автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Исследование динамики дифференциальных уравнений с нелинейной запаздывающей обратной связью ступенчатого типа

На правах рукописи

СЪЛ<гг

Кащенко Дмитрий Сергеевич

Исследование динамики дифференциальных уравнений с нелинейной запаздывающей обратной связью ступенчатого

типа

специальность 05.13.16 - Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ярославль - 2000

Работа выполнена в Ярославском государственном университете им. П.Г. Демидова.

Научный руководитель: Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор Майоров В.В.

доктор физико-математических наук, профессор Дмитриев А. С.

доктор физико-математических наук, профессор Малинеккий Г.Г.

Московский государственный университет

Защита состоится " 5* " декабря 2000 года в ' ^ на заседании

диссертационного совета К064.12.04 при Ярославском государственном университете им. П.Г. Демидова по адресу: 150000, г. Ярославль, ул. Советская, д. 14.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ярославского государственного университета им. П.Г. Демидова по адресу: 150000, г. Ярославль, ул. Кирова, д. 8/10.

Автореферат разослан " ' " ноября 2000 года.

бщая характеристика работы ктуальность темы

настоящее время одним из наиболее активно развивающихся направлений мате-тического анализа являются исследования динамики систем с распределенными эаметрами. Эти исследования стимулируются появлением большого числа при-i-дных задач, для моделирования которых используют такие объекты, как диф-ренциальпые уравнения с запаздыванием. Уравнения такого типа возникают, на-имер, в лазерной оптике (Gibbs Н.М., Hopf F.A., Kaplan D.L., Shoemaker R.L., ■da К.) электротехнике (Schwarz W., Moegel A., Kilias Т., Kutzer К.), радиофизике митриев Л.С., Кислов В.Я., Ланда П.С.), медицине (Марчук Г.Й., Петров Р.В.), тематической экологии (Горячепко В.Д., Колосов Ю.С.), теории нейронных сигм (Малинецкий Г.Г., Майоров В.В.), при описании процесса резания металлов льясберг М.Е., Клушин М.И.) и др.

Изучению уравнений с запаздыванием посвящено значительное и все увеличи-ющееся число публикаций как теоретического, так и прикладного характера, и многих уравнений, содержащих запаздывание, хорошо зарекомендовали себя ассические асимптотические методы, такие как методы усреднения Крылова->голюбова, методы пограничных функций в случае сингулярных возмущений (Ва-льева А.Б., Бутузов В.Ф.).

Тем не менее, развитие аналитических методов для систем с запаздыванием явно достаточно, а методика, разработанная для систем обыкновенных дифференцв-ышх уравнений, часто оказывается для таких объектов неприменимой. В силу инцнпиалыюй сложности систем с бесконечномерным фазовым пространством обую значимость как для общетеоретических вопросов, так и для решения кон-етных прикладных задач приобретает разработка новых асимптотических мето-в исследования динамических свойств решений.

Для различных нелинейностей были проведены достаточно полные численные и сперименталыше исследования динамики при различных значениях фигурирую-IX в них параметров, и получены достаточно полные представления об изменении намических свойств при варьировании тех или иных параметров задачи (Дми->пев А.С., Кислов В.Я., Ланда П.С.). В настоящей работе рассматриваются уравнения с нелинейной запаздывающей ратной связью ступенчатого типа, отличительной особенностью которой явля-

ется простота реализации в задачах радиофизики и электротехники (Schwarz W., Moegel А.), Однако, несмотря на простоту, такие уравнения обладают богатой динамикой.

Одной из актуальных задач радиофизики является исследование явления синхронизации связанных осцилляторов. Это явление, проявляющееся в стремлении взаимодействующих систем к выработке единого ритма существования, широко распространено как в искусственных, так и в природных системах. Помимо того, что исследование синхронизации представляет теоретический интерес, оно необходимо дм дальнейшего развития информационных технологий в задачах обработки и Передачк информации. Большой вклад в исследовалие пространственно-временной динамикв различных связанных систем сделан научными группами как в России (A.A. Андро нов, A.A. Витт, Анищевко B.C., Рабинович М.й. и др.), так и за рубежом (L.O. Cfiua Н. Fujisaka, М. Hasler и др.), В предлагаемой работе предпринята попытка изученш явления синхронизации систем с нелинейностью ступенчатого типа, причем основ ное внимание уделено асимптотическому исследованию динамических свойств npt относительно большом времени запаздывания.

Цель работы

Целью работы является:

- исследование динамических свойств решений дифференциальных уравненш первого и второго порядков с нелинейной запаздывающей обратной связью причем акцент ставится на получение результатов аналитического характера

- изучение вопроса синхронизации в системах из уравнений первого порядка различными типами связи: диффузионной, через нелинейную функцию, запаз дывающей диффузионной и релейной диффузионной.

Научная новизна работы

Все результаты диссертации являются новыми.

Нелокальная динамика важных для приложении классов дифференциальны уравнений первого порядка с нелинейной (релейной, ступенчатой и импульс ной) запаздывающей обратной связью исследована аналитическими и численнс аналитическими методами.

Получены численные характеристики нерегулярных колебания и прослежена их зависимость от величины запаздывания.

Исследован вопрос о синхронизации решений систем из двух простейших дифференциально-разностных уравнений первого порядка с различными типами связи.

Динамика решений дифференциального уравнения второго порядка с запаздывающей обратной связью ступенчатого типа исследовала асимптотическими методами.

Проведенные численные исследования подтверждают результаты асимптотического анализа.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Результаты исследования нелокальной динамики дифференциальных уравнений первого порядка с нелинейной (релейной, ступенчатой и импульсной) запаздывающей обратной связью.

2. Аналитическое и численное исследование явления синхронизации решении в системах из двух дифференциальных уравнений первого порядка с релейной запаздывающей обратной связью и в системах из двух разностных уравнений с различными типами связи.

3. Результаты аналитического исследования асимптотики решений дифференциальных уравнений второго порядка с запаздывающей обратной связью ступенчатого типа.

Методы исследования

В работе используются методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, функционального анализа, идеи теории сингулярных возмущений, а также специальный асимптотический метод большого (малого) параметра, учитывающий специфику нелинейности.

Научно-практическая значимость результатов

Полученные в диссертации результаты имеют как теоретическое, так и практическое значение. Они могут быть использованы при качественном исследовании

дифференциальных уравнений с запаздывающей обратной связью и могут найти применение в радиофизике при конструировании автогенераторов в системах передачи данных.

Апробация работы

Результаты диссертации докладывались ва семинаре по нелинейной динамике в Дрезденском техническом университете и на конференциях: NDES'97 (Nonlinear dynamics of Electronic Systems) - Москва, 26-27 июня 1997г.; International Conference Control of Oscillations and Chaos (COC'97) - С.-Петербург, 27-29 августа 1997г.; "Теория и приложения методов малого параметра" - Обнинск 2-6 июля 1996г.; "Нелинейные колебания механических систем" - Нижний Новгород, 17-19 сентября 1996г.; The Third International Workshop "Singular Solutions and Perturbations in Control Systems (SSPCS-97)" - Переславль-Залесский, 7-11 июля, 1997г.; "Математические модели нелинейных возбуждений..." - Тверь, 2-5 июля 1996г.; "Современные проблемы естествознания" - Ярославль, 1997г.; NDES'98 - Будапешт, 16-18 июля 1998г.; NOLTA'98 - Кранс-Монтана, 14-17 сентября, 1998г.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, трех глав, приложения, заключения и библиографии. Общий объем диссертации составляет 110 страниц.

Краткое содержание работы

Во введении дается общая характеристика работы, обсуждается актуальность темы диссертации, приводится краткий обзор литературы по данной тематике.

Первая глава посвящена изучению динамики дифференциального уравнения первого порядка с нелинейной запаздывающей обратной связью ступенчатого типа

где Т > 0 - время запаздывания, а нелинейность /(s) определяется формулой

х + г = f(x(t - Т)),

(1)

0, $ < а или s> Ь,

При этом особое внимание уделено аналитическому изучению динамических свойств эешений.

В первом разделе изучена динамика уравпепия (1) с релейной функцией /(в), г.е. сначала при а = 0, а затем при Ь = 1.

Назовем цикл уравнения (1) медленно осциллирующим (МО), есля расстоя-аие между соседними корнями уравнения = Ь больше, чем Т.

Георема 1 Пусть а — 0. Тогда уравнение (1) имеет экспоненциально орбитально устойчивое периодическое решение хь(<).

Далее в работе приведены асимптотические формулы для периодического реше-яия в случаях 0 < Ь <£ 1, Т -» оо.

Теоретически доказано, что уравнение (1) при а — 0 имеет счетное число быстро осциллирующих решений с 1т (т = 1,2,3,...) пересечениями прямой х = Ь на некоторых отрезках времени длины Т. Построены 2го-меряые отображения, динамика которых определяет поведение при < оо решений уравнения (1) с начальными условиями из специально выбранных множеств. Показано, что каждое из таких отображений имеет неподвижную точку, которой отвечает периодическое решение сравнения (1). В результате численного исследования установлено, что все быстро кциллирующие решения неустойчивы и стремятся к МО циклу

В случае, когда 6=1, определены условия, при которых существует единствен-юе (с точностью до сдвига по времени) отличное от константы периодическое речение имеющее на каждом интервале длины Т не более двух пересечений с фямой х — а. Это решение является неустойчивым. Аналогично предыдущему слу->аю построены неустойчивые быстро осциллирующие решения. Все решения из их жрестности стремятся к 1 или к 0 при I оо.

Второй раздел первой главы посвящен асимптотическому анализу уравнения с 1елинейностью ступенчатого типа и изучению как устойчивых, так и долгоживущих ггруктур.

В первом пункте раздела приведено утверждение о существовании устойчивого [икла при условии, когда параметры а и Ь достаточно малы:

Георема 2 При всех достаточно мальи значениях параметров а и Ь уравнение (1) шеет экспоненциально орбитально устойчивое периодическое решение.

Во втором пункте рассмотрен случай, когда параметр Ь близок к 1. Показано,

что при условии

ехр(-Т) > а, (3)

уравнение (1) имеет устойчивое периодическое решение.

При увеличении параметра а и при нарушении условия (3) структура периодического решения усложняется. Соответствующие численные исследования приведены в четвертом разделе главы.

