автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Методы приближенного синтеза оптимального управления для дискретных систем

Введение

Глава 1. Дискретные модели и синтез оптимального управления

1.1. Общая постановка дискретной задачи оптимального управления.

1.2. Условия оптимальности и синтез оптимального управления

1.2.1. Достаточные условия оптимальности.

1.2.2. Метод Беллмана

1.2.3. Синтез оптимального управления

1.2.4. Приближённый синтез оптимального управления

Глава 2. Метод полиномиальной аппроксимации решения уравнения Беллмана

2.1. Описание предлагаемого метода

2.2. Построение узловых линий

2.3. Учёт фазовых ограничений

2.4. Оценка приближённого синтеза оптимального управления и её улучшение

2.5. Приближённый синтез оптимального управления с помощью многомерного степенного интерполяционного полинома

2.6. Задача о доходности инвестиций

2.7. Задача об оптимизации затрат на осуществление образовательных программ

Глава 3. Метод траекторного восстановления функции цены

3.1. Общая процедура метода

Актуальность проблемы.

Дискретные динамические модели управляемых систем - это весьма важный в теоретическом и практическом отношении класс математических моделей, позволяющий охватить очень широкий круг реальных объектов и соответствующих им задач управления. Они возникают как вполне естественные при моделировании дискретных процессов, таких как конвейерная сборка, обработка и передача информации цифровыми электронными устройствами, либо опосредованно - при дискретизации непрерывных моделей для практических расчётов или с целью учёта неоднородности их поведения, либо чисто искусственным путём при организации различных итерационных вычислительных процедур.

К настоящему времени разработаны многочисленные точные и приближённые методы решения задач оптимального управления. Подавляющее их большинство относится к системам с непрерывным временем. Для общих систем с дискретным временем, в особенности нелинейных, их арсенал оказывается значительно беднее. Однако в литературе им уделяется значительно меньше внимания, чем непрерывным моделям. Отчасти это объясняется сложившимися традициями исследований по теории управления, берущими начало из классической механики и аналоговой электроники, а отчасти тем обстоятельством, что наиболее распространённые математические методы гораздо хуже адаптированы к дискретным моделям, чем к непрерывным, наделённым хорошими теоретико-функциональными свойствами. Основная же причина такого положения -отсутствие в общем случае дискретного аналога принципа максимума Понтрягина для непрерывных систем, вокруг которого долгое время группировались в основном теоретические работы в области оптимального управления, основанные на методе вариаций и необходимых условиях оптимальности. Об этом свидетельствуют известные работы по дискретным системам А.Г. Болтянского (1973), Р. Габасова, Ф.М.Кирилловой и Б.Ш. Мордуховича (1973), А.И. Пропоя (1973), и немногочисленные работы последних лет, в которых развиваются оригинальные подходы к оптимизационным и родственным им задачам для дискретных систем А.Б. Куржанского и В.Д. Фурасова (2000), В.Г. Жуковского и А.Р. Айдиняна (1998), М.П. Дымкова (1997), В. А1е55апс1го (1998). Показано, что аналог принципа максимума имеет место лишь для специального класса дискретных систем с выпуклой векторграммой. В общем же случае в качестве необходимого условия 1 -го порядка имеет место лишь аналог уравнения Эйлера-Лагранжа, т.е. условия стационарности.

Значительно более продвинутыми оказываются результаты, основанные на принципе оптимальности Беллмана (Ь. А1рт§, 1997) и общих достаточных условиях оптимальности Кротова. К ним относятся условия локальной оптимальности, итерационные методы улучшения и метод кратных максимумов В.И. Гурмана (1985, 1997) и серия опирающихся на них работ. В то же время разработано мало эффективных методов синтеза оптимального управления для нелинейных дискретных систем, аналогичных развитым в работах В.Ф. Кротова (1964), В.З. Букреева (1998), М.М. Хрусталёва (1995, 1996).

Данная работа посвящена приближённым методам синтеза законов оптимального управления на основе принципа оптимальности Кротова и глобальных оценок, которые не требуют априори хороших аналитических свойств исследуемых моделей.

Цель работы.

Цель данной работы - построение методов приближённого синтеза оптимального управления для дискретных динамических систем на основе принципа оптимальности Кротова и их апробация на ряде представительных прикладных задач.

Научная новизна.

Научная новизна работы заключается в разработке новых методов приближённого синтеза оптимального управления: метода полиномиальной аппроксимации решения уравнения Беллмана; метода траекторного восстановления функции цены.

Практическая ценность работы.

