автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Аналитический синтез регуляторов многомерных систем управления по критериям точности и грубости

ВВЕДЕНИЕ

Стремительное развитие вычислительной техники в конце XX столетия стимулировало автоматизацию многих областей практической деятельности. Это в свою очередь вызвало бурное развитие теории автоматического управления, центральное место в которой стали занимать проблемы анализа и синтеза многомерных систем, придав ей статус аналитической теории. Разработанные в рамках этой теории методы линейно-квадратической оптимизации, модального управления и теории наблюдающих устройств (фильтров), основанные на концепции пространства состояний и векторно-матричного описания, стали мощным инструментом решения задач синтеза регуляторов для различных классов систем управления (стационарных и нестационарных, непрерывных и дискретных и т.д.).

Следует отметить, что несомненные преимущества, которые получили разработчики систем управления с появлением этих методов (возможность алгоритмизации и создания программных средств автоматизированного проектирования, гарантированное свойство устойчивости и др.), во многом объясняется тем обстоятельством, что здесь почти не принимаются во внимание такие трудно формализуемые требования, как точность стабилизации или слежения в условиях действия внешних неконтролируемых возмущений и требования грубости системы, т.е. способности сохранения устойчивости при изменении ее параметров или при наличии неучтенной (немоделируемой) динамики. Это же обстоятельство явилось причиной трудностей применения аналитической теории многомерных систем на практике, так как отмеченные требования являются одними из основных и, как правило, предъявляются инженерами-проектировщиками к реальным системам управления. Таким образом, постановка и формализация задач управления с использованием указанных выше требований, разработка методов синтеза, использующих аппарат и результаты аналитической теории и гарантирующих удовлетворение этих требований, является актуальным.

Заметим, что проблеме синтеза регуляторов с учетом внешних возмущений всегда уделялось особое внимание, как в классической теории од-носвязных систем, так и в современной аналитической теории. Так для неконтролируемых (неизмеряемых) возмущений, заданных некоторой моделью, известны методы динамической компенсации (Бхаттачария Ш., Воло-вич В., Девисон Е., Уонем М.), для случайных возмущений с заданными спектральными свойствами - методы стохастической оптимизации (Бьюси Р., Калман Р., Квакернаак X., Ларин В.Б., Петров Ю.П., Уонем М.), для внешних возмущений из класса L2[0, оо), представленных исчезающими функциями времени - методы Нда-оптимизации (Гловер К., Дойл Дж., Френсис Б.), для произвольных ограниченных по модулю возмущений из класса Li - методы минимаксного управления (Барабанов А.Е., Видьясагар М., Пирсон Дж., Якубович Е.Д.). Анализ этих и некоторых других методов показывает, что с инженерной точки зрения - либо в силу сложности или практической невозможности реализации регуляторов (методы динамической компенсации возмущений и минимаксной оптимизации), либо в силу неопределенности выбора коэффициентов минимизируемых функционалов (методы стохастической и Нда-оптимизации), проблема обеспечения гарантированной точности, в частности, при типовых или случайных возмущениях, пока еще не получила удовлетворительного решения. Более того, если для некоторых частных случаев учет требований точности может быть произведен выбором коэффициентов функционала в задачах LQ- и Hoo-оптимизации (Александров А.Г., Волков Е.Ф., Ершов H.H., Тимофеев Ю.К., Честнов В.Н.), то в общем случае проблема статической или стохастической точности (при постоянных или случайных возмущениях) остается открытой даже на уровне вопросов существования.

Учет свойства грубости при синтезе систем с обратной связью тесно связано с понятиями запасов устойчивости по фазе и коэффициенту усиления, которые могут служить количественной мерой этого свойства. И если в классической теории односвязных систем требование грубости учитывалось достаточно просто (например, путем построения желаемой ЛАЧХ), то для многомерных систем это породило серьезную проблему, изучение которой началось еще в конце 60-х годов и продолжается до сегодняшнего дня. При этом важнейшими результатами являются: установление свойств грубости ЬС)-оптимальных систем с регуляторами по состоянию (Александров А.Г., Андерсон Б., Атанс М., Сафонов М.), введение и обоснование многомерных запасов устойчивости по модулю и фазе (Атанс М., Дойл Дж., Летомаки Н.), разработка некоторых процедур синтеза, обеспечивающих высокие или заданные запасы устойчивости (Александров А.Г., Дойл Дж., Стейн Г., Честнов В.Н.) и др. Заметим, что результаты, связанные с построением грубых регуляторов по измеряемому выходу, в основном ориентированы на применение наблюдателей полного порядка, построенных по схеме оптимального фильтра Калмана. Что же касается применения более предпочтительных наблюдающих устройств минимальной размерности (в общем случае - динамических компенсаторов), то здесь проблема грубости остается практически открытой. Актуальными также являются вопросы изучения свойств грубости некоторых классов Ь(<>-оп-гимальных регуляторов состояния (для функционалов общего вида) и стохастически оптимальных систем, когда внешнее возмущение является цветным шумом.

