автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Прикладные методы анализа и синтеза релейных автоколебательных систем с нелинейными объектами управления

На правах рукописи

ФЕОФИЛОВ Сергей Владимирович

ПРИКЛАДНЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА И СИНТЕЗА РЕЛЕЙНЫХ АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ С НЕЛИНЕЙНЫМИ ОБЪЕКТАМИ

УПРАВЛЕНИЯ

Специальность: 05.13.01-"Системный анализ, управление и обработка информации (промышленность, промышленная безопасность и экология)"

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Тула-2009

003480825

Работа выполнена в ГОУ ВПО Тульский государственный университет

Научный консультант:

доктор технических наук, профессор

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор доктор технических наук, доцент доктор технических наук, профессор

Фалдин Николай Васильевич

Егупов Николай Дмитриевич Мозжечков Владимир Анатольевич Савельев Валерий Викторович

Ведущая организация: ГУП "Конструкторское бюро при-

боростроения" г. Тула

Защита состоится "¿'У" У2 2009 г. на заседании диссертационного совета Д 212.271.05 при ГОУ ВПО Тульский государственный университет по адресу: 300600, г. Тула, пр. Ленина, 92, 9-101.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Тульского государственного университета.

Автореферат разослан " £>#" ^О_2009 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета — В-М- Панарин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Современная теория автоматического управления имеет достаточное количество эффективных инструментов анализа и синтеза линейных систем управления. Результаты, полученные в нелинейной теории, имеют, как правило, частный характер и относятся к определенному классу нелинейно-стей. В настоящее время фундаментальной проблемой теории управления является разработка методов анализа и синтеза новых важных и более широких классов нелинейных систем. Одним из таких классов являются релейные системы управления. Эти системы традиционно широко применяются в различных областях техники, что обусловлено рядом их преимуществ по сравнению с другими типами систем управления. К основным достоинствам релейных систем следует отнести простоту конструкции, настройки и эксплуатации. При этом во многих случаях они позволяют получить более высокие динамические характеристики. Релейные системы могут обладать большим быстродействием вследствие того, что управляющий сигнал в них изменяется практически мгновенно и объект управления всегда подвержен максимальному управляющему воздействию. Одной из характерных особенностей релейных систем является их склонность к автоколебаниям. Такой режим часто используется в качестве рабочего. Именно наличие автоколебаний позволяет добиваться нечувствительности системы к воздействию многих внешних возмущений, устранять вредное влияние отдельных нелинейных характеристик объекта управления.

Исследованию релейных автоколебательных систем посвящены многочисленные работы. Наиболее известными в этой области авторами являются A.A. Андронов, Ю. И. Неймарк, П. В. Бромберг, Гамель, Я.З. Цыпкин. За последние 30 лет на кафедре систем автоматического управления Тульского государственного университета под руководством профессора Н.В. Фалдина сформировалась научная школа по исследованию релейных систем. В рамках указанной школы значительный вклад в теорию релейных систем внесли С.А. Руднев, Н.В. Пученков, Ю.И. Лебеденко, Н.В. Панферов, А.Е. Чернов, П.Ю. Федоровский. Однако, во всех указанных трудах речь, как правило, идет о системах с линейным объектом управления (ОУ). К сожалению, реальные технические объекты управления, практически всегда, являются нелинейными и только при наличии соответствующих методов анализа и синтеза можно обеспечить высокое качество системы управления, а иногда и, вообще, решить задачу синтеза. Таким образом, актуальной является задача разработки прикладной теории релейных систем с нелинейными объектами управления.

Нелинейность технического объекта управления во многих случаях обусловлена наличием различного рода ограничителей. Это могут быть ограничители типа насыщение или ограничители типа механический упор. Последние в свою очередь можно разделить на жесткие и упругие. Вообще, важными для практики являются кусочно-линейные объекты управления. Именно указанным классам нелинейных ОУ уделено основное внимание в диссертационной работе.

Системы с двухпозиционным релейным управлением наряду с многочисленными преимуществами имеют существенный недостаток. В них невозможно

управлять амплитудой автоколебаний независимо от частоты. При проектировании реальных систем требования технического задания часто оказываются противоречивыми. С одной стороны требуется уменьшить амплитуду автоколебаний, а с другой не увеличивать их частоту. В этом случае перспективным является использование трехпозиционного управления. Такие системы являются более гибкими, так как имеют дополнительный параметр управляющего релейного сигнала- его скважность. Это позволяет изменять амплитуду автоколебаний независимо от их частоты. Однако, методы анализа и синтеза этих систем требуют разработки, поскольку в литературе практически не представлены.

Следует отметить сложность рассматриваемых в диссертации систем. С одной стороны сам релейный элемент представляет собой разрывную статическую нелинейность, т.е. является существенно нелинейным звеном. С другой стороны объекты управления также являются нелинейными и могут иметь сложную математическую модель. Например, звено с ограничителем типа жесткий механический упор описывается дифференциальным уравнением второго порядка с разрывной правой частью, причем разрывной (из-за удара об упор) является и фазовая траектория звена.

Практически все современные технические системы реализуются в цифровом виде. Наличие компактных и высокопроизводительных микроконтроллеров позволяет значительно проще реализовывать сложные законы управления. Кроме того, современное состояние микроэлектроники и цифровой техники предоставляет широкие возможности для модернизации устаревших аналоговых систем. Релейные системы с цифровым управлением являются специфическим классом систем автоматического управления, которые в научно-технической литературе рассмотрены весьма слабо. В таких системах имеет место дискретизация сигналов по времени и уровню. Они имеют ряд особенностей и обладают свойствами, которые не характерны, для систем с непрерывным временем. Развитие таких систем существенно сдерживается отсутствием теории, позволяющей проводить их анализ и синтез. Это потребовало разработки теоретических методов исследования релейных систем с цифровым управлением.

С использованием разработанной теории в диссертации решены прикладные задачи синтеза двух релейных автоколебательных воздушно-динамических рулевых приводов соответственно с двух и трехпозииионным управлением. Такие приводы в последнее время широко используются в малогабаритных управляемых ракетах. Они не требуют специального источника питания, а используют энергию набегающего воздушного потока, отличаются простотой конструкции, малой стоимостью, удобны в эксплуатации и хранении. Воздушно-динамический привод как объект управления является существенно нелинейной динамической системой. Нелинейность привода обусловлена, прежде всего, наличием в нем механических упоров, которые приводят к нелинейностям специфического вида. Качество и точность наведения ракеты на цель существенно зависят от ошибок, которые вносит привод в формирование вектора перегрузки. Чем меньше эта ошибка, тем выше качество процесса наведения и вероятность поражения цели. Ошибка в формировании вектора перегрузки определяется системой управления привода. Располагая соответствующими методами синтеза, можно минимизиро-

вать ошибку привода и тем самым повысить качество процесса наведения. Настоящая работа направлена, в том числе, на разработку методики синтеза воздушно-динамических рулевых приводов малогабаритных управляемых ракет. Создание такой методики является непростой задачей, так как с одной стороны указанные приводы, как уже отмечалось, являются существенно нелинейными системами. С другой стороны, вследствие изменения скорости ракеты и плотности воздуха, параметры привода могут изменяться в широких пределах (для зенитных управляемых ракет малой дальности в сотни и более раз). Далее, к приводам предъявляются жесткие требования по массогабаритным показателям. Это исключает применение каких-либо сложных систем управления.

Обьектом исследования являются релейные автоматические системы с нелинейными объектами управления.

Целью работы является решение важной научно-технической проблемы, состоящей в создании прикладных методов анализа и синтеза релейных автоколебательных систем с нелинейными объектами управления. Разработка на основе указанных методов методики синтеза релейных автоколебательных воздушно-динамических рулевых приводов, позволяющей получать системы с наилучшими в рамках заданной структуры характеристиками.

Основными задачами, решенными в диссертации, являются

1. Разработка на основе понятия фазового годографа общего подхода к анализу и синтезу релейных автоколебательных систем с нелинейными ОУ.

2. Разработка методов определения параметров периодических движений в релейных системах с двух и трехпозиционными релейными элементами (РЭ) и нелинейными объектами управления.

3. Разработка методов оценки устойчивости автоколебаний в указанных релейных системах.

4. Создание простых в применении методов анализа релейных систем с цифровым управлением.

5. Разработка методики синтеза релейных автоколебательных систем.

6. Разработка алгоритмического и программного обеспечения для синтеза релейных автоколебательных воздушно-динамических рулевых приводов с использованием методов конечномерной оптимизации.

Методы исследования. Отличительной особенностью релейных систем является то, что в них известна форма сигнала, поступающего с релейного элемента на вход объекта управления. В методах Цыпкина, Гамеля и Поспелова (они относятся к релейным системам с линейными объектами управления) это обстоятельство используется для определения возникающих в релейной системе автоколебаний. Однако, результаты исследований, проведенных автором, позволяют сделать вывод о том, что априорные знания о форме сигнала, поступающего на объект управления, являются той информацией, основываясь на которой можно построить удобную для практического использования теорию релейных систем с нелинейными объектами управления. На основе метода фазового годографа получены результаты, позволяющие исследовать релейные системы с нелинейными объектами управления. При получении теоретических результатов использовались методы теории дифференциальных уравнений, вариационного исчисления, нели-

нейной теории автоматического управления, теории дискретных систем, теории матриц. При анализе и синтезе конкретных систем широко применялись численные методы решения дифференциальных уравнений, цифровое моделирование.

Научная новизна работы. В диссертации разработаны новые теоретические методы и практические методики анализа и синтеза релейных автоколебательных систем с нелинейными объектами управления. Получены следующие новые научные результаты:

1. Методы построения фазового годографа для систем с двухпозиционным релейным элементом. Выявлены особенности фазового годографа, т.е. установлено, когда он является гладкой вектор-функцией, в каких, случаях имеет разрывы и точки ветвления. Получено дифференциальное уравнение, решением которого является ФГ. Для кусочно-линейных объектов управления оно позволяет существенно упростить (сократить время) построения фазового годографа. Разработаны алгоритмы локализации и вычисления всех ветвей неоднозначности для следующих классов объектов управления:

- системы с произвольно расположенными звеньями типа жесткий механический упор;

- системы с упругими ограничителями;

- кусочно-линейные объекты управления общего вида.

2. Методы оценки устойчивости периодических движений в системах с двухпозиционным релейным элементом. Разработан алгебраический критерий устойчивости автоколебаний в системах с нелинейным объектом управления. Устойчивость автоколебаний сведена к устойчивости линейного разностного уравнения, которая определяется собственными числами некоторой матрицы С. Для систем с кусочно-линейными объектами управления, в том числе и при наличии звеньев с ограничителями, получены аналитические зависимости, задающие матрицу С в явном виде.

3. Методы определения периодических движений в системах с трехпозици-онным управлением. Разработаны методы построения фазового годографа с полным выделением всех его ветвей неоднозначности для объектов с ограничителями и кусочно-линейными ОУ. Получено дифференциальное уравнение, позволяющее уменьшить требования к вычислительным ресурсам, необходимым для построения ФГ. Создан также метод нахождения параметров периодических движений в системах с двумя управляющими двухпозиционными релейными элементами.

4. Методы оценки устойчивости автоколебаний в системах с трехпозицион-ным релейным элементом. Получен алгебраический критерий асимптотической орбитальной устойчивости периодических движений для систем с произвольным нелинейным объектом управления. Получены аналитические зависимости, позволяющие вычислять матрицы линеаризованного оператора сдвига для различных ОУ и видов периодических движений.

5. Методы анализа периодических движений в релейных системах с цифровым управлением. Разработаны алгоритмы определения параметров автоколебаний в релейно-импульсных и цифровых системах с двух и трехпозиционным управлением. Предложен простой способ определения устойчивости периодических движений в таких системах. Кроме того, разработан приближенный усилен-

ный критерий, который более полно учитывает специфику таких систем. Выявлены условия возникновения квазистохастических процессов и возможность использования такого режима в качестве рабочего.

6. Методика синтеза релейных автоколебательных систем с нелинейными объектами управления. На основе разработанных теоретических положений получен алгоритм, позволяющий рассматривать задачу синтеза, как задачу конечномерной оптимизации и формировать системы с наилучшими в рамках заданной структуры показателями качества.

Практическая ценность работы состоит в том, что на базе единого подхода разработаны прикладные методы синтеза и оптимизации релейных автоколебательных систем с различными нелинейными объектами управления. Полученные в диссертации теоретические результаты имеют выраженную практическую направленность. Их хорошая сочетаемость с методами конечномерной оптимизации и простая программная реализация позволяют получать системы с наилучшими показателями качества.

Следует отметить вычислительную экономичность созданных методов. Все трудоемкие с вычислительной точки зрения операции выполняются однократно на предварительном этапе и в процессе оптимизации, когда анализируется большое количество вариантов, не используются. Это позволяет упростить синтез, и многократно сократить сроки проектирования релейных систем.

Самостоятельное значение имеет разработанная в диссертации методика синтеза воздушно-динамических рулевых приводов, посредством применения которой в работе синтезированы два привода с высокими динамическими характеристиками.

Реализация результатов. Диссертационная работа выполнена на кафедре систем автоматического управления Тульского государственного университета и в ней нашли отражение результаты исследований, проведенных автором в рамках гранта № 05-08-33506 Российского фонда фундаментальных исследований «Прикладная теория релейных систем с нелинейными объектами управления», выполнявшегося в 2005-2008гг. В 2008 году по тематике диссертации автором был получен грант Президента РФ для поддержки молодых российских ученых № МК-3963.2008.8 «Синтез и оптимизация релейных автоколебательных рулевых приводов малогабаритных управляемых ракег». Результаты, полученные в диссертации, использовались при проведении хоздоговорных работ с ГУП «КБ Приборостроения» на тему «Разработка метода синтеза и оптимизации релейных автоколебательных воздушно-динамических рулевых приводов ПТУР и ЗУР малой дальности». Методика синтеза и оптимизации релейных воздушно-динамических рулевых приводов внедрена в практику проектирования указанного предприятия. Кроме того, результаты исследований внедрены в учебный процесс Тульского государственного университета в лекционный курс «Динамика нелинейных систем управления» и используются студентами при выполнении дипломных проектов и магистерских диссертаций.

Основные положения, выносимые на защиту

I. Общий подход к анализу и синтезу релейных автоколебательных систем с нелинейными объектами управления.

2. Методы анализа и синтеза релейных автоколебательных систем с двухпо-зиционным управлением, включающие:

а) метод построения фазового годографа для трех классов нелинейных объектов управления (кусочно-линейные ОУ, системы с жесткими механическими ограничителями, системы с упругими ограничителями);

б) критерий устойчивости автоколебаний для систем с нелинейным ОУ. Аналитические зависимости для матриц, по собственным числам которых оценивается устойчивость систем с кусочно-линейными ОУ и систем с различными типами ограничителей;

в) методика синтеза и оптимизации релейных регуляторов.

3. Методы анализа и синтеза релейных систем с трехпозиционным управлением, в том числе систем с двумя управляющими РЭ, включающие:

а) метод определения параметров периодических движений и построения фазового годографа, алгоритмы локализации и определения ветвей неоднозначности ФГ для кусочно-линейных ОУ и объектов с ограничителями;

б) алгебраический критерий асимптотической орбитальной устойчивости автоколебаний;

в) методика синтеза и оптимизации автоколе бательных систем.

4. Алгоритмы определения автоколебаний и способы оценки их устойчивости в релейно-импульсных системах и релейных системах с цифровым управлением.

5. Методика синтеза релейных автоколебательных рулевых приводов с двух и трехпозиционным управлением.

Апробация работы. Основные положения диссертации докладывались на двух Международных молодежных научных конференциях "XXV и XXVIII гага-ринские чтения" (Москва, 1999г. и 2002г.), III международной научно-технической конференции "Управление в технических системах-ХХ1 век " (Ковров, 2000г.), Всероссийской молодежной научной конференции "VI Королевские чтения" (Самара, 2001г.), VI всероссийской конференции "Проблемы совершенствования робототехнических и интеллектуальных систем летательных аппаратов" (Москва, 2002г.), пяти Всероссийских научно-технических конференциях "Проблемы специального машиностроения" (Тула, 1999г., 2001г., 2002г., 2003 г., 2005г.), VII Всероссийской юбилейной научно-технической конференции "Проблемы совершенствования робототехнических и интеллектуальных систем летательных аппаратов" (Москва, 2005г.), Всероссийской научно-технической конференции "Мехатронные системы (теория и проектирование)" (Тула, 2006г.), Международной научно-практической конференции "Перспективные инновации в науке, образовании, производстве и транспорте '2007" (Одесса, 2007г.), II международной конференции «Системный анализ и информационные технологии» (Обнинск, 2007г.), Восьмой всероссийской научной конференции "Нелинейные колебания механических систем" (Н. Новгород, 2008г.), Международной научной конференции "Математическая теория систем" (Москва. 2009г.).

Структура и объем работы. Работа состоит из введения, трех частей, семи глав, выводов по результатам исследований, списка литературы из 225 наименований. Диссертация изложена на 305 страницах, содержит 133 рисунка и 9 таблиц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении излагается современное состояние проблемы, обосновывается актуальность темы работы. Сформулированы цели и задачи исследования, рассмотрены существующие методы анализа релейных автоколебательных систем. Выделены классы объектов управления, изучаемые в работе. Приведены положения, определяющие объем и структуру диссертации.

В первой главе разрабатываются методы построения фазового годографа и определения периодических движений в автоколебательных системах с двухпо-зиционным релейным элементом. Фазовый годограф это характеристика объекта управления, которая позволяет выделить все возможные периодические движения в замкнутой релейной системе еще до выбора обратных связей. Это обстоятельство имеет решающее значение для синтеза релейных систем.

В настоящем разделе рассматриваются системы, которые задаются уравнениями

$ = /(*.«). О

at

и = Ф(у-<г(х),Ь), (2)

где x = (j:,,jc2,...x,.) - «-мерный фазовый вектор системы; f(x,u) = (fi(x,u),f2(x,u),---,f„ixyu)) " кусочно-непрерывная, кусочно-гладкая по х вектор-функция; ст(х) - гладкая скалярная функция векторного аргумента, причем /(-*, -и) = -f(x, u) ; сг(-х) = -ct(.v) ; y(t) - входное воздействие (скалярная функция), функция Ф задается статической характеристикой двухпозиционного релейного элемента (рис. 1 ).

А и

-ь ь

-А

Рис.1. Статическая характеристика двухпогицнонного релейного элемента. В автономной (у(1) = 0) релейной системе (1), (2) периодическое движение определяется одной (любой) точкой с предельного цикла. Будем задавать периодическое движение точкой х'(Т), (27*- период), соответствующей переключению релейного элемента с минуса на плюс. Вектор-функция х'(Т) (0 < Г <оо) выделяет множество всех возможных простых симметричных периодических движений объекта управления и называется фазовым годографом (ФГ) релейной системы. Точка х'(Т) принадлежит фазовому годографу тогда и только тогда, когда она удовлетворяет уравнению

х\Т) + Р(х\Т),А,Т) = 0, (3)

где Р{х(0),А,0 - решение уравнения (1) при и(1) = А и начальном условии х(0). Равенство (3) называется основным уравнением фазового годографа. Общим способом построения ФГ является численное решение его основного уравнения (3).

При известном фазовом годографе периодическое движение, возникающее в замкнутой автономной у(7) = 0 системе (1), (2), определяется из условий переключения релейного элемента и задается точкой пересечения ФГ с поверхностью переключений. Точка х'(Ти) называется точкой пересечения, если

<г(ЛГ0)) = -Ь, <0. (4)

К настоящему времени на основе понятия фазового годографа достаточно полно разработана теория релейных систем с линейными объектами управления, однако реальные технические устройства, как правило, описываются нелинейными дифференциальными уравнениями.

Важнейшими задачами при анализе и синтезе релейных систем на основе выбранного подхода являются качественный анализ и полное построение фазового годографа. Если /(х,и) является непрерывно дифференцируемой по х функцией, то как следует из уравнения (3) и теорем существования для неявных функций, разрыв фазового годографа или его ветвление возможны лишь в точках Т, для которых

дР{х\А,Т)

<1е1

/+-

= 0, (5)

дх

где /-единичная матрица. Далее, если х'(Т), 0<Т<х>, является решением уравнения (3) и в каждой точке Т равенство (5) не имеет место, то фазовый годограф х'(Г) является гладкой функцией.

Построение фазового годографа для нелинейного объекта управления общего вида (1) возможно с помощью численного решения уравнения (3). Здесь можно использовать любые методы решения системы нелинейных алгебраических уравнений. Например, хорошо зарекомендовал себя алгоритм, названный Н.В. Фалдиным методом итераций с принудительным симметрированием. Он задается следующим выражением

у^ ¿ = 0,1,2,- (^-»/(ПприЛ-х»). (6)

Однако, алгоритм (6), как правило не позволяет построить ФГ как неоднозначную вектор-функцию. Методы полного построения ФГ с выделением всех его ветвей неоднозначности рассмотрены ниже.

