автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Стабилизация управляемых динамических систем

На правах рукописи

005057144

Шумафов Магомет Мишаустович

СТАБИЛИЗАЦИЯ УПРАВЛЯЕМЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Специальность 05.13.01 - системный анализ, управление и обработка информации (по прикладной математике и процессам управления)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

1 з ЛЕК 2012

Санкт-Петербург 2012

005057144

Работа выполнена на математико-механическом факультете Санкт-Петербургского государственного университета (СПбГУ).

Научный консультант:

Доктор физико-математических наук, член-корреспондент РАН

Леонов Геннадий Алексеевич (Санкт-Петербургский государственный

университет)

Официальные оппоненты:

Доктор технических наук, академик РАН

Микрин Евгений Анатольевич (Первый заместитель генерального конструктора ОАО РКК «Энергия» им. С.П. Королева)

Доктор физико-математических наук, профессор

Харитонов Владимир Леонидович (Профессор кафедры теории управления факультета Прикладной математики — процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета)

Доктор технических наук, член-корреспондент РАН

Юсупов Рафаэль Мидхатович (Директор Научно-исследовательского

института информатики и автоматизации РАН)

Ведущая организация:

Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН

Защита состоится 26 декабря в 15 часов на заседании диссертационного совета Д.212.232.50 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук, на соискание ученой степени доктора наук при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199034, Санкт-Петербург, В.О., Университетская набережная 7/9. Менделеевский центр.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке им. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета.

Автореферат разослан «. i О » И. О StS^Su 2012г.

Ученый секретарь диссертационного совета

доктор физ.-мат. наук, профессор

Курбатова Г'.И.

АННОТАЦИЯ

Диссертационная работа посвящена исследованию вопросов устойчивости и стабилизации динамических систем, определяемых дифференциальными уравнениями. В ней разработан новый, простой, алгоритм стабилизации по состоянию линейных управляемых систем. Доказаны теоремы, дающие эффективно проверяемые, коэффициентные, критерии стабилизируемости линейных управляемых систем обратной связью с запаздыванием. Получены эффективные частотные критерии устойчивости и стабилизируемости дифференциальных систем с гистерезисными нелинейностями. Исследована задача о переходном процессе и стабилизации динамической системы «машина — регулятор Уатта».

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Одной из важнейших задач теории управления является задача о стабилизации. Интерес к проблемам стабилизации мотивируется как запросами практики управления, так и формулировками открытых проблем многими известными учеными: H.H. Красовским, В.И. Зубовым, У.М. Уонэмом, Д.С. Бернстейном, Р.У. Брокеггом, Дж. Розенталем, Дж. Виллемсом, В. Блонделем, Е. Сонтагом, М. Видясагаром.

Одной из классических задач стабилизации систем была задача о стационарной стабилизации по состоянию линейной стационарной управляемой системы, т.е. поиск соответствующего линейного стационарного регулятора, обеспечивающего асимптотическую устойчивость замкнутой системы. Эта задача, и более общая задача о размещении собственных чисел матрицы (или полюсов передаточной функции), впервые была сформулирована и решена в работах В.И.Зубова и У.М. Уонэма. После выхода этих работ было написано большое количество статей, где предлагались другие, альтернативные к данным Зубовым и Уонэмом, алгоритмы стабилизации. Однако все они достаточно 1ромоздки для вещественного и векторного случая. Предложенные в диссертации алгоритмы стабилизации являются новыми и, на наш взгляд, наиболее простыми.

Вопросы стабилизации, а также смежные с ними вопросы, весьма интенсивно изучались в последние десятилетия и в настоящее время остаются в центре внимания исследователей, результаты работ которых можно найти, например, в статьях и обзорах H.H. Красовского, В.И. Зубова, Е.А. Микрина, P.M. Юсупова, Е.С. Пятницкого, Г.А. Леонова, Б.Т. Поляка, П.С. Щербакова, B.JI. Харитонова, B.C. Антончика, Е.Я. Смирнова, А.И. Кирьянена, А.Г. Александрова, A.B. Назина, М.В.Хлебникова, В.Н.Честнова, И.Я. Каца, Ю.С. Осипова, E.JI. Тонкова, В.А. Зайцева, Э.Г. Альбрехта, Г.С. Шелементьева, С.И. Солодушкина, Ю.Ф. Долгий, И.В. Гайшуна, Д.С. Берн-стейна, В. Блонделя, B.JI. Сирмоса, С.Т. Абдаллаха, П. Дорато, К. Григориадиса. Наиболее эффективные методы и алгоритмы стабилизации разработаны для линей-

ных систем управления. Одной из проблем, стимулировавшей немало публикаций, была сформулированная Р. Брокеттом проблема стабилизации линейной стационарной системы с помощью линейной нестационарной обратной связи. Решение проблемы Брокетта в ряде важных для практики случаев дано в работах Г.А. Леонова и Л. Моро, Д. Аэлса. В этих работах построены алгоритмы низкочастотной и высокочастотной стабилизации линейной стационарной системы. Для двумерных и трехмерных стационарных систем показано, как введение нестационарной обратной связи расширяет возможности стационарной стабилизации. Возникает естественный вопрос: существуют ли иные (кроме нестационарных) способы стабилизации линейных стационарных систем, позволяющие расширить возможности стационарной стабилизации? Приходим к основной задаче в постановке Г.А. Леонова: можно ли ограничиваясь лишь линейной стационарной обратной связью стабилизировать линейную стационарную систему введением запаздывания в обратную связь? Каковы возможности линейной стационарной обратной связи с запаздыванием для стабилизации неустойчивых линейных стационарных систем ? Хорошо известно, что для некоторых классов уравнений при достаточно малых и достаточно больших запаздываниях такая стабилизация невозможна. С другой стороны, мотивацией к исследованию стабилизации путем введения запаздывания в обратную связь явились компьютерные эксперименты К. Пирагоса по стабилизации хаоса - стабилизации неустойчивых периодических орбит, погруженных в странный аттрактор той или иной хаотической системы. В диссертационной работе решена поставленная выше Г.А. Леоновым задача для случая двумерных и трехмерных управляемых систем. В частности, сделан вывод о том, что для обеспечения эффекта Пирагоса необходимо ввести зависящий от времени коэффициент усиления в обратной связи.

Далее, в нелинейной теории колебаний и в теории управления автогенераторами актуальными являются проблемы захватывания частоты автоколебаний внешним гармоническим воздействием. Проблемам захвата различных автоколебательных режимов под частоту внешнего воздействия посвящено немалое количество работ. Одним из важнейших свойств вынужденных периодических процессов является их устойчивость «в целом», когда явление захватывания наблюдается в любом режиме работы автогенератора. Кроме того имеется ряд экспериментальных результатов, показывающих, что различные нелинейные системы, допускающие хаотическое поведение, могут быть стабилизируемы гармоническим или другим периодическим внешним воздействием. В связи с этим весьма актуальной является задача о стабилизации и исследование устойчивости дифференциальных систем с гистерезисными функциями. Последние являются математическими моделями систем автоматического управления, в которых возникает люфт, сухое трение, некоторые приборы имеют зоны нечувствительности, происходит пространственное запаздывание управляющего сигнала. Первые теоретические исследования систем с

гистерезисными нелинейностями появились в 40-е годы в работах A.A. Андронова,

A.A. Фельдбаума и Ф. Краутвига. Ряд результатов по исследованию двумерных систем с гистерезисом был получен также в более поздних работах P.A. Нелепина,

B.В. Казакевича, В.В. Петрова, Г.М. Уланова и др. В этих работах использовались методы фазовой плоскости и точечных отображений, а гистерезисные функции имели «стандартный» вид. Дальнейшее развитие техники требовало создания математических методов глобального исследования многомерных систем с гистерезисом. Такие методы появились в начале 60-х годов вслед за выходом работ В.М. Попова. В последующие годы в работах В.А. Якубовича, Н.Е. Барабанова, А.Х. Гелига, В.А. Брусина, ЯЗ. Цыпкина и др. были получены эффективно проверяемые частотные критерии различных типов поведения решений систем с гистерезисными функциями. Новые методы, развитые в теории абсолютной устойчивости, позволили исследовать системы с гистерезисными нелинейностями, удовлетворяющими достаточно общим ограничениям. В работах В.А. Якубовича, Н.Е. Барабанова, А.Х. Гелига, М.А. Красносельского, A.B. Покровского были даны строгие определения понятия гистерезисной функции, позволяющие обсуждать в общей постановке проблемы существования, единственности, продолжимости решений систем дифференциальных (и интегральных) уравнений с гистерезисом. В диссертационной работе, развивая идеи и методы разработанные В.А. Якубовичем и его учениками для исследования абсолютной устойчивости нелинейных систем, проводится исследование вопросов устойчивости и стабилизации дифференциальных систем с гистерезисными нелинейностями. Далее, в инженерной практике при проектировании различных энергоустановок (например, турбогенераторов) и технических систем, а также анализе и синтезе систем управления такими объектами, возникает задача о проведении нелокального анализа переходного процесса — от запуска машины в начальный момент времени до её выхода в рабочий режим. Математическая постановка этой задачи дана в одной из работ Г.А. Леонова. Формализация указанной выше задачи укладывается при некоторой идеализации в математическую модель работы динамической системы «машина-регулятор Уатта» (точнее, модифицированный регулятор Уатта). В работе Г.А. Леонова проведен нелокальный анализ системы «машина-регулятор Уатта» в предположениях, когда в уравнениях движения угловое ускорение и коэффициент трения являются постоянными, восстанавливающая сила — линейной, а центробежная сила имеет приближенный вид. В диссертационной работе поставленная Леоновым задача решена в общем виде без указанных выше предположений.

Цель диссертационной работы. 1) Разработка нового, простого алгоритма стационарной стабилизации по состоянию линейной стационарной управляемой системы.

2) Выяснение возможностей линейной обратной связи с запаздыванием для стабилизации неустойчивых линейных стационарных управляемых систем.

3) Выяснение вопроса, каковым должен бьггь коэффициент усиления в обратной связи с запаздыванием, что обеспечить эффект Пирагоса для стабилизации хаоса.

4) Получение эффективных частотных критериев устойчивости и стабилизации систем с гистерезисом.

5) Проведение нелокального анализа переходного процесса в динамической системе «машина-регулятор Уатта».

Задачи исследования. В соответствии с целью в работе поставлены и решены следующее задачи:

- построение нового, простого, алгоритма для стабилизации по состоянию линейных стационарных управляемых систем;

- получение необходимых и достаточных условий стабилизируемости двумерных и трехмерных линейных систем обратной связью с запаздыванием;

- получение эффективно проверяемых частотных критериев устойчивости и стабилизации дифференциальных систем с гистерезисными нелинейностями;

- проведение нелокального анализа переходного процесса при включении динамической системы «машина-регулятор Уатта».

Методы исследования. В диссертационной работе применяются методы теории управления конечномерными линейными объектами, методы линейной теории устойчивости дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом, модифицированные частотные методы исследования устойчивости нелинейных систем, модифицированный метод функций Ляпунова, методы классической теории устойчивости.

Научные результаты. На защиту выносятся следующие научные результаты:

1) Новый алгоритм стабилизации по состоянию линейных управляемых систем.

2) Критерии стабилизируемости двумерных и трехмерных линейных управляемых систем обратной связью с запаздыванием.

3) Эффективный частотный критерий стабилизации внешним гармоническим воздействием автономных нелинейных систем, допускающих, в частности, хаотическое поведение.

4) Новые частотные критерии устойчивости дифференциальных систем с гистерезисными нелинейностями.

5) Достаточные условия асимптотической устойчивости динамической системы «машина-регулятор Уатта» с оценкой снизу области притяжения в фазовом пространстве системы.

Научная новизна диссертационной работы заключается в том, что: 1) Разработан новый, простой, алгоритм стабилизации по состоянию линейных стационарных управляемых систем.

2) Получены новые необходимые и достаточные условия стабилизируемости двумерных и трехмерных линейных управляемых систем обратной связью с запаздыванием двух видов: обычной и по Пирагосу.

