автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.07, диссертация на тему:Хаос в динамике стабилизированных преобразователей электрической энергии с релейным регулированием

? 1 ДЕК 122С-

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

КУРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

УДК 681.511:621.316.72

РУДАКОВ ВАДИМ НИКОЛАЕВИЧ

ХАОС В ДИНАМИКЕ СТАБИЛИЗИРОВАННЫХ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЕЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ С РЕЛЕЙНЫМ РЕГУЛИРОВАНИЕМ

05.13.07- Автоматизация технологических процессов и производств (в промышленности)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Курск-1998

Работа выполнена в Курском государственном техническом университете

Научные руководители:

доктор технических наук, профессор

Ю.В. Колоколов кандидат технических наук, доцент Ж.Т. Жусубалиев

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор

Г.Я. Михальченко кандидат технических наук, доцент И.С. Некрасов

Ведущая организация: Орловское отделение Московской железной дороги

Защита диссертации состоится «25" " ^г-кгас^сС 1998 г. в 12. часов заседании диссертационного совета К 064.50.01 1й Курском государственна техническом университете по адресу: 305040, г. Курск, ул. 50 лет Октября,! конференц-зал.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Курске государственного технического университета. Автореферат разослан "2 У* ноября 1998 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета,

кандидат физико-математических наук, доца

Ф.А. СТарко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В регулируемых электроприводах систем автоматизации технологических процессов в промышленности, на электрическом транспорте, во вторичных источниках электропитания технологических комплексов с силовыми полупроводниковыми преобразователями электрической энергии чаше всего используют системы автоматического регулирования с шнротно-импульсной модуляцией (ШИМ).

Освоение промышленностью новых типов силовых высокочастотных полупроводниковых приборов и создание на их основе конструктивно законченных унифицированных силовых модулей преобразовательных устройств, появление широкого набора устройств обработки аналоговых и цифровых сигналов, датчиков с высокими метрологическими характеристиками открывают широкие возможности создания конструктивно простых и надежных в эксплуатации стабилизированных преобразователей электрической энергии с улучшенными динамическими характеристиками на базе релейных систем автоматического регулирования вибрационного действия [Андронов A.A. соавт., 1959; Цыпкин Я.З., 1974]. Отличаясь простотой, такие системы могут обеспечить сколь угодно малый коэффициент пульсаций тока и напряжения, существенно повысить точность регулирования и бысзродействие [Цыпкин Я.З., 1974; Зайцев А.П. соавт., 1973 ].

Основным режимом работы релейных систем указанного класса является режим автономных колебаний (автоколебаний). Последний относится к особому виду периодических движений, которые поддерживаются не внешним периодическим воздействием, а определяются свойствами самой системы. В то же время экспериментально и на моделях обнаружены более сложные режимы, включая кказипернодическис и хаотические колебания, характерные для широкого класса нелинейных систем. При этом установлено, что в некоторых областях значений параметров возможна неединственность движений. Вследствие чего даже незначительные вариации параметров или малые возмущения в процессе эксплуатации могут приводить к катастрофическим явлениям, проявляющимся в резкой смене характера динамики, например, внезапном переходе от одних периодических движений к другим, либо к катастрофической хаотизацпи колебаний. Следствием последних являются не только значительное увеличение динамических ошибок и ухудшение качественных показателен системы, но и внезапные отказы.

Несмотря на достигнутые успехи в развитии теории нелинейных колебаний, теории управления и регулирования, преобразовательной техники к автоматизированного электропривода, особенности сложной динамики замкнутых систем преобразования элекфичсской энергии с релейным регулированием и причины катастрофических явлений остаются мало изученными.

По эюй причине к настоящему времени не разработано методических подходов к обоснованному выбору структуры и параметров релейных систем, обеспечивающих выполнение требований к показателям качества функционирования системы и устойчивости в целом рабочих режимов колебаний в широком диапазоне и шенепия параметров объекта управления и возмущающих воздействий со сто-

роны питающей сети или нагрузки. Это вынуждает проводить большой объем экспериментальных натурных исследований с целью получения приемлемых для конкретных условий эксплуатации динамических характеристик, повышения надежности и эксплуатационных показателей.

Поэтому разработка методов анализа нелинейных колебаний в релейных системах, исследование закономерностей хаотической динамики конкретного класса систем преобразования электрической энергии, способствующих проектированию регулируемых электроприводов и преобразовательных устройств с требуемыми динамическими свойствами являются актуальными задачами.

Цель работы. Разработка математических моделей, методик и алгоритмов численного анализа нелинейных колебаний релейных систем автоматического регулирования. исследование свойств и закономерностей хаотической динамики. Создание подхода к исследованию и проектированию систем преобразования электрической энергии с релейным регулированием, основанном, на разработанных методиках и алгоритмах расчета их динамики, обобщениях результатов анализа хаотической динамики конкретных систем.

В соответствии с этим в диссертационной работе ставятся следующие задачи:

■ Развитие подхода к формированию математических моделей преобразователей электрической энергии с релейным регулированием, представляемых в виде i.\ сочно-сшитых автономных динамических систем.

■ Разработка методик и алгоритмов численного анализа периодических движений многомерных кусочно-сшитых автономных динамических систем, алгоритмов построения картины ветвления предельных циклов, разбиения пространства параметров на области с различными типами колебаний.

Н Исследование свойств и закономерностей сложной (в том числе хаотической) динамики конкретного класса релейных систем.

В Обоснование подхода к исследованию и проектированию релейных автоматических систем, базирующегося на обобщениях свойств и закономерностей хао-. тнческой динамики конкретного класса стабилизированных преобразователей с релейным регулированием. Исследование, практическая реализация и внедрение в промышленность релейных систем автоматического регулирования тока (момента) двигателей тиристорных электроприводов с улучшенными динамическими и эксплуатационными характеристиками .

Методы исследования базируются на аппарате теории дифференциальных уравнений, теории нелинейных колебаний и теории бифуркаций, матричной алгебры. теории множеств, методов вычислительной математики. Численная реализация математических моделей выполнялась на ЭВМ с помощью разработанного пакета прикладных программ. ¡Экспериментальные исследования проводились на электропоездах ЭР200 №1, ЭР200 №2.

Научная новизна.

■ Развит подход к формированию математических моделей релейных систем автоматического регулирования с переменной структурой и дискретно изменяющимися параметрами, основанный на аппарате точечных отображений (Андроное

A.A. еоавт., 1959; Неймарк Ю.И.. 1972], позволяющий исследовать широкий класс кусочно-сшитых автономных динамических систем с единых теоретических позиций

П Разработана методология расчета картины ветвления периодических движении многомерных кусочно-сшитых автономных динамических систем. Основу методологии составляют: а) алгоритм, базирующийся на модификации метода установления, позволяющий эффективно идентифицировать устойчивые предельные циклы (в случаях их неединственности), определять их характеристики и различать периодические и апериодические колебания; б) методика поиска предельных циклов, основанная на идее сведения задачи к системе уравнений относительно длительностей движения изображающей точки между переключениями релейного элемента, позволяющая находить как устойчивые, так и неустойчивые периодические движения; в) оригинальный алгоритм отслеживания движений (как периодических, так и апериодических колебаний) по параметрам.

а Разработан эффективный алгоритм разбиения пространства параметров динамических моделей релейных систем на области периодичности и недетерминированности, основанный на оригинальном приеме динамического дробления шага дискретизации пространства параметров, позволяющий существенно снизить вычислительные затраты в численных расчетах.

П Впервые изучены структура и свойства разбиения пространства параметром релейных систем на области периодичности и хаоса. Исследованы закономерности возникновения периодических движений, установлены возможные их бифуркации Выявлено, что в релейных системах при определенном сочетании параметров возможна неединственность движений. Вследствие чего даже малые вариации параметров при наличии случайных помех могут приводить к катастрофической смене характера движения.

П Обосновано, что хаотизация колебаний в релейных системах происходит гак же, как и в динамических системах с квазнгнперболнческими свойствами ((Неймарк Ю.И., Ланда П.С., 1987 |, [Баушев B.C., Жуеубалисв Ж.Т. и др, 1991, 1992. 1996 ]), а именно: когда существует несколько устойчивых периодических движений, хаотическая динамика возникает не только из-за перескока с одних устойчивых периодических движений на другие, но п за счет перескока из-за внешних возмущений с одной части кривой одного и того же устойчивого периодического движения на другую вследствие узости внутренней области притяжения.

Указанные результаты 'выносятся на защиту.

Практическая ценность и реалтацип рсчулмпдтоя padomtt.

Разработанные методики, алгоритмы численного анализа кусочно-сшитых автономных динамических систем н полученные в исследованиях новые факты в отношении динамических свойств конкретных систем позволяют: а) подходить к формированию и реализации динамических моделей систем преобразования электрической энергии с единых теоретических позиций; б) обнаруживать аномальные режимы функционирования, прогнозировать возможные сценарии возникновения хаотических колебаний и катастрофических явлении; направленно подходить к

выбору структуры, параметров регуляторов и корректирующих звеньев, устройств обратной связи, вида модуляции электрической энергии, что способствует повышению качества и надежности проектируемых систем преобразования электрической энергии.

Результаты диссертации использовались при проектировании систем управления тяговыми электроприводами электропоездов ЭР200. В период с 1994-1997 гг. при участии автора в составе научного коллектива совместно с предприятием ОАО "Экспериментальный завод" (г. Санкт-Петербург) разработаны и изготовлены системы управления тяговыми электроприводами электропоездов ЭР200. По результатам испытаний решением МВК системы управления приняты для регулярной эксплуатации в составе электрооборудования скоростных электропоездов ЭР200 на линии Санкт-Петербург-Москва Октябрьской железной дороги, о чем имеются акты о внедрении.

Работа выполнена в соответствии с планами научно-исследовательских работ Курского государственного технического университета в рамках госбюджетных НИР на 1992-1996 гг. по теме 1. 4. 92, № гос. регистрации 01.9.70003503; госбюджетных НИР Орловского государственного технического университета на 19941996 гг., № гос. регистрации 01.9.40003748, № гос. регистрации 01.9.40 003747; фантов в области транспортных наук (1993 г., 1994 г., 1996 г.), гранта в области "Автоматики и телемеханики, вычислительной техники, информатики, кибернетики, метрологии, связи" (1997 г.), в которых автор участвовал как исполнитель.

