автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Методы анализа и синтеза релейных систем управления, работающих в режиме вынужденных колебаний

На правах рукописи

ПЕСТРЯКОВА Ирина Сергеевна

1.

МЕТОДЫ АНАЛИЗА И СИНТЕЗА РЕЛЕЙНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ, РАБОТАЮЩИХ В РЕЖИМЕ ВЫНУЖДЕННЫХ

КОЛЕБАНИЙ

Специальность' 05 13 01-"Системный анализ, управление и обработка информации (промышленность, промышленная безопасность и экология)"

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

►

Тула-2005

Работа выпо таена на кафедре "Системы автоматического управления" в ГОУ ВПО "Тульский государственный университет"

Научный руководитель

доктор технических наук,

профессор Фалдин Николай Васильевич

Официальные оппоненты

доктор технических наук,

профессор Надеждин Евгений Николаевич

кандидат технических наук, доцент Лебеденко Юрий Игоревич

Ведущая организация

ГУП "КБ приборостроения"

Защита диссертации состоится " [ 3)"

5 2005 г

о<э

в 14" часов

на заседании диссертациошгого совета Д 212^71 05 при ГОУ ВПО "Тульский государственный университет" по адресу 300600, г Тула, пр Ленина, 92

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО "Тульский государственный университет"

Автореферат разослан" ОишУ^Ь 2005 г.

Ученый секретарь . __,

диссертационного совета В М Панарин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Релейные системы автоматического управления находят широкое применение в самых разных отраслях техники Это связано с простотой, технологичностью и хорошими динамическими характеристиками релейных систем В связи с этим повышается потребность в эффективных методах анализа и синтеза релейных систем Обычно вышеуказанные системы работают в автоколебательном режиме Имеется значительное число работ, рассматривающих такие режимы Однако релейные системы могут работать в режиме внешней линеаризации, когда сглаживание достигается введением дополнительного высокочасто шого входного сигнала При этом в системе должен иметь место режим захвата (вынужденные колебания)

Задача о действии произвольного внешнего возмущения на нелинейную систему является одной из наиболее сложных задач теории нелинейных колебаний Наиболее существенные результаты получены в случае, когда внешнее воздействие представляет собой гармоническую функцию. В работах Г С Поспелова и П.В Бутенина рассмотрены с этой точки зрения простейшие релейные следящие системы с линейным объектом управления. Приближенное решение задачи о вынужденных колебаниях в релейных системах с линейным объектом управления на основе метода гармонического баланса было проведено М А Айзерманом, Е П Поповым, Пальтовым И П, Кохенбургером, Боголюбовым НИ и Митропольским Ю А К сожалению, большинство из вышеуказанных работ носят узконаправленный характер, так как привязаны к конкретным линейным объектам управления. Далее, теоретически обоснованное применение метода гармонической линеаризации допускается только при выполнении гипотезы фильтра, которая на практике часто не выполняется. Эта гипотеза сильно ограничивает возможности применения метода гармонической линеаризации для исследования релейных систем с объектами управления, содержащими существенные нелинейности, с малоинерционными объектами управления, а также в случае достаточно сложной коррекции релейной системы.

Большой вклад в развитие теории нелинейных колебаний внесли труды Ю И Неймарка и возглавляемой им научной школы

Наиболее полное исследование (точное решение этой задачи) вынужденных колебаний в релейных системах с линейным объектом управления, учитывающее особенности релейного элемента, приведено в известной монографии Я 3 Цыпкина Однако в указанной работе не рассматриваются релейные системы с нелинейными объектами управления и режим слежения релейной системы за входными сигналами, что существенно затрудняет ее применение для синтеза релейных систем управлении

Итак, на основе вышесказанного можно сделать вывод, что теоретические аспекты режимов вынужденных колебаний разработаны явно недостаточно, несмотря на то. что режим захвата в ряде случаев обладает преимуществом по сравнению с автоколебательным режимом Кроме того, в вышеперечисленных работах, как правило, рассматриваются ррттрйт.тр нтгтшы с ."ИН?^*"-^ объек-

РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ { БИБЛИОТЕКА I

¿"•ГЭГ** Ж*!

том управления, в то время как в инженерной практике преобладают релейные системы с нелинейным объектом управления

Настоящая диссертация посвящена развитию методов анализа и синтеза релейных систем управления, работающих в режиме вынужденных колебаний В основе всех разработанных в диссертации методов лежит метод фазового годографа (ФГ) релейных систем, разработанный в рамках научной школы под руководством проф., д г н Фалдина Н В (ТулГУ, кафедра САУ), который ориентирован, прежде всего, на релейные системы с нелинейными объектами и является, по сути, дальнейшим развитием методов Цыпкина и Гамеля Метод зарекомендовал себя как удобный для практического использования высокоэффективный инструмент для анализа, синтеза и оптимизации релейных систем управления Однако метод фазового годографа разработан только для релейных систем, работающих в автоколебательном режиме Диссертационная работа направлена на дальнейшее развитие метода фазового годографа, на распространение данного метода на релейные системы, работающие в режиме вынужденных колебаний.

Таким образом, сказанное выше позволяет заключить об актуальности темы диссертации.

Цель работы - разработать точные методы анализа вынужденных колебаний и на их основе создать алгоритм синтеза релейных систем

Для достижения поставленной цели формулируются следующие задачи исследования'

1 Разработать методы анализа вынужденных периодических движений в релейных системах с двухпозиционными и трехпозиционными релейными элементами- на основе метода фазового годографа и используя условия переключения релейного элемента (способ Цыпкина) получить условия возникновения вынужденных периодических движений на основной частоте и на частоте субгармоник,

- разработать критерий оценки устойчивости вынужденных периодических движений

2 Получить метод исследования режима слежения за входными сигналами.

3 Разработать алгоритм синтеза релейных систем с двухпозиционными и трехпозиционными релейными элементами с линейными и нелинейными объектами управления

4 Выполнить синтез релейного интегрирующего электропривода прицельного устройства, работающего в режиме вынужденных колебаний

Научная новизна работы. В диссертации разработаны:

1. Условия возникновения вынужденных периодических движений на основной частоте и частоте субгармоник в релейных системах с двухпозиционными и трехпозиционными релейными элементами с линейными и нелинейными объектами управления

2 Алгебраический критерий устойчивости вынужденных периодических движений в релейных системах с линейными и нелинейными объектами управления

3. Частотный критерий устойчивости вынужденных периодических движений в релейных системах с линейными объектами управления

4 Метод линеаризации по полезному сигналу релейных систем с двухпо-зиционными и трехпозиционными релейными элементами с линейными и нелинейными объектами управления

5 Алгоритм синтеза релейных систем, работающих в режиме вынужденных колебаний.

6 Выполнен частотный анализ выходного сигнала релейной системы с линейным объектом управления при гармоническом входном сигнале

Практическая ценность. Разработанные методы анализа и синтеза релейных систем с двухпозиционными и трехпозиционными релейными элементами, работающих в режиме вынужденных колебаний, являются достаточно простым инструментом для создания высококачественных релейных систем. Они хорошо сочетаются с методами конечномерной оптимизации Методы анализа и синтеза внедрены для практического использования в ГУП "КБ приборостроения" (г Тула)

На защиту выносятся:

1 Условия возникновения вынужденных периодических движений на основной частоте и на частоте субгармоник.

2 Алгебраический критерий асимптотической устойчивости вынужденных периодических движений

3 Частотный критерий устойчивости вынужденных периодических движений в релейных системах с линейными объектами управления

4. Методы линеаризации релейной системы по полезному сигналу.

5 Алгоршм синтеза релейных систем с двухпозиционными и трехпозиционными релейными элементами

6 Синтез интегрирующего электропривода прицельного устройства

Методы исследования. Для решения поставленных задач в работе использовались методы теории автоматического управления, конечномерная оптимизация, метод фазовою годографа, теория обыкновенных дифференциальных уравнений, численное моделирование систем на компьютере

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на Всероссийской научно-технической конференции "Проблемы проектирования и производства систем и комплексов" (Тула, 2001); на Региональной научно-технической конференции" Техника XXI века глазами молодых ученых и специалистов " (Гула, 2003), на Всероссийской научно-технической конференции "Проблемы проектирования и производства систем и комплексов" (Тула, 2003); на Всероссийской научно-технической конференции "Проблемы проектирования и производства систем и комплексов" (Тула, 2004); на Международной молодежной научной конференции "XXX гагаринские чтения" (Москва, 2004)

Публикации. Основное содержание диссертационной работы отражено в 11 публикациях

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка используемой литературы Текст изложен на 149 страницах, включая 45 рисунков, 2 таблицы, библиографический список из 89 наименований на 9 страницах и приложения на 3 страницах

Во введении дается обоснование актуальности темы работы, показана научная новизна и практическая значимость работы Сформулированы цели и задачи исследования Уделено внимание анализу работ, посвященных теме исследования.

