автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Вопросы среднеквадратичной оптимизации для дискретно-непрерывных систем

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи ЯНКОВСКАЯ Людмила Анатольевна

ВОПРОСЫ СРЕДНЕКВАДРАТИЧНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ ДЛЯ ДИСКРЕТНО-НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ

05.13.01 - системный анализ, управление и обработка информации (по прикладной математике и процессам управления)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург - 2003

Работа выполнена на факультете прикладной математики — процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Веремей Евгений Игоревич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Жабко Алексей Петрович (Санкт-Петербург)

Защита состоится «,1Ъ> с^Ги^Ь/ия. 2003 г. в/^ часов на заседании диссертационного совета Д-212.232.50 по защитам диссертаций на соискание ученой степени доктора наук при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9, Менделеевский центр

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. А. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб.,

кандидат технических наук, старший научный сотрудник, Черных Андрей Климентьевич (Санкт-Петербург)

Ведущая организация: ФГУП «НПО «Аврора»

7/9.

Автореферат разослан «

г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физ.-мат. наук, профессор

Г. И. Курбатова

11\ JOS

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Большинство современных систем автоматического управления динамическими объектами характеризуется массовым внедрением средств цифровой вычислительной техники. Компьютеры применяются при выполнении анализа, синтеза, цифрового моделирования, а также при реализации алгоритмов автоматического управления в реальном масштабе времени. В связи с этим разработка методов проектирования оптимальных алгоритмов цифрового управления представляется важной практической задачей.

Особое внимание уделяется вопросам автоматизации анализа устойчивости и качества динамических процессов, а также аналитического поиска законов управления. Существенную роль играют методы цифрового и имитационного моделирования и методы поддержки технической реализации управляющих устройств на базе цифровых элементов.

Большую роль здесь играет мощный математический аппарат описания методов оптимизации динамических характеристик регулируемых систем, позволяющий привлекать современные подходы к решению практических задач и, в особенности, задач стабилизации объектов при наличии внешних возмущений. Значительная часть этих методов опирается на базовую теорию аналитического синтеза законов управления (регуляторов) для динамических управляемых объектов. Основы соответствующих подходов были разработаны в трудах A.M. Лётова, В.И. Зубова, A.A. Красовского, B.C. Пугачёва, Н. Винера, Р. Калмана и многих других выдающихся ученых. В частности, широко распространена теория синтеза оптимальных регуляторов, доставляющих минимум среднеквадратичному функционалу для линейных объектов, подверженных воздействию внешних возмущений случайного характера.

С включением в контур управления цифровых вычислительных машин возникает актуальная задача подбора дискретных законов управления для непрерывных динамических объектов. В настоящее время в основном используется два подхода для решения этой проблемы. В первом случае строится дискретная модель объекта и для нее синтезируется дискретный закон управления. Сразу отметим, что к недостаткам такого подхода следует отнести тот факт, что далеко не всегда можно игнорировать поведение системы между моментами квантования. Во втором случае для непрерывной системы находится непрерывный регулятор, который после заменяется его дискретным

Я»®*^ ПрИ

аналогом при реализации в цифровы>

БИБЛИОТЕКА I

cn^6ypr \ оз Щ)

этом неизбежно возникает вопрос о выборе дискретной аппроксимации непрерывного закона управления, чтобы характеристики полученной замкнутой системы были близки к характеристикам непрерывной системы. Попутно заметим, что эту проблему можно рассматривать как отдельную задачу, которая сравнима по сложности с исследованием исходной непрерывной системы.

Указанные недостатки привели к созданию новой линейной теории цифрового управления в непрерывном времени, основанной на понятии параметрической передаточной функции, введенной в трудах E.H. Розенвассера, которая позволяет синтезировать дискретные законы управления непосредственно по непрерывной модели объекта.

Тем не менее, существует возможность определенного развития этой теории на базе объединения ряда ее положений с многоцелевым подходом к среднеквадратичному синтезу. Это позволяет упростить вычислительный аппарат и повысить в целом эффективность среднеквадратичной оптимизации дискретно-непрерывных систем.

Целью диссертационной работы является проведение исследований, направленных на развитие математических методов среднеквадратичной оптимизации динамических объектов для дискретных и дискретно-непрерывных систем. Целью работы также является изучение свойств и структуры оптимальных регуляторов для дискретных систем, а также изучение предельных возможностей управляемых систем в дискретной и дискретно-непрерывной постановке задачи синтеза.

Конечным результатом исследований является разработка алгоритмического и программного обеспечения для решения соответствующих прикладных задач исследования и проектирования систем управления движением судов на базе полученных теоретических результатов.

Методы исследований. Для решения задач, рассматриваемых в диссертационной работе, привлекаются классические и современные методы анализа и синтеза динамических систем управления. Построение и исследование математических моделей объектов управления и синтезируемых регуляторов осуществляется с использованием современного аппарата математического анализа, теории функций комплексной переменной, высшей алгебры, теории обыкновенных дифференциальных уравнений, теории управления.

Научная новизна. Основное внимание в работе уделяется следующим направлениям исследований:

• развитию методов для решения задачи среднеквадратичного синтеза для дискретно-Непрерывных систем, позволяющей построить эффек-

тивные вычислительные алгоритмы и представить решение в удобной для исследований форме;

• изучению предельных возможностей оптимальных регуляторов. Основное внимание при этом уделяется выводу формул для оценки снизу величины энергетических затрат на управление.

• исследованию структуры оптимальных регуляторов для дискретных систем управления, получению формулы, позволяющей находить степени числителя и знаменателя передаточной функции оптимального регулятора без его непосредственного вычисления;

• развитию программного обеспечения для компьютерной реализации методов и алгоритмов анализа и синтеза, разработанных в диссертационной работе, а также проведению компьютерного и имитационного моделирования систем управления движением на базе построенных вычислительных схем;

• применению теоретических методов и вычислительных алгоритмов, полученных в работе, к решению прикладных задач автоматизации управления движением судов.

Практическая значимость результатов диссертации определяется тем, что она позволяет упростить вычислительные процедуры синтеза оптимальных регуляторов, а также определять структуру и возможности оптимальных регуляторов для дискретных систем без непосредственного решения задачи синтеза.

Апробация работы. Диссертация в целом, а также ее отдельные части и полученные результаты докладывались на 11-м Международном семинаре IFAC 'CAO 2000" (Санкт-Петербург, июль 2000 г.), на XXXI научной конференции «Процессы управления и устойчивость», на XXXIV научной конференции аспирантов и студентов «Процессы управления и устойчивость» факультета прикладной математики -процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета, на семинарах кафедры компьютерных технологий и систем факультета ПМ-ПУ и лаборатории компьютерного моделирования систем управления НИИ ВМ и ПУ СПбГУ.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 4 печатные работы.

Структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы, включающего 119 наименований. Объем работы составляет 116 страниц машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность решаемой проблемы, сформулированы цели и направления исследований и приведено краткое содержание диссертационной работы.

Первая глава является основной теоретической частью диссертации. Прежде всего, здесь приводится общая постановка задач, решаемых в диссертационной работе, и осуществляется краткий анализ научных работ опубликованных по теме исследований.

Рассматривается 2 подхода к постановке задач синтеза. В первом — изучаемая система включает в себя непрерывный объект, для которого управление формируется как решение разностного уравнения. Такие системы называют дискретно-непрерывными (ДНС). Во втором подходе и объект, и синтезированное управление являются функциями дискретного времени.

Сформируем общую математическую модель первого подхода. Структурная схема рассматриваемой системы представлена на рис.1.

* 1

Рис. 1.

Пусть Т— интервал квантования, A(s) — передагочная функция объекта управления, Н(р) — передаточная функция исполнительной части, <р - внешнее возмущение, х - выход системы.

Тогда уравнения связи между входом и выходами системы можно представить в следующем виде:

х = A(s)(<p + vH ), vH = Н (s)v, и = -х. (1)

Пусть управляющая ЦВМ состоит из аналого-цифрового преобразователя, программы управления и преобразователя, переводящего синтезированный цифровой сигнал в аналоговый. Тогда в качестве модели ЦВМ могут быть приняты следующие уравнения:

$к=и(кТ+0),

^20^+^21^-1 + -+w2k<l>n-k = Wu£n + W\ I^-l +-+WlkZn-k • (2) v(t)=fl(t-kT^k,.kT<t<(k+\)T, (3)

где управление формируется как решение разностного уравнения (2).

Указанную математическую модель можно однозначно характеризовать передаточной функцией цифрового регулятора вида

W2 w20+w2le sl+...+w2ke ш где s — переменная Лапласа.

Регуляторы, с передаточной функцией вида (4), обеспечивающие устойчивость заданного движения, будем называть стабилизирующими. Множество передаточных функций W регуляторов таких, что характеристический полином А(.?) замкнутой системы содержит корни только вне круга единичного радиуса, будем в дальнейшем обозначать Í2Q.

На движениях системы зададим некоторый неотрицательный функционал

r = l(x(t)MOhl(W), (5)

который, при прочих равных условиях, однозначно определяется выбором передаточной матрицы W(s) закона управления.

Предположим, что возмущение q> является случайным стационарным процессом, обладающим эргодическим свойством, имеющим нулевое математическое ожидание и характеризуемым заданной функцией Sy (s) спектральных плотностей.

Дисперсия установившегося процесса на выходе и спектральная плотность входного сигнала Sv(s) для ДНС связаны между собой

соотношением

z,(0 = — ¡S (s)w(s,t)w(-s,t)ds, (6)

2 Ш J

где w(s,t) = w(s,t + T) — параметрическая передаточная функция изучаемой системы. Следует отметить, что для подобного класса систем дисперсия является периодической функцией с периодом Т.

Функционал (5), характеризующий качество процесса стабилизации в системе, может быть представлен в виде:

I = X2z2x+z2u, (7)

где I — множитель Лагранжа, определяющий соотношение между точ-

—2 —2

ностью и мощностью управления, величины гх и ги — усредненные квадраты дисперсий координаты и управления на периоде Т\

1 , 1 ' t =-\zl (t)dt, zl =-\zl(t)dt.

о 0

Определение 1. Задачей среднеквадратичного синтеза для системы

(1) - (3) называется задача

/ = /(w)—> min , (8)

We П„

где / определяется формулой (7).

Во в юром подходе рассматриваются дискретные системы, которые описываются линейными разностными уравнениями с постоянными коэффициентами. Будем считать, что управление является скалярной величиной, а возмущающие воздействия — случайные стационарные последовательности с нулевым математическим ожиданием и наперед заданными корреляционными коэффициентами. Допустим, что объект управления описывается уравнением

A(q)x,=H(q)ut+<p„ (9)

где х,, и, — соответственно координата объекта и управление в моменты времени v, ipt — внешнее возмущение с известными корреляционными коэффициентами e(i) = £(—г) =< (р,(р,+1 >; H(q) = hoqk + hiqk +'+...+ htqk + l,

A(q) = üq + a\q +...+ a„_\q" 1 + a„q", (a0 ф 0) — полиномы с постоянными коэффициентами; q — оператор сдвига на такт назад. Общая схема дискретной системы (9) представлена на рис. 2.

Рис. 2.

Управление и, для объекта (9) формируется в виде регулятора (обратной связи), описываемого уравнением

и, = \У(д)х,,

где УУ^) = ^(д) /И^Сд) — передаточная функция регулятора, W1(q) и \У2(ф — полиномы.

Наряду с системой (9) рассмотрим среднеквадратичный функционал вида

'I = X< xf >+n'<uf > = limM{/Uf2 + juif}, (10)

I—

где множитель к > 0, ß > О, 1+/.1Ф О, М{-} - знак математического ожидания.

Задачей среднеквадратичного синтеза для дискретной системы называется задача, в которой требуется найти ре1улятор, доставляющий минимум критерию качества регулирования при условии устойчивости замкнутой системы, или формально можем записать / = l(W) —> min, W& Q.ä, » где Cid— множество дробно-рациоиальных передаточных функций

1 таких, что характеристический полином замкнутой системы имеет все

' корни вне круга, единичного радиуса:

" i2d=^ei2o:|5,.(W)|>l,Ad(5,(W)) = 0,i = l,2,...,«f}, (И)

где Ad— характеристический полином замкнутой системы «объект + регулятор», Ad = A(z)W2(z) - Wl(z)H(z), п3 - deg Ad(z).

В данной главе также сформулирована задача о предельных возможностях линейных управляемых систем. Будем называть мощностью управления величину

< и? > = lim М{м{2} для дискретных систем, (12)

/_> оо

1 Т

Zu =~\zl(t)dt для ДНС. (13)

о

Тогда задачей о предельных возможностях линейных управляемых систем, будем называть задачу, которая отвечает на вопрос, какова минимальная мощность управления, необходимая для обеспечения устойчивости замкнутой системы, j Одним из важных вопросов, подлежащих решению при практиче-

• ской реализации законов управления, в том числе и оптимальных,

является выбор структуры реализующего техническою устройства, v т. е. выбор состава отдельных элементов и обеспечение соответст-

вующих связей между ними.

