автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Методы анализа и синтеза релейных следящих систем с нелинейными объектами управления

На правах рукописи 004602217 гЫМ#

МОРЖОВ Александр Владимирович

МЕТОДЫ АНАЛИЗА И СИНТЕЗА РЕЛЕЙНЫХ СЛЕДЯЩИХ СИСТЕМ С НЕЛИНЕЙНЫМИ ОБЪЕКТАМИ УПРАВЛЕНИЯ

Специальность 05.13.01 - «Системный анализ, управление и обработка информации (промышленность, промышленная безопасность и экология)»

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

2 О МА'1 2010

Тула-2010

004602217

Работа выполнена в ГОУ ВПО «Тульский государственный университет»

Научный руководитель:

доктор технических наук, профессор Фалдин Николай Васильевич

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор Карпов Вячеслав Сергеевич

кандидат технических наук, доцент Иванов Виктор Александрович

Ведущая организация: ГУП «Конструкторское бюро

приборостроения» (г. Тула)

Защита диссертации состоится «О/ » гионЯ- 2010 г. в 14-00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.271.05 при ГОУ ВПО «Тульский государственный университет» по адресу: 300012, г. Тула, пр. Ленина, 92, 9 корп., ауд. 101.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО «Тульский государственный университет».

Автореферат разослан «¿9» алреиА, 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета А В.М. Панарин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Релейные системы автоматического управления широко применяются в различных областях техники. К основным достоинствам таких систем относятся простота конструкции, надежность и низкая стоимость. Исследованию релейных систем посвящены труды A.A. Андронова, Я.3. Цыпкина, Г. Гаме-ля, Ю.И. Неймарка, М.А. Айзермана, Е.П. Попова и некоторых других классиков науки об управлении. Однги«) в указанных работах исследовались только периодические движения и рассматривались в основном релейные системы с линейными объектами управления.

Важным классом систем автоматического управления являются следящие системы. В силу высоких динамических характеристик релейные системы часто используются в качестве следящих. Релейные следящие системы могут работать как в автоколебательном режиме, так и в режиме вынужденных колебаний. Возникающие в таких системах периодические движения существенно затрудняют исследование режима слежения, особенно на этапе синтеза. Вообще говоря, исследование режима слежения в релейной системе можно выполнить с помощью компьютерного моделирования. Однако моделирование требует значительных затрат времени и его нельзя применять на этапе синтеза, когда приходится анализировать большое число вариантов. Поэтому весьма важно располагать простыми приближенными методами, которые позволят оперативно оценить точность режима слежения. К таким методам относится линеаризация релейной системы по полезному сигналу.

На кафедре систем автоматического управления Тульского государственного университета под научным руководством д.т.н., проф. Н.В. Фалдина продолжительное время активно ведутся исследования по созданию прикладной теории релейных систем автоматического управления. В основу развиваемой теории положен фазовый годограф (ФГ) релейной системы. В рамках научной школы Н.В. Фалдина к настоящему времени, если не иметь в виду работы автора диссертации, созданы методы исследования периодических движений (определение периодических движений, оценка их устойчивости, формирование закона управления, обеспечивающего заданные параметры колебаний) для релейных систем с линейными и нелинейными объектами управления. Получены оригинальные результаты по линеаризации релейных систем. Предложенный метод линеаризации характеризуется высокой точностью. Однако он разработан (исключение составляют лишь некоторые частные случаи) для релейных систем с линейными объектами управления. Между тем реальные технические объекты, как правило, являются нелинейными.

Настоящая диссертация посвящена разработке методов анализа и синтеза релейных следящих систем с нелинейными объектами управления. Рассматриваются системы с двух и трехпозиционными релейными элементами, работающие как в режиме автоколебаний, так и в режиме вынужденных колебаний. Главной решаемой задачей является создание методов линеаризации по полезному сигналу релейных следящих систем с нелинейными объектами управления. Определенное внимание уделяется также получению эффективного метода построения фазового годографа. Построение ФГ является весьма трудоемкой задачей и существующие методы не всегда с ней успешно справляются.

Решение указанных задач позволит, в конечном счете, разработать эффективный метод синтеза высокоточных релейных следящих систем управления. Этот метод в работе применяется для синтеза релейного воздушно-динамического руле-

вого привода (ВДРП), функционирующего в режиме вынужденных колебаний. Такие приводы широко используются в управляемых вращающихся ракетах малой дальности.

Таким образом, сказанное выше позволяет заключить об актуальности темы диссертации.

Объектом исследования являются релейные следящие системы с нелинейными объектами управления.

Целью работы является создание формализованных методов проектирования высокоточных релейных следящих систем с нелинейными объектами управления. Эти методы должны охватывать как автоколебательные релейные системы, так и системы, работающие в режиме вынужденных колебаний (в том числе и системы с ШИТ Л). Наряду с исследованием периодических движений, указанные методы должны позволять оперативно оценивать точность режима слежения. На практике это обычно обеспечивается путем линеаризации по полезному сигналу.

Для достижения поставленной цели потребовалось решить следующие задачи:

1. Разработать для весьма важного (для приложений) класса кусочно-линейных объектов управления эффективный метод построения фазового годографа.

2. Разработать метод, позволяющий оценивать устойчивость периодических движений в релейных системах с кусочно-линейными объектами управления.

3. Созда1ъ методы линеаризации по полезному сигналу, справедливые для релейных систем с любыми нелинейными объектами управления.

4. Разработать метод синтеза высокоточных релейных следящих систем.

5. Выполнить синтез и оптимизацию релейного ВДРП, работающего в режиме вынужденных колебаний.

Методы исследования. Для решения поставленных задач в работе использовались метода теории автоматического управления, конечномерная оптимизация, метод фазового годографа, теория обыкновенных дифференциальных уравнений, теория разностных уравнений, компьютерный вычислительный эксперимент.

Научнаи новизна работы. В диссертации получены следующие новые научные результаты:

1. Для релейных следящих систем с кусочно-линейными объектами управления получено дифференциальное уравнение, решением которого является фазовый годограф системы. Данное уравнение существенно упрощает построение ФГ. Его можно успешно использовать и в том случае, когда соответствующие периодические движения объекта управления являются неустойчивыми. В этой ситуации известные из литературы методы построения ФГ (например, итерационный алгоритм с принудительным симметрированием) часто приводят к сбоям. Для объектов с ограничителями в форме механических упоров указанное уравнение позволяет весьма просто выделять ветви неоднозначности ФГ.

2. Для релейных следящих систем с кусочно-линейными объектами управления получены аналитические зависимое™, в явном виде задающие матрицу, по собственным числам которой оценивается асимптотическая устойчивость периодических движений. Такие матрицы получены для оценки устойчивости как автоколебаний, так и вынужденных колебаний.

3. Разработан метод линеаризации по полезному сигналу релейных следящих систем, содержащих звенья с ограничителями. Он основан на использовании про-

изводных ФГ и выполняет классическую линеаризацию, когда каждая статическая нелинейность системы, в том числе релейный элемент, заменяется коэффициентом передачи по постоянной сосггавляющей движения.

4. Предложен метод дискретной линеаризации релейных следящих систем по полезному сигналу. Он является универсальным, т.е. его можно использовать при любой нелинейности объекта управления. Метод характеризуется высокой точностью и не имеет аналогов в научной литературе.

5. Впервые установлено, что устойчивость периодических движений (автоколебаний, вынужденных колебаний) влечет за собой устойчивость режима слежения релейной системы. Правда, данный критерий следует рассматривать как приближенный, поскольку он основан на дискретной линеаризации релейной системы.

6. Опираясь на полученные результаты, разработан метод синтеза релейных следящих систем, функционирующих в автоколебательном режиме и в режиме вынужденных колебаний. Задача синтеза сводится к решению сравнительно несложной задачи конечномерной оптимизации. Это позволяет обеспечить предельно достижимую (в рамках выбранной структуры системы) точность режима слежения.

7. Выполнен синтез релейного ВДРП, функционирующего в режиме вынужденных колебаний. Для привода, параметры которого изменяются в широком диапазоне, удалось с помощью простых технических средств минимизировать максимальный по модулю фазовый сдвиг и обеспечить стабильность фазовых частотных характеристик, что очень важно для вращающихся ракет.

Практическая ценность. Разработанные методы анализа и синтеза являются эффективным инструментом для создания высокоточных релейных следящих систем в различных областях техники. Очень важно, что эти методы охватывают релейные следящие системы с любыми нелинейными объектами управления и, следовательно, пригодны для широкого класса технических систем. Далее, предложенные методы можно успешно использовать при проектировании нелинейных следящих систем, работающих в режиме ШИМ.

Самостоятельную ценность имеет выполненный в диссертации синтез релейного ВДРП. Задача синтеза усложняется существенной нестационарностью параметров привода.

Реализация результатов. В диссертации нашли отражение результаты исследований, проведенных автором в рамках гранта № 05-08-33506 Российского фонда фундаментальных исследований «Прикладная теория релейных систем с нелинейными объектами упргшления», выполнявшегося в 2005 - 2008 гг. Разработанные методы анализа и синтеза релейных следящих систем внедрены для практического использования в ГУГ1 «КБ приборостроения» (г. Тула). Полученные результаты используются также в учебном процессе Тульского государственного университета.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Дифференциальное уравнение ФГ, полученное для кусочно-линейных объектов управления, и способ его применения для построения ФГ.

2. Аналитические зависимости, задающие в явном виде для релейных систем с кусочно-линейными объектами управления матрицу G, по собственным числам которой оценивается устойчивость периодического движения в системе.

3. Метод линеаризации по полезному сигналу релейных следящих систем с

нелинейными схэъектами управления, основанный на производных ФГ.

4. Метод дискретной линеаризации по полезному сигналу релейных следящих систем с любыми нелинейными объектами управления.

5. Критерий устойчивости режима слежения релейной системы, основанный на дискретной линеаризации.

6. Метод синтеза высокоточных релейных следящих систем, работающих в автоколебательном режиме и в режиме вынужденных колебаний.

7. Синтез релейного ВДРП, работающего в режиме вынужденных колебаний.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на Всероссийской научно-технической конференции «Мехатронные системы (теория и проектирование)» (Тула, 2006 г.), на XIV Международном научно-техническом семинаре «Современные технологии в задачах управления, автоматики и обработки информации» (Алушта, 2007 г.), на II Международной конференции «Системный анализ и информационные технологии» (Обнинск, 2007 г.), на VIII Всероссийской конференции «Нелинейные колебания механических систем» (Нижний Новгород, 2008 г.), на VIII Всероссийской научно-технической конференции «Техника XXI века глазами молодых ученых и специалистов» (Тула, 2009 г.).

Публикации. Основное содержание диссертационной работы отражено в 11 публикациях.

Структура н объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения, библиографического списка и приложения. Текст изложен на 171 странице, включая 76 рисунков, 10 таблиц, библиографический список из 100 наименований на 9 страницах и приложения на 3 страницах.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается обоснование актуальности темы диссертации, показаны научная новизна и практическая значимость работы. Сформулированы цели и задачи исследования. Анализируются труды по теме диссертации.

В первой главе разрабатываются методы исследования автоколебаний в релейных следящих системах с кусочно-линейными объектами управления. В основу предлагаемых методов положен фазовый годограф релейной системы. Остановимся кратко на определении ФГ.

