автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Об управляемости и стабилизируемости движений управляемых систем

На правах рукописи

КИМ ЕВГЕНИЙ БОРИСОВИЧ

ОБ УПРАВЛЯЕМОСТИ И СТАБИЛИЗИРУЕМОСТИ ДВИЖЕНИЙ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ульяновск - 2006

Работа выполнена на кафедре механики и теории управления государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования Ульяновский государственный университет.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Андреев Александр Сергеевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Вельмисов Петр Александрович,

доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник Сергеев Всеволод Сергеевич.

Ведущая организация: Институт проблем управления РАН

Защита состоится 11 октября 2006 г. в И ч._00_ мин. на заседании диссертационного совета Д 212.278.02 при Ульяновском государственном университете по адресу: г. Ульяновск, Университетская набережная, 1, ауд. 703.

Отзывы по данной работе просим направлять по адресу: 432970, г. Ульяновск, ул. Л. Толстого, 42, УлГУ, УНИ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ульяновского государственного университета.

Автореферат разослан

Ученый секретарь диссертационного совета

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

В соответствии с бурным развитием науки и техники в середине прошлого века внимание многих ученых привлекла теория управляемых систем. Существенное место в этой теории занимают задачи о стабилизации движений дополнительными управляющими силами. Круг таких задач наиболее точно был определен в работах А. М. Летова, поставившего задачу об аналитическом конструировании регуляторов1.

Ограниченность природных и материальных ресурсов вызвало и вызывает большое внимание к исследованию экстремальных задач. Соответственно этому большое место в теории управляемых систем занимает теория оптимальных процессов. В общей теории стабилизации движений важным является не только построение стабилизирующего управляющего воздействия, но и выбор среди класса таких управлений наилучшего в соответствии с заданным качеством переходного процесса. Как показано в работах Н. Н. Красовского и других ученых2, эта задача тесно связана с задачей об управляемости системы. Развитие сложных систем управления приводит к необходимости искать новые пути и средства в решении задач о стабилизируемости и управляемости с учетом нелинейности, нестационарности и многосвязности объектов управления. Поэтому эти проблемы остаются актуальным предметом многих научных исследований.

Цель диссертационной работы.

1. Обоснование новых способов решения ряда модельных задач об управляемости и стабилизируемости движений.

2. Разработка новых общих алгоритмов решения задач об управляемости и стабилизируемости.

*Летов A.M. Аналитическое конструирование регуляторов // АиТ. I960. .V4. С.436-441; №5. С.561-568; №6. C.660-66S; 1961. №4. С.425-435. 1962. №11. С.1405-1413.

2Красовскнй H.H. Теория оптимальных управляемых систем Сб.: Механики н СССР за 50 лет. Т.1. М.: Наука, 1968. С.179-244.

Методы исследования.

В работе используются методы исследования и решения задач, широко применяемые в теории управления, в теории дифференциальных уравнений, в теории устойчивости движения и в теории моделирования.

Научная новизна.

В диссертации разработаны новые способы решения задач о стабилизации и управлении движением на основе использования знакопостоянных функций Ляпунова. Они применены для решения ряда модельных задач.

Положения, выносимые на защиту.

Автором защищаются следующие положения:

- методика решения задач об управляемости и стабилизируемости движений стационарной и нестационарной управляемых систем.

- способы исследования задач об оптимальной стабилизации установившегося и неустановившегося движений со знакопостоянной оптимальной функцией Ляпунова.

- решение различных задач о стабилизации и управлении движением: о стабилизации движения с гарантированной оценкой качества управления, об управляемости нелинейной системы и др.

- алгоритмы исследования модельных задач об управлении и стабилизации движений.

Теоретическая и практическая значимость.

Работа имеет теоретический характер. Результаты, полученные в диссертационной работе, могут быть использованы в математической теории управления движением, в решении прикладных задач о стабилизации и управлении движением.

Апробация работы.

Отдельные результаты диссертации докладывались и обсуждались:

- на VIII Международной Четаевской конференции "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением". Июль 2002, г. Казань.

Россия;

- на Пятой Международной конференции "Математическое моделирование физических, экономических, технических, социальных систем и процессов". Июнь 2003, УлГУ, г. Ульяновск. Россия;

- на Юбилейной конференции "Классические задачи динамики твердого тела посвященной 80-летию со дня рождения Павла Васильевича Харламова. Июль 2004, г. Донецк, Украина.

- на VIII Международном семинаре по устойчивости и колебаниям систем управления. Памями Е.С. Пятницкого. Июнь 2004. г. Москва.

- на Международной конференции "Моделирование динамических систем и исследование устойчивости". Май 2005. Киев. Украина.

- на X-XIV ежегодной научно-практической конференции студентов и аспирантов Ульяновского государственного университета, 2001-2005 гг. УлГУ, г. Ульяновск;

- на семинарах кафедры механики и теории управления Ульяновского государственного университета, 2000-2005 гг. УлГУ, г. Ульяновск.

- на VI Международной конференции "Математическое моделирование физических, технических, экономических, социальных систем и процессов". Октябрь 2005г., УлГУ, Ульяновск.

Личный вклад автора.

Постановка задачи предложена научным руководителем профессором А. С. Андреевым. Основные результаты диссертации получены автором самостоятельно.

Публикации.

По теме диссертации опубликовано 11 работ, в том числе, 8 статей. Список публикаций приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы из 142 наименований источников отечественных и зарубежных авторов. Общий объем диссертации составляет 105 страниц.

Содержание работы.

Введение содержит обоснование актуальности рассмотренных в диссертации вопросов. Определяются цель исследования, научная новизна и практическое значение. Дается краткий обзор исследуемой проблемы и краткое содержание диссертации.

В первой главе диссертации обосновываются новые способы решения задач о стабилизации, оптимальной стабилизации и управления движением автономной управляемой системы.

В первом параграфе излагается постановка задачи о стабилизирусмо-сти, управляемости и оптимальной стабилизации движения управляемой системы и проводится анализ ее решения на основе функции Ляпунова.

Рассматривается управляемая система, движение которой описывается системой дифференциальных уравнений

х = Х^,х,и), Л"(410,0) = 0> (1)

где х = (жь ..., хп)' - вектор п-мерпого линейного действительного пространства Яп с нормой ||х|| = (х? + ■ • • + и — (иг,...,ит)' -вектор управляющих воздействий, и е Л"1, Ет - тп-мерное линейное действительное пространство с нормой ||и|| — (и\ + ■ ■ • + X -вектор-функция, определенная и непрерывная в области Л1 х С х Ятп, б = {г £ Я" : ||х|| < Н, 0 < Н ^ +оо} и такая, что для некоторого класса II непрерывных управляющих воздействий и : х —> Л171, 0) = 0, выполняются условия существования и единственности решений системы (1) в области х

Вводятся известные определения управляемости, егабилизируемости и оптимальной стабилизации управляемой системы. Приводятся известные теоремы об оптимальной стабилизации с знакоопределенной оптимальной функцией Ляпунова и проводится их анализ применительно к управляемой линейной системе. Указывается, что для неполностью управляемой линейной системы со специальной формой минимизируемого функционала оптимальное стабилизирующее воздействие мо-

жет существовать, при этом оптимальная функция Ляпунова оказывается лишь постоянно-положительной. Такое свойство демонстрируется на примере решения задачи о стабилизации неустойчивого положения равновесия математического маятника. Тем самым, обосновывается необходимость развития методов исследования задач о стабилизации и об оптимальной стабилизации в направлении применения знакопостоянных функций Ляпунова. Представлен алгоритм построении неуправляемой стабилизируемой системы и решения зг д,ачи об ее оптимальной стабилизации.

