автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Синтез астатических регуляторов пониженной размерности на основе теорий H2 - и H∞ - оптимизации

На правах рукописи

003473637

ЛУЦЕНКО Илья Вячеславович

СИНТЕЗ АСТАТИЧЕСКИХ РЕГУЛЯТОРОВ ПОНИЖЕННОЙ РАЗМЕРНОСТИ НА ОСНОВЕ ТЕОРИЙ Я2 - и Нт -ОПТИМИЗАЦИИ

Специальность 05.13.01 - Системный анализ, управление и обработка информации (в технической отрасли)

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

1 8 Вд

Саратов - 2009

003473637

Работа выполнена в ГОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет».

Научный руководитель:

доктор технических наук, профессор Садомцев Юрий Васильевич

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор Резчиков Александр Федорович

кандидат технических наук Тетерин Дмитрий Павлович

Ведущая организация - Институт проблем управления РАН, г. Москва

Защита состоится «30» июня 2009 г. в 14 часов на заседании диссертационного совета Д 212.242.04 при ГОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет» по адресу: 410054, г. Саратов, ул. Политехническая, 77, ауд. 319.

С диссертацией можно ознакомиться в читальном зале научно-технической библиотеки ГОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет».

Автореферат разослан « » МЛЭ_2009 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета

В.В. Алешкин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Проблема синтеза многомерных систем управления с учетом действующих на них внешних возмущений является одной из основных в современной аналитической теории управления. В рамках ее решения часто применяются астатические законы управления, которые обеспечивают нулевую статическую ошибку регулирования при постоянных возмущениях. Учет требования астатизма обычно осуществляется путем расширения модели объекта за счет введения интеграторов, которые после решения задачи синтеза относятся к регулятору. Очевидно, что методика приводит к увеличению порядка закона управления. Тем не менее этот недостаток может быть устранен, а эффективность методики повышена, если построение астатических законов управления осуществлять в классах регуляторов пониженной размерности.

Среди существующих подходов к решению задачи синтеза с учетом внешних возмущений наиболее значимыми результатами являются: динамическая компенсация возмущений с предположительно известной моделью (Ш. Бхатгачария, В. Волович, Е. Девисон, М. Уонем); линейно-квадратическая гауссовская (ЬОО) оптимизация при случайных возмущениях с заданными характеристиками (Р. Бьюси, Р. Калман, X. Квакернаак, В.Б. Ларин. М. Уонем, Ю.П. Петров,); /^-оптимизация при наихудших возмущениях (А.Е. Барабанов, Е.Д. .Якубович, Дж. Пирсон); Я2- и #и -оптимизация для возмущений с ограниченной ¿2-нормой (энергией) (Дж. Зеймс, Б. Френсис, Дж. Дойл, К. Гловер). Анализ перечисленных подходов показывает, что методы динамической компенсации и ^-оптимизации неоправданно усложняют структуру регулятора, а решение проблемы понижения порядка регуляторов получено только для вырожденных задач ь(2сг- (Д. Ром, П. Бланвиллайн) и Наз -оптимизации (Ю.В. Садомцев), когда отсутствуют помехи измерений либо управления в квадратичном функционале или регулируемом выходе. При этом следует заметить, что если внешнее возмущение принимается белым шумом единичной интенсивности, то критерии в задачах Ь()0- и Н^ -оптимизации совпадают, т. е. эти задачи оказываются эквивалентными. Таким образом, для решения проблемы понижения порядка нг -оптимальных регуляторов возможно использовать аналогичные ¿^О-теории подходы. Однако в их рамках использовалось упрощающее предположение о характере влияния внешнего возмущения на объект управления. В частности, это возмущение предполагалось полным, т. е. возбуждающим каждую компоненту вектора состояний, что не позволяет выявить некоторые особенности решения., связанные с определенным местом приложения внешнего возмущения.

Заметим, что реальные системы управления должны сохранять свойство устойчивости при изменении их параметров или при наличии немоделируемой динамики (требование робастной устойчивости), а в цифровых системах, как правило, присутствует запаздывание, вносимое бортовым вычислителем. Таким образом, разработка методов синтеза астатических регуляторов пониженной размерности на основе нг- и нт-критериев, учитывающих указанные особенности практических задач, является актуальной проблемой.

Цель работы состоит в решении задачи понижения порядка #2 -оптимальных непрерывных и дискретных регуляторов и разработке на их основе астатических законов управления, в том числе, с использованием теории -оптимизации (в классе регуляторов пониженной размерности) с учетом запаздывания по управлению и требования робастной устойчивости.

Достижение этой цели осуществляется решением следующих задач.

1. Построить методику синтеза непрерывного и дискретного динамических регуляторов по выходу пониженной размерности, которые при действии внешних неопределенных возмущений ограниченной энергии обеспечивают оптимальность замкнутой многомерной системы в смысле Н2 -критерия.

2. Разработать методику синтеза непрерывных астатических законов управления в классах Н2- и Яж -оптимальных регуляторов пониженной размерности.

3. Разработать методику синтеза дискретных астатических законов управления в классе Нг -оптимальных регуляторов пониженной размерности с учетом вносимого бортовым вычислителем запаздывания по управлению на один период дискретности.

4. Построить методику синтеза непрерывных астатических регуляторов в классе Нг -оптимальных законов управления пониженной размерности, которые гарантируют замкнутой системе приемлемые свойства робастной устойчивости (грубости).

Методы исследования. Поставленные задачи решаются на основе теории матриц и матричных норм, теории дифференциальных и разностных уравнений, аппарата преобразования Лапласа и 2-преобразования, а также с применением методов Н2- и -оптимизации, теории наблюдающих устройств и оптимальных фильтров минимальной размерности.

Новые научные результаты, выносимые на защиту:

1. Для вырожденных задач Нг -оптимизации: сингулярной задачи фильтрации (при отсутствии помех измерений) и сингулярной задачи управления (отсутствует управление в регулируемом выходе) предложено новое решение в классе непрерывных и дискретных регуляторов по выходу пониженной размерности, отличающиеся от известных отсутствием ограничений на характер приложения внешних возмущений.

2. Разработаны методики синтеза непрерывных астатических законов управления в классах Н2- и Нх-оптимальных регуляторов пониженной размерности.

3.В рамках вырожденных задач Я2-оптимального управления разработаны методики синтеза цифровых астатических регуляторов пониженной размерности с учетом наличия запаздывания по управлению на один период дискретности, вносимого вычислителем.

4. Для минимально-фазовых объектов с одинаковым числом управлений и измеряемых выходов разработана методика синтеза законов управления с учетом требования робастной устойчивости, являющаяся обобщением известного решения Ю.В. Садомцева на класс астатических Нг -оптимальных регуляторов пониженной размерности.

Практическая ценность полученных результатов заключается в их конструктивности, практической направленности и тех методиках, которые позволяют решать задачи синтеза регуляторов для многомерных систем, подверженных действию внешних неопределенных возмущений с ограниченной энергией, по критериям Щ- и Н,л-оптимизации, наиболее подходящих по физическому содержанию, с учетом таких важных требований как: наличие астатизма, учет запаздывания,, способность сохранения устойчивости при наличии неструктурированных неопределенностей (немоделируемой динамики) на входе или выходе объекта. Разработанные методики реализованы в виде программ синтеза с использованием средств программного комплекса MATLAB. На основе полученных результатов решён ряд задач синтеза законов управления для реальных объектов (продольное движение самолёта и вертолета, двухкомпонентный измеритель угловой скорости, вспомогательная силовая установка самолета).

Реализация и внедрение результатов работы. Работа выполнялась в соответствии с планом госбюджетных научно-исследовательских работ, проводимых на кафедре «Техническая кибернетика и информатика» СГТУ в рамках основного научного направления «Аналитическая теория автоматического управления». Полученные результаты использовались в ОАО «КБ Электроприбор» при разработке закона управления для вспомогательной силовой установки самолета, что подтверждается соответствующим актом, а также в учебном процессе при чтении лекций по курсам «Современная теория автоматического управления» и «Теория дискретных систем».

Апробация работы. Основные результаты, полученные в диссертационной работе, были представлены и обсуждены на XVIII Международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях - ММТТ-18» (Казань, 2005), 2-й Международной научной конференции «Аналитическая теория автоматического управления и ее приложения» (Саратов, 2005), XIX Международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях - ММТТ-19» (Воронеж, 2006), 11-й Международной студенческой олимпиаде по автоматическому управлению (Санкт-Петербург,

2006), Международных научных конференциях «Проблемы и перспективы прецизионной механики и управления в машиностроении» (Саратов, 2006,

2007), XXI Международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях - ММТТ-21» (Саратов, 2008), а также на научных семинарах кафедры «Техническая кибернетика и информатика» СГТУ и лаборатории № 7 Института проблем управления РАН (Москва).