Важным классом нелинейных объектов управления являются кусочно-линейные системы. К кусочно-линейным относятся, например, ОУ, содержащие различного рода ограничители, которые чрезвычайно широко распространены в технических системах, а также объекты управления, содержащие нелинейности типа люфтов., зон нечувствительности. Движение релейной системы с кусочно-линейным ОУ задаётся следующими уравнениями

-=С-х + В-и, (7)

если )[<£>, и уравнением

Их

— = С'-х+В'-и, (8)

Л

если |5(^)|> О. В равенствах (7) и (8) управление и по-прежнему задается уравнением (2), х = (хгх2,...,хп) - и-мерный вектор состояния, С и С* - постоянные

матрицы размерности их и, В и В* - и-мерные векторы. Будем, далее, полагать, что 5(.г) - симметричная (5(-д:) = -5(х)) непрерывно дифференцируемая функция.

Для полного построения фазового годографа кусочно-линейного ОУ необходимо иметь представление о качественном его поведении. При малых значениях полупериода Т периодические траектории полностью лежат в области |5(лг)|< В. В этом случае для построения ФГ можно использовать известные аналитические зависимости. Например, можно воспользоваться уравнением

(/ + егг)-х'(Т) = ~А-еа-'¡е^-В-с/г, о

которое представляет собой систему линейных алгебраических уравнений, относительно х'(Т) (/= !,«)•

Далее, при некоторой величине полупериода Т' фазовая траектория лежит в области |5(х)] < £> и в некоторой точке I касается одной из границ 5(дг)± В = 0. Если при этом справедливо неравенство

^И(С'х(1') + В'и(1' + 0))*0, (9)

с1х

то в точке Т фазовый годограф х'(Т) будет иметь разрыв. Более того, проведенные исследования показывают, что к точке Т' примыкает участок, на котором фазовый годограф является неоднозначной вектор-функцией. Вид Я-характеристики (компоненты фазового годографа) для выходной координаты х, кусочно-линейного объекта управления показан на рис.2. На рисунке ветвь ОВ соответствует движениям в области ^(лг)! < О, ветвь СЕ соответствует периодическим траекториям, лежащим в обеих областях. Как показывают выполненные исследования для выделения участка неоднозначности можно применить алгоритм (6), используя его в двух направлениях. Это значит, что сначала фазовый годограф строится с увеличением Т от нуля до некоторого максимального значения полупериода Т2, а затем с уменьшением Т от Т2 до нуля. Таким способом удается выделить участок неоднозначности фазового годографа. На этом участке возможно существование двух периодических движений с одинаковой частотой, но разных по форме.

Рис. 2. И -характеристика кусочно-линейного ОУ.

Для вычисления непрерывных ветвей фагового годографа кусочно-линейного ОУ можно предложить другой способ, который требует существенно меньших затрат машинного времени, чем алгоритм (6). Этот способ сводит построение ФГ к решению некоторого дифференциального уравнения.

Рассмотрим периодическую траекторию х(/) периода 2Т и близкую к ней траекторию *(/) = *(/) + £*(/) периода 2(Т + М) (см. рис. 3). На рисунке для определенности положено, что .^(х'^))< £>. Обозначим далее К(/) = е° и

Рис. 3. Вия функций 5(*(г)) II £(*(<)+ <?.*(/)). В работе получено следующее равенство

где

о VI,\ (*('.-Ж(аК(0

(10)

(П)

У ' ск

Фазовый годограф кусочно-линейного ОУ (7), (8) является решением дифференциального уравнения (10).

Важнейшим подклассом кусочно-линейных ОУ являются такие, нелинейность которых обусловлена наличием различного рода ограничителей. Практически любой технический объект имеет те или иные ограничители. Исходя из математического описания звеньев, содержащих ограничители, можно выделить ограничители в форме насыщения (рис.4) и в форме механических упоров, которые в свою очередь делятся на жесткие (рис.5) и упругие (рис.6)._

U к * u к

s + а J s2+ 2as

Рис.4. Звено с ограничителем Рнс.5. Звено с ограничителем в форме

в форме насыщения. жестких механических упоров.

и к Г) 7s, X,

/+2с«+Г| v/

Рис.6. Звено с ограничителем в форме упругих механических упоров. Движение звена, представленного на рис. 5, задается уравнениями х, = х2,

Гки - 2ахг - ijxi, если |дг, | < D или (лг, | = D и [ки - ) ■ sign х, < 0; (12) 2 [О, если |дг, | = D и (ки - rjxx) • sign х, > 0, причем в каждый момент /, входа на ограничитель происходит разрыв фазовой траектории

*,(*,+0) = *, (Г,-0), *,(/,+0) = 0.

Сход с ограничителя при / = /2 происходит непрерывным образом. Движение

звена, изображенного на рис.4., определяется уравнением

f кг/ - ах, если Ы < D или Ы = D и (ки - ах) ■ sign х < 0; х = \ м 11 11 (14)

[0, если = D и (ки - ах)• signх > 0.

Рассмотрим сначала ОУ с ограничителями типа жесткий механический упор (рис.5). При этом основное уравнение ФГ нелинейно, и, в общем случае, речь может идти только о численном его решении. Тем не менее, при определенной структуре объекта возможно предложить аналитический способ построения ФГ.

Рассмотрим случай, когда звено с ограничителем стоит на входе объекта, что обычно и имеет место в реальных технических системах. Пусть при входном периодическом сигнале и релейного типа в объекте существуют периодические симметричные колебания. При достижении ограничителя для расчета ФГ ведем эквивалентное управление, обеспечивающее те же симметричные периодические колебания (включая движение по ограничителю) в силу уравнений свободного движения. Например, это возможно, если эквивалентный сигнал управления u,(t) (рис. 7) содержит две 8 -функции, которые действуют в момент прихода выход-

ной координаты на ограничитель и позволяют обнулить скорость координаты.

и'(т-) * ц6((-Т<>

-А* -А

Т-«'

2Т

Рис.7. Эквивалентное управление. Использование эквивалентного управления позволяет описать движение системы линейным дифференциальным уравнением

*(0 = Сх(/)+/Ч(0,

где х(() - фазовый вектор состояния системы. Известно, что решение этого уравнения записывается в виде

I

х(() = ес'х(0) + ¡еп"г) ■ Ри,{т)йт.

(15)

Далее, вычисляя интеграл в последнем выражении с учетом формы эквивалентного управления получаем зависимость для фазового годографа системы

х\Т) =(£+ег/У-егг ■[лСГ1-(е°' ~е) + А'С~' ■{е'сг+/к "']•/>. (16)

Выражение (16) позволяет аналитически вычислять фазовый годограф в случае, когда звено с жесткими ограничителями стоит на входе ОУ. В теории управления часто применяют прием, при котором передаточная функция объекта управления представляется в виде суммы простых дробей. Для этого случая в работе получены аналитические выражения, определяющие ФГ для типовых динамических звеньев объекта управления.

Наиболее сложным для исследования является общий случай расположения, когда звено с ограничителем является внутренним звеном объекта управления (рис. 8).

гае + -л

X,

*

Рис.8. Общин случай расположения звена с ограничителем. В работе поведены исследования, которые показали, что фазовый годограф в данном случае имеет участок, на котором он является неоднозначной (трехзначной) вектор-функцией. Это означает, что существует диапазон частот, в котором возможны три периодических движения с одним периодом, но разные по форме. Задача локализации и построения всех ветвей неоднозначности ФГ является важной как с теоретической, так и практической точки зрения. Качественный вид Л-характеристики для выходной координаты звена с ограничителем приведен на рис. 9.

Е

Рис. 9. Качественный вид Я-характеристики.

Кривая ОВ отвечает «свободному» движению объекта управления. Л-характеристика СЕР включает в себя периодические решения, имеющие участок движения на ограничителе. Я -характеристика СВ соответствует периодическим траекториям, имеющим точки отражения от ограничителя. Момент С есть точка отражения, если существует интервал /*-£•</</*+£•, £>0, в котором значение х{() является единственным, лежащим на границе. Задача полного построения фазового годографа является непростой. В диссертации разработан метод, который обеспечивает вычисление всех ветвей неоднозначности ФГ. Локализация участка неоднозначности и вычисление ветвей ОВ и СЕР может быть осуществлено с помощью алгоритма (6). Основную сложность представляет построение ветви СВ. Так как рассматриваются траектории, имеющие только точки отражения от ограничителей, то полупериод Т совпадает с временем движения от ограничения х, = -О до х} = О. Поскольку удар об упор предполагается абсолютно неупругим, то *,(/') = -О, .*:,(/* +0) = 0. Момент С будем называть фазой входного сигнала у(1). Для точек С и В известны значения е'. Далее, в работе получена система алгебраических уравнений, позволяющая вычислять фазу входного сигнала, а значит и построить искомую ветвь ФГ.

Участок неоднозначности, как правило, имеет небольшую протяженность. Соответствующий ему диапазон частот никогда не используется в качестве рабочего, т.е. автоколебания из этого диапазона частот исключаются. Поэтому на практике при синтезе систем ветви неоднозначности можно не определять. Необходимо лишь знать диапазон частот, соответствующий участку неоднозначности. Этот диапазон легко выделяется с помощью алгоритма (6).

Если объект управления содержит ограничители в форме насыщения (рис.4), то его фазовые траектории непрерывны, а фазовый годограф является однозначной вектор-функцией. ФГ объекта при любом расположении такого звена с ограничителями легко может быть рассчитан с помощью численного решения уравнения (3) или дифференциального уравнения (10).

Выше было использовано допущение о том, что удар о механический упор является абсолютно неупругим. В ряде случаев необходимо более точное математическое описание. Для описания упругого ударного взаимодействия будем использовать концепцию о пропорциональной зависимости (с коэффициентом восстановления г) между относительными доударными и послеударными скоростями тел. Движение звена с упругими механическими ограничителями (рис.6) опи-

сывается уравнениями (12). При этом в момент достижения ограничителя / = происходит упругий удар с некоторым коэффициентом восстановления

*,(*'+«)) = *,(/*-0), хгЦ' + 0) = -г • хг(/ - 0). (17)

Случай г=1 соответствует абсолютно упругому, а г=(> - абсолютно неупругому соударению. Очевидно, что достижение ограничителя вызывает бесконечную последовательность отскоков, на которых движение звена описывается уравнениями движения в открытом ядре. Это порождает особенность фазового годографа звена с ограничителем, состоящую в наличии бесконечного числа зон неоднозначности, в каждой из которых возможно существование трех различных видов периодических движений. Качественный вид ^-характеристики для выходной координаты

Ветвь ОЛ соответствует движениям без достижения ограничителя; ветви ВС и ОЕ - движения с достижением ограничителя, при которых подход к упругому упору осуществляется со скоростью, совпадающей по знаку с полярностью релейного сигнала управления; ветви АВ и СО - движения с достижением ограничителя, при которых подход к упору осуществляется со скоростью, противоположной по знаку полярности релейного сигнала управления. В релейных системах, содержащих звено с упругим механическим упором, возможно существование периодических движений с любым числом ударов за период. На практике, целесообразно ограничиться рассмотрением периодических движений с однократным и двукратным достижением ограничителя на полупериоде. В диссертации разработаны методы, позволяющие построить все ветви фазового годографа для объектов управления с ограничителями типа упругий механический упор.

Таким образом, в первой главе разработаны методы построения фазового годографа и определения периодических движений в релейных системах с нелинейными ОУ. Полученные результаты позволяют не только проводить анализ релейных систем. Они в большей степени ориентированы иа их синтез, поскольку фазовый годограф выделяет все возможные периодические движения объекта управления.

Вторая глава посвящена разработке критериев устойчивости периодических движений в релейных системах с нелинейными ОУ. Создание легко проверяемых критериев устойчивости автоколебаний позволяет существенно упростить процесс синтеза релейных систем. Рассмотрим релейную систему с нелинейным объектом управления, движение которой задается уравнениями (1), (2). Положим для определенности, что функция, задающая обратные связи

где Лг - вектор-строка.

Пусть в релейной системе (1), (2) с помощью изложенных выше методов найдена периодическая траектория х{(), которая задается точкой х'(Та) (период-27*°). Обозначим через х(1) = х(() + Зх(1) возмущенную траекторию, близкую к х(1). На траектории х(1) (х(0) = х'(Т0)) переключение управления и(/) происходит в моменты кТа (к =0,1,2,...), а на возмущенной траектории х(() - в близкие моменты времени кТ° +8Тк. Обозначим &х(кТ") = х(кТ° +5Тк)-х(кТ°). Точки х(кТа) +Ах(кТ°) при четном к лежат на плоскости Ятх = -Ь, а при нечетном к -на плоскости Н'х-Ь. Очевидно, периодическое решение х({) асимптотически орбитально устойчиво, если Дх(А7'")->0 при к->оо.

Положим в целях упрощения, что функция /(х,и) непрерывно дифференцируема по х и непрерывна по и. Запишем уравнение в вариациях, полагая управление и{1) неизменной величиной

а8х д/(х,Л)

5х, (18)

(11 дх

где х(1) - периодическое решение. На особенностях, которые имеют место для разрывных систем, остановимся ниже.

Обозначим через У(1) нормированную фундаментальную матрицу решений уравнения (18). Далее, получено равенство

/ ¿1 т» п\ ы>-л

Ах(Т ) =

<2

3х(0), (19)

Я'х(Т"~ 0)

где Ах(Тп) = х(Т° +АТ)~х(Т°), матрица () = У(Та) задает линеаризованный оператор сдвига на полупериоде. В силу симметрии периодического решения

Дх(27"") = СЛг(Г'). (20)

В равенстве(20)

(21)

где, к = /(х(Т',),А) = ~/(х'(Та),-А). Из соотношений (19) и (20) получаем следующее равенство

Лх((к + \)Т°) = СЛх(кГ'), (22)

Выражение (22) представляет собой линейное однородное разностное уравнение с постоянными коэффициентами. Из теории разностных уравнений следует, что Ах(кГ ) —>0 при к—>ао, если все собственные числа матрицы О по модулю меньше единицы. Итак, пусть Л,,Л2,..„Лп - собственные числа матрицы С. Если они удовлетворяют неравенствам

|Лу|<1, У = 1,2,...,от, (23)

то периодическое решение х({) асимптотически орбитсшьно устойчиво.

При практическом применении данного критерия основную сложность представляет определение матрицы 2. Ее вычисление имеет свои особенности для каждого класса нелинейных ОУ. Ниже рассматривается получение аналитических выражений для указанной матрицы.

Пусть в автономной релейной системе с кусочно-линейным объектом управления (7), (8), (2) имеет место периодическое решение х(/) периода 2Т. Рассмотрим поведение на полупериоде близкой к возмущенной траектории х(*) = .х(/)+&с(/) (см. рис.3). Матрицы, определяющие линеаризованный оператор сдвига, уже были приведены выше при рассмотрении дифференциального уравнения фазового годографа. Таким образом, для систем с кусочно-линейными ОУ матрица

б=г(г-о-е2-е„ (24)

где и <2г задаются равенствами (11), У [г) - е". В диссертации получено аналогичное выражение для случая, когда Л'(.г*(7')| > О.

Рассмотрим далее объекты управления с жесткими механическими ограничителями. На рис. 8 приведена структурная схема для общего случая расположения звена с огргшичителем. Пусть «свободное» движение объекта задается как

— = Мг + Ри, Л

а движение на ограничителе

Л

= № + Ри.

(25)

(26)

Преобразование вектора г в момент удара об упор определяется матрицей Е:

2(*,+0)=£г(г,-0). (27)

Обозначим через

К(/) = /\ Ж(/) = е№ (28)

нормированные фундаментальные матрицы, соответствующие однородным (м(/) = 0) уравнениям (25) и (26). Структура матрицы Q будет зависеть от вида периодического движения в системе (точка х\(Т) может лежать в открытом ядре допустимой области или на ограничителе). Такие траектории показаны соответственно на рис. 11. и рис.12.

О

-Б

■40

Б

-О

г., /1 /1 1 1 1 ^

1 / т

Рлс.11.

Рис.12.

о)-

С использованием уравнений в вариациях в работе получены зависимости для матрицы <2. Для траекторий, представленных на рис. 11

е=г(т-о-бг-а. (29)

где

(£-2(г„-0)^(/„ + 0))-К.(/„)

¿,('о-0) ' (30)

В равенстве (30) - строка матрицы К(/п), номер которой определяется компонентой Л', вектора г.

Для траекторий на рис.12 матрица 2 имеет вид

в^ЩГ-О-в^-в;, (31)

где

о;

& = Е-У{1. -/0)-(£'~0)~+ '~ Ч (32)

Для объектов управления, содержащих звенья с ограничителями в форме насыщения, показано, что линеаризованный оператор сдвига также выражается равенствами (29), (30) либо (31), (32), в которых матрицу Е следует заменить на единичную матрицу /. Кроме того, доказано, что если звено с ограничителями стоит на входе объекта управления, то при оценке устойчивости периодического движения (независимо от типа ограничителей) звено с ограничителями следует исключить из объекта управления, т.е. матрица С полностью определяется линейной частью ОУ.

Одной из особенностей релейных систем, содержащих в своем составе звено с ограничителем в форме упругого механического упора и существенно осложняющей исследование их устойчивости, является разнообразие формы периодических движений, способных возникать в таких системах. Возможные периодические движения могут различаться по количеству ударов об ограничитель на полупериоде, по наличию участков движения на ограничителе, по взаимному расположению участков движения в открытом ядре и участков движения на ограничителе.

Рассмотрим здесь наиболее сложный случай, когда периодическая траектория включает упругий удар, неупругий удар и движение на ограничителе (рис. 13).

Ф,

Т+1. Т+1, 2Т

I, I, т

Рис.13. Периодическая траектория.

>1

Движение объекта управления в свободном ядре и на ограничителе по-прежнему задается уравнениями (25) и (26). Будем предполагать, что в фазовом векторе г объекта управления первый компонент соответствует выходной координате звена с ограничителем, а второй - скорости изменения этой координаты. В момент упругого удара имеет место разрыв фазовой траектории:

г(/1+0) = /й(/|-0), (33)

где ЛТ=сПа§(1,-г,1,...1) - матрица пхп, г- коэффициент восстановления. Участку движения на ограничителе предшествует неупругий удар (27). В работе показано, что линеаризованный оператор сдвига для автоколебаний, изображенных на рисунке 13, определяется выражением

(34)

где ()1=ем'', ()2=ем^1~',\ (¿¡-е"^'1^ - матрицы сдвига, соответствующие сво-

бодному движению объекта управления; Ц = -К

f 1 ¿й,-0)Нл

т,- о)

¿(*,+0)Я

—!--— мат-

Hz{t- 0)

z(t,+Q)H

—---матрица,

Hz(t2- 0) н

рица, учитывающая упругий удар; L2=-E .

Hz(t2 - 0)

учитывающая неупругий удар, #=(1,0,...0) - матрица 1 хп.

Рассмотрев другие виды возможных периодических движений, сформирована зависимость для оператора сдвига, соответствующая периодическим движениям любой возможной формы, в виде

os)

где т- число достижений ограничителя на полупериоде; Q -еМ[',ч'л) - матрицы сдвига для участков движения в открытом ядре; Q]=eNi''~l'',) - матрицы сдвига для участков движения на ограничителе; матрицы Lj учитывают упругий или неупругий удар (в зависимости от вида периодического движения).

Таким образом, во второй главе разработан легко проверяемый алгебраический критерий асимптотической орбитальной устойчивости в малом для периодических движений в релейных системах с различными классами нелинейных ОУ. Все полученные теоретические результаты проиллюстрированы конкретными примерами.

Третья глава посвящена разработке методов определения периодических движений в системах с трехпозиционным релейным элементом. Движение системы описывается уравнениями

i(0 = /(*('),«(0), (36)

= (37)

и = Ф(£,К,Л),

где х - n-мерный вектор состояния, f(x,u) - и-мерная вектор-функция, <т(х) -гладкая скалярная функция векторного аргумента. Функция Ф задаётся графиком трёхпозиционного релейного элемента (рис.14).

1,(0' и - к - Ьс

Хк к с.[0

Рис.14. Статическая характеристика трехпозициошюго релейного элемента.

По аналогии с двухпозиционным управлением фазовым годографом будем называть и-мерную векторную функцию двух переменных х\у,Т), которая определяет фазовый вектор системы в момент переключения реле с и = 0 на и-1!. Параметр 0 < у < 1 задает скважность сигнала на выходе релейного элемента. Точка х](у,Т) принадлежит фазовому годографу, если она удовлетворяет уравнению

Х\У,Т) + Е(ХХуЛУЛ = О, (38)

где х(*) = Г(х{0),у,Т) - решение дифференциального уравнения (36) при и(0 = и\(1)-и\{1~уТ) и начальном условии х(0). Периодическое движение релейной системы определяется из соотношений

К V, »

а(х\у,Т)) = -Як,

Ат(х(/))

<0>

Л - - >0" (40)

Неравенства (40) задают направления переключения релейного элемента: первое -с и = 0 на и = и, аЕтороес и=С1 на и = 0. Вектор-функцию х2(у,Т) называют сдвинутым фазовым гол ографом. Она определяется равенством

х\у,Т)^Е{х\у,Пи,уТ) (41)

и задает значение фазового вектора в периодическом движении в моменты I** переключения управляющего сигналас» = (/ наи = 0.