Основное содержание раздела заключено в третьем пункте, где рассмотрен вопрос о динамике уравнения (1) при условии, когда запаздывание Т достаточно велико. Показано, что это уравнение обладает богатой динамикой, а его решения имеют сложную структуру.

Соседние моменты времена, когда решение уравнения (1) принимает значение х — а с положительной и отрицательной производной назовем соответственно началом и концом всплеска. Установлено, что в плоскости параметров с и Ь существует область в которой уравнение (1) имеет решения с одним всплеском на отрезке длины времени запаздывания. Аналитически эта область описывается системой неравенств:

1 - а + аЬ(Ь - а)[( 1 - 6)(о - 6 + вб)]"1 < О, 6 < 2а - а2.

Приведенная методика позволяет исследовать решения более сложной структуры. В четвертом пункте рассмотрены решения, имеющие произвольное число к > 1 всплесков на некоторых отрезках длины времени запаздывания. Сформулированы выводы о существовании широкого множества "долгоживущих" решении (т.е. сохраняющих структуру в течение промежутка времени, неограниченно растущего при Т -» со). Такие решения рассматриваемого уравнения имеют важное прикладное значение. Соответствующие результаты базируются на специальных методах большого параметра для сингулярно возмущенных уравнений с запаздыванием.

В третьем разделе первой главы исследована динамика уравнения с нелинейностью импульсного типа. Проведено сравнение с результатами из предыдущего раздела.

Основное предположение относительно нелинейной функции /(в) в настоящем разделе заключается в том, что ее "действие" сосредоточено в изолированных точках. Предполагаем, что функция /(в) имеет импульсный тип - является

'—функцией, сосредоточенной в некоторой точке 7 > 0: /(л) = 0, если « ф 7 и,

+00 (4)

. / /(3)^ = 0 (0 < а < 1).

-оэ

]разу отметим, что задачи исследования дипамики уравнения (1) при условиях (2) [ (4) в некотором смысле довольно близки друг к другу. Так, параметр а в (4) вляется аналогом разности Ъ — а (длины "ступеньки"), а параметр у по смыслу [ринадлежит отрезку [а, ¿].

Сформулируем основные результаты этого пункта.

["еорема 3 Пусть выполнено условие

ехр(— Т) + а-]'1 > 1.

гогда уравнение (1) имеет единственное с точностью до сдвига по времени МО !ериодическое решение гй({). Это решение устойчиво. Если же

ехр(-Т) + <*7-1 < 1,

ю уравнение (1) не имеет МО решений.

Теорема 4. Пусть выполнены условия

1 ~ ехр(—Т/2) < с*7-1 < ехр(Г) - 1.

Ъгда уравнение (1) с нелинейной функцией (4) имеет устойчивое периодическое ешепие с двумл всплесками на промежутке длины Т.

Использованная в этом разделе схема исследования решении с двумя всплесками а отрезке длины Т допускает распространение на случаи, когда решение имеют > 2 всплесков на отрезке длины Т.

В последнем, четвертом разделе первой главы изучены числовые хар&ктери-гики аттракторов уравнения со ступенчатой нелинейностью. Показано, что урав-;ние (1) обладает богатой динамикой. При одних и тех же значениях параметров и 6 может существовать, в зависимости от времени запаздывания, как устойчи-м цикл, так и хаотический аттрактор. Изучение последнего представляет особый 1терес. В первом пункте настоящего раздела изучается распределение 5 точек ?ресечения решением прямых _г = а и х = Ь. Чем больше 5, тем более сложный вид

имеет соответствующее решение. Эту характеристику можно интерпретировать как меру структурной сложности решений. Во втором пункте описаны сценарии перехода к хаосу при увеличении времени запаздывания. Установлено, что процесс перехода от регулярного поведения к хаосу достаточно сложен. В начале при малых Т происходит ряд как прямых, так и обратных бифуркаций добавления периода. Далее при увеличении запаздывания имеет место явление перемежаемости типа "цикл-хаос". Все эти заключения находят подтверждение при исследовании корреляционной размерности и старшего ляпуновского показателя в пунктах 34, в которых приведены результаты расчета этих характеристик решений уравнения {1), а также прослежена зависимость корреляционной размерности и старшего ляпуновского показателя от времени запаздывания. В пятом пункте получены асимптотические оценки старшего ляпуновского показателя.

Во второй главе исследуется динамика двух одинаковых уравнений вида (1) с релейной нелинейностью /(я)

и различными типами связи между уравнениями.

В первом разделе изучены представляющие наибольший интерес системы с 1. Диффузионной связью

О <6< 1,

¿ + х =/(ф~Т)) + <11(у-х), у + у =/(у('-эп)) + <*2(*-у);

(5)

2. диффузионной связью с запаздыванием

х + * = /(*(* - Т)) +• (у(1 - Т) - - Г)), »+» « /Ы* - Т)) + «ЬОФ -т)- - Т)),

(6)

3. релейной диффузионной связью

X + х = /(2(г - Т)) + (в^у - Ь) - 5ёп(х - Ь)), у + V = /(у(< - Л) + -ь)~ - Ч);

(7)

4. связью через нелинейность ](х)

х + х = /[х(< -Т) + - Т) - *(* - Г))], У + У = /[»(* - Г) 4- ¿,(1(4 - Т) - г/(( - Г))].

I системах (5)-(8) коэффициенты связи ¿1, ¿2 неотрицательны.

Под синхронизацией решений системы уравнений будем понимать выполнение словия |х(г) — < /1 при < > где t¡, - момент синхронизации, а ц > 0 -роизвольяо выбранная сколь угодно малая величипа.

При достаточно большом времени запаздывания Т, (т.е. при Т 1) естественно равнять поведение решений систем дифференциальных уравнений с поведением ре-гений соответствующих систем разностных уравнений. Так аналогом системы диф->еренциапьпых уравнений (5) мы считаем систему разностных уравнений

№ =/М*-?1))+ «*,(*(<)-у(0)-

Динамика систем разностных уравнений изучается аналитически и сопоста-яяется с результатами численного анализа динамики систем дифференциально-азностных уравнений. Отметим, что в общем случае динамика существенно раз-лчиа. Однако, оказывается, что имеют место некоторые соответствия, которые х) вол я ют получить ряд критериев синхронизации (несинхронизации} решений си-гем (5)-(8).

Критерий синхронизации решений системы разностных уравнений (9) имеет вид тт{Ь, 1 - 6} < Д~1 шах{^, ¿2}, (10)

1е

/ 1+^ \ А = <1с1 I = 1 + ^ + ^.

\ -¿2 1 + <*г /

озвращаясь к системе дифференциальных уравнений (5), отметим, что как подзывают численные эксперименты, при выполнении неравенства (10), в системе зоисходит "быстрая" синхронизация за относительно короткое время, которое не >еличивается при увеличении Г, Если условие (10) не выполнено, то происходит медленная" синхронизация, за существенно большее время, которое неограниченно (стет при Т оо.

В результате численного анализа установлено, что синхронизация в системе (5) »оисходит существенно быстрее, чем установление простейшего МО цикла.

Для системы (8) аналогичным образом получаем критерий "быстрой" синхрони-ции решений:

1шп{6,1 — 6} < тах{(/1,(/2}.

При изучении динамики системы уравнений с запаздывающей диффузионной связью (б) были выявлены критерии существования и устойчивости однородного и неоднородного циклов в соответствующей системе связанных отображений

Ф) = Я*(*-Т))+ <£,(„(«-Т)-*(«-Т)), »(О = /Ы* - У)) + МФ - т) - у(г - г)).

Отметим, что при условии ¿1 + ¿2 > 1 все решения с начальными условиями, отличными от х(в) 3 у(^) для в € [—Г, 0] стремятся к бесконечности. Поэтому наибольший интерес представляет случай ¿1 4 < 1. Здесь система (И) имеет как однородный, так и неоднородный цикл, причем наличие (или отсутствие) синхронизации существенно зависит не только от коэффициентов (¡¡, ¿2, но и от начальных условий

Система дифференциальных уравнений (6) исследовалась численно. Эксперименты показали, что однородный цикл при условии общности положения оказывается неустойчивым, и решения стремятся к некоторому неоднородному циклу

ИО Ф г/С))-

Рассмотрим случай, когда один из коэффициентов связи равен нулю. Пусть для определенности = 0. Тогда единственным устойчивым решением первого уравнения системы (6) будет МО цикл х^). Второе уравнение при х = хо(1) запишем в виде

У + У + </2у(* - Т) = /(у(г - Л) + *»■*>(< - Т).

Для уравнения

у + у + <Ьф-Т) = 0 (12)

найдено пороговое значение йо коэффициента ¿2, такое что при ¿з < «¿о решения уравнения (12) асимптотически устойчивы. Отметим, что при Т -4 оо величина ¿о монотонно убывает к 1.

При изменении величины ¿2 от нуля до </0 в системе (6) будет наблюдаться следующая картина. Сначала при небольших значениях (12 устойчив неоднородный цикл. Далее, по мере приближения к ¿о, цикл сменяется нерегулярным режимом, я затем при дальнейшем увеличении в некоторой окрестности ¿0 система (6) становится не диссипативной, и найдутся решения, неограниченно растущие при f —» оо.

При исследовании динамика системы уравнений с релейной диффузионной связью (7) было установлено, что в отличие от соответствующей системы отображений, синхронизация решений всегда имеет место при тах{Ль<^} > 0.

Во втором разделе второй главы изучен вопрос существования и устойчивости однородного цикла в случае малой диффузии. Раздел посвящен применению локальных методов к решению задачи о сугоествовании и устойчивости периодических эешений.

Поскольку функция /(«) разрывна, то ее производная не определена в точке з = Ъ. Цля того, чтобы иметь возможность в дальнейшем линеаризовать уравнения, необ-содимо модифицировать функцию / так, чтобы она имела производную во всех точках. Положим, например,

/<(*) =

1, s<b-£

о, s>b + i,

О < t « 1.

Три достаточно малых £ уравнение (1) (с заменой функции j на /£) имеет решение, :коль угодно близкое к - устойчивому МО циклу.