Во втором параграфе доказаны теоремы об оптимальной и глобальной оптимальной стабилизации невозмущенного движения нелинейной управляемой системы с постоянно-положительной оптимальной функцией Ляпунова. Разработан алгоритм решения вырожденных задач об оптимальной стабилизации линейных систем, на основе которого численно решена задача об оптимальной стабилизации неустойчивого положения равновесия маятника в линейной постановке.

Пусть движение управляемой системы описывается уравнениями tlt*

— = Х{х,и), Х(0,0) = 0, (2)

где г 6 й" - п— мерный фазовый вектор, и € Rm - то—мерный вектор управления, X : R" X RTn —>Rn- непрерывная вектор-функция.

Система (1) при и — 0 имеет решение x(t, 0) = 0, отвечающее невозмущенному движению системы.

Допустим, что для некоторого класса U управляющих воздействий и = и(х), определенных и непрерывных в области Л", удовлетворяющих условию п(0) = 0, правая часть системы (1) удовлетворяет условиям существования и единственности решений х = x(t,xo), х(0, xq) = xq.

Рассмотрим задачу об оптимальной стабилизации невозмущенного движения х = 0 системы (1) в классе управлений U с минимизируй-

мым функционалом

с«

1(и) = !\У{х,и)<И, о

где \У : Д" х Н.т -> Л4" есть непрерывная фуикция, ^(0,0) = 0.

При обозначении

д V

В[У, X, и] = — • и) + и)

доказана следующая теорема.

Теорема 1. Предположим, что существуют функция Vго(х) и управляющее воздействие и = и0(ж), и £11, такие, что:

1) для всех х (Е = {||х|| < Н\ > 0} выполняются соотношения

У°(х)>0, В[У°,х,и0(х)} = 0-,

2) для любого и = , и 6 {/, в области Со справедливо неравенство

3) множество {У0(х) > 0} П (И^*) = 0} = \У{х, и°(х))) не содержит движений системы при и — и0(ж);

4) невозмущенное движение х = 0 системы (1) при и = и°(х) асимптотически устойчиво относительно множества {У°(х) = 0}.

Тогда управляющее воздействие и°(х) решает задачу об оптимальной стабилизации невозмущенного движения 1 = 0 системы (1).

В §3 дается развитие результатов из §2 для решения задач о стабилизируемое™ и управляемости движения нелинейной управляемой системы. Даны новые алгоритмы решения этих задач, основанные на применении знакопостоянных функций Ляпунова.

В качестве модельного примера решается задача (в нелинейной постановке с прямым управлением) о стабилизации верхнего неустойчивого положения равновесия маятника управляющим моментом, приложенным в точке его подвеса.

Во второй главе диссертации обосновывается решение задачи о стабилизации движения нестационарной управляемой системы с использованием знакопостоянных функций Ляпунова. Такое решение возможно на основе предельных уравнений и предельных функций Ляпунова.

В §1 приводятся необходимые построения в форме определений предельного уравнения, свойства квазииI. вариантности положительного предельного множества движения, предельной функции Ляпунова, устойчивости невозмущенного движения относительно заданного множества. Эти построения позволяют вывести форму достаточных условий стабилизируемости невозмущенного движения нестационарной управляемой системы, развивающую как классические теоремы, так и результаты с использованием знакоопределенной функции Ляпунова, имеющей знакопостоянную производную.

В §2 доказываются теоремы об оптимальной стабилизации, в которых оптимальной функцией Ляпунова или оценкой качества управления служит постоянно-положительная функция Ляпунова.

Пусть и = и°(£, х) и0 6 Л, есть некоторое выбранное управляющее воздействие, под действием которого уравнения управляемого движения (1) принимают вид:

х = х°(г, х), Xх) = ХЦ, X, и°(*, I)). (3)

Будем полагать, что правая часть системы (3) Х°(1,х) удовлетворяет условию Липшица: для любого компактного множества К С С найдется число Ь = Ь(К), такое, что

||А'°(г, х2) ~ ¡п)|| ^ Ц\Х1 - х2\\ (4)

для любого í € Л+ и любых точек 11,2:2 6 К.

В силу условия (4) находим, что правая часть Х°(1,х) ограничена на каждом компактном множестве К С О, так как для каждого х €Е С из неравенства (4) следует

\\Х(г,х)\\ = -ХМ)|| ^ Ц\х\\ ^ЬМ, М = шах{||х||, х е К}.

Для каждого компактного множества К и каждого малого е > О зафиксируем числа

LK = ЦК) и 5К = (5)

Пусть F есть семейство функций X* : R х G —Л", непрерывных по х при фиксированном t 6 R, измеримых по t при фиксированном х, удовлетворяющих условиям: для каждой функции X* на каждом множестве К С G найдутся две локально интегрируемые функции lfc(t) и Vx{t) (1к, Vk € £i)> такие, что

||Х*(*. аОН ||X*(i,a:2)-X*(iia;i)|| ^ VK(t)\\x2 - Xl\\ (6)

для всех (t, X2) E R x К, при этом функции и ^ тако-

вы, что для любого t £ R и любого измеримого множества £ с [£, i + 1] с мерой ц(Е) ^ выполнены неравенства

t+i

J lK(r) dr^e, J г]К{т) dr < LK,

Е t

где числа Ьк и 5 к фиксированы в соотношениях (5).

Посредством некоторой метрики семейство F может быть представлено как компактное метрическое пространство. Семейство сдвигов {X*(t, х) = X*(t + т,х), т G R} каждой функции Л" € F, в том числе и правой части системы (1) (продолженной при необходимости для всех t G R) оказывается предкомпактным в F. Соответственно следует, что для любой последовательности t^ —> +оо найдется подпоследовательность tk, —> +00, относительно которой существует предельная система уравнений3

t

х = X*(t, х), X*{t, х) = ^ lim f X°(tkl + r, x) dr. (7)

dt l-t00 J 0

3Андреев A.C. Об асимптотической устойчивости и неустойчивости иулоиога решения неавтономной системы // TIMM. - 1984. - T.48. - Вып.2. - С.225-232.

Функция X* : RxG -> R" в соответствии с этим определением и в силу условия (6) будет такова, что для каждой точки (io, £о) £ flxG решение а; = x{t] to, xq) системы (7) является также единственным.

Теорема 2. Предположим, что в области R+ х G существуют функция Ляпунова V — V°(t,x) > 0, V(i,0) = 0, и управляющее воздействие и = u°(t, х), такие, что:

1) движение системы (3) из некоторой области Go = {||х|| < #о > 0} равномерно ограничены областью G\ = {||х|| < Н\ < Я};

2) функция V допускает бесконечно малый высший предел, V(t,x) < fc(||®||);

3) имеет место тождество

4) для каждой предельной пары {X*, W*) множество с) : с = const > 0}p|{^"(i>a;) = 0} не содержит движений системы х = X*(t,x)\

5) невозмущенное движение х = 0 равномерно асимптотически устойчиво относительно семейства {(X*, И7*), V^1 (i, 0)} с областью равномерного притяжения {Vro^1(0,0) H^i};

6) для любого и Е U справедливо неравенство

B[t,x,V°(t,x),u(t,x)] > 0.