Первая глава посвящена анализу вынужденных периодических движений в релейных системах с двухпозиционным релейным элементом

В известной работе Цыпкина для релейных систем с линейным объектом управления для определения параметров вынужденных колебаний используются условия переключения релейного элемента Этот подход применяется и в настоящей работе Пусть движение релейной системы описывается уравнениями

х = Г(х(/)М0), (1)

и(1) = Ф(а,к), (2)

= Я/О(0 - Ш, Х{1) = Ягх(0, где х - п-мерный вектор состояния системы, и - скалярное управляющее воздействие, Г(х,н) - п-мерная, кусочно - непрерывная, кусочно - гладкая вектор - функция, удовлетворяющая условию симметрии f(—x,—u) = —f(■s.,u) Зависимость (2) задается графиком двухпозиционного релейного элемента Внешнее воздействие у(1) = Н/а (г) имеет период 2ТВ и амплитуду Я Будем далее предполагать, чтоН/0(Я-Тв) = —Н/0(?) Именно у(Х) = Я/"0(О является тем линеаризующим входным сигналом, который при определенных условиях - условия захвата - подавляет автоколебания в релейной системе и вызывает в ней вынужденные колебания

Обозначим х*(Г) - фазовый годограф релейной системы Вектор-функция х*('/') задает значение вектора состояния сисгемы х(/) в периодическом движении в моменты переключения релейного элемента с минуса на плюс Условия существования вынужденных колебаний с периодом 2ТВ определяются из условий переключения релейного элемента и имеют вид

нио-ътх\тв)=к, Я/;(О-Кг*-(Г,)>0, О<с"<2ТВ, (3)

здесь г (Тв)--

^ « г « - •

А(0

Л

*(<)=* <г,) -о

2к - величина гистерезиса. Предполагается, что

переключение реле с минуса на плюс происходит при ? — 0 Момент ? в \ сло-виях (3) играет роль "фазы" входного сигнала, с помощью которой устанавливается взаимное соответствие периодического входа с периодическим выходом

Именно, входному сигналу Я/0(/* + /) соответствует периодический выход Х{1){1>0)

Фаза входного сигнала г* определяется непосредственным решением системы (3) или с помощью графического метода (рис.1)

У / \ н /„(/) / Y R.rl'<rf)+«

t\ К i

'" \ / ' Щ и.

Рис.1. График функции Н f0(t) Рис. 2. Кривая захвата

Графический метод более предпочтителен, так как позволяет определить все фазы входного сигнала Точка пересечения (на рис 1 точки t" и (¡) является фазой входного сигнала лишь в том случае, если она удовлетворяет второму условию (3) Фаза входного сигнала может определяться неоднозначным образом Это означает, что в системе имеют место вынужденные колебания при различных фазах входного сигнала

Периодическое решение x(t) определяется интегрированием уравнения (1) в интервале 0 < ? :£2ТВ при начальных условиях х(0) = х'(Тм) и при u(t) = А [1(0 - 2 • l(t - Tt ], где А - высота полки реле. Условия (3), строго говоря,

не гарантируют существования при данной фазе /" вынужденных колебаний, поэтому с помощью функции a(t) = Hf0(t+t*)-RTx(t) необходимо убедиться, что в интервале 0 < t < 2ТВ релейный элемент имеет только одно переключение в точке t = Tt.

При исследовании релейных систем часто интересуются критическим значением амплитуды (рис.2)

Я„=|к + Игх*(Г,)|, (4)

здесь Тв - полу период входного сигнала Если Н >Нкр, то в системе возможен

режим захвата Однако, строгий вывод можно сделать, лишь выполнив указанные выше исследования.

В релейной системе могут иметь место субгармонические колебания. При этом в релейной системе устанавливаются вынужденные колебания с периодом 2vTB, где v = 3,5,7.... Для определения субгармонических колебаний используются соотношения:

HfXf)-RTx\vTB) = >c, tf/'„(O-RV(W,)>0, 0<Lt'<2vTB. (5)

Соотношения (5) аналогичны условиям (3) Поэтому определение фазы Г* из условий (5) производится по рассмотренной выше схеме, заменяя Тв в равенствах на vTB.

При анализе автоколебаний, как правило, рассматривают их асимптотическую орбитальную устойчивость. При анализе вынужденных колебаний удобно рассматривать устойчивость по Ляпунову, сравнивая значения возму-

щенной траектории и траектории, соответствующей периодическому движению, в одни и те же моменты времени В работе получен алгебраический критерий устойчивости вынужденных периодических движений Устойчивость системы оценивается с помощью линеаризованного точечного отображения на полупериоде, но с учетом переключения релейного элемента

Обозначим х(Г) =¥(\(ТВ),А,1) - решение уравнения (1) при и=А, х(0) = \(ТВ) Матрица, задающая линеаризованное точечное отображение имеет вид

(11--ь+)Кг<2

с=-

0-1

здесь <2 =

д¥(\,А,Т)

дх

я/0(О+кгь-

Ь- =К~х\Тв),А), Ь+ ={(-х(Тв)-А).

Пусть Я /'У -\,т ) - собственные числа матрицы С Если они удовлетворяют неравенствам

|Л,|<1, , (6)

то соответствующее вынужденное периодическое решение асимптотически устойчиво по Ляпунову.

Основная трудность в применении на практике алгебраического критерия заключается в определении матрицы О Для релейных систем с линейным объектом управления матрица <} получена в явном виде

Аналитические зависимости, задающие матрицу О в явном виде, удается получить и в случае кусочно-линейного объекта управления В общем случае нелинейного объекта управления матрица <2 определяется путем численного решения уравнения в вариациях

ад\ _ дТ(х,А) Л

дх

(7)

1-1 (И

(значение нормированной фундаментальной матрицы в момент Г = Тв). Здесь только следует иметь в виду, что при синтезе релейной системы матрица О вычисляется заблаговременно один раз, так как она не зависит от обратных связей.

Устойчивость субгармонических колебаний также оценивается по собственным числам матрицы в Отличие заключается лишь в том, что полупериод Тв теперь следует заменить на полупериод уТв (у = 3,5,7. .).

Далее, в диссертации показано, что если объект управления задается передаточной функцией IV(я), то устойчивость вынужденного периодического движения можно оценивать с помощью изображенной на рис 3 импульсной

2А

системы На рис 3 ^(.у) =-IV(я). При этом можно использо-

Я/0'а*)-Ктг-(Г4)

вать все известные для импульсных систем критерии устойчивости, в том числе графический критерий Найквиста

Рис. 3. Импульсная система Особое внимание в диссертации уделено релейным системам с объектами управления, содержащими ограничители. Такие объекты весьма широко распространены на практике В реальных технических системах звено с ограничителем обычно стоит на входе объекта управления, т е. относится к приборной части системы (рис. 4)

Рис.4. Релейная система с нелинейным ОУ Уравнения движения объекта управления в открытом ядре допустимых значений (| < 23) и на ограничителе (ух = ±Г>) соответственно имеют вид:

г = С"г + Ъ*и, г = С~г,

здесь г = (у,х).

Асимптотическая устойчивость по Ляпунову вынужденных периодических движений оценивается с помощью собственных чисел матрицы С = -Сг С„где

Матрица М, преобразует вектор г в момент удара об упор: г (г, 4 0) = Мх. (?, - 0). Первая строка матрицы С состоит из нулей, поэтому одно собственное число матрицы в равно нулю Далее У(<) = ес', =

Вторая глава посвящена анализу вынужденных периодических движений в релейных системах с трехпозиционным релейным элементом. Движение системы задается уравнением (1) и равенством

и(1) = Ф(а,к,Х), (8)

здесь ф\нкция Ф(сг,к, А) определяется графиком трехпозиционпого релейного элемента (рис 5)

Обозначим х"(у,Т), х (у,Т) (0< у<1, 0<Г<оо)- фазовые годографы релейной системы, задающие в периодическом движении значения вектора состояния х(/) в моменты переключения релейного элемента с ноля на плюс и с

плюса на ноль соответственно Параметр у определяет скважность периодическою сигнала и(I) Условия существования вынужденных колебаний имеют вид

Я/0(Г)-Ягх*(г,Гв) = Лг, Я/оУ)-1*Ч-(Г,Гв)>0, Ш* +уТв) + *тх"(г,Тв) = Хк, Я/0У + уТв)~ Ктг2~(у,Тв) < 0,

. , -г(гтв) = *«р

(»)-»(г.тв) Л

г=-о

здесь гх (у,Тв) =

Л

. Предполагается,

ыгП-о

что переключение реле с ноля на плюс происходит при Г = 0 Как и выше, Г* -фаза входного сигнала.

«<01

/1

-*■ -Ах

"ХЕ

Хк

Рис. 5. Статическая характеристика Условия (9) позволяют численно или с помощью графического метода

определить Сиу (рис 6) Графический метод предпочтителен, так как позволяет найти все решения системы (9) Чтобы убедиться, какое из решений соответствует вынужденным колебаниям, необходимо для каждой пары , у1 ) построить соответствующее им периодическое решение х(/), и с помощью функции сг(г) = ДУв(/+/')-ИГх(/) проверить число переключений управления на периоде В принципе действительными могут оказаться несколько решений, то есть в релейной системе при заданной амплитуде Я и частоте еов = л/Тв входного сигнала возможны вынужденные колебания той же частоты, но при нескольких значениях у. Периодическое решение х(<) определяется интегрированием уравнения (1), при х(0) = х {у,Тв) и

и(г) = АЛ{1)-АЛ(1-/Гв)-АЛ«-Тв) + АЛ«-(\ + у)Тв),Ыг<,2Тв . Как уже отмечалось, период субгармонических колебаний равен V- 2Те, где V = 3,5,... Они определяются из условий'

Я/0(г* +УуТв) + х"(у,уТв) = Хк, Я/0'(г" +ууТв)~Ктг2(у,уТв)<0.

Определение фазы г* и параметра у из условий (10) производится по рассмотренной выше схеме.

В работе получен алгебраический критерий устойчивости вынужденных периодических движений в релейных системах с трехпозиционным релейным элементом Как и выше, устойчивость системы оценивается по собственным числам матрицы в, которая задает линеаризованное точечное отображение Эта матрица имеет вид

я/0(о+яг ь2

Н/оО'+уТвУ

1

здесь (}, =

сЩх ,А,Т)

дх'

,<?2

9Р(х ,0,Г)

* =х (г,Те) Т=гТ,

дх'

Т=(\-г)Тв

ЬГ = /(х (Г,ТВ),А),К =К* (у,тв\0), V = /(-**(/,гв).0), Ь2-=/(-х'(г,тв)-л).

Если собственные числа матрицы С удовлетворяют неравенствам (6), соответствующее вынужденное периодическое движение асимптотически устойчиво по Ляпунову.

Устойчивость субгармонического периодического движения также оценивается по собственным числам матрицы в Однако при расчете элементов матрицы полупериод Тв теперь следует заменить на полупериод уТв (У = 3,5,7.. ).