Релейный и Объект

элемент управления

* к

Формирующее, устройство

V

¡ М(1)

А

-Ь -А ь *

-ь-и МО гг<?

ХЛ ь " -А

Рис J

Рис.2

Рис.3

Рассмотрим релейную автоколебательную следящую систему с нелинейным объектом управления, структурная схема которой представлена на рис. 1. Движение системы описывается уравнениями:

х = Г(х,а), (1)

и = Ф(и,А,Ь,\), е = у-а(х), а(х) = 11гх, (2)

где х - я-мерный вектор состояния, Г- л-мерная векто;>-функция, у - входной сигнал, 11г- «-мерная вектор-строка коэффициентов обратных связей, функция Ф за-

27'

У?

С1+т>У. I

2 Т

дается статической характеристикой двух или трехпозиционного релейного элемента (рис. 2,3). Имеет место симметрия: С(-х,-!/) = -Г(х,и), и(( + Т) = -и(1) (27-период). Далее исследуются простые симметричные периодические движения.

Симметричный периодический сигнал ь{1) с выхода двухпозиционного релейного элемента приведен на рис. 4. Фазовым годографом релейной системы (1), (2) с двухпозиционньш релейным элементом называется вектор-функция х'{Т), 0<Т<со, которая задает значения вектора состояния системы х в симметричном периодическом движении в моменты переключения релейного элемента с минуса на плюс. Если построен фазовый годограф, то период 2Т возникающих в автономной (у(?) = 0) системе (1), (2) автоколебаний определяется из условия переключения двухпозиционного релейного элемента с минуса на плюс:

^х' (Т) = -Ь, (х* (Т),-А) < 0. (3) Введенное выше понятие фазового годографа легко распространяется на релейные системы с трехпозиционным релейным элементом. Симметричный периодический сигнал и(1) с выхода трехпозиционного релейного элемента характеризуется двумя величинами - периодом 27"и параметром у, задающим скважность (см. рис. 5). Фазовым годографом релейной системы (1), (2) с трехпозицион- А\__г- А

ным релейным элементом называется вектор-функция \'{Т,у), 0 <Г«ю, 0 < у < 1, которая задает значения вектора состояния системы х в симмет- Рис.4 Рис.5 ричном периодическом движении в моменты переключения релейного элемента с нуля на плюс. Смещенный фазовый годограф \"(Т,у) определяет значения вектора х в моменты переключения релейного элемента с плюса на нуль. Если получены вектор-функции х*(7\у) и х*'(7",у), то параметры Ти у автоколебаний в автономной системе (1), (2) определяются из условий переключения трехпозиционного релейного элемента, соответственно, с нуля на плюс и с плюса на нуль:

&'х*(Т,у) = -Ь, Ит((х' (Т,у),0)<0; (4)

Лгхн(Т,у) = -\Ь, КЩх"(Т,у),Л)>0. (5)

Отметим, что фазовый годограф имеет большое значение не только для анализа, но и для синтеза релейных следящих систем, так как позволяет формировать с помощью условий (3) - (5) законы управления, обеспечивающие в релейной следящей системе (1), (2) заданные параметры автоколебаний.

Важнейшим классом нелинейных объектов управления являются кусочно-линейные системы. К кусочно-линейным относятся, например, объекты управления, содержащие различного рода ограничители, которые чрезвычайно широко распространены в технических системах, а также объекты управления, содержащие нелинейности типа люфтов, зон нечувствительности и т.д.

Рассмотрим релейную автоколебательную следящую систему с кусочно-линейным объектом управления, движение которого задается уравнением с1х ГСх + Ва, если |5(х)|<Д ¿/[С'х + в'и, если |5(х)|> О.

В уравнении (6) С и С* - постоянные матрицы размерности их п, В и В* - «-мерные векторы. Далее, будем считать, что 5(х) - симметричная (S(-x) = -5(х)) непрерывно дифференцируемая функция. Управление и по-прежнему определяется равенством (2).

Обратимся сначала к системе (6), (2) с двухпозиционным релейным элементом. В диссертации получено дифференциальное уравнение

dx*(T)fdT = -(I + Q)_l х(Г - 0), (7)

решением которого является фазовый годограф объекта (6). В (7) и далее I - единичная матрица, Q - матрица линеаризованного оператора сдвига на полупериоде. Определение фазового годографа с помощью уравнения (7) предполагает наличие некоторой начальной точки х'(Т0) и соответствующей ей периодической траектории х0(г). Уравнение (7) целесообразно решать методом Эйлера. Вид матрицы Q определяется характером периодической траектории х(/). Так, например, для функции S(\(t)), представленной на рис. 6

Рис. 6

Q = V(7--/2)Q2W(Í2-/,)QiV(0.

(8)

где

KS(x(0) S(x"(T,y))

О -I (*(fi-0)-x(/| + 0))l/(f,) (x(b-0)-xfo + 0))L/fa)

' I/(i,)x(/,-0) ' 42 l/(i2)x(i2-0) ' (9)

V'(t) = dS(x(t))/dx, V(i) = ec', W(/) = ec"'.

Для релейной системы (6), (2) с трехпозиционным релейным элементом дифференциальное уравнение фазового годографа задается равенством

dx'(T,y)ldT = -(I + Q)"1 (УЛ у + х(Т - 0)). (10)

Пусть известна некоторая точка \'(Т,у) фазового годографа и соответствующая ей периодическая траектория x(t) с периодом 2Т и параметром скважности у. Если функция S(x(t)) имеет вид, изображенный на рис. 7, то

Q=V(r-i2)Q2W(f2-i,)Q1V(/1), Y=V(7,-/2 )Q2 W(/2 -y7')B*. Далее, для матриц V(t), W</), Qi, Q2 справедливы соотношения (9). С помощью уравнения (10), задаваясь различными фиксированными значениями параметра у, можно построить ветви фазового годографа.

Е!ажным подклассом кусочно-линейных объектов являются системы, содержащие ограничители. В работе рассматриваются два типа звеньев с ограничителями: звенья с ограничителями в форме насыщения, а также звенья с ограничителями в форме жестких механических упоров.

Рис. 7

и к Ф> \

s2 + 2as + T) J

s + a J

Рис.8 Рис.9

Движение звена с ограничителями в форме жестких механических упоров (рис. 8) задаётся уравнениями:

.Т| - х2, х2 -

ки - 2ах2 - если |х,| < Б или = О и (¿ц-г|х1)зщп;с1 < 0;

[О, если | = I) и (ки-трг^дпх, >0. Предполагается, что удар об упор является абсолютно неупругим. В момент /* входа на ограничитель *,(/*~0)=л:,(/*+0), л:2(/*-1-0)=0. Сход с ограничителя в момент/" непрерывен: .т,(/"'-0)=х1(/'*+0), х2(/"-0)=х2(/"+0).

Движение звена с офаничителями в форме насыщения, изображённого на рис. 9, определяется уравнением

| ки - ах, если < £> или |х| = О и (ки - ах^цпл: < 0; [0, если |д."| = 0 и(Лм-ад:)8!дпх>0.

Выходной сигнал х(1) является непрерывной функцией времени.

Метод, основанный на решении дифференциального уравнения фазового годографа, можно с успехом применять и для объектов с ограничителями. Более того, в работе показано, что он позволяет выделить Еюе ветви неоднозначности фазового годографа для объектов с ограничителями в форме жестких механических упоров. Причем для объектов, имеющих сложную структуру, выделение указанных ветвей существенно упрощается.

В реальной системе могут существовать только устойчивые периодические движения. Определение устойчивости симметричных периодических движений в автономной релейной системе сводится к исследованию устойчивости некоторого линейного однородного разностного уравнения с постоянными коэффициентами, которое задается матрицей в. Если собственные числа А., (]= \,т) матрицы в удовлетворяют неравенствам |А.у |<1 (у=1,/я), то соответствующее периодическое движение автоколебательной системы асимптотически орбитально устойчиво.

В диссертационной работе для релейных автоколебательных систем с кусочно-линейными объектами управления получены аналитические зависимости, в явном виде задающие матрицу в. Для релейной системы (6), (2) с двухпозиционным релейным элементом эта матрица определяется выражением

( х(Г-0)КП

Если функция 5(х(0) (здесь х(() - исследуемое периодическое решение) имеет вид, приведенный на рис. 6, то матрица С> задается равенством (В).

Устойчивость автоколебаний в релейной системе (6), (2) с трехпозиционным релейным элементом оценивается по собственн ым числам матрицы

С= I

¿(Г-0)11

2 . х(уГ-0)И

Кгх(уГ-0)

о1.

КТ\(Т - 0)

Если периодическому движению х(/) соответствует функция 5(х(Г)), представленная на рис. 7, то О1 =\У(у7,-/1)<3,У(/1). = - /2) Щ12 -уТ), причем для матриц У(0, \У(/), 01,02 справедливы соотношения (9).

Рассмотренный в диссертации пример исследования автоколебаний в релейной системе, содержащей звено с ограничителями в форме жестких механических упоров и имеющей достаточно сложную структуру, показал высокую эффективность предложенных методов анализа.

Во второй главе разрабатывается метод линеаризации по полезному сигналу релейных автоколебательных следящих систем с двухпозиционным релейным элементом, содержащих звенья с ограничителями как в форме механических упоров, так и в форме насыщения. Данный метод основан на использовании некоторых производных фазового годографа и выполняет классическую линеаризацию, когда каждая статическая нелинейность системы, в том числе релейный элемент, заменяется коэффициентом передачи по постоянной составляющей движения. Метод можно использовать при любой структуре объекта управления.

■Е2 + 2(Х5 + Ц

я

%

«ад

Ху

Рис. 10

На рис. 10 изображена структурная схема ре-.лейной системы, в которой присутствует звено с ограничителями в форме жестких механических упоров. Рассматривается наиболее сложный вариант расположения указанного звена. Такую систему невозможно линеаризовать (о причине будет сказано ниже) с помощью малого постоянного входного сигнала у((). Л<а II

Потребовалось искусственно ввести специальный линеаризующий сигнал g, который в реальной системе отсутствует.

Пусть в изображённой на рис. 10 автономной релейной системе (у(/) = 0, g = 0) существует симметричное периодическое решение х(0 с периодом 2Г, задаваемое точкой х*(Т) фазового годографа. Рис. 11 иллюстрирует один из возможных вариантов вида периодического выходного сигнала звена с ограничителями. Далее, предположим, что передаточные функции ^^ - И4(5) не имеют нулевого полюса. Свободное движение объекта управления будем задавать уравнением

х = Сх + Ви, а движение на ограничителе - уравнением

х =С*х + Вг/. Удар об упор предполагается абсолютно неупругим.

При g = 0 и постоянном входном сигналеХО в системе имеют место несимметричные периодические колебания. Однако из-за присутствия во внутреннем контуре интегрирующего звена в системе установятся колебания, при которых средние значения за период сигналов х/0 и ха(0 равны нулю. Это исключает возможность линеаризации звена с ограничителями.

Для линеаризации релейного элемента и звена с ограничителями в рамках предлагаемого метода рассматриваются несимметричные периодические колебания, возникающие в системе при у(1) н 0 и постоянном сигнале g, который будем считать малой величиной. Периодическое решение системы при постоянном сигнале g обозначим х(/). При малом значении сигнала g периодические траектории

x(f) и x(/) являются близкими, т.е. x(/) = x(f)+8x(f). Справедливы уравнения в вариациях

8x = C8x + B8« + Lg,8x = C*8x + B8i/ + Lg, (11).