Предполагая коэффициенты диффузии di, </2 малыми, изучим динамику решений истем (5) и (6), которые соответственно запишем в виде

i+r =/{(*(«-Т)) + е(у-х), У+У =/{(»(<-Т)) + ев(*-»),

i + ? =fe(3(t-r))-te(V(t-T)-3(t-r)),

(14)

У + У = /«(»(« - Г)) + £сфг(1 - Г) - у(< - Т)), де е <SC 1, а а = d2dîx. При с = 0 системы (13) и (14) имеют семейство реше-ий (x0(t),xo(i + <£)). Применяя стандартные методы исследования, решим вопрос о утцествовании »s устойчивости периодических режимов, бифурцирукмцих от этого гмейства при малых е. Оказывается, что системы (13) и (14)имеют однородный c(f) s y{t)) и неоднородный (f(<) ф y(i)) цикл.

Липеарюовав системы (13) и (14) на однородном цикле, исследуем его устойчи-зсть. В результате полулаем, что однородный цикл всегда устойчив в уравнении 3), и всегда неустойчив в системе (14).

В третьей главе изучим дифференциальное уравнение второго порядка с за-идывающей обратной связью

X + ci +1 = f(x(t - Т)), (15)

где параметры с я Т положительны, нелинейность ступенчатого типа /(в) определяется формулой (2).

В основе исследований лежит специальный асимптотический метод. Суть его состоит в следующем. В фазовом пространстве рассматриваемого уравнения фиксируется, исходя из специфики задачи, множество начальных функций С(ЛГ), зависящее от некоторого параметра N. Затем последовательно при 1 £ [О,Г], I € [Т,2Т],... анализируется асимптотика всех решений с начальными условиями из С(М). После этого удается определить некоторый оператор П (типа оператора последования Пуанкаре) так, что каждое решение из С(Ы) в некоторый момент времени попадает в С(М). Как оказывается, значение N с точностью до некоторых асимптотически малых величин аналитически выражается через N : N = G(N). После этого задача о динамике рассматриваемых решений сводится к динамике отображения N = С(А'). Отметим, для примера, что периодическим траекториям этого отображения отвечают периодические решения исходного уравнения той же устойчивости.

В качестве основных результатов предъявлены аттракторы и для них получены асимптотические формулы. Отметим, что в одних случаях соответствующие решения являются близкими к гармоническим, а в других - к релаксационным, т.е. имеющим ярко выраженную импульсную структуру.

Исследование динамики уравнения (15) состоит из трех частей.

В первом разделе третьей главы изучается асимптотика простейших аттракторов при малых значениях параметров а и Ь

а = оА-1 (0 < а < 1), 6= А"1,

где А » 1.

Производя в уравнении (15) замену х = Дх, приходим к уравнению

х + сз + х = АФ(г(< - Т)),

(16)

в котором

с2 >4

(17)

и

с2 <4.

(18)

случае выполнения неравенства (17) корни характеристического мпогочлева урав-ения £ + сх 4- I = 0 вещественны, а в случае выполнения условия (18) эти корни вляются комплексными. В случае (17) справедлива

'еорема 5 При достаточно больших А уравнение (16) имеет экспоненциально ор-итально устойчивое периодическое решение з:0(£} с периодом. Т(А) = 0(1пА); ал4-литуда решенил имеет порядок 0(А).

Отсюда следует вывод: для уравнения (16) при больших А значение времени шаздывания существенной роли не играет. Однако, следует иметь в виду, что тачения А, при которых начинает "работать" теорема 5, резко увеличиваются, если ираметр Т велик или, наоборот мал.

В случае (18) поведение решении (16) существенно сложнее по сравнению с тем, эторое имело место в случае неравенства (17). При этом естественным образом зодятся классы быстро осциллирующих и медленно осциллирующих решений. Рас-•ютрим отдельно каждый из них.

Сначала приведем результаты для наиболее простой ситуации, когда запаздыва-1е Т невелико:

24/4 - с2 < тт.

цесь аналитическими методами построено отображение г — б(г), определяющее зи достаточно больших А структуру аттрактора уравнения (16).

еорема 6 Пусть отображение г = <?(г) имеет грубый цикл. Тогда при. доста-очно больших А уравнение (16) имеет периодическое решение х({) той же устой-1вости, причем амплитуда имеет порядок 0(А'^2), расстояние между соседними ;стремумами имеет порядок 0(1).

Будем полагать, что для некоторого целого т > 1 выполнены неравенства

(т - 1)тг < Ту/А -с2 < vn.it. (19)

этом случае не существует медленно осциллирующих решений уравнения (16). шовное отличие решений з(<) при условиях (19) состоит в том, что на каждом •резке длины времени запаздывания функция х(1) имеет яе менее (т — 1) нулей, эказано, что структура аттракторов (16), состоящих из быстро осциллирующих •шений, описывается (2т + 1)-мерным отображением.

Отметим, что динамика уравнения (16) при достаточно больших Л может быть довольно сложной: при наличии осцилляции в линейной части уравнения могут возникать как периодические (с различными периодами), так и хаотические аттракторы.

Во втором разделе главы рассматривается асимптотика простейших аттракторов при больших значениях запаздывания Т. Результаты первой главы обобщены на уравнение второго порядка. Необходимым условием такого обобщения является отсутствие осцилляции в линейной части уравнения, т.е. условие <? > 4.

Основное предположение, при котором здесь исследуется уравнение (15), заключается в том, что параметр Т является достаточно большим:

Т»1.

Остановимся на изучении лишь самых простых решений уравнения (15) - решений "импульсного" типа, т.е. имеющих один всплеск на некоторых отрезках длины 1.

Построено одномерное отображение г — описывающее при достаточно

больших значениях Т динамику решений уравнения (15) и определены условия, при которых это отображение может иметь как стационарные, так и периодические решения. Справедлива

Теорема 7 Пусть отображение г = £>(г) имеет грубый цикл периода к. Тогда при достаточно больших значениях времени запаздывания Т уравнение (15) имеет периодическое решение той Лее устойчивости с периодом кТ + о(1).

По сравнению с уравнением первого порядка (1), в уравнении второго порядка при достаточно больших значениях времени запаздывания область существования импульсных решений существенно шире.

Отметим еще, что при условии с2 < 4 режимов, указанных в этом разделе существовать не может, т.к. количество импульсов или всплесков на отрезке длины запаздывания у всех решений, кроме стремящихся к нулю, неограниченно растет при Т -> оо.

В третьем разделе уравнение (15) исследуется при условии малости параметра с, характеризующего затухание линейного осциллятора (потери):

х + ei + х = /(*(« - Т)), 0 < е « 1. (20)

В первом пункте раздела изучен вопрос существования периодических реше-ий уравнения (20), амплитуды которых неограниченно растут при £ +0. При гом отдельно рассмотрены медленно и быстро осциллирующие решения.

Установлено, что уравнение (20) не имеет медленно осциллирующих решений мыной амплитуды, но может иметь нетривиальные решения сложной структуры относительно небольшой амплитудой. Однако, если вместо нелинейности /(х) осматривать функцию — f{x), то при достаточно малых е уравнение (20) имеет ;тойчивый цикл (близкий к гармоническому), для которого амплитуда г определя-~ся формулой

г = [(«гГЧЬ - a)2sinT]"3 [l +о(^3)].

Для быстро осциллирующих решений построено отображение, определяющее их шамику. Результаты численных экспериментов позволяют сделать вывод, что это гображение имеет устойчивую неподвижную точку. Следовательно, уравнение (20) ¿еет устойчивый цикл (близкий к гармоническому).

Второй пункт посвящен случаю, когда параметры о и b в нелинейности f(x) [изки, т.е.

Ь-а = с 0<£«1.

плоскости параметров аиТ определена область, в которой специально скопструи-«анное отображение, определяющее динамику решений уравнения (15) при доста->чно малых е. имеет неподвижную точку, а, следовательно, уравнение (20) имеет риодическое решение.

В третьем пункте третьего раздела исследуется уравнение (15) со слабой не-нейной обратной связью. Рассмотрим уравнение

ï + ei + s = e/(i(i-r)), 0<£«1. (21)

■.пользуя стандартные, методы будем искать близкие к периодическим решения авнения вида (21) в следующей форме:

*(<,е) = (f(ei)ea + tWe'*) + ет, + 0(е\ (22)

е функция ii = Zi(t,et) периодична по первому аргументу. Подставляя (22) в авнение (21) и собирая слагаемые при е, приходим к условию существования пе-одических по t решений:

2trr + if = G(e,€). (23)

где т = е{,

<?(£,£) = ± + Л. (24]

о

Будем искать простейшее периодическое решение £(г) в виде

«г)=ре'от, (25]

где р и о вещественны и р > 0. Тогда, используя тот факт, что подынтегральное выражение в (24) периодично по { с периодом 2п, с помощюь замены переменное в интеграле убеждаемся, что <?(£, £) = е,атС(р,р). Подставляя выражение (25) 1 уравнение (23) и приравнивая действительные и мнимые части, получаем систем) уравнений для нахождения р и а

[2ра =11ев(р,р).

Система (26) всегда разрешима и может иметь одно или три решения. Отметим, что решение уравнения (20), соответствующее нулевому значению р, является устойчивым. В случае наличия двух нетривиальных решений первого уравнения системы (26) р\ < рч решение уравнения (20), соответствующее р\ является неустойчивым, соответствующее рч - устойчивым.

В приложении приведены результаты исследования особенностей динамики одномерных кусочно-линейных разрывных отображений с одной точкой максимума /:{0,1]-+[0,11:

[Мх)=Рх~Ру *€(Ь,1).

Параметры 1,р предполагаются принадлежащими области

П = {(',?):'6 [0,1],рб (-со,-1)}.

Параметр £ = /г(—0) — /г(+0), определяющий величину разрыва, удовлетворяет соотношению —1 < с < 1. Учитывая, что / : [0,1] [0,1], числа а и 6 определяются через 1,р и £, исходя из (27), по формулам:

(1-г(1 + А), £<о, [1 + 1, £<о.

Как оказалось наличие разрыва вносит существенные особенности в бифуркационный анализ, причем бифуркации в случаях е > 0 и £ < 0 являются существенно различными. Рассмотрим отдельно каждый из случаев.

Случай s > 0. Для отображения ft получим условия существования и устойчи-сти циклов {хь- • - ,1Л} га = 2,3,... периода п, таких что

Х{ < Ij+i, ,t = l,...,n-l, /(*„) = хj.