Проблемы точности и грубости для дискретных или гибридных систем можно выделить в отдельную группу. Это связано с тем, что в отличие от непрерывного случая (при прочих равных условиях) здесь возникает понятие предельной точности, оценка которой в зависимости от использования того или иного метода синтеза является весьма важной и актуальной задачей. Что же касается свойств грубости дискретных систем, то даже с применением ЬС>-регуляторов состояния запасы устойчивости могут оказаться весьма малыми (Александров А.Г., Шакед У.), а для динамических регуляторов по выходу, построенных, например, с использованием наблюдателей минимальной размерности, таких оценок вовсе не существует. Заметим также, что если задачу синтеза регулятора рассматривать в непрерывно-дискретной постановке (такая ситуация характерна для систем управления с БЦВМ в контуре), то способ формирования управлений между моментами квантования несомненно будет влиять, по крайней мере, на динамическую точность системы. Поэтому разработка новых нетрадиционных способов формирования управлений также может сыграть определенную роль в решении указанных выше проблем.

Цель работы состоит в развитии аналитических методов синтеза регуляторов многомерных систем, подверженных действию внешних неконтролируемых возмущений из класса ограниченных типовых (ступенчатых) или случайных (гауссовских) функций, с учетом требований точности, накладываемых на установившуюся ошибку регулирования, и требований грубости замкнутой системы к возможным неструктурируемым неопределенностям в виде немоделируемой динамики на входе или выходе объекта.

Работа состоит из семи глав. В первой главе дается обзор существующих методов, так или иначе ориентированных на решение задач синтеза с учетом требований точности и грубости, проводится анализ этих методов на предмет выработки направлений исследований и формулировки конкретных задач, решение которых позволит достичь поставленной цели. Здесь же в общем виде формулируется задача синтеза, изучаемая в данной работе, устанавливаются классы объектов управления и внешних возмущений, формализуются требования к точности и грубости в виде определенных неравенств - критериев точности и грубости.

Во второй главе изучается принципиальная возможность решения задачи точного управления. В частности: формализуется понятие регулируемых переменных; устанавливаются условия статической и стохастической регулируемости выхода, соответственно для постоянных и случайных возмущений; формулируются и доказываются достаточные условия существования решения задачи синтеза по критериям статической или стохастической точности при одновременном сохранении устойчивости.

В третьей главе на основе метода ЬС^-оптимизации построены процедуры синтеза регулятора состояния, гарантирующие удовлетворение требований статической или стохастической точности при постоянных (ступенчатых) или случайных (гауссовских) возмущениях. При этом задача синтеза по критериям стохастической точности рассматривается в двух вариантах - ограничение спектральной нормы матрицы дисперсий регулируемых выходов и независимое ограничение дисперсий по каждому из них.

В четвертой главе рассматриваются условия грубости некоторых оптимальных систем - Ьр-оптимальных систем с функционалом общего вида, к которым, в частности, сводятся некоторые из задач точного управления, и стохастически оптимальных систем, когда внешнее возмущение является цветным шумом. Причем для последней задачи, на основе полученных условий, разработана процедура синтеза грубых и физически реализуемых регуляторов по выходу, базирующаяся на определенной структуре минимизируемого функционала.

В пятой главе предлагаются две дуальные друг другу процедуры синтеза динамической обратной связи по выходу минимальной размерности с учетом свойств грубости. Причем одна из них строится с применением наблюдателя Люэнбергера и позволяет удовлетворить критериям грубости при мультипликативных неструктурированых неопределенностях на входе объекта, а другая, построенная с применением дуального динамического компенсатора, обеспечивает аналогичные свойства на его выходе.

Шестая

глава посвящена исследованию проблем точности и грубости для дискретных и непрерывно-дискретных систем. Здесь, в частности, изучаются: задача о предельно-достижимой точности в дискретных системах с ЬС>-регулятором; проблема оценки свойств грубости в дискретной системе с динамическим регулятором по выход}', построенного с применением наблюдателя Люэнбергера минимальной размерности; новые нетрадиционные способы формирования управлений между моментами квантования, позволяющие повысить динамическую точность стабилизации.

