автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Синтез дискретных регуляторов с учетом требований статической и стохастической точности

На правах рукописи

Торгашова Ольга Юрьевна

СИНТЕЗ ДИСКРЕТНЫХ РЕГУЛЯТОРОВ С УЧЕТОМ ТРЕБОВАНИЙ СТАТИЧЕСКОЙ И СТОХАСТИЧЕСКОЙ ТОЧНОСТИ

Специальность 05.13.01 - Системный анализ, управление и обработка информации (в технической отрасли)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Саратов 2005

Работа выполнена в ГОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет».

Научный руководитель: доктор технических наук

Садомцев Юрий Васильевич

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

Решетняк Евгений Петрович

доктор технических наук, профессор Челноков Юрий Николаевич

Ведущая организация: Институт проблем управления РАН, г. Москва

Защита состоится « 28 » июня 2005 г. в 13 часов на заседании диссертационного совета Д 212.242.04 при ГОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет» по адресу: 410054, г.Саратов, ул. Политехническая, 77, ауд. 319.

С диссертацией можно ознакомиться в научно-технической библиотеке ГОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет».

Автореферат разослан « гг » мая 2005 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета

В.В.Алешкин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Проблема точного управления всегда являлась одной из основных как в классической, так и в современной аналитической теории управления. Под точным управлением понимается такое управление по принципу обратной связи, которое гарантирует, что при действии на систему внешних возмущений (задающих воздействий) из определенного класса значения регулируемых переменных (ошибок стабилизации или слежения) не превосходят заданных допусков.

В рамках задачи синтеза с учетом внешних возмущений наиболее значимыми результатами являются: динамическая компенсация возмущений с предположительно известной моделью (Ш. Бхаттачария, В. Волович, Е. Девисон, М. Уонем); стохастическая оптимизация при случайных возмущениях с заданными характеристиками (Р. Бьюси, Р. Калман, X. Квакернаак, В.Б. Ларин, Ю.П. Петров, М. Уонем); Нк -оптимизация для возмущений, ограниченных в 12-норме (Дж. Зеймс, Б. Френсис, Дж. Дойл, К. Гловер); -оптимизация при наихудших возмущениях (А.Е. Барабанов, Дж. Пирсон, Е.Д. Якубович). Тем не менее перечисленные методы имеют ряд недостатков, существенных при рассмотрении проблемы точности. Так, например, методы динамической компенсации и £]-оптимизации неоправданно усложняют структуру регулятора, применение методов стохастической и Яоо-оптимизации без каких-либо условий на весовые матрицы минимизируемых функционалов не дает гарантии того, что установившиеся ошибки (дисперсии ошибок) будут меньше заданных значений и т.д.

Если ограничиться классом непрерывных систем, то проблему точного управления при типовых (ступенчатых), случайных (гауссовских) и полигармонических возмущениях в целом можно считать решенной в рамках задач линейно-квадратической (Ь<3) и ^-оптимизации (А.Г. Александров, Ю.В. Садомцев, В.Н. Честнов, Ю.К. Тимофеев). Однако полученные здесь результаты нельзя обобщить на дискретный случай, поскольку в связи с требованием устойчивости коэффициенты передачи разомкнутых дискретных систем всегда ограничены (К. Острем, В.И. Честнов), что не позволяет построить обратную связь, гарантирующую достижение любой, сколь угодно высокой точности. Это, в частности, означает, что проблема точного управления в дискретных системах (при конечном периоде дискретности, который в силу технологических особенностей не может быть сделан бесконечно малым) тесно связана с задачей оценки предельной, т.е. минимально возможной ошибки регулирования, решение которой на сегодняшний день практически отсутствует. Таким образом, проблема синтеза дискретных регуляторов того или иного класса, обеспечивающих заданную точность стабилизации или слежения при сохранении других показателей качества, решение которой Аячиру»я чяляче опенки предельной точно-

сти, является актуальной.

РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ | БИБЛИОТЕКА I

Цель работы состоит в исследовании проблемы установившейся точности многомерных дискретных систем с определенным классом регуляторов, основанной на решении задачи оценки минимально достижимых ошибок стабилизации или слежения, при типовых (ступенчатых и линейно-изменяющихся) или случайных (гауссовских) воздействиях.

Достижение этой цели осуществляется решением следующих задач:

1. Исследование асимптотических свойств линейно-квадратического дискретного (ЬСЮ) регулятора и оптимального дискретного фильтра Кал-мана (дуального ЬС^-регулятора).

2. Разработка процедуры синтеза динамических регуляторов по выходу определенного класса, обеспечивающих заданную точность регулирования, а также, по возможности, другие требования к системе (наилучшее в некотором смысле расположение полюсов, высокие запасы устойчивости и Др.)-

3. Исследование влияния запаздывания, вносимого бортовой цифровой вычислительной машиной (БЦВМ) в контур управления, на установившуюся точность системы с динамическим регулятором.

4. Решение задач о предельной точности для следящей системы с объектом, содержащим астатизм, замкнутым Ь<ЗВ-регулятором по состоянию или динамическим регулятором по выходу, для задающего воздействия из класса линейно-нарастающих функций времени.

Методы исследования. Поставленные задачи решаются на основе теории матриц и матричных норм, теории разностных уравнений, включая аппарат 2-преобразования, а также с применением методов ИХ^О-оптими-зации, оптимальной дискретной фильтрации, теории наблюдающих устройств и оптимальных фильтров минимальной размерности.

Новые научные результаты, выносимые на защиту:

1. Для минимально-фазовой дискретной системы с ЬСЮ-регулятором полного состояния и дуальным ЬСЮ-регулятором при полном управлении в явном виде найдены оценки предельных (минимально возможных) статической и стохастической ошибок регулирования.

2. Для случая неминимально-фазового объекта предложен не содержащий итераций алгоритм определения асимптотического решения задачи синтеза ЬСЮ-регулятора и соответствующей оценки минимально возможной статической ошибки системы.

3. Предложены два дуальных подхода к синтезу динамических регуляторов по выходу, основанные на прямой и дуальной процедурах ЬС®-оптимизации и блочно-каноническом представлении объекта, обеспечивающие наименьшее влияние наблюдателя (дуального наблюдателя) на динамику замкнутой системы и допускающие оценку максимально достижимой статической или стохастической точности. Показано, что наличие запаздывания па^шрааяеша© на-един такт, вносимого БЦВМ, не влияет на

предельное ошибки.

5 ♦ л » » 4«* л 1

< V I

» п. «И 1к> -4

4. На основе приведения задачи слежения к задаче стабилизации получена оценка предельной точности в астатической следящей системе при линейно-изменяющемся задающем воздействии с Ь(Д)-регулятором полного состояния и динамическим регулятором по выходу.

Практическая ценность полученных результатов заключается в их конструктивности, практической направленности и тех процедурах, которые позволяют решать задачи синтеза регуляторов многомерных систем с учетом важного критерия - точности стабилизации или слежения при типовых (ступенчатых и линейно-изменяющихся) или случайных (гауссов-ских) воздействиях. Предлагаемые подходы к синтезу регуляторов могут быть легко алгоритмизированы и реализованы в виде конкретных программных продуктов. На основе полученных результатов решён ряд задач синтеза реальных систем управления (системы стабилизации бокового движения самолёта, продольного движения вертолета, оборотов газотурбинного двигателя и др.)

Реализация и внедрение результатов работы. Работа выполнялась в соответствии с планом госбюджетных научно-исследовательских работ, проводимых на кафедре ТКИ С1 "ГУ в рамках основного научного направления «Аналитическая теория автоматического управления».

Полученные результаты использовались в ОАО «КБ Электроприбор» при разработке системы управления газотурбинным двигателем, что подтверждается соответствующим актом, а также в учебном процессе при чтении лекций по курсу «Теория дискретных систем».

Апробация работы. Основные результаты, полученные в диссертационной работе, были представлены и обсуждены на VI Международной студенческой школе-семинаре «Новые информационные технологии» (Судак, 1999), Международной конференции «Проблемы и перспективы прецизионной механики и управления в машиностроении» (Саратов, 2002), XVI и XVII Международных конференциях «Математические методы в технике и технологиях» (СПб, 2003; Кострома, 2004), VI Международном симпозиуме «Интеллектуальные системы» (Саратов, 2004) , а также на научных семинарах кафедры ТКИ СГТУ, лаборатории «Механика, навигация и управление движением» Института проблем точной механики и управления РАН (г. Саратов) и лаборатории № 7 Института проблем управления РАН (г. Москва).