Публикации. По результатам исследований автором лично и в соавторстве опубликовано 11 научных работ, из них 1 работа - в журнале «Вестник СГТУ», рекомендованном перечнем ВАК РФ. Опубликованные материалы полностью отражают содержание диссертации. Список публикаций приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, сопровождающихся выводами, заключения, приложения и списка использованных источников, включающего 112 наименований. Общий объем работы составляет 161 страницу, включая 20 рисунков.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении даются обоснование актуальности темы, формулировка цели исследований, краткое изложение работы по главам, характеристика полезности и основные научные результаты, выносимые на защиту.

Первая глава содержит обзор существующих методов синтеза систем управления с учетом внешних возмущений, требований астатизма и робаст-ной устойчивости, общую постановку задачи синтеза регуляторов по критериям #2 - и Я» -оптимизации, где определены классы объектов, регуляторов и внешних воздействий, обоснование на этой основе актуальности направлений исследований и формулировки конкретных задач, решение которых направлено на достижение поставленной цели.

В работе рассматриваются линейные стационарные объекты автоматического управления, которые описываются следующими уравнениями: *(/) = Ах(0 + Ви(1) + Сн<(/),

где ивЯт, ^ е (т <п,г <и) - векторы состояний, управлений и

измеряемых выходов соответственно; туе!*', О еЛч (I > г > т) - векторы переменных, представляющих возмущающий вход и регулируемый выход системы; А, В, О, С, Н, Д 8 - числовые матрицы соответствующих размеров, причем (А, В) и (А, б) образуют управляемые, а (С, А) и (Д А) - наблюдаемые пары. Кроме того, на матрицы (3,Н, Б и Я объекта накладываются стандартные для //-теории ограничения:

5Т£) = 0, 5Т5 = /И> (2)

СЯТ = О, ННТ=1„ (3)

где Т - оператор транспонирования; 1т - единичная матрица размеров т.

Возмущающее воздействие мф предполагается неопределенным с ограниченной энергией, т.е. ограниченным по 12-норме (Цм^ОЦ^оо.).

В качестве обратной связи используется динамический регулятор по измеряемому выходу, описываемый уравнениями:

хс(1) = Асхс(1) + ВсУ(1), и(1) = Ссхс(0 + Осу(!), (4)

где хс е 11"с (пс£п)~ вектор состояний регулятора; Ас,Вс,Сс,Вс- числовые матрицы соответствующих размеров, подлежащие определению.

Построение закона управления (4) осуществляется с применением наблюдающих устройств минимального порядка, в качестве одного из которых используется наблюдатель Люенбергера. В этом случае (4) приобретают вид: т = ЖЩ + Ку«) + ТВи(1), м(0 = ^(0 = ^(0 + ^(0), (5) где £ е 1^™»="-'' _ вектор состояний наблюдателя; хеК" - вектор оценок переменных состояния объекта, используемых в регуляторе по полному состоянию с матрицей передаточных коэффициентов Р. После нахождения матриц параметров регулятора (5), называемого далее динамическим компенсатором (ДК), для закона управления общего вида (4) можно записать:

Хс=4, пс=п-г,

ас=ж+твру, вс = к+тври, сс = F^^ ос = ки. (6)

Для построения обратной связи (4) также используется дуальный наблюдатель, а уравнения соответствующего регулятора по выходу, называемого далее дуальным динамическим компенсатором (ДДК), имеют вид:

17(0 = ^17(0 + ^(0, иЦ) = КгМ + 0т, 5(0 = 1{у{ 0 - Сх( 0) = 1{уЦ) + СГ 17(0), где т] е _ вектор состояний компенсатора; х = -Тт] - вектор оценок

переменных состояния объекта, используемых для формирования Еекторного сигнала & е И", пропорционального отклонениям измеряемых переменных от своих оценок с матрицей коэффициентов передачи Ь. Если параметры ДДК (7) определены, то для регулятора общего вида (4) можно записать:

хс-г], пс=п-т,

Ас=1¥ + У1СТ, Вс = VI, Сс=К + йЬСТ, Бс = Ш.

С использованием ДК или ДДК осуществляется построение астатических законов управления вида (4), а также дискретных регуляторов, как не изменяющих порядка астатизма системы, так и астатических, учитывающих запаздывание на один такт при выдаче управлений.

В качестве критериев оптимальности замкнутой системы, состоящей из объекта (1) и регулятора (4), используются Н2- и Ям -нормы ее передаточной матрицы ГЙ№(5) от возмущения V к регулируемому выходу в:

Теи

тр °°\tx{T]w(.-jG>)Tev{ja)}d<D

1/2

(8)

Ы = sup a{Tew(jw)},

-00 <£0<OO

где tr - след матрицы; sup - супремум; сг{-} - максимальное сингулярное значение матрицы. При этом замкнутая система предполагается внутренне устойчивой, т. е. Tew(s) принадлежит множеству устойчивых матричных

функций без особенностей на мнимой оси.

Минимизация нормы (8) на всем множестве стабилизирующих регуляторов (4), т. е. обеспечивающих внутреннюю устойчивость замкнутой системы, является целевым условием стандартной проблемы Я2 -оптимизации.

Величина Яг-нормы передаточной матрицы TBw{s) = Ds(Ins-AS)~'GS

некоторой внутренне устойчивой многомерной системы, определяемой тройкой матриц As, Gs, Ds, может быть найдена из выражения

= tr{GjXsGs}=tr{DJsDj }, (9)

где Xs = xj > 0 и = Yj > 0 являются решениями уравнений Ляпунова:

A]X,+X,A,+DjD,= 0, AsVs+YsAj+GsGj =0. (10)

Норма (8) имеет дискретный аналог:

~ itr{Tl{z-')Tev>{z)}z-'dz

(ID

\?e»{z)f2 =\\Ds{InZ-Asr'Gsf2 =\s{G,G?X.}=b{DT,D,Y,}, (12) A]XSAS -Xs+ DjDs = 0, ASYSA] -Ys+ GsGj = 0. (13)

Проблема Hx -оптимизации состоит в выборе такого стабилизирующего (субоптимального) регулятора (4), который для заданного значения у > 0 обеспечивает выполнение целевого неравенства:

Требование робастной устойчивости формализуется с помощью известного условия, в соответствии с которым устойчивая многомерная система с передаточной матрицей в разомкнутом (по входам управления или измеряемым выходам объекта) состоянии Траз (s) является робастной с радиусом запасов устойчивости р (0 < р < 1), если

<z{lm+Tpa3UVfi)£(-co,oo). (14)

Показатель р позволяет оценить допустимые параметрические возмущения или допустимую неопределенность модели разомкнутой системы, при которых замкнутая возмущенная система остается устойчивой.

Вторая глава посвящена разработке методики синтеза непрерывных Яг -оптимальных регуляторов пониженной размерности с учетом требований астатизма и робастности. В первом разделе главы исследуется проблема понижения порядка Яг-оптимальных регуляторов, которая связывается с решением вырожденных задач: фильтрации (при отсутствии в модели объекта помех измерений) и управления (регулируемый выход объекта не содержит составляющую по управлению).

В рамках решения сингулярной задачи фильтрации принимается, что Я=0 и выполняются условия (2), а в качестве обратной связи используется ДК (5). При этом полагается С = [ 1Г: 0 ], что не является ограничением и всегда может быть достигнуто, если rank С = г. Известно, что в этом случае заданием определенной структуры для Г все матрицы наблюдателя можно выразить лишь через одну - некоторую (п-г)хг матрицу L, а также через блоки матрицы А объекта, соответствующие разбиению векторах на составляющие ху)=у е Rr и х (2) 6 R" r. Таким образом, задача синтеза сводится к нахождению всего двух матриц F и L, которые должны быть определены так, чтобы замкнутая система была внутренне устойчивой и минимизировался показатель (8). В работе зта вариационная задача решается путем ее сведения к проблеме безусловного экстремума введением вспомогательного функционала, объединяющего критерий (9) с соответствующим уравнением из (10). Сформулирована и доказана теорема, определяющая необходимые и достаточные условия существования и свойства решения, связанные с тем, что в отличие от известных задач LQG-оптимизации внешнее возмущение имеет конкретное место приложения, а не является полным.

Теорема, Пусть пара (А, В) объекта (1) управляема, (Д А) наблюдаема, и выполняется одно из следующих предположений:

О (С, А) наблюдаема, (Аа, Нс) управляема, где А0 = Л22 - 02С^ Ап,

Н0НТС = С2(/, - О^С,1")"'*?,^, со1оп{С,,С2}= С; и) На = 0 и устойчива.

Тогда минимум функционала (8) обеспечивается регулятором пониженной размерности (4), матрицы которого определяются с использованием выражений (6), дополненных соотношениями:

^ = £ = -(к^п + с?2с?,тхе1<7,т)"1» О5)

ХЛ + АтХ-ХВВтХ + ВтО = О, Х>0,

где либо 7 > 0, если выполнено (¡), либо У = 0, если выполнено (и). При этом замкнутая система является внутренне устойчивой, а минимальное значение нормы (9) имеет вид Ут,л= Цг/^ где т/^) и Т^)

(V ~ х)) - передаточные матрицы замкнутой системы в задачах #2-оптимизации при полной информации и Я2 -оптимального наблюдения, причем, если выполняются (11), то (я) = 0.