Для линейных объектов управления получены аналитические зависимости, задающие матрицы и <32 в явном виде В общем случае нелинейного объекта управления матрицы <}, и <}2 определяются путем численного решения уравнения в вариациях (7) Уравнение (7) представляет собой систему линейных алгебраический уравнений с переменными коэффициентами Обозначим У(/,0) и \{г,уТв) - нормированные фундаментальные матрицы этого уравнения Тогда О = У(уТв,0), Ъ2=У{Тв,уТв)

Третья глава работы посвящена исследованию режима слежения в релейных системах за входными сигналами. В рамках метода фазового годографа разработан метод линеаризации по полезному сигналу релейных систем, работающих в автоколебательном режиме В диссертации этот метод распространяется на релейные системы, работающие в режиме вынужденных колебаний.

На рис. 6 изображена простейшая релейная система с двухпозиционным релейным элементом,

т _

РЭ

Щ*)

Рис. б. Релейная система здесь g(J) - полезный входной сигнал. Предполагается, что входной сигнал #(/) является медленноменяющейся (по отношению к колебаниям) функцией времени Линеаризация системы сводится к замене релейного элемента коэффициентом передачи по постоянной составляющей В работе показано, что коэффициент передачи реле

** _• (П)

Я/0(/ ) + 2 Я

тдх(Хв) Ьх

-2А РГ(0)

Если объект управления является статическим (И'ТО) Ф сс), то IV(s) = IV (s) В случае астатического объекта управления (W(0) = 00) функция IV(s) получается следующим образом- передаточную функцию необходимо разложить на сумму простых дробей и отбросить в этом разложении интегрирующие звенья (Т *)

В равенстве (11)-— - производная фазового годографа по параметру

дт

г, который задает длительность на периоде интервала времени, на котором сигнал u(t) положителен. В рамках метода фазового годографа получены аналитические зависимости, задающие указанные производные в явном виде.

Если в равенстве (11) положить (/) = 0, то получим коэффициент передачи релейного элемента для системы, работающей в автоколебательном режиме.

В случае, когда объект управления содержит ограничители в форме жестких механических упоров (рис.4), то линеаризация релейной системы включает себя линеаризацию звена с ограничителем и релейного элемента Пусть в системе существуют устойчивые симметричные периодические движения с периодом 2ТВ и фазой t*.

В диссертации показано, что коэффициент передачи релейного элемента

2 А

Кр=-

Тв

or

-2А IV (0)

здесь = В работе Фалдина Н.В. путем введения некоторого эквива-К

ленггного управления «,(/), которое позволяет снять ограничители и отличается от управления реально действующего на объект, получены аналитические зави-

дх(Тв)

симости, задающие производную -в явном виде. Далее, линеаризация

дт

звена с ограничителем не зависит от режима работы релейной системы (автоколебательный или вынужденные колебания) и было выполнено в указанной выше работе Фалдина Н В

Для простейшей релейной системы, изображенной на рис 6, был выполнен частотный анализ выходного сигнала Х(!) в предложении, что входной сигнал =Лзт(й> /), т.е является гармонической функцией Представим выходной сигнал Х(() системы в виде Х(() = Хп{1) + ЗХ(1), здесь Хп(1) - периодический сигнал при g(t) = О В работе показано, что при выполнении следующих условий

Ксо«\2'{Тв)\, тах|<УХ'(Г)|«|г"(Г)|,Я- 1

l + fFV^)

«\Z-(Tj (12)

переменною SXit) можно определять с помощью изображенной на рис 3 им-

пульсной системы Рассматривая 8X{t) как функцию непрерывного времени t , найдем

SX(t) = — £ [|Ф(/(^+ ^«))|sin((®+ + агё(Ф(/((У + iBb«))))], (13) 7g n=-00

л

здесь û)q =—, i - мнимая единица, Ф(я) = if^Cs) Тв

1

1 +Ж*(г)

, FF (г)- z- пе-

редаточная функция импульсной системы (рис 3).

Равенство X(t) = Хп (t) + SX(t) задает выходной сигнал в явном виде. Из (13) в частности следует, что выходной сигнал релейной системы при гармоническом входном сигнале является почти периодической функцией, причем в спектре выходного сигнала присутствует частота полезного входного сигнала

Равенство (13) можно использовать для оценки точности режима слежения за гармоническими входными сигналами Для этого в равенстве (13) достаточно положить п = 0. Именно эта составляющая выделяет "среднее" значение выходного сигнала, на который наложены высокочастотные колебания На практике основной интерес представляет именно указанное среднее значение

Неравенства (12), как правило, выполняются при разносе частот входного сигнала и линеаризующего сигнала в десять и более раз В этом случае равенство (13) при п - 0 и рассмотренная выше линеаризация релейного элемента при гармоническом входном сигнале дают практически один и toi же результат Однако равенство (13) дает возможность иногда определить выходной сигнал, когда частоты входного и линеаризующего сигналов мало отличаются друг от друга (в два-три раза), т е возможность исследовать так называемый режим биений

Остановимся на линеаризации релейных систем с трехпозиционным релейным элементом Как и в случае релейных систем с двухпозиционным релейным элементом, линеаризация нелинейностей сводится к замене их коэффициентами передачи по постоянной составляющей

Рассмотрим релейную систему, изображенную на рис 6, полагая, что релейный элемент является трехпозиционным Пусть в релейной системе при g(t) = 0 имеют место вынужденные периодические колебания с параметрами

t*, у, Тв При подаче на вход системы постоянного входного сигнала g(t), если линейная часть системы является статической (fF(0) *оо), или линейно нарастающего входного сигнала, если линейная часть системы имеет астатизм первого порядка, сигнал с выхода релейного элемента оказывается несимметричным и имеет вид, представленный на рис. 7.

Для коэффициента передачи релейного элемента, с помощью которого осуществляется линеаризация релейной системы, в диссертации получено равенство

К„=-^-, (14)

' Td-AW( 0)

где

d = -

г дх1 dx'Y^dx2

2--2--+ N2

дт, дт.

дт1 дт.

з/

fax2 дх1 xr

— +--N.

ч 9г, дт2

(-, 8x,

от.

„a*2 „a*1 xr

2--2-+ W2

dr, дт,

„a*1 „a*1 xr

2-+ 2— + ЛГ,

dr, дт.

дх' _ дх'^ТуЪ.Т)

дт,

дт,

производные фазовых годографов

'Н'+ЛЪЛ.Г,.

\'(т,,т2,тъ,Тв), ( = 1,4 по параметрам г,, т2, г3 В работе Фалдина Н В и Панферова Н В получены аналитические зависимости, задающие указанные производные в явном виде (они используются также при линеаризации релейных автоколебательных систем) »(О

А —

1L.

-S-

2Г,

(15)

Рис. 7. График управляющего сигнала Рис. 8. Нелинейный ОУ

В диссертации рассмотрена также линеаризация релейных систем (с двухпозиционными и трехпозиционными релейными элементами), содержащими статические нелинейности. Пример такого объекта управления представлен на рис. 8. Предполагается, что <р{у^) - нечетная непрерывная кусочно-гладкая функция

Движение объекта управления задается уравнениями [y = Cy+D[«-^](

[x = Bx + L!i?(yI).

В дальнейшем в целях упрощения будем предполагать, что релейный элемент является двухпозиционным

Представим уравнения (15) в виде

z = c'z +D'u +LV(Mrz), (16)

здесь z = (у,х). При нечетно симметричном периодическом сигнале управления и(0 вектор х(() также является нечетно симметричной функцией, т.е. z(l + Ts) = -z(f). Обозначим z(t) + Sz(t) несимметричное периодическое движение, соответствующее несимметричному сигналу управления u{t) + Su(t) с малой величиной несимметрии Уравнение в вариациях имеет вид Si = С'дг + Ъ*5и + h"p(c)MTSz,

.^(yi)

(17)

здесь p(t) = -

¿У,

, 8u(t) = 2A&r-8(t-TB) Обозначим V((,i0) нормиро-

у1=у|(«>

ванную фундаментальную матрицу решений уравнения (17) при 8и = О В работе показано, что

аг = [Е -У(2ТВ,0)] 1 -У(2ТВ,ТВ) Б* 2А (18)

¿/г

Статическая нелинейность, задаваемая функцией <р(у ), заменяется коэффициентом передачи

{ Р(Г) 8у,{г)<й 2 Т,

| ёу,Ш

о

Переменная 5уМ) находится из решения уравнения (17) при Згф) = — ^в)

с/г

Линеаризовав статическую нелинейность, получили линейный объект управления Линеаризация релейного элемента выполняется по формуле (11), причем производная фазового годографа по параметру т определяется равенством (18).

Отметим, далее, что в диссертации получены зависимости, позволяющие также линеаризовать по полезному сигналу содержащие статические нелинейности релейные системы с трехпозиционными релейными элементами

Многочисленные исследования, выполненные в рамках метода фазового годографа (для автоколебательных систем), показывают, что данный метод линеаризации для систем, как с двухпозиционными, так и с трехпозиционными релейными элементами (линейными и нелинейными объектами управления) отличается высокой точностью. Примеры, рассмотренные в диссертации, подтверждают высокую точность метода линеаризации и для релейных систем, работающих в режиме вынужденных колебаний Метод не имеет ограничений типа гипотезы фильтра Коэффициент передачи по постоянной составляющей определяется точно, т.е с полным учетом формы периодического сигнала

Четвертая глава диссертации посвящена разработке метода синтеза релейных систем, работающих в режиме вынужденных колебаний К таким системам предъявляются, прежде всего, традиционные для систем управления требования но точности режима слежения и по качеству переходных процессов Кроме того, необходимо обеспечить в системе режим вынужденных колебаний, а также требования на амплитуду и частоту колебаний.