Публикации. По результатам исследований автором лично и в соавторстве опубликовано 9 научных работ. Опубликованные материалы полностью отражают содержание диссертации. Список публикаций приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, сопровождающихся выводами, заключения, приложения и списка использованной литературы, включающего 107 наименований. Общий объем работы составляет 149 страниц, включая 9 рисунков.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении даются обоснование актуальности темы, формулировка цели исследований, краткое изложение работы по главам, характеристика полезности и основные научные результаты, выносимые на защиту.

Первая глава содержит обзор существующих методов синтеза систем управления с учетом требований к статической и стохастической точности, анализ проблемы точного управления в дискретных системах, постановку задачи синтеза дискретных регуляторов по критериям установившейся точности, где определены классы объектов, регуляторов, внешних воздействий и формализованные требования к точности, обоснование на этой основе направлений исследований и формулировки конкретных задач, решение которых направлено на достижение поставленной цели.

В работе рассматриваются линейные стационарные дискретные объекты автоматического управления для двух классов систем - стабилизации и слежения. В задачах стабилизации уравнения объекта имеют вид:

х(М) = Ах(0+Х(0+<^(0, у(0 = Сх(0, хИ) = ВиЦ), <9(г) = Дх(0, где хеЯ", меКт, уеКг(т<п, т<,г<п) - векторы состояний, управлений и измеряемых выходов соответственно; ^еИ" - векторный сигнал, введенный для обозначения эффективного или полного управления; /еИг, 0еКт -векторы переменных, представляющих возмущающий вход и регулируемый выход, размерности которых считаются совпадающими с размерностями векторов измерений и управлений; г - дискретное время; А, В, С, С, И - числовые матрицы соответствующих размеров, причем (А, В) и (А, О) образуют управляемые, а (Д А) и (С, А) - наблюдаемые пары.

В задачах слежения с некоторым задающим воздействием г/еЛт объект управления описывается уравнениями:

х(1 + 1)=Лх(1)+Ви(1), 0(0 = 0(0-7(0, (2)

У (О = Сх(0-С'1К0, 0(0 = ИхО),

где ве Л"1 - вектор ошибок слежения, принимаемых здесь регулируемыми переменными (переменные в рассматриваются как выходные); С' - некоторая гхот-матрица. Остальные обозначения векторов и матриц, а также свойства управляемости и наблюдаемости соответствующих пар те же, что в уравнениях (1). Особенностью объекта управления (2) также считается наличие в нем га-кратного единичного полюса, что является проявлением астатизма, который обычно присутствует в следящих системах.

Пусть в уравнениях (1) г=п и С=/п - единичная матрица. Тогда в качестве обратной связи может быть использован регулятор по полному состоянию, уравнение которого для эффективного управления имеет вид

X(i)=BFx(i), (3)

где F - матрица передаточных коэффициентов регулятора. Если же г<п, то для реализации обратной связи может быть использован динамический регулятор по выходу, называемый далее динамическим компенсатором (ДК), построенный на основе наблюдателя Люэнбергера:

£(z"+1) = W£(i)+ Ky(i)+TBu(i), u(i)= Fx(i)= F(Vg(i)+ Uy(i)) , (4)

где <n,amm=n-r)- вектор состояний наблюдателя, xeRn - век-

тор оценок переменных состояния объекта, а матрицы W, К, V, U, Т, входящие в (4), должны удовлетворять соотношениям:

TA-WT = КС, UC + VT=In. (5)

Пусть теперь в уравнениях (1) т=п и В=1п, что определяет объект с полным управлением. Тогда в качестве обратной связи может быть использован статический регулятор по измеряемому выходу, дуальный к (3):

Z(i) = Ly(i) = LCx(i), (6)

где L - матрица передаточных коэффициентов регулятора. Если же тог, то для построения обратной связи можно использовать дуальный наблюдатель, а уравнения соответствующего регулятора по выходу, называемого далее дуальным динамическим компенсатором (ДДК), имеют вид:

C(i+l) = WC(i)+V№, u(i)=k£(i)+ÜS(i), */) = L(y(i)+CTC0)) = 1ЫП-СШ. где <n, pm¡n-n-m) - вектор состояний компенсатора, -

вектор оценок переменных состояния объекта, используемых для формирования векторного сигнала i9eR", пропорционального отклонениям измеряемых переменных от своих оценок с матрицей коэффициентов передачи L. Остальные матрицы (W, К. V, О, Т), входящие в (7), должны удовлетворять дуальным к (5) соотношениям

AT-fW-BK, BU+fV=In. (8)

Относительно внешних возмущений в задачах стабилизации предполагается, что они являются: либо типовыми ступенчатыми функциями с неизвестными, но ограниченными амплитудами, либо гауссовскими стационарными случайными процессами с нулевым средним. Таким образом, в первом случае класс внешних возмущений определяется как

т=г-ш), \\r\2<v, (9)

где 1(¡) - единичная ступенчатая решетчатая функция, а <р * - некоторое заданное значение, определяющее максимальную величину евклидовой

нормы вектора амплитуд/*. Во втором случае возмущение /(/) задается матрицей спектральных плотностей 57), ~п<Ш<тс, где a=coh - нормированная частота (А - период дискретности).

Класс задающих воздействий r)(i) в задаче слежения с объектом (2) ограничен линейно-нарастающими решетчатыми функциями вида

rj(i)=v*ih-l(i), (10)

где v*eRm - вектор скоростей изменения воздействий, компоненты которого предполагаются неизвестными, но постоянными и ограниченными в смысле неравенства | v*|2 < у/*, где у/*-заданное значение.

Пусть система стабилизации, замкнутая каким-либо из определенных выше регуляторов, является устойчивой. Тогда при ступенчатых возмущениях установившиеся значения регулируемых переменных будут постоянными 6(i~\,_>00=^COT=cons'/. При этом, поскольку компоненты вектора вст

зависят от амплитуд возмущений, для оценки статической точности используется величина

5= max \ecmL. (11)

Тогда, если передаточную матрицу замкнутой системы (от возмущения/к

выходу 9) обозначить как wf/(z), то на основе (11) можно определить, что

(12)

где || X || обозначает (здесь и далее) матричную норму, индуцированную евклидовой нормой.

При случайных возмущениях точность стабилизации определяется установившимися дисперсиями переменных 0(i), которые являются диагональными элементами соответствующей матрицы дисперсий

0 = M{d(i)e\i)} = £ J wV(enSf(aJ) We/(e~]°)da . (13)

-ж

При рассмотрении устойчивой следящей системы с задающим воздействием (10) имеется в виду, что в силу предположения об астатизме объекта установившиеся ошибки слежения 0(г)| =0ст будут постоянными.

Тогда для оценки точности слежения в установившемся режиме можно использовать соотношения, аналогичные (11), (12), определив статическую ошибку многомерной следящей системы выражением

где w£?(z) - передаточная матрица замкнутой следящей системы, составленная для соответствующих векторных переменных входа и выхода.

Вторая глава посвящена исследованию асимптотических свойств прямого и дуального LQD-регуляторов и решению задачи оценки предельной статической и стохастической точности дискретных систем стабилизации с такими регуляторами. Выбор метода LQD-оптимизации (прямого или дуального) для синтеза регуляторов вида (3) или (6) дает возможность обеспечить высокие запасы устойчивости замкнутой системы, что для реальных задач управления является очень важным. Поэтому при использовании, например, регулятора полного состояния вида (3) считается, что матрица передаточных коэффициентов этого регулятора F определяется на основе прямой процедуры LQD-оптимизации:

F = -(p<F+BTPB)~,BTPA, Р=РТ>О,

Р= АТРА + DTMD - АтРВ(рЧ>+ ВТРВУ ВтРА , где М-Мт> 0 и Ч/=Ут>0 - некоторые весовые матрицы (Запись А>0 или А>0 обозначает положительно- или неотрицательно-определенную матрицу), а р>0 - скалярный коэффициент, уменьшение которого, как известно, ведет к уменьшению ошибок регулирования, вызванных внешним возмущением. Таким образом, задача оценки предельной точности LQD-регулятора (3), (15) состоит в определении статической ошибки (12) или матрицы установившихся дисперсий (13) при р->0.