В седьмой главе рассматривается прикладная задача управления движением космического платформенного комплекса. Здесь приводится полная математическая модель этого комплекса, предлагаются некоторые алгоритмы программного управления, и дается решение задачи синтеза дискретного (реализуемого в бортовом процессоре) регулятора, обеспечивающего высокоточное отслеживание заданной программы движения и приемлемые свойства грубости.

Проведенные в работе исследования выполнены в соответствии с планом госбюджетных научно-исследовательских работ, проводимых на кафедре «Техническая кибернетика и информатика» Саратовского государственного технического университета в рамках основного научного направления кафедры «Аналитическая теория многомерных систем автоматического управления», а также в рамках госбюджетных исследований по теме «Анализ и синтез законов управления движением в ньютоновском гравитационном поле на основе кватернионных методов механики и методов пространства состояний» (ГР № 01.9.80 0 02098), проводимых в Институте проблем точной механики и управления РАН в соответствии с Комплексной программой фундаментальных исследований. С 1996 по 1998 гг. работы проводились при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 96-01-01870).

Полученные в работе теоретические результаты использовались при разработке математического и алгоритмического обеспечения для высокоточного управления движением космического платформенного комплекса «ТСП-Аргус» международного проекта «Марс». Соответствующие исследования проводились в ИПТМУ РАН в рамках хоздоговорных работ № 51 от 01.01.94 с ИКИ РАН (г. Москва), а также № 11-51 от 27.02.90 и № 50-50 от 01.01.94 с ОАО «ВНИИТрансмаш» (г.С.-Петербург).

Ряд результатов полученных в работе были использованы при разработке программного комплекса «САНД», предназначенного для автоматазированного синтеза и анализа непрерывно-дискретных систем автоматического управления и внедренного в учебный процесс на кафедре ТКИ СГТУ, а также используются в некоторых лекционных курсах (ТАУ, Теория дискретных систем и др.), читаемых студентам специальности 210100.

Основные научные результаты, полученные в работе и выносимые на защиту:

1. Формализована задача синтеза регуляторов многомерных систем при ограниченных типовых (ступенчатых) или случайных (гауссовских) возмущениях, в которой требования точности в установившемся режиме выражаются по отношению к евклидовой норме вектора регулируемых переменных или по отношению к норме матрицы дисперсий этих переменных, а требования грубости определяются с использованием понятий многомерных запасов устойчивости по фазе и коэффициенту усиления.

2. Введены понятия и определены условия статической и стохастической регулируемости выхода, связанные с принципиальной возможностью достижения требований к точности (по тем или иным выходным переменным) изменением параметров регулятора. Получены достаточные условия гарантированной статической или стохастической точности, при выполнении которых существует решение соответствующей задачи точного управления в классе регуляторов по состоянию, обеспечивающих устойчивость замкнутой системы.

3. На основе полученных условий и метода ЬС^-оптимизации разработаны процедуры синтеза регуляторов состояния, гарантирующие удовлетворение требований статической или стохастической точности при постоянных (ступенчатых) или случайных (гауссовских) возмущениях. Показано, что задача синтеза по независимым критериям стохастической точности (определяемым для каждой из регулируемых переменных) может быть сведена к задаче Ь(^~оптимизации с функционалом общего вида, весовые матрицы которого выражаются определенным образом через параметры объекта и требования точности.

4. Определены условия и свойства грубости для некоторых классов оптимальных систем - Ь(5-оптимальных систем с функционалом общего вида и стохастически оптимальных систем, когда внешнее возмущение является цветным шумом. Для последней задачи, на основе полученных условий, разработана процедура синтеза грубых и физически реализуемых регуляторов по выходу, базирующаяся на выборе определенной структуры минимизируемого функционала.

5. Разработаны две дуальные друг другу процедуры синтеза динамического регулятора по выходу минимальной размерности с учетом свойств грубости. Причем одна из них позволяет удовлетворить введенным критериям грубости при мультипликативных неструктурированых неопределенностях на входе объекта, а другая - на его выходе.

6. Исследована задача о предельной точности дискретных систем с ЬС>-регуляторами состояния, и для минимально-фазовых объектов в явном виде найдены оценки предельных (минимально-возможных) статической и стохастической ошибок регулирования.

7. Проведено исследование свойств грубости дискретных систем с динамическим регулятором по выходу, полученного объединением линейно-квадратического дискретного (ЬС>0) регулятора состояния и наблюдателя Люэнбергера минимальной размерности, построенного по алгоритму оптимальной дискретной фильтрации Калмана. Для некоторых практически важных частных случаев получены оценки обобщенного показателя грубости - радиуса запасов устойчивости.

