автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Дискретные задачи оптимального управления

Введение.

Глава I. Необходимые и достаточные условия оптимизации для дискретных задач.

1. Принцип максимума в дискретной задаче оптимального управления.

2. Определение сопряженных векторов в дискретной задаче оптимального управления.

3. Формула приращения функционала.

4. Метод динамического программирования.

5. Метод возможных направлений для дискретной задачи оптимального управления.

Глава II. Математические модели использования и сохранения природных ресурсов в условиях индустриализации.

1. Модель использования и восстановления ресурсов в условиях индустриализации.

2. Модель использования и сохранения природных ресурсов с учетом инвестиций.

3. Билинейная дискретная модель использования природных ресурсов с фазовыми ограничениями.

4. Задача оптимального управления процессом рыбной ловли, описываемая дискретной моделью.

Глава III. Задачи оптимального управления процессом рыбной ловли.

1. Простая линейная модель оптимального использования восстанавливающихся ресурсов.

2. Модель управления процессом рыбной ловли.

3. Необходимые условия оптимальности в задаче линейной по управлению.

4. Задача об использовании возобновляющихся ресурсов со слабой миграцией.

В настоящее время большое внимание уделяется исследованию дискретных задач оптимального управления, имеющих обширные приложения в экономике, технике, исследовании операций и т.д. Это связано с возросшей сложностью управляемых процессов и тем фактом, что информацию о состоянии той или иной системы получают в дискретные моменты времени. Исторически теория дискретных процессов развивалась вслед за принципом максимума JI. С. Понтрягина для непрерывных задач оптимального управления, что привело к попыткам сформулировать дискретный аналог принципа максимума.

Большой вклад в развитие теории дискретных задач оптимального управления внесли В. Г. Болтянский [4], Б. Н. Пшеничный [9], Р. Бел-лман [3], А. И. Пропой [7], Ф. М. Кириллова, Р. Габасов [5], Н. Н. Моисеев [8], Ю. Г. Евтушенко [6] и др.

Для решения дискретных задач оптимального уравления возможны два подхода. Первый основан на методе динамического программирования Р. Беллмана. Важным достоинством этого подхода является возможность решения задачи синтеза, т.е. построения оптимального управления, зависящего от текущего состояния системы. С другой стороны использование принципа оптимальности Р. Беллмана предъявляет высокие требования к памяти и скорости вычислений персонального компьютера.

Второй подход основан на использовании методов математического программирования и их применении к многошаговым управляемым процессам. Этот подход называют дискретным принципом максимума. В математическом программировании созданы эффективные методы решения экстремальных задач с большим числом переменных и ограничениями на них, такие как градиентные методы, методы функций штрафа, методы случайного поиска глобального экстремума, релаксационные методы решения задач нелинейного программирования.

Теория многошаговых дискретных процессов тесно связана с теорией оптимального управления непрерывными системами, которые аппроксимируются с помощью дискретных задач оптимального управления. Для этих задач необходимые условия оптимальности формулируются в виде принципа квазимаксимума.

Важными проблемами являются развитие численных методов решения дискретных задач с доствточно большим или бесконечным числом шагов, приложение их к системам с запаздыванием, вопросы аппроксимации непрерывных систем дискретными, учет фазовых и смешанных ограничений и др.

Диссертация состоит из 3 глав. В первой главе приводится классификация дискретных задач оптимального управления, формулируются необходимые и достаточные условия оптимальности для многошаговых процессов и алгоритм построения приближенного решения во второй главе. Решена дискретная задача оптимального управления процессом рыбной ловли, использования и сохранения природных ресурсов. В параграфе 3 рассматриваются общие дискретные процессы, включающие в частности модели с учетом запаздывания, формулируется дискретный принцип максимума, необходимые условия оптимальности и инвариантности дискретных процессов.

В параграфе 4 формулируются достаточные условия оптимальности, метод динамического программирования и метод функций Крото-ва А. Ф. для дискретных задач оптимального управления, приводится сравнительный анализ методов.

Во второй главе исследуются математические модели использования и сохранения природных ресурсов в условиях индустриального общества. Необходимые и достаточные условия оптимальности для дискретных процессов применяются для анализа экономических моделей.

В третьей главе рассматриваются вопросы приближения непрерывной задачи оптимального управления дискретной задачей. Для этой задачи формулируются необходимые условия оптимальности, принцип квазимаксимума, обсуждаются численные методы и алгоритмы построения приближенного оптимального решения. С помощью этих методов решается задача об оптимизации процесса рыбной ловли.

Дискретные задачи оптимального управления возникают в математике, технике, экономике и других науках.

1. К. Р. Айда-Заде, Ю. Г. Евтушенко. Быстрое автоматическое дифференцирование на ЭВМ. Математическое Моделирование, 1(1989), 121-139.

2. А. Ф. Албу. Вычисление градиента в задачах оптимального управления с разрывной правой частью. ЖВМ и МФ, 35(1995), 1058-1066.

3. В. М. Алексеев, В. М. Тихомиров, С. В. Фомин. Оптимальное управление. Физмат-газ, Москва (1979).

4. Е. А. Андреева. Оптимальное управление динамическими системами. Тверь, 1999.

5. Е. А. Андреева. Оптимальное управление системами с запаздывающим аргументом. Москва, Препринт ВЦ АН СССР (1987), 34 с.

6. Е. А. Андреева, X. Бенке. Оптимизация управляемых систем // Тверь, 1996.

7. Е. А. Андреева, Ю. Г. Евтушенко. Численные методы решения задач оптимального управления для систем.описываемых интегро-дифференциалъными уравнениями типа Фредголъма. Москва, Сборник трудов ВНИИ системных исследований (1989), вып. 1,413.

8. Е. А. Андреева, М. А. Ждид. Модель оптимального использования природных ресурсов // Методы и алгоритмы исследования задач оптимального управления. Тверь, 2000. С. 47-56.

9. Е. А. Андреева, М. А. Ждид. Необходимые условия оптимальности в разрывной задаче, линейной по управлению // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь, 2000. С. 4-14.

10. Е. А. Андреева, В. Б. Колмановский, JI. Е. Шейхет. Управление системами с последействием J/ М., 1992.

11. Е. А. Андреева, В. М. Цирулева. Вариационное исчисление и методы оптимизации // Тверь. ТвГУ, 2001.

12. Аоки Масанао. Введение в методы оптимизации: основы и приложения нелинейного программирования. Москва, 1977, 343 с.

13. Ф. И. Баранов. К вопросу о биологических основаниях рыбного хозяйства) j Изв. отд. рыболовства и науч.-промысл, исслед. 1918. Т. 1. вып. 1. С. 84-128.

14. Р. Беллман, С. Дрейфус. Прикладные задачи динамического программирования / М. Наука. 1965.

15. В. И. Беляев. К изучению условий размножения пеляди в бассейне р. Северная Сосъва// Всесоюз. совещ. по биологии и биотехнике разведения сиговых рыб (7-9 дек. 1977 г., г. Тюмень) : Тез. докл.-1977 С. 19-20

16. Р. Бивертон, С. Холт. Динамика численности промысловых рыб. М.: Пищ. пром-ть, 1969, 248с.

17. А. Е. Бобырев, Е. А. Крикунов. Математическое моделирование динамики популяции рыб с переменным темпом пополнения // М. Наука. 1996.

18. В. Г. Болтянский. Математические методы оптимального управления. Наука, Москва (1969), 408с.

19. В. Г. Болтянский. Оптимальное управление дискретными системами /j М. Наука. 1973.

20. И. Б. Бирман. К изучению роли тихоокеанских лососей и их взаи-моотноший с сельдями в экосистеме зоны шельфа дальневосточных морей]I Теория формирования численности и рационального использования стад промысловых рыб. М: Наука, 1985. С. 181-196.

21. А. Е. Бобырев, А. Ф. Шаров. Опыт использования имитационных моделей в сравнительном анализе динамики популяций ряпушки Чудского озера и р. Печоры//Изв. ГосНИОРХ. 1990. Т. 316, С. 7-17.

22. Ф. П. Васильев. Численные методы решения задач оптимизации. Наука, Москва (1981).

23. Ф. П. Васильев. Численные методы решения экстремальных задач // М. Наука. 1980.

24. Р. Габасов. О необходимых условиях оптимальности для особых управлений. Известия Академии наук СССР. Техническая кибер-нентика, 5(1968), 34-43.

25. Р. Габасов, Ф. М. Кириллова. К вопросу о распространении принципа максимума JI. С. Понтрягина на дискретные системы. Автоматика и телемеханика. 11(1966), 46-51.

26. Р. Габасов, Ф. М. Кириллова. Методы оптимизации // Минск. БГУ. 1981.

27. Н. И. Грачев, Ю. Г. Евтушенко. Библиотека программ для решения задач оптимального управления. ЖВМ и МФ, 19(1980), 99-119.

28. Н. И. Грачев, А. Н. Фильков. Алгоритмические основы оптимизации управляемых систем с разрывной правой частью. Москва, ВЦ АН СССР (1988), 67 с.

29. Н. И. Грачев, А. Н. Фильков. Решение задач оптимального управления в системе ДИСО. Москва, ВЦ АН СССР (1986), 67 с.

30. В. И. Гурман. Модели управления природными ресурсами // М. Наука. 1981.

31. В. И. Гурман. Основы макроэк ономического анализа // Тверь. ТвГУ. 1995.

32. В. И. Гурман. Принцип расширения в задачах управления // М. Наука. 1997.

33. В. И. Гурман, И. В. Рысина. Математические модели оптимального управления // Иркутск. 1982. 72 с.

34. Т. Ф. Дементьева. Биологическое обоснование промысловых прогнозов. М.: Пищ. пром-сть, 1976. 240 с.

35. А. 3. Ишмухаметов. Методы решения задач оптимизации, Изд-во МЭИ, Москва(1998).

36. К. Ким, Ю. Нестеров, В. Скоков, Б. Черкасский. Эффективный алгоритм для дифференцирования и задачи экстремали. Экономика и Математические Методы. 20(1984), 309-318.

37. Г. П. Кожевников. Биология и промысел омуля в северных реках Сибири. Новосибирск: ГлавСибРыбПром, 1948. 40с.

38. Е. А. Крикунов. Динамика промыслового стада рыб в связи с закономерностями формирования пополнения: Дис. . д-ра биол. наук. М., 1988. 312с.

39. Е. А. Крикунов. Математическое моделирование в рыбоводстве/ / Рыбоводство. 1987. N4. С. 5-6.

40. Е. А. Крикунов. О закономерностях формирования пополнения у популяции рыб с коротким жизненным циклом// Изменчивость рыб пресноводных экосистем. М: Наука 1979. с. 164-179.

41. Е. А. Крикунов, Н. Я. Концевая. Анализ состояния запаса и чудского сига промысла/J Вести. МГУ Сер. 16, Биология. 1987. N4. с. 43-49.

42. Е. А. Крикунов, М. Л. Снетков. Расширенная модель формирования пополнения нерестового стада рыб// Теория формирования численности и рационального использования стад промысловьк рыб. М.: Наука, 1985. с. 46-55.

43. Кротов В. Ф., Гурман В. И. Методы и задачи оптимального управлния. М: Наука 1973.

44. Основы теории оптимального управления / Под ред.B.Ф.Кротова. М. Высшая школа. 1990.

45. Э. Полак. Численные методы оптимизации. Единый подход. Мир, Москва(1974).

46. J1. С. Понтрягин, В. Г. Болтянский, Р. В. Гамкрелидзе, Е. Ф. Мищенко. Математическая теория оптимального процесса. Наука, Москва (1961).

47. А. И. Пропой. Элементы теории оптимальных дискретных процессов. Наука, Москва (1973).

48. Н. К. Протопопов. Влияние промысла на биологическую структуру популяции полупроходного сига-пыжьяна р. Печоры// Лососе-видные рыбы. JL: Наука, 1980. С. 340-343.

49. Н. К. Протопопов. Темп роста и половое созревание полупроходного сига-пыжьяна Coregonus lavaretus pidschian (Gmelin) (Salmonidae) реки Печоры// Вопр. психологии. 1982. Т.22, вып. 3.C. 383-389.

50. Б.Н.Пшеничный. Выпуклый анализ и экстремальные задачи. М. Наука, 1980, 319с.

51. JI. И. Розоноэр. Принцип максимума Л. С. Понтрягина в теории оптимальных систем. Автоматика и телемеханика, т.20, NN 10, И, 12 (1959).

52. В. В. Степанов. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. Физматгиз, Москва (1958).

53. Р. П. Федоренко. Приближенное решение задач оптимального управления // М. Наука. 1978.

54. А. В. Фиакко, Г. П. Мак-Кормик. Нелинейное программирование: методы последовательной безусловной минимизации. 1972, 240 с.

55. У. Флеминг, Р. Ришел. Оптимальное управление детерминированными и стохастическими системами // М. 1978, 316 с.

56. Д. Химмельблау. Прикладное нелинейное программирование. 1975, 534 с.

57. W. Baur and V. Strassen. The complexity of partial derivatives. Theoretical Computer Sciences, 22(1983). 317-320.

58. D. Bertsekas. Constrained optimization and Lagrange multiplier methods. Academic Press, New York, 1982.

59. E.G. Birgin, Y. G. Evtushenko. Automatic differentiation and spectral projected gradient methods for optimal control problem. Optimization methods and software, Gordon and Breach, 10(1998), 125-146.

60. C. Caratheodory. Variationsrechnung und partielle Differentialgleichungen erester Ordnung. Band 1, Leipzig (1956).

61. Y. G. Evtushenko. Automatic differentiation viewed from optimal control theory, in 36 25-30(1991).

62. Y. G. Evtushenko. Computation of exact gradients in distriduted dynamic systems, for optimal cotrol problem. Optimization methods and software, Gordon and Breach, 9 (1998), 45-75.

63. Y. G. Evtushenko. Numerical Optimization Techniques. Optimization Software, Inc., Publication Division, New York (1985).

64. A. Griewank. Achieving logarithmic growth of temporal and spatial complexity in reverse automatic differentiation. Optimization Methods andSoftware, 1 (1992), 35-54.

65. A. Griewank. On automatic differentiation, in M. Iri and K. Tanabe (Eds.) Mathematical Programmirung: Recent Developments and Applications, Kluwer Academic Publishers, 83-108 (1989).

66. A. Griewank and G.E. Corliss, eds. Automatic Differentiation of Algorithms. Theory, Implementation and Application. SIAM, Philadelphia (1991).

67. M. Iri. History of Automatic differentiation and rounding error estimation, in 30 3-16 (1991).

68. M. Iri. Simultaneous computation of functions, partial derivatives and estimates of rounding errors Complexity and practicality. Japan Journal of Applied Mathematics, 1 (1984), 223-252.

69. M. Iri and К. Kubota. Methods offast automatic differentiation and applications. Research memorandum RMI 87-02. Department of Mathematical Engineering and Instrumental Physics, Faculty of Engineering, University of Tokyo (1987).