульсной модуляцией. — Киев: Техшка. 1970. — 340 с.

37. Бромберг П.В. Матричные методы в теории релейного и импульсного регулирования. — М.: Наука. 1967. — 369 с.

38. Цыпкин Я.З., Попков Ю.С. Теория нелинейных импульсных систем. — М.: Наука. 1973. — 414 с.

39. Цыпкин Я.З. Теория линейных импульсных систем. — М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит. 1963. — 968 с.

40. Якубович В.А. Абсолютная устойчивость импульсных систем с несколькими нелинейными или линейными нестационарными блоками. I, II // Автоматика и телемеханика. 1967. № 4. С. 59-72. 1968. № 2. С. 81-101.

41. Якубович В. А. Об импульсных системах управления с широтно-импульсной модуляцией // ДАН СССР. 1968. Т. 180. С. 283-285.

42. Леонов Г.А. Частотные критерии стабилизации нелинейных систем с гармоническим внешним воздействием // Автоматика и телемеханика. 1986. № 1. С. 169-184.

43. Видаль П. Нелинейные импульсные системы. — М.: Энергия. 1974. — 336 с.

44. Воронов A.A. Основы теории автоматического управления. Особые линейные и нелинейные системы . — М.: Наука. 1981. — 304 с.

45. Чурилов А.Н. Устойчивость системы с интегральной широтно-импульсной модуляцией / / Автоматика и телемеханика. 1993. № 6. С. 142-150.

46. Белов Г.А. Исследование колебаний в импульсном стабилизаторе напряжения вблизи границы устойчивости // Электричество. 1990. № 9. С. 44-51.

47. Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний. — М.: Наука. 1978. — 472 с.

48. Ерихов М.М., Островский М.Я. Условия устойчивости систем с широтно-импульсной модуляцией второго рода // Изв. вузов. Приборостроение. 1989. Т. 32. № 10. С. 13-18.

49. Кипнис М.М. Хаотические явления в детерминированной одномерной широтно-импульсной системе управления // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1992. № 1. С. 108-112.

50. Постников Н.С. Стохастичность релейных систем с гистерезисом // Автоматика и телемеханика. 1998. № 3. С. 57-68.

51. Fossas Е., Olivar G. Study of chaos in the buck converter // IEEE Transactions on Circuits and Systems-I: Fundamental Theory and Applications. 1996. № 43. P. 13-25.

52. Крутова И.H. Исследование процесса стабилизации многомерной динамической системы с релейным управлением / / Автоматика и телемеханика. 1999. № 4. С. 27-43.

53. Крутова И.Н. Об устойчивости режима стабилизации космического аппарата с учетом упругих колебаний // Автоматика и телемеханика. 1999. № 7. С. 44-58.

54. Постников Н.С. Стохастические колебания в ядерном реакторе с релейной системой регулирования // Атомная энергия. 1994. Т. 76. № 1. С. 3-11.

55. Postnikov N.S. Dynamic chaos in relay systems with hysteresis // Computational Mathematics and Modeling. 1997. 8. 62-72.

56. Жуйков В.Я., Леонов А.О. Хаотические процессы в электротехнических системах // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. 1991. № 1. С. 121-127.

57. Hamill D.C., Deane J.H.B., Jefferies D.J. Modelling of chaotic DC-DC converters by iterated nonlinear mappings // IEEE Trans. Power Electron. 1992. Vol. 7. P. 25-36.

58. Deane J.H.B., Hamill D.C. Analysis, simulations and experimental study of chaos in the buck converter // IEEE Power Electronics Conference. 1990. P. 491-498

59. Ланда П.С. Нелинейные колебания и волны. — М.: Наука. Физматлит. 1997. — 496 с.

60. Анищенко B.C., Вадивасова Т.Е., Астахов В.В. Нелинейная динамика хаотических и стохастических систем. Фундаментальные основы и избранные проблемы. — Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1999. — 368 с.

61. Фейгин М.И. Вынужденные колебания систем с разрывными нелинейно-стями. — М.: Наука, 1994. — 288 с.

62. Фейгин М.И. Удвоение периода колебаний при С-бифуркациях в кусочно-непрерывных системах // ПММ. 1970. Т. 34. № 5. С. 861-869.

63. Фейгин М.И. О рождении семейств субгармонических режимов в кусочно-непрерывной системе // ПММ. 1974. Т. 38. № 5. С. 810-818.

64. Фейгин М.И. О структуре С-бифуркационных границ кусочно-непрерывных систем // ПММ. 1978. Т. 42. № 5. С. 820-829.

