автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.06, диссертация на тему:Анализ и выявление закономерностей хаотической динамики системы управления преобразователем энергии

На правах рукописи

ИВАНОВА ЕЛЕНА НИКОЛАЕВНА

1

1

АНАЛИЗ И ВЫЯВЛЕНИЕ ЗАКОНОМЕРНОСТЕЙ ХАОТИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЕМ ЭНЕРГИИ

I

I

05.13.06 - Автоматизация и управление технологическими процессами и производствами

I

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Курск - 2003

Работа выполнена на кафедре вычислительной техники в Курском государственном техническом университете

Научный руководитель доктор технических наук, профессор

Жусубалиев Ж.Т.

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор,

Заслуженный деятель науки РФ Сизов A.C. кандидат технических наук, доцент Жмакин А.П.

Ведущая организация Тульский государственный-университет

Защита состоится «/О» декабря 2003 г. в 14 часов на заседании диссертационного совета Д212.105.03 в Курском государственном техническом университете по адресу: 305040, г. Курск, ул. 50 лет Октября, 94.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Курского государственного технического университета.

Автореферат разослан « & » Д.OSbbjlJL 2003 г.

Ученый секретарь диссертационного совета / _ Старков Ф.А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность работы. В настоящее время в большинстве отраслей промышленности получил развитие принцип иерархической (многоуровневой) организации структуры автоматизированной системы управления технологическими процессами (АСУТП), при которой на нижнем (исполнительном) уровне широко применяются автоматические системы, построенные на базе импульсно-модуляционных преобразователей энергии, непосредственно управляющие исполнительными механизмами и технологическим оборудованием.

В импульсно-модуляпионных системах преобразования энергии использу-, ются преимущественно два вида реверсивной модуляции - однополярная (ОРМ) и

двухполярная (ДРМ) [Кобзев А.В, Михальченко Г.Я. и др., 1990]. Известно, что практическая реализация преобразователей с ДРМ требует вдвое меньше полупроводниковых элементов по сравнению с ОРМ.

В то же время многочисленные исследования характеристик различных видов модуляции [Михальченко Г.Я. и др., 2001], например, по критерию минимизации нелинейных искажений, указывают на то, что преобразователи с ОРМ по | статическим характеристикам имеют существенные преимущества по сравнению

с другими видами импульсной модуляции.

В свою очередь, характерный для преобразователей энергии АСУТП широкий диапазон изменения параметров нагрузки и напряжения питающей сети обусловливает возможность их функционирования как в режимах периодических, так и апериодических (хаотических и квазипериодических) колебаний [Баушев B.C. и др., 1991-1996; Михальченко Г.Я., 1992; Жусубалиев Ж.Т. и др., 1991-2003].

Известно, что возникновение хаотических колебаний приводит к многократному увеличению переменной составляющей тока и напряжения нагрузки, резкому ухудшению качества преобразования параметров электрической энергии, а также к непредсказуемым отказам технологического оборудования.

В последнее десятилетие наблюдается необычайно быстрый рост числа теоретических и экспериментальных работ по исследованию хаотической динамики __ в системах с импульсной модуляцией. Эти исследования охватывают приложения к теории автоматического управления и регулирования, силовой преобразова-* тельной технике, физике плазмы, квантовой электронике, космической технике и

биологическим системам. В то же время практически отсутствуют работы, посвященные анализу сложной динамики и хаоса в преобразователях энергии с реверсивной модуляцией. Кроме того, отсутствуют исследования, позволяющие выполнить обоснованный выбор типов регуляторов, схем и параметров корректирующих устройств. Имеющиеся результаты касаются, главным образом, динамических особенностей импульсных систем автоматического управления, построенных на базе однополярной нереверсивной модуляции [Hamil D.C., 1992; Баушев B.C. и др., 1991-1996; Tse С.К., 2003; Banerjee S., 2003; Косчинский С.Я. и др., 1998 - 2003; Жусубалиев Ж.Т. и др., 1991 - 2003].

Это вынуждает проводить большой объем экспериментальных исследований с целью получения приемлемых для конкретных условий эксплуатации динамических характеристик, повышения надежности и эксплуатационных показателей. В этой связи создание методики анализа сложн^даШШви.ЗДЬЙАвьфние за-

БИБЛИОТЕКА j | С. Петербургу л ~ *

} ОЭ iOOgm«f^Ji

кономерностей хаотической динамики в импульсно-модуляционных системах преобразования энергии, построенных на базе однополярной реверсивной модуляции, направленных на разработку методов проектирования импульсных систем автоматического управления исполнительными механизмами и технологическим оборудованием АСУ 111, исключающих возникновение недетерминированных режимов и катастрофических явлений, представляются актуальными задачами.

Диссертационная работа выполнена в ходе реализации научно-исследовательских работ (НИР), проводившихся в рамках международного сотрудничества Курского государственного технического университета совместно с Центром по исследованию хаоса и турбулентности Датского технического университета в 1998 - 2003 гг.; в рамках плана госбюджетных НИР Курского государственного технического университета по Единому заказ-наряду Министерства образования Российской Федерации в 1998 - 2003 гг. Исследование поддержано грантом Министерства образования Российской Федерации по фундаментальным исследованиям в области естественных и точных наук (грант Е02-2.0-81).

Цель работы. Разработка научно-технических путей проектирования импульсных систем автоматического управления с улучшенными динамическими характеристиками, построенных на базе однополярной реверсивной модуляции.

Основная научная задача состоит в разработке модифицированных математических моделей, методик и алгоритмов численного анализа недетерминированных режимов, выявлении закономерностей хаотической динамики систем управления преобразователями энергии с однополярной реверсивной модуляцией.

В соответствии с целью и основной задачей в диссертационной работе решались следующие частные задачи:

1. Разработка методики построения модифицированных математических моделей систем управления преобразователями энергии с однополярной реверсивной модуляцией в форме стробоскопического отображения.

2. Разработка методик и алгоритмов анализа хаотической динамики систем управления преобразователями энергии.

3. Выявление закономерностей развития сложной динамики и хаоса в системах управления преобразователями энергии.

4. Экспериментальные исследования хаотической динамики системы управления преобразователем энергии.

Научная новизна:

1. Разработана методика формирования математических моделей систем управления преобразователями энергии с однополярной реверсивной модуляцией в форме стробоскопического отображения, являющегося основой для построения вычислительных алгоритмов анализа хаотической динамики.

2. Разработаны методики и алгоритмы численного анализа недетерминированных режимов, включающие:

2.1. Методику и алгоритм поиска периодических движений, особенностью которых является сведение задачи к решению системы трансцендентных уравнений относительно коэффициентов заполнения управляющих импульсов, позволяющие находить как устойчивые, так и неустойчивые периодические решения.

2.2. Алгоритм анализа локальной устойчивости, базирующийся на линеаризации стробоскопического отображения в окрестности периодического движения и аналитическом вычислении оператора монодромии, позволяющий с заданной точностью рассчитывать параметры бифуркаций и границы области устойчивости, а также идентифицировать типы бифуркаций.

3. Выявлены следующие закономерности развития сложной динамики и хаоса в системе управления преобразователем энергии с ОРМ:

3.1. Хаотизация динамических режимов происходит через режим двухчас-тотных квазипериодических колебаний. При этом квазипериодические колебания возникают в результате субкритической (обратной) бифуркации Андронова-Хопфа (Неймарка-Саккера).

3.2. В области квазипериодичности вариации параметров приводят к резо-нансам на двумерном торе. Внутри зон резонансов переход к хаосу происходит через последовательность различных типов локальных бифуркаций и С-бифуркаций.

3.3. Область устойчивости режима на основной частоте модуляции совпадает с областью конвергентности за исключением неширокой полосы мультиста-бильности вблизи линии субкритической бифуркации Андронова-Хопфа. В области мультистабильности вариации параметров или наличие внешнего шума, даже сколь угодно малого, могут привести к катастрофической смене характера динамики, например, внезапному переходу от одних устойчивых периодических движений к другим либо к квазипериодическим колебаниям.

4. Впервые выявлен новый тип С-бифуркации, связанный с изменением полярности управляющих импульсов. Существо такой бифуркации заключается в следующем. При смене полярности импульсов устойчивое периодическое движение мягко переходит в устойчивое движение того же периода, но другого типа. Для неустойчивого движения смена полярности импульсов приводит к его исчезновению.

Методы исследования базируются на аппарате теории обыкновенных дифференциальных уравнений, теории устойчивости и бифуркаций, методов вычислительной математики и теории автоматического управления.

