автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Синтез цифровых регуляторов на основе линейных матричных неравенств

На правах рукописи

Кривдина Лариса Николаевна

СИНТЕЗ ЦИФРОВЫХ РЕГУЛЯТОРОВ НА ОСНОВЕ ЛИНЕЙНЫХ МАТРИЧНЫХ НЕРАВЕНСТВ

Специальность 05.13.01 - "Системный анализ, управление и обработка информации (в науке и промышленности) по физико-математическим наукам"

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

00346802Б

Нижний Новгород 2009

003468026

Работа выполнена на кафедре математики общетехнического факультета ГОУ ВПО «Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет».

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Коган Марк Михайлович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Баландин Дмитрий Владимирович;

кандидат физико-математических наук, Поздяев Владимир Васильевич

Ведущая организация: Институт проблем управления

им. В. А. Трапезникова РАН, г. Москва

Защита диссертации состоится «21» мая 2009 г. в 13.00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.165.05 при Нижегородском государственном техническом университете им. P.E. Алексеева по адресу: 603950, г. Нижний Новгород, ул. Минина, 24, аудитория 1258.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Нижегородского государственного технического университета им. P.E. Алексеева.

Автореферат разослан «20» апреля 2009 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.165.05 кандидат технических наук, доцент

Общая характеристика работы

Диссертационная работа посвящена синтезу цифровых регуляторов для линейных динамических объектов на основе применения аппарата линейных матричных неравенств.

Актуальность темы

Решение задач математической теории управления начинается с составления математической модели управляемого процесса и задания определенной цели управления. Для обеспечения достижения этой цели на основе принципа обратной связи синтезируется закон управления, который реализуется в виде соответствующего автоматического регулятора.

С каждым годом развиваются различные отрасли науки и техники, что способствует развитию теории управления, обобщению ее методов, а также поиску новых подходов и методов решения возникающих задач. Ранее задачи управления относительно простыми физическими и механическими системами состояли в построении какого-либо прибора (устройства), оказывающего воздействие на управляемый объект с целью достижения желаемых его свойств. Впоследствии задачи, возникающие в теории управления, стали характеризоваться все большей сложностью объектов, а также высоким требованиями к точности и динамике управления. К таким задачам относятся: создание авторулевых в навигации, автопилотов и систем ориентации космических аппаратов в авиации и ракегно-космической технике, обеспечение устойчивости высотных сооружений при сейсмических и ветровых воздействиях и многие другие. Для решения широкого круга задач стали применяться цифровые вычислительные машины и, в частности, компьютеры.

Возросшая сложность объектов управления потребовала разработки соответствующих методов построения регуляторов, которые должны быть реализованы. Процесс реализации синтезированных регуляторов заметно усложнился, и во многих случаях стало очень сложно или совсем невозможно их реализовать при помощи построения механических управляющих устройств. Применение компьютеров позволяет синтезировать сложные регуляторы, так как посгупающие сигналы могут быть обработаны и преобразованы в соответствии с законом управления в необходимые для управляющего воздействия сигналы. Полученные после преобразования сигналы подаются на управляемый объект и оказывают на него нужное воздействие, не требуя при этом построения сложных механических устройств. Обработка поступающих на компьютер сигналов производится на основе цифрового принципа с применением разработанных алгоритмов и программ синтеза регуляторов. Поэтому в настоящее время в связи с развитием науки и техники все большее значение приобретают регуляторы, работающие по цифровому принципу. В соответствии с этим в данной работе рассматриваются моде-

данные, полученные на выходе объекта. Поэтому актуальным становится поиск подхода к решению задач стабилизирующего и оптимального управления по измеряемому выходу дискретного объекта.

Более ста лет назад в теории управления появился аппарат лилейных матричных неравенств. Но, только начиная с конца прошлого века благодаря появившимся алгоритмам и программному обеспечению (в частности, пакет МАТЬАВ), линейные матричные неравенства начали активно применяться во многих областях теории управления и имеют эффективные методы решения. Поэтому в качестве альтернативы имеющимся способам решения задач теории управления, а также как метод решения некоторых задач, для которых классические методы не позволяют найти решение, можно рассматривать метод, основанный на применении аппарата линейных матричных неравенств. В этом контексте изучение вопросов управления дискретными динамическими объектами на основе линейных матричных неравенств становится актуальным и представляет собой содержательную математическую задачу, относящуюся к классу фундаментальных исследований.

Кроме этого, подход, основанный на применении аппарата линейных матричных неравенств, позволяет рассмотреть новую задачу управления в случае измеряемого состояния. Эта задача связана с построением стабилизирующего дискретного регулятора, обеспечивающего расположение собственных значений матрицы замкнутой системы в заданной области. Область может представлять собой круг, вертикальную и горизонтальную полосы, конический сектор, а также их всевозможные пересечения. Главным здесь является возможность охарактеризовать эти области с помощью линейных матричных неравенств, поэтому такие области получили название "ЬМ1-области", а регуляторы относительно произвольных ЬМ1-областей И стали называться £> -стабилизирующими регуляторами.

Применение аппарата линейных матричных неравенств позволяет также осуществить единый подход к решению указанных выше задач стабилизирующего и оптимального управления как по состоянию, так и по выходу объекта, и задач £) -стабилизирующего управления.

Цель работы

Цель данной работы состоит в том, чтобы разработать подход к синтезу дискретных законов управления на основе аппарата линейных матричных неравенств, который позволит получить стабилизирующие и оптимальные законы управления по состоянию и по выходу, а также О -стабилизирующие законы управления.

Методы исследования

В работе применялись методы исследования, относящиеся к области математической

теории управления, теории устойчивости, теории матриц и теории разностных уравнений.

5

Научная новизна

В диссертационной работе получен ряд новых научных результатов, относящихся к области теории автоматического управления линейными дискретными динамическими объектами. Полученные результаты состоят в следующем:

1. Разработан подход к синтезу цифровых регуляторов для линейных дискретных динамических объектов, основанный на применении теории линейных матричных неравенств.

2. Сформулированы и доказаны необходимые и достаточные условия существования дискретных динамических регуляторов следующих видов:

• стабилизирующий регулятор по состоянию;

• стабилизирующий регулятор по выходу;

• D -стабилизирующий регулятор;

• оптимальный и у -оптимальный регуляторы по состоянию;

• оптимальный и у -оптимальный регуляторы по выходу.

3. Разработаны методы нахождения параметров соответствующих регуляторов, основанные на применении аппарата линейных матричных неравенств.

4. В качестве иллюстрирующих примеров синтезированы регуляторы для дискретной модели одно- и двухзвенного перевернутых маятников.

Теоретическая и практическая значимость

Результаты данной диссертационной работы относятся к области фундаментальных исследований в теории автоматического управления дискретными динамическими объектами и могут быть применены для решения задачи управления различными технологическими процессами на производстве, для создания авторулевых в навигации, автопилотов и систем ориентации космических аппаратов в авиации и ракетно-космической технике и др.

Апробация работы

Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на XI, XII и XIII Нижегородской сессиях молодых ученых (математические науки) (2006, 2007, 2008гг.); X Международном семинаре им. Е.С. Пятницкого "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" (Москва, 2008г.).

Доклад на XI Нижегородской сессии молодых ученых (математические науки) (2006г.) был удостоен диплома третьей степени.

Работа над диссертацией осуществлялась в рамках госбюджетной темы "Разработка новых методов активного гашения колебаний высотных сооружений при сейсмических воз-

6

действиях", а также грантов Российского фонда фундаментальных исследований по проектам № 05-01-00123 "Гашение колебаний механических систем робастными регуляторами пониженного порядка" и № 08-01-00422 "Синтез оптимальных и робастных регуляторов по выходу методами линейных матричных неравенств".

