автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Синтез дискретно-непрерывных систем управления на основе эталонных переходных процессов

о?

О)

с^ На правах рукописи

АИДИНЯН Андрей Размикович

СИНТЕЗ ДИСКРЕТНО - НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ НА ОСНОВЕ ЭТАЛОННЫХ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ

Специальность 05.13.01 —Управление в технических системах

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Ростов-на-Дону - 1998

Работа выполнена в Ростовской-на-Дону государственной академии сельскохозяйственного машиностроения

Научный руководитель; кандидат технических наук,

профессор Жуковский В.Г.

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

Соколов С. В.;

кандидат технических наук, доцент Синьковский О.Б.

Ведущее предприятие: Таганрогский государственный радиотехнический университет

Защита состоится ИОЯ^рй 199 ^ г. на заседании

диссертационного совета К063.27.04 по адресу 344010, г. Ростов-на-Дону, пл. Гагарина, 1, ДГТУ.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке ДГТУ.

Автореферат разослан С1СТяЗр$ • 199 £ г.

Ученый секретарь диссертационного совета канд. техн. наук, с.н.с

Дружинин И.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Большинство объектов управления, используемых в технике, являются непрерывными. В то же время ятя реализации управления все большее применение находят средства микропроцессорной техники, использующие представление информации в дискретной форме. Методы синтеза дискретно-непрерывных систем управления развиты в значительно меньшей мере, чем методы синтеза непрерывных систем.

Интсгратьные критерии качества, предъявляющие к системам управления требования на основе косвенных показателей качества, имеют существенные недостатки, связанные со сложностью выбора весовых коэффициентов по требуемым прямым показателям качества. Поэтому перспективными для решения задач синтеза представляются методы, опирающиеся на прямые показатели качества которые могут быть заданы с помощью эталонного переходного процесса. Однако эти методы или не учитывают (метод обратной задачи динамики) или косвенно учитывают (метод агрегированных переменных) ограничения на у правляющее воздействие и вектор состояния.

Целью работы является разработка алгоритмов синтеза дискретно-непрерывных систем управления без у чета и с учетом реальных ограничений на управляющее воздействие и вектор состояния на основе кртхрия. характеризующего отклонение переходного процесса в системе от эталонного, и улучшение на их основе свойств синтезированных систем управления.

Реализация поставленной цели требует решения следующих задач:

на основе анализа критериев качества, используемых в различных методах синтеза систем управления, выбрать критерий, позволяющий синтезировать систему управления на основе прямых показателей качества, характеризующих отклонение переходного процесса в системе управления от эталонного;

разработка более точных процедур линеаризации дискретно-непрерывных систем управления по сравнению с существующими подходами на основе использования численных методов решения дифференциальных »равнений;

разработка процедуры синтеза нелинейных дискретно-непрерывных ;истем управления без учета ограничений;

разработка процедуры синтеза нелинейных дискретно-непрерывных систем управления с учетом ограничений на управляющее воздействие и вектор состояния;

разработка программных средств, реализующих процедуры синтеза нелинейных дискретно-непрфывных систем управления без учета и с учетом ограничений на управляющее воздействие и вектор состояния.

Научная новизна полученных результатов состоит в разработке процедур синтеза алгоритмов управления нелинейными дискретно-непрерывными системами во временной области без учета и с учетом ограничений на управляющее воздействие и вектор состояния, сводящих синтез к решению системы линейных алгебраических уравнений, и линеаризации нелинейных дискретно-непрерывных, систем управления на основе численных методов решения дифференциальных уравнений.

В диссертации защищаются следующие основные положения: обоснование прямого квадратичного критерия качества, характеризующего отклонение переходного процесса в системе управления от эталонного в моменты дискретизации, для синтеза дискретно-непрерывных систем управления;

процедуры линеаризации дискретно-непрерывных систем у правления, основанные на численных методах решения нелинейных дифференциальных уравнений, и заменяющие нелинейные дифференциальные уравнения, описывающие объект управления на каждом шаге дискретизации по времени, на линейные;

алгоритмы синтеза дискретно-непрерывных систем управления без учета и с учетом ограничений, основанные на задании желаемых свойств с помощью эталонного переходного процесса и представлении управляющего воздействия на интервалах дискретизации по времени в виде взвешенной суммы линейно независимых функций.

Практическая ценность работы. Полученные в диссертационной работе результаты позволили:

упростить выбор желаемых свойств синтезируемой системы управления за счет использования прямого критерия качества, характеризующего отклонение переходного процесса от эталонного;

повысить точность достижения эталонного переходного процесса на несколько порядков за счет увеличения числа линейно-независимых функций, используемых для формирования управляющего воздействия на

интервалах квантования по времени и применения более точных процедур линеаризации;

увеличить период дискретизации по времени в системе управления без потери устойчивости;

разработать алгоритмическое и программное обеспечение для синтеза нелинейных дискрсгно-непрерывных систем управления без учета и с учетом ограничений.

Реатизация результатов работы. На основе предложенных процедур разработан пакет программ для синтеза нелинейных дискретно-непрерывных систем управления без учета и с учетом ограничений на управляющее воздействие и вектор состояния. Разработанный пакет программ использу ется, на ОАО "Ростсельмаш" при модернизации технологического оборудования. Использование разработанных процедур при модернизации системы управления машины лазерной резки листового проката позволило увеличить период дискретизации по времени в системе управления в 2 раза по сравнению с ранее существующим, уменьшить величину погрешности резки деталей в 1,4 раза и повысить производительность оборудования в среднем на 8%.