дем обозначать циклы такого типа 7„. Отметим, что речь идет о таких циклах риода п, у которых п — 1 последовательных значений монотонно возрастает. Положим

1 - ¡n+1

= i + l + + + r =

гверждение 1 Цикл 7„ существует тогда и только тогда, когда

Он является притягивающим в том и только в том случае, когда

1

Основное отличие от непрерывного (при е = 0) случая заключается в том, что и £ > 0 могут существовать одновременно два устойчивых цикла.

гверждение 2 При I < е в плоскости параметров 1,р существует бесконечно ого областей устойчивости одновременно двух циклов, причем периоды этих клов отличаются на 1.

Случай е < 0. Отметим, что при р < е'1 отображение имеет глобально устой-вое состояние равновесия.

■верждение 3 При е < —0.25 отображение не имеет циклов типа уп. При .25 < í < 0 циклы существуют при выполнении неравенств

max{exp—1, (1 + Vi +4í)(2e)-1} < р < mm{-l, (1 - Vi +4£){2е)~1}. , Ln-2

P--l"->+sLn-з

Численными методами установлено, что в отображении может существовать 1Ько либо хаос, либо один цикл, либо два цикла, периоды которых отличаются

Основные результаты и выводы

Аналитическими и численно-аналитическими методами исследуется нелокальная д] намика важных для приложений классов дифференциальных уравнений первого л рядка с нелинейной (релейной, ступенчатой и импульсной) запаздывающей обратнс связью. Подход, основанный на асимптотическом анализе, позволил проанализир< вать аттракторы, состоящие из решений импульсного типа. Получены численнь характеристики нерегулярных колебаний и прослежена их зависимость от величин запаздывания.

Исследован вопрос о синхронизации решений систем из двух простейших авт< генераторов с четырьмя типами связи (диффузионными и через нелинейность). П лучен критерий "быстрой* и "медленной" синхронизации решений.

При значениях коэффициента связи, близких к критическому в системе (6) во никают нерегулярные колебания, тогда как в общем случае (при условии диссип; тивности системы) устойчивым режимом является неоднородный цикл.

Проведен сравнительный анализ динамики решений систем дифференциальнь и разностных уравнений. Выявлены и проанализированы отличия и сходства.

Устойчивость однородного цикла в системах (5) и (6) изучена асимптотическим методами.

Для дифференциального уравнения второго порядка в пространстве парам тров выделены ситуации, допускающие аналитическое исследование динамики реш ний. Разработанные аналитические методы применены для анализа этих сигуаци Наряду с простыми режимами обнаружено многообразие сложных динамически структур. Результаты численных исследований подтверждают асимптотически анализ.

Список опубликованных работ по теме диссерта ции

[1] Глызин С.Д., Кащенко Д.С. Динамические свойства системы диффузионно св. занных осцилляторов с релейной нелинейностью и запаздыванием // Тез. докл; дов конференции "Математические модели нелинейных возбуждений...", Твер 2-5 июля 1996г. С. 44.

[2] Глызин С.Д., Кащенко Д.С. Стационарные режимы одной системы с релейной нелинейностью и запаздыванием // Тез. докладов конференции "Теория и приложения методов малого параметра", Обнинск 2-6 июля 1996г., С. 30.

[3] Кащейко Д.С. Локальные и нелокальные циклы в уравнениях второго порядка с запаздывающей обратной связью. // Тез. докладов конференции "Нелинейные колебания механических систем", Нижний Новгород, 17-19 сентября 1996г., С. 69-70.

[4] Кащенко Д.С. Синхронизация в системе из двух связанных автогенераторов первого порядка с релейной запаздывающей обратной связью // Прикладная Нелинейная Динамика (Applied Nonlinear Dynamics), т.5, №2,3 1997г., С.100-117.

[5] Kaschenko D.S. Slowly Oscillating Solutions of a Second order differential equation with a relay feed-back // The Third International Workshop "Singular Solutions and Perturbations in Control Systems (SSPCS-97)", 7 - 11 July, 1997 Pereslavl-Zalessky, Russia, P. 45.

[6] Kaschenko D.S. "Fast" and "slow" synchronization in the system of two autogenerators with relay delaying feedback // International Conference Control of Oscillations and Chaos (COC'97), St. Peterburg, 27-29 august, 1997.

[7] Кащенко Д.С. Динамика двух связанных автогенераторов с запаздывающей обратной связью. // Тезисы обл. конференции "Современные проблемы естествознания", г. Ярославль, 1997г. С. 26-28.

[8] Кащенко Д.С. Динамика автогеператора первого порядка с релейной запаздывающей обратной связью. Ц Сборник научных трудов "Современные проблемы математики и информатики", г. Ярославль, 1997г., С.105-113.

[9j Kaschenko D.S. Condition of "Fast" and "Slow" Synchronization in the System of Two Autogenerators with Relay Delaying Feedback.// Singular solutions and perturbations in control systems, a Proceedings volume from the IFAC Workshop, Pereslavl-Zalessky, Russia, 7-11 July 1997, 63-67 p.

10] Kaschenko D.S. Dynamics of the simplest piecewise linear discontinuous mappings // NDES'97 (Nonlinear dynamics of Electronic Systems) June 26-27, 1997, Moscow, Russia, P. 458-463.

[11] Kaschenko D.S. "FAST" AND "SLOW" SYNCHRONIZATION IN THE SYSTEfv OF TWO AUTOGENERATORS WITH RELAY DELAYING FEEDBACK. // Pro ceedings 6-th International Specialist Workshop Nonlinear Dynamics of Electronic Systems (NDES'98). Budapest, July 16-18 1998. P. 261-264

[12] Кащенко Д.С. Синхронизация в системах из двух автогенераторов первого по рядка с релейной запаздывающей обратной связью. // Сборник научных тру дов "Моделирование и анализ информационных систем" №5, Ярославль, 1998 С. 106-122.

[13] Кащенко Д.С., Могель А., Шварц В. Динамика уравнения первого порядка нелинейной запаздывающей обратной связью ступенчатого типа // Прикладка Нелинейная Динамика т.6, №6 1998г., С.3-19.

[14] Кащенко Д.С., Могель А., Шварц В. Динамика уравнения первого порядка с не линейной запаздывающей обратной связью. // Известия Российской Академи: естественных наук т.2, №3 1998г., С.70-111.

[15] Kaschenko D.S. DYNAMICS OF THE SIMPLEST PIECEWISE LINEAR DISCON TINUOUS MAPPING // Proceedings International Symposium on Nonlinear The ory and its Applications (NOLTA'98), Crans-Montana, Switzerland, 14-17 Septem ber, 1998, P. 959-962.

[16] Кащенко Д. С. Локальные и нелокальные циклы в уравнении второго порядка i запаздывающей обратной связью // Известия высших учебных заведений, Ма тематика, №7 1999г. С. 12-22.

Введение

1. Динамика уравнения первого порядка

1.1. Динамика уравнения первого порядка с релейной запаздывающей обратной связью.

1.1.1. Построение простейшего цикла.

1.1.2. Быстро осциллирующие периодические решения

1.1.3. Оценка времени сходимости к простейшему циклу

1.1.4. Неустойчивый цикл, осциллирующий около значения х = а

1.2. Динамика уравнения первого порядка со ступенчатой нелинейной обратной связью. Асимптотический анализ

1.2.1. Асимптотика релаксационного цикла уравнения первого порядка при малых значениях параметров а и Ь.

1.2.2. Периодические решения при условии близости параметра Ь к 1.

1.2.3. Асимптотика простейших аттракторов уравнения первого порядка при больших значениях запаздывания Т.

1.2.4. Долгоживущие структуры.

1.3. Динамика уравнения первого порядка с нелинейностью импульсного типа

1.3.1. Медленно осциллирующее решение.

1.3.2. О быстро осциллирующих решениях.

1.4. Числовые характеристики аттракторов уравнения первого порядка со ступенчатой нелинейностью.

1.4.1. Распределение точек пересечения решением прямых х = а и х = Ь.

1.4.2. О сценарии перехода к хаосу.

1.4.3. Корреляционная размерность.

1.4.4. Старший ляпуновский показатель.

1.4.5. Асимптотическая оценка старшего ляпуновского показателя

В настоящее время одним из наиболее активно развивающихся направлений математического анализа являются исследования динамики систем с распределенными параметрами. Эти исследования стимулируются появлением большого числа прикладных задач, для моделирования которых используют такие объекты, как дифференциальные уравнения с запаздыванием. Уравнения такого типа возникают, например, в лазерной оптике [1-4], электротехнике [5-8], радиофизике [9, 10], медицине [11], математической экологии [12-14], теории нейронных систем [15-18], при описании процесса резания металлов [19, 20] и др.

Изучению уравнений с запаздыванием посвящено значительное и все увеличивающееся число публикаций как теоретического, так и прикладного характера. Для многих уравнений, содержащих запаздывание, хорошо зарекомендовали себя классические асимптотические методы, такие как методы усреднения Крылова-Боголюбова, методы пограничных функций в случае сингулярных возмущений [21].

Тем не менее, развитие аналитических методов для систем с запаздыванием явно недостаточно, а методика, разработанная для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, часто оказывается для таких объектов неприменимой. В силу принципиальной сложности систем с бесконечномерным фазовым пространством особую значимость как для общетеоретических вопросов, так и для решения конкретных прикладных задач приобретает разработка новых асимптотических методов исследования динамических свойств решений. Так, например, в работах [22-25] предложен специальный асимптотический метод изучения нелокального поведения решений важных классов сингулярно возмущенных систем с запаздыванием. Этот метод позволил редуцировать задачу о динамике исходной системы к задаче о динамике аналитически конструируемых конечномерных отображений.

Для различных нелинейностей были проведены достаточно полные численные и экспериментальные исследования динамики при различных значениях фигурирующих в них параметров, и получены достаточно полные представления об изменении динамических свойств при варьировании тех или иных параметров задачи [9, 10, 26].

В настоящей работе рассматриваются уравнения с нелинейной запаздывающей обратной связью ступенчатого типа, отличительной особенностью которой является простота реализации в задачах радиофизики и электротехники [5-8]. Однако, несмотря на простоту, такие уравнения обладают богатой динамикой.