8. Предложен новый способ формирования управлений между моментами квантования (в непрерывно-дискретных системах) с помощью полиномиальных функций, коэффициенты которых рассматриваются как некоторые искусственно введенные управления. Показано, что если для синтеза этих управлений (по принципу обратной связи) применить метод И^В-оп-тимизации (в непрерывно-дискретной постановке), то это приводит к повышению, по крайней мере, динамической точности.

Глава 1. СОСТОЯНИЕ ПРОБЛЕМЫ И ЗАДАЧИ ДИССЕРТАЦИИ

1.1. Проблемы точности и грубости в теории многомерных систем автоматического управления

Методы синтеза регуляторов с учетом возмущений и проблема точности. Как уже отмечалось во введении, проблема точного управления всегда стояла в центре внимания, как в классической, так и в современной теории автоматического управления. Под точным управлением мы будем понимать такое управление по принципу обратной связи, при котором гарантируется, что при действии на систему внешних возмущений (задающих воздействий) из определенного класса, установившиеся значения регулируемых переменных (ошибок стабилизации или слежения) не превосходят заданных допусков. Очевидно, что решение этой проблемы тесно связано с возможностью учета внешних возмущений и задающих воздействий при синтезе законов управления. Отметим, что в зависимости от условий работы системы и от конкретных технических требований, возникают различные постановки задач управления при внешних воздействиях. Основными из них являются: полная компенсация возмущений по отношению к одной или нескольким выходным переменным объекта; динамическая компенсация возмущений (при действии детерминированных или неопределенных возмущений, для которых может быть построена некоторая модель); оптимизация вынужденного движения по квадратичному критерию; минимизация дисперсий ошибок регулирования (при случайных гауссовских возмущениях с заданными статистическими характеристиками); минимизация ошибок регулирования при наихудших возмущениях (минимаксные и игровые задачи управления). Ниже приводится краткий обзор и анализ существующих методов синтеза по этим направлениям.

Разработке принципа полной компенсации возмущений посвящено значительное число работ отечественных и зарубежных авторов. При этом результаты отечественных ученых в этой области, опирающиеся в основном на аппарат теории дифференциальных уравнений, составляют основу теории инвариантности. Начало развития этой теории можно отнести к работе Г.В.Щипанова [1], в которой впервые были получены условия компенсации возмущений. Обобщив эти условия, Н.Н.Лузин сформулировал в [2] принцип инвариантности одной из обобщенных координат динамической системы относительно возмущающего воздействия, который составляет основу методов теории инвариантности. Особенностью инвариантных систем является то, что условия полной инвариантности оказываются не всегда физически осуществимыми, так как приводят к системам с бесконечным коэффициентом усиления [3]. Критерий реализуемости условий инвариантности найден Б.Н.Петровым [4,5]. Этот критерий, известный как принцип двухканальности, является основополагающим при синтезе систем комбинированного управления [6]. Требование физической реализуемости законов управления, которое часто находится в противоречии с условиями инвариантности, привели к появлению задач инвариантности с точностью до б [7]. Развитию и применению принципа инвариантности посвящены также работы [8-10], а основные результаты достаточно полно представлены в монографии [11].

В работе [12] развивается вариационный подход к проблеме. Полученные здесь результаты позволяют сделать (для линейной постановки) интересные выводы о связи теории инвариантности с теорией управляемости и наблюдаемости [13]. В частности, для независимости выходных переменных замкнутой системы от внешнего возмущения необходимым условием является неполная управляемость этой системы по возмущению или неполная наблюдаемость по выходу. При этом достаточным условием является принадлежность выходных переменных либо подпространству неуправляемых, либо подпространству ненаблюдаемых состояний.

В отличие от отечественных достижений, исследования зарубежных ученых в этой области базируются на концепции пространства состояний.

Суть этих методов заключается в отыскании уравнения и параметров регулятора в виде прямой и обратной связи или, если это возможно, только обратной связи так, чтобы выходные переменные системы не зависели от возмущений, которые, как и в теории инвариантности, принимаются произвольными и неизвестными функциями. Необходимые и достаточные условия существования такого регулятора рассматривались, например, в работах [14-19]. Полученные здесь результаты даны на языке функциональных пространств и поэтому трудны для практического использования. В [20] условия существования приведены в терминах исходных матриц модели объекта. Интересно отметить, что эти условия являются, по существу, другой формой записи условий инвариантности, полученных в [12], однако позволяют построить процедуру синтеза, которая, кроме всего прочего, обеспечивает произвольное размещение полюсов замкнутой системы. В работе [21] предложена процедура синтеза при неполном измерении вектора состояний. При этом используется динамический регулятор, включающий связь по возмущению и по измеряемому выходу объекта.