65. Nusse Н.Е., Yorke J.A. Border-collision bifurcation including "period two to period three" for piecewise smooth systems // Physica D. 1992. № 57. P. 39-57.

66. Nusse H.E., Ott E., Yorke J.A. Border-collision bifurcations: an explanation for observed bifurcation phenomena // Phys. Rev. E. 1994. № 49. P. 1073-1076.

67. Nonlinear dynamics and chaos in mechanical systems with discontinuities / Ed. by Wiercigroch M., de Kraker A. World Scientific. 1999. 350 P.

68. M. di Bernardo, C. Budd, A. Champneys Grazing and border-collision in piecewise-smooth systems: a unified analytical framework // Phys. Rev. Lett. 2001. Vol. 86. № 12. P. 2553-2556.

69. Banerjee S., Karthik M.S., Yuan G., Yorke J.A. Bifurcations in one-dimensional piecewise-smooth maps — theory and applications in switching circuits // IEEE Trans. Circuits Syst. I. 2000. Vol. 47. P. 389-394.

70. Фейгин М.И. Бифуркационный подход к исследованию управляемости судна при ветровом воздействии // Вестник Нижегор. ун-та. Математическое моделирование и оптимальное управление. 1998. Вып. 2(19). С. 41-49.

71. Yuan G., Banerjee S., Ott E., Yorke J.A. Border-collision bifurcation in the buck converter // IEEE Trans. Circuits Syst. I. 1998. Vol. 45. P. 707-716.

72. Blazejczyk-Okolewska В., Czolczynski K., Kapitaniak Т., Wojewoda J. Chaotic mechanics in systems with impacts and friction. — World Scientific. 1999. 200 P.

73. Fradkov A.L. Introduction to Control of Oscillations and Chaos. Singapore: World Scientific, 1998.

74. Chen G., Dong X. From Chaos to Order: Methodologies, Perspectives and Applications. Singapore: World Scientific, 1998. 462 P.

75. Feigin M.I. The increasingly complex structure of the bifurcation tree of a piecewise-smooth system // J. Appl. Maths. Mechs. 1995. № 59. P. 853-863.

76. Shaw S., Holmes P. A periodically forced piecewise linear oscillator // J. Sound Vib. 1983. V. 90. № 1. P. 129-155.

77. Thompson J., Ghaffari R. Chaotic dynamics of an impact oscillator // Phys. Rev. B. 1983. V. 27. № 3. P. 1741-1743.

78. Whiston G. Global dynamics of a vibro-impacting linear oscillator // J. Sound Vib. 1987. V. 118. № 3. P. 395-429.

79. Whiston G. Singularities in vibro-impact dynamics //J. Sound Vib. 1992. V. 152. № 3. P. 427-460.

80. Nordmark A. Non-periodic motion caused by grazing incidence in an impact oscillator // J. Sound Vib. 1991. V. 145. № 2. P. 279-297.

81. Nordmark A. Effects due to low velocity impact in mechanical oscillators // Int. J. Bifurcation Chaos. 1992. V. 2. № 3. P. 597-605.

82. Kleczka M., Kreuzer E., Schiehlen W. Local and global stability of a piecewise linear oscillator // Phil. TYans. R. Soc. Lond. A. 1992. № 338. P. 533-546.

83. Peterka F., Vacek J. Transition to chaotic motion in mechanical systems with impacts // J. Sound Vib. 1992. V. 154. № 1. P. 95-115.

84. Sung C., Yu W. Dynamics of a harmonically excited impact damper: bifurcations and chaotic motion // J. Sound Vib. 1992. V. 158. № 2. P. 317-329.

85. Samueli H., Willson A. Nonperiodic forced overflow oscillations in digital filters // IEEE Trans. Circuits Syst. 1983. CAS-30. № 10. P. 709-722.

86. Matsumoto Т., Chua L., Tanaka S. Simplest chaotic nonautonomous circuit // Phys. Rev. A. 1984. V. 30. № 2. P. 1155-1157.

87. Ayrom F., Zhong G.-Q. Chaos in Chua's circuit // IEE proc. 1986. V. 133. № 6. P. 307-312.

88. Komuro M., Tokunaga R., Matsumoto Т., Chua L., Hotta A. Global bifurcation analysis of the double scroll circuit // Int. J. Bifurcation Chaos. 1991. V. 1. № 1. P. 139-182.

89. Saito T. Reality of chaos in four-dimensional hysteretic circuits // IEEE Trans. Circuits Syst. 1991. V. 38. № 12. P. 1517-1524.