Публикации

Основное содержание диссертации опубликовано в 9 работах [1-9], в том числе 5 статей [1,2, 3,4, 6] и 4 работы в сборниках трудов конференций [5,7, 8, 9]. Статьи [1,2, 3] опубликованы в журналах, рекомендованных ВАК РФ для публикаций диссертационных материалов.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и библиографического списка, включающего 70 наименований. Работа изложена на 109 страницах, содержит 24 иллюстрации.

Краткое содержание диссертации

Во введении кратко изложена история вопроса, посвященного исследуемой проблеме синтеза цифровых регуляторов для линейных динамических объектов, представлен обзор литературы, обоснована актуальность рассматриваемой темы, сформулированы цели диссертационной работы, приведено краткое описание глав.

Первая глава посвящена краткому обзору развития теории устойчивости и аппарата линейных матричных неравенств.

Впервые создал строгую теорию устойчивости и равновесия механических систем, а также дал строгое определение понятия устойчивости движения A.M. Ляпунов в 1892 году в своей диссертационной работе "Общая задача об устойчивости движения". Затем эта работа была переиздана в 1950 году. Прямой (второй) метод Ляпунова является мощным методом исследования асимптотической устойчивости состояния равновесия систем дифференциальных или разностных уравнений. Метод состоит в том, чтобы построить некоторую скалярную функцию координат системы и времени (квадратичная функция Ляпунова), обладающую специальными свойствами. Для линейных дискретных систем строят функции Ляпунова вида

V(x) = xTXx,

где X - положительно определенная симметрическая матрица, ах- состояние системы, так, чтобы приращение этой функции по траектории системы было отрицательно определен-

7

ной функцией состояния. Эта задача сводится к решению линейного матричного уравнения Ляпунова

АТХА-Х + СТС = О,

в котором СТС > 0 - произвольная матрица. С другой стороны, это уравнение можно рассматривать как линейное матричное неравенство

АТХА-Х< О

относительно матрицы X - ХТ > 0. В настоящее время оно известно как неравенство Ляпунова.

В общем виде линейное матричное неравенство определяется следующим образом: это неравенство относительно неизвестных переменных х — (Х[,..., хт ) вида

F(x) = F0+xlFl+... + xmFm> О, где F0,F],...,Fm - действительные симметрические матрицы размера их и, т.е. Fj = F? е <Л"*Л, / = 0,1,..., т; F(x) - аффинная функция, отображающая конечномерное векторное пространство V в множество S" действительных симметрических матриц (множество 5" изоморфно евклидову пространству 9tm, где т = п{п +1)/2). Здесь и далее 0 может быть как числом, так и матрицей соответствующего порядка Для матриц знак > 0 означает, что матрица в левой части неравенства положительно определена, т.е. для любых ненулевых вектор-столбцов и = (щ м2 ... и„)Т выполняется неравенство

uTF(x) и > 0.

Матричное неравенство F(x) < 0 с аффинной функцией F(x) записывается как линейное матричное неравенство - F(x) > 0.

Показано, что неравенство Ляпунова является линейным матричным неравенством, записанным относительно матричных переменных.

Приводятся вспомогательные утверждения в виде лемм, которые используются при доказательствах теорем в последующих главах.

Рассматривается линейное матричное неравенство некоторого специального вида относительно неизвестной матрицы © параметров регулятора

4> + PT®TQ + QTQP<0, (1)

т

где Ч* = Ч' , Р и Q - матрицы соответствующих порядков, которое в дальнейшем играет ключевую роль при решении различных задач синтеза регуляторов, а также приводятся условия его разрешимости относительно неизвестной матрицы 0.

8

Во второй главе диссертации предложен подход к синтезу стабилизирующих регуляторов по состоянию и по измеряемому выходу для линейных дискретных динамических объектов, основанный на применении линейных матричных неравенств, эффективно решаемых с помощью средств LMI Control Toolbox пакета MATLAB.

Рассматривается задача стабилизация по состоянию линейного стационарного дискретного объекта, описываемого в пространстве состояний разностным уравнением вида

*/+1 = Ах,+Ви,, (2)

где xt е - состояние объекта, и, е 9Г" - управление, А 6 9?"**"* и Be Hi"**"* - заданные матрицы. Требуется выбрать закон управления из класса линейных обратных связей по состоянию вида

u,=Qxt, (3)

где © б 31"" х"х - матрица параметров регулятора, при котором состояние xt =0 замкнутой системы (2), (3)

xt+l=Acxt> АС=А + В& является асимптотически устойчивым по Ляпунову.

Приведены два способа решения поставленной задачи на основе применения аппарата линейных матричных неравенств. В основу синтеза стабилизирующих регуляторов положен метод Ляпунова. Согласно этому подходу, условие стабилизируемое™ дискретного объекта (2) эквивалентно разрешимости неравенства Ляпунова

(А + В@)г Х(А + 50) - X < О

относительно неизвестной матрицы X - ХТ > О и матрицы параметров регулятора 0.

Первый способ заключается в том, чтобы представить полученное неравенство в виде матричного неравенства некоторого специального вида (1), где Р и Q - матрицы соответствующих порядков, зависящие от исходных данных задачи, Ч1 - матрица, содержащая неизвестную матрицу X. Сформулирована и доказана соответствующая теорема, выражающая необходимое и достаточное условие стабилизируемое™ объекта (2) по состоянию, а также указывающая способ нахождения параметров стабилизирующего регулятора.

Второй способ решения задачи стабилизации по состоянию дискретного объекта (2) основан на применении следующего утверждения.

Теорема 1. Дискретный объект (2) стабилизируем тогда и только тогда, когда существуют (пх х пх)-матрица Y = YT > 0 и («цх пх)-матрица Z, удовлетворяющие линейному матричному неравенству

лу+вг

<о.

(4)

V(ЛF + BZ)' -У

Если неравенство (4)разрешимо относительно матриц У и 2, то параметры 0 линейной обратной связи по состоянию находятся как © = 2 У 1.

В качестве примера рассмотрена задача стабилизации по состоянию однозвенного перевернутого маятника, для которого путем дискретизации получена его дискретная модель вида (2), где

(1.1280 0.1042 2.6050 1.1280

, В--

0.0051 0.1042

У =

При решении этой задачи вторым способом, основанным на применении теоремы 1, были найдены неизвестные матрицы У и 7,, удовлетворяющие линейному матричному неравенству (4):

0.5786 - 0.0725"| , ч

г = (-14.7545 -8.8931),

-0.0725 0.9912 ) после чего была получена матрица параметров регулятора по формуле ® = ЪУ 1:

© = (-26.8740 -10.9388). Задача стабилизации по выходу линейного стационарного управляемого дискретного объекта с неизмеряемым состоянием

х.., = Ах. +Ви,,

' (5)

у, = С х,,

в котором х, е Ш"* - состояние объекта, и, 6 9?"" - управление, у, € Ч\"у - измеряемый

выход, А е У1"гХПх ; В е 91"хХ"" и Се У\"у "х - заданные матрицы, состоит в построении линейного динамического регулятора полного порядка вида

х^ = Аг4КвгУп

Щ=Сгх^ + Огу„

(6)

где л^еЭ?"* - состояние регулятора, который обеспечивает асимптотическую устойчивость замкнутой системы (5), (б)

гА + ВОгС ВСГЛ

хг+\~Лсх,, Ас—

ВГС

где х, = со1(х,, х^ ).

Для решения указанной задачи была введена матрица параметров регулятора

10

вследствие чего матрица замкнутой системы представляется как

Ас=А0+В0&С0,

где

0„

в0 =

о.