Анализируя методы теории инвариантности, как по отечественным, так и зарубежным публикациям, можно прийти к выводу о том, что полная или почти полная (с точностью до б) компенсация возмущений, как правило, возможна лишь в том случае, когда внешнее возмущение является измеримым. При неизмеримых возмущениях на первый план выдвигается проблема физической осуществимости. Это связано с тем, что в этом случае условия полной инвариантности приводят [22] либо к системе с бесконечным коэффициентом усиления, либо к негрубой системе, в том смысле, что малые изменения параметров объекта или регулятора от расчетных ведут к резкому качественному изменению поведения данной системы, в том числе и к потере устойчивости. Таким образом, при неизмеримых и неизвестных внешних возмущениях абсолютно точное (или почти абсолютно точное) управление практически не реализуемо.

В отличие от теории инвариантности методы динамической компенсации возмущений исходят из того, что внешние возмущения или задающие воздействия принадлежат к определенному классу детерминированных функций. В частности предполагается, что они могут быть представлены как решения дифференциальных уравнений фиксированного порядка с известными параметрами, а неопределенность, присущая внешним воздействиям, закладывается в неопределенность начальных условий. Такой способ описания воздействий, известный как принцип внутренней модели, позволяет синтезировать регулятор по выходу (динамический компенсатор), структура и параметры которого определяются моделями внешних возмущений и эталонных сигналов. Разработке подобных методов посвящены, например, работы [23-28]. Подробную библиографию по данному вопросу можно найти также в обзорной статье [29], где, в частности, приведены условия существования решения и процедура синтеза.

Заметим, что суть подхода состоит в расширении пространства состояний управляемого объекта за счет моделей внешних воздействий. Это позволяет не только учесть при синтезе неизмеримые внешние воздействия, но и произвольным образом назначить собственную динамику замкнутой системы (размещение полюсов, минимизация квадратичного критерий и пр.). Эффект компенсации возмущений достигается при этом, либо построением динамического компенсатора [27], либо применением наблюдателя возмущений [28]. В частном случае, при учете ступенчатых воздействий, получается известный алгоритм с интегратором в контуре управления [30-32].

Анализ данных методов приводит к выводу о том, что решение проблемы точного управления с использованием указанного подхода наталкивается на определенные трудности. Это связано с тем, что, во-первых, класс внешних воздействий оказывается весьма ограниченным и, во-вторых, структура регулятора неоправданно усложняется.

Методы оптимизации вынужденного движения явились результатом обобщения известной задачи линейно-квадратической (1X2) оптимизации [33, 34] на класс задач оптимальной стабилизации при внешних измеряемых возмущениях [35, 36]. Суть этих методов состоит в том, что если движение системы рассматривается на конечном промежутке времени, на котором внешнее возмущение является известной векторной функцией, то стандартное решение задачи ЬС>-оптимизации (например, на основе метода динамического программирования) приводит к закону управления, содержащему, помимо составляющей по полному вектору состояний, составляющую, зависящую от внешнего возмущения. Эта составляющая определяется [35, 36] некоторой векторной функцией, которая является решением неоднородного дифференциального уравнения с заданным терминальным состоянием. Причем, правая часть этого уравнения содержит измеримое внешнее возмущение. Аналогичное решение было получено и для задачи оптимального слежения [36], когда задающее воздействие является измеряемой и известной на всем интервале векторной функцией времени. Заметим, что в силу конечности интервала времени оптимальный регулятор оказывается нестационарным даже при постоянных матрицах объекта и функционала. Стационарное решение для полубесконечного интервала времени получено в [37, 38] и обсуждалось также в монографиях [39, 40]. Особенностью рассматриваемых здесь задач по сравнению с [35, 36] является то, что внешние возмущения предполагаются исчезающими функциями, что обусловлено требованием сходимости функционала.

Анализируя методы Ьр-оптимизации при внешних воздействиях с точки зрения решения задачи точного управления нетрудно увидеть, что возможность применения этих методов на практике весьма ограничена. С одной стороны это требование измеримости возмущений, а с другой - необходимость полной априорной информации о внешнем воздействии на всем промежутке времени. Попытка устранения второго ограничения путем введения скользящего интервала оптимизации [41], в сущности, приводит к методу компенсации возмущения по принципу двухканальности [6]. Однако полной компенсации здесь не происходит вследствие ограниченных затрат на управление, предусмотренных минимизируемым функционалом. Другими словами оптимальное управление с учетом внешних возмущений вовсе не означает решение задачи точного управления в смысле гарантированного удовлетворения требованиям точности.