Построение ФГ системы с произвольным нелинейным объектом управления (36) возможно только с использованием численных методов. Выполненные исследования показали, что эффективным инструментом решения системы нелинейных алгебраических уравнений (38) является следующий алгоритм

А=о и при^ (42)

Поскольку для систем с трехпозиционным управлением ФГ является функцией двух переменных, то на практике удобно рассматривать семейство функций х\Т) при различных фиксированных значениях скважности у.

Для релейных систем с кусочно-линейными объектами управления, движение которых задается равенствами (7), (8), (37), в работе предложен метод построения фазового годографа. Получено дифференциальное уравнение

которое при фиксированном у позволяет построить ветвь фазового годографа. В

равенстве (43) = е

рсг-ь)

6з-02 е.. где

(^2-0)-х(г2+0))1'(<2У ¿г(г2Н(г2-0)

'V/

(44)

д/~еС(7-'^д вЪ^Т+х(Т), I' (1) = . Построение фазового годографа с по-

с1х

мощью дифференциального уравнения (43) предполагает наличие некоторой начальной точки .к10',Г) и соответствующей ей периодической траектории *(/). Как и в системах с двухпозиционным релейным элементом ФГ может иметь участок неоднозначности. Такая ситуация возникает, если при некоторой величине полупериода Тх фазовая траектория х(1) лежит в области лу(х)|<й ив некоторой

точке С касается одной из границ ,фс)±/) = 0. Если при этом справедливо неравенство

+ В"и(1' + 0)) * 0,

(к

то в точке фазовый годограф х'(у,Т) будет иметь разрыв. В этом случае для уточнения ситуации в окрестности Тх следует обращаться к алгоритму (42). Применение уравнения (43) позволяет существенным образом сократить машинное время, затрачиваемое на построение фазового годографа .

Рассмотрим теперь особенности фазового годографа для систем с ограничителями в объекте управления. Если ОУ содержит звенья типа насыщение (рис. 4), то Л- характеристики звена являются однозначными и непрерывными. Их построение не вызывает затруднений с помощью алгоритмов (42) и (43).

Для звена типа жесткий механический упор (рис. 5), как и в случае двухпо-зиционного управления, фазовый годограф оказывается неоднозначной векторной функцией. На рис.15 показан качественный вид Д-характеристики х*(у,Т), соответствующей выходной координате х, звена с ограничителем, при фиксированном значении у.

г „

Рис. 15. Качественный вид ^-характеристики.

Ветвь ОЕ ^-характеристики соответствует свободному движению звена (ограничители не достигаются), а точка Е - движению, на котором периодическая функция *,(£) касается ограничений. Ветвь FN включает в себя периодические движения, которые имеют участок движения на ограничителях. Ветви РМ и МЕ образованы периодическими траекториями, которые имеют только точки отражения от ограничений *,-/) = О и х, + О = 0. Неоднозначность Л-характеристик звена с ограничителем порождает неоднозначность Л-характеристик, относящихся ко всем остальным фазовым переменным объекта управления. В диссертации разработан метод, позволяющий локализовать участок неоднозначности и полностью построить все его ветви.

В ряде случаев для улучшения эксплуатационных характеристик системы вместо трехпозиционного релейного элемента удобно использовать два идентичных управляющих двухпозиционных релейных элемента. Схема включения показана на рис. 16.

Рис. 16. Система с двумя управляющими релейными элементами. Принцип работы системы следующий. Динамические фильтры Щ (j) и Wj (s) имеют разные фазочастотные характеристики и по-разному реагируют на сигнал e(t), смещая друг относительно друга сигналы у| и У2■ В связи с этим, релейные элементы в периодическом движении переключаются в разные моменты времени, и сигнал п имеет вид, аналогичный выходному сигналу трехпозиционного релейного элемента. Такая структура системы позволяет с помощью настройки фильтров t¥\(s) и W^(J) получать произвольную скважность у релейного сигнала u(t), что чрезвычайно важно на этапе синтеза.

Фазовый годограф зависит только от сигнала u(t) на входе объекта управления и поэтому его построение не отличается от систем с трехпозиционным релейным элементом. Для определения параметров периодического движения предлагается использовать условия переключения релейных элементов, которые в данном случае имеют вид

Ш,Г) = Ь, U(T,r)> о,

[уЦТ,у) = -Ь, К(7»<0.

В (45) через у\(Т,у), гЦТ-0,у) обозначены значения переменных yi(t) и y\(t) в 2Т- периодическом движении в момент переключения сигнала u(t) с «нуля» на

«плюс», а под у\(Т,у), г, (Т-0,у) в момент переключения г/(0 с «плюса» на «ноль».

В четвертой главе рассматриваются вопросы исследования устойчивости периодических движений в релейных системах с трехпозиционным управлением.

Во второй главе работы предложен простой и удобный для применения алгебраический критерий асимптотической орбитальной устойчивости периодических движений в системах с двухпозиционным релейным элементом. В настоящем разделе этот метод распространяется на случай, когда статическая характеристика релейного элемента имеет зону нечувствительности.

Будем рассматривать системы, движение которых задается уравнениями (36), (37). В работе получено разностное уравнение

Дх((£ +1)7"") = СДх(£Г0), к = 1,2,-., (46)

где Г" - полупериод автоколебаний. Таким образом, устойчивость периодических движений эквивалентна устойчивости тривиального решения Ах = 0 системы (46), которое определяется собственными числами матрицы С. Окончательно, периодическое движение х{()асимптотически орбитально устойчиво, если выполняется неравенство (23).

Далее остановимся на аналитических зависимостях, определяющих матрицу й для различных типов ОУ. Для релейных систем с трехпозиционным релейным элементом и кусочно-линейными объектами управления (движение описывается уравнениями (7), (8)) матрица С имеет следующий вид

(47)

Это выражение получено на основе рассмотрения возмущенной траектории движения (см. рис.17).

*М0)Ч\

Рис. 17. Вия функций х(х(0) » 5(х(/)). В (47) матрицы и бз задаются первым и третьим уравнениями (44),

а

-_ Ос(^-0)-:с|>Г + 0));?У

V-' о^-м

-(Ш'Л'^

х(Т-0)Я'е

-, где Я -

Кгк(уТ - 0) 4 Ятх(Т- 0)

и-мерный вектор коэффициентов обратных связей.

Наиболее сложным для исследования и очень важным для приложений является ОУ, содержащий звенья с механическими ограничителями (рис.8). Его

движение задается уравнениями (25), (26). В диссертации показано, что матрица С в этом случае имеет вид

G =

а

o-b&L

Ll л'А,

(48)

где и £>2 это матрицы, которые определяют линеаризованный оператор сдвига объекта управления соответственно за время и (1 -у°)7'°, Л, = х(у°Т°),

= 1 -у")Т") ■ Матрицы (), и (->2 зависят от вида периодического решения на выходе звена с ограничителями (рис. 18).

A*tt)

о

-D

Т/ ;т

JS--L.

6)

Рис.18. Периодическое решение на выходе звена с ограничителем.

По аналогии со случаем двухпозиционного управления в работе получены следующие зависимости. Для траекторий, показанных на рис. 18а

0: = ЕУ(1 УТ) Для движений на рис. 186

а = \¥(Ута = у(т -/2м/2-ут),

(£^,-0)-2(/1+0))К„(/1)

(49)

(50)

В выражениях (49) и (50) матрицы V(t) и ¡У(t) задаются равенствами (28), а матрица Е зависимостью (27), Vn(t) - строка матрицы V(t), номер которой определяется компонентой х, вектора z. Таким образом, для оценки устойчивости периодических движений в релейных системах с трехпозиционным управлением и объектом управления, содержащим звенья с ограничителями типа жесткий механический упор, следует пользоваться критерием (23), в котором матрица G определяется соотношением (48), а матрицы Ql и Q2 равенствами (49) и (50).

Если объект управления вместо звена с ограничителями типа жесткий механический упор содержит звено типа насыщение, то матрицы Qi и Q2 по-прежнему определяются соотношениями (49) и (50), в которых матрицу Е следует заменить на единичную матрицу I.

Пятая глава посвящена исследованию периодических движений в релейных системах с цифровым управлением. Все полученные выше результаты относятся к релейным системам с непрерывным временем, или, как их называют в технике, аналоговым системам. Однако, практически все современные техниче-

ские устройства проектируются в цифровом виде. Кроме того, происходят процессы модернизации, заключающиеся в установке новых цифровых систем управления. При этом теоретических методов анализа и синтеза рассматриваемых систем не существует. При цифровом управлении сиг нал, поступающий на релейный элемент, является дискретным, как по уровню, так и по времени. При анализе основную сложность представляет дискретизация управляющего сигнала по времени, поэтому рассмотрим сначала релейно-импульсную систему с двухпозици-онным релейным элементом (рис.19). Дискретизация по уровню будет учтена позже.

ииэ энп

.V

1 Р

Объект

управлсни

а(х)

Рис. 19. Релей но-имнульс пая система. На рисунке ИИЭ - идеальный импульсный элемент; ЭНП - экстраполятор нулевого порядка; 7„ - период квантования по времени, х=(хгх2,...,хп) - фазовый вектор объекта управления. Для определения периодических движений, возникающих в таких системах, будем использовать условия переключения релейного элемента с одного уровня на другой. Поскольку сигнал ."(/) является дискретным, то переключения возможны только в дискретные моменты времени гТи, г = 0,1, 2 .... Далее, учитывая, что в автоколебательном режиме у(1) = 0, и, используя терминологию метода фазового годографа получаем

\сг(х\гТ0))<~Х ;

г ~ 0, 1, 2 ... (51)

где л- (7) - фазовый годограф объекта управления при двухпозиционном периодическом релейном сигнале. Решение системы неравенств (51) позволяет найти полупериод 7 = гТ0 возникающих в релейно-импульсной системе автоколебаний. Далее, построение самого периодического решения не вызывает затруднений и производится путем решения уравнений движения объекта управления при известных начальных условиях д:(0) = х*(г7|,)и соответствующем входном сигнале. Следует отметить, что в отличие от систем с непрерывным временем возможно возникновение лишь конечного числа периодических движений с периодами кратными периоду дискретизации (Т° = гТ0).

Для релейно-импульсных систем с трехпозиционным релейным элементом (см. рис.19, на котором звено, соответствующее релейному элементу, следует заменить статической характеристикой, показанной на рис. 14), условия переключения имеют следующий вид

[а(х\г,(г-\)Т0))>-к-,

\а(х\Г,гТа))>-Лк, \а(хЧу,(г-\)Т0))<-Лк,

(52)

где х\у,Т)- фазовый годограф релейной системы с трехпозиционным РЭ, сдвинутый ФГ х2(у,Т) определяется равенством (41). Решение системы неравенств (52) определяет параметры автоколебаний у и Т. Решать систему (52) даже при использовании ЭВМ удобно графическим способом.

Релейная система с цифровым управлением (учитывается дискретизация сигналов и по времени и по уровню) имеет структурную схему, представленную на рис.20.

' " ' ' ' ,-Пр е и

1

р(0 А

1-е

Объект управления

а(х)

Рис.20. Релейная система с цифровым управлением.

В диссертации показано, что для определения периодических движений в таких системах следует использовать следующие соотношения

[р(-а(х' (гТ0)))>А ;

Г , ° г= 0, 1, 2.... (53)

[р(-а(х((г-1)7'0)))<Л ;

Неравенства (53) решаются относительно гТп. Очевидно, что учет дискретности сигналов приводит к некоторому увеличению периода автоколебаний по сравнению с непрерывным случаем.

Одним из важнейших свойств автоколебательных систем, определяющих их работоспособность, является устойчивость периодических движений. Рассмотрим эту проблему применительно к релейным системам с цифровым управлением. Движение нелинейного объекта управления будем задавать следующим уравнением

(54)

где х = (*,,...,*„) - л-мерный фазовый вектор состояния системы, /(х,к)-не-прерывно-дифференцируемая по х функция. Траекторию возмущенного движения обозначим

= + (55)

где вариацию 3х = (6х[,3х2,...,3х11) будем считать малой величиной. Тогда уравнение в вариациях имеет вид

й8х _ д/(х,а)

~1Г~

дх

8х.

(56)

Отсутствие вариации управления и в последнем выражении объясняется дискретностью сигнала, поступающего на релейный элемент. Дело в том, что в рассматриваемых системах малая вариация дх никак не влияет на моменты пере-

ключения релейного элемента, а, следовательно, и на сам управляющий сигнал и. Таким образом, устойчивость периодических движений в релейных системах с цифровым управлением определяется устойчивостью колебаний в разомкнутой системе. Далее, в работе получено линейное однородное разностное уравнение с постоянными коэффициентами

8х((к + \)Т°) = 1У(кТ'у)Зх(кТа), к = 0,1,2.......(57)

где (V(*)-нормированная фундаментальная матрица решений уравнения (56), Г°-период колебаний. Из (57) непосредственно следует, что если все собственные числа матрицы 1¥(кТп), кроме одного, модуль которого равен единице, удовлетворяют неравенству

|Ау|<1, у=1,2,...,я», (58)

то периодическое решение в релейной системе с цифровым управлением орби-тально устойчиво.

Отдельный интерес представляет случай, когда объект управления является неустойчивым (неустойчиво периодическое решение в разомкнутой системе). Такая ситуация нередко встречается при проектировании реальных систем управления. При этом обычно используют корректирующие устройства, которые обеспечивают устойчивость периодических движений в релейной системе с непрерывным временем. Однако в случае релейно-импульсной системы никакая коррекция не позволяет удовлетворить условию (58). В этом случае в релейно-импульсной системе возникают процессы квазистохастического типа, так как неустойчивым, строго говоря, является любое движение системы. Но с другой стороны при увеличении частоты дискретизации релейно-импульсная система будет стремиться к релейной, а значит и процессы в ней будут стремиться к периодическим. Следовательно, при достаточно высокой частоте дискретизации можно добиться приемлемой точности и использовать этот режим в качестве рабочего. На рисунках 21 и 22 в качестве примера соответственно показаны процессы в непрерывной релейной и в релейно-импульсной системах с Т0 - 0.0005 с и неустойчивым линейным ОУ. На основе численных экспериментов, проведенных для многих систем, в работе делается вывод о том, что при разносе частот автоколебаний и дискретизации в сто и более раз различия между процессами в релейных системах и релей-но- импульсных системах будут пренебрежимо малыми.

с непрерывным временем. Г0 = 0.0005 с.

Для систем с линейным ОУ в работе разработан приближенный усиленный критерий устойчивости. Выходной сигнал релейно-импульсной системы при наличии возмущения запишем следующим образом

*(/) = *„(/) + &(/),

здесь и в дальнейшем индексом "п" обозначены переменные, соответствующие периодическому режиму движения. Известно, что возмущенное движение можно исследовать с помощью линейной импульсной системы. На этой основе и с учетом особенностей процессов в системах с дискретизацией по времени в диссертационной работе показано, что при существенном разносе частоты дискретизации и автоколебаний приращение &(/) (отклонение от периодического движения) можно приближенно рассматривать, как выходной сигнал нелинейной импульсной системы (рис. 23).

-га") -т.

Рис. 23. Нелинейная импульсная система.

Идеальный импульсный элемент в этой системе работает с периодом квантования равным полупериоду автоколебаний в соответствующей релейной системе. Даже при устойчивом объекте управления (передаточной функции №(р)) нелинейность, входящая в изображенную на рис. 23 импульсную систему, может быть причиной неустойчивости (при значительных начальных возмущениях) тривиального решения £х(1) г 0 и, следовательно, соответствующего периодического решения исходной системы (рис.19).

Чтобы исключить неустойчивость, порождаемую указанной нелинейностью, воспользуемся критерием абсолютной устойчивости положения равновесия нелинейной импульсной системы, полученным Я.З. Цыпкиным. На его основе и с учетом того факта, что рассматриваемая нелинейная функция имеет максимальный статический коэффициент кс =2л/-г~(Т°) в работе получено следующее неравенство для коэффициента передачи динамической части системы

к„ <~2 ^шахке^*О'й7,0)|. (59)

2 Л да ' 1

Итак, тривиальное решение Зх(1) = 0 нелинейной импульсной системы (рис.23) абсолютно устойчиво, если устойчив объект управления (передаточная функция 1У(р)) и выполняется неравенство (59). Однако здесь необходимо иметь в виду, что при исследовании устойчивости периодического решения исходной релейно-импульсной системы (рис.19) неравенство (59) следует рассматривать как "сильное", но приближенное условие устойчивости. Это связано с тем. что изображенная на рис. 23 нелинейная импульсная система определяет приращение &г(0 приближенно. Точность описания приращения дх{1) зависит от величины разноса частот дискретизации и автоколебаний.

В шестой главе рассматривается синтез релейных систем с нелинейными объектами управления, разрабатывается методика синтеза и оптимизации релейных воздушно-динамических рулевых приводов. На ее основе проводится синтез цифровой системы управления конкретного рулевого привода.

Рассмотрим задачу синтеза в пространстве состояний для релейной системы, задаваемой уравнениями (1), (2), где cr(x)~Rrx, R' = (>],r2,...,rn)- строка коэффициентов обратных связей. Для упрощения будем считать, что f{x,u) непрерывно дифференцируема по х и непрерывна по и. Особенности, связанные с синтезом систем с ограничителями, будут подробно изложены при рассмотрении конкретных примеров. Пусть с помощью изложенных выше методов построен фазовый годограф системы и на этапе предварительного исследования выбран желаемый полупериод автоколебаний Т. Задачу синтеза следящей системы целесообразно формулировать в виде задачи конечномерной оптимизации с критерием качества

ßCPr2,...,/•„) = max£(0 -> min, (60)

где £■(/)- ошибка слежения. Вычислять критерий (60) удобно с использованием метода дискретной линеаризации. Согласно данному методу движение в линеаризованной системе 5х{к'Г) определяется из решения линейного неоднородного разностного уравнения

ёх{(к +1)7') = Gtßx{kT) + G2y((k + \)Т), (61)

Далее, е(кТ) = y{kT)~ Ü 6х(кТ), где Lr- вектор, выделяющий выходной сигнал системы.

В качестве ограничений сформулированной задачи конечномерной оптимизации'выступают условие возникновения в системе колебаний с желаемыми параметрами

<0

\=Л) I

а

и условие устойчивости периодических движений (23). Решение данной задачи с использованием изложенных выше методов определения периодических движений и оценки их устойчивости не вызывает принципиальных затруднений. Далее рассмотрим прикладную методику синтеза на примере воздушно-динамического рулевого привода.

В последнее время и качестве исполнительных, устройств малогабаритных ракет большое распространение получили воздушно-динамические рулевые приводы, в которых используется энергия набегающего воздушного потока, что позволяет предельно упростить конструкцию привода. Однако это привело к тому, что из-за изменения скорости и высоты полета ракеты параметры привода изменяются в очень широком диапазоне.

Используется модель привода (рис.24), полученная специалистами ГУП КБП (г.Тула). На рисунке объект управления выделен пунктирной линией. Одно из основных отличий рассматриваемой модели, которое существенно осложняет анализ и синтез воздушно-динамического рулевого привода, заключается в том,

что большинство ее параметров не являются фиксированными, а изменяются в очень широком диапазоне (в 100 и более раз) в зависимости от избыточного давления, которое в свою очередь зависит от скорости и высоты полета. На некоторых режимах это даже приводит к тому, что привод как объект управления оказывается неустойчивым. Другая особенность объекта управления - это наличие ограничителей типа жесткий механический упор. Такие звенья были подробно рассмотрены выше. Их движение описывается выражениями (12), (13).

Ставится задача разработать методику, которая позволит получить максимально высокие динамические характеристики привода на всех режимах работы (в зависимости от избыточного давления), используя простые корректирующие устройства.

Строго говоря, рассматриваемая система является нестационарной, однако, опыт, накопленный специалистами КБП при проектировании таких систем, говорит о том, что изменение параметров модели в процессе работы происходит существенно медленнее, чем переходные процессы. Это позволяет использовать метод замороженных коэффициентов, то есть рассматривать систему как стационарную на каждом из режимов работы.

Первым этапом синтеза является построение фазового годографа объекта управления. Вследствие нестационарности параметров модели привода приходится рассматривать целый ансамбль фазовых годографов, характеризующих объект на разных режимах работы. Для построения следует использовать разработанный в первой главе алгоритм, который позволяет выделить все ветви неоднозначности. Анализ К -характеристики выходной координаты с)* (Г) показывает, что замыкание главной обратной связи без корректирующих устройств приведет к возникновению в системе низкочастотных колебаний с большой амплитудой. При этом привод является неработоспособным.

Тфф+1 Тф2р+1

у> о

Н2Н

У*

-Б-

ОУ

к,

Т->р+2г;Г:>р+1

ф-

к*

Ми

Тгр+1

м.

Шш

т

Мят

д:

Рис. 24. Структурная схема релейного автоколебательного воздушно-динамического рулевого привода.

Поскольку в рассматриваемой системе кроме выходной координаты 3 легко поддается измерению лишь управляющий сигнал нтр, то колебательное звено,

включенное в обратную связь релейного усилителя мощности, будем использовать для создания необходимых параметров автоколебаний. Нижняя граница частоты автоколебаний выбирается исходя из требований на амплитуду автоколебаний. Если полагать, что амплитуда автоколебаний привода не должна превышать 25% от 6ШХ, то нижняя граница равна 70 Гц. Поскольку в приводе используется нейтральный электромеханический преобразователь, который может работать только в режиме переброса якоря магнита с одного упора на другой, то верхней границей частоты автоколебаний является максимальная частота, при которой якорь магнита бьет по упорам. Эта частота оказалась равной 130 Гц. Таким образом, частота автоколебаний привода должна лежать в диапазоне 70Гц </ает <130Гц. Для обеспечения устойчивости автоколебаний и придания всей системе необходимых динамических свойств применяется интегро-дифференцирующий фильтр, включенный последовательно в контур управления (рис.24).

