автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.07, диссертация на тему:Бифуркации и хаотические колебания в преобразователях электрической энергии с широтно-импульсной модуляцией систем автоматизации технологических процессов

РГБ ОД

2 8 нов ?.т

Министерство образования Российской Федерации Курский государственный технический университет

, , ,,.л с"'} На правах рукописи

/ / С'Л'.Ъ <--

' УДК 681.511.42:621.314

ЕМЕЛЬЯНОВА ЕЛЕНА ЮРЬЕВНА

БИФУРКАЦИИ И ХАОТИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ В ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЯХ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ С ШИРОТНО-ИМПУЛЬСНОЙ МОДУЛЯЦИЕЙ СИСТЕМ АВТОМАТИЗАЦИИ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

05.13.07 - Автоматизация технологических процессов и производств (в промышленности)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

КУРСК-2000

Работа выполнена на кафедре Вычислительной техники Курского государственного технического университета

Научные руководители: доктор технических наук, профессор

Титов В.С.

кандидат технических наук, доцент Жусубалиев Ж.Т.

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

диссертационного совета К064.50.01 при Курском государственном техническом университете по адресу: 305040, Курск, ул. 50 лет Октября, 94.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университета.

Автореферат разослан 26 мая 2000 г.

Отзывы на автореферат в двух экземплярах, заверенные печатью, просим направлять по адресу: 305040, Курск, ул. 50 лет Октября, 94, КГТУ, ученому секретарю диссертационного совета К064.50.01, факс (0712) 56-11-68

Михальченко Г.Я.

кандидат технических наук, доцент

Романченко А.С.

Ведущая организация: в/ч 25714

Защита состоится 29 июня 2000 г. в часов на заседании

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физ.-мат. наук, доцент

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. В системах управления технологическими процессами, установками и оборудованием производственных механизмов, в системах электропитания технологических и вычислительных комплексов преобразование параметров электрической энергии, поступающей от источника в нагрузку, осуществляется посредством полупроводниковых преобразователей посредством разных видов модуляции, преимущественно, широтно-импульсной модуляцией (ШИМ) [Глазенко Т.А. и др., 1996], [Кобзев A.B. и др.,1990], [Розанов Ю.К., 1987].

Для получения требуемой точности воспроизведения энергетическим каналом преобразователя заданной формы управляющего сигнала, низкого уровня пульсаций выходного напряжения (тока), повышения быстродействия применяют широкий набор корректирующих звеньев в цепи обратной связи, осуществляющих непрерывную или дискретную коррекцию сигнала ошибки [Чегги П., 1990], или многоконтурные системы, работающие по принципу слежения за «полной» информацией о параметрах электрической энергии в нагрузке и питающей сети [Баушев B.C. и др., 1997], [Белов Г.А., 1990].

Однако на практике выбор конкретных типов корректирующих устройств и их параметров, а также вида ШИМ, параметров силовых фильтров преобразователя с целью обеспечения требуемых динамических характеристик наталкиваются на серьезные сложности. Это связано с тем, что в таких системах наряду рабочим режимом колебаний возможны более сложные режимы функционирования, включая периодические движения на пониженных частотах, кратных частоте модуляции, или хаотические колебания. Вследствие чего воздействие внешнего шума, даже сколь угодно малого, или вариации параметров, определяемые условиями эксплуатации и режимами работы нагрузки, могут приводить к внезапному переходу отводного динамического состояния к другому с различными динамическими характеристиками. Следствием последних является не только резкое возрастание амплитуды переменной составляющей выходного напряжения, уменьшение точности регулирования на несколько порядков, ухудшение электромагнитной совместимости преобразователя с питающей сетью и нагрузкой, но и внезапные отказы технологического оборудования.

В системах управления с ШИМ переход от режимов периодических колебаний к хаотическим при изменении параметров может происходить по типичным сценариям [Анищенко B.C., 1990, 1999], [Ланда П.С.,1996], например, через каскад бифуркаций удвоения периода, либо через жесткое возникновение множества различных локально устойчивых периодических движений, каждое из которых с изменением параметров может претерпевать конечную или бесконечную последовательность бифуркаций удвоения периода, завершающихся переходом к хаосу [Баушев B.C., Жусубали-

ев Ж.Т., 1992,1996]. В то же время в преобразовательных устройствах с ШИМ смена характера динамики имеет некоторые особенности, связанные со специфическими для таких систем бифуркациями, которые принципиально не реализуются в гладких динамических системах.

Стабилизированные преобразователи электрической энергии относятся к классу нелинейных импульсных автоматических систем. Такие системы обычно описываются кусочно-сшитыми дифференциальными уравнениями. Как известно, в кусочно-сшитых динамических системах возможны специфические нарушения условий существования периодического движения, связанные с изменением числа участков фазовых траекторий, из которых сшивается траектория этого движения. Подобные нарушения топологической структуры фазового пространства получили название С-бифуркаций периодических решений [Фейгин М.И., 1970,1978,1994], [Nüsse Н.Е &Yorke JA.,1992,1995]. Если в случае гладких динамических систем для определения границ области локальной устойчивости периодического решения имеются строгие критерии [Бутенин Н.В., Неймарк Ю.И. и др., 1987], [Guckenheimer J.&Homes Р., 1990], основанные на методах теории бифуркаций, то для кусочно-сшитых систем общих методов, позволяющих решать указанную задачу, не существует. Границы области существования устойчивого периодического движения и переходы от одних типов движений к другим при изменении параметров не всегда определяются через 1фитерии локальной устойчивости. Это существенно усложняет задачу построения области устойчивости периодических движений при проектировании преобразовательных устройств.

Несмотря на интенсивное развитие теории нелинейной динамики и хаоса, особенности поведения кусочно-сшитых динамических систем при С-бифуркациях остаются мало изученными. Между тем, динамические системы указанного класса находят много приложений в различных задачах механики, радиофизики и электроники, теории колебаний и управления, например, при исследовании динамики осцилляторов с сухим трением, релейных и импульсных систем автоматического управления самых различных классов и назначения, радиотехнических и электронных схем с кусочно-гладкими характеристиками или ключевыми элементами.

Поэтому разработка методов анализа С-бифуркаций, исследование сложной динамики конкретного класса стабилизированных преобразователей электрической энергии, способствующих проектированию преобразовательных устройств систем автоматизации технологических процессов с требуемыми динамическими свойствами, являются актуальными задачами.

Цель работы: разработка методов анализа С-бифуркаций и исследование механизмов хаотизации колебаний в стабилизированных преобразователях электрической энергии с ШИМ. Развитие подходов к исследова-

голо и проектированию преобразовательных устройств систем автоматизации технологических процессов, базирующихся на обобщении результатов анализа динамики преобразователей с различными видами модуляции (ШИМ-1, ШИМ-2) и обеспечивающих обоснованный выбор рода модуляции и параметров корректирующих звеньев, улучшающих динамические характеристики и расширяющих область устойчивости в целом рабочего режима колебаний.

В соответствии с этим в диссертационной работе решаются следующие задачи:

1. разработка методов идентификации различных типов периодических движений и методов анализа С-бифуркаций в системах с ШИМ;

2. исследование закономерностей смены динамических режимов и сценариев хаогизации колебаний, связанных с С-бифуркациями, в конкретном классе стабилизированных преобразователей электрической энергии систем автоматизации технологических процессов при различных способах широтно-импульсной модуляции (1-го и 2-го рода);

3. исследование влияния рода ШИМ и параметров корректирующих звеньев в цепи обратной связи на динамические характеристики преобразователя и область устойчивости в целом режима колебаний на частоте модуляции.

Методы исследования базируются на математическом аппарате теории обыкновенных дифференциальных уравнений, теории локальной устойчивости, теории нелинейных колебаний и бифуркаций динамических систем, матричной алгебре и вычислительной математике. Численная реализация математических моделей выполнялась на ЭВМ с помощью разработанного пакета прикладных программ. Натурные эксперименты проводились на экспериментальном стенде.

Научная новизна.

1. Разработана методика анализа С-бифуркаций, основанная на алгоритмах поиска периодических решений и исследования их локальной устойчивости, описании траектории периодического движения с помощью символической характеристики и свойствах системы трансцендентных уравнений для расчета периодических решений, полученной в аналитической форме. Это позволило различать типы периодических движений и прогнозировать возможный характер усложнения динамики при изменении параметров.

2. Найдены приемы выявления основных типов С-бифуркаций: простого изменения типа решения, мягкого возникновения движений с кратным периодом, слияния и последующего исчезновения двух циклов различных типов, позволяющие точно определять границы области существования и устойчивости периодического движения конкретного типа.

3. Исследованы особенности бифуркационных переходов и сценарии хаотизации колебаний, связанные с С-бифуркациями, в преобразова-

телях электрической энергии с широтно-импульсной модуляцией 1-го и 2-го рода. Впервые показано, что в системах управления с ШИМ-2 при С-бифуркациях возможно не только удвоение, но и утроение, учетверение, упятерение периода колебаний, возникновение множества движений с кратным периодом, а также мягкие переходы от одних устойчивых движений к другим с кратно соотносящимися периодами.