При исследовании данной задачи показано, что при уменьшении р решения уравнения Риккати (15) образуют убывающую последовательность положительно-определенных матриц, пределом которой при /7=0 является некоторая матрица Р0 5:0, причем если передаточная матрица Weu (г) = D(Inz - А)~ХВ имеет максимальное число нулей (в этом случае det(DB) 0), и если все они лежат внутри единичного круга комплексной плоскости z (объект минимально-фазовый), то Po = DTMD, и, как следствие,

F0 = lim F = -(ВТР0ВУ]ВТР0А = -(DB)-'DA . (16)

/Р—»о

Это позволяет найти предельное выражение для передаточной матрицы замкнутой системы и, с учетом (12), минимальную статическую ошибку:

W0ef(z) = lim W3e/(z) =DGz~{, Smin = \\DG \<p*. (17)

/э-> о

Для случайных возмущений на основе (13) получено выражение для матрицы минимально достижимых дисперсий регулируемых переменных ®min = DG0GTDT, где Ф = М {f(i)fT(i)} - матрица дисперсий возмущения.

Аналогичные результаты получены для дуального LQD-регулятора с полным управлением вида (6). При этом для формального отличия в описании объекта (1) введены обозначения Ä,B,G,C,D, где для случая полного управления В=1„. Таким образом, уравнения процедуры оптимальной дискретной фильтрации (дуальной LQD-оптимизации), на основе ко-

торых определялась матрица Z дуального регулятора (6), имеют вид

1 = -АРСт(е¥ + СРСту\ Р = РТ>О,

Р = АРАТ + GMGT - АРСт(£<Р + СРС7)-' СРАТ ,

где М=Мт>0 и ¥=ФТ>0 - весовые матрицы, а £>0 - скалярный коэффициент, влияющий на ошибку регулирования.

Показано, что если передаточная матрица объекта по возмущению относительно измеряемого выхода Wyf (z) = C(I„z-A)~lG имеет максимальное количество нулей (в этом случае det{CG)*0), и если все эти нули по модулю меньше единицы (объект минимально-фазовый), то при >0, P->P0 = GMGT и L-+L0 =-AP0CT(CP0CTyl = -AG(CGyl. Последнее равенство позволяет найти предельное выражение для передаточной матрицы замкнутой системы и минимально достижимую статическую ошибку:

W09f(z) = Urn W3e/(z) ~DGz'], Smi„ =|DGI\<p*, e-to " 11

которые формально оказались совпадающими с (17).

Для неминимально-фазового случая явное аналитическое решение задачи о предельной точности становится невозможным, в связи с чем предложен алгоритм численного решения этой задачи. При этом для определенности рассматривался LQD-регулятор полного состояния при условии, что некоторые из нулей передаточной матрицы Wgu(z) находятся вне единичной окружности комплексной плоскости z. Основу алгоритма составляют представление пары (А, В) объекта (1) в управляемой блочно-канонической форме Ассео (предполагается, что эта пара имеет индекс управляемости у = п/m) и факторизация на этой основе матрицы Wju{z'x)MWeu{z). В результате этой операции удается построить некоторую числовую матрицу Н = [Н0 :Н{ : ... :HV_,] с /ях/я-блоками #,(i'=l,v-l), с помощью которой определяется асимптотическое решение Р0 уравнения Риккати (15) и предельное выражение для матрицы регулятора F0=-(Hv_x) aHA .

Полученные в данной главе результаты проиллюстрированы на примерах синтеза LQD-регулятора вида (3) для систем стабилизации бокового движения самолета и продольного движения вертолета.

В третьей главе рассматривается задача о предельной точности дискретных систем с динамическими регуляторами вида ДК (4) и ДДК (7). Особенность предлагаемых процедур синтеза таких регуляторов связана, во-первых, с использованием наблюдаемого (для ДК) или управляемого (для ДДК) блочно-канонического представления объекта, и, во-вторьгх, с применением прямой или дуальной процедуры LQD-оптимизации. Кроме того, размерности ДК и ДДК, выбираются минимальными (се=п-г, /}=п~т).

Предполагается, что пара (С, А) объекта (1) имеет индекс наблюдаемости /л = п/г. Тогда ее можно преобразовать к наблюдаемой блочно-канонической форме Ассео

А =

0/-х(я-г) 'Ч)

h-r

. С=[огх(й_г) ./„]. (19)

где -^и-ь - гхг-блоки, элементы которых могут быть отличны

от нулевых. В этом случае, в силу канонической структуры матрицы С, можно показать, что уравнения (5) будут удовлетворяться тождественно, если матрицы ДК определить следующими соотношениями:

T = [In-r . L ]> V=colon {/„_,., 0(n_r)xr}, U=colon {-L, Ir}, W = TAV = Au+LA2i, К = TAU = -AUL +Ai2-LA2lL+LA22,

(20)

где L - некоторая (и - г)хг-матрица, выбором которой обеспечивается желаемое расположение полюсов наблюдателя; Av (i,j = 1, 2) - блоки матрицы А с размерностями, соответствующими разбиению вектора х на две составляющие: х = colon{Х(\),Х(2)}, JC(i)eR"~r, x^)=yeRr, причем с использованием канонической структуры матрицы А нетрудно установить, что блок Ац имеет нулевые собственные числа. Тогда, с учетом выражения для Wm (20), сделан вывод, что наилучшее расположение полюсов наблюдателя, входящего в ДК, достигается при L = 0. В этом случае наблюдатель будет иметь наименьшее влияние на динамику замкнутой системы в том смысле, что процесс восстановления переменных состояния объекта будет заканчиваться за минимальное число тактов дискретности.

Таким образом, единственной неопределенной матрицей ДК является матрица F, для определения которой целесообразно использовать процедуру LQD-оптимизации (15). С одной стороны, это позволяет обеспечить достаточно высокие запасы устойчивости, а с другой - дает возможность воспользоваться результатами главы 2 в плане решения основной задачи. В частности, если Wgu (г) является минимально-фазовой, то с использованием (16) удается найти предельное выражение для передаточной матрицы замкнутой системы

W°f{z) = fim W%.f{z) = z-'DG + z-'DA V(In_rz- W)']TG, (21)

которая при r=n трансформируется в соответствующий результат главы 2.

С учетом канонической структуры (19) и формул (20) выражение (21) можно преобразовать, так что окончательные результаты для (21) и соответствующей ей ошибки (12) принимают вид

^НЯ-Ч^А!'*.,^*-', 5min = \L^iDil!k!IiGk \<Р*> (22)

где D, и Gk (i,k=1,//) - блоки матриц D и G объекта, преобразованного к блочно-канонической форме (19).

и

Аналогичные результаты получены для ДДК вида (7). В этом случае объект преобразуется (в предположении, что пара (А, В) имеет индекс управляемости v= п/т) к управляемой блочно-канонической форме Ассео:

А =

О 1 Т

^in-myxm [_ ~n-m

, В = 0(n-OT)xTO

L Im J

7 17 j ' - г • (23)

О I •чГ1......Ч'-! .

где •<?()>■^'■■•'■Чм _ некоторые mxm-блоки, и для нахождения матрицы L регулятора (7) используется процедура дуальной LQD-оптимизации (18). Остальные матрицы ДДК определяются на основе соотношений: W = Аи, К=А2) (блоки матрицы Л), f=colon{In_m, 0}, V=[In_m: 0], t/=[0\lm ], при которых уравнения (8) обращаются в тождества. При этом дуальный наблюдатель имеет нулевые полюса, что обеспечивает наименьшее влияние этого наблюдателя на динамику замкнутой системы, которая в основном определяется свойствами дуального LQD-регулятора. С использованием результатов главы 2 показано, что при минимально-фазовой передаточной матрице Wyj (z) предельными характеристиками системы будут:

где Dk и Gj (k,i = l,v) блоки матриц D и G объекта (1), преобразованного к блочно-канонической форме (23).

Полученные результаты обобщены на случай дискретных систем с запаздыванием по управлению на один такт, что, как правило, имеет место в системах с БЦВМ в контуре. В этой связи получен важный результат, заключающийся в том, что если для учета запаздывания используется прием расширения объекта либо за счет управлений (для ДК), либо за счет измерений (для ДДК) из предыдущего такта, то решения задач о предельной точности (22) или (24) остаются без изменения.

В заключительной части главы проведено исследование задачи о предельной точности при случайных возмущениях. Формальное решение этой задачи может быть получено на основе (13) с использованием предельных выражений для передаточных матриц замкнутой через ДК или Д ДК системы. В частности, если внешнее возмущение является белым шумом с постоянной матрицей спектральных плотностей Sf(a>)=N/, то

Полученные в данной главе результаты проиллюстрированы примером синтеза ДК для системы стабилизации бокового движения самолета, где, в частности, приведен сравнительный анализ переходных процессов системы с ДК и системы с LQD-регулятором полного состояния.