Разработанные в диссертации и указанные выше методы анализа позволяют сформировать достаточно простую процедуру синтеза релейной системы, работающей в режиме вынужденных колебаний. Фазовый годограф позволяет весьма просто контролировать возникновение в системе вынужденных периодических движений Предложенный метод линеаризации существенным образом упрощает исследование режима слежения Задача синтеза легко сводится к задаче конечномерной оптимизации по точности режима слежения

Остановимся сначала на синтезе релейной системы с двухпозиционным релейным элементом

Синтез системы начинается с построения фазового годографа релейной

системы Если объект управления явтается нелинейным (исключая системы с рассмотренными выше специальными нелинейностями), то фазовый годограф строится численно и задается дискретной вектор - функцией Принимая во внимание вид входных сигналов и требования на амплитуду колебаний (могут иметь место и другие соображения), выбирается частота или допустимый диапазон частот вынужденных колебаний

Если объект управления является нелинейным, то целесообразно задаться конкретным значением периода колебаний 2ТВ, так как в этом случае при оценке устойчивости периодических движений (определение матрицы ()) и

линеаризации системы (определение производной может потребо-

ваться обращение к численным методам. Матрицу и производную

(они не зависят от обратных связей) необходимо определить заблаговременно, т е до начала процедуры синтеза При необходимости можно повторить задачу синтеза для разных Тв

Выполняется линеаризация объекта управления. Линеаризация объекта управления также не зависит от обратных связей и ее следует выполнить на предварительном этапе, т е. перед решением задачи синтеза Коэффициент линеаризации релейного элемента, напротив, существенным образом зависит от обратных связей и его необходимо определять на каждом шаге поиска

Задачу синтеза сведем к решению задачи конечномерной оптимизации. Точность режима слежения часто оценивают по ошибке воспроизведения гармонического входного сигнала В этом случае в качестве критерия оптимизации используется функционал

здесь вектор Л задает коэффициенты обратных связей Оптимизируемыми параметрами являются вектор И и амплитуда линеаризующего сигнала Я Ограничениями задачи оптимизации являются условия существования вынужденного периодического решения (3) и неравенства (б), с помощью которых оценивается устойчивость вынужденного периодического движения

Для линейных объектов управления получены аналитические зависимости, задающие в явном виде фазовый годограф объекта управления, линеаризированную матриц} сдвига <2 и производную фазового годографа В

этом случае в число оптимизируемых параметров можно включить и период вынужденных колебаний 2Тв, задавшись допустимым диапазоном его изменения

В качестве метода оптимизации целесообразно использовать какой-либо из алгоритмов случайного поиска, которые работают с ограничениями простейшим образом Для каждого полученного в процессе поиска вектора оптимизируемых параметров (они получаются с использованием фактора случайности) проверяется выполнение ограничений При этом первое ограничение (3),

(19)

которое представляет собой ограничение типа равенств, численно решается от-

носительно фазы Г Если (7) = ят(<у I). то ?* = — агсвт

со

г + Кх (Г) Я

Остановимся кратко на некоторых особенностях синтеза с помощью корректирующих устройств Если объект управления является линейным, то сведение задачи синтеза к конечномерной задаче оптимизации не составляет труда В качестве оптимизируемых параметров в этом случае, наряду с амплитудой Я и периодом 2Тв, рассматриваются также параметры корректирующих устройств Если объект управления является нелинейным, но используется линейное корректирующее устройство, то при построении фазового годографа целесообразно периодический сигнал, поступающий на вход корректирующего звена, разложить в ряд Фурье, удержав в этом разложении необходимое число членов 'Это даст возможность получить для Н -характеристики корректирующего вена (она не зависит от его параметров) аналитическую зависимость

Синтез релейных систем с трехпозиционными релейными элементами выполняется аналогичным образом Здесь только следует иметь в виду, что амплитуда колебаний зависит не только от частоты л/т , но и от параметра у

/ * в

Обычно после соответствующего исследования объекта управления задаются желаемыми значениями периода колебаний 2ТВ и параметра у или допустимыми диапазонами их изменений.

Если объект управления является нелинейным, то по соображениям, аналогичным высказанным выше, целесообразно задаться конкретными значениями периода 2ТВ и параметра у (при необходимости синтез можно повторить для различных значений Тй и у) Критерий оптимизации, по прежнему, задается равенством (19) Однако вместо ограничения (3) теперь следует рассматривать ограничение (9) В ограничения (9) входят два алгебраических уравнения с двумя неизвестными параметрами (при заданном векторе И) { и Я. Поскольку амплитуда Я входит в указанные уравнения линейно, то это существенно упрощает их решение Если /„(/) = зт(<»-г), то для { и Я получаются аналитические зависимости

Разработанные в диссертации методы были использованы для синтеза

интегрирующего электропривода прицельного устройства (рис 9) .......... ........... "...........................

Рис.9 Структурная схема релейного интегрирующего электропривода На рис 9 п\ нктирной линией выделен привод как объект управления, РЭ -трёхпозиционный релейный элемент (рис 5), >'(0 = Н ят(<и/), полезный входной сигнал. Математическая модель привода учитывает нежесткость меха-

нической передачи, а также нелинейности в виде люфта, сухого трения и ограничения на величину тока якоря

Электропривод должен отрабатывать постоянные входные сигналы, соответствующие угловым скоростям движения прицельного устройства в диапазоне 0,01 < (он < 30 (град/с) Для нормальной работы оператора очень важно, чтобы установившаяся угловая скорость вращения нагрузки (прицельного устройства) линейно зависела от напряжения нв В автономном режиме работы {ию =0) ток якорной обмотки не должен превышать половины номинального значения (25 А) Область допустимых рабочих частот электропривода ограничена требованиями на амплитуду колебаний и конструктивными особенностями (необходимо исключить резонанс механических частей системы и учесть рабочий диапазон частот транзисторов релейного усилителя мощности) и задается неравенствами.

300 </ < 350 (Гц), 450 < / < 750 (Гц),850 < / < 1150 (Гц), 1250 < / < 2500 (Гц).

В системах с трехпозиционным релейным элементом амплитуда колебаний зависит не только от частоты сигнала HfQ(t), но и от параметра у В результате исследования были выбраны частота колебаний f — 1900 Гц и параметр / = 03 Для исключения ошибок воспроизведения постоянных входных сигналов и превращения системы в астатическую в нее введено последователь-

ное корректирующее устройство с передаточной функцией WJs)

уу+ц

5

Синтез системы сводится к выбору амплитуды Я линеаризующего сигнала и коэффициента кк, с помощью которого задается обратная связь по току в цепи якоря электродвигателя.

Параметры Я и к^ определяются из системы уравнений

// sin (©,(** + уТв)) + и~(Т„у) - С(Тв,у) ■ кос = ÄK, которая задает условия возникновения вынужденных колебаний и, вообще говоря, содержит три неизвестных величины Я, kx,t* Задаваясь различными значениями Я из системы (20) определяются t и кж Таким образом определяется амплитуда Я линеаризующего сигнала, при которой в системе имеют место вынужденные колебания.

Что же касается параметров последовательного корректирующего устройства кф,Тф, то они оказывают влияние только на значения Н ,кос, те их величина не имеет принципиального значения

Проведённое моделирование скорректированной системы показало, что при найденных значениях параметров кф =600, Тф =0,0035, =0 2157, Я = 12 5 электропривод полностью удовлетворяет предъявляемым к нему требованиям

Отметим также, что синтез электропривода в автоколебательном режиме связан с необходимостью на каждом этапе синтеза контролировать параметры

колебаний которые могут принимать недопустимые для работы значения Использование режима захвата позволяет избежать этого недостатка

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1 Получены условия возникновения вынужденных колебаний в релейных системах с двухпозиционными и трехпозиционными релейными элементами с линейными и нелинейными объектами управления

2 Предложен алгебраический критерий асимптотической устойчивости по Ляпунову вынужденных периодических движений Критерий справедлив для релейных систем, как с линейными, так и нелинейными объектами управления

3 Для релейных систем с линейным объектом управления разработан частотный критерий устойчивости вынужденных колебаний, аналогичный критерию Найквиста для линейных систем.

4 Предложен метод линеаризации релейных систем с двухпозиционными и трехпозиционными релейными элементами с линейными и нелинейными объектами управления Метод отличается повышенной точностью и не имеет ограничений типа гипотезы фильтра.

5 Выполнен частотный анализ выходного сигнала релейных систем с двухпозиционными релейными элементами. Получены аналитические зависимости, задающие выходной сигнал релейной системы в явном виде, которые позволяют установить спектр выходного сигнала С помощью указанных аналитических выражений можно также оценить, как влияет входной сигнал на колебания системы Показано, что выходной сигнал релейной системы с линейным объектом управления в режиме слежения за гармоническим входным сигналом представляет собой почти периодическую функцию времени.

6 Разработан алгоритм синтеза релейных систем с двухпозиционными и трехпозиционными релейными элементами Задача синтеза сводится к решению задачи конечномерной оптимизации по точности режима слежения

7. Выполнен синтез релейного интегрирующего электропривода прицельного устройства.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1 Фалдин Н В , Пестрякова И С. Линеаризация по полезному сшналу релейной следящей системы, работающей в режиме вынужденных колебаний // Изв. ТулГУ Серия Проблемы специального машиностроения Вып. 4 Часть 2. -Тула ТулГУ, 2001. - с. 43-46

2 Фалдин Н.В, Пестрякова И С Частотный анализ релейных систем, работающих в режиме вынужденных колебаний // Изв ТулГУ Серия. Проблемы специального машиностроения Вып.4. Часть 2.-Тула:ТулГУ,2001. - с. 64-67

3 Пестрякова И С Синтез воздушно-динамического рулевого привода, работающего в режиме вынужденных колебаний // Техника XXI века глазами молодых ученых и специалистов Выпуск 3 - ТулГУ, 2003 - с 227 - 233

4 Фалдин Н В , Пестрякова И С Алгебраический критерий устойчивости вынужденных колебаний в релейных системах с двухпозиционным релейным

2006-4

«207 93 20637

элементом // Изв ТулГУ Серия Проблемы специального машиностроения Вып 6 Часть 1 - Тула ТулГУ, 2003 - с 346-349

5 Пестрякова И С Частотный критерий устойчивости вынужденных колебаний в релейных системах // Изв ТулГУ Серия Проблемы специального машиностроения. Вып 6 Часть 1 -Тула: ТулГУ, 2003 -с 321-325