Методы минимизации дисперсий ошибок регулирования (при случайных гауссовских возмущениях с заданными статистическими характеристиками) относятся к методам теории стохастической оптимизации. В этой теории можно выделить два важных направления. Это оптимальная фильтрация зашумленных случайных процессов и оптимальное управление при случайных возмущениях и эталонных сигналах. Классические методы стохастической оптимизации развивались именно в рамках первого направления, и основу подхода составляло нахождение передаточной функции оптимального фильтра из условия минимума дисперсии ошибки воспроизведения полезного случайного сигнала, зашумленного помехой. Впервые эта задача была поставлена и решена в работах Колмогорова [42] и Н.Винера [43]. Дальнейшее развитие данной задачи и интерпретация ее как задачи синтеза регулятора определило подход [44-48], основанный на нахождении оптимальной передаточной функции замкнутой системы. При этом передаточная функция оптимального регулятора (корректирующего устройства) находилась по известным соотношениям, связывающим передаточные функции объекта, регулятора и замкнутой системы. В работе [49] рассматривались задачи синтеза регуляторов многомерных систем при случайных возмущениях в прямой постановке. Предложенный здесь метод решения, хотя и базируется на идеях оптимальной фильтрации, не связан с заменой системы с обратной связью эквивалентной разомкнутой системой. Получаемая при этом в явном виде передаточная матрица регулятора гарантирует гурвицевость характеристического полинома замкнутой системы, а дисперсии ошибок стабилизации и управлений достигают минимума. Аналогичная задача исследовалась также в [50-52].

Второе направление теории стохастической оптимизации связано с развитием современных методов синтеза, основанных на концепции пространства состояний. Это направление достаточно подробно представлено, например, в монографиях [35, 53-57]. Один из важных результатов состоит в том, что если состояние объекта возбуждается случайным гауссовским процессом типа белого шума, то стохастическая задача о минимуме функционала, представляющего собой сумму взвешенных дисперсий по переменным состояния и управлениям (задача линейно-квадратично-гауссов-ской или LQG-оптимизации), эквивалентна [58, 59] детерминированной задаче LQ-оптимизации при отсутствии внешних возмущений, но при ненулевых начальных отклонениях, образующих векторную случайную величину с корреляционной матрицей, совпадающей с матрицей интенсивности шума. Если же возмущение является цветным шумом с заданной матрицей спектральных плотностей, то с использованием понятия многомерного формирующего фильтра данная задача сводится к эквивалентной в расширенном (за счет модели фильтра) пространстве состояний и при белом шуме [56]. В этом случае оптимальный закон управления по полному состоянию, помимо состояний объекта, содержит также неизмеримые состояния формирующего фильтра. Таким образом, задача синтеза при цветном шуме является частным случаем задачи при неполной информации о векторе состояний и при белом шуме, возбуждающем это состояние.

Задача оптимальной оценки состояния при неполных и неточных измерениях впервые была решена Калманом P.E. и Бьюси P.C. в работе [60]. Здесь предполагалось, что внешнее возмущение и помехи измерения являются некоррелированными случайными процессами типа белого шума. Решение задачи для случая, когда эти процессы являются коррелированными дано в [61]. Задача наблюдения при цветном шуме рассматривалась в [62, 63]. С использованием принципа разделения, сформулированного и доказанного в [64], эти результаты послужили основой для построения процедуры синтеза ЬСЮ-оптимальных регуляторов при неполных и за-шумленных измерениях. Суть ее состоит в том, что регулятор по измеряемому выходу образуется объединением ЬС^в-оптимального регулятора по полному состоянию и оптимального фильтра Калмана, восстанавливающего это состояние с минимальной среднеквадратической ошибкой. Дальнейшее развитие стандартного ЬС)0-подхода привело к постановке сингулярных стохастических задач. Это задачи сингулярного управления (минимизируемый функционал не содержит управлений) и сингулярного наблюдения (измеряемые переменные свободны от помех). Решение этих задач дано, например, в [59, 65] с использованием динамических компенсаторов минимальной размерности.

Анализируя методы стохастической оптимизации нетрудно заметить, что здесь не формализованы и не используются требования к точности стабилизации или слежения, которые подразумевают, что установившиеся дисперсии ошибок регулирования должны быть не выше заданных. Это приводит к проблеме выбора весовых матриц функционала оптимизации, которая обычно решается методом целенаправленного перебора и чередования с этапами промежуточного анализа, что значительно снижает эффективность ЬСЮ-подхода. Кроме того, если внешнее возмущение или задающее воздействие является экспоненциально-коррелированным (цветным) шумом, то требование минимума функционала приводит к необходимости расширения пространства состояний, что с практической точки зрения неоправданно усложняет задачу.