в

\

о„

. С0 =

Го

пх хпх

с

V "х*пх "х*"х / ч "х "х""и У

В основе синтеза стабилизирующих регуляторов по выходу лежит тот факт, что сгаби-лизируемость дискретного объекта равносильна разрешимости неравенства Ляпунова

(Л+ ^©Со)7"До0Со) - X < 0

относительно неизвестной матрицы = >0 квадратичной функции Ляпунова и неизвестной матрицы параметров регулятора 0. Полученное неравенство не является линейным относительно матриц X и 0. Идея решения задачи состоит в том, чтобы представить его в виде матричного неравенства некоторого специального вида (1), линейного относительно матрицы 0, где Р к () - матрицы соответствующих порядков, зависящие от исходных данных задачи, а матрица Ч7 содержит неизвестную матрицу X. Разрешимость этого неравенства относительно неизвестной матрицы 0 эквивалентна разрешимости линейных матричных неравенств

}У]>Ч!ЦГр <0, 1У£УРГд <о

относительно матрицы X . Найденное решение этих неравенств подставляется в неравенство (1), из которого находится матрица параметров регулятора. Благодаря блочной структуре матриц А0 ,В0 ,С0 и соответствующему блочному представлению матриц X и Г, получаем утверждение, устанавливающее необходимое и достаточное условие стабилизируемости по выходу объекта (5).

Теорема 2. Дискретный объект (5) стабилизируем с помощью регулятора по выходу (6) тогда и только тогда, когда существуют две (пххпх)-матрицы Х^] = Х^ > 0 и Т

Уп = Уц > 0, удовлетворяющие линейным матричным неравенствам

^(АГХпА-Хц)ГГс< 0, ^(АГиАТ-Гп)ЖвТ <0,

ХИ I ' 41. 11

т

где столбцы матрицы образуют базис ядра матрицы В , а столбцы матрицы 1УС

образуют базис ядра матрицы С.

Приводится способ нахождения матрицы параметров стабилизирующего регулятора по выходу. В качестве иллюстрирующих примеров синтезированы стабилизирующие регуляторы для дискретной модели одно- и двухзвенного перевернутых маятников.

В третьей главе рассматривается О -стабилизирующее управление дискретными объектами, обеспечивающее расположение собственных значений матрицы замкнутой системы в заданной области £) комплексной плоскости. Такие регуляторы будем называть В -стабилизирующими, а квадратную матрицу, все собственные значения которой лежат в области О комплексной плоскости, - О -устойчивой. В качестве областей О будем рассматривать области, располагающиеся строго внутри единичного круга комплексной плоскости и характеризуемые линейными матричными неравенствами (т.е. 1.М1-области).

Область О комплексной плоскости называется ЬМ1-областью, если существуют сим-

Т _ тши __ _ п ^ ситхи

метрическая матрица а = а £ и матрица р £ :К такие, что

£ = {геС:/0(г)< 0}, /в{2)=сс + 2р+1/Зт, (7)

где /]у(г) принимает значения в пространстве эрмитовых (от х ли)-матриц и представляет собой характеристическую функцию области И.

В общем случае к ЬМ1-областям относятся вертикальные и горизонтальные полосы, круга, конические секторы и пересечения этих областей.

В основе построения £) -стабилизирующих регуляторов лежит тот факт, что условие О -устойчивости дискретного объекта выражается линейным матричным неравенством относительно неизвестной симметрической положительно определенной матрицы, где £) - ЬМ1-область . Поэтому синтез Г) -стабилизирующих регуляторов может быть осуществлен с использованием теории линейных матричных неравенств. В частном случае, когда 2) совпадает с внутренностью круга единичного радиуса, £)-устойчивость сводится к асимптотической устойчивости дискретной системы, а соответствующее линейное матричное неравенство является неравенством Ляпунова.

Задача синтеза О -стабилизирующего управления для линейного стационарного дискретного управляемого объекта, описываемого в пространстве состояний разностным уравнением

х[+1 - Ах, + Ви,, (8)

в котором х1 е 51"' - состояние объекта, и( в 91"" - управление, А е й"**"* и В е "ЭТ"**"" - заданные матрицы, заключается в нахождении закона управления из класса линейных обратных связей по состоянию вида

и^Ох,, (9)

обеспечивающего I) -устойчивость замкнутой системы (8), (9)

х1+1~Асх, , АС=А + В&,

где ©еО?"**"* - матрица параметров регулятора.

Управляемый дискретный объект (8) назовем £> -стабилизируемым, если существует закон управления (9) такой, что замкнутая система (8), (9) D -устойчива. Или, другими словами, пара матриц (А, В) называется И -стабилизируемой, если существует матрица 0 такая, что матрица А + В© будет И -устойчивой.

Теорема 3. Пусть £)- ЬМ1-область вида (7). Тогда дискретный объект (8) £)-стабилизируем тогда и только тогда, когда существуют (пххпх)-матрица Х = ХТ>0 и (ищх пх)-матрица 7,, удовлетворяющие линейному матричному неравенству

(ацХ + /Зу(АХ + Вг) + /1л(ХАТ+гТВТ))<0 ,/,у = 1,...,/и, (10)

где (ХуХ + ру (АХ + В2) + 0^(ХАТ + В^) - (/ -й блок матрицы, стоящей в левой части неравенства (10), а (Ху и Рц являются соответствующими элементами матриц а и Р, входящих в характеристическую функцию (7). Если неравенство (10) разрешимо относительно матрш! X и 2, то параметры линейной обратной связи О-стабилизирующегорегулятора находятся как © = 2.Х 1.

На основе теоремы 3 получены необходимые и достаточные условия £) -стабилизируемое™ дискретного объекта (8), выражающиеся через линейные матричные неравенства, для заданных Г.М1-областей О следующих видов:

- внутренность круга радиуса г < 1 с центром в точке (0; 0);

- пересечение внутренности круга радиуса Г < 1 с центром в точке (0; 0) и конического сектора, расположенного в левой комплексной полуплоскости;

- пересечение внутренности круга радиуса г < 1 с центром в точке (0; 0), вертикальной и горизонтальной полос,

а также синтезированы соответствующие £> -стабилизирующие регуляторы. В качестве иллюстрирующих примеров для этих областей построены £)-стабилизирующие регуляторы дискретной модели одно- и двухзвенного перевернутых маятников.

13

Четвертая глава диссертационной работы посвящена синтезу линейно-квадратичных и ^-оптимальных законов управления дискретными объектами для случаев измеряемого и неизмеряемого начальных состояний объекта.

Задача линейно-квадратичного управления линейным стационарным дискретным объектом

=Ах, +Ви, , zt -Сх, +Du,, ^^

где х, е - состояние объекта, и, е 91"" - управление, zt £ 91"г - управляемый выход,

х0 - начальное состояние, А е Ж"*™* , В е 5R"**"» , С е 5R"2 и D е хи» - заданные матрицы, в случае измеряемого начального состояния состоит в том, чтобы найти стабилизирующее управление из класса линейных обратных связей по состоянию вида

и, = @х,, (12)

минимизирующее квадратичный функционал

00 I ,7 /=0

Идея построения оптимальных линейно-квадратичных дискретных регуляторов заключается в том, чтобы сначала переформулировать поставленную задачу в соответствующую ей равносильную задачу с использованием условия ограниченности функционала. А затем полученное условие ограниченности функционала при линейно-квадратичном законе управления представить в виде линейных матричных неравенств.

В соответствии с этим поставленная задача линейно-квадратичного управления дискретным объектом (11) переформулируется следующим образом: найти стабилизирующее управление из класса линейных обратных связей по состоянию вида (12), обеспечивающее при минимально возможном значении у* > О выполнение неравенства

J<y2\xa\2

для заданного начального состояния объекта х0 Ф 0.

Сформулирована и доказана теорема, выражающая необходимые и достаточные условия существования линейно-квадратичных дискретных регуляторов по состоянию, на основе теории линейных матричных неравенств. Разработаны методы нахождения параметров таких регуляторов.