Апробация работы и публикации. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались: на школе - семинаре " Микропроцессорные системы связи и управления на железнодорожном транспорте " (г. Алушта, Украина, Харьков, 1994 г., 1995г„ 1996 г, 1997 г.); на 3-й международной конференции "Измерение, контроль и автоматизация производственных процессов (ИКАПП-94) "(Барнаул,1994г.); на научно-технической конференции "Электротехнические системы транспортных средств и их роботизированных производств "( г. Суздаль, 1995 г.); на 2-й международной конференции " Распознавание - 95 " ( Курск, 1995 г.); на 2-й научно - технической конференции " Вибрационные машины и технологии "(Курск, 1995 г.); на 4-й международной конференции "Application of Computer Systems ACS-97", Szczecin - Poland, 1997 (Польша, г. Щецин, 1997 г.); на научно-технических семинарах кафедры вычислительной техники КурскГТУ.

Результаты диссертации отражены в 17 печатных работах и 1 отчете по госбюджетной научно-исследовательской работе.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы, включающего 105 наименований и 2-х приложений, изложена на 180 страницах и поясняется 73 рисунками и 2 таблицами.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первой главе дается общая характеристика замкнутых систем преобразования электрической энергии. На примере рассмотрения структурной схемы регулируемого электропривода с преобразователем электрической энергии показывается, что такие системы характеризуются наличием двух входов - энергетического и информационного, а также энергетического выхода [Глазенко Т.А. соавт., 1996; Кобзев A.B. и соавт., 1990; Тонкаль В.Е. соавт., 1990]. Дается характеристика элементов энергетической и информационной части системы, отмечается их взаимосвязь.

Информационная часть преобразует информацию о заданных режимах работы, текущем состоянии системы и протекании технологического процесса в импульсную последовательность и посредством силового преобразователя накладывает эту информацию в энергетический поток, передаваемый от питающей сети в нагрузку. Указывается, что качество воспроизведения информации в энергетическом потоке, динамические и статические характеристики системы определяются схемотехническими и конструктивными особенностями преобразователя, его регулировочными характеристиками, электромеханическими свойствами двигателей, а также видом модуляции электрической энергии (ШИМ, АИМ, ЧИМ, АСМ и др.) и типом регуляторов.

Отмечается, что релейные системы по классификации, данной профессором Кобзевым A.B. [Кобзев A.B. и соавт., 1990], относятся к системам с асинхронной модуляцией (АСМ). Рассмотрены принципы построения асинхронных модуляторов и особенности реализации релейных систем автоматического регулирования. Указывается, что, отличаясь простотой и быстродействием, такие системы при соответствующем выборе параметров могут существенно повысить точность регулирования потока энергии, обеспечить сколь угодно малый коэффициент пульсаций тока и напряжения.

Основным недостатком, ограничивающим широкое применение релейных систем, является переменная (в зависимости от параметров) частота переключений преобразователя. Вследствие чего значительно усложняется фильтрация низкочас-н)1 ных пульсаций тока в питающей сети, возникающих при модуляции электрической энергии. Показано, что указанный недостаток устраняется посредством принудительной синхронизации колебаний с номощыо внешнего периодического воз-лейсшпя. Это позволяет совместить в одной структуре достоинства релейных систем и систем с широтно-имнульсноП модуляцией. Приводится пример реализации системы, основанной на принципе двойной синхронизации [Колоколов Ю.В., соавт. 1990]. Такая система может работать как в режиме автоколебаний, так и в режиме двойной принудительной синхронизации.

На основании анализа публикаций и экспериментальных данных показывается, чю замкнутые системы преобразования электрической энергии (в том числе и системы с релейным регулированием) характеризуются чрезвычайно сложной динамикой. В таких системах возможно существование как периодических, так и хаотических колебаний. Причем при определенном сочетании параметров наряду с

рабочим режимом (основным) колебаний, возможно жесткое возникновение других устойчивых движений или режимов квазипериодических и хаотических колебаний. Вследствие чего даже малые вариации параметров или малые возмущений со стороны питающей сети и нагрузки в процессе эксплуатации могут приводить ь катастрофической смене характера движения, что чрезвычайно опасно для фуню ционирующей системы.

Обзор состояния проблемы, примыкающей к тематике работы, показывает что в научной литературе отсутствуют публикации, относящиеся к исследования\ хаотической и катастрофических явлений в системах преобразования электриче ской энергии с релейным регулированием.

Это ставит задачу разработки методик и алгоритмов численного анализ: сложных нелинейных колебаний в релейных системах автоматического рсгулнро вания, проведение исследований динамики конкретных систем с целью получени: содержательной информации о закономерностях возникновения различных дви жений, причинах катастрофической смены режимов колебаний.

Во второй главе ставятся задачи разработки математических моделей релей ных систем автоматического регулирования, методов и алгоритмов их численног анализа, необходимых для исследования общей картины возможных режимов кс лебаний, бифуркационных переходов, определении областей существовании и ус тойчивости периодических движений, закономерностей усложнения характера кс лебаний. Для решения указанных задач в работе предложены подходы, основа» ные на приемах метода точечных отображений.

Математические модели релейных систем обычно формируются в виде сш темы автономных дифференциальных уравнений

2--4Х). (1)

¡¡1 -

Здесь А',(7- одностолбцовые матрицы размерности п. Правая часть систем (1) являются разрывной по. X. Конкретный вид уравнений поверхностей (гипе] поверхностей) разрыва правой части (1) определяется характеристикой релейно! элемента. Для рассматриваемого класса динамических систем в научной литер туре отсутствует общепринятая терминология (кусочно-гладкие, кусочно-сшиты разрывные, системы с переменной структурой и т.д.) (Фейгин М.И., 1994]. существующей неоднозначности терминологии в работе принято наименован! "кусочно-сшитые автономные динамические системы".

Ключевой режим работы преобразователей и возможность кусочно-линейш аппроксимации нелинейностей позволяют во многих случаях свести уравнен! движения (1) к кусочно-линейной автономной динамической системе

^ = А(КГ)Х + В{КГ). - (2)

Здесь А'- веюор с л-компонентам и; А(КГ), В(К,)- кусочно-постоянж нХн-матрица и //-мерный вектор; КГ = КГ(^), где £ = - сигналы

входе и выходе релейного элемента.

Пусть релейный элемент имеет харает-еристику вида:

А',. =-!->*,- = /, е(Х)ЪХ„ (3)

Л-,. = /->*, =-/, 4(Х) = и-Х-Э.

Здесь >9- задающее воздействие; + Хо< ~Ха ~ пороговые значения релейного элемента; Ч- //-мерная матрица-строка, определяющая закон регулирования. Обозначим через (к, к = 1.2, ...- моменты переключения релейного элемента, соответствующие переходу £(Л') ,|еРсз пороговые значения + х„ или - хо в одном направлении. Пусть КГ(к ..п,Кп- значения сигнала (Кг -= -1 или Ку I) на выходе релейного элемента соответственно в областях < I < Г, и Г, < / < .

С учетом введенных обозначений и условий (3) уравнение движения запишется в виде

~ = А„ ■ X + 1!к, Ак = А(Кп \/1„ = В(Кп ), Ак * Ам, Вк * , (4)

ш

Кп = +(-/)"'' •$(*)}, к„ =-/,

-V, =л\_, +о.а [1-^п(кп ■ _,))], N. = о,к=1, 2.....

От системы (5) негрудно перейти к отображению:

л\ = С\ -Л'»-, + Ск = ехр{Ал гк), Ук =-[Е-Ск} л;'1!к, (5)

где гк = ¡к - - наименьший корень уравнения

(-¡У'1-%а+&-и [Ск-Хк_,+Ук] = 0, к = (6)

Е - единичная матрица.

Совокупность рекуррентных соотношений (5) и уравнение (6) определяют отображение сдвига в пространстве тон же размерности, что и фазовое пространство. 11ахождение явной зависимости между Хк и Хк_, в виде (5) связано с нахождением первых интегралов дифференциальных уравнений (1), что в общем случае яиляеки задачей неразрешимой. Поэтому в случае, когда уравнения (I) являются пеинтегрируемыми, отображение

•V, = Г(тк,Хк_,), = (7)

определяется численным решением (1).

Введем некоторые понятия. Пусть Хс(1)- периодическое движение автономной системы (1) с периодом Г

ХГ(1 + Т)Ш.\Г(1). ; (8)

В силу (8) с ростом I функция 4(ХС(1)) будет также изменяться периодически ¿¡(Хс(1 + Т))в£(\\(1)), проходя пороговые значения + х» " ~Х, в моменты / = тс. {-1Т'-Х.+4(Х,(1>))'*0.' к'1.2,....

При ном Кп (¿;(.Хс(1))) представляет собой периодическую последователь-ноаь прямо.ичиьнмх импульсов. Период Г периодического движения Х,(/) оп-реле.тме1ся как с\мма промежутков времени г, движения изображающей точки мо.клу переключениями релейного элемента

Т = = т2к_, + т2к ,т = 1,2,.. .

Здесь число р переключений релейного элемента на периоде Т четно и равняется 2т, а Гд_,,Гд - суть длительности соответственно положительного (отрицательного) и отрицательного (положительного ) импульсов. Движение с таким периодом здесь и далее будем называть т-циклом.

Для расчета периодических движений в кусочно-линейных динамических моделях релейных систем использован прием, где задача нахождения периодического движения заданного типа сводится к системе трансцендентных уравнений относительно длительностей т,,г2,...,тр движения изображающей точки между переключениями релейного элемента

<рЛт,,т3,..., тр) = 0, к = 1,р,р=2т. (9)

Алгоритм позволяет находить как устойчивые, так и неустойчивые движения, что чрезвычайно важно при определении областей существования и устойчивости периодических движений, параметров бифуркаций.

Идея эта не нова, однако построение конкретных алгоритмов численного решения системы (9) связано с трудностями принципиального характера. Однако главные трудности состоят в другом. Пусть динамическая система (1) при фиксированных значениях параметров имеет множество устойчивых периодических движений. При исследовании конкретных систем, как правило, число и типы устойчивых движений, существующих при выбранных параметрах, априорно неизвестны. Это создает значительные и часто непреодолимые трудности в исследованиях. В связи с чем возникла необходимость в разработке методологии поиска периодических движений, ориентированной на случаи, когда имеет место полная априорная неопределенность относительно числа и типов устойчивых движений, а также наличия режимов апериодических колебаний.