Практическая ценность и внедрение

1. Разработанные математические модели, методики и алгоритмы численного анализа динамических режимов позволяют выполнить обоснованный выбор схем и параметров корректирующих устройств, устройств обратных связей, вида модуляции и обеспечить достижение требуемых показателей качества функционирования системы в широком диапазоне изменения параметров объекта управления и возмущающих воздействий.

2. Разработанные методы, вычислительные алгоритмы и установленные в исследованиях закономерности хаотической динамики, могут быть использованы для моделирования и проектирования широкого класса импульсных систем автоматического управления. Полученные аналитические зависимости пригодны для инженерных расчетов при проектировании импульсно-модуляционных систем преобразования энергии для АСУТП.

Методы и алгоритмы численного анализа хаотических колебаний в системах управления с однополярной реверсивной модуляцией, реализованные в виде специализированного пакета прикладных программ, внедрены: на ОАО «Счет-маш», г. Курск, и использованы при проектировании импульсных источников электропитания с бестрансформаторным входом; на некоммерческом предприятии «Брянский региональный фонд энергосбережения», г. Брянск, и использованы при проектировании автоматизированной системы энергообеспечения собственных нужд первого отечественного энергосберегающего газотепловоза ТЭМ-18Г.

Научно-методические результаты, полученные в диссертационной работе, внедрены в учебный процесс и используются в Курском государственном техническом университете в курсах «Математические методы расчета электронных схем», «Основы теории управления».

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и получили положительные оценки на: Международных молодежных научных конференциях «Гагаринские чтения» (Москва, 1999 г., 2000 г.), Международных научно-технических конференциях «Медико-экологические информационные технологии» (Курск, 1999 г., 2003 г.), Международных конференциях «Оптико-электронные приборы и устройства в системах распознавания образов, обработки изображений и символьной информации» «Распознавание» (Курск, 2001 г., 2003 г.), 6th International School on Chaotic Oscillations and Pattern Formation CHAOS'Ol (Саратов, 2001 г.), 9th International Student Olympiad on Automatic Control BOAC'2002 (Baltic Olympiad) (Санкт-Петербург, 2002 г.); научных семинарах кафедры вычислительной техники Курского государственного технического университета (1999 - 2003 гг.).

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Методика формирования математических моделей систем управления преобразователями энергии с однополярной реверсивной модуляцией в форме стробоскопического отображения.

2. Методика и алгоритм поиска периодических движений, основанные на сведении задачи к решению системы трансцендентных уравнений относительно коэффициентов заполнения управляющих импульсов.

3. Алгоритм анализа локальной устойчивости, базирующийся на линеаризации уравнения стробоскопического отображения в окрестности периодического движения и аналитическом вычислении матрицы монодромии.

4. Найденные закономерности развития сложной динамики и хаоса в системе управления преобразователем энергии, а именно:

- выявленные свойства разбиения пространства параметров на области периодичности и хаоса, а также бифуркационные механизмы хаотизации динамических режимов через режим двухчастотных квазипериодических колебаний;

- обнаруженные гистерезисные явления, резонансы на двумерном торе и установленные закономерности усложнения колебаний через последовательность локальных бифуркаций и С-бифуркаций.

Публикации. Результаты диссертации отражены в 9 печатных работах. В работах, выполненных в соавторстве, соискателю принадлежат: в [1, 2] - алгорит-

мы анализа локальных бифуркаций, закономерности усложнения динамики в двумерной модели системы управления преобразователем энергии; в [5] - численные эксперименты по анализу локальных бифуркаций и С-бифуркаций; в [6] - математическая модель, алгоритмы бифуркационного анализа, результаты исследований хаотической динамики трехмерной модели импульсной системы автоматического управления.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы, включающего 135 наименований и приложения, изложена на 118 страницах (без приложения) и поясняется 46 рисунками и 4 таблицами.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы цель и задачи исследований, научная новизна и практическая ценность, указаны результаты реализации работы.

Первая глава посвящена описанию принципов построения замкнутых систем преобразования энергии на основе однополярной реверсивной модуляции, входящих в состав АСУ 111 в различных областях промышленности. Современные АСУТП представляют собой иерархические (многоуровневые) структуры. На нижнем (исполнительном) уровне такой структуры используются автоматические системы, построенные на базе импульсно-модуляционных преобразователей энергии, непосредственно управляющие исполнительными механизмами и технологическим оборудованием.

В импульсно-модуляционных системах преобразования энергии применяются различные виды однополярной модуляции. Однако использование однополярной реверсивной модуляции по сравнению с однополярной нереверсивной, позволяет повысить точность регулирования, обеспечить малый коэффициент пульсаций и снизить потери энергии [Михальченко Г.Я., 2001; Лапонов С.Н., 2001]. Рассмотрены принципы построения и особенности реализации преобразователей

......,..............с однополярной

" нй>< '

~т

JVy\.

-Ж

^ т

фильтр!

мо-

R„

Т JR «i г

1 S J

Щ

Т R 4 ► Г

S J

УВХ

и„

и\ц

М

ÜZr

реверсивной дуляцией.

На рис. 1 изображена обобщенная схема импульсного преобразователя энергии с однополярной реверсивной модуляцией, представляющая собой замкнутую систему автоматического регулирования. Для реали-

Рис.1

И линейна)

" ose

Рис.2

зации однополярнои реверсивной модуляции формируются линейно нарастающее

но спадающее пилообразные напряжения. Моменты переключения транзисторов Vi — VA автономного инвертора (АИ) определяются равенством сигнала устройства выборки и хранения (УВХ) пилообразным напряжениям. На выходе инвертора формируется прямоугольное раз-нополярное напряжение с амплитудой питающего напряжения. На рис. 2 приведены временные диаграммы, поясняющие формирование импульсных последовательностей, реализующих управление на базе ОРМ.

Импульсные преобразователи энергии обычно описываются системами обыкновенных дифференциальных уравнений, правые части которых имеют разрывы первого рода на некоторых гладких поверхностях [Филиппов А.Ф., 1985; Фейгин М.И., 1994; Баушев B.C., 1986 - 1996 и др.]. Эти поверхности разделяют фазовое пространство динамической системы на отдельные области, в каждой из которых поведение системы описывается различными дифференциальными уравнениями с достаточно гладкими правыми частями. Решения этих уравнений «сшиваются» тем или другим образом на границах этих областей, например, по непрерывности или условиям разрыва [Филиппов А.Ф., 1985; Бутенин Н.В. и др., 1987; Фейгин М.И., 1994; Баушев B.C., 1986 - 1996 и др.].

Такие динамические системы называют кусочно-гладкими. Известно, что в кусочно-гладких динамических системах возможны два типа бифуркаций. Первый тип составляют, как и в гладких динамических системах, локальные бифуркации, которые связаны с потерей устойчивости периодическим решением. Это, например, бифуркация Андронова-Хопфа, бифуркация удвоения периода, седло-узловая бифуркация. Второй тип не реализуется в гладких системах и связан с касанием границы областей сшивания одним из участков фазовой траектории периодического решения, в результате чего изменяется число участков, из которых сшивается траектория этого решения. Такие бифуркации получили название С-бифуркаций [Фейгин М.И., 1970, 1974, 1994]. В западной литературе они также' известны как «border-collision bifurcations» [Nüsse Н.Е., Yorke J.A., 1992,1994].

Наличие локальных и С-бифуркаций в динамике кусочно-гладких динамических систем обусловливает многообразие наблюдаемых динамических явлений и переходов к хаосу. Обзор состояния проблемы, примыкающей к теме диссертации, показывает, что в научной литературе отсутствуют публикации, посвящен-

ные аналюу сложной динамики и хаоса в преобразователях с ОРМ. Имеющиеся результаты касаются, в основном, динамических особенностей релейных и ши-ротно-импульсных систем автоматического управления. В связи с этим разработка математических моделей, методов и алгоритмов анализа недетерминированных режимов, выявление закономерностей возникновения хаотической динамики в преобразователях энергии с ОРМ являются актуальными задачами.

Вторая глава посвящена разработке математических моделей преобразователей напряжения с однополярной реверсивной модуляцией, методов и алгоритмов численного анализа недетерминированных режимов, необходимых для изучения общей картины возможных динамических режимов, бифуркационных переходов, закономерностей хаотической динамики. Для решения поставленных задач предложены подходы, основанные на приемах метода отображения Пуанкаре.