Разработанный пакет программ также используется при изучении дисциплин 'Теория управления" и "Автоматизированное проектирование РТС" на кафедре "Информационные и управляющие системы'' Ростовской-на-Дону государственной академии сельскохозяйственного машиностроения (РГАСХМ).

Исследования по данной теме велись в соответствии с планом научно-исследовательских работ, проводимых в РГАСХМ по темам: "Алгоритмы синтеза дискретно-непрерывных систем управления и их программная реализация"' (государственный регистрационный номер 01.9.40007129) .и , "Алгоритмы синтеза нелинейных дискретно-непрерывных систем управления, на основе численных методов решения дифференциатьных уравнений" (государственный регистрационный номер 01.9.60008368).

Апробация работы. Основные результаты, полученные в ., диссертационной работе, докладывались и обсуждались на ежегодных конференциях профессорско-преподавательского состава РГАСХМ в ,.1996, 1997 и 1998 гг.

Публикации. По результатам выполненных исследований опубликовано , 7 печатных работ.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех основных разделов, заключения, списка литературы, приложений и содержит 142 страницы основного текста, 56 рисунков и 4 приложения.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении обоснована актуальность проводимых исследований, сформулированы цели диссертациошюй работы, решаемые в ней задачи и основные положения, выносимые на защту.

В первом разделе дан анализ существующих методов синтеза систем управления и используемых в них критериев качества. На основе сделанного анализа показано, что косвенные критерии качества являются менее предпочтительными по сравнению с прямыми. Это объясняется значительной сложностью задачи выбора весовых коэффициентов косвенных критериев качества. К тому же решение задачи синтеза может быть получено только численно. Поэтому особое внимание уделено методам синтеза, опирающимся на прямые показатели качества. К ним относятся процедуры синтеза, использующие решение обратной задачи динамики и метод агрегированных переменных. Однако метод обратной задачи динамики не позволяет учесть реально существующие ограничения на управляющие воздействия и вектор состояния системы. Метод агрегированных переменных ограничения учитывает только косвенно через задание макропеременных.

Показано, что подход, связанный с синтезом дискретно-непрерывных систем управления методом обратной задачи динамики, и сводящий синтез системы управления к решению последовательности систем линейных алгебраических уравнений имеет ряд преимуществ:

желаемые свойства синтезируемой системы управления задаются явным образом с помощью эталонного переходного процесса, а не с помощью весовых коэффициентов интегрального критерия качества, что облегчает задачу выбора желаемых свойств;

благодаря заданию эталонного переходного процесса в непрерывном виде, выбор периода дискретизации оказывается прерогативой разработчика системы управления и появляется возможность менять величину дискретизации от шага к шагу;

процедура, сводящая синтез дискретно-непрерывных систем управления к решению последовательности систем алгебраических уравнений, позволяет получить управление значительно проще в

вычислительном отношении, чем при использовании других методов и может быть распространена на системы с ограничениями;

синтез нелинейных систем управления может быть сведен к синтезу линейных путем линеаризации системы дифференциальных уравнений, описывающих объект управления на каждом шаге дискретизации по времени, что благодаря малому шагу дискретизации представляется естественным.

Далее дается постановка задачи синтеза нелинейных дискретно-непрерывных систем управления на основе указанных выше подходов.

Пусть нелинейная система управления описывается векторным дифференциальным уравнением

*(0 = /(*(/))+ Я«( 0- (1)

где х(() = [х,(/), х2(/), ..., *„(')] — вектор-столбец координат состояния системы:

/(*(')) = [/(*('))„ /МО)»]7 — нелинейная

вектор-функция, состоящая из 11 непрерывных функций, каждая из которых по крайней мере один раз дифференцируема;

В —вектор постоянных коэффициентов системы размерности 17 :

и( / ) —управляющее воздействие.

Управляющее воздействие рассчитывается в моменты времени кТ с учетом текущего состояния (к = 0,1, 2,...) .

Для учета дискретного характера управления необходимо перейти от уравнения (1) к уравнениям, описывающим поведение объекта управления на каждом шаге квантования по времени:

х(кТ + г) = /(х(кТ + г)) + Ви(кТ + т), (2)

где г е[0, Т].

Предложено управляющее воздействие на каждом шаге формировать в виде линейной комбинации базисных фу нкций

т-1

н(кТ + т) = £ <Р, {Фи = ФУ Щ.

7 — 0

■ где <р(т) = [^о(т), (рх(г), —вектор-функция размер-

ности т, состоящая из набора базисных функций;

ик — вектор-столбец постоянных на к-ом шаге коэффициентов размерности т.

Синтез сводится к нахождению последовательности постоянных на каждом шаге квантования по времени вектор-столбцов ик таким образом, чтобы минимизировать критерий качества, характеризующий отклонение переходного процесса от эталонного в моменты дискретизации:

1 = ±(х{кТ)~Х{кТ))Т -Кк \х\кт)-х(кт))), (3) 1-1

где Як — положительно определенная диагонатьная матрица размерности п х п;

х*к — вектор-столбец размерности п, определяющий желаемое состояние в к -ый момент дискретизации по времени. При этом учитываются наложенные на управляющее воздействие и вектор состояния системы ограничения вида

итт<и(()<итан.