Теорема 4. Для существования линейно-квадратичного регулятора по состоянию вида (12) для дискретного объекта (11) необходимо и достаточно, чтобы существовали

ли объектов управления, функционирующие в дискретном времени, и под термином "регулятор" понимается термин "дискретный регулятор".

В теории управления рассматривались различные задачи управления как непрерывными, так и дискретными объектами (например, в работе X. Квакернаака и Р. Сивана "Линейные , оптимальные системы управления"). В частности, для дискретных объектов - это задачи стабилизирующего управления динамическими объектами; задачи оптимального управления на конечном и бесконечном интервалах времени детерминированными и стохастическими объектами и др. Существуют различные способы синтеза стабилизирующих и оптимальных регуляторов в зависимости от того, что доступно для измерения - либо все переменные вектора состояния объекта, либо только часть переменных этого вектора. Как правило, на практике не могут быть измерены все переменные состояния. В качестве выходных переменных обычно получают отдельные компоненты вектора состояния, либо линейные комбинации этих компонент. Основная трудность синтеза законов управления по измеряемому выходу заключается в том, что необходимо построить регулятор для объекта при отсутствии необходимых данных о его состоянии, руководствуясь только данными, полученными на выходе.

Ранее задачи стабилизации динамических объектов по выходу решались, например, при помощи построения наблюдателей - динамических систем, дающих оценку состояния объекта и обеспечивающих асимптотическое приближение этой оценки к истинному состоянию. Наблюдатель синтезировался на основе информации о входных и выходных переменных, а также о структуре объекта. Стабилизирующий регулятор по выходу получали следующим образом: строили стабилизирующий регулятор по состоянию на основе принципа обратной связи, после чего вместо вектора состояния объекта использовали его оценку.

При решении задачи оптимального линейно-квадратичного управления по выходу для непрерывной системы также конструировали наблюдатели для получения оценки вектора состояния и строили оптимальный регулятор по состоянию, в котором вместо вектора состояния применяли эту оценку. Однако, синтезированный таким образом регулятор по выходу, вообще говоря, не является оптимальным. Позднее задача оптимального управления непрерывным объектом по измеряемому выходу была решена на основе применения аппарата линейных матричных неравенств, хоторый является принципиально новым подходом к решению предлагаемого класса задач автоматического управления динамическими системами. Развитию этого аппарата посвящена недавно изданная книга Д.В. Баландина и М.М. Когана "Синтез законов управления на основе линейных матричных неравенств".

Таким образом, несмотря на имеющееся многообразие методов в теории управления дискретными объектами, остались нерешенными некоторые важные вопросы. К таким вопросам относится, в частности, задача синтеза регулятора, когда состояние объекта не может быть измерено. Основной информацией для построения регулятора в этом случае являются

(пх х пх)-матрица У = УТ>0, (пихпх)-матрица 7. и число у2 >0, удовлетворяющие

линеиншI матричным неравенствам

-У 0

(АУ+вг/ (су+зг/

АУ+В1

су+ог -у

<0

(13)

Г х0 4*0 У2\хо\2,

>0,

(14)

где х0 ^ 0 - заданное начальное состояние объекта. Если неравенства (13) и (14) разрешимы относительно матриц У ,2 и числа у2 >0, то параметры линейно-квадратичного регулятора (12) по состоянию находятся как 0 = 2» Г«-1, где У, и 2„ - матрицы, соответ-

2

ствующие минимально возможному у* > 0.

Как видно из теоремы 4 параметры оптимального линейно-квадратичного регулятора по состоянию зависят от начального состояния объекта. В качестве альтернативы линейно-квадратичному закону управления вводится у -оптимальный закон управления, параметры которого не зависят от начальных условий.

Задача /-оптимального управления объектом (11) состоит в следующем: найти стабилизирующее управление из класса линейных обратных связей по состоянию вида (12), обеспечивающее при минимально возможном значении у„ > 0 выполнение неравенства

3<у2 |л:012

для любых ненулевых начальных условий объекта х0 * 0.

Теорема 5. Для существования у -оптимального регулятора по состоянию для дискретного объекта (И) необходимо и достаточно, чтобы существовали (пх х и )-матрица

У = УТ >0, {пих пх)-матрица 2 и число у2 > 0, удовлетворяющие линейному матричному неравенству (13) и

гУ I Л

>0.

(15)

У гь

Если неравенства (13) и (15) разрешимы относительно матриц У, 2 и числа у2 > 0, то

параметры у -оптимального регулятора вида (12) находятся как 0 = 2» У,-1, где 2* и У, -

матрицы, соответствующие минимально возможному у2 > 0.

15

Далее, в четвертой главе диссертации рассматривается задача оптимального линейно-квадратичного управления линейным стационарным дискретным управляемым объектом с неизмеряемым состоянием

х,+1 = Ах,+Ви1,

2,=СХХ, +£>м,, (16)

Уг = >

где х, е У1п' - состояние объекта, и( е ЧЯ"" - управление, е - управляемый выход,

- измеряемый выход, ЛеЗЛхя*, ВеШ"**"", С1е<-Яп'уп", С2 е и

£> е - заданные матрицы, которая состоит в построении стабилизирующего регуля-

тора полного порядка по выходу вида

и,=Сгх^+Огу,,

где х\г^ £ 91"1 - состояние регулятора, минимизирующего квадратичный функционал

■/--1Ы2-

»=о

Сформулировано утверждение, выражающее необходимое и достаточное условие существования оптимального линейно-квадратичного регулятора по выходу и приводится способ нахождения его параметров. Показано, что параметры оптимального линейно-квадратичного регулятора по выход)' зависят от начального состояния объекта, в то время как на практике вектор состояния не измеряется и поэтому такие регуляторы оказываются нереализуемыми. Для решения указанной проблемы в качестве альтернативы линейно-квадратичному закону управления введен у -оптимальный закон управления, параметры которого не зависят от начальных условий.

Задача /-оптимального управления объектом (16) заключается в том, чтобы найти стабилизирующее управление вида (17), обеспечивающее при минимально возможном значении /» > 0 выполнение неравенства

г 2|- |2

У<Г ¡хо!

для любых ненулевых начальных условий объекта х0 ^ 0 и нулевых начальных условий регулятора Хд^ = 0, где х0 = (х0

Теорема 6. Для существования у-оптимального регулятора по выходу вида (17) с нулевыми начальными условиями х^ = 0 для дискретного объекта (16) необходимо и доста-

16

точно, чтобы существовали две (пх х пх)-матрицы Хц = Х^ >0, = У^ > 0 и ■

у > О, удовлетворяющие линейным матричным неравенствам

^ о\Т(АТхпА-хи с!Ш2 (Л . о /д с, -1){ о / '

щ

уЩ

Т/

АУиА'

11

АУпС{

СхУпАт С^С,7"-/

Л<о.

>0,

Хи<уЧ.

(19)

(20) (21)

Приводится способ нахождения параметров у -оптимального регулятора по выходу, а именно: если условия (18) - (21) выполнены, то затем нужно найти матрицы Х^ и Уц, соответствующие минимально возможному у1 > 0, после чего необходимо расширить матрицу так, чтобы имели место условия

Х.=

X,, х]2

Х22/

>0,

X,, Х12

Хгг)

(

Гп

*т

Гп

42

42}

для некоторых матриц Х*2 и Х22. Для решения задачи минимизации значения у2 > 0 при ограничениях, задаваемых линейными матричными неравенствами (18) - (21)? используется ^стандартная команда ттсх пакета МАТЪАВ.

Матрица Х^ дополняется до блочной матрицы X», например, таким образом, что

Х,2 =Х22 =ХП-Уп >0.

После расширения матрицы Х^ до матрицы X» находится матрица параметров у -оптимального регулятора вида (17) как решение линейного матричного неравенства (1), где

Т =

-х;> Л0 0

л1 -х, ст

0 С0 -I

р=(о с о), о

В качестве иллюстрирующих примеров синтезируются линейно-квадратичные и у-оптимальные регуляторы по состоянию и по выходу для одно- и двухзвенного перевернутых маятников.