В качестве базового объекта рассматривается преобразователь электрической энергии с однополярной реверсивной модуляцией и пропорционально-интегрирующим звеном в цепи обратной связи. Поведение такого преобразователя описывается трехмерной системой кусочно-гладких дифференциальных уравнений с внешним периодическим воздействием:

dX/dt = АХ + Bit, Х)\ B(t + a,X)=B(t, Х)\ B{t, X)=B(Kf). (1)

Здесь A, X - постоянная 3x3 матрица и 3-х мерный вектор, В{КР) - кусочно-

I 2

постоянный вектор соответствующей размерности; Кр =—^sign(£,) - сигнал на

выходе модулятора; ^¡{t, X)=a{xUr^--Ux)-U^c{t) - управляющие сигналы; U = (0, Рх> - матрица строка, определяющая закон регулирования;

(t)-(-l)'U0(t/a-l-2El(t/a)) - линейно спадающее (при z = 1) и линейно нарастающее (при г = 2) пилообразные напряжения; а, Р, U0, Uref - параметры; а - период внешнего воздействия; E^ja) - целая функция.

Выходной сигнал модулятора KF в пределах тактового интервала (k - \)а < t < ка, к = I, 2,... определяется как [О, (£-l)a<{<tk, tk<t<ka;

где }к, 1к - моменты переключения широтно-импульсного модулятора (рис. 2) определяются в зависимости от по алгоритму:

* ^0=0, й((*-1)в, **_,)><> и |2((*-1к

Вследствие симметричности импульса относительно середины тактового интервала 4 - (2к - 1)а - .

Для рассматриваемой динамической системы была разработана методика построения стробоскопического отображения, являющегося базой для создания вычислительных алгоритмов анализа хаотической динамики. Сущность такой методики заключается в следующем. В соответствии с алгоритмом формирования

управляющих импульсов (рис. 2) тактовый интервал разбивается на три области, в каждой из которых уравнения движения (1) различны, но линейны. На каждом интервале непрерывности решения дифференциальных уравнений находятся аналитически, а при переходе из одной области кусочной гладкости в другую сшиваются по непрерывности. Для сшивания решений требуется определить как моменты переключения модулятора, так и полярность управляющих импульсов. Полученное таким образом уравнение стробоскопического отображения включает в себя:

1) совокупность рекуррентных соотношений

- "2* « V1' +

"з* ="з(* V30

или

2) уравнение, определяющее полярность управляющих импульсов,

(3 ^ ^ = ~ 1)+ ип} ; (4)

3) алгоритм вычисления коэффициентов заполнения гк .

2ъ =

Ж

ъ-—-а

ил

(5)

ч^к-

2

ч> 2к

1,

9{ч, Щ )=[ ~ 1)+

Ы _

Здесь гк=2(к1а-2к + \ - коэффициент заполнения импульса, Я,-, ¡' = 1, 3 - собственные числа матрицы А, которые при выбранных значениях параметров являются вещественными и отрицательными; 7?,- - параметры. Компоненты вектора

№ = у/г, щ)Т связаны с компонентами вектора X с помощью невырожденного линейного преобразования.

Для случая комплексных собственных чисел матрицы А отображение было также получено с использованием описанной методики.

а

Период Т периодического решения динамической системы (1) в общем

случае является кратным периоду внешнего воздействия: Т = та, « = 1,2,3.....

Движение с таким периодом будем называть т -циклом. Для определения типа периодического решения автором введена символическая характеристика аналогично тому, как это сделано в работах Фейгина М.И. (и в работах других авторов, см., например, [Zh. Zhusubaliyev and Е. Mosekilde, 2003]). Отличие заключается в том, что введённая автором символическая характеристика определяет не только порядок сшивания фазовой траектории из отдельных участков, но и порядок смены полярности управляющих импульсов. Эта характеристика представляет собой последовательность Sm = ((slt Р5), (s2, Рг\..., (sm, Рт)), составленную из пар символов Рк), к = 1,2, ...,т, где «*», если 0 < zk < 1; ,

«1», если импульс отрицательной полярности; Si = «0», если zk = 0; "к = i (6)

I «2», если импульс положительной поляности.

«1», если zk = 1,

Задача поиска m -циклов полученного стробоскопического отображения с учетом введенной символической характеристики (6) была сведена к решению системы трансцендентных уравнений относительно {zk,Nk),k-= 1, m:

9к((* 1. N:)> (z2> Nl\ (Zm- Nm))=fik(zk, Nk)> * = 1> m>

(7)

Здесь

<0, zk =1;

>0, zk =0; ftk(zk, 2)= 0, Q<zk <1;

N{\ (z2, N2),..., (zm, NjhXn • 1=1

qim=_ j.

<0, zt = 0; >0,г, =1;

0, 0<Zj <1.

+ U,

Un

ref

a

hNk>

9* __

>1 V

Локальная устойчивость т -цикла определяется собственными числами .(мультипликаторами) р1г г = 1,3 матрицы монодромии ^"(7"). Алгоритм анализа локальной устойчивости включает следующие этапы: 1. Поиск периодического решения.

1.1.Задание типа периодического решения в виде символической характеристики 8т и начальных условий (г^ ,Нк), к = \, т.

1.2.Решение системы трансцендентных уравнений (7) методом Ньютона.

1.3.Проверка выполнения неравенств в (7), определяющих условия существования периодического решения.

Ло

1.4.Расчет точек цикла по формуле у/л =—г--—\а

2[1-етЛ'а)

2. Расчет матрицы монодромии Г(Г) по рекуррентной формуле: 5Шк

1 ^ 1 ж. =—

дцгк_х

-Рк-1, *=

аж,

1, m,F0=£JF(7•)=Fиl

*-1

Эи^

2Дг

'34

Й2ь

.«Л'.е^'}, * = 1,1и.

, 0 < < 1; о?Ук _ дгк

О, гк =0,гк= 1, 8гк _ о(рк^кьЫк) /8<рк{гк,Щ) 1) /

О - нулевая 3x3 матрица, е^" =

3. Расчет собственных чисел р1, 1 = 1, 3 матрицы монодромии, т.е. корней характеристического уравнения

4. Анализ расположения мультипликаторов на комплексной р -плоскости относительно единичной окружности с центром в начале координат.

Описанные методы и алгоритмы явились основой для разработки вычислительных алгоритмов анализа локальных бифуркаций и С-бифуркаций.

Третья глава посвящена исследованию закономерностей хаотической динамики системы управления преобразователем энергии с ОРМ. В исследованиях варьировались коэффициент усиления а и коэффициент передачи х корректирующего устройства. На рис. 3 представлены результаты численных расчетов карты динамических режимов в плоскости управляющих параметров П = {(а, х)'- 5 < а < 110; 0,1 < х < !}• Область существования режима колебаний на рабочей частоте (1-цикла) #ц справа ограничена кривой субкритической

бифуркации Андронова-Хопфа (Неймар-ка-Саккера). На линии А^ неустойчивый

тор исчезает, сливаясь с 1-циклом, а 1-цикл становится неустойчивым.

Установлено, что область устойчивости режима на основной частоте модуляции совпадает с областью конвергентное™ за исключением неширокой полосы мультистабильности вблизи субкритической бифуркации Андронова-Хопфа. В области мультистабильности вариации параметров или наличие внешнего шума, даже сколь угодно малого, может привести к катастрофической смене характера динамики, например, внезапному пе-

реходу от одних устойчивых периодических движений к другим либо к квазипериодическим колебаниям. При пересечении границ области мультистабильности наблюдаются жёсткие гистерезисные переходы от одного динамического состояния к другому.

Области периодичности Я51-Я121, расположенные правее линии Л^, отвечают областям резонансов на двумерном торе. Внутренняя структура областей резонансов в пространстве параметров кусочно-гладких систем имеет принципиальные отличия по сравнению с гладкими системами [2Ь. Т. гЬшиЬаНуеу, Е. А. БоиИмЛегт, Е. МозеЫШе, 2002, 2003]. Выявлено, что внутри зон резонансов переход к хаосу происходит через последовательность различных типов локальных бифуркаций и С-бифуркаций.