Одной из актуальных задач радиофизики является исследование явления синхронизации связанных осцилляторов. Явление, проявляющееся в стремлении взаимодействующих систем к выработке единого ритма существования, широко распространено как в искусственных, так и в природных системах. Помимо того, что исследование синхронизации представляет теоретический интерес, оно необходимо для дальнейшего развития информационных технологий в задачах обработки и передачи информации. Имеется значительное число аналитических и экспериментальных исследований синхронизации в динамических системах различной природы [27-36]. Большой вклад в исследование пространственно-временной динамики различных связанных систем сделан научными группами как в России [32, 33, 37], так и за рубежом [28, 30, 38, 39]. Несмотря на то, что в ряде работ получены достаточно общие результаты, характеризующие закономерности возникновения синхронизации, дальнейшее изучение этого явления представляет как теоретический, так и практический интерес.

В предлагаемой работе изучается явление синхронизации систем с нелинейностью ступенчатого типа, причем основное внимание уделено асимптотическому исследованию динамических свойств при относительно большом времени запаздывания.

Целью настоящей работы является исследование динамических свойств решений дифференциальных уравнений первого и второго порядков с нелинейной запаздывающей обратной связью, изучение вопроса синхронизации в системах уравнений первого порядка с различными типами связи: диффузионной, через нелинейную функцию, запаздывающей диффузионной и релейной диффузионной. Отметим, что акцент ставится на получение результатов аналитического характера. В работе используются методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, функционального анализа, идеи теории сингулярных возмущений, а также специальный асимптотический метод большого (малого) параметра, учитывающий специфику нелинейности.

Полученные в диссертации результаты имеют как теоретическое, так и практическое значение. Они могут быть использованы при качественном исследовании дифференциальных уравнений с запаздывающей обратной связью и могут найти применение в радиофизике при конструировании автогенераторов в системах передачи данных.

Перейдем к изложению содержания диссертации.

Работа состоит из введения, трех глав, приложения, заключения и библиографии.

Первая глава посвящена изучению динамики дифференциального уравнения первого порядка с нелинейной запаздывающей обратной связью ступенчатого типа + ж = /(ж(*-Т)), (1) где Т > 0 - время запаздывания, а нелинейность f(s) определяется формулои

1, а < « < Ь, = { ~ ~ 0 < а < 6 < 1. (2)

О, я < а или 5 > 6,

При этом особое внимание уделено аналитическому изучению динамических свойств решений.

В первом разделе изучена динамика уравнения (1) с релейной функцией /(-§), т.е. сначала при а = 0, а затем при 6=1.

Назовем цикл хь{Ь) уравнения (1) медленно осциллирующим (МО), если расстояние между соседними корнями уравнения х&(£) = 6 больше, чем Т.

Теорема 1. Пусть а = 0. Тогда уравнение (1) имеет экспоненциально орбиталъно устойчивое периодическое решение хь{Ь).

Далее в работе приведены асимптотические формулы для периодического решения в случаях 0 < 1, Т -оо.

Теоретически доказано, что уравнение (1) при а = 0 имеет счетное число быстро осциллирующих решений с 2т (т = 1,2,3,.) пересечениями прямой х = 6 на некоторых отрезках времени длины Т. Построены 2т-мерные отображения, динамика которых определяет поведение при £ —» оо решений уравнения (1) с начальными условиями из специально выбранных множеств. Показано, что каждое из таких отображений имеет неподвижную точку, которой отвечает периодическое решение уравнения (1). В результате численного исследования установлено, что все быстро осциллирующие решения неустойчивы и стремятся к МО циклу Хь^).

В случае, когда 6=1, определены условия, при которых существует единственное (с точностью до сдвига по времени) отличное от константы периодическое решение жа(£), имеющее на каждом интервале длины Т не более двух пересечений с прямой х = а. Это решение является неустойчивым. Аналогично предыдущему случаю построены неустойчивые быстро осциллирующие решения. Все решения из их окрестности стремятся к 1 или к 0 при £ —> оо.

Второй раздел первой главы посвящен асимптотическому анализу уравнения с нелинейностью ступенчатого типа и изучению как устойчивых, так и долгоживущих структур.

В первом пункте раздела приведено утверждение о существовании устойчивого цикла при условии, когда параметры а и Ъ достаточно малы:

Теорема 2. При всех достаточно малых значениях параметров а и Ь уравнение (1) имеет экспоненциально орбиталъно устойчивое периодическое решение.

Во втором пункте рассмотрен случай, когда параметр Ь близок к 1. Показано, что при условии уравнение (1) имеет устойчивое периодическое решение.

При увеличении параметра а и при нарушении условия (3) структура периодического решения усложняется. Соответствующие численные исследования приведены в четвертом разделе главы.

Основное содержание раздела заключено в третьем пункте, где рассмотрен вопрос о динамике уравнения (1) при условии, когда запаздывание Т достаточно велико. Показано, что это уравнение обладает богатой динамикой, а его решения имеют сложную структуру.

Соседние моменты времени, когда решение уравнения (1) принимает значение х = а с положительной и отрицательной производной назовем соответственно начатом и концом всплеска. Установлено, что в плоскости параметров а и Ь существует область в которой уравнение (1) имеет решения с одним всплеском на отрезке длины времени запаздывания. Аналитически эта область описывается системой неравенств: ехр(—Т) > а,

3)

1 — а + аЬ(Ь — а)[(1 — 6)(а — 6 + аЬ)]-1 < О, Ь <2а- а2.

Приведенная методика позволяет исследовать решения более сложной структуры. В четвертом пункте рассмотрены решения, имеющие произвольное число к > 1 всплесков на некоторых отрезках длины времени запаздывания. Сформулированы выводы о существовании широкого множества "долгоживущих" решений (т.е. сохраняющих структуру в течение промежутка времени, неограниченно растущего при Т —>• оо). Такие решения рассматриваемого уравнения имеют важное прикладное значение. Соответствующие результаты базируются на специальных методах большого параметра для сингулярно возмущенных уравнений с запаздыванием.

В третьем разделе первой главы исследована динамика уравнения с нелинейностью импульсного типа. Проведено сравнение с результатами из предыдущего раздела.

Основное предположение относительно нелинейной функции /(«) в настоящем разделе заключается в том, что ее "действие" сосредоточено в изолированных точках. Предполагаем, что функция /(в) имеет импульсный тип - является <5—функцией, сосредоточенной в некоторой точке 7 > 0: з) = 0, если 5 ф 7 и, 00 (4) ¡(в^з = а (0 < а < 1). 00

Сразу отметим, что задачи исследования динамики уравнения (1) при условиях (2) и (4) в некотором смысле довольно близки друг к другу. Так, параметр а в (4) является аналогом разности Ь — а (длины "ступеньки"), а параметр 7 по смыслу принадлежит отрезку [а, Ъ].

Сформулируем основные результаты этого пункта.

Теорема 3. Пусть выполнено условие ехр(—Т) + сгу-1 > 1.

Тогда уравнение (1) имеет единственное с точностью до сдвига по времени МО периодическое решение Это решение устойчиво. Если же ехр(-Г) + сн-1 < 1, то уравнение (1) не имеет МО решений.

Теорема 4. Пусть выполнены условия

1 - ехр(—Т/2) < сгу-1 < ехр(Т) - 1.

Тогда уравнение (1) с нелинейной функцией (4) имеет устойчивое периодическое решение с двумя всплесками на промежутке длины Т.

Использованная в этом разделе схема исследования решений с двумя всплесками на отрезке длины Т допускает распространение на случаи, когда решение имеют к > 2 всплесков на отрезке длины Т.

В последнем, четвертом разделе первой главы изучены числовые характеристики аттракторов уравнения со ступенчатой нелинейностью. Показано, что уравнение (1) обладает богатой динамикой. При одних и тех же значениях параметров а и Ъ может существовать, в зависимости от времени запаздывания, как устойчивый цикл, так и хаотический аттрактор. Изучение последнего представляет особый интерес. В первом пункте настоящего раздела изучается распределение 5 точек пересечения решением прямых х = а и х = Ь. Чем больше тем более сложный вид имеет соответствующее решение. Эту характеристику можно интерпретировать как меру структурной сложности решений. Во втором пункте описаны сценарии перехода к хаосу при увеличении времени запаздывания. Установлено, что процесс перехода от регулярного поведения к хаосу достаточно сложен. В начале при малых Т происходит ряд как прямых, так и обратных бифуркаций добавления периода. Далее при увеличении запаздывания имеет место явление перемежаемости типа "цикл-хаос". Все эти заключения находят подтверждение при исследовании корреляционной размерности и старшего ляпуновского показателя в пунктах 3-4, в которых приведены результаты расчета этих характеристик решений уравнения (1), а также прослежена зависимость корреляционной размерности и старшего ляпуновского показателя от времени запаздывания. В пятом пункте получены асимптотические оценки старшего ляпуновского показателя.

Во второй главе исследуется динамика двух одинаковых уравнений вида (1) с релейной нелинейностью /($) м =

1, 5 < Ь, ' - 0 < д < 1.

О, 5- > Ъ и различными типами связи между уравнениями.

В первом разделе изучены представляющие наибольший интерес системы с

1) Диффузионной связью

X + я = ¡{х^-Т^+й^у-х), у + у =/(у(*-Т))-М2(*-г/);

2) диффузионной связью с запаздыванием х + х = ¡(х(г - Т)) + (1г(у^ - Т) - х(г - Г)), У + У — - Т)) + - Т) - у{1 - Т)),

3) релейной диффузионной связью х + х = — Т)) + — Ъ) — — 6)),

У + У = Яг/(< - Т)) + - Ь) - sgn(J/ - &));

5)

6)

7)

4) связью через нелинейность /( х х + х = /[ж(£ - Т) + ^(у^ - Т) - х(Ь - Г))],

У + У = /М* -Т) + - т) - у(г - т))].

В системах (5)-(8) коэффициенты связи ^,<¿2 неотрицательны.

Под синхронизацией решений системы уравнений будем понимать выполнение условия - у(£) | < ¡л при £ > где - момент синхронизации, а ¡1 > 0 - произвольно выбранная сколь угодно малая величина.

При достаточно большом времени запаздывания Т, (т.е. при Т 1) естественно сравнить поведение решений систем дифференциальных уравнений с поведением решений соответствующих систем разностных уравнений. Так аналогом системы дифференциальных уравнений (5) мы считаем систему разностных уравнений

Динамика систем разностных уравнений изучается аналитически и сопоставляется с результатами численного анализа динамики систем дифференциально-разностных уравнений. Отметим, что в общем случае динамика существенно различна. Однако, оказывается, что имеют место некоторые соответствия, которые позволяют получить ряд критериев синхронизации (несинхронизации) решений систем (5)-(8).