Выводы и заключение

В диссертационной работе получены следующие новые научные результаты, выносимые автором на защиту:

1. Разработан подход к синтезу цифровых регуляторов для линейных дискретных динамически х объектов, основанный на применении теории линейных матричных неравенств.

2. Сформулированы и доказаны необходимые и достаточные условия существования дискретных динамических регуляторов следующих видов:

• стабилизирующий регулятор по состоянию;

• стабилизирующий регулятор по выходу;

• £) -стабилизирующий регулятор;

• оптимальный и у -оптимальный регуляторы по состоянию;

> • оптимальный и у -оптимальный регуляторы по выходу.

3. Разработаны методы нахождения параметров соответствующих регуляторов, основанные на применении аппарата линейных матричных неравенств.

4. В качестве иллюстрирующих примеров синтезированы регуляторы для дискретной модели одно- и двухзвенного перевернутых маятников.

Разработанные в диссертации методы синтеза регуляторов могут быть в дальнейшем развиты для построения дискретных регуляторов при наличии ограничений на фазовые переменные объекта и управление, а также для синтеза регуляторов по выходу, обеспечивающих оптимальное гашение внешних возмущений (Н«-управление). Кроме того, полученные в диссертации результаты могут быть также применены для построения робастных регуляторов в задачах управления при наличии неопределенности в математической модели объекта и неизвестных начальных условиях.

Список публикаций по теме диссертации Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК

1. Кривдина, Л.Н. Синтез О -стабилизирующего управления дискретными объектами на основе линейных матричных неравенств / Л.Н. Кривдина // Информатика и системы управления. - Благовещенск: Изд-во АмГУ, 2007. - № 2(14). - С. 173-182.

2. Кривдина, Л.Н. Синтез линейпо-квадратичньгх и у -оптимальных дискретных регуляторов по состоянию на основе линейных матричных неравенств / Л.Н. Кривдина // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. - Н. Новгород: Изд-во ННГУ им. Н.И. Лобачевского, 2008. -№ 2. - С. 152-157.

3. Кривдина, Л.Н. Синтез линейно-квадратичных и у -оптимальных дискретных регуляторов по выходу на основе линейных матричных неравенств / Л.Н. Кривдина И Информатика и системы управления. - Благовещенск: Изд-во АмГУ, 2008. - № 1(15). - С. 179-190.

Публикации в сборниках трудов и научных конференций

4. Кривдина, Л.Н. Стабилизация дискретных объектов по состоянию / Л.Н. Кривдина // Сборник трудов аспирантов и магистрантов. Технические науки. - Н. Новгород: ННГАСУ, 2006. - С. 220-223.

5. Кривдина, Л.Н. Стабилизация дискретных объектов по выходу / Л.Н. Кривдина // XI нижегородская сессия молодых ученых. Математические науки: Материалы докладов. - Н. Новгород: Изд. Гладкова О.В., 2006. - С. 26-27.

6. Кривдина, Л.Н. Стабилизация дискретных объектов по выходу на основе линейных матричных неравенств / Л.Н. Кривдина // Информатика и системы управления. - Благовещенск: Изд-во АмГУ, 2006. -№ 2(12). - С. 102-110.

7. Кривдина, Л.Н. Синтез £)-стабилизирующего управления дискретными объектами / Л.Н. Кривдина // XII нижегородская сессия молодых ученых. Математические науки: Материалы докладов. - Н. Новгород: Изд. Гладкова О.В., 2007. - С. 28-29.

8. Кривдина, Л.Н. Синтез оптимальных дискретных регуляторов по выходу / Л.Н. Кривдина // XIII нижегородская сессия молодых ученых. Математические науки: Материалы докладов. - Н. Новгород: Изд. Гладкова О.В., 2008. - С. 22-23.

9. Кривдина, Л.Н. Синтез линейно-квадратичных и у -оптимальных дискретных регуляторов по выходу на основе линейных матричных неравенств / Л.Н. Кривдина // Устойчивость и колебания нелинейных систем управления: Тезисы докладов X Международного семинара им. Е.С. Пятницкого. Москва, ИПУ РАН, 3-6 июня 2008г. - М.: Изд-во ИПУ РАН, 2008. - С. 146-147.

Подписано в печать 10.04.09. Формат 60 х 901/16. Печать трафаретная. Бумага газетная. Объем 1 печ. л. Тираж 100 экз. Заказ /¿г Отпечатано в полиграфическом центре Нижегородского государственного архитектурно-строительного университета, 603950, Нижний Новгород, ул. Ильинская, 65

Введение

1 Предварительные сведения

1.1 Теория устойчивости и линейные матричные неравенства

1.2 Вспомогательные утверждения.

2 Стабилизация дискретных объектов

2.1 Стабилизация по состоянию

2.2 Стабилизация по выходу

2.3 Выводы.

3 Э -стабилизирующее управление дискретными объектами

3.1 ЬМ1-области.

3.2 Синтез £> -стабилизирующего управления.

3.3 Выводы.

4 Оптимальное линейно-квадратичное управление дискретными объектами

4.1 Синтез оптимальных регуляторов по состоянию.

4.2 Синтез у -оптимальных регуляторов по состоянию.

4.3 Синтез оптимальных регуляторов по выходу.

4.4 Синтез / -оптимальных регуляторов по выходу.

4.5 Выводы.

Данная диссертационная работа посвящена синтезу цифровых регуляторов для линейных динамических объектов на основе применения аппарата линейных матричных неравенств.

Актуальность темы. Решение задач математической теории управления начинается с составления математической модели управляемого процесса и задания определенной цели управления. Для обеспечения достижения этой цели на основе принципа обратной связи синтезируется закон управления, который реализуется в виде соответствующего автоматического регулятора [13, 15, 20, 23, 39, 44, 45].

С каждым годом развиваются различные отрасли науки и техники, что способствует развитию теории управления, обобщению ее методов, а также поиску новых подходов и методов решения возникающих задач. Ранее задачи управления относительно простыми физическими и механическими системами состояли в построении какого-либо прибора (устройства), оказывающего воздействие на управляемый объект с целью достижения желаемых его свойств. Примером первого технически важного управляющего устройства является регулятор Уатта для обеспечения постоянной угловой скорости вращения вала паровой машины. На основании расположения муфты менялось положение заслонки в паровой машине (дизельной установке и т.д.), что позволяло при необходимости либо увеличить, либо уменьшить количество поступающего рабочего вещества.

Впоследствии задачи, возникающие в теории управления, стали характеризоваться все большей сложностью объектов, а также высокими требованиями к точности и динамике управления. К таким задачам относятся создание авторулевых в навигации, автопилотов и систем ориентации космических аппаратов в авиации и ракетно-космической технике, обеспечение устойчивости высотных сооружений при сейсмических и ветровых воздействиях и многие другие. Для решения широкого круга задач стали применяться цифровые вычислительные машины и, в частности, компьютеры.

Возросшая сложность объектов управления потребовала разработки соответствующих методов построения регуляторов, которые должны быть реализованы. Процесс реализации синтезированных регуляторов заметно усложнился, и во многих случаях стало очень сложно или совсем невозможно их реализовать при помощи построения механических управляющих устройств. Применение компьютеров позволяет синтезировать сложные регуляторы, так как поступающие сигналы могут быть обработаны и преобразованы в соответствии с законом управления в необходимые для управляющего воздействия сигналы. Полученные после преобразования сигналы подаются на управляемый объект и оказывают на него нужное воздействие, не требуя при этом построения сложных механических устройств. Обработка поступающих на компьютер сигналов производится на основе цифрового принципа с применением разработанных алгоритмов и программ синтеза регуляторов. Поэтому в настоящее время в связи с развитием науки и техники все большее значение приобретают регуляторы, работающие по цифровому принципу. В соответствии с этим в данной работе рассматриваются модели объектов управления, функционирующие в дискретном времени, и под термином "регулятор" понимается термин "дискретный регулятор".