Тогда управляющее воздействие и = u°(t,x) решает задачу об оптимальной стабилизации невозмущенного движения системы (3): при и = u°(t, х) х = 0 равномерно асимптотически устойчиво с областью равномерного притяжения Go, для каждого соответствующего движения х — x°(t,to,xo), (to,XQ) G R+ x Go,

+oo +oo

V(to, xo) = J W[t,x°[t},u°[t})dt = mm J W[t,x[i\,u[t})di <0 «0

относительно каждого управляющего воздействия и = х), при котором соответствующее движение х = х(Ь, to, хо) —0, ((¿о, Жо) ё х Со) при 2 —> Ч-оо.

В §3 выводятся достаточные условия управляемости нелинейной нестационарной системы. Эффективность доказанных теорем показана на примере решения задачи об управлении колебаниями математического маятника.

В третьей главе диссертации показано применение общих методов исследования из глав I и II в решении модельных и дополнительных задач об управляемости и стабилизируемости.

В §1 рассматривается задача о стабилизации нелинейной управляемой системы с гарантированной оценкой качества управления. Определение такой стабилизации является развитием постановки полуобратного способа решения задачи об оптимальной стабилизации, обоснованного в работах В. В. Румянцева4. Доказываются соответствующая теорема о стабилизации невозмущенного движения с гарантированной оценкой качества управления в виде неотрицательной функции и теорема об оптимальной стабилизации.

В §2 рассматривается задача о стабилизации неустойчивого положения равновесия математического маятника в предположении, что управляющий момент вырабатывается исполнительным механизмом, являющимся интегрирующим звеном, под действием управления и. Такая задача является классическим примером, па основе которой иллюстрируется эффективность выводимых методов стабилизации. Дано аналитическое решение этой задачи в нелинейной постановке со специальным видом минимизируемого функционала. Проводится численный анализ эффективности полученного решения в сравнении с известными резуль-

* Румянцев В.В. Об оптимальной стабилизации управляемых систем. // ПММ. 1970. Т.34. Вып.З. С.440-456.

татами5.

В §3 решены задачи: об управляемости и стабилизируемости произвольного вращения твердого тела; о стабилизации с гарантированной оценкой качества управления этого вращения; об оптимальной стабилизации нестационарного вращательного движения тела вокруг наибольшей и наименьшей осей инерции; о стабилизации неустойчивого стационарного движения тела вокруг средней его оси инерции.

В заключении диссертации излагаются ее основные результаты:

- методы решения задач об управляемости и стабилизируемости движения стационарной и нестационарной управляемых систем на основе знакопостоянных функций Ляпунова;

- методы исследования задач об оптимальной стабилизации установившегося и неустановившегося движений со знакопостоянной оптимальной функцией Ляпунова;

- решение задач об управляемости нелинейной системы; о стабилизации движения с гарантированной оценкой качества управления и др;

- алгоритмы решения задач о стабилизируемости линейной управляемой системы;

- аналитическое и численное решение задач прикладного характера о стабилизации и управлении движениями модельных управляемых механических систем.

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

1. Ким Е.Б. Об управляемости и стабилизируемости движения нестационарной управляемой системы // Ученые записки УлГУ. Серия "Фундаментальные проблемы математики и механики". - Ульяновск. - 2002. - Выи.2(12). - С.152-154.

2. Ким Е.Б. Об устойчивости неустановившихся движений гироскопа

5Габасов В., Лубонкин A.B. Стабилизация линейных механических систем оптимальными управлениями линейно-квадратичных задач // ПММ. 1998. - Т.62, - Вып.4. - С.556-565. Красовский H.H. Проблемы стабилизации управляемых движений / / Мал кип И.Г. Теория устойчивости движения. Доп. 4. - М-: Наука, - 1966. - С,475-514.

// Труды Пятой Международной конференции "Математическое моделирование физических, экономических, технических, социальных систем и процессов". - Ульяновск, - 2003. - С.88-89.

3. Андреев A.C., Ким Е.Б. Знакопостоянные функции Ляпунова в задаче об оптимальной стабилизации // Ученые записки УлГУ. Серия "Фундаментальные проблемы математики и механики".- Ульяновск. -2004. - Вып.1(14). - С.30-43.

4. Андреев A.C., Ким Е.Б. О глобальной стабилизируемости и управляемости нелинейной системы // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2004. - Т.П. - Вьтп.З. - С.613-614.

5. Ким Е.Б. О стабилизации движений нестационарной управляемой системы // Устойчивость и колебания нелинейных систем управления. VIII Международный семинар. Памяти Е. С. Пятницкого. Июнь. Москва. 2004. Тезисы докладов. - М.: Институт проблем управления РАН. - С.85-87. -

6. Андреев A.C., Ким Е.Б. О стабилизации невозмущенного движения управляемой системы с ограничением на управление // Седьмая Крымская Международная Математическая школа МФЛ - 2004. Метод функций Ляпунова и его приложения. Крым, Алушта, 11-18 сентября, 2004. Тезисы докладов. - Симферополь. - 2004. - С. 18.

7. Андреев A.C., Ким Е.Б. Об оптимальной стабилизации установившегося движения управляемой системы // Механика твердого тела. -2004.-Т.34.-С.119-126.

8. Ким Е.Б. О стабилизации движения управляемой системы с гарантированной оценкой качества управления // Dynamical system modelling and stability investigation. International Conference. Thesis of Conference reports. - Kyiv. - 2005. - C.57.

9. Бахурский В.Ю., Ким Е.Б. О стабилизации неустойчивого положения равновесия математического маятника в нелинейной постановке // Труды Шестой Международной конференции "Математическое модели-

рование физических, технических, экономических, социальных систем и процессов". - 19-21 октября 2005 года, - г.Ульяновск. - С.20-21.

10. Ким Е.Б. К задаче о стабилизации движений нестационарной управляемой системы // Ученые записки УлГУ. Серия "Фундаментальные проблемы математики и механики". - Ульяновск. - 2005. Вып.1(15). - С.50-57.

11. Ким Е.Б. О моделировании нелинейной управляемой системы // Электронный журнал ИНЭКА "Социально-экономические и технические системы "(регистрационное свидетельство № 001 от 21.04.2006, № гос. регистрации 0420600029). 2006. №3(19).

Подписано в печать 06.09.2006. Формат 60x84/16. Усл. печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ №128/4^

Отпечатано с оригинал-макета в типографии Ульяновского государственного университета 432970, г. Ульяновск, ул. Л. Толстого, 42

Введение

Глава I. О стабилизации движений стационарной управляемой системы

§1. Постановка задачи о стабилизации. Управляемость линейной системы в задаче о стабилизации

§2. Об оптимальной стабилизации невозмущенного движения автономной управляемой системы

§3. О стабилизируемости и управляемости нелинейной управляемой системы

Глава II. О стабилизации движений нестационарной управляемой системы

§1. Постановка задачи. Основные предположения и построения.

Теоремы о стабилизации невозмущенного движения

§2. Об оптимальной стабилизации неустановившегося движения

§3. Различные задачи о стабилизируемости и управляемости нестационарной системы

Глава III. Об управляемости и стабилизируемости в некоторых основных модельных задачах

§1. Некоторые задачи о стабилизации управляемого движения

§2. О стабилизации неустойчивого положения равновесия математического маятника в нелинейной постановке

§3. Об управлении движением твердого тела с неподвижной точкой

В соответствии с бурным развитием науки и техники в середине прошлого века внимание многих ученых привлекла теория управляемых систем. Существенное место в этой теории занимают задачи об управляемости и стабилизируемости объектов, моделируемых обыкновенными дифференциальными уравнениями.