здесь L - постоянный вектор, 8u(t) - вариация управления u(t).

С помощью уравнений (11) в диссертации получены производные ФГ по параметрам т (параметр т задает несимметрию сигнала с выхода релейного элемента) и g, которые, в свою очередь, позволили выделить постоянную составляющую в периодической функции :i(f). Обозначим указанную постоянную составляющую х == 8х. В соответствии с ршработанным методом линеаризации релейный элемент в системе заменяется коэффициентом передачи по постоянной составляющей:

к*=-х,!т о)*м>-

Для линеаризации звена с ограничителями выделим в нем статическую нелинейность, представив его структурную схему в виде, изображенном на рис. 12. Положим tgy = к. Далее, заменим статическую нелинейность коэффициентом передачи по постоянной составляющей:

kQ=xj/z.

Звено с ограничителями превратится в линейное звено с передаточной функцией:

Xj(s)/xa(s) = k/(s2 + 2аs + (£°(т| -1) + к)/к0).

Рассмотренный метод весьма просто распространяется (см. диссертацию) на релейные системы, содержащие ограничители в форме насыщения. Однако его применение для систем с трехпознционным релейным элементом затруднительно, так как он приводит к громоздким вычислениям.

В диссертации приводится пример использования разработанного метода для линеаризации релейной системы, представленной на рис. 13.

X (0

* л

к 2а —— к к <-

Рис. 12

) £| 1» TT и 1 V

) ' ■41 [ ь1

*i № -V2 1 х\(

) » T*s2 + 2£7j.v т 1 J

¡Я

?■,.«+1

Рис. 13

Точность выполненной линеаризации оценивалась путем сопоставления амплитудных и фазовых частотных характеристик, полученных с помощью линеаризованной системы, а также с помощью компьютерного моделирования исходной релейной системы. Рассмотренный пример продемонстрировал высокую точность метода. Погрешности линеаризации составили менее 1,5%.

Третья глава посвящена разработке метода дискретной линеаризации по полезному сигналу релейных автоколебательных следящих систем с любыми нелинейными объектами управления. В плане практического применения данный метод оказался существенно более простым и эффективным, чем описанный выше метод, использующий производные ФГ. В соответствии с этим методом исследование режима слежения релейной системы сводится к исследованию режима слежения некоторой линейной дискретной системы.

Рассмотрим релейную следящую систему с двухпозиционным релейным элементом и нелинейным объектом управления, движение которой задается уравнениями (1), (2). Будем сначала считать, что функция f(x,w) непрерывно дифференцируема по х и непрерывна по и. Входной сигнал y(t) является малой медленноме-няющейся (по отношению к автоколебаниям) функцией времени.

Обозначим, как и выше, х(/) периодическую траекторию с периодом 2Т автономной (у{1) s ()) релейной системы (1), (2), а через х(0 = x(f)+8x(t) - траекторию, возмущенную малым медяенноменяющимся входным сигналом y(t). Полагая и(1) фиксированной функцией, запишем для (1) уравнение в вариациях:

¿/Sx _ of(x, и)

•8х. (12)

U=U(1)

dt дх

Уравнение (12) представляет собой систему линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Обозначим \(t0,t0 + t) нормированную фундаментальную матрицу решений уравнения в вариациях. Здесь (0 - момент времени, с которого решается уравнение (12), так что V(/о>*о) = I. С использовани-- ем уравнения в вариациях в работе получено равенство

5х((/с+1)7") = М5х(АТ)+Ny((Ä 41) Т), (13)

где

м J 1_(х(7'-0)-х(7-40))КП п

Д Rrx(r-0) J R; х(Г-О)

Равенство (13) представляет собой систему неоднородных линейных разностных уравнений, которая позволяет рассчитать вариацию Ьх(кТ). Именно с помощью функции 8х(/) = х(/) - х(/) оценивается точность режима слежения, поскольку она выделяет среднюю составляющую движения, на которую наложены автоколебания. Правда, Ьх(кТ) является решётчатой функцией, период дискретизации которой равен полупериоду автоколебаний. Однако, учитывая большой разнос частот входного сигнала и автоколебаний, в функции 5х(/:7), как правило, аргумент кТ можно заменить на /, т.е. перейти от дискретного Бремени к непрерывному. Уравнение (13) можно решить при любой функции yik'fy.

В системах автоматического управления точность, режима слежения часто оценивается с помощью частотных характеристик. В соответствии с уравнением (13) установившаяся реакция (режим слежения) линеаризованной системы на гармонический входной сигнал у(кТ) = csin(aiAr) задается равенством Sx(A 7')=сР(со) cos(<äkT)+c H(ö>) sin(<o кТ),

где

Р(со) = -(I si п(со Г) 4 (М -1 cos(ü) 7,))2/sin((0 Т)У1М N, Н(<о)=(М -1 cos(co Т)) P(o))/sin(ffi. Т)+N. Тогда амплитудная и фазовая частотные характеристики линеаризованной системы определяются соотношениями

Л(а) = №<а)+Н&<й) , ф(ю) = arctg(Лj(со)/Яв(cd)), где Pß и //в - компоненты векторов Р и Н, соответствующие выходной координате системы.

Для системы (1), (2) с трехпозициоиным [юлейным элементом (при наличии в ней автоколебаний с периодом 2Т и параметром скважности у в автономном режиме) линеаризующее разностное уравнение имеет вид:

5хр+1)Г) = М2М15х(А7') + 1Ч2Я(Л+1Ю + М21Ч1>'((Л+уЮ, (15)

где

ft-f, (х(7--0)-х(Г+0))КП ^ ( (х(уГ-0)-х(у7ЧР))КП , 2 (/ Rrx(r-0) JV»™«-^ КЧ(уГ-0) J4, х(7--0)-х(7Ч0) - х(уГ-0)-х(у7Ч0) Q2 = y(TT) о,=у(0уЛ

Исследование режима слежения с помощью уравнения (15) выполняется описанным выше способом.

В реальных технических системах вектор-функция f(x,u) часто имеет разрывы. Этим свойством обладают и кусочно-линейные объекты управления. Дискретная линеаризация системы (6), (2) с двухпозиционным релейным элементом (при наличии в автономной системе периодического решения x(t) с периодом 27) также задается равенствами (13), (14). Однако в указанных равенствах требуется заменить выражение, определяющее матрицу Q. Если функция S(x(t)) имеет вид, представленный на рис. 6, то

Q = V(Г - /2) Q2 W(/2 - /,) Q, V(/,). (16)

Входящие в (16) матрицы V(i), W(/), Qi, Q2 определяются соотношениями (9). Дискретная линеаризация системы (6), (2) с кусочно-линейным объектом управления и трехпозициоиным релейным элементом выполняется аналогичным образом.

Уравнения (13), (15) вполне можно использовать и для классической линеаризации релейной системы, когда нелинейности заменяются коэффициентами передачи по постоянной составляющей движения. Такая линеаризация выполнима лишь в том случае, если объект управления содержит только статические нелинейности или статические нелинейности можно выделить искусственно, как это делается, например, для звеньев с ограничителями. Рассмотрим режим слежения релейной системы за постоянным входным сигналом у = const. Здесь предполагается, что классическая линеаризация возможна на постоянный входной сигнал. В этом случае уравнения (13), (15) принимают, соответственно, вид

8х((А + 1)Г) = М8х(АГ) + N_v, (17)

8x((k + l)T) = M2M, 8х(АТ) + (N2 + M2N,)y. (18)

Будем искать частное решение уравнения (17), положив 8х(/сТ) = X, где X -неизвестная константа. Очевидно, X = (I-M)~'Ny. Аналогично, для системы с трехпозициоиным релейным элементом из уравнения (18) следует, что X = (I-M2Mi)~'(N2 + M2N,)^. Вектор X определяет значение постоянной составляющей для каждой фазовой переменной возмущенной траектории х(/). Это дает возможность линеаризовать релейный элемент и статические нелинейности объекта управления. Такой подход применим и при наличии искусственно введенного линеаризующего сигнала.

В процессе исследования было установлено, что если амплитуда автоколебаний в выходном сигнале релейной системы относительно велика (например, при низкой частоте автоколебаний), то для повышения точности метода дискретной ли-

неаризации вместо функции 6х(&7) целесообразно использовать функцию 6х((А+0,5)Г), задающую осреднённое значение вариации 5х(г) на полупериоде. Осреднение выполняется с помощью матрицы У(г0,?0 + /).

В уравнениях (13), (15) матрицы М и М2М] определяют устойчивость соответствующих дискретных систем. С другой стороны, с помощью указанных матриц оценивается асимптотическая устойчивость по Ляпунову автоколебаний в автономной релейной системе (1), (2). Можно показать, что если периодическое движение в релейной системе асимптотически орбитально устойчиво, то оно также устойчиво и по Ляпунову. Таким образом, устойчивость режима слежения в релейной системе определяется устойчивостью ее периодического движения. Очевидно, для режима слежения данный критерий устойчивости следует рассматривать как приближенный, поскольку он основан на дискретной линеаризации системы.

В качестве примеров в диссертации рассмотрена дискретная линеаризация трех релейных систем, в том числе и релейного автоколебательного объемного силового гидропривода, струстурная схема которого представлена на рис. 14.

Рис. 14

Гидропривод как объект управления является нелинейной системой восьмого порядка, содержащей два звена с ограничителями в форме насыщения. Каждый из этих ограничителей достигается в режиме автоколебаний. Точность линеаризации оценивалась путем сопоставления ошибок слежения гидропривода за гармоническими входными сигналами, полученных, соответственно, при помощи линеаризованной системы, а также с помощью моделирования релейного гидропривода на компьютере. Погрешности линеаризации составили менее 0,1%. В остальных двух примерах погрешности линеаризации не превысили, соответственно, 0,4% и 1,2%.

Линеаризация является приближенным приемом. Однако рассмотренные в диссертации многочисленные примеры и накопленный на кафедре САУ ТулГУ богатый опыт по практическому использованию разработанных методов линеаризации позволяют заключить, что указанные методы обладают высокой точностью и являются эффективным инструментом для оперативной оценки точности режима слежения, что очень важно для синтеза и оптимизации релейных систем.

В чепгвеюггой главе рассматриваются релейные следящие системы с нелинейными объектами управления, работающие в режиме вынужденных колебаний.

В режиме вынужденных колебаний частота периодических движений определяется частотой вынуждающего сигнала и остается постоянной как при отработке системой полезного входного сигнала, так и при изменении параметров объекта

управления. К режиму вынужденных колебаний обычно обращаются в тех случаях, когда необходимо обеспечить работоспособность релейной системы в сложных условиях эксплуатации, приводящих, например, к существенному изменению параметров системы.

Рассмотрим релейную следящую систему с нелинейным объектом управления (1) и двухпозиционным релейным элементом, работающую в режиме вынужденных колебаний. Управление при этом задается равенством:

м=Ф(е,ЛДА.), е=_у+>>0-ст(х), a(x)=R7'x, (19)

здесь уо = Я/0 (/) - вынуждающий периодический сигнал с периодом 27в, причем max|/0(f)| = 1,у-полезный входной сигнал.