Критерий синхронизации решений системы разностных уравнений (9) имеет вид тш{5,1 — 6} < А-1 тах{б?1, б?2}5 (Ю) где

1 + С?1 —йл

Д = с1е1 1 + -м2.

-¿2 1 + <^2

Возвращаясь к системе дифференциальных уравнений (5), отметим, что как показывают численные эксперименты, при выполнении неравенства (10), в системе происходит '"быстрая" синхронизация за относительно короткое время, которое не увеличивается при увеличении Т. Если условие (10) не выполнено, то происходит "медленная" синхронизация, за существенно большее время, которое неограниченно растет при Т —> оо.

В результате численного анализа установлено, что синхронизация в системе (5) происходит существенно быстрее, чем установление простейшего МО цикла.

Для системы (8) аналогичным образом получаем критерий "быстрой" синхронизации решений:

При изучении динамики системы уравнений с запаздывающей диффузионной связью (6) были выявлены критерии существования и устойчивости однородного и неоднородного циклов в соответствующей системе связанных отображений

Отметим, что при условии + ¿2 > 1 все решения с начальными условиями, отличными от х(з) = у (я) для 5 £ [-Т, 0] стремятся к бесконечности. Поэтому наибольший интерес представляет случай с?1 + < 1- Здесь система (11) имеет как однородный, так и неоднородный цикл, причем наличие (или отсутствие) синхронизации существенно зависит не только от коэффициентов <¿2, но и от начальных условий х(з), у (в), з £ [—Г, 0].

Система дифференциальных уравнений (6) исследовалась численно. Эксперименты показали, что однородный цикл при условии общности положения оказывается неустойчивым, и решения стремятся к некоторому неоднородному циклу (ж(£) ф у(Ь)).

Рассмотрим случай, когда один из коэффициентов связи равен нулю. Пусть для определенности ¿1 = 0. Тогда единственным устойчивым решением первого уравнения системы (6) будет МО цикл Второе уравнение при х = .г'о(0 запишем в виде гшп{6,1 — 6} < тах{^1, с^}. х{1) = /(а(* - Т)) + - Т) - х{1 - Г)), у{1) = /(г,(* - Т)) + й2{х{Ь - Т) - у(1 - Г)).

П)

У + У + - Т) = /(г/(* - Г)) + й2х0(* - Г).

Для уравнения у + У + й2у{г - т) = о 14 найдено пороговое значение ¿о коэффициента ¿2-, такое что при ¿2 < с?о решения уравнения (12) асимптотически устойчивы. Отметим, что при Т —> со величина с?о монотонно убывает к 1.

При изменении величины ¿2 от нуля до с?о в системе (6) будет наблюдаться следующая картина. Сначала при небольших значениях ¿2 устойчив неоднородный цикл. Далее, по мере приближения к цикл сменяется нерегулярным режимом, и затем при дальнейшем увеличении ¿¿2, в некоторой окрестности ¿¿о система (6) становится не диссипативной, и найдутся решения, неограниченно растущие при Ь —> оо.

При исследовании динамика системы уравнений с релейной диффузионной связью (7) было установлено, что в отличие от соответствующей системы отображений, синхронизация решений всегда имеет место при тах{с?1, ¿2} > 0.

Во втором разделе второй главы изучен вопрос существования и устойчивости однородного цикла в случае малой диффузии. Раздел посвящен применению локальных методов к решению задачи о существовании и устойчивости периодических решений.

Поскольку функция f(s) разрывна, то ее производная не определена в точке в = Ъ. Для того, чтобы иметь возможность в дальнейшем линеаризовать уравнения, необходимо модифицировать функцию / так, чтобы она имела производную во всех точках. Положим, например,

При достаточно малых £ уравнение (1) (с заменой функции / на Д) имеет решение, сколь угодно близкое к - устойчивому МО циклу.

Предполагая коэффициенты диффузии £¿1, с?2 малыми, изучим диназ<Ъ-£ т

0, 0<£<1. мику решений систем (5) и (6), которые соответственно запишем в виде ство решений (#о(£),+ Ф))- Применяя стандартные методы исследования, решим вопрос о существовании и устойчивости периодических режимов, бифурцирующих от этого семейства при малых е. Оказывается, что системы (13) и (14)имеют однородный = у(Ь)) и неоднородный (х{г) ф ?/(£)) цикл.

Линеаризовав системы (13) и (14) на однородном цикле, исследуем его устойчивость. В результате получаем, что однородный цикл всегда устойчив в уравнении (13), и всегда неустойчив в системе (14).

В третьей главе изучим дифференциальное уравнение второго порядка с запаздывающей обратной связью где параметры с и Т положительны, нелинейность ступенчатого типа /(б) определяется формулой (2).

В основе исследований лежит специальный асимптотический метод. Суть его состоит в следующем. В фазовом пространстве рассматриваемого уравнения фиксируется, исходя из специфики задачи, множество начальных функций С(АГ), зависящее от некоторого параметра N. Затем последовательно при £ Е [О, Г], £ Е [Т, 2Т],. анализируется асимптотика всех решений с начальными условиями из С'(А^). После этого удается определить некоторый оператор П (типа оператора последова-ния Пуанкаре) так, что каждое решение из С(АГ) в некоторый момент + х = - Г)) + е{у - х),

У + У = - т)) + £ос(х - у)

13) и х + сх + X = - Т))

15) времени попадает в С(Л^). Как оказывается, значение N с точностью до некоторых асимптотически малых величин аналитически выражается через N : N = После этого задача о динамике рассматриваемых решений сводится к динамике отображения ТУ = С(М). Отметим, для примера, что периодическим траекториям этого отображения отвечают периодические решения исходного уравнения той же устойчивости.

В качестве основных результатов предъявлены аттракторы и для них получены асимптотические формулы. Отметим, что в одних случаях соответствующие решения являются близкими к гармоническим, а в других - к релаксационным, т.е. имеющим ярко выраженную импульсную структуру.

Исследование динамики уравнения (15) состоит из трех частей.

В первом разделе третьей главы изучается асимптотика простейших аттракторов при малых значениях параметров а и Ь

Производя в уравнении (15) замену х = Аж, приходим к уравнению а — а\ 1 (0 < а < 1), Ь = А

-1 где А > 1. х + сх + х = АФ(ж(£ - Т))

16) в котором

Ф(з) = с2 > 4

17) и с2 < 4.

18)

В случае выполнения неравенства (17) корни характеристического многочлена уравнения х + сх + х = 0 вещественны, а в случае выполнения условия (18) эти корни являются комплексными.

В случае (17) справедлива

Теорема 5. При достаточно больших X уравнение (16) имеет экспоненциально орбитально устойчивое периодическое решение х${Ь) с периодом Т(А) = 0(1пЛ); амплитуда решения имеет порядок О (X).

Отсюда следует вывод: для уравнения (16) при больших Л значение времени запаздывания существенной роли не играет. Однако, следует иметь в виду, что значения Л, при которых начинает "работать" теорема 5, резко увеличиваются, если параметр Т велик или, наоборот мал.

В случае (18) поведение решений (16) существенно сложнее по сравнению с тем, которое имело место в случае неравенства (17). При этом естественным образом вводятся классы быстро осциллирующих и медленно осциллирующих решений. Рассмотрим отдельно каждый из них.

Сначала приведем результаты для наиболее простой ситуации, когда запаздывание Т невелико:

Ту/4 - с2 < тт.

Здесь аналитическими методами построено отображение г = определяющее при достаточно больших Л структуру аттрактора уравнения (16).

Теорема 6. Пусть отображение х — С (г) имеет грубый цикл. Тогда при достаточно больших X уравнение (16) имеет периодическое решение х(Ь) той же устойчивости, причем амплитуда имеет порядок О(А1//2), расстояние между соседними экстремумами имеет порядок 0( 1).

Будем полагать, что для некоторого целого т > 1 выполнены неравенства т - 1)7Г < IV4 - с2 < ттг. (19)

В этом случае не существует медленно осциллирующих решений уравнения (16). Основное отличие решений х(Ь) при условиях (19) состоит в том, что на каждом отрезке длины времени запаздывания функция х(Ь) имеет не менее (т — 1) нулей. Показано, что структура аттракторов (16), состоящих из быстро осциллирующих решений, описывается (2га + 1)-мерным отображением.

Отметим, что динамика уравнения (16) при достаточно больших Л может быть довольно сложной: при наличии осцилляции в линейной части уравнения могут возникать как периодические (с различными периодами), так и хаотические аттракторы.

Во втором разделе главы рассматривается асимптотика простейших аттракторов при больших значениях запаздывания Т. Результаты первой главы обобщены на уравнение второго порядка. Необходимым условием такого обобщения является отсутствие осцилляции в линейной части уравнения, т.е. условие с2 > 4.

Основное предположение, при котором здесь исследуется уравнение (15), заключается в том, что параметр Т является достаточно большим:

Т» 1.

Остановимся на изучении лишь самых простых решений уравнения (15) -решений "импульсного" типа, т.е. имеющих один всплеск на некоторых отрезках длины 1.

Построено одномерное отображение 2 = С(^), описывающее при достаточно больших значениях Т динамику решений уравнения (15) и определены условия, при которых это отображение может иметь как стационарные, так и периодические решения. Справедлива

Теорема 7. Пусть отображение г = С(г) имеет грубый цикл периода к. Тогда при достаточно больших значениях времени запаздывания Т уравнение (15) имеет периодическое решение той же устойчивости с периодом кТ + о(1).

По сравнению с уравнением первого порядка (1), в уравнении второго порядка при достаточно больших значениях времени запаздывания область существования импульсных решений существенно шире.

Отметим еще, что при условии с2 < 4 режимов, указанных в этом разделе существовать не может, т.к. количество импульсов или всплесков на отрезке длины запаздывания у всех решений, кроме стремящихся к нулю, неограниченно растет при Т —> оо.