На практике для следящих приводов желательно иметь предельно возможную точность при отработке входных сигналов. Сформулируем задачу синтеза как задачу конечномерной оптимизации. Введем вектор К компонентами которого являются параметры корректирующих устройств. Пусть далее имеется некоторая функция векторного аргумента (¿(К), значение которой определяет качество системы управления, причем меньшее значение этой функции соответствует более высокому качеству системы. С целью уменьшения объема вычислений при формировании критерия оптимизации £}(К) целесообразно ориентироваться на один режим работы, на котором наиболее трудно обеспечить работоспособность привода. Кроме того, для упрощения оптимизации следует зафиксировать частоту автоколебаний на этом режиме. Условия, обеспечивающие работоспособность привода на остальных режимах, рассматриваются в качестве ограничений метода оптимизации. Подзадачей синтеза будем понимать нахождение такого вектора К , при котором в автономном режиме работы в релейной системе существуют устойчивые периодические движения с заданной частотой соа и функция ()(К) достигает минимума.

Динамические свойства рулевых приводов летательных аппаратов рассматриваемого класса традиционно оцениваются по частотным характеристикам, поскольку входные сигналы являются гармоническими функциями. При синтезе таких систем обычно наиболее трудно удовлетворить требованиям по фазовому сдвигу, поэтому в качестве критерия оптимизации следует выбирать именно максимальный фазовый сдвиг

<2(К)= шах |агё Ф(»|. (62)

Анализ известных методов конечномерной оптимизации показал, что в данном случае целесообразно использовать какую-либо из разновидностей метода случайного поиска. Такие методы являются простыми в реализации и, кроме того,

работают с ограничениями простейшим образом: на каждом шаге проверяется выполнение ограничений. В работе использовался алгоритм с возвратом при неудачном шаге с изменяющейся областью поиска. Далее применительно к выбранному методу поиска излагается алгоритм оптимизации.

1. В пространстве оптимизируемых параметров Тф},Тф2,Тк,^к формируется случайный вектор отклонений.

здесь gj - случайная величина, изменяющаяся в диапазоне от -1 до 1 и имеющая равномерную плотность распределения, Л* - величина шага. Формируется вектор оптимизируемых параметров

2. Исходя из соотношения у')(Та) +у[(Т°) = -Ь, где .у* (Г) и у\{Т) являются Л-характеристиками выходных координат соответственно последовательного и параллельного корректирующих устройств (рис. 24) (2b -ширина петли гистерезиса, 2Т°-период автоколебаний) определяется согласующий коэффициент, которым является коэффициент усиления параллельного корректирующего устройства кК. Этот коэффициент обеспечивает фиксированную частоту автоколебаний на оптимизируемом режиме (в данном случае 85Гц). Его вычисление не представляет затруднений, так как он линейно входит в выражение для Л-характеристики

Уг(Т).

3. На всех режимах проверяется известное необходимое условие устойчивости автоколебаний

УЛТ) + у2(Т) + Ь<0 при Т>Т\ у\(Т) + у2{Т) + Ь = 0 при 7 = Г,

у'1(Т) + у'2(Т) + Ь> 0 при Т<Г\ Некоторые проблемы возникают при вычислении R -характеристики последовательного корректирующего устройства у\(Т). Дело в том, что ее вид зависит как от вида передаточной функции последовательного корректирующего звена, так и от сигнала S(t), который является выходом нелинейной системы. Для вычисления (7') в работе предлагается использовать разложение входного сигнала последовательного фильтра в ряд Фурье, коэффициенты которого определяются на предварительном этапе и заносятся в память ЭВМ.

4. Для всех режимов проводится проверка попадания частоты автоколебаний в заданный диапазон (в нашем случае 70 < сотт <130 Гц). Практически это выглядит как нахождение точки пересечения R -характеристики входной координаты релейного элемента сг*(Т) с прямой о*(Т) = Я.

5. Проверяется достаточное условие устойчивости автоколебаний (23).

6. Проводится линеаризация системы. Метод линеаризации систем рассматриваемого класса разработан под руководством профессора Н.В.Фапдина. Ука-

занный метод позволяет линеаризовать релейный элемент и другие нелинейности ОУ. РЭ заменяется его коэффициентом передачи по постоянной составляющей. При этом, в отличие от метода гармонической линеаризации, указанный коэффициент определяется точно, то есть с полным учетом формы периодического сигнала. Единственным ограничением при использовании данного метода является то, что должен иметь место существенный разнос частот входного сигнала и автоколебаний (в десять и более раз).

7. Для всех режимов проводится проверка попадания амплитудно-частотной характеристики в заданный диапазон (в нашем случае 0.9 < Н(со) = |Ф(уго)| <1.1).

8. Вычисляется критерий оптимизации (62).

На основе данной методики бала решена задача синтеза для конкретной системы (рис.24). В результате решения задачи оптимизации были найдены значения параметров корректирующих устройств. Критерий оптимизации (он относится к оптимизируемому режиму работы привода) оказался равным -0.4°. Анализ частотных характеристик показывает, что во всем диапазоне избыточных давлений и во всем диапазоне частот входных сигналов максимальный фазовый сдвиг не превышает 11 градусов. Амплитудная характеристика при этом очень близка к единице. Для указанного класса приводов этот результат является хорошим.

Для уточнения и проверки результатов синтеза, необходимо выполнить численное моделирование привода с учетом всех факторов, характеризующих его работу. Моделирование, которое проводилось по нелинейной модели, подтвердило полученные результаты. Было выявлено, что частота автоколебаний находится в заданном диапазоне для всех режимов работы, а максимальный фазовый сдвиг составляет 11.5 градусов, при этом амплитудная характеристика привода близка к единице.

ТВ целом результаты моделирования позволяют сделать вывод о том, что разработанная методика позволяет синтезировать системы с высокими динамическими характеристиками во всем диапазоне избыточных давлений. Немаловажно то, что этого удается добиться при неизменной структуре и параметрах коррекции.

Седьмая глава посвящена разработке методики синтеза и оптимизации релейных автоколебательных пневмоприводов с трехпозиционным управлением и синтезу системы управления конкретным рулевым приводом. При проектировании таких систем одной из главных проблем является высокая амплитуда периодических движений, возникающих в автономной системе, что крайне негативно влияет на точность слежения при отработке входного сигнала. В системах с двух-позиционным релейным элементом уменьшение амплитуды автоколебаний возможно только с помощью увеличения их частоты. Однако многие технические устройства имеют фиксированный частотный диапазон (например, электромеханические преобразователи), при превышении которого они становятся неработоспособными. В этом случае целесообразно использование трехпозиционного управления, когда амплитудой автоколебаний можно управлять независимо от частоты при помощи скважности релейного сигнала (параметр у). При этом большую свободу в управлении скважностью можно получить, если использовать

два двухпозиционных релейных элемента, моменты переключения которых смещены во времени. Структурная схема воздушно-динамического рулевого привода с таким формированием управляющего релейного сигнала показана на рис.25.

Для смещения моментов переключения используется фазосдвигающее звено с передаточной функцией №(р) = —-—. При этом в автоколебательном ре-

С2р +1

жиме суммарный сигнал и является трехпозиционным, скважность которого можно изменять с помощью параметра С2.

С,

Рис.25. Структурная схема релейного воздушно-динамнческого рулевого привода с трехнозицнонным управлением.

Выбор структуры коррекции и методика синтеза и оптимизации являются в основном аналогичными алгоритму, рассмотренному в шестой главе. Единственным отличием является задача контроля параметров автоколебаний. Остановимся на ней более подробно. Согласно (45), если в рассматриваемой системе существуют автоколебания с параметрами Т° и у", то справедлива систедш уравнений

Параметры Т° и у" выбираются на предварительном этапе, исходя из требований технического задания и желаемой амплитуды автоколебаний. В данном случае гоавт = 1/2Г" = 110 Гц , /'=0.6 Для обеспечения постоянства этих параметров в процессе оптимизации используются два согласующих коэффициента С2 и С\, которые определяются из решения системы (63).

Реализация разработанной методики позволила решить задачу конечномерной оптимизации для параметров С1,С2,С],С4,С5 и синтезировать систему управления, обеспечивающую высокие динамические характеристики привода. Макси-

мальный фазовый сдвиг во всем рабочем диапазоне частот составил 14 градусов. При этом удалось снизить амплитуду автоколебаний более чем в 4 раза без существенного увеличения их частоты.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе решена важная научно-техническая проблема-разработаны методы анализа и синтеза релейных автоколебательных систем с нелинейными объектами управления. Получены теоретические методы и практические методики, совокупность которых можно классифицировать как прикладную теорию релейных систем с нелинейными ОУ. Данная теория позволяет значительно упростить создание релейных систем управления, и уменьшить сроки их разработки, а также улучшить показатели качества синтезируемых систем.

Основные теоретические и практические результаты диссертации заключаются в следующем.

1. Предложен общий подход к анализу, синтезу и оптимизации релейных автоколебательных систем с аналоговым и цифровым управлением, с двух и трехпозиционными релейными элементами.

2. Для систем с двухпозиционным релейным элементом:

а) проведен качественный анализ фазового годографа для объектов управления с различного рода ограничителями и кусочно-линейными ОУ, выявлена возможность существования нескольких видов автоколебаний одного периода в таких системах;

б) получены аналитические зависимости, задающие ФГ в явном виде, для случая, когда звено с ограничителями стоит на входе ОУ;

в) разработан метод, позволяющий полностью построить ФГ с локализацией и выделением всех ветвей его неоднозначности для общего случая расположения звена с ограничителем в ОУ;

г) разработан метод построения фазового годографа для систем с упругими механическими ограничителями в объекте управления;

д) выявлены особенности и разработан метод построения фазового годографа для систем с кусочно-линейными ОУ;

е) получен критерий асимптотической орбитальной устойчивости автоколебаний для систем с нелинейным объектом управления;

ж) разработан алгоритм вычисления и получены зависимости, определяющие матрицы линеаризованного отображения сдвига для всех указанных выше объектов управления;

з) разработана методика синтеза воздушно-динамических рулевых приводов, позволяющая рассматривать задачу синтеза в качестве задачи конечномерной оптимизации, синтезирован конкретный привод с высокими динамическими характеристи ками.

3. Для систем с трехпозиционным управлением:

а) выявлены особенности фазового годографа для ОУ, содержащих ограничители типа насыщение и механические ограничители, а также для кусочно-линейных объектов управления;

б) разработаны методы построения ФГ и выделения всех его ветвей неоднозначности для указанных типов объектов управления;

в) разработан метод определения периодических движений в системах с двумя двухпозиционными управляющими релейными элементами;

г) получен критерий асимптотической орбитальной устойчивости автоколебаний релейных системах с нелинейными ОУ;

д) получены выражения, определяющие матрицы линеаризованного отображения сдвига для объектов с ограничителями и кусочно-линейных ОУ;

е) разработана методика синтеза и оптимизации автоколебательных пневмоприводов, синтезирована система управления конкретным рулевым приводом, обеспечивающая высокие динамические характеристики.

4. Для релейных систем с цифровым управлением:

а) разработан метод определения периодических движений в релейно-импульсных системах и системах с цифровым управлением с двух и трехпозици-онными релейными элементами, показано, что возможно возникновение автоколебаний только с периодами кратными периоду дискретизации по времени;

б) разработан простой метод оценки устойчивости периодических движений в релейных системах с цифровым управлением;

в) получен приближенный усиленный критерий устойчивости автоколебаний в релейно-импульсных системах;

г) показано, что режим слежения в системах с "неустойчивым объектом управления" носит квазистохастический характер, приведены практические рекомендации для использования этого режима в качестве рабочего.

5. Все полученные в диссертации теоретические результаты подтверждены рассмотрением конкретных примеров, разработанные практические методики внедрены для использования в ГУП «КБ Приборостроения» г. Тула.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Феофилов C.B. Синтез и оптимизация релейных цифровых систем управления газовыми приводами летательных аппаратов // Международная молодежная научная конференция "XXV гагаринские чтения".Тезисы докладов.-М.:Изд-во ЛАТМЕС, 1999, Т. 2.- Стр.755.

2. Фалдин Н.В., Феофилов C.B. Релейные системы с цифровым управлением II Известия ТулГУ. Серия Вычислительная техника. Автоматика. Управление. Том 2. Вып.З. Управление.- Тула:ТулГУ, 2000.- Стр. 87-91.

3. Фалдин Н.В., Феофилов C.B. Анализ и синтез релейно-импульсных систем управления // Управление в технических систмах - XXI век. Сб. науч. трудов III междунар. научно-техн. конф,- Ковров: КГТА, 2000. - Стр. 68-70.

4. Фалдин Н.В., Феофилов C.B. Исследование колебаний в релейно-импульсных системах с неустойчивым объектом управления // Известия ТулГУ. Серия Вычислительная техника. Автоматика. Управление. Том 3. Вып.З. Управление.-Тула:ТулГУ,2001.- Стр. 46-49.

5. Феофилов C.B. Синтез и оптимизация релейного автоколебательного воздушно-динамического рулевого привода с цифровым управлением // Всероссийская

молодежная научная конференция "VI Королевские чтения". Тезисы докладов,-Самара, 2001,Т. 1.- Стр. 43-44.

6. Фалдин Н.В., Феофилов C.B. Особенности динамики релейных систем с цифровым управлением // Известия ТулГУ. Серия проблемы специального машиностроения. Вып.2.-Тула:ТулГУ,1999.- Стр. 288-291.

7. Фалдин Н.В., Феофилов C.B. Синтез системы управления релейного воздушно-динамического рулевого привода // Известия ТулГУ. Серия проблемы специального машиностроения. Выл.2.-Тула:ТулГУ,1999.- Стр. 296-299.

8. Фалдин Н.В., Феофилов C.B. Синтез и оптимизация системы управления релейного автоколебательного воздушно-динамического рулевого привода // Гидропневмоавтоматика и гидропривод - 2000: Сборник научных трудов,- Ковров: КГТА, 2000.- Стр. 217-226.

9. Фалдин Н.В., Феофилов C.B. Синтез релейного воздушно-динамического рулевого привода с учетом нелинейности объекта управления // Известия ТулГУ. Серия проблемы специального машиностроения. Вып.4 (2.2).-Тула:ТулГУ,2001.- Стр. 29-33.

10. Феофилов C.B. Методика синтеза релейных автоколебательных воздушно-динамических рулевых приводов // Международная молодежная научная конференция "XXVI1Ï гагаринские чтения". Тезисы докладсв.-М.:Изд-во "МА'ГИ", 2002, Т. 6,- Стр.26-27.

11. Фалдин Н.В., Феофилов C.B. Синтез релейного воздушно-динамического рулевого привода в условиях нестационарности параметров объекта управления // Сборник докладов VI всероссийской конференции «Проблемы совершенствования робототехнических и интеллектуальных систем летательных аппаратов».-М.:Изд-во МАИ, 2002,- Стр. 285-289.

12. Фалдин Н.В., Феофилов C.B. Приближенный усиленный критерий устойчивости автоколебаний н релейно-импульсных системах // Известия ТулГУ. Серия проблемы специального машиностроения. Вып.5. ч.1 Тула:ТулГУ,2002.-Стр.311-314.

13. Фалдин Н.В., Феофилов C.B. Линеаризация релейных систем с ограничителями в объекте управления // Известия ТулГУ. Серия Вычислительная техника. Информационные технологии. Системы управления. Том 1. Вын.1. Системы управления.-'Гула:ТулГУ, 2003.- Стр. 158-166.

14. Макаров Н.Н., Фалдин Н.В., Феофилов C.B. Синтез высокоточного закона управления силовым следящим гидроприводом // Известия ТулГУ. Серия проблемы специального машиностроения. Вып.6. Часть 1. Материалы всероссийской научно-технической конференцип-Тула:ТулГУ,2003.- Стр. 342345.

15. Феофилов C.B. Оптимизация по точности слежения закона управления релейным автоколебательным воздушно-динамическим рулевым приводом // Сборник докладов VII Всероссийской юбилейной научно-технической конференции «Проблемы совершенствования робототехнических и интеллектуальных систем летательных аппаратов». - М.: МАИ, 2005,- С. 367-371.

16. Фалдин Н.В., Феофилов C.B., Хоанг Чунг Киен. Синтез базового релейного автоколебательного закона управления объемным силовым гидроприводом // Известия ТулГУ. Серия проблемы специального машиностроения. Вып.8. -Тула :Тул ГУ,2005.- Стр. 196-200.

17. Фалдин Н.В., Феофилов C.B. Синтез квазиоптималыюго по точности слежения закона управления для релейных силовых гидроприводов // Известия ТулГУ. Серия Вычислительная техника. Информационные технологии. Системы управления. Вып.З. Системы управления..-Тула:ТулГУ, 2005.- Стр. 210-216.

18. Воробьев В В., Макаров H.H.. Феофилов C.B. Сквозное использование системы MATLAB в учебном процессе специальности 210500 «Системы управления летательными аппаратами» // Известия ТулГУ. Серия проблемы специального машиностроения. Вып.9. -Тула:ТулГУ,2006,- Стр. 299-301.

19. Моржов A.B., Фалдин Н.В., Феофилов C.B. Определение фазового годографа для релейных систем с трехпозиционным релейным элементом и при наличии ограничителей в форме механических упоров // Известия ТулГУ. Серия Вычислительная техника. Информационные технологии. Системы управления. Вып.З. Системы управления. Том 2.-Тула:ТулГУ,

2006.- Стр. 243-252.

20. Феофилов C.B. Дискретизация по времени в релейных системах управления // Известия ТулГУ. Серия Вычислительная техника. Информационные технологии. Системы управления. Вып.З. Системы управления. Том 2.-Тула:ТулГУ, 2006.- Стр. 262-269.

21. Феофилов C.B. Синтез цифровой системы управления релейных пневмоприводов // Известия ТулГУ. Серия Вычислительная техника. Информационные технологии. Системы управления. Вып.З. Системы управления. Том 2.-Тула:ТулГУ, 2006.- Стр. 269-276.

22. Феофилов C.B. Периодические движения в релейных системах с цифровым управлением // Мехатроника, автоматизация, управление. № 11, 2006г.- Москва, Изд-во: «Новые технологии», 2006.- С. 19-23.

23. Феофилов C.B. Периодические движения в релейных системах с цифровым управлением и трехпозиционным релейным элементом // Сборник научных трудов по материалам международной научно-практической конференции «Перспективные инновации б науке, образовании, производстве и транспорте '2007»,- Одесса, Изд-во: «Черноморье», 2007.- С. 7-11.

24. Моржов A.B., Фалдин Н.В., Феофилов C.B. Периодические движения в релейных системах с трехпозиционным релейным элементом и кусочно-линейными объектами управления // Труды второй международной конференции «Системный анализ и информационные технологии». Т. 1.- М.:Издательство ЛКИ,

2007.- С. 66-69.

25. Фалдин Н.В., Феофилов C.B. Исследование периодических движений в релейных системах, содержащих звенья с ограничителями //Известия РАН. Теория и системы управления, 2007, №2.- Москва: Изд-во «Наука» с. 15-27.

26. Макаров H.H., Феофилов C.B. Применение пакета Mathcad в анализе и синтезе систем автоматического управления // Учебное пособие. - Тула: Изд-во ТулГУ, 2007,- 169с.

27. Феофилов C.B. Фазовый годограф для релейных систем с кусочно-линейными объектами управления //Вестник ТулГУ. Сер. Системы управления. Вып.1 - Тула: Изд-во ТулГУ, 2007. -194 с.

28. Феофилов C.B. Периодические движения в релейных системах с трехпозиционным управлением и ограничителями в объекте регулирования II Мехатроника, автоматизация, управление. № 5, 2008г.- Москва, Изд-во:

1,. ГТЛВ-rïïï-.. IfiftO 1 ! m

WIXUUDIV IWAniMlUlfinff, V-. i » 'l /■

29. Феофилов C.B. Периодические движения в релейных системах с кусочно-линейными объектами управления // Труды восьмой всероссийской научной конференции «Нелинейные колебания механических систем». В 2 т. Т. 2.-Нижний Новгород: Издательский дом «Диалог Культур», 2008,- С. 248-252.

30. Феофилов C.B., Чудин Д.В. Контроль автоколебаний в релейных системах с трехпозиционным управлением //Приборы и управление: сборник статей молодых ученых. Выпуск б.-Тула, Изд-во:ТулГУ, 2008.-С.112-116.

31. Феофилов C.B. Анализ автоколебаний в системах с трехпозиционным релейным элементом и цифровым управлением //Вестник ТулГУ. Сер. Системы управления. Вып.1 - Тула: Изд-во ТулГУ, 2008. -С. 161-165.

32. Феофилов C.B. Периодические движения в релейных системах с упругими ограничителями в объекте управления //Труды международной конференции «Математическая теория систем», Москва, 2009,- С.37-41.

33. N.V. Faidin, S.V. Feofilov On Periodic Motions in Relay Systems Containing Blocks with Limiters //Journal of Computer and Systems Sciences International, 2007, Vol. 46, No. 2, pp. 177-188. © Pleiades Publishing, Ltd., 2007.

Изд. лиц. ЛР № 020300 от 12.02.97. Подписано в печать0%, Формат бумага 60*84'/,4. Бумага офсетная.

Усл. печ. лД I/ . УЧ.изд л. . Тираж/#7 э«з. Заказ Тульский государственный университет 300600, г. Тула, просп. Ленина, 92 Отпечатано в Издательстве ТулГУ 300600, г. Тула, ул. Болднна, 151

Введение.

Релейные системы с двухпозиционным управлением.

1. Фазовый годограф релейной системы. Определение периодического движения.

1.1. Понятие фазового годографа. Определение основного уравнения фазового годографа.

1.2. Фазовый годограф релейных систем, содержащих звенья с ограничителями в объекте управления.

1.3. Общий случай расположения звена с ограничителем в объекте управления.

1.4. Фазовый годограф релейных систем с упругими ограничителями в объекте управления.

1.4.1. Математическая модель звена с ограничителем типа упругий механический упор.

1.4.2. Особенности фазового годографа.

1.4.3. Построение фазового годографа.

1.5. Фазовый годограф релейных систем с кусочно-линейными объектами управления.:.

2. Устойчивость автоколебаний.

2.1. Критерий устойчивости периодических движений в релейных системах с нелинейным объектом управления.

2.2. Устойчивость периодических движений для систем с ограничителями в объекте управления.

2.3. Устойчивость периодических движений для систем с упругими ударными взаимодействиями.

2.4. Устойчивость периодических движений в системах с кусочно-линейными объектами управления.

Релейные системы с трехпозиционным управлением.

3. Определение периодических движений.

3.1. Понятие фазового годографа системы. Основное уравнение фазового годографа.

3.2. Построение фазового годографа для объектов с ограничителями.

3.3. Особенности построения фазового годографа для кусочно-линейных объектов управления.

3.4. Определение периодических движений в системах с двумя управляющими релейными элементами.

4. Устойчивость периодических движений.

4.1. Алгебраический критерий устойчивости для нелинейного объекта управления общего вида.

4.2. Устойчивость периодических движений в системах с ограничителями.

4.3. Устойчивость периодических движений в системах с кусочно-линейными объектами управления.

Релейные системы с цифровым управлением. 5. Периодические движения в релейных системах с цифровым управлением.

5.1. Периодические движения в релейно-импульсных системах с двухпозиционным релейным элементом.

5.2. Периодические движения в релейно-импульсных системах с трехпозиционным релейным элементом.

5.3. Периодические движения в системах с цифровым управлением.

5.4. Приближенный критерий устойчивости периодических движений.

5.5. Возникновение квазистохастических процессов.

6. Синтез релейных автоколебательных воздушно-динамических рулевых приводов с цифровым управлением.

6.1. Математическая модель воздушно-динамического рулевого привода.

6.2. Фазовые годографы привода.

6.3. Формирование структуры системы и контроль автоколебаний.

6.4. Методика синтеза и оптимизации системы управления.

6.5. Анализ синтезированной системы методом цифрового моделирования.

7. Синтез автоколебательного пневмопривода с двумя управляющими релейными элементами.

7.1. Математическая модель привода. Построение фазового годографа.

7.2. Синтез и оптимизация системы управления.

7.3. Линеаризация привода по полезному сигналу.

7.4. Результаты синтеза.

Фундаментальной проблемой современной теории автоматического управления является разработка методов анализа и синтеза нелинейных систем управления. Реальные технические системы управления, как правило, являются нелинейными и только при наличии соответствующих методов анализа и синтеза можно обеспечить высокое качество системы управления, а иногда и, вообще, решить задачу синтеза.

Важным классом нелинейных систем являются релейные системы управления. Релейные системы традиционно широко применяются в различных областях техники. Это обусловлено рядом их преимуществ по сравнению с другими типами систем управления. К основным достоинствам релейных систем следует отнести простоту конструкции, настройки и эксплуатации. При этом во многих случаях они позволяют получить более высокие динамические характеристики. Релейные системы могут обладать большим быстродействием вследствие того, что управляющее воздействие в них изменяется практически мгновенно и исполнительное устройство всегда подвержено максимальному входному воздействию. Такие системы используются как в системах управления промышленного назначения, так и в системах управления подвижными объектами. Релейные газовые (пневматические) приводы, например, часто используются в качестве исполнительных устройств летательных аппаратов, релейные электроприводы - в качестве приводов прицельных устройств противотанковых и зенитных комплексов и т.д.

Релейный элемент, если рассматривать его как динамическое звено, представляет собой разрывную статическую нелинейность, т.е. релейные элементы являются существенно нелинейными звеньями. При переходе некоторого порогового значения, выходная величина релейного элемента изменяется скачком, в остальные промежутки времени она остается постоянной. В связи с этим, форма выходного сигнала релейного элемента не существенно зависит от формы его входного сигнала. Поэтому рассмотрение релейных систем непосредственно при помощи хорошо разработанных в теории автоматического управления линейных методов невозможно.

Одной из характерных особенностей нелинейных и, в частности, релейных систем является их склонность к автоколебаниям. В некоторых исследованиях (см. например [148]) эта черта отмечается в качестве недостатка. Однако для многих релейных систем автоколебательный режим работы является номинальным. Именно благодаря возможности существования такого режима удаётся добиваться нечувствительности системы к воздействию некоторых внешних факторов, устранять вредное влияние отдельных нелинейных характеристик объекта управления.

Начальный этап развития теории релейных автоматических систем относится ко времени становления теории автоматического управления. Одно из первых теоретических исследований регуляторов релейного типа принадлежит И. А. Вышнеградскому . Однако первые труды, посвященные анализу и синтезу релейных систем, например [45], [90], [122], были узконаправленными, так как отличались сильной привязанностью к конкретным объектам управления.

Большую роль в развитие теории релейных систем внесли исследования группы учёных под руководством академика A.A. Андронова. Фундаментом для построения общей теории релейных автоколебательных систем послужила книга А. А. Андронова и С.Э. Хайкина "Теория колебаний" [3], в которой впервые в теорию нелинейных систем было введено понятие автоколебаний. В указанной работе на примере лампового генератора с z-образной характеристикой, представляющего собой своеобразную релейную систему, ими было показано, что в силу специфических свойств этого генератора (независимость формы выходной величины релейного элемента (лампы) от характера движений в системе) нелинейную функцию можно заменить некоторой функцией времени, представляющей собой "внешнюю" периодическую силу, действующую на систему. Частота этой периодической силы определяется свойствами системы. Благодаря этому нелинейная задача сводится к исследованию действия некоторой периодической силы на линейную систему, т. е. к линейной задаче. Для исследования автоколебательных свойств этого генератора был применён развитый в книге [3] метод фазовой трактовки.

После выхода монографии [3] появилось большое число работ, в которых для анализа и синтеза релейных систем применялся метод фазовой плоскости, основы которого были заложены ещё в исследованиях

A. Пуанкаре. Главным достоинством этого подхода к исследованию нелинейных систем является его наглядность. При помощи метода фазовой плоскости в работах [13], [41], [76] проведено исследование ряда конкретных объектов управления. Для изучения простейших релейных систем с гистерезисом в работах В. В. Казакевича [57], а также в работах

B. В. .Петрова [111] привлечена многолистная фазовая плоскость. Увеличение размерности релейной системы приводит к потере наглядности и создаёт существенные трудности при построении фазовых траекторий уже для систем, объект управления которых имеет третий порядок. Для исследования релейных систем третьего порядка Флюгге-Лоц предложил использовать фазовую плоскость совместно с методом припасовывания [195]. Интересная особенность этого подхода состоит в применении косоугольной системы координат фазовой плоскости, угол между осями которой зависит от параметров системы. Несмотря на то, что такой подход существенно упрощает построение фазовых траекторий, других принципиальных преимуществ он не даёт. Кроме того, В. С. Бояриновым и Н. Н. Леоновым показано, что некоторые результаты, полученные в [195], являются ошибочными.

Попытки распространения идей, связанных с фазовым пространством на системы более высокого порядка, привели к бурному развитию метода точечных отображений. Основы последнего были заложены в ряде работ Пуанкаре и получили дальнейшее развитие в исследованиях учёных научной школы А. А. Андронова [2]. Применение метода точечных преобразований дало возможность качественно и количественно произвести разбиение фазового пространства на области, содержащие траектории различного типа, и для некоторых релейных систем получить полную картину влияния регулятора на процесс управления. Этот метод широко использовался в работе [8] для исследования динамических свойств нелинейных и, в частности, релейных сервомеханизмов, описываемых нелинейными дифференциальными уравнениями второго и третьего порядков.

Большой вклад в развитие метода точечных преобразований внёс Ю. И. Неймарк. Исследование автоколебаний и их устойчивости в релейных системах он свёл к изучению точечного преобразования многомерного гильбертова пространства в само себя [101], [104]. При этом отдельно рассматриваются участки фазовых траекторий, соответствующих кусочно-линейному поведению системы, после чего производится их "сшивание". Точечное преобразование многомерного гильбертова пространства применялось Ю. И. Неймарком и И. М. Кублановым для исследования автоколебаний в простейшей релейной системе автоматического регулирования с распределёнными параметрами. Обобщение результатов метода точечных отображений сделано в монографии [100].

Для изучения автоколебаний в релейных системах П. В. Бромберг использовал аппарат матричного исчисления. Этот же аппарат применён им для исследования влияния внешнего постоянного воздействия на период автоколебаний и их среднее значение [19]. Матричная точка зрения была последовательно проведена П.В. Бромбергом в его книге [18], содержащей подробное исследование поведения импульсных и релейных автоматических систем.

Параллельно с методом точечных преобразований развивался идейно связанный с ним другой точный метод исследования процессов в нелинейных системах - метод припасовывания, суть которого состоит в замене нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих движение кусочно-линейной системы, алгебраическими уравнениями, справедливыми на участках линейности. Исследование процессов в нелинейной системе сводится к решению указанной системы алгебраических уравнений и "сшиванию" их значений на границах интервалов линейности. Применение этого метода рассматривается, например, в работах Булгакова и Бромберга [18]. Пользуясь методом припасовывания, Я. Н. Ройтенберг рассмотрел автоколебания и процессы в гироскопическом стабилизаторе с релейной коррекцией. Большое значение в этом направлении развития теории релейных систем сыграли работы А. И. Лурье [89] - [91]. В этих исследованиях на основе введённой канонической формы уравнений впервые были даны точные методы построения и исследования устойчивости периодических движений релейной системы. Несмотря на все достоинства метода припасовывания, он имеет существенный недостаток. Именно, при его использовании приходиться решать систему алгебраических уравнений, которая, как правило, является трансцендентной, что приводит к необходимости её численного решения и сильно усложняет, прежде всего, процедуру синтеза релейной системы.

В предлагаемом кратком обзоре литературы нельзя игнорировать достаточно многочисленную группу приближённых методов (например, метод малого параметра Пуанкаре - Андронова, видоизменённый вариант которого был рассмотрен Б.В. Булгаковым, графоаналитический метод Л.С. Гольдфарба [34]). Следует отметить, что и в настоящее время они остаются одним из самых популярных инструментов исследования релейных систем в инженерной практике. Наиболее широко используются методы, основанные на идеях гармонического баланса и эквивалентной линеаризации Н. М. Крылова и H.H. Боголюбова [79], [80]. Самым распространённым в этой группе методов является метод гармонической линеаризации, подробно рассмотренный в монографиях Е. П. Попова и И. П. Пальтова [119], [120]. В этих работах метод гармонической линеаризации используется не только для анализа, но и для синтеза релейных систем.

При рассмотрении методов анализа релейных систем невозможно обойти вниманием также и работы, посвящённые линеаризации релейных систем по полезному или медленноменяющемуся сигналу. Эти методы используют эффект вибрационного сглаживания релейного элемента и других нелинейностей периодическими движениями системы. Линеаризация нелинейных (в том числе и релейных) систем, вызываемая внешним воздействием при достаточно высокой его частоте и соблюдении некоторых условий, рассматривалась в работах Л. Мак-Кола, A.A. Красовского [75]. Линеаризация, вызываемая не внешним воздействием, а автоколебаниями системы, изложена в работах Э. Жюильяра, С. И. Бернштейна. Наиболее полные результаты в этом направлении получены Г. С. Поспеловым [121].

Большинство из перечисленных выше методов исследования процессов в нелинейных системах разрабатывались не только для релейных систем и могут применяться в системах, содержащих нелинейности других видов. Это, с одной стороны, является достоинством, так как свидетельствует об их универсальности. С другой стороны, эти методы не в полной мере используют особенности релейных систем автоматического управления, основной из которых является кусочное постоянство выходного сигнала релейного элемента. Желание создать для релейных систем точный метод исследования, лишённый недостатков, характерных для остальных методов, привело к созданию ряда специфических теорий, широко использующих отмеченное свойство выходного сигнала релейного элемента. Среди этих методов, прежде всего, следует выделить метод Я.З. Цыпкина, который играет исключительно важную роль в современной теории релейных систем автоматического управления. В своей работе [199] Цыпкин предложил использовать специальные характеристики объекта управления - годографы релейной системы. Использование годографов позволило развить простой точный метод исследования автоколебаний в релейных системах. Для их построения в работе [199] предлагаются методы, использующие частотные и переходные характеристики линейной части системы. Выражения для годографов в этом случае получаются в виде суммы бесконечного ряда.

Из других методов, использующих кусочное постоянство управляющего сигнала, отметим метод Гамеля [215], в котором условия существования автоколебаний основаны на идеях метода фазовой плоскости. При этом для релейных систем вводятся Н -характеристики, по смыслу аналогичные годографам Цыпкина. Полученные на их основе условия существования автоколебаний, выраженные в алгебраической форме, для линейных объектов управления произвольного порядка приведены в работе [215].

После опубликования исследований Цыпкина и Гамеля интерес к релейным системам несколько снизился. Последующие работы были посвящены, в основном, распространению этих методов на более широкие классы релейных систем. Например, статья [100] посвящена применению методов Гамеля и Цыпкина к системам, фазовая траектория которых терпит разрывы в момент переключения релейного элемента. Л.П. Кузьминым был предложен графоаналитический способ построения годографа релейной системы при наличии зоны нечувствительности. А. А. Славин распространил метод Цыпкина на случай несимметричных автоколебаний в релейных системах [141]. В.И. Теверовский [148], использовал метод Цыпкина для исследования релейных систем со скачкообразно изменяющимися параметрами, Д.П. Атертон - для исследования связных релейных автоматических систем. Ж. Жюмари попытался распространить теорию Цыпкина на системы с произвольными статическими нелинейностями. Для этого используется аппроксимация нелинейной характеристики многопозиционным релейным элементом.

Релейные системы иногда относят к простейшим нелинейным системам управления. Однако такое отношение можно оправдать (и то не всегда), если рассматривать релейные системы только с линейными объектами управления, то есть когда релейный элемент является единственной нелинейностью объекта управления. Реальные технические объекты управления в большинстве случаев являются нелинейными и, следовательно, при анализе и синтезе релейных систем необходимо учитывать нелинейность объекта управления. Основным недостатком методов Цыпкина и Гамеля, существенно сужающим область их применения, является то, что они разработаны для релейных систем с линейными объектами управления, тогда как в инженерной практике требуются методы, ориентированные на системы, объект управления которых содержит различные нелинейности.

Как было отмечено выше, отличительной особенностью релейных систем является то, что в них известна форма сигнала, поступающего с релейного элемента на вход объекта управления. В методах Цыпкина, Гамеля это обстоятельство используется для определения возникающих автоколебаний в релейной системе с линейным объектом управления. Автор диссертации считает, что априорные знания о форме сигнала, поступающего на объект управления, являются той информацией, основываясь на которой можно построить удобную для практического использования теорию релейных систем с нелинейными объектами управления.

На кафедре систем автоматического управления Тульского государственного университета под руководством профессора Н.В. Фалдина разрабатывается метод фазового годографа [153]. Основным отличием этого метода от рассмотренных ранее является возможность его применения для релейных систем с произвольными нелинейными объектами управления. Введено понятие фазового годографа, которое в равной мере относится как к линейным, так и нелинейным объектам управления. Для систем с двухпозиционными релейными элементами фазовый годограф представляет собой линию (одномерное многообразие) в фазовом пространстве системы, каждая точка которой задает периодическое движение определенной частоты. Для систем с трехпозиционным релейным элементом фазовый годограф зависит также от параметра у, с помощью которого задается скважность управляющего сигнала. Фазовый годограф определяет все возможные периодические движения объекта управления.

Если построен фазовый годограф, то возникающее в автономной (входной сигнал отсутствует) релейной системе периодическое движение определяется очень просто, путем решения одного (для систем с двухпозиционным релейным элементом) или двух (для систем с трехпозиционным релейным элементом) алгебраических уравнений. Фазовый годограф позволяет также легко получить условия возникновения вынужденных периодических движений как основной частоты, так и на частоте субгармоник.

Метод фазового годографа ориентирован на применение современной вычислительной техники и позволяет достаточно просто и с малыми затратами машинного времени синтезировать законы управления, обеспечивающие требуемые показатели качества системы. Задача синтеза при этом может быть поставлена, как задача нелинейного программирования, в ходе решения которой минимизируется функция, характеризующая, например, динамическую точность слежения системы при наличии ограничений на параметры требуемых автоколебаний, устойчивость системы и т.п. Т.е. метод фазового годографа позволяет рассматривать требования к существованию и устойчивости автоколебаний при синтезе системы, как одно из ограничений задачи оптимизации. Такой подход значительно упрощает процесс проектирования сложных нелинейных динамических систем, что дает неоспоримые преимущества методу фазового годографа перед другими методами синтеза релейных систем.

Из предложенного обзора литературы следует, что для исследования релейных систем с нелинейными объектами управления на сегодняшний день наиболее перспективным является метод фазового годографа. Однако, к настоящему времени метод фазового годографа достаточно полно разработан только для систем с линейными объектами управления и двухпозиционным релейным элементом [153], [154].

Целью настоящей работы является создание прикладных методов анализа и синтеза релейных автоколебательных систем с нелинейными объектами управления на основе понятия фазового годографа. Будут рассмотрены такие важные классы нелинейных объектов управления, как кусочно-линейные, объекты управления, содержащие различного рода ограничители, в том числе и упругие. Многие теоретические результаты будут получены для произвольных нелинейных объектов управления. Разрабатываемые методы позволят работать с системами с двух и трехпозиционными релейными элементами. Кроме того, современные релейные системы содержат ЭВМ в контуре управления, а значит должны быть разработаны методы анализа и синтеза релейных систем с цифровым управлением.

Важным классом нелинейных объектов управления являются такие, нелинейность которых обусловлена наличием различного рода ограничителей. Объекты, содержащие ограничители, представляют собой существенно нелинейные системы специфического вида. В пространстве состояний системы можно выделить области, движения в которых описываются различными дифференциальными уравнениями. При переходе из одной области в другую фазовая траектория может оставаться непрерывной (ограничители типа насыщение) или претерпевать разрыв ограничители типа механический упор). Таким образом, системы с ограничителями описываются дифференциальными уравнениями с разрывными правыми частями, причем разрывными могут быть и фазовые траектории. Системы с ударными взаимодействиями изучаются теорией колебаний, теорией виброударных и виброзащитных систем. Их исследованию посвящено большое число работ. Значительные результаты в этой области получены Ю.И. Неймарком [101], В.И. Бабицким [6],[7], М.З. Коловским [65], Я.Г. Пановко [107], И.И. Блехманом [15] и др. Следует упомянуть также работы H.A. Железцова, Е.Ф. Мищенко, J1.C. Понтрягина по теории разрывных колебаний.

В теории колебаний при исследовании систем с соударениями основное внимание уделяется определению условий возникновения периодических колебаний различных типов, разработке методик расчета периодических режимов и получению режимов с заданными параметрами, исследованию бифуркаций движений и т.д. При этом используются как точные, так и приближенные методы.

Задачи исследования систем автоматического управления по своему содержанию, как правило, отличаются от задач теории колебаний. В них рассматриваются замкнутые системы высокого порядка, имеющие помимо ограничителей и другие нелинейности. Получение периодических движений с заданными параметрами при этом является лишь необходимым, но не достаточным условием удовлетворения предъявляемых к системе требований. Кроме того, имеется ряд задач, например, задачи синтеза высокоточных автоколебательных следящих систем, которые, несмотря на наличие ограничителей в объекте управления, вообще не входят в круг интересов теории колебаний. Таким образом, при исследовании САУ с ограничителями известные методы теории колебаний оказываются недостаточными.

В теории управления значительное внимание было уделено так называемым разрывным системам [27,117]. В общем случае к ним относятся системы [27], в которых координаты или их производные имеют разрывы. Общей теории таких систем посвящена работа [111], в которой предложено определение решения разрывных уравнений и изучены его свойства. Однако инженерные приложения в ней не рассматриваются. Следует сказать, что при разработке прикладных методов исследования понятие разрывных систем оказывается чрезмерно широким. К ним относятся, в частности, релейные системы, системы с переменной структурой и многие другие. Для исследования каждого из вышеперечисленных классов разработаны свои методы, учитывающие особенности принадлежащих ему САУ.

Системы с ограничителями в этом плане занимают особое место. При учете ограничений на фазовые координаты в подавляющем большинстве работ выход переменных за указанные пределы рассматривается как нежелательная, аварийная, но принципиально возможная ситуация. Исключение составляют работы В.А.Троицкого, Н.В.Фалдина, С.А. Руднева и работы A.B. Нетушила [105,106].

Наличие ограничителей в системе управления существенно влияет на ее динамические свойства. Представление ограничителя безынерционным звеном типа насыщение приводит к значительным погрешностям при решении задач анализа и синтеза САУ, поэтому такая замена представляется малоперспективной. Однако существующие в теории автоматического управления методы исследования нелинейных систем, в основном, предполагают наличие только статических нелинейностей и их невозможно непосредственно применить к системам с ограничителями. Далее, оказывается, что, несмотря на значительное количество работ, посвященным системам с ударными взаимодействиями, полученные результаты имеют ограниченное применение к системам управления объектами с ограничителями и не позволяют решить ряд задач, возникающих при их исследовании. Таким образом, возникает необходимость разработки прикладных методов анализа и синтеза релейных САУ, позволяющих решать задачи оценки устойчивости, контроля параметров периодических движений, синтеза высокоточных автоколебательных систем с учетом ограничителей в объекте управления.

Большинство авторов, рассматривая системы управления с механическими ограничителями, используют упрощенную модель таких объектов. Предполагается, что удар оп упор является абсолютно неупругим. Предположение о неупругости удара во многих случаях позволяет корректно описывать системы с ограничителями типа механический упор. Однако при исследовании быстродействующих малоинерционных систем возможны ситуации, когда упругость ударов об ограничитель будет оказывать существенное влияние на протекающие в объекте управления процессы. Это приводит к необходимости разработки методов анализа и синтеза систем релейных автоколебательных систем, позволяющих учитывать упругость ударов об механические ограничители и выявлять особенности таких систем.

Существуют различные подходы к описанию удара двух тел, различающиеся степенью идеализации процессов в рассматриваемых объектах. Неотъемлемой частью теоретической механики является стереомеханическая теория удара абсолютно твердых тел, основы которой были заложены И. Ньютоном. Задачи об ударе, решаемые в рамках теории сплошных сред, предполагают определение меняющихся в процессе развития удара полей контактных напряжений и деформаций, общей длительности соударения, сопутствующих ему пластических течений и волновых процессов. Более грубая стереомеханическая теория основана на понятии коэффициента восстановления удара, определяемого экспериментально, исходит из допущения о мгновенности удара и позволяет определить только ударные импульсы и послеударное динамическое состояние рассматриваемой ударно-колебательной системы. Вместе с тем использование этой теории позволяет рассматривать достаточно сложные задачи об ударе, эффективное решение которых в рамках теории сплошных сред является в настоящее время проблематичным.

В силу сказанного выше стереомеханическая теория широко используется в настоящее время при описании динамики ряда механизмов и процессов ударного и виброударного типа. Использование стереомеханической теории удара позволяет свести задачу об ударно-колебательных движениях механических систем к интегрированию существенно нелинейных кусочно-непрерывных дифференциальных уравнений. При этом рабочему режиму движения анализируемого механизма обычно отвечает устойчивое периодическое решение этих уравнений, отличающееся тем, что внутри одного периода движения реализуются один или два удара.

Теоретические и экспериментальные исследования, однако, показали, что в действительности весьма вероятными оказываются движения качественно иного типа, в ходе которых после основного удара реализуется серия повторных учащающихся соударений уменьшающейся интенсивности. Аналитическое описание этого явления в рамках стереомеханической теории приводит к понятию о бесконечно-ударном процессе, т.е. о бесконечной последовательности учащающихся соударений уменьшающейся до нуля интенсивности, и эта последовательность соударений в конечное время завершается установлением длительного контакта между взаимодействующими телами. Бесконечно-ударный процесс, обусловленный не вполне упругим характером отдельных соударений, называют квазипластическим (как бы абсолютно неупругим) ударом благодаря его внешнему сходству с абсолютно неупругим ударом, реализующимся в рассматриваемой системе .при всех прочих равных условиях. Были предложены аналитические и численные методы расчета бесконечноударных движений. В процессе исследований был выявлен ряд специфических свойств бесконечноударных процессов применительно к системам, непрерывным в интервалах между ударами, а также в системах с дополнительной нелинейностью разрывного типа (пара сухого трения, дополнительная ударная пара, неудерживающая связь). Среди них важнейшим является свойство нечувствительности бесконечно-ударных процессов к значению коэффициента удара или, иными словами, по существу, к тому, в каких условиях происходит каждое единичное соударение. Это означает, что при определенных условиях конечное динамическое состояние системы по завершении бесконечно-ударного процесса совпадает или весьма близко к состоянию этой системы после того, как в начальный момент произошло абсолютно неупругое соударение при всех прочих равных условиях. Соответственно, количественное описание бесконечно-ударных движений, нечувствительных к значению коэффициента удара, существенно упрощается.

Отдельный интерес представляет исследование релейных систем с кусочно-линейными объектами управления. В этом случае движение системы в разных областях фазового пространства описывается разными и совершенно не связанными между собой дифференциальными уравнениями. Определение периодических движений в таких системах и оценка их устойчивости также рассматриваются в настоящей диссертационной работе.

К релейным системам управления, работающим в автоколебательном режиме, обычно предъявляются жесткие требования на параметры автоколебаний (частоту и амплитуду), на точность режима слежения, режима стабилизации, жесткость системы и т.п. В релейных системах с двухпозиционным релейным элементом амплитуда автоколебаний однозначно связана с их частотой. В релейных системах с трехпозиционным релейным элементом амплитуда автоколебаний зависит как от частоты так и от параметра у, с помощью которого задается скважность сигнала с выхода релейного элемента. Таким образом, в релейных системах с трехпозиционным релейным элементом появляется возможность управлять амплитудой автоколебаний, не изменяя их частоту. В некоторых случаях это бывает важно, так как требования на частоту и амплитуду могут носить противоречивый характер. Далее, применение трехпозиционных релейных элементов позволяет уменьшить амплитуду автоколебаний, что приводит к повышению точности режима слежения. Однако трехпозиционный релейный элемент имеет зону нечувствительности. Это порождает в релейной системе при отсутствии входного сигнала два установившиеся состояния: состояние покоя, т.е. имеет место тривиальное решение вида х(0 = 0 (здесь х(г) — фазовый вектор системы), и периодическое движение. Каждое из указанных состояний имеет свою область притяжения. Так как нормальным режимом работы релейной системы является автоколебательный, то требуются специальные меры по возбуждению автоколебаний, что ухудшает эксплуатационные характеристики системы.

Перспективным выглядит использование вместо трехпозиционного релейного элемента двух идентичных двухпозиционных релейных элементов. При суммировании сигналов, поступающих в режиме автоколебаний с выходов релейных элементов, смещенных относительно друг друга по фазе, получается сигнал, аналогичный сигналу с выхода трехпозиционного релейного элемента.

Анализ литературы показывает, что теория релейных систем с трехпозиционным управлением практически не разработана. Среди немногочисленных публикаций можно выделить работы [199], [173], однако они относятся релейным системам с линейными объектами управления. Таким образом, актуальной является задача разработки методов анализа и синтеза систем с трехпозиционным релейным элементом и нелинейными объектами управления.

Развитие микроэлектроники и широкое применение ее изделий в промышленном производстве, в устройствах и системах управления самыми разнообразными объектами и процессами является в настоящее время одним из основных направлений научно-технического прогресса. Использование микроэлектронных средств в изделиях приводит не только к повышению технико-экономических показателей изделий (стоимости, надежности, потребляемой мощности, габаритов, массы), позволяет многократно сократить сроки разработки и отодвинуть срок "морального старения" изделия, но и придает им принципиально новые потребительские качества (расширенные функциональные возможности, модифицируемость, адаптивность, гибкость, самоконтроль, перестраиваемость структуры и др.)

За последние годы в микроэлектронике бурное развитие получило направление, связанное с выпуском однокристальных микроконтроллеров. Такое устройство легко встраивается в любой объект - станок, технологическую линию, автомобиль, пишущую машинку, кухонный комбайн, кассовый автомат, светофор, сложный научный прибор, придавая ему качества автоматических систем, повышая его уровень "интеллекта".

Внедрение микропроцессоров в традиционные САУ связано с принципиальными изменениями, как их структуры, так и характеристик: превалирующими становятся структуры с децентрализированным управлением, многопроцессорные структуры, системы с перестраиваемой структурой, реализующие оптимальные алгоритмы цифрового управления и регулирования.

Программируемость микропроцессоров определяет возможность гибкой оперативной перестройки как алгоритма работы САУ, так и ее структуры с целью приспособления их к меняющимся условиям работы. Свойство программируемости обеспечивает возможность внесений изменений в структуру и в программу работы на всех этапах ее проектирования - от предварительного проектирования до эксплуатации серийных образцов.

Значительная вычислительная мощь микропроцессоров и систем на их основе, величина которой постоянно растет, дает возможность для использования микропроцессоров в быстродействующих системах реального времени.

Применение микропроцессоров в САУ позволяет поднять на качественно новый уровень такие важные их характеристики, как отказоустойчивость и живучесть. Широкое распространение получают системы с резервированием, а также системы с программной реконфигурацией структуры и использованием самокорректирующих кодов. Для оперативного контроля и диагностики все шире используются встроенный программно-аппаратный контроль, осуществляемый с привлечением относительно дешевых дополнительных ресурсов. Использование микроконтроллера в системах управления обеспечивает достижение исключительно высоких показателей эффективности при низкой стоимости.

Конечно, введение микроконтроллера в контур управления имеет и некоторые негативные последствия, связанные неизбежной дискретизацией управляющего сигнала. Однако положительный эффект многократно превосходит отрицательный и применение таких систем несомненно оправдано. Это обусловлено общими достоинствами цифровых систем автоматического управления (ЦСАУ) с микроЭВМ в контуре управления.

Создание цифровой системы является оправданным даже и вследствие того, что с одной стороны алгоритмы управления современных САУ реализуются, как правило, цифровыми вычислительными устройствами, выдающими управление в виде цифрового сигнала, а с другой - для положения выходной координаты используются много разрядные цифровые датчики угловых, либо линейных перемещений. Кроме того, отдельным направлением в современной технике является модернизация существующих изделий. Такая модернизация обычно заключается в замене устаревшей аналоговой системы управления современной цифровой системой.

Учитывая вышесказанное, особый интерес представляет рассмотрение релейных систем с цифровым управлением. Как показывает анализ литературы, теория таких систем к настоящему времени практически не разработана. Поэтому актуальной представляется задача разработки методов анализа и синтеза релейных систем с цифровым управлением.,

В качестве прикладных приложений разработанных теоретических методов в диссертации рассматривается синтез двух газовых рулевых приводов с двух и трехпозиционным управлением. В малогабаритных управляемых ракетах широко используются релейные автоколебательные воздушно-динамические рулевые приводы. Эти приводы не требуют специального источника питания, а используют энергию набегающего воздушного потока. Они отличаются простотой конструкции, малой стоимостью, удобны в эксплуатации и хранении. Применение воздушно-динамических рулевых приводов позволяет заметно снизить стоимость ракеты.

Для уменьшения стоимости приводов в них традиционно используются нейтральные электромеханические преобразователи, которые могут работать только в режиме переброса, т.е. от одного упора до другого. В таких условиях обеспечить пропорциональность отклонения рулей величине входного сигнала можно, если организовать автоколебательный режим работы привода. Так как малогабаритные ракеты указанного класса вращаются вокруг своей оси, то входным сигналом для привода является гармоническая функция, амплитуда которой может изменяться от нуля до некоторого максимального значения. Изменяется также частота сигнала в связи с изменением частоты вращения ракеты. Выходной сигнал привода (отклонение рулей) в этом случае является почти периодической функцией, в которой можно выделить основную составляющую, соответствующую частоте входного сигнала, и высокочастотные составляющие, порожденные "автоколебаниями".

Точность работы привода оценивается по основной составляющей движения, так как ракета обладает существенной инерцией и не реагирует на высокочастотные колебания рулей.

Во вращающихся ракетах очень важно, чтобы привод не вносил фазового запаздывания, так как это приводит к ошибкам формирования вектора перегрузки (особенно опасны ошибки в направлении вектора перегрузки). Ошибки в формировании вектора перегрузки приводят к спиралеобразному движению ракеты, что отрицательно сказывается на точности наведения ракеты на цель и может являться причиной срыва процесса наведения.

Воздушно-динамический привод как объект управления является существенно нелинейной динамической системой. Нелинейность привода обеспечивается, прежде всего, наличием в нем механических упоров, которые приводят к нелинейностям специфического вида. Движение такого привода описывается дифференциальными уравнениями с разрывными правыми частями, разрывными (в результате удара об упор) являются и его фазовые траектории. Это существенно затрудняет синтез для привода закона управления и его оптимизацию.

Качество и точность наведения ракеты на цель существенно зависят от ошибок, которые вносит привод в формирование вектора перегрузки. Чем меньше эта ошибка, тем выше качество процесса наведения (ракета меньше "раскачивается" на траектории), тем выше вероятность поражения цели. Ошибка в формировании вектора перегрузки определяется системой управления привода. Располагая соответствующими методами синтеза, можно минимизировать ошибку привода и тем самым повысить качество процесса наведения.

Настоящая работа в частности направлена на разработку метода синтеза воздушно-динамических рулевых приводов малогабаритных управляемых ракет. Метод должен содержать в себе оптимизацию системы по точности. Это позволит обеспечить минимизацию ошибок привода на всех режимах работы.

Разработка указанного метода является непростой задачей, так как с одной стороны указанные приводы, как уже отмечалось, содержат ограничители в виде механических упоров. С другой стороны, вследствие изменения скорости ракеты и плотности воздуха, параметры привода могут изменяться в широких пределах (для зенитных управляемых ракет малой дальности в сотни и более раз). Далее, к приводам малогабаритных управляемых ракет предъявляются очень жесткие требования по габаритам и стоимости. Это исключает применение каких-либо сложных систем управления, т.е. задача синтеза должна быть решена с применением простых технических средств. Дополнительные сложности вызывает также дискретность управляющего сигнала, как по уровню, так и по времени, вызванная цифровой реализацией системы управления приводом.

Теория пневматических и газовых приводов рассматривалась в работах В.Н. Челомея, Г.В. Крейнина, Е.В. Герц, Б.М. Подчуфарова, C.B. Костина, Е.Е. Шорникова и других авторов.

Построению математических моделей газовых силовых систем управления (ГССУ) посвящены работы Б.М. Подчуфарова [115], Е.Е. Шорникова [207-210], В. И. Чекмазова [203]. Однако в этих моделях наибольшее внимание уделено исследованию нелинейностей, обусловленных термодинамическими процессами, а также традиционных нелинейностей, таких, как звено со статическим насыщением, сухое трение, релейные характеристики различного вида. Учет ограничителей в этих моделях осуществляется с помощью релейных или нелинейных статических характеристик. Заметим, что такая ситуация вообще характерна для работ, посвященных динамике и методам автоматизированного проектирования нелинейных сервомеханизмов. В них предполагается, что в исходной системе возможно выделить линейную и нелинейную части, причем последняя является безынерционной характеристикой (релейный элемент, сухое трение, люфт). Имеются лишь отдельные работы, использующие математические модели динамических звеньев, близкие к моделям звеньев с ограничителем, рассматриваемым в теории колебаний. Однако авторы этих работ ограничиваются решением задач моделирования и не рассматривают вопросы формирования законов управления.

Задачи анализа и синтеза газовых силовых систем управления рассматривались в работах Е.Е. Шорникова, В.И. Бабичева и др. авторов. Е.Е. Шорниковым значительное внимание уделено вопросам проектирования релейных газовых приводов и их элементов [209,210]. Им предложены алгоритм и принципы проектирования приводов, позволяющие формализовать и автоматизировать синтез релейных приводов.

В.И. Бабичев провел исследование релейного автоколебательного пневмопривода с помощью метода гармонической линеаризации [8] и точным методом Я.З. Цыпкина. Им разработана методика синтеза релейных ГССУ с логическими законами управления, реализуемыми с помощью двух релейных элементов и линейных корректирующих устройств. А.Т. Лаптевым разработаны методы проектирования, анализа и синтеза ГССУ с пропорциональным управлением [83].

В развитии динамической теории исполнительных устройств и приводов бортовых систем управления, а также в решении ряда практических задач важное место принадлежит работам сотрудников Московского Государственного авиационного института (технического университета) Л.В. Рабиновича, Б.И. Петрова, В.Г. Стеблецова, В.А. Полковникова и др.

В ГССУ наличие ограничителей оказывает существенное влияние на динамику газораспределительного устройства. Во всех перечисленных выше работах при синтезе следящих приводов ограничители либо не учитываются, т. е. проектирование ведется, исходя из предположения о функционировании элемента в линейной зоне, либо они описываются с помощью нелинейного статического звена типа насыщение. В принципе, такое описание может оказаться удовлетворительным, если управляющее устройство, в котором присутствует ЗО, является значительно более быстродействующим по сравнению с силовыми элементами системы. Однако в настоящее время имеются ГССУ, у которых быстродействие управляющих и силовых элементов представляют собой величины одного порядка. Заметим, что кроме количественных расхождений упрощенный учет ограничителей приводит к неточностям качественного характера. Наличие звена с ограничителем приводит к неоднозначности поведения системы, выражающейся в возможности существования различных периодических движений одной частоты. При нахождении частоты автоколебаний или частоты полезного гармонического сигнала в зоне неоднозначности возможно возникновение значительных отклонений от расчетного режима работы ГССУ. Из сказанного следует актуальность разработки методов анализа и синтеза ГССУ с учетом ограничителей в объекте управления.

Из работ, посвященных синтезу газовых приводов методом фазового годографа, можно выделить [166], где задача синтеза релейной системы с линейным объектом управления впервые решена, как задача оптимизации. Аналогичная задача для системы с ограничителями в объекте управления рассмотрена в [171].

В работах автора [180], [186], [188] на основе метода фазового годографа разработана методика синтеза релейных автоколебательных воздушно-динамических рулевых приводов. Особое внимание в этих работах уделено синтезу в условиях нестационарное™ параметров объекта управления, а также при наличии в объекте управления ограничителей типа жесткий механический упор.

Объектом исследования в диссертационной работе выступают релейные автоколебательные автоматические системы с нелинейными объектами управления. Рассматриваются системы с двух и трехпозиционными релейными элементами, а также системы с дискретизацией по времени и уровню, то есть имеющие цифровое управление. Относительно объекта управления предполагается, что он описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями со стационарными параметрами. Требуется также, чтобы нелинейности объекта управления выражались нечётно-симметричными характеристиками. Остальные ограничения, накладываемые на объект управления, зависят от разделов работы. Многие теоретические результаты получены для нелинейных объектов управления общего вида. Для получения результатов ориентированных на практическое использование подробно рассматриваются отдельные классы нелинейных объектов управления. Это кусочно-линейные объекты управления, объекты, содержащие различного рода ограничители, как механические, так и типа насыщение.

Целью исследования является решение важной научно-технической проблемы, состоящей в создании прикладных методов анализа и синтеза релейных автоколебательных систем с нелинейными объектами управления. Разработка на основе указанных методов методики синтеза релейных автоколебательных воздушно-динамических рулевых приводов. В данной методике задача синтеза рассматривается как задача конечномерной оптимизации, что позволяет получать системы с наилучшими в рамках заданной структуры характеристиками.

Основными задачами при этом являются

1. Разработка на основе понятия фазового годографа общего подхода к анализу и синтезу релейных автоколебательных систем с нелинейными ОУ.

2. Разработка методов определения параметров периодических движений в релейных системах с двух и трехпозиционными релейными элементами (РЭ) и нелинейными объектами управления.

3. Разработка методов оценки устойчивости автоколебаний в указанных релейных системах.

4. Создание простых в применении методов анализа релейных систем с цифровым управлением.

5. Разработка алгоритма и методики синтеза релейных автоколебательных систем.

6. Разработка алгоритмического и программного обеспечения для синтеза релейных автоколебательных воздушно-динамических рулевых приводов с использованием методов конечномерной оптимизации.

В качестве конкретных примеров использования предлагаемых методов будут синтезированы системы управления для двух релейных газовых рулевых приводов с двух и трехпозиционным управлением.

Научная новизна работы заключается в разработке новых теоретических методов и практических методик анализа и синтеза релейных автоколебательных систем с нелинейными объектами управления. Получены следующие новые научные результаты:

1. Методы построения фазового годографа для систем с двухпозиционным релейным элементом. Выявлены особенности фазового годографа, т.е. установлено, когда он является гладкой вектор-функцией, в каких случаях имеет разрывы и точки ветвления. Получено дифференциальное уравнение, решением которого является ФГ. Для кусочно-линейных объектов управления оно позволяет существенно упростить (сократить время) построения фазового годографа. Разработаны алгоритмы локализации и вычисления всех ветвей неоднозначности для следующих классов объектов управления:

- системы с произвольно расположенными звеньями типа жесткий механический упор;

- системы с упругими ограничителями;

- кусочно-линейные объекты управления общего вида.