Для решения этой задачи предложен подход, основанный на оригинальной итерационной процедуре идентификации характера нестационарных движений. Идея подхода состоит в построении последовательности вложенных множеств ...И; с...,

<К4 = (\'»,Л', = Г(т1,Х1_1), = 0,1 к=0,1,...

и множеств С»., = = Р(тк.,,Хк),рк.,(тк.1,Хк) = о}, к=0,1, ..., определяемых на решениях динамической системы (7).

Если среди к найдется наименьшее число *, такое что

&П1п,.,=0,акшк_,*в,к=*л+и...\а, = /йига»,пэ?.;, (ю>

то движение детерминированное. Выполнение условия (10) гарантирует установление периодического движения.

Движение является апериодическим, если для любого к С»*|ПЯ4 =0, к~0.1.....

Если выполнено (10), то тип и характеристики периодического движения определяется наименьшим целым числом от, таким что

XH = F(T„J.Xl.J_,);n(rl.J,Xl.J.,)*o-, (11)

* Хм ,J,!«Tp,U*I.P-2*yi = .....

Процедура поиска по сути сводится к решению задачи Коши с помощью (8 ) и формированию множеств Qk, с последующим сравнением элемента множества Qt со всеми элементами для каждого к = 1,2,... до тех пор, пока не будет выполнено (10). Описанную процедуру поиска нужно повторять многократно с разных начальных условий, выбираемых случайно, с тем, чтобы найти другие движения. Это приводит к существенным вычислительным затратам. Для повышения вычислительной эффективности найден прием, основанный на процедуре динамической сортировки последовательности чисел с использованием бинарных деревьев. При практической реализации алгоритма нужно рассматривать конечное число множеств Qt, . Максимальное число множеств Qk, 91,выбирается так, чтобы гарантировать надежную идентификацию типа периодического движения и различение периодических и апериодических колебаний. Алгоритм ориентирован для расчета периодических движений широкого класса нелинейных динамических систем как автономных, так и неавтономных. Проблема локальной устойчивости т- циклов при построении картины ветвления и анализе бифуркаций решалась на основе теории, развитой в работах Баушева B.C. и др. [Баушев B.C. соавт. 1991, 1992].

Разработаны два алгоритма разбиения пространства параметров динамических систем на области периодических колебаний и недетерминированных (в том числе хаотических) режимов. Алгоритмы основаны на описанных выше алгоритмах поиска периодических движений. Первый из них является итерационным и базируется на оригинальном способе динамического дробления шага дискретизации пространства параметров, позволяющем существенно снизить вычислительные затраты в численных расчетах. Второй основан на идее прямого счета на равномерной сетке и базируется на эффективной процедуре отслеживания движений по параметрам.

В третьей главе с использованием результатов, полученных во второй главе, исследуется динамика релейной системы с гистерезисом. В этом разделе ставится задача изучения структуры разбиения пространства параметров релейной системы с гистерезисом на области периодичности и хаоса. Устанавливаются закономерности возникновения периодических движений, изучаются их бифуркации, показывается возможность катастрофической смены режимов колебаний.

Исследование проводилось на четырехмерной кусочно-линейной модели релейной системы с гистерезисом

¡¡X

— = G(X)-X = (x„x2,x„xty-,G = (gt,gl,g„g4)'-, (12)

g, = 1 {-*,-х,+П}\ g, = r fx,-y/l + Kn/ x,i-,

if, x3-vx,-fi xt, g, = Л(х,/сс-х4/P), 4(X) = a x4-9.

Здесь rj,v,^,Y,a,A,p,i2,a,v,x,, -параметры, Kn - функция, соответствующая (4) Знак штрих означает операцию транспонирования. Компоненты вектора Л'и параметры динамической системы (12) нормированы. Здесь и далее при изучении свойств динамики релейных систем используются понятия, введенные Баушевым U.C., Кобзевым А.В., Тановицким Ю Н. [Баушев B.C., соавт. 1997].

20 . П 200 20 П -1"

Рис.! Рие.2

Пусн. V ( iJ.fi) - варьируемые параметры динамической системы (12), ; лиана ¡пи и\ иарилции // - ¡¡2т,я < О ' ¡2т„, //„,„ • ////„.,/. Здесь // - суть мпожсстш miciniiin парамсфон динамической системы. Фиксированному набору шаченш параметров сист емы будет соответствовать точка в П (/' с II). Разбиение плоско tin иарамефоп II па области различных режимов колебаний II?, к 0,1,2, .. приведено на рис.1. Здесь Il~<zl1 - односвязные множества, причем такие, чи для любых /'с//; существует локально устойчивое периодическое днижешн X,(t,l>) (т- цикл) непрерывное по параметрам в A/f [Баушев B.C., соавт. 1997] Индекс к введен для различения множеств, па которых определены движения 1 одинаковым от. Одно из множеств П' назовем основным и обозначим //.. Перно днческос'движеннс (т- цикл), определенное на //, также назовем основным. Вы бор основного множества //. определяется требованиями к качеству функциопи рования системы [Баушев B.C., соапг. 1993, 1997| 11а рис 1 офаженм, т.п.ко i области, которые являются относшсльно большими в II Множество II па рис состоит п.» облааей режимов квашпсриоличностн и \aoca п их нсрсссченш Внутренняя структура-//, окагалась очеш. сложной, ме c\inecin>ei большие mik

ло "окон" с детерминированной динамикой, некоторые из которых начинаются с жестко возникающих т-циклов. Установлено, что Я *уя~ . На рис. 2 приведена

км

отдельно совокупность некоторых Л". На рис.2 множества П[, к=0,1,2,3 отвечают областям значений параметров, при которых существует локально устойчивый I- цикл, a nj,j=0,l,2 - 2-цикл. В качестве основного множества Я. примем Нетрудно видеть, что все множества n',j=0,l,2 пересекаются с Я.. Представим множество Пф в виде [Баушев B.C., соавт. 1997] л.= л„„и(л.\я„„), где часть Я,, где существует единственное движение. Множество называют областью конвергентности (Баушев B.C., соавт. 1997]. Оно может быть, как это видно из рис.1, односвязным, неодносвязным или пустым. Пусть /7,„,-непустое множество. Пусть Р, еЯ,- базовые (номинальные) значения параметров. Радиусом области конвергентности г^, называется минимальное расстояние от

базовой точки Р0 до границы Пст [Баушев B.C., соавт. 1997].

Из рис.1 ясно, что, если радиус конвергентности мал, то даже незначительные вариации параметров в некоторых интервалах или малые возмущения, определяемые условиями эксплуатации, могут привести к катастрофическим явлениям, проявляющимися резкой смене режимов колебаний.

Для установления закономерностей возникновения периодических движении были построены однопараметрическая бифуркационная диаграмма и картина ветвления для сечения р=31 (рис. 3-4). На рис.4 по горизонтальной оси откладывается значение варьируемого параметра, а по оси ординат - величина, характеризующая сложность движения. В качестве меры сложности движения естественно рассматривать либо период Т периодического движения (m-цикла), либо ве-

личину т.

180

0.012

125

и П 132 56 П

Рис.3 Рнс.4

Для ветвей введены обозначения V, , где индекс / указывает на то, что /-цикл для

является минимальным, т.е. в пределах У, нет к- циклов, меньших /'. Максимальное значение у указывает количество найденных ветвей, имеющих одно и то

же /. Ветвь Уп начинается с /- цикла , который возникает жестко при Q fJ,, Диапазон существования ветви Уп представляется в виде интервалов, обозначав мых неравенствами Пи < С1и2 <...< , ...< iit..

Параметры /2 Ji, /--/, 2, ... отвечают потере устойчивости 2'"'- цикла и мяг

кому возникновению 2' - цикла ( один из мультипликаторов 2'' • цикла выходит и единичного круга через -1). Эти параметры называют бифуркационными или па раметрами мягкого возникновения 2' - цикла. С увеличением / происходит неог раниченное сужение указанных интервалов, так что для У„ имеется предельно! значение /2,., отвечающее апериодическому движению. Это так называемая точк; сгущения. При /2 все 2' '-циклы существуют как неустойчивые, но npi

этом неустойчивость седлового типа. Более детальный анализ эволюции седловы: 2'-циклов в рамках локальной теории устойчивости показывает, что наряду с /2 ,

I 1,2,... существуют такие значения параметров > П у, 1-2.3... (/2; у„ < 2,

„ е У,,), что при i2>C2if все седловые 2'- циклы становятся локально устой

чивыми через " обратные " бифуркации удвоения периода (наибольший по моду лю мультипликатор седлового 2'- цикла входит в единичный круг через -I). Здеа , / 2.3... - суть параметры бифуркаций удвоения периода, а ,,„ < 12 < £2,,,

; 1.2,...- интервалы значений параметра /2, где 2'- циклы локально устойчивь (ветвь У31). Интервалы /2 < Г2< ilj , i 1,2,..,, где 2'- циклы существуют ка:

неустойчивые, на картине ветвления изображены пунктирными линиями. Оспин, шли веши начинаются, как и 1-'„ , либо с жестко возникающих т- циклов, либо со отвеювукп областям существования резонансных циклов, возникающих веледст вис синхронизации квазииернодических движений.

Лишим каршпы ветвления позволяет экстраполировать положения о иричи них возникновения недетерминированных режимов катастрофических явлений i преобразовак'ле напряжения с ШИМ [Баушев B.C., Жусубалнев Ж.Т. и др., 1991 1992, I996J на случай релейных систем с гистерезисом. Основная ветвь ('„ пере секается с нскоюрымн из Уч. Здесь могут реализовывагься различные движения i зависимости от попадания начальных условий в их область притяжения, а при он рслсленныч соошошенпях радиусов областей притяжения и величины помех воз никас! либо хаотическая динамика, либо возможен катастрофический переход о лстсрмшгнрованной динамики к хаотической и обратно. Показано, что в релейны: системах недоерминированные режимы могут вошикать и в случае единственно он уоойчпвого движения. Для лого было проанализирована эволюция 52-циклп При чом удалось проследить за 5-ю бифуркациями удвоения периода. Вблизи су щеововапия 832-цикла обнаружено, что динамика системы носит перемежаю шпйся характер, когда на фоне ошосительно длшелып.тх по времени регулярны: (¡'.и движения, вошнкаюг "турбулентные всплески".