Так же, как и автоколебания, вынужденные колебания определяются из условия переключения релейного элемента с минуса на плюс:

///0(/*)-RV(7'b) = A, Hf¿(t')-Rrf(x(TB),-A)>0. Здесь /' (0 < í* <2ГВ) - фаза вынуждающего сигнала уо = Н/о (О, которая устанавливает соответствие между функцией H/0(t) и периодическим решением х(/).

В релейной системе (1), (19) могут иметь место так называемые субгармонические колебания с периодом 2TBv, v = 3,5,7.....Условия возникновения субгармонических вынужденных колебаний задаются соотношениями:

Я/0(О - Rrx*(vrB) = Ь, Hfi(t') - Rrf(x*(v7"B),-/i) > 0, v = 3,5,7.....

Условия возникновения вынужденных колебаний основной частоты и на частоте субгармоник для сисгем с трехпозиционным релейным элементом формулируются аналогичным образом и приводятся в диссертации.

Рассмотрим релейную систему (6), (19) с двухпозиционным релейным элементом и кусочно-линейным объектом управления, работающую в режиме вынужденных колебаний. Будем предполагать, что возникающее в автономной (у(/) = 0) системе вынужденное симметричное периодическое решение х(/) с периодом 2Гв и фазой t таково, что функция S(x(/)) имеет вид, изображенный на рис. 15. В соответствии с результатами, полученными в диссертационной работе, вынужденное периодическое движение x(t) асимптотически устойчиво по Ляпунову, если все собственные числа матрицы

D <S(x(t))

0 1 Т 1

-D

Рис. IS

G-

I

Q,

(ж(Гв-0)-ж(Гв-Ю))Н^ я/оЧО+кЭД-о)

задающей некоторое линейное однородное разностное уравнение с постоянными коэффициентами, по модулю меньше единицы. Здесь матрица Q определяется равенством

Q==V(7'B-i2)Q2W(/2-i1)Q1V(/1). (20)

Входящие в (20) матрицы V(f), W(/), Qlt Q2 задаются соотношениями (9). При получении критерия устойчивости вынужденных колебаний возмущенная траектория сравнивалась с периодической траекторией в одни и те же моменты времени.

Далее, в диссертации выполнено распространение метода дискретной линеаризации на системы, работающие в режиме вынужденных колебаний. Так, напри-

мер, разностное линеаризующее уравнение для рассмотренной выше системы (1), (19) с даухпозиционным релейным элементом имеет вид:

5х((*+1)7]з) = М8х(£Гв)+1Чу((* + 1)ГВ),

где

Здесь + 0 — нормированная фундаментальная матрица решений уравнения

в вариациях (12). Нетрудно показать, что устойчивость режима слежения в релейной системе, работающей в режиме вынужденных колебаний, как и в случае автоколебаний, также определяется устойчивостью периодического движения.

В работе аналогичные результаты были получены и для систем с трехпози-ционным релейным элементом. Отметим, что метод линеаризации, основанный на использовании производных ФГ, можно также весьма просто распространить на релейные системы, работающие в режиме вынужденных колебаний.

В диссертации показано, что с теоретической точки зрения системы с симметричной широтно-импульсной модуляцией (ШИМ) целесообразно рассматривать как: релейные, работающие в режиме вынужденных колебаний. Полученные в диссертации результаты, таким образом, вносят существенный вклад и в теорию систем с ШИМ.

В качестве примера в работе выполнено исследование (с использованием предложенных методов) релейного электропривода постоянного тока, функционирующего в режиме вынужденных колебаний.

Пятая глава посвящена синтезу релейного воздушно-динамического рулевого привода (ВДРП), функционирующего в режиме вынужденных колебаний, на основе разработанного метода синтеза релейных следящих систем. В рассматриваемом приводе используется энергия набегающего воз,пушного потока. Это, с одной стороны, позволяет предельно упростить устройство ВДРП, а с другой, приводит к существенной нестационарности его параметров (некоторые параметры могут изменяться в 100 и более раз). Режим вынужденных колебаний призван обеспечить работоспособность релейного привода в таких условиях.

Р<1зработанные в диссертации методы определения возникающих в релейной системе периодических движений, оценки их устойчивости, линеаризации системы, а также некоторые другие результаты, относящиеся к ФГ, позволили создать эффективный метод синтеза релейных следящих систем с нелинейными объектами управления. В соответствии с этим методом синтез релейной следящей системы сводится к решению сравнительно несложной задачи конечномерной оптимизации по точности режима слежения.

Предварительным этапом синтеза релейной следящей системы является построение ФГ (для систем с трехпозиционным релейным элементом строится также смещенный ФГ). Далее, в зависимости от режима работы релейной системы целесообразно задаться либо желаемой частотой автоколебгиий, либо желаемыми частотой и формой вынуждающего сигнала. Для системы с трехпозиционным релейным элементом необходимо также задаться значением параметра у. Это дает возможность заблаговременно, т.е. до решения задачи синтеза, выполнить ряд операций, требующих специальных вычислений: например, рассчитать матрицу О (С?|, <32), которая необходима для определения устойчивости периодического движения,

а также для дискретной линеаризации системы; найти производные ФГ, если линеаризация системы выполняется соответствующим методом. При необходимости синтез системы можно повторить для нескольких частот автоколебаний (вынуждающего сигнала) и значений параметра у.

Разработанный метод позволяет решить задачу синтеза как в пространстве состояний, так и с использованием корректирующих устройств. Критерием оптимизации является заданная: в том или ином виде точность режима слежения, определяемая с помощью линеаризованной системы. В число ограничений входят: условие существования в системе периодического движения с желаемыми параметрами, а также условие его асимптотической устойчивости. Могут иметь место дополнительные ограничения, учитывающие особенности работы синтезируемой системы. В силу определённой специфики ограничений в качестве методов оптимизации рекомендуется использовать либо алгоритмы случайного поиска, либо генетические алгоритмы. Указанные алгоритмы работают с ограничениями простейшим образом: проверяется, выполняются ограничения или нет.

Рассмотрим важнейшие аспекты синтеза релейного ВДРП с помощью разработанного метода. В диссертации используется математическая модель ВДРП, которая является принципиально нелинейной, так как содержит ограничители в форме жестких механических упоров и учитывает сухое трение. Анализ модели показывает, что большинство параметров изменяются в очень широком диапазоне в зависимости, главным образом, от избыточного давления (Р„), которое, в свою очередь, определяется скоростью и высотой полета ракеты. Структурная схема замкнутого ВДРП представлена на рис. 16, где х - угол поворота якоря электромагнита, 8 - угол отсглонения рулей, у - входной сигнал, у0 - вынуждающий периодический сигнал.

Ж.

Ыо

к,

Iх-щ

1

X

-О

Рис. 16

Поскольку ракета вращается, то привод должен как можно точнее отрабатывать гармонические входные сигналы. Динамические свойства таких приводов традиционно оцениваются с помощью частотных характеристик. Частота входных гармонических сигналов исследуемого ВДРП может изменяться в диапазоне 0<со<сош, <о,„ =80 рад/с, а амплитуда - а диапазоне 0< Ад <0,85,,,, здесь 8„, = 0,436 рад - максимальный угол отклонения рулей.

Так как параметры привода изменяются в весьма широком диапазоне, потребовалось построить ансамбль фазовых годографов для характерных режимов работы ВДРП, которые в целом отражают свойства привода, обусловленные нестационарностью его параметров.

Для повышения динамических характеристик в контур управления системы включается интегро-дифференцирующий фильтр с передаточной функцией

^фС$)=г(7ф1$ + 1)/(7ф23+1). Вынуждающий треугольный симметричный сигнал у0 характеризуется амплитудой Н и частотой^. Исходя из требований, накладываемых на амплитуду вынужденных колебаний рулей ракеты, а также в силу необходимости обеспечить нормальную работу управляющего электромагнита в режиме перебросов, быка выбрана частота вынуждающего сигнала /в = 100 Гц.

В соответствии с разработанным методом задачу синтеза релейного ВДРП следует формулировать как задачу конечномерной оптимизации. Проведенное исследование свойств ВДРП показало, что рассматриваемые характерные режимы работы целесообразно разбить на две группы. Первая группа включает режимы, при которых Ри < 1,33 кг/см2, а вторая группа - режимы, при которых Р„ > 1,33 кг/см2. Далее, оптимизация выполняется отдельно для каждой группы. Оптимизируемыми параметрами при этом являются постоянные времени фильтра Тф1, Тф2 и амплитуда вынуждающего сигнала Н. Поскольку для рассматриваемого приводу наиболее сложно удовлетворить требованиям по фазовому сдвигу, то в качестве критерия оптимизации рассматривалась функция:

е(7ф1.7ф2.#) = тах[ тах |ф,(со)|], / = 1,я, (21)

/ 0<ш<о„,

здесь и далее 9,(ю) - фазовая частотная характеристика замкнутого привода в /-ом характерном режиме работы, п - число характерных режимов в группе. Такой критерий оптимизации, помимо прочего, способствует уменьшению разброса фазовых частотных харагсгеристик замкнутого ВДРП при различных значениях Р„.

При минимизации функции (21) проверяется выполнение следующих требований. Во-первых, необходимо, чтобы разнос постоянных времени фильтра не превышал некоторой заданной величины. Во-вторых, для всех характерных режимов работы должны выполняться условие существования вынужденных колебаний и критерий их асимптотической устойчивости по Ляпунову. В-третьих, амплитудно-частотная характеристика замкнутого ВДРП должна находиться в заданном диапазоне. Указанные требования формулируются математически в виде ограничений второго рода (неравенств):

Тфг/Тф«-15; 1Р — е;(71з)|<//, / = 1 ,п\ тах[шах|А,:,Ц< 1, } = !,/», / = 1,и;

л;п,п < Л, (со) < 4тах, /=й, 0 < со < ш„,. Здесь е*(2") - компонента е*(Г) фазового годографа в /-ом характерном режиме, Ху -у'-ое собственное число матрицы устойчивости в,, соответствующей /-му характерному режиму, Д,пш и А]шх - границы диапазона допустимых значений АЧХ замкнутого скорректированного привода в /-ом характерном режиме.

Важно отметить, что в процессе оптимизации частотные характеристики замкнутого привода А, (со), 9,(со) определяются методом дискретной линеаризации.

Задача конечномерной оптимизации решалась с помощью генетического алгоритма Критерий оптимизации в точке минимума для режимов с Р„< 1,33 кг/см2 оказался равным 20,101°, а для режимов с Рк > 1,33 кг/см2 он принимает значение 19,654°. Таким образом, в результате синтеза сформирована релейная система управления ВДРП с переменными параметрами последовательного корректирующего устройства и генератора вынуждающего сигнала. Переключение указанных параметров в процессе функционирования ВДРП необходимо осуществлять при дости-

жении порогового значения избыточного давления, которое составляет 1,33 кг/см2.

Компьютерное моделирование синтезированного привода позволило сделать вывод о том, что во всем рассматриваемом диапазоне избыточных давлений ВДРП удовлетворяет предъявляемым требованиям и обладает хорошими стабильными динамическими характеристиками. Максимальный разброс фазовых частотных характеристик синтезированного привода не превышает 7°. Это весьма хороший результат, даже несмотря на относительно большой максимальный фазовый сдвиг привода (-20,2°). Дело в том, что в рулевых приводах вращающихся ракет фазовый сдвиг на частоте вращения ракеты можно скомпенсировать за счет разворота координатора. В зткх условиях именно стабильность фазовых частотных характеристик выступает по значимости на первый план. Разброс фазовых частотных характеристик при цифровой реализации закона управления практически не изменяется.