Г=0,199

=0,199

0,5

=¡5®

-1,0 62,7а101

-з\Г

ЦкЛ Iе®

I 1

I

6Щ

10,1

а

а б)

—ч

0(^7,4

Рис.4 у=0,199

Для примера на рис. 4(а-в) приведены результаты бифуркационного анализа для сечения

Р = {(а, х\- 62,7 < а < 67,4; Х = 0,199} области Я101. Для большей наглядности на рис. 4(а) приведены не все ветви бифуркационной диаграммы, а только две ветви из десяти. Из рис. 4(а) видно, что при увеличении параметра а вели-I ^ТГ— чина одного из коэффициентов запол-Сц а,67,4 нения (с учётом полярности импульса) N ¡г 1, / = 1,10 цикла периода 10, уменьшаясь, становится равной -1 при бифуркационном значении параметра а = а101. Это соответствует касанию одним из участков траектории периодического решения границы области сшивания. При переходе через а-а101 цикл периода 10 меняет тип и становится седловым. На рис. 4(6) цифрой 1 обозначен максимальный по модулю мультипликатор седлового 10-цикла. Из рис. 4(6) нетрудно видеть, что мультипликаторы 10-цикла непрерывно зависят от а за ис-

а а аГ Рис. 4(в)

ключением точки а101, при пересечении которой терпят разрыв первого рода в то время, как Л^-г,- - непрерывные функции параметра а. Данное свойство является типичным для С-бифуркаций. Потеря устойчивости 10-цикла сопровождается возникновением устойчивого цикла утроенного периода. С ростом параметра а устойчивый 30-цикл претерпевает локальную бифуркацию удвоения периода в точке а = «30,1 (рис. 4(6)), когда один из мультипликаторов обращается в -1. В

точке а = а101 наряду с циклом утроенного периода мягко ответвляется так называемый цикл хаотических интервалов. Скелетом такого притягивающего множества является счетное число неустойчивых циклов с периодами, кратными периоду базового цикла (рис. 4(в)).

На рис. 5 приведены результаты бифуркационного анализа, иллюстрирующие закономерности усложнения колебаний через конечную последовательность С-бифуркаций удвоения периода.

Установлено, что в рассматриваемой динамической системе реализуется новый тип С-бифуркации, сущность которой заключается в следующем. При смене полярности управляющих импульсов устойчивый цикл мягко переходит в устойчивый цикл того же периода, но другого типа. Для неустойчивого цикла смена полярности приводит к его исчезновению. На рис. 6 представлены результаты бифуркационного анализа, иллюстрирующие основные свойства этой бифуркации. На рис. 7 приведены фазовые портреты, диаграммы управляющих импульсов и символическая характеристика устойчивого 5-цикла до (а), в момент (б) иг после (в) бифуркации. Из рис. 7 видно, что в момент бифуркации длительность отрицательного импульса становится равной нулю. В результате этого исчезают два участка траектории периодического движения (участки Р1 и Р2).

а=59.45

а=59.45

Рис.5

а) 0,65

-0,32

Х=0,84

0,6

-ОД

Рис.6 а<а*

%=0,84

""-рТ 3---85(£&>

о*

... /

60,3

б)

(*Л, (1,2), (1,2), (1,2))

К,

1

1

Аа Г (к+5)а

(0,1), (1,2), (1,2), (1,2))

К'

-1

ка г (к+5)а

ЯНСЛ (*Л (1,2), (1,2), (1,2))

Рис.7

Более детальный анализ бифуркационного перехода в рамках теории локальной устойчивости показал, что при переходе через бифуркационные значения параметров мультипликаторы в одних случаях могут непрерывно зависеть от па-

1

раметров, как и при локальных бифуркациях (рис. 6(6)), а в других - терпеть разрывы первого рода (рис. 5(6)).

Анализ эволюции неустойчивых циклов позволил выявить следующее: неустойчивый цикл в точке, где происходит смена полярности управляющих импульсов, исчезает вследствие нарушения условия существования в (7). На рис. 4(в) через а?, а®, а® обозначены значения параметра а, где происходит исчезновение неустойчивых циклов при смене полярности импульсов.

Y=0 84 Исследование динамической системы в других областях диаграммы, изображенной на рис. 3, позволило выявить более сложные бифуркационные переходы, включающие С-бифуркацию описанного типа. Для примера на рис. 8 представлена бифуркационная диаграмма, иллюстрирующая переход к хаотическим колебаниям через последовательность локальных бифуркаций и С-бифуркаций в области П5 2 ■ При увеличении

параметра а в точке aN наряду с уже существующим устойчивым 5-циклом (на рис. 8 обозначен цифрой 1) возникает пара 557,5 а а а а5 64,6 циклов (устойчивый, обозначенный на рис. 8 Рис. g цифрой 2 и неустойчивый, обозначенный

цифрой 3) через седло-узловую бифуркацию. Вблизи точки ас, где происходит смена полярности импульсов, неустойчивый цикл 3 исчезает. Устойчивый цикл 2 в точке ас изменяет тип и теряет устойчивость. Потеря устойчивости сопровождается мягким возникновением множества неустойчивых циклов с периодом, кратным пяти, каждый из которых при движении по параметру а исчезает в точке, где импульсы меняют полярность. В точке as устойчивый 5-цикл 1, изменяя тип, сливается с неустойчивым 5-циклом и исчезает. Исчезновение устойчивого 5-цикла сопровождается мягким появлением устойчивых 10-и и 15-циклов. При дальнейшем увеличении параметра а каждый из существующих устойчивых циклов претерпевает две бифуркации, локальную бифуркацию удвоения периода и С-бифуркацию простого изменения типа решения.

В четвертой главе представлены результаты экспериментальных исследований динамики системы управления преобразователем энергии с ОРМ. Цель исследований - подтверждение основных закономерностей возникновения сложной динамики, выявленных теоретически. Исследования проводились на экспериментальном макете преобразователя, выполненном по структурной схеме, представленной на рис. 1.

В экспериментах, как и при теоретическом анализе, варьировались коэффициент усиления а и коэффициент передачи j корректирующего устройства. На рис. 9 показаны границы области устойчивости рабочего режима (режима ко-

Таблица 1

Рис.9

Бифуркационные значения

параметров 8, %

а

X Экспериментальное Расчетное

од 11,23 10,66 5,3

0,2 16,62 15,85 4,8

0,3 22,07 21,41 3,1

0,4 24,92 23,95 4,1

0,5 22,76 23,82 4,4

0,6 21,34 22,82 5,4

0,7 20,19 21,35 5,4

0,8 18,85 19,91 5,3

0,9 па 18,28 5,9

лебаиий на основной частоте модуляции) #и, одна из которых (пунктирная линия, см. также рис. 3) рассчитана теоретически, а другая получена экспериментально (сплошная линия). В таблице 1 приведены бифуркационные значения параметров а и % > по которым строились границы. Как видно из таблицы 1, расхождение между экспериментальными и теоретическими данными не превышает 5,9%.

В ходе экспериментов изучалось поведение системы вблизи границы устойчивости. В экспериментах варьировалось значение параметра а (сначала в сторону его увеличения, а затем в сторону уменьшения) при фиксированных значениях X. Установлено, что если двигаться по параметру а в сторону его увеличения, то при переходе через бифуркационное значение наблюдается резкий переход от периодического режима к квазипериодическому. Аналогично, если, находясь в области квазипериодичности, уменьшать а, то происходит жесткий (катастрофический) переход к периодическому режиму. Выявлено, что такие переходы являются гистерезисными. Таким образом, экспериментально подтверждено, что потеря устойчивости рабочим режимом происходит через субкритическую бифуркацию Андронова-Хопфа, и, как следствие, наличие зоны мультистабильности вблизи границы области устойчивости.

Экспериментально обнаружено явление синхронизации (резонансов) на двумерном торе, причем области резонансов на плоскости параметров упорядочены в той же последовательности, что и на карте динамических режимов (см. рис. 3), рассчитанной теоретически (глава 3). Для примера на рис. 10 приведены диаграммы колебаний напряжения на нагрузке и напряжения на выходе силового преобразователя, отвечающие резонансному циклу с периодом 9 (область синхронизации Д9д на рис. 3), полученные экспериментально (рис. 10 (а)) и рассчитанные на модели (рис. 10 (б)).

Экспериментальные диаграммы

а=62,7; у=0,21

(к+29)а ка Рис. 10

Теоретические диаграммы _а=62,7; у=0,2

^ /

б)

(к+29)а

Исследования характеристик динамических режимов показали, что возникновение квазипериодических колебаний приводит к многократному увеличению коэффициента пульсаций (примерно в 35 раз). Аналогичная ситуация имеет место, когда возникают субгармонические колебания вследствие резонансов на двумерном торе. Например, коэффициент пульсаций резонансного цикла с периодом 7 составляет приблизительно 6%, с периодом 8 - 9%, с периодом 9 - 13%, с периодом 10 - 23%, с периодом 11 - 27%, тогда как коэффициент пульсаций рабочего режима не превышает 0,7%.