Четвертая глава посвящена исследованию свойств динамики релейной сис-гемы автоматического регулирования тока якоря (момента) двигателей электроприводов с силовыми преобразователями энергии. Двухпозиционный релейный элемент в исследуемой системе имеет временную зону нечувствительности и гистерезис. Математическая модель такой системы представляется в виде динампче-:кой системы

л..........(,3>

к ,и-г,<0;

г» ~~ 1 • • ^ л 4 I г„,г„-т,>0,

гшитой из неинтефируемых частичных систем.

Исследования проводились на моделях тягового электропривода электропоезда ЭР200 в режиме пуска импульсным регулированием сопротивления пусковых эезисторов и тиристорного электропривода с безреостатным пуском. Наиболее .ушественное влияние на динамические характеристики системы оказывают: ветчина гистерезиса релейного элемента*,, временная зона нечувствительности релейного элемента г, и параметры входного ¿С-фильтра.

'<р(г'к,Х„_1) = о,

VI, т VI,

V4, т

Vзn Ч

К?;: V:, : VI, 1 V]}

уь: . : 1 ; V,!,

• : ! ' : ' • ;

050 ш. об/мин

Рис.5

1336

(00

со, об/мин Рис.6

На рис. 5-6 приведены часть результатов исследований динамики электропривода ЭР200. Исследования проводились при следующих значениях сигнала задания уставки тока якоря и величины гистерезиса релейного элемента: 11, - 3,4745 В;х, = 0,1865В ,11, = 4,164 В;х, = 0,2В. Параметры входного фильтра:

1.ф =7,2 10'' Г«, Сф =280 10'* Ф. На каждой ступени з процессе регулирования коэффициент заполнения преобразователя у изменяется по полному циклу от 0 до 1. Окончание цикла (у = 1) является условием переключения ступеней пускового резистора. Установлено, что динамические свойства системы на всех ступенях пускового резистора являются одинаковыми. Рис.5-6 отражают свойства динамики системы в пределах одной ступени пускового резистора для и, =4,164 И ;

к

/„=0.211. Соответствующий диапазон регулирования частоты вращения якор: лвшатслей // = /9/6 < со < 1336}. Значения Хо выбирались исходя из условш выполнения заданных ограничений на максимальную частоту работы преобразова теля (400 Гц) и допустимых величин пульсаций тока якоря двигателя 1ДТ.001.3 Как видно из рис.5, картина ветвления симметрична относительно ш-ш„. Величи па о>0 соответствует значению коэффициента заполнения тиристорного преобр;! зовагеля у = 0,5. На картине ветвления хорошо различимы три относитсльн больших иитервма но ш, где существуют устойчивые 1-циклы. Ветвь, соответст кующая наибольшему из указанных интервалов на рис.5 обозначена У,„. Гранит У„ симметричны относительно а>,. Для остальных ветвей используются обознач(

''„!д- "I 1.2.3. к 1.2.3 ..., где У„, е {от1п <ш<ы„}; е <м< I. 1.2.3. Здесь первый индекс обозначает периодичность цикла (величину ш), шорой индекс введен, как и ранее, для различения ветвей, имеющих одно и то » /и

Усыновлено, что число ветвей 1,2,3; к ¡,2.3. ... по мере движет

по нарамефую к границам диапазона регулирования // = /9/6 <ш< Ш(>1 пеогр пнчаин> растет. Вет ви т 1,2,3; к 1,2,3, ... ; Ут0 = 0,/и = 2,4,5 обладай с. I е ду юти м и с во й сгвам и.

Свойство 1. у;п_, пу;к *0; ПИД * 0; П = 0; У,л .ПИ/, * 0; У,\ п ИД = 0; (нД., и иД )л КД * 0; к = 1,2.....

Свойство 2. U = <9, ¡1=1 <ы< <umj< /

( •> ( S \

К, и и IKJ

У \* *1\т*.1 >

Указанные свойства определяют последовательность в смене режимов koj банки при непрерывном изменении ы и возможные сценарии переходов ciicicn от одних режймов колебаний к другим при внешних возмущениях.

Область конвергсншости //гж, не совпадает с II. Установлено, что //,„„, м жет быть неодносвязной п занимать относительно узкие диапазон!.! по ш, а л U, - 4,16411;/,-0,2 И область //„„, =0. Вследствие чего в динамике системы в< можны катастрофические явления. Это связано с тем, что из-за неединственжн движений в широких интервалах значений и> и жесткого пересечения вети I,, т - 2,3 с У„, а процессе разгона двшателен будет иметь место не плавный скачкообразный переход от одних режимов колебаний к другим. Максимллы сташческая ошибка регулирования при выбранных значениях х* ис "ревышае "о длч всех режимов колебаний. Максимальная частота колебаний не более 120 I Пока спели пульсаций тока и напряжения входною фильтра окупались неудов, парцельными Для выявлении влияния нарамефов входного фильтра на ди мнческне свойства системы и характеристики движений был проведен двупа мстрическии aiia-üCi модели (13) в плоскости параметр

1 = {?/б <со < 1336; 70-10'* <Сф < 1120-10''} при различных значениях 1ф. Рач-иение П (1ф=3,6-10~3 Гч, иу =4,164 В; Хо = 0,2 И) на множества 1?,т = 1,2,3,4,5, к =0,1,приведено на рис. 6. Установлено, что множества 1" = 1,2,3,4,5, к = 0,1,2^.., обладают следующими свойствами:

Свойство 3. П'„ П П[„ # 0 , к = 0,1,2,....

Свойство 4. П? ГШ Г./ =0, П" = 0, т>1, к = 0,1,2.....

Свойство 5. Области П", к = 0,1,2,... ; т = 2,3,4,5симметричны относи-ельно а = <и„, причем /71^/7* *0.

»./я

Уменьшение волнового сопротивления входного фильтра приводит к сужс-ию областей П"', т = 1,2,3,4,5; к = 1,2,..., а ПтУ- увеличивается. Для определс-ия характера пересечений множеств П" были рассчитаны одпоппраметрическпе ифуркационные диаграммы и картины ветвлений в разных сечениях II: 'ф = 2X0-10+(к-1)-70-10'', к = 1,12. Установлено, что свойства ветвей в диа-азоне 240 •10~* <Сф <480-10'6 аналогичны тем, что были выявлены ранее: Вы-влено, что при работе системы в режимах апериодических колебаний коэффшш-нты пульсаций тока и напряжения входного фильтра значительно меньше, чем в ежимах периодических колебаний. .

Полученные результаты позволили определить возможные диапазоны варна-ии параметров релейных элементов, входного фильтра, минимизирующие амплн-уду колебаний, расширяющие область конвергентности, повышающие точность егулирования при заданных ограничениях на частоту работы преобразователей.

Другой способ улучшения динамики релейных систем состоит в принуди-ельной синхронизации колебаний, осуществляемой посредством внешнего- пе-иодического воздействия. Экспериментально и на модели доказано, что'примсне-те для этих целей принципа двойной синхронизации обеспечивает режим принудительной синхронизации на заданной частоте во всем диапазоне регулирования и широком диапазоне изменения параметров питающей сети и нагрузки. Результа-ы исследований составили методологическую основу проектирования тиристор-1ых электроприводов электропоездов ЭР200.

При участии автора в составе научного коллектива совместно с ОАО "Экспс-тментальный завод " (г. Санкт-Петербург) разработаны и изготовлены системы правления тяговыми электроприводами. Основные отличия от системы управле-1ия первого поколения, бывшей в эксплуатации период 1984-1996 гг. на электро-юезде ЭР200№1 состоят в том, что существенно улучшены эксплуатационные ха-1актеристики за счет использования при производстве современной элементной 1азы, аттестованных датчиков тока (ЬТ 500-5/5Р53, ТУ 3413-001-00512622-94.) и фогрессивных технологических решений. Применение принципа двойной син-роннзацин в пусковых режимах позволило существенно улучшить бысчродеисг-

mie, точность регулирования, электромагнитную совместимость тяговых электроприводов с системами безопасности движения. Повышение точности регулирования достигнуто за счет введения динамической коррекции уставок в зависимости от режимов работы электропривода и возможности прецизионной настройки параметров устройств цепи обратной связи. При этом максимальная статическая ошибка регулирования в пусковых режимах составляет + 3% ...- 6% - для ЭР200№2 и ■+ 4,5%...-4,8% - для ЭР200№1, а в тормозных приблизительно на порядок лучше. В приложениях приведены акты внедрения результатов работы в промышленность, технические характеристики и фотоиллюстрации промышленных обралил систем управления, принятых для регулярной эксплуатации в составе электрооборудования скоростных электропоездов ЭР200 на линии Санкт-Петербург- Москв; Октябрьской железной дороги.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. l'a ¡вит подход к формированию математических моделей релейных снеге,\ авюмашчсскот регулирования с переменной структурой и дискретно изменяю шимнея параметрами, основанный на аппарате точечных отображений, позволяю iiinii исследовать широкий класс кусочно-сшитых автономных динамических сис 1ем с единых теоретических позиций.

2. РафаГнмана меюдология расчета картины ветвления периодических движе пин мноюмернмх кусочно-сшитых автономных динамических систем, позволяю имя а) получап. систематизированную информацию о закономерностях возникни вепия периодических движений; б) проследить за изменением недетерминировап постп и зависимости от параметров; в) давать более глубокое объяснение причи нам возникновения недетерминированных режимов и катастрофических явлений.

3. Ра ¡рабошпы эффективные ¡vuopnmu разбиения пространства парамстро динамических моделей релейных систем на области периодичности и недаерми нпрованности.

4. Впервые изучены структура и свойства разбиения пространства иарамефо релейных систем на области периодичности и хаоса. Исследованы закоиомерпосг возникновения периодических движений, установлены возможные их бифуркаиш Выявлено, что в релейных системах при определенном сочетании параметров ио: можиа неединственность движений. Вследствие чего даже малые вариации нар; моров при наличии случайных помех могут приводить к катастрофической смен характера движения.

5. Обосновано, что хаотизанпя колебании о релейных системах происходит та же, как и j» динамических системах с квазнгинерболичеекнмн свойствами, a iimci по. i.oiда существует несколько устойчивых периодических движении, хлопни склч динамика но шикает не только из-за перескока с одних устойчивых период! ческнх движений на другие, но и за счет перескока nt-за внешних возмущении одной часш кривой одного и того же устойчивою периодическою движения н др\1\то вследствие узости внутренней облает притяжения

(> Рсму.тьтагы дисссркщии составили метдолог ическую основу нроектиров; ни I лыомаш.ированиых электроприводов электропоездов ЭР200. В период

1994-1997 гг. при участии автора в составе научного коллектива совместно с предприятием ОАО "Экспериментальный завод" (г. Санкт-Петербург) разработаны и изготовлены системы управления тяговыми электроприводами. По результатам испытаний решением МВК системы управления приняты для регулярной эксплуатации в составе электрооборудования электропоездов ЭР200 на линии Санкт-Петербург- Москва Октябрьской железной дороги.

Основные положения диссертации отражены в следующих работах:

1. Жусубалиев Ж. Т., Колоколов Ю. В., Рудаков В. Н. К проблеме хаотизации состояний систем автоматического регулирования тяговым электроприводом // Изв. Вузов. Электромеханика. - 1995. -№5-6. -С.86-92.

2. Жусубалиев Ж. Т., Колоколов Ю. В., Пинаев С. В., Рудаков В. Н. Детерминированные и хаотические режимы преобразователя напряжения с широтно-импульсной модуляцией // Изв. РАН Энергетика. -1997. -№ 3. -С.157-170. .

3. AG. Babkovsky, Zh.T. Zhusubaliyev, Yu.V. Kolokolov, S.L. Koschinsky, S.V. Pinaev, V. N. Rudakov. Simulating of Electromagnetic Effect of Urban Electronic Vehicles on Enviroment // ASC'97 The • Fourth International Conference. Szczecin-Poland. November 13-14.-1997.-P.481-486

4. Бабковский А.Г., Жусубалиев Ж.Т., Колоколов Ю.В., Косчинский C.B., Пинаев C.B., Рудаков В. H. Недетерминированные режимы в динамике автоматизированных электроприводов // Информационно- управляющие системы на железнодорожном транспорте. -1997. -№4 - С.25-30.

5. Барыбина О. Г., Жусубалиев Ж. Т., Рудаков В. Н., Шустерман'M.JI. Анализ динамических свойств импульсных систем автоматического регулирования тяговым электроприводом методом точечных отображений // Микропроцессорные системы связи и управления на железнодорожном транспорте: Тезисы докладов школы-семинара. - Киев, 1993. -С .43-44.

6. Жусубалиев Ж. Т., Рудаков В. Н. О механизмах хаотизацин движений.импульсной системы автоматического регулирования // Микропроцессорные системы связи и управления на железнодорожном транспорте: Тезисы докладов школы-семинара.-Харьков, 1994. -С.15-16.

7. Жусубалиев Ж. Т., Рудаков В.Н. Исследование динамических свойств импульсной системы автоматического регулирования электроприводом постоянного тока // Тезисы докладов юбилейной конференции ученых Курского политехнического института. - Курск, 1994. -С.51-52.

8. Барыбина О. Г., Жусубалиев Ж. Т., Рудаков В. Н. О бифуркациях стационарных режимов в импульсных системах регулирования электроприводом //3-я международная конференция. " Измерение, контроль и автоматизация производственных процессов " (ИКАПП-94). Сборник докладов. - Барнаул, 1994. Том 1..-Ч.1. -С. 101-102.

9. Барыбина О. Г., Жусубалиев Ж. Т., Колоколов Ю. В., Рудаков В. П. К исследованию недетерминированных режимов в импульсных системах регулирования электроприводом // 3-я международная конференция. " Измерение, контроль и

автоматизация производственных процессов " (ИКАПП-94). Сборник докладов. -Барнаул, 1994. Том 1. -4.1 . -С. 103-104.

М.Барыбина О. Г., Жусубапиев Ж. Т., Рудаков В. Н. К проблеме поиска стационарных решений в импульсных системах автоматического регулирования // Материалы и упрочняющие технологии-94: Тезисы и материалы докладов Российской иаучно-техн. конференции.-Курск, 1994. - С. 142-145.

11 .Жусубапиев Ж. Т., Колоколов Ю. В., Пинаев С. В., Рудаков В. Н. Методь анализа динамических режимов импульсных систем управления электроприводом // Перспективные системы управления на железнодорожном, промышленноу и городском транспорте: Материалы международной школы-семинара. - Харько! - 1995 .-С.23.

12.Жусубалиев Ж. Т., Рудаков В. Н. Математическое моделирование системь автоматического управления тиристорным электроприводом // Вибрационные ма шины и, технологии: Сборник докладов и материалов 2-ой научно- техническо! конференции - Курск, 1995. -С.115-117.

13.Жусубапиев Ж. Т., Пинаев С. В., Рудаков В. Н. Моделирование преобразова I слой электроэнергии в автоматизированных системах управления производст венными процессами// Сборник материалов 2-ой международной конференцш "Распознаванис-95". - Курск: КГТУ, 1995. -С. 199-201.

14.Жусубапиев Ж. Т., Колоколов Ю. В., Пинаев С. В., Рудаков В. II. Методы не следования недетерминированных режимов систем автоматизированного тяговоп электропривода.// Электротехнические системы транспортных средств и их робо тизированных производств: Тезисы докладов научно-технической конференции международным участием. - Суздаль, 1995. -С. 11-14.

15.Жусубалиев Ж. Т., Кирсанов Д. 10., Колоколов Ю. В., Косчинский С.Л., Пи наев C.B.. Рудаков В. Н. К проблеме ЭМС недетерминированных процессов пре образования энергии на транспорте с сопряженными системами // Информацион но-управляюише системы на железнодорожном транспорте. -1996. -№3-4. - С.51

16.Жусубалиси Ж. Т., Рудаков В. П., Сухотсрлн Е. А. К синхронизации колсбг ний в релейных системах автоматическою управления // Материалы 1-й между народной паучио-теоретичсской и практической конференции " Проблемы и не[ спсктикы автоматизации производства и управления" "Автоматизация - 97". Ташкент, 1997. Часть 1-C.15I-155.

17.Жусубалнев Ж. Т., Пинаев С. В., Рудаков В, Н. К проблеме еннхроннзацн колебаний в релейных системах автоматического регулирования //5-я научно- те? ннчсская. конференция с международным участием" Материалы и упрочняющи технологии - 97 "¡Тезисы и материалы докладов. - Курск, 1997.-С.227-229.

Подписано в печать_Формат 60x84 1/16.

Печ.л. !\ Тираж 100 экз. Заказ ¡и

Курский государственный технический университет,

Курск, 305040. ул. 50 летОктября,94.

ВВЕДЕНИЕ.

Глава 1. ПРИНЦИПЫ ПОСТРОЕНИЯ И ОСОБЕННОСТИ ДИНАМИКИ РЕЛЕЙНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИМИ УСТАНОВКАМИ С ПОЛУПРОВОДНИКОВЫМИ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЯМИ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ.

1.1. Релейные системы автоматического управления электромеханическими объектами с преобразователями электрической энергии.

1.2. Датчики первичной информации для релейных систем автоматического регулирования тока двигателей тиристорных электроприводов. Особенности реализации релейных систем.

1.3. Хаос, бифуркации в динамических системах и проблема проектирования релейных систем.

Актуальность темы. В регулируемых электроприводах систем автоматизации технологических процессов в промышленности, на электрическом транспорте, вторичных источниках электропитания технологических комплексов с силовыми полупроводниковыми преобразователями электрической энергии чаще всего используют системы ' автоматического регулирования с широтно-импульсной модуляцией (ШИМ).

Освоение промышленностью новых типов силовых высокочастотных полупроводниковых приборов и создание на их основе конструктивно законченных унифицированных силовых модулей преобразовательных устройств, появление широкого набора устройств обработки аналоговых и цифровых сигналов, датчиков с высокими метрологическими характеристиками открывают широкие возможности создания конструктивно простых и надежных в эксплуатации стабилизированных преобразователей электрической энергии с улучшенными динамическими характеристиками на базе релейных систем автоматического регулирования вибрационного действия [1-4]. Отличаясь простотой, такие системы могут обеспечить сколь угодно малый коэффициент пульсаций тока и напряжения, существенно повысить точность регулирования и быстродействие [5-8].

Основным режимом работы релейных систем указанного класса является режим автономных колебаний (автоколебаний). Последний относится к особому виду периодических движений, которые поддерживаются не внешним периодическим воздействием, а определяются свойствами самой системы. В то же время экспериментально и на моделях обнаружены более сложные режимы, включая квазипериодические и хаотические колебания, характерные для широкого класса нелинейных систем. При этом установлено, что в некоторых областях значений параметров возможна неединственность движений. Вследствие чего даже незначительные вариации параметров или малые возмущения в процессе эксплуатации могут приводить к катастрофическим явлениям, проявляющимся в резкой смене характера динамики, например, внезапном переходе от одних периодических движений к другим, либо к катастрофической хаотизации колебаний. Следствием последних являются не только значительное увеличение динамических ошибок и ухудшение качественных показателей системы, но и внезапные отказы.

Несмотря на достигнутые успехи в развитии теории нелинейных колебаний, теории управления и регулирования, преобразовательной техники и автоматизированного электропривода, особенности сложной динамики замкнутых систем преобразования электрической энергии с релейным регулированием и причины катастрофических явлений остаются мало изученными.

По этой причине к настоящему времени не разработано методических подходов к обоснованному выбору структуры и параметров релейных систем, обеспечивающих выполнение требований к показателям качества функционирования системы и устойчивости в целом рабочих режимов колебаний в широком диапазоне изменения параметров объекта управления и возмущающих воздействий со стороны питающей сети или нагрузки. Это вынуждает проводить большой объем экспериментальных натурных исследований с целью получения приемлемых для конкретных условий эксплуатации динамических характеристик, повышения надежности и эксплуатационных показателей.

Поэтому разработка методов анализа нелинейных колебаний в релейных системах, исследование закономерностей хаотической динамики конкретного класса систем преобразования электрической энергии, способствующих проектированию регулируемых электроприводов и преобразовательных устройств с требуемыми динамическими свойствами, являются актуальными задачами.

Цель работы. Разработка математических моделей, методик и алгоритмов численного анализа нелинейных колебаний релейных систем автоматического регулирования, исследование свойств и закономерностей хаотической динамики. Создание подхода к исследованию и проектированию систем преобразования электрической энергии с релейным регулированием, основанного на разработанных методиках и алгоритмах расчета их динамики, обобщениях результатов анализа хаотической динамики конкретных систем.

В соответствии с этим в диссертационной работе ставятся следующие задачи:

Развитие подхода к формированию математических моделей преобразователей электрической энергии с релейным регулированием, представляемых в виде кусочно-сшитых автономных динамических систем.

Разработка методик и алгоритмов численного анализа периодических движений многомерных кусочно-сшитых автономных динамических систем, алгоритмов построения картины ветвления предельных циклов, разбиения пространства параметров на области с различными типами колебаний.

Исследование свойств и закономерностей сложной (в том числе хаотической) динамики конкретного класса релейных систем.

Обоснование подхода к исследованию и проектированию релейных автоматических систем, базирующегося на обобщениях свойств и закономерностей хаотической динамики конкретного класса стабилизированных преобразователей с релейным регулированием. Исследование, практическая реализация и внедрение в промышленность релейных систем автоматического регулирования тока (момента) двигателей тиристорных электроприводов с улучшенными динамическими и эксплуатационными характеристиками .

Методы исследования базируются на аппарате теории дифференциальных уравнений, теории нелинейных колебаний и теории бифуркаций, матричной алгебры, теории множеств, методов вычислительной математики. Численная реализация математических моделей выполнялась на ЭВМ с помощью разработанного пакета прикладных программ. Экспериментальные исследования проводились на электропоездах ЭР200 №1, ЭР200 №2.

Научная новизна.

U Развит подход к формированию математических моделей релейных систем автоматического регулирования с переменной структурой и дискретно изменяющимися параметрами, основанный на аппарате точечных отображений [1,9-11], позволяющий исследовать широкий класс кусочно-сшитых автономных динамических систем с единых теоретических позиций.

Разработана методология расчета картины ветвления периодических движений многомерных кусочно-сшитых автономных динамических систем. Основу методологии составляют: а) алгоритм, базирующийся на модифицикации метода установления, позволяющий эффективно идентифицировать устойчивые предельные циклы (в случаях их неединственности), определять их характеристики и различать периодические и апериодические колебания ; б) методика поиска предельных циклов, основанная на идее сведения задачи к системе уравнений относительно длительностей движения изображающей точки между переключениями релейного элемента, позволяющая находить как устойчивые, так и неустойчивые периодические движения; в) оригинальный алгоритм отслеживания движений (как периодических, так и апериодических колебаний) по параметрам.

Разработан эффективный алгоритм разбиения пространства параметров динамических моделей релейных систем на области периодичности и недетерминированности, основанный на оригинальном приеме динамического дробления шага дискретизации пространства параметров, позволяющий существенно снизить вычислительные затраты в численных расчетах.

Впервые изучены структура и свойства разбиения пространства параметров релейных систем на области периодичности и хаоса. Исследованы закономерности возникновения периодических движений, установлены возможные их бифуркации. Выявлено, что в релейных системах при определенном сочетании параметров возможна неединственность движений. Вследствие чего даже малые вариации параметров при наличии случайных помех могут приводить к катастрофической смене характера движения.

Обосновано, что хаотизация колебаний в релейных системах происходит так же, как и в динамических системах с квазигиперболическими свойствами [12-15], а именно: когда существует несколько устойчивых периодических движений, хаотическая динамика возникает не только из-за перескока с одних устойчивых периодических движений на другие, но и за счет перескока из-за внешних возмущений с одной части кривой одного и того же устойчивого периодического движения на другую вследствие узости внутренней области притяжения.

Указанные результаты выносятся на защиту.

Практическая ценность и реализация результатов работы.

Разработанные методики , алгоритмы численного анализа кусочно-сшитых автономных динамических систем и полученные в исследованиях новые факты в отношении динамических свойств конкретных систем позволяют: а) подходить к формированию и реализации динамических моделей систем преобразования электрической энергии с единых теоретических позиций; б) обнаруживать аномальные режимы функционирования, прогнозировать возможные сценарии возникновения хаотических колебаний и катастрофических явлений; направленно подходить к выбору структуры, параметров регуляторов и корректирующих звеньев, устройств обратной связи, вида модуляции электрической энергии, что способствуют повышению качества и надежности проектируемых систем преобразования электрической энергии.

Результаты диссертации использовались при проектировании систем управления тяговыми электроприводами электропоездов ЭР200. В период с 1994 -1997 гг. при участии автора в составе научного коллектива совместно с предприятием ОАО "Экспериментальный завод" (г. Санкт-Петербург) разработаны и изготовлены системы управления тяговыми электроприводами электропоездов ЭР200. По результатам испытаний решением МВК системы управления приняты для регулярной эксплуатации в составе электрооборудования скоростных электропоездов ЭР200 на линии Санкт-Петербург- Москва Октябрьской железной дороги, о чем имеются акты о внедрении.

Работа выполнена в соответствии с планами научно-исследовательских работ Курского государственного технического университета в рамках госбюджетных НИР на 1992-1996 гг. по теме 1. 4. 92, № гос. регистрации 01.9.70003503; госбюджетных НИР Орловского государственного технического университета на 1994-1996 гг., по теме 1. 29. 97, № гос. регистрации 01.9.40003748, по теме 1. 2. 9, № гос. регистрации 01.9.40 003747, грантов в области транспортных наук (1993 г., 1994 г., 1996 г.), гранта в области " Автоматики и телемеханики, вычислительной техники , информатики, кибернетики, метрологии, связи" (1997 г.), в которых автор участвовал как исполнитель.

Апробация работы и публикации. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались: на школе - семинаре " Микропроцессорные системы связи и управления на железнодорожном транспорте " (г. Алушта, Украина, Харьков, 1994 г., 1995г., 1996 г, 1997 г.); на 3-й международной конференции "Измерение, контроль и автоматизация производственных процессов (ИКАПП-94) "(Барнаул, 1994г.);на научно-технической конференции "Электротехнические системы транспортных средств и их роботизированных производств "( г. Суздаль, 1995 г.); на 2-й международной конференции " Распознавание - 95 " ( Курск, 1995 г.); на 2-й научно - технической конференции " Вибрационные машины и технологии "( Курск, 1995 г.); на 4-й международной конференции "Application of Computer Systems ACS-97", Szczecin - Poland, 1997 (Польша, г. Щецин, 1997 г.); на научно-технических семинарах кафедры вычислительной техники КурскГТУ.

Результаты диссертации отражены в 17 печатных работах и 1 отчете по госбюджетной научно-исследовательской работе.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы, включающего 105 наименований и 2-х приложений, изложена на 180 страницах основного текста и поясняется 73 рисунками и 2 таблицами.

Основные результаты и выводы

1. Исследованы динамические свойства релейной системы автоматического регулирования тока якоря (момента) электропривода с полупроводниковым преобразователем электрической энергии. В плоскости параметров построены диаграммы динамических режимов. Исследованы механизмы возникновения периодических движений и их бифуркации. Доказана возможность катастрофической смены характера движений при вариации параметров и наличии случайных помех.

2. Установлены зависимости характеристик движений (частоты колебаний, коэффициентов пульсаций тока и напряжения входного фильтра, статической ошибки регулирования) от частоты вращения якоря двигателей.

3. Определены возможные диапазоны вариации параметров релейных элементов, входного фильтра, минимизирующие амплитуду колебаний, расширяющие область конвергентности, повышающие точность регулирования при заданных ограничениях на частоту работы преобразователей.

4. Установлено, что область конвергентности Псот может не совпадать с П. Множество Псвт> может быть неодносвязным и занимать относительно узкие диапазоны по параметрам. Вследствие чего даже малые вариации внешних параметров при наличии случайных помех могут приводить к катастрофической смене характера движения. Это связано с неединственностью движений и возможностью жесткого пересечения множеств П™, т = 1,2,3,4,5; к = 1,2,. с основным множеством П0. Однако такие переходы не всегда приводят к существенному увеличению коэффициентов пульсаций и ухудшению статической точности регулирования, поскольку характеристики движений, определенных на множествах П0,

П™, т = 1,2,3,4,5; к = 1,2,., могут мало различаться. В то же время динамическая ошибка регулирования может оказаться значительной, а при работе системы в режимах многоцикловых колебаний существенно ухудшается спектральный состав тока и напряжения входного фильтра.

5. Выявлен ранее неизвестный факт симметрии картины ветвления и диаграммы динамических режимов относительно коэффициента заполнения 0,5. При этом обнаружена и симметрия зависимостей характеристик движений (частоты колебаний, коэффициентов пульсаций тока и напряжения входного фильтра) от частоты вращения якоря двигателей.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Развит подход к формированию и реализации математических моделей релейных систем автоматического регулирования с переменной структурой и дискретно изменяющимися параметрами, основанный на аппарате точечных отображений, позволяющий исследовать широкий класс кусочно-сшитых автономных динамических систем с единых теоретических позиций.

2. Разработана методология расчета картины ветвления периодических движений многомерных кусочно-сшитых автономных динамических систем. Основу методологии составляют: а) алгоритм, базирующийся на модифицикации метода установления, позволяющий эффективно идентифицировать устойчивые предельные циклы (в случаях их неединственности), определять их характеристики и различать периодические и апериодические колебания ; б) методика поиска предельных циклов, основанная на идее сведения задачи к системе уравнений относительно длительностей движения изображающей точки между переключениями релейного элемента, позволяющая находить как устойчивые, так и неустойчивые периодические движения; в) оригинальный алгоритм отслеживания движений (как периодических, так и апериодических колебаний) по параметрам.