6 Пестрякова И.С ,Фалдин Н В.Устойчивость вынужденных периодических движений в релейных системах с ограничителями в форме механических упоров // Изв ТулГУ Серия Вычислительная техника Информационные технологии Системы управления Том 1 Вьш.1 - Тула-ТулГУ, 2003 - с 227-233

7 Пестрякова И С Синтез пневмопривода, работающего в режиме вынужден' ных колебаний // XXIX Гагаринские чтения. Тезисы докладов международной конференции Том 6. - Москва МАТИ, 2003 - с 79

8 Пестрякова И. С Линеаризация по полезному сигналу релейных систем с ограничителями в объекте управления // XXX Гагаринские чтения Тезисы докладов международной конференции. Том б,- Москва МАТИ, 2004. - с 91

9 Пестрякова И С Линеаризация по полезному сигналу релейной системы с трехпозиционным релейным элементом, работающей в режиме вынужденных колебаний // Изв ТулГУ Серия. Вычислительная техника Информационные технологии Системы управления Том 1 Вып 1 - Тула. ТулГУ, 2004 -с 128-135

10 Фалдин Н В., Пестрякова И С Алгебраический критерий устойчивости вынужденных колебаний в релейных системах с трехпозиционным релейным элементом // Изв ТулГУ Серия. Проблемы специального машиностроения Вып. 7. Часть 1. -Тула: ТулГУ, 2004 -с. 300-305

11 Пестрякова И С., Фалдин Н.В. Устойчивость вынужденных периодических движений в релейных системах с нелинейным объектом управления // Изв ТулГУ Серия Вычислительная техника Информационные технологии Системы управления. Том 1 Вып 1 - Тула: ТулГУ, 2004 - с. 135-139

Изл лиц ЛР № 020Э00 от 12 02 97 Подписано в печа! Формат бумаги 60x84 '/■» Бумага офсетная Усл-печл г. Л. Уч-издл Г,О, Тираж /СО экз. Заказ Л Л*/.

Тульский государственный университет 300600, г.Тула, просо Ленина, 92

Отпечатано в редакционио-издательскоч центре Тульского государственного университета 300600, г.Тула, ул Болдина, 1 1

Введение.

Глава 1. Вынужденные колебания в релейных системах с двухпозиционным релейным элементом.

1.1 .Условия возникновения вынужденных колебаний.

1.2. Алгебраический критерий устойчивости в релейных системах с линейным объектом управления.

1.3. Частотный критерий устойчивости. ф 1.4. Устойчивость периодических движений в релейных системах с нелинейным объектом управления.

1.5. Устойчивость периодических движений в релейных системах с ограничителями.

1.6. Пример.

Выводы по разделу.

Глава 2. Вынужденные колебания в релейных системах с трехпозиционным релейным элементом

2.1. Условия возникновения вынужденных колебаний.

2.2. Алгебраический критерий устойчивости в релейных системах с линейным объектом управления.

2.3. Устойчивость периодических движений в релейных системах с нелинейным объектом управления.

2.4. Пример.

Выводы по разделу.

Глава 3. Линеаризация системы по полезному сигналу. ф 3.1. Линеаризация системы с двухпозиционным релейным элементом.

3.2. Линеаризация системы с трехпозиционным релейным элементом.

3.3. Линеаризация системы со статическими нелинейностями.

3.4. Линеаризация системы с ограничителями.

3.5. Частотный анализ.

3.6. Примеры.

Выводы по разделу.

Глава 4. Синтез релейной системы, работающей в режиме вынужденных колебаний.

4.1. Синтез закона управления в системах с двухпозиционным релейным элементом.

4.2. Синтез закона управления в системах с трехпозиционным релейным элементом.

4.3. Математическая модель электропривода наведения прицельного устройства.

4.4. Синтез релейного интегрирующего электропривода, работающего в режиме вынужденных колебаний.

Выводы по разделу.

Релейные системы автоматического управления находят широкое применение в самых разных отраслях техники. Это связано с простотой, технологичностью и хорошими динамическими характеристиками релейных систем. В связи с этим повышается потребность в эффективных методах анализа и синтеза релейных систем. Обычно вышеуказанные системы работают в автоколебательном режиме, что имеется значительное число работ рассматривающих такие режимы. Однако релейные системы могут работать в режиме внешней линеаризации, когда сглаживание достигается введением дополнительного высокочастотного входного сигнала., При этом входной сигнал подавляет автоколебания, происходит принудительная синхронизация, и в системе устанавливаются периодические колебания, частота которых равна частоте входного сигнала. Этот режим называется режимом захватывания или режимом вынужденных колебаний на основной частоте. Подавление автоколебаний входным сигналом может сопровождаться также установлением в релейной системе периодических колебаний, частота которых оказывается кратной частоте входного сигнала, то есть в системе возникают периодические колебания частотой col v, где со = ж IT - круговая частота входного сигнала; v - целое положительное число. Этот режим называется режимом захватыванием на частоте субгармоник или субгармоническим режимом.

Релейный элемент, если отвлечься от его физического содержания и рассматривать как динамическое звено, представляет собой разрывную статическую нелинейность. Выходная величина релейного элемента изменяется скачком всякий раз, когда входная величина проходит пороговые значения. В интервале между моментами времени, соответствующими прохождению входной величиной пороговых значений, выходная величина релейного элемента неизменна. Такие свойства релейного элемента позволяют сравнительно простыми средствами коммутировать большие мощности, но пропорциональность между выходной и входной величинами здесь отсутствует. Поэтому рассмотрение релейных систем непосредственно при помощи хорошо разработанных в теории автоматического управления линейных методов невозможно.

Задача о действии произвольного внешнего возмущения на нелинейную систему является одной из наиболее сложных задач теории нелинейных колебаний. Тем не менее, специфическая особенность релейных автоматических систем, состоящая в том, что форма выходной величины релейного элемента не зависит существенно от формы его входной величины, позволяет произвести исследование их сравнительно простыми средствами, не прибегая к сложному математическому аппарату. Наиболее существенные результаты получены в случае, когда внешнее воздействие представляет собой гармоническую функцию времени.

Начальный этап развития теории релейных автоматических систем относится ко времени становления теории автоматического управления. Однако первые труды [14], [18], [23], [35] посвящены анализу и синтезу релейных систем, работающих только в автоколебательном режиме. Большую роль в развитие теории релейных систем релейных систем внесли исследования группы учёных под руководством академика А. А. Андронова. Разработанный ими метод точечных преобразований дал возможность качественно и количественно произвести разбиение фазового пространства на области, содержащие траектории различного типа, и для некоторых релейных систем получить полную картину влияния регулятора на процесс управления. Исключительно важную роль для теории релейных систем сыграла идея, предложенная А. А. Андроновым и С. Э. Хайкиным [4], [5]. Используя независимость формы выходной величины релейного элемента от характера движений в системе, нелинейную функцию выходного сигнала с релейного элемента можно заменить некоторой функцией времени, представляющей собой "внешнюю" периодическую силу, действующую на систему. Частота этой периодической силы определяется свойствами/ системы. Благодаря этому нелинейная задача сводится к исследованию1 действия некоторой периодической силы на линейную систему, т. е. к линейной задаче.

Одной из первых работ, посвященных вынужденным колебаниям, является исследование Рокара [88] о воздействии внешней гармонической силы на ламповый генератор с z - образной характеристикой, который использовался в работе [5]. В работах Г.С. Поспелова [50] и Н.В. Бутенина [10], [11] рассмотрены с этой точки зрения простейшие релейные следящие системы с линейным объектом управления второго порядка. Бутениным Н.В. для исследования вынужденных колебаний применен метод малого параметра.

Приближенное решение задачи о вынужденных колебаниях в релейных системах на основе метода гармонического баланса было проведено Кохенбургером [86], Боголюбовым Н.Н. и Митропольским Ю.А. [8]. Независимо от него для нелинейных систем общего вида эта задача была решена М.А. Айзерманом [1], Е.П. Поповым [45] и Е.П. Поповым, Пальтовым И.П. [46].

Большой вклад в развитие теории нелинейных колебаний внесли труды Ю.И. Неймарка и научной школы, созданной под его руководством. Ю.И. Неймарк рассмотрел общий случай сложных вынужденных колебаний и получил характеристическое уравнение, при помощи которого решается вопрос об устойчивости вынужденных колебаний. Исследование колебаний и их устойчивости он свел к изучению точечного преобразования многомерного .„гильбертова пространства само в себя. Метод может применяться не только для релейных систем, но и для систем, содержащих нелинейности других видов.

Способы построения резонансных кривых релейных автоматических систем были изложены в работах Огаты [87], Цыпкина [75], Боголюбова Н.Н. и Митропольского Ю.А. [8].

Теория субгармонических колебаний начала свое развитие с трудов Мандельштама Л.И. и Папалекси Н.Д. Субгармонические колебания наряду с вынужденными колебаниями основной частоты изучались в работах Сакавы [73], Ямазуги, Насимуры, Марухаши, Фудзии [80]и Жиля, Паке [85].

В работах Фазола и Шварца [84] таким же образом исследованы симметричные и несимметричные вынужденные колебания основной частоты, а также субгармонические колебания в релейных системах. При рассмотрении методов анализа релейных систем невозможно обойти вниманием также и работы, посвященные линеаризации релейных систем по полезному или медленноменяющемуся сигналу. Эти методы используют эффект вибрационного сглаживания релейного элемента и других нелинейностей периодическими движениями системы. Линеаризация нелинейных (в том числе и релейных) систем, вызываемая внешним воздействием при достаточно высокой его частоте и соблюдении некоторых условий, рассматривалась в работах Л. Мак-Кола [27], А. А. Красовского [22]. Наиболее полные результаты в этом направлении получены Г. С. Поспеловым [49], [51]. Строго математическое обоснование этого факта было дано Н.Н. Боголюбовым [7].