2. Методы оценки устойчивости периодических движений в системах с двухпозиционным релейным элементом. Разработан алгебраический критерий устойчивости автоколебаний в системах с нелинейным объектом управления. Устойчивость автоколебаний сводится к устойчивости линейного разностного уравнения, которая определяется собственными числами некоторой матрицы G. Для систем с кусочно-линейными объектами управления, в том числе и при наличии звеньев с ограничителями, получены аналитические зависимости, задающие матрицу (7 в явном виде.

3. Методы определения периодических движений в системах с трехпозиционным управлением. Разработаны методы построения фазового годографа с полным выделением всех его ветвей неоднозначности для объектов с ограничителями и кусочно-линейными ОУ. Получено дифференциальное уравнение, позволяющее уменьшить требования к вычислительным ресурсам, необходимым для построения ФГ. Создан также метод нахождения параметров периодических движений в системах с двумя управляющими двухпозиционными релейными элементами.

4. Методы оценки устойчивости автоколебаний в системах с трехпозиционным релейным элементом. Получен алгебраический критерий асимптотической орбитальной устойчивости периодических движений для систем с произвольным нелинейным объектом управления. Получены аналитические зависимости, позволяющие вычислять матрицы линеаризованного оператора сдвига для различных ОУ и видов периодических движений.

5. Методы анализа периодических движений в релейных системах с цифровым управлением. Разработаны алгоритмы определения параметров автоколебаний в релейно-импульсных и цифровых системах с двух и трехпозиционным управлением. Предложен простой способ определения устойчивости периодических движений в таких системах. Кроме того, разработан приближенный усиленный критерий, который более полно учитывает специфику таких систем. Выявлены условия возникновения квазистохастических процессов и возможность использования такого режима в качестве рабочего.

6. Методика синтеза релейных автоколебательных систем с нелинейными объектами управления. На основе разработанных теоретических положений получен алгоритм, позволяющий рассматривать задачу синтеза, как задачу конечномерной оптимизации и формировать системы с наилучшими в рамках заданной структуры показателями качества.

Практическая ценность работы состоит в том, что на базе единого подхода разработаны прикладные методы синтеза и оптимизации релейных автоколебательных систем с различными нелинейными объектами управления. Полученные в диссертации теоретические результаты имеют выраженную практическую направленность. Их хорошая сочетаемость с методами конечномерной оптимизации и простая программная реализация позволяют получать системы с предельно возможными показателями качества.

Следует отметить вычислительную экономичность созданных методов. Все трудоемкие с вычислительной точки зрения операции выполняются однократно на предварительном этапе и в процессе оптимизации, когда анализируется большое количество вариантов, не используются. Это позволяет упростить синтез, и многократно сократить сроки проектирования релейных систем.

Самостоятельное значение имеет разработанная в диссертации методика синтеза воздушно-динамических рулевых приводов, посредством применения которой в работе синтезированы два привода с высокими динамическими характеристиками.

Диссертационная работа состоит из введения трех частей, заключения и включает семь глав.

Выводы по главе.

Седьмая глава посвящена разработке методики синтеза и оптимизации релейных автоколебательных пневмоприводов с трехпозиционным управлением и синтезу системы управления конкретным рулевым приводом. В главе получены следующие результаты.

1. Проанализирована математическая модель объекта управления и выявлены ее особенности.

2. Показана необходимость использования трехпозиционного управления для снижения амплитуды автоколебаний без увеличения их частоты.

2. Построены фазовые годографы конкретного пневмопривода.

3. Задача синтеза системы управления сформулирована в виде задачи конечномерной оптимизации.

4. Предложена и обоснована структура корректирующих устройств.

5. Разработан алгоритм, позволяющий контролировать автоколебания в процессе оптимизации.

6. Разработана методика оптимизации параметров корректирующих устройств.

7. Проведена линеаризация системы.

8. Результаты синтеза подтверждены с помощью численного эксперимента.

9. Синтезирован рулевой пневмопривод с высокими динамическими характеристиками для малогабаритного летательного аппарата перспективного комплекса вооружения.

281

Заключение

В диссертационной работе решена важная научно-техническая проблема - разработаны методы анализа, синтеза и оптимизации релейных автоколебательных систем с нелинейными объектами управления. Получены теоретические методы и практические методики, совокупность которых можно классифицировать как прикладную теорию релейных систем с нелинейными ОУ. Данная теория позволяет значительно упростить создание релейных систем управления, и уменьшить сроки их разработки, а также улучшить показатели качества синтезируемых систем.

Основные теоретические и практические результаты диссертации заключаются в следующем.

1. Предложен общий подход к анализу, синтезу и оптимизации релейных автоколебательных систем с аналоговым и цифровым управлением, с двух и трехпозиционными релейными элементами.

2. Для систем с двухпозиционным релейным элементом: а) проведен качественный анализ фазового годографа для объектов управления с различного рода ограничителями и кусочно-линейными ОУ, выявлена возможность существования нескольких видов автоколебаний одного периода в таких системах; б) получены аналитические зависимости, задающие ФГ в явном виде, для случая, когда звено с ограничителями стоит на входе ОУ; в) разработан метод, позволяющий полностью построить ФГ с локализацией и выделением всех ветвей его неоднозначности для общего случая расположения звена с ограничителем в ОУ; г) разработан метод построения фазового годографа для систем с упругими механическими ограничителями в объекте управления; д) выявлены особенности и разработан метод построения фазового годографа для систем с кусочно-линейными ОУ; е) получен критерий асимптотической орбитальной устойчивости автоколебаний для систем с нелинейным объектом управления; ж) разработан алгоритм вычисления и получены зависимости, определяющие матрицы линеаризованного отображения сдвига для всех указанных выше объектов управления; з) разработана методика синтеза воздушно-динамических рулевых приводов, позволяющая рассматривать задачу синтеза в качестве задачи конечномерной оптимизации, синтезирован конкретный привод с высокими динамическими характеристиками.

3. Для систем с трехпозиционным управлением: а) выявлены особенности фазового годографа для ОУ, содержащих ограничители типа насыщение и механические ограничители, а также для кусочно-линейных объектов управления; б) разработаны методы построения ФГ и выделения всех его ветвей неоднозначности для указанных типов объектов управления; в) разработан метод определения периодических движений в системах с двумя двухпозиционными управляющими релейными элементами; г) получен критерий асимптотической орбитальной устойчивости автоколебаний релейных системах с нелинейными ОУ; д) получены выражения, определяющие матрицы линеаризованного отображения сдвига для объектов с ограничителями и кусочно-линейных ОУ; е) разработана методика синтеза и оптимизации автоколебательных пневмоприводов, синтезирована система управления конкретным рулевым приводом, обеспечивающая высокие динамические характеристики.

4. Для релейных систем с цифровым управлением: а) разработан метод определения периодических движений в релейно-импульсных системах и системах с цифровым управлением с двух и трехпозиционными релейными элементами, показано, что возможно возникновение автоколебаний только с периодами кратными периоду дискретизации по времени; б) разработан простой метод оценки устойчивости периодических движений в релейных системах с цифровым управлением; в) получен приближенный усиленный критерий устойчивости автоколебаний в релейно-импульсных системах; г) показано, что режим слежения в системах с "неустойчивым объектом управления" носит квазистохастический характер, приведены практические рекомендации для использования этого режима в качестве рабочего.

5. Все полученные в диссертации теоретические результаты подтверждены рассмотрением конкретных примеров, разработанные практические методики внедрены для использования в ГУП «КБ Приборостроения» г. Тула.

1. Алексаков Г.Н. Практика проектирования нелинейных систем управления методом фазовой плоскости.- М.: Энергия, 1973. - 143с.

2. Андронов A.A., Витт A.A., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Физ-матгиз, 1959. - 915с.

3. Андронов А. А., Хайкин С. Э. Теория колебаний. М.: ОНТИ, 1937.

4. Асташев В.К. К динамике осциллятора, ударяющегося об ограничитель // Машиноведение.- 1971.- N2.- С.5-9.

5. Бабицкий В.И. Теория виброударных систем. Приближенные методы. -М.: Наука, 1978. -352с.

6. Бабицкий В.И. Параметрические колебания виброударных систем // Машиноведение. 1971. - № 1. - С. 11 -17.

7. Бабицкий В.И., Коловский М.З. К теории виброударных систем // Машиноведение. 1970. - №1. - С.24-30.

8. Бабичев В.И. Некоторые вопросы проектирования автоколебательного пневматического сервомеханизма // Пневматические приводы и системы управления. М.: Наука, 1969. - С. 152-155.

9. Барабанов Н.Е., Гелиг А.Х., Леонов Г.А., Лихтарников А.Л., Матвеев A.C., Смирнова В.Б., Фрадков А.Л. Частотная теорема (лемма Якубовича-Калмана) в теории управления. Обзор // Автоматика и телемеханика. -1996. -№10.-С.З-40.

10. Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости.- М.: Наука, 1967.-223с.

11. Барбашин Е.А., Красовский H.H. Об устойчивости движения в целом // ДАН СССР.- 1952.- т.86, №3.- С.453-456.

12. Баркин A.A., Зеленцовский А.Л. Критерий абсолютной устойчивости нелинейных систем управления // Автоматика и телемеханика.- 1987.-№7.- С.5-11.

13. Беленький А.Д., Гаушуе Э.В. Исследование релейной динамической системы второго порядка с неустойчивой линейной частью // Автоматика и телемеханика. 1970. - №10. - С.69-76.

14. Бидерман B.J1. Теория механических колебаний. М.: Высшая школа, 1980. -408с.

15. Блехман И.И. Вибрационная механика.- М.: Физматлит, 1994. 400с.

16. Блиман П.-А., Красносельский A.M. Критерий Попова в задаче о вынужденных колебаниях // Автоматика и телемеханика. 1998. - №4. - С.З-14.

17. Бойко И.М., Каинов В.А. Синтез линейных корректирующих устройств в релейной автоколебательной системе управления // Моделирование и оптимизация систем автоматического управления и их элементов,-Тула: ТулГУ, 1990.- С.31-36.

18. Бромберг П.В. Матричные методы в теории релейного и импульсного регулирования. М.: Наука, 1967. - 323с.

19. Бромберг П.В. Матричный метод определения периодических режимов в релейных системах регулирования. //В кн.: Теория автоматического регулирования/Под ред. В.В. Солодовникова, кн.З, ч.2. М.: Машиностроение, 1969. - С.66-100.

20. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. М.: Наука, 1980.-976 с.

21. Буков В.Н., Зубов Н.Е. Релейное управление на основе алгоритма с прогнозирующей моделью // Автоматика и телемеханика.- 1986.- №2.-С.36-42.

22. Бутенин Н.В., Неймарк Ю.И., Фуфаев H.A. Введение в теорию нелинейных колебаний. М.: Наука, 1987. - 382с.

23. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. М.: Наука, 1969. - 576с.

24. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления.- М.: Наука, ГРФМЛ, 1984.-320с.

25. Воронов A.A. Устойчивость, управляемость, наблюдаемость. М.: Наука, ГРФМЛ, 1979.- 336с.

26. Воронов A.A. Современное состояние и проблемы теории устойчивости // Автоматика и телемеханика.- 1982.- №5,- С.5-28.

27. Воронов A.A. Основы теории автоматического управления.- М.: Энергия, 1974.- 320с.

28. Гаврилин А.П. Статистический анализ электропневматического автоколебательного сервомеханизма // Пневматические приводы и системы управления.- М.: Наука, 1971.- С.155-159.

29. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц.- 4-е изд. доп.- М.: Наука, 1988. 548с.

30. Гаушус Э.В. Исследование динамических систем методом точечных преобразований. М.: Наука, ГРФМЛ, 1976. - 368с.

31. Гаушус Э.В., Смольянинов И.Д. Исследование релейной динамической системы третьего порядка // Автоматика и телемеханика.- 1970. №3. - С.65-80.

32. Герц Е.В. Динамика пневматических систем машин. М.: Машиностроение, 1985. - 255с.

33. Глик А.Л. Анализ электропневматического сервомеханизма с сухим трением способом гармонической линеаризации // Изв.вузов. Радиофизика." 1971.- т. 14, №3.- С.468-471.

34. Гольдфарб Л.С. О некоторых нелинейностях в системах регулирования // Автоматика и телемеханика.- 1947.- №2.- С.63-71.

35. Горяченко В.Д. Элементы теории колебаний. Учебное пособие. Изд. Красноярского университета, 1995. - 429с.

36. Груйич Л.Т. Согласованная ляпуновская методология для стационарных нелинейных систем // Автоматика и телемеханика.- 1997. №12. -С.35-73.

37. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. -М.: Наука, ГРФМЛ, 1967. 472с.

38. Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа. М.: Гос. изд. физ.-мат. литературы, 1962. - 367с.

39. Динамика следящих приводов: Учебное пособие для вузов / Под ред. JI.B. Рабиновича. -М.: Машиностроение, 1982. 496с.

40. Долголенко Ю.В. О точном определении автоколебательных режимов в релейных экстремальных системах. // Теория и применение дискретных автоматических систем.- М.: Изд. АН СССР, 1960. С.399-412.

41. Дукарт A.B. Способ построения периодических режимов многомассовых виброударных систем и его приложение к расчету виброударного гасителя колебаний с демпфированием // Проблемы машиностроения и надежности машин. 1993. - №3. - С. 16-22.

42. Евланов Л.Г., Казаков И.Е. Статистическое исследование нелинейных автоколебательных систем в установившихся режимах // Автоматика и телемеханика.- 1969.- №12,- С. 18-26

43. Есипов А.Н., Руднев С.А. Комплексное управление следящим гидроприводом // Системы автоматического управления и их элементы,- Тула: ТулГУ, 1996,-С.83-86.

44. Есипов А.Н., Руднев С.А., Фалдин Н.В. Структурный синтез корректирующего устройства высокоточного следящего гидропривода // Системы автоматического управления и их элементы.- Тула: ТулГУ, 1996.- С.87-93.

45. Жиль Ж., Пелегрен М., Декольн П. Теория и техника следящих систем. М.: Машгиз, 1961. - 804с.

46. Жуков В.П. Исследование устойчивости одного класса нелинейных систем // Автоматика и телемеханика.- 1981.- №1.- С.9-14.

47. Жуков В.П. О периодических режимах в нелинейных системах // Автоматика и телемеханика.- 1981,- №7.- С.45-51.

48. Жуков В.П. О новых методах исследования нелинейных динамических систем 1,11 //Автоматика и телемеханика. 1987. - №6. - С.7-18, 1988.-№2. - С.56-69.

49. Журавлев В.Ф., Климов Д.М. Прикладные методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1988.- 328с.

50. Жюмари Ж. Об обобщении теории Я. 3. Цыпкина релейных систем автоматического регулирования // Автоматика и телемеханика.- 1969.- №12.-С.48-57.

51. Заде Л., Дезоер Ч. Теория линейных систем. М.: Наука, 1970. - 703с.

52. Иванов В.А., Ющенко А.С. Теория дискретных систем автоматического управления.- М.: Наука, ГРФМЛ, 1983. 336с.

53. Иванова В.Ф. Релейное управление угловыми движениями твердого тела // Изв. АН. МТТ.- 1995.- №3.- С. 11 -18.

54. Израилович М.Я. Методы оценок (теории накопления возмущений) в прикладной теории механических колебаний // Проблемы машиностроения и надежности машин.- 1996.- №6.- С.22-33.

55. Израилович М.Я. Управление периодическими режимами параметрически возмущаемых гармонически линеаризуемых механических систем // Проблемы машиностроения и надежности машин.- 1995.- №1.- С.74-85.

56. Израилович М.Я. Синтез автоколебательных систем с параметрическим возбуждением // Проблемы машиностроения и надежности машин. -1996.-N4.- С.20-28.

57. Казаков И.Е. Приближенный вероятностный анализ точности работы существенно нелинейных систем // Автоматика и телемеханика.- 1956.-т.17, №5.- С.385-409.

58. Казаков И.Е., Доступов Б.Г. Статистическая динамика нелинейных автоматических систем.- М.: Физматгиз, 1962.- 332с.

59. Каинов В.А., Морозова Е.В. Синтез корректирующих устройств в релейных электроприводах постоянного тока // Системы автоматического управления и их элементы,- Тула: ТулГУ.- 1996.- С. 146-156.

60. Каменецкий В.А. Параметрическая стабилизация нелинейных систем управления с заданными ограничениями // Автоматика и телемеханика.-№10.- 1996. -С.65-76.

61. Кендалл М., Стьюарт А. Статистические выводы и связи.- М.: Наука,1973.- 900с.

62. Кислицын В.Ю., Руднев С.А., Фалдин Н.В. Гармоническая линеаризация динамического звена с ограничителем // Элементы и системы оптимальной идентификации и управления технологическими процессами.-Тула: ТулГТУ, 1994.- С. 144-150.

63. Кобринский A.A., Кобринский А.Е. Виброударные системы. М.: Наука, 1973.- 592с.

64. Коловский М.З. Нелинейная теория виброзащитных систем. М.: Наука, 1966.- 318с.

65. Королев H.A. Приближенное определение параметров автоколебаний в релейных системах с замедленной обратной связью. // Автоматика и телемеханика.- 1959.- т.20, № 11.- С. 1467-1471.

66. Королев H.A. О периодических режимах в релейных системах с внутренней обратной связью // Автоматика и телемеханика.- 1956.- т.27, N11.-С.968-978.

67. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров,- М.: Наука, ГРФМЛ, 1970. 720с.

68. Костин C.B., Петров Б.И., Гамынин Н.С. Рулевые приводы. М.: Машиностроение, 1973. - 208с.

69. Кочубиевский И.Д., Стражмейстер В.А. Динамическое моделирование нагрузок при испытаниях автоматических систем. M.-JI.: Энергия, 1965. -144с.

70. Красносельский М.А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений. М.: Наука, ГРФМЛ, 1966. - 332с.

71. Красносельский А. М. Признаки применимости теории Фредгольма при анализе вынужденных движений в нелинейных системах // Автоматика и телемеханика.- 1988.- №12.- С. 162-164.

72. Красносельский М.А. Частотные критерии в задачах о вынужденных колебаниях систем автоматического регулирования // Автоматика и телемеханика,- 1980,- №9.- С.23-39.

73. Красносельский М.А., Лившиц Е.А. О некоторых общих признаках существования периодических колебаний в нелинейных системах // Автоматика и телемеханика.- 1973.- №9. С12-15.

74. Красовский A.A. Двухканальные следящие системы с антисимметричными связями при наличии случайных возмущающих воздействий // Автоматика и телемеханика.- 1961.- N2.-С. 18-24.

75. Красовский A.A. Аналитическое конструирование автоматов ограничений // Автоматика и телемеханика.- 1975.- №6.- С. 14-21.

76. Красовский H.H. Некоторые задачи теории устойчивости движения.-М.: Физматгиз, 1959.- 211с.

77. Крутько П. Д., Чхеидзе Г. А. Гашение автоколебаний в существенно нелинейных системах // Изв. РАН. Теория и системы управления. 1996. № 2.-С. 31 -38.

78. Крылов Н.М., Боголюбов H.H. Новые методы нелинейной механики. -М.: Гостехиздат, 1934. 243с.

79. Крылов Н.М., Боголюбов H.H. Введение в нелинейную механику. -Киев: Изд. АН УССР, 1937. 363с.

80. Крюков Б.И. Вынужденные колебания существенно нелинейных систем." М.: Машиностроение, 1984.- 216с.

81. Куо Б. Теория и проектирование цифровых систем управления.- М.: Машиностроение, 1986.- 448с.

82. Лебедев А.А., Карабанов В.А. Динамика систем управления беспилотными летательными аппаратами. М.: Машиностроение, 1965. - 528с.

83. Леонов Г.А, Буркин И.М, Шепелявый А.И. Частотные методы в теории колебаний. В 2 частях.- СпБ.: Изд. С-Петербургского ун-та, 1992.-4.1-368с.,4.2- 164с.

84. Летов A.M. Устойчивость нелинейных регулируемых систем.- М.: Физматгиз, 1962,-483с.

85. Либерзон М.Р. Абсолютная устойчивость одного класса следящих систем // Автоматика и телемеханика.- 1979.- №2.- С. 25-29.

86. Либерзон М.Р. Признак абсолютной устойчивости нестационарных систем // Автоматика и телемеханика.- 1986.- №2.- С.39-46.

87. Лурье А.И. Об автоколебаниях в некоторых регулируемых системах // Автоматика и телемеханика.- 1947.- т.8, №5.- С.335-348.

88. Лурье А.И. Об устойчивости автоколебаний регулируемых систем // Автоматика и телемеханика,- 1948.- т.9, №1.- С.361-362.

89. Лурье А.И. Некоторые нелинейные задачи теории автоматического регулирования. М.: Гостехиздат, 1951. - 216с.

90. Любимцев Я.К., Метрикин B.C. Исследование динамики одномассо-вой системы с ударными взаимодействиями // Изв.АН СССР. МТТ,- 1985.-№1.- С.67-72.

91. Маликов А.И. Об устойчивости логико-динамических систем управления со структурными изменениями // Изв. АН. Теория и системы управления.- 1996.-№2.- С.5-12.

92. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения.- М.: Наука, 1966.- 530с.

93. Марочкина И. А. Математическое описание газового привода, работающего от цифровой управляющей машины. //Динамические свойства нелинейных следящих приводов.- М.: МАИ, 1973.- Вып.275. С.207-213.

94. Методы автоматизированного проектирования нелинейных сис-тем//С.К. Коваленко, М.А. Колывагин, B.C. Медведев и др./Под ред. Ю.И. Топчеева.- М.: Машиностроение, 1993. 576с.

95. Методы классической и современной теории автоматического управления: Учебник в 3-х т. Т. 1: Анализ и статистическая динамика систем автоматического управления / Под ред. Н. Д. Егупова. М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2000. - 748 с

96. Метрикин B.C. Исследование устойчивости движений систем с ударными взаимодействиями // Изв. АН СССР. МТТ.- 1975.- №3.- С. 43-48.

97. Мищенко Е.Ф., Розов Н.Х. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания.- М.: Наука, 1975. 247с.

98. Неймарк Ю. И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1972.-471 с.

99. Неймарк Ю.И. О периодических режимах и устойчивости релейных систем // Автоматика и телемеханика.- 1953.- т. 14, №5.- С.556-569.

100. Неймарк Ю.И. Об автоколебаниях и вынужденных колебаниях систем с запаздыванием // Автоматика и телемеханика.- 1955,- т. 16, №3.- С.225-232.

101. Неймарк Ю.И. О скользящем режиме и периодических колебаниях релейной системы // Тр./ГИФТИ и радиотехнический факультет ГГУ.-Горький, 1956.- Т.ЗО.- С.159-192.

102. Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1972. - 472с.

103. Нетушил A.B. О нелинейности типа упор // Изв. вузов. Электромеханика." 1966.- N4.-C.47-52.

104. Нетушил A.B. Нелинейное звено типа упор // Автоматика и телемеханика.- 1968.-№7.- С. 175-178.

105. Пановко Я.Г. Введение в теорию механического удара. М.: Наука, 1977. -244с.

106. Пановко Я.Г. Основы прикладной теории колебаний и удара. JL: Политехника, 1990. - 278с.

107. Первозванский A.A. Случайные процессы в нелинейных автоматических системах.- М.: Физматгиз, 1962.- 351с.

108. Петров В.В., Марчуков Б.А. Приборные сервомеханизмы летательныхаппаратов. М.: Машиностроение, 1973. - 224с. I

109. Петров В.В., Гордеев A.A. Исследование нелинейных систем высокого порядка на многолистной фазовой плоскости //ДАН СССР.- 1976.-т.228, №1. С.59-61.

110. Петров В.В., Гордеев A.A. Нелинейные сервомеханизмы. М.: Машиностроение, 1979. - 470с.

111. Плисс В.А. Интегральные множества периодических систем дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1977. - 304с.

112. Подчуфаров Б.М., Бакланов JI.C., Лебеденко И.С., Чекмазов В.И. Вопросы расчета и проектирования пневматических сервомеханизмов // Автоматизация привода и управления машин. М.: Машиностроение, 1967. -С.273-281.

113. Покровский A.B. Существование и расчет устойчивых режимов в релейных системах // Автоматика и телемеханика.- 1986.- №4,- С. 16-23.

114. Покровский A.B. Об одном классе разрывных систем // Автоматика и телемеханика,- 1981.- №8.- С. 15-18.

115. Попов Е.П. Прикладная теория процессов управления в нелинейных системах. М.: Наука, 1973. - 583 с.

116. Попов Е.П. Теория нелинейных систем автоматического регулирования и управления. М.: Наука, 1979. - 256с.

117. Попов Е.П., Пальтов И.П. Приближенные методы исследования нелинейных автоматических систем. М.: Физматгиз, 1960. - 792с.

118. Поспелов Г.С. Релейные системы автоматического регулирования. //В кн.: Теория автоматического регулирования/Под ред. В.В. Солодовникова, кн.З, ч.2. М.: Машиностроение, 1969. - С.9-65.

119. Поспелов Г.С. Динамические характеристики релейных следящих систем. I-,II // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика.- 1965.- №3.-С.169-180, 1966.- №2.- С.180-188.

120. Поспелов Г.С., Шеленков В.М. Исследование релейных систем с помощью уравнений в конечных разностях. //В кн.: Точные методы исследования нелинейных систем автоматического управления/Под ред. P.A. Не-лепина. М.: Машиностроение, 1971. - С.203-232.

121. Постников Н.С. Динамика релейной системы второго порядка с колебательно-неустойчивой линейной частью // Прикладные проблемы теории колебаний.- Горький: ГГУ, 1991.- С. 105-114.

122. Проектирование следящих систем с помощью ЭВМ /Под ред. B.C. Медведева.- М.: Машиностроение, 1979. 367с.

123. Проектирование следящих систем /Под ред. J1.B. Рабиновича.- М.: Машиностроение, 1969. 499с.

124. Пугачев B.C. Теория случайных функций и ее применение к задачам автоматического управления.- М.: Физматгиз, 1962.- 884с.

125. Пученков Н.В. Метод фазового годографа для систем с ограничителями в объекте управления и его применение для синтеза газовых рулевых приводов: Дис. кандидата технических наук. Тула: ТулГТУ, 1995. - 188 с.

126. Расстригин Л.А. Системы экстремального управления. М.: Наука, 1974. - 630с.

127. Релейный следящий пневмопривод высокой точности / Фалдин Н.В., Руднев С.А., Федоров АЛ. и др. // Динамика и точность функционирования тепломеханических систем.- Тула: ТулПИ, 1973.- Вып.4, С.59-73.

128. Розенвассер E.H. Колебания нелинейных систем. М.: Физматгиз, 1959.-576с.

129. Розенвассер E.H., Володов С.К. Операторные методы и колебательные процессы. М.: Наука, 1985. - 309с.

130. Руднев С.А. Методы анализа и синтеза систем управления объектами с ограничителями: Дис. доктора технических наук.- Тула:ТулГУ, 1998. -337с.

131. Руднев С.А.,Фалдин Н.В. Метод фазового годографа и его применение для синтеза релейных автоматических систем // VII Всесоюзное совещание по проблемам управления: Аннотации сообщений.- Минск, 1977.-С.134.

132. Руднев С.А. Фалдин Н.В. О расширении области применения условия устойчивости релейных систем // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика.- 1980.-№5.- С.193-196.

133. Руднев С.А., Фалдин Н.В. Оптимизация в конечномерном пространстве: Учебное пособие.- Тула: ТулПИ, 1986.- 72с.

134. Руднев С.А., Фалдин Н.В. Линеаризация релейной следящей по полезному сигналу // Изв. АН. Теория и системы управления.-1998.-№2.-С.36-43.

135. Руднев С.А. Фалдин Н.В. Устойчивость в целом замкнутых систем с ограничителем типа насыщение // Элементы и системы оптимальной идентификации и управления технологическими процессами,- Тула: ТулГТУ, 1994.- С.138-144.

136. Руднев С.А., Чернов А.Е. Построение фазового годографа системы с ограничителем // Известия ТулГУ. Серия Вычислительная техника. Автоматика. Управление. Том 3. Вып.З. Управление. С. 54-65. 2001г.

137. Саяпин В.В. Пневматический двухканальный привод // Пневматика и гидравлика. Приводы и системы управления.-М., 1984.- №11.- С.98-101.

138. Славин A.A. Об одном виде несимметричных автоколебаний в релейных системах // Автоматика и телемеханика.- 1965.- т.26, №11.- С.2039-2043.

139. Следящие приводы: В 3-х т. 2-е изд., доп. и перераб. / Под ред. Б. К. Чемоданова. Т. 1: Теория и проектирование следящих приводов / Е. С. Блейз, А. ЕЗ. Зимин, Е. С. Иванов и др. М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 1999. - 904 с.

140. Справочник по теории автоматического управления/Под ред. A.A. Красовского.- М.: Наука, 1987.-712с.

141. Статистические методы в проектировании нелинейных систем автоматического управления/Под ред. Б.Г. Доступова.- М.: Машиностроение, 1970.- 407с.

142. Стеблецов В.Г. Нелинейные системы с разрывными координатными связями. Теория и практика. М.: Машиностроение, 1992. - 256с.

143. Сю Д., Мейер А. Современная теория автоматического управления и ее применение. М.: Машиностроение, 1972. - 551с.

144. Теверовский В.И. О периодическом режиме релейной системы с изменяющимся запаздыванием // Автоматика и телемеханика.- 1966.- №7.-С.87-94.

145. Теория автоматического управления. 4.2. Теория нелинейных и специальных систем автоматического управления/Под ред. A.A. Воронова.-М.: Высшая школа, 1977- 288с.

146. Тондл А. Нелинейные колебания механических систем. М.: Мир, 1973. -336с.

147. Тэлер Дж., Пестель Ч. Анализ и расчет нелинейных систем автоматического регулирования. М.: Энергия, 1964. - 488с.

148. Фалдин Н.В. Синтез оптимальных по быстродействию замкнутых систем управления: Учебное пособие.- Тула: ТулПИ, 1990.- 100с.

149. Фалдин Н. В. Точный метод исследования релейных систем // Машиностроение (энциклопедия). Т. 1 4: Автоматическое управление. Теория / Под ред. Е. А. Федосова. - М.: Машиностроение, 2000. - С. 231 - 253.

150. Фалдин Н.В. Релейные системы автоматического управления //Математические модели, динамические характеристики и анализ систем автоматического управления (под. ред. К.А. Пупкова, Н.Д. Егупова). М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана. 2004. С.573-636.

151. Фалдин Н.В., Егоров Н.В. Оптимальное по быстродействию управление объектом с ограничителями в форме упоров // Изв. вузов. Электромеханика.- 1984.-№12.- С.44-50.

152. Фалдин Н. В. Прикладная теория синтеза и оптимизации замкнутых релейных автоматических систем и некоторые её приложения: Дис. доктора технических наук. Тула: ТулПИ, 1986. - 358 с.

153. Фалдин H. В., Лебеденко Ю. И. Линеаризация автоколебательных релейных систем // Системы автоматического управления и их элементы. -Тула: ТулГУ, 1996.-С.41 -52.

154. Фалдин Н. В., Лебеденко Ю. И. Частотный критерий устойчивости периодических движений в релейных системах // Изв. вузов. Электромеханика. 1997. №1 -2.-С. 36-41.

155. Фалдин Н.В., Моржов A.B. Дискретная линеаризация по полезному сигналу релейных автоколебательных систем управления // Мехатроника, автоматизация, управление. № 11, 2006г.- Москва, Изд-во: «Новые технологии», 2006.- С.13-19.

156. Фалдин Н. В., Панфёров Н. В. К вопросу о частотном анализе релейных систем // Изв. вузов. Приборостроение. 2000. Т. 43. № 9. С. 21 - 25.

157. Фалдин Н. В., Панфёров И. В. Линеаризация релейной системы при входном сигнале и внешних воздействиях // Изв. ТулГУ. Серия Вычислительная техника. Автоматика. Управление. Т. 3. Вып. 3. Управление. Тула: ТулГУ, 2001.-С. 158- 165.

158. Фалдин Н.В. Руднев С.А. Исследование устойчивости автоколебаний в релейных системах с нелинейным объектом управления // Динамика и точность функционирования тепломеханических систем.- Тула: ТулПИ, 1977.- Вып.6.- С.46-55.

159. Фалдин Н.В. Руднев С.А. Реализация оптимальных по быстродействию САР для систем с ограничением на фазовый вектор. Динамика и точность функционирования тепломеханических систем, Тула, ТПИ, 1980, с.92-108.

160. Фалдин H.B. Руднев С.А. Синтез релейных систем методом фазового годографа// Изв. вузов. Приборостроение.- 1982.- t.XXV, №7,- С.32-36.

161. Фалдин Н.В., Руднев С.А. Анализ устойчивости систем управления с ограничителями // Научно-техническая конференция "Системы управления-Конверсия-Проблемы": Тезисы докладов.-Ковров: КГТА, 1996.- С.23.

162. Фалдин Н.В., Руднев С.А. Кислицын В.Ю. Условие абсолютной устойчивости систем с ограничителем типа насыщение // Научно-техническая конференция «Динамика и процессы управления»: Тезисы докладов,- Тула: ТулГУ, 1997.- С. 17.

163. Фалдин Н.В., Руднев С.А. Кислицын В.Ю. Исследование частотных характеристик звена с ограничителем типа механический упор // Системы автоматического управления и их элементы.- Тула: ТулГУ, 1996.- С.219-224.

164. Фалдин Н.В., Руднев С.А., Лебеденко Ю.И. Анализ и синтез релейных систем управления // IV конференция "Нелинейные колебания механических систем": Тезисы докладов.- Н. Новгород, 1996,- С. 155.

165. Фалдин Н.В., Руднев С.А. Пученков Н.В. Периодические движения в релейных системах с ограничителями в объекте управления // III конференция "Нелинейные колебания механических систем": Тезисы докладов.-Н. Новгород, 1993,-С. 160.

166. Фалдин Н.В., Феофилов C.B. Синтез и оптимизация релейных цифровых систем управления газовыми приводами летательных аппаратов // Международная молодежная научная конференция "XXV гагаринские чте-ния".Тезисы докладов. Том 2. Стр.755. 1999г.

167. Фалдин Н.В., Феофилов C.B. Релейные системы с цифровым управлением // Известия ТулГУ. Серия Вычислительная техника. Автоматика. Управление. Том 2. Вып.З. Управление. Стр. 87-91. 2000г.

168. Фалдин Н.В., Феофилов C.B. Анализ и синтез релейно-импульсных систем управления // Управление в технических систмах XXI век. Сборник научных трудов III международной научно-технической конференции. Ковров. КГТА 2000 - 232с. Стр. 68-70.

169. Фалдин Н.В., Феофилов C.B. Исследование колебаний в релейно-импульсных системах с неустойчивым объектом управления // Известия ТулГУ. Серия Вычислительная техника. Автоматика. Управление. Том 3. Вып.З. Управление. Стр. 46-49. 2001г.

170. Фалдин Н.В., Феофилов C.B. Синтез и оптимизация релейного автоколебательного воздушно-динамического рулевого привода с цифровым управлением // Королевские чтения. Тезисы докладов.

171. Фалдин Н.В., Феофилов C.B. Синтез системы управления релейного воздушно-динамического рулевого привода // Сборник научных трудов региональной научно-технической конференции "Проблемы проектирования и производства систем и комплексов".

172. Фалдин Н.В., Феофилов C.B. Приближенный усиленный критерий устойчивости автоколебаний в релейно-импульсных системах // Известия ТулГУ. Серия проблемы специального машиностроения. Вып.5. ч.1 -Тула:ТулГУ,2002.-Стр.311-314.

173. Фалдин Н.В., Феофилов C.B., Хоанг Чунг Киен. Синтез базового релейного автоколебательного закона управления объемным силовым гидроприводом // Известия ТулГУ. Серия проблемы специального машиностроения. Вып.8. -Тула:ТулГУ,2005.- Стр. 196-200.

174. Фалдин Н.В., Феофилов C.B. Исследование периодических движений в релейных системах, содержащих звенья с ограничителями //Известия РАН. Теория и системы управления, 2007, №2.- Москва: Изд-во «Наука» с. 15-27.

175. Феофилов C.B. Дискретизация по времени в релейных системах управления // Известия ТулГУ. Серия Вычислительная техника. Информационные технологии. Системы управления. Вып.З. Системы управления. Том 2.-Тула:ТулГУ, 2006.- Стр. 262-269.

176. Феофилов C.B. Синтез цифровой системы управления релейных пневмоприводов // Известия ТулГУ. Серия Вычислительная техника. Информационные технологии. Системы управления. Вып.З. Системы управления. Том 2.-Тула:ТулГУ, 2006.- Стр. 269-276.

177. Феофилов C.B. Периодические движения в релейных системах с цифровым управлением // Мехатроника, автоматизация, управление. №11, 2006г.- Москва, Изд-во: «Новые технологии», 2006.- С. 19-23.

178. Фейгин М.И. Вынужденные колебания систем с разрывными нели-нейностями. М.: Наука, ГРФМЛ, 1994. - 288с.

179. Фейгин. О динамике колебательной системы с полостью, содержащей виброударный элемент // Изв. АН. МТТ.- 1996.- №4,- С.21-27.

180. Фельдбаум A.A. Простейшие релейные системы автоматического регулирования // Автоматика и телемеханика.- 1949.- т. 10, №4.- С.249-266.

181. Фельдбаум A.A. Основы теории оптимальных автоматических систем. М.: Наука, 1966. - 623с.

182. Флюгге-Лоц И. Метод фазовой плоскости в теории релейных систем. М.: Физматгиз, 1959. - 174 с.

183. Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений .- М.: Мир, 1980.- 278с.

184. Фурасов В.Д. Устойчивость движения, оценки, стабилизация,- М.: Наука, ГРФМЛ, 1977,- 248с.

185. Цыпкин Я. 3. Теория линейных импульсных систем. М.: Физматгиз, 1963. -968с.

186. Цыпкин Я.З. Релейные автоматические системы. М.: Наука, 1974. -579с.

187. Цыпкин Я.З. Частотный метод исследования периодических режимов релейных систем автоматического регулирования // Сб."Памяти A.A. Андронова".- М.:Изд. АН СССР, 1955. С.383-410.

188. Цыпкин Я.З. Основы теории автоматических систем. М.: Наука, 1987. -712с.

189. Цыпкин Я.З. Попков Ю.С. Теория нелинейных импульсных систем. -М.:Наука, 1973.-416 с.

190. Чекмазов В.И. Выбор параметров пневмопривода с газораспределителем закрытого типа на начальном этапе проектировочного расчета // Системы автоматического управления и их элементы.- Тула: ТулГТУ, 1994. -С.151-156.

191. Чернов А.Е. Методы исследования релейных систем с ограничителями в форме упругого механического упора: Дис. кандидата технических наук. Тула: ТулГУ, 2002.

192. Шильман C.B. Метод производящих функций для определения разрывных периодических движений кусочно-непрерывных нелинейных систем // Теория колебаний, прикладная математика и кибернетика.- Горький: ГГУ, НИИПМК, 1973.- Вып.1.- С.33-46.

193. Шильман C.B. Метод производящих функций в теории динамических систем. М.: Наука, 1978. - 335с.

194. Шорников Е.Е. Проектирование автоматических систем: Учебное пособие. Тула.: ТулПИ, 1984. - 100с.

195. Шорников Е.Е. Расчеты и исследования на ЭВМ систем приводов с релейными законами управления // Моделирование и оптимизация систем автоматического управления и их элементов.- Тула, 1985. С.72-79.

196. Шорников Е.Е., Слюсарев В.И. К выбору параметров газового привода при проектировании сервомеханизма // Динамика и точность функционирования тепломеханических систем. Тула, 1971.- Вып.1. - С.40-46.

197. Шорников Е.Е., Чекмазов В.И. Газовые и гидравлические системы управления: Учебное пособие. Тула.: ТулПИ, 1985. - 79с.

198. Юдаев А.В. Алгоритм расчета частотных характеристик пневматических сервомеханизмов // Пневматические приводы и системы управления.-М.: Наука, 1971.- С. 159-162.

199. Юнгер И.Б. Алгебраические критерии абсолютной устойчивости нелинейных систем автоматического управления // Автоматика и телемеханика.- 1987.- №1.- С.48-54.

200. Юнгер И.Б. Критерии абсолютной устойчивости для автоматических систем с векторными нелинейными блоками // Автоматика и телемеханика.- 1989.- N2.- С.71-86.

201. Якубович В.А. Частотная теорема в теории управления // Сибирский математический журнал.- 1973.- т. 14,№2,- С.384-420.

202. Якубович В.А. Методы теории абсолютной устойчивости//В кн.: Методы исследования нелинейных систем автоматического регулирования /Под ред. Р.А. Нелепина.- М.: Наука, ГРФМЛ, 1975,- С.74-180.

203. Гамель (Hamel В.) A mathematical study of on-off controlled higher order systems. Proc. of the Symposium on nonlinear circuit analysis. Polytechnic Institute of Brooklyn, Symposium Proc., t.IV, New York, 1956, C.225-232.

204. Chen C.F., Shich L.S. A note on expanding PA+ATP=-Q. JEEE. Trans. Automat. Control, V13, N1, pp. 122-123,1968.

205. Davision E.J., Man F.T. The numerical solution of ATQ+QA=-C. JEEE. . Trans. Automat. Control, V13, N4, pp. 448-449, 1968.

206. Paquet J. G., leMaitre J. F., Gille J. C. La methode de Hamel Cypkin et son application aux fonctions de transfert particuliers // Automatisme. 1966. V. 11. № 1.-P.3-5.

207. N.V. Faldin, N.V. Panferov, I.M. Boiko. Input-output analysis of dead zone relay control systems// Proc. of 2001 American Control Conference, Arlington, VA, USA, pp. 1507-1512.

208. N.V. Faldin, S.V. Feofilov On Periodic Motions in Relay Systems Containing Blocks with Limiters //Journal of Computer and Systems Sciences International, 2007, Vol. 46, No. 2, pp. 177-188. © Pleiades Publishing, Ltd., 2007.