Круг задач о стабилизируемости впервые наиболее полно был определен в работах A.M. Летова [85, 86, 87], поставившего задачу об аналитическом конструировании регуляторов. Эффективным методом исследования таких задач явился метод функций — функций Ляпунова, основанный в трудах великого русского математика A.M. Ляпунова [92], а затем многосторонне развитый в работах Н.Г. Че-таева [127,128], Н.Н. Красовского [73, 76], В.В. Румянцева [110, 111] и многих других известных русских ученых [18, 19, 35, 42].

Ограниченность природных и материальных ресурсов вызывала и вызывает большое внимание к исследованию экстремальных задач. Соответственно этому большое место в теории управляемых систем занимает теория оптимальных процессов. В общей теории стабилизации движений важным является не только построение стабилизирующего управляющего воздействия, но и выбор среди класса таких управлений наилучшего в соответствии с минимизацией затрат на управление и с заданным качеством переходного процесса. Наиболее полная постановка таких задач и основные методы ее решения были даны в работах Н.Н. Красовского и его школы в 5070-е годы XX века [72, 78, 79].

Целью любой системы управления является реализация заданного состояния, движения или процесса объекта управления. Соответственно первоочередной задачей анализа любой соответствующей модели такой системы является задача об управляемости. Если для линейной модели эта проблема является достаточно изученной [22, 51, 126], то для нелинейной системы она недостаточно исследована.

Дальнейшее усложнение моделируемых объектов приводит к необходимости искать новые методы анализа управляемости и стабилизируемое™ для построенной математической модели его системы управления с учетом нелинейности, нестационарности и много-связности объектов управления. Поэтому разработка таких методов остается актуальной и в настоящее время.

Практически невозможно осветить все направления исследований по стабилизируемости и управляемости объектов, моделируемых обыкновенными дифференциальными уравнениями. Ниже приводится небольшой их обзор, в достаточной степени затрагивающий круг решаемых в диссертации задач.

Как указано выше, проблема аналитического конструирования регуляторов, поставленная A.M. Летовым [85, 86, 87], была развита Н.Н. Красовским и его школой в теорию оптимальной стабилизации управляемых движений [77]-[79], тесно смыкающей с теорией устойчивости.

Среди задач о стабилизируемости наиболее полно исследована задача о существовании стабилизирующего управления для систем, моделируемых линейными уравнениями. При этом выяснилась существенная роль условий управляемости линейных систем [59, 138]. Показано, что если существует стабилизирующее воздействие, то задача об оптимальной стабилизации таких систем разрешима. В соответствии с теорией устойчивости по первому приближению развита теория стабилизации по первому приближению установившихся движений, выделены критические случаи стабилизации и указаны способы построения стабилизирующих воздействий в критических случаях. Эти и иные результаты работ [2, 29, 30], а также других работ подробно освещены в обзоре [78], приведены в [77, 124], включены во многие учебники (например, [1, 16, 43, 44, 108, 125] и другие), широко используются при моделировании и расчетах систем управления [3, 25, 70, 69, 71, 101, 122] и др.

Решение задачи об оптимальной стабилизации движения нелинейной системы имеет определенные сложности, связанные с решением уравнения в частных производных типа Беллмана [22, 23]. Помимо рассмотрения линейного приближения, упомянутого выше, предлагались также другие способы решения такого уравнения: для нелинейных систем при малых возмущениях по степеням этих возмущений [43, 44], квазиоптимальной стабилизации для систем с нелинейностью, зависящей от малого параметра [16, 52].

Широкое применение получил предложенный В.В. Румянцевым полуобратный метод [112], состоящий в определении части подынтегральной функции минимизируемого функционала по известной оптимальной функции Ляпунова, являющейся устойчивой функцией Ляпунова для системы без управления. Этот метод с успехом использован в решении ряда прикладных задач (см. например, [70, 82]).

Как известно, работа В.В. Румянцева [110] явилась основанием для развития нового направления в теории устойчивости движения - устойчивости относительно части переменных. Многочисленные исследования в силу их прикладной значимости были посвящены задаче о стабилизации и об оптимальной стабилизации движения по части переменных. Подробно об этом изложено в монографиях [27, 115], решение интересных задач можно найти в [24, 27, 100, 115].

Как развитие полуобратного метода в работах [7, 141] дана постановка задачи о стабилизации невозмущенного движения с гарантированной оценкой качества управления и ее решения на основе функции Ляпунова.

Большой раздел в теории управляемых систем занимают задачи об управляемости и стабилизируемости движений управляемых механических систем [48]-[49], [75, 91, 112, ИЗ, 120] и другие, исследуемые на основе анализа их линейных моделей. Исследована задача о влиянии гироскопических сил и сил сопротивления на ста-билизируемость положения равновесия механической системы [75], стабилизация при диссипативных силах [29, 30], влияние наложения неголономной связи на стабилизируемость положения равновесия консервативной системы [77]. В работе [113] исследована задача о стабилизации стационарного движения механической системы с циклическими координатами по позиционным координатам и импульсам при помощи управляющих сил, приложенных по циклическим координатам. Ее изучение продолжено в работах [15], [48]-[49], [91, 120]. В них сформулирован ряд эффективных критериев управляемости и стабилизируемости установившихся движений голоном-ных и неголономных механических систем.

Из работ, посвященных задачам управления других классов моделей, выделяются работы, посвященные построению программных движений на заданных многообразиях с условиями их устойчивости и стабилизируемости [98, 99]. В работах [33, 41] выведены условия управляемости и стабилизируемости программных движений механических и электромеханических обратимых систем. В работе [121] получены стабилизирующие управления для программных движений лагранжевых систем. Методы решения этих задач можно отнести к полуобратным, когда модель управления создается на основе известной функции Ляпунова.

Из общих исследований по применению функций Ляпунова в нелинейных системах управления выделим работы [46], [62]-[66], [102, 103]. В работах [46, 64, 65, 66, 102, 103] применялись теоремы типа классических теорем. В работах [62, 63] представлен алгоритм построения сложной функции Ляпунова по склеиваемым областям притяжения.

Среди других направлений в теории управляемых систем, несвязанных с этим методом, отметим исследования модельных задач управления с неполной обратной связью [38, 39, 40].

Развитие метода функций Ляпунова для задач устойчивости естественным образом расширяет границы его применимости для задачи о стабилизируемости и управляемости. В частности, развитие прямого метода Ляпунова исследования асимптотической устойчивости невозмущенного движения неавтономной системы на основе знако-определенной функции Ляпунова со знакопостоянной производной [4, 5] позволило решить ряд задач об устойчивости и стабилизации нестационарных механических систем [7, 129, 135].

Основным средством исследований, проводимых в диссертации, является применение знакопостоянных функций Ляпунова. Его использование в задачах устойчивости обосновано сравнительно недавно.

В работах [26, 31,119] выведены методы исследования устойчивости невозмущенного движения динамической системы на основе знакопостоянных функций Ляпунова. Эти результаты обобщены для неавтономной системы в работах [50, 67, 68], а в наиболее полной форме — в работах [9, 14].

