автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Метод продолжения в задачах управления дискретными системами с ограничениями

Введение.

1. Операторы продолжения управления по аннулируюпдим многочленам в задачах нуль-управляемости.

1.1. Основные определения.

1.2. Основные свойства продолжения финитных управлений.

1.3. Основные свойства продолжений нефинитных управлений.

1.4. Свойства линейных комбинаций продолжений финитных управлений.

1.5. Линейные комбинации продолжений финитных управлений

2. Операторы продолжения в задачах нуль-управляемости с ограничениями.

2.1. Общие свойства операторов продолжения в нормированных пространствах

2.2. Неравенства для норм продолжений финитных управлений.

2.3. Оценка норм линейных комбинаций продолжений управления

2.4. Задача о линейной комбинации продолжений управления с минимальной нормой.

2.5. Неравенства для норм коэффициентов аннулирующих многочленов

2.6. Основная теорема для операторов продолжения управления по аннулирующим многочленам в задаче нуль-управляемости.

3. Операторы продолжения управления по аннулирующим многочленам в задачах достижимости.

3.1. Основные определения.

3.2. Операторы продолжения управления в задаче достижимости с вырожденной матрицей системы.

3.3. Некоторые особенности продолжений нефинитных управлений в задаче достижимости.

3.4. Двойственность операторов продолжения в задачах нульуправляемости и достижимости.

3.5. Основная теорема для операторов продолжения управления по аннулирующим многочленам в задаче достижимости.

4. Условия управляемости и асимптотической управляемости линейных дискретных систем.

4.1. Асимптотическая нуль-управляемость и стабилизируемость линейных систем.

4.2. Нуль-управляемость и асимптотическая нуль-управляемость линейных систем с ограниченными управлениями.

4.3. Достижимость и асимптотическая достижимость линейных систем с ограниченным управлением.

4.4. Управляемость и асимптотическая управляемость линейных ограниченным систем.

4.5. Аналитическая оценка времени быстродействия и анализ степени нуль-управляемости.

4.6. Стабилизация углового положения КА.

5. Применение операторов продолжения в задачах управления линейными системами с ограничениями.

5.1. Оценка снизу множества нуль-управляемости линейных дискретных систем.

5.2. Свойства управляемых линейных дискретных систем с (почти) периодическими аддитивными возмущениями.

5.3. Ограниченная нуль-управляемость с вероятностью 1 линейных систем со случайной переходной матрицей.

5.4. Анализ задач оптимального по вероятности управления.

6. Некоторые задачи управления нелинейными дискретными системами

6.1. Свойство типа «скрытой выпуклости» систем с коническими ограничениями.

6.2. Оценка в задаче быстродействия для одной нелинейной дискретной системы.

6.3. Множества нуль-управляемости билинейной дискретной системы с ограниченным скалярным управлением.

6.4. Уточнение теоремы Сока в случае коммутативных матриц.

6.5. Достаточное условие управляемости одного класса скалярных нелинейных дискретных систем с ограничениями.

6.6. Структура управляемых положительных целочисленных систем со скалярным управлением.

За время своего развития теория управления претерпела ряд важных эволюции. От исследования классических задач автоматического регулирования в основном с целью отыскания способов стабилизации стационарных движений на бесконечном интервале времени был сделан шаг к решению задач теории оптимального управления, уже не сводившихся к классическим вариационным задачам, и далее - к принципу максимума Понтрягина, методу динамического программирования Беллмана, теории аналитического конструирования оптимальных регуляторов, использованию связи функций Ляпунова с природой оптимальных систем, достаточных условий оптимальности в форме Кротова, построению теории оптимальной стабилизации и численных методов оптимального управления. Одновременно происходило вытеснение частотных методов анализа замкнутых систем и замена их методами пространства состояний, введение в начале 60-х годов и широкое использование фундаментальных понятий и критериев управляемости и наблюдаемости. Класс задач в форме обыкновенных дифференциальных уравнений был расширен до задач управления системами с запаздыванием и распределенными системами, а также вырожденных задач оптимального управления. На смену задачам со скалярным критерием качества управления и систем с фиксированной, одноконтурной схемой управления пришли многокритериальные задачи иерархического и децентрализованного управления, системам координатно-параметрического и структурного управления (стабилизируюшие, бинарные, адаптивные, непрерывно-дискретные и логико-динамические, с реконфигурацией, переменной структуры), минимаксные и другие дифференциальные, дифференциально-разностные, детерминированные и стохастические динамические игры, задачи управления сложными техническими и человеко-машинными системами в условиях неопределенности, фазовых и смешанных ограничений, стохастичности, кооперации или противодействия подсистем. Вместе с тем, параллельно теории непрерывных систем развивалась самостоятельная теория дискретных управляемых процессов.

Таким образом, круг задач, описываемых теорией управления, чрезвычайно обширен. Поэтому в настояшее время имеет смысл проводить исследования не столько в направлении расширения класса идеализированных задач, которые могут быть решены посредством уже имеющегося хорошо разработанного математического аппарата, а сосредоточиться на изучении задач, адекватно описывающих реальные процессы и максимальным образом учитывающих объективно существующие ограничения. Наиболее существенным и неустранимым типом ограничений являются ограничения на возможности управляющих воздействий, которые могут иметь разнообразный характер. Кроме того, в связи с серьезными успехами в развитии вычислительной техники, все современные и перспективные задачи управления связаны, так или иначе, с дискретизацией и, в частности, с переходом к системам с дискретным временем. Следовательно, для теории и практики управления сложными системами важное значения имеют методы формирования управления дискретными системами с учетом ограничений, а дальнейшая их разработка является актуальной, поскольку имеется значительное число работ, требующих как теоретического исследования, так и разработки соответствующих численных методов и алгоритмов.

Хорошо изученные и известные к настоящему времени методы (линейно-квадратическое оптимальное управление, размещение полюсов и др.) [29,87,2] были разработаны для построения управления линейными системами, ограничения на управление для которых отсутствуют. Поэтому их приспособление к задачам с ограничениями приводит к известным трудностям и, кроме того, обычно позволяет решать задачу управления с бесконечным горизонтом. Используемые в настоящее время методы формирования управления системами с ограничениями, в основном, сводятся к следующему. Делались попытки найти линейное преобразование для векторов состояния и управления, которое бы приводило к декомпозиции на независимые подсистемы меньшего порядка. Однако класс таких систем немногочислен, поскольку такое преобразование должно одновременно соответствовать и матрице системы, и множеству ограничений на управление. Другое направление решения задач построения ограниченных управлений связано с использованием идеи прямого метода Ляпунова и одноименной функции и, в частности, с попыткой формирования законов управления с обратной связью. Однако получаемые алгоритмы управления применимы для ограничений на управление специального класса и при дополнительных условиях, наложенных на матрицу системы. Основной идеей здесь является использование линейной обратной связи и конструирование соответствующей функции Ляпунова, структура которой существенным образом определяется видом ограничений на управление. В результате задача сводится к исследованию линейной системы с ограничением на вектор состояния и к проблеме существования и описания инвариантных множеств в пространстве состояний, что в общем случае сделать не удается.

Для линейных ограниченных систем с непрерывным временем был разработан подход [91], основанный на использовании оптимальных управлений. Однако распространение этого метода на дискретные системы не привело к появлению эффективных алгоритмов вследствие некоторых принципиальных различий дискретных и непрерывных систем (например, в системах с дискретным временем отсутствует аналог необходимых условий принципа максимума для задачи быстродействия).

Большое число работ, посвященных разработке методов формирования управления систем с ограничениями, основано на идее построения собственно множеств управляемости. Однако и эту задачу в большинстве случаев решить точно не удается. Например, если для линейной системы множество ограничений на управление есть эллипсоид, то оказывается, что соответствующие множества управляемости уже не принадлежат этому классу и попытка их конструктивного описания приводит к неудаче. Поэтому большое внимание было уделено системам с ограничениями типа полиэдров. В этом случае множества управляемости, как известно, оказываются также полиэдрами, но с ростом числа шагов возникают непреодолимые трудности с описанием таких полиэдров. Оказались неконструктивными точные построения полиэдральных множеств управляемости как с помощью границ (методы типа Фу-рье-Моцкина и основанные на лемме Фаркаша), так и с помощью вершин (алгоритмы, использующие симплекс метод). Описанный подход сводится к построению последовательности статических задач математического программирования возрастающей размерности до тех пор, пока задача для заданных граничных условий не станет разрешимой. При этом возникают известные трудности: для каждой задачи необходимо выбирать новое начальное приближение; приходится сталкиваться с проблемой проклятия размерности; для решения каждой задачи математического программирования должны использоваться соответствующие численные методы, но сходимость и правдоподобность результата в огромной степени зависит от свойств множества ограничений и структуры матрицы системы. Однако самое большое неудобство состоит в том, что при использовании такого подхода время окончания процесса вычислений становится непредсказуемым, а результат может оказаться неверным вследствие погрешностей вычислений. Более оправданным оказалось использование модификации описанного подхода [97]. А именно, вместо точного описания множества управляемости можно на каждом шаге пытаться строить аппроксимации этого множества.

В соответствии с изложенным, целью работы является развитие нового направления в области анализа и синтеза дискретных систем с ограничениями на основе использования алгебраических свойств модели, которое позволит конструктивно формировать собственно закон управления и предоставит возможности их аналитического исследования.

В работе рассматривается метод продолжения управления по аннулирующим многочленам и его применение в различных задачах управления систем с ограничениями. Основная идея, применительно к системам с дискретным временем, состоит в том, что если существует допустимое финитное (либо не финитное) управление для заданных граничных условий для системы без ограничений на управление, то имеется возможность поставить ей в соответствие не единственное управление, являющееся рещением той же краевой задачи, но с другим временем окончания. Оказывается, что одно из указанных соответствий (продолжений) управляющих последовательностей вполне описывается линейным оператором, порождаемым аннулирующими многочленами матрицы системы. При этом векторы управления новой последовательности оказываются периодически коллинеарными векторам исходной последовательности, а коэффициенты пропорциональности определяются по соответствующим коэффициентам аннулирующих многочленов. В результате задача формирования ограниченного финитного управления сводится к исследованию двух существенно более простых задач:

• построение управления без ограничения для заданных граничных условий (обычно эта задача эквивалентна задаче математического программирования, в частности, рещению системы линейных алгебраических уравнений, размерность которой равна размерности вектора состояния);

• нахождение коэффициентов линейной комбинации продолжений управления (эта задача может быть сведена к решению скалярного нелинейного уравнения).

Первая задача определяет последовательность векторов управления, которым должны быть коллинеарны искомые ограниченные управления, а вторая задача требуется для нахождения неизвестного времени окончания процесса. Нелинейное уравнение допускает различные аналитические решения, что позволяет указать оценки сверху времени быстродействия, множеств управляемости на бесконечности и проводить качественный анализ изучаемой системы.

В работе впервые разработан метод формирования управлений линейными системами, позволяющий решать разнообразные задачи управления для системы с дискретным и непрерывным временем с единых позиций, а также исследовать системы с разнородными (геометрическим и интегральными) ограничениями на управление.

В диссертации впервые сформулированы и доказаны теоремы, устанавливающие необходимые и достаточные условия нуль-управляемости - асимптотической нуль-управляемости, достижимости и асимптотической достижимости, управляемости и асимптотической управляемости для линейных конечномерных автономных систем с дискретным временем и ограничениями по гельдеровой норме управляемости. Описаны новые, не известные ранее, свойства управляемых систем.

Использование разработанного метода продолжения управления впервые позволило получить аналитические оценки сверху времени быстродействия и построить аналитические оценки снизу множеств нуль-управляемости. Обнаружено свойство «скрытой выпуклости» линейных дискретных систем с невыпуклыми коническими ограничениями, известное ранее лишь для систем с непрерывным временем.

Впервые удалось получить аналитическое описание множеств нуль-управляемости одного класса билинейных однородных систем. Установлено взаимно однозначное соответствие между управлениями целочисленными положительными дискретными системами со скалярным управлением и симметричной группой.

Все результаты диссертации получены лично автором.

В работе используются методы функционального анализа, теории операторов, математического программирования, матричного анализа.

Практическая ценность полученных результатов состоит в том, что они являются основой для создания эффективного программно-алгоритмического обеспечения ЭВМ. Для большинства рассмотренных в диссертации задач явным образом построены искомые допустимые в смысле ограничений управления. Разработанный метод может быть особенно полезен для формирования управления в системах большой размерности в реальном масштабе времени с помошью микропроцессоров и ЭВМ ограниченной производительности.

Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на 5-й Международной конференции «Системный анализ и управление космическими комплексами. Исследование и освоение космоса в наступающем веке» (Евпатория, Крым, 2000 г.), Всероссийской конференции «Общие проблемы управления и их приложения к математической экономике» (Тамбов, Россия, 2000 г.), Всесоюзной конференции «Проблемы динамики, управления и безопасности полетов» (Рига, 1985 г.), а также на научном семинаре «Механика, управление и информатика» ИКИ РАН, семинарах под руководством акад. Ф.Л. Черно-усько (ИПМех РАН), акад. А.Ю. Ишлинского (МГУ, Мехмат), проф. Б.М. Миллера (ИПИ РАН), проф. А.И. Кибзуна (МАИ), проф. А.И. Пропоя (НИИСИ РАН).

Результаты диссертационной работы были основой проектов «Алгебраические методы формирования управления линейными многомерными дискретными системами с ограничениями и аналитические приближения в задаче быстродействия» (поддержан РФФИ, № 97-01-00046), «Метод продолжения управления по аннулирующим многочленам для линейных конечномерных систем с ограничениями и его применение в различных задачах управления движением» (поддержан РФФИ, № 00-01-00006), «Разработка алгебраических методов формирования управления и оценки движения космических аппаратов при наличии ограничений и возмущений» (поддержан научной программой «Фундаментальные исследования высшей школы в области естественных и гуманитарных наук. Университеты России», проект Х« 015.04.01,008), в которых автор был научным руководителем.

По теме диссертации опубликована 21 печатная работа.

Диссертация состоит из шести глав и списка литературы. Общий объем работы - 307 м.п.с. В основной текст включены три таблицы. Библиография - 130 названий.

В первой главе для автономной линейной конечномерной системы с дискретным временем вводится понятие оператора продолжения по аннулирующему матрицу системы многочлену в задаче нуль-управляемости. Этот оператор определяется как линейная комбинация степеней сдвигов последовательностей управления вправо, причем коэффициентами линейной комбинации служат соответствующие коэффициенты аннулирующих многочленов. Управление, полученное в результате действия оператора продолжения, далее будет называться продолжением управления. Основное внимание уделяется изучению свойств таких операторов при действии на системы без ограничений. Описаны основные свойства продолжений финитных управлений, в частности, получены представления для носителей и выписаны формулы, определяющие продолжение управления в каждый момент времени. Доказан факт существования бесконечных последовательностей продолжений финитных управлений с непересекающимися носителями. Получено представление для вектора состояния линейной системы без ограничений, которой соответствует продолжение финитного управления, из которого, в частности, следует, что если некоторое финитное управление является решением задачи нуль-управляемости системы, то продолжение этого управления снова есть решение этой же задачи нуль-управляемости для исходной системы, однако с другим временем окончания процесса. Исследованы свойства действия операторов продолжения на финитные управления. Доказана теорема, устанавливающая факт сохранения операторами продолжения свойства асимптотической нуль-управляемости продолженного финитного управления. Другими словами, если имеется решение задачи асимптотической нуль-управляемости для линейной дискретной системы без ограничений, то продолжения такого управления снова являются решением той же задачи асимптотической нуль-управляемости для исходной системы. Изучены свойства конечных и бесконечных линейных комбинаций продолжений финитных и не финитных управлений. Сформулированы условия для коэффициентов линейных комбинаций продолжений финитного управления, при которьрс сохраняется свойство нуль-управляемости, а также позволяющие строить решение задачи асимптотической нуль-управляемости в виде бесконечной линейной комбинации продолжений финитного управления, которое является решением задачи нуль-управляемости. Доказана теорема, устанавливающая факт существования коэффициентов бесконечной линейной комбинации продолжений решения задачи асимптотической нуль-управляемости, при которых полученное управление снова есть решение той же задачи для исходной системы. Таким образом, основным результатом данной главы можно считать установление свойства инвариантности множеств решений задач нуль-управляемости и асимптотической нуль-управляемости относительно действия операторов продолжения.

Во второй главе изучаются свойства операторов продолжения управлений по аннулирующим многочленам в задаче нуль-управляемости для линейных дискретных систем с ограничениями. Рассматривается широко распространенный тип ограничений - ограничения на гельдеровы Ш-нормы в соответствующих пространствах бесконечных последовательностей управлений. Такие ограничения позволяют с единых позиций рассматривать геометрические ограничения (ограничения в каждый момент времени, что соответствует р = со)в интегральные ограничения (1< р < со) на управления. Исследованы основные свойства оператора продолжения, определенного в нормированном пространстве и показано, что оператор ограничен. Получены полезные оценки сверху и снизу для нормы оператора; представлено описание спектра, рассмотрена задача о собственных значениях. Доказано, что норма оператора продолжения совпадает с /, -нормой вектора коэффициентов аннулирующего многочлена. В случае, когда продолжение управления является финитным, получена более точная оценка нормы продолжения, которая явным образом зависит от порядка аннулирующего многочлена и длительности исходного управления. Обсуждаются разновидности оценок норм линейных комбинаций продолжений и особое внимание уделено линейным комбинациям продолжений финитного управления с непересекающимися носителями. В явном виде решена задача нахождения коэффициентов линейной комбинации продолжений финитного управления с минимальной нормой. Существенно, что коэффициенты линейной комбинации, соответствующие минимальной норме, не зависят от исходного (продолжаемого) управления. Получено семейство оценок снизу и сверху для норм векторов коэффициентов аннулирующих многочленов. Доказана теорема, устанавливающая условия, при которых линейная комбинация продолжений финитного управления, являющегося решением задачи нуль-управляемости для системы без ограничений, становится решением той же задачи нуль-управляемости с другим временем окончания, но уже для системы с ограничениями. в третьей главе для автономной линейной конечномерной системы с дискретным временем вводится понятие оператора продолжения по аннулирующему многочлену в задаче достижимости. Описаны свойства носителей продолжений финитных управлений и их покоординатная запись. Показано, что в отличие от задачи нуль-управляемости, здесь уже отсутствуют последовательности продолжений финитных управлений с непересекающимися носителями, но ситуация вполне поправима, если рассматривать композиции сдвигов вправо и операторов продолжения в задаче достижимости. Получено представление для вектора состояния линейной системы без ограничений, который соответствует продолжению финитного управления. В частности, установлено, что для систем с неособой матрицей рассматриваемый оператор продолжения сохраняет свойство исходного управления быть решением задачи достижимости. Специально изучена ситуация вырожденной матрицы системы, которая подчеркивает несимметричность свойств операторов продолжения в задачах нуль-управляемости и достижимости. Показано, что в общем случае оператор продолжения не сохраняет свойство асимптотической достижимости исходного управления. Сформулированы и доказаны утверждения, устанавливающие взаимно однозначные соответствия между решениями задач нуль-управляемости и достижимости для систем с невырожденной матрицей, а также - между операторами продолжения финитных управлений в соответствующих задачах. Данное соответствие описывается с помощью инволюционных операторов отражения, что позволяет использовать свойства и оценки для операторов продолжения в задаче нуль-управляемости. Доказана теорема, определяющая условия, при которых линейная комбинация композиций сдвигов и продолжений финитного управления, являющегося решением задачи достижимости для системы без ограничений, становится решением задачи достижимости с другим временем окончания, но для системы с ограничениями.

Четвертая глава посвящена систематическому применению операторов продолжения для доказательства необходимых и достаточных условий нуль-управляемости и асимптотической нуль-управляемости, достижимости и асимптотической достижимости, управляемости и асимптотической управляемости автономных линейных конечномерных дискретных систем с ограниченным управлением. Получены легко проверяемые необходимые условия асимптотической нуль-управляемости для класса систем со скалярным управлением и показано, что для линейных систем без ограничений на управление свойство асимптотической нуль-управляемости эквивалентно требованию стабилизируемости системы. Показано, что доказательство достаточности соответствующих условий управляемости теперь непосредственно вытекает из теорем второй и третьей глав и для удобства явным образом выписаны решения изучаемых задач в виде продолжений управлений. Изучены новые свойства управляемых и асимптотических управляемых систем. В частности, показано, что

• система с ограниченным по гельдеровой норме при р - 1 может быть асимптотически нуль-управляемой только в случае если неуправляемая система асимптотически устойчива;

• свойства управляемости и асимптотической управляемости инвариантны относительно величины, ограничивающей норму управления;

• не существует управляемых и асимптотически управляемых систем с ограниченным по норме при р- \ управлением;

• если система управляема или асимптотически управляема, то каждая соответствующая задача разрешима в классе финитных управлений;

• если система нуль-управляема (асимптотически управляема), то соответствующие задачи разрешимы в классе продолжений финитных управлений, которые используют не более 1п различных направлений, где п - размерность вектора состояний;

• система управляема (асимптотически управляема) тогда и только тогда, когда каждая соответствующая задача может быть решена посредством сколь угодно малого по норме управления;

• если система асимптотически управляема, то она и управляема.

В задаче быстродействия получены аналитические оценки сверху разной степени сложности для времени окончания процесса, на основе которых предложена возможная классификация линейных систем по степени управляемости.

В пятой главе представлены результаты использования операторов продолжения в различных задачах управления линейными конечномерными системами с ограниченным управлением. Была изучена задача аппроксимации множеств нуль-управляемости систем с геометрическими ограничениями. Известно, что одной из важных и сложных задач, возникающих при исследовании не полностью управляемых систем, является задача построения множества тех начальных состояний, из которых с помощью допустимого управления можно попасть в О за конечное число шагов, т.е. множества нуль-управляемости на бесконечности. Обычно, в силу разработанности соответствующих методов, рассматривались полиэдральные или эллипсоидальные ограничения на управление. Однако вычислительные трудности не позволяют получать для этого множества приемлемые приближения, поскольку разрабатывались алгоритмы для описания множеств нуль-управляемости для конечного числа шагов. Предложена одна из возможных аппроксимаций (оценка снизу) множества нульуправляемости на бесконечности, которая основана на использовании операторов продолжения. Полученная оценка представляет собой гомотетию с центром в О множества нуль-управляемости для конечного числа шагов. Изучены новые свойства управляемых автономных линейных систем с дискретным временем, управлениями, ограниченными по гельдеро-вой норме и при наличии периодических или почти периодических аддитивных детерминированных возмущений. В частности показано, что не существует систем нечетного порядка, которые были бы управляемыми для периодических возмущений с произвольным периодом; если система с ограниченным управлением и (почти) периодическим возмущением управляема, то размерность ее вектора состояния четна; не существует скалярных управляемых систем с периодическими или почти периодическими возмущениями; свойство управляемости инвариантно относительно величины, ограничивающей норму управления. Впервые решена задача нуль-управляемости с вероятностью 1 для линейной системы с ограничениями, когда матрица системы случайна. Показано, что при определенных условиях существуют допустимые детерминированные управления, приводящие вектор состояния в О п.н. за конечное время, которые инвариантны относительно распределений переходной матрицы. Проведен анализ задач оптимального по вероятности управления линейными системами в условиях неопределенности для частного случая полиэдральных ограничений.

В шестой главе представлены возможности применения аппарата теории аннулирующих многочленов и операторов продолжения для изучения нелинейных систем с дискретным временем. Рассмотрена система, которая не является линейной по управлению, а лишь обладает свойством однородности. Было показано, что динамика такой системы совпадает с поведением линейной системы с симметричными невыпуклыми коническими ограничениями на управление. Для таких систем были обнаружены новые свойства, которые аналогичны свойству «скрытой выпуклости» систем с непрерывным временем. Оказалось, что для систем такого класса задачи управления также могут быть решены с помощью операторов продолжения специального вида. В итоге, кроме этого, была получена простая оценка времени быстродействия в задаче нуль-управляемости, которая, в частности, служит количественной оценкой платы за отказ от свойства выпуклости множества ограничений и является гарантирующей в том смысле, что не зависит от свойств матрицы системы. Изучены конструктивные представления для множеств нуль-управляемости билинейных систем с ограниченным скалярным управлением в предположении о регулярности и коммутативности пучка матриц системы. Как следствие, получены необходимые и достаточные условия нуль-управляемости и определены условия, при которых множества нуль-управляемости представляют собой линейные подпространства. Для однородной билинейной системы с ограниченным управлением обсуждаются уточнения теоремы Оока для случая коммутативности матриц системьт Получены простые достаточные условия управляемости и асимптотической управляемости для одного класса нелинейных скалярных дискретных систем с ограниченным управлением. Рассмотрены структурные свойства управляемых положительных автономных целочисленных систем с дискретным временем для случая скалярного управления. В частности установлено взаимно однозначное соответствие между множеством управляемых систем данного класса и симметрической группой.

В заключении диссертации сформулированы основные выводы и результаты, полученные в работе.

На защиту выносятся:

1. Метод формирования ограниченного управления линейными дискретными системами, основанный на использовании операторов продолжения по аннулирующим многочленам матриц.

2. Необходимые и достаточные условия управляемости и асимптотической управляемости линейных конечномерных автономных систем с дискретным временем и управлениями, ограниченными по гельдеровой норме, а также новые свойства управляемых систем.

3. Аналитические оценки времени быстродействия в задаче нуль-управляемости, учитывающие сингулярность матрицы системы.

4. Аналитические аппроксимации множества нуль-управляемости линейных не вполне управляемых дискретных систем на основе операторов продолжения.

5. Необходимые и достаточные условия управляемости линейных конечномерных автономных систем с дискретным временем и ограниченным управлением под действием аддитивных детерминированных периодических и почти периодических возмущений, а также их свойства.

6. Аналитическое описание множеств управляемости и аналитические оценки в задаче быстродействия для нелинейных дискретных систем, однородных по управлению.

7. Необходимые и достаточные условия управляемости и представления множеств нуль-управляемости для класса однородных дискретных билинейных систем с ограниченным скалярным управлением.

8. Необходимые и достаточные условия управляемости линейных положительных целочисленных систем со скалярным управлением.

заключение

Разработан метод формирования управлений линейными автономными системами с дискретным временем, позволяющий исследовать задачи с разнородными (геометрическими и интегральными) ограничениями на управление. Основу этого метода составляют операторы продолжения управления по аннулирующим многочленам матрицы системы в задачах нуль-управляемости и достижимости. Установлены свойства инвариантности множеств ре-щений задач управляемости и асимптотической управляемости относительно действия операторов продолжения. Доказаны теоремы, определяющие условия, при которых линейная комбинация продолжений финитного управления, являющегося рещением задачи управляемости для системы без ограничений, становится решением этой же задачи нуль-управляемости для исходной системы, однако с другим временем окончания процесса.

Эффективность метода продолжения демонстрируется при систематическом применении для доказательства необходимых и достаточных условий управляемости и асимптотической управляемости автономных линейных конечномерных дискретных систем с ограниченным управлением. В задаче быстродействия получены аналитические оценки сверху для времени окончания процесса, на основе которых предложена классификация линейных систем по степени управляемости. Работоспособность этих оценок продемонстрирована в задаче угловой стабилизации КА.

Представлены результаты использования метода продолжения в различных задачах управления линейными конечномерными системами с ограниченным управлением. Изучена задача аппроксимации множеств нуль-управляемости систем с геометрическими ограничениями. Описаны новые свойства управляемых линейньк систем с ограниченным управлением под действием аддитивных (почти) периодических возмущений. Впервые решена задача нуль-управляемости с вероятностью 1 для линейной системы с ограничениями, когда матрица системы случайна.

Представлены возможности применения аппарата теории аннулирующих многочленов и операторов продолжения для изучения нелинейных систем с дискретным временем. Для систем, не являющихся линейными по управлению, а лишь обладающих свойством од

298 нородности, обнаружены новые свойства, которые аналогичны свойству «скрытой выпуклости» систем с непрерывным временем. Рассмотрены структурные свойства управляемых положительных автономных целочисленных систем с дискретным временем для случая скалярного управления и установлено взаимно однозначное соответствие между множеством управляемых систем данного класса и симметрической группой!

1. Айзеке V. Дифференциальные игры. М., Мир, 1967.

2. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин СВ. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979.

3. Афанасьев В.Н., Колмановский В.Б., Носов В.Р. Математическая теория конструирования систем управления. М.: Высшая школа, 1989.

4. Ашманов С.А., Тимохов A.B. Теория оптимизации в задачах и упражнениях. М.: Наука, 1991.

5. Балашевич Н.В., Габасов Р., Кириллова Ф.М. Реализация позиционного решения линейной задачи оптимального иерархического управления // Изв. РАН, Теория и системы управления, 1977, № 1.

6. Батькин А.К., Сиротин А.Н., Белов СЕ. Синтез дискретного управления ориентацией упругого КА с ограничениями на управление и вектор состояния// Гагаринские научные чтения по космонавтике и авиации. 1985 г. М.: Наука, 1986, с. 111.

7. Беллман Р. Динамическое программирование. М.: Изд-во иностр. лит., 1960.

8. Болтянский В.Г. Оптимальное управление дискретными системами. М.: Наука, 1973.

9. Бурносов СВ., Козлов Р.И. Исследование динамики нелинейных систем с неопределенностью и возмущениями на основе метода ВФЛ // Изв. РАН, Тех. кибернетика, 1994, №6.

10. Бутковский А. Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами. М.: Наука, 1965.

11. Варга Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями. М.: Наука, 1977.

12. Васильев С.Н. К управляемости нелинейных систем при фазовых ограничениях и постоянно действующих возмущениях // Изв. АН СССР, Техническая кибернетика, 1993, №1.

13. Васильев С.Н. Метод векторных функций Ляпунова в задачах быстродействия // Докл. АН СССР, 1986, 287, № 1 .

14. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1988.

15. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Качественная теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1971.

16. Гантмахер Ф.Р. ГеормллгаотрмгЛ М.: Наука, 1967.

17. Гурман В.И. Вырожденные задачи оптимального управления. М.: Наука,1977.

18. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Общая теория. М.: ИЛ, 1962.

19. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: изд-во Моск. Ун-та, 1998.

20. Дуда Е.В., Корзун А.И., Минченко О.Ю. К условиям локальной управляемости дискретных систем // Изв. РАН. Теория и системы управления, 1996, № 3.

21. Емельянов СВ. Бинарные системы автоматического управления. М.: Изд-во МНИИ-ПУ, 1984.

22. Емельянов СВ. Системы автоматического управленш с переменной структурой. М.: Наука, 1967.

23. Зубов В.И. Лекции по теории управления. М.; Наука, 1975.

24. Иванов В.М., Чепцов А.Г. Об управлении дискретными системами на бесконечном промежутке времени НЖВМи МФ. 1987. Т. 27. № 12.

25. Калман P.E. Об общей теории систем управления / Труды IКонгресса ИФАК. М.: Изд-во АН СССР, 1961, т. 2.

26. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1984.

27. Квакернаак X., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления. М.: Мир, 1967.

28. Кириллов A.A., Гвишиани А.Д. Теоремы и задачи функционального анализа. М.: Наука, 1988.31. Кларк Ф. Оптимизация и негладкий анализ. М.: Наука, 1988.

29. Колмановский В. Б., Носов В. Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием. М.: Наука, 1981.

30. Кострикин А.И., Мании Ю.И. Линейная алгебра и геометрия. М.: Наука, 1986.

31. Котта Ю Р. Обеспечение автономности нелинейной динамической системы с дискретным временем II Изв. АН СССР. Техн. Кибернет. 1987. № 3.

32. Котта Ю.Р. Расщепление нелинейных дискретных управляемых систем // Изв. АН СССР. Техн. Кибернет. 1989. № 1.

33. Котта Ю.Р. Согласование нелинейной системы в дискретном времени с фиксированным линенйм вход-выход поведением IIАвтоматика и Телемеханика. 1988. № 10.

34. Красносельский М.А., Бурд В.Ш., Колосов Ю.С. Нелинейные почти периодические ко-.пебания. М.:Наука, 1970.

35. Красовский A.A. Некоторые актуальные проблемы науки управления // Изв. РАН/ Теория и системы управления, 1996, 6.

36. Красовский H.H. Игровые задачи о встрече движений. М.: Наука, 1970.

37. Красовский H.H. Теория управления движением. М.: Наука, 1968.

38. Красовский H.H., Летов A.M. К теории аналитического конструирования регуляторов // Автоматика и телемеханика, 1962,23, N 6.

39. Красовский H.H., Субботин A.M. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974.

40. Кротов В.Ф. Решение вариационных задач на основе достижимых условий абсолютного минимума, I-IV. II Автоматика и телемеханика, 1962, 23, N 12, 1963, 24, N 5, 1963, 24, N7, 1965, 26. N4.

41. Крутько П.Д. Синтез дискретных управлений по функциям Ляпунова // Изв. АН СССР. Техн. Кибернет. 1984. № 2.

42. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. Т. 1. М.: Высшая школа, 1988.

43. Кунцевич В.М., Лычак М.М. Синтез систем автоматического управления с помощью функций Ляпунова. М.: Наука, 1977.

44. Куржанский А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.: Наука, 1977.

45. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Физматгиз, 1959.

46. Левитан Б.М. Теория операторов обобщенного сдвига. М.: Наука, 1973.

47. Лейхтвейс К. Выпуклые множества. М.: Наука, 1985.

48. Летов A.M. Аналитическое конструирование регуляторов ПАвтоматика и телемеханика, 1960, 21, N 4, 1960, 21, N 5, 1960, 21, N 6. 1961. 22, N4.

49. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. М.-Л.: Гостехтеоретиздат, 1950.

50. Малышев В.В., Кибзун А.Н. Анализ и синтез высокоточного управления летательными аппаратами. М.: Машиностроение, 1987.

51. Матросов В.М. Метод векторных функций Ляпунова в анализе сложных систем с распределенными параметрами (обзор) II Автоматика и телемеханика, 191Ъ, № 1.

52. Моисеев H.H. Элементы теории оптимальных систем. М.; Наука, 1975.

53. Моисеев H.H., Гермейер Ю.Б. О некоторых задачах теории иерархических систем управления/ В кн.: Проблемы прикладной математики и механики. М.: Наука, 1971.

54. Мордухович Б.Ш. Методы аппроксимации в задачах оптимизации и управления. М.: Наука, 1988.

55. Москаленко А.И. Методы нелинейных отображений в оптимальном управлении. Новосибирск: Наука, 1983.

56. Негойцэ К. Применение теории систем к проблемам управления. М.:Мир, 1981. .

57. Озеряный H.A. Системы с параметрической обратной связью. М.: Энергия, 1974.

58. Понтрягин Л.С. , Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1969.

59. Прасолов В.В. Задачи и теоремы линейной алгебры. М.: Наука, 1996.

60. Пропой А.И. Элементы теории оптимальных дискретных процессов. М.: Наука, 1973.

61. Растригин Л. А. Современные принципы управления сложными объектами. М.: Сов. радио, 1980.

62. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ М.:Мир, 1973.

63. Садовничий В.А. Теория операторов. М.: Высшая школа, 1999.

64. Сиротин А.Н. Анализ задач оптимального по вероятности программного управления линейной системой с дискретным Щ)&л&яо.и11 Автоматика и Телемеханика, 1992, № 1, с. 86 96.

65. Сиротин А.Н. Управление линейными дискретными системами с ограничениями в задаче нуль-управляемости// Известия АН. Техническая кибернетика, 1993, № 2, с. 10 -19.

66. Сиротин А.Н. Управление линейными дискретными системами с невыпуклыми ограничениями на конечном интервале времени// Автоматика и Телемеханика, 1994, № 1, с. 128-141.

67. Сиротин А.Н. Квазипериодическое управление линейной дискретной системой с выпуклыми симметричными ограничениями в задаче нуль-управляемости (случай сингулярной переходной матрицы)// Известия АН. Техническая кибернетика, 1995, № 2, с. 51 -62.

68. Сиротин А.Н. О задаче ограниченной нуль-управляемости с вероятностью 1 для линейных автономных систем с дискретным временем и случайной переходной матрицей с конечным множеством спектров// Автоматика и Телемеханика, 1996, № 11, с. 39 -51.

69. Сиротин А.Н. Структура управляемых положительных целочисленных автономных линейных систем с дискретным временем и скалярным управлением// Известия АН. Теория и системы управ.пения, 1997, № 2, с. 24 33.

70. Сиротин А.Н. О задаче оптимального управления конечномерными линейными системами с бесконечным горизонтом // Автоматика и Телемеханика, 1998, № 5, с. 63 69.

71. Сиротин А.Н. Об асимптотически нуль-управляемых и стабилизируемых линейных системах// Известия АН. Теория и системы управления, 1998, № 6, с. 55 64.

72. Сиротин А.Н. О нуль-управляемых и асимптотически нуль-управляемых конечномерных линейных системах с ограниченными по гельдеровым нормам управлениями// Автоматика и Телемеханика, 1999, № 12, с. 67 79.

73. Сиротин А.Н. Об управляемых дискретных конечномерных линейных системах с ограниченным управлением// Известия АН. Теория и системы управления, 1999, № 6, с. 25 35.

74. Сиротин А.Н. Об одном достаточном условии управляемости некоторого класса скалярных нелинейных дискретных систем с ограничениями// Известия АН. Теория и системы управления, 2000, № 1, с. 110 112.

75. Сиротин А.Н. Об управляемости однородных билинейных дискретных систем с коммутативными матрицами// Известия АН. Теория и системы управления, 2000, № 2, с. 13 14.

76. Сиротин А.Н. Аппроксимация множества нуль-управляемости для линейных дискретных систем с невыпуклыми ограничениями // Вестник Тамбовского Университета, 2000, том 5, вып. 4, с. 489 490.

77. Сиротин А.Н. О множествах нуль-управляемости одной билинейной дискретной системы с ограниченным скалярным управлением // Автоматика и Телемеханика, 2000, №10,0.107-116.

78. Сиротин А.Н., Сочнов К.В. Дискретное управление движением нежесткого тела при ограничениях на управление и вектор состояния// Известия АН СССР. Техническая кибернетика, 1988, № 4, с. 152 158.

79. Справочник по теории автоматического управления / Нод ред. А.А.Красовского. М.: Наука, 1997.

80. Схрейвер А. Теория линейного и целочисленного программирования Т. 1,2. М.: Мир, 1991.

81. Техническая кибернетика, теория автоматического регулирования / Под. ред. В.В.Солодовникова, кн. 1 Математическое описание, анализ устойчивости и качества систем автоматического регулирования. М.: Машиностроение, 1967.

82. Уонэм М. Линейные многомерные системы управления. Геометрический подход. М.: Наука, 1980.

83. Фараджев Р.Т., Фат By Нгок, Шапиро A.B. Теория управляемости дискретных динамических систем //А и Т. 1986. № 1. С. 5-24.

84. Федосов Е.А., Инсаров В.В., Селивохин О.С. Системы управления конечным положением в условиях противодействия среды. М., Наука, 1989.

85. Фельдбаум A.A. Основы теории оптимальных автоматических систем. М.: Наука, 1966.

86. Формальский A.M. Управляемость и устойчивость систем с ограниченными ресурсами. М.: Наука. 1974.

87. Фурасов В.Д. Устойчивость и стабилизация дискретных процессов. М., Наука, 1982.

88. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. М.: Мир, 1989.

89. Хрусталев М.М. Необходимые и достаточные условия для задачи оптимального управления II Докл. АН СССР, 1973,211, № 1.

90. Цетлин М.Л. Исследования по теории автоматов и моделированию биологических систем. М.: Наука, 1969.

91. Черноусько Ф.Л. Оптимальные гарантированные оценки неопределенностей с помощью эллипсоидов, I-III // Изв. АН СССР, Техническая кибернетика, 1980, № 4, 5.

92. Черноусько Ф.Л. Оценивание фазового состояния динамических систем. М.: Наука. 1988.

93. Черноусько Ф.Л., Акуленко Л.Д., Соколов Б.Н. Управление колебаниями. М.: Наука. 1980.

94. Черноусько Ф.Л., Колмановский В.Б. Вычислительные и приближенные методы оптимального управления / В кн.: Итоги науки и техники. Математический анализ, М.: ВИНИТИ, 1977, т. 14.

95. Черноусько Ф.Л., Меликян А. А. Игровые задачи управления и поиска. М.: Наука, 1978.

96. Evans М.Е. Bounded control and discrete-time controllability// Int. J. SystemsSci. 1986. V. 17. № 1.

97. Fanti M.P., Maione В., Turchiano B. Controllability of linear single-input positive discrete-time systems// Int. J. Control. 1989. V. 50. № 6.

98. Fanti M.P., Maione В., Turchiano B. Controllability of multy-input positive discrete-time systems// Int J. Control. 1990. V. 51. № 6.

99. Fisher M.E., Gayek J.E. Estimating reachable sets for two-dimensional linear discrete systems//J. Optimiz. TheoryAppL, 1988, vol. 56, no. 1.

100. Gutman P.-O., Cwikel M. An algorithm to find maximal state constraint sets for discrete-time linear dynamical systems with bounded controls and states 11 IEEE Trans. Automat. Contr., 1987, vol. 32, no. 3.

101. Hammer J. Assignment of dynamics for non-linear recursive feedback systems // Int. J. Control. 1988. V. 48. №3.

102. Jakubczyk В., Sontag E. Controllability of nonlinear discrete-time systems: A Lie algebraic approach // SIAMJ. Control and Optimiz. 1990. V. 28. Ш 1.

103. Kalman R.E., Bertram Т.Е. Control System Analysis and Design via the Second Method of Lyapunov. //J. Basic Eng., I960, N 6.

104. Keerthi S.S., Gilbert E.G. Computation of minimum-time feedback control laws for discrete-time systems with state-control constraints // IEEE Trans. Automat. Contr., 1987, vol. 32, no. 5.

105. Lasserre J.B. A complete characterization of reachable sets for constrained linear time-varying systems // IEEE Trans. Automat Contr., 1987, vol. 32, no. 9.

106. Lee H.G., Arapostathis A., Marcus S.I. Linearization of discrete-time systems // Int. J. Control. 1987. V. 45. №5.

107. Lee H.G., Marcus S.I. Approximate and local linearizability of non-linear discrete-time systems // Int. J. Control. 1986. V. 44. № 4.

108. Lee H.G., Marcus S.I. Immersion and immersion by nonsingular feedback of discrete-time nonlinear system into a linear system // IEEE Trans. Autom. Contr. 1988. V. 33, № 5.

109. Lin W.-S. Time-optimal control strategy for saturating linear discrete systems // Int. J. Control, 1986, vol. 43, no. 5.

110. Luenberger D.G. Introduction tj Dynamic Systems: Theory, Models and Applications. New York: Wiley, 1979.

111. Monaco S., Normand-Cyrot D. A Lie exponential formula for the nonlinear discrete time functional expansions / Theory and Applications of Nonlinear Control Systems. Elsevier Science Publishers B.V. 1986.

112. Muratori S., Rinaldi S. Equilibria, stability and reachability of Leslie systems with nonnegative inputs// IEEE Trans. Autom. Control. 1990. V. 35. № 9.

113. Murthy D.N.P. Controllability of a linear positive dynamic system// Int. J. Systems Sci. 1986. V. 17. № 1.

114. Murty K.G. Linear Programming. N.Y.: Wiley, 1983.

115. Nam K. Linearization of discrete-time nonlinear systems and a canonical structure // IEEE Trans. Autom. Contr. 1989. V. 34. № 1.

116. Rouhani R., Tse E. Structural design for classes of positive linear systems// IEEE Trans. Systems, Man and Cybernatics. 1981. V. 11. № 1.

117. Rumchev V. G., James D.J.G. Controllability of positive linear discrete-time systems// Int. J. Control. 1989. V. 50. №3 .

118. Rumchev V.G., James D.J.G. Maintainability of a class of discrete-time systems// Int. J. Control. 1987. V. 46. № 1.

119. Sirotin A.N. Analytical solution for discrete-time linear system time-minimum problem with bounded control// Advances in Modelling & Analysis, AMSE Press, 1993, vol. 38, № 4, pp. 15-24.

120. Soh C.B., Berger C.S., Dabke K.P. Stability of linear discrete-time systems: geometric considerations////^. J. Control 1989. VI. 49. No. 1. P. 15-23.

121. Tarn T.J., Elliot D.L., Goka T. Controllability of discrete bilinear systems with bounded control // IEEE Trans. Automat. Contr. 1973. V. AC-18. № 3.307

122. Telgen J. Minimal representation of convex polyhedral sets// J. Optimiz. Theory and AppL \9S2. Y. 38. № I. ?A-24.

123. Van Til R.P., Schmitendorf W.E. Constrained controllability of discrete-time systems// Int. J. Contr. 1986. V. 43. № 3. P. 941-956

124. Vu Ngoc Phat. Controllability of nonlinear discrete systems without differentiability assumption// Optimization. 1988. V. 19. № 1.

125. Zhao Yuqun. The proof of Goka's conjecture // IEEE Trans. Automat. Contr. 1986. V. AC-3 1 .№ 10.