В рамках сингулярной задачи управления (5 = 0 и выполняются условия (3)) получен аналогичный результат, являющийся дуальным к решению задачи фильтрации. Здесь в качестве обратной связи используется ДДК (7), параметры которого определяются лишь двумя матрицами: ,

I=-?с\ р = -{ЩЕ)ху\аЪх+Ат£2),

АГ + ГАТ-УСТС? + 0вт=0, ?>0, Х>0, Ш22+А^Х-(ха21 + Ъ1ЪХ )(ДТ А у1 (А^х + ЩЬ2 ) + Щб2=о,

где блоки матриц соответствуют разбиению векторах на х^еП1" и х(2)еК"~"'.

Во втором разделе главы исследуются особенности построения астатических Н2 -оптимальных регуляторов пониженного порядка. Следует отметить, что число переменных, по которым может быть обеспечена нулевая статическая ошибка за счет введения астатизма, ограничено и определяется числом степеней свободы системы: тт{г, т}. В частности, если г> т, то в рамках сингулярной задачи фильтрации (Н = 0) для учета требования астатизма объект (1) дополняется от-мерным интегратором

№ = (17)

где N - согласующая т х г матрица. При этом эквивалентный расширенный объект управления описывается следующими уравнениями:

= Ах (*)_+ Ви(1) + С у(1)=СЩ, в{1) = Ш{1) + 8и{1), ( '

где х = со1оп{//,*}<= Кп+т, у = Со1оп{^,^} е Ки+Г, 9 = со1оп{//, 9} еКя+т, а матрицы параметров имеют следующую блочную структуру:

NC A

В :

G =

С =

О

D =

О

01 -D

Нетрудно показать, что объект (18) по структуре и свойствам совпадает с исходным объектом (1) в сингулярной задаче фильтрации, так что для него можно получить решение этой задачи в классе Н2 -оптимальных регуляторов пониженной размерности вида (5). При этом показано, что решение задачи наблюдения не меняется, а регулятор описывается уравнениями:

т=(& +тв^УШ+гвгм +(К+тв^иыо,

и«) = + ^ М(() + /г £М0. ( )

где , - блоки матрицы Р = которая определяется в соответст-

вии с (15), но для расширенного объекта (18), т. е.

Ё=-втх, ха+атх-хввтх+15'1]5=о, х>о.

Дня построения искомого астатического #2-оптимального регулятора необходимо к уравнениям (19) добавить модель интегратора (17). Если представить вектор состояний регулятора (4) как хс= со1оп{/^, £} (пс = п + т-г), то матрицы его параметров определятся выражениями:

4.=

О

TBF.,

0

W+ TBF, V

в, =

DC=FXU.

(20)

N

К+ TBFXU

В рамках сингулярной задачи управления (5 = 0) при г<т для учета требования астатизма объект (1) дополняется r-мерным интегратором, который ставится на его управляющем входе, а управление и формируется как:

u{t) = ul(t) + Nm, ЖО = МО + МО>

где щ, «ц - вновь образованные управления, N - согласующая тхг матрица, a wM - дополнительное, искусственно введенное возмущение. Тогда эквивалентная модель расширенного объекта будет описываться уравнениями: 5с (0 = Ax(t)+Bïï(t) + Gw(t), y(t) = Cx(t) + Hw(t), 6(t) = Dx(t), где 3t=colon{//, x} eRn+r, w=colon{w^,w}eR/+r, «=colon{a/;, m,} s R"

C = [0 i C], h= [0 ; Я],

Показано, что для объекта (20) можно построить н2 -оптимальный регулятор пониженного порядка вида (7), а окончательное решение задачи в виде астатического закона управления (4) с вектором состояний хс =colon {/2, т]}

{пс = п + г-m) сводится к нахождению матрицы L регулятора по выходу в расширенной задаче Н2 -оптимизации при полном управлении: ¿ = -?Ст, AY + YAT-YCTCY+GGT = 0, F>0, и формировании матриц

"о

А =

" 0 0" , B = Г h 0" G - \lr 0"

_BN A_ 0 s 0 G

D = { 0 : D ].

4.=

О

L^CT

1V + VLrCT

Д. =

"р vu

сс = [лЧ K+ULXCT], d=OL.

где Ьх - блоки матрицы Ь = со1оп{/,я,а Т, IV, V, К, 0 являются

результатом решения нерасширяемой задачи дуального наблюдения.

Третий раздел главы посвящен разработке двух дуальных друг другу методик синтеза астатических Я2 -оптимальных регуляторов с учетом требования робастной устойчивости. При этом рассматривается объект управления вида (1), у которого размерности векторов управлений и измеряемых выходов равны, а матрицы в, Я, Д 5 удовлетворяют требованиям (2) и (3).

При решении задачи обеспечения робастной устойчивости к неопределенностям на входе объекта к его исходной модели (1) добавляются уравнения интеграторов ¿[(О = у((), (/иеИт), а также вспомогательной векторной переменной - //(/) + рСх{г), (вцх еКт), где - некоторая неосо-

бая числовая матрица, /? > 1 - скалярная величина.

Модель эквивалентного расширенного объекта принимается в виде (18), где х=со1оп{/;,х}е11'1+т, у=цьЪГ, 0 =со!оп{0^,0}

, С=[/и |0], П =

"0 с , в = 0" , в = ~н

0 А_ А в

Ч \рс\ , Я = "0

0 ; Б 5

В этом случае матрицы параметров астатического Яг-оптимального регулятора (4) размерности пс=п+т определяются следующими выражениями:

А =

О

О

Г/ 1

II «4° тп 0

-{А + ЬС)Ь.+В(Ер—РхЬ) \ А+ЬС+ВР'х Р = -ВТХ, ХА+АтХ-ХВВтХ + 1)гГ) = О, Х>0,

(21) (22) то на

Ь =-ГСт, АГ+ГАт-ГСтСУ + вОт=0, У> 0. Заметим, что если ввести обозначение Gi(J) = /m -С(/л5- А)~ХЬ , основе (22) нетрудно доказать следующее частотное неравенство:

Сь(МС1(-М>1т, Уа>е(-оо,оо). (23)

Дальнейшее решение задачи - учет требования робастной устойчивости-состоит в асимптотической настройке параметров найденного регулятора. В работе показано, что если имеет место равенство ООг=ВВТ, а объект (1) является минимально-фазовым, то при /?-»°о Лк {1т+ Траз(я)} —> Хк {^¿(.у)}, где

- собственные значения матрицы, к-\, т. Более того, с учетом (23) можно показать, что в полосе частот, ограниченных сверху частотой среза многомерной системы, выполняется условие Траз(]со)}> 1, поэтому

можно утверждать, что замкнутая система обладает свойством робастности с некоторым радиусом запасов устойчивости в полосе существенных частот.

Задача обеспечения робастной устойчивости к неопределенностям на выходе объекта является дуальной к предыдущей, решается в рамках сингулярной задачи управления и также сводится к асимптотической настройке параметров регулятора.

В третьей главе применительно к дискретным системам разрабатываются методики синтеза Hz -оптимальных регуляторов пониженной размерности, учитывающих требование астатизма и наличие запаздывания по управлению на один период дискретности.

Для решения проблемы понижения порядка дискретных Н2 -оптимальных регуляторов используется аналогичный случаю непрерывных систем подход, связанный с решением сингулярных задач. Решение строится применением ДК или ДДК и выражений (11)-(13) и сводится к решению двух уравнений Риккати, одно из которых имеет пониженный порядок. В частности, в сингулярной задаче фильтрации (#= 0) параметры ДК определяются матрицами:

F=-(Im+BTXB)->BTXA, L^iAxYAjz+GzGlXAuYAlt+Gfilr1, (24) где Х>0 и Y>0 - решения дискретных матричных уравнений Риккати: X = A1 XA + D1 D-Ат ХВ(1т + В1 ХВГхВтХА,

(25)

r^A22YA]2+G2Gj-(A22YAj2+G2Gj)(A12YAl+GlG^y\A12YAl+Gfih У а в сингулярной задаче управления (5=0) для определения параметров ДДК используются выражения:

L=-AYCT(Ir+ CYC7)'1, F = -(A\iXÄJi+D'lD^-\Ar2lXÄn+DjD2), Y = AYA7 + GGr - AYCT(/r + C7CT)_1CK4T,

Во втором разделе главы исследуются особенности построения цифровых астатических регуляторов, учитывающих наличие в системе запаздывания по управлению на один такт. Если рассматривать сингулярную задачу фильтрации (Н= 0), то в этом случае дискретная модель объекта (1) примет вид: x(i +1) = Ax(i) + Bu(i -1) + Gw(i),

y(i) = Cx(i), 0(/) = Dx(i) + Su(i). Предполагается, что r>m, а вектор регулируемых выходов имеет структуру в = colon{/Vy,w}, где N - согласующая m х г матрица. Тогда для учета запаздывания по управлению вводится вспомогательная переменная xT(i) = u(i~ 1), а для учета требования астатизма - дискретный интегратор fj(i +1) = //(/) + hNy{i), ц е Rm, где h - период дискретности. В результате строится эквивалентный расширенный объект управления Зс (/ + l) = Äx(i) + Bu(i) + Gw(i), y(i) = Cx(i), e\i) = Dx(i) + Su(i), где x = colcn{xr,//,x}6R"+2m, y=co\on{xT,n,y}eRr+lm, 0=colon{//,0}eRi+"\

0 0 0 Im 0 L 0 ; 0

A --= 0 Im m hNC , в = 0 , G = 0 , c = 0 Im ; о

В 0 А 0 G 0 0 С

Го i L 1 o" "0"

D = nx , S =

0 : 0 D s

Для объекта (26) осуществляется построение дискретного Я2 -оптимального регулятора пониженной размерности типа ДК, после чего определяются параметры искомого астатического закона управления общего вида, учитывающего наличие запаздывания: хс - colon {хт, /л £}, пс ~п + 2m - г,

Fr FM FJJ

II 0 L 0 II hN

ТВ 0 w К

Ce=[Ft D„ = FrU

Wl

где матрицы IV, К, Т, V, II являются результатом решения нерасширяемой задачи наблюдения, а Рт , Рх - блоки матрицы Р = ], которая

должна находиться по соответствующему выражению из (24) и уравнению Риккати (25), но для расширенного объекта (26).

С использованием свойств дуальности в работе также получено решение аналогичной проблемы синтеза для сингулярной задачи управления.

В четвертой главе с использованием методов решения сингулярных задач теории Яш -оптимизации разрабатываются процедуры синтеза непрерывных астатических регуляторов пониженной размерности. При этом рассматриваются объекты управления вида (1), для двух частных случаев: сингулярной задачи фильтрации (Я= 0 и выполняются условия (2)) и сингулярной задачи управления (5=0 и выполняются условия (3)).

Учет требования астатизма в рамках сингулярной задачи фильтрации осуществляется путем формирования эквивалентного расширенного объекта управления вида (18). При этом оказывается, что если соответствующий разбиению вектора х на составляющие Х(1) = у е их^еК"-'" блок А22 матрицы А устойчив, то для объекта (18) можно построить Я„ -субоптимальный регулятор пониженного порядка следующего вида:

|(0 = Щ(Г) + Ку(/) + Т(Ви(Г) + ОЛ( 0),

Здесь Л = Р^х, »V е 1*/ - оценка внешнего возмущения, а параметры регулятора будут определяться только тремя матрицами:

(27)

(28)

L = -{I„_y-YVlXVylYVlXCl, F = -SI, Fw=y'£GlX, где X > 0, Y > 0 - решения матричных уравнений Лурье-Риккати ХА + АТХ-ХВВТХ + y'2XGGTX + DTD= 0 , A22Y + YAj2 + y~2YDjD2Y + G2G2t = 0, причем такие, что выполняется неравенство

Amsx{YVTXV}<y2. (29)

После добавления интегратора (17) к уравнениям (27) рассматриваемая задача сводится к итерационной процедуре поиска наименьшего значения параметра у, для которого уравнения (28) будут иметь положительно-определенные решения, удовлетворяющие условию (29), и определению матриц параметров искомого астатического Яю-субоптимального регулятора с вектором состояний хс= colon {//, £,) (пс = п + m- г):

о

T(A + BF + GFW)V

В.=

их).

FV\ Dc = FUX

Т(А + BF + GFw)Ufl N

T\A + BF + GFW)UX где UflnUx- блоки матрицы U = [U^

В рамках решения сингулярной задачи управления используется дуальная методика синтеза с расширенным объектом (20) и ДДК, дополненного оценкой регулируемого выхода.

Пятая глава посвящена решению прикладной задачи синтеза закона управления для вспомогательной силовой установки самолета, основными элементами которой являются газотурбинный двигатель (ГТД) и управляемый генератор переменного тока (ГПТ). Осуществляется построение приближенных моделей ГТД и 1 ill в безразмерном виде, параметры которых определяются по экспериментально снятым зависимостям. Особенностями задачи являются: нелинейность моделей ГТД и ГПТ; неполная информация о векторе состояний многомерного совокупного объекта, в состав которого также включены модели исполнительных и измерительных устройств; наличие внешних возмущений (электрическая и воздушная нагрузки); требование нулевой статической ошибки регулирования, что обусловливает использование астатического закона управления; реализация регулятора в бортовом вычислителе, что определяет задачу синтеза как дискретную с наличием запаздывания по управлению на один период дискретности.

mm

'л

w/O)

лэп

Дозатор

ГТД

—Hgb т

ws(s)

тнэ

кг

w7(s)

—ffiH кг —

ДТ

ГПТ

иТ

Функциональная схема совокупного объекта управления

¡л—управляющий ток линейного электромагнитного преобразователя (ЛЭП); хл - перемещение иглы дозатора топлива; g - расход топлива; п - скорость вращения вала ГТД (ротора ГПТ); Т и 7)— температура газов в камере сгорания и за турбиной ГТД; ит-выходное напряжение датчика температуры (ДТ); иаа - напряжение возбуждения ГПТ; иг - выходное напряжение ГПТ; тнв и тнэ - механические моменты сил воздушной и электрической нагрузок

Осуществляется построение линеаризованной модели совокупного объекта, которая оказывается соответствующей сингулярной задаче фильтрации. В рамках этой задачи разработан дискретный астатический Я2-оптимальный регулятор пониженной размерности, учитывающий запаздывание по управлению.

Анализ замкнутой непрерывно-дискретной системы, проведенный с использованием нелинейных моделей ГТД и ГПТ, а также с учетом конечности разрядных сеток цифроаналоговых и аналого-цифровых преобразователей, показал выполнение заданных технических требований к качеству переходных процессов.

В заключении сформулированы основные результаты работы и приведены документы, подтверждающие их практическое использование.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1.Для непрерывных и дискретных систем получены необходимые и достаточные условия существования решения сингулярных задач #2 -оптимального управления, учитывающие характер приложения к объекту внешних возмущений.

2. Разработаны методики синтеза непрерывных астатических законов управления в классах Я2- и -оптимальных регуляторов пониженной размерности.

3. Разработаны методики синтеза дискретных астатических Я2-оптимальных регуляторов пониженной размерности с учетом запаздывания по управлению на один период дискретности.

4. Разработаны методики синтеза непрерывных астатических Я2-оптимальных законов управления с учетом требования робастной устойчивости для минимально-фазовых объектов с одинаковым числом управляющих воздействий и измеряемых выходов.

5. Решена практическая задача синтеза цифрового Я2-оптимального астатического регулятора для вспомогательной силовой установки самолета, учитывающего запаздывание по управлению, вносимое вычислителем.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

В изданиях, рекомендованных перечнем ВАК РФ

1. Луценко, И.В. Синтез Я2-оптимальных регуляторов пониженного порядка / И.В. Луценко // Вестник Саратовского государственного технического университета. - 2008. - № 3 (35). - Вып. 2. - С. 62-68.

В центральных рецензируемых периодических изданиях

2. Луценко, И.В. Синтез цифрового регулятора для контура ограничения температуры газов газотурбинного двигателя / И.В. Луценко // Доклады Академии военных наук / Сарат. гос. техн. ун-т. - Саратов, 2005. - № 1. - С. 47-53.

3. Луценко, И.В. Синтез динамических регуляторов пониженной размерности на основе теории Яг-оптимизации / И.В. Луценко // Доклады Академии военных наук. / Сарат. гос. техн. ун-т. - Саратов, 2008. - № 5. - С. 74-83.

В других изданиях

4. Луценко, И.В. Синтез дискретного регулятора температуры газов газотурбинного двигателя с учетом требований грубости / И.В. Луценко // Математические методы в технике и технологиях - ММТТ-18: сб. тр. XVIII Меж-дунар. науч. конф.: в 10 т. / Казан, гос. технол. ун-т. - Казань, 2005. - Т. 2. -С. 139-142.

5. Луценко, И.В. Синтез грубого астатического регулятора с использованием наблюдателя Люэнбергера минимальной размерности / И.В. Луценко, Ю.В. Садомцев // Аналитическая теория автоматического управления и ее приложения: тр. 2-й Междунар. науч. конф. / Сарат. гос. техн. ун-т. -Саратов, 2005. - С. 113-115.

6. Луценко, И.В. Синтез грубого астатического регулятора с использованием дуального наблюдателя минимапыюй размерности / И.В. Луценко // Информационные технологии в науке, производстве и социальной сфере: сб. науч. тр. / Сарат. науч. центр РАН. - Саратов, 2005. - С. 144-148.

7. Луценко, И.В. Синтез грубого астатического регулятора для газотурбинного двигателя / И.В. Луценко, Ю.В. Садомцев // Математические методы в технике и технологиях — ММТТ-19: сб. тр. XIX Междунар. науч. конф.: в Ют./ Воронеж, гос. технол. акад. - Воронеж, 2006. - Т. 2. - С. 94-97.

8. Lutsenko, I.V. Robust astatic control system of rotation frequency of the gas turbine engine / I.V. Lutsenko // 1 lth International Student Olympiad on Automatic Control (Baltic Olympiad): preprints. / St. Petersburg State University of Information Technologies, Mechanics and Optics. - St. Petersburg, 2006 - PP. 210-213.

9. Луценко, И.В. Синтез астатического регулятора на основе //^-критерия / И.В. Луценко // Проблемы и перспективы прецизионной механики и управления в машиностроении: мат. междунар. конф. / Сарат. гос. техн. ун-т. - Саратов, 2006. - С. 302-305.

10.Луценко, И.В. Синтез дискретных регуляторов по выходу на основе канонических форм / И.В. Луценко, О.Ю. Торгашова, М.С. Стариков // Проблемы и перспективы прецизионной механики и управления в машиностроении: мат. междунар. конф. / Сарат. гос. техн. ун-т. - Саратов, 2007. -

11.Луценко, И.В. Синтез дискретного #2-оптимального регулятора пониженного порядка / И.В. Луценко, Ю.В. Садомцев // Математические методы в технике и технологиях - ММТТ-21: сб. тр. XXI Междунар. науч. конф.: в Ют. / Сарат. гос. техн. ун-т. - Саратов, 2008. - Т. 2. - С. 45-47.

С. 65-68.

Подписано в печать 26.05.09 Бум.тип. Тираж 100 экз.

Усл.-печ.л. 1,16 Заказ 260

Формат 60x84 1/16 Уч.-изд.л. 1.0 Бесплатно

Саратовский государственный технический университет

410054, Саратов, Политехническая ул., 77 Отпечатано в РИД СГТУ. 410054, Саратов, Политехническая ул., 77

Введение

Глава 1 Состояние проблемы и задачи диссертации

1.1 Учет внешних возмущений и проблема робастности в теории , автоматического управления

Методы синтеза регуляторов с учетом внешних возмущений (11). Учет внешних возмущений на основе теорий Н2 - и Да-оптимизации (15). Учет требования астатизма при синтезе регуляторов (17). Проблема робастности (18). 1.2 Общая постановка задачи синтеза многомерных систем по критериям

Н2 - и Нт -оптимизации и критерию робастности

Класс объектов управления и внешних воздействий (20). Класс регуляторов (21). Критерии Н2- и До -оптимизации (24). Критерии робастности (28).

1.3 Направления исследований и основные задачи диссертации

Выводы к главе

Глава 2 Синтез непрерывных динамических регуляторов на основе теории Н2 -оптимизации

2.1 Синтез Н2 -оптимальных регуляторов пониженного порядка

Постановка задачи (34). Сингулярная задача фильтрации (35). Сингулярная задача управления (43). Пример (48)

2.2 Синтез астатических Н2 -оптимальных регуляторов

Постановка задачи (54). Сингулярная задача фильтрации (54). Сингулярная задача управления (58). Пример (60)

2.3 Синтез астатических Н2 -оптимальных регуляторов с учетом требования робастности

Постановка задачи (65). Обеспечение робастности на входе объекта (66). Обеспечение робастности на выходе объекта (71). Пример (75)

Выводы к главе

Глава 3 Синтез дискретных динамических регуляторов на основе теории Нг -оптимизации

3.1 Синтез дискретных Н2 -оптимальных регуляторов пониженного порядка

Постановка задачи (80). Сингулярная задача фильтрации (81).

Сингулярная задача управления (85). Пример (87)

3.2 Синтез дискретных //2-оптимальных астатических регуляторов с учетом запаздывания

Постановка задачи (89). Сингулярная задача фильтрации (90). Сингулярная задача управления (93). Пример (96) Выводы к главе

Глава 4 Синтез непрерывных динамических регуляторов на основе теории Нм -оптимизации

4.1 Синтез астатических субоптимальных регуляторов на основе

Нж -критерия

Постановка задачи (101). Сингулярная задача фильтрации (102). Сингулярная задача управления (104). Пример (106) Выводы к главе

Глава 5 Синтез дискретного регулятора для вспомогательной силовой установки самолета

5.1 Модель объекта управления

Назначение и функциональная схема системы управления (112). Модель газотурбинного двигателя (115). Модель управляемого генератора переменного тока (118).

5.2 Синтез дискретного -оптимального астатического регулятора с учетом запаздывания

Формализация задачи синтеза (123). Решение задачи синтеза (125). Результаты анализа качества управления (130). Выводы к главе

Последние три десятилетия теория автоматического управления интенсивно развивается. Возникают такие новые направления, как Н2 - и -оптимальное управление, L\ -подход, теория линейных матричных неравенств. На первый план выходят проблемы анализа и синтеза многомерных систем. При этом методы линейно-квадратической (LO-), Но- и Нж-оптимизации, модального управления и теории наблюдающих устройств, основанные на концепции пространства состояний, становятся одними из главных средств решения задач синтеза регуляторов многомерных систем.

В инженерной практике основными требованиями качества, предъявляемыми к разрабатываемым системам управления, являются точность стабилизации или слежения при действии на систему внешних неконтролируемых возмущений, требования робастности системы, т. е. способности сохранения устойчивости при изменении ее параметров или при наличии неучтенной (немоделируемой) динамики, простота реализации регуляторов и др. При этом, стремительное развитие микропроцессорной электроники придает особо важное значение задачам оптимального управления в теории дискретных систем.

Следует отметить, что в рамках задачи синтеза особое внимание всегда уделялось учету внешних возмущений. Перечислим наиболее значимые методы, учитывающих действие внешних факторов. Динамическая компенсация (Бхаттачария ILL, Волович В., Девисон Е., Уонем М.) применяется в случае неконтролируемых (неизмеряемых) возмущений, для которых предполагается известной некоторая модель. При случайных возмущениях с заданными спектральными свойствами применяются методы стохастической оптимизации. В частности, методы линейно-квадратической гауссовой {LOG-) оптимизации, где используются квадратичный критерий качества и понятия средних значений квадратов входных и выходных переменных (Быоси Р., Капман Р., Квакер-наак X., Ларин В.Б., Петров Ю.П., Уонем М.). Теории Н2- и активно развивающейся в настоящее время Н^ -оптимизации позволяют решить задачу синтеза, если внешние возмущения представляются неопределенными сигналами с ограниченной энергией (L2 -нормой) (Зеймс Дж., Френсис Б., Дойл Дж., Гловер К., Алиев Ф.А., Ларин В.Б., Kucera V.). Проблема подавления ограниченных возмущений решается с использованием методов теории L{ -оптимизации (Барабанов А.Е., Пирсон Дж.). Также широкое применение получил метод линейных матричных неравенств (Якубович В.А., Willems J.C.), что позволило, в частности, получить такое решение линейно-квадратичной задачи, которое может быть обобщено на случай системы с неопределенностью (Бойд С.).

Среди перечисленных подходов к решению проблемы синтеза регуляторов многомерных систем наиболее актуальными являются методы Но- и Нт-оптимизации, опирающиеся на концепцию пространства состояний. Это объясняется тем, что уже в самой постановке задач содержатся неопределенные внешние возмущения, используемые критерии качества дают оценку частотных свойств системы, а процедуры синтеза сводятся к решеншо линейных матричных уравнений Лурье-Риккати, наличие эффективных программ решения j которых делает этот аппарат весьма предпочтительным с вычислительной точки зрения. При этом следует заметить, что если внешнее возмущение принимается белым шумом единичной интенсивности, то критерии качества в задачах Нп - и Z (^-оптимизации совпадают, т. е. эти задачи оказываются эквивалентными.

Исследования проблемы понижения порядка оптимальных регуляторов проводились как в рамках Нм -теории, где получен ряд подходов к синтезу законов управления заданной структуры и размерности (Glover К., Киселев О.Н., Поляк Б.Т., Домбровский В.В., Садомцев Ю.В.), так и в рамках Н2 (LOG)-теории (Coppeland B.R., Safonov M.G., Rom D.B., Blanvillain P.J.). Однако, следует отметить, что в LOG-задаяах используется упрощающее предположение о характере влияния внешнего возмущения на объект управления. А именно, это возмущение предполагается полным, т. е. возбуждающим каждую компоненту вектора состояний, что не позволяет выявить некоторые особенности решения, связанные с определенным местом приложения внешнего возмущения.

Помимо простоты реализации законов управления, в реальных инженерных задачах достаточно часто выдвигается требование астатического регулятора, обеспечивающего нулевую статическую ошибку регулирования при постоянных возмущениях. В связи с этим возникает актуальный вопрос о том, как учесть это требование при синтезе оптимальных регуляторов наиболее предпочтительного пониженного порядка для многомерных систем управления.

Что же касается требования робастности, то оно является одним из ключевых при практическом синтезе систем управления. Наиболее важной задачей робастного синтеза является выбор регулятора (в форме обратной связи по состоянию или выходу), который, во-первых, обеспечивает устойчивость системы при наличии неопределенности в замкнутой системе, а во-вторых, гарантирует некоторое желаемое значение показателя качества при всех возможных неопределенностях. Решение этой задачи найдено в рамках Н«, -теории (Doyle J., Glover К., Khargonekar P., Francis В., Александров А.Г., Честнов В.Н.). Также оно может быть получено на основе //-синтеза (Doyle J.) и для линейно-квадратичного регулятора с использованием линейных матричных неравенств (Якубович В.A., Willems J.C.) или путем определенного выбора весовых матриц в критерии качества (Садомцев Ю.В., Fuji! Т., Mizushima N.).

Особенностью систем управления с цифровыми регуляторами часто является то обстоятельство, что управляющие воздействия, вычисляемые на текущем такте дискретности по информации о состоянии объекта в начале такта, прикладываются к нему лишь по истечении этого такта. Очевидно, это равносильно тому, что в системе присутствует запаздывание по управлению на один период дискретности. Таким образом, построение процедуры синтеза дискретных систем с учетом запаздывания является актуальной проблемой.

Цель работы состоит в решении задачи синтеза регуляторов пониженной размерности по критериям Н2- и На, -оптимизации для многомерных систем, подверженных действию внешних неопределенных возмущений из класса ограниченных в Ь2 -норме функций, с учетом требования астатизма в контурах регулирования и требования робастности замкнутой системы к возможным неструктурированным неопределенностям в виде немоделируемой динамики на входе или выходе объекта.

Работа состоит из пяти глав. В первой главе дается обзор и анализ существующих подходов к синтезу регуляторов с учетом действия внешних возмущений. Обосновывается выбор методов Н2- и Д»-оптимизации как наиболее перспективных в рамках исследования проблемы понижения порядка регуляторов многомерных систем, подверженных действию внешних возмущений. Здесь же в общем виде формулируется задача синтеза, изучаемая в данной работе, определяются классы объектов и внешних возмущений, формализуются требования к оптимальности и робастности в виде определенных критериев.

Во второй главе на основе теории #2-оптимизации построены две дуальные друг другу методики синтеза непрерывных регуляторов пониженной размерности. Одна из них строится с применением наблюдателя Люенбергера, другая - с применением дуального динамического компенсатора. Проблема понижения порядка регуляторов связывается с решением вырожденных задач фильтрации (отсутствует шум измерений) и управления (в регулируемом выходе отсутствует управление). С использованием разработанной методики построены методы синтеза регуляторов, учитывающих требования астатизма и робастности замкнутой системы. Причем, критерии робастности в случае применения наблюдателя Люенбергера удовлетворяются для мультипликативных неструктурированных неопределенностей на входе объекта, который предполагается минимально-фазовым, а в случае дуального динамического компенсатора обеспечиваются аналогичные свойства на его выходе. Приводятся примеры синтеза законов управления, и проводится сравнительный анализ качества переходных процессов системы, замкнутой регуляторами полной и пониженной размерности.

В третьей главе применительно к дискретным системам разрабатываются методики синтеза Н2 -оптимальных регуляторов пониженного порядка с использованием наблюдателя Люенбергера и дуального динамического компенсатора. Также разрабатываются прямой и дуальные методы синтеза регуляторов с учетом требования астатизма и наличия вносимого БЦВМ запаздывания по управлению на один такт. Полученные процедуры иллюстрируются примерами.

В четвертой главе решается задача синтеза непрерывного динамического закона управления по измеряемому выходу с учетом требования астатизма и использованием методов теории Д»-оптимизации. Решение найдено в классе субоптимальных регуляторов пониженной размерности. Приводится пример построения многомерной субоптимальной системы управления, иллюстрирующий полученные результаты.

В пятой главе рассматривается прикладная задача синтеза цифрового регулятора для вспомогательной силовой установки самолета, включающей газотурбинный двигатель и управляемый генератор переменного тока. Приводятся приближенные нелинейные модели двигателя ТА 18-200 и генератора ГПТ-100. С использованием линеаризованных моделей решается задача синтеза Н2-оптимального цифрового астатического закона управления с учетом запаздывания. Проводится анализ замкнутой непрерывно-дискретной системы с учетом нелинейностей в модели совокупного объекта управления. Приводятся графики переходных процессов, подтверждающих требуемое качество регулирования.

В приложения вынесены доказательства некоторых утверждений, которые формулируются в работе. Кроме этого приведены тексты программ на языке программного комплекса MATLAB для получения моделей законов управления по разработанным в работе методикам синтеза регуляторов.

Практическая ценность полученных результатов заключается в их конструктивности, практической направленности и тех методиках, которые позволяют решать задачи синтеза законов управления для многомерных систем, подверженных действию внешних неопределенных возмущений, с учетом таких актуальных требований, как пониженный порядок регуляторов, наличие астатизма, а также требований робастности замкнутой системы. Разработанные методики синтеза регуляторов с использованием средств программного комплекса MATLAB реализованы в виде программ. На основе полученных результатов решён ряд задач синтеза законов управления для реальных объектов (систем стабилизации продольного движения самолёта и вертолета, регулятора для измерителя угловой скорости, регулятора для вспомогательной силовой установки самолета).

Работа выполнялась в соответствии с планом госбюджетных научно-исследовательских работ, проводимых на кафедре «Техническая кибернетика и информатика» СГТУ в рамках основного научного направления «Аналитическая теория автоматического управления».

Полученные результаты использовались в ОАО «КБ Электроприбор» при разработке закона управления для системы электроснабжения самолета, что подтверждается соответствующим актом, а также используются в учебном процессе при чтении лекций по курсам «Современная теория автоматического управления» и «Теория дискретных систем».

По результатам исследований автором лично и в соавторстве опубликовано 11 научных работ, из них: 3 статьи и 8 материалов конференций. Опубликованные материалы полностью отражают содержание диссертации.

Основные научные результаты, полученные в работе и выносимые на защиту:

1. Для вырожденных задач фильтрации (отсутствует шум измерений) и управления (в регулируемом выходе отсутствует управление) разработаны дуальные методики синтеза непрерывных и дискретных Н2 -оптимальных регуляторов пониженной размерности.

2. Разработаны прямые и дуальные методики синтеза непрерывных астатических регуляторов с использованием методов построения законов управления пониженного порядка по критериям Н2- и Н00 -оптимизации.

3. Разработаны две дуальные методики синтеза цифрового астатического регулятора с учетом вносимого БЦВМ запаздывания на один период дискретности, основанные на методах построения Н2 -оптимальных законов управления пониженной размерности.

4. Разработаны две дуальные методики синтеза непрерывных астатических Н2 -оптимальных регуляторов с учетом требований робастности для случая минимально-фазовых систем. Одна из предлагаемых методик позволяет удовлетворить введенным критериям робастности при мультипликативных неструктурированных неопределенностях на входе объекта управления, а другая — на его выходе.

Выводы к главе 5.

1. Приведена функциональная схема системы управления вспомогательной силовой установки самолета, а также структурные схемы приближенных нелинейных моделей газотурбинного двигателя (ГТД) и управляемого генератора переменного тока (ГПТ).

2. Получена линеаризованная модель непрерывного совокупного объекта управления в форме пространства состояний.

3. Найдено решение задачи синтеза дискретного астатического регулятора с учетом запаздывания по управлению на один такт в классе Н2 -оптимальных регуляторов пониженной размерности.

4. Проведен анализ качества управления в замкнутой системе с учетом таких нелинейностей в модели совокупного объекта управления как: конечность рабочего диапазона для положения иглы дозатора, нелинейность статической характеристики ГТД и регулировочных характеристик ГПТ, конечность разрядных сеток ЦАП и АЦП.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Итоги проведенных в диссертационной работе исследований могут быть кратко сформулированы в виде следующих результатов:

1. Рассмотрена актуальная, как с практической, так и с теоретической точки зрения, задача синтеза динамических законов управления по измеряемому выходу, учитывающих неопределенные внешние возмущения с ограниченной Ln -нормой (энергией). Получено решение проблемы понижения порядка непрерывных и дискретных Н2 -оптимальных регуляторов для случаев вырожденных задач: сингулярной задачи фильтрации (отсутствуют помехи измерений) и сингулярной задачи управления (в регулируемом выходе отсутствует управление). С использованием двух классов динамических регуляторов по выходу минимальной размерности, один из которых строится на основе наблюдателя Люэн-бергера (так называемый динамический компенсатор), а другой - на основе дуального наблюдателя (дуальный динамический компенсатор), показано, что эти задачи сводятся к решению двух уравнений Риккати, одно из которых имеет пониженный порядок. Получены необходимые и достаточные условия существования решения, связанные с тем, что в отличие от известных задач £ (^-оптимизации внешнее возмущение имеет конкретное место приложения, а не является полным (возбуждающим каждую компоненту вектора состояний объекта управления).

2. Разработаны методики синтеза непрерывных астатических законов управления из классов Н2- и Нт-оптимальных регуляторов пониженной размерности. Решения этих задач также основаны на применении динамического компенсатора или дуального динамического компенсатора, особенность заключается в использовании при этом расширенной модели объекта управления. Расширение производится для учета астатизма за счет добавления к измеряемым выходам или к входам управлений объекта интеграторов, которые после решения задачи синтеза вводятся в состав регуляторов.

3. Разработаны прямая и дуальная методики синтеза дискретных Н2 -оптимальных регуляторов пониженного порядка с учетом требования астатизма и наличия запаздывания по управлению на один период дискретности.

4. Разработаны две дуальные друг другу методики синтеза астатических Но -оптимальных регуляторов пониженного порядка с учетом свойств робастности, одна из которых, построенная с использованием динамического компенсатора, позволяет удовлетворить используемым критериям робастности при мультипликативных неструктурированных неопределенностях на входе объекта, а другая - с применением дуального динамического компенсатора - на его выходе.

5. Рассмотрена прикладная задача синтеза закона управления для вспомогательной силовой установки самолета. Особенностями задачи являются: нелинейность моделей основных элементов системы — газотурбинного двигателя (ГТД) и управляемого генератора переменного тока (ГПТ); неполная информация о векторе состояний многомерного совокупного объекта, в состав которого также включены модели исполнительных и измерительных устройств; наличие внешних возмущений, которыми являются электрическая и воздушная нагрузки; требование нулевой статической ошибки регулирования; реализация регулятора в бортовом вычислителе. Осуществляется построение линеаризованной модели совокупного объекта, особенностью которой является отсутствие помех измерений. В рамках решения сингулярной проблемы фильтрации разработан дискретный астатический Н2 -оптимальный регулятор пониженной размерности, учитывающий наличие запаздывания по управлению. Проведен анализ замкнутой непрерывно-дискретной системы с использованием нелинейных моделей ГТД и ГПТ, а также с учетом конечности разрядных сеток цифро-аналоговых и аналого-цифровых преобразователей, который показал выполнение заданных технических требований к качеству переходных процессов. Полученное решение использовалось в ОАО КБ «Электроприбор» при разработке цифровой системы управления вспомогательной силовой установки самолета, что подтверждается соответствующим актом (стр. 139).

6 Теоретические результаты диссертационного исследования, внедрены в учебный процесс студентов специальности 220201.65 «Управление и информатика в технических системах» и направления 220200.68 «Автоматизация и I управление» при изучении разделов дисциплин «Дискретные системы автоматического управления» и «Современные проблемы теории автоматического управления». Акт о внедрении прилагается (стр. 140).

1. Лузин И. Н. К изучению матричной теории дифференциальных уравнений // А и Т. 1940. № 5. С. 3-66.

2. Ивахнеико А. Г. Электроавтоматика. Киев: Гостехиздат УССР, 1957.

3. Кухтенко А. И. Проблема инвариантности в автоматике. Киев: Гостехиздат, 1963.

4. Shah S. L., Fisher D. G., SeborgD. E. Disturbance localization in linear systems by eigenvector assignment // Int. J. Control. 1977. V. 26. No. 6. P. 853-869.

5. Bhattacharyya S. P. Compensator design based on the invariance principle I I IEEE Trans. Aut. Control. 1975. V. AC-20. No. 5. P. 708-711.

6. Петров Б. П., Кухтенко А. И. Структура абсолютно инвариантных систем и условия их физической осуществимости. — В кн.: Теория инвариантности в системах автоматического управления. М.: Наука, 1964. С. 26-48.

7. Ferreira P. G. The servomechanism problem and the method of the state-space in the frequency domain // Int. J. Control. 1976. V. 23. No. 2. P. 245-255.

8. Muller P. C, Liickel J. Zur theorie der Storgrossenauf-schaltung in linearen mehrgrossenregelsystemen//Regelungstechnik. 1977. V. 25. No. 2. S. 54-59.

9. Jlemoe A. M. Аналитическое конструирование регуляторов // А и Т. 1960. №4. С. 436-441.

10. Kalman Я. Е. Contributions to the theory of optimal control I I Bol. Soc. Mat., Mexicana. 1960. V. 5. No. 1. P. 102-119.

11. Брайсон А., Ю-Ши Xo. Прикладная теория оптимального управления. М.: Мир, 1972.

12. Андреев Ю. Н. Управление конечномерными линейными объектами. М.: Наука, 1976.

13. Цянъ Сюэ-Сень. Техническая кибернетика. М.: И. Л., 1956.

14. Солодовников В. В. Статистическая динамика линейных систем автоматического управления. М.: Физматгиз, 1960.

15. Чанг Ш. Синтез оптимальных систем автоматического управления. М.: Машиностроение, 1964.

16. Солодовников В. В., Матвеев П. С. Расчет оптимальных систем автоматического управления при наличии помех. М.: Машиностроение, 1973.

17. Цейтлин Я. М. Проектирование оптимальных линейных систем. Л.: Машиностроение, 1973.

18. Медич Длс. Статистически оптимальные линейные оценки и управление. М.: Энергия, 1973.

19. Острем К. Ю. Введение в стохастическую теорию управления. М.: Мир, 1973.

20. Параев Ю. И. Введение в статистическую динамику процессов управления и фильтрации. М.: Советское радио, 1976.

21. Квакернаак X, Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления. М.: Мир, 1977.

22. Ройтенберг Я. Н. Автоматическое управление. М.: Наука, 1978.

23. Kalman R. Е., Вису R. S. New results in linear filtering and prediction theory // J. Basic Eng. Trans. ASME. 1961. Ser.D. V. 86. P. 95-108.

24. Wonliem W. M. Stochastic problems in optimal control // IEEE Convention Record. Part 2. 1963. P. 114-124.

25. Bryson A. E., Johansen D. E. Linear filtering for time-varying systems using measurements containing colored noise // ШЕЕ Trans. Autom. Control. 1965. V. AC-10.No. l.P.4-10.

26. Bucy R. S. Optimal filtering for correlated noise I I J. Mathematical Analysis and Applications. 1967. V. 20. No. 1. P. 1-8.

27. Wonhem W. M. On the separation theorem of stochastic control // SIAM J. Control. 1968. V. 6. No. 2. P. 312-326.

28. CoppelandB. R., Safonov M. G. A generalized eigenproblem approach to singular control problems Part I: LQG problems // Proc. 30th IEEE Conf. Decision Contr. New York. December 1991.

29. Rom D. В., Sarachik P. E. The design of optimal compensators for linear constant systems with inaccessible states // IEEE Trans. Aut. Control. 1973. V. AC-18.No. 5. P. 509-512.

30. Blanvillain P. J., Johnson T. L. Specific-optimal control with a dual minimal-order observer-based compensator//Int. J. Control. 1978. V. 28. No. 2. P. 277-294.

31. Красовский H. H., Субботин А. И. Позиционные дифференциальные игры. M.: Наука, 1974.

32. Курэюанский А. Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.: Наука, 1977.

33. Якубович Е. Д. Решение одной задачи оптимального управления дискретной линейной системой // А и Т. 1975. № 9. С. 73-79.

34. Якубович Е.Д. Оптимальное управление линейной дискретной системой при наличии неизмеряемого возмущения // А и Т. 1977. № 4.С. 49-54.

35. Vidyasagar М. Optimal rejection of persistent bounded disturbances // IEEE Trans. Autom. Control. 1986. V. 31. P. 527-535.

36. Барабанов A. E., Граничин О. H. Оптимальный регулятор для линейных объектов с ограниченным шумом // А и Т. 1984. № 5. С. 39-46.

37. Dahleh М., Pearson J. В. l\ optimal feedback controllers for MIMO discrete systems // IEEE Trans. Autom. Control. 1987. V. 32. No. 4. P. 314-322.

38. Барабанов A. E. Синтез минимаксных регуляторов. С.-Петербург: Изд-во С.-Петербургского ун-та, 1996.

39. Dahleh М., Diaz-Bobillo I. J. Control of uncertain systems: a linear programming approach. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1995.

40. Вишняков A. II., Поляк Б. Т. Синтез регуляторов низкого порядка для дискретных систем управления при наличии неслучайных возмущений // А и Т. 2000. №9. С. 112-119.

41. Branchini F., Sznaier М. A convex optimization approach for fixed-order controller design for disturbance rejection in SISO systems // IEEE. Trans. Autom. Control. 2000. V. 45. P. 784-789.

42. Поляк Б. Т., Щербаков Б. С. Робастная устойчивость и управление. М.: Наука, 2002.

43. Polyak В., Halpem М. Optimal design for discrete-time linear systems via new performance index // Intern. J. Adaptive Control Sig. Proc. 2001. V. 15. No. 2. P. 129-152.

44. Поляк Б. Т., Щербаков Б. С. Сверхустойчивые линейные системы управле1ния I // Автом. телемех. 2002. № 8.

45. Поляк Б. Т., Щербаков Б. С. Сверхустойчивые линейные системы управления II // Автом. телемех. 2002. № 9.

46. Megretski A. Multivariable control systems. Massachusetts Institute of Technology. Massachusetts. 2004.

47. Doyle J. С., Glover R., Khargonekar P. P., Francis B. A. State-space solution to standard H2 and Hrxs control problems // IEEE Trans. Autom. Control. 1989. V. 34. No. 8. P. 831-847.

48. Maciejowski J. Multivariable Feedback Design. Addison-Wesley. Wokingham. England. 1989.

49. Anderson B. D., Moore J. B. Optimal Control: Linear Quadratic Methods. Prentice Hall. Englewood Cliffs. NJ. 1990.

50. Алиев Ф. А., Бордюг БА., Ларин В. Б. Н2 -оптимизация и метод пространства состояний в задаче синтеза оптимальных регуляторов. Баку: Элм, 1991.

51. Tkentelman Н. L., Stoorvogel A. Sampled-data and discrete-time Н2 optimal control // Proc. of the 34th Conf. on Decision & Control. Tucson, Arizona. December, 1992.

52. Saberi A., Sannuti P., Stoorvogel A. H2 Optimal Controllers with Measurement Feedback for Continious-time Systems Flexibility in Closed-loop Pole Placement // Proc. of the 34 Conf. on Decision & Control. New Orleans, LA. December, 1995.

53. Лямпе Б. П., Розенвассер Е. Н. Модернизированный метод Винера-Хопфа ^ в задаче Лг-синтеза импульсных систем // А и Т. 1999. № 3. С. 156-169.

54. Kucera V. Analysis and Design of Discrete Linear Control Systems. Prague: Academia, 1991.

55. Алиев Ф.А., Ларин В. Б., Науменко К. И., Сунцев В. И. Оптимизация линейных инвариантных во времени систем. Киев: Наукова Думка, 1978.

56. Stoorvogel A. The singular Н2 control problem // Automatica. Vol. 28. No. 3. 1992.

57. Orlov Yu. V. Regularization of singular H2 and II x control problems // Proc. 36th IEEE Conf. Decision Contr., San Diego, CA, 1997. P. 4140-4144.

58. Поляков К. Ю. Вырожденные задачи Лг-оптимизации дискретных систем // А и Т. 2005. №3. С. 20-33.

59. Youla D. С., Jabr Н. A., Bongiorno J. J. Modern Wiener-Hopf design of optimal controllers. Part II // IEEE Trans. Autom. Control. 1976. V. 21. P. 319-338.

60. Kucera V. Discrete Linear Control. N.Y.: Wiley, 1979.

61. Bongiorno J. J., Youla D. C. On the design of single-loop single input-output feedback control systems in the complex frequency domain // IEEE Trans. Autom. Control. 1977. V. 22. No. 3. P. 416-423.

62. Francis B. A. A course in Hm control theoiy. New York: Springer-Verlag, 1987.

63. McFarlane D. C., Glover K. Robust control design using normalized coprime factor plant description. New York.: Springer-Verlag, 1990.

64. Francis B. A., Zames G. On Яда-optimal sensitivity theoiy for SISO feedback systems // IEEE Trans. Autom. Control. 1984. Y. 29. P. 9-16.

65. The control handbook / Ed. W. S. Levine. CDC Press, IEEE Press, 1996.

66. Методы робастного, нейро-нечеткого и адаптивного управления: Учебник / Под ред. Н.Д.Егупова. М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2001.

67. Домбровский В. В. Синтез динамических регуляторов пониженного порядка при Да -ограничениях // А и Т. 1996. № 11. С. 10-17.

68. Киселев О. К, Поляк Б. Т. Синтез регуляторов низкого порядка по критерию ЕГ и по критерию максимальной робастности // АиТ. 1999. № 3. С. 119-130.

69. Брусин В. А. Метод синтеза класса робастных регуляторов пониженной размерности //АиТ. 2000. № 10. С. 117-124.

70. Садолщев Ю. В. Синтез динамических субоптимальных регуляторов пониженного порядка на основе Д» -критерия //АиТ. 2006. № 12. С. 175-190.

71. Кузовков И. Т. Модальное управление и наблюдающие устройства. М.: Машиностроение, 1976, 184 с.

72. Слгагина Е. М. Вопросы анализа линейных многомерных объектов с использованием понятия нуля системы. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1990. 160 с.

73. Луценко И. В. Синтез астатического регулятора на основе //«.-критерия // Проблемы и перспективы прецизионной механики и управления в машиностроении: Мат. междунар. конф. Саратов: Изд-во Сарат. гос. техн. ун-та, 2006. С. 302-305. ,

74. Юсупбекое Н. Р., Цацкнн М. Л. Робастность многосвязных систем управления. М.: Наука, 1990., 77. Александров А. Г. Частотные свойства оптимальных линейных систем управления // А и Т. 1969. № 9. С. 176-182.

75. Anderson В. D., Moore J. В. Linear Optimal Control. Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, 1971.

76. Александров А. Г. Частотные свойства оптимальных линейных систем с несколькими управлениями // А и Т. 1969. № 12. С. 12-17.

77. Александров А. Г., Небалуев II. А. Аналитический синтез передаточных матриц регуляторов на основе частотных критериев качества. I. // А и Т. 1971. № 12. С. 12-20.

78. Safonov М. G. Athans М. Gain and phase margin of multiloop LQG regulators // ШЕЕ Trans. Autom. Control. 1977. V. 22. No. 2. P. 173-179.

79. Fiijii Т., Mizushima N. Robustness of the optimality property of an optimal regulator: multi-input case // Int. J. Control. 1984. V. 39. No. 3. P. 441-453.

80. Doyle J. C., Stein G. Multivariable feedback design: concepts for a classical /modern synthesis И IEEE Trans. Autom. Contr. 1981. V. 26. No. 1. P. 4-16.

81. Lehtomaki N. A., Sandell N. R., Athans M. Robustness results in Linear-Quadratic Gaussian based multivariable control designs // IEEE Trans. Autom. Contr. 1981. V. 26. No. 1. P. 75-92.

82. MacFarlane A. G., Postlethwaite I. The generalized Nyquist stability criterion and multivariable root loci // Int. J. Control. 1977. V. 25. № 1. p. 81-127.

83. Desoer C. A., Wang Y. On the generalized Nyquist stability criterion // IEEE Trans. Autom. Control. 1980. V. 25. No. 2. P. 187-196.

84. Александров А. Г. Критерии грубости нестационарных систем автоматического регулирования // Аналитические методы синтеза регуляторов. Межвуз. научн. сб.: Саратов. СПИ. 1980. С. 3-14.

85. Doyle J. С., Stein G. Robustness with observers // IEEE Trans. Autom. Contr. 1979. V. 24. No. 4. P. 607-611.

86. Kwakernaak H. Optimal low-sensitivity linear feedback systems // Automatica. 1969. Y. 5. No. 3. P. 279-286.

87. Садомцев Ю. В. Грубость многомерных систем с наблюдателями пониженной размерности // Известия РАН. Теория и системы управления. 1999. № 6. С. 71-81.

88. Иванов Д. В., Садомцев Ю. В. Синтез динамической обратной связи по выходу с учетом свойств грубости // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2000. №3. С. 31-39.

89. Boyd S. L., El Ghaoui L., Feron E. Balakrishnan V. Linear matrix inequalities in systems and control theory. Philadelphia: SIAM, 1994

90. Calafiore G., PolyakB. T. Stochastic algorithms for exact and approximate feasibility of robust LMIs // IEEE Trans. Autom. Contr. 2001. V. 46. No. 11. P. 1755-1759.

91. Честное В. H. Синтез робастных регуляторов многомерных систем при параметрической неопределенности на основе круговых частотных неравенств // А и Т. 1999. № 3. С. 229-238.

92. Честное В. Н. Синтез регуляторов многомерных систем по заданному радиусу запасов устойчивости на базе процедуры Н«, -оптимизации // А и Т. 1999. №7. С. 100-109.

93. Luenberger D. G. On introduction to observers. // IEEE Trans. Autom. Contr. 1971. V. AC-16.

94. Гантмахер Ф. P. Теория матриц. M.: Наука, 1988.

95. Ланкастер П. Теория матриц. М.: Наука, 1973.

96. Садомцев Ю. В. Модели систем автоматического управления. Непрерывные системы: Учебное пособие. Саратов: СПИ, 1990.

97. Бесекерский В. А., Попов Е. П. Теория систем автоматического регулирования. М.: Наука, 1975.

98. Куо Б. Теория и проектирование цифровых систем управления. М.: Машиностроение, 1986.

99. Параев Ю. Н. Алгебраические методы в теории линейных систем управления. Томск: Изд-во ТГУ, 1980.

100. Садомцев Ю. В. Конструирование систем управления с обратной связью по критериям точности и грубости. Саратов: Изд-во СГТУ, 2003.

101. Курдюков А. П., Тимин В. П. Синтез робастной системы управления на режиме посадки самолета в условиях сдвига ветра // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1993. № 6. С. 200-208.

102. Бесекерский В. А., Фабрикант Е. А. Динамический синтез систем гироскопической стабилизации. Л.: Судостроение, 1968.

103. Луценко И. В. Синтез цифрового регулятора для контура ограничения температуры газов газотурбинного двигателя // Доклады академии военных наук. № 1 / Под ред. В. АПодчукаева. Саратов: Изд-во Сарат. гос. техн. ун-та, 2005. С. 47-53.

104. Алъпер Н. Я., Терзян А. А. Индукторные генераторы. М.: Энергия, 1970.

105. ГОСТ 19705-89. Системы электроснабжения самолетов и вертолетов. М.: Изд-во стандартов, 1989. 45 с.