Исследования по применению знакопостоянных функций Ляпунова в задачах построения оптимальных систем управления до настоящего времени практически не проводились, такие источники в литературе отсутствуют. Однако, как показано в первом параграфе первой главы диссертации, задача об оптимальной стабилизации в простой модели математического маятника приводится к нахождению неотрицательной оптимальной функции Ляпунова.

Целью диссертационной работы является:

1. Обоснование новых способов решения ряда модельных задач об управляемости и стабилизируемости движений.

2. Разработка новых общих алгоритмов решения задач об управляемости и стабилизируемости.

В первой главе диссертации обосновываются новые методы решения задач об управлении системы, моделируемой автономными дифференциальными уравнениями.

В первом параграфе вначале приводится постановка задачи об оптимальной стабилизации движения управляемой системы и ее решение на основе знакоопределенной функции Ляпунова в соответствии с широко известной работой Н.Н. Красовского [77]. В ней, в частности, показано, что для линейной управляемой системы х — Ах + Ви управляемость пары матриц (А, В) необходима и достаточна в решении задачи об оптимальной стабилизации ее невозмущенного движения х = 0, в случае когда подынтегральная функция минимизируемого функционала является определенно-положительной по х и по и. При этом, оптимальная функция Ляпунова является положительно-определенной квадратичной формой.

В §1 указывается, что для неполностью управляемой линейной системы со специальной формой минимизируемого функционала оптимальное стабилизирующее воздействие может существовать, при этом оптимальная функция Ляпунова оказывается лишь постоянно-положительной. Такое свойство демонстрируется на примере стабилизации в простой модели математического маятника. Тем самым, обосновывается необходимость развития методов исследования задач об управлении в направлении применения знакопостоянных функций Ляпунова.

В §2 доказаны теоремы об оптимальной и глобальной оптимальной стабилизации невозмущенного движения нелинейной управляемой системы с постоянно-положительной оптимальной функцией Ляпунова. Дано решение задачи об оптимальной стабилизации неустойчивого положения равновесия маятника в линейной постановке из [77]. Обсуждается вопрос о необходимых и достаточных условиях оптимальной стабилизации при нарушении основных предположений доказанных теорем.

В §3 дается развитие результатов из §2 для решения задач о стабилизируемости и управляемости движения нелинейной управляемой системы. Даны новые решения этих задач, основанные на применении знакопостоянных функций Ляпунова. В качестве иллюстрирующего примера общих теорем решается задача (в различной нелинейной постановке) о глобальной управляемости математическим маятником для нелинейной модели с управляющим моментом, приложенным в точке подвеса.

Полученные в первой главе диссертации результаты развивают некоторые общие способы решения задач о стабилизации и управлении, обоснованные в работах [24, 61], [77]-[79], [90].

Во второй главе диссертации дается решение задачи о стабилизируемости, в том числе оптимальной, и управляемости нестационарной управляемой модели с использованием знакопостоянных функций Ляпунова. Такое решение возможно на основе предельных уравнений и предельных функций Ляпунова, применение которых в теории устойчивости в наиболее полной форме дано в работах [4, 5, 6, 8, 14].

В §1 приводятся необходимые построения в форме определений предельного уравнения, свойства квазиинвариантности положительного предельного множества движения, предельной функции Ляпунова, устойчивости невозмущенного движения относительно заданного множества. Эти построения в соответствии с [8, 14] позволяют вывести форму достаточных условий стабилизируемости невозмущенного движения нестационарной управляемой системы, непосредственным образом развивающую как классические теоремы из [77], так и результаты из [7] с использованием знакоопределенной функции Ляпунова, имеющей знакопостоянную производную.

В §2 доказываются теоремы об оптимальной стабилизации, в которых оптимальной функцией Ляпунова служит постоянно-положительная функция Ляпунова. Доказанные теоремы развивают и обобщают ряд известных результатов [7, 83, 77].

В §3 решается задача о стабилизации невозмущенного движения в модели с ограничением на управление. Выводятся достаточные условия управляемости нелинейной нестационарной системы. Эффективность доказанных теорем показана на примере решения задачи об управлении колебаниями математического маятника. Эта задача является распространенной моделью многих управляемых процессов.

В третьей главе диссертации показано применение общих методов исследования из глав I и II в решении некоторых модельных задач об управлении.

В §1 рассматривается задача о стабилизации нелинейной управляемой системы с гарантированной оценкой качества управления. Определение такой стабилизации, введенное в работе [7], является развитием постановки полуобратной модели об оптимальной стабилизации из [112]. Доказывается соответствующая теорема о стабилизации невозмущенного движения с гарантированной оценкой качества управления в виде неотрицательной функции. Доказана теорема об оптимальной стабилизации в постановке В.В. Румянцева [112], в том числе, в предположении, что относительно управляющего воздействия введены ограничения на его величину.

В §2 рассматривается задача о стабилизации неустойчивого положения равновесия математического маятника в предположении, что управляющий момент вырабатывается исполнительным механизмом, являющимся интегрирующим звеном, под действием управления и. Такая задача является классической моделью [77], на основе которой иллюстрируется эффективность выводимых методов стабилизации (см. например, [17, 28, 101]). Дан алгоритм аналитического решения этой задачи в нелинейной постановке при условии минимума функционала, в достаточной степени характеризующего потери системы на стабилизирующее управление.

В §3 показана эффективность разработанных общих методов исследования задач о стабилизации из глав I и II в решении различных задач о стабилизации вращательных движений твердого тела вокруг неподвижной точки. Решены задачи: о стабилизации с гарантированной оценкой качества управления произвольного нестационарного вращения тела; об оптимальной стабилизации нестационарного вращательного движения тела вокруг наибольшей и наименьшей осей инерции; о стабилизируемости неустойчивого стационарного движения тела вокруг средней его оси инерции.

В заключении диссертации излагаются ее основные результаты, дается краткий сравнительный анализ с имевшимися ранее результатами по исследуемым задачам, указываются возможные их применения к другим задачам.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка

Заключение

В диссертации получены следующие основные результаты:

- методика решения задач об управляемости и стабилизируемо-сти движений стационарной и нестационарной управляемых систем.

- способы исследования задач об оптимальной стабилизации установившегося и неустановившегося движений со знакопостоянной оптимальной функцией Ляпунова.

- решение различных задач о стабилизации и управлении движением: о стабилизации движения с гарантированной оценкой качества управления, об управляемости нелинейной системы и др.

- алгоритмы исследования модельных задач об управлении и стабилизации движений.

Они имеют следующее значение для теории моделирования систем управления, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями [81, 95, 130].

Доказанные общие теоремы о стабилизируемости и управляемости представляют собой теоретическое развитие результатов работ [16, 22, 44, 62, 78, 83, 90, 112]. Это развитие состоит в обосновании применения знакопостоянных (не знакоопределенных, как ранее) функций Ляпунова.

Получено новое решение задачи об оптимальной стабилизации управляемой системы, моделируемой линейными уравнениями. Новизна состоит в отсутствии предположения управляемости пары матриц (А, В) ив возможности более широкого по сравнению с [59, 77] минимизируемого функционала. Представлен соответствующий общий алгоритм решения такой задачи, который подобно аналогичным разработкам из [25, 101] может иметь широкое применение [16].