4. Выявлены новые случаи поведения кусочно-сшитых моделей систем управления с ШИМ-1 при С-бифуркациях, связанные с возникновением резонансных циклов, являющихся следствием синхронизации квазипериодических колебаний. Детально изучена структура бифуркационных границ и внутреннее устройство областей существования резонансных циклов, установлены закономерности их появления.

5. Установлено, что род модуляции и параметры корректирующих звеньев влияют не только на показатели качества регулирования, но и определяют размеры области устойчивости рабочего режима по параметрам и характер усложнения колебаний при изменении параметров.

Указанные результаты выносятся на защиту.

Практическая ценность и внедрение результатов. Разработанные подхода к исследованию бифуркаций и хаотических колебаний кусочно-сшитых моделей систем преобразования электрической энергии с ШИМ и результаты, полученные при исследовании динамики конкретных систем, позволяют:

1. походить к формированию и реализации математических моделей систем автоматического регулирования с ШИМ с единых теоретических позиций;

2. определять области существования и устойчивости периодических режимов в пространстве параметров системы, прогнозировать характер усложнения колебаний при изменении параметров в зависимости от рода широтно-импульсной модуляции;

3. направленно походить к выбору рода модуляции и параметров корректирующих звеньев и силовых фильтров, способствующих повышению показателей качества регулирования и надежности функционирования.

Результаты диссертационной работы внедрены на предприятии ОАО «Счётмаш» (г.Курск) и использованы при проектировании импульсных источников вторичного электропитания радиоэлектронной аппаратуры, а также в курсе лекций по дисциплине «Математические основы теории динамических систем», читаемых автором в Курском государственном техническом университете.

Работа выполнена в соответствии с планами госбюджетных НИР Курского государственного технического университета на 1992-1997 гг. по теме 1.4.92 № гос. регистрации 01.9.70003503; гранта по фундаментальным исследованиям в области автоматики и телемеханики, вычислительной

техники, информатики, кибернетики, метрологии, связи (конкурсный центр грантов при Санкт-Петербургском государственном электротехническом университете им. В.И.Ленина (Ульянова)) №1.1.98, 1998-2000 г., в которых автор участвовал как исполнитель.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на: XXV Международной молодёжной научной конференции «Гагаринские чтения» (Москва, 1999 г.), 7-й Международной студенческой Олимпиаде по автоматическому управлению (С.-Петербург, 1999 г.) (доклад отмечен дипломом второй степени за практическую значимость), 4-й Международной конференции «Распознавание^» (Курск, 1999 г.), XXVI Международной молодёжной научной конференции «Гагаринские чтения» (Москва, 2000 г.), Ш Международной научно-технической конференции «Медико-экологические информационные технологии» (Курск, 2000 г.), 8-й Международной студенческой Олимпиаде по автоматическому управлению (С.-Петербург, 2000 г.), а также на научно-технических семинарах кафедры «Вычислительной техники» в течение 1997-2000 гг.

Публикации. Основные результаты диссертации отражены в 8 печатных работах.

Объем и структура диссертации. Работа включает введение, 5 глав, заключение, библиографический список из 106 наименований и 3 приложения. Объем диссертации 165 страниц, включая 58 рисунков и 4 таблицы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы цель и задачи исследований, отмечены научная новизна, практическая ценность и результаты реализации работы.

В первой главе рассмотрены принципы построения замкнутых систем преобразования электрической энергии с широтно-импульсной модуляцией (ШИМ), входящих в состав систем автоматизации технологических процессов. Такие системы характеризуются наличием двух входов: энергетического и информационного, а также энергетического выхода [Кобзев A.B. и др., 1990], [Глазенко Т.А., Томасов B.C., 1996]. Дана характеристика элементов энергетического и информационного каналов системы и описаны связи между ними.

Указывается, что качество воспроизведения энергетическим каналом преобразователя заданной формы управляющего сигнала, динамические и статические характеристики системы определяются схемотехническими и конструктивными особенностями преобразователя, его регулировочными характеристиками, а также видом модуляции и типом корректирующих звеньев в цепи обратной связи.

На основании анализа публикаций и экспериментальных данных показывается, что замкнутые системы преобразования электрической энергии с ШИМ характеризуются сложной динамикой, наличием как периодических, так и хаотических режимов функционирования. Причем переходы от движения одного типа к движению другого типа могут происходить как по сценариям, типичным для гладких динамических систем, так и через специфические для кусочно-сшитых систем бифуркации (С-бифуркации). Поэтому границы области существования устойчивого периодического движения и переходы от одних типов движений к другим при изменении параметров не всегда определяются через критерии локальной устойчивости, что существенно усложняет задачу построения области устойчивости периодических движений при проектировании преобразовательных устройств.

Несмотря на интенсивное развитие теории колебаний и хаоса, особенности динамики нелинейных систем, связанные с С-бифуркациями, остаются малоизученными. Существующие методы анализа С-бифуркаций [Фейгин М.И., 1994], разработанные применительно к механическим системам с ударами и сухим трением, оказались недостаточными для анализа С-бифуркаций в системах управления с ШИМ в силу различия уравнений поверхностей разрыва правой части динамической системы, которые определяются конструктивными особенностями объекта управления, типом корректирующих звеньев и видом широтно-импульсной модуляции, а также принципами формирования управляющих импульсов. Это делает задачу разработки методов анализа С-бифуркаций в системах управления с ШИМ актуальной.

Вторая глава посвящена формированию математических моделей преобразователей электрической энергии с широтно-импульсной модуляцией 1-го и 2-го рода, приведены методы поиска периодических решений и исследования их локальной устойчивости, а также разработанные методы анализа различных типов С-бифуркаций.

Математические модели преобразовательных устройств с ШИМ обычно описываются дифференциальными уравнениями, имеющими в правой части разрывы 1-го рода (кусочно-гладкие или кусочно-сшитые системы)

(¡Х/Л = Са,Х), С(1 + а,Х)~С(г,Х), (1)

где X — и-мерный вектор переменных состояния, G(t,X)- кусочно-гладкая вектор-функция той же размерности, а - период модуляции.

Частным случаем системы (1) является кусочно-линейная система: с1Х/Л = А{К,а))-Х + В{Кра)), (2)

где а(Кр(§)), В{Кр(%)) - кусочно-постоянные пхп матрица и и-мерный вектор, Кг(^), \ = X) - сигналы на выходе и входе модулятора.

при широтно-импульсной модуляции заднего фрон-

та. Для ШИМ 1-го рода i(t,X) = a-{Uy-^-IT ■X((k-l)a))-UllJt), для ШИМ 2-го рода Щ,X) = a-(u,-$ IT ■ X(t))~ UBSC(t), где a - коэффициент усиления ошибки рассогласования, Uy - управляющий сигнал, 1Т — матрица-строка, определяющая закон регулирования, к=1,2,... - номер

такта, U„e =U0(t/а--Е,(t/a)) - опорное пилообразное напряжение с

амплитудой Uо, Е1 (■)-целая функция.

Уравнение (2) порождает точечное отображение:

Xk=Ck-Xk_1 + Vk, (3)

Ct = СУ-С'», Vk = С[0> ■ V<» + V?>, С[°> = exp{A<°>(l-Zi)a), C<k'>=exp{A(1)zta\ V<*'> = [с1/'> ~е\(а<1г>)'' -В(к*>, Л<**> =A{KFa)\ В<к'> =В{КР(У).

Система (3) дополняется алгоритмом для вычисления коэффициента заполнения zk :

0, ф(0,Хк_,)<0;

Zk = ■ -> <p(zk,Xk_t) = 0, q>(0,Xt_,)>0 uq(l,Xt_t)<0;

1, <р( z,X„_,)> 0 при 0<z<l, <i>(z,Xk_1) = a-(uy-$-Ir-Х„)-и,-г дляШИМ-1 и

<?(z,Хк_,) = a• (l7, -р• /г • [С(к'> ■ Хк_, + V<'>])-U0 -z для ПШМ-2.

Период Т периодического движения Xc(t) динамической системы (1) в общем случае является кратным периоду модуляции а. Движение с таким периодом здесь и далее будем называть »¡-циклом. Задача поиска периодического решения сведена к системе трансцендентных уравнений относительно коэффициентов заполнения z\,k = l,m [Баушев B.C. и др., 1992,1996]: _

<Vk(z„z2,...,zm) = \ik(zk), k = l,m, (4)

> 0, zk = 1;

V-k(zk) = -<0, zk=0; (4а)

[О, 0 <zk<l.