Автор благодарит профессора Михальченко Г.Я. за помощь в создании макета и проведении экспериментальных исследований.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

В диссертационной работе решена задача разработки научно-технических путей проектирования импульсных систем автоматического управления с улучшенными динамическими характеристиками, построенных на базе однополярной реверсивной модуляции.

При решении задачи диссертационной работы получены следующие результаты.

1. Разработана методика построения математических моделей систем управления преобразователями энергии с однополярной реверсивной модуляцией в форме стробоскопического отображения, являющегося основой для построения вычислительных алгоритмов анализа хаотической динамики.

2. Разработаны методики и алгоритмы численного анализа недетерминированных режимов, включающие:

- методику и алгоритм поиска периодических движений, особенностью которых является сведение задачи к решению системы трансцендентных уравнений относительно коэффициентов заполнения управляющих импульсов, позволяющие находить как устойчивые, так и неустойчивые периодические решения;

— алгоритм анализа локальной устойчивости, базирующийся на линеаризации стробоскопического отображения в окрестности периодического движения и аналитическом вычислении оператора монодромии, позволяющий с заданной точностью рассчитывать границы области устойчивости и параметры бифуркаций, а также идентифицировать типы бифуркаций.

• 3. Выявлены следующие закономерности развития сложной динамики и хаоса в системе управления преобразователем энергии с ОРМ:

— хаотизация динамических режимов происходит через режим двухчас-t тотных квазипериодических колебаний. При этом квазипериодические колебания

возникают в результате субкритической (обратной) бифуркации Андронова-Хопфа (Неймарка-Саккера). ; — в области квазипериодичности вариации параметров приводят к резонан-

сам на двумерном торе. Внутри зон резонансов переход к хаосу происходит через последовательность различных типов локальных бифуркаций и С-бифуркаций.

- область устойчивости режима на основной частоте модуляции совпадает с областью конвергентности за исключением неширокой полосы мультистабиль-ности вблизи линии субкритической бифуркации Андронова-Хопфа. В области

' мультистабильности вариации параметров или наличие внешнего шума, даже ' сколь угодно малого, могут привести к катастрофической смене характера динамики, например, внезапному переходу от одних устойчивых периодических движений к другим либо к квазипериодическим колебаниям.

4. Впервые выявлен новый тип С-бифуркации, определяемый изменением полярности управляющих импульсов. Существо такой бифуркации заключается в следующем. При смене полярности импульсов устойчивое периодическое движе-

• ние мягко переходит в устойчивое движение того же периода, но другого типа. Для неустойчивого движения смена полярности импульсов приводит к его исчезновению.

51 На основе разработанного и изготовленного действующего макета системы управления преобразователем с ОРМ проведены экспериментальные исследования, результаты которых с приемлемой для практики точностью совпадает с аналитическими результатами и подтверждают теоретические выводы и положения диссертационной работы.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Иванова E.H., Пащенко Т.В. К анализу динамики одного класса силовых преобразователей // Тезисы докладов Международной молодежной научной конференции «XXV Гагаринские чтения». - М., 1999. - Т. 2. - С. 877 - 878.

2. Иванова E.H., Пащенко Т.В. Детерминированные и хаотические режимы в системах обработки изображений // Материалы П Международной научно-технической конференции «Медико-экологические информационные технологии». - Курск. - 1999. - С. 160 - 161.

ИЙ45 9

переходов в динамике преобразс

3. Иванова Е.Н. Анализ бифуркационных переходов в динамике преобразователей электрической энергии систем электроснабжения летательных аппаратов // Тезисы докладов Международной молодежной научной конференции «XXVI Гагаринские чтения». - М., 2000. - Т. 2. - С. 856 - 857.

4. Иванова Е.Н. Бифуркации в кусочно-гладких динамических системах. // Материалы V Международной конференции «Распознавание - 2001». - Курск: КГТУ, 2001. Часть 2. - С. 208 - 210.

5. Zhusubaliyev Zh.T., Titov V.S., Ivanova E.N., Bifurcations and Chaos in Piecewise-Smooth Dynamical Systems // Abstracts of the 6th International School «Chaotic Oscillations and Pattern Formations» (CHAOS'Ol). Saratov, Russia, October 2-7,2001. P. 46-47.

6. Ivanova E.N., Soukhoterin E.A. Development of Complex Behavior in Piecewise-Smooth Control Systems // Preprints of the 9th International student Olympiad on automatic control (Baltic Olympiad). - Saint-Petersburg. - 2002. - P. 69 - 73.

7. Иванова Е.Н. Особенности переходов к хаосу в кусочно-сшитых системах автоматического управления. / Методы и средства систем обработки информации: Сборник научных статей. Вып. 3 / Курск, гос. техн. ун-т. Курск, 2003. - С. 96 -104.

8. Иванова Е.Н. Методы бифуркационного анализа динамики преобразователей напряжения с однополярной реверсивной модуляцией / Материалы V Международной научно-технической конференции «Медико-экологические информационные технологии». - Курск. - 2003. - С. 120 -122.

9. Иванова Е.Н. Динамика преобразователя электрической энергии с одно-полярной реверсивной модуляцией. // Материалы VII Международной конференции «Распознавание - 2003». - Курск: КГТУ, 2003. Часть 2. - С. 285 - 288.

Лиц. на издательскую деятельность ЛР 040993 от 28.07.99.

Лиц. на полиграфическую деятельность ПЛД №50-34 от 09.07.97.

Подписано в печать 5 ноября 2003 г. Формат 60x84 1/16.

Печатных листов 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 341.

Отпечатано в ГУ «Курский ЦНТИ».

305001, Курск, ул. Дзержинского, 50.

Введение.

1 Анализ принципов построения и особенностей динамики импульсных систем управления преобразователями энергии.

1.1 Принципы построения импульсных систем управления преобразователями энергии, реализованных на базе широтно-импульсной модуляции

1.2 Бифуркации и хаос в импульсных системах управления преобразователями энергии.

Актуальность работы. В настоящее время в большинстве отраслей промышленности получил развитие принцип иерархической (многоуровневой) организации структуры автоматизированной системы управления технологическими процессами (АСУТП), при которой на нижнем (исполнительном) уровне широко применяются автоматические системы, построенные на базе импульсно-модуляционных преобразователей энергии, непосредственно управляющие исполнительными механизмами и технологическим оборудованием.

В импульсно-модуляционных системах преобразования энергии используются преимущественно два вида реверсивной модуляции - однополяр-ная (ОРМ) и двухполярная (ДРМ) [69]. Известно, что практическая реализация преобразователей с ДРМ требует вдвое меньше полупроводниковых элементов по сравнению с ОРМ.

В то же время многочисленные исследования характеристик различных видов модуляции [79], например, по критерию минимизации нелинейных искажений, указывают на то, что преобразователи с ОРМ по статическим характеристикам имеют существенные преимущества по сравнению с другими видами импульсной модуляции.

В свою очередь, характерный для преобразователей энергии АСУТП широкий диапазон изменения параметров нагрузки и напряжения питающей сети обусловливает возможность их функционирования как в режимах периодических, так и апериодических (хаотических и квазипериодических) колебаний [16 - 20, 80, 49 - 57].

Известно, что возникновение хаотических колебаний приводит к многократному увеличению переменной составляющей тока и напряжения нагрузки, резкому ухудшению качества преобразования параметров электрической энергии, а также к непредсказуемым отказам технологического оборудования.

В последнее десятилетие наблюдается необычайно быстрый рост числа теоретических и экспериментальных работ по исследованию хаотической динамики в системах с импульсной модуляцией. Эти исследования охватывают приложения к теории автоматического управления и регулирования, силовой преобразовательной технике, физике плазмы, квантовой электронике, космической технике и биологическим системам. В то же время практически отсутствуют работы, посвященные анализу сложной динамики и хаоса в преобразователях энергии с реверсивной модуляцией. Кроме того, отсутствуют исследования, позволяющие выполнить обоснованный выбор типов регуляторов, схем и параметров корректирующих устройств. Имеющиеся результаты касаются, главным образом, динамических особенностей импульсных систем автоматического управления, построенных на базе однополярной нереверсивной модуляции [16 - 20, 49 - 57, 72, 113, 121].