Полученные теоретические результаты иллюстрируются в нахождении новых решений задачи о стабилизации верхнего неустойчивого положения равновесия математического маятника, как в линейной, так и в нелинейной постановке, в решении задачи об управляемости движениями маятника. К такой модельной задаче сводится ряд задач об управлении движениями механических систем [1, 94]. Полученные решения имеют новый качественный уровень по сравнению с результатами из работ [17, 75, 77] тем, что могут быть применены в нелинейной постановке и для более широкого класса минимизируемых функционалов. Эта методика исследования может быть также использована в задачах управления моделями типа "хищник-жертва "гонка вооружений"и т.д. [118].

В задачах об управлении летательными и космическими аппаратами [27, 34, 45, 106] важной моделью является модель об управлении вращательным движением твердого тела. Результаты о стабилизации таких движений, приведенные в последнем параграфе, являются новыми и существенно дополняют результаты указанных работ.

1. Александров В.В., Болтянский В.Г., Лемак С.С., Парусников А., Тихомиров В.М. Оптимизация динамики управляемых систем. М.: МГУ, 2000. 303 с.

2. Альбрехт Э.Г. Об оптимальной стабилизации нелинейных систем // ПММ. 1961. Т.25. Вып.5. С.836-844.

3. Анализ и оптимальный синтез на ЭВМ систем управления // Под ред. А.А. Воронова и И.А. Орурка. М.: Наука. 1984. 412 с.

4. Андреев А.С. Об асимптотической устойчивости и неустойчивости нулевого решения неавтономной системы // ПММ. 1984. Т.48. Вып.2. С.225-232.

5. Андреев А.С. Об асимптотической устойчивости и неустойчивости нулевого решения неавтономной системы относительно части переменных // ПММ. 1984. Т.48. Вып.5. С.707-713.

6. Андреев А.С. О развитии прямого метода Ляпунова в задачах устойчивости // "Компьютерные технологии, наука и образование в XXI веке". Материалы V Международной открытой сессии "Modus Academicus". Ульяновск, 30 ноября, 2001г. С.167-181.

7. Андреев А.С., Безгласный С.П. О стабилизации управляемых систем с гарантированной оценкой качества управления // ПММ. 1997. Т.61. Вып.1. С.44-51.

8. Андреев А.С., Бойкова Т.А. Знакопостоянные функции Ляпунова в задачах об устойчивости // Механика твердого тела. 2002. Вып.32. С.109-116.

9. Андреев А.С., Бойкова Т.А. Об устойчивости неустановившегося движения механической системы // ПММ. 2004. Т.68. Вып.4. С.678-686.

10. Андреев А.С., Ким Е.Б. Знакопостоянные функции Ляпунова в задаче об оптимальной стабилизации // Ученые записки УлГУ. Серия "Фундаментальные проблемы математики и механики". Ульяновск: Изд-во УлГУ. 2004. Вып.1(14). С.30-43.

11. Андреев А.С., Ким Е.Б. О глобальной стабилизируемости и управляемости нелинейной системы // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2004. Т.П. Вып.З. С.613-614.

12. Андреев А.С., Ким Е.Б. Об оптимальной стабилизации установившегося движения управляемой системы // Механика твердого тела. ИПМН НАН Украины (Донецк). 2004. Т.34. С.119-126.

13. Андреев А.С., Ризито К. Об устойчивости стационарного движения // ПММ. 2002. Т.66. Вып.З. С.339-350.

14. Атанасов В.А., Лилов Л.К. О стабилизируемости установившихся движений систем с псевдоциклическими координатами // ПММ. 1988. Т.52. Вып.5. С.713-718.

15. Афанасьев В.Н., Колмановский В.В., Носов В.Р. Математическая теория конструирования систем управления. М.: Высшая школа, 2003. 615 с.

16. Балашевич Н.В., Габасов Р., Кирилова Ф.М. Стабилизация динамических систем в условиях постоянно действующих вращений // ПММ. 1996. Т.60. Вып.2. С.198-204.

17. Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости. М.: Наука, 1967. 240 с.

18. Барбашин Е.А. Функции Ляпунова, М.: Наука, 1970. 223 с.

19. Барбашин Е.А., Красовский Н.Н. Об устойчивости движения в целом // Докл. АН СССР. 1952. Т.86. №3. С. 453-546.

20. Беллман Р., Рликсберг И., Гросс О. Некоторые вопросы математической теории управления. М.: ИЛ, 1962. 336 с.

21. Беллман Р., Калаба Р. Динамическое программирование и современная теория управления. М.: Наука, 1969. 118 с.

22. Блинов А.П. К оптимальной стабилизации управляемых систем // ПММ. 1982. Т.46. Вып.З. С.366-373.

23. Болнокин В.Е., Чинаев П.И. Анализ и синтез систем автоматического управления на ЭВМ. Алгоритмы и программы. М,: Радио и связь, 1986.

24. Булгаков Н.Г. Знакопостоянные функции в теории устойчивости. Минск, 1984. 80 с.

25. Воротников В.И., Румянцев В.В. Устойчивость и управление по части координат фазового вектора динамических систем: теория, методы и приложения. М., Научный мир, 2001. 320 с.

26. Габасов В., Лубочкин А.В. Стабилизация линейных механических систем оптимальными управлениями линейно-квадратичных задач // ПММ. 1998. Т.62. - Вып.4. - С.556-565.

27. Габриелян М.С. О стабилизации неустановившихся движений механических систем // ПММ. 1964. Т.28. Вып.З.

28. Габриелян М.С., Красовский Н.Н. К задаче о стабилизации механической системы // ПММ. 1964. Т.28. Вып.5.

29. Гайшун И.В., Княжище Л.Б. Условия устойчивости вполне интегрируемых автономных уравнений // Дифференциальные уравнения. 1982. Т.18. №8. С.1453-1456.

30. Галиулин А.С., Мухаметзянов И.А., Мухарлямов Р.Г., Фурасов В.Д. Построение систем программного движения. М.: Наука. 1971. 352 с.

31. Гинзбург А.Р., Тимофеев А.В. Об адаптивной стабилизации программных движений механических систем // ПММ. 1977. Т.41. Вып.5. С.859-869.

32. Дегтярев Г.JI., Сиразетдинов Т.К. Теоретические основы оптимального управления упругими космическими аппаратами. 1986. М.: Машиностроение. 214 с.

33. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Физматгиз, 1967. 472 с.

34. Дмитриева М.В., Ким Е.Б. К задаче о стабилизации движения управляемой механической системы // Ученые записки УлГУ. Серия "Фундаментальные проблемы математики и механики". Ульяновск: Изд-во УлГУ. 2001. Вып.1(10). С.44-48.

35. Дмитриева М.В., Ким Е.Б. О стабилизации вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной точки // Ученые записки УлГУ. Серия "Фундаментальные проблемы математики и механики". Ульяновск: Изд-во УлГУ. 2002. Вып. 1(11). С.73-77.

36. Емельянов С.В. Системы автоматического управления с переменной структурой. М.: Наука, 1967. 336 с.

37. Емельянов С.В., Коровин С.К. Теория нелинейной обратной связи при определенности // Университеты России. МГУ. Т.1. Математическое моделирование. 1993. С. 214-278.

38. Емельянов С.В., Коровин С.К. Новые типы обратной связи. Управление при неопределенности. М.: Наука, 1997. 352 с.

39. Зотов Ю.К., Тимофеев А.В. Управляемость и стабилизация программных движений обратимых механических и электромеханических систем // ПММ. 1992. Т.56. Вып.6. 0.969-975.

40. Зубов В.И. Методы Ляпунова и их применение. Л.: Изд-во ЛГУ, 1957. 240 с.