Во втором разделе рассмотрены вопросы синтеза нелинейных дискретно-непрерывных систем у правления без учета ограничений.

Проанализированы существующие методы формирования управляющего воздействия. Анализ показал, что повышение количества базисных функций для формирования управляющего воздействия позволяет повысить качество сиотезированых систем управления. Однако в существующих работах управляющее воздействие формируется с помощью системы полиномиальных функций. В данной работе рассматриваются общие принципы формирования . управляющего воздействия. Как показано, управляющее воздействие может быть сформировано не только с помощью постоянной или полиномиальной функции, но и с помощью других непрерывных, а также кусочно-постоянных функций, образующих полную систему линейно независимых функций времени. Полнота обеспечивает

системе аппроксимационные свойства. К таким наборам можно отнести набор полиномиальных функций, набор функций Лежандра, набор экспоненциальных функций, набор гармонических функций, а также наборы кусочно-постоянных функций типа Уолша.

Далее во втором разделе рассмотрена процедура синтеза нелинейных дискретно-непрерывных систем управления на основе эталонных переходных процессов без учета ограничений с критерием качества (3).

Выражение для управляющего воздействия находится в явном виде как функция текущего состояния.

Кусочно-постоянные функции являются более предпочтительным! г для формирования управляющего воздействия по сравнению с непрерывными в связи с простотой их реализации на цифровых устройствах. Однако управление, сформированное с помощью системы кусочно-непрерывных функций, может иметь скачки не только в моменты дискретизации, как при использовании непрерывных систем функций, но и в промежуточные моменты времени.

Далее в разделе описана предложенная процедура линеаризации нелинейного объекта у правления, опирающаяся на численные методы решения дифференциальных уравнений. В соответствии с этой процедурой векторное уравнение (2). описывающее объект управления на каждом шаге дискретизации, представляется в матричном виде

х(кТ+ г) - А(х{кТ+ г))• х(к'Г+ г) + Ви(кТ+ г), ' (4) а затем осуществляется замена матрицы А{х{кТ+ г)) на постоянную матрицу Ак с использованием приемов, применяемых в численных методах решения дифференциальных уравнений.

В результате линеаризации уравнение (4) примет вид

х(кТ+т) = Ак-х(кТ+т) + Ви{кТ+т), . ■

а значение вектора состояния в к +1 -ый момент дискретизации будет определяться выражением

хм=еА<тхк+Рк(Т)ик, (5)

т т

гдеРк(Т) = [^Л<т-г)В(р1(т)т^ ¡елгсг-г )В(р2(т)тс1т,

о о

т

...¡еА* '{Т~т)В(р^ (г)гс/г] —матрица размерности пхт .

и

Эталонный переходный процесс можег быть задан в виде:

где Р — матрица размерности пхп, определяющая свойства эталонного переходною процесса.

* кГТ

Тогда хк = е хп.

Для нахождения IIк осуществляется подстановка этатонного вектора состояния в выражение (5). В случае, если матрица Рк (7) имеет обратную, полученный вектор управления равен:

щ =Рк{7У\етх„-еА<гхк\. В случае, если матрица Рк(Т) не имеет обратной

ик=(як- рк(Т)У-пк •[^•'Ч-^ ч].

где # означает операцию нахождения пссвдообратной матрицы.

Матрица 1\ ( 7 ) имеет обратную только в случае равенства количества

базисных функций, используемых для формирования управляющего . воздействия, и размерности вектора состояния.

Использование численных методов решения дифференциальных уравнений для замены функции, меняющейся на шаге квантования, на постоянную величину объясняется их следующим свойством. Как известно, одношаговые и многошаговые численные методы решения дифференциальных уравнений при нахождении решения

сЫ , ч

дифференциального уравнения — = /) на каждом к -ом шаге

1к, (к+] ] осуществляют умножение постоянной величины /к , способ вычисления которой зависит от используемого метода, на длину шага.

То есть фактически линеаризация осуществляется путем замены функции /(^ + г) на постоянную /к , где г 6 [о, / ].

Рассмотрены наиболее простые явные и неявные численные методы решения дифференциальных уравнений с целью определения возможности их использования для линеаризации нелинейных матричных дифференциальных уравнений, описывающих объект управления. Так, для метода Эйлера Ак = А{х{кТ)), неявного метода Эйлера А,. - А(х(кТ+ Т)), метода

Адамса-Башфорта второго порядка Ак = - т А(х(кТ)) + § А(х(кТ + Т)), модифицированного метода Эйлера Ак = А(х{к1+\ Т)). Полученные алгоритмы линеаризации имеют точность на порядок ниже точности численных методов решения дифференциальных уравнений, на которые они опираются.