3) Получен новый частотный критерий стабилизации при помощи внешнего гармонического воздействия автономных нелинейных систем, допускающих, в частности, хаотическое поведение.

4) Получены новые эффективные частотные критерии глобальной асимптотики, абсолютной устойчивости и дихотомичности дифференциальных систем с гис-терезисными нелинейностями.

5) Получено новое достаточное условие асимптотической устойчивости динамической системы «машина-регулятор Уатта».

Достоверность и обоснованность научных результатов. Результаты, полученные в диссертационной работе достоверны и обоснованны, они математически строго доказаны.

Практическая ценность работы. Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты могут быть применены:

1) При проектировании, анализе и синтезе линейных систем управления, при стабилизации хаоса в различных физических и химических системах, в частности, в электронных осцилляторах и лазерных системах.

2) В различных технических системах с гистерезисом, при проектировании энергоустановок, в частности, турбогенераторов.

3) В учебном процессе при изучении курсов «Дифференциальные уравнения», «Математическое моделирование», а также при написании курсовых и дипломных работ.

Реализация результатов работы носит теоретический характер. Результаты исследований нашли свое применение в работах по выполнению Программы фундаментальных исследований Президиума РАН №19 «Управление механическими системами (проект № 1.4), По гранту РФФИ (проект № 04-01-00-250А), по программе «Университеты России», по гранту НШ-2257.2003.1 Совета по грантам Президента РФ для поддержки молодых российских ученых и ведущих научных школ, в лаборатории «Интел» при Санкт-Петербургском государственном университете и в учебном процессе Адыгейского государственного университета.

Вклад автора в разработку проблемы. Все основные результаты диссертационной работы получены автором самостоятельно.

Апробация работы. Основные положения диссертации докладывались на научных конференциях, в том числе международных, и обсуждались на научно-исследовательских семинарах. В частности,

- на научно-исследовательском семинаре по теории управления при кафедре теоретической кибернетики в Санкт-Петербургском государственном университете (руководитель чл.-корр. РАН, профессор Г.А. Леонов);

- на научно-исследовательском семинаре по динамическим системам и теории управления в Адыгейском государственном университете (г. Майкоп; руководители: профессор К.С. Мамий, доцент М.М. Шумафов);

- на первой научно-практической конференции «Дифференциальные уравнения и их применения» (Санкт-Петербург, декабрь, 1996);

- на международной конференции «Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики» (Нальчик, декабрь, 1996);

- на международной конференции «Control of Oscillations and Chaos» (St. Petersburg, August, 1997);

- на третьей международной конференции «Дифференциальные уравнения и их применения» (Саранск, май, 1998);

- на международной конференции по прикладной и вычислительной математике («International Conference on Applied and Computational Mathematics»);

- на ХП международной конференции «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» (конференция Пятницкого) (Москва, июнь, 2012).

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 28 работ, в том числе тринадцать статей в журналах, рекомендованных ВАК РФ, четыре монографии.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, семи глав, заключения, библиографического списка и содержит 285 страниц текста, в том числе 25 рисунков.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность научной проблемы, разрабатываемой в диссертации, формулируются цель работы, задачи и методы исследований, основные научные положения, выносимые на защиту, оценивается научная и практическая значимость результатов, приводятся сведения о реализации и апробации основных положений диссертационной работы. Дается обзор классических и современных результатов, посвященных стабилизации линейных управляемых систем и устойчивости систем с гистерезисными нелинейностями.

В первой главе формулируются основные определения и приводятся основные факты и положения из теории линейных управляемых систем, теории устойчивости линейных систем с запаздывающим аргументом, теории абсолютной устойчивости систем с гистерезисными нелинейностями, используемые в последующих главах.

Во второй главе рассматриваются вопросы глобальной асимптотики, абсолютной устойчивости и дихотомичности решений дифференциальных систем с гис-терезисной нелинейностью. Здесь получены новые частотные критерии глобальной асимптотики, абсолютной устойчивости и дихотомичности решений рассматривав-

мых систем в случае, когда матрица линейной части система гурвицева (некритический случай). В доказательствах соответствующих утверждений использованы идеи и методы работ В.А. Якубовича, Н.Е. Барабанова и др. Гистерезисные функции, входящие в рассматриваемые системы, могут содержать в отличие от рассматривавшихся в литературе случаев несколько петель, которые обходятся в различных направлениях. На конкретном примере проведен сравнительный анализ полученных результатов с ранее известными. Показано, что в пространстве параметров полученное нами частотное условие выделяет большую область устойчивости, чем известное ранее частотное условие. Сформулируем соответствующие результаты.

Ниже всюду будем придерживаться следующего формального определения гистерезисной функции (В.А. Якубович). Пусть для каждого значения сг0 е (-0°,+°°) задано множество Е[<та] «начальных значений» гистерезисной функции. Пусть далее любому t>0, каждой непрерывной на отрезке [О,/] функции а(т) и любому значению^ е я[сг(0)] сопоставлено число <f{cr, <ра ],, причем i'tcr.folo =iV В этом случае говорят, что при 12: 0 задана гистерезисная функция <р[ст,<р01.

Рассмотрим систему

х — Ах+ет = с'х,

где А - постоянная (лхл) - матрица, Ъ и с- постоянные л-векторы, <Аа,<рй\ - гистерезисная функция.

Под решением системы (1) понимается пара функций (*(0>£(0). 'е [f0,7"], где x(t) - абсолютно непрерывна, а £(<) - суммируемая по Лебегу функция, удовлетворяющая уравнению (1) при почти всех te [t0,T].

Введем передаточную функцию линейной части системы (1)

Х(Л) = с\А-ЛЕГ,Ь.

Предположим, что гистерезисная функция <р удовлетворяет соотношению («условие секториальности»)

0<<r(tMo-,<p0l^fi<r(tf ( 0 < {г S . (2)

Определение 1. Будем говорить, что система (1) обладает глобальной асимптотикой (глобально асимптотически устойчива), если любое ее решение стремится при t —> -к» к некоторому состоянию равновесия.

Определение 2. Система (1) называется абсолютно устойчивой, если 1) для

любого решения х(1) системы (I) Iim x(t) = 0, и 2) существует непрерывная возрастающая функция у (г), зависящая только от А,Ь,с и ц, |i/(0) = 0, такая, что выполнено неравенство |дс(/)| < х(0) I) для любого <р„ е £(<т0), сг0 = с'х(О).

Определение 3. Стационарным множеством системы (1) назовем множество

Л = {(;<:„,£,) :Аг0 +Но =°. <Ас'хй,<р,0], = £,}.

Определение 4. Система (1) дихотомична, если любое ограниченное при t >0 решение стремится при t —» -н*> к стационарному множеству.

Определение 5. Гистерезисная функция ç^a,<pa], обладает свойством предельной непрерывности, если из соотношений <r(t) —> <т. и р[ег,р0], —> <р. при t -> следует, что <р. е В[а. ] и <р(сг.,<р.]: = <р.. (Здесь £[&.] с А -множество, фигурирующее в определении гистерезисной функции)

Теорема 1. (О глобальной асимптотике.) Предположим, что в системе (1) А - гурвицева матрица, гистерезисная функция fier, <ра ], удовлетворяет соотношению (18) и при р = со ограничена, а передаточная функция невырождена. Пусть далее выполнены следующие условия:

1) система (1) диссипативна,

2) существуют числа S > 0,£>0,т>0 и в такие, что выполнено неравенство

т!ц + Re(r + Oi0)z(i6>)-i\icoz(iú>)|2 ¿S Veu>0, (3)

3) существует непрерывная функция F (а) и число v, для которых выполнено неравенство

\ñ<TO),<P0], ~По(!)\ áv|í>t<r,?U!. (4)

4) 4Se>(0v)2.

Тогда для любого решения х(г) системы (1) lim х(/) = 0. Если, кроме этого,

гистерезисная функция удовлетворяет свойству предельной непрерывности, то x(t~) = 0 является стационарным решением системы (1), и тогда система (1) обладает глобальной асимптотикой.

Нижеследующая теорема не предполагает диссипативности системы (1) и усиливает теорему 1.

Теорема 2. (Об абсолютной устойчивости.) Предположим, что выполнены все условия теоремы 1 кроме условия 1), а условие 3) формулируется так: существует непрерывная функция F (а), график которой принадлежит сектору {(<т,£) :0 < Ç/cri /à), удовлетворяющая неравенству (4). Тогда утверждение теоремы 1 остается в силе. Более того, система (1) абсолютно устойчива.

Замечание. Утверждения теорем 1 и 2 остаются справедливыми, если частотное неравенство (3) заменить на частотное условие:

■с!ц + Re(t+Qia>)x(iù>) >)(â+£a2)\z(iù))\2 (Vú> > 0), которое несколько усиливает теоремы 1 и 2.

Сформулируем теперь теорему дихотомичности системы (1) с гистерезисной функцией <d<y,(pa\ в другом классе функций. А именно, пусть функция çfo-,%], удовлетворяет следующим условиям:

1) если функция <J(t)абсолютно непрерывна на [0,+■*>), то и <f{cr,<pa], -тоже;

2) при почти всех te (0,+~) выполнено соотношение

O^^iîA.^l^J^)2 (^>0). (5)

dt dt \ dt )

причем если <j(i) s о, то d$0, <р0 ], /dt s о ;

3) функция обладает свойством предельной непрерывности;

4) если (дс(г), £('))- решение системы (1), то пара функций (*(f+с),£(»+с))- тоже (с = const).

Примером гистерезисной функции удовлетворяющей условиям 1)-4) является, например, люфт.

Теорема 3. (О дихотомичности.) Пусть в системе (1) А гурвицева матрица, гистерезисная функция ç[cr, <ра ], удовлетворяет вышеприведенным условиям 1)-4). Пусть далее выполнены условия 1)-4) теоремы 1. Тогда система (1) дихотомична.

Пример 1. Рассмотрим уравнение второго порядка с гистерезисной нелинейностью

i+û£+/tt+£ = 0/l

где а>0, р>0 - постоянные, а £ = <$_х,<р0], - гистерезисная функция. (Здесь а( 0 = *(')•)

Предложение 1. Если выполнено неравенство

2 «УД

0 < И < 5

|2(«+Д)-а2|

то система (б) обладает глобальной асимптотикой в классе всех гистерезисных не-линейностей фс,(»„],, удовлетворяющих «условию секториальности» (2) и обладающих свойством предельной непрерывности. (Здесь у> 0 - число, фигурирующее в неравенстве (4).)

На примере системы (6) проведен сравнительный анализ результатов, даваемых частотным условием (3) теоремы 1 с одной стороны, и известным частотным условием. Область глобальной асимптотики, выделяемая условием (3) в пространстве параметров шире, чем область, выделяемая известным частотным условием. Пример 2. Рассмотрим систему второго порядка с гистерезисом

¿ = -A-y.l (7)

ay = x-Ç, f = ity.组]„J

где а>0, /7>0 - постоянные, - гистерезисная функция.

Предложение 2. Пусть гистерезисная функция удовлетворяет «усло-

вию секториапьности» (2) и обладает свойством предельной непрерывности. Тогда система (7) обладает свойством глобальной асимптотики, если

2 laß2-Ъ о2 3

У < „ .-сфг>~.

pß(aß7 -\)2 2

С v - число, фигурирующее в неравенстве (4).)

В третьей главе рассматриваются те же самые вопросы, что и во второй главе, в критическом случае, когда одно из собственных чисел матрицы линейной части системы равно нулю. Здесь получены соответствующие частотные критерии устойчивости в критическом случае. Рассматриваются два примера, соответствующие критическому случаю.

Невырожденным преобразованием x = Sz,z = (y,q)' (det S #0) система (1) приводится к виду

у = Py + q£, 7 = "«£

S. (8)

где ye R"~',rje R, P -гурвицева (n-l)x(n-I) -матрица, q,re а и -числа.

Поскольку передаточные функции ¿(Л) и ZiW систем (1) и (8) совпадают, то

Х(Л) = г'(Р- ЛЕ)-1 д+сф/А.

Положим p-r'q-afi. Имеет место следующая теорема.

Теорема 4. (О глобальной асимптотике.) Предположим, что матрица А в системе (1) имеет одно простое нулевое собственное значение, а остальные собственные значения имеют отрицательные вещественные части. Пусть гистерезисная функция ipícr.p,,], удовлетворяет «условию секториальности» (2) и обладает свойством предельной непрерывности.

Пусть далее передаточная функция %(А) системы (1) невырождена и выполнены следующие условия:

]) существуют числа <5>0, £>0, г>0 и в такие, что выполнено частотное неравенство

r/fi+ер1 + 2 Re[r/2+(ер + в1 2)ícü]z(íco) >S+s\p+ioyx(imf Vcu > 0 ;

2) существует непрерывная функция F(a), для которой при некотором v>0 выполнено неравенство

\<А<т,<р0], - F(a(t))\ < v\<f{ff,tp0],|,

причем ^F(a)dcr < ;

о

3) 4&>(0v)2.

Тогда система (1) обладает глобальной асимптотикой.

Теорема 5. (О дихотоминности.) Пусть выполнены все условия теоремы 4,

кроме условия сходимости интеграла jF(a)da. Тогда система (1) дихотомична.

о

Рассмотрим теперь случай, когда гистерезисная функция не удовле-

творяет «условию секториальности» (2), но удовлетворяет условию (5).

Теорема 6. (О глобальной асимптотике.) Пусть в системе (8) матрица Р -гурвицева, гистерезисная функция (¡\а,<рй\ ограничена, удовлетворяет условию (5), обладает свойством предельной непрерывности и такова, что существование предела lim pfo\ç>0], = 0 влечет существование конечного предела lim <j(t) = сг_.

1 »|пя »и- 00

Пусть далее пара (P,q)управляема и выполнены следующие условия:

. а) существуют числа S>0, е> О, т ä О и в такие, что справедливо частотное неравенство

0Re£(i®) —e|#k(i'û>)|2 -rReiaK(iûj)+fi~l6)2 >S Voie R, где KU) = r'P(P-ÀE)-lq-p, p - r'q- aß.

b) выполнены условия 2) и 3) теоремы 4.

Тогда система (1) обладает глобальной асимптотикой.

Примеры. 1 .Рассмотрим уравнение

x+ccï+Ç = 0, ¿¡ = ф,р0],, (9)

где а>0 - постоянное число, а 4 = <Ро], - гистерезисная функция. Применим к системе (9) теорему 4.

Предложение 3. Система (9) обладает глобальной асимптотикой в классе всех гистерезисных функций удовлетворяющих «условию секториально-

сти» (2), если выполнено неравенство а > vjji, где у е (ОД).

Применяя к системе (9) теорему б, получаем следующее Предложение 4. Система (9) обладает глобальной асимптотикой при всех а > О, если гистерезисная функция <ftcr,<p0\, удовлетворяет всем условиям, приведенным в теореме 6.

2. Рассмотрим систему

y = -ylT + qÇ, <j=ry + ßr]A 7 =-of, £ = <p[a,ç>0)„

где у,Я; ц, г, аи р-числатакие,что г*ч = у-\, сф = уТ-(1-у), Т>0,0<у<1.

Применяя к системе (10) теорему 4 и 6, получаем следующие утверждения.

Предложение 5. Пусть гистерезисная функция р[сг,р„], удовлетворяет «условию секториальности» (2). Тогда система (10) обладает глобальной асимптотикой, если выполнены неравенства

уГ>1-у, 0<у <2/в', где в' = тах^,,/^,^), ^ =(1-1///-

= Г2(1-г)а+2(1-7Г2) + Г(1-у)-2//< _Т(1-г) + Тг-1//1 + 1 1 + ут • Р* т

Предложение 6. Пусть гистерезисная функция удовлетворяет всем

условиям, приведенным в теореме 6. Тогда система (10) обладает глобальной асимптотикой, если выполнено неравенство уТ > 1 - у.

В четвертой главе рассматривается задача о стабилизации систем с гистере-зисными нелинейностями гармоническим внешним воздействием. Проблемы захватывания частоты автоколебаний внешним гармоническим воздействием являются классическими в нелинейной теории колебаний и теории управления автогенераторами (работы А.А. Андронова, А.А. Витта, В.А. Плисса, В. Линдсея и др.). Одним из важнейших свойств вынужденных периодических процессов является их устойчивость «в целом», когда явление захватывания наблюдается в любом режиме работы автогенератора. Кроме этого имеется ряд экспериментальных результатов, показывающих, что различные нелинейные системы, допускающие хаотическое поведение, могут быть стабилизируемы гармоническим внешним воздействием (работы Е.Н. Дудника, Ю.И. Кузнецова, И.И. Минакова, Ю.М. Романовского, П.С. Ланда, А.Ф. Ольховой, С.М. Перминова, В.В. Мигулина, Б.А. Сильнова и др.).

В настоящей главе нами получен частотный критерий гармонической стабилизации систем с гистерезисными нелинейностями. Этот критерий может быть применен к анализу захватывания как автоколебаний, так и хаотических режимов.

Рассматриваемая система имеет вид

¿(Ое^а-.РоЦ

где д:(!)е Я"- вектор состояния, Я- вход, сг(г)е я-выход, гистерезис-

ная функция, Л - вещественная постоянная (пхл) - матрица, Ь,се Я" - постоянные векторы, а,у -'положительные числа. (Знак * означает операцию'транспонирования.)

Пусуь гистерезисная функция удовлетворяет следующим условиям:

1) существуют константы <г,,<т2 е Л такие, что

о^^ми.^У^У (12)

Л Л V Л)

для почти всех I, для которых ст(0 б [сг,, сг2 ]; 2) справедливо неравенство

Л

dt

для почти всех г ;

3) функция q{a,ipa\ ограничена

\<ft<r,<p0l\ S!

для всех t и <т(0. Здесь - некоторые положительные числа. Введем передаточную функцию системы (11)

х(р) = с*(А-рЕГ1Ь

и следующие обозначения:

-н-

(14)

р - Jim рх(р) =-c*b; Т - —

р-*~ у

1 1-Г"

ЩХ^Щ

o\xiivi

Здесь предполагается, что

|о-,-*г|< фг(»>)|, |<т2 + < а)дг(/1')|. (15)

Будем предполагать, что матрица А гурвицева. Тогда ясно, что *•<+<».

При любых начальных данных /0,х0,£0 решение системы (11) существует и продолжимо на полупрямую [г0,+ °°]. Число Т является оценкой сверху наибольшего возможного времени пребывания решения х(0 системы (11) в полосе {лIа, <с*х<ст2] при достаточно больших I. Сформулируем основную теорему.

Теорема 7. Пусть в системе (11) гистерезисная функция <р{<т, <ра ], удовлетворяет условиям (12)-(14). Если при некоторых числах д1 >0,<У2 >0 и Л> 0 выполнены следующие условия:

1) все полюсы передаточной функции х(р-А) имеют отрицательные вещественные части;

2) при всех а > 0 выполнено неравенство

1/// + Лех0й>-Л) - б^хЦа) - Л)2-6г\{Но-Х)хЦ<о-Х)-$ ¿0;

3) выполнены неравенства: ■

—1-г < 1, —;-г<1, даЫи'Ьад,

а\хт\ 1 1 11

где сг, и о' соответственно левый и правый концы интервала {&.,<?') оси а, на которую проецируется петля графика гистерезисной функции ?>[<7, <?„],,'

4) выполнено неравенство

г*

л1 > I -. ,

то для любых двух решений х,(/) и х2(1) системы (11) справедливо предельное соотношение

Нт^О-^М^О. (16)

Более того, существует 2л IV - периодическое решение х0(г) системы (11), к которой стремятся при г —» -н*> все другие решения системы (11).

Последнее утверждение теоремы 7 адекватно захватыванию под частоту внешнего гармонического воздействия. Очевидно, что при достаточно малых ц и достаточно больших а для некоторых 6, > О, <У2 > О, Я > 0 выполнены все условия теоремы 7. Следовательно, при малых ц внешнее гармоническое воздействие с достаточно большой амплитудой а стабилизирует систему (11). Для случая /1 = 0 соотношение (16) выполнено, если

где Х^ = |Яс р.| / 2( р. — ближайший к мнимой оси полюс передаточной функции х(Р)) и

А(Х) - тах]х(1а>-Л)]г, В(Я) = тах|(/<у - Л)хОса-Я)-/А1. (17)

«го1 1 »¿о1 1

Пример 1. Рассмотрим уравнение автогенератора с гистерезисом, на который действует внешняя периодическая сила:

<т(/)+а о-(/) + <7(0 + ^<Т,<Ро]' = а хт V г, (18)

где <ра ], - гистерезисная функция, а - константа. Из теоремы 7 следует следующее

Предложение 7. Предположим, что а>0 и гистерезисная функция <р\<У,<р0\ удовлетворяет условиям (12)-(14), где ц = 0. Если выполнено неравенство аж

■ >к

8

. ог+ц . сг,-д агсвт —г—-Ч - агсвт - -

фг(<>)| фгО» |

д^81^1 + аг(ал/4-а2)~', а/4,

в случае 0 < а < 2, и неравенство

■>к

. сг2+ г . а,- г агсвт —г-г ~ агс8т -

г = + + — 4)"1 , ^

в случае а >2, то в любом режиме работы автогенератора, описываемого уравнением (18), будет наблюдаться явление захватывания под частоту внешнего периодического воздействия. ( Здесь А(Л) и В(Л) - числа, определяемые (17).)

Пример 2. Рассмотрим систему уравнений, описывающую динамику автогенератора радиодиапазона с гистерезисом

rj-2htj+r} + g<T^0, «т = 7-/[сг,/Д -arsinvr,

где g,h,a,v - положительные константы, е - малый положительный параметр, гис-терезисная функция /[<т,/0], имеет вид

/fo/ol, = та+№,?„),,

причем т > 0, g > 2hm, гистерезисная функция <$.о,<р0\ удовлетворяет условиям (12)-(14) с p-Q. Введем обозначения: А(р) = рг - 2Ар+1, Г- (g - 2mA) / 4m, если g < 2m(h +1)

-(g-2mA)/4m + -J(g-2mh)J/16m-l/4, если g>2m(h + \)

M = max

flfiO

N = max

aÄO

e[e(io>-Л„) + m]k(ia)-Av)+tg(ia)-Av)

Предложение 8. Если выполнено неравенство

лАъ IV > кТ^\мк2 -1|, (20)

то для системы (19) при достаточно малых е>0 имеет место явление захватывания в классе всех гистерезисных функций <р0 ],, удовлетворяющих условиям (12)-(14), где // = 0,

Рассмотрим случай достаточно большой амхшитуды а внешнего гармонического воздействия. Тогда

Тг; 1 <тг-<г, +2x1

~ у <фг0>)|

и вместо условия (17) будем иметь следующее условие стабилизации системы (19)

k(cr2 - er, +2k1)Jn а>-7—,— —г

Mk-1

Предложения 7 и 8 являются обобщениями на класс гистерезисных функций соответствующих утверждений, доказанных Г.А. Леоновым для однозначных непрерывно дифференцируемых функций р(о).

В пятой главе разрабатывается новый алгоритм стабилизации линейных систем управления. Здесь дано новое, элементарное, доказательство теоремы о ста-

бшшзации линейного объекта управления по полному выходу. В ходе доказательства теоремы дан конструктивный метод построения стабилизирующего регулятора и = Кх, дающего к тому же заданное расположение корней характеристического полинома (задача о размещении полюсов — «pole assignment problem»). Предложенный алгоритм построения стабилизирующей матрицы К является наиболее простым и «экономным» из существующих, он удобен и эффективен с вычислительной точки зрения и предполагает лишь повторение по существу одной единственной операции - приведения матрицы к треугольной форме (например, к жордановой нормальной форме). Вместе с элементарным доказательством теоремы о приведении матрицы к жордановой нормальной форме, данным А.Ф. Филипповым, предложенное нами доказательство теоремы о стабилизации по состоянию становится элементарным в полном смысле слова.

Рассматривается задача о статическом регуляторе по полному выходу для линейной системы

x = Ax+Bu,xsR",ueRm (21)

где АиВ - вещественные постоянные матрицы размеров пхп и пхт соответственно.

Требуется найти вещественную (тхл) - матрицу К такую, чтобы система (21), замкнутая обратной связью и = Кх, оказалась бы асимптотически устойчивой, т.е. чтобы матрица А+ВК была бы гурвицевой.

Решение выше сформулированной задачи дает следующая

Теорема 8 (об управлении спектром матрицы). Пусть АиВ — любые вещественные (пхп) —, (лхт) - матрицы такие, что пара (А, В) полностью управляема, и с. С - произвольный набор комплексных чисел, замкнутых относительно

операции комплексного сопряжения. Тогда существует вещественная (тип) -матрица К такая, что спектр а(А+ВК) матрицы А+ВК совпадает с набором \mX-i' =

Теорема 8 была впервые доказана для частного случая т = 1 Дж.Е. Бертрамом в 1959 году, используя метод корневого годографа. Этот же случай рассматривали также Р. Калман, Дж. Риссанен и X. Розеиброк. Для случая т > 1 частные результаты были получены В.М. Поповым, С.Е. Лангенхопом, Дж.О. Симоном и С.К. Миттером, П.А. Бруновским.

Впервые полное доказательство вышеприведенной теоремы об управлении спектром матрицы было дано В.И. Зубовым (1966). (В зарубежной англоязычной литературе первенство незаслуженно приписывается У.М. Уонэму (1967)). Позже в своей работе 1967 Уонэм сформулировал проблему управления спектром матрицы

(pole assignment problem) и в этой же работе дал другое, отличное от доказательства В.И. Зубова, доказательство сформулированной теоремы. После выхода работ Зубова и Уонэма было написано немалое число работ, в которых предлагались другие, альтернативные, доказательства теоремы 8. Однако следует отметить, что все известные доказательства теоремы 8 достаточно громоздки для вещественного векторного случая (т > 1). Предложенное нами доказательство является полным и наиболее простым. Проблема управления спектром матрицы систем с неполной обратной связью также рассматривалась многими авторами, обзоры работ которых можно найти, например, в статье Б.Т. Поляка и П.С. Щербакова. Задача об управлении решениями линейного дифференциального уравнения рассматривалась в работах И.Н. Сергеева.

В шестой главе разрабатывается алгоритм стабилизации двумерных и трехмерных линейных стационарных управляемых систем с помощью обратной связи с запаздыванием. Мотивацией к исследованию стабилизации путем введения запаздывания явились компьютерные эксперименты К. Пирагоса (К. Pyragas) по стабилизации хаоса - стабилизации неустойчивых периодических орбит, погруженных в странный аттрактор той или иной хаотической системы. Здесь, в третьей главе, получены необходимые и достаточные условия стабилизируемости неустойчивых двумерных и трехмерных систем с постоянными коэффициентами путем введения обратной связи с запаздыванием. При этом рассматриваются два вида запаздывания в обратной связи: обычная и по Пирагосу. Доказанные теоремы в целом хорошо иллюстрируют эффективность введения запаздывания в обратной связи для стабилизации линейных управляемых систем. Результаты получены на основе D—разбиения пространства параметров рассматриваемых систем. Они позволяют сделать вывод о возможностях линейной стационарной обратной связи с запаздыванием для стабилизации линейных неустойчивых стационарных систем. Оказывается, что как для обычной обратной связи с запаздыванием, так и для обратной связи по Пирагосу линейная система в седловом случае не является стабилизируемой ни при каком постоянном коэффициенте усиления и ни при каком запаздывании. Поэтому для обеспечения эффекта Пирагоса необходимо ввести зависящий от времени коэффициент усиления в обратной связи. Приведем основные результаты.

Рассмотрим линейную стационарную систему

¿(») = Адс(0+Ьи(0, у(0 = сх(0 (22)

где x(l)e R "- вектор состояния, и(!)е R- управление (вход), y(t)e R -.выход, А -вещественная постоянная матрица размера пхп, Ь и с — соответственно вектор-столбец и вектор—строка размерностей п.

Рассмотрим два способа введения обратной связи с запаздыванием: обычная

»(г) = ky(t - г) (23)

и по Пирагосу

и(0 = *[>•('-f)-y(')]. (24)

где k*0nz>0- варьируемые параметры.

Основная задача: требуется найти значения параметров кит такие, чтобы замкнутая система (22),(23)/(22),(24) оказалась асимптотически устойчивой.

Здесь основная задача решается для случая двумерных и трехмерных управляемых систем.

Предложение 9. Пусть в (22) л = 1 и Л > 0. Тогда систему (22) невозможно стабилизировать обратной связью Пирагоса (24) ни при каких значениях параметров к и г > 0, а обратной связью (23) — можно: областью стабилизации является интервал 0 < А < 1/г.

Двумерные системы. Пусть в (22) л = 2 и систему (22) можно привести к следующему виду

xi(t)-x2(t), i3(f) =-а, jc,(/)-<32 Jt2(f)-u(/), y(t) rrc.JT.ÍO + CjXjW, (25) где а,, а2; с,, сг - вещественные параметры.

Возможны три случая: 1) с, ф 0, сг - 0, 2) с( = 0, сг ф 0 , 3) с, * 0, сг * 0 .

Теорема 9. Пусть в системе (25) с, Ф 0 (с, := 1), с2 = 0. Для того чтобы система (25) была стабилизируема обратной связью (23) необходимо и достаточно, чтобы

а, £ 0, а2 > О или а, > 0, а2

Теорема 10. Пусть в системе (25) с, * 0 (с, — 1), с2 = 0. Для того чтобы система (25) была стабилизируема обратной связью (24) необходимо и достаточно, чтобы а, >0.

Теорема 11. Пусть в системе (25) с, = 0, с2Ф0 (с2 ~ 1). Тогда необходимым и достаточным условием стабшизируемости системы (25) обратной связью (23) является выполнение неравенства а, > 0.

Теорема 12. Пусть в системе (25) с, =0,с2 (с2 :=1). Тогда для стабшизируемости системы (25) обратной связью (24) необходимо и достаточно, чтобы

a¡ >0, а2 >0 или аг SO, а, > кгага\/16,

где <т= min (cos а+sin a ta) (er ~ -1,0419).

ае[0,2х]

Для системы (25), где aí =1, аг =-d, с, =0, с2 =1, интервал стабилизации для параметра d\ 0<d <4/я\а\, даваемый теоремой 12, хорошо согласуется с интервалом стабилизации 0<d< 1,216, полученным Пирагосом с помощью компьютерного эксперимента.

Теорема 13. Пусть в системе (25) с, с2 (с2 :=1). Тогда для стабилизи-руемости системы (25) обратной связью (23), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось хотя бы одно из условий:

а) с, >О, Ъ) с, <0, с1а2<а1<.О, с)с,<0, а, >0, с,а2 <^0,(0, + 2с,2). Нижней границей области стабилизации в плоскости параметров (а,,а2), определяемой условием с) теоремы 13, является ветвь параболы

(а, +с1)2/с' -а\!с\ =1

с асимптотой а, =с,а2 -с,2.

Теорема 14. Пусть в (25) с, *0,с2 (с2 :=1). Тогда для стабилизируемости системы (25) обратной связью (24), необходимо и достаточно выполнение хотя бы одного из условий:

а) с, >0, а, >0 или Ь) с, <0, а, >0, а2 >с,.

Рассмотрим вопрос о стабилизации системы (22), где п = т-2, В = Е (Е - единичная (2x2)- матрица), посредством полной обратной связи по Пирагосу

и(0 = /ф«-г)-л:(0]. (26)

Здесь К - варьируемая (2x2)- матрица, а г>0 - скалярный параметр (запаздывание). Пусть

йа(АЕ - А) = Я2 + а2Х + а, (а,,а2 є Л) - характеристический полином матрицы А.

Теорема 15. Для стабилизируемости системы (22) (п = т = 2, В = £) обратной связью (26) необходимо и достаточно, чтобы а, >0.

Трехмерные системы. Пусть в (22) л = 3 и систему (22) можно привести к следующему виду

і,(г) = лґ2(і), хг{І) = хг(і), х,(о = -а,*,(г)-а2х2(/)-а3д:3(г)-и((),1

= с,дг, (0 + сЛ (г) + с}хг 0),}

где а„ с,. (і = 1,2,3) - вещественные параметры. Справедливы следующие теоремы.

Теорема 16. Пусть в системе (27) с, *0 (с, — 1), с2 =с3 =0. Тогда для стабилизируемости системы (27) обратной связью (23) необходимо и достаточно, чтобы а2>0,а3>0 или а2 <0, а3 >0, а\ <2а,а3.

Теорема 17. Пусть в системе (27) с, (с, -1), с2 =с3 = 0. 7Ъгда система (27) стабилизируема обратной связью (24) в том и только том случае, если а, >0, а3 >0.

Теорема 18. Пусть в системе (27) с2ф 0 (с2 1), с, = с3 = 0. Тогда для стабилизируемости системы (27) обратной связью (3) необходимо и достаточно, чтобы а, > О, а, > 0.

Теорема 19. Пусть в системе (27) сгФ 0 (с2 — 1), с, = с, = 0. Тогда для стабили-зируемости системы (27) обратной связью (24) достаточно, чтобы выполнялось хотя бы одно из условий:

ч л я2 8я і— „ „

а) 0<а, < 2 :-/—г-а2\аг ■ а2>0, а3>0,

я- -8 (я2-8)л/я2-8

Я1 4л/я /-

б) а, >--Я3(-а2) +-== (-а2),/-в2, а, <0, а3 >0.

4-я (4-я)т/4-я

Предложение 10. Необходимым условием стабилизируемости системы (27) обратной связью (24) является неравенство а, >0.

Теорема 20. Пусть в системе (27) с, (с3 .-=1), с, =с2 =0. Тогда для стабилизируемости системы (27) обратной связью (23) достаточно, чтобы выполнялось

хотя бы одно из следующих условий:

a) а, > 0, аг > 0,

і.ч Я + Зл/З ( , І ^ 4

b) а, <0, а, >0, а. >-;=а, а, +6. —г-^— ,

я-Зл/З \ 3 \я -27)

я2 -27 2 я + 3,/3 Г , "І

Теорема 21. Пусть в системе (27) съф 0 (с3 .-I), с, =с2 =0. Тогда для стабилизируемости системы (27) обратной связью (24) достаточно выполнения хотя бы одного из следующих условий:

a) а2 > 0, а3 > 0, 0 < а, < а

b) а, > 0, аг > 0, аг >

( +

а,+ —

\

3 Т »

{-<У)Л

/

я + 12(2-т/3) а, 1 г^а^

л °з ^я[я + 12(2-л/3)]'

я + Зч/З ( а,я2-27 2

с) а. >-¡=а, а, -6Л —т-1— , 0>а, >-¡=-газ-

1 я-Зл/З V \яг-27] (6 + ял/3)2

Здесь сг то же самое число, что и в теореме 12.

Теорема 22. Пусть в системе (22) п-т = 3,В-Е (Е - единичная (3x3)- матрица). Пусть далее сіе^АЕ - Л) = Л3 + агАг + агХ + а, - характеристический полином матрицы Д. Тогда система (22) стабилизируема обратной связью (26), где К -(3 х 3) - матрица, если а, > 0, а}> 0.

Условия а, > 0, а3 > 0 являются также и необходимыми для стабилизируемости системы (22) (п = т=3,В = Е) обратной связью вида (26).

Сформулированные выше теоремы показывают возможности стабилизации двумерных и трехмерных стационарных линейных систем обратной связью с запаз-

дыванием двух видов: обычной (23) и по Пирагосу (24). Теоремы 9,10,13 и 14 (двумерные системы) и 16, 17, 20 и 21 (трехмерные системы) хорошо показывают как введение запаздывания в обратной связи расширяет возможности обычной стационарной стабилизации u(f) = £>•(() (к = const) без запаздывания. Исключения составляют теоремы 11 и 12 (л = 2; случай с,=0, с2*0) и 18, 19 (п = 3; случай с, = с, = 0, сг # 0). Из теорем 10 и 17 следует, что в рассматриваемых случаях области стабилизации обратной связью с запаздыванием вида (23) и без запаздывания совпадают. А из теорем 12 и 19 следует, что при стабилизации обратной связью по Пирагосу (24) не происходит расширения области стабилизации, получаемой обычной стационарной обратной связью без запаздывания. Далее предложение 1 (л=1) и теоремы 15 (л=2) и 22 (л=3) показывают, что если матрица разомкнутой системы имеет одно положительное или нулевое собственное число, то стабилизация систем обратной связью по Пирагосу невозможно ни при каких значениях варьируемых параметров: коэффициента усиления и запаздывания. Поэтому для обеспечения эффекта Пирагоса следует взять коэффициент усиления зависящим от времени.

В седьмой главе рассматривается задача о стабилизации динамической системы «машина - регулятор Уатта». Рассматривается модифицированный регулятор Уатта. Доказаны теоремы об асимптотической устойчивости положения равновесия системы, дающие также оценку снизу области притяжения в фазовом пространстве. Полученные достаточные условия устойчивости, в некотором смысле, близки к необходимым. Здесь также проведен нелокальный анализ переходного процесса. Далее, рассматривается случай, когда коэффициент трения возмущен гауссовским «белым» шумом. Доказаны соответствующие теоремы об устойчивости по вероятности. Нелинейности, входящие в уравнения, описывающие динамику работы системы, принадлежат классу функций, не рассматривавшиеся ранее в литературе. А именно, в работах многих авторов изучались частные случаи системы дифференциальных уравнений, к которой сводятся рассматриваемые нами уравнения движения. В этих работах на нелинейные функции накладывалось условие «секториального типа» - график той или иной нелинейной функции должен лежать в некотором секторе, содержащемся в первой и второй координатных четвертях. Помимо этого, указанные функции в упомянутых работах подчинялись обобщенным в какой-либо форме условиям Рауса - Гурвица. Рассматриваемые же нами нелинейности таковы (квадратичного типа), что они не удовлетворяют указанным выше условиям. Для исследования системы применятся специальный прием, использующий модифицированный метод функций Ляпунова.

Работа системы «машина - регулятор Уатта» при некоторой идеализации описывается следующей нелинейной системой дифференциальных уравнений:

Ja = F(x),

„ ■> (28) тх + ах + J* = /Зт(г + х)(0~,

где а, р, у, J ,m,r - некоторые положительные числа, F(x) непрерывно дифференцируемая на прямой (-<»,+«) функция, со = <в(0, * = *(») - неизвестные функции.

Рассматривается также обобщенная система (28), когда коэффициент трения а является функцией от х, а восстанавливающая сила ух заменена на нелинейную функцию от х. Отметим, что в частном случае, когда 1) F(х) - линейная функция, 2) правая часть (центробежная сила) второго уравнения имеет приближенный вид fimrait)1 + fim(i)02x, система (28) рассматривалась в одной из работ Г.А. Леонова. Там же была поставлена задача о проведении исследования системы «машина — регулятор Уатта» без предположений 1) и 2).

Предположим, что существует число ха > О такое, что F(x0)-O, F° = F'(x0) * О и F(x) *0 при хФх0. Тогда (<»„,;с„), где <и02 = jx0//3m(r +х0), есть единственное положение равновесия системы (28).

Задача заключается в том, чтобы перевести при включении систему «машина — регулятор Уатта» из неподвижного состояния (<u(r) = 0, *(r) = 0, x{t) = 0) в стационарное рабочее состояние (aXt) з <у0, x(t) a х0, x(t)« 0 ) - стационарный режим.

Вводя обозначения

У — F°(x — х0)/J, z = у, fKy) — F(x0 +Jy/ F°)/j, а = а!т, b = ylm, c = (-F°)pc0/Jm, k^(-F°)J3(r + x0)/j, систему (28) можно привести к виду

6> = <P(y), y = z. z = -az-by+flafy - kai1 + с (29)

Здесь a >0, b>0, (КО) = 0. Введем функцию ляпуновского типа

2V(<a, у, z) = 2аоКка? - Зс) / 3 + 2>'<W - с) + у1 (Ь - 0а>2) + (z + ay)2 (30)

И МНОЖесТВО (сд = л/3й>0)

К = {(со, у, z): У (со, y,z) <0, 0<со<со}.

Теорема 23. Пусть в системе (29) функция <р(у) непрерывно дифференцируема для всех у, р(0) = 0. Пусть далее выполнены следующие условия:

1) F" <0, 2ха<г;

2) существует положительная константа р>0 такая, что 0<у(<р(у)1у-Х)<,Юг для всех у& 1у,,у2], где <1, у, ^4F°xa(r + х0)/j(г — 2х0), у2 =2(-F°)xJj;

3) Rs-L-'-24- 0 V ' 1 I > ^. где f0=2fimo)0(r + x0). (31)

Тогда все траектории системы (29), начинающиеся в области К, остаются в ней, и положение равновесия (соа ,0,0) асимптотически устойчиво по Ляпунову с областью притяжения К.

В случае, когда <р(у) = у (р = 0), условие 2) теоремы 23 отсутствует, а условие 3) принимает вид

]аг(г-2дг0)2 ? д

Сравнив условия 1) и 3) теоремы 23 в случае <р(у) & у с необходимыми и достаточными условиями Рауса-Гурвица

< 0, ]а(у-ртт02) > (-^)/0т асимптотической устойчивости линеаризованной в окрестности положения равновесия (й)0,0,0) системы (29), можно убедиться, что эти условия близки друг друга.

Непосредственным следствием теоремы 23 является следующая

Теорема 24. (О переходном процессе.) Пусть в системе (28) функция F(л;) непрерывно дифференцируема для всех х, причем Г(х0) = 0^° =/=■'(*<,) <0, Р(х)ф 0 при х*х0для некоторого х0 такого, что 2ха < г. Пусть далее выполняются следующие условия:

1) существует положительная константа к > 0 такая, что

0<;(1-Р(х)/Р°(х-х0))(х-х0)£к(х-х0)2 для всех хе [*„хг],х * х0, где дг, = -ха,хг = ха{5г + 2хв)1(г-2ха) и 2к(г + х0) < г/2дг0 -1;

2) имеет место неравенство (—/У >к, где К - число, определяемое га

(31);

3) а2 < ту.

Тогда для любого решения (а(0,х(0) системы (28) с начальными условиями еа(0) = 0, х(0) = 0, ¿(0) = 0 справедливы следующие соотношения:

соО)е [0,йП, со = -Уз<у0, Нш аКО = <и„, Иш х(/) = ;сп, Нш ¿(0 = 0.

(-»-но

Теоремы 23 и 24 допускают обобщение и на случай, когда коэффициент а = а(х) - функция от х, а ух заменена на нелинейную функцию у(х). Формулировки соответствующих теорем аналогичны теоремам 23 и 24 соответственно. Рассматривается также случай, когда коэффициент трения а в системе (28) возмущен «белым» шумом о£(г) с коэффициентом диффузии о - а(а>,х).

Основные результаты работы. В диссертационной работе проведены теоретические исследования, направленные на получение эффективных необходимых и достаточных условий стабилизируемости линейных управляемых систем, а также систем с гистерезисными нелинейностями. В результате этих исследований получены следующие результаты.

1) Разработан новый, простой алгоритм стабилизации по состоянию линейных стационарных управляемых систем.

2) Разработаны новые алгоритмы стабилизации двумерных и трехмерных линейных управляемых систем с помощью обратной связи с запаздыванием. Получены коэффициентные необходимые и достаточные условия стабилизируемости систем, расширяющие область стабилизации, даваемой обратной связью без запаздывания.

3) Выявлены возможности стабилизации линейных систем обратной связью с запаздыванием: обычной и по Пирагосу. Показано, что в седловом случае линейная система не является стабилизируемой. Сделан вывод о необходимости принятия коэффициента усиления в обратной связи с запаздыванием зависящим от времени, чтобы обеспечить эффект стабилизации хаоса в компьютерных экспериментах К. Пирагоса.

4) Получен новый, эффективный частотный критерий, стабилизации при помощи гармонического внешнего воздействия систем с гистерезисными нелинейно-стями, а также нелинейных систем, допускающих, в частности, хаотическое поведение. В качестве примеров рассмотрены уравнение автогенератора с гистерезисом и система уравнений автогенератора с радиодиапазоном с гистерезисом.

5) Получены новые эффективные частотные критерии глобальной асимптотики абсолютной устойчивости и дихотомичности дифференциальных систем с гистерезисными нелинейностями. Рассмотрены примеры: уравнение второго порядка и система уравнений второго порядка с гистерезисом.

6) Получено новое достаточное условие (близкое к необходимому) для стабилизации динамической системы «машина-регулятор Уатта». Доказаны теоремы об асимптотической устойчивости положения равновесия системы, получена оценка снизу области притяжения в фазовом пространстве.

7) Проведен нелокальный анализ переходного процесса в динамической системе «машина-регулятор Уатта».

Автор выражает глубокую признательность своему научному консультанту члену-корреспонденту РАН, профессору Геннадию Алексеевичу Леонову за постоянный интерес к работе автора, поддержку и обсуждение результатов.

Список публикаций по теме диссертации Монографии

1. Леонов Г.А., Шумафов М.М. Проблемы стабилизации линейных управляемых

систем. СПб. Изд-во С.-Петербург, ун-та. 2002. 307 с.

2. Леонов Г.А., Шумафов М.М. Методы стабилизации линейных управляемых систем. СПб.: Изд-во С.-Петербург, ун-та. 2005. 420 с.

3. Leonov G.A., Shumafov М.М. Stabilization of Linear Systems. Cambridge: Cambridge Scientific Publishers, 2012. 408 p.

4. Леонов Г.А., Шумафов M.M., Тешев B.A. Устойчивость систем с гистерезисом. Майкоп: Изд-во Адыгейского государственного университета.2012.182с.

Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК РФ

1. Шумафов М.М. О переходном процессе в динамической системе с регулятором Уатта II Вестник С.- Петербург, ун-та. Сер.мат., мех. астр. 2001. Вып. 1 (№1). С. 53-59.

2. Шумафов М.М. Об асимптотической устойчивости динамической системы с регулятором Уатта // Дифф. ур. 2002. Т. 39. №1. С. 57-62.

3. Леонов Г.А., Шумафов М.М. Элементарное доказательство теоремы о стабилизируемое™ линейных управляемых систем // Вестник С.- Петербург, ун-та. Сер. матем. мех., астрономия. 2003. Вып. 3 (№17). С. 56-68.

4. Леонов Г.А., Шумафов М.М. Алгоритм пошаговой стабилизации линейного объекта управления // Изв. вузов. Северо-Кавказ. регион. Естеств.. науки. 2005. №2. С. 14-19.

5. Шумафов М.М. К задаче стабилизации двумерной линейной дискретной системы // Изв. вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. 2009. №5. С. 71-74.

6. Шумафов М.М. О стабилизации двумерных линейных управляемых систем обратной связью с запаздыванием // Вестник Адыгейского государственного университета. 2010. Вып. 2. С. 40-52.

7. Шумафов М.М. Стабилизация линейных стационарных управляемых систем второго порядка обратной связью с запаздыванием // Изв. вузов. Математика. 2010. №12. С. 87-90.

8. Leonov G.A., Shumafov М.М. Stabilization of Controllable Linear Systems // Nonlinear Dynamics and System Theory. 2010. V.10. №3. P. 235-268.

9. Leonov G.A., Kuznetsov-N.V., Seledzhi S.M., Shumafov M.M. Stabilization of unstable control system via design of delayed feedback. International Conference on Applied and Computational Mathematics, 2011, pp. 18-25 [ISSN 1792-4235].

10.Leonov G.A., Shumafov M.M. Vibrational Stabilization and the Brockett Problem // Differential Equations. 2011. V.47. №13. P.1853-1915.

П.Шумафов М.М. Об условиях стабилизируемостн трехмерных линейных систем // Вестник Адыгейского государственного университета. 2012. Вып. 3. С. 57-62.

12.Шумафов М.М. Стабилизация систем с гистерезисными нелинейностями гармоническим внешним воздействием И Вестник Адыгейского государственного университета. 2012. Вып.З. С. 11-19.

13.Шумафов М.М. Устойчивость систем дифференциальных уравнений с гистерезисными нелинейностями// Вестник Адыгейского государственного университета. 2012. Вып.З. С. 20-31.

Статьи, материалы конференций

1. Шумафов М.М. О диссипативности и устойчивости по вероятности случайных процессов, определяемых некоторыми нелинейными дифференциальными уравнениями второго порядка / Третья региональная теоретическая конференция молодых ученых Северного Кавказа. (Тезисы докладов и сообщений.) Майкоп. 1990. С.261-263.

2. Шумафов М.М. О диссипативности случайных процессов, определяемых некоторыми нелинейными дифференциальными уравнениями второго порядка // Дифф. уравнения. - 1993. -Т.29. -№1. - С.175-176.

3. Тешев В.А.,Шумафов М.М. Частотный критерий устойчивости систем дифференциальных уравнений с гистерезисными нелинейностями в критическом случае // Труды Физ. общ. Респ. Адыгея. - 1996. - №1. -С. 48-50.

4. Пономаренко Д.В., Тешев В.А., Шепелявый А.И., Шумафов М.М. Частотный критерий синхронизации гистерезисных систем / Первая научно-практическая конференция «Дифференциальные уравнения и их применения». СПб. 1996. С. 177.

5. Шумафов М.М. Частотный критерий устойчивости систем с гистерезисными нелинейностями в критическом случае / Международная конференция «Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики». (Тезисы докладов.) Нальчик. 1996. С. 106.

6. Шумафов М.М. О построении функций Ляпунова для двумерных стохастических систем / Тезисы докладов второй международной конференции «Дифференциальные уравнения и их применения». Саранск. 1996. С. 127.

7. Ponomarenko D.V. Teshev V.A. Shepeljavyi A.I. Shumafov M.M. Stabilization of Systems with Hysteresis by Periodic External Force / In book: International Conference on Control of Oscillations and Chaos. S. -Petersburg. 1997.

8. Тешев В.А., Шепелявый А.И., Шумафов М.М. Частотный критерий стабилизации гармоническим внешним воздействием систем с гистерезисными нели-нейностями / Нелинейные динамические системы. Выпуск 1. С.Петербург: СПбГУ. 1997. С. 261-280.

9. Шумафов ММ. Функции Ляпунова для двумерных линейных стационарных стохастических систем//Труды Физ. Общ. Респ. Адыгея. 1997, №2. С.1-26.

Ю.Шумафов М.М. Об одной системе дифференциальных уравнений, возникающей в теории фильтрации / Тезисы докладов четвертой Северо-Кавказской региональной конференции «Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения». - Махачкала. 1997. С. 102-103.

11.Тешев В.А., Шумафов М.М. О глобальной асимптотической устойчивости решений уравнений второго порядка с гистерезисными нелинейностями // Труды Физ. Общ. Респ. Адыгея. 1997, №2. С.61-69.

12.Леонов Г.А., Тешев В.А., Шумафов М.М. О глобальной асимптотической устойчивости систем с гистерезисными нелинейностями / Труды третьей международной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения».-Саранск. - 1998. -С. 36-37.

13.Тешев В.А., Шепелявый А.И., Шумафов М.М. Явление захватывания в системах с гистерезисным элементом // Труды Физ. Общ. Респ. Адыгея. 1998, №3. С.49-57.

14.Тешев В.А., Шумафов М.М. Частотный критерий дихотомичности регулируемых нелинейных систем с гистерезисным элементом // Труды Физ. Общ. Респ. Адыгея. 1999, №4 С.34-39.

15.Shumafov М.М. On the stochastic stability of a nonlinear system perturbed by a "white" noise random process // Trudy Fiz. Obsch. Resp. Adygeya (FORA). 1999. №4. P. 118-124.

16.Шумафов М.М. Об асимптотическом поведении решений одной нелинейной трехмерной системы //Труды Физ. Общ. Респ. Адыгея. 2001, №6. С.48-50.

17.Тешев В.А., Шумафов М.М. Об абсолютной устойчивости и дихотомичности систем дифференциальных уравнений с гистерезисными функциями // Труды Физ. Общ. Респ. Адыгея. 2001. №6. С. 51.

18.Шумафов М.М. О существовании гомоклииической орбиты в обобщенной системе Лоренца // Труды Физ. Общ. Респ. Адыгея. 2001. №6. С. 57-66.

I9.Shumafov М.М. On the stability of a second-order nonlinear stochastic system // Trudy Fiz. Obsch. Resp. Adygeya. 2002. №7. P. 98-102.

20.Шумафов М.М. Об асимптотической устойчивости двумерной нелинейной динамической системы, возмущенной "белым" шумом // Труды Физ. Общ. Респ. Адыгея. 2004. №9. С. 106-109.

21.Leonov G.A., Shumafov М.М., Stabilization of Linear Systems / Proc. of Fourth European Conference on Structural Control (4ECSC). S. -Petersburg. 2008. №2. p. 461-494.

22.Шумафов М.М. О диссипативности решений стохастических дифференциальных уравнений второго порядка // Вестник Адыг. гос. университета. Серия «Естественно-математические и технические науки». 2008. Вып.4 (32).С. 1117.

23.Сташ А.Х., Шумафов М.М. Устойчивость и ограниченность решений линейных дифференциальных систем // Труды Физ. Общ. Респ. Адыгея. 2008. №13. С. 12-21.

24.Шумафов М.М., Цей P.M. Математическое моделирование и обратные задачи // Вестник Адыгейского государственного университета. Серия «Естественно-математические и технические науки». 2008. Вып.4 (32). С.18-24.

25.Шумафов М.М., Цей P.M. Метод модулирующих функций и его применение при решении обратных задач // Вестник Адыг. гос. университета. Серия «Естественно-математические и технические науки». 2008. Вып.9(37). С.9-22.

26.Шумафов М.М., Цей P.M. Алгоритм решения задачи определения фильтраци-онно-емкостных параметров газоносного пласта методом модулирующих функций // Вестник Адыгейского государственного университета. Серия «Естественно-математические и технические науки». 2008. Вып.9 (37). С. 23-26.

27.Шумафов М.М., Цей P.M. Решение обратных коэффициентных задач методом модулирующих функций / /Наука- 2008. Ежегодный сборник научных статей ученых и аспирантов Адыгейского госуниверситета. Майкоп. Изд-во АТУ.

2008. С.8-16.

28.Шумафов М.М., Цей P.M. Идентификация параметров газоносного пласта на основе решения обратной задачи теории фильтрации // Вестник Адыгейского госуниверситета. Серия «Естественно-математические и технические науки».

2009. Вып.1 (43). С. 33-42.

29.Шумафов М.М., Цей P.M. Разработка алгоритма для численного решения обратной задачи теории фильтрации методом модулирующих функций // Вестник Адыгейского государственного университета. Серия «Естественно-математические и технические науки». 2009. Вып.1 (43). С. 43-49.

30.Шумафов М.М., Цей P.M. К вопросу об определении фильтрационно-емкостных параметров газоносного пласта // СамДиф: Конференция «Дифференциальные уравнения и их приложения». Самара, 29 июля - 2 июня 2009 г. Тезисы докладов. Самара: Изд-во «Универс групп». 2009. С. 69-70.

31.Шумафов М.М. О стохастической устойчивости некоторых двумерных динамических систем//Дифф.уравн. 2010. Т.46. №6. С.1-5.

32. Шумафов М.М. Стохастическая устойчивость двумерных линейных стационарных систем // Вестник Адыгейского государственного университета. 2010. Вып.1. С.9-21.

Шумафов Магомет Мишаустович Стабилизация управляемых динамических систем

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Подписано в печать 14.11.2012. Бумага типографская № 1. Формат бумаги 60x84. Гарнитура Times New Roman. Тираж 120 экз. Заказ 084.

Отпечатано на участке оперативной полиграфии Адыгейского государственного университета: 385000, г.Майкоп, ул.Первомайская, 208.

ВВЕДЕНИЕ

ОГЛАВЛЕНИЕ

ГЛАВА I. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ.

§1.1. Линейные системы управления.

§ 1.2. Передаточные функции и частотные характеристики линейных блоков.

§ 1.3. Управляемость, наблюдаемость, стабилизируемость.

§ 1.4. Наблюдаемость.

§ 1.5. Типичность и грубость свойств полной управляемости и полной наблюдаемости линейной системы.

§ 1.6. Стабилизируемость.

§ 1.7. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и постоянными запаздываниями аргумента.

§ 1.8. Дифференциальные уравнения с гистерезисными функциям.

ГЛАВА II. ЧАСТОТНЫЕ КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ С ГИСТЕРЕЗИСНЫМИ НЕЛИНЕЙНОСТЯМИ (СЛУЧАЙ, КОГДА

МАТРИЦА ЛИНЕЙНОЙ ЧАСТИ СИСТЕМЫ ГУРВИЦЕВА).

§2.1. Глобальная асимптотика решений.

§ 2.2. Абсолютная устойчивость.

§ 2.3. Дихотомичность решений.

§ 2.4. Дифференциальное уравнение второго порядка с гистерезисом.

§ 2.5. Сравнительный анализ.

§ 2.6. Двумерная дифференциальная система с гистерезисом.

ГЛАВА III. ЧАСТОТНЫЕ КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ С ГИСТЕРЕЗИСНЫМИ НЕЛИНЕЙНОСТЯМИ (СЛУЧАЙ, КОГДА

МАТРИЦА ЛИНЕЙНОЙ ЧАСТИ СИСТЕМЫ ОСОБАЯ).

§3.1. Глобальная асимптотика решений.

§ 3.2. Случай, когда гистерезисная функция не удовлетворяет условию секториальности.

§3.3. Глобальная асимптотика решений дифференциального уравнения второго порядка с гистерезисом в критическом случае.

§ 3.4. Глобальная асимптотика решений двумерной дифференциальной системы с гистерезисом в критическом случае.

§ 3.5. Сравнение результатов.

ГЛАВА IV. СТАБИЛИЗАЦИЯ СИСТЕМ С ГИСТЕРЕЗИСНЫМИ НЕЛИНЕЙНОСТЯМИ ГАРМОНИЧЕСКИМ ВНЕШНИМ

ВОЗДЕЙСТВИЕМ.

§4.1. Частотный критерий стабилизации систем с гистерезисом.

§ 4.2. Доказательства промежуточных утверждений.

§ 4.3. Доказательство основной теоремы о стабилизации.

§ 4.4. Стабилизация автогенератора с гистерезисом.

§ 4.5. Автогенератор радиодиапазона с гистерезисом.

ГЛАВА V. НОВЫЙ АЛГОРИТМ СТАБИЛИЗАЦИИ ПО СОСТОЯНИЮ

ЛИНЕЙНЫХ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ.

§5.1. Элементарное доказательство теоремы о стабилизации линейной системы.

§ 5.2. Теорема об управлении спектром матрицы.

§5.3. Алгоритм пошаговой стабилизации линейного объекта управления.

ГЛАВА VI. СТАБИЛИЗАЦИЯ СТАЦИОНАРНЫХ ЛИНЕЙНЫХ

СИСТЕМ ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ.

§6.1. Стабилизация двумерных линейных систем обратной связью с запаздыванием.

§ 6.2. Стабилизация двумерных линейных систем обратной связью с запаздыванием по Пирагосу.

§ 6.3 Трехмерные системы.

ГЛАВА VII. СТАБИЛИЗАЦИЯ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ «МАШИНА - РЕГУЛЯТОР УАТТА».

§ 7.1. О переходном процессе в динамической системе с регулятором

Уатта.

§ 7.2. Асимптотическая устойчивость динамической системы с регулятором

Уатта.

Диссертационная работа посвящена исследованию вопросов устойчивости и стабилизации динамических систем, определяемых дифференциальными уравнениями: линейными и нелинейными.

Одной из важнейших задач теории управления является задача о стабилизации динамических систем. Методы стабилизации управляемых систем создавались, развивались в течение последних ста сорока лет: от создания катаракта Вышнеградского [1] до анализа и синтеза систем стабилизации ракет [2-10] и распределенных систем тактовых генераторов в многопроцессорных кластерах [11,12]. Теории и практике стабилизации посвящено много книг и обзоров. Многие из методов стабилизации вошли в учебники по теории управления и стали классическими. Однако за последние сорок лет произошел бурный рост публикаций, посвященных методам стабилизации линейных управляемых систем. Рост интереса к проблемам стабилизации мотивировался как запросами практики управления, так и формулировками открытых проблем многими известными учеными: В.И.Зубовым [13-17], У.М. Уонэмом [18,19], Д.С. Бернстейном [20], Р.У. Брокеттом [21], Дж. Розенталем и Дж.С. Виллемсом [22]. При решении этих проблем создавались новые методы анализа и синтеза линейных систем управления.

Одной из классических задач стабилизации систем была задача о стационарной статической стабилизации по состоянию линейной стационарной управляемой системы, т.е. поиск соответствующего линейного стационарного статического регулятора, обеспечивающего асимптотическую устойчивость системы. Эта задача, и более общая задача о размещении собственных чисел матрицы (или полюсов передаточной функции), впервые была сформулирована и решена в работах В.И. Зубова [13] и У.М. Уонэма [18]. После выхода этих работ было написано большое количество статей, где предлагались другие, альтернативные к данным Зубовым и Уонэмом алгоритмы стабилизации. Однако все они достаточно громоздки для вещественного и векторного случая. Предложенные в диссертации алгоритмы стабилизации являются новыми и, на наш взгляд, наиболее простыми.

Вопросы стабилизации, а также смежные с ними вопросы, весьма интенсивно изучались в последние десятилетия в работах H.H. Красовского, В.И. Зубова, Е.А. Микрина, P.M. Юсупова, Г.А. Леонова, Б.Т. Поляка, П.С. Щербакова, B.JI. Харитонова, B.C. Антончика, Е.Я. Смирнова,

A.И. Кирьянена, А.Г. Александрова, A.B. Назина, М.В. Хлебникова,

B.Н. Честнова, И.Я. Каца, Ю.С. Осипова, E.JI. Тонкова, В.А. Зайцева, Э.Г. Альбрехта, Г.С. Шелементьева, С.И. Солодушкина, Ю.Ф. Долгий, И.В. Гайшуна, Д.С. Бернстейна, В. Блонделя и др. В настоящее время вопросы стабилизации остаются в центре внимания исследователей, обзоры работ которых можно найти, например, в статьях B.JI. Сирмоса,

C.Т. Абдаллаха, П. Дорато, К. Григориадиса [23] и Б.Т. Поляка, П.С. Щербакова[24]. Наиболее эффективные методы и алгоритмы стабилизации разработаны для линейных систем управления. Одной из проблем, стимулировавшей немало публикаций, была сформулированная Р. Брокеттом проблема стабилизации линейной стационарной системы с помощью линейной нестационарной обратной связи [21]. Решение проблемы Брокетта в ряде важных для практики случаев дано в работах Г.А. Леонова [25-27] и Л. Моро, Д. Аэлса [28]. В этих работах построены соответственно алгоритмы низкочастотной и высокочастотной стабилизации линейной стационарной системы. Для двумерных и трехмерных стационарных систем показано, как введение нестационарной обратной связи расширяет возможности стационарной стабилизации. Возникает естественный вопрос: существуют ли иные (кроме нестационарных) способы стабилизации линейных стационарных систем, позволяющие расширить возможности стационарной стабилизации? Приходим к основной задаче в постановке Г.А. Леонова: можно ли ограничиваясь лишь линейной стационарной обратной связью стабилизировать линейную стационарную систему введением запаздывания в обратную связь? Каковы возможности линейной стационарной обратной связи с запаздыванием для стабилизации неустойчивых линейных стационарных систем? Хорошо известно, что для некоторых классов уравнений при достаточно малых и достаточно больших запаздываний такая стабилизация невозможна. С другой стороны, мотивацией к исследованию стабилизации путем введения запаздывания в обратную связь явились компьютерные эксперименты К. Пирагоса [29-33] по стабилизации хаоса - стабилизации неустойчивых периодических орбит, погруженных в странный аттрактор той или иной хаотической системы. В диссертационной работе решена поставленная выше Г.А. Леоновым задача для случая двумерных и трехмерных управляемых систем. В частности, сделан вывод о том, что для обеспечения эффекта Пирагоса необходимо ввести зависящий от времени коэффициент усиления в обратной связи.

Далее, в нелинейной теории колебаний и в теории управления автогенераторами актуальными являются проблемы захватывания частоты автоколебаний внешним гармоническим воздействием. Проблемы захватывания частоты автоколебаний под частоту внешнего гармонического воздействия являются классическими в нелинейной теории колебаний и теории управления автогенераторами [34-43]. Одним из важнейших свойств вынужденных периодических процессов является их устойчивость «в целом», когда явление захватывания наблюдается в любом режиме работы автогенератора. Кроме того имеется ряд экспериментальных результатов, показывающих, что различные нелинейные системы, допускающие хаотическое поведение, могут быть стабилизируемы гармоническим или другим периодическим внешним воздействием [44-46]. Весьма актуальной является задача о стабилизации и исследование устойчивости дифференциальных систем с гистерезисными функциями. Последние являются математическими моделями систем автоматического управления, в которых возникает люфт, сухое трение, некоторые приборы имеют зоны нечувствительности, происходит пространственное запаздывание

1 » (1 ¡5 , м J I , I ) > v ä! ', Ч ä t ! ! 8 l ' >< 1 V J ! > i y i 8 управляющего сигнала [47-53]. Первые теоретические исследования^систем с гистерезисными нелинейностями появились в 40-е годы в работах

A.A. Андронова и H.H. Баутина [53], A.A. Фельдбаума [54], и Ф. Краутвига [55]. Ряд результатов по исследованию двумерных систем с гистерезисом был получен также в более поздних работах P.A. Нелепина [50],

B.А. Брусина [56, 57], В.В. Казакевича[58,59], В.В. Петрова, Г.М. Уланова [60, 61] и др. В этих работах использовались методы фазовой плоскости и точечных отображений, а гистерезисные функции имели «стандартный» вид. Дальнейшее развитие техники требовало создания математических методов глобального исследования многомерных систем с гистерезисом. Такие методы появились в начале 60-х годов вслед за выходом работ В.М. Попова [62, 63]. Впервые был применен частотный метод В.М.Попова [63-67]. В последующие годы в работах В.А. Якубовича, Н.Е. Барабанова [68], А.Х. Гелига [67], В.А. Брусина [57], Я.З. Цыпкина [52] и др. были получены эффективно проверяемые частотные критерии различных типов поведения решений систем с гистерезисными функциями. Важную роль при установлении этих критериев сыграли результаты В.А. Якубовича [65, 69-71] и P.E. Калмана [72] по решению специальных матричных неравенств. Новые методы, развитые в теории абсолютной устойчивости, позволили исследовать системы с гистерезисными нелинейностями, удовлетворяющими достаточно общим ограничениям. В работах В.А. Якубовича [66], Н.Е. Барабанова и В.А. Якубовича [68], А.Х. Гелига [64], М.А. Красносельского, A.B. Покровского [73-75] были даны строгие определения понятия гистерезисной функции, позволяющие обсуждать в общей постановке проблемы существования, единственности, продолжимости решений систем дифференциальных (и интегральных) уравнений с гистерезисом. Различным вопросам, связанным с гистерезисными нелинейностями, посвящено большое число работ. Одной из первых монографий по системам с гистерезисом была монография М.А. Красносельского и A.B. Покровского [75]. В диссертационной работе, развивая идеи и методы разработанные В.А.Якубовичем и его учениками для исследования абсолютной устойчивости нелинейных систем, проводится исследование вопросов устойчивости и стабилизации дифференциальных систем с гистерезисными нелинейностями.

Далее, в инженерной практике при проектировании различных энергоустановок (например, турбогенераторов) и технических систем, а также анализе и синтезе систем управления такими объектами, возникает задача о проведении нелокального анализа переходного процесса — от запуска машины в начальный момент времени до её выхода в рабочий режим. Математическая постановка этой задачи дана в работе Г.А. Леонова [77]. Формализация указанной выше задачи укладывается при некоторой идеализации в математическую модель работы динамической системы «машина-регулятор Уатта» (точнее, модифицированный регулятор Уатта). В работе Г.А. Леонова проведен нелокальный анализ системы «машина-регулятор Уатта» в предположении, когда в уравнениях движения угловое ускорение и коэффициент трения являются постоянными, восстанавливающая сила — линейной, а центробежная сила имеет приближенный вид. В диссертационной работе поставленная Леоновым задача решена в общем виде без указанных выше предположений.

Целью диссертационной работы является:

1) Разработка нового, простого алгоритма стационарной стабилизации по состоянию линейной стационарной управляемой системы.

2) Выяснение возможностей линейной обратной связи с запаздыванием для стабилизации неустойчивых линейных стационарных управляемых систем.

3) Выяснение вопроса, каковым должен быть коэффициент усиления в обратной связи с запаздыванием, что обеспечить эффект Пирагоса для стабилизации хаоса.

4) Получение эффективных частотных критериев устойчивости и стабилизации систем с гистерезисом.

5) Проведение нелокального анализа переходного процесса в динамической системе «машина-регулятор Уатта».

В соответствии с целью в работе поставлены и решены следующее задачи:

- построение нового, простого, алгоритма для стабилизации по состоянию линейных стационарных управляемых систем;

- получение необходимых и достаточных условий стабилизируемости двумерных и трехмерных линейных систем обратной связью с запаздыванием;

- получение эффективно проверяемых частотных критериев устойчивости и стабилизации дифференциальных систем с гистерезисными нелинейностями;

- проведение нелокального анализа переходного процесса при включении динамической системе «машина-регулятор Уатта».

В диссертационной работе применяются методы теории управления конечномерными линейными объектами, методы линейной- теории устойчивости дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом, модифицированные частотные методы исследования устойчивости нелинейных систем, модифицированный метод функций Ляпунова, методы классической теории устойчивости.

В диссертационной работе получены новые научные результаты. В ней:

1) Разработан новый, простой, алгоритм стабилизации по состоянию линейных стационарных управляемых систем.

2) Получены новые необходимые и достаточные условия стабилизируемости двумерных и трехмерных линейных управляемых систем обратной связью с запаздыванием двух видов: обычной и по Пирагосу.

3) Получен новый частотный критерий стабилизации при помощи внешнего гармонического воздействия автономных нелинейных систем, допускающих, в частности, хаотическое поведение.

4) Получены новые эффективные частотные критерии глобальной асимптотики, абсолютной устойчивости и дихотомичности дифференциальных систем с гистерезисными нелинейностями.

5) Получено новое достаточное (близкое в некотором смысле к необходимому) условие асимптотической устойчивости динамической системы «машина-регулятор Уатта».

Результаты, полученные в диссертационной работе достоверны и обоснованны, они математически строго доказаны.

Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты могут быть применены:

1) При проектировании, анализе и синтезе линейных систем управления, при стабилизации хаоса в различных физических и химических системах, в частности, в электронных осцилляторах и лазерных системах.

2) В различных технических системах с гистерезисом, при проектировании энергоустановок, в частности, турбогенераторов.

3) В учебном процессе при изучении курсов «Дифференциальные уравнения», «Математическое моделирование», а также при написании курсовых и дипломных работ.

Диссертация состоит из настоящего введения, семи глав, заключения и библиографического списка.

В первой главе формулируются основные определения и приводятся основные факты и положения из теории линейных управляемых систем, теории устойчивости линейных систем с запаздывающим аргументом, теории абсолютной устойчивости систем с гистерезисными нелинейностями, используемые в последующих главах.

Во второй главе проводится исследование устойчивости решений систем дифференциальных уравнений с гистерезисной нелинейностью. Здесь рассматриваются вопросы глобальной асимптотической устойчивости, абсолютной устойчивости и дихотомичности дифференциальных систем с гистерезисом в случае, когда матрица линейной части системы гурвицева некритический случай). Получены новые частотные критерии устойчивости и дихотомичности систем. Гистерезисные функции, входящие в рассматриваемые системы, могут содержать в отличие от рассматривавшихся в литературе случаев несколько петель, которые обходятся в различных направлениях. На конкретном примере проведен сравнительный анализ полученных результатов с ранее известными. Показано, что в пространстве параметров полученное нами частотное условие выделяет большую область устойчивости, чем известное ранее частотное условие [68]. В доказательствах соответствующих утверждений используются идеи и модифицированные методы работ В.А. Якубовича [65-71], Н.Е. Барабанова, В.А. Якубовича [68], Г.А. Леонова [77], А.Х. Гелига [64] и др.

В третьей главе рассматриваются вопросы • устойчивости дифференциальных систем с гистерезисом в критическом случае, когда матрица линейной части системы имеет одно нулевое собственное значение, а остальные собственные значения расположены в левой полуплоскости плоскости комплексного переменного. Здесь, как и в предыдущей главе, получены новые частотные условия глобальной асимптотики, абсолютной устойчивости и дихотомичности систем. Как во второй, так и в третьей главах рассматриваются два типичных класса гистерезисных функций, удовлетворяющих «условиям секториальности» в том или ином смысле. В качестве примеров рассматриваются дифференциальное уравнение второго порядка и двумерная дифференциальная система с гистерезисом.

В четвертой главе рассматривается задача о стабилизации дифференциальных систем с гистерезисными нелинейностями гармоническим внешним воздействием. Здесь получен частотный критерий гармонической стабилизации систем с гистерезисом. Этот критерий может быть применен к анализу захватывания как автоколебаний, так и хаотических режимов. Полученный частотный критерий обобщает на системы с гистерезисными функциями ранее известный критерий Леонова о стабилизации системы с однозначной непрерывно дифференцируемой функцией [78]. В качестве примеров рассмотрены задача о стабилизации автогенератора с гистерезисом и автогенератора радиодиапазона с гистерезисом.

В пятой главе разрабатывается новый алгоритм стабилизации линейных систем управления. Здесь дано новое, элементарное, доказательство теоремы о стабилизации линейного объекта управления по полному выходу. В ходе доказательства теоремы дан конструктивный метод построения стабилизирующего регулятора, дающего к тому же заданное расположение корней характеристического полинома (задача о размещении полюсов - «pole assignment problem»). Предложенный алгоритм построения стабилизирующей матрицы является наиболее простым и «экономным» из существующих, он удобен и эффективен с вычислительной точки зрения и предполагает лишь повторение по существу одной единственной операции -приведения матрицы к диагональному виду (например, к жордановой нормальной форме). Вместе с элементарным доказательством теоремы о приведении матрицы к жордановой нормальной форме, данным А.Ф. Филипповым [79], предложенное нами доказательство теоремы о стабилизации является элементарным в полном смысле слова.

В шестой главе разрабатываются алгоритмы стабилизации для двумерных и трехмерных линейных стационарных управляемых систем с помощью обратной связи с запаздыванием. Как было выше сказано, мотивацией к исследованию стабилизации путем введения запаздывания в обратную связь явились компьютерные эксперименты К. Пирагоса (К. Pyragas) по стабилизации хаоса. Здесь получены необходимые и достаточные условия стабилизируемости неустойчивых двумерных и трехмерных систем с постоянными коэффициентами путем введения обратной связи с запаздыванием. Рассматриваются два вида запаздывания в обратной связи: обычная и по Пирагосу. Доказанные теоремы в целом хорошо иллюстрируют эффективность введения запаздывания в обратной связи для стабилизации линейных управляемых систем. Они позволяют сделать вывод о возможностях линейной стационарной обратной связи с запаздыванием для стабилизации линейных неустойчивых стационарных систем. Оказывается, что как для обычной обратной связи с запаздыванием, так и для обратной связи по Пирагосу линейная система в седловом случае (а именно, когда на вещественной полуоси имеется нечетное число собственных чисел) не является стабилизируемой ни при каком постоянном коэффициенте усиления и ни при каком запаздывании. Поэтому для обеспечения эффекта Пирагоса необходимо ввести зависящий от времени коэффициент усиления в обратной связи.

В седьмой главе рассматривается задача о стабилизации динамической системы «машина-регулятор Уатта». Доказаны теоремы об асимптотической устойчивости положения равновесия системы, дающие также оценку снизу области притяжения в фазовом пространстве. Здесь также проводится нелокальный анализ переходного процесса. Рассматривается и случай, когда коэффициент трения возмущается «белым» шумом. Доказаны соответствующие теоремы об устойчивости по вероятности. Нелинейности, входящие в управления, опис вающие динамику работы системы, принадлежат классу функций, не рассматривавшиеся ранее в литературе. На нелинейные функции, как правило, накладывалось условие «секторального типа»- график той или иной нелинейной функции должен лежать в некотором секторе, содержащемся в первой и второй координатных четвертях. Помимо этого, эти функции должны были подчиняться обобщенным в какой-либо форме условиям Рауса-Гурвица. Рассматриваемые же нами нелинейности таковы (они квадратичного типа), что они не удовлетворяют указанным выше условиям. Для исследования рассматриваемой системы применяется специальный прием, использующий модифицированный метод функций Ляпунова.

Результаты исследований нашли свое применение в работах по выполнению Программы фундаментальных исследований Президиума РАН №19 «Управление механическими системами (проект № 1.4), по гранту

РФФИ (проект № 04-01-00-250А), по программе «Университеты России», по гранту НШ-2257.2003.1 Совета по грантам Президента РФ для поддержки молодых российских ученых и ведущих научных школ, в лаборатории i

Интел» при Санкт-Петербургском государственном университете и в учебном процессе Адыгейского государственного университета.

Основные положения диссертации докладывались на научных конференциях, в том числе международных, и обсуждались на научно-исследовательских семинарах. В частности,

- на научно-исследовательском семинаре по теории управления при кафедре теоретической кибернетики в Санкт-Петербургском государственном университете (руководитель чл.-корр. РАН, профессор Г.А. Леонов);

- на научно-исследовательском семинаре по динамическим системам и теории управления в Адыгейском государственном университете (г. Майкоп; руководители: профессор К.С. Мамий, доцент М.М. Шумафов);

- на первой научно-практической конференции «Дифференциальные уравнения и их применения» (Санкт-Петербург, декабрь, 1996);

- на международной конференции «Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики» (Нальчик, декабрь, 1996);

- на международной конференции «Control of Oscillations and Chaos» (St. Petersburg, August, 1997);

- на третьей международной конференции «Дифференциальные уравнения и их применения» (Саранск, май, 1998);

- на международной конференции по прикладной и вычислительной математике («International Conference on Applied and Computational Mathematics»);

- на XII международной конференции «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» (конференция Пятницкого) (Москва, июнь, 2012).

По теме диссертационной работы опубликовано 24 работы, в том числе тридцать статей в журналах, рекомендованных ВАК РФ, четыре монографии.

Автор выражает глубокую признательность своему научному консультанту члену корреспонденту РАН, профессору Геннадию Алексеевичу Леонову за постоянный интерес к работе автора, поддержку и обсуждению результатов.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации получены новые частотные критерии абсолютной устойчивости, дихотомичности и наличия свойства глобальной асимптотики дифференциальных систем с гистерезисными нелинейностями. А именно, здесь гистерезисные функции могут содержать несколько петель, причем направления обхода на них любые. Отдельно рассмотрены два случая: некритический, когда матрица линейной части системы гурвицева, и критический случай, когда эта матрица имеет одно нулевое собственное значение.

Приведены примеры систем второго порядка с гистерезисом, иллюстрирующие применение вышеуказанных случаев. Для систем, описываемых дифференциальным уравнением второго порядка с гистерезисной нелинейностью показано, что полученные частотные условия расширяют область устойчивости в пространстве конструктивных параметров.

Получен новый частотный критерий гармонической стабилизации дифференциальной системы с гистерезисом. Данный критерий может быть применен как для стабилизации нелинейных систем, допускающих хаотическое поведение, так и к анализу захватывания частоты автоколебаний внешним гармоническим воздействием. В качестве примеров применения полученного критерия рассмотрены уравнения автогенератора с гистерезисом и система уравнений автогенератора радиодиапазона с гистерезисом, на которые действует внешняя гармоническая сила.

В диссертации разработаны новые алгоритмы стабилизации стационарных линейных систем. Даны два новых, элементарных, доказательства теоремы Зубова - Уонэма стабилизации стационарных систем по состоянию. Предложенные в работе алгоритмы стабилизации являются, на наш взгляд, наиболее простыми из существующих.

В работе получены необходимые и достаточные коэффициентные условия стабилизируемости двумерных и трехмерных стационарных систем обратной связью с запаздыванием. Выявлены возможности стационарной обратной связи с запаздыванием для стабилизации неустойчивых двумерных и трехмерных систем. Показано, что в седловом случае, когда матрица линейной системы имеет одно положительное собственное значение, или в случае, когда её характеристический полином имеет нулевой корень, неустойчивая трехмерная система не может быть стабилизируемой ни при каком времени запаздывания и ни при каком коэффициенте усиления в обратной связи. Делается вывод, что для обеспечения эффекта Пирагоса, связанного со стабилизацией хаоса, необходимо принять коэффициент усиления в обратной связи зависящим от времени.

В работе проведен нелокальный анализ переходного процесса при включении динамической системы «машина - регулятор Уатта», из неподвижного состояния в стационарное рабочее состояние. Доказаны теоремы об асимптотической устойчивости положения равновесия этой системы, дающие также оценку снизу области притяжения в фазовом пространстве. Рассмотрен случай возмущенной системы, когда коэффициент трения подвержен воздействию случайного процесса типа «белого» шума. Доказаны соответствующие теоремы об устойчивости по вероятности. к

1. Вышнеградский И.А. О регуляторах прямого действия// Изв. Санкт-Петербургского технологического института. 1877. С.21- 62.

2. Абгарян К.А., Рапопорт ИМ. Динамика ракет. М.: Машиностроение, 1969. 378 с.

3. Абгарян К. А., Калязин Э.Л., Мишин В.П. Динамика ракет. М.: Машиностроение, 1990.463 с.

4. Аппазов Р.Ф., Лавров С.С., Мишин В.П. Баллистика управляемых ракет дальнего действия. М.: Наука. 1966. 270 с.

5. Колесников КС. Динамика ракет. М.: Машиностроение. 2003. 520 с.

6. Колесников КС. Жидкостная ракета как объект регулирования. М.: Машиностроение. 1969. 298 с.

7. Колесников КС. Продольные колебания ракеты с жидкостным ракетным двигателем. М.: Машиностроение. 1971. 260 с.

8. Колесников КС., Сухов В.Н. Упругий летательный аппарат как объект автоматического управления. М.: Машиностроение. 1974. 267 с.

9. Раушенбах Б.В., Токарь E.H. Управление ориентацией космических аппаратов. М.: Наука, 1974. 598с.

10. Раушенбах Б.В. Вибрационное горение. М.: Физматгиз. 1961. 222 с.

11. Леонов Г.А., Селеджи С.М. Системы фазовой синхронизации в аналоговой и цифровой схемотехнике. С.-Петербург: "Невский Диалект 2002. 112 с.

12. Леонов Г.А., Селеджи С.М. Методы коррекции расфазировок в цифровых сигнальных процессорах// Вестник Санкт-Петербургского университета. 2004. Сер. 10. Вып. 1-2. С. 36-47.

13. Зубов В.И. Теория оптимального управления. JL: Судостроение 1966. 352с.

14. Зубов В.И. Математические методы исследования систем автоматического регулирования. Л.: Машиностроение, 1974. 335с.

15. Зубов В.И. Лекции по теории управления. М.: Наука, 1975. 495с.

16. Зубов В.И. Динамика управления систем. М.: Высшая школа, 1982. 286с.

17. Зубов В.И. Проблема устойчивости процессов управления. С.-Петербург, 2001.353с.1819,20,21,22,23