Под структурой регулятора понимают совокупность степеней числителя и знаменателя его передаточной функции.

В связи с этим ставится задача о структурных свойствах регулятора, исходя из исходных данных, без предварительного решения самой задачи синтеза.

Вторая глава диссертации посвящена разработке математических методов синтеза регуляторов, доставляющих минимум среднеквадратичному критерию качества для дискретных и дискретно-непрерывных систем.

Разработан алгоритм решения задачи синтеза для ДНС. Предполагается, что в ДНС помимо внешнего возмущения присутствует помеха в измерениях координаты, которая по сути представляет случайный стационарный процесс, удовлетворяющий эргодической гипотезе и имеющий нулевое математическое ожидание и заданную спектральную плотность. При этом предполагается, что внешнее возмущение и помеха измерения — независимые единичные белые шумы. Общая структурная схема модели с учетом помех представлена на рис. 3.

Рис. 3.

Помеха измерения выходной координаты i//(f) и внешнее возмущение <p(t) проходит через устойчивые формирующие фильтры C9(s) и Cv(s) соответственно, а функция G(s) — динамическая обратная связь.

Считается, что в цифровой вычислительной машине в качестве передаточной функции формирующего элемента используется фиксатор нулевого порядка с передаточной функцией

Gh(z) =±-2—. (14)

s

Предполагается, что для системы выполнены следующие условия:

1) Передаточная функция разомкнутой системы AHG является несократимой и строго правильной.

2) Функции Н, G не имеют полюсов на мнимой оси.

3) Функции

A,(i) = CyClAA*GG* +CVC*VGG, B(s) = k2CipC*vA2A*GH , E(s) = AC^A

— строго правильные.

4) Передаточные функции С„, CL асимптотически устойчивы.

Перед тем, как сформулировать теорему об оптимальном регуляторе, введем следующие обозначения:

1. Для всех функций переменной .v (функций от z = e~sT ), в дальнейшем будем использовать обозначение F{z) = Fis) |еХр(-^г)=г • Знак «*» будет обозначать замену s на -s, а для функций переменной z — замену z на z-1.

2. Будем считать, что построены функции

А,,(z) = DA] (Г, z,0)DAi (Г,z,0), A,(z) = CyCyAA'GG* + C^GG',

A2(s) = +1 )HH*GhG*h , Al0(z) = DA} (T, z,0),

A2

A3(s)=j-CipC9*A2A*GHGh, где функции DAi (T, z,0), DAi (T, z,0) - дискретные преобразования Лапласа, со = 2л / Т — частота квантования,

Од, (T,S,t) =1 f^Ms + kjOJ^ ^' , DA] (T,Z,t) = DAi (T,S,t) |ехр(-1Г)=г 1 ifc=—°

3. Для передаточных функций G, Hсистемы строятся вспомогательные полиномы по следующим формулам:

к к g(z) = П (z ■- e~SaT ), A(z) = П (z - e~s»'T ), 1=1 i=i

с<р (z) = П(Z ■-e"'vr), С¥(z) = П (z -е-*"7").

1=1 i=i

4. Пусть построены функции а1,а2,а3,Р1 па базе соотношений: А (Г,г,0) =-

ai

c<pc¥ag(cfcvag)

aha h aha h А3(Г,г,0)=

c9a hgcfa

5. Передаточная функция разомкнутой системы представима в виде

n _ "(г) AHCG^d(zY

6. Функция/- результат факторизации выражения:

//* = Я2а2 +а3оа*.

7. Число ё положительное целое, при котором функции /*г , Я2/},*с* суть полиномы от переменной г.

В результате найдено точное решение задачи среднеквадратичного синтеза оптимального регулятора для ДНС, базирующееся на следующем утверждении:

Теорема. При выполнении условий 1) — 4) числитель и знаменатель передаточной функции оптимального регулятора И/(.т), доставляющего минимум критерию качества (7) на множестве Q0 может быть вычислена по следующим формулам:

с g+h+a2zSrh~Ptc* -Rae ) w, ------г-?-,

/У

_ fg+h~t"g~h~ n(X2g~f>~PiCvc*¥zS -Rc¥c9a) _ fg+h+g~h~-nWx

• »O ~ —————— i i _ 1 ,

d f g~h~azs d

где p, — корни полинома P(z),

P = PXP2 , Pl s g-h~, P2 = f'z* , Q(z) = C¥C<P,

причем функция S(z) на корнях полинома P(z) принимает следующие значения:

- если р, — корень полинома /"¡(z), либо р, — корень P2(z) и одновременно— корень а,то

g-h-(X2^cvc;-f-f-)p,S S(P,)=-a-;

а

если р, — корни полинома _P2(z), при этом a(pt) * 0, то коэффициенты S(p¡) вычисляются по формуле

—~-.2о* * s

ghtJhCyCyP,

а

В параграфе 2.4 доказывается теорема, которая позволяет получить сведения о структуре оптимального регулятора без его непосредственного построения, что очень важно, поскольку последнее связано со значительным объемом вычислений.

В третьей главе осуществлен анализ зависимостей средних квадратов регулируемой координаты и управления в оптимальной замкнутой ДНС от величины множителя Лагранжа в минимизируемом функционале. Показано, что соответствующие функции являются строго

монотонными на интервале X е [0, оо). Получены расчетные формулы для вычисления предельно достижимой точности регулирования, а также соответствующего значения среднего квадрата управления, не требующее непосредственного решения задачи синтеза.

Основной результат данной главы отражен в следующих теоремах.

Теорема. Для регулятора, доставляющего минимум функционалу (10) для системы (9) при Л—* 0 справедливо следующее.

1. Если полином А (г) имеет корни вне круга единичного радиуса, то для средних квадратов управляемой координаты и управления в замкнутой системе выполняется соотношение

I г Ш*

lim < х, > -А—»0

2 mf'zAA'DD'

1цп < и; > - 0,

А—>0

где Г — окружность единичного радиуса с центром в нуле.

2. Если полином А (г) имеет корни в круге единичного радиуса, то для замкнутой системы при /1 = 0 справедливы соотношения

2 1 гК (I НОА^ 1 1нп <хг >=-—4— —+——~ —+ ~ * а->О 2п]1г\А в GN )

Нш <щ > = ,

А->0

2л/';

где

Ai(z) = -

An(gj)N(g J1)

j=n, z 8 j

gn]D{g-l)H{gf)An{gf)

Ar(z)An(z)=A(z),

причем Ar(z) имеет корни вне круга единичного радиуса с центром в точке z = 0, a An(z) — не имеет, g, (i-1, 2..., п,') — корни полинома A„(z_1).

Теорема. Для регулятора с передаточной функцией (4), доставляющего минимум функционалу (7) при X—* 0 справедливо следующее.

I

13

1. Если полином d(z)=a(z)g(z)h(z) имеет корни вне круга единичного радиуса, то для средних квадратов управляемой координаты и управления в замкнутой системе выполняется

1

Нт ?;(/) = — [СфС*фАА*йШп1*(0 = 0. л->о 2л/

2. Если полином ¿(г) имеет корни в круге единичного радиуса, то для замкнутой системы при А = 0 справедливы соотношения

= ии*-оАзи-п*Аи*А+/0,

¿Щ р z

йг

где

^¿¡К ии

и___-¿СуСу^

('+ пЩСуСу )-ПСуСуЩ

А4(5) = АА*ЯЯ*СйСй*ОС*(С„С;АА*+С„,С;> , а5(5) = яя'е^оеЧс^мЧСуС;),

0 2л/*> С»СИЛ г

В четвертой главе работы приводится содержательный пример решения задачи управления движением морского судна. Здесь осуществлено применение полученных в предшествующих главах теоретических результатов и вычислительных алгоритмов. Осуществляется расчет реальных систем управления в трех различных постановках задач: в непрерывной, дискретной и дискретно-непрерывной реализации. Приводятся результаты имитационного моделирования замкнутых систем управления с синтезированными стабилизирующими законами управления. На основе анализа полученных данных делается вывод о том, что разработанный метод построения оптимального регулятора для дискретно-непрерывной модели не ухудшает поведение системы и обладает тем преимуществом, что передаточная функция оптимального регулятора может быть построена по представленному алгоритму без необходимости решения полиномиального уравнения. Отмечено, что при увеличении шага дискретности качество процессов в системе, замкнутой регулятором, синтезированным в чисто дискретной модели, существенно ухудшается, а для ДНС не меняется.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основными результатами, которые получены в итоге проведенных исследований и выносятся на защиту, являются следующие.

1. Предложен новый способ построения оптимальных регуляторов, доставляющих минимум среднеквадратичному критерию качества для дискретно-непрерывных систем, не требующий в качестве одного из этапов построения регулятора трудоемкой вспомогательной процедуры решения системы полиномиальных уравнений.

2. Изучены предельные возможности оптимальных регуляторов для дискретных и дискретно-непрерывных систем. Основное внимание при этом уделено выводу формул для оценки снизу величины энергетических затрат на управление, позволяющих без непосредственного решения задачи синтеза провести анализ динамических свойств замкнутой системы.

3. Проведено исследование структуры оптимальных регуляторов для дискретных систем управления, получены формулы, позволяющие находить степень числителя и знаменателя передаточной функции оптимального регулятора без его непосредственного построения.

4. На содержательном примере решения задачи управления движением морского судна проанализирована эффективность предложенных вычислительных схем, проведена оценка допустимого шага дискретности в регуляторе для непрерывной системы.

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

1. Янковская Л. А. Структура оптимальных дискретных регуляторов // Тр. XXXI конф. «Процессы управления и устойчивость».- СПб.: НИИ Химии СПбГУ, 2000,- С. 123-125.

2. Eremeev V. V., Yankovskaya L. A. The structure of optimal discrete-time control // Abstracts of 11th IFAC Workshop "Control Applications of Optimization" (CAO 2000). Saint-Petersburg (Russia), July 3-6, 2000.— [New York]: Published for the International Federation of Automatic Control by Pergamon, 2000.— Vol. 2.— P. 65-66.

3. Еремеев В.В., Янковская Л.А. Синтез цифровых систем управления непрерывными объектами // Труды XXXIV науч. конф. «Процессы управления и устойчивость»,- СПб., 2003.- С. 37-43.

4. Янковская Л.А. Об одном подходе к синтезу дискретно-непрерывных систем // Exponenta Pro: Математика в приложениях: Науч.-практ. журн. — 2003. — № 3.— С. 32-35.

11 0

14^5"

ЛР№ 040815 от 22.05.97.

Подписано к печати 10.09.2003 г. Формат бумаги 60X84 1/16. Бумага офсетная. Печать ризографическая. Объем 1 п.л. Тираж 100 экз. Заказ 2995. Отпечатано в отделе оперативной полиграфии НИИХ СПбГУ с оригинал-макета заказчика. 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр., 26.

I

I

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность проблемы, цели и основные результаты исследований.

ГЛАВА 1. ПРОБЛЕМА СРЕДНЕКВАДРАТИЧНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ ДЛЯ ДИСКРЕТНЫХ

И ДИСКРЕТНО-НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ

1.1. Основные понятия и общие формулировки решаемых задач.

1.2. Обзор литературы по теме исследований.

1.3. Особенности среднеквадратичной оптимизации для дискретно-непрерывных систем.

ГЛАВА 2. ЧАСТОТНЫЙ МЕТОД СИНТЕЗА ОПТИМАЛЬНЫХ РЕГУЛЯТОРОВ ДЛЯ ДИСКРЕТНЫХ И ДИСКРЕТНО-НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ.

2.1. Математическая модель объекта управления для ДНС с учетом погрешностей в измерениях.

2.2. Алгоритм синтеза оптимальных регуляторов для ДНС.

2.3. Алгоритм синтеза оптимального регулятора для дискретных систем.

2.4. Реализация разработанного алгоритма для ДНС в среде Matlab.

2.5. Структура оптимальных регуляторов для дискретных и дискретно-непрерывных систем.

ГЛАВА 3. ИССЛЕДОВАНИЕ ПРЕДЕЛЬНЫХ ВОЗМОЖНОСТЕЙ

СРЕДНЕКВАДРАТИЧНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ.

3.1. Особенности оценки предельных возможностей оптимизации для дискретных и дискретно-непрерывных систем.

3.2. Предельные возможности при минимальных энергетических затратах на управление для дискретных систем

3.3. Предельные возможности при минимальных энергетических затратах на управление для ДНС.

ГЛАВА 4. ВОПРОСЫ ОПТИМАЛЬНОЙ СТАБИЛИЗАЦИИ КУРСА МОРСКОГО СУДНА.

4.1. Уравнения динамики системы управления движением морского судна.

4.2. Уравнения движения морского надводного судна по курсу.

4.3. Компьютерное моделирование процессов управления в замкнутой системе

Актуальность проблемы, цели и основные результаты исследований

В настоящее время большое внимание уделяется теории автоматического управления, которая является теоретической базой автоматизации технологических процессов и технических систем. Указанная теория характеризуется наличием развитого аппарата математических и инженерных методов анализа и синтеза сложных динамических объектов и управляющих устройств.