Исследования задач управления при внешних воздействиях естественно привели к появлению еще одного направления, которое можно охарактеризовать как методы минимизации ошибок регулирования при наихудших возмущениях. Это направление, начатое Б.В.Булгаковым [66] и Н.Г.Чеботаревым [67], было развито затем в работах Н.Н.Красовского [68], и А.Б.Куржаиского [69] и др. на базе методов минимакса и теории дифференциальных игр. Заметим, что рассматриваемые в [68, 69] задачи управления характеризуются как достаточно общие (неопределенность начальных условий и внешних воздействий, неполное измерение вектора состояний объекта, ограниченность управлений и переменных состояния), что приводит к весьма сложным законам управления, которые трудно реализовать на практике. К данному направлению можно отнести также работы по L\ оптимальному управлению [70-74] и исследования по Н,0 теории оптимизации [75-77]. Эти теории в настоящее время активно развиваются [7880], могут трактоваться как игровые задачи и решаться на основе минимаксного подхода [80, 81]. Заметим, что в L ¡-теории класс внешних возмущений - произвольные ограниченные функции времени, а критерием оптимизации является максимум модуля отклонения регулируемой переменной. Однако минимизация этого критерия вовсе не означает, что будут выполнены требования к точности в установившемся режиме, например, при типовых внешних возмущениях (ступенчатых или гармонических), а также при случайных возмущениях с известными спектральными свойствами. Кроме того, передаточные функции /^ оптимальных непрерывных регуляторов могут оказаться нерациональными [80, 82], что нежелательно в плане их реализации. Что касается теории //» оптимизации, то здесь в качестве внешних возмущений принимаются функции времени конечной энергии (исчезающие функции времени), а процедура синтеза сводится [77] к решению двух дуальных друг другу уравнений типа Лурье-Риккати, чем обеспечивается минимизация //»-нормы матричной передаточной функции замкнутой системы, которая устанавливает связь между обобщенным вектором выходов, составленного из регулируемых переменных и управлений, и обобщенным вектором входов, состоящего из внешних возмущений и помех измерения. При этом закон управления имеет структуру ЬС^Ю-оптимального регулятора, для которого справедлива обобщенная теорема разделения [77], аналогичная теореме разделения ЬрО-оптимальных систем. Следует заметить, что методы Нт оптимизации также не дают решения задачи точного управления, так как минимизация нормы обобщенной передаточной матрицы замкнутой системы вовсе не означает, что установившиеся ошибки регулирования будут меньше заданных, и как показано в [83], решение этой проблемы наталкивается на те же трудности, которые присущи методам ЬрО-оптимизации.

Исследования проблемы точного управления. Приведенный выше обзор и анализ методов синтеза регуляторов при внешних возмущениях показывает, что проблема точного управления пока еще не получила удовлетворительного решения, за исключением, быть может, односвязных непрерывных систем, когда модель системы может быть представлена структурной схемой и передаточными функциями. В этом случае, например, при ступенчатых возмущениях, данная проблема, как известно, решается выбором статического коэффициента передачи разомкнутого контура [84]. Известно также, что, по крайней мере, для минимально-фазовых систем, выбором этого коэффициента можно достичь (при отсутствии помех измерения) любой наперед заданной статической точности, в том смысле, что установившаяся ошибка регулирования, обусловленная внешним возмущением, может быть сделана сколь угодно малой. При случайных возмущениях с заданными спектральными характеристиками случай односвяз-ной системы также допускает удовлетворительное решение задачи, путем построения соответствующей желаемой ЛАЧХ разомкнутого контура и выбором необходимой полосы пропускания [56].

Для многомерных систем, когда модель объекта управления (системы) задается уравнениями состояний, вопрос обеспечения требуемой точности уже не является таким очевидным. Исследование этой проблемы в рамках метода ЬС>-оптимизации при ступенчатых и гармонических возмущениях были начаты еще в [85, 86] и продолжены затем в работах [87-95]. Причем в [89, 91] класс внешних возмущений расширен до случайных, а в [95] до полигармонических (представленных суммой конечного числа гармоник с неизвестными, но ограниченными амплитудами, а также с неизвестными частотами и начальными фазами). Основным результатом этих работ является то, что если внешние возмущения приложены к объекту аддитивно с управлениями (в одной точке), или если регулируемые переменные минимально-фазового объекта одновременно являются измеряемыми, то выбором весовых коэффициентов функционала оптимизации можно достичь любой наперед заданной точности по регулируемым выходам системы, число которых принималось равным числу управлений.