90. Зайцев А.П., Подлягин В.А. Устойчивость синхронизации колебаний релейно-импульсной системы регулирования тока // Изв. вузов. Электромеханика. 1987. № 7. С. 94-98.

91. А.С. № 1614966 СССР, В 60 L 15/04. Релейно-импульсный регулятор тока тягового электродвигателя / Ю.В. Колоколов, Ж.Т. Жусубалиев,

92. A.A. Кукин (СССР). — № 4648243/31-11; Заяв. 09.02.89; Опубл. 23.12.90, Бюл. № 47.

93. A.C. № 1403320 СССР, МКИ H 02 Р/175. Устройство для релейного регулирования тока электродвигателя постоянного тока / Ю.В. Колоколов, Ж.Т. Жусубалиев, A.A. Кукин (СССР). — № 4085392/24-07; Заяв. 03.07.86; Опубл. 15.06.88, Бюл. № 22.

94. Landa P.S. Nonlinear Oscillations and Waves in Dynamical Systems. Kluwer Academic Publishers, 1996. 456 P.

95. Anishchenko V.S. Dynamical Chaos — Models and Experiments. Singapore: World Scientific, 1995. 392 P.

96. Паркер Т.С., Чжуа Л.О. Введение в теорию хаотических систем для инженеров // ТИИЭР. 1987. Т. 75. № 8. С. 6-40.

97. Хенон М. Двумерное отображение со странным аттрактором / / Странные аттракторы. / Под. ред. Синая Я.Г. и Шильникова Л.П. — М.: Мир, 1981, С. 152-163.

98. Hitzl D.L, Zele F. An Exploration of the Hénon Attractors // J. Stat. Phys. 1981. V. 26. № 4. P. 683-695.

99. Лихтенберг A., Либерман M. Регулярная и стохастическая динамика. — M.: Мир, 1984. — 528 с.

100. Берже П., Помо И., Видаль К. Порядок в хаосе. О детерминистическом подходе к турбулентности. — М.: Мир, 1991. — 368 с.

101. Мун Ф. Хаотические колебания. — М.: Мир, 1990. — 528 с.

102. Анищенко B.C. Сложные колебания в простых системах. — М.: Наука, 1990. — 312 с.

103. Дмитриев A.C., Кислов В.Я. Стохастические колебания в радиофизике и электронике. — М.: Наука, 1989. — 280 с.

104. Дмитриев A.C., Старков С.О., Широков М.Е. Структура периодических орбит хаотической автоколебательной системы, описываемой разностными уравнениями второго порядка // Радиотехника и электроника. 1994. № 8-9. С. 1392-1400.

105. Anishchenko V.S., Vadivasova Т.Е., Strelkova G.I., Kopeikin A.S. Chaotic Attractors of Two-dimensional Invertible Maps // Discrete Dynamics in Nature and Society. 1998. V. 2. P. 249-256.

106. Anishchenko V.S., Strelkova G.I. Irregular Attractors // Discrete Dynamics in Nature and Society. 1998. V. 2. P. 53-72.

107. Богданов H.С., Кузнецов A.П. «Атлас» карт динамических режимов эталонных моделей нелинейной динамики и радиофизических систем // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2000. № 1. С. 80-89.

108. Кузнецов А.П., Тюрюкина JI.B. Динамические системы разных классов как модели нелинейного осциллятора с импульсным воздействием // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2000. № 2. С. 31-42.

109. Жусубалиев Ж.Т., Рудаков В.Н., Сухотерин Е.А. К динамике отображения Хенона // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2000. № 3. С. 3-16.

110. Zhusubaliyev Zh.T., Rudakov V.N., Soukhoterin E.A., Mosekilde E. Bifurcation Analysis of the Henon Map // Discrete Dynamics in Nature and Society. 2000. № 4. P. 203-221.

111. Kan I., Kocak H., Yorke J.A. Persistent Homoclinic Tangencies in the Henon Family // Physica D. 1995. № 83, P. 313-325.

112. Hansen K., Cvitanovic P. Bifurcation Structures in Maps of Henon Type // Nonlinearity. 1998. № 11. P. 1233-1261.

113. Kuznetsov A., Kuznetsov S., Sataev I. Prom Bimodal One-Dimensional Maps to Henon-like Two-Dimensional Maps: Does Quantitative Universality Survive? // Physics Letters A. 1994. № 184. P. 413-421.

114. Simo C. On the Henon-Pomeau Attractor //J. Stat. Phys. 1979. 21. № 4. P. 465-494.

115. Sonis M. Once More on the Henon Map: Analysis of Bifurcations // Chaos, Solitons and Fractals. 1996. 7. № 12. P. 2215-2234.