Все приближённые методы отличаются сравнительной простотой, но их точность и область допустимого применения сильно зависят от выполнения различных условий, и поэтому результаты, даваемые ими, требуют в каждом отдельном случае обоснования. Так, например, теоретически обоснованное применение метода гармонической линеаризации допускается только при выполнении гипотезы фильтра. Она представляет собой предположение о том, что на вход релейного элемента поступает периодический сигнал, мало отличающийся от гармонического. Эта гипотеза сильно ограничивает возможности применения метода гармонической линеаризации для исследования релейных систем с объектами управления, содержащими существенные нелинейности, с малоинерционными объектами управления, а также в случае достаточно сложной коррекции релейной системы.

Большинство из перечисленных выше методов исследования процессов в нелинейных системах разрабатывались не только для релейных систем и могут применяться в системах, содержащих нелинейности других видов. Это, с одной стороны, является достоинством, так как свидетельствует об их универсальности. С другой стороны, эти методы не в полной мере используют особенности релейных систем автоматического управления, основной из которых является кусочное постоянство выходного сигнала релейного элемента. Желание создать для релейных систем точный метод исследования, лишённый недостатков, характерных для остальных методов, привело к созданию ряда специфических теорий, широко использующих отмеченное свойство выходного сигнала релейного элемента.

Наиболее полное исследование (точное решение этой задачи) вынужденных колебаний в релейных системах с линейным объектом управления, учитывающее особенности релейного элемента, приведено в известной монографии Я.З. Цыпкина [76]. Однако в указанной работе не рассматривается режим слежения релейной системы за входными сигналами, что существенно затрудняет ее применение для синтеза релейных систем управления. Но, тем не менее, метод Я. 3. Цыпкина, который играет исключительно важную роль в современной теории релейных систем автоматического управления. В своей работе [76], [77] Цыпкин предложил использовать специальные характеристики объекта управления - годографы релейной системы. Для двухпозиционного релейного элемента с гистерезисом годограф имеет вид 1

J(o)) =--z (K/a))-iz(7c/aj), 0<ю<°о, со г(тс/со) - значение выходной величины линейной части системы, которая в периодическом движении соответствует моментам переключения релейного элемента с плюса на минус, z ~ (гс/ю) - значение производной этого сигнала в моменты времени, предшествующие переключениям релейного элемента с плюса на минус (в пределе "слева"), j - мнимая единица.

Для трехпозиционного релейного элемента с гистерезисом введены два годографа

1 /1 / -Л / 1 ^-f п .г тс 1 ^ , ч X ^ ' ^ ' со ю) =--Z - - JZ — , J у (со) =--Z

ЧС0у vc0y тс у— V

JZ у —

V Юу со

0<со<со, 0 < у < 1. Здесь z(%/ со) - значение выходной величины линейной части системы, которая в периодическом движении соответствует моментам переключения релейного элемента с нуля на минус, z~(тс/со) - значение производной этого сигнала в моменты времени, предшествующие переключениям релейного элемента с нуля на минус (в пределе "слева"), г(уп/(й) и z~ (ук/(й) - аналогичные характеристи-ки для моментов переключения релейного элемента с плюса на нуль, j - мнимая единица.

Вынужденные колебания, возникающих в релейной системе, Цыпкин изучал при подаче на нее входного сигнала /(/) = Af^w^t-cp), где со0 -частота, (р - сдвиг фаз и А - максимальное значение внешнего воздействия. Условия существования вынужденных колебаний частоты со() в системах с двухпозиционным релейным элементом с гистерезисом представляются в форме [77]

Im(F(> -q>) + J Оо)) = -k0, Re(F(TT - ф)) + J(a>0) < 0.

Kq- величина гистерезиса. Условия существования вынужденных колебаний частоты 0jq в системах с трехпозиционным релейным элементом с гистерезисом имеют вид [77] bn(F(n-<р) + Jx(a>)) = -к0, Jim(F(pr-<p) + Jy(w)) = Хк{ Kq(F(K -<p) + J, (со)) <0, [ R e(F(pr - <p) + J y (со)) < 0, где kq и X - параметры релейной характеристики с зоной нечувствительности. В приведенных выше условиях используется введенная Цыпкиным комплекснозначная функция

Использование годографов релейной системы позволило развить простой точный метод исследования колебаний в релейных системах. Для построения J (со), J\ (со) и Jy(co) в работе [77] предлагаются методы, использующие частотные и переходные характеристики линейной части системы. Выражения для годографов в этом случае получаются в виде суммы бесконечного ряда. Там же рассмотрен подход, при котором J (со), ,1\ (со) и J У (со) определяются в явной форме через параметры (и полюсы) передаточной функции объекта управления.

Основным недостатком методов Цыпкина существенно сужающим область их применения, является то, что они разработаны для релейных систем с линейными объектами управления, тогда как в инженерной практике требуются методы, ориентированные на системы, объект управления которых содержит различные нелинейности.

Других методы, например метод Гамеля [82], использующие кусочное постоянство управляющего сигнала, распространены только на исследования автоколебаний в релейных системах. Для исследования автоколебательных релейных систем на кафедре "Системы автоматического управления" Тульского государственного университета под руководством д. т. н., профессора Н. В. Фалдина создан метод фазового годографа, который ориентирован, прежде всего, на релейные системы с нелинейными объектами и является, по сути, дальнейшим развитием методов Цыпкина и Гамеля, существенно дополняет общую теорию релейных систем автоматического управления.

Метод фазового годографа достаточно полно разработан для автоколебательных релейных систем с двухпозиционными и трехпозиционными релейными элементами, что отражено в работах [24], [36], [52], [59], [68] - [70]. Накоплен достаточно богатый опыт его применения к различным техническим объектам [55], [67], [71]. Центральным понятием метода является фазовый годограф релейной системы, аналогичный годографу Цыпкина. Он характеризует частотные свойства объекта управления и служит универсальным инструментом как на этапе анализа, так и на этапе синтеза релейной системы. Метод фазового годографа ориентирован на применение современной вычислительной техники и позволяет достаточно просто и с малыми затратами машинного времени синтезировать законы управления, обеспечивающие требуемые показатели качества системы.

Настоящая диссертационная работа направлена на дальнейшее развитие метода фазового годографа, на распространение данного метода на релейные системы, работающие в режиме вынужденных колебаний.

Поскольку из анализа литературы, посвященной теме исследования можно сделать вывод, что теоретические аспекты режимов вынужденных колебаний разработаны явно недостаточно, настоящая диссертационная работа, направленная на разработку эффективных методов расчета, исследования режима слежения и синтеза релейных систем, работающих в режиме вынужденных колебаний, с линейными и нелинейными объектами управления является весьма актуальной.

Целью работы является разработка точных методов анализа вынужденных колебаний и на их основе создание алгоритма синтеза релейных систем.

В качестве объекта исследования выступают релейные системы автоматического управления с двухпозиционными и трехпозиционными релейными элементами. Исследуемый в работе класс систем ограничен как по виду характеристики релейного элемента, так и по виду дифференциальных уравнений, описывающих движение объекта управления. Примем, что указанные релейные элементы являются симметричными с положительным гистерезисом, которые наиболее часто встречается на практике. Относительно объекта управления предположим, что он описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями со стационарными параметрами. Потребуем также, чтобы внутренние нелинейности объекта управления выражались нечётно-симметричными характеристиками. Остальные ограничения, накладываемые на объект управления, зависят от разделов работы.

Первые две главы диссертационной работы посвящена разработке методов анализа периодических движений в релейных системах с двухпозиционными и трехпозиционными релейными элементами с применением метода фазового годографа. Предложенные методы определения условий существования вынужденных движений на основной частоте и частоте субгармоник могут применяться как для релейных систем, объект управления которых содержит статические нелинейности, так и для релейных систем с некоторыми другими видами нелинейностей (например, объект управления которых содержит различного рода ограничители: механические упоры, схемы отсечки тока, насыщение, .). Для релейных систем с двухпозиционными и трехпозиционными релейными элементами с линейными объектами управления и объектами, содержащими статические нелинейности и жесткие механические упоры предложены методы оценки асимптотической устойчивости найденных вынужденных периодических движений. Использование математического аппарата теории дискретных систем для исследования релейных систем с двухпозиционными релейными элементами с линейным объектом управления позволили разработать частотный критерий устойчивости вынужденных периодических движений и метод слежения за гармоническими входными сигналами.

В третьей главе диссертационной работы предлагается линеаризация по полезному сигналу релейных систем с двухпозиционными и трехпозиционными релейными элементами с линейными объектами управления и с объектами управления, которые содержат статические нелинейности, жесткие механические упоры.

На основе разработанных методов анализа вынужденных колебаний в четвертой главе разработан алгоритм синтеза релейных систем с двухпозиционными и трехпозиционными элементами с применением методов конечномерной оптимизации.

Таким образом, в настоящей работе предпринята попытка внести вклад в развитие теории релейных систем, работающих в режиме вынужденных колебаний.

Автор диссертации считает своим долгом выразить глубокую признательность научному руководителю доктору технических наук, профессору Николаю Васильевичу Фалдину.

Выводы по разделу.

Четвёртая глава работы посвящён разработке метода синтеза релейных систем. Предложенные в предыдущих главах методы определения параметров вынужденного движения, условий захвата и исследования точности режима слежения, а также метод фазового годографа позволяют применить для синтеза релейных системы методы конечномерной оптимизации и, тем самым, определить оптимальные значения параметров регулятора. Рассмотрены два варианта синтеза: синтез в пространстве состояний и синтез с помощью корректирующих устройств. Кратко сформулируем полученные в этом разделе результаты:

1. Разработана процедура синтеза в пространстве состояний релейной системы, которая заключается в выборе вектора коэффициентов обратных связей, обеспечивающего минимум функционала качества системы. При использовании предложенного алгоритма операции, требующие наибольших затрат времени, выполняются до начала процедуры выбора этих коэффициентов, что делает реальным поиск оптимального закона управления.