Исследование локальной устойчивости периодических решений проводилось на основе теории, изложенной в работах [Баушев B.C. и др., 1991, 1992]. Для определения типа периодического движения в работе введена характеристика, определяющая порядок прохождения фазовой точкой областей кусочной гладкости, составленная из множества коэффициентов заполнения Zj, к = l,m: Sm = (zct ,ZC2,..4ZC„). Естественно, в качестве z\ может быть выбран любой из z\, к-1,т. Характеристика, определяющая ■ran m-цикла, может быть записана в символической форме, которая фор-

мируется путем подстановки в символа «*», если 0 < г* < 1, и действительного значения г'к, если гск-1 или Будем говорить, что два т-цикла имеют один тип, если их символические характеристики переходят одна в другую путем циклической перестановки элементов.

Известны следующие типы С-бифуркаций: простое изменение типа т-цикла, мягкое возникновение цикла с периодом, кратным т, слияние с тя-цикпом другого типа и последующим исчезновением обоих движений. В работах [Фейгин М.И.,1970,1978,1994]] были получены аналитические критерии определения перечисленных типов С-бифуркаций применительно к кусочно-сшитым моделям механических систем с ударами и сухим трением. Однако выявление возможных типов С-бифуркаций в динамических моделях систем управления с ШИМ имеет особенности, обусловленные спецификой уравнений поверхностей разрыва правой части динамической системы, и указанные критерии оказались недостаточными для анализа С-бифуркаций в системах управления с ШИМ.

В диссертации разработаны методы определения типов С-бифуркаций, основанные на описании траектории периодического движения с помощью символической характеристики и свойствах системы уравнений (4). Для упрощения изложения существа разработанных методов будем полагать, что варьируется один параметр р, и р, - его бифуркационное значение.

Простое изменение типа решения

Пусть в области рь<р^р. существует т-цикл, непрерывный по параметру р, тип которого определяется Бт = Среди

гк,к = 1,т имеется 1{1> 0) величин, имеющих значения 1 или 0, индексы которых обозначим а,, /' = 1,1.

Пусть в области р, < р< рК существует »-цикл другого типа, в символической характеристике -(¿1Гг2,...,гт) которого имеется (1-1) элементов со значениями 1 или 0, индексы которых обозначим Ро' = 1/1-1) • В качестве выбирается любое из 1к,к = 1,т таким образом, чтобы элементы Бт и удовлетворяли равенствам: гЦ( = гР( при а, =$„ 1 = 1,(1-1) и * гР(.

При переходе от значений р < р, к значениям р> р. происходит мягкий переход /«-цикла одного типа в да-цикл другого типа:

Ит\гк(р')-1к(р+)\^0, \р--р*\->0 и

Нф * ' г1> ~ * (Р*' 0' \Р~ ~ Р* | 0' к = т

для любых Р[_<Р~ < р., р. < р+ <ря.

При этом в области р > р. нарушаются условия существования т-цикла первого типа:

\<0, г, = 1; <р,(р+,г„...,гт)=111(г1), (М^Ч я

[> и, — V)

Ф ¡(р~,г1,->гт)-<?,(р\г„...,гт)<0.

С-бифуркация возникновения движеипя с кратпым периодом

Пусть в области р1<р<рф существует иг-цикл, непрерывный по параметру р, траектория которого сшита в соответствии с ~ (г;>г2,..-,гт), а в области р, <р < рл Ичп-гщкл (А-2,3,...), сшшый в соответствии

При изменении параметра р от значений р< р, к значениям р > р, от т-цикла мягко возникает М-т-тшл, а /и-цикл переходит в т-цикл другого типа. Элементы 5„ и могут быть упорядочены так, что каждому из

г],] = 1,т,г1^Бт ставится в соответствие г*, к = } + ($-1)т, $ = гк е , тогда выполняются соотношения

1. Ип^.^ р~ )-1к( р* 0 при \р~-р*\-*0, ]-1,т, к = ] + (Б-1) т, 5 = 1,И,

и \г,(р-)-*к(р+)\<5-\р--р+\

2. ип}\<$)(р-,г1,...,гт)-<!?к(р*,г1,...,гКт)\->0 при |/Г-/>+|-»0, } = 1,т, к = ¡ + (Е-1)-т, э =

и|ф )(р-,г„...,2т)-<?к(р*,г„...,1Кт)\йс1-\р--р+\

для любых двух точек р1_ < р~ < р., р,<р^<рх.

Слняние двух циклов различного типа с последующее их исчезновение. Пусть в области р. < р < ря существуют, непрерывно по параметру р, два ш-цикла разного типа, сшитые в соответствии с =(*/ >—>2т) и >•••>%*)> и отличающиеся числом участков.

Пусть среди = 1,т имеется / элементов, имеющих значения 1 или О, индексы которых обозначим а,,1 = 1,1, а среди г*, к = 1,т имеется 1+1 величин, принимающих значения 1 или 0, с индексами $,,1 = 1,(1 + 1). В качестве г" выбирается любое из г", к = 1,т, так, чтобы элементы и .У* удовлетворяли равенствам: г^ = z"¡, г = 1,1 и <, * г' ,при а, = р„ 1 = 1,(1+1).

При переходе значений р в область р < р. происходит слияние двух циклов: Ит¡г*(р)~г1(р)\~>0, р-+ р,, к-1,т и последующее исчезновение обоих.

Каждая из функций гл,

л г*), Ф*{р,г!,~>*вт

т определена и непрерывна по совокупности своих аргументов и удовлетворяет условию Липшица с соответствующими постоянными. Функции <рА (•),

к-1,т, кФр/+/в области р.-£< р<ря удовлетворяет (4а), а функция фр^ (') условию (4а) удовлетворяет лишь в области р. < р < ря, а при переходе от значений р > р, к значениям р< р. меняет знак, проходя в точке р. через 0. Таким образом, в области р. - е < р < рК нарушаются условия (4а) существования ш-циклов, и оба движения исчезают.

В третьей главе исследуется динамика преобразователя напряжения с широтно-импульсной модуляцией второго рода (ШИМ-2) и пропорционально-интегрирующим (ПИ) звеном в цепи обратной связи, описываемого трехмерной кусочно-линейной системой дифференциальных уравнений. С целью изучения влияния параметров корректирующего звена на область устойчивости и особенности смены динамических режимов в исследованиях варьировались коэффициент усиления цепи обратной связи а и коэффициент передачи ПИ звена а остальные параметры полагались фиксированными.

п\ П\ П3 Ц[ П[ т

Рис.1. Диаграмма разбиения плоскости параметров П = {(а,%): 1 < а < 250;0< %<]} на области с различными режимами колебаний.

250

Результаты двупараметрического бифуркационного анализа приведены на рис.1, где через П^ с П обозначены односвязные множества, такие, что для любых Р = (а,%) е II^ существует локально устойчивый т-цикл, непрерывный по параметрам в П^. Индекс у введен для различения множеств, на которых определены тя-циклы с одинаковым т. Индекс у опущен, если область П^, единственна.

X

о

Множество П; отвечает области устойчивости 1-цикла, соответствующего рабочему режиму колебаний. Через П^,, /=1,2,3 обозначены области квазипериодических и хаотических движений. В областях П^,/=1,2 существует большое число «окон» с детерминированной динамикой, они являются очень узкими, ввиду чего не показаны на рис. 1.

Границы, разделяющие области П^,,/ = 7,2,..., соответствуют бифуркационным кривым удвоения периода, и существуют трансверсальные им линии, при движении по параметрам вдоль которых происходит каскад бифуркаций удвоения периода, завершающийся установлением апериодического движения. Области П, и П*А разделены бифуркационной кривой, в точках которой 1-цикл бифурцирует в двумерный тор (при этом пара комплексно-сопряженных мультипликаторов 1-цикла выходит за пределы единичного круга).

Установлено, что С-бифуркации характерны только для циклов, которые определены на множествах, пересекающихся непусто с областью П,, т.е. П^, ПП, (т>2) (на рис.1 показаны некоторые из них - это П5, П^, П^). Обнаружено, что группы таких областей имеют сходство в организации бифуркациояых границ и характере бифуркационных переходов внутри них.

г-о.8

а)

б)

О

0,1 о -0.1

Iе'

2г 2*

£..........тГ

60 а.

а

80

бо а.

а

80

В)

Рис.2. С-бифуркация слияния 3-циклов, зависимости от а: а) коэффициентов заполнения г,, А=1,2,3; б) функции г/) устойчивого 3-цикла; в) мультипликаторов.

На рис.2 показан С-бифуркационный переход, иллюстрирующий исчезновение устойчивого 3-цикла в точках левой фаницы области П5. Устойчивый 3-цикл исчезает, сливаясь с неустойчивым 3-циклом другого ти-

л

/

па. При этом устойчивость 3-цикла не нарушается - все его мультипликаторы остаются в пределах единичного круга (рис.2,в). Траектория устойчивого 3-цикла сшивается из 4 участков и описывается символической характеристикой (I"1*), неустойчивый 3-цикл имеет символическую характеристику (**♦) и сшивается из 6 участков фазовых траекторий. Исчезновение обоих движений происходит вследствие нарушения условий существования, поскольку в области а<а. функция ср ¡(г* >2$), гБ, = 1, 0 < 1 перестает удовлетворять условиям (4а).

Исследование динамических систем при движении по параметрам в разных сечениях областей П^, Г)П,Ф & (т>2) выявило бифуркационные переходы с необычными свойствами, один из возможных вариантов кото-

—/ и / и.

(а) ' (б)

Рис. 3. Бифуркационная диаграмма (а) и картина ветвления (б) для сечения % = 0,1497 плоскости параметров П.

Из рис.3 видно, что с возрастанием а сначала устойчивый 20-цикл и устойчивый 5-цикл монотонно сближаются, сливаясь в точке а = а15, а затем при переходе в область значений а > а15 от устойчивого 5-цикла мягко ответвляется устойчивый 15-цикл через С-бифуркацию утроения периода, а 5-цикл изменяет тип и становится неустойчивым. Далее удалось проследить еще две бифуркации удвоения периода: 15 30—>60. Устойчивый 30-цикл возникает от 15-цикла через С-бифуркацию удвоения, а 60-цикл — через удвоение периода (максимальный по модулю мультипликатор 30-цикла выходит из единичного круга через -1). Далее устойчивый 60-цикл переходит в неустойчивый 60-цикл другого типа.

В других сечениях картина бифуркационных переходов может отличаться от показанной на рис.3. Например, детализация ряда С-бифуркационных переходов показала, что помимо устойчивого цикла мягко возникает семейство неустойчивых циклов с периодами различной

кратности, причем характер сшивания траекторий всех движений из отдельных участков подчиняется следующей закономерности.

Пусть при С-бифуркации у устойчивого т-цикла с символической характеристикой = изменяется р-й элемент: А™ -»А™,

где Л™,Л," = {1,0,*}, ¡ = 1,т. Возникающие Я/и-циклы (а их может быть до (N-1) ппук) различаются типом. В символической характеристике /-го и = 1,(М-1) Яш-цикла = {И^1 ) элементов А*""',

имеющих индексы к -р + т-(г-1), г = совпадают с символом /г", оставшиеся элементы с индексами к = 1+т(г—1), г = совпадают с символами А", 1 = 1,т. Траектории семейства Л''-«-циклов располагаются близко друг к другу в фазовом пространстве, и в численных экспериментах при переходе через бифуркационное значение параметра наблюдается мягкое возникновение хаотического движения.

Выявлены С-бифуркационные переходы, при которых хаотгоация колебаний происходит жестко. Такие переходы свойственны для тех С-бифуркационных кривых, в точках которых происходит слияние пары неустойчивых т-циклов разного типа и одновременно С-бифуркация возникновения от них семейства ./V »¡-циклов (например, в точках левой границе области П^ на рис.1). В таблице 1 приведены число и типы неустойчивых циклов, участвующих в описанном выше бифуркационном переходе в окрестности области П5, которые удалось найти численно.

Таблица 1

Символическая характеристика N..

т ] 1 2345 678 9 10 11 1213 14 15 1617 18 1920 21 22 23 24 25

5 1 2 2 * * * * 1***0 8 6

10 1 1 * * * * 14

15 1 2 * * * * 1 * * * * 2 * * * о 22

2 ^ * * * * 1***0 2***0 20

20 1 ^ * * * * 2 * * * * 2 * * * * 2 * * * о 30

2 2 * * * * 2 * * * * 2***о 2***о 28

3 1 * * * * 2***0 2***о 2***0 26

25 1 2 * * * * 2 * * * * 2 * * * * 2 * * * * 1***0 38

2 2 * * * * 2 * * * * 2 * * * * 2***о 1***0 36

3 2 * * * * 1***0 2 * * * * 1***0 2***0 34

4 2 * * * * 1***0 2***о 2***о 2***о 32

Четвертая глава посвящена исследованию динамики системы с ШИМ-1. Структура и параметры силовой части и корректирующего звена оставались такими же, как и в преобразователе с ШИМ-2. Основная цель исследований состояла в выявлении влияния рода широтно-импульсной модуляции на динамические свойства преобразователя.

Так же, как и в главе 3, варьировались параметры корректирующего звена. Результаты двупараметрического бифуркационного анализа в плоскости указанных параметров показали, что область устойчивости 1-цикла имеет значительно меньшие размеры по сравнению с областью системы с ШИМ-2. Режим колебаний на частоте модуляции является устойчивым в целом. Другое отличие состоит в характере потери устойчивости 1-цикла. Если в системе с ШИМ-2 потеря устойчивости 1-цикла сопровождается удвоением периода колебаний или возникновением квазипериодического движения (рис.1), то в системе с ШИМ-1 потеря устойчивости 1-цикла сопровождается возникновением только квазипериодического движения. В области квазипериодичности обнаружены многочисленные «окна» с периодической динамикой, отвечающие областям существования резонансных циклов, которые являются следствием синхронизации квазипериодических колебаний, и траектории которых расположены на поверхности двумерного тора.

Установлено, что области существования резонансных циклов имеют сходную структуру (рис.4). Границы этих областей образованы участками четырех С-бифуркационных кривых £;, } = 1,4. В точках С-границ происходит слияние и исчезновение устойчивого и неустойчивого /я-циклов разного типа, поэтому области с подобным строением границ в диссертационной работе названы «областями С-синхронизации».

(а) (б)

Рис.4. Структура границ областей С-синхронизации.

Каждая из линий 2/, / = Л4 образована непрерывно переходящими друг в друга участками С-бифуркационных кривых трех типов, соответствующих простому изменению типа устойчивого и неустойчивого циклов и С-бифуркации слияния и исчезновения двух циклов разного типа. При уменьшении а С-границы ] = 1,4 переходят в кривые седло-узловой бифуркации и сливаются в точке, лежащей на границе ]Уф области П| (рис.4).

Области С-синхронизации можно условно разделить на две группы. Критерием разделения являются особенности бифуркационных переходов внутри областей Пт. Первую группу образуют области С-синхронизации, в которых определены »»-циклы, как правило, с четным т (рис.4,а). Во всех точках этих областей существует единственный устойчивый /и-цикл, претерпевающий на участках линий Ь}, у = 1,4, расположенных внутри Пя, С-бифуркации простого изменения типа. Области, входящие во вторую группу, отвечают /я-циклам с нечетным периодом т. В составе этих областей имеются области ПтУ с Пп,/=1,2,...(т-1), выделенные на рис.4,б тоном, во всех точках которых одновременно существуют два устойчивых т-цикла разного типа с различными динамическими характеристиками. Переходы от /и-цикла одного типа к /»-циклу другого типа на границах Пт /

носят гистерезисный характер.

На плоскости параметров области С-синхронизации группируются особым образом. При движении по параметрам из области Пм в область Пп+/ точка Р будет последовательно пересекать множество областей С-синхронизации, периоды циклов, определенных в них, подчиняются следующей закономерности:

...У(т-1)+р-т >-...>- т -<...-< р-т+(т+1) -<...■< 2-т+(т+1)< т+(т+1) > >- т+(т+1)-2 >-...>- т+(т+1)-р >- ...>- т+1 Ч...Ч (т+1)р+(т+2) ■< р=3,4,5,..., здесь - символы упорядочения, указывающие направление «сгущения» областей С-синхронизации.

Статическая ошибка регулирования при движении по параметрам вдоль границы Л^ области устойчивости 1-цикла нелинейно зависит от

коэффициента передачи Минимальная ее величина составляет 3,1% при Х~0,4. С уменьшением % ошибка монотонно возрастает до значения 9,2%.

Пятая глава содержит описание разработанного стенда для экспериментального исследования динамики преобразователя с ШИМ-2, на котором были проведены комплексные исследования динамических режимов. Разработана методика проведения экспериментальных исследований.

В экспериментах оценивались: точность регулирования, качество переходных процессов при изменении параметров нагрузки и питающего напряжения, коэффициент пульсаций в различных режимах колебаний в зависимости от параметров звена коррекции. Экспериментальные исследования динамических характеристик периодических движений на основной частоте модуляции и субгармониках показали, что, в частности, величина коэффициента пульсаций в режиме колебаний на второй субгармонике в 1,5-2 раза превышает аналогичный показатель в режиме колебаний на частоте модуляции, а в режимах колебаний с более низкой частотой может превышать на несколько порядков. Достоверность результатов теоретических исследований и основных выводов диссертационной работы подтверждается результатами экспериментальных исследований преобразователя напряжения с ШИМ-2, параметры которого соответствуют параметрам модели, изучаемой в диссертационной работе. Расхождение между результатами численных и натурных экспериментов составляют 10-15%.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Разработана методика анализа С-бифуркаций, основанная на алгоритмах поиска периодических решений и исследования их локальной устойчивости, описании траектории периодического движения с помощью символической характеристики и свойствах системы трансцендентных уравнений для расчета периодических решений, полученной в аналитической форме. Это позволило различать типы периодических движений и прогнозировать возможный характер усложнения динамики при изменении параметров.

2. Найдены приемы выявления основных типов С-бифуркаций: простого изменения типа решения, мягкого возникновения движений с кратным периодом, слияния и последующего исчезновения двух циклов различных типов, позволяющие точно определять границы области существования и устойчивости периодического движения конкретного типа.

3. Исследованы особенности бифуркационных переходов и сценарии хаотизации колебаний, связанные с С-бифуркациями, в преобразователях электрической энергии с широтно-импульсной модуляцией 1-го и 2-го рода. Впервые показано, что в системах управления с ШИМ-2 при С-бифуркациях возможно удвоение, утроение, учетверение, упятерение периода колебаний, возникновение множества движений с кратным периодом, мягкие переходы от одних устойчивых движений к другим с кратно соотносящимися периодами.

4. Выявлены новые случаи поведения кусочно-сшитых моделей систем управления с ШИМ-1 при С-бифуркациях, связанные с возникновением резонансных циклов, являющихся следствием синхронизации квазипериодических колебаний. Детально изучена структура бифуркационных

границ и внутреннее устройство областей существования резонансных циклов, установлены закономерности их появления.

5. Установлено, что род модуляции и параметры корректирующих звеньев влияют не только на показатели качества регулирования, но и определяют размеры области устойчивости рабочего режима по параметрам и характер усложнения колебаний при изменении параметров.

6. Результаты диссертационной работы в виде пакета специализированных программ внедрены на ОАО «Счетмаш» (г.Курск) и использованы при проектировании импульсных источников вторичного электропитания радиоэлектронной аппаратуры. В результате экспериментальных исследований получено подтверждение основных теоретических положений диссертационной работы.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Емельянова Е.Ю., Шевяков В.В. Исследование динамики тири-сторного электропривода трамвайного вагона в режиме пуска // Тезисы и материалы докладов VT Российской научно-технической конференции «Материалы и упрочняющие технологии - 98». - Курск: КГТУ, 1998. -С.268-271.

2. Емельянова Е.Ю. Динамика стабилизированного источника электропитания с ШИМ-2 для летательных аппаратов // Тезисы докладов Международной молодежной научной конференции «XXV Гагаринские чтения».-М., 1999. —Т.2. -С.831.

3. E.Yu. Emelyanova. Periodic motions bifurcations in control system with pulse-width modulation // Preprints of 7'h International student Oîympiad on automatic control (Baltic Oîympiad), Saint-Petersburg, 1999, pp.6-10.

4. Жусубалиев Ж.Т., Емельянова Е.Ю. О С-бифуркациях в трехмерной системе управления с широтно-импульсной модуляцией // Материалы IV Международной конференции «Распознавание-99». - Курск: КГТУ, 1999.-С. 52-55.

5. Жусубалиев Ж.Т., Емельянова Е.Ю. Анализ структуры С-бифуркационных границ кусочно-сшитой модели системы управления с широтно-импульсной модуляцией / Информационные технологии моделирования и управления: Межвуз. сб. научных трудов. - Воронеж: ВГТУ,

1999. - С.68-74.

6. Емельянова Е.Ю. К анализу динамики стабилизированного преобразователя напряжения с ШИМ-1 // Тезисы докладов Международной молодежной научной конференции «XXVI Гагаринские чтения». - М.,

2000.

7. E.Yu. Emelyanova. Peculiarities of resonance cycles C-bifiircations in dynamics of the automatic control system with pulse-width modulation of the

first kind// Preprints of 8h International student Olympiad on automatic control (Baltic Olympiad), Saint-Petersburg, 2000. - pp. 41-47.

8. Емельянова Е.Ю. Об идентификации бифуркационных переходов в системе управления с широтно-импульсной модуляцией // Материалы Ш Международной научно-технической конференции «Медико- экологические информационные технологии-2000». - Курск: КГТУ, 2000. - С. 141144.

Соискатель

Е.Ю.Емельянова

Подписано в печать ZG-OS.ZGOÓ. формат 60x84 1/16. Печатных листов ^ 0 . Тираж 100 зкз. Заказ 35~ . Курский государственный технический университет, ЗОэьЛм, Курск, ул. 50 лег Октября, 94.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. Принципы построения и особенности динамики преобразователей электрической энергии с широтно-импульсной модуляцией систем автоматизации технологических процессов и проблема качественного проектирования.

1.1. Принципы построения полупроводниковых преобразователей электрической энергии с широтно-импульсной модуляцией систем автоматизации технологических процессов.

1.2. Детерминированные и хаотическце колебания в системах автоматического управления с широтно-импульсной модуляцией. Проблема качественного проектирования.

Актуальность темы. В системах управления технологическими процессами, установками и оборудованием производственных механизмов, в системах электропитания технологических и вычислительных комплексов преобразование параметров электрической энергии, поступающей от источника в нагрузку, осуществляется с использованием полупроводниковых преобразователей посредством разных видов модуляции, преимущественно, широтно-импульсной модуляции (ШИМ) [1-3].

Для получения требуемой точности воспроизведения энергетическим каналом преобразователя заданной формы управляющего сигнала, низкого уровня пульсаций выходного напряжения (тока), повышения быстродействия применяют широкий набор корректирующих звеньев в цепи обратной связи, осуществляющих непрерывную или дискретную коррекцию сигнала ошибки [4], или многоконтурные системы, работающие по принципу слежения за «полной» информацией о параметрах электрической энергии в нагрузке и питающей сети [5,6].

Однако на практике выбор конкретных типов корректирующих устройств и их параметров, а также вида ШИМ, параметров силовых фильтров преобразователя с целью обеспечения требуемых динамических характеристик наталкиваются на серьезные сложности. Это связано с тем, что в таких системах наряду с рабочим режимом колебаний возможны более сложные режимы функционирования, включая периодические движения на пониженных частотах, кратных частоте модуляции, или хаотические колебания. Вследствие чего воздействие внешнего шума, даже сколь угодно малого, или вариации параметров, определяемые условиями- эксплуатации и режимами работы нагрузки, могут приводить к внезапному переходу от одного динамического состояния к другому с различными динамическими характеристиками. Следствием последних является не только резкое возрастание амплитуды переменной составляющей выходного напряжения, уменьшение точности регулирования на несколько порядков, ухудшение электромагнитной совместимости преобразователя с питающей сетью и нагрузкой, но и внезапные отказы технологического оборудования.

В системах управления с ШИМ переход от режимов периодических колебаний к хаотическим при изменении параметров может происходить по типичным сценариям [7-9], например, через каскад бифуркаций удвоения периода, либо через жесткое возникновение множества различных локально устойчивых периодических движений, каждое из которых с изменением параметров может претерпевать конечную или бесконечную последовательность бифуркаций удвоения периода, завершающихся переходом к хаосу [6,10]. В то же время в преобразовательных устройствах с ШИМ смена характера динамики имеет некоторые особенности, связанные со специфическими для таких систем бифуркациями, которые принципиально не реализуются в гладких динамических системах.

Стабилизированные преобразователи электрической энергии относятся к классу нелинейных импульсных автоматических систем. Такие системы обычно описываются кусочно-сшитыми дифференциальными уравнениями. Как известно, в кусочно-сшитых динамических системах возможны специфические нарушения условий существования периодического движения, связанные с изменением числа участков фазовых траекторий, из которых сшивается траектория этого движения. Подобные нарушения топологической структуры фазового пространства получили название С-бифуркаций периодических решений [11-15]. Если в случае гладких динамических систем для определения границ области локальной устойчивости периодического решения имеются строгие критерии [16-18], основанные на методах теории бифуркаций, то для кусочно-сшитых систем общих методов, позволяющих решать указанную задачу, не существует. Границы области существования устойчивого периодического движения и переходы от одних типов движений к другим при изменении параметров не всегда определяются через критерии локальной устойчивости. Это существенно усложняет задачу построения области устойчивости периодических движений при проектировании преобразовательных устройств.

Несмотря на интенсивное развитие теории нелинейной динамики и хаоса, особенности поведения кусочно-сшитых динамических систем при С-бифуркациях остаются мало изученными. Между тем, динамические системы указанного класса находят много приложений в различных задачах механики, радиофизики и электроники, теории колебаний и управления, например, при исследовании динамики осцилляторов с сухим трением [12], релейных и импульсных систем автоматического управления самых различных классов и назначения [19-22], радиотехнических и электронных схем с кусочно-гладкими характеристиками или ключевыми элементами [2,11,23].

Поэтому разработка методов анализа С-бифуркаций, исследование сложной динамики конкретного класса стабилизированных преобразователей электрической энергии, способствующих проектированию преобразовательных устройств систем автоматизации технологических процессов с требуемыми динамическими свойствами, являются актуальными задачами.

Цель работы: разработка методов анализа С-бифуркаций и исследование механизмов хаотизации колебаний в стабилизированных преобразователях электрической энергии с ШИМ. Развитие подходов к исследованию и проектированию преобразовательных устройств систем автоматизации технологических процессов, базирующихся на обобщении результатов анализа динамики преобразователей с различными видами модуляции (ШИМ-1, ШИМ-2) и обеспечивающих обоснованный выбор рода модуляции и параметров корректирующих звеньев, улучшающих динамические характеристики и расширяющих область устойчивости в целом рабочего режима колебаний.

В соответствии с этим в диссертационной работе решаются следующие задачи:

1. разработка методов идентификации различных типов периодических движений и методов анализа С-бифуркаций в системах с ШИМ;

2. исследование закономерностей смены динамических режимов и сценариев хаотизации колебаний, связанных с С-бифуркациями, в конкретном классе стабилизированных преобразователей электрической энергии систем автоматизации технологических процессов при различных способах широтно-импульсной модуляции (1-го и 2-го рода);

3. исследование влияния рода ШИМ и параметров корректирующих звеньев в цепи обратной связи на динамические характеристики преобразователя и область устойчивости в целом режима колебаний на частоте модуляции.

Методы исследования базируются на математическом аппарате теории обыкновенных дифференциальных уравнений, теории локальной устойчивости, теории нелинейных колебаний и бифуркаций динамических систем, матричной алгебре и вычислительной математике. Численная реализация математических моделей выполнялась на ЭВМ с помощью разработанного пакета прикладных программ. Натурные эксперименты проводились на экспериментальном стенде.

Научная новизна:

1. Разработана методика анализа С-бифуркаций, основанная на алгоритмах поиска периодических решений и исследования их локальной устойчивости, описании траектории периодического движения с помощью символической характеристики и свойствах системы трансцендентных уравнений для расчета периодических решений, полученной в аналитической форме. Это позволило различать типы периодических движений и прогнозировать возможный характер усложнения динамики при изменении параметров.

2. Найдены приемы выявления основных типов С-бифуркаций: простого изменения типа решения, мягкого возникновения движений с кратным периодом, слияния и последующего исчезновения двух циклов различных типов, позволяющие точно определять границы области существования и устойчивости периодического движения конкретного типа.

3. Исследованы особенности бифуркационных переходов и сценарии хао-тизации колебаний, связанные с С-бифуркациями, в преобразователях электрической энергии с широтно-импульсной модуляцией 1-го и 2-го рода. Впервые показано, что в системах управления с ШИМ-2 при С-бифуркациях возможно не только удвоение, но и утроение, учетверение, упятерение периода колебаний, возникновение множества движений с кратным периодом, а также мягкие переходы от одних устойчивых движений к другим с кратно соотносящимися периодами.

4. Выявлены новые случаи поведения кусочно-сшитых моделей систем управления с ШИМ-1 при С-бифуркациях, связанные с возникновением резонансных циклов, являющихся следствием синхронизации квазипериодических колебаний. Детально изучена структура бифуркационных границ и внутреннее устройство областей существования резонансных циклов, установлены закономерности их появления.

5. Установлено, что род модуляции и параметры корректирующих звеньев влияют не только на показатели качества регулирования, но и определяют размеры области устойчивости рабочего режима по параметрам и характер усложнения колебаний при изменении параметров.

Указанные результаты выносятся на защиту.

Практическая ценность и внедрение результатов. Разработанные подходы к исследованию бифуркаций и хаотических колебаний кусочно-сшитых моделей систем преобразования электрической энергии с ШИМ и результаты, полученные при исследовании динамики конкретных систем, позволяют:

1. подходить к формированию и реализации математических моделей систем автоматического регулирования с ШИМ с единых теоретических позиций;

2. определять области существования и устойчивости периодических режимов в пространстве параметров системы, прогнозировать характер усложнения колебаний при изменении параметров в зависимости от рода широтно-импульсной модуляции;

3. направленно подходить к выбору рода модуляции и параметров корректирующих звеньев и силовых фильтров, способствующих повышению показателей качества регулирования и надежности функционирования.

Результаты диссертационной работы внедрены на предприятии ОАО «Счётмаш» (г.Курск) и использованы при проектировании импульсных источников вторичного электропитания радиоэлектронной аппаратуры, а также в курсе лекций по дисциплине «Математические основы теории динамических систем», читаемых автором в Курском государственном техническом университете.

Работа выполнена в соответствии с планами госбюджетных НИР Курского государственного технического университета на 1992-1997 гг. по теме 1.4.92 № гос. регистрации 01.9.70003503; гранта по фундаментальным исследованиям в области автоматики и телемеханики, вычислительной техники, информатики, кибернетики, метрологии, связи (конкурсный центр грантов при Санкт-Петербургском государственном электротехническом университете им. В.И.Ленина (Ульянова)) №1.1.98, 1998-2000 г., в которых автор участвовал как исполнитель.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на: XXV Международной молодёжной научной конференции «Гагаринские чтения» (Москва, 1999 г.), 7-й Международной студенческой Олимпиаде по автоматическому управлению (С.-Петербург, 1999 г.) (доклад отмечен дипломом второй степени за практическую значимость), 4-й Международной конференции «Распознавание-99» (Курск, 1999 г.), XXVI Меж

11 дународной молодёжной научной конференции «Гагаринские чтения» (Москва, 2000 г.), III Международной научно-технической конференции «Медико-экологические информационные технологии» (Курск, 2000 г.), 8-й Международной студенческой Олимпиаде по автоматическому управлению (С.-Петербург, 2000 г.), а также на научно-технических семинарах кафедры «Вычислительной техники» в течение 1997-2000 гг.

Публикации. Основные результаты диссертации отражены в 8 печатных работах.

Объем и структура диссертации. Работа включает введение, 5 глав, заключение, библиографический список из 106 наименований и 3 приложения. Объем диссертации 165 страниц, включая 58 рисунков и 4 таблицы.

Основные результаты и выводы

1. Разработан экспериментальный стенд для исследования динамических режимов работы преобразователя с ШИМ 2-го рода, нагруженного на двигатель постоянного тока смешанного возбуждения. Проведены измерения статической ошибки регулирования тока якоря, коэффициентов пульсации тока и качество переходного процесса для различных параметров корректирующих звеньев цепи обратной связи.

2. Экспериментально определены параметры корректирующих звеньев, соответствующие режиму 1-й 2-цикла, а также режиму хаотических колебаний. Показано, что величина коэффициента пульсаций в режиме колебаний 2-цикла в 1,52 раза превышает аналогичный показатель в режиме колебаний на частоте модуляции, а в режимах с более низкой частотой может превышать в несколько раз.

3. Приведены результаты экспериментальных исследований преобразователя напряжения с ШИМ-2, параметры которого соответствуют параметрам модели, изучаемой в диссертационной работе. Расхождение между результатами натурных и численных экспериментов составляют около 11%.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Разработана методика анализа С-бифуркаций, основанная на алгоритмах поиска периодических решений и исследования их локальной устойчивости, описании траектории периодического движения с помощью символической характеристики и свойствах системы трансцендентных уравнений для расчета периодических решений, полученной в аналитической форме. Это позволило различать типы периодических движений и прогнозировать возможный характер усложнения динамики при изменении параметров.

2. Найдены приемы выявления основных типов С-бифуркаций: простого изменения типа решения, мягкого возникновения движений с кратным периодом, слияния и последующего исчезновения двух циклов различных типов, позволяющие точно определять границы области существования и устойчивости периодического движения конкретного типа.

3. Исследованы особенности бифуркационных переходов и сценарии хаотизации колебаний, связанные с С-бифуркациями, в преобразователях электрической энергии с широтно-импульсной модуляцией 1-го и 2-го рода. Впервые показано, что в системах управления с ШИМ-2 при С-бифуркациях возможно удвоение, утроение, учетверение, упятерение периода колебаний, возникновение множества движений с кратным периодом, мягкие переходы от одних устойчивых движений к другим с кратно соотносящимися периодами.

4. Выявлены новые случаи поведения кусочно-сшитых моделей систем управления с ШИМ-1 при С-бифуркациях, связанные с возникновением резонансных циклов, являющихся следствием синхронизации квазипериодических колебаний. Детально изучена структура бифуркационных границ и внутреннее устройство областей существования резонансных циклов, установлены закономерности их появления.

5. Установлено, что род модуляции и параметры корректирующих звеньев влияют не только на показатели качества регулирования, но и определяют

148 размеры области устойчивости рабочего режима по параметрам и характер усложнения колебаний при изменении параметров.

6. Результаты диссертационной работы в виде пакета специализированных программ внедрены на ОАО «Счетмаш» (г.Курск) и использованы при проектировании импульсных источников вторичного электропитания радиоэлектронной аппаратуры. В результате экспериментальных исследований получено подтверждение основных теоретических положений диссертационной работы.