Это вынуждает проводить большой объем экспериментальных исследований с целью получения приемлемых для конкретных условий эксплуатации динамических характеристик, повышения надежности и эксплуатационных показателей. В этой связи создание методики анализа сложной динамики и выявление закономерностей хаотической динамики в импульсно-модуляционных системах преобразования энергии, построенных на базе однополярной реверсивной модуляции, направленных на разработку методов проектирования импульсных систем автоматического управления исполнительными механизмами и технологическим оборудованием АСУТП, исключающих возникновение недетерминированных режимов и катастрофических явлений, представляются актуальными задачами.

Диссертационная работа выполнена в ходе реализации научно-исследовательских работ (НИР), проводившихся в рамках международного сотрудничества Курского государственного технического университета совместно с Центром по исследованию хаоса и турбулентности Датского технического университета в 1998 - 2003 гг.; в рамках плана госбюджетных НИР Курского государственного технического университета по Единому заказ-наряду Министерства образования Российской Федерации в 1998 - 2003 гг. Исследование поддержано грантом Министерства образования Российской Федерации по фундаментальным исследованиям в области естественных и точных наук (грант Е02-2.0-81).

Цель работы. Разработка научно-технических путей проектирования импульсных систем автоматического управления с улучшенными динамическими характеристиками, построенных на базе однополярной реверсивной модуляции.

Основная научная задача состоит в разработке модифицированных математических моделей, методик и алгоритмов численного анализа недетерминированных режимов, выявлении закономерностей хаотической динамики систем управления преобразователями энергии с однополярной реверсивной модуляцией.

В соответствии с целью и основной задачей в диссертационной работе решались следующие частные задачи:

1. Разработка методики построения модифицированных математических моделей систем управления преобразователями энергии с однополярной реверсивной модуляцией в форме стробоскопического отображения.

2. Разработка методик и алгоритмов анализа хаотической динамики систем управления преобразователями энергии.

3. Выявление закономерностей развития сложной динамики и хаоса в системах управления преобразователями энергии.

4. Экспериментальные исследования хаотической динамики системы управления преобразователем энергии.

Научная новизна:

1. Разработана методика формирования математических моделей систем управления преобразователями энергии с однополярной реверсивной модуляцией в форме стробоскопического отображения, являющегося основой для построения вычислительных алгоритмов анализа хаотической динамики.

2. Разработаны методики и алгоритмы численного анализа недетерминированных режимов, включающие:

2.1. Методику и алгоритм поиска периодических движений, особенностью которых является сведение задачи к решению системы трансцендентных уравнений относительно коэффициентов заполнения управляющих импульсов, позволяющие находить как устойчивые, так и неустойчивые периодические решения.

2.2. Алгоритм анализа локальной устойчивости, базирующийся на линеаризации стробоскопического отображения в окрестности периодического движения и аналитическом вычислении оператора монодромии, позволяющий с заданной точностью рассчитывать параметры бифуркаций и границы области устойчивости, а также идентифицировать типы бифуркаций.

3. Выявлены следующие закономерности развития сложной динамики и хаоса в системе управления преобразователем энергии с ОРМ:

3.1. Хаотизация динамических режимов происходит через режим двух-частотных квазипериодических колебаний. При этом квазипериодические колебания возникают в результате субкритической (обратной) бифуркации Андронова-Хопфа (Неймарка-Саккера).

3.2. В области квазипериодичности вариации параметров приводят к резонансам на двумерном торе. Внутри зон резонансов переход к хаосу происходит через последовательность различных типов локальных бифуркаций и С-бифуркаций.

3.3. Область устойчивости режима на основной частоте модуляции совпадает с областью конвергентности за исключением неширокой полосы мультистабильности вблизи линии субкритической бифуркации Андронова-Хопфа. В области мультистабильности вариации параметров или наличие внешнего шума, даже сколь угодно малого, могут привести к катастрофической смене характера динамики, например, внезапному переходу от одних устойчивых периодических движений к другим либо к квазипериодическим колебаниям.

4. Впервые выявлен новый тип С-бифуркации, связанный с изменением полярности управляющих импульсов. Существо такой бифуркации заключается в следующем. При смене полярности импульсов устойчивое периодическое движение мягко переходит в устойчивое движение того же периода, но другого типа. Для неустойчивого движения смена полярности импульсов приводит к его исчезновению.

Методы исследования базируются на аппарате теории обыкновенных дифференциальных уравнений, теории устойчивости и бифуркаций, методов вычислительной математики и теории автоматического управления.

Практическая ценность и внедрение

1. Разработанные математические модели, методики и алгоритмы численного анализа динамических режимов позволяют выполнить обоснованный выбор схем и параметров корректирующих устройств, устройств обратных связей, вида модуляции и обеспечить достижение требуемых показателей качества функционирования системы в широком диапазоне изменения параметров объекта управления и возмущающих воздействий.

2. Разработанные методы, вычислительные алгоритмы и установленные в исследованиях закономерности хаотической динамики, могут быть использованы для моделирования и проектирования широкого класса импульсных систем автоматического управления. Полученные аналитические зависимости пригодны для инженерных расчетов при проектировании импульс-но-модуляционных систем преобразования энергии для АСУТП.

Методы и алгоритмы численного анализа хаотических колебаний в системах управления с однополярной реверсивной модуляцией, реализованные в виде специализированного пакета прикладных программ, внедрены: на ОАО «Счетмаш», г. Курск, и использованы при проектировании импульсных источников электропитания с бестрансформаторным входом; на некоммерческом предприятии «Брянский региональный фонд энергосбережения», г.

Брянск, и использованы при проектировании автоматизированной системы энергообеспечения собственных нужд первого отечественного энергосберегающего газотепловоза ТЭМ-18Г.

Научно-методические результаты, полученные в диссертационной работе, внедрены в учебный процесс и используются в Курском государственном техническом университете в курсах «Математические методы расчета электронных схем», «Основы теории управления».

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и получили положительные оценки на: Международных молодежных научных конференциях «Гагаринские чтения» (Москва, 1999 г., 2000 г.), Международных научно-технических конференциях «Медико-экологические информационные технологии» (Курск, 1999 г., 2003 г.), Международных конференциях «Оптико-электронные приборы и устройства в системах распознавания образов, обработки изображений и символьной информации» «Распознавание» (Курск, 2001 г., 2003 г.), 6th International School on Chaotic Oscillations and Pattern Formation CHAOS'01 (Саратов, 2001 г.), 9th International Student Olympiad on Automatic Control BOAC2002 (Baltic Olympiad) (Санкт-Петербург, 2002 г.); научных семинарах кафедры вычислительной техники Курского государственного технического университета (1999-2003 гг.).

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Методика формирования математических моделей систем управления преобразователями энергии с однополярной реверсивной модуляцией в форме стробоскопического отображения.

2. Методика и алгоритм поиска периодических движений, основанные на сведении задачи к решению системы трансцендентных уравнений относительно коэффициентов заполнения управляющих импульсов.

3. Алгоритм анализа локальной устойчивости, базирующийся на линеаризации уравнения стробоскопического отображения в окрестности периодического движения и аналитическом вычислении матрицы монодромии.

4. Найденные закономерности развития сложной динамики и хаоса в системе управления преобразователем энергии, а именно:

- выявленные свойства разбиения пространства параметров на области периодичности и хаоса, а также бифуркационные механизмы хаотизации динамических режимов через режим двухчастотных квазипериодических колебаний;

- обнаруженные гистерезисные явления, резонансы на двумерном торе и установленные закономерности усложнения колебаний через последовательность локальных бифуркаций и С-бифуркаций.

Публикации. Результаты диссертации отражены в 9 печатных работах. В работах, выполненных в соавторстве, соискателю принадлежат: в [60, 61] -алгоритмы анализа локальных бифуркаций, закономерности усложнения динамики в двумерной модели системы управления преобразователем энергии; в [133] - численные эксперименты по анализу локальных бифуркаций и С-бифуркаций; в [124] - математическая модель, алгоритмы бифуркационного анализа, результаты исследований хаотической динамики трехмерной модели импульсной системы автоматического управления.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы, включающего 135 наименований и приложения, изложена на 118 страницах (без приложения) и поясняется 46 рисунками и 4 таблицами.

4.3. Основные результаты и выводы

1. Разработан стенд для экспериментального исследования хаотической динамики системы управления преобразователем с ОРМ. Экспериментально построена область устойчивости колебаний на основной частоте модуляции. Расхождение между линиями бифуркации Андронова-Хопфа, рассчитанной теоретически и построенной экспериментально, не превышает 5,9%.