Предложена основанная на нахождении корней характеристического уравнения процедура определения периода дискретизации по времени при котором система у правления, .линеаризованная различными метода :и. теряет устойчивость. Использование неявных численных методов решения дифференциальных уравнений позволяет увеличить период дискретизации по времени в системе управления. Наиболее эффективным для повышения периода дискретизации в системе уллравления является линеаризация неявным методом Эйлера. Использование алгоритма линеаризации, опирающегося на неявный метод Эйлера при синтезе системы уттравления материальной точкой позволило увеличить период дискретизации по времени в 2,2 раза без потери устойчивости по сравнению с традиционным подходом. Однако неявные методы линеаризации требу лот знания вектора состояния в будущие моменты времени. Для оценки состояния в будущие моменты времени предложено использовать значение эталонного вектора состояния в соответствующие моменты и интерполяционную формулу Ньютона. На основе экспериментальных данных выяснилось, что наиболее точный синтез в плане минимизации предложенного критерия качества удалось достигнуть при оценке вектора состояния в будущие моменты времени с помощью эталонного переходного процесса.

В реферируемой работе также оценено влияние точности линеаризации на величину критерия качества при различном количестве базисных функций, служащих для формирования управ-

ляющего воздействия. Показано, что точность линеаризации практически не влияет на величину критерия качества при использовании экстраполятора нулевого порядка. Точность линеаризации влияет на величину критерия качества при равенстве количества базисных функций, используемых дня формирования управляющего воздействия, и размерности вектора состояния объекта управления. В этом случае отклонение состояния системы управления от желаемого пропорционатьно погрешности численного метода решения дифференциатьных уравнений на который опирается используемая для линеаризации процедура.

В третьем разделе описана разработанная процедура синтеза нелинейных дискретно-непрерывных систем управления с учетом ограничений сводящаяся к решению последовательности систем линейных атгебраических уравнений

, . . ... Е1) = М

с линейными ограничениями-неравенствами

си >И,

где Е, и, М, О, И — соответственно п х т - матрица; т - вектор неизвестных; // - вектор: / х т - матрица: 1 - вектор.

Процедура формирования вектора неизвестных 11 заключается в следующем.

При решении задачи синтеза неизвестными величинами являются векторы ик (к = 0, ж), размерность которых равна количеству базисных функций, используемых для формирования управляющего воздействия. Однако в связи с тем, что система уравнений не может состоять из бесконечного количества уравнений, вектор неизвестных II включает в себя векторы управления с текущего шага по шаг с номером Ь, на котором наложенные ограничения не оказывают влияния на управляющее воздействие и вектор состояния.

Таким образом, на первом шаге вектор неизвестных

//¡7, ..., и[1] Г| имеет размерность т-Ьт. При

формировании управляющего воздействия с помощью компонент этого вектора может быть построено программное управление. Вектор V также может быть использован для формирования замкнутого управления. Однако в

случае построения замкнутой системы управления используется только компонента К() вектора II. Компоненты //,, ..и1Х вектора V не

участвуют в формировании управляющего воздействия.

Нахождение управляющего воздействия для второго шага происходит путем решения системы уравнений с ограничениями после измерения состояния х, на первом шаге. Для формирования управления на втором шаге

используется вектор XI ^, зависящий от вектора состояния х,.

Таким образом, на / -ом шаге для формирования управляющего воздействия используются только первые Ш компонент найденного вектора. Благодаря такому пересчету вектора неизвестных с учетом обратной связи на каждом шаге, получаем оптимальную замкнупто систему управления и ограничиваем размерность вектора неизвестных величиной т = Ь ■ т.

Результаты моделирования показали, что ограничения на управляющее воздействие и вектор состояния могут быть учтены сколь угодно точно в отличие от использования штрафных функций для учета ограничений. Полученные системы управления асимптотически устойчивы, а точность достижения эталонного переходного процесса зависит от точности линеаризации только на тех шагах, на которых не действуют ограничения на управляющее воздействие и вектор состояния.

Четвертый раздел посвящен аспектам практической реализации предлагаемых алгоритмов синтеза нелинейных дискретно-непрерывных систем управления.

В рамках этого раздела разработан пакет программ доя синтеза нелинейных дискретно-непрерывных систем управления без учета и с учетом ограничений на управляющее воздействие и вектор состояния. В пакете программ реализована также субогггимальная процедура синтеза нелинейных дискрегао-непрсрывных систем управления с учетом ограничений. Ее отличие от оптимальной процедуры заключается в уменьшении размерности решаемой задачи благодаря оптимизации системы управления только на текущем шаге. Субоптимальная процедура позволяет расширить возможность формирования управляющего воздействия в реальном времени.

В пакете реализованы следующие функции:

- ввод системы уравнений, описывающих объект управления;

- линеаризация нелинейного объекта управления на каждом шаге дискретизации разработанными во втором разделе алгоритмами. Реализованы алгоритмы линеаризации, опирающиеся на следующие численные методы решения дифференциальных уравнений: Эйлера, модифицированный Эйлера, неявный Эйлера, Адамса-Башфорта II и Ш порядков, Адамса-Моултона II и Ш порядков, Симпсона:

- синтез нелинейной дискретно-непрерывной системы управления без учета ограничений;

- синтез нелинейной дискретно-непрерывной системы управления с учетом ограничений на управляющее воздействие и вектор состояния;

- субоптимальный синтез нелинейных дискретно-непрерывных систем с учетом ограничений на управляющее воздействие и вектор состояния;

- задание эталонного переходного процесса;

- вывод полученного управляющего воздействия и переходного процесса в системе управления в графическом виде: >

- вывод величины критерия качества на каждом шаге квантования в графическом виде и в виде таблицы;

- сохранение результатов расчета.