Дальнейшие исследования проблемы точного управления при полигармонических возмущениях в рамках процедур Нт оптимизации [83, 96] привели к снятию многих из указанных выше ограничений. С этой целью в [83] было введено понятие радиуса установившихся состояний (в [96] это понятие использовалось в среднеквадратическом смысле), который представлял собой сумму взвешенных квадратов регулируемых переменных и управлений. При этом регулятор строился как по полному состоянию, так и по измеряемому выходу с применением наблюдателя полного порядка (фильтра Калмана), а решение задачи точного управления (в смысле радиуса установившихся состояний) достигалось выбором весовых коэффициентов соответствующего минимаксного квадратичного функционала.

Альтернативный подход к проблеме точного управления в рамках задачи Ь(,)-оптимизации рассмотрен в [97], где в качестве ошибки регулирования принимается величина интегрального квадратичного функционала, составленного для регулируемых переменных системы в ее свободном движении. Интересно отметить, что полученные здесь условия абсолютно точного управления (нулевой интегральной ошибки) сводятся к требованию минимальной фазовости объекта при ограничении сверху числа регулируемых выходов числом управлений, что в некоторых случаях совпадает с условиями разрешимости задачи точного управления при внешних возмущениях [85-95]. Аналогичные результаты были получены также в [98], где проблема предельной точности исследовалась с использованием процедур Н2 и Ню оптимизации.

Анализ публикаций по проблеме точного управления показывает, что существуют некоторые общие условия присущие объекту и не связанные с тем или иным методом синтеза, при выполнении которых по регулируемым выходам системы можно достичь любой наперед заданной точности стабилизации или слежения. В связи с этим в [93, 94] были выделены два вида объектов, для которых задача точного управления имеет гарантированное решение. Первый из них определяется условиями полного измерения вектора состояний и аддитивностью приложения внешних возмущений и управлений, а второй - условием совпадения регулируемых и измеряемых выходов и требованием минимальной фазовости объекта управления. При этом в обоих случаях полагается, что число регулируемых выходов совпадает с числом управлений. Следует, однако, заметить, что выделенные виды объектов являются достаточно узкими и в практических задачах встречаются весьма редко, особенно первый вид. Кроме того, из физических соображений ясно (и это подтверждается методом ЛЧХ для систем со скалярным управлением), что существует гораздо более широкий класс объектов, для которых задача точного управления также может быть успешно решена.

Особо следует выделить проблему точного управления для дискретных систем. Это связано с тем, что в связи с проблемой устойчивости в таких системах существует принципиальное ограничение на величину коэффициентов передачи регулятора. Это означает, что в дискретных системах установившиеся ошибки регулирования не могут быть сделаны сколь угодно малыми, что приводит к понятию предельно-достижимой точности. Данный вопрос достаточно подробно был исследован в [99] без относительно к какому либо методу синтеза дискретной системы. Однако очевидно, что применение того или иного подхода к решению задачи может дать свои оценки этого показателя. В частности, в [93, 100] рассматривалась задача синтеза цифрового регулятора по выходу с применением метода линейно-квадратической дискретной (ЬС^О) оптимизации, и для обеспечения требований к установившимся ошибкам использовался прием расширения пространства состояний за счет введения в контур управления дополнительного инерционного дискретного звена, позволяющего согласовать требования устойчивости (запасов устойчивости) и точности.

Проблема грубости. Наряду с проблемой точности, важнейшей проблемой современной теории многомерных систем управления является обеспечение способности этих систем функционировать при наличии неопределенностей модели объекта, которые всегда присутствуют в практических задачах. Эта проблема, известная как проблема грубости, имеет несколько аспектов, одним из которых является возможность сохранения устойчивости замкнутой системы при вариациях динамических и статических характеристик разомкнутой. Вообще, следует заметить, что термин «грубость» был введен А.А.Андроновым и Л.С.Понтрягиным [101] для обозначения возможности сохранения качественного поведения динамической системы при изменениях ее параметров. Однако в большинстве случаев, в том числе и для систем с обратной связью, этот термин используется для обозначения возможности сохранения свойства устойчивости, которое является важнейшей качественной характеристикой системы. Отметим также, что наряду с термином «грубость» в отечественной литературе используется термин «робастность», заимствованный из зарубежных англоязычных публикаций. Зачастую он применяется [102] в том же смысле, что и термