автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Цифровые законы управления движением судов в условиях морского волнения

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

АРЕФИНА Антонина Игоревна

ЦИФРОВЫЕ ЗАКОНЫ УПРАВЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЕМ СУДОВ В УСЛОВИЯХ МОРСКОГО ВОЛНЕНИЯ

05.13.01 - системный анализ, управление и обработка информации (по прикладной математике и процессам управления)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

- 8 НОЯ 2012

Санкт-Петербург 2012

005054602

005054602

Работа выполнена на кафедре компьютерных технологий и систем Факультета прикладной математики - процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Веремей Евгений Игоревич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Жабко Алексей Петрович, (заведующий кафедрой ТУ, СПбГУ, ф-т ПМ-ПУ)

Ведущая организация: Институт проблем транспорта РАН, г. Санкт-Петербург.

Защита состоится «31» октября 2012 года в /6 часов на заседании совета Д.212.232.50 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук, на соискание ученой степени доктора наук при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199034, Санкт-Петербург, В.О., Университетская наб., 7/9, Менделеевский центр.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке имени М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, В.О., Университетская наб., 7/9. Автореферат размещен на сайте www.spbu.ru

Автореферат разослан "JLY" вСС^У^У/Ц 2012 года.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физ.-мат. наук, профессор

доктор технических наук, доцент Филиппова Анна Сергеевна, (профессор кафедры компьютерной математики, УГАТУ, Общенаучный ф-т, г. Уфа)

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. На всех стадиях научных исследований, проектирования и практической реализации систем автоматического управления динамическими объектами (при моделировании объекта и управляющих органов, исследовании динамических свойств системы, синтезе закона управления, анализе качества полученного движения) широко применяются современные математические методы и вычислительные алгоритмы. Это позволяет использовать передовые компьютерные технологии, в том числе специализированные программные средства, существенно повышающие эффективность решения практических задач.

С развитием вычислительной техники особое значение приобрели цифровые системы управления. Среди основных достоинств таких систем — большая гибкость и высокая эффективность функционирования. В частности, цифровые системы, базирующиеся на современных математических методах и компьютерных технологиях, широко используются для автоматического управления морскими подвижными объектами (МПО) различных классов. Это связано, прежде всего, с тем, что функционирование МПО определяется существенной многорежимностью, характеризуется обширным комплексом различных условий и ограничений, зачастую требует принятия оперативных решений в условиях быстро меняющейся обстановки, связано с большими потоками информации и ограничениями на время её обработки.

Несмотря на существенный рост производительности вычислительных средств, произошедший с момента первого их использования в непосредственном управлении различными динамическими объектами, возможности бортовых компьютеров, установленных на МПО, далеко не безграничны.

В связи с отмеченными обстоятельствами, требуется постоянный пересмотр и развитие существующих методов проектирования систем управления, их адаптация для решения конкретных задач, а также разработка новых способов и инструментов, используемых при исследовании, моделировании и синтезе. В особенности это относится к тем вопросам, которые решаются непосредственно на борту при адаптивной перенастройке в режиме реального времени.

Одним из основных теоретических направлений, определяющих современные пути развития цифровых систем управления МПО, является теория аналитического синтеза законов управления динамическими объектами, основанная на оптимизационном подходе. Основы указанной методологии были заложены в работах В. И. Зубова, А. А. Красовского, Л. С. Понтрягина, Н. Винера, Р. Калмана и других исследователей.

В публикациях А. П. Жабко и В. Л. Харитонова представлен аналитический аппарат для исследования систем управления с запаздываниями.

Весьма популярной, в силу своей адекватности объективной реальности и относительной простоты используемого математического аппарата, является минимизация среднеквадратичных функционалов, заданных на движениях систем, которые подвергаются действию стационарных внешних возмущений случайного характера. Классическое представление этого подхода дано в работах В. В. Солодовникова, В. С. Пугачёва, А. А. Красовского, А. А. Первозванского, Ю. П. Петрова, X. Квакернаака.

При синтезе управляющего сигнала для достижения желаемой или оптимальной по каким-либо критериям динамики движения управляемого объекта естественно использовать информацию о состоянии этого объекта. Современные системы управления, как правило, реализуются с помощью адаптивно перенастраиваемых обратных связей. Параметры управляющего алгоритма могут модифицироваться непосредственно в процессе движения, исходя из изменения состояния системы.

Прикладным задачам, относящимся к управлению движением судов, уделено внимание в фундаментальных работах В. И. Зубова, Ю. А. Лукомского, В. М. Корчанова, Ю. П. Петрова, А. Е. Пелевина и других специалистов. В работах Е. И. Веремея и В. М. Корчанова предложены подходы к среднеквадратичной оптимизации, направленные на преодоление недостатков существующих методов, а также предложена идеология использования единой многоцелевой структуры законов управления, нацеленных на обеспечение желаемого качества движения в различных режимах относительно разнообразных критериев. Однако остается открытым вопрос о применимости указанных подходов при цифровой реализации систем управления для дискретных моделей объектов, подвергающихся воздейст-

вию морского волнения, а так же при наличии транспортного запаздывания в канале управления.

Указанные обстоятельства определяют актуальность проведения исследований, направленных на создание и развитие специализированных математических методов и разработку программного обеспечения для решения задач, связанных с анализом и синтезом цифровых систем управления морскими судами в реальном времени, а также развитие соответствующей теории для объектов с запаздыванием в канале управления.

Целью диссертационной работы является проведение исследований для развития математических методов решения задач синтеза специализированных цифровых систем управления морскими подвижными объектами в условиях морского волнения, в том числе математических методов среднеквадратичной оптимизации динамических систем с учетом запаздывания в канале управления.

Представленные в диссертационной работе исследования проводились по следующим направлениям:

• изучение особенностей задач построения законов многоцелевого управления морскими подвижными объектами;

• развитие методов настройки элементов законов управления морскими судами с многоцелевой структурой для режимов движения под действием морского волнения, как в регулярном, так и в нерегулярном вариантах;

• исследование вопросов обеспечения астатизма цифровых систем по регулируемым переменным при использовании корректирующего устройства специального вида в законах управления МПО с многоцелевой структурой;

• развитие методов среднеквадратичной оптимизации движения МПО в цифровой форме при наличии запаздывания в канале управления;

• рассмотрение практических задач управления морскими подвижными объектами для подтверждения применимости и эффективности разработанных методов.

Методы исследований. Для решения задач, рассматриваемых в диссертации, привлекаются классические и современные методы анализа и синтеза

динамических систем управления. Построение и исследование математических моделей объектов управления и синтезируемых регуляторов осуществляется с использованием современного аппарата математического анализа, теории функций комплексной переменной, высшей алгебры, теории обыкновенных дифференциальных уравнений.

Научная новизна и теоретическая значимость результатов диссертационной работы определяется созданием новых методов синтеза законов цифрового управления дискретными объектами для обеспечения желаемого качества движения замкнутой системы при воздействии морского волнения с учетом возможности адаптивной перенастройки в процессе функционирования.

Практическая ценность работы состоит в ориентированности полученных методов на непосредственную реализацию цифровых законов управления морскими подвижными объектами в режиме реального времени. Особое значение имеет простота полученных алгоритмов, что позволяет повысить эффективность решения практических задач, связанных с построением цифровых систем управления.

Работоспособность и эффективность предложенного подхода подтверждается конкретными примерами синтеза цифровых законов управления для морских подвижных объектов. Особое внимание уделено движению морских судов под действием морского волнения.

Апробация работы. Результаты, полученные в диссертации, докладывались на ХЬ международной научной конференции аспирантов и студентов «Процессы управления и устойчивость» (СРЗ'2009) (Санкт-Петербург, 2009), всероссийской конференции «Устойчивость и процессы управления», посвященной 80-летию со дня рождения проф., чл.-корр. РАН В. И. Зубова, (8СР'20Ю) (Санкт-Петербург, 2010), VI международной научно-практической конференции «Современные информационные технологии и ИТ-образование» (Москва, 2011), международной конференции «XIV конференция молодых ученых „Навигация и управление движением"» (Санкт-Петербург, 2012), а также на семинарах кафедры компьютерных технологий и систем СПбГУ.

Публикации. Основное содержание диссертации отражено в 4 печатных

работах, две из которых опубликованы в журналах, входящих в Перечень изданий, рекомендованных ВАК РФ.

Структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, включающего 71 наименование. Объем составляет 121 страницу машинописного текста, работа содержит 16 рисунков.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении проводится обсуждение задач, решаемых в диссертационной работе, и дается краткий анализ опубликованных научных работ по теме диссертации.

Первая глава посвящена построению систем управления движением МПО и описанию многоцелевого подхода к синтезу регуляторов для МПО, представленных математическими моделями дискретного времени.

В первом параграфе дана постановка задачи синтеза систем управления движением МПО в дискретном варианте и обсуждаются некоторые ее особенности. Рассматривается дискретная линейная замкнутая модель объекта и регулятора с периодом дискретности т

х[к +1] = Ах[£] + В5ВД + Нср],

у[А] = Сх[*], 6[* + 1] = и[*], (1)

и = \¥(<7)(у-у*) +\У0(<у)6, (2)

где х е Е" - вектор состояния объекта, 5 е Ет - вектор отклонений управляющих органов, (1 е Е' - вектор внешних возмущений, у е Ег — вектор регулируемых и измеряемых переменных, А, В, С, Н — постоянные матрицы соответствующих размерностей, и — управляющее воздействие, у*— вектор, характеризующий командный сигнал, \У, \У0 - передаточные матрицы, ц -оператор сдвига на такт вперед, & е Z - номер отсчета для момента (к = кг реального времени.

Требования к динамике замкнутой системы (1), (2), согласно которым производится выбор регулятора (2), можно формализовать с использованием некоторого функционала качества управления, заданного на движениях

замкнутой системы, определяемых нулевыми начальными условиями, возмущениями <1 и командным сигналом у*, что приводит к оптимизационной задаче

/ = /(\У,\У0)-> Ы . (3)

(\УЛ¥0)сП

Здесь I - указанный функционал качества движения, П - допустимое множество пар искомых матриц, обеспечивающих устойчивость соответствующих движений. Непосредственное решение задачи (3) затруднено сложностью задания функционала I и допустимого множества С2, которые определяются в соответствии со спецификой условий функционирования системы управления движением МПО.

Во втором параграфе описаны основные режимы движения МПО и сформулированы критерии качества движения в каждом из них.

Режим собственного движения характеризуется отсутствием внешних возмущений, (![£] = О, и наличием ненулевого постоянного командного сигнала у*[£] = у* при нулевых начальных условиях х[0] = 0, 6[0] = 0.

Режим движения под действием ступенчатых возмущений определяется нулевым командным сигналом у*[А:] = 0, нулевыми начальными условиями и наличием возмущений в виде единичного скачка.

При движении в этом режиме к регулятору выдвигается требование обеспечения нулевого положения равновесия при движении под действием ступенчатого возмущения: Нш||у[А:]|| = 0. Система, удовлетворяющая указанному требованию, называется астатической по вектору у.

Движение системы под действием морского волнения характеризуется нулевыми начальными условиями и нулевым командным сигналом. Возмущение II рассматривается в виде дискретного случайного векторного стационарного процесса с матрицей спектральных плотностей описывающего морское волнение. Вводятся передаточные матрицы: ^ от вектора внешних возмущений с! к вектору отклонения управляющих органов 5, а также ^ от входа с! к вектору наблюдаемых переменных у. Последовательности у и б являются результатами прохождения случайной последо-

вательности d через линейные системы с передаточными матрицами Fdy и Fdä, соответственно. Спектр Sy процесса у и спектр S8 процесса d можно вычислить по формулам

Характеристиками качества движения под действием морского волнения являются функционалы Jy ^"tr(Sy(e"°,))iÄa и Js = tr(Sa(e"IJ,))i/to,

выражающие, соответственно, точность стабилизации движения и затраты на управление.

В соответствии с требованиями, предъявляемыми к регулятору (2) для так называемого «экономичного режима движения», ставится формализованная задача

J = .A(W, W0)-> min . (4)

8 SV , О J (w.W0)6il v '

Множество допустимых пар передаточных матриц Q таково, что для системы (1), замкнутой управлением (2), выполняются условия асимптотической устойчивости и астатизма, а также обеспечивается приемлемое качество собственного движения и движения под действием ступенчатых возмущений.

В третьем параграфе вводится регулятор с многоцелевой структурой, состоящий из следующих элементов:

• наблюдателя

±[к +1] = АВД + B5[fc] + G(y[&] - СВД), (5)

• корректора

ад = Р(<7)(у[/г]-СВД), (6)

• управляющего сигнала

u[*i=+1] - т)+vyw+т ■ (?)

Здесь х - вектор состояния наблюдателя, - векторный выходной сигнал корректора, постоянные матрицы ц, v и G и передаточная матрица корректора F(z) являются неизвестными элементами, подлежащими настройке, z - комплексная переменная преобразования Лорана. Показано, что при ус-

ловиях галку = <3кпу и сЦту = сПтб и выключенном корректоре регулятор вида (7) обеспечивает астатизм замкнутой системы (1), (7). Кроме того, доказаны следующие теоремы.

Теорема 1.1. Замкнутая система (1), (7) является асимптотически устойчивой, если асимптотически устойчив наблюдатель (5).

Теорема 1.2. Если корректор (б) является устойчивым, то его включение в регулятор (7) с устойчивым наблюдателем не нарушает устойчивости замкнутой системы (1), (7).

Теорема 1.3. Если параметры наблюдателя и корректора в регуляторе (7) выбраны таким образом, чтобы обеспечивать асимптотическую устойчивость замкнутой системы (1), (7), и при этом выполняется условие

то замкнутая система (1), (7) будет астатической по вектору наблюдаемых и регулируемых переменных у.

Доказанные теоремы позволяют декомпозировать задачу (4) на последовательно выполняемые шаги, на которых происходит настройка элементов регулятора.

Сначала строится регулятор в виде базовой обратной связи

и[А] = К(х[*]-х*) + К,8[*], (8)

где К и К5 - постоянные матрицы, которые настраиваются исходя из требований к динамике в режиме собственного движения, вектор х* определяется равенством Сх* =у*.

Компоненты управления (7) выбираются так, чтобы обеспечивать желаемое качество движения под действием ступенчатого возмущения. Матрицы |1 и V ищут, чтобы обеспечить тождественность динамики невозмущенных систем под управлениями (7) и (8).

Передаточная матрица корректора настраивается таким образом, чтобы удовлетворять требованиям при движении под действием морского волнения. Доказана следующая теорема.

Теорема 1.4. В режиме собственного движения системы (1) переходные процессы по отработке заданного командного сигнала у , порождае-

мые регулятором

х[к +1] = (А - GC)x[/t] + В5[Аг] + Су[Лг],

и[к] = К(ВД - X*) + К,8[Аг] + v№] - у') + F(g)(y[*] - СВД),

K = n(A-GC-E„),Ks = цВ + Ет, v = v + fiG, Сх* =у

и регулятором (8) тождественно совпадают при условии асимптотической устойчивости соответствующих замкнутых систем.

Во второй главе диссертации рассматривается способ решения поставленной задачи для «экономичного» режима движения при ограничении на структуру передаточной матрицы корректора, который ищется в виде фильтра с конечной импульсной характеристикой (КИХ-фильтра), при условии dimy = dim5.

Передаточная матрица F корректора, сохраняющего астатизм линейной стационарной системы, замкнутой регулятором с многоцелевой структурой, в виде фильтра с конечной импульсной характеристикой будет иметь компоненты вида

д (z)=Fo+FlZ+-;;+F"-,za" - о, (9)

z

где ir0,....Fa_I — вещественные числа, a - целое положительное число.

В первом параграфе для дискретной модели объекта

+1] = АхВД + B6[/fc] + над,

у[*] = Сх[*], 8[k +1] = u[k] с управлением, формирующимся по закону

x[k +1] = (А - GC)x[fc] + В5 [Jfc] + Gy[£], u[k] = КВД + Ktb[k] + vy[*] + F(q)(y[k] - СВД), рассматривается упрощенная задача поиска передаточной матрицы корректора, подавляющего влияние гармонического возмущения с заданной часто-

той со

О'

Показано, что указанная задача эквивалентна задаче поиска передаточной матрицы Р корректора, обеспечивающей выполнение равенства

Р58(е'и°\Р) = 0_. (12)

Рассматривается матрица

T(z) =

О E

mxn m в e z

-С о ' m+"z_

A-GC В" \ Гс 0 1 пхт Го о ] тхт тхт

К К6 v Ет т Е 0 т тхт _

которая разбивается на блоки Тп, Т12, Т21, Т22, имеющие размер /их /и. Поиск матрицы F, обеспечивающей выполнение равенства (12), производится на основании следующей доказанной теоремы.

Теорема 2.1 .Для любой наперед заданной частоты ю0 > 0 и любой заданной матрицы R существует передаточная матрица F(z) с компонентами вида (9), для которой выполняется равенство

Fyä(e""«\F) = R, (13)

если выполняются условия

det T2l (e'tv ) * 0, det(T12 (efe°T) - (T„ (e'1'»') - R)T^1 (е'ш°' )T22 (е'0,°т)) * 0. Условие (12) выполняется, если матрица R является нулевой: R = 0тхт.

Сформулирован алгоритм для поиска матрицы корректора, подавляющего влияние гармонического возмущения с заданной частотой о0.

Во втором параграфе рассматривается задача поиска передаточной матрицы корректора F в системе (10), замкнутой регулятором (11) в «экономичном» режиме движения, в предположении, что волнение d моделируется в виде стационарного эргодического процесса с известной спектральной плотностью Sd. Вводится ограничение dimy = dimö = dimd = l> тогда передаточная матрица корректора одномерна. Здесь и далее она обозначена символом F и о ней говорится как о передаточной функции.

С учетом разложения спектральной плотности

Sj(eil"r) = (е"")-5, (е~""т), S1(z) = N(z)/T(z), где функции N и Т являются полиномами, причем полином Т — шуровский, ставится формальная задача оптимизации

I(F)= rT|Fd5(e'-)F)-51(etoI)|2ib = /(F0,...,JFa_3)^ min . (14) Для передаточной функции FdS получено разложение в виде F (z) = ^

Ц^ - полиномы. Справедливо равенство N^(2)N{2) = р(г) + где = , /(г) = являются полиномами степеней ир и

У=о

соответственно.

у=о

Можно показать, что функция |Цй(егот)7,(е'ит)| 2 ограничена на области интегрирования в (14) некоторой величиной Мх >0. Тогда для функционала /(Т7) справедлива оценка сверху:

fir/l

7=0 0 j=0

Ставится новая задача минимизации: /

к/т

7=0 ./=0 у=0

2N

dm ■

dca.

■ min . (15)

fo.....f„-J

Фильтр с конечной импульсной характеристикой (6), коэффициенты которого служат решением задачи (15), называется квазиоптимальным по отношению к исходному функционалу (14). Доказана следующая теорема.

Теорема 2.2. Для любой заданной частоты со0 и любой спектральной плотности возмущения Sd, допускающей разложение в виде Sd(e"") = Sx (e'm')-S, (е~'"т), 5,(z) = N(z)/T(z) с шуровским полиномом Т, существует передаточная функция F(z) вида (9) квазиоптимального по отношению к функционалу (14) корректора.

Предложен алгоритм поиска коэффициентов квазиоптимального КИХ-фильтра, настроенного на одну частоту со0 и обеспечивающего астатизм системы (10), замкнутой управлением (11), под действием возмущения в виде случайного дискретного процесса со спектральной плотностью Sd.

Если предполагаемая спектральная плотность волнения, действию которого подвергается МПО, неизвестна, то изложенный подход можно применять, вместо задачи (14) принимая за основу задачу

■И 1 1 Fa.....F*-3

В третьем параграфе приведен пример работы алгоритма при синтезе квазиоптимального фильтра для системы управления надводным транспортным судном, движущимся со скоростью 10 м/с в условиях морского волнения интенсивностью 5 баллов.

В третьей главе диссертации рассматривается задача синтеза оптимальных по норме пространства Н2 регуляторов для линейных систем с одним входом и одним выходом, подвергающихся действию стационарных случайных возмущений, с учетом запаздывания в канале управления.

В первом параграфе указанная задача решается для систем непрерывного времени. Математическая модель управляемого объекта рассматривается в виде

л(ржо=ади('-т)+Ф(о, (16)

где х({) — контролируемая переменная, и(7) — управление, ф(/) — внешнее возмущение, р = с1/с11 - оператор дифференцирования, А и В — полиномы от оператора р, т > 0 - постоянное запаздывание в канале управления. Возмущение <р рассматривается в виде стационарного эргодического процесса с нулевым математическим ожиданием и спектральной плотностью в виде (л) = (л)^(-л), 5,1(л) = Л^(5)/Г(я),где N и Т - гурвицевы полиномы, причем считается, что корни полиномов А и Т попарно различны. Символ ^ представляет переменную Лапласа. Полиномы А и Т представи-мы в виде произведения элементарных сомножителей:

Управление для системы (16) формируется с помощью регулятора вида

и = Щр)х, (17)

который определяется своей передаточной функцией IV(л-) = (я)/1¥2 (л).

Рассматривается задача о поиске передаточной функции регулятора (17) в виде

= (18) где Ж' (р), 1¥2 (р) - квазиполиномы запаздывающего типа, удовлетворяющие условию

W' =argmin/(r), I(W)=<x2 >+k2 <u2 >. (19)

WeCl

Здесь к - заданный постоянный коэффициент, Q - область гурвицевости характеристического квазиполинома А, замкнутой системы (16), (17), который определяется выражением A, (s) = A(s)W2 (s) - e~"fV¡ (s)B(s).

В пространстве Харди Н2 согласно определению, которое используется в работах Б. Фрэнсиса, выделяется подпространство Н\ аналитических в замкнутой правой полуплоскости дробей вида (18). Норма в пространстве Н\ обозначается символом || • ||*.

Рассматривается обобщенная передаточная функция Н системы (16), (17), определяемая выражениями Я (s, lV)H(-s, W) = Нх (s, W)HX (s, W) + k2Hu (s, W)HU (-5, W), HJs, W) = l/(A(s) - B^e^Wis)), Hu (s, W) = W(s)/(A(s) - B(s)e~"fV(s)).

Тогда задача

J¡(W) = IH(s, W)SÍ i;2 min,

n2 (20)

Q2={W:Hx(W)sH¡,Hum^H¡}

будет эквивалентна задаче о поиске передаточной функции W', удовлетворяющей (19), т.е. среднеквадратичного оптимального регулятора.

Непосредственное решение задачи (20) затруднено из-за нелинейной зависимости функционала J\ от искомой функции W и сложного вида допустимого множества П2. Для преодоления отмеченной трудности используется подход с введением параметризации множества Q2 с помощью функции-параметра Ф(^) = a(s)Hx (5) + Р(5)//„ (.?), где a(s) и p(s) - любые квазиполиномы, для которых гурвицев квазиполином A(s) = A(s)fi(s) + B(s)a(s). Доказано следующее базовое утверждение:

Теорема 3.2. Передаточная функция регулятора (17), являющаяся решением задачи (20), задается соотношениями

ГУ'=-^-, м = АТ Т-^—К +У-1— к ,

-Ве^М + СИ [ыз-а, ' /

л В(-с11)М{с11) * А\а,)Т{а1)0(-а1У А(с1,)ТЩ)С(-с1,У

Приведен алгоритм синтеза оптимального регулятора для задачи (19) и дан пример его использования.

Во втором параграфе аналогичные рассуждения проводятся для дискретных систем. Рассматривается математическая модель управляемого объекта в виде разностной системы

А(д)41] = В(д)и[1- т] + срМ, (21)

где д - оператор сдвига на такт вперед. Спектральная плотность возмущения ф задается в частотной области выражениями ^(г) = 5,(2)5, (г-1), 5, = Щг)/Т(г), N к Т - шуровские полиномы.

Управление формируется в виде обратной связи

и = Щд)х (22)

с правильной дробно-рациональной передаточной функцией IV(д) = 1У1 (д)/№2 (д), где (V, (д) и 1¥2 (д) - полиномы.

Решается задача

!(№)=<х2 >+кг <и2 >—>гшп (23)

(СбО

где а — множество передаточных функций регуляторов (22), обеспечивающих асимптотическую устойчивость замкнутой системы (21), (22).

Вообще говоря, при дискретизации непрерывных систем с запаздыванием получающаяся система естественным образом преобразуется к системе без запаздывания, если запаздывание в непрерывной системе оказывается кратным выбранному периоду дискретности. Однако в этом случае получающиеся объекты обладают очень большой размерностью. Для того чтобы обойти указанный недостаток, будем рассматривать запаздывание в системе (21), учитывая его в явном виде, что приводит к задаче

^(Ю^Щг.ЮЪЦ-шпп,

2 (24)

П2={И':Нх(И')еШ2,Ни(IV) еШ2},

где норма понимается в смысле пространства правильных дробно-рациональных функций ЯЬ2. Здесь ЯН2 - подпространство пространства Ж,2, содержащее функции, аналитические внутри открытого единичного круга, Я - обобщенная передаточная функция замкнутой системы (21), (22), которая определяется выражениями

Я(г, \¥)Н(г~' ,1¥) = НХ (г, \У)Н х {.г"1, ИО + А:2 Я „ (г, IV) Ни (г"1, IV),

= \/{А(2)-В{2)2~ЦУ(2)), Я„(г,(Г) = Щ2)/(А(2)-В(2)2-ЧУ(2)).

Показано, что задачи (23) и (24) эквивалентны.

Для решения задачи (24) вводится параметр Ф(г) = а(г)Нх (г) + Р(л)Я„ (2), где а(г) и Р(г) - любые полиномы, такие, что функция А(г) = А(г)Р(г) + г~*В(г)а(г) является шуровским полиномом.

Теорема 3.4. Передаточная функция, являющаяся решением задачи (24), определяется соотношениями

-Вг^М + СЫ \fez-a,

" А\а,уГ{а,)С{а?)' А(с1:)Г(с11)С(с11А)'

Приведен алгоритм построения передаточной функции Я2-оптимального регулятора для дискретных систем с запаздываниями.

В третьем параграфе приведен пример работы алгоритма для системы управления надводным транспортным судном, движущимся со скоростью 10 м/с в условиях морского волнения интенсивностью 5 баллов.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основными результатами, которые получены на основе проведенных исследований и выносятся на защиту, являются следующие:

1. Развита общая методология применения многоцелевого подхода к синтезу алгоритмов управления движением морских объектов с математическими моделями дискретного времени. Получены условия сохранения свойств устойчивости и астатизма по регулируемым координатам при последовательном включении элементов цифрового управления с многоцеле-

вой структурой.

2. Предложено использование нерекурсивной цифровой фильтрации морского волнения в канале приводов управляющих органов. Разработаны алгоритмы синтеза оптимального нерекурсивного фильтра для полного подавления влияния гармонического возмущения с заданной частотой и синтеза квазиоптимального нерекурсивного фильтра для подавления влияния нерегулярного морского волнения.

3. Разработан спектральный метод и реализующий его вычислительный алгоритм среднеквадратичной оптимизации для стационарного случайного возмущения при наличии запаздывания в канале управления в непрерывном и дискретном вариантах.

4. Проведен анализ особенностей и возможностей оптимизации и получены соответствующие оптимальные решения для прикладных задач исследования и синтеза систем управления движением морского судна под действием волнения.

Список публикаций по теме диссертации

1. АрефинаА. И. Синтез //¿-оптимальных регуляторов для систем с запаздываниями. Спектральный подход. // Вести. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2012. Вып. 1. С. 9-17.

2. Арефина А. И. Метод синтеза цифровой системы многоцелевого управления судами при воздействии морского волнения. // Вестник УГАТУ: науч. жур. Уфимск. гос. авиац. техн. ун-та. 2012. Т.16, № 3(48). С. 24-31.

3. Арефина А. И. Вопросы компьютерной поддержки процессов управления линейными объектами с транспортным запаздыванием. // Современные информационные технологии и ИТ-образование. Сборник избранных докладов научно-практической конференции: методическое пособие. / Под ред. проф. В. А. Сухомлина. - М.: ИНТУИТ.РУ. 2011. С. 795-802.

4. Арефина А. И. Синтез цифровой системы многоцелевого управления судами в условиях волнения // Процессы управления и устойчивость: Труды ХЬ международной научной конференции аспирантов и студентов. / Под ред. Н. В. Смирнова, Г. Ш. Тамасяна- СПб.: Издат. Дом С.-Петерб. гос. ун-та, 2009. С. 387-392.

Подписано в печать 18.09.12 Формат 60x84Цифровая Печ. л. 1.0 Тираж 100 Заказ 05/09 печать

Отпечатано в типографии «Фалкон Принт» (197101, г. Санкт-Петербург, ул. Большая Пушкарская, д. 54, офис 2)

ВВЕДЕНИЕ.

1. Актуальность проблемы, цели и основные результаты исследований.

2. Общая постановка и обсуждение рассматриваемых задач

3. Краткий обзор публикаций по теме исследования

ГЛАВА 1. ЦИФРОВЫЕ ЗАКОНЫ УПРАВЛЕНИЯ

С МНОГОЦЕЛЕВОЙ СТРУКТУРОЙ.

1.1. Особенности задач синтеза оптимальных систем управления морскими подвижными объектами.

1.2. Основные специфические режимы движения морских подвижных объектов.

1.3. Структура многоцелевого закона цифрового управления движением морских судов.

ГЛАВА 2. СИТЕЗ КВАЗИОПТИМАЛЬНЫХ ЦИФРОВЫХ

ФИЛЬТРОВ МОРСКОГО ВОЛНЕНИЯ.

2.1. Построение оптимального корректора для гармонического возмущения с настройкой на фиксированную частоту.

2.2. Синтез квазиоптимального корректора (фильтра) для подавления действия морского волнения.

2.3. Пример синтеза квазиоптимального фильтра для транспортного судна.

ГЛАВА 3. методы н2-оптимизации при наличии запаздывания

3.1. Н2-оптимизация линейных стационарных объектов с запаздыванием в непрерывном времени.

3.2. Задача Н2-оптимизации для дискретных объектов с запаздыванием.

3.3. Пример синтеза оптимального регулятора для транспортного судна.

1. Актуальность проблемы, цели и основные результаты исследований

На всех стадиях научных исследований, проектирования и практической реализации систем автоматического управления техническими объектами (при моделировании объекта и управляющих органов, исследовании динамических свойств системы расчете закона управления, анализе качества полученного движения) широко применяются современные математические методы и вычислительные алгоритмы. Это позволяет использовать компьютерные технологии, в том числе специализированные программные средства, существенно повышающие эффективность решения практических задач.

С развитием вычислительной техники особое значение приобрели цифровые системы управления [27]. Среди основных достоинств таких систем - большая гибкость и высокая эффективность управляющих программ. Системы цифрового управления принципиально отличаются от предшествующих концепций тем, что можно улучшить или даже полностью изменить их способ функционирования, без перепроектирования и переоснащения, просто заменив управляющую программу. По сравнению с аналоговыми устройствами, цифровые регуляторы обладают большей универсальностью и более просты в настройке и поддержке.

Цифровые системы, базирующиеся на современных математических методах и компьютерных технологиях, широко используются для автоматического управления морскими подвижными объектами (МПО) различных классов. Это связано, прежде всего, с тем, что функционирование МПО определяется существенной многорежимностью, характеризуется обширным комплексом различных условий и ограничений, зачастую требует принятия оперативных решений в условиях быстро меняющейся обстановки, связано с большими потоками информации и ограничениями на время её обработки.

Несмотря на существенный рост производительности вычислительных средств, произошедший с тех пор, как появились первые примеры использования ЭВМ в управлении различными физическими системами, возможности бортовых компьютеров, установленных на МПО, далеко не безграничны. Прежде всего, это связано с тем, что при реализации адаптивных систем автоматического управления, работающих в режиме реального времени, присутствуют существенные ограничения, накладываемые возможностями используемой аппаратуры. Например, крайне желательно, чтобы процесс вычисления управляющего сигнала укладывался в такт счета для дискретной системы. Важными условиями также являются ограниченность используемого вычислительного оборудования по габаритам, весу и потребляемой мощности. Кроме того, при проектировании управляющих устройств часто стремятся упростить и удешевить используемую элементную базу, что сказывается на производительности вычислительных ресурсов и размере доступной памяти.

В связи с отмеченными обстоятельствами, требуется постоянный пересмотр и развитие существующих методов проектирования систем управления, их адаптация для решения конкретных задач, а также разработка новых способов и инструментов, используемых при исследовании, моделировании и синтезе. В особенности это относится к тем вопросам, которые решаются непосредственно на борту при адаптивной перенастройке в режиме реального времени.

Одним из основных теоретических направлений, определяющих современные пути развития цифровых систем управления МПО, является теория аналитического синтеза законов управления динамическими объектами, основанная на оптимизационном подходе. Основы указанной методологии были заложены в работах В. И. Зубова [26 - 30],

А. А. Красовского [34, 35], Л. С. Понтрягина [51], Н.Винера [22, 71], Р. Калмана [64, 31] и других исследователей.

В публикациях А. П. Жабко и В. Л. Харитонова [65, 66], [63] представлен аналитический аппарат для исследования систем управления с запаздываниями.

Популярным, в силу своей адекватности объективной реальности и относительной простоты используемого математического аппарата, является подход, при котором происходит оптимизация среднеквадратичных функционалов, заданных на движениях систем, которые подвергаются действию стационарных внешних возмущений случайного характера. Описание и развитие методов, относящихся к указанному подходу, дано в работах В. В. Солодовникова [55, 56], В. С. Пугачёва [52, 53], А. А. Красовского [34, 35], А. А. Первозванского [47], Ю. П. Петрова, [48, 49], X. Квакернаака [32].

При синтезе управляющего сигнала для достижения желаемой или оптимальной по каким-либо критериям динамики движения управляемого объекта естественно использовать информацию о состоянии этого объекта. Современные системы управления, как правило, реализуются с помощью адаптивно перенастраиваемых обратных связей. Параметры управляющего алгоритма могут модифицироваться непосредственно в процессе движения, исходя из изменения состояния системы [5], [58], [60], [61].

Прикладным задачам, относящимся к управлению движением судов, уделено внимание в фундаментальных работах В. И. Зубова, Ю. А. Лукомского, В. М. Корчанова, Ю. П. Петрова, А. Е. Пелевина и других специалистов [30], [16], [24], [40-42], [48, 49], [57]. В публикациях Е. И. Веремея и В.М. Корчанова [15-17], [20, 21] предложены подходы к среднеквадратичной оптимизации, направленные на преодоление недостатков существующих методов связанных с затруднениями с их применимостью в условиях вычислительной поддержки средствами малой мощности. Работы [13], [16], [19] представляют метод использования единой структуры законов управления, нацеленных на обеспечение желаемого качества движения в различных режимах относительно разнообразных критериев. Однако остается открытым вопрос о применимости указанных подходов при цифровой реализации систем управления для дискретных моделей объектов, подвергающихся воздействию морского волнения, а также при наличии транспортного запаздывания в канале управления такими объектами.

Указанные обстоятельства определяют актуальность проведения исследований, направленных на создание и развитие специализированных математических методов и разработку программного обеспечения для решения задач, связанных с анализом и синтезом цифровых систем управления морскими судами в реальном времени, а также развитие соответствующей теории для объектов с запаздыванием в канале управления.

Целью диссертационной работы является проведение исследований для развития математических методов решения задач синтеза специализированных цифровых систем управления морскими подвижными объектами в условиях морского волнения, в том числе математических методов среднеквадратичной оптимизации динамических систем с учетом запаздывания в канале управления.

Основное внимание в работе уделяется следующим направлениям исследований:

• изучение особенностей задач построения законов многоцелевого управления морскими подвижными объектами;

• развитие методов настройки элементов законов управления морскими судами с многоцелевой структурой для режимов движения под действием морского волнения, как в регулярном, так и в нерегулярном вариантах;

• исследование вопросов обеспечения астатизма цифровых систем по регулируемым переменным при использовании корректирующего устройства специального вида в многоцелевой структуре законов управления МПО;

• развитие методов среднеквадратичной оптимизации движения МПО в цифровой форме при наличии запаздывания в канале управления;

• рассмотрение практических задач управления морскими подвижными объектами для подтверждения применимости и эффективности разработанных методов.

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, включающего 71 наименование.

заключение

Содержание диссертационной работы составляет рассмотрение комплекса вопросов, связанных с синтезом цифровых законов управления движением судов в условиях морского волнения.

Целью диссертационной работы является проведение исследований для развития математических методов решения задач синтеза специализированных цифровых систем управления морскими подвижными объектами в условиях морского волнения, в том числе математических методов среднеквадратичной оптимизации динамических систем с учетом запаздывания в канале управления.

Основное внимание в работе уделено следующим направлениям исследований:

• изучение особенностей задач построения законов многоцелевого управления морскими подвижными объектами;

• развитие методов настройки элементов многоцелевой структуры законов управления морскими судами для режимов движения под действием морского волнения, как в регулярном, так и в нерегулярном вариантах;

• анализ вопросов обеспечения астатизма цифровых систем по регулируемым переменным при использовании корректирующего устройства специального вида в многоцелевой структуре законов управления МПО;

• развитие методов среднеквадратичной оптимизации движения МПО в цифровой форме при наличии транспортного запаздывания в канале управления;

• рассмотрение практических задач управления морскими подвижными объектами для подтверждения применимости и эффективности разработанных методов.

Основными результатами, которые получены на основе проведенных исследований и выносятся на защиту, являются следующие.

1. Развита общая методология применения многоцелевого подхода к синтезу алгоритмов управления движением морских объектов с математическими моделями дискретного времени. Получены условия сохранения свойств устойчивости и астатизма по регулируемым координатам при последовательном включении элементов цифрового управления с многоцелевой структурой.

2. Предложено использование нерекурсивной цифровой фильтрации морского волнения в канале приводов управляющих органов. Разработаны алгоритмы синтеза оптимального нерекурсивного фильтра для полного подавления влияния гармонического возмущения с заданной частотой и синтеза квазиоптимального нерекурсивного фильтра для подавления влияния нерегулярного морского волнения.

3. Разработан спектральный метод и реализующий его вычислительный алгоритм среднеквадратичной оптимизации для стационарного случайного возмущения при наличии запаздывания в канале управления в непрерывном и дискретном вариантах.

4. Проведен анализ особенностей и возможностей оптимизации и получены соответствующие оптимальные решения для прикладных задач исследования и синтеза систем управления движением морского судна под действием волнения.

1. Алиев Ф. А., Ларин В. Б., Науменко К. И., Сунцев В. Н. Оптимизация линейных инвариантных во времени систем управления. - Киев: Нау-кова думка, 1978. - 327 с.

2. Барабанов А. Е. Оптимальное управление линейным объектом со стационарными помехами и квадратичным критерием качества. М., 1979. - Деп. в ВИНИТИ, N 3478-79.

3. БеллманР. Динамическое программирование. М.: Изд-во иностранной литературы, 1960. - 400 с.

4. Беллман Р., Кук К. Л. Дифференциально-разностные уравнения. -М.: Мир, 1967.-548 с.

5. Бесекерский В. А., Попов Е. П. Теория систем автоматического регулирования. М.: Наука, 1975. - 768 с.

6. Бородай И. К., Нецветаев Ю. А. Качка судов на морском волнении. Л.: Судостроение, 1969. - 432 с.

7. Веремей Е. И. Синтез оптимальных регуляторов методом построения дифференциального уравнения устойчивого подсемейства экстремалей. М., 1978. - Деп. в ВИНИТИ, N3413-78.

8. Веремей Е. И. Синтез оптимальных регуляторов с учётом требований реализации: Дис. канд. техн. наук: 05.13.02. Л., 1979. - 167 с.

9. Веремей Е. И., Петров Ю. П. Метод синтеза оптимальных регуляторов, допускающих техническую реализацию. // Математические методы исследования управляемых механических систем. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1982.-С. 24-31.

10. Веремей Е. И. Частотный метод синтеза оптимальных регуляторов для линейных систем со скалярным возмущением. Ч. 1 // Известия вузов СССР. Электромеханика. 1985. - № 10. - С. 52-57.

11. Веремей Е. И. Частотный метод синтеза оптимальных регуляторов для линейных систем со скалярным возмущением. Ч. 2 // Известия вузов СССР. Электромеханика. 1985. - № 12. - С. 33-39.

12. Веремей Е. И. Обеспечение заданной степени устойчивости регуляторами с неполной информацией // Известия АН СССР. Техн. кибернетика. 1986. - № 4. - С. 123-130.

13. Веремей Е. И., Корчанов В. М. Многоцелевая стабилизация динамических систем одного класса // АН СССР. Автоматика и телемеханика. 1988. -№ 9. - С. 126-137.

14. Веремей Е. И. Численные методы среднеквадратичного синтеза при наличии модальных ограничений // АН УССР. Автоматика. 1990. -№ 2. - С. 22-27.

15. Веремей Е. И., Еремеев В. В., Корчанов В. М. Синтез алгоритмов робастного управления движением подводных лодок вблизи взволнованной поверхности моря // Гироскопия и навигация. 2000. - № 2. -С. 34-43.

16. Веремей Е. И., Корчанов В. М., Коровкин М. В., Погожев С. В. Компьютерное моделирование систем управления движением морских подвижных объектов,- СПб.: НИИ Химии СПбГУ, 2002,- 370 с.

17. Веремей Е. И. Спектральный подход к оптимизации систем управления по нормам пространств Н2 и Ню // Вест. С.-Петерб. Ун-та. Сер. 10. 2004. - Вып. 1. - С. 48-59.

18. Веремей Е. И., Коровкин М. В. Применение пакета для решения задач модальной параметрической оптимизации // Тр. II Всероссийской научной конференции «Проектирование научных и инженерных приложений в среде МАТЬАВ». М.: ИПУ РАН, 2004. - С. 884-896.

19. Веремей Е. И. Синтез законов многоцелевого управления движением морских объектов // Гироскопия и навигация. 2009. - № 4. -С. 3-14.

20. Веремей Е. И. Среднеквадратичный синтез цифровых систем методами Н-теории // Вест. С.-Петерб. Ун-та. Сер. 10. 2011. -Вып. 2. -С. 9-20.

21. Веремей Е. И. Алгоритмы решения одного класса задач KL-оптимизации систем управления // Известия РАН. Теория и системы управления. 2011. - № 3. - С. 52-61.

22. Винер Н., Пэли Р., Преобразование Фурье в комплексной области.-М.: Наука, 1964.-267 с.

23. Воронов А. А. Устойчивость, управляемость, наблюдаемость. -М.: Наука, 1985.-336 с.

24. Дмитриев С. П., Пелевин А. Е. Задачи навигации и управления при стабилизации судна на траектории. СПб.: ГНЦ РФ ЦНИИ «Электроприбор», 2002. - 160 с.

25. Жабко А. П., Харитонов В. Л. Методы линейной алгебры в задачах управления. СПб.: Изд-во СПбГУ, 1993. - 320 с.

26. Зубов В. И. Устойчивость движения. М.: Высшая школа, 1973.-272 с.

27. Зубов В. И. Лекции по теории управления. М.: Наука, 1975.496 с.

28. Зубов В. И. Математические методы исследования систем автоматического регулирования. Л., Машиностроение, 1974. - 336 с.

29. Зубов В. И. Теория колебаний. М.: Высшая школа. 1979.400 с.

30. Зубов В. И. Теория оптимального управления судном и другими подвижными объектами. Л.: Судостроение, 1966. - 352 с.

31. Калман Р., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем. М.: Едиториал УРСС, 2004. - 400 с.

32. Квакернаак X., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления. М.: Мир, 1977. - 650 с.

33. Колмогоров А. Н. Интерполирование и экстраполирование стационарных случайных последовательностей // Изв. АН СССР. Сер. Математика. 1941.-Т. 5, № 1.-С. 3-14.

34. Красовский А. А. Системы автоматического управления полётом и их аналитическое конструирование. М.: Наука. 1973. - 560 с.

35. Красовский А. А., ред. Справочник по теории автоматического управления. М.: Наука, 1987. - 712 с.

36. Ларин В. Б., Сунцев В. Н. О задаче аналитического конструирования регуляторов // АН СССР. Автоматика и телемеханика. 1968. -№ 12.-С. 142-144.

37. Ларин В. Б., Науменко К. И., Сунцев В. Н. Спектральные методы синтеза линейных систем с обратной связью. Киев: Наукова думка, 1971.- 139 с.

38. Летов А. М. Динамика полета и управление. М.: Наука, 1969.359 с.

39. Летов А. М. Математическая теория процессов управления. М.: Наука, 1981.-256 с.

40. Лукомский Ю. А., Чугунов В. С. Системы управления морскими подвижными объектами. Л.: Судостроение, 1988. - 272 с.

41. Лукомский Ю. А., Корчанов В. М. Управление морскими подвижными объектами СПб.: Элмор, 1996 - 320 с.

42. Лукомский Ю. А., Пешехонов В. Г., Скороходов Д. А. Навигация и управление движением судов. СПб.: «Элмор», 2002. - 360с.

43. Меррием К. Теория оптимизации и расчет систем управления с обратной связью. М.: Мир, 1967. - 550 с.

44. Науменко К. И. Синтез оптимальных линейных систем при наличии запаздывания в управлении // Мат. физика. 1975. - Вып. 17. -С. 52-57.

45. Ньютон Д., Гулд JL, Кайзер Д. Теория линейных следящих систем. М.: Физматгиз, 1961. - 408 с.

46. Острем К. Введение в стохастическую теорию управления. М.: Мир, 1973.-324 с.

47. Первозванский А. А. Курс теории автоматического управления. -М.: Наука, 1986.-616 с.

48. Петров Ю. П. Вариационные методы теории оптимального управления. Д.: Энергия, 1977. - 280с.

49. Петров Ю. П. Оптимизация управляемых систем, испытывающих воздействие ветра и морского волнения. Д.: Судостроение, 1973. - 216 с.

50. Поляков К. Ю. Основы теории цифровых систем управления: Учеб. пособие. СПб.: СПбГМТУ, 2006. - 161 с.

51. Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1969. -384 с.

52. Пугачёв В. С., Казаков И. Е., Евланов П. Г. Основы статистической теории автоматических систем. М.: Наука, 1974. - 400 с.

53. Пугачёв В. С., Синицын И. Н. Стохастические дифференциальные системы: Анализ и фильтрация. М.: Наука, 1990. - 560 с.

54. Пугачёв B.C. Статистические методы в технической кибернетике.-М.: Наука, 1971.-191 с.

55. Солодовников В. В. Статистическая динамика линейных систем управления. М.: Физматгиз, 1960. - 656 с.

56. Солодовников В. В., Бирюков В. Ф., Тумаркин В. И. Принцип сложности в теории управления. М.: Наука, 1977. - 344 с.

57. Справочник по теории корабля: В 3 т. / Под ред. Войткунско-го Я. И. Д.: Судостроение. 1985.

58. Фомин В. Н. Методы управления линейными дискретными объектами. Д.: Изд-во ЛГУ, 1985. - 336 с.

59. Чанг Ш. Синтез оптимальных систем автоматического управления. М.: Машиностроение, 1964. - 440 с.

60. Bogsra О.Н., Kwakernaak Н., Meinsma G. Design methods for control systems. Notes for a course of the Dutch Institute of Systems and Control. 2006.-325 p.

61. Doyle J., Francis В., Tannenbaum A. Feedback control theory. New York: Macmillan Publ. Co., 1992. - XI, 227 p.

62. Francis B.A. A course in H^ control theory Berlin: Springer-Verlag, 1987 - (Lecture Notes in Control and Information Sciences; Vol. 88).

63. Gu K., Kharitonov V., Chen J. Stability of time-delay systems. Boston. Birkhauser. 2003

64. Kalman R.E., A new approach to linear filtering and prediction problems // Journal of Basic Engineering, 82 1960 - pp. 35-45.

65. Kharitonov V. L., Zhabko A. P. Lyapunov-Krasovskii approach to the robust stability analysis of time-delay systems // Automatica, 39 (1). -2003.-pp. 15-20

66. Kharitonov V. L., Zhabko A. P. Rubust stability of time-delay systems. // IEEE Transactions on Automatic Control, 39. 1994. -pp. 2388-2397

67. Kucera K. Discrete Linear Control. John Wiley and Sons, Chichester, 1979.

68. Kwakernaak H. A polynomial approach to minimax-frequency domain optimization of multivariable feedback systems // Int. J. Control 1986 -pp. 117-156

69. Landau I.D., Zito G. Digital Control Systems: Design, Identification and Implementation. London: Springer-Verlag, 2006. - 484 p.

70. Prime H. Modern concepts in control theory. McGraw-Hill. - 1969.

71. Wiener N. Extrapolation, interpolation and smoothing of stationary time series. Cambridge. - 1949.