Четвертая глава посвящена исследованию проблемы точного управления в дискретных следящих системах с задающим воздействием (10) и предположением об т-кратном единичном полюсе объекта (2), которое без потери общности может быть выражено представлением матрицы А этого объекта в следующей блочной верхне-треугольной форме:

А =

1т . Аг

(25)

®(л-т)хт ^22 _

Исходя из физического смысла выходных переменных следящей системы в- Ох такая структура матрицы А предполагает, в частности, что первый тхт блок матрицы £> = [0| | £>2] является неособым {¿.е1 £>, ф 0).

В качестве регуляторов следящей системы используются два вида -по полному состоянию и по выходу типа ДК. В первом случае принимается м(/)=^3с(/), где Т7 определяется на основе процедуры Ь(}0-оптимизации, а х=уеК" - вектор новых состояний, содержащий среди своих компонент ошибки слежения в и определяемый соотношением

Зс(/)=&с(1)-Д77(г). (26)

Здесь Я и Я - некоторые матрицы размеров пхп и пхт (причем 5 - неособая), выбираемые так, чтобы удовлетворить указанному условию относительно компонент вектора х. В частности показано, что если

5 =

А

А

о„

0(и-т)хт

(27)

"(и-т)хт • 1п-т

то, во-первых, х=со1оп{в,Х(2)}, х(2)бКя~т , и, во-вторых, уравнения объекта (2), преобразованные к новым переменным состояния, приобретают вид уравнений (1) объекта в задаче стабилизации:

Зс(г +1) = 13с(1)+ Яи(г')+ ё7(г), 0(г')= Дж(0, (28)

где А=БА8~\ В = 8В, В а /еИ"1 - вектор эквивалентных возму-

щений, вызывающих ту же реакцию по переменной 0,что и воздействие г]. При этом оказывается, что /(0=уМ(0. т.е. является ступенчатой функцией вида (9), а матрицы 5иС определяются соотношениями:

Я=[/я:0Ж1<(||_я)], С = со1оп{-1тИ,0{п_т)хт}. (29)

Если теперь воспользоваться соответствующими результатами главы 2, то можно получить решение задачи о предельной статической точности дискретных следящих систем. В частности, для минимально-фазового объекта (2) или его аналога (28), с учетом (29),

Гтя= \DG\r-hr. (30)

Отсюда вытекает важный вывод о том, что в отличие от рассмотренной в главе 2 системы стабилизации предельная статическая ошибка следящей системы с ЬС>0-регулятором полного состояния при линейно-изме-

няющемся задающем воздействии от параметров объекта не зависит.

При использовании динамического регулятора по выходу типа ДК исследование проблемы предельной статической точности дискретной следящей системы также основано на приведении задачи слежения к задаче стабилизации и результатах главы 3. При этом предполагается, и в реальных системах управления это имеет место, что некоторые измеряемые переменные пропорциональны регулируемым (в данном случае ошибкам слежения), т.е. у = colon{С\в, С2х}, где С, и С2 - некоторые матрицы размеров тхт и (г-т)уп соответственно, причем det С\ фО и rank Сг - полный. В этом случае нетрудно определить структуру матриц С и С'уравнения измеряемых выходов объекта (2). Тогда, после перехода к новым переменным состояния (26), (27), это уравнение преобразуется к виду y(i) = Cxd>, где C=CS~\ Добавляя последнее соотношение к уравнениям (28), к которым преобразуется объект после перехода к новым переменным состояния, получено эквивалентное описание объекта (2) задачи слежения, полностью соответствующее описанию объекта (1) в задаче стабилизации. Таким образом, дальнейшее решение задачи о предельной статической точности, в сущности, повторяет соответствующий результат главы 3.

В силу определенной структуры (29) для матриц DuG эквивалентного объекта (28) это решение может быть детализировано. В частности показано, что для случая г = т предельная ошибка слежения

_Ушп=| сгЧ1£:'-4*)с> -*тм\ьг,

где .<4 (Л = 1,//-1) - блоки канонической формы (19), к которой должен быть преобразован эквивалентный объект (28).

Полученные в главе результаты проиллюстрированы на примере синтеза регулятора для стабилизации разворотов трехзвенного манипулятора.

Пятая глава посвящена решению прикладной задачи стабилизированного разгона газотурбинного двигателя (ГТД), суть которой определяется техническими условиями. В частности, разгон двигателя должен осуществляться по линейному закону, установившаяся ошибка стабилизации в процессе разгона не должна превышать 3% от номинальной скорости и быть нулевой (без учета погрешностей датчиков) после выхода на номи- г'

нальный режим. Особенностями задачи являются: неполное знание модели ГТД, что определяет требование высоких запасов устойчивости, неполная информация о состоянии совокупного объекта, в состав которого помимо ГТД включены исполнительные устройства, и реализация регулятора в БЦВМ, что определяет задачу синтеза как дискретную с запаздыванием по управлению на один такт.

Решение задачи проводилось построением астатического дискретного регулятора типа ДК с применением процедуры LQD-оптимизации. При этом учет запаздывания по управлению и требования астатизма осуществлялись расширением модели объекта за счет управления из предыдущего

такта и введением в основной контур дискретного интегратора, который затем был отнесен к регулятору. Анализ полученного решения, проведенный с использованием нелинейных характеристик ГТД и исполнительных устройств, а также с учетом конечности разрядных сеток цифроаналоговых и аналого-цифровых преобразователей, показал удовлетворение основных требований к установившимся ошибкам и качеству переходных процессов.

В заключении сформулированы основные результаты работы и приведены документы, подтверждающие их практическое использование.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Исследованы асимптотические свойства ЬС^-регулятора и оптимального дискретного фильтра Калмана (дуального ЬСШ-регулятора) и для минимально-фазового объекта найдены явные оценки статической и стохастической точности регулирования.

2. Для неминимально-фазового случая предложен алгоритм определения матрицы передаточных коэффициентов предельного Ц^Б-регулятора полного состояния и соответствующей ошибки регулирования.

3. С использованием прямого или дуального наблюдателя Люэнберге-ра разработаны две процедуры синтеза динамической обратной связи минимальной размерности по выходу (ДК и ДЦК), позволяющие обеспечить наименьшее влияние соответствующего наблюдателя на динамику замкнутой системы, которая в основном определяется свойствами прямого или дуального Ь(30-регулятора, и допускающие оценки предельной точности. Показано, что эти оценки не изменяются, если предлагаемые процедуры включают учет запаздывания по управлению, вносимого БЦВМ.

4. Дано решение задачи о предельной точности астатических дискретных следящих систем с Ц^О-регулятором полного состояния или с динамическим по выходу типа ДК, основанное на представлении задач слежения с линейно-изменяющимся задающим воздействием как задач стабилизации со ступенчатым внешним возмущением.

5. Проведен синтез цифрового регулятора для стабилизации разгона газотурбинного двигателя по линейному закону с учетом требований к установившейся точности в процессе разгона и после выхода на режим.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. СадомцевЮ.В. Предельная точность дискретных систем с линейно-квадратическим регулятором / Ю.В. Садомцев, О.Ю. Торгашова // Теория и системы управления. - 2001. - №6. - С. 62-69.

2. Торгашова О.Ю. Предельная точность Ь(}-оптимальных неминимально-фазовых дискретных систем / О.Ю. Торгашова // Проблемы и перспективы прецизионной механики и управления в машиностроении: материалы Международной конференции / Сарат. гос. техн. ун-т. - Саратов, 2002.-С. 153-155.

О 5-1 38 1 5

3. Торгашова О.Ю. Предельная точность дискретных систем с динамическим регулятором минимальной размерности / О.Ю. Торгашова // Математические методы в технике и технологиях: Сб. трудов XVI Между-нар. науч. конф. / Санкт-Петербургский гос. технол. институт. - СПб, 2003. -Т.2.- С. 63-65.

4. Торгашова О.Ю. Предельная точность LQ-оптимальных неминимально-фазовых дискретных систем / О.Ю. Торгашова // Доклады академии военных наук / Сарат. гос. техн. ун-т. - Саратов, 2003. - №6. - С. 109-115.

5. Торгашова О.Ю. Статическая точность LQD-оптимальных следящих систем / О.Ю. Торгашова // Математические методы в технике и технологиях: Сб. трудов XVII Междунар. науч. конф. / Костромской гос. технол. ун-т. - Кострома, 2004. - Т.2. - С. 104-107.

6. СадомцевЮ.В. Оценка предельной точности дискретных следящих систем для класса регуляторов по состоянию / Ю.В. Садомцев, О.Ю. Торгашова // Проблемы точной механики и управления: Сборник научных трудов / Сарат. гос. техн. ун-т. - Саратов, 2004. - С.54-59.

7. Семенов В.Н. Алгоритмизация цифровых законов управления интеллектуальных систем / В.Н. Семенов, Ю.К. Тимофеев, О.Ю. Торгашова // Интеллектуальные системы: Труды Шестого Междунар. Симпозиума / МГТУ, СГТУ, ИПУ РАН. - М., 2004. - С.100-103.

8. Торгашова О.Ю. Оценка предельной точности нейросетевой реализации регулятора по выходу дискретной следящей системы / О.Ю. Торгашова // Интеллектуальные системы: Труды Шестого Междунар. Симпозиума / МГТУ, СГТУ, ИПУ РАН. - М., 2004. - С. 156-159.

9. Торгашова О.Ю. Точность LQD-оптимальных следящих систем с линейно нарастающим задающим воздействием / О.Ю. Торгашова // Приборостроение. - 2005. - № 3. - С. 17-22.

РНБ Русский фонд

2006-4 9300

Лицензия ИД № 06268 от 14. i i.ui

Подписано в печать 05.05.05 Формат 60x84 1/16

Бум.тип. Усл.-печ.л. 1,16 Уч.-изд.л. 1.0

Тираж 100 экз. Заказ 189 Бесплатно

Саратовский государственный технический университет 410054 г. Саратов, ул. Политехническая, 77 Копипринтер СГТУ, 410054 г. Саратов, ул. Политехническая, 77

Введение.

Глава 1. Состояние проблемы и задачи диссертации

1.1. Проблем точности в теории многомерных систем автоматического управления

Учет внешних возмущений и требований к точности в различных методах синтеза регуляторов (11). Проблема точного управления в дискретных системах (17).

1.2. Общая постановка задачи синтеза многомерных систем по критерию точности

Класс систем управления и внешних воздействий (19). Оценка и критерии установившейся точности регулирования (23).

1.3. Направления исследований и основные задачи диссертации.

Выводы к главе

Глава 2. Решение задач о предельной точности для систем со стати' ческими регуляторами

2.1. Предельная точность системы с LQD-регулятором полного состояния .1.

Постановка задачи (30). Асимптотические свойства LQD-регулятора (32). Предельная точность для минимально-фазовых систем (36). Пример (39).

2.2. Предельная точность системы с дуальным LQD-регулятором

Постановка задачи (43). Асимптотические свойства дискретного фильтра Калмана (44). Предельная точность для минимально-фазовых систем (46).

2.3. Решение задачи о предельной точности для неминимальнофазового объекта.

Постановка задачи (49). Предельная точность для неминимально-фазовых систем (49). Случай скалярного управления (54). Пример (55).

Выводы к главе

Глава 3. Решение задач о предельной точности для систем с динамическими регуляторами по выходу.

3.1. Предельная статическая точность систем с динамическими регуляторами

Постановка задачи и особенности используемых процедур синтеза (59). Предельная точность для минимально-фазовых объектов (64). Пример (72).

3.2. Предельная статическая точность систем с запаздыванием по управлению.

Предельная точность систем с динамическими компенсаторами (77). Предельная точность систем с дуальными динамическими компенсаторами (80).

3.3. Предельная точность минимально-фазовых систем при случайных возмущениях.

Выводы к главе

Глава 4. Проблема точности в дискретных следящих системах

4.1. Оценка предельной точности дискретных следящих систем для класса регуляторов по состоянию.

Постановка задачи (87). Приведение задачи слежения к задаче стабилизации (88). Решение задачи о предельной точности для LQD-регулятора (90). Пример (92).

4.2. Предельная точность дискретных следящих систем с регулятором по выходу.

Постановка задачи (93). Приведение задачи слежения к задаче стабилизации (95). Решение задачи о предельной точности для динамического регулятора (97). Пример (101).

Выводы к главе

Глава 5. Синтез цифрового риулятора для управления газотурбинным двигателем в режиме разгона

5.1. Модель объекта управления.

Функциональная схема системы управления газотурбинным двигателем (103). Модель газотурбинного двигателя (105).

5.2. Синтез динамической обратной связи.

Формализация задачи синтеза (108). Решение задачи синтеза (109). Результаты анализа (114).

Выводы к главе

За последние 20 лет теория управления претерпела очень большие изменения. На первый план в ней вышли проблемы анализа и синтеза многомерных систем. Методы линейно-квадратической (LQ) оптимизации, модального управления и теории наблюдающих устройств, основанные на концепции пространства состояний, как и возникшая позже теория, стали незаменимым средством решения задачи синтеза регуляторов многомерных систем.

В настоящее время развитие микропроцессорной электроники диктует необходимость повсеместного использования дискретных регуляторов (на летательных аппаратах и космических объектах, в управлении технологическими процессами и т.п.), одним из критериев качества работы которых является точность стабилизации или слежения при действии на систему внешних неконтролируемых возмущений.

Следует отметить, что в рамках задачи синтеза учету внешних возмущений всегда уделялось особое внимание. Перечислим наиболее значимые методы, учитывающих действие внешних факторов. Динамическая компенсация (Бхат-тачария Ш., Волович В., Девисон Е., Уонем М.) применяется в случае неконтролируемых (неизмеряемых) возмущений, для которых предполагается известной некоторая модель. При случайных возмущениях с заданными спектральными свойствами применяются методы стохастической оптимизации (Бьюси Р., Калман Р., Квакернаак X., Ларин В.Б., Петров Ю.П., Уонем М.). Активно развивается теория Нж -оптимизации, которая позволяет решить задачу синтеза, если внешние возмущения представляются убывающими с течением времени (т.е. в классе L2 функций) (Зеймс Дж., Френсис Б., Дойл Дж., Гло-вер К.). Наряду с методами Нж -оптимизации, появилось решение задачи синтеза в случае, когда возмущения ограничены в классе L\ функций (Барабанов А.Е., Пирсон Дж.). Также широкое применение получил метод линейных матричных неравенств (Якубович В.А.), что позволило, в частности, получить такое решение линейно-квадратичной задачи, которое может быть обобщено на случай системы с неопределенностью (Бойд С.).

Однако, как будет показано ниже, перечисленные методы не дают удовлетворительного решения задачи синтеза с учетом требований к точности регулирования. Отметим, что учет требований к точности для некоторых частных случаев может быть произведен выбором коэффициентов функционала в задачах LQ- и #«, -оптимизации (Александров А.Г., Волков Е.Ф., Ершов Н.Н., Тимофеев Ю.К., Честнов В.Н.). В общем случае для непрерывных систем решение получено в линейно-квадратической постановке задачи (Садомцев Ю.В.) при действии на систему постоянных или случайных внешних возмущений. Однако полученные для непрерывных систем результаты нельзя обобщить на случай дискретных систем из-за некоторых особенностей последних. Одна из таких особенностей заключается в том, что невозможно построить управление, гарантирующее достижение в замкнутой дискретной системе любой, сколь угодно высокой точности (Острем К.Ю., Честнов В.Н.). Иными словами, статические ошибки дискретных систем ограничены снизу некоторыми предельно возможными значениями. Таким образом, прежде чем синтезировать дискретный закон управления определенного вида с учетом требований точности, желательно оценить минимально-возможную ошибку регулирования, которая может быть достигнута при заданном периоде дискретности. Очевидно, что вопрос о предельной ошибке определяет проблему существования решения задачи синтеза регуляторов дискретных систем с учетом требований к точности, которая является на сегодняшний день практически открытой. Поэтому проблема синтеза дискретных регуляторов по критериям точности, основу которой составляет задача о предельной ошибке регулирования, является актуальной.

Цель работы состоит в исследовании проблемы установившейся точности многомерных дискретных систем с определенным классом регуляторов, основанной на решении задачи оценки минимально-достижимых ошибок стабилизации или слежения, при типовых (ступенчатых и линено-изменяющихся) или случайных (гауссовских) воздействиях.

Работа состоит из пяти глав. В первой главе дается обзор и анализ существующих подходов к синтезу регуляторов с учетом требований к точности. Обосновывается выбор метода линейно-квадратической дискретной (LQD) оптимизации как наиболее перспективного в рамках исследования проблемы статической точности для дискретных систем. Здесь же в общем виде формулируется задача синтеза, изучаемая в данной работе, устанавливаются классы объектов и внешних возмущений, формализуются требования к точности.

Во второй главе изучается задача о предельно-достижимой точности в системах с линейно-квадратическим дискретным регулятором (LQD-регулятором) полного состояния. Исследуются асимптотические свойства рассматриваемого регулятора, и для минимально-фазового объекта определяется оценка предельной (минимально-достижимой) ошибки регулирования. Анализируется предельно-достижимая точность системы с регулятором по выходу, для случая полного управления (когда размерность вектора управлений совпадает с размерностью вектора состояний). Приводится пример синтеза многомерной дискретной системы по заданным требованиям к статической точности, иллюстрирующий полученные результаты. Также исследуется случай немимально-фазового объекта: предложен не содержащий итераций алгоритм для нахождения точной оценки статической ошибки системы с регулятором полного состояния. Рассмотренный алгоритм проиллюстрирован примером.

В третьей главе применительно к проблеме точности рассмотрены две дуальные друг другу процедуры синтеза динамической обратной связи по выходу минимальной размерности. Одна из них строится с применением наблюдателя Люэнбергера, другая - с применением дуального динамического компенсатора. Применение рассматриваемых процедур синтеза позволяет обеспечить наилучшее расположение некоторых из полюсов системы, а также вычислить точную оценку предельной статической ошибки системы. Показано, что эта оценка определяется матрицами объекта управления, а также внешним возмущением, в качестве которого выбирается функция из класса типовых ступенчатых воздействий. Показано также, что введение запаздывания по управлению не оказывает влияния на предельно-достижимую точность системы. Получена оценка предельной точности системы при случайных возмущениях. Приводится пример синтеза закона управления типа динамического компенсатора. Проводится сравнительный анализ качества переходных процессов системы, замкнутой регулятором полного состояния, и системы, замкнутой динамическим компенсатором.

Четвертая глава посвящена исследованию проблемы точности в следящих системах, когда задающее воздействие выбирается из класса линейно нарастающих функций времени. Здесь изучается задача о предельно-достижимой точности системы с законом управления по полному состоянию для случая, когда объект управления содержит единичный полюс, кратность которого равна размерности вектора управлений. Показано, что в такой системе предельно-достижимая установившаяся ошибка слежения не зависит от параметров объекта, а определяется только периодом дискретности и скоростью нарастания задающего воздействия. В данной главе также исследуется задача о предельной точности системы с динамическим регулятором минимальной размерности. Полученные результаты иллюстрируются примерами.

В пятой главе рассматривается прикладная задача синтеза цифрового регулятора для управления газотурбинным двигателем в режиме разгона. Приводится приближенная нелинейная модель двигателя ТА 18-200. С использованием линейной модели решается задача синтеза закона управления типа динамического компенсатора. Проводится анализ нелинейной системы, замкнутой построенным регулятором. Приводятся графики переходных процессов, из которых видно, что выбранная процедура синтеза обеспечивает требуемую точность и приемлемое качество управления.

Практическая ценность полученных результатов заключается в их конструктивности, практической направленности и тех процедурах, которые позволяют решать задачи синтеза регуляторов многомерных систем с учетом важного критерия — точности стабилизации или слежения при типовых (ступенчатых и линейно-изменяющихся) или случайных (гауссовских) воздействиях. Предлагаемые подходы к синтезу регуляторов могут быть легко алгоритмизированы и реализованы в виде конкретных программных продуктов. На основе полученных результатов решён ряд задач синтеза реальных систем управления (системы стабилизации бокового движения самолёта, продольного движения вертолета, оборотов газотурбинного двигателя и др.)

Работа выполнялась в соответствии с планом госбюджетных научно-исследовательских работ, проводимых на кафедре ТКИ СГТУ в рамках основного научного направления «Аналитическая теория автоматического управления».

Полученные результаты использовались в ОАО «КБ Электроприбор» при разработке системы управления газотурбинным двигателем, что подтверждается соответствующим актом, а также в учебном процессе при чтении лекций по курсу «Теория дискретных систем».

По результатам исследований автором лично и в соавторстве опубликовано 9 научных работ, из них: 4 статьи и 5 материалов конференций. Опубликованные материалы полностью отражают содержание диссертации.

Основные научные результаты, полученные в работе и выносимые на защиту.

1. Для минимально-фазовой дискретной системы с LQD-регулятором полного состояния и дуальным LQD-регулятором при полном управлении в явном виде найдены оценки предельных (минимально-возможных) статической и стохастической ошибок регулирования.

2. Для случая неминимально-фазового объекта предложен не содержащий итераций алгоритм определения асимптотического решения задачи синтеза LQD-регулятора и соответствующей оценки минимально-возможной статической ошибки системы.

Предложены два дуальных подхода к синтезу динамического регулятора минимальной размерности по выходу, основанные на процедуре LQD-оптимизации и блочно-каноническом представлении объекта, обеспечивающие наименьшее влияние наблюдателя (дуального наблюдателя) на динамику замкнутой системы и допускающие оценку максимально-достижимой статической или стохастической точности. Показано, что наличие запаздывания по управлению на один такт, вносимого БЦВМ, не влияет на предельное значение установившейся ошибки.

На основе приведения задачи слежения к задаче стабилизации получена оценка предельной точности в астатической следящей системе при линейно-изменяющемся задающем воздействии с LQD-регулятором полного состояния и динамическим регулятором минимальной размерности.

Выводы к главе 5.

1. Приводится функциональная схема системы управления газотурбинным двигателем (ГТД), а также структурная схема совокупного объекта управления, состоящего из линейного электронного преобразователя, дозатора топлива и ГТД.

2. Описывается модель непрерывного объекта в форме пространства состояний.

3. Решается задача синтеза цифровой динамической обратной связи минимальной размерности для объекта, расширенного дискретным интегратором, и с учетом запаздывания по управлению на один такт.

4. Проводится анализ системы, замкнутой полученным цифровым регулятором, с использованием полной модели объекта управления, с учетом всех факторов (нелинейностей двигателя, конечности разрядных сеток ЦАП и АЦП), определяющих скорость вращения ротора ГТД.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Итоги проведенных в диссертационной работе исследований могут быть кратко сформулированы в виде следующих результатов:

1. Рассмотрена актуальная, как с практической, так и с теоретической точки зрения, задача оценки предельной точности в многомерных дискретных системах для двух видов регуляторов: линейно-квадратического регулятора по полному состоянию; статического регулятора по выходу для случая полного управления (когда размерность вектора управления совпадает с размерностью вектора состояний), синтезированного с применением метода оптимальной дискретной фильтрации. Исследованы асимптотические свойства таких регуляторов, и для минимально-фазового объекта, соответствующего каждому из двух рассматриваемых случаев, в явном виде определены минимально-возможные ошибки регулирования при действии на систему внешних неконтролируемых возмущений из класса ограниченных типовых (ступенчатых) или случайных (гауссовских) функций. Также показана возможность получения значения предельной ошибки для неминимально-фазового объекта.

2. Получено решение задачи оценки предельной точности многомерных дискретных систем для двух классов динамических регуляторов по выходу минимальной размерности, не изменяющих порядка астатизма системы, один из которых строится на основе наблюдателя Люэнбергера (так называемый динамический компенсатор), а другой - на основе дуального наблюдателя (дуальный динамический компенсатор), отличающихся тем, что некоторые из полюсов замкнутой системы оказываются нулевыми, а остальные являются либо полюсами линейно-квадратического регулятора, либо полюсами дуального ему фильтра Калмана. Для минимально-фазового объекта в явном виде получена предельная (минимально-возможная) статическая ошибка регулирования. Показана возможность решения задачи для других типов возмущений, в частности для случая, когда внешнее возмущения является дискретным некоррелированным случайным процессом типа белого шума.

3. Исследованы асимптотические свойства многомерных дискретных систем с запаздыванием по управлению для двух классов динамических регуляторов, описанных в п.2. Получены весьма интересные результаты, заключающиеся в том, что введение запаздывания по управлению в предельном случае не оказывает влияния на регулируемый выход системы, в том числе и в установившемся режиме. То есть выражения для минимально-возможных ошибок регулирования в системах с запаздыванием, при действии как ограниченных типовых (ступенчатых) возмущений, так и возмущений из других классов, полностью соответствуют результатам, полученным для систем без запаздывания.

4. Рассмотрена задача оценки предельной точности слежения в дискретных системах с астатизмом, когда задающее воздействие принадлежит классу линейно-нарастающих решетчатых функций, для следующих типов регуляторов: статического регулятора по полному состоянию; динамического регулятора по выходу минимальной размерности, не изменяющего порядка астатизма системы, синтезированного на основе наблюдателя Лю-энбергера (то есть динамического компенсатора). Исследована предельная точность следящих систем для перечисленных типов регуляторов. Показано, что минимально-достижимая установившаяся ошибка системы с регулятором полного состояния, при линейно изменяющемся задающем воздействии не зависит от параметров объекта. Получено выражение для предельной ошибки в системе слежения с регулятором типа динамического компенсатора.

5. Рассмотрена задача точного управления разгоном по линейно-нарастающему закону газотурбинного двигателя (ГТД) ТА-18-200, выступающего в роли вспомогательной силовой установки летательного аппарата. Приведена нелинейная модель в безразмерном виде. Для решения задачи использовались математические модели газотурбинного двигателя и исполнительных устройств, принимаемые в качестве совокупного объекта управления. Построен цифровой регулятор, обеспечивающий устойчивый разгон двигателя по линейному закону. Моделирование движения ГТД с цифровой системой управления с учетом нелинейностей, присутствующих в системе, конечности разрядных сеток ЦАП и АЦП и запаздыванием в канале управления показало, что поставленные требования к динамической и статической точности управления удовлетворяются. Полученное решение использовалось при разработке цифровой системы управления л

ГТД, что подтверждается соответствующим актов ОАО КБ «Электропри-* бор» (стр. 122).

6. Теоретические результаты диссертационного исследования, внедрены в учебный процесс студентов направлений 651900 и 550200 - Автоматизация и управление при изучении разделов дисциплин СД.08.014 «Дискретные системы автоматического управления», СДМ.04 «Теория дискретных систем управления» и использованы при проведении дипломного проектирования студентов указанных направлений. Акт о внедрении прилагается (стр. 123). 1

1. Francis В.A., Zames G. On Я»-optimal sensitivity theory for SISO feedback systems // IEEE Trans. Autom. Control. 1984. V.29. P.9-16.

2. Барабанов A.E., Граничин O.H. Оптимальный регулятор для линейных объектов с ограниченным шумом // А и Т. 1984. №5. С.39-46.

3. Francis В.A. A course in #«, control theory. New York: Springer-Verlag, 1987.

4. Doyle J.C., Glover R., Khargonekar P.P., Francis B.A. State-space solution to standard H2 and HM control problems // IEEE Trans. Autom. Control. 1989. V.34, No. 8. P.831-847.

5. McFarlane D.C., Glover K. Robust control design using normalized coprime factor plant description. New York.: Springer-Verlag, 1990.

6. Kragonekar P.P., Petersen I.R., Zhou R. Robust stabilization and //^-optimal control // IEEE Trans. Autom. Control. 1990. V.35, No.3. P.356-361.

7. Пасуманский M.A., Первозванский A.A. Предельная точность линейных систем с обратной связью и асимптотическое поведение Н2- и //„-норм // А и Т. 1995. №7. С.24-32.

8. Брусин В.А. Частотные условия И° -управления и абсолютной стабилизации // А и Т. 1996. № 5. С. 17-25.

9. Александров А.Г., Честное В.Н. Синтез многомерных систем заданной точности. II. Применение процедур //«-оптимизации // А и Т. 1998. №8. С. 124138.

10. Helton J.W., Merino О. Classical control usingmethods. Philadelphia: SIAM,1998.

11. Честное В.Н. Синтез регуляторов многомерных систем по заданному радиусу запасов устойчивости на базе процедуры //«, оптимизации // А и Т.1999. №7. С.100-109.

12. Youla D.C., Jabr Н.А., Bongiorno J.J. Modern Wiener-Hopf design of optimal controllers. Part II // IEEE Trans. Autom. Control. 1976. V.21. P.319-338.

13. Bongiorno J.J., Youla D.C. On the design of single-loop single input-output feedback control systems in the complex frequency domain // IEEE Trans. Autom. Control. 1977. V.22, No.3. P.416-423.

14. Kucera V. Discrete linear control. New York: John Wiley, 1979.

15. Якубович Е.Д. Решение задачи оптимального управления для линейных дискретных систем // А и Т. 1975. №9. С.73-79.

16. Vidyasagar М. Optimal rejection of persistent bounded disturbances // IEEE Trans. Autom. Control. 1986. V.31. P.527-535.

17. Dahleh M., Pearson J.B. l\ optimal feedback controllers for MIMO discrete systems // IEEE Trans. Autom. Control. 1987. V.32, No.4. P.314-322.

18. Барабанов A.E. Синтез минимаксных регуляторов. С.-Петербург: Изд-во С.-Петербургского ун-та, 1996.

19. Dahleh М., Diaz-Bobillo I.J. Control of uncertain systems: a linear programming approach. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1995.

20. Вишняков A.H., Поляк Б.Т. Синтез регуляторов низкого порядка для дискретных систем управления при наличии неслучайных возмущений // А и Т. 2000. №9. С.112-119.

21. Branchini F., Sznaier М. A convex optimization approach for fixed-order controller design for disturbance rejection in SISO systems // IEEE. Trans. Autom. Control. 2000. V.45. P.784-789.

22. Поляк Б. Т., Щербаков Б.С. Робастная устойчивость и управление. М.: Наука, 2002.

23. Воронов А.А. Основы теории автоматического управления. Автоматическое регулирование непрерывных линейных систем. М.: Наука, 1967.

24. Rosenbrock И.И. Computer-aided control system design. London: Academic Press, 1974.

25. Polyak В., Halpern M. Optimal design for discrete-time linear systems via new performance index // Intern. J. Adaptive Control Sig. Proc. 2001. V.15, No.2. P.129-152.

26. Куржанский А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.: Наука, 1977.

27. Boyd S.L., El Ghaoui L., Feron E., Balakrishnan V. Linear matrix inequalities in systems and control theory. Philadelphia: SIAM, 1994.

28. Александров А.Г. Частотные свойства оптимальных линейных систем с несколькими управлениями // А и Т. 1969. №12.

29. Александров А.Г. Аналитический синтез передаточных матриц регуляторов на основе частотных критериев качества II // А и Т. 1972. № 2. С. 17-29.

30. Александров А.Г. Аналитический синтез регуляторов по заданным показателям качества переходных процессов // Аналитические методы синтеза регуляторов. Межвуз. научн. сб.: Саратов, СПИ. 1978. С.22-38.

31. Тимофеев Ю.К. Статические ошибки аналитически сконструированных систем // Аналитические методы синтеза регуляторов. Межвуз. научн. сб.: Саратов, СПИ. 1976. С.53-60.

32. Садомцев Ю.В. Аналитический синтез регуляторов при случайных возмущениях // Аналитические методы синтеза регуляторов. Межвуз. научн. сб.: Саратов, СПИ. 1978. С.39-57.

33. Волков Е.Ф., Ершов Н.Н. Синтез асимптотически устойчивых многосвязных систем с заданной статической точностью // А и Т. 1981. № 7. С. 19-27.

34. Александров А.Г. Синтез регуляторов многомерных систем. М.: Машиностроение, 1986.

35. Садомцев Ю.В. Основы подхода к решению задачи стохастического линейного регулирования и слежения по критериям точности и грубости // Известия РАН. Теория и системы управления. 1998. №4. С.57-94.

36. Александров А.Г., Честное В.Н. Синтез многомерных систем заданной точности. I. Применение процедур LQ-оптимизации // А и Т. 1998. № 7. С.83-95.

37. Kwakernaak Н., Sivan R. The Maximally Achievable Accuracy of Linear Optimal Regulators and Linear Optimal Filters // IEEE Trans. Autom. Control 1972.1. V. 17. No. 1. P.79-86.

38. Садомцев Ю.В. Проблема статической точности в теории многомерных систем автоматического управления // Известия РАН. Теория и системы управления. 2001. №2. С.48-59.

39. Садомцев Ю.В. Синтез многомерных систем управления по критерию статической точности // Аналитическая теория автоматического управления и ее приложения: Труды Международн. научн. конф. Саратов. 2000. С. 141146.

40. Shaked U. Guaranteed Stability Margins for Discrete-Time Linear-Quadratic Optimal Regulator// IEEE Trans. Autom. Contr. 1986. V.AC-31. № 2. P. 162-165.

41. Острем К, Виттенмарк Б. Системы управления с ЭВМ. М.: Мир. 1987.

42. Davison E.J. The output control of linear time-invariant multivariable systems with unmeasurable arbitrary disturbances // IEEE Trans. Aut. Control. 1972. V.AC-17. № 5. P.621-630.

43. Davison E.J. The feedforward control of linear multivariable time-invariant systems //Automatica. 1973. V.9. P.561-573.

44. Davison E.J. A generalization of the output control of linear multivariable systems with unmeasurable arbitrary disturbances // IEEE Trans. Aut. Control. 1975. V.AC-20. № 6. P.788-792.

45. Davison E.J. The steady-state invertibility and feedforward control of linear time-invariant systems // IEEE Trans. Aut. Control. 1976. V.AC-21. № 4. P.529-534.

46. Davison E.J. The robust control of a servomechanism problem for linear time-invariant multivariable systems // IEEE Trans. Autom. Control. 1976. V.AC-21. No.l. P.25-34.