116. Баушев B.C., Жусубалиев Ж.Т. О недетерминированных режимах функционирования стабилизатора напряжения с широтно-импульсным регулированием // Электричество. 1992. № 8. С. 47-53.

117. Баушев B.C., Жусубалиев Ж.Т., Михальченко С.Г. Стохастичность в динамике стабилизатора напряжения с широтно-импульсным регулированием // Электричество. 1996. № 3. С. 69-75.

118. Жусубалиев Ж.Т., Рудаков В.Н., Сухотерин Е.А. О бифуркациях и хаотических колебаниях в релейной системе автоматического регулирования с гистерезисом. Курск, 1999, 54 с. Деп. в ВИНИТИ № 2698-В99. 20.08.1999 г.

119. Жусубалиев Ж.Т., Рудаков В.Н., Сухотерин Е.А. Бифуркации и хаотические колебания в динамике двумерного отображения Хенона. Курск, 1999, 40 с. Деп. в ВИНИТИ 4.08.1999. № 2554-В99.

120. Неймарк Ю.И., Ланда П.С. Стохастические и хаотические колебания. — М.: Наука, 1987. — 424 с.

121. Бутенин Н.В., Неймарк Ю.И., Фуфаев Н.А. Введение в теорию нелинейных колебаний. — М.: Наука, 1987. — 324 с.

122. Shilnikov L.P., Shilnikov A.L., Turaev D.V., Chua L.O. Methods of Qualitative Theory in Nonlinear Dynamics. Singapore: World Scientific, 1998. 431 P.

123. Mira C., Carcasses J., Millerioux G., Gardini L. Plane Foliation of Two-dimensional Noninvertible Maps // Int. J. Bifurcation and Chaos. 1996. V. 6. № 8. P. 1439-1462.

124. Kuznetsov A., Kuznetsov S., Sataev I. Variety of Types of Critical Behavior and Multistability in Period-doubling Systems with Unidirectional Coupling Near the Onset of Chaos // Int. J. Bifurcation and Chaos. 1993. V. 3. № 1. P. 139-152.

125. Barfred M., Mosekilde E., Holstein-Rathlou N.-H. Bifurcation Analysis of Nephron Pressure and Flow Regulation // Chaos. 1996. V. 6. № 3, P. 280-287.

126. Gallas J. Dissecting Shrimps: Results for Some One-dimensional Physical Models // Physica. 1994. № 202. P. 196-223.

127. Mosekilde E. Topics in Nonlinear Dynamics: Applications to Physics, Biology and Economics Systems. Singapore: World Scientific, 1996. 380 P.

128. Мандельштам Л.И. Лекции по колебаниям. — М.: Наука. 1972. — 470 с.

129. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. — М.: Физ-матгиз. 1959. — 916 с.

130. Алексеев А.С. Электронная модель двухпозиционного регулятора температуры с зоной опережения // ДАН СССР. 1952. Т. 57. № 3. С. 393-396.

131. Алексеев А.С. Двухпозиционный регулятор температуры с зоной опережения // Памяти А.А. Андронова. — М.: Изд-во АН СССР, 1955. С. 45-76.

132. Фейгенбаум М. Универсальность в поведении нелинейных систем // УФН. 1983. Т. 141. С. 343-374.

133. Guckenheimer J., Holmes P. Nonlinear oscillations, dynamical systems, and bifurcations of vector fields. — Springer, New York, 3rd printing, 1990.

134. Жусубалиев Ж.Т. Хаотические колебания в кусочно-линейной модели релейной системы с гистерезисом. // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. № 4. 2000. С. 5-25.

135. Zhusubaliyev, Zh.T., Soukhoterin, Е.А., Rudakov, V.N., Kolokolov, Yu.V., Mosekilde, E. Bifurcations and chaotic oscillations in an automatic control relay system with hysteresis // Int. J. Bifurcation Chaos. 2001. V. 11. № 5. P. 1193-1231.

136. Жусубалиев Ж.Т. Бифуркации и хаотические движения в релейных системах автоматического регулирования // Мат. науч.-тех. конф. «Распознавание-97» (Курск, 25-28 ноября, 1997). Курск, 1997. С. 25-29.

137. Жусубалиев Ж.Т., Колоколов Ю.В. Бифуркации и хаос в релейных и широтно-импульсных системах автоматического управления. — М.: «Машиностроение-1», 2001. 120 с.

138. Жусубалиев Ж.Т., Титов B.C. Хаотические колебания в релейной системе с гистерезисом // Автоматика и телемеханика. 2001. № 1. С. 67-79.

139. Жусубалиев Ж.Т., Пахомова Е.П., Пинаев C.B. Метод точечных преобразований в теории релейных систем // Вибрационные машины и технологии. Сборник докладов и материалов 3-й международной научно-технической конференции. — Курск, 1997. С. 254-257.

140. Жусубалиев Ж.Т., Полигцук В.Г., Титов B.C. Колебания, бифуркации и хаос в технических системах. — Курск: Изд-во Курск, гос. техн. ун-та. 2000. — 166 с.

141. Жусубалиев Ж.Т., Сухотерин Е.А. Хаотические колебания в динамике релейной системы с гистерезисом / / Информационные технологии моделирования и управления: Межвуз. сб. науч. тр. / Воронежский гос. техн. ун-т. 1999. С. 75-82.

142. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. — М.: Наука. 1984. — 432 с.

143. Гаушус Э.В. Исследование динамических систем методом точечных преобразований. — М.: Наука. 1976. — 368 с.

144. Жусубалиев Ж.Т., Пинаев C.B., Рудаков В.Н. Моделирование преобразователей электроэнергии в автоматизированных системах управления электроприводами // «Распознавание-95»: Сборник материалов 2-ой международной конференции. — Курск, 1995. С. 199-201.

145. Деннис Дж., Шнабель Р. Численные методы безусловной оптимизации и решения нелинейных уравнений. — М.: Мир. 1988. — 440 с.

146. Айзерман М.А., Гантмахер Ф.Р. Устойчивость по линейному приближению периодического решения системы дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями // ПММ. 1957. Т. 21. С. 658-669.

147. Алейников O.A., Баушев B.C., Кобзев A.B., Михальченко Г.Я. Исследование локальной устойчивости периодических режимов в нелинейных импульсных системах // Электричество. 1991. ДО 4. С. 23-31.

148. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. — М.: Наука, 1985.

149. Баушев B.C., Жусубалиев Ж.Т., Колоколов Ю.В., Терехин И.В. К расчету локальной устойчивости периодических режимов в импульсных системах автоматического регулирования // Автоматика и телемеханика. 1992. ДО 6. С. 93-100.

150. Понтрягин Jl.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Наука. 1982. — 332 с.

151. Справочник по теории автоматического управления / Под ред. A.A. Кра-совского. — М.: Наука, 1987.

152. Баушев B.C., Кобзев A.B., Тановицкий Ю.Н. Нормальные структуры динамических объектов / / Аппаратно-программные средства автоматизации технологических процессов. — Томск: Изд. Томского гос. ун-та, 1997. С. 146-152.

153. Митришкин Ю.В. Минимизация амплитуды автоколебаний в релейнойw w w w w //Асистеме управления с устоичивои линеинои динамическои частью // Автоматика и телемеханика. 1989. № 9. С. 91-102.

154. Анищенко B.C. Аттракторы динамических систем // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1997. Т. 5. № 1. С. 109-127.

155. Неймарк Ю.И. Динамическая система как основная модель современной науки // Автоматика и телемеханика. 1999. № 3. С. 196-201.

156. Baushev V.S., Zhusubaliyev Zh.T., Mikhal'chenko S.G. Stochastic Features in the Dynamic Characteristics of a Pulse-Width Controlled Voltage Stabilizer // Electrical Technology. 1996. № 1. P. 135-150.

157. Шустер Г. Детерминированный хаос. — М.: Мир, 1988. — 240 с.

158. Кузнецов С.П., Ерастова Е.Н. Теория Фейгенбаума // Лекции по электронике СВЧ и радиофизике. Кн. 2. — Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1983. — С. 3-22.

159. Шарковский А.Н. Сосуществование циклов непрерывного преобразования прямой в себя // Укр. мат. журн. 1964. Т. 26. № 1. С. 61-71.

160. Li T.Y., Yorke J. Period Three Implies Chaos // Amer. Math. Mon. 1975. V. 82. P. 985-992.

161. Metropolis N., Stein M.L., Stein P.R. On Finite Limit Sets for Transformations of the Unit Interval // J. Combin. Theory. 1973. V. 15. P. 25-44.

162. Feigenbaum M.J. Universal Behavior in Nonlinear Systems // Los Alamos Science. 1980. V. 1. № 1. P. 4-27.

163. Feigenbaum M.J. Quantitative Universality for a Class of Nonlinear Transformations //J. Stat. Phys. 1978. V. 19. P. 25-52.

164. Вул Е.Б., Синай Я.Г., Ханин К.М. Универсальность Фейгенбаума и термодинамический формализм // УФН. 1984. Т. 39. С. 3-37.

165. Collet P., Eckmann J.-P. Iterated Maps of the Interval as Dynamical Systems. Berkhouser, Boston. 1980.

166. Feigenbaum M.J. The Universal Metric Properties of Nonlinear Transformations //J. Stat. Phys. 1979. V. 21, № 6. P. 669-706.

167. Ни B. Introduction to Real-Space Renormalization-Group Methods in Critical and Chaotic Phenomena // Phys. Rep. 1982. V. 91. P. 233-235.

168. Ни В., Satija I. A Spectrum of Universality Classes in Period Doubling and Period Tripling // Phys. Lett. A. 1986. V. 119. P. 143-150.

169. Van der Welle J.P., Capel H.W., Kluiving R. On the Scaling Factor (z) and (z???) // Phys. Lett. A. 1986. V. 119. P 15.

170. Lubimov D.V., Zaks M.A. Two Mechanisms of the Transition to Chaos in Finite-Dimensional Models of Convection // Physica D. 1983. V. 9. P. 52-61.

171. Huberman B.A., Rudnik J. Scaling Behavior of Chaotic Flows // Phys. Rev. Lett. 1980. V. 45. P. 154-156.

172. Кузнецов А.П., Кузнецов С.П. Критическая динамика одномерных отображений. Часть I. Сценарий Фейгенбаума // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1993. Т. 1. № 1. С. 15-25.

173. Collet P., Tresser С. Critical Transition to Stochasticity for Some Dynamical Systems // J. de Phys. 1980. V. 41. L 255.

174. Collet P., Eckmann J.-P. Universal Properties of Continuous Maps of the Interval to Itself // Lecture Notes in Physics. 1979. V. 74. Springer-Verlag, New York.

175. Singer D. Stable Orbits and Bifurcation of Maps of the Interval // SIAM. J. Appl. Math. 1978. V. 35. P. 260.

176. Collet P., Eckmann J.-P., Koch H. Period Doubling Bifurcations for Families of Maps on R" // J. Stat. Phys. 1981. V. 25. P. 1-14.

177. May R.M. Simple Mathematical Models with very Complicated Dynamics // Nature. 1976. V. 261. P. 459-467.

178. Collet P., Eckmann J.-P., Lanford O.E. Universal Properties of Maps on a Interval // Com. Math. Phys. 1980. V. 76. P. 211-254.

179. Lanford O.E. A Computer-Assisted Proof of the Feigenbaum Conjectures // Bui. Am. Math. Soc. 1982. V. 6. P. 427.

180. Mir a C. Chaotic Hierarchy from the One-Dimensional Box-within-a-Box Bifurcations Structure Properties. A Chaotic Hierarchy, World Scientific. — 1991.

181. Kuznetsov A.P., Kuznetsov S.P., Sataev I.R., Chua L.O. Two-Parameter Study of Transition to Chaos in Chua's Circuit: Renormalization Group, Universality and Scaling // Int. J. of Bifurcation and Chaos. 1993. V. 3, № 5. P. 943-975.

182. Кузнецов А.П., Кузнецов С.П., Иваньков Н.Ю., Осип А.А. Скейлинг при переходе к хаосу через разрушение квазипериодического движения с отношением частот, заданным золотым средним // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2000. Т. 8. № 4. С. 3-24.

183. Кузнецов А.П., Савин А.В. О проблеме границы хаоса и типичных структурах плоскости параметров неавтономных дискретных отображений с удвоением периода // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2000. Т. 8. № 4. С. 25-36.

184. Моин B.C. Стабилизированные транзисторные преобразователи. — М.: Энергоатомиздат. 1986. — 376 с.

185. Берендс Д.А., Кукулиев P.M., Филиппов К.К. Приборы и системы автоматического управления с широтно-импульсной модуляцией. — Д.: Машиностроение. 1989. — 272 с.

186. Четти П. Проектирование ключевых источников электропитания. — М.: Энергоатомиздат. 1990. — 191 с.

187. Hommes С.Н., Nusse Н.Е. "Period three to period two" bifurcation for piecewise linear models //J. Economics. 1991. № 54. P. 157-169.

188. Nusse H.E., Yorke J.A. Border-collision bifurcation for piecewise smooth one-dimensional maps // Int. J. Bifurcation Chaos. 1995. V. 5. № 1. P. 189-207.

189. Maistrenko Yu.L., Maistrenko V.L., Vikul S.I., Chua L.O. Bifurcations of attracting cycles from time-delayed Chua's circuit // Int. J. Bifurcation Chaos. 1995. V. 5. № 3. P. 653-671.