2. Если объект управления является линейным, то рассмотренную процедуру синтеза удаётся сохранить без изменений и при использовании корректирующих устройств, так как имеются аналитические зависимости, задающие в явном виде фазовый годограф системы и остальные необходимые характеристики.

3. Использование последовательной коррекции в релейных системах с нелинейными объектами управления приводит к усложнению алгоритма синтеза. Для успешного решения поставленной задачи необходимо на каждом шаге поиска параметров регулятора избегать выполнения операций, связанных с численным интегрированием дифференциальных уравнений системы. Для этого предложено использовать разложение входного сигнала последовательного корректирующего фильтра в ряд Фурье, коэффициенты которого определяются на предварительном этапе. Это позволяет получить аналитические зависимости для R - характеристик последовательного звена. 4. В качестве примера приведён синтез релейного интегрирующего электропривода прицельного устройства перспективного комплекса вооружения. Полученные результаты поверялись путём моделирования скорректированного электропривода на цифровой вычислительной машине, которое показало, что при найденных значениях параметров корректирующих фильтров электропривод полностью удовлетворяет предъявляемым к нему требованиям.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

Диссертация посвящена разработке методов анализа и синтеза релейных систем управления, работающих в режиме вынужденных колебаний с двухпозиционными и трехпозиционными релейными элементами. В основе разработанных методов лежит метод фазового годографа. На сегодняшний день метод фазового годографа является наиболее перспективным методом исследования автоколебательных релейных систем с нелинейными объектами управления. Исследования, выполненные в настоящей работе, позволили использовать его для релейных систем, работающих в режиме вынужденных колебаний систем. Рассмотрены релейные системы, как с линейными, так и с нелинейными объектами управления.

В диссертационной работе затронуты вопросы, связанные с определением условий захвата, параметров вынужденного периодического движения и оценкой их устойчивости. Большое внимание уделено исследованию режима слежения в релейных системах за входными сигналами. Предложена методика синтеза и оптимизации релейных систем с по точности.

Сформулируем основные результаты, полученные в работе:

1. Получены условия возникновения вынужденных колебаний, как на основной частоте, так и на частоте субгармоник, в релейных системах с двухпозиционными и трехпозиционными релейными элементами с линейными и нелинейными объектами управления.

2. На основе полученных условий возникновения вынужденных колебаний предложен способ определения параметров вынужденного периодического движения в релейных системах.

3. Получен алгебраический критерий асимптотической устойчивости по Ляпунову вынужденных движений в релейных системах. Критерий справедлив для релейных систем, как с линейными, так и нелинейными объектами управления.

4. Для релейных систем с линейным объектом управления разработан частотный критерий устойчивости вынужденных колебаний, аналогичный критерию Найквиста для линейных систем.

5. Предложен метод линеаризации релейных систем с двухпозиционными и трехпозиционными релейными элементами по полезному сигналу. Метод сводит релейную систему к некоторой линейной системе, что позволяет весьма просто исследовать режим слежения за входными сигналами, а это очень важно для синтеза и оптимизации системы по точности. Рассмотрены релейные системы с линейными объектами управления и системы, объекты управления которых содержат статические нелинейности или ограничители. Метод отличается повышенной точностью и существенно превосходит метод гармонической линеаризации по своим возможностям, так как он не имеет ограничений типа гипотезы фильтра.

6. Для применения рассмотренного метода линеаризации на практике необходимо найти производные фазового годографа по параметрам несимметричного периодического сигнала. В случае линейного объекта управления и для объекта, содержащего ограничители для этих производных существуют аналитические выражения. Когда объект управления содержит статические нелинейности, при определении указанных производных используется численно-аналитическая процедура.

7. Выполнен частотный анализ выходного сигнала релейных систем с двухпозиционными релейными элементами. Получены аналитические зависимости, задающие выходной сигнал релейной системы в явном виде, которые позволяют установить спектр выходного сигнала. С помощью указанных аналитических выражений можно также оценить, как влияет входной сигнал на колебания системы. Показано, что выходной сигнал релейной системы с линейным объектом управления в режиме слежения за гармоническим входным сигналом представляет собой почти периодическую функцию времени.

8. На основе разработанных точных методов анализа вынужденных колебаний разработан метод синтеза релейных систем с двухпозиционными и трехпозиционными релейными элементами по точности режима слежения. Синтез сводится к решению задачи конечномерной оптимизации. Разработанный алгоритм легко поддается программированию и позволяет добиться хороших результатов.

9. Выполнен синтез релейного интегрирующего электропривода прицельного устройства.

Выполненное в диссертации исследование позволило распространить хорошо зарекомендовавший себя метод фазового годографа на релейные системы, работающие в режиме вынужденных колебаний. Метод позволяет синтезировать высококачественные законы управления для релейных систем как с линейными, так и нелинейными объектами управления.

1. Айзерман М.А. Физические основы применения методов малогопараметра к решениям нелинейных задач теории автоматического регулирования. Автоматика и телемеханика, т. 14, № 5,1953, с. 597-603.

2. Алгоритм численного построения фазового годографа релейной системы / Н.В. Фалдин, С.А. Руднев, Н.Н. Макаров и др. // Газовые приводы и системы управления. Тула: ТПИ, 1983. С. 138-143.

3. Андронов А. А., Баутин Н. Н., Горелик Г. С. Автоколебания простейшей схемы, содержащей автоматический винт изменяемого шага //• Доклады АН СССР. 1945. Т. 47. № 4. С. 265 - 268.

4. Андронов А. А., Витт, А.А. Хайкин С. Э. Теория колебаний. М.: Наука, 1981, 568 с.

5. Андронов А. А., Хайкин С. Э. Теория колебаний. М.: ОНТИ, 1937.

6. Березин И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений: В 2-х т. 2-е изд., перераб. М.: Физматгиз, 1962. Т. 2. - 640 с.

7. Боголюбов Н.Н. О некоторых статистических методах в математической физике, АН УССР, Киев, 1945.

8. Боголюбовов Н.Н., Митропольский Ю.А Ассимптотические методы в теории нелинейных систем. М.: Наука, 1958

9. Ф 9. Бромберг П. В. Матричные методы в теории релейного и импульсногорегулирования. М.: Наука, 1967. - 323 с.

10. Бутенин Н.В. К теории принудительной синхронизации в нелинейных следящих системах. Труды ЛКВВИА, вып. 39, 1951. стр. 3-25.

11. Бутенин Н.В. Элементы теории нелинейных колебаний. Ленинград, 1962. - 195 с.

12. Бутенин Н.В., Неймарк Ю.И., Фуфаев Н.А. Введение в теорию нелинейных колебаний. Учебное пособие для втузов: 2- е изд., испр. М.:• Наука, 1987.-384 с.

13. Воронов А. А. Устойчивость, управляемость, наблюдаемость,- М.: Наука, 1979.- 336 с.

14. Вышнеградский И. А. О регуляторах непрямого действия // Известия СПБ. Практического технологического института. 1878. С. 1 - 48.

15. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. 4-е изд., доп. М.: Наука, 1988. - 552 с.

16. Гультяев А. К. MATLAB 5.2. Имитационное моделирование в среде Windows: Практическое пособие. СПб.: КОРОНА принт, 1999. - 288 с.

17. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости,- М.: Наука, 1967. 472 с.

18. Дудников Е. Г. Введение в теорию непрерывного регулирования с постоянной скоростью закрытия // Автоматика и телемеханика. 1939. Т. 4. № 6. С. 67 - 84.

19. Жиль Ж., Пелегрен М., Декольн П. Теория и техника следящих систем. М.: Машгиз, 1961.- 804 с.

20. Иванов В.А., Ющенко А.С. Теория дискретных систем автоматического регулирования. М.: Наука, 1983. - 395 с.

21. Калиткин Н. Н. Численные методы: Учебное пособие для вузов / Под ред. А. А. Самарского. М.: Наука, 1978.-512с.

22. Красовский А. А. О вибрационном способе линеаризации некоторых нелинейных систем // Автоматика и телемеханика. 1948. Т. 9. № 1. С. 20 -29.

23. Кулебакин В. С. К теории автоматических вибрационных регуляторов для электрических машин // Теоретическая и экспериментальная электротехника. 1932. № 4. С. 3 - 21.

24. Лебеденко Ю. И. Анализ и синтез релейных систем с нелинейными объектами управления методом фазового годографа: Дис. кандидата технических наук. Тула: ТулГУ, 1997. - 173 с.

25. Лурье А.И. Об устойчивости автоколебаний регулируемых систем. Автоматика и телемеханика, т. 9, № 1, 1948, с. 361-362.

26. Макаров Н. Н. Численные методы в задачах анализа, синтеза и проектирования систем автоматического управления. Тула: ТулПИ, 1983.-76 с.

27. Мак-Кол JI. Основы теории сервомеханизмов. М.: Изд-во иностр. литер., 1947. - 168 с.

28. Малкин И.Г. Теория устойчивости. М.: Наука, 1966. - 532 с.

29. Математические основы теории автоматического регулирования: Учебное пособие для втузов / Под ред. Б. К. Чемоданова. Т. 1, 2. М.: Высшая школа, 1977. Т. 1 - 366 с. Т. 2 - 455 с.

30. Методы классической и современной теории автоматического управления: Учебник в 3-х т. Т. 1: Анализ и статистическая динамика систем автоматического управления / Под ред. Н. Д. Егупова. М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2000. - 748 с.

31. Неймарк Ю. И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1972. - 471 с.

32. Неймарк Ю. И. О периодических режимах и устойчивости релейных систем // Автоматика и телемеханика. 1953. Т. 14. № 5. -с. 556 569.

33. Неймарк Ю.И. О периодических движениях релейных систем. Сборник «Памяти Александра Александровича Андронова», М., 1954, с. 242-273

34. Неймарк Ю.И. Об автоколебаниях и вынужденных колебаниях релейных систем с запаздыванием. Автоматика и телемеханика, т. 16, № 3, 1955, с. 225-232.

35. Никольский Г. Н. К вопросу об автоматической устойчивости корабля на заданном курсе // Труды Центральной лаборатории проводной связи. Вып. 1. 1934.-С. 34 75.

36. Панферов Н.В. Анализ и синтез релейных систем с трёхпозиционными релейными элементами: Дис. кандидата технических наук. Тула: ТулГУ, 2001. - 175 с.

37. Пестрякова И.С. Синтез воздушно-динамического рулевого привода, работающего в режиме вынужденных колебаний // Техника XXI века глазами молодых ученых и специалистов. Выпуск 3. ТулГУ, 2003,- с. 227 -233

38. Пестрякова И.С. Частотный критерий устойчивости вынужденных колебаний в релейных системах // Изв. ТулГУ. Серия. Проблемы специального машиностроения. Вып. 6. Часть 1. -Тула: ТулГУ, 2003. с. 321-325

39. Пестрякова И. С. Синтез пневмопривода, работающего в режиме вынужденных колебаний // XXIX Гагаринские чтения. Тезисы докладов международной конференции. Том 6. Москва: МАТИ, 2003. - с. 79

40. Пестрякова И.С. Линеаризация по полезному сигналу релейных систем с ограничителями в объекте управления // XXX Гагаринские чтения.Тезисы докладов международной конференции. Том 6,-Москва.МАТИ, 2004. с. 91

41. Попов Е.П. Приближенное исследование автоколебаний и вынужденных колебаний нелинейных систем. Известия АН СССР, ОТН. - 1954,- №5. - с. 3-38.46. 14. Попов Е.П., Пальтов И.П. Приближенные методы исследования нелинейных систем. -М.: Наука, 1960. -792 с.

42. Потемкин В. Г. Система инженерных и научных расчётов MATLAB 5.x: В 2-х т. М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 1999. Т. 1 - 366 с. Т. 2 - 304 с.

43. Поспелов Г. С. Динамические характеристики релейных следящих систем // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1965. № 3. С. 43 - 52.

44. Поспелов Г. С. Некоторые вопросы теории релейных систем автоматического регулирования. Основы автоматического регулирования, Теория. -М.: Машгиз, 1954. 950-982 с.

45. Поспелов Г.С. Побудительная стабилизация релейно-контактных систем автоматического регулирования. Труды ВВИА им. Н.Е. Жуковского, вып. 335, 1949.

46. Поспелов Г. С. Релейные системы автоматического регулирования // Теория автоматического регулирования / Под ред. В. В. Солодовникова. Кн. 3. Ч. 2. М.: Машиностроение, 1969. - С. 9 - 65.

47. Пупков К.А., Фалдин Н.В., Егупов Н.Д. Методы синтеза оптимальных систем автоматического управления: Учебник под ред. Н.Д. Егупова,- М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000,- с.147-155

48. Пученков Н. В. Метод фазового годографа для систем с ограничителями в объекте управления и его применение для синтеза газовых рулевых приводов: Дис. кандидата технических наук. Тула: ТулГТУ, 1995.- 188 с.

49. Пупков К.А., Фалдин Н.В., Егупов Н.Д. Методы синтеза оптимальных систем автоматического управления: Учебник/ под ред. Н.Д. Егупова,- М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000,- с.147-155.

50. Растригин JI. А. Системы экстремального управления. М.: Наука, 1974. - 630 с.

51. Руднев С. А., Фалдин Н. В. Анализ релейного автоколебательного пневмопривода // Вопросы оптимизации и автоматизации конструкторских работ. Вып. 24. Тула: ТулПИ, 1974. - С. 142 - 154.

52. Руднев С. А., Фалдин Н. В. Линеаризация релейной следящей системы по полезному сигналу // Изв. РАН. Теория и системы управления. 1998. № 2,- С. 36-43.

53. Следящие приводы: В 3-х т. 2-е изд., доп. и перераб. / Под ред. Б. К. Чемоданова. Т. 1: Теория и проектирование следящих приводов / Е. С. Блейз, А. В. Зимин, Е. С. Иванов и др. М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 1999. - 904 с.

54. Солодовников В. В., Плотников В. Н., Яковлев А. В. Основы теории и элементы систем автоматического регулирования: Учебное пособие для вузов. М.: Машиностроение, 1985.-536с.

55. Фалдин Н. В. Точный метод исследования релейных систем // Машиностроение (энциклопедия). Т. 1 4: Автоматическое управление. Теория / Под ред. Е. А. Федосова. - М.: Машиностроение, 2000. - С. 231 -253.

56. Фалдин Н. В., Лебеденко Ю. И. Линеаризация автоколебательных релейных систем // Системы автоматического управления и их элементы. -Тула: ТулГУ, 1996. С. 41 - 52.

57. Фалдин Н. В., Панфёров Н. В. Динамика релейных автоколебательных систем управления // V международная конференция "Нелинейные колебания механических систем". Тез. докл. Нижний Новгород: ННГУ, 1999. - С. 220.

58. Фалдин Н. В., Панфёров Н. В., Федоровский П. Ю. Исследованиережима слежения в релейных системах с трёхпозиционными релейными элементами // Изв. ТулГУ. Серия Проблемы специального машиностроения. Вып. 2. Тула: ТулГУ, 1999. - С. 273 - 276.

59. Фалдин Н.В., Пестрякова И. С. Линеаризация по полезному сигналу релейной следящей системы, работающей в режиме вынужденных колебаний // Изв. ТулГУ. Серия. Проблемы специального машиностроения. Вып. 4. Часть 2. -Тула: ТулГУ, 2001. с. 43-46

60. Фалдин Н.В., Пестрякова И.С. Частотный анализ релейных систем, работающих в режиме вынужденных колебаний // Изв. ТулГУ. Серия. Проблемы специального машиностроения. Вып.4. Часть 2,-Тула:ТулГУ,2001. с. 64-67

61. Фалдин Н.В., Пестрякова И.С. Алгебраический критерий устойчивости вынужденных колебаний в релейных системах с трехпозиционным релейным элементом // Изв. ТулГУ. Серия. Проблемы специального машиностроения. Вып. 7. Часть 1. -Тула: ТулГУ, 2004 -с. 300-305

62. Фалдин Н. В., Пученков Н. В., Руднев С. А., Шустов А. В. Синтез автоколебательного пневмопривода // Системы автоматического управления и их элементы. Тула: ТулГТУ, 1994. - С. 106 -116.

63. Фалдин Н. В., Руднев С. А. О существовании фазового годографа релейной системы // Моделирование и оптимизация систем автоматического управления. Тула: ТулПИ, 1985. - С. 53 - 71.

64. Фалдин Н. В., Руднев С. А. Оптимизация в конечномерном пространстве. Тула: ТулПИ, 1986. - 72 с.

65. Фалдин Н. В., Руднев С. А. Синтез релейных систем методом фазового годографа // Изв. вузов. Приборостроение. 1982. № 7. С. 32 - 36.

66. Фалдин Н. В., Руднев С. А., Пученков Н. В. Фазовый годограф релейной системы при наличии ограничителя в объекте управления // Системы автоматического управления и их элементы. Тула: ТулГТУ, 1994.- С. 96 - 106.

67. Феофилов С.В. Методы анализа и синтеза релейных систем с цифровым управлением и их применение для синтеза воздушно-динамических рулевых приводов: Дис. кандидата технических наук. -Тула: ТулГУ, 2002. 138 с.

68. Сакава И. Субгармонические колебания в релейных системах регулирования. Труды I Международного конгресса МФАУ. Теория дискретных оптимальных и самонастраивающихся систем. Изд -во АН СССР. -М., 1961, 322-355 с.

69. Цыпкин Я.З. Об устойчивости периодических режимов в релейных системах автоматического регулирования. Автоматика и телемеханика, т. 14, № 1. -1953,- 11-33 с.

70. Цыпкин Я.З. Частотные характеристики релейных следящих систем. Автоматика и телемеханика, т. 20, № 12. -1959,- 1603-1610 с.

71. Цыпкин Я. 3. Теория релейных систем автоматического регулирования. М.: Гостехиздат, 1955. - 456 с.

72. Цыпкин Я. 3. Релейные автоматические системы. М.: Наука, 1974. -576 с.

73. Цыпкин Я. 3. Теория линейных импульсных систем. М.: Физматгиз, 1963.-968 с.

74. Цыпкин Я.З. Вынужденные колебания в релейных системах автоматического регулирования. Автоматика и телемеханика, т. 13, № 5, 1952, с. 510-524.

75. Ямазуги Дз, Насимура М., Марухаши Т., Фудзии К. Субгармонические колебания в релейных следящих системах. Труды I Международного конгресса МФАУ. Теория дискретных оптимальных и самонастраивающихся систем. Изд -во АН СССР. -М., 1961, 309-321 с.

76. Янг JI. Лекции по вариационному исчислению и теории оптимального управления. М.: Мир, 1974. - 488 с.

77. Hamel В. A mathematical study of on-off controlled higher-order systems // Proc. of the Symposium on nonlinear circuit analysis. New York, Polytechnic Institute of Brooklyn, 1956. V. VI. P. 225 - 232.

78. Faldin N. V., Panferov N. V., Boiko I. M. Input-output analysis of dead-zone relay control systems // Proceedings of the American Control Conference. Arlington, VA, USA, 2001. - P. 1507 - 1512.

79. Fasol K.H., Springer T. Ein Beitrag zur Vereifachung der analyse von Relais-Regelsystemen. Regelungstechnik, т. 16, No. 3. -1968, 97-104 c.

80. Gille J.C., Paquet J.G. Subharmonic oscillation in on-off Control systems/ Application and industry, No. 62. -1962, 210-216 c.

81. Kochenburger R. Analyzing contactor servomechanisms. Electrical Engineering, т. 69, No. 8,1950. - c. 687 - 692.

82. Ogata K. Fn analytic method for finding the closed-loop frequency response on nonlinear feedback control systems. Application and Industry, No. 33. -1957, 277-285 c.

83. Rocard Y. Relaxation, synchronization et demultiplication de frequence. L'Onde Electrique, т. 16, No. 187, 1937. стр. 396 - 412.