Широкое распространение в теоретических исследованиях и в практических приложениях получили развитие методы построения оптимальных регуляторов для линейных объектов, обеспечивающих минимум среднеквадратичного критерия, характеризующего качество процессов управления в синтезируемой системе с обратной связью.

Основную роль здесь играет базовая теория аналитического синтеза законов управления (регуляторов) для динамических управляемых объектов. Основы соответствующих подходов были разработаны в трудах

A.M. Лётова, В.И. Зубова, А.А. Красовского, В.В. Солодовникова,

B.C. Пугачёва, Н. Винера, Р. Калмана и многих других выдающихся ученых.

В частности, заслуженной популярностью пользуется теория синтеза оптимальных регуляторов, обеспечивающих минимум среднеквадратичных функционалов для линейных объектов, подверженных воздействию внешних возмущений случайного характера.

Большой вклад в становление и развитие математических моделей, методов и алгоритмов по данному направлению внесли В.В. Солодовников [91], B.C. Пугачёв [82 - 84], А.А. Красовский [54, 56], А.А. Первозван-ский [71], Ю.П. Петров [72-75], X. Квакернаак [51], Е. Н. Розенвассер [85 - 87] и многие другие исследователи. Существенные результаты в рамках данной проблемы, создавшие почву для дальнейших исследований, приведены в таких известных работах, как [2], [3], [38], [39], [58, 60], [67], [70], [107].

Необходимо отметить, что среднеквадратичная оптимизация является сравнительно грубым математическим аппаратом анализа и синтеза динамических систем. Однако, в силу своей достаточной адекватности реальным объектам, как совокупности математических моделей, этот подход широко распространен, что подтверждается богатым опытом его применения на практике. Теоретическая и практическая значимость оптимального среднеквадратичного синтеза при относительной грубости и простоте его математического аппарата позволяют использовать в качестве класса средств вычислительной техники современные ПЭВМ. Привлечение ПЭВМ, вычислительные ресурсы которых при соответствующей ориентации математического обеспечения достаточны для указанной цели, может позволить с наибольшей эффективностью использовать среднеквадратичную оптимизацию в научных исследованиях и практических реализациях.

Особое внимание при этом уделяется вопросам автоматизации анализа устойчивости и качества динамических процессов, а также аналитического поиска законов управления. Системы автоматического управления сложными объектами в качестве составных элементов часто содержат различные цифровые устройства. Поэтому необходима адаптация существующих или разработка новых математических методов поиска оптимальных регуляторов применительно к тем техническим средствам, на которых они реализуются.

С включением в контур управления цифровых вычислительных машин возникает актуальная задача подбора дискретных законов управления для непрерывных динамических объектов. В настоящее время в основном используется два подхода для решения этой проблемы. В первом случае строится дискретная модель объекта и для нее синтезируется дискретный закон управления. Сразу отметим, что к недостаткам такого подхода сле5 дует отнести тот факт, что далеко не всегда можно игнорировать поведение системы между моментами квантования. Во втором случае для непрерывной системы находится непрерывный регулятор, который после заменяется его дискретным аналогом при реализации в цифровых вычислительных машинах. При этом неизбежно возникает вопрос о выборе дискретной аппроксимации непрерывного закона управления, чтобы характеристики полученной замкнутой системы были близки к характеристикам непрерывной системы. Попутно заметим, что эту проблему можно рассматривать как отдельную задачу, которая сравнима по сложности с исследованием исходной непрерывной системы.

Указанные недостатки таких подходов привели к созданию новой линейной теории цифрового управления в непрерывном времени, основанной на понятии параметрической передаточной функции, введенной Е. Н. Розенвассером [85], которая позволяет находить дискретные законы управления непосредственно по непрерывной модели объекта.

Тем не менее, существует возможность определенного развития этой теории на базе объединения ряда положений с многоцелевым подходом к среднеквадратичному синтезу. Это позволяет упростить вычислительный аппарат и повысить в целом эффективность среднеквадратичной оптимизации дискретно-непрерывных систем.

Целью диссертационной работы, в связи с изложенными обстоятельствами, является проведение исследований, направленных на развитие математических методов среднеквадратичной оптимизации динамических объектов для дискретно-непрерывных и дискретных систем. Указанные методы должны быть ориентированы на реализацию алгоритмов синтеза оптимальных регуляторов с помощью цифровых вычислительных машин. Целью работы также является изучение свойств и структуры оптимальных регуляторов для дискретных систем, а также изучению предельных возможностей управляемых систем в дискретной и дискретно-непрерывной постановке задачи синтеза. Конечным результатом исследований является 6 разработка алгоритмического и программного обеспечения для решения соответствующих прикладных задач исследования и проектирование систем управления движением судов на базе полученных теоретических результатов.

При этом основное внимание в работе уделяется следующим направлениям исследований:

- развитию новой техники поиска оптимального решения на множестве устойчивости замкнутой дискретно-непрерывной системы (ДНС), позволяющей построить оптимальный регулятор непосредственно по исходным данным;

- изучению, на базе принятого представления, особенностей и свойств оптимальных регуляторов для дискретно-непрерывных систем;

- исследованию свойств дискретных законов управления;

- оценке допустимого шага дискретности для дискретных регуляторов;

- сравнению трех основных подходов к решению задачи для дискретных, непрерывных и дискретно-непрерывных синтезируемых систем.

Практическая ценность результатов диссертации определяется тем, что она позволяет упростить вычислительные процедуры синтеза оптимальных регуляторов, а также определять структуру оптимальных регуляторов для дискретных систем без непосредственного решения задачи синтеза.

Диссертационная работа состоит из введения и четырех глав с выводами по каждой из них, заключения по диссертации в целом, приложения и списка литературы, включающего 119 наименований.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Диссертация посвящена исследованию и разработке методов анализа и синтеза оптимальных регуляторов для систем управления, в которых объект представлен непрерывной или дискретной моделью, а обратная связь реализуется с использованием дискретных элементов. Центральное внимание занимает проблема среднеквадратичного синтеза для SISO-задачи на множестве регуляторов, обеспечивающих устойчивость характеристического полинома замкнутой системы.

Целью диссертации является развитие теории среднеквадратичной оптимизации динамических объектов, построение алгоритмического и программного обеспечения для решения соответствующих прикладных задач на базе полученных теоретических результатов.