190. Controlling Chaos and Bifurcations in Engineering Systems / Eld. by Chen G. CRC Press, Boca Raton, London, New York, Washington, D.C. 2000. 401 P.

191. Жусубалиев Ж.Т., Колоколов Ю.В., Терехин И.В. Расчет установившихся режимов в широтно-импульсных регуляторах тока тяговых двигателей // Изв. вузов. Электромеханика. 1991. № 5. С. 70-76.

192. Жусубалиев Ж.Т., Колоколов Ю.В., Рудаков В.Н. К проблеме хаотиза-ции состояний импульсных систем автоматического регулирования тяговым электроприводом // Изв. вузов. Электромеханика. 1995. № 5-6. С. 86-92.

193. Baushev V.S. and Zhusubaliyev Zh.T. Indeterminable states of a voltage regulator with pulse-width control // Electrical Technology. 1992. No. 3. pp. 85-98. (Elsevier Science, Great Britain).

194. Афраймович B.C., Шильников Л.П. Инвариантные двумерные торы, их разрушение и стохастичность // Методы качественной теории дифференциальных уравнений. Горький: Изд-во Горьк. ун-та, 1983. С. 3-26.

195. Maurer J., Libchaber A. Rayleigh-Benard experiment in liquid helium: frequency locking and the onset of turbulence //J. Phys. Lett. 1979. № 40. P. L419-L423.

196. Aranson D., Chori M., Hall G., McGenehe R. Bifurcations from an invariant circle for two-parameter families of maps of the plane: a computer-assisted study // Comm. Math. Phys. 1982. № 83. P. 303-354.

197. Franceschini V. Bifurcations of tori and phase locking in a dissipative system of differential equations // Physica D. 1983. V. 6. № 3. P. 285-304.

198. Stavans J. Experimental study of quasiperiodicity in a hydrodynamical systems // Phys. Rev. A. 1987. №. 35. P. 4314-4328.

199. Анищенко B.C., Сафонова M.A. Механизмы разрушения инвариантной кривой в модельном отображении плоскости // Радиотехника и электроника. 1987. Т. 32. № 6. С. 1207-1216.

200. Moon Н.Т., Huerre P., Redekopp L.G. Three-frequency motion and chaos in the Ginzburg-Landau Equation // Phys. Rev. Lett. 1982. V. 49. № 7. P. 458-460.

201. Kaneko K. Transition from torus to chaos accompanied by frequency locking with simmetry breaking // Progr. Theor. Phys. 1983. V. 69. № 5. P. 1427-1442.

202. Анищенко B.C., Летчфорд Т.Е., Сафонова M.A. Критические явления при гармонической модуляции двухчастотных колебаний // Письма в ЖТФ. 1985. Т. 11. вып. 9. С. 536-541.

203. Gollub J.P., Benson S.V. Many routes to turbulent convecton //J. Fluid Mech. 1980. V. 100. Part. 3. P. 449-470.

204. Kaneko K. Collapse of tori and genesis of chaos in dissipative systems. — Singapore: World Scientific. 1986. — 264 p.

205. Кислов В.Я., Дмитриев А.С. Стохастические колебания в радиотехнических и электронных системах // Проблемы современной радиотехники и электроники. — М.: ИРЭ АН СССР, 1983. С. 193-212.

206. Анищенко B.C. Разрушение квазипериодических колебаний и хаос в дис-сипативных системах // ЖТФ. 1986. Т. 56. № 2. С. 225-237.

207. Жусубалиев Ж.Т., Емельянова Е.Ю. О синхронизации квазипериодических колебаний при С-бифуркациях в кусочно-линейной неавтономной динамической системе // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика.2000. Т. 8. № 5. С. 57-71.

208. Жусубалиев Ж.Т., Емельянова Е.Ю. О возникновении резонансных циклов на двумерном торе в трёхмерной неавтономной динамической системе с разрывной правой частью. Курск, 1999, 26 с. Деп. в ВИНИТИ 17.08.2000 г., № 2265-В00.

209. Zhusubaliyev Zh.T., Titov V.S., Emelyanova E.Yu., Soukhoterin E.A. C-bifurcations in the dynamics of control system with pulse-width modulation // Proc. of Second Int. Conf. COC'2000. 2000. (St.Petersburg, Russia, July 5-7), pp. 203-204.

210. Баушев B.C., Жусубалиев Ж.Т., Колоколов Ю.В. К анализу релейных САР тока в режимах электродинамического торможения высокоскоростных электропоездов / / Электричество. 1989. № 7. С. 66-70.