В процессе исследования была оценена точность линеаризации. Погрешность метода линеаризации на всех режимах работы привода не превышала 3%. Это весьма неплохой результат, так как привод является статическим объектом управления.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Разработаны методы исследования периодических движений в релейных автоколебательных следящих системах с кусочно-линейными объектами управления.

2. Разработан метод линеаризации по полезному сигналу релейных следящих систем, содержащих звенья с ограничителями. Данный метод основан на использовании производных фазового годографа.

3. Разработан метод дискретной линеаризации, в соответствии с которым релейная следящая система заменяется неоднородным линейным разностным уравнением. Этот метод может применяться при любой нелинейности объекта управления. Указанное уравнение можно использовать и для классической линеаризации.

4. Разработаны методы исследования периодических движений в релейных следящих системах с кусочно-линейными объектами управления, работающих в режиме вынужденных колебаний.

5. На релейные системы, работающие в режиме вынужденных колебаний, распространен метод дискретной линеаризации по полезному сигналу.

6. Установлено, что устойчивость периодических движений (автоколебаний, вынужденных колебаний) влечет за собой устойчивость режима слежения релейной системы.

7. Разработан метод синтеза релейных следящих систем с нелинейными объектами управления. Этот метод позволяет решить задачу синтеза как в пространстве состояний, так и с использованием корректирующих устройств.

8. Выполнен синтез релейного ВДРП, функционирующего в режиме вынужденных колебаний. В условиях существенной нестационарности параметров привода удалось с использованием достаточно простых технических средств добиться высокой точности ВДРП и стабильности его фазовых частотных характеристик.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Моржов А.В., Фалдин Н.В. Дискретная линеаризация по полезному сигналу релейных автоколебательных систем управления // Мехатроника, автоматизация, управление. - М.: Изд-во «Новые технологии», 2006, №11. - С. 13-19.

20 • ' I

2. Моржов A.B., Фалдин Н.В. Автоколебания в релейных сисгем&х с кусочно-линейными объектами управления // Мехатроника, автоматизация, управление. - М.: Изд-во «Новые технологии», 2007, №2. - С. 2 - 9.

3. Моржов A.B., Фалдин Н.В. Линеаризация по полезному сигналу релейных систем управления, содержащих звенья с ограничителями // Изв. РАН. Теория и системы управления. - М.: Изд-во «Наука», 2007, №3. - С. 5 -15.

4. Моржов A.B., Фалдин Н.В. Дискретная линеаризация по полезному сигналу релейных систем с кусочно-линейными объектами управления и трехпозиционным релейным элементом // Вторая международная конференция «Системный анализ и информационные технологии» САЙТ - 2007. Труды конференции. Том 1. -М.: Изд-во ЛКИ, 2007. - С. 42 - 45.

5. Моржов A.B., Фалдин Н.В., Феофилов С.В. Периодические движения в релейных системах с трехпозиционным релейным элементом и кусочно-линейными объектами управления // Вторая международная конференция «Системный анализ и информационные технологии» САЙТ - 2007. Труды конференции. Том 1. - М.: Изд-во ЛКИ, 2007. -С. 66- 69.

6. Моржов A.B., Фалдин Н.В. Линеаризация по полезному сигналу релейных систем управления с трехпозиционным релейным элементом и нелинейным объектом управления // Изв. РАН. Теория и системы управления. -М.: Изд-во «Наука», 2008, №4. - С. 5 -14.

7. Моржов A.B., Фалдин Н.В. Линеаризация по полезному сигналу релейных автоколебательных систем управления // Труды VIII Всероссийской конференции «Нелинейные колебания механических систем». Том 1. - Нижний Новгород: Издательский дом «Диалог культур», 2008. - С. 329 - 335.

8. Моржов A.B., Фалдин Н.В. Анализ вынужденных периодических движений в релейных системах автоматического управления // Мехатроника, автоматизация, управление. — М.: Изд-во «Новые технологии», 2009, №1. - С. 2-7.

9. Моржов A.B. Синтез рулевого привода, работающего в режиме вынужденных колебаний // VIII Всероссийская научно-техническая конференция «Техника XXI века глазами молодых ученых и специалистов». Материалы докладов. - Тула: Изд-во ТулГУ, 2009. - С. 143 -150.

10. Моржов A.B. Синтез рулевых приводов, работающих в режиме вынужденных колебаний // Приборы и управление: Сборник статей молодых учёных. Вып. 7 / Под общ. ред. Е.В. Ларкина. - Тула: Изд-во ТулГУ, 2009. - С. 95 - 101.

11. Morzhov А.V., Faidin N.V., Boiko I.M. Analysis of periodic motions in relay feedback systems with saturation in plant dynamics // International Journal of Systems Science, Vol. 40, No. 6, June 2009. - P. 659 - 668.

Изд. лиц. J1P № 020300 от 12.02.97. Подписано в печать 26.04.2010 г.

Формат бумаги 60x84 '/i6. Бумага офсетная.

Усл.-печ. л. 1,2. Уч.-изд. л. 1,0.

Тираж 100 экз. Заказ О С?В

Тульский государственный университет.

300012, г. Тула, просп. Ленина, 92.

Отпечатано в издательстве ТулГУ.

300012, г. Тула, просп. Ленина, 95.

Введение.

Глава 1. Исследование периодических движений в релейных автоколебательных следящих системах методом фазового годографа.

1.1. Фазовый годограф релейной системы.

1.2. Дифференциальное уравнение фазового годографа для кусочно-линейных объектов управления.

1.3. Построение фазового годографа для объектов с ограничителями.

1.4. Алгебраический критерий асимптотической орбитальной устойчивости автоколебаний.

1.5. Пример исследования автоколебаний в релейной следящей системе, содержащей звено с ограничителями.

Выводы по разделу.

Глава 2. Метод линеаризации по полезному сигналу релейных следящих автоколебательных систем, содержащих звенья с ограничителями.

2.1. Определение производных фазового годографа.

2.2. Линеаризация системы по полезному сигналу.

2.3. Пример классической линеаризации релейной системы, содержащей звено с ограничителями в форме механических упоров.

Выводы по разделу.

Глава 3. Метод дискретной линеаризации по полезному сигналу релейных автоколебательных следящих систем.

3.1. Линеаризующее разностное уравнение для систем с двухпозиционным релейным элементом.

3.2. Линеаризующее разностное уравнение для систем с трехпозиционным релейным элементом.

3.3. Линеаризация релейных систем, содержащих звенья с ограничителями.

3.4. Линеаризация релейных систем со статическими нелинейностями.

3.5. Использование дискретной линеаризации для исследования режима слежения релейной системы.

3.6. Повышение точности метода дискретной линеаризации.

3.7. Применение дискретного метода для классической линеаризации релейной системы.

3.8. Критерий устойчивости режима слежения релейной системы.

3.9. Дискретная линеаризация по полезному сигналу релейного автоколебательного объёмного силового гидропривода.

3.10. Пример дискретной линеаризации по полезному сигналу релейной следящей системы с кусочно-линейным объектом управления.

3.11. Пример использования дискретного метода для классической линеаризации релейной следящей системы.

Выводы по разделу.

Глава 4. Исследование релейных следящих систем, работающих в режиме вынужденных колебаний.

4.1. Условия возникновения вынужденных колебаний.

4.2. Устойчивость вынужденных колебаний.

4.3. Дискретная линеаризация по полезному сигналу релейных следящих систем, работающих в режиме вынужденных колебаний.

4.4. Исследование систем, работающих в режиме широтно-импульсной модуляции.

4.5. Исследование релейного электропривода постоянного тока, работающего в режиме вынужденных колебаний.

Выводы по разделу.

Глава 5. Синтез воздушно-динамического рулевого привода, работающего в режиме вынужденных колебаний.

5.1. Метод синтеза релейных следящих систем.

5.2. Математическая модель воздушно-динамического рулевого привода.

5.3. Построение ансамбля фазовых годографов.

5.4. Постановка задачи синтеза.

5.5. Формирование структуры замкнутой системы.

5.6. Исследование воздушно-динамического рулевого привода в рамках решения задачи конечномерной оптимизации.

5.7. Решение задачи конечномерной оптимизации.

5.8. Анализ синтезированного привода с помощью компьютерного моделирования.

Выводы по разделу.

Релейные автоматические системы с давних пор широко используются в различных областях техники. К основным достоинствам таких систем относятся простота конструкции, надежность и низкая стоимость. Благодаря появлению разнообразных возможностей создания ключевых элементов на новых принципах, не требующих контактных устройств, релейные системы и сегодня не утратили своей значимости. Они находят применение как в системах управления промышленного назначения, так и в системах управления подвижными объектами.

Весьма важным классом систем автоматического управления являются следящие системы. В силу высоких динамических характеристик релейные системы часто используются в качестве следящих. Так, например, релейные газовые, пневматические и воздушно-динамические приводы применяются в качестве исполнительных устройств летательных аппаратов, а релейные электроприводы — в качестве приводов прицельных устройств противотанковых и зенитных комплексов. Далее, следует отметить, что именно релейные приводы имеют высокую точность слежения на так называемых «ползучих скоростях».

Релейные следящие системы могут работать как в автоколебательном режиме, так и в режиме вынужденных колебаний. Возникающие в таких системах периодические движения существенно затрудняют исследование режима слежения, особенно на этапе синтеза. Вообще говоря, исследование режима слежения в релейной системе можно выполнить с помощью компьютерного моделирования. Однако моделирование требует значительных затрат времени и его нельзя применять на этапе синтеза, когда приходится анализировать большое число вариантов. Поэтому весьма важно располагать простыми приближенными методами, которые позволят оперативно оценить точность режима слежения. К таким методам относится линеаризация релейной системы по полезному сигналу.

Релейным системам посвящено множество публикаций, в том числе работы Я.З. Цыпкина, Г.С. Поспелова, A.A. Андронова, A.A. Витта, С.Э. Хайкина, B.B. Петрова, А.И. Лурье, Ю.И. Неймарка, Е.П. Попова, JI.C. Гольд-фарба, A.A. Красовского, П.В. Бромберга, В.А. Якубовича, Г. Гамеля, Л. Мак-Кола, И. Флюгге-Лоц, Ж. Жиля, К. Астрома и многих других. Проанализируем известные из литературы наиболее значимые методы анализа и синтеза релейных систем управления.

Начальный этап развития теории релейных автоматических систем относится ко времени становления теории автоматического управления. Одно из первых теоретических исследований регуляторов релейного типа принадлежит И.А. Вышнеградскому [16]. Вообще говоря, первые труды, посвященные анализу и синтезу релейных систем, были узконаправленными, так как отличались сильной привязанностью к конкретным объектам управления.

Существенный вклад в развитие теории релейных систем внесли исследования группы ученых под руководством академика А. А. Андронова [3] - [5]. Разработанный ими метод точечных преобразований дал возможность качественно и количественно произвести разбиение фазового пространства на области, содержащие траектории различного типа, и для некоторых релейных систем получить полную картину влияния регулятора на процесс управления.

Важную роль для теории релейных систем сыграла идея, предложенная А. А. Андроновым и С. Э. Хайкиным [5]. Используя независимость формы выходной величины релейного элемента от характера движений в системе, нелинейную функцию выходного сигнала с релейного элемента можно заменить некоторой функцией времени, представляющей собой «внешнюю» периодическую силу, действующую на систему. Частота этой периодической силы определяется свойствами системы. Благодаря этому нелинейная задача сводится к исследованию действия некоторой периодической силы на линейную систему, т. е. к линейной задаче. s

Существенно развить метод точечных преобразований удалось Ю.И.

5 Неймарку. Исследование периодических движений и их устойчивости в релейных системах он свел к изучению точечного преобразования многомерного гильбертова пространства само в себя [49] — [51].

Из других точных методов, которые могут использоваться на разных этапах исследования релейных систем, отметим метод припасовывания [54], [55] и метод фазовой плоскости [2], [84]. Для определения периодических режимов в релейной системе можно использовать также метод интегральных уравнений [58].

Большое значение для развития теории релейных систем имели работы А.И. Лурье [37] - [40]. В этих работах на основе введенной А.И. Лурье канонической формы уравнений движения разработаны методы определения автоколебаний и исследования их устойчивости.

Для изучения автоколебаний в релейных системах П.В. Бромберг использовал аппарат матричного исчисления [10]. Этот же аппарат применён им для исследования влияния внешнего постоянного воздействия на период автоколебаний и их среднее значение [11].

Среди приближенных методов исследования релейных систем особо следует выделить графоаналитический метод Л.С. Гольдфарба [20], [21] и метод гармонической линеаризации Н.М. Крылова и H.H. Боголюбова [32], [33].

Метод гармонической линеаризации ориентирован на решение задач анализа. Однако в силу своей простоты и наглядности он находит широкое применение и для синтеза релейных систем. Важно иметь в виду, что возможности метода гармонической линеаризации весьма ограничены. Дело в том, что теоретически обоснованное применение метода допускается лишь при выполнении «гипотезы фильтра» [54]. На практике это условие часто не выполняется. Кроме того, погрешности гармонической линеаризации, как правило, достаточно велики. Далее, применение метода гармонической линеаризации в случае нелинейного объекта управления практически невозможно.

Описанные методы, как правило, ориентированы не только на релейные системы, но и могут применяться в системах, содержащих нелинейности других типов. Это, с одной стороны, является достоинством, так как свидетельствует об их универсальности. С другой стороны, эти методы не в полной мере используют особенности релейных систем автоматического управления, основной из которых является кусочное постоянство выходного сигнала релейного элемента. Желание получить для релейных систем точный метод исследования, лишенный недостатков, характерных для остальных методов, привело к созданию ряда специфических теорий, широко использующих отмеченное свойство выходного сигнала релейного элемента.

Среди таких методов, прежде всего, следует выделить метод Я.З. Цып-кина, который играет исключительно важную роль в современной теории релейных систем автоматического управления. В своей монографии [88] Цыпкин предложил специальные характеристики объекта управления - годографы релейной системы. Использование этих годографов позволило развить простой точный метод исследования периодических движений в релейных системах. Весьма важным является полученный в [85] результат, задающий необходимые условия устойчивости периодических движений.

Из других методов, использующих кусочное постоянство управляющего сигнала, отметим метод Г. Гамеля [26], [98]. В соответствии с этим методом для релейных систем вводятся Я-характеристики, по смыслу аналогичные годографам Цыпкина. На их основе получены условия существования автоколебаний, выраженные в алгебраической форме.

Вообще говоря, практически все известные точные методы исследования релейных систем хорошо приспособлены только для решения задач анализа. Их непосредственное использование для синтеза релейных систем наталкивается на серьезные вычислительные проблемы, приводит к затруднениям принципиального характера. Кроме того, указанные методы разработаны, в основном, для релейных систем с линейными объектами управления и позволяют исследовать только периодические движения.

На кафедре систем автоматического управления Тульского государственного университета под научным руководством д.т.н., проф. Н.В. Фалдина продолжительное время активно ведутся исследования по созданию прикладной теории релейных систем автоматического управления, лишенной отмеченных выше недостатков. Существенный вклад в данную теорию, помимо Н.В.

Фалдина, внесли его ученики С.А. Руднев, C.B. Феофилов, Н.В. Панферов, Ю.И. Лебеденко, П.Ю. Федоровский и др. В основу развиваемой теории положен фазовый годограф релейной системы, который в идейном плане близок к годографу Цыпкина.

В рамках научной школы Н.В. Фалдина к настоящему времени, если не иметь в виду работы автора диссертации, созданы методы исследования периодических движений (определение периодических движений, оценка их устойчивости, формирование закона управления, обеспечивающего заданные параметры колебаний) для релейных систем с линейными и нелинейными объектами управления [59], [67] - [69], [75] - [83]. Получены оригинальные результаты по линеаризации релейных систем [60], [67]. Предложенный метод линеаризации характеризуется высокой точностью и не имеет ограничений типа «гипотезы фильтра». Однако он разработан (исключение составляют лишь некоторые частные случаи) для релейных систем с линейными объектами управления. Между тем реальные технические объекты, как правило, являются нелинейными.

Настоящая диссертация посвящена разработке методов анализа и синтеза высокоточных релейных следящих систем с нелинейными объектами управления. Рассматриваются системы с двух и трехпозиционными релейными элементами, работающие как в режиме автоколебаний, так и в режиме вынужденных колебаний. Особое внимание уделяется важнейшему классу нелинейных объектов - кусочно-линейным системам. К ним относятся объекты управления, содержащие различного рода ограничители, а также нелинейности типа люфтов, зон нечувствительности и т.д.

Главной решаемой задачей является создание методов линеаризации по полезному сигналу релейных следящих систем с нелинейными объектами управления. Определенное внимание уделяется также получению эффективного метода построения фазового годографа. Построение фазового годографа является весьма трудоемкой задачей и существующие методы не всегда с ней успешно справляются.

Решение указанных задач позволит, в конечном счете, разработать эффективный метод синтеза высокоточных релейных следящих систем управления. Этот метод в работе применяется для синтеза релейного воздушно-динамического рулевого привода (ВДРП), функционирующего в режиме вынужденных колебаний. Такие приводы широко используются в управляемых вращающихся ракетах малой дальности.

Воздушно-динамические рулевые приводы не требуют специального источника питания, а используют энергию набегающего воздушного потока. Они отличаются простотой конструкции, малой стоимостью, удобны в эксплуатации и хранении. Применение воздушно-динамических рулевых приводов позволяет заметно снизить стоимость ракеты.

Таким образом, сказанное выше позволяет заключить об актуальности темы диссертации.

В качестве объекта исследования настоящей диссертации выступают релейные следящие системы с нелинейными объектами управления. Целью работы является создание формализованных методов проектирования высокоточных релейных следящих систем с нелинейными объектами управления. Эти методы должны охватывать как автоколебательные релейные системы, так и системы, работающие в режиме вынужденных колебаний (в том числе и системы с ШИМ). Наряду с исследованием периодических движений, указанные методы должны позволять оперативно оценивать точность режима слежения. На практике это обычно обеспечивается путем линеаризации по полезному сигналу.

Для достижения поставленной цели потребовалось решить следующие задачи:

1. Разработать для весьма важного (для приложений) класса кусочно-линейных объектов управления эффективный метод построения фазового годографа.

2. Разработать метод, позволяющий оценивать устойчивость периодических движений в релейных системах с кусочно-линейными объектами управления.

3. Создать методы линеаризации по полезному сигналу, справедливые для релейных систем с любыми нелинейными объектами управления.

4. Разработать метод синтеза высокоточных релейных следящих систем.

5. Выполнить синтез и оптимизацию релейного ВДРП, работающего в режиме вынужденных колебаний.

Ниже перечислены полученные в диссертации результаты, которые имеют научную новизну:

1. Для релейных следящих систем с кусочно-линейными объектами управления получено дифференциальное уравнение, решением которого является фазовый годограф системы. Данное уравнение существенно упрощает построение фазового годографа. Его можно успешно использовать и в том случае, когда соответствующие периодические движения объекта управления являются неустойчивыми. В этой ситуации известные из литературы методы построения фазового годографа (например, итерационный алгоритм с принудительным симметрированием) часто приводят к сбоям. Для объектов с ограничителями в форме механических упоров указанное уравнение позволяет весьма просто выделять ветви неоднозначности фазового годографа.

2. Для релейных следящих систем с кусочно-линейными объектами управления получены аналитические зависимости, в явном виде задающие матрицу, по собственным числам которой оценивается асимптотическая устойчивость периодических движений. Такие матрицы получены для оценки устойчивости как автоколебаний, так и вынужденных колебаний.

3. Разработан метод линеаризации по полезному сигналу релейных следящих систем, содержащих звенья с ограничителями. Он основан на использовании некоторых производных фазового годографа и выполняет классическую линеаризацию, когда каждая статическая нелинейность системы, в том числе релейный элемент, заменяется коэффициентом передачи по постоянной составляющей движения.

4. Предложен метод дискретной линеаризации релейных следящих систем по полезному сигналу. Он является универсальным, т.е его можно использовать при любой нелинейности объекта управления. Метод характеризуется высокой точностью и не имеет аналогов в научной литературе.

5. Впервые установлено, что устойчивость периодических движений (автоколебаний, вынужденных колебаний) влечет за собой устойчивость режима слежения релейной системы. Правда, данный критерий следует рассматривать как приближенный, поскольку он основан на дискретной линеаризации релейной системы.

6. Опираясь на полученные результаты, разработан метод синтеза релейных следящих систем, функционирующих в автоколебательном режиме и в режиме вынужденных колебаний. Задача синтеза сводится к решению сравнительно несложной задачи конечномерной оптимизации. Это позволяет обеспечить предельно достижимую (в рамках выбранной структуры системы) точность режима слежения.

7. Выполнен синтез релейного ВДРП, функционирующего в режиме вынужденных колебаний. Для привода, параметры которого изменяются в широком диапазоне, удалось с помощью простых средств минимизировать максимальный по модулю фазовый сдвиг и обеспечить стабильность фазовых частотных характеристик, что очень важно для вращающихся ракет.

Практическая значимость разработанных методов анализа и синтеза заключается в том, что они являются эффективным инструментом для создания высокоточных релейных следящих систем в различных областях техники. Очень важно, что эти методы охватывают релейные системы с любыми нелинейными объектами управления и, следовательно, пригодны для широкого класса технических систем. Далее, предложенные методы можно успешно использовать при проектировании нелинейных следящих систем, работающих в режиме ШИМ.

Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы и приложений. В первой главе рассматривается исследование автоколебаний в релейных системах с нелинейными объектами управления. Разрабатываются методы исследования периодических движений в релей

Выводы по разделу

Пятая глава диссертации посвящена проблемам синтеза и оптимизации воздушно-динамического рулевого привода, работающего в режиме вынужденных колебаний, с целью получения наилучших динамических характеристик. Задача усложнена тем, что параметры привода являются нестационарными.

С помощью разработанного метода синтеза релейных следящих систем с нелинейными объектами управления синтез ВДРП был сведен к решению сравнительно несложной задачи конечномерной оптимизации. Это, в конечном счете, позволило добиться высокого качества синтезированной системы. Кроме того, в главе рассматриваются вопросы компьютерного моделирования динамики ВДРП и численного построения его частотных характеристик. Получены следующие результаты:

1. Разработан метод синтеза релейных следящих систем с нелинейными объектами управления. В соответствии с этим методом синтез релейной следящей системы сводится к решению сравнительно несложной задачи конечномерной оптимизации по точности режима слежения. Это позволяет обеспечить предельно достижимую (в рамках выбранной структуры системы) точность режима слежения.

2. Проанализирована математическая модель воздушно-динамического рулевого привода и выявлены ее особенности.

3. Построен ансамбль фазовых годографов ВДРП.

4. Предложена структура последовательного корректирующего устройства. Выбрана форма и частота вынуждающего сигнала.

5. Разработан алгоритм оптимизации параметров корректирующего устройства и амплитуды вынуждающего сигнала. При этом с помощью дискретной линеаризации системы минимизированы затраты машинного времени на вычисление критерия оптимизации. Решена проблема контроля выполнения условий существования и устойчивости вынужденных колебаний.

6. Оптимизация замкнутого ВДРП была выполнена с помощью генетического алгоритма, реализованного программно в системе МайаЬ.

7. Проведен анализ синтезированного привода с помощью компьютерного моделирования. Максимальный фазовый сдвиг привода составил -20,2°. Максимальный разброс фазовых частотных характеристик синтезированного привода не превышает 7°.

8. Выполнено компьютерное моделирование синтезированного привода с цифровой реализацией релейного закона управления.

Заключение

Релейные следящие системы являются весьма важным классом систем автоматического управления. В диссертации были разработаны методы анализа и синтеза релейных следящих систем с нелинейными объектами управления. Рассматривались системы с двух и трехпозиционными релейными элементами, работающие как в режиме автоколебаний, так и в режиме вынужденных колебаний. В основе разработанных методов лежит фазовый годограф релейной системы. На сегодняшний день фазовый годограф представляет собой наиболее эффективный инструмент исследования периодических движений в релейных системах.

В диссертационной работе затронуты вопросы, связанные с определением периодических движений и оценкой их устойчивости. Особое внимание уделено исследованию режима слежения в релейных системах за входными сигналами. Рассмотрен синтез релейного ВДРП.

Сформулируем основные результаты, полученные в работе:

1. Для релейных систем с кусочно-линейными объектами управления получено дифференциальное уравнение, решением которого является фазовый годограф системы.

2. Предложен численный алгоритм построения фазового годографа с помощью указанного дифференциального уравнения.

3. Для релейных следящих систем с кусочно-линейными объектами управления получены аналитические зависимости, в явном виде задающие матрицу, по собственным числам которой оценивается асимптотическая орбитальная устойчивость автоколебаний.

4. Разработан метод линеаризации по полезному сигналу релейных автоколебательных следящих систем с двухпозиционным релейным элементом и объектом управления, содержащим звенья с ограничителями как в форме механических упоров, так и в форме насыщения. Метод основан на использовании производных фазового годографа и выполняет классическую линеаризацию, когда каждая статическая нелинейность системы заменяется коэффициентом передачи по постоянной составляющей движения. Что же касается звеньев с ограничителями, то предлагается специальное структурное преобразование, которое позволяет искусственно выделить в них статическую нелинейность. Метод не имеет ограничений типа «гипотезы фильтра».

5. Применение предложенного метода линеаризации требует определения некоторых производных фазового годографа релейной системы. Получены аналитические зависимости, задающие эти производные в явном виде.

6. Разработан метод дискретной линеаризации, в соответствии с которым исследование режима слежения релейной автоколебательной системы сводится к исследованию режима слежения некоторой линейной дискретной системы. Этот метод является универсальным, поскольку он может применяться при любой нелинейности объекта управления. В процессе линеаризации дискретным методом релейная следящая система заменяется неоднородным линейным разностным уравнением с постоянными коэффициентами и периодом дискретизации по времени, равным полупериоду автоколебаний. Метод не требует вычисления производных фазового годографа.

7. Получены аналитические зависимости, задающие линеаризующее разностное уравнение для релейных автоколебательных систем с кусочно-линейными объектами управления (в том числе и для релейных систем, содержащих звенья с ограничителями).

8. Предложена методика использования линеаризующего разностного уравнения для классической линеаризации релейной следящей системы, когда нелинейности заменяются коэффициентами передачи по постоянной составляющей движения. При этом релейная система заменяется линейной системой с постоянными коэффициентами и непрерывным временем. Такая линеаризация выполнима лишь в том случае, если объект управления содержит только статические нелинейности или статические нелинейности можно выделить искусственно, как это делается, например, для звеньев с ограничителями.

9. Рассмотренные в диссертации модельные примеры подтверждают высокую эффективность и точность разработанных методов линеаризации.

10. Сформулированы условия возникновения вынужденных периодических движений на основной частоте и частоте субгармоник в релейных следящих системах с двухпозиционными и трехпозиционными релейными элементами.

11. Для релейных следящих систем с кусочно-линейными объектами управления получены аналитические зависимости, в явном виде задающие матрицу, по собственным числам которой оценивается асимптотическая устойчивость по Ляпунову вынужденных колебаний.

12. Выполнено распространение универсального метода дискретной линеаризации на релейные следящие системы, работающие в режиме вынужденных колебаний.

13. Показано, что с теоретической точки зрения системы с симметричной широтно-импульсной модуляцией целесообразно рассматривать как релейные, работающие в режиме вынужденных колебаний.

14. Установлено, что устойчивость периодических движений (автоколебаний, вынужденных колебаний) влечет за собой устойчивость режима слежения релейной системы.

15. Разработан метод синтеза релейных следящих систем с нелинейными объектами управления. В соответствии с этим методом синтез релейной следящей системы сводится к решению сравнительно несложной задачи конечномерной оптимизации по точности режима слежения. Это позволяет обеспечить предельно достижимую (в рамках выбранной структуры системы) точность режима слежения.

16. С помощью разработанных методов выполнен синтез релейного воздушно-динамического рулевого привода, функционирующего в режиме вынужденных колебаний. Для привода, параметры которого изменяются в широком диапазоне, удалось с помощью простых средств минимизировать максимальный по модулю фазовый сдвиг и обеспечить стабильность фазовых частотных характеристик, что очень важно для вращающихся ракет.

Таким образом, задачи, поставленные в диссертации, полностью решены.

1. Алгоритм численного построения фазового годографа релейной системы / Н.В. Фалдин, С.А. Руднев, H.H. Макаров и др. // Газовые приводы и системы управления. Тула: ТулПИ, 1983. - С. 138 - 143.

2. Алексаков Г.Н. Практика проектирования нелинейных систем управления методом фазовой плоскости. -М.: Энергия, 1973. 143 с.

3. Андронов A.A., Баутин H.H., Горелик Г.С. Автоколебания простейшей схемы, содержащей автоматический винт изменяемого шага // Доклады АН СССР. 1945. Т. 47. № 4. С. 265 - 268.

4. Андронов A.A., Баутин H.H., Горелик Г.С. Теория непрямого регулирования при учете кулоновского трения в чувствительном элементе // Автоматика и телемеханика. 1946. Т. 6. № 1. — С. 15 — 41.

5. Андронов A.A., Витт A.A., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Физмат-гиз, 1959.-914 с.

6. Атертон Д.П. Условие возникновения периодических движений в системах управления, имеющих несколько релейных элементов // Труды III Международного конгресса МФАУ «Дискретные, самонастраивающиеся и обучающиеся системы». — М.: Наука, 1971. — С. 137 146.

7. Бабичев В.И. Некоторые вопросы проектирования автоколебательного пневматического сервомеханизма // Пневматические приводы и системы управления. -М.: Наука, 1971. С. 152— 155.

8. Бернштейн С.И. К теории вибрационных регуляторов электрических машин // Автоматика и телемеханика. 1951. Т. 12. № 5. — С. 420 430.

9. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. М.: Наука, 1975. - 768 с.

10. Бромберг П.В. Матричные методы в теории релейного и импульсного регулирования. М.: Наука, 1967. — 323 с.

11. Бромберг П.В. Матричный метод определения периодических, режимов в релейных системах регулирования // Теория автоматического регулирования / Под ред. В.В. Солодовникова. Кн. 3. Ч. 2. — М.: Машиностроение,1969.-С. 66-100.

12. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. М.: Наука, 1980. — 976 с.

13. Бутенин Н.В. Элементы теории нелинейных колебаний. Л., 1962. - 195 с.

14. Бутенин Н.В., Неймарк Ю.И., Фуфаев H.A. Введение в теорию нелинейных колебаний. Учебное пособие для втузов: 2-е изд., испр. М.: Наука, 1987. -384 с.

15. Воронов A.A. Устойчивость, управляемость, наблюдаемость. М.: Наука, 1979.-336 с.

16. Вышнеградский И.А. О регуляторах непрямого действия // Известия СПБ. Практического технологического института. 1878. С. 1 - 48.

17. Газовые силовые системы управления / Под. ред. Б.М. Подчуфарова, А.Г. Шипунова. М.: ЦНИИ инф., 1970. - 312 с.

18. Гамынин Н.С. Гидравлический привод систем управления. М.: Машиностроение, 1972. — 376 с.

19. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1988. - 552 с.

20. Гольдфарб Л.С. Метод исследования нелинейных систем регулирования, основанный на принципе гармонического баланса // Основы автоматического регулирования. Теория. М.: Машгиз, 1954. — С. 887 — 923.

21. Гольдфарб Л.С. О некоторых нелинейностях в системах автоматического регулирования // Автоматика и телемеханика. 1947. Т. 8. № 5. С. 349 -383.

22. Гурский Д.А. Вычисления в MathCAD. — Минск: Новое знание, 2003. — 814 с.

23. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. — М.: Наука, 1967. 472 с.

24. Динамика следящих приводов: Учебное пособие для втузов / Под ред. Л.В. Рабиновича. — М.: Машиностроение, 1982. — 496 с.

25. Дьяконов В.П. MATLAB 6/6.1/6.5 + Simulink 4/5. Основы применения. — М.: СОЛОН-Пресс, 2002. 768 с.

26. Жиль Ж., Пелегрен М., Декольн П. Теория и техника следящих систем.1. М.: Машгиз, 1961.-804 с.

27. Жюмари Ж. Об обобщении теории Я.З. Цыпкина релейных систем автоматического регулирования // Автоматика и телемеханика. 1969. № 12. С. 48-57.

28. Иванов В.А., Ющенко A.C. Теория дискретных систем автоматического управления / Под ред. Е. П. Попова. М.: Наука, 1983. - 336 с.

29. Калиткин H.H. Численные методы: Учебное пособие для вузов / Под ред. A.A. Самарского. М.: Наука, 1978. - 512 с.

30. Красносельский М.А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1966. — 332 с.

31. Красовский A.A. О вибрационном способе линеаризации некоторых нелинейных систем // Автоматика и телемеханика. 1948. Т. 9. № 1. С. 20 - 29.

32. Крылов Н.М., Боголюбов H.H. Введение в нелинейную механику. Киев: Изд-во АН УССР, 1937. - 363 с.

33. Крылов Н.М., Боголюбов H.H. Новые методы нелинейной механики. М.: Гостехиздат, 1934. — 243 с.