2. Получено экспериментальное подтверждение возникновения резо-нансов на двумерном торе, причем области резонансов на плоскости параметров упорядочены в той же последовательности, что и на карте динамических режимов, рассчитанной теоретически.

3. Экспериментально подтверждено, что потеря устойчивости рабочего режима происходит через субкритическую бифуркацию Андронова-Хопфа, и как следствие, при вариации параметров реализуются гистерезис-ные переходы от одного динамического режима к другому

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе решена задача разработки научно-технических путей проектирования импульсных систем автоматического управления с улучшенными динамическими характеристиками, построенных на базе однополярной реверсивной модуляции.

При решении задачи диссертационной работы получены следующие результаты.

1. Разработана методика построения математических моделей систем управления преобразователями энергии с однополярной реверсивной модуляцией в форме стробоскопического отображения, являющегося основой для построения вычислительных алгоритмов анализа хаотической динамики.

2. Разработаны методики и алгоритмы численного анализа недетерминированных режимов, включающие:

- методику и алгоритм поиска периодических движений, особенностью которых является сведение задачи к решению системы трансцендентных уравнений относительно коэффициентов заполнения управляющих импульсов, позволяющие находить как устойчивые, так и неустойчивые периодические решения;

- алгоритм анализа локальной устойчивости, базирующийся на линеаризации стробоскопического отображения в окрестности периодического движения и аналитическом вычислении оператора монодромии, позволяющий с заданной точностью рассчитывать границы области устойчивости и параметры бифуркаций, а также идентифицировать типы бифуркаций.

3. Выявлены следующие закономерности развития сложной динамики и хаоса в системе управления преобразователем энергии с ОРМ:

- хаотизация динамических режимов происходит через режим двух-частотных квазипериодических колебаний. При этом квазипериодические колебания возникают в результате субкритической (обратной) бифуркации Андронова-Хопфа (Неймарка-Саккера).

- в области квазипериодичности вариации параметров приводят к ре-зонансам на двумерном торе. Внутри зон резонансов переход к хаосу происходит через последовательность различных типов локальных бифуркаций и С-бифуркаций.

- область устойчивости режима на основной частоте модуляции совпадает с областью конвергентности за исключением неширокой полосы мультистабильности вблизи линии субкритической бифуркации Андронова-Хопфа. В области мультистабильности вариации параметров или наличие внешнего шума, даже сколь угодно малого, могут привести к катастрофической смене характера динамики, например, внезапному переходу от одних устойчивых периодических движений к другим либо к квазипериодическим колебаниям.

4. Впервые выявлен новый тип С-бифуркации, определяемый изменением полярности управляющих импульсов. Существо такой бифуркации заключается в следующем. При смене полярности импульсов устойчивое периодическое движение мягко переходит в устойчивое движение того же периода, но другого типа. Для неустойчивого движения смена полярности импульсов приводит к его исчезновению.

5. На основе разработанного и изготовленного действующего макета системы управления преобразователем с ОРМ проведены экспериментальные исследования, результаты которых с приемлемой для практики точностью совпадает с аналитическими результатами и подтверждают теоретические выводы и положения диссертационной работы.

1. Айзерман М.А., Гантмахер Ф.Р. Устойчивость по линейному приближению периодического решения системы дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями // Прикладная математика и механика. 1957, т. 21.-Вып. 2.-С. 658-669.

2. Алейников О.А. Динамические свойства систем воспроизведения сигналов с многозонной импульсной модуляцией. Автореферат дисс. . канд. техн. наук. Томск, 1988. - 24 с.

3. Алейников О.А., Баушев B.C., Кобзев А.В., Михальченко Г.Я. Исследование локальной устойчивости периодических режимов в нелинейных импульсных системах // Электричество. 1991. - №4. - С. 16 - 21.

4. Андерс В.И., Коськин О.А., Карапетян А.К. Исследование систем управления в тиристорно-импульсных тяговых электроприводах городского электрического транспорта // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. 1990. -№5.-С. 65-77.

5. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Физман-гиз, 1959.-916 с.

6. Анищенко B.C. Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах. М.: Наука, 1990. - 312 с.

7. Анищенко B.C., Вадивасова Т.Е., Астахов В.В. Нелинейная динамика хаотических и стохастических систем. Фундаментальные основы и избранные проблемы / Под ред. Анищенко B.C. Саратов: Изд-во Сарат. Ун-та, 1999.-368 с.

8. Антонова Н.А. О простейших периодических режимах в системах импульсного регулирования с ШИМ-I и ШИМ-П // Автоматика и телемеханика.- 1975. №2.-С. 46-50.

9. Антонова Н.А. Существование периодических режимов в системах с интегральной широтно-импульсной модуляцией // Автоматика и телемеханика.- 1979. №7.-С. 175-181.

10. Ю.Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978. - 304 с.

11. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1984.-272 с.

12. Арнольд В.И. Теория катастроф. М.: Наука, 1990. - 128 с.

13. Баутин Н.Н. Поведение динамических систем вблизи границ области устойчивости. М.: Наука, 1984. - 176 с.

14. Баушев B.C., Жусубалиев Ж.Т., Колоколов Ю.В., Терехин И.В. К расчету локальной устойчивости периодических режимов в импульсных системах автоматического регулирования // Автоматика и телемеханика. 1992. - №6. -С. 93- 100.

15. Баушев B.C., Жусубалиев Ж.Т. О недетерминированных режимах функционирования стабилизатора напряжения с широтно-импульсным регулированием // Электричество. 1992. - №8. - С. 47 - 53.

16. Баушев B.C., Жусубалиев Ж.Т., Михальченко С.Г. Стохастичность в динамике стабилизатора напряжения с широтно-импульсным регулированием // Электричество. 1996. - №3. - С. 69 - 75.

17. Белов Г.А., Картузов А.В. Колебания в импульсном стабилизаторе // Электричество. 1988. - №7. - С. 53 - 56.

18. Берендс Д.А., Кукулиев P.M., Филиппов К.К. Приборы и системы автоматического управления с широтно-импульсной модуляцией. Л.: Машиностроение, 1989. - 279 с.

19. Богданов Н.С., Кузнецов А.П. «Атлас» карт динамических режимов эталонных моделей нелинейной динамики и радиофизических систем // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2000, т. 8. - №1. - С. 80 - 91.

20. Бутенин Н.В., Неймарк Ю.И., Фуфаев Н.А. Введение в теорию нелинейных колебаний. М.: Наука, 1987. - 384 с.

21. Вентильные преобразователи переменной структуры / В.Е. Тонкаль, B.C. Руденко, В .Я. Жуйков и др.: Под ред. А.К. Шидловского. Киев: Наук. Думка, 1989.-336 с.

22. Волчкевич Л.И. и др. Комплексная автоматизация производства / Л.И. Волчкевич, М.П. Ковалёв, М.М.Кузнецов. М.: Машиностроение, 1983. -269 с.

23. Воронов А.А. Основы теории автоматического управления. Особые линейные и нелинейные системы. М.: Наука, 1981. - 304 с.

24. Времяимпульсные системы автоматического управления / Под ред. И.М. Макарова. М.: Наука, Физматлит, 1997. - 224 с.

25. Гаушус Э.В. Исследование динамических систем методом точечных преобразований. М.: Наука, 1976. - 368 с.

26. Гелиг А.Х. Динамика импульсных систем и нейронных сетей. Л.: Наука, 1982.-325 с.

27. Гелиг А.Х., Чурилов А.Н. Периодические режимы в широтно-импульсных системах с переменной структурой линейной части // Автоматика и телемеханика. 1990. - №12. - С. 94 - 104.

28. Гелиг А.Х., Чурилов А.Н. Колебания и устойчивость нелинейных импульсных систем. С-Пб.: изд-во С.-Петербургского ун-та, 1993. - 268 с.

29. Гельднер К., Кубик С. Нелинейные системы управления. М.: Мир, 1987. - 325 с.

30. Глазенко Т. А. Полупроводниковые преобразователи в электроприводе постоянного тока. Д.: Энергия, 1973. - 304 с.

31. Глазенко т.А., Томасов B.C. Состояние и перспективы применения полупроводниковых преобразователей в приборостроении // Изв. вузов. Приборостроение. 1996. - Т.39. - №3. - С. 5 - 12.

32. Гласс Л. От часов к хаосу: ритмы жизни. М.: Мир, 1991. - 248 с.