В теории управления рассматривались различные задачи управления как непрерывными, так и дискретными объектами [2, 9, 34, 59, 60, 63]. В частности, для дискретных объектов - это задачи стабилизации [1, 24, 48, 49]; задачи оптимизации на конечном и бесконечном интервалах времени детерминированных и стохастических объектов [4, 13, 40, 46] и др.

Для задач управления детерминированными дискретными объектами существует два основных подхода к их решению. Первый подход основан на применении аппарата передаточных функций и изучении их полюсов и нулей [23, 35, 47]. По аналогии с преобразованием Лапласа, применяемым для получения передаточной функции в непрерывном случае, в дискретном варианте задачи для получения матричной передаточной функции используется 2 -преобразование.

При применении второго подхода используется понятие пространства состояний, методы линейной алгебры и теории разностных уравнений [10, 12, 14, 17]. Основой этого подхода является описание линейных дискретных систем разностными уравнениями в пространстве состояний.

Методы решения задач теории управления в пространстве состояний включают метод функций Ляпунова [22, 43, 66, 67]; метод аналитического конструирования регуляторов или, другими словами, метод построения оптимальных регуляторов для линейных объектов по квадратичному критерию качества (так называемых линейно-квадратичных регуляторов) [5, 6, 16, 21, 41, 61]; метод динамического программирования Беллмана [11]; метод функций Попова [23, 51] и др.

В теории управления существуют различные способы синтеза стабилизирующих и оптимальных регуляторов в зависимости от того, что доступно для измерения - все переменные вектора состояния объекта или только часть переменных этого вектора [1, 12, 18, 23, 24, 50, 59, 62]. Как правило, на практике не могут быть измерены все переменные состояния. В качестве выходных переменных обычно получают отдельные компоненты вектора состояния, либо линейные комбинации этих компонент. Основная трудность синтеза законов управления по измеряемому выходу заключается в том, что необходимо построить регулятор для объекта при отсутствии необходимых данных о его состоянии, руководствуясь только данными, полученными на выходе.

Ранее задачи стабилизации динамических объектов по выходу решались, например, при помощи построения наблюдателей - динамических систем, дающих оценку состояния объекта и обеспечивающих асимптотическое приближение этой оценки к истинному состоянию [3, 21, 64, 65]. Наблюдатель синтезировался на основе информации о входных и выходных переменных, а также о структуре объекта. Стабилизирующий регулятор по выходу получали следующим образом: строили стабилизирующий регулятор по состоянию на основе принципа обратной связи, после чего вместо вектора состояния объекта использовали его оценку.

При решении задачи оптимального линейно-квадратичного управления по выходу для непрерывной системы также конструировали наблюдатели для получения оценки вектора состояния и строили оптимальный регулятор по состоянию, в котором вместо вектора состояния применяли эту оценку. Однако, синтезированный таким образом регулятор по выходу, вообще говоря, не является оптимальным. Позднее задача оптимального управления непрерывным объектом по измеряемому выходу была решена на основе применения аппарата линейных матричных неравенств, который является принципиально новым подходом к решению предлагаемого класса задач автоматического управления динамическими системами. Развитию этого аппарата посвящена недавно изданная книга Д.В. Баландина и М.М. Когана "Синтез законов управления на основе линейных матричных неравенств" [6].

Таким образом, несмотря на имеющееся многообразие методов в теории управления дискретными объектами остались нерешенными некоторые важные вопросы. К таким вопросам относится, в частности, задача синтеза регулятора, когда состояние объекта не может быть измерено. Основной информацией для построения регулятора в этом случае являются данные, полученные на выходе объекта. Поэтому актуальным становится поиск подхода к решению задач стабилизирующего и оптимального управления по измеряемому выходу дискретного объекта.

Более ста лет назад в теории управления появился аппарат линейных матричных неравенств. Но, только начиная с конца прошлого века благодаря появившимся алгоритмам и программному обеспечению (в частности, пакет МАТЬАВ), линейные матричные неравенства начали активно применяться во многих областях теории управления и имеют эффективные методы решения [53, 55, 58]. Поэтому в качестве альтернативы имеющимся способам решения задач теории управления, а также как метод решения некоторых задач, для которых классические методы не позволяют найти решение, можно рассматривать метод, основанный на применении аппарата линейных матричных неравенств. В этом контексте изучение вопросов управления дискретными динамическими объектами на основе линейных матричных неравенств становится актуальным и представляет собой содержательную математическую задачу, относящуюся к классу фундаментальных исследований.

Кроме этого, подход, основанный на применении аппарата линейных матричных неравенств, позволяет рассмотреть новую задачу управления в случае измеряемого состояния. Эта задача связана с построением стабилизирующего дискретного регулятора, обеспечивающего расположение собственных значений матрицы замкнутой системы в заданной области. Область может представлять собой круг, вертикальную и горизонтальную полосы, конический сектор, а также их всевозможные пересечения. Главным здесь является возможность охарактеризовать эти области с помощью линейных матричных неравенств, поэтому такие области получили название "ЬМ1-области", а регуляторы относительно произвольных ЫУП-областей £> стали называться О-стабилизирующими регуляторами.

Применение аппарата линейных матричных неравенств позволяет также осуществить единый подход к решению указанных выше задач стабилизирующего и оптимального управления как по состоянию, так и по выходу объекта, и задач В -стабилизирующего управления.

Цель работы состоит в том, чтобы разработать подход к синтезу дискретных законов управления на основе аппарата линейных матричных неравенств, который позволит получить стабилизирующие и оптимальные законы управления по состоянию и по выходу, а также О -стабилизирующие законы управления.

Методы исследования, которые были применены в работе, относятся к области математической теории управления, теории устойчивости, теории матриц и теории разностных уравнений.

Научная новизна.

1. Разработан подход к синтезу цифровых регуляторов для линейных дискретных динамических объектов, основанный на применении теории линейных матричных неравенств.

2. Сформулированы и доказаны необходимые и достаточные условия существования дискретных динамических регуляторов следующих видов:

• стабилизирующий регулятор по состоянию;

• стабилизирующий регулятор по выходу; , • -стабилизирующий регулятор;

• оптимальный и у -оптимальный регуляторы по состоянию;

• оптимальный и /-оптимальный регуляторы по выходу.

3. Разработаны методы нахождения параметров соответствующих регуляторов, основанные на применении аппарата линейных матричных неравенств.

4. В качестве иллюстрирующих примеров синтезированы регуляторы для дискретной модели одно- и двухзвенного перевернутых маятников.

Рекомендации по использованию результатов. Результаты данной диссертационной работы относятся к области фундаментальных исследований в теории автоматического управления дискретными динамическими объектами и могут быть применены для решения задачи управления различными технологическими процессами на производстве, для создания авторулевых в навигации, автопилотов и систем ориентации космических аппаратов в авиации и ракетно-космической технике и др.

Достоверность и обоснованность положений диссертационной работы подтверждается строгим математическим выводом получаемых утверждений.

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на XI, XII < и XIII Нижегородской сессиях молодых ученых (математические науки) (2006, 2007, 2008гг.); X

Международном семинаре им. Е.С. Пятницкого "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" (Москва, 2008г.).

Доклад на XI Нижегородской сессии молодых ученых (математические науки) (2006г.) был удостоен диплома третьей степени.

Работа над диссертацией осуществлялась в рамках госбюджетной темы "Разработка новых методов активного гашения колебаний высотных сооружений при сейсмических воздействиях", а также грантов Российского фонда фундаментальных исследований по проектам № 05-01-00123 "Гашение колебаний механических систем робастными регуляторами пониженного порядка" и № 08-01-00422 "Синтез оптимальных и робастных регуляторов по выходу методами линейных матричных неравенств".

Публикации. По теме диссертации опубликовано 9 работ, в том числе 5 статей, из них 3 в журналах из перечня ВАК РФ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и библиографического списка, включающего 70 наименований. Работа изложена на 109 страницах, содержит 24 иллюстрации.

4.5 Выводы

Разработан подход к решению задачи синтеза линейно-квадратичных регуляторов по состоянию и по выходу, основанный на применении аппарата линейных матричных неравенств.

Сформулированы и доказаны теоремы, выражающие необходимые и достаточные условия существования линейно-квадратичных дискретных регуляторов по состоянию. Разработаны методы нахождення параметров таких регуляторов.

Сформулирована и доказана теорема, выражающая необходимые и достаточные условия существования /-оптимального дискретного регулятора по состоянию. Приведен способ нахождения параметров такого регулятора, основанный на применении аппарата линейных матричных неравенств.

Получены необходимые и достаточные условия существования линейно-квадратичного дискретного регулятора по выходу, а также проведен синтез такого регулятора на основе применения аппарата линейных матричных неравенств. Показано, что параметры оптимального регулятора по выходу зависят от начальных условий объекта. В случае неизмеряемого начального состояния объекта осуществлен синтез /-оптимального закона управления для дискретных объектов, который представляет собой закон управления, минимизирующий относительное значение функционала в наихудшей ситуации, когда начальное отклонение приводит к максимальному значению этого отношения.

Заключение

В диссертационной работе получены следующие новые научные результаты:

1. Разработан подход к синтезу цифровых регуляторов для линейных дискретных динамических объектов, основанный на применении теории линейных матричных неравенств.

2. Сформулированы и доказаны необходимые и достаточные условия существования дискретных динамических регуляторов следующих видов:

• стабилизирующий регулятор по состоянию;

• стабилизирующий регулятор по выходу;

• й -стабилизирующий регулятор;

• оптимальный и /-оптимальный регуляторы по состоянию;

• оптимальный и у -оптимальный регуляторы по выходу.

3. Разработаны методы нахождения параметров соответствующих регуляторов, основанные на применении аппарата линейных матричных неравенств.

4. В качестве иллюстрирующих примеров синтезированы регуляторы для дискретной модели одно- и двухзвенного перевернутых маятников.

Разработанные в диссертации методы синтеза регуляторов могут быть в дальнейшем развиты для построения дискретных регуляторов при наличии ограничений на фазовые переменные объекта и управление, а также для синтеза регуляторов по выходу, обеспечивающих оптимальное гашение внешних возмущений (Нот- управление). Кроме того, полученные в диссертации результаты могут быть также применены для построения робастных регуляторов в задачах управления при наличии неопределенности в математической модели объекта и неизвестных начальных условиях.

1. Аксенов, Г.С. Метод функций Ляпунова в задаче синтеза стабилизирующих регуляторов / Г.С. Аксенов, В.Н. Фомин // Адаптация и обучение в системах управления и принятия решений. — Новосибирск, 1982. — С. 27-32.

2. Аксенов, Г.С. Синтез адаптивных регуляторов на основе метода функций Ляпунова / Г.С. Аксенов, В.Н. Фомин // Автоматика и телемеханика. -1982.-№6. -С. 126-137.

3. Андреев, Ю.Н. Управление конечномерными линейными объектами / Ю.Н. Андреев. М.: Гл. ред. физ.-мат. лит-ры изд-ва "Наука", 1976. - 424 с.

4. Аоки, М. Оптимизация стохастических систем / М. Аоки. — М.: Наука, 1971.-424 с.

5. Баландин, Д.В. Линейно-квадратичные и у -оптимальные законы управления по выходу / Д.В. Баландин, М.М. Коган // Автоматика и телемеханика. 2008. - № 6. - С. 5 -14.

6. Баландин, Д.В. Синтез законов управленття на основе линейных матричных неравенств / Д.В. Баландин, М.М. Коган. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007.- 280 с.

7. Баландин, Д.В. Синтез регуляторов на основе решения линейных матричных неравенств и алгоритма поиска взаимнообратных матриц / Д.В.Баландин, М.М. Коган // Автоматика и телемеханика. 2005. - № 1. - С. 82-99.

8. Барбашин, Е.А. Введение в теорию устойчивости / Е.А. Барбашин. -М.: Наука, 1967.-224 с.

9. Барбашин, Е.А. Функции Ляпунова / Е.А. Барбашин. М.: Наука, 1970.- 240 с.

10. Беллман, Р. Введение в теорию матриц / Р. Беллман. М.: Наука, 1969.-368 с.

11. Беллман, Р. Динамическое программирование и современная теория управления / Р. Беллман, Р. Калаба. — М.: Наука, 1969. 118 с.

12. Болтянский, В.Г. Математические методы оптимального управления / В.Г. Болтянский. М.: Наука, 1969. - 408 с.

13. Брайсон, А. Прикладная теория оптимального управления / А.Брайсон, Хо Ю Ши. М.: Мир, 1972. - 544 с.

14. Воеводин, В.В. Линейная алгебра / В.В. Воеводин. — М.: Наука, 1980. -400с.

15. Воронов, A.A. Устойчивость, управляемость, наблюдаемость / А.А.Воронов. М.: Наука, 1979. - 335 с.

16. Габасов, Р. Качественная теория оптимальных процессов / Р. Габасов, Ф. Кириллова. М.: Наука, 1971. - 508 с.

17. Гантмахер, Ф.Р. Теория матриц 7 Ф.Р. Гантмахер. М.: Изд-во "Наука". Гл. ред. физ.-мат. лит.,1967. — 576 с.

18. Гелиг, А.Х. Устойчивость нелинейных систем с неединственным состоянием равновесия / А.Х. Гелиг, Г.А. Леонов, В.А. Якубович. М.: Наука, 1978.-400 с.

19. Демидович, Б.П. Лекции по математической теории устойчивости / Б.П. Демидович. М.: Наука, 1967. - 472 с.

20. Калман, Р. Об общей теории систем управления / Р. Калман // Труды 1 конгресса ИФАК. М.: Изд-во АН СССР, 1961. - Т. 2. - С. 521-547.

21. Калман, Р. Очерки по математической теории систем / Р. Калман, П.Фалб, М. Арбиб. М.: Мир, 1971. - 400 с.

22. Каменецкий, В.А. Градиентный метод построения функций Ляпунова в задачах абсолютной устойчивости / В.А. Каменецкий, Е.С. Пятницкий // Автоматика и телемеханика. — 1987. № 1. - С. 3-12.

23. Квакернаак, X. Линейные оптимальные системы управления / Х.Квакернаак, Р. Сиван. М.: Мир, 1977. - 653 с.

24. Климентов, С.И. О синтезе асимптотически устойчивого алгоритма адаптивной системы с эталонной моделью прямым методом Ляпунова /

25. С.И.Климентов, В.И. Прокопов // Автоматика и телемеханика. 1974. - № 10. — С. 97-104.

26. Кривдина, JI.H. Синтез линейно-квадратичных и /-оптимальных дискретиых регуляторов по выходу на основе линейных матричных неравенств / JT.H. Кривдина // Информатика и системы управления. — Благовещенск: Изд-во АмГУ, 2008. № 1(15). - С. 179-190.

27. Кривдина, Л.Н. Синтез оптимальных дискретных регуляторов по выходу / Л.Н. Кривдина // XIII нижегородская сессия молодых ученых. Математические науки: Материалы докладов. Н. Новгород: Изд. Гладкова О.В., 2008. - С. 22-23.

28. Кривдина, Л.Н. Синтез D -стабилизирующего управления дискретными объектами / Л.Н. Кривдина // XII нижегородская сессия молодых ученых. Математические науки: Материалы докладов. — Н. Новгород: Изд. Гладкова О.В., 2007. С. 28-29.

29. Кривдина, Л.Н. Синтез D -стабилизирующего управления дискретными объектами на основе линейных матричных неравенств / Л.Н.Кривдина // Информатика и системы управления. — Благовещенск: Изд-во АмГУ, 2007. № 2(14). - С. 173-182.

30. Кривдина, Л.Н. Стабилизация дискретных объектов по выходу / Л.Н.Кривдина // XI нижегородская сессия молодых ученых. Математическиенауки: Материалы докладов. Н. Новгород: Изд. Гладкова О.В., 2006. - С. 2627.

31. Кривдина, JI.H. Стабилизация дискретных объектов по выходу на основе линейных матричных неравенств / JI.H. Кривдина // Информатика и системы управления. Благовещенск: Изд-во АмГУ, 2006. - № 2(12). - С. 102110.

32. Кривдина, JI.H. Стабилизация дискретных объектов по состоянию / JT.H. Кривдина // Сборник трудов аспирантов и магистрантов. Технические науки. Н. Новгород: ННГАСУ, 2006. - С. 220-223.

33. Ла-Салль, Ж. Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова /Ж. Ла-Салль, С. Лефшец. М.: Мир, 1964. - 168 с.

34. Леонов, Г.А. Теория управления / Г.А. Леонов. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2006. - 233 с.

35. Ляпунов, A.M. Общая задача об устойчивости движения / А.М.Ляпунов. М.-Л.: Гостехиздат, 1950. - 473 с.

36. Малкин, И.Г. Теория устойчивости движения / И.Г. Малкин. М.-Л.: Гостехиздат, 1952. - 530 с.

37. Меркин, Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения / Д.Р.Меркин. -М.: Наука, 1976. 395 с.

38. Неймарк, Ю.И. Динамические системы и управляемые процессы / Ю.И. Неймарк. М.: Наука, 1978. - 333 с.

39. Острем, К. Введение в стохастическую теорию управления / К.Острем. М.: Мир, 1973. - 322 с.

40. Понтрягин, Л.С. Математическая теория оптимальных процессов / Л.С. Понтрягин, В.Г. Болтянский, Р.В. Гамкрелидзе, Е.Ф. Мищенко. М.: Наука, 1983.-392 с.

41. Попов, В.М. Гиперустойчивость автоматических систем / В.М. Попов. М.: Наука, 1970. - 453 с.

42. Пятницкий, Е.С. Численные методы построения функций Ляпунова и критериев абсолютной устойчивости в форме численных процедур /

43. Е.С.Пятницкий, В.И. Скородинский // Автоматика и телемеханика. 1983. - № 11.-С. 52-63.

44. Ройтенберг, Я.Н. Автоматическое управление / Я.Н. Ройтенберг. М.: Наука, 1978.-552 с.

45. Уонэм, М. Линейные многомерные системы управления: Геометрический подход / М. Уонэм. М.: Наука, 1980. - 375 с.

46. Фельдбаум, A.A. Основы теории оптимальных автоматических систем / A.A. Фельдбаум. М.: Наука, 1966. - 623 с.

47. Фомин, В.Н. Методы управления линейными дискретными объектами / В.Н. Фомин. JT.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1985. - 336 с.

48. Фрадков, А.Л. Квадратичные функции Ляпунова в задаче адаптивной стабилизации линейного динамического объекта / А.Л. Фрадков // Сиб. мат. журн. 1976. - № 2. - С. 436-445.

49. Фрадков, А.Л. Синтез адаптивной системы стабилизации линейного динамического объекта / А.Л. Фрадков // Автоматика и телемеханика. — 1974. — №12.-С. 96-103.

50. Фурасов, В.Д. Устойчивость и стабилизация дискретных процессов / В.Д. Фурасов. М.: Наука, 1982. - 192 с.

51. Чайковский, М.М. Алгебраические уравнения Риккати и линейные матричные неравенства для систем дискретного времени / М.М. Чайковский,

52. A.П. Курдюков // Научное издание Института проблем управления им.

53. B.А.Трапезникова РАН. М., 2005. - 95 с.

54. Четаев, Н.Г. Устойчивость движения / Н.Г. Четаев. — Гостехиздат, 1955.- 176 с.

55. Якубович, В. А. Решение некоторых матричных неравенств, встречающихся в теории автоматического регулирования / В.А. Якубович // ДАН СССР. 1962. - Т. 143, № 6. - С. 1304-1307.

56. Якубович, В.А. Частотная теорема в теории управления / В.А.Якубович // Сиб. матем. журнал. 1973. - Т. 14, № 2. - С. 384-420.

57. Boyd, S. Linear Matrix Inequalities in System and Control Theory / S.Boyd, L. El Ghaoui, E. Feron, V. Balakrishnan. Philadelphia: SIAM, 1994. - 193 P

58. Bucy, R.S. Global theory of the Riccati equation / R.S. Budy // J. Comput. Syst. Sei. 1967. - Vol. 1. - P. 349-361.

59. Davison, E.J. The numerical solution of the matrix Riccati differential equation / E.J. Davison, M.C. Maki // IEEE Trans. Automat. Control. 1973. - Vol. AC-18, № 2. - P. 71-73.

60. Gahinet, P. A linear matrix inequality approach'to H^ control / P. Gahinet, P. Apkarian // International Journal of Robust and Nonlinear control. 1994. - Vol. 4.-P. 421-448.

61. Kaiman, R.E. Control system analysis and design via the second method of Lyapunov / R.E. Kaiman, J.E. Bertram // J. Basic Eng. Trans. ASME. Ser. D. 1960. -P. 371-393.

62. Kaiman, R.E. Lyapunov functions for the problem of Lur'e in automatic control / R.E. Kaiman // Proc. Nat. Acad. Sei. USA, 1963. - Vol. 49. - P. 201-205.

63. Kaiman, R.E. New results in linear filtering and prediction theory / R.E.Kalman, R.S. Bucy // J. Basic Eng. Trans. ASME. Ser. D. 1961. - P. 95-108.

64. Kirk, D.E. Optimal control theory / D.E. Kirk. New York, 2004. - 95 c.

65. Lindorff, D.P. Survey of adaptive control using Lyapunov design / D.P.Lindorff, R.L. Carrol // International Journal of Control. 1973. - Vol. 18, № 5. - P.897-914.

66. Luenberger, D.G. An introduction to observers / D.G. Luenberger // IEEE Trans. Automat. Control. 1971. - Vol. AC-16, № 6. - P. 596-602.

67. Luenberger, D.G. Observing the state of a linear system / D.G. Luenberger // IEEE Trans. Military Electron. 1964. - Vol. MIL-8, № 1-2. - P. 74-80.

68. Man, F.T. A Theorem on the Lyapunov matrix equation / F.T. Man. — IEEE Trans. Automat. Control. 1969. - Vol. AC-14, № 3. - P. 306.

69. Pyatnitskii, E.S. Numerical methods of Lyapunov function construction and their application to the absolute stability problem / E.S. Pyatnitskii, V.I.Scorodinskii // Syst. Control Letters. 1982. - Vol. 2, № 2. - P. 130-135.

70. Simon, I.D. A theory of modal control / I.D. Simon, S.K. Mitter // Inform. Control. 1968. - Vol. 13. - P. 316-363.

71. Stoorvogel, A.A. The Discrete Algebraic Riccati Equation and Linear Matrix Inequality / A.A. Stoorvogel, A. Sabery // Linear Algebra and Its Applications. 1998. - Vol. 274. - P. 317-365.

72. Wang P.K.C. Modal feedback stabilization of a linear distributed system / P.K.C. Wang // IEEE Trans. Automat. Control. 1972. - Vol. AC-17. - P. 552-553.