211. Колоколов Ю.В., Вейцман Л.Ю., Жусубалиев Ж.Т., Бухал А.И., Бер-зин P.M. Автоматизированная система управления тяговыми электроприводами второго скоростного электропоезда ЭР200 // Электротехника, 1990. № 9. С. 49-52.

212. Колоколов Ю.В., Жусубалиев Ж.Т. Исследование релейных регуляторов тока высокоскоростного электропоезда ЭР200 в режимах электродинамического торможения // АН УССР. Техническая электродинамика. 1989. № 5. С. 67-73.

213. Колоколов Ю.В. Формирование принципов построения релейно-импульсных регуляторов тока тяговых двигателей постоянного тока // Электричество. 1990. № 9. С. 35-44.

214. Казанцев Ю.М. Релейно-импульсное управление в полупроводниковых преобразователях // Электричество. 1998. № 3. С. 58-63.

215. Колоколов Ю.В., Жусубалиев Ж.Т., Коваленко Ю.И., Кукин A.A. Анализ способов автоматического регулирования тягового и тормозного токов на высокоскоростном электропоезде ЭР200 // Вестник ВНИИЖТ, 1988. № 5. С. 19-23.

216. Колоколов Ю.В., Жусубалиев Ж.Т., Терехин И.В. К анализу периодических электромагнитных процессов в релейно-импульсных регуляторах тока тяговых двигателей // Изв. вузов. Электромеханика. 1990. № 5. С. 102-105.

217. A.C. № 1309238 СССР, МКИ H 02 Р 5/16. Электропривод постоянного тока /Ю.В. Колоколов, Ж.Т. Жусубалиев, И.А. Абрамов, A.A. Кукин (СССР). — № 3989310/24-07; Заяв. 16.12.85; Опубл. 07.05.87, Бюл. № 17.

218. Жусубалиев Ж.Т., Рудаков В.Н. Математическое моделирование системы автоматического управления тиристорным электроприводом // Вибрационные машины и технологии: Сборник докладов и материалов 2-ой научно-технической конференции — Курск, 1995. С. 115-117.

219. Жусубалиев Ж.Т., Титов B.C. Бифуркации и хаотические колебания в динамике электропривода постоянного тока // Вестник Красноярского государственного технического университета, 1998. С. 64-72.

220. Гончаров Ю.П., Чикотило И.И., Гапчинский С.С. Анализ устойчивости широтно-импульсного преобразователя при однопозиционном регулировании тока // Изв. вузов. Электромеханика. 1979. № 7. С. 610-614.

221. A.C. № 1595706 СССР, МКИ В 60 L 15/04. Устройство для релейного регулирования тока тягового электродвигателя / Ю.В. Колоколов, А.И. Бухал, Ж.Т. Жусубалиев (СССР). — № 4611291/31-11; Заяв. 01.11.88; Опубл. 30.09.90, Бюл. № 36.

222. Колоколов Ю.В., Жусубалиев Ж.Т., Гусев Ю.В., Букреев В.Г. Частотный измерительный преобразователь тока для регуляторов тока двигателей электроподвижного состава // Электротехника. 1988. № 7. С. 45-47.

223. Плакс A.B., Колоколов Ю.В., Жусубалиев Ж.Т. Некоторые принципы построения релейных регуляторов тока двигателей постоянного тока // Изв. вузов. Электромеханика. 1989. № 10. С. 92-100.

224. A.C. № 1331679 СССР, МКИ В 60 L 15/04. Устройство для регулирования тока электродвигателя транспортного средства / Ю.В. Колоколов, Ж.Т. Жусубалиев, A.A. Кукин (СССР). — № 4051082/31-11; Заяв. 07.04.86; Опубл. 23.08.87, Бюл. № 31.

225. Зайцев А.П., Болотов В.В. Измерительный преобразователь тока в частоту // Изв.вузов. Электромеханика. 1972. № 5. С. 549-552.

226. A.C. № 1051598 СССР, МКИ Н 01 F 40/12. Измерительный преобразователь тока / В.Г. Букреев, А.П. Зайцев, Ю.В. Колоколов, Л.Ю. Вейцман (СССР). — № 3456732/24-01; Заяв. 18.06.82. Опубл. 30.10.83. Бюл. № 40.

227. Кацман Г.И., Матвеев И.М. Использование преобразователей Холла для бесконтактного измерения сигналов постоянного тока / / Приборы и системы управления. 1986. № 10. С. 33.

228. Датчики напряжения и тока // Проспект фирмы «LEM» (Швейцария). 1988.