Основное внимание в работе уделяется следующим направлениям исследований:

• развитию общего метода для решения задачи среднеквадратичного синтеза для ДНС, позволяющей построить эффективные вычислительные алгоритмы и представить решение в удобной для исследований форме;

• исследованию предельных возможностей для дискретных и дискретно-непрерывных систем;

• разработке программного обеспечения для компьютерной реализации методов и алгоритмов анализа и синтеза, разработанных в диссертации, а также для проведения компьютерного и имитационного моделирования систем управления движением на базе найденных решений;

• применению теоретических методов, алгоритмов и программного обеспечения, полученных в работе, к решению прикладных задач автоматизации управления движением морских объектов.

Основными результатами, которые получены в итоге проведенных исследований и выносятся на защиту, являются следующие:

1. Предложен новый способ построения оптимальных регуляторов, доставляющих минимум среднеквадратичному критерию качества для дискретно-непрерывных систем, не требующий в качестве одного из этапов построения регулятора трудоемкой вспомогательной процедуры решения системы полиномиальных уравнений.

2. Изучены предельные возможности оптимальных регуляторов для дискретных и дискретно-непрерывных систем. Основное внимание при этом уделяется выводу формул для оценки снизу величины энергетических затрат на управление, позволяющие без непосредственного решения задачи синтеза провести анализ динамических свойств системы.

3. Проведено исследование структуры оптимальных регуляторов для дискретных систем управления, получены формулы, позволяющие находить степень числителя и знаменателя передаточной функции оптимального регулятора без его непосредственного вычисления.

4. Проанализирована эффективность предложенных вычислительных схем на содержательном примере решения задачи управления движением морского судна, а также проведена оценка допустимого шага дискретности регулятора.

1. Александров А. Г. Синтез регуляторов многомерных систем — М.: Машиностроение, 1986.

2. Алиев Ф. А., Ларин В. Б., Науменко К. И., Сунцев В. Н. Оптимизация линейных инвариантных во времени систем управления— Киев: Наукова думка, 1978 327 с.

3. Андреев Н. И. Корреляционная теория статистически оптимальных систем — М.: Наука, 1966.

4. Барабанов А. Е. Оптимальное управление линейным объектом со стационарными помехами и квадратичным критерием качества— М., 1979.- Деп. в ВИНИТИ, № 3478-79.

5. Баринов Н. Г. Оптимизация процессов и систем управления в судовой автоматике-JL: Судостроение, 1976.

6. Бесекерский В. А. Цифровые автоматические системы .— М.: Наука, 1976.

7. Бокова Я. М., Веремей Е. И. Вычислительные аспекты спектрального методы Hoo-оптимального синтеза // Теория и системы управления. 1995.-№4.- С. 88-96.

8. Веремей Е. И., Галактионов М. А., Петров Ю. П. Закон управления рулевой установкой судна, обеспечивающий стабилизацию на курсе при малом числе перекладок руля // Автоматизация технических средств морских судов JL: Судостроение, 1977 - С. 72-82.

9. Веремей Е. И. Синтез оптимальных регуляторов методом построения дифференциального уравнения устойчивого подсемейства экстремалей. М., 1978. Деп. в ВИНИТИ, №3413-78.

10. Веремей Е. И., Еремеев В. В., Петров Ю. П. О синтезе оптимальных регуляторов для линейных систем с приложением к задачам управления морскими судами.— JL, 1980.— Деп. в ЦНИИ «Румб», № ДР-1182.

11. Веремей Е. И., Еремеев В. В., Корчанов В. М. Синтез алгоритмов стабилизации судна в условиях волнения моря // Вопросы судостроения, сер. Судовая автоматика, вып. 23- JL: ЦНИИ «Румб», 1980 С. 42—47.

12. Веремей Е. И. Синтез оптимальных регуляторов с учетом требований реализации: Дис. канд. техн. наук: 05.13.02.— JL, 1979 — 167 с.

13. Веремей Е. И., Петров Ю. П. Метод синтеза оптимальных регуляторов, допускающий техническую реализацию // Математические методы исследования управляемых механических систем Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1982.-С. 24-31.

14. Веремей Е. И., Корчанов В. М. Фильтрация волновых помех в системах автоматической стабилизации движения судов // Вопросы судостроения, сер. Судовая автоматика, вып. 28.— Л.: ЦНИИ «Румб», 1983 — С. 45-51.

15. Веремей Е. И. Частотный метод синтеза оптимальных регуляторов для линейных систем со скалярным возмущением (Часть 1) // Известия вузов СССР. Электромеханика.- 1985.-№ 10 С. 52-57.

16. Веремей Е. И. Частотный метод синтеза оптимальных регуляторов для линейных систем со скалярным возмущением (Часть 2) // Известия вузов СССР. Электромеханика 1985-№ 10.-С. 52-57.

17. Веремей Е. И. Обеспечение заданной степени устойчивости регуляторами с неполной информацией // Известия АН СССР. Техническая кибернетика- 1986.-№4.-С. 123-130.

18. Веремей Е. И., Еремеев В. В. Среднеквадратичный синтез при учете вектора возмущений, размерность которого меньше порядка системы // Вестник ЛГУ. Сер. 1.- 1988.- Вып. 4 (№22).- С. 14-18.107

19. Веремей Е. И., Корчанов В. М. Синтез авторулевого, осуществляющего многоцелевую стабилизацию судна на курсе // Сб. / ЦНИИ «Аврора».- Л., 1988 Вып. 5 - С. 3-8.

20. Веремей Е. И., Корчанов В. М. Многоцелевая стабилизация динамических систем одного класса // Автоматика и телемеханика— 1988.— №9.-С. 126-137.

21. Веремей Е. И., Горелик Б. Ю., Корчанов В. М. Оптимизация систем управления движением судов с наблюдающими устройствами // Сб. / ЦНИИ «Аврора».- Л., 1988.- Вып. 6.- С. 55-65.

22. Веремей Е. И. Абсолютный минимум среднеквадратичного критерия качества в задаче синтеза со скалярным возмущением // Известия ВУЗов СССР. Приборостроение.- 1989,- Т. XXXII, № 1.- С. 10-15.

23. Веремей Е. И. Оптимизация линейных систем с гармоническими возмущениями // Компьютер в помощь ученому и учителю — Куйбышев: Изд-во Куйб. пед. ин-та, 1989.- С. 135-143.

24. Веремей Е. И., Шаганова О. И. Способ фильтрации волновой помехи в канале управления судном // Тез. докл. на VII Всесоюз. науч.-техн. конф. «Проблемы комплексной автоматизации судовых технических средств».-Л., 1989.-С. 68-69.

25. Веремей Е. И. Методы и алгоритмы среднеквадратичного многоцелевого синтеза: Дис. д-ра физ.-мат. наук: 05.13.16 -СПб., 1995 353 с.

26. Веремей Е. И., Корчанов В. М. Анализ устойчивости систем стабилизации движения подводных лодок вблизи взволнованной поверхности моря // Тр. 2 Междунар. конф. по судостроению (ISC'98). Секция Б. 24-26 нояб. 1998 г.—СПб., 1998.—С. 357-364.

27. Веремей Е. И., Еремеев В. В., Корчанов В. М. Синтез алгоритмов робастного управления движением подводных лодок вблизи взволнованной поверхности моря // Гироскопия и навигация 2000 - № 2 - С. 34-43.

28. Веремей Е. И., Еремеев В. В. Синтез систем возбуждения синхронных машин. СПб: изд. СПбГУ, 1993.108

29. Веремей Е. И., Корчанов В. М., Коровкин М. В., Погожев С. В. Компьютерное моделирование систем управления движением морских подвижных объектов // СПб.: НИИ Химии СПбГУ 2002 370 С.

30. Воеводин В. В., Кузнецов Ю. А. Матрицы и вычисления. М.: Наука, 1984,- 320 с.

31. Войткунский Я. И., Бородай И. К., Нецветаев Ю. А. Мореходность судов. — JL: Судостроение, 1982,- 288 с.

32. Волгин JI.H. Элементы теории управляющих машин.- М.: Сов. радио, 1962.

33. Волгин JI.H. Оптимальное дискретное управление динамическими системами.—М.: Наука, 1986.

34. Воронов А. А. Устойчивость, управляемость, наблюдаемость — М.: Наука, 1985.

35. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц.—М.: Наука, 1969.

36. Даниленко Г. С., Петров Ю. П. Анализ сохранения устойчивости при отклонении действительных значений параметров от расчетных для систем, обеспечивающих минимум среднеквадратичного критерия качества.- М., 1977.- Деп. в ВИНИТИ, №1037-77.

37. Дезоер Ч., Видьясагар М. Системы с обратной связью: Вход-выходные соотношения М.: Наука, 1972.

38. Джеймс X., Николе Н., Филлипс Р. Теория следящих систем М.: Физматгиз, 1951.

39. Дмитриев С. П., Пелевин А. Е. Задачи навигации и управления при стабилизации судна на траектории. — СПб.: ГНЦ РФ-ЦНИИ «Электроприбор», 2002 160 с.

40. Еремеев В. В. Разработка методов обеспечения желаемой динамики переходных процессов в задачах среднеквадратичного синтеза: Дис. канд. физ.-мат. наук.-Л.: ЛГУ, 1982.

41. Еремеев В. В. Об одной задаче модального управления // Управление в динамических системах / НИИ ВМ и ПУ ЛГУ — М., 1979 Деп. в ВИНИТИ, № 2794-79.

42. Еремеев В.В. Янковская Л.А. Синтез цифровых систем управления непрерывными объектами // Труды XXXIV науч. конф. «Процессы управления и устойчивость».- СПб., 2003- С. 37-43.

43. Жабко А. П., Харитонов В. Л. Методы линейной алгебры в задачах управления СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1993.- 320 с.

44. Зубов В. И. Динамика управляемых систем — М.: Высшая школа,1982.

45. Зубов В. И. Лекции по теории управления М.: Наука, 1975.

46. Зубов В. И. Теория оптимального управления судном и другими подвижными объектами.—Л.: Судостроение, 1966.

47. Зубов В. И. Математические методы исследования систем автоматического регулирования.—Л.: Машиностроение, 1974.

48. Зубов В.И. Теория колебаний.—М.: Высшая школа, 1979.

49. Калман Р., Бьюси Р. Новые результаты в линейной фильтрации и теории предсказаний // Тр. амер. о-ва инженеров-механиков. Сер. Д.— 1961.-Т. 83, № 1.-С. 123-141.

50. Квакернак X., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления.— М.: Мир, 1977.— 650 с.

51. Колмогоров А. Н. Интерполирование и экстраполирование стационарных случайных последовательностей // Изв. АН СССР. Сер. математика.- 1941.- Т. 5, № 1.- С. 3-14.

52. Крамер Г., Лидбеттер М. Стационарные случайные процессы. — М.: Мир, 1969.

53. Красовский А. А. Системы автоматического управления полетом и их аналитическое конструирование-М.: Наука, 1973.

54. Красовский А. А. Справочник по теории автоматического управления—М.: Наука, 1987.

55. Кузовков Н.Т. Модальное управление и наблюдающие устройства.— М.: Машиностроение, 1976.

56. Курош А. Г. Курс высшей алгебры.- М.: Наука, 1975.

57. Ларин В. Б., Сунцев В. Н. О задаче аналитического конструирования регуляторов // АН СССР. Автоматика и телемеханика.— 1968 — № 12.-С. 142-144.

58. Ларин В.Б., Науменко К.И., Сунцев В.Н. Спектральные методы синтеза линейных систем с обратной связью Киев: Наукова думка, 1971.

59. Ларин В.Б., Науменко К.И., Сунцев В.Н. Синтез оптимальных линейных систем с обратной связью.- Киев: Наукова думка, 1973.

60. Летов А. М. Аналитическое конструирование регуляторов // АН СССР. Автоматика и телемеханика 1960.-№ 4-6; 1961.-№ 4, 11.

61. Летов А. М. Динамика полета и управление — М.: Наука, 1969.

62. Летов А. М. Математическая теория процессов управления.— М.: Наука, 1981.

63. Лукомский Ю. А., Корчанов В. М. Управление морскими подвижными объектами.- СПб.: Элмор, 1996 320 с.

64. Лукомский Ю.А., Пешехонов В.Г., Скороходов Д.А. Навигация и управление движением судов: Учебник. СПб.: Элмор, 2002,- 360 с.

65. Лукомский Ю. А., Чугунов В. С. Системы управления морскими подвижными объектами.-Л.: Судостроение, 1988.

66. Меррием К. Теория оптимизации и расчет систем управления с обратной связью.-М.: Мир, 1967.

67. Мисенов Б.А. Математические методы анализа и синтеза систем стабилизации формы плазмы в токамаках: Дис. канд. физ.-мат. наук: 01.01.09, 05.13.16.-СПб., 1998.- 146 с.

68. Мисенов Б. А. О задаче среднеквадратичного синтеза с возмущениями неполного ранга // Дифф. уравнения и прикл. задачи: Сб. науч. тр. Тул. гос. ун-та.- Тула, 1997 С. 79-84.

69. Ньютон Д., Гулд Л., Кайзер Д. Теория линейных следящих систем.— М.: Физматгиз, 1961.

70. Первозванский А. А. Случайные процессы в нелинейных автоматических системах-М.: Физматгиз, 1962.

71. Петров Ю. П. Оптимизация управляемых систем, испытывающих воздействие ветра и морского волнения,— JL: Судостроение, 1973.— 216 с.

72. Петров Ю. П. Вариационные методы теории оптимального управления— Л.: Энергия, 1977.

73. Петров Ю. П. Синтез устойчивых систем управления, оптимальных по среднеквадратичным критериям качества // АН СССР, Автоматика и телемеханика.-1983.-№ 7.- С. 5-24.

74. Петров Ю. П. Синтез оптимальных систем управления при неполностью известных возмущающих силах: Учеб. пособие- Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1987 292 с.

75. Поляков К. Ю. Алгоритм синтеза оптимальных цифровых регуляторов на основе метода параметрических передаточных функций // Изв. РАН. Теория и системы управления. 1998. № 3. С. 32-39.

76. Поляков К. Ю. Полиномиальный синтез цифровых систем управления непрерывными объектами. I. Квадратичная оптимизация. // Автоматика и телемеханика 1998.-№ 10 - С. 76-89.

77. Поляков К. Ю. Полиномиальный синтез цифровых систем управления непрерывными объектами. II. Робастная оптимизация. // Автоматика и телемеханика 1998-№ 12.- С. 94-108.

78. Поляков К. Ю. Полиномиальный синтез оптимальных цифровых следящих систем. I. // Автоматика и телемеханика 2001.- № 2,— С. 149163.

79. Поляков К. Ю. Полиномиальный синтез оптимальных цифровых следящих систем. II. // Автоматика и телемеханика 2001.- № 3.— С. 94— 107.

80. Прасолов А. В. Аналитические и численные методы исследования динамических процессов.- СПб.: Изд-во СПбГУ, 1995 — 148 с.

81. Пугачев В. С., Казаков И.Е., Евланов П. Г. Основы статистической теории автоматических систем — М.: Наука, 1974.

82. Пугачев В. С. Теория случайных функций и ее применение к задачам автоматического управления.-М.: Наука, 1960.

83. Пугачев В. С., Синицын И. Н. Стохастические дифференциальные системы: Анализ и фильтрация.—М.: Наука, 1990.

84. Розенвассер Е. Н. Линейная теория цифрового управления в непрерывном времени-М.: Наука, 1994.

85. Розенвассер Е. Н. Математическое описание и анализ многомерных импульсных систем в непрерывном времени. I // Автоматика и телемеханика.- 1995.-№ 4 С. 88-105.

86. Розенвассер Е. Н. Математическое описание и анализ многомерных импульсных систем в непрерывном времени. I // Автоматика и телемеханика.- 1995,-№ 5.- С. 86-102.

87. Садомцев Ю. В. Аналитический синтез регуляторов при случайных возмущениях // Аналитические методы синтеза регуляторов. Вып. 3 — М., 1978.-С. 39-57.

88. Свешников А. А. Прикладные методы теории случайных функций.-М.: Наука, 1968.

89. Сидоров С. С. Задача оптимальной стабилизации линейной системы при стационарных возмущениях единичного ранга // Моделирование и математическое обеспечение систем управления- Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1982.-С. 200-204.

90. Солодовников В.В. Статистическая динамика линейных систем управления.-М.: Физматгиз, 1960.

91. Справочник по теории корабля: В 3 т. / Под ред. Я. И. Войткунского Л.: Судостроение, 1985 - Т. 3.- 544 с.

92. Сунцев В. Н. Аналитические частотные методы оптимизации линейных систем Киев: Ин-т математики АН УССР, 1983.

93. Тихонов В. И. Анализ и синтез нелинейных систем при случайных воздействиях: Современные методы проектирования систем автоматического управления / Под ред. Б.Н. Петрова, В.В. Солодовникова, Ю.И. Топчеева-М.: Наука, 1982.

94. Тихонов В. И. Нелинейные преобразования случайных процессов.-М.: Наука, 1986.

95. Уонем М. Линейные многомерные системы управления.— М.: Наука, 1980.

96. Управление морскими подвижными объектами / Лернер Д. М., Лукомский Ю. А. и др.- Л.: Судостроение, 1979.

97. Успокоители качки судов / А. Н. Шмырев, В. А Мореншильдт, С. Г. Ильина и др.-Л.Судостроение, 1972.

98. Фомин В. Н. Методы управления линейными дискретными объектами- Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1985.

99. ЦыпкинЯ. 3. Теория линейных импульсных систем — М.:Физматгиз, 1963.

100. Чанг Ш. Синтез оптимальных систем автоматического управления,—М.: Машиностроение, 1964.

101. Шаганова О. И. Среднеквадратичный синтез на допустимых множествах, определяемых условиями реализации: Дис. канд. физ.-мат. наук-СПб., 1994.

102. Янковская Л.А. Об одном подходе к синтезу дискретно-непрерывных систем // Exponenta Pro: Математика в приложениях: Науч.-практ. журн. — 2003. — № 3.— С. 41-45.

103. Doyle J. С., Francis В. A., Tannenbaum A. R. Feedback control theory-New York; Toronto: Macmillan Publ. Co., 1992.

104. Doyle J.C., Glover К., Khargonekar P., Francis B. State-space solutions to standard H2 and H». control problems // IEEE Transactions on Automatic Control 1989.- Vol. 34, nr. 8.- P. 831-847.

105. Francis B.A. A course in H» control theory- Berlin: Springer-Verlag, 1987.— (Lecture Notes in Control and Information Sciences; Vol. 88).

106. Francis B. A., Doyle J. C. Linear control theory with an Ha, optimality criterion // SIAM J. Control and Optimization 1987.- Vol. 25.— P. 815-844.

107. Hara S., Fujioka H., Kabamba P. T. A hibrid state-space approach to sampled-data feedback control // Linear Algrbra and Its Applications. 1994. V. 205-206. P. 675-712.

108. Hung Y. S. ЛЯоо-optimal control. Part I. Model matching. Part II. Solution for controllers // International Journal of Control. 1998 - Vol. 49— P. 675-684.

109. Polyakov K., Rosenwasser E. LampeB. DirectSD — a toolbox for direct design of sampled-data systems // Proc. IEEE Intern. Symp. CACSD'99. Kohala Coast. Island of Hawaii, Hawaii, USA, - 1999. - P. 357-362.

110. Vidyasagar M. Control system synthesis: A factorization approach.- Cambridge (Mass.): MIT Press, 1985.

111. Wiener N. Extrapolation, interpolation and smoothing of stationary time series.- Cambridge, 1949.