33. Демирчян К.С., Бутырин П.А., Савицки А. Стохастические режимы в элементах и системах электроэнергетики // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. 1987. - №3. - С. 3 - 16.

34. Джури Э.И. Импульсные системы автоматического регулирования. М., 1963.-456 с.

35. Динамические системы и недетерминированные явления / Под ред. Шар-ковского А.Н. Киев: Наукова думка, 1990. - 435 с.

36. Дискретные нелинейные системы / Под ред. Ю.И. Топчеева. М.: Машиностроение, 1982. -312 с.

37. Дмитриев А.С., Кислов В.Я. Стохастические колебания в радиофизике и электронике. М.Наука, 1989. - 280 с.

38. Емельянова Е.Ю. Бифуркации и хаотические колебания в преобразователях электрической энергии с широтно-импульсной модуляцией систем автоматизации технологических процессов. Дисс. . канд. техн. наук. Курск, 2000. - 165 с.

39. Ерихов М.М., Островский М.Я. Условия существования Т-периодических режимов в системах с широтно-импульсной модуляцией второго рода // Автоматика и телемеханика. 1986. - №10.- С. 169 - 172.

40. Ерихов М.М., Островский М.Я. Условия устойчивости систем с широтно-импульсной модуляцией второго рода // Изв. вузов. Приборостроение, 1989. Т. 32. №10. С. 13 18.

41. Жуйков В.Я., Леонов А.О. Хаотические процессы в электротехнических системах // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. 1991. - №1. - С. 121 -127.

42. Жусубалиев Ж.Т., Колоколов Ю.В., Рудаков В.Н. К проблеме хаотизации состояния импульсных систем автоматического регулирования тяговым электроприводом // Изв. вузов. Электромеханика. 1995. - №5 - 6. - С. 86 -92.

43. Жусубалиев Ж.Т., Пинаев С.В., Рудаков В.Н. Моделирование преобразователей электроэнергии в автоматизированных системах управления электроприводами // «Распознавание 95»: Сборник материалов 2-ой международной конференции. - Курск, 1995. С. 199 - 201.

44. Жусубалиев Ж.Т., Колоколов Ю.В., Пинаев С.В., Рудаков В.Н. Детерминированные и хаотические режимы преобразователя напряжения с широтно-импульсной модуляцией // Изв. РАН. Энергетика. 1997. - №3. - С. 157 — 170.

45. Жусубалиев Ж.Т. К исследованию хаотических режимов преобразователя напряжения с широтно-импульсной модуляцией // Электричество. 1997. -№6. - С. 40 - 46.

46. Жусубалиев Ж.Т., Емельянова Е.Ю. О С-бифуркациях в трехмерной системе управления с широтно-импульсной модуляцией // Материалы IV Международной конференции «Распознавание 99». - Курск: КГТУ, 1999. - С. 52 -55.

47. Жусубалиев Ж.Т., Емельянова Е.Ю. О синхронизации квазипериодических колебаний при С-бифуркациях в кусочно-линейной неавтономной динамической системе // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2000. -Т.8. - № 5. - С. 57-71.

48. Жусубалиев Ж.Т., Полищук В.Г., Титов B.C. Колебания, бифуркации и хаос в технических системах. Курск: Курск, гос. техн. ун-т, 2000. - 166 с.

49. Жусубалиев Ж.Т. Теоретические и алгоритмические основы хаотической динамики релейных и широтно-импульсных систем автоматического управления. Дисс. . доктора техн. наук. Курск, 2002. 357 с.

50. Иванова Е.Н., Пащенко Т.В. К анализу динамики одного класса силовых преобразователей // Тезисы докладов Международной молодежной научной конференции «XXV Гагаринские чтения». М., 1999. - Т. 2. - С. 877 - 878.

51. Иванова Е.Н., Пащенко Т.В. Детерминированные и хаотические режимы в системах обработки изображений // Материалы II Международной научно-технической конференции «Медико-экологические информационные технологии». Курск. - 1999. - с. 160 - 161.

52. Иванова Е.Н. Бифуркации в кусочно-гладких динамических системах // Материалы V Международной конференции «Распознавание 2001». -Курск: КГТУ, 2001. Часть 2. - С. 208 - 210.

53. Иванова Е.Н. Особенности переходов к хаосу в кусочно-сшитых системах автоматического управления. / Методы и средства систем обработки информации: Сборник научных статей. Вып. 3 / Курск, гос. техн. ун-т. Курск, 2003. -С. 96- 104.

54. Иванова E.H. Динамика преобразователя электрической энергии с однополярной реверсивной модуляцией. // Материалы VII Международной конференции «Распознавание 2003». - Курск: КГТУ, 2003. Часть 2. - С. 285 -288.

55. Каретный О.Я., Кипнис М.М. Периодические режимы работы широтно-импульсных систем управления I, II // Автоматика и телемеханика. 1987. -№11. - С. 46 - 54. №12. - С. 42 - 48.

56. Кипнис М.М. Хаотические явления в детерминированной одномерной широтно-импульсной системе управления // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1992. -№1,- С. 108-112.

57. Кобзев А.В., Михальченко Г.Я., Музыченко Н.М. Модуляционные источники питания РЭА. Томск: Радио и связь, 1990. - 336 с.

58. Кобзев А.В. Многозонная импульсная модуляция (теория и применение в системах преобразования параметров электрической энергии). Новосибирск: Наука, Сибирское отделение, 1979. - 304 с.

59. Косчинский C.JI. Закономерности возникновения недетерминированных процессов в автоматизированных тяговых электроприводах постоянного тока с широтно-импульсной модуляцией / Автореферат дисс. . канд. техн. наук. -Орел, 1998.-24 с.

60. УТВЕРЖДАЮ Проректор по научной работе Курского государственного1. УТВЕРЖДАЮ1. АКТ О ВНЕДРЕНИИ

61. Методов исследования бифуркаций и хаотических колебаний в динамике нелинейных импульсных систем автоматического управления на предприятии ОАО «Счётмаш» (г. Курск).

62. Комплект технической документации

63. Программный комплекс исследования динамических режимов стабилизированных преобразователей напряжения с широтно-импульсным регулированием.

64. Научный руководитель, кандидат технических наук, доцент кафедры вычислительной1.. ЭФФЕКТИВНОСТЬ ВНЕДРЕНИЯтехники КГТУ1. Аспирант КГТУ1. Аспирант КГТУ1. Аспирант КГТУ1. Студент-магистрант КГТУ1. Е.Н. Иванова1. Е.А.Сухотерин

65. Утверждаю" Главный инженер некоммерческого предприятия «Брянский региональный фонд1. И"1. ФОНДакт о внедрении

66. Жусубалиев Ж.Т. д.т.н., профессор кафедры вычислительной техники (ВТ) Курского государственного технического университета;

67. Иванова Е.Н. преподаватель кафедры ВТ Курского государственного технического университета.

68. Программный комплекс использует широкий набор методов вычислительной математики, а также ряд новых методов и алгоритмов исследования кусочно-гладких динамических моделей преобразователей с однополярной реверсивной модуляцией.

69. Главный специалист фонда энергосбережения по работе с предприятиями энергетики

70. Утверждаю:» Проректор по учебной работе Курского государственноготехнического университета,шзМшжШьШ^ В.Г.ПолищукшМшЖ^ 1 , рт 2ооз г.1. АКТоб использовании результатов диссертационной работы Ивановой Е.Н.

71. Начальник учебного отдела,

72. Заведующий кафедрой «Вычислительн; д.т.н., профессорк.т.н., доцентк.т.н., доцент кафедры «Вычислительная техника»1. С.В. Дегтярев1. Утверждаю:"

73. Проректор по научной работе- * - — *<'>».

74. В ходе экспериментальных исследовании установлено:

75. Переход от колебаний на основной частоте к квазипериодическим колебаниям происходит в результате субкриической бифуркации Андронова-Хопфа.

76. В области квазипериодичности существуют многочисленные окна периодичности, порядок расположения которых соответствует определенным закономерностям.

77. В результате эксперимента:

78. Построена граница области существования режима колебаний на основной частоте модуляции. Изменение бифуркационных параметров проводилось косвенным методом. Расчетные формулы:x)^r-,x~ Rm

79. МОм 9,89 кОм Измерение значений сопротивлений осуществлялось с помощью мультимет-ра DT890B. Момент потери устойчивости определялся визуально. В таблице 1 приведены значения соответствующие бифуркационным параметрам.