Разработанный пакет программ использовался для синтеза системы управления электродвигателем постоянного тока с независимым возбуждением и трехзвенным манипуляционным роботом.

Дискретное управление напряжением жоря электродвигателя осуществлялось таким образом, чтобы минимизировать отклонение переходного процесса от эталонного в моменты дискретизации.

Учитывались ограничения на положение и скорость вала двигателя в виде неравенства

«тт < < «тах

[^шт] [со(ПА

и на напряжение на жоре вида: IIтт < и{1) < £/тах.

При управлении электродвигателем постоянного тока решались следующие задачи:

1) перевод вала из начального состояния в заданное конечное с минимальными потерями энергии в жоре;

2) перевод вала из начального состояния в заданное конечное за минимально возможное время;

3) перевод вала из начального состояния за заданное время на максимальный угол.

Сформулированные задачи для разработанного пакета программ являются однотипными. Различие между ними задается с помощью соответствующего выбора эталонного переходного процесса. Для задачи перевода вала из начального состояния в заданное конечное с минимальными потерями энергии в якоре эталонный переходный процесс выбирался на основе известной процедуры построения оптимальной диаграммы скорости для электродвигателей. Для задачи максимального быстродействия эталонный переходный процесс по положению выбирался ступенчатым.

Нахождение вектора управления для трехзвенного манипулятора на первых шагах квантования по времени на компьютере с процессором Pentium-Ei осуществляется не менее 80 мс, что является неприемлемо большой величиной для управления в реальном времени. Поэтому использовалась субоптимальная процедура синтеза, заключающаяся в оптимизации системы управления только на одном шаге квантования. Благодаря этому субоптимальная процедура позволила обеспечить время синтеза не более 4 мс и величину критерия качества превышающую не более чем на 5% величину критерия, полученную с помощью оптимальной процедуры. Причем на последних 4 шагах из 7, за которые заканчивается переходный процесс, результаты, полученные с помощью обеих процедур, совпали в связи с тем, что на последних шагах ограничения не влияют на управляющее воздействие.

В заключении сформулированы основные результаты диссертационного исследования, сделаны выводы по проделанной работе.

В приложениях приведены листинги подпрограмм численного решения систем линейных алгебраических уравнений с учетом и без учета ограничений, листинг разработанного класса, реализующего двухмерную матрицу, и акт о внедрении разработанного пакета программ на ОАО "Ростсельмаш".

Основные результаты работы заключаются в следующем:

1. Проведенный анализ существующих подходов к синтезу систем управления показал, что наиболее предпочтительными являются критерии, выдвигающие к системам управления требования на основе прямых показателей качества, что позволяет упростить выбор

желаемых свойств синтезируемой системы управления. При квадратичном критерии качества синтез систем управления может быть сведен к решению последовательности систем линейных алгебраических уравнений.

2. На основе использования численных методов решеши дифференциальных уравнений получены процедуры линеаризации нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих объект управления на каждом шаге дискретизации, позволяющие увеличить период квантования в системе управления и точность линеаризации по сравнению с существу ющими подходами.

3. Разработаны процедуры синтеза нелинейных дискретно-непрерывных систем управления без учета и с учетом ограничений на управляющее воздействие и вектор состояния на основе задания желаемых свойств систем управления с помощью эталонного переходного процесса и формирования управляющего воздействия с помощью системы базисных функций, что позволило свести формирование управляющего воздействия к решению системы линейных алгебраических уравнений, упростить выбор желаемых свойств и увеличить качество синтезированных систем управления. При синтезе без учета ограничений выражение для управляющего воздействия записывается в функции фазовых координат в явном виде. П]Х)цед\ра синтеза позволяет формировать управляющее воздействие для систем до 4 порядка в реальном времени.

4. Предложена субоптимальная процедура синтеза нелинейных дискретно-непрерывных систем управления с учетом ограничений, заключающаяся в оптимизации системы управления только на текущем шаге, и позволяющая расширить возможности формирования управляющих воздействий в реальном времени. При использовании субоптимальной процедуры увеличение отклонения переходного процесса от эталонного не превышает величину, получаемую при использовании оптимальной процедуры, в среднем на 5%;

5. Разработан пакет программ для синтеза дискретно-непрерывных систем управления без учета и с учетом ограничений на управляющее воздействие и вектор состояния. Пакет программ используется для модернизации систем управления на ОАО "Ростссльмаш" и в учебном процессе.

Основное содержание диссертации изложено в печатных работах:

1. Жуковский В. Г., Айдинян А. Р. Синтез линейных дискретно-непрерывных систем с учетом ограничений/ Научные труды Ростовского-на-Дону института автоматизации и технологии машиностроения. Выпуск 2. — РИАТМ, Росгов-н/Д— 1995. — С. 60 - 67.

2. Айдинян А. Р. Решение задачи слежения в дискретно-непрерывных системах с ограничениями/ Научные труды Ростовского-на-Дону института автоматизации и технологии машиностроения. Выпуск 2. — РИАТМ, Ростов-н/Д—1995,—С. 68-73.

3. Жуковский В. Г., Айдинян А. Р. Синтез дискретно-непрерывных систем управления с ограничениями на управляющее воздействие. РГАСХМ.— Ростов н/Д, 1997. — Деп. в ВИНИТИ 01.04.97 № 1013-В97.