В третьем разделе уравнение (15) исследуется при условии малости параметра с, характеризующего затухание линейного осциллятора (потери):

Х + £Х + Х = ¡(х(1-Т)), 0<£<1. (20)

В первом пункте раздела изучен вопрос существования периодических решений уравнения (20), амплитуды которых неограниченно растут при £ —>• +0. При этом отдельно рассмотрены медленно и быстро осциллирующие решения.

Установлено, что уравнение (20) не имеет медленно осциллирующих решений большой амплитуды, но может иметь нетривиальные решения сложной структуры с относительно небольшой амплитудой. Однако, если вместо нелинейности f(x) рассматривать функцию —/(ж), то при достаточно малых £ уравнение (20) имеет устойчивый цикл (близкий к гармоническому), для которого амплитуда г определяется формулой

Г = [(е^-НЬ-а^втТ]173 [1 + о(е1/3)" .

Для быстро осциллирующих решений построено отображение, определяющее их динамику. Результаты численных экспериментов позволяют сделать вывод, что это отображение имеет устойчивую неподвижную точку. Следовательно, уравнение (20) имеет устойчивый цикл (близкий к гармоническому).

Второй пункт посвящен случаю, когда параметры а и b в нелинейности f(x) близки, т.е.

Ъ — а = е 0 < е < 1.

В плоскости параметров а и Т определена область, в которой специально сконструированное отображение, определяющее динамику решений уравнения (15) при достаточно малых £, имеет неподвижную точку, а, следовательно, уравнение (20) имеет периодическое решение.

В третьем пункте третьего раздела исследуется уравнение (15) со слабой нелинейной обратной связью. Рассмотрим уравнение х + ex + х — ef(x(t - Г)), 0 < е < 1. (21)

Используя стандартные методы будем искать близкие к периодическим решения уравнения вида (21) в следующей форме: x(t, е) = (Ç(et)eH + + exi + 0(е2), (22) где функция х\ = х\(f, et) периодична по первому аргументу. Подставляя (22) в уравнение (21) и собирая слагаемые при г, приходим к условию существования периодических по t решений:

2г£ + г£ = <?«,£), (23) где т = et,

-, 2тг

G«, Ô = —/ + fe-'^e-* dt. (24)

Будем искать простейшее периодическое решение £(т) в виде />е'Ъг, (25) где р и а вещественны и р > 0. Тогда, используя тот факт, что подынтегральное выражение в (24) периодично по t с периодом 2тг, с помощюь замены переменной в интеграле убеждаемся, что = emrG(p, р).

Подставляя выражение (25) в уравнение (23) и приравнивая действительные и мнимые части, получаем систему уравнений для нахождения р и а

-р = 1т £(/>,/>), ^

2 ра =КеС(р1р).

Система (26) всегда разрешима и может иметь одно или три решения. Отметим, что решение уравнения (20), соответствующее нулевому значению р, является устойчивым. В случае наличия двух нетривиальных решений первого уравнения системы (26) р\ < р2 решение уравнения (20), соответствующее р\ является неустойчивым, соответствующее р2 -устойчивым.

В приложении приведены результаты исследования особенностей динамики одномерных кусочно-линейных разрывных отображений с одной точкой максимума / : [0,1] —> [0,1]: , \ Ь(х)=1х + а, ж €[0,6], ( /2И =рх -р, X £ (6, 1).

Параметры /,р предполагаются принадлежащими области п = {(/,р):/е[0,1],ре (-оо,-1)}.

Параметр £ = /е(6 — 0) — $£(Ъ + 0), определяющий величину разрыва, удовлетворяет соотношению — 1 < £ < 1. Учитывая, что / : [0,1] [0,1], числа а и Ъ определяются через 1,р и е, исходя из (27), по формулам: а = <; 1 1 Ъ

1-/(1 + £), е<о,

1 +

1 + £<0. р;

Как оказалось наличие разрыва вносит существенные особенности в бифуркационный анализ, причем бифуркации в случаях е > 0 и е < О являются существенно различными. Рассмотрим отдельно каждый из случаев.

Случай е > 0. Для отображения /£ получим условия существования и устойчивости циклов {.i'i,., хп} п = 2,3,. периода п, таких что

Х{ <! i — 1,., п 1, f{%n) —

Будем обозначать циклы такого типа Отметим, что речь идет о таких циклах периода п, у которых п — 1 последовательных значений монотонно возрастает. Положим i т+1

Lra = l + / + ¿2 + . + /"= .

Утверждение 1. Цикл 7П существует тогда и только тогда, когда

-1/1 ^ / /-i ч-^п-2

Ом является притягивающим в том и только в том случае, когда

P>-j¿т

Основное отличие от непрерывного (при е = 0) случая заключается в том, что при г > 0 могут существовать одновременно два устойчивых цикла.

Утверждение 2. При I < £ в плоскости параметров 1,р существует бесконечно много областей устойчивости одновременно двух циклов, причем периоды этих циклов отличаются на 1.

Случай £ < 0. Отметим, что при р < £~1 отображение имеет глобально устойчивое состояние равновесия.

Утверждение 3. При £ < —0.25 отображение не имеет циклов типа 7П. При —0.25 < £ < 0 циклы существуют при выполнении неравенств max{e1, (1 + /TRi)^)"1} <р< min{-l, (1 - УТТ^)^)"1}. и Ln-2 ¡n-2

Численными методами установлено, что в отображении может существовать только либо хаос, либо один цикл, либо два цикла, периоды которых отличаются на 2.

Основные результаты и выводы

Аналитическими и численно-аналитическими методами исследуется нелокальная динамика важных для приложений классов дифференциальных уравнений первого порядка с нелинейной (релейной, ступенчатой и импульсной) запаздывающей обратной связью. Подход, основанный на асимптотическом анализе, позволил проанализировать аттракторы, состоящие из решений импульсного типа. Получены численные характеристики нерегулярных колебаний и прослежена их зависимость от величины запаздывания.

Исследован вопрос о синхронизации решений систем из двух простейших автогенераторов с четырьмя типами связи (диффузионными и через нелинейность). Получен критерий "быстрой" и "медленной" синхронизации решений.

При значениях коэффициента связи, близких к критическому в системе (6) возникают нерегулярные колебания, тогда как в общем случае (при условии диссипативности системы) устойчивым режимом является неоднородный цикл.

Проведен сравнительный анализ динамики решений систем дифференциальных и разностных уравнений. Выявлены и проанализированы отличия и сходства.

Устойчивость однородного цикла в системах (5) и (6) изучена асимптотическими методами.

Для дифференциального уравнения второго порядка в пространстве параметров выделены ситуации, допускающие аналитическое исследование динамики решений. Разработанные аналитические методы примейены для анализа этих ситуаций. Наряду с простыми режимами обнаружено многообразие сложных динамических структур. Результаты численных исследований подтверждают асимптотический анализ.

На защиту выносятся следующие положения.

1) Результаты исследования нелокальной динамики дифференциальных уравнений первого порядка с нелинейной (релейной, ступенчатой и импульсной) запаздывающей обратной связью.

2) Аналитическое и численное исследование явления синхронизации решений в системах из двух дифференциальных уравнений первого порядка с релейной запаздывающей обратной связью и в системах из двух разностных уравнений с различными типами связи.

3) Результаты аналитического исследования асимптотики решений дифференциальных уравнений второго порядка с запаздывающей обратной связью ступенчатого типа.

Заключение

В работе аналитическими и численно-аналитическими методами исследуется нелокальная динамика важных для приложений классов дифференциальных уравнений первого порядка с нелинейной (релейной, ступенчатой и импульсной) запаздывающей обратной связью. Подход, основанный на асимптотическом анализе, позволил проанализировать аттракторы, состоящие из решений импульсного типа. Получены численные характеристики нерегулярных колебаний и прослежена их зависимость от величины запаздывания.

Исследован вопрос о синхронизации решений систем из двух простейших автогенераторов с четырьмя типами связи (диффузионными и через нелинейность). Получен критерий "быстрой" и "медленной" синхронизации решений.

При значениях коэффициента связи, близких к критическому в системе (2.3) возникают нерегулярные колебания, тогда как в общем случае (при условии диссипативности системы) устойчивым режимом является неоднородный цикл.

Проведен сравнительный анализ динамики решений систем дифференциальных и разностных уравнений. Выявлены и проанализированы отличия и сходства.

Устойчивость однородного цикла в системах (2.1) и (2.3) изучена асимптотическими методами.

Для дифференциального уравнения второго порядка в пространстве параметров выделены ситуации, допускающие аналитическое исследование динамики решений. Разработанные аналитические методы применсны для анализа этих ситуаций. Наряду с простыми режимами обнаружено многообразие сложных динамических структур. Результаты численных исследований подтверждают асимптотический анализ.

1. Gibbs H. M., Hopf F. A., Kaplan D. L., Shoemaker R. L. Observation of Chaos in" Optical Bistability. // Phys. Rev. Lett.-1981.- V. 46, №7 - P.474.477.

2. Ikeda K. Multiple-Valued Stationary State and Its Instability of the Transmitted Light by a Ring Cavity System. // Opt. Comm.-1979.-V.30,№2 P.257-261.

3. Ikeda K., Daido H., Akimoto 0. Optical Turbulence: Chaotic Behavior of Transmitted Light from a Ring Cavity. // Phys. Rev Lett.-1980.- V 45 №9 P. 709-712.

4. Ikeda K., Kondo K., Akimoto 0. Successive Higher-Harmonic Bifurcations in Systems with Delayed Feedback. // Phys. Rev. Lett.-1982.- V. 49, №20- P. 1467-1470.

5. T. Kilias, K. Kutzer, A. Moegel, W. Schwarz. Electromic chaos generators- design and applications. // International Journal of Electronics, vol. 79, №. 6 P. 737-753, Nov. 1995.

6. T. Kilias, A. Moegel, W. Schwarz. Generation and application of broadband signals using chaotic electrinic systems. // Bifurcation and Chaos: Theory and Application, Akademie Verlag, 1995.

7. A. Moegel, W. Schwarz, S. Kaschenko. Analysis and simulation principles for chaotic systems containing delay elements. // NDES'96, Seville, Spain, 1996, P. 147-151.

8. Ланда П.С. Автоколебания в распределенных системах. М.: Наука, 1983.

9. Дмитриев А.С., Кислов В .Я. Стохастические колебания в радиофизике и электронике. М.: Наука 1989.