1. Глазенко Т.А., Томасов B.C. Состояние и перспективы применения полупроводниковых преобразователей в приборостроении //Изв.вузов. Приборостроение. 1996, т.39. - №3. - С.5-12.

2. Кобзев A.B., Михальченко Г.Я., Музыченко Н.М. Модуляционные источники питания РЭА. Томск: Радио и связь, 1990. - 336 с.

3. Розанов Ю.К. Полупроводниковые преобразователи со звеном повышенной частоты. М.: Энергоатомиздат, 1987. - 184 с.

4. Четти П. Проектирование ключевых источников электропитания. М.: Энергоатомиздат, 1990.

5. Белов Г.А. Исследование колебаний в импульсном стабилизаторе напряжения вблизи границы устойчивости // Электричество. 1990. - №9. -С.44-51.

6. Баушев B.C., Жусубалиев Ж.Т. О недетерминированных режимах функционирования стабилизатора напряжения с широтно-импульсным регулированием // Электричество. 1992. - №8. - С.47-53.

7. Анищенко В. С. Сложные колебания в простых системах: Механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах. М.; Наука, 1990. - 312 с.

8. Ланда П.С. Нелинейные колебания и волны. М.: Наука, Физматлит, 1997. - 496 с.

9. Дмитриев A.C., Кислов В.Я. Стохастические колебания в радиофизике и электронике. М.: Наука, 1989. - 280 с.

10. Баушев B.C., Жусубалиев Ж.Т., Михальченко С.Г. Стохастичность в динамике стабилизатора напряжения с широтно-импульсным регулированием // Электричество. 1996. - №3. - С.69-75.

11. Nüsse Н.Е., Yorke J.A. Border-Collision Bifurcation including "Period Two to Three" for Piecewise Smooth Systems // Physica D. 1992. - P.39-57.

12. Фейгин М.И. Вынужденные колебания систем с разрывными нелинейностями. -М.: Наука, 1994.

13. Фейгин М.И. Удвоение периода колебаний при С-бифуркациях в кусочно-непрерывных системах // Прикладная математика и механика. 1970, т.34. - Вып.5. - С.861-869.

14. Фейгин М.И. О рождении семейств субгармонических режимов в кусочно-непрерывной системе // Прикладная математика и механика. 1974, т.38. -Вып.5. - С. 810-818.

15. Фейгин М.И. О структуре С-бифуркационных границ кусочно-непрерывных систем // Прикладная математика и механика. 1978, т.42. -Вып.5. -С.820-829.

16. Бутенин Н.В., Неймарк Ю.И., Фуфаев H.A. Введение в теорию нелинейных колебаний. М.: Наука, 1987. - 384 с.

17. Guckenheimer J., Homes P. Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields. Springer, New York, 3rd printing, 1990.

18. Арнольд В.И. .Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.:Наука, 1984.-272 с.

19. Жусубалиев Ж.Т., Сухотерин Е.А., Рудаков В.Н. О бифуркациях и хаотических колебаниях в релейной системе автоматического регулирования с гистерезисом. М., 1999, 54 с. Деп. в ВИНИТИ 20.08.1999. №2698-В99.

20. Розенвассер E.H. Колебания нелинейных систем. М.: Наука, 1969.-576 с.

21. Джури Э.И. Импульсные системы автоматического управления. М., 1963. -456 с.

22. Времяимпульсные системы автоматического управления/ Под ред. И.М.Макарова.-М.: Наука. Физматлит, 1991.-288 е.; 1997.-224с.

23. Крюков Б.И. Вынужденные колебания существенно нелинейных систем. -М.: Машиностроение, 1984. -216 с.

24. Моин B.C. Стабилизированные транзисторные преобразователи. М.: Энергоатомиздат, 1986. - 376 с.

25. С.А.Дарзнен, С.К.Любутин, С.Н.Рукин, Б.Г.Словиковский, С.Н.Цыранов. SOS-диоды: наносекундные прерыватели сверхплотных токов. //Электротехника. 1999. - №4. - С.20-28.

26. В.В.Чибиркин. Создание силовых полупроводниковых приборов для преобразователей электроподвижного состава. //Электротехника. 1998. -№3. - С. 1-9.

27. С.Н.Флоренцев. Состояние и перспективы развития приборов силовой электроники на рубеже столетий (анализ рынка). //Электротехника. 1999. -№4. - С.2-10.

28. Б.Р.Пелли. IGBT- биполярные транзисторы с изолированным затвором. //Электротехника. 1996. - №4. - С. 16-20.

29. Замкнутые системы преобразования электрической энергии / В.Я.Жуйков, И.Е.Коротеев, В.М.Рябенький и др.; Под ред. В.Я.Жуйкова. Киев: Тэхника; Братислава: Альфа, 1989. - 320 с.

30. Шрейнер Р.Т., Ефимов A.A. Активный фильтр как новый элемент энергосберегающих систем электропривода // Электричество. 2000 г. -№3. - С.46-54.

31. Тулупов В.Д. Эффективность электроподвижного состава с импульсным управлением. 1,11. // Железнодорожный транспорт. — 1994. №3. - С.46-55; №4. - С.49-58.

32. Розанов Ю.К. Основы силовой электроники. -М.: Энергоатомиздат, 1992.

33. Слепов H.H., Дроздов Б.В. Широтно-импульсная модуляция (Анализ и применение в магнитной записи). М.: Энергия, 1978. - 192 с.

34. Гелиг А.Х., Чурилов А.Н. Колебания и устойчивость нелинейных импульсных систем. С-Пб.: изд-во С.-Петербургского ун-та, 1993. -268 с.

35. Каретный О.Я., Кипнис М.М., Петрова Ю.Б. Применение импульсно-частотных характеристик для исследования периодических режимов всистемах с интегральной широтно-импульсной модуляцией // Автоматика и телемеханика. 1988. - №8. - С.59-68.

36. Ерихов М.М., Островский М.Я. Достаточные условия существования Т-периодических режимов в системах с «линейной» интегральной широтно-импульсной модуляцией // Автоматика и телемеханика-1987 №9 - С.26-30.

37. Цыпкин Я.З. Теория линейных импульсных систем. М.: Гос. изд-во физ,-мат. литературы, 1963. - 968 с.

38. Гелиг А.Х. Динамика импульсных систем и нейронных сетей. JL: Наука, 1982.

39. Гелиг А.Х., Чурилов А.Н. Периодические режимы в широтно-импульсных системах //Автоматика и телемеханика. 1986. -№11.- С.37-44.

40. Гелиг А.Х., Чурилов А.Н. Исследование Q-периодических режимов в широтно-импульсных системах // Автоматика и телемеханика. 1989. - №2. - С.30-39.

41. Гелиг А.Х., Чурилов А.Н. Периодические режимы в широтно-импульсных системах с переменной структурой линейной части // Автоматика и телемеханика. 1990. - №12. - С.94-104.

42. Андерс В.И., Коськин O.A., Карапетян А.К. Исследование систем управления в тиристорно-импульсных тяговых электроприводах городского электрического транспорта //Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. 1990. - №5. - С.65-77.

43. Кунцевич В.М., Чеховой Ю.Н. Нелинейные системы управления с частотно- и широтно-импульсной модуляцией. Киев: Техшка, 1970. - 340 с.

44. Берендс Д.А., Кукулиев P.M., Филиппов К.К. Приборы и системы автоматического управления с широтно-импульсной модуляцией. JL: Машиностроение, 1989. - 279 с.

45. Дискретные нелинейные системы / Под ред. Ю.И.Топчеева. М.: Машиностроение, 1982.-312 с.

46. Антонова H.A. О простейших периодических режимах в системах импульсного регулирования с ШИМ-I и ШИМ-П // Автоматика и телемеханика. 1975. - №2. - С.46-50.

47. Антонова H.A. Существование периодических режимов в системах с интегральной широтно-импульсной модуляцией // Автоматика и телемеханика. 1979. - №7. - С. 175-181.

48. Ерихов М.М., Островский М.Я. Условия существования Т-периодических режимов в системах с широтно-импульсной модуляцией второго рода // Автоматика и телемеханика. 1986. - №10. - С. 169-172.

49. Каретный О.Я., Кипнис М.М. Периодические режимы работы широтно-импульсных систем управления. I, II //Автоматика и телемеханика. — 1987. -№11.- С.46-54. №12. С.42-48.

50. Чурилов А.Н. Устойчивость системы с интегральной широтно-импульсной модуляцией //Автоматика и телемеханика. 1993. - №6. - С.142-150.

51. Жусубалиев Ж.Т., Колоколов Ю.В., Рудаков В.Н. К проблеме хаотизации состояния импульсных систем автоматического регулирования тяговым электроприводом // Изв. вузов. Электромеханика. 1995. - №5-6. - С.86-92.

52. Демирчян К.С., Бутырин П.А., Савицки А. Стохастические режимы в элементах и системах электроэнергетики // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. 1987. - №3. - С. 3-16.

53. Жуйков В.Я., Леонов А.О. Хаотические процессы в электротехнических системах // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. 1991- №1. - С. 121127.

54. Жусубалиев Ж.Т. К исследованию хаотических режимов преобразователя напряжения с широтно-импульсной модуляцией // Электричество. 1997. -№6.- С.40-46.

55. Жусубалиев Ж.Т., Колоколов Ю.В., Пинаев С.В., Рудаков В.Н. Детерминированные и хаотические режимы преобразователя напряжения с широтно-импульсной модуляцией // Изв. РАН. Энергетика.-1997.- №3. -С.157-170.

56. Постников Н.С. Стохастические колебания в ядерном реакторе с релейной системой регулирования //Атомная энергия. 1994. - Т.76. - Вып. 1. - С.З-11.

57. Postnikov N.S. Dynamic Chaos in Relay System with Hysteresis // Computational Mathematics and Modeling. 1997, Vol.8. - №3. - P.62-72.

58. Постников Н.С. Стохастичность релейных систем с гистерезисом //Автоматика и телемеханика. 1998. - №3. - С.57-68.

59. Крутова И.Н. Исследование стабилизации многомерной динамической системы с релейным управлением // Автоматика и телемеханика. 1999. -№4. - С.27-43.

60. Белов Г.А., Картузов А.В. Колебания в импульсном стабилизаторе // Электричество. 1988. - №7. - С.53-56.

61. Koschinski S.L., Kovrizhkin S.Y. Subharmonic resonance in dynamics of theautomatic control system with pulse-width modulation of the second kind //th

62. Preprints of 7 Int. student Olympiad on automatic control (Baltic Olympiad). -Saint-Petersburg. 1999. - Pp. 183-189.

63. Неймарк Ю.И. Динамическая система как основная модель современной науки // Автоматика и телемеханика. 1999. - №3. - С. 196-201.

64. Коськин O.A., Карапетян A.K. Анализ пульсационной составляющей тока в системе авторегулирования тягового привода // Сб. научных трудов МЭИ. 1992. -№ 641. - С.16-22.

65. Коськин O.A., Карапетян А.К. Анализ способа синхронной фильтрации управляющего сигнала в тяговых электроприводах с ТИСУ // Сб. научных трудов МЭИ. 1989. - № 238. - С.38-44.

66. Коськин O.A., Карапетян А.К. Влияние входного фильтра на устойчивость к автоколебаниям тягового привода с ТИСУ // Сб. научных трудов МЭИ. -1987. -№ 136. С.30-35.

67. Коськин O.A., Суслов Б.Е., Карапетян А.К. Анализ устойчивости замкнутой системы регулирования для электропривода трамвайного вагона // Электрооборудование промышленных установок. Сб. научных трудов Горьковского политех, ин-та. 1988. - № 24. - С.47-50.

68. Баушев B.C., Кобзев A.B., Тановицкий Ю.Н. Нормальные структуры динамических объектов. В кн.: Аппаратно-программные средства автоматизации технологических процессов. - Томск: Изд-во ТГУ, - 1997. -С.146-152.

69. Мун Ф. Хаотические колебания. М.: Мир, 1990. - 312 с.

70. Кипнис М.М. Хаотические явления в детерминированной одномерной широтно-импульсной системе управления //Изв. АН. Техническая кибернетика. 1992. - №1. -С.108-112.

71. Косчинский С.Л. Закономерности возникновения недетерминированных процессов в автоматизированных тяговых электроприводах постоянноготока с широтно-импульсной модуляцией / Автореферат дисс. . канд. техн. наук.-Орёл, 1998.-24 с.

72. Пинаев C.B. Динамика электроприводов систем автоматизации технологических процессов с релейно-импульсным регулированием. Дисс. канд. техн. наук. Курск, 1999. - 188 с.

73. Конев Ф.Б., Конева Н.Е. Применение персональных ЭВМ в разработках преобразовательных устройств //Электротехническая промышленность. Сер.05. Силовая преобразовательная техника. 1988. - Вып.20. - С. 1-48.

74. Вентильные преобразователи переменной структуры / В.Е.Тонкаль, В.С.Руденко, В.Я.Жуйков и др.; Под ред. А.К. Шидловского Киев: Наук.думка, 1989. - 336 с.

75. Емельянов C.B. Системы автоматического управления с переменной структурой. М.: Наука, 1967. - 336 с.

76. Амосов А.А и др. Вычислительные методы для инженеров. -М.:Высш.шк., 1994. 544 с.

77. Деннис Дж., Шнабель Р. Численные методы безусловной оптимизации и решения нелинейных уравнений. М.: Мир, 1988. - 440 с.

78. Рудаков В.Н. Хаос в динамике стабилизированных преобразователей электрической энергии с релейным регулированием: Дис. . канд. техн. наук. Курск, 1998. - 180 с.

79. Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1978. - 472 с.

80. Андронов A.A., Витт A.A., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М., 1954.

81. Паркер Т.С., Чжуа JI.O. Введение в теорию хаотических систем для инженеров // ТИИЭР. 1987, т.75. - №8. - С.6-40.

82. Жусубалиев Ж.Т., Емельянова Е.Ю. О С-бифуркациях в трёхмерной системе управления с широтно-импульсной модуляцией // Материалы IV Международной конференции «Распознавание-99». Курск: КГТУ, 1999. -С. 52-55.

83. Айзерман М.А., Гантмахер Ф.Р. Устойчивость по линейному приближению периодического решения системы дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями // Прикладная математика и механика. 1957, т.21. -Вып.2. - С.658-669.

84. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. -М.: Наука, 1985. 224 с.

85. Алейников O.A., Баушев В.С, Кобзев A.B., Михальченко Г.Я. Исследование локальной устойчивости периодических режимов в нелинейных импульсных системах // Электричество. 1991. - №4. — С.16-21.

86. Баушев B.C., Жусубалиев Ж.Т., Колоколов Ю.В., Терехин И.В. К расчету локальной устойчивости периодических режимов в импульсных системах автоматического регулирования //Автоматика и телемеханика. 1992. - №6. - С.93-100.

87. Неймарк Ю.И., Ланда П.С. Стохастические и хаотические колебания. -М.: Наука, 1987. -424 с.

88. Халанай А., Векслер Д. Качественная теория импульсных систем. М.: Мир, 1971.-310 с.

89. Емельянова Е.Ю. Об идентификации бифуркационных переходов в системе управления с широтно-импульсной модуляцией // Материалы III

90. Международной научно-технической конференции «Медико-экологические информационные технологии-2000». Курск: КГТУ, 2000. -С. 141-144.

91. Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. -М.: Наука, 1978. 304 с.

92. Алейников О.А. Динамические свойства систем воспроизведения сигналов с многозонной импульсной модуляцией. Дисс. канд. техн. наук. Томск, 1988.

93. Емельянова Е.Ю. Динамика стабилизированного источника электропитания с ШИМ-2 для летательных аппаратов // Тезисы докладов Международной молодёжной научной конференции «XXV Гагаринские чтения».-М., 1999.-Т.2. С.831.

94. E.Yu. Emelyanova. Periodic motions bifurcations in control system with pulse-width modulation // Preprints of 7th International student Olympiad on automatic control (Baltic Olympiad), Saint-Petersburg, 1999, pp.6-10.

95. Anishchenko V.S., Strelkova G.I. Irregular attractors // Discrete dynamics in nature and society. 1998. - Vol.2. - Pp.53-72.

96. Баутин H.H. Поведение динамических систем вблизи границ области устойчивости. М.: Наука, 1984. - 176 с.

97. Арнольд В.И. Теория катастроф. М.: Наука, 1990. - 128 с.

98. Емельянова Е.Ю. К анализу динамики стабилизированного преобразователя напряжения с ШИМ-1 // Тезисы докладов Международной молодёжной научной конференции «XXVI Гагаринские чтения». М., 2000.

99. Гласс Л., Мэкки. От часов к хаосу: ритмы жизни. М.: Мир, 1991. - 248 с.

100. Богданов Н.С., Кузнецов А.П. «Атлас» карт динамических режимов эталонных моделей нелинейной динамики и радиофизических систем // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2000, т.8. - №1. - С.80-91.

101. Jensen М.Н., Bak P., Bohr Т. Transition to Chaos by Interaction of Resonances in Dissipative Systems. I. Circle Maps // Phys. Review A. 1984. -Vol.30. -№4.- P. 1960.

102. Shell M., Fraser S., Kapral R. Subharmonic Bifurcations in the Sine Map: an Infinite of Bifurcations // Phys. Review A. 1983. - Vol. 28 - №1. - P.605.

103. Лоренц Э. Недетерминированное непериодическое течение. // В кн.: Странные аттракторы / Под ред. Синая Я.Г., Шильникова Л.П. М.: Мир, 1981.-С. 88-116.