3. Разработаны эффективные алгоритмы разбиения пространства параметров динамических моделей релейных систем на области периодичности и недетерминированности. Здесь предложены два подхода к решению этой задачи: а) итерационный алгоритм, основанный на оригинальном приеме динамического дробления шага дискретизации пространства параметров, позволяющий существенно снизить вычислительные затраты в численных расчетах; б) алгоритм, основанный на идее прямого счета на равномерной сетке, базирующемся на эффективной процедуре отслеживания движений по параметрам, позволяющей существенно повысить степень полноты диаграммы динамических режимов. Алгоритмы базируются на процедуре случайного поиска движений модифицированным методом установления.

4. Впервые изучены структура и свойства разбиения пространства параметров релейных систем на области периодичности и хаоса. Изучены закономерности возникновения периодических движений, установлены возможные их бифуркации, исследованы причины возникновения недетерминированных режимов и катастрофических явлений.

5. Установлено, что в релейных системах усложнение колебаний при изменении параметров происходит по следующим сценариям: а) множественные бифуркации удвоения периода, оканчивающиеся установлением апериодического движения; б) жесткие переходы от одних периодических движений к другим; в) жесткое возникновение множества устойчивых движений с последующими бифуркациями удвоения периода; г) неполный каскад "прямых" и "обратных" бифуркаций удвоения периода; д) жесткий переход от периодических движений к режимам хаотических и квазипериодических колебаний либо обратно; в) возникновение и разрушение квазипериодических режимов.

6. Впервые для релейных систем построены картины ветвлений. Это позволило с позиций концепции " усилителей стохастичности" (хаос является следствием взаимодействия динамической системы с внешними помехами [12, 14,15]:

-установить возможные сценарии изменения степени не детерминированности в зависимости от параметров;

-дать более глубокую интерпретацию причинам возникновения недетерминированных режимов и катастрофической смене характера движений.

7. Установлено, что в релейных системах в широких диапазонах изменения параметров может иметь место неединственность движений. Это является причиной функционирования системы в различных режимах, а при наличии внешних возмущений возможен резкий переход от одного динамического состояния к другому с различными динамическими характеристиками, в частности из одного периодического движения в другое, либо чередование двух крайних типов движений - детерминированного и хаотического.

8. Выявлено, что хаотизация колебаний в релейных системах происходит так же, как и в динамических системах с квазигиперболическими свойствами, а именно: когда существует несколько устойчивых периодических движений и хаотическая динамика возникает не только из-за перескока с одних устойчивых периодических движений на другие, но и за счет перескока из-за внешних возмущений с одной части интегральной кривой одного и того же устойчивого периодического движения на другую вследствие узости внутренней области притяжения.

9. Впервые исследованы закономерности сложной динамики электроприводов постоянного тока с релейным регулированием момента (тока якоря) двигателей. Доказана возможность катастрофической смены характера движений при вариации параметров и наличии случайных помех. Установлены зависимости характеристик движений ( частоты колебаний, коэффициентов пульсаций тока и напряжения входного фильтра), статической ошибки регулирования от частоты вращения якоря двигателей. Определены возможные диапазоны вариации параметров релейных элементов, входного фильтра, минимизирующие амплитуду колебаний, расширяющие область конвергентности, повышающие точность регулирования при заданных ограничениях на частоту работы преобразователей. Экспериментально и на моделях обоснованы способы улучшения динамики релейных систем.

10. Результаты исследований составили методологическую основу проектирования автоматизированных электроприводов электропоездов ЭР200. В период с 1994-1997 гг. при участии автора в составе научного коллектива совместно с предприятием ОАО "Экспериментальный завод" (г. Санкт-Петербург) разработаны и изготовлены системы управления тяговыми электроприводами. По результатам испытаний решением МВК системы управления приняты для регулярной эксплуатации в составе электрооборудования электропоездов ЭР200 на линии Санкт-Петербург-Москва Октябрьской железной дороги.

1. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Физмангиз, 1959. - 916 с.

2. Цыпкин Я.З. Релейные автоматические системы. М.: Наука, 1974.424 с.

3. Первозванский А.А. Курс теории автоматического управления.-М.:Наука. 1986.-616 с.

4. Бромберг П.В. Матричные методы в теории релейного и импульсного регулирования. М.: Наука, 1967. - 329 с.

5. Зайцев А.П., Вейцман Л.Ю., Михеев Ю.Ф. Релейные регуляторы тока двигателя последовательного возбуждения // Электротехника. 1973. - №5. -С.48-50.

6. Шефкинд Ю.М. Система двухпозиционного регулирования тока двигателей последовательного возбуждения горнотранспортных машин. Автореф. Дис. На соискание ученой степени канд. Техн. наук,- Новокузнецк, 1986 . 16 с.

7. Тищенко В.Н., Ковалева В.Н. Исследование режима автоколебаний асинхронного электропривода с релейным тиристорным регулятором тока // Электричество. -1991. №4. - С.25-31.

8. Казанцев Ю.М. Релейно-импульсное управление в полупроводниковых преобразователях//Электричество. 1998. - №3. - С.58-63.

9. Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний. М:. Наука, 1978. - 472 с.

10. Бутенин Н.В., Неймарк Ю.И Введение в теорию нелинейных колебаний. М.: Наука, 1987. - 384 с.

11. Гашус Э.В. Исследование динамических систем методом точечных преобразований. М.: Наука, 1976. - 368 с.

12. Неймарк Ю.И., Ланда П.С. Стохастические и хаотические колебания. -М.: Наука, 1987.-424 с.

13. Анищенко B.C. Сложные колебания в простых системах. М.: Наука, 1990.-312 с.

14. Баушев B.C., Жусубалиев Ж.Т. О недетерминированных режимах функционирования стабилизатора напряжения с широтно-импульсным регулированием// Электричество. 1992. - №8. - С.69-75.

15. Баушев B.C., Жусубалиев Ж.Т., Михальченко С.Г. Стохастичность в динамике стабилизатора напряжения с широтно-импульсным регулированием// Электричество. 1996. - №3. - С.47-53.

16. Глазенко Т.А. Полупроводниковые преобразователи в электроприводе постоянного тока. Д.: Энергия, 1973,- 304 с.

17. Лабунцов В.А., Ривкин Г.А., Шевченко Г.И. Автономные тиристорные инверторы. М.: Энергия, 1967,- 160 с.

18. Вентильные преобразователи переменной структуры/В.Е. Тонкаль, B.C. Руденко, В.Я. Жуйков и др.; Отв. ред. Шидловский А.К.; АН УССР, Ин-т электродинамики. Киев: Наук, думка, 1990. - 336 с.

19. Замкнутые системы преобразования электрической энергии/ В.Я.Жуйков , Коротеев И.Е.Р и др.; Под. ред. В.Я. Жуйкова.- Киев: Тэхника; -Братислава: Альфа, 1989. 320 с.

20. Кобзев А.В., Михальченко Г.Я., Музыченко Н.М. Модуляционные источники питания РЭА. Томск: Радио и связь, 1990. -336 с .

21. Розанов Ю.К. Полупроводниковые преобразователи со звеном повышенной частоты. М.: Энергоатомиздат, 1987. - 184 с.

22. Перельмутер В.М., Сидоренко В.А. Системы управления тиристорными электроприводами постоянного тока. М.: Энергоатомиздат, 1988.-304 с.

23. Тихменев Б.Н., Трахтман JI.M. Подвижной состав электрических железных дорог. Теория работы электрооборудования, электрические схемы и аппараты. М.; Транспорт, 1980. - 471 с.

24. Розенфельд В.Е., Исаев И.П., Сидоров Н.Н. Теория электрической тяги. М.; Транспорт, 1983. - 328 с.

25. Ефремов И.С., Калиниченко А.Я., Феоктистов В.П. Цифровые системы управления электрическим подвижным составом с тиристорными импульсными регуляторами. М.; Транспорт, 1988. - 253 с.

26. Глазенко Т.А., Томасов B.C. Состояние и перспективы применения полупроводниковых преобразователей в приборостроении // Изв. вузов. Приборостроение. 1996. - №3. - С.5-12.

27. Тулупов В.Д. Эффективность электроподвижного состава с импульсным управлением//Железнодорожный транспорт. 1994. - №3. - С.46-54.

28. Тулупов В. Д. Эффективность электроподвижного состава с импульсным управлением//Железнодорожный транспорт. 1994. - №4. - С. 4958.

29. Ильинский И.Ф. Электропривод и энергосбережение//Электротехника. 1995.-№9.-С.24-26.

30. Андерс В.И., Коськин О.А., Карапетян А.К. Исследование систем управления в тиристорно-импульсных тяговых приводах городского электрического транспорта // Энергетика и транспорт. 1990. - №5. - С.65-77.

31. Рабинович А.А., Коськин О.А., Миледин В.К., Глушенков В.А. Тяговое электроооборудование для троллейбусов с тиристорно-импульсной системой управления //Электротехника. 1989. - №12. - С.28-30.

32. Коськин О.А., Суслов Б.Е., Зубков Ю.А., Рабинович А.А. Тяговый электропривод с тиристорно-импульсной системой управления для трамвайных вагонов повышенной провозной способностиЮлектротехника. 1992. - №4/5.

33. Зубков Ю.А., Миледин В.К., Скибинский В.А. Опыт разработки тягового электропривода для четырехосных и сочлененных трамвайных вагонов //Электротехника. 1993. - №8. - С.28-30.

34. Маркин В.В., Миледин В.К., Скибинский В.А., Хоменко С.В. Опыт разработки тяговых электроприводов троллейбусного транспорта //Электротехника. 1993. - №8. - С.21-24.

35. Суслов Б.Е. Компоненты преобразовательного оборудования серии "МЭРА" //Электротехника. 1995. - №9. - С.48-57.

36. Маркин В.В., Миледин В.К., Скибинский В.А., Фельдман Ю.И. Тиристорный тяговый привод троллейбуса на базе преобразователя с GTO-тиристорами //Электротехника. 1995. - №9. - С.58-60.

37. Колоколов Ю.В., Жусубалиев Ж.Т., Коваленко Ю.И., Кукин А.А. Анализ способов автоматического регулирования тягового и тормозного токов на высокоскоростном электропоезде ЭР200//Вестник ВНИЖЖТ. 1989. - №5. -С19-23.

38. Баушев B.C., Жусубалиев Ж.Т., Колоколов Ю.В. К анализу релейных САР тока в режимах электродинамического торможения высокоскоростных электропоездов // Электричество. 1989. - №7. - С.66-70.

39. Плакс А.В., Колоколов Ю.В., Жусубалиев Ж.Т. Некоторые принципы построения релейных регуляторов тока двигателей постоянного тока // Изв. вузов. Электромеханика. 1989. - №10. - С.92-100.

40. Симаков Г.М., Кромм А.А. Быстродействующий микроэлектропривод постоянного тока с амплитудно-импульсным управлением // Электричество.- 1997. №12. - С.47-50.

41. Митришкин Ю.В. Минимизация амплитуды автоколебаний в релейной системе управления с устойчивой линейной динамической частью // А и Т.- 1989. № 9. - С.91-102.

42. Постников Н.С. Стохастические колебания в ядерном реакторе с релейной системой регулирования// Атомная энергия. 1994. - Т.76. - Вып. 1. -С.3-11.

43. Постников Н.С. Стохастичность релейных систем с гистерезисом // АиТ. 1998. -№3. -С.57-68.

44. А.с. 1331679 СССР, МКИ В 60 L 15/04. Устройство для регулирования тока тягового электродвигателя транспортного средства / Ю.В.Колоколов, Ж.Т.Жусубалиев, А.А Кукин (СССР). №4051082/31-11; Заяв. 07.04.86 . Опубл. 23.08.87. Бюл. - №31. - 3 е.: ил.

45. А.с. 1403320 СССР, МКИ Н 02 Р5/175. Устройство для релейного регулирования тока электродвигателя постоянного тока / Ю.В.Колоколов, Ж.Т.Жусубалиев, А.А. Кукин (СССР). №4085392/24-07; Заяв. 03.07.86 . Опубл. 15.06.88. Бюл.-№22. - 6 е.: ил.

46. А.с. 1614966 СССР, МКИ В 60 L 15/04. Релейно-импульсный регулятор тягового электропривода постоянного тока/ Ю.В.Колоколов, Ж.Т. Жусубалиев, А.А. Кукин (СССР). №4648243/31-11; Заяв. 09.02.89 . Опубл. 23.12.90. Бюл.-№47. -12 е.: ил.

47. Тучин Б.А., Вейцман Л.Ю. Тяговое электрооборудование скоростного электропоезда ЭР200 //Электротехника. 1979. - №2. - С. 18-22.

48. Вейцман Л.Ю., Кастер Е.С., Берзин P.M. Тяговое электрооборудование второго скоростного электропоезда ЭР200 //Электротехника. 1990. - №9. - С.49-52.

49. Колоколов Ю.В.,Вейцман Л.Ю., Жусубалиев Ж.Т., Бухал А.И., Берзин P.M. Автоматизированная система управления тяговымиэлектроприводами второго скоростного электропоезда ЭР200 //Электротехника.- 1990. №9. - С.49-52.

50. Зайцев А.П., Болотов В.В. Измерительный преобразователь тока в частоту // Изв. вузов. Электромеханика. 1972. - №5. - С. 549-552.

51. А.с. 1051598 СССР, МКИ Н 01 F 40/12. Измерительный преобразователь тока В.Г.Букреев, А.П. Зайцев, Ю.В.Колоколов, Л.Ю. Вейцман (СССР). №3456732/24-01; Заяв. 18.06.82 . Опубл. 30.10.83. Бюл.-№40.- 4 с. : ил.

52. Колоколов Ю.В., Жусубалиев Ж.Т., Букреев В.Г., Гусев Ю.В. Частотный измерительный преобразователь тока для регуляторов тока двигателей электроподвижного состава // Электротехника. 1988. - №7. - С.45-47.

53. Кацман Г.И., Матвеев И.М. Использование преобразователей Холла для бесконтактного измерения сигналов постоянного тока // Приборы и системы управления. 1986. - №10. - С.33.

54. Датчики тока и напряжения // Проспект фирмы "LEM" (Швейцария).1988.

55. Заславский Г. М., Сагдеев Р. 3. Введение в нелинейную физику: от маятника до турбулентности и хаоса. М.: Наука, 1988.-368с.

56. Шустер Г. Детерминированный хаос. М.: Мир, 1988. - 362 с.

57. Шарковский А.Н. и др. Динамика одномерных отображений.-Киев: Наукова думка, 1989. 356 с.

58. Хорстхемке Р., Лефеер Р. Индуцированные шумом переходы. -М.: Наука, 1987. -416 с.

59. Динамические системы и недетерминированные явления/ Под ред. Шарковского А.Н. Киев: Наукова думка, 1990. - 435 с.

60. Дмитриев А.С., Кислов В.Я. Стохастические колебания в радиофизике и электронике. М.: Наука, 1989. - 280 с.

61. Мун Ф. Хаотические колебания. М.: Мир, 1990. - 312 с.

62. Гласс, Мэкки. От часов кхаосу.Ритмы жизни. М.:Мир, 1991.-248 с.

63. Хаотические системы// ТИИЭР, 1987, т. 75, № 8.

64. Берже П., Помо И., Видаль К. Порядок в хаосе. О детерминистском подходе к турбулентности: Пер. с франц.- М.: Мир, 1991.-368 е., ил.

65. Шалфеев В.Д., Осипов Г.В., Козлов А.К., Волковский А.Р. Хаотические колебания генерация, синхронизация, управление // Зарубежная радиоэлектроника. Успехи современной радиоэлектроники. - 1997. - №10. - С.27-49.

66. Арнольд В.И. Теория катастроф.- М.: Наука, 1990.-128 с.

67. Демирчян К.С., Бутырин П.А.,Савицки А. Стохастические режимы в элементах и системах электроэнергетики // Изв. АН СССР. Энергетика и трансп. -1987.-№3.-С,3-16.

68. Жуйков В.Я., Леонов А.О. Хаотические процессы в электротехнических системах // Изв. АН СССР. Энергетика и трансп. 1991.- №1. С.121-127.

69. Белов Г.А. Исследование колебаний в импульсном стабилизаторе напряжения вблизи границы устойчивости// Электричество . 1990. - №9.- С.44-51.

70. Белов Г. А. Высокочастотные тиристорно-транзисторные преобразователи постоянного напряжения. М.: Энергоатомиздат, 1987. -120 с.

71. Коськин О.А., Карапетян А.К. Влияние входного фильтра на устойчивость к автоколебаниям тягового привода с ТИСУ. // Научные труды МЭИ. 1987,- №136. - С. 30-35.

72. Коськин О.А., Карапетян А.К. Анализ пульсационной составляющей тока в системе авторегулирования тягового привода. // Научные труды МЭИ. -1992.-№641.-С. 16-22.

73. Жусубалиев Ж. Т., Колоколов Ю. В., Рудаков В. Н. К проблеме хаотизации состояний систем автоматического регулирования тяговым электроприводом // Изв. Вузов. Электромеханика. 1995. -№5-6. -С.86-92.

74. Жусубалиев Ж. Т., Рудаков В. Н. О механизмах хаотизации движений импульсной системы автоматического регулирования // Микропроцессорные системы связи и управления на железнодорожном транспорте: Тезисы докладов школы-семинара.-Харьков, 1994. -С.15-16.

75. Барыбина О. Г., Жусубалиев Ж. Т., Рудаков В. Н. К проблеме поиска стационарных решений в импульсных системах автоматического регулирования

76. Материалы и упрочняющие технологии-94: Тезисы и материалы докладов Российской научно-техн. конференции. -Курск, 1994. С. 142-145.

77. Жусубалиев Ж. Т., Колоколов Ю. В., Пинаев С. В., Рудаков В. Н. Детерминированные и хаотические режимы преобразователя напряжения с широтно-импульсной модуляцией // Изв. РАН Энергетика. 1997. -№ 3. - С. 157170.

78. Жусубалиев Ж.Т. К исследованию хаотических режимов преобразователя напряжения с широтно-импульсной модуляцией // Электричество. 1997. - №6. - С.40-46.

79. Шарковский А.Н. Разностные уравнения и их применение. Киев: Наукова думка, 1989. - 354 с.

80. Баушев B.C., Кобзев А.В., Тановицкий Ю.Н. Нормальные структуры динамических объектов,- В кн.: Аппаратно программные средства автоматизации технологических процессов . Томск: Изд-во ТГУ. - 1997. - С.146-152.

81. Баутин Н. Н., Леонтович Е. А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. М.:Наука, 1990. - 488 с.

82. Розенвассер В.А. Колебания нелинейных систем. М.: Наука, 1969.536 с.

83. Фейгин М.И. Вынужденные колебания систем с разрывными нелинейностями. М.: Наука, 1994. - 288 с.

84. Алейников О. А., Баушев В. С., Кобзев А. В., Михальченко Г. Я. Исследование локальной устойчивости периодических режимов в нелинейных импульсных системах // Электричество. 1991. - №4. - С. 16-21.

85. Баушев B.C., Жусубалиев Ж.Т., Колоколов Ю.В., Терехин И. В. К расчету локальной устойчивости периодических режимов в импульсных системах автоматического регулирования//Автоматика и телемеханика. 1992. - №6. - С.93-100.

86. Жусубалиев Ж. Т., Рудаков В. Н. Математическое моделирование системы автоматического управления тиристорным электроприводом // Вибрационные машины и технологии: Сборник докладов и материалов 2-ой научно- технической конференции Курск, 1995. -С.115-117.

87. Деннис Дж., Шнабель Р. Численные методы безусловной оптимизации и решения нелинейных уравнений. М.: Мир, 1988. - 440 с.

88. Амосов А.А. и др. Вычислительные методы для инженеров.-М.: Высш. шк.,1994.-544 с.

89. Айзерман М.А., Гантмахер Ф.Р. Устойчивость по линейному приближению периодического решения системы дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями // Прикладная математика и механика, Т.XXI, 1957,- С.658-669.

90. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985. - 224 с.

91. Понтрягин Jl.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения.-М.:Наука,1986,- 332 с.

92. Справочник по теории автоматического управления/ Под ред. А.А. Красовского,- М.: Наука, 1987.-712 с.

93. Гельднер К., Кубик С. Нелинейные системы управления,- М.: Мир, 1987.-325 с.