10. Марчук Г.И., Петров Р.В. Математическая модель противовирусного иммунного ответа. // Препринт №10, отдел вычислит, математики АН СССР, Москва, 1981.

11. Горяченко В.Д. Исследование динамики численности отдельной популяции с учетом последействия. Краткий обзор. // В сб. Нелинейные колебания и экология. ЯрГУ. Ярославль, 1984, С. 66-83.

12. Горяченко В.Д., Капустин А.Д Прикладные задачи устойчивости систем с запаздыванием. Горький, 1988.

13. Колесов Ю.С. Проблема адекватности экологических уравнений. // Ярославль, 1985, Деп. в ВИНИТИ №1901-85.

14. Ахромеева Т.С., Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г., Самарский А.А. Нестационарные структуры и диффузионный хаос. М.: Наука, 1992.

15. Кащенко С.А., Майоров В.В. Об одном диффенциально-разностном уравнении, моделирующем импульсную активость нейрона. // Математическое моделирование. 1993. Т. 5. №12. С. 47-58.

16. Кащенко С.А., Майоров В.В. Исследование колебаний в кольцевых нейронных структурах. // ДАН России, 1993. Т. 333. №. 5. С,594-597.

17. Кащенко С.А., Майоров В.В. Волновые структуры в клеточной сети из формальных нейронов Хатчинсона. // Радиотехника и электроника. 1995. Т. 40. т. С. 925-936.

18. Эльясберг М.Е. Об устойчивости процесса резания металлов. // Известия АН СССР, ОТН, m, 1958.

19. Клушин М.И. Резание металлов. Машиностроение, М., 1958.

20. Бутузов В.Ф., Васильева А.Б. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. М.: 1973

21. Кащенко С.А. Исследование методами большого параметра системы нелинейных дифференциально-разностных уравнений, моделирующих задачу хищник-жертва. // Докл.АН СССР 1982. Т.266, №4, С. 792-795.

22. Кащенко С.А. Пространственно неоднородные структуры в простейших моделях с запаздыванием и диффузией. // Матем. моделирование, 1990, т.2, №9, С. 29-49.

23. Grigorieva E.V., Kaschenko S.A. Regular and chaotic pulsations in lazer diode with delayed feedback. // Bifurcations and chaos. 3. 1993. №6, P. 1515-1528.

24. Григорьева E.B., Кащенко С.А. Установившиеся автоколебания в лазерах с запаздывающей обратной связью. // ЖЭТФ, 1994. Т.106, вып. 1(7), С. 79-105.

25. Кузнецов С.П. Сложная динамика генераторов с запаздывающей обратной связью (обзор). // Изв.вузов. Радиофизика. 1982. Т.25, №12. С.1410-1428.

26. Дмитриев А.С. Хаос и обработка информации в нелинейных динамических системах. // Радиотехника и электроника. 1993. Т.38. №1. с. 1.

27. Parlitz U., Chua L.O., Kocarev L., Halle К., Shang A. Transmission of Digital Signals by Chaotic Synchronization. // International Journal of Bifurcation and Chaos. 1992. V.2. Ш. p.973.

28. Вельский Ю.Л., Дмитриев А.С. Передача информации с помощью детерминированного хаоса. // Радиотехника и электроника. 1993. Т.38. т. с.1310.

29. Fujisaka Н, Yamada Т., Stability theory of synchronized motion on coupled-oscillator systems. IV. // Progr. Theor. Phys. 1986. V. 6. №5. P. 1087-1104.

30. Арансон И.С., Гапонов-Грехов А.В., Рабинович М.И., Старобинец И.М. Динамическая модель пространственного развития турбулентности. // Письма в ЖЭТФ. 1984. Т. 39. №12. С. 561.

31. Анищенко B.C., Арансон И.С., Постнов Д.Э., Рабинович М.И. Пространственная синхронизация и бифуркации развития хаоса в цепочке связанных генераторов. // ДАН СССР. 1986. Т. 286, №5. С. 1120-1124.

32. Афраймович B.C., Веричев Н.Н., Рабинович М.И. Стохастическая синхронизация колебаний в диссипативных системах. // Изв. вузов. Радиофизика. 1986. Т. 29. №9. С. 1050-1060.

33. Кузнецов Ю.И., Мигулин В.В., Минакова И.И., Сильнов Б.А. Синхронизация хаотических колебаний. // ДАН СССР. 1984. Т. 275. №6. С. 1388-1391.

34. Кащенко С.А. Асимптотический анализ динамики системы из двух связанных автогенераторов с запаздывающей обратной связью. // Изв. вузов, Радиофизика, 1990, Т. 33. №3. С. 307-314.

35. Шалфеев В.Д., Осипов Г.В., Козлов А.К., Волковский А.Р. Хаотические колебания генерация, синхронизация, управление. // Успехи современной радиоэлектроники, №10, 1997г., С.27-49

36. Андронов A.A., Витт A.A. К математической теории захватывания. // Ж. прикладной физики, 1930, 7, в. 4, С.3-20.

37. Майстренко B.JL, Майстренко Ю.Л., Сушко И.М. Бифуркационные явления в генераторах с линиями задержки. // Радиотехника и электроника, 1994, вып. 8-9, С. 1367-1380.

38. Hasler М. Strong and weak forms of synchronization of chaotic systems. // Procedings 5-th International Specialist Workshop "Nonlinear Dynamics of Electronics Systems". Moscow, June 26-27 1997. P.2-7.

39. Шарковский A.H., Майстренко Ю.Л., Романенко Е.Ю. Разностные уравнения и их приложения. Киев: Наукова думка, 1981.

40. Кащенко С.А. Применение метода нормализации к изучению динамики дифференциально-разностных уравнений с малым множителем при производной. // Дифференциальные уравнения, 1989, т. 25, №8, С. 1448-1451.

41. Кащенко Д.С. Синхронизация в системе из двух связанных автогенераторов первого порядка с релейной запаздывающей обратной связью. // Прикладная Нелинейная Динамика, т.5, №2,3 1997г., С.100-117

42. Кащенко Д.С. Динамика автогенератора первого порядка с релейной запаздывающей обратной связью. // Сборник научных трудов

43. Современные проблемы математики и информатики", г. Ярославль, 1997г., С.105-113.

44. Кащенко С.А. Асимптотический анализ динамики системы из двух связанных автогенераторов с запаздывающей обратной связью. // Изв. вузов, Радиофизика, 1990, Т. 33. №3. С. 307-314.

45. Дмитриев A.C., Кащенко С.А. Асимптотика нерегулярных колебаний в модели автогенератора с запаздывающей обратной связью. // Докл. РАН, 1993, т.328, №2, с.134-177.

46. Кащенко С.А. Асимптотика релаксационных колебаний дифференциально-разностных системах с финитной нелинейностью. I. // Дифф.уравнения. 1995. №8, С.1330-1339.

47. Кащенко С.А. Асимптотика релаксационных колебаний дифференциально-разностных системах с финитной нелинейностью. II. // Дифф. у равнения. 1995. №10, С.1968-1976.

48. Kaschenko S.A. Dynamics of tile first order neutral equation with relay feedback. // Procedings 5-th International Specialist Workshop "Nonlinear Dynamics of Electronics Systems". Moscow, June 26-27 1997. P.244-250.

49. Самойленко A.M., Перестюк H.A. Дифференциальное уравнение с импульсным воздействием. Киев.: Вища школа, 1987.

50. Халанай А. Системы с запаздыванием. Результаты и проблемы. // Сб. переводов "Математика" 10:5, 1966, С. 85-102.

51. Потапов А.Б. Программы вычисления корреляционнного показателя и оценки обобщенной энтропии по временному ряду. // Препринт №27, 1991, Москва ИПМ им. М.В.Келдыша АН СССР, 31 с.

52. Mackey M. С., Glass L. Oscillation and Chaos in Physiological Control Systems. // Science.- 1977.- V. 197, №4300.- P. 287-289.

53. Maistrenko Yu.L., Maistrenlco V.L., Chua L.O. Cycles of Chaotic Intervals in a Time-Delayed Chua's Circuit. // International Journal of Bifurcation and Chaos, Vol. 3, №. 6, 1993, p. 1557-1572.

54. Kaschenko D.S. Dynamics of the simplest piecewise linear discontinuous mappings. // Procedings 5-th International Specialist Workshop "Nonlinear Dynamics of Electronics Systems". June 26-27, 1997, Moscow, Russia, P. 458-463.

55. Хэйл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1984.

56. Stokes A. On the approximation of nonlinear oscillation. // Труды 5-й международной конференции по нелинейным колебаниям, Киев, 1970, т. 2, С. 480-491.

57. Кащенко С.А. Сравнительный асимптотический анализ динамики автогенераторов с различными нелинейными запаздывающими связями. // Фундаментальная и прикладная математика, 1999, т. 5, №4, с. 1-27.

58. Кащенко С.А. Сравнительный асимптотический анализ динамики автогенераторов с различными нелинейными запаздывающими связями. // Изв.вузов "ПНД", Т.4, №3, 1996. 15 с.

59. Дмитриев А.С. Кащенко С.А. Динамика генератора с запаздывающей обратной связью и низкодобротным фильтром второго порядка. // Журнал Радиотехника и электроника, 1989, №12. 16 с.

60. Кащенко Д.С., Могель А., Шварц В. Динамика уравнения первого порядка с нелинейной запаздывающей обратной связью. // Известия Российской Академии естественных наук т.2, №3 1998г., С.70-111.

61. Кащенко Д.С., Могель А., Шварц В. Динамика уравнения первого порядка с нелинейной запаздывающей обратной связью ступенчатого типа. // Прикладная Нелинейная Динамика т.6, №6 1998г., С.3-19.

62. Кащенко Д.С. Локальные и нелокальные циклы в уравнении второго порядка с запаздывающей обратной связью. // Известия высших учебных заведений, Математика, №7 1999г. С. 12-22.

63. Баутин H.H., Леонтович Е.А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1976.

64. Шарковский А.Н. Сосуществование циклов непрерывного преобразования прямой в себя. // Укр. мат. жури. 1964. №1. С. 61-71.

65. Maistrenko Yu.L., Maistrenko V.L., Chua L.O. Cycles of Chaotic Intervals in a Time-Delayed Chua's Circuit. // International Journal of Bifurcation and Chaos, Vol. 3, №6, 1993, P. 1557-1572.