Практической ценностью работы является разработка теории, алгоритмов и программного обеспечения для решения ряда практических задач. Практические аспекты и приложения предложенных методов рассматриваются применительно к важным прикладным задачам: задача о доходности инвестиций; задача об оптимизации затрат на осуществление образовательных программ; задача об оптимальной стратегии устойчивого развития; задача оптимизации пространственного манёвра вертолёта.

Содержание работы.

Работа содержит кроме введения, три главы, заключение и приложение.

Первая глава посвящена дискретным моделям и их методическим преобразованиям в самом общем виде и содержит элементы общей теории оптимального управления, включая точный синтез управления. Дана общая постановка дискретной вариационной задачи, приведены подходы, применяемые для приближённой оптимизации на основе принципа оптимальности Кротова.

Во второй главе разработан метод приближённого синтеза оптимального управления как одного из способов задания функции Кротова на основе аппроксимации решения уравнения Беллмана интерполяционным полиномом. Метод проиллюстрирован решением двух практических задач экономического характера, представляющих самостоятельный интерес благодаря их актуальности.

Третья глава посвящена описанию и приложениям второго метода приближённого синтеза, основанного на восстановлении так называемой функции цены - зависимости минимизируемого функционала от начальных условий, которая определяет точно или приближённо функцию Кротова-Беллмана и тем самым приближённый синтез оптимального управления с оценкой точности. Описывается приложение данного метода к актуальной задаче оптимизации стратегии устойчивого стратегии на агрегированной эколого-экономической модели, и к задачам улучшения и локально-оптимального синтеза управлений, реализующих характерные маневры вертолета.

В заключении приведены основные выводы и результаты.

Приложение содержит блок-схему разработанного программного обеспечения.

Заключение.

Выполненная работа содержит исследования, направленные на решение проблемы синтеза оптимального управления для дискретных систем и ориентированные на автоматизацию выработки стратегии поведения для технических, технологических, промышленных, экономических и других системных объектов в различных условиях.

Работа включает в себя следующие основные результаты:

1. Проанализированы основные методы и подходы, используемые для синтеза оптимального управления для дискретных систем и способы оценки его точности.

2. Разработан метод приближённого синтеза оптимального управления с обратной связью применительно к дискретным системам, процессам и объектам с использованием принципа оптимальности Кротова на основе интерполяции разрешающей функции степенным полиномом по фазовым координатам.

3. Разработан метод приближённо-оптимального синтеза на основе траекторного восстановления и аппроксимации функции цены, как разрешающей, по дискретному набору её значений.

4. Разработаны рекомендации по построению процедуры численного решения практических задач с использованием предложенных методов и способы повышения эффективности соответствующих алгоритмов.

5. С помощью разработанных методов решён ряд актуальных задач: об оптимальном распределении инвестиций по объектам и затрат на реализацию образовательных программ, об оптимальной стратегии устойчивого развития, об оптимальных пространственных манёврах вертолёта.

6. Разработано программное обеспечение для численного решения рассмотренных и аналогичных задач экономического характера.

Список публикаций по теме диссертации:

1. Ухин М.Ю. Определение оптимального управления вертолёта при выполнении разворота на висении. В сборнике «Системный анализ, информатика и оптимизация». Сборник научных трудов «В мире науки» Международной академии информатизации. Москва, РосЗИТЛП, 1999 год. С. 100-110.

2. Букреев В.З., Ухин М.Ю. Модели дискретных управляемых систем. В сборнике «Аэронавигационное обеспечение полётов воздушных судов». Сборник научных трудов Международной академии информатизации, Москва, ГосНИИ «Аэронавигация», 1999 год. С. 154-158.

3. Букреев В.З., Ухин М.Ю. Некоторые задачи принципа оптимальности при синтезе оптимального управления для дискретных систем. В сборнике «Аэронавигационное обеспечение полётов воздушных судов». Сборник научных трудов Международной академии информатизации, Москва, ГосНИИ «Аэронавигация», 1999 год. С. 146-149.

4. Никифорова Л.Н., Ухин М.Ю. и др. Метод формирования траекторий перелёта вертолёта на основе теории оптимального управления. В журнале «Вертолёт», № 5, 1999 год.

5. Никифорова Л.Н., Ухин М.Ю. Оптимизация траектории маловысотного полёта по данным цифровой карты местности. В сборнике «Теоретические и прикладные проблемы программных систем». Москва, «Наука», Физматлит, 1999 год.

6. Никифорова J1.H., Ухин М.Ю., Феофилов Е.Б. Оптимизация пространственных траекторий полёта вертолёта. В сборнике «Системный анализ, информатика и оптимизация». Сборник научных трудов Международной академии информатизации. Москва, РосЗИТЛП, 1999 год. С. 58-68.

7. Ухин М.Ю., Шевчук Е.В. Оптимальная стратегия устойчивого развития. В сборнике «Системный анализ, информатика и оптимизация». Сборник научных трудов «В мире науки» Международной академии информатизации. Москва, РосЗИТЛП, 1999 год. С. 86-99.

1. Батурин В.А., Урбанович Д.Е. Приближённые методы оптимального управления, основанные на принципе расширения. Новосибирск, «Наука», 1997 г.

2. Беллман Р. Динамическое программирование. Москва, «Иностранная литература», 1960 г.

3. Болтянский В.Г. Оптимальное управление дискретными системами. Москва, «Наука», 1973 г.

4. Букреев В.З. Численные методы приближённого синтеза оптимального управления. Ч. 1, 2. Москва, Российский заочный институт текстильной и лёгкой промышленности, 1998г.

5. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. Москва, «Наука», 1981.

6. Габасов Р., Кириллова Ф.М., Мордухович Б.Ш. Дискретный принцип максимума. Доклады АН СССР, Т.213, №1, 1973 г.

7. Гурман В.И. Приближённый синтез оптимального управления. «Автоматика и телемеханика», №5, 1976 г.

8. Гурман В.И. Вырожденные задачи оптимального управления. Москва, «Наука», 1977 г.

9. Гурман В.И. (ред.) Модели управления природными ресурсами. Москва, «Наука», 1981 г.

10. Гурман В.И. Принцип расширения в задачах управления. Москва, «Наука», 1985, 1997 г.

11. Гурман В.И., Никифорова JT.H., и др. Новые методы улучшения управляемых процессов. Новосибирск, «Наука», Сибирское отделение, 1987 г.

12. Дымков М.П. Оптимальное управление дискретной системой Вольтера по квадратичному функционалу качества. Доклады АН Беларуси, №3, 1997 г.

13. Жуковский В.Г., Айдинян А.Р. Синтез нелинейных дискретно-непрерывных систем управления на основе их линеаризации методами численного интегрирования. Ростов-на-Дону, Ростовская государственная академия сельскохозяйственного машиностроения, 1998 г.

14. Красовский H.H. Теория управления движением. Москва, «Наука», 1968 г.

15. Кротов В.Ф. Приближённый метод синтеза оптимального управления. «Автоматика и телемеханика», №11, 1964 г.

16. Кротов В.Ф., Букреев В.З., Гурман В.И. Новые методы вариационного исчисления в динамике полёта. Москва, «Машиностроение», 1969 г.

17. Кротов В.Ф., Гурман В. И. Методы и задачи оптимального управления. Москва, «Наука», 1973 г.

18. Кульбака Н.Э. Опыт моделирования устойчивого развития региона. Труды международного симпозиума, Переславль-Залесский, 26-29 октября 1996 г., Москва, «Наука», 1997 г.

19. Куржанский А.Б., Фурасов В.Д. Задачи гарантированной идентификации билинейных систем с дискретным временем. Известия РАН. Теория и системы управления, №4, 2000 г.

20. Мордухович Б.Ш. Методы аппроксимаций в задачах оптимизации и управления. Москва, «Наука», 1988 г.

21. Никифорова JI.H. Оптимизация параметров движения вертолёта. Труды II научных чтений, посвящённых памяти академика Б.И. Юрьева. Москва, 1987 г.

22. Nikiforova L.N. The Solution of the Helicopter Flight Dynamics Tasks by the Method of Optimal Control Theory. Proceeding of 17 European Rotorcraft Forum. Germany, 1991.

23. Пропой А.И. Элементы теории оптимальных дискретных процессов. Москва, «Наука», Физматлит, 1973 г.

24. Хрусталёв М.М. Условия равновесия по Нэшу в стохастических дифференциальных играх при неполной информированности игроков о состоянии. 4.1, 2. Известия РАН. Теория и системы управления, №6, 1995, №1, 1996 г.

25. Стефенсон И.Ф. Теория интерполяции. Москва, ОНТИ, 1935 г.

26. Aiping L. Some efficient algorithms for unconstrained discrete-time optimal control problems. Appl. Math, and Comput., №2-3, 1997.

27. Alessandro B. Discrete-time optimal control with control-dependent noise and generalized Riccati difference equation. Automatica, №8, 1998.