41. Зубов В.И. Проблемы устойчивости процессов управления. М.: Наука, 1975.

42. Зубов В.И. Лекции по теории управления. М.: Наука, 1975. 495 с.

43. Зубов В.И. Аналитическая динамика системы тел. JL: Изд-во ЛГУ, 1983. 244 с.

44. Зуев А.Л. Стабилизация неавтономных систем по части переменных с помощью управляемых функций Ляпунова // Проблемы управления и информатики. 2000. №4. С.25-34.

45. Икрамов Х.Б. Численное решение матричных уравнений. М.: Наука, 1984. 412 с.

46. КаленоваВ.И., Морозов В.М., Салмина М.А. Управляемость и наблюдаемость в задаче стабилизации механических систем с циклическими координатами // ПММ. 1992. Т.6. Вып.6. С.959-967.

47. Каленова В.И., Морозов В.М., Шевелева Е.Н. Управляемость и наблюдаемость в задаче стабилизации установившихся движений неголономных механических систем с циклическими координатами // ПММ. 2001. Т.65. Вып.56. С.915-924.

48. Калитин B.C. К методу знакопостоянных функций Ляпунова для неавтономных дифференциальных систем // Дифференциальные уравнения. 1985. Т.31(4). С.541-548.

49. Калман Р., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем. М.: Мир, 1971. 400 с.

50. Каменецкий В.А. Параметрическая стабилизация нелинейных систем управления с фазовыми ограничениями // АиТ. 1996. №10. С.65-71.

51. Ким Е.Б. Об управляемости и стабилизируемости движения нестационарной управляемой системы // Ученые записки Ул-ГУ. Серия "Фундаментальные проблемы математики и механики". Ульяновск: Изд-во УлГУ. 2002. Вып.2(12). С.152-154.

52. Ким Е.Б. Об устойчивости неустановившихся движений гироскопа // Труды Пятой Международной конференции "Математическое моделирование физических, экономических, технических, социальных систем и процессов". Ульяновск: Изд-во УлГУ. 2003. С.88-89.

53. Ким Е.Б. О стабилизации движения управляемой системы с гарантированной оценкой качества управления // Dynamical system modelling and stability investigation. International Conference. Thesis of Conference reports. Kyiv. 2005. C.57.

54. Ким Е.Б. К задаче о стабилизации движений нестационарной управляемой системы // Ученые записки УлГУ Серия "Фундаментальные проблемы математики и механики". Ульяновск. 2005. Вып.1(15). С.50-57.

55. Ким Е.Б. О моделировании нелинейной управляемой системы // Социально-экономические и технические системы. 2006. №3(19). http://kampi.ru/sets/.

56. Кириллова Ф.М. К задаче об аналитическом конструировании регуляторов // ПММ. 1961. Т. XXV. Вып. 3.

57. Клименко E.JL, Коваленко Н.П., Онищенко С.М., Сусол М.Н. Анализ алгоритмов жесткостного синтеза нелинейных систем стабилизации // Проблемы управления и информатики. 2006. №3. С.42-52.

58. Клоков А.С., Самсонов В.А. О стабилизируемости тривиальных установившихся движений гироскопически связанных систем с псевдоциклическими координатами // ПММ. 1985. Т.49. Вып.2. С.199-202.

59. Ковалев A.M. Нелинейные задачи управления и наблюдения в теории динамических систем. Киев: Наукова думка, 1980. 174 с.

60. Ковалев A.M. Критерий управляемости и достаточные условия стабилизируемости динамических систем // ПММ. 1995. Т.59. Вып.З. С.401-403.

61. Коробов В.И. Общий подход к решению задачи синтеза ограниченных управлений в задаче управляемости // Матем. сборник. 1979. Т. 109(151). №4(8). С.582-606.

62. Коробов В.И. Решение задачи синтеза для управляемых процессов с возмущением с помощью функции управляемости // Дифференц. уравнения. 1987. Т.23. №2. С.236-244.

63. Коробов В.И., Скляр Г.М. Методы построения позиционных управлений и допустимый принцип максимума // Дифференц. уравнения. 1990. Т.26. Ml. С.1914-1924.

64. Косов А.А. О глобальной устойчивости неавтономных систем.I // Известия ВУЗов. Сер. Математика. 1997. №7(422). С.28-35.

65. Косов А.А. О глобальной устойчивости неавтономных си-стем.Н // Известия ВУЗов. Сер. Математика. 1997. №8(422). С.33-42.

66. Красовский А.А. Динамика непрерывных самонастраивающихся систем. М.: Физматлит, 1963. 468 с.

67. Красовский А.А. Системы автоматического управления полетом и их аналитическое конструирование. М.: Наука, 1973.

68. Красовский А.А., Буков В.П., Шендрик B.C. Универсальные алгоритмы оптимального управления непрерывными процессами. М.: Наука, 1977. 272 с.

69. Красовский Н.Н. К теории оптимального регулирования // Автоматика и телемеханика. 1957. Т. 18. №11. С.1005-1016.

70. Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Физматгиз, 1959. 211 с.

71. Красовский Н.Н. О стабилизации неустойчивых движений дополнительными силами при неполной обратной связи // ПММ. 1963. Т. XXVII. Вып. 4.

72. Красовский Н.Н. Об одном свойстве гироскопической стабилизируемости управляемой консервативной механической системы. // Известия АН СССР. Техническая кибернетика. 1964. №5.

73. Красовский Н.Н. Обобщение теорем второго метода Ляпунова // Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. Доп. 3. М.: Наука, 1966. С.463-474.

74. Красовский Н.Н. Проблемы стабилизации управляемых движений // Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. Доп. 4. М.: Наука, 1966. С.475-514.

75. Красовский Н.Н. Теория оптимальных управляемых систем // Сб.: Механика в СССР за 50 лет. T.l. М.: Наука, 1968. С.179-244.

76. Красовский Н.Н. Теория управления движением. М.: Наука, 1968. 475 с.

77. Красовский Н.Н. Управление динамической системой. Задача о минимуме гарантированного результата. М,: Наука, 1985. 518 с.

78. Краснощеков П.С., Петров А.А. Принципы построения моделей. М.: Изд-во МГУ, 1983. 264 с.

79. Крементуло В.В. Стабилизация стационарных движений твердого тела при помощи вращающихся масс // М.: Наука, 1977. 263 с.

80. Кунцевич В.М., Лычак М.М. Синтез систем автоматического управления с помощью функций Ляпунова. М.: Наука, 1977. 400 с.

81. Ларин В.Б. Методы решения алгебраических уравнений Рик-кати // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1983. №2. С.24-36.

82. Летов A.M. Аналитическое конструирование регуляторов // Автоматика и телемеханика. 1960. №4. С.436-441; №5. С.561-568; №6. С.661-665; 1961. №4. С.425-435; 1962. №11. С.1405-1413.

83. Летов A.M. Динамика полета и управления. М.: Наука, 1969. 359 с.

84. Летов A.M. Математическая теория процессов управления. М.: Наука, 1981. 256 с.

85. Лефшец С. Устойчивость нелинейных систем автоматического управления. М.: Мир, 1967. 184 с.

86. Ли Р. Оптимальные оценки, определение характеристик и управление. М.: Наука, 1966. 176 с.

87. Ли Э.Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. М.: Наука, 1972. 574с.

88. Лилов Л.К. О некоторых свойствах размерности воздействия стабилизирующего механическую систему // ПММ. 1971. Т.35. Вып.2. С.290-299.

89. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. Л.: Гостехиздат, 1950. 472 с.

90. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука, 1966. 530 с.

91. Математические задачи динамической имитации аэрокосмических полетов / Под редакцией проф. В.А. Садовничего. М.: МГУ, 1995. 159 с.

92. Математическое моделирование / Под ред. Дж. Эндрюса, Р. Мак-Лоуна; пер. с англ. М.: Мир, 1979. 278 с.

93. Меркин Д.Р. Гироскопические системы. М.: Наука, 1974. 344 с.

94. Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения. М.: Наука, 1987. 304 с.

95. Мухаметзянов И.А. Построение систем асимптотически устойчивого в целом программного движения // Вестник Рос. унив-та дружбы народов. Сер. Прикл. мат. и инф. 1998. №1. С.16-21.

96. Мухаметзянов И.А. Построение систем с асимптотически устойчивыми программными связями // ПММ. 2001. Т.65. Вып.5. С.822-830.

97. Озиранер А.С., Румянцев В.В. Метод функций Ляпунова в задаче об устойчивости движения относительно части переменных // ПММ. 1972. Т.36. Вып.2. С.364-383.

98. Окунев Ю.М., Парусников Н.А. Структурные и алгоритмические аспекты моделирования задач управления. М.: Изд-во МГУ, 1983.

99. Онищенко С.М. Жесткая монотонная стабилизация нелинейных систем прямым методом Ляпунова // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1991. №4. С.35-38.

100. Онищенко С.М. Прямой подход к синтезу нелинейных систем стабилизации: метод прямого жесткого синтеза // Проблемы управления и информатики. 2000. №3. С.17-25.

101. Осадченко Н.В. Вычислительный эксперимент в динамике систем твердых тел и его обеспечение // Современные проблемыфизики и ее приложений. Всес. конф. (Москва, 19-21 апреля 1987). Ч. II. Тез. докл. М.: ВИНИТИ, 1987. С. 82.

102. Понтрягин JI.C. и др. Математическая теория оптимальных процессов. 4-е изд. М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1983. 392 с.

103. Раушенбах Б.В., Токарь Е.Н. Управление ориентацией космических аппаратов. М.: Наука, 1974, 598 с.

104. Репин Ю.М., Третьяков В.Е. Решение задачи об аналитическом конструировании регуляторов на электронных моделирующих устройствах // Автоматика и телемеханика. 1963. Т. 24. Вып. 6.

105. Ройтенберг Я.Н. Автоматическое управление. М.: Наука, 1971. 395с.

106. Рубановский В.Н., Самсонов В.А. Устойчивость стационарных движений в примерах и задачах. М.: Наука, 1988. 303 с.

107. Румянцев В.В. Об устойчивости движения по отношению к части переменных. / / Вестник МГУ. Сер. мат.механ.,физ.,астрон.,хим. 1957. №4. С.9-16.

108. Румянцев В.В. Метод функций Ляпунова в теории устойчивости движения // Механика в СССР за 50 лет. М.: Наука, 1968. Т.1. С. 7-66.

109. Румянцев В.В. Об оптимальной стабилизации управляемых систем // ПММ. 1970. Т.34. Вып.З. С.440-456.

110. Румянцев В.В. Об управлении и стабилизации систем с циклическими координатами // ПММ. 1972. Т.36. Вып.6. С.966-976.

111. Румянцев В.В. О развитии исследований в СССР по теории устойчивости движения // Дифференц. уравнения. 1983. Т.19. №5. С.739-776.

112. Румянцев В.В., Озиранер А.С. Устойчивость и стабилизация движения по отношению к части переменных. М.: Наука. 1987. 253 с.

113. Руш Н., Абетс П., Лалуа М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости. М.: Мир. 1980. 300 с.

114. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1989. 616 с.

115. Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование. М.: Физматлит. 2002. 316 с.

116. Самойленко A.M. Изучение динамических систем с помощью знакопостоянных функций // Укр. мат. журн. 1972. Т.24. №3. С. 374-386.

117. Самсонов В.А. О стабилизируемости установившихся движений систем с псевдоциклическими координатами // ПММ. 1983. Т.45. Вып.З. С.512-520.

118. Смирнов Е.Я., Павликов В.Ю., Щербаков П.П., Юрков А.В. Управление движением механических систем. Л.: Изд-во Ле-нингр. ун-та, 1985. 316 с.

119. Справочник по теории автоматического регулирования / Под ред. А.А. Кравченко. М.: Наука, 1987.

120. Уилкинсон Дж., Райнш К. Справочник алгоритмов на языке АЛГОЛ. Линейная алгебра. М.: Машиностроение, 1976. 363 с.

121. Фельдмаум А.А., Бутковский А.Г. Методы теории автоматического управления. М.: Наука, 1971.

122. Фурасов В.Д. Устойчивость движения, оценки и стабилизация. М.: Наука, 1977. 191 с.

123. Чаки Ф. Современная теория управления. М.: Мир, 1975. 424 с.

124. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. М.: Наука, 1990. 207 с.

125. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. Работы по аналитической механике. М.: Изд-во АН СССР, 1962. 535 с.

126. Чудинова И.А. (Перцева) К задаче об ориентации спутника при помощи маховиков // Механика и процессы управления. Сборник трудов УлГТУ. 2002. С.80-84.

127. Чуличков А.И. Математические модели нелинейной динамики. М.: Физматлит, 2003. 244 с.

128. Artstein Z. Topological dynamics of ordinary differential equations // J. Differ. Equat. 1977. V.23. №2. P.216-223.

129. Artstein Z. Uniform asymptotic stability via the limiting equations // J. Differ. Equat. 1978. V.27. P.172-189.

130. Artstein Z. Stabilization with relaxed controls // Nonlinear Analysis, Theory, Methods, Applications. 1983. Vol.7. №11. P.1163-1173.

131. Bellman R. Dynamic Programming. Princeton: Univ. Press. 1957. 342p.

132. Besglasnyi S. On stabilization of program motions of controlled mechanical systems // Proc. of the 22 Yugoslav Congress of

133. Theoremical and Applied Mechanics. Vrnjacka Bunja. 1997. P. 107112.

134. Iggidr A., Sallet G. On the stability of nonautonomous systems // Automatica 39. 2003. P.167-171.

135. Jakubczyk В., Zuyev A. Stabilizability conditions in terms of critical Hamiltonians and symbols // Systems and Control Letters. 2005. Vol.54. P.597-606.

136. Kalman R.E. On the general theory of control systems // Rroc.l IFAC Cong. (Moscow, 1960). London: Butherwoths, 1960. P.481-492.

137. La Salle J.P. Stability theory for ordinary differential equations // J. Different. Equat. 1968. V.4. M. P.57-65.

138. Sell G.R. Nonautonomous differential equations and topological dynamics. 1, 2 // Trans. Amer. Math. Soc., 1967. V.22. P.254-269.

139. Sheldon S.L., Chang Т.К., Peng C. Adaptive Guaranteed Cost Control of Systeme with Unartnin Parameters // IEEE Transactions on Automatic Control. August 1972. V.AC-17. N 4. P.474-483.

140. Wakeman D.R. An application of topological dynamics to obtain a new invariance property of nonautonomous ordinary differential equations. // J. Differ. Equat. 1975. V. 17. P.259-295.