4. Жуковский В. Г., Айдинян А. Р. Синтез линейных дискретно-непрерывных систем управления с полиномиальным упрааляющим воздействием с учетом ограничений. РГАСХМ. — Ростов н/Д 1997. — Деп. в ВИНИТИ 11.08.97 № 2649-В97.

5. Жуковский В. Г., Айдинян А. Р. Синтез нелинейных дискретно-непрерывных систем управления на основе их линеаризации методами численного интегрирования. РГАСХМ. — Ростов н/Д. 1998. — Деп. в ВИНИТИ 07.07.98 №2120-В98.

6. Айдинян А. Р. Синтез нелинейных дискретно-непрерывных систем управления с учетом ограничений. РГАСХМ.— Ростов н/Д 1998. — Деп. в ВИНИТИ 07.07.98 № 2121-В98.

7. Айдинян А. Р. Синтез нелинейных дискретно-непрфывных систем управления с учетом ограничений на управляющее воздействие и вектор состояния/ Диагностика и управление в технических системах. Межвузовский сборник научных статей. — ДГТУ, Ростов-н/Д — 1998. — С. 50 - 58.

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Ростовская-на-Дону государственная академия сельскохозяйственного машиностроения

На правах рукописи

АЙДИНЯН Андрей Размикович

СИНТЕЗ ДИСКРЕТНО-НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ НА ОСНОВЕ ЭТАЛОННЫХ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ

Специальность 05.13.01 —Управление в технических системах

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата технических наук

Научный руководитель — к.т.н., профессор В.Г. Жуковский

Ростов-на-Дону -1998

СОДЕРЖАНИЕ

Стр.

ВВЕДЕНИЕ ..............................................................................................4

1. Анализ существующих методов синтеза дискретно-

непрерывных систем.......................................................................................................9

1.1. Обзор методов синтеза дискретно-непрерывных систем с косвенными критериями..........................................................................................................9

1. 2. Обзор методов синтеза систем управления с прямыми критериями качества..................................................................................17

1.3. Постановка задачи синтеза нелинейных дискретно-непрерывных систем управления..............................................................21

1.4. Анализ методов линеаризации....................................................................................................27

1.5. Выводы................................................................................................30

2. Синтез дискретно-непрерывных систем управления без учета

ограничений..........................................................................................31

2. 1. Формирование входного воздействия с помощью базисных

функций.........................................................................................................................................................31

2. 2. Процедура синтеза нелинейных дискретно-непрерывных

систем без учета ограничений.........................................................................34

2. 3. Использование явных методов численного интегрирования

для линеаризации объекта управления.........................................................38

2.4. Использование неявных методов численного

интегрирования для линеаризации объекта управления..........................46

2. 5. Влияние периода дискретизации на устойчивость системы

управления и точность синтеза............................................................55

2. 6. Влияние числа базисных функций, используемых для формирования управляющего воздействия, на точность синтеза... 67

2.1. Выводы...........................................................................................................72

3. Синтез дискретно-непрерывных систем: управления с учетом ограничений............................................................................................73

3.1. Сведение синтеза дискретно-непрерывной системы с учетом ограничений к решению систем: линейных алгебраических

уравнений..............................................................................................73

3.2. Решение задачи стабилизации с учетом ограничений на управляющее воздействие..................................................................76

3.3. Решение задачи слежения с учетом ограничений на управляющее воздействие............................................................................................................88

3.4. Решение задач стабилизации и слежения с учетом

ограничений на управляющее воздействие и вектор состояния ..... 93

3. 5. Выводы ....................................................................................... 103

4. Разработка пакета программ для синтеза дискретно-

непрерывных систем управления...................................................... 104

4.1. Описание пакета программ........................................................ 104

4.2. Использование разработанного пакета программ для: синтеза электромашинной системы................................................................ 116

4.3. Использование разработанного пакета программ для синтеза

системы управления манипуляционным роботом............................ 127

4. 4. Выводы ....................................................................................... 138

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.................................................................................. 139

ЛИТЕРАТУРА................................................................................... 141

ПРИЛОЖЕНИЕ 1. Функция решения системы линейных

алгебраических уравнений без учета ограничений.......................... 152

ПРИЛОЖЕНИЕ 2. Функции решения системы линейных

алгебраических уравнений с учетом ограничений................................156

ПРИЛОЖЕНИЕ 3. Файл, реализующий класс матриц..................... 164

ПРИЛОЖЕНИЕ 4. Акты об использовании результатов диссертационной работы................................................................... 172

ВВЕДЕНИЕ

Большинство объектов управления, используемых в технике, являются непрерывными. В то же время для реализации управления все большее применение находят средства микропроцессорной техники, использующие представление информации в дискретной форме. Причем дискретно-непрерывные системы должны строиться с учетом нелинейных свойств объектов управления и реальных ограничений на фазовые координаты и управляющее воздействие.

В настоящее время широкое распространение получили различные интегральные критерии, предъявляющие к системам управления требования на основе косвенных показателей качества. Однако, до сих пор нет эффективных процедур, осуществляющих выбор весовых коэффициентов интегральных косвенных критериев качества по требуемым прямым показателям качества. К тому же интегральный критерий качества не может обеспечить в синтезированных системах управления отсутствие перерегулирования и колебательности, что является обязательным условием протекания переходного процесса в системах управления манипуляторами, станками и другим технологическим оборудованием. Поэтому перспективными для решения задач синтеза представляются методы, опирающиеся на прямые показатели качества, которые могут быть заданы с помощью эталонного переходного процесса.

В соответствии с изложенным, целью настоящей диссертационной работы является разработка алгоритмов синтеза дискретно-непрерывных систем управления без учета и с учетом реальных ограничений на управляющее воздействие и вектор состояния на основе критерия, характеризующего отклонение переходного процесса в системе по всем фазовым ко-

ординатам от эталонного в равноотстоящие моменты времени, и улучшение на их основе свойств синтезированных систем управления.

Для достижения поставленной цели предлагается использовать квадратичным критерий качества, характеризующий отклонение переходного процесса от эталонного в равноотстоящие моменты времени. Благодаря выбранному критерию качества, синтез нелинейной системы управления сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений. При этом можно обеспечить отсутствие перерегулирования и колебательности. Для нелинейных систем управления без учета ограничений выражение для управляющего воздействия записывается в явном виде и синтез сводится к решению последовательности систем линейных алгебраических уравнений, что в вычислительном отношении значительно проще решения двухточечной краевой задачи, как это имеет место для метода максимума Понтряги-на.

В настоящее время, управляющее воздействие в дискретно-непрерывных системах обычно формируется на базе экстраполяторов нулевого порядка. Другие принципы формирования управляющего воздействия практически не рассмотрены в литературе. В работе [24] показано, что при формировании управляющего воздействия для линейных дискретно-непрерывных систем с помощью полной системы функций имеющих размерность, совпадающую с размерностью вектора состояния, достигается нулевая величина критерия качества. При формировании управления на базе экстраполятора нулевого порядка такого результата получить невозможно. Таким образом, формирование управляющего воздействия с помощью системы линейно независимых функций позволяет уменьшить отклонение переходного процесса в синтезированных системах управления от эталонного.

С целью повышения точности линеаризации дискретно-непрерывных систем управления используются подходы, опирающиеся на численные методы решения дифференциальных уравнений, и заменяющие нелинейную функцию на каждом шаге дискретизации по времени постоянной величиной. Такая линеаризация представляется естественной в связи с малым шагом квантования по времени в дискретно-непрерывных системах. Предложенный подход к линеаризации отличается от известного, поскольку осуществляет линеаризацию дифференциальных уравнений, описывающих объект управления, а не функциональных нелинейностей, описывающих вход-выходные характеристики каждого нелинейного звена. Линеаризация нелинейных дифференциальных уравнений с помощью численных методов решения дифференциальных уравнений позволяет линеаризовать системы управления с различной точностью. Такой подход является универсальным в плане возможности линеаризовать любой объект управления, описываемый системой уравнений с дифференцируемыми не-линейностями.

Реализация поставленной цели требует решения следующих задач:

на основе анализа критериев качества, используемых в различных методах синтеза систем управления, выбрать критерий, позволяющий синтезировать систему управления на основе прямых показателей качества, характеризующих отклонение переходного процесса в системе управления от эталонного;

разработка процедур линеаризации дискретно-непрерывных систем управления более точных по сравнению с существующим и подходами на основе использования численных методов решения дифференциальных

уравнений;

разработка процедуры синтеза нелинейных дискретно-непрерывных систем управления без учета ограничений;

разработка процедуры синтеза нелинейных дискретно-непрерывных систем управления с учетом ограничений на управляющее воздействие и вектор состояния;

разработка программных средств, реализующих процедуры синтеза нелинейных дискретно-непрерывных систем управления без учета и с учетом ограничений на управляющее воздействие и вектор состояния.

Научная новизна полученных результатов состоит в разработке процедур синтеза алгоритмов управления нелинейными дискретно-непрерывными системами во временной области без учета и с учетом ограничений на управляющее воздействие и вектор состояния, сводящих синтез к решению системы линейных алгебраических уравнений, и линеаризации нелинейных дискретно-непрерывных систем управления, основанных на численных методах решения дифференциальных уравнений.

В диссертации защищаются следующие основные положения: обоснование прямого квадратичного критерия качества, характеризующего отклонение переходного процесса в системе управления от эталонного в моменты дискретизации, для синтеза дискретно-непрерывных систем;

процедуры линеаризации дискретно-непрерывных систем управления, основанные на численных методах решения нелинейных дифференциальных уравнений, и заменяющие нелинейные дифференциальные уравнения, описывающие объект управления на каждом шаге дискретизации по времени, на линейные;

алгоритмы синтеза дискретно-непрерывных систем управления без учета и с учетом ограничений, основанные на задании желаемых свойств с помощью эталонного переходного процесса и представлении управляющего воздействия на интервалах дискретизации по времени в виде взвешенной суммы линейно независимых функций.

На основе предложенных процедур разработан пакет программ для синтеза нелинейных дискретно-непрерывных систем управления без учета и с учетом ограничений на управляющее воздействие и вектор состояния. Разработанный пакет программ используется на ОАО "Ростсельмаш" при модернизации технологического оборудования. Использование разработанных процедур при модернизации системы управления машины лазерной резки листового проката позволило увеличить период дискретизации по времени в системе управления в 2 раза по сравнению с ранее существующим, уменьшить величину погрешности резки деталей в 1,4 раза и повысить производительность оборудования в среднем на 8%.

Разработанный пакет программ также используется при изучении дисциплин "Теория управления" и "Автоматизированное проектирование РТС" на кафедре "Информационные и управляющие системы" Ростовской-на-Дону государственной академии сельскохозяйственного машиностроения (РГАСХМ).

Исследования по данной теме велись в соответствии с планом научно-исследовательских работ, проводимых в РГАСХМ по темам: "Алгоритмы синтеза дискретно-непрерывных систем управления и их программная реализация" (государственный регистрационный номер 01.9.40007129) и "Алгоритмы синтеза нелинейных дискретно-непрерывных систем управления на основе численных методов решения дифференциальных уравнений" (государственный регистрационный номер 01.9.60008368).

Материалы диссертации опубликованы в 7 научных работах и докладывались на ежегодных конференциях профессорско-преподавательского состава РГАСХМ в 1996-1998 гг.

1. Анализ существующих методов синтеза дискретно-непрерывных систем

1. 1. Обзор методов синтеза дискретно-непрерывных систем с косвенными критериями

В настоящее время для решения задач оптимального управления большое распространение получили методы, опирающиеся на использовании минимизируемых функционалов. Существующие методы синтеза можно разделить на две группы: методы, использующие косвенные критерии качества, и методы, использующие прямые критерии качества.

К методам синтеза оптимальных систем управления с использованием косвенных критериев качества относятся принцип максимума Понтря-шна [74] и принцип оптимальности: Беллмана [5]. Эти принципы являются мощными математически обоснованными способами решения оптимизационных задач в отношении минимизации выбранного критерия качества. -

Синтез систем управления с помощью принципа максимума Понтря-шна сводится к решению двухточечной краевой задачи для дифференциальных уравнений [80]. Получение аналитического выражения для оптимального управления' в замкнутой форме связано с большими трудностями и представляет собой самостоятельную задачу для каждого класса объектов. Поэтому на практике решение задачи синтеза дискретно-непрерывных систем может быть получено только численно.

Трудности решения двухточечных краевых задач стимулировали поиск разного рода прямых методов, которые бы сводили исходную вариационную задачу к задаче на простой минимум' .или максимум.

Одним из распространенных прямых методов является дискретное динамическое программирование [5, 92, 84]. Фактически метод динамического программирования является последовательным, повторяемым шаг за шагом применением уравнений принципа оптимальности Беллмана. Поэтому он проще известных численных методов минимизации функций многих переменных. Однако метод динамического программирования не может быть использован при синтезе управляющего воздействия в реальном времени.

Для детерминированных процессов с дискретным временем, описываемых в пространстве состояний уравнением вида:

*(£ + 1) = /(х(к\ и{к)) минимизируемый классический функционал задается в форме:

/ = Г3(х(к2))+ ^Цх{к), и(к)), (1.1)

к=кх

где — скалярная функция, конечного состояния процесса х(?к); I — скалярная функция; х(к) —вектор состояния; и(к) е Кт — вектор управления.

Метод динамического программирования позволяет свести задачу минимизации сложной скалярной функции нескольких аргументов к минимизации последовательности скалярных функций от одного векторного аргумента.

Уравнение Беллмана для задачи минимизации функционала (1.1) имеет вид

Укгк{х(к2 - = ппп{л(.г(&2 - к), и(к2 - &)) +

+Гь-ь+г(Мк2 ~ *)' 1<к1 ~ *)))}> к =1,2,..«,

прж¥к2(х(к2)) = У3(х(к2)).

Решение этого уравнения в практических случаях сталкивается с непреодолимыми трудностями. Сложность не только в многократном нахождении экстремума функции многих переменных. Главная трудность в нарастании сложности функции от шага к шагу. Каждая следующая функция Ук к[х{к2 - А:)) для нелинейного объекта — функция другого, более

сложного класса, чем функция У^_к+1{х(к2 - к +-1)) „ Для запоминания таких

функций большого числа аргументов при численном решении требуется большая емкость запоминающего устройства. Подходы, позволяющие преодолеть эти трудности, были предложены в работах [7, 92, 93, 101].

Для упрощения нахождения решения используется прием, заключающийся в выборе функции Ь в виде суммы двух функций: функции, зависящей только от х(к), и функции, зависящей от и{к), то есть

1{х{к\ и{к)) = &(*(*), к) + из(и(к), к),

где и 113 —заданные, обычно положительно определенные функции.

Приведение функционала к форме с линейно входящими управлениями может быть осуществлено путем расширения пространства состояний [80].

В результате этого минимизируемый функционал может быть представлен в виде

к2-1

I = У3(х(к2)) + *) + .

к ■■■-■к1 к=к1

В зависимости от вида функции Щ различают функционал с аддитивной степенной и квадратичной функцией затрат на управление. В первом случае

функция •;

к ■> 0 — заданные коэффициенты.

Функционал с аддитивной квадратичной функцией затрат на управление есть частый случай функционала со степенной функцией при г/, = 2:

С целью получения управления в аналитическом виде были разработаны методы синтеза систем, опирающиеся на �