34. Кузнецов А.П., Батура М.П., Шилин Л.Ю. Анализ и параметрический синтез импульсных систем с фазовым управлением. — Минск: Изд-во «Навука i тэхшка», 1993. 224 с.

35. Кузьмин Л.П. Графоаналитический способ определения характеристик релейной системы // Автоматика и телемеханика. 1958. Т. 19. № 4. — С. 285 -295.

36. Кулебакин B.C. К теории автоматических вибрационных регуляторов для электрических машин // Теоретическая и экспериментальная электротехника. 1932. №4.-С. 3-21.

37. Лурье А.И. Некоторые нелинейные задачи теории автоматического регулирования. — М.: Гостехиздат, 1951. — 216 с.

38. Лурье А.И. Об автоколебаниях в некоторых регулируемых системах // Автоматика и телемеханика. 1947. Т. 8. № 5. С. 335 - 348.

39. Лурье А.И. Об устойчивости автоколебаний регулируемых систем // Автоматика и телемеханика. 1948. Т. 9. № 1. — С. 361 — 362.

40. Лурье А.И. Операционное исчисление и его приложения к задачам механики. М.: ГИТТЛ, 1951. - 432 с.

41. Макаров H.H. Численные методы в задачах анализа, синтеза и проектирования систем автоматического управления. — Тула: ТулПИ, 1983. — 76 с.

42. Мак-Кол Л. Основы теории сервомеханизмов. — М.: Изд-во иностр. литер., 1947.-168 с.

43. Математические основы теории автоматического регулирования: Учебное пособие для втузов / Под ред. Б.К. Чемоданова. Т. 1,2. — М.: Высшая школа, 1977. Т. 1 366 с. Т. 2 - 455 с.

44. Методы классической и современной теории автоматического управления: Учебник в 3-х т. Т. 1 : Анализ и статистическая динамика систем автоматического управления / Под ред. Н.Д. Егупова. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000. - 748 с.

45. Моржов A.B., Фалдин Н.В. Линеаризация по полезному сигналу релейных систем управления, содержащих звенья с ограничителями // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2007. №3. С. 5 - 15.

46. Моржов A.B., Фалдин Н.В. Линеаризация по полезному сигналу релейных систем управления с трехпозиционным релейным элементом и нелинейным объектом управления // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2008. №4. -С. 5-14.

47. Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1972. - 471 с.

48. Неймарк Ю.И. О периодических движениях релейных систем // Сборник «Памяти Александра Александровича Андронова». М.: Изд-во АН СССР, 1955.-С. 242-273.

49. Неймарк Ю.И. О периодических режимах и устойчивости релейных систем // Автоматика и телемеханика. 1953. Т. 14. № 5. — С. 556 569.

50. Петров Б.И., Полковников В.А., и др. Динамика следящих приводов. М.: Машиностроение, 1982. - 496 с.

51. Попов Е.П. Прикладная теория процессов управления в нелинейных системах. -М.: Наука, 1973.-584 с.

52. Попов Е.П. Теория нелинейных систем автоматического регулирования и управления. М.: Наука, 1979. - 255 с.

53. Попов Е.П., Пальтов И.П. Приближённые методы исследования нелинейных автоматических систем. — М.: Физматгиз, 1960. — 792 с.

54. Поспелов Г.С. Динамические характеристики релейных следящих систем // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1965. № 3. С. 43 - 52.

55. Поспелов Г.С. Релейные системы автоматического регулирования // Теория автоматического регулирования / Под ред. В.В. Солодовникова. Кн. 3. Ч. 2. М.: Машиностроение, 1969. - С. 9 - 65.

56. Розенвассер Е.Н. Колебания нелинейных систем. М.: Наука, 1969. - 576 с.

57. Руднев С.А., Фалдин Н.В. О расширении области применения условий устойчивости релейных систем // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1980. №5.-С. 193- 196.

58. Руднев С.А., Фалдин Н.В. Линеаризация релейной следящей системы по полезному сигналу // Изв. РАН. Теория и системы управления. 1998. № 2. -С. 36-43.

59. Следящие приводы: В 3-х т. 2-е изд., доп. и перераб. / Под ред. Б.К. Чемо-данова. Т. 1: Теория и проектирование следящих приводов / Е.С. Блейз,

60. A.B. Зимин, E.C. Иванов и др. М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 1999.- 904 с.

61. Солодовников В.В., Плотников В.Н., Яковлев A.B. Основы теории и элементы систем автоматического регулирования: Учебное пособие для вузов.- М.: Машиностроение, 1985. 536 с.

62. Сакава И. Субгармонические колебания в релейных системах регулирования // Труды I Международного конгресса МФАУ. Теория дискретных оптимальных и самонастраивающихся систем. — М.: Изд-во АН СССР, 1961. -С. 322-355.

63. Справочник по теории автоматического управления / Под ред. A.A. Кра-совского. М.: Наука, 1987. - 712 с.

64. Сю Д., Мейер А. Современная теория автоматического управления и ее применение. — М.: Машиностроение, 1972. — 551 с.

65. Теверовский В. И. О периодическом режиме релейной системы с изменяющимся запаздыванием // Автоматика и телемеханика. 1966. № 7. С. 87-94.

66. Фалдин Н.В. Релейные системы автоматического управления // Математические модели, динамические характеристики и анализ систем автоматического управления (под. ред. К.А. Пупкова, Н.Д. Егупова). М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. С. 573 - 636.

67. Фалдин Н.В. Точный метод исследования релейных систем // Машиностроение (энциклопедия). Т. 1-4: Автоматическое управление. Теория / Под ред. Е. А. Федосова. М.: Машиностроение, 2000. — С. 231 — 253.

68. Фалдин Н.В., Лебеденко Ю.И. Частотный критерий устойчивости периодических движений в релейных системах // Изв. вузов. Электромеханика. 1997. № 1-2.-С. 36-41.

69. Фалдин Н.В., Моржов A.B. Автоколебания в релейных системах с кусочно-линейными объектами управления // Мехатроника, автоматизация, управление. 2007. № 2. С. 2 - 9.

70. Фалдин Н.В., Моржов A.B. Анализ вынужденных периодических движенийв релейных системах автоматического управления // Мехатроника, автоматизация, управление. 2009. № 1. С. 2 - 7.

71. Фалдин Н.В., Моржов A.B. Дискретная линеаризация по полезному сигналу релейных автоколебательных систем управления // Мехатроника, автоматизация, управление. 2006. № 11. — С. 13-19.

72. Фалдин Н.В., Моржов A.B. Методы анализа автоколебательных систем с двумя управляющими элементами // Мехатроника, автоматизация, управление. 2008. №7. С. 2 - 8.

73. Фалдин Н.В., Панфёров Н.В. К вопросу о частотном анализе релейных систем // Изв. вузов. Приборостроение. 2000. Т. 43. № 9. С. 21 - 25.

74. Фалдин Н.В., Пученков Н.В., Руднев С.А., Шустов A.B. Синтез автоколебательного пневмопривода // Системы автоматического управления и их элементы. Тула: ТулГТУ, 1994. - С. 106 - 116.

75. Фалдин Н.В., Руднев С.А. Исследование устойчивости автоколебаний в релейных системах с нелинейным объектом управления // Динамика и точность функционирования тепломеханических систем. — Тула: ТулПИ, 1977. -С. 46-55.

76. Фалдин Н.В., Руднев С.А. Оптимизация в конечномерном пространстве. -Тула: ТулПИ, 1986. 72 с.

77. Фалдин Н.В., Руднев С.А. Синтез релейных систем методом фазового годографа // Изв. вузов. Приборостроение. 1982. № 7. С. 32 - 36.

78. Фалдин Н.В., Феофилов C.B. Исследование периодических движений в релейных системах, содержащих звенья с ограничителями // Изв. РАН. ТиСУ. 2007. №2.-С. 15-27.

79. Феофилов С.В. Периодические движения в релейных системах с цифровым управлением // Мехатроника, автоматизация, управление. 2006. №11. С. 19-23.

80. Феофилов С.В. Периодические движения в релейных системах с трехпози-ционным управлением и ограничителями в объекте регулирования // Мехатроника, автоматизация, управление. 2008. №5. — С. 11 — 17.

81. Флюгге-Лоц И. Метод фазовой плоскости в теории релейных систем. — М.: Физматгиз, 1959. 174 с.

82. Цыпкин Я.З. Релейные автоматические системы. М.: Наука, 1974. - 576 с.

83. Цыпкин Я.З. Теория линейных импульсных систем. — М.: Физматгиз, 1963.- 968 с.

84. Цыпкин ЯЗ., Попков Ю.С. Теория нелинейных импульсных систем. М.: Наука, 1973.-416 с.

85. Цыпкин Я.З. Теория релейных систем автоматического регулирования. -М.: Гостехиздат, 1955. 456 с.

86. Шорников Е.Е. К анализу динамической модели электропневматического сервомеханизма // Пневматические приводы и системы управления. М.: Наука, 1971.-С. 146-151.

87. Шорников Е.Е. Проектирование автоматических систем: Учебное пособие.- Тула: ТулПИ, 1984. 100 с.

88. Astrom К.J. Oscillations in systems with relay feedback // The IMA Volumes in Mathematics and its Applications: Adaptive Control, Filtering, and Signal Processing, vol. 74, 1995. P. 1 - 25.

89. Faldin N.V., Fedorovski P.I., Boiko I.M. Input-output Analysis of Decentralized Relay Systems // Proc. of the American Control Conference, Boston, Massachusetts, 2004. P. 1749 - 1754.

90. Faldin N.V., Morzhov A.V., Boiko I.M. Analysis of periodic motions in relay feedback systems with saturation in plant dynamics // International Journal of

91. Systems Science, Vol. 40, No. 6, June 2009. P. 659 - 668.

92. Faidin N.V., Morzhov A.V., Boiko I.M. Stability of Periodic Motions in Relay Feedback Systems with Saturation in Plant Dynamics // Proc. of the 2007 American Control Conference, New York City, USA, 2007. P. 4721 - 4726.

93. Faidin N.V., Panferov N.V., Boiko l.M. Input-output analysis of dead zone relay control systems // Proc. of 2001 American Control Conference, Arlington, VA, USA.-P. 1507-1512.

94. Flugge-Lotz I. Uber Bewegungen eines Schwingers unter dem Einfluss von Schwarz-Weiss-Regulungen // Zeitschrift fur angewandte Mathematik und Mechanik. 1947. Bd. 25/27. № 4. S. 97 - 113.

95. Gonçalves J.M., Megretski A., Dahleh M.A. Global Stability of Relay Feedback Systems // IEEE Transactions on Automatic Control, vol. 46, April 2001. P. 550-562.

96. Hamel B.A mathematical study of on-off controlled higher-order systems // Proc. of the Symposium on nonlinear circuit analysis. New York, Polytechnic Institute of Brooklyn, 1956. V. VI. P. 225 - 232.

97. Johansson K.H., Rantzer A., and Aström K.J. Fast switches in relay feedback systems // Automatica, vol. 35, April 1999. P. 539 - 552.

98. Paquet J.G., leMaitre J.F., Gille J.C. La methode de Hamel Cypkin et son application aux fonctions de transfert particuliers // Automatisme. 1966. V. 11. №i.-P. 3-5.