47. Davison E.J., Sherzinger B.M. Perfect control of the robust servomechanism problem // IEEE Trans. Autom. Control. 1987. V.32. No.8. P.689-702.

48. Цянь Сюэ-Сенъ. Техническая кибернетика. М.: И.Л., 1956.

49. Солодовников В.В. Статистическая динамика линейных систем автоматического управления. М.: Физматгиз, 1960.

50. Чанг Ш. Синтез оптимальных систем автоматического управления. М.: Машиностроение, 1964.

51. Солодовников В.В., Матвеев П.С. Расчет оптимальных систем автоматического управления при наличии помех. М.: Машиностроение, 1973.

52. Цейтлин Я.М. Проектирование оптимальных линейных систем. Л.: Машиностроение, 1973.

53. Ларин В.Б., Науменко К.И., Сунцев В.Н. Спектральные методы синтеза линейных систем с обратной связью. Киев: Наукова думка, 1973.

54. Брайсон А., Ю-Ши Хо. Прикладная теория оптимального управления. М.: Мир, 1972.

55. Медич Дж. Статистически оптимальные линейные оценки и управление. М.: Энергия, 1973.

56. Острем К.Ю. Введение в стохастическую теорию управления. М.: Мир, 1973.

57. Параев Ю.И. Введение в статистическую динамику процессов управления и фильтрации. М.: Советское радио, 1976.

58. Квакернаак X., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления. М.: Мир, 1977.

59. Ройтенберг Я.Н. Автоматическое управление. М.: Наука, 1978.

60. Фелъдбаум А.А. Основы теории оптимальных автоматических систем. М.: Наука, 1966.

61. Rom D.B., Sarachik P.Е. The design of optimal compensators for linear constant systems with inaccessible states // IEEE Trans. Aut. Control. 1973. V.AC-18. № 5. P.509-512.

62. Safonov M.G. Stability and robustness of multivariable feedback systems // MIT Press. Cambridge, Massachusets, 1980.

63. Честное B.H. Свойства аналитически сконструированных многомерных систем с цифровыми регуляторами // Изв. ВУЗов СССР. Приборостроение. 1991. № Ю. С.11-18.

64. Честное В.Н. Предельно достижимая точность систем с цифровыми регуляторами // Частотное управление. Труды МИСиС. 1994. Москва. С.40-55.

65. Luenberger D. G. On introduction to observers. // IEEE Trans. Autom. Contr. 1971. V. AC-16.

66. Jemaa L.B., Devison E.J. Performance Limitations in the Robust Servomecha-nism Problem for Sampled LTI Systems I I Proceedings of the 14-th Word Congress of IF AC. China. Beijing. 1999.

67. Садомцев Ю.В., Торгашова О.Ю. Предельная точность дискретных систем с линейно-квадратическим регулятором // Известия РАН. Теория и системы управления. 2001. №6 .С 62-69.

68. Blanvillian P. J., Johnson Т. L. Specific-optimal control with a dual minimal order observer-based compensator. // Int. J. Control. 1978. V. 28. N2.

69. Садомцев Ю.В., Уткин Г.В., Федосеев С.В., Челноков Ю.Н. Управление движением космического платформенного комплекса. III.

70. Куо Б. Теория и проектирование цифровых систем управления. — М.: Машиностроение, 1986.

71. Торгашова О.Ю. Статическая точность LQD-оптимальных следящих систем//Математические методы в технике и технологиях— ММТТ-17. Сб. трудов XVII Международ, науч. конф.: Кострома, изд-во Костромского гос. технол. ун-та. 2004. Т.2. С. 104-107.

72. Торгашова О.Ю., Садомцев Ю.В. Оценка предельной точности дискретных следящих систем для класса регуляторов по состоянию // Проблемы точной механики у правления. Сборник научных трудов.: Саратов, изд-во Сар. гос. тех. ун-та. 2004. С.54-59.

73. Торгашова О.Ю. Оценка предельной точности нейросетевой реализации регулятора по выходу дискретной следящей системы // Интеллектуальные системы. Труды Шестого междунар. симпозиума: М., РУСАКИ, 2004. С.156-159.

74. Торгашова О.Ю. Предельная точность LQ-оптимальных неминимально-фазовых дискретных систем // Доклады академии военных наук. 2003. №6. С. 109-115.

75. Садомцев Ю.В. Грубость многомерных систем с наблюдателем пониженной размерности // Известия РАН. Теория и системы управления. 1999. №6. С.71-81.

76. Иванов Д.В., Садомцев Ю.В. Синтез динамической обратной связи по выходу с учетом свойств грубости // Известия РАН. Теория и системы управления. 2001. №3. С.62-69.

77. Ланкастер П. Теория матриц. М.: Наука. 1978.

78. Садомцев Ю.В. Конструирование систем с обратной связью по критериям точности и грубости. Саратов.: Изд-во Саратовского государственного технического университета. 2003.

79. Садомцев Ю.В. Основы анализа дискретных систем автоматического управления. — Саратов: Изд-во Саратовского государственного технического университета. 1998.

80. Красовский А.А. Системы автоматического управления полетом и их аналитическое конструирование. М.: Наука. 1973.

81. Смагина Е.М. Вопросы анализа линейных многомерных объектов с использованием понятия нуля системы. Томск.: Изд-во Томск, университета. 1990.

82. Янушевский Р.Т. Теория линейных оптимальных многосвязных систем управления. М.: Наука, 1973.

83. Александров А.Г., Калдымов А.А., Тимофеев Ю.К. Об аналитическом конструировании системы управления полетом вертолетов в строю. // Аналитические методы синтеза регуляторов. Выпуск 1. 1976. С. 93-104.

84. Asseo S.J. Phase-variable canonical transformation of multicontroller systems. I I IEEE Trans. Autom. Control. 1968. V.AC-13. №1.

85. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1974.

86. Yokoyama R., Kinnen Е. Phase-variable canonical forms for linear, multi-input, multi-output systems //Int. J. Control. V. 17. № 6. P. 1297-1312.

87. Теория автоматического управления силовыми установками летательных аппаратов. Управление ВРД / Под ред. Шевякова А.А. М.: Машиностроение, 1976.

88. Авдеев О.В., Челмадеев В.Ю., Голодный А.И., Садомцев Ю.В. Приближенная модель газотурбинного двигателя в режиме разгона со стартером. // Проблемы точной механики и управления. Сборник научных трудов. Изд-во Сар. гос. тех. ун-та. 2004.

89. Сабинин Ю.А. Электромашинные устройства автоматики. Л.: Энергоатом-издат. Ленингр. отделение, 1988.

90. Yokoyama R. General structure of linear multi-input, multi-output systems // Technol. Report Iwata Univ. 1972. P. 13-30.

91. Rosenbrock H.H. The zeros of a system // Int. J. Control. 1973. V.18, No.2. P.297-299.

92. Davison E.J., Wang S.H. Property and calculation of transmission zeros of linear multivariable systems // Automatica. 1974. V.10, No.6. P.634-658.

93. Walker D.J. Robust stabilizability of discrete-time systems with normalized stable factor perturbation // Int. J. Control. 1990. V.52, No.2. P.441-455.

94. Geromel J.C., Bernossou J. On bounds of Lyapunov's matrix equation I I IEEE Trans. Autom. Control. 1979. V.AC-24, No.3. P.482-483.

95. Kazunori Y., Kasumasa H. Upper and lower bounds of the solution of the algebraic Riccati equation // IEEE Trans. Autom. Control. 1979. V.AC-24, No.3. P.483-487.

96. Davison E.J., Wang S.H. Properties of linear time-invariant systems subject to arbitrary output and state feedback // IEEE Trans. Autom. Control. 1973. V.AC-18, No.l. P.24-32.

97. Qui L., Davison E.J. Performance limitation of non-minimum phase systems in the servomechanism problem //Automatica. 1993. V.29, No.l. P.37-349.

98. Doyle J.C., Stein G. Multivariable feedback design: concepts for a classical/modern synthesis // IEEE Trans. Autom. Control. 1981. V.26. No.l. P.4-16.

99. Doyle J.C., Stein G. Robustness with observers // IEEE Trans. Autom. Control. 1979. V.24. No.4. P.607-611.

100. Ю. Ф. Лазарев. MatLAB 5.x. К.: Издательская группа BHV, 2000.

101. В. Г. Потемкин. Система MATLAB. Справочное пособие. М.: Диалог-МИФИ, 1997.

102. Н. Н. Мартынов, А.П.Иванов. MATLAB 5.x. Вычисления, визуализация, программирование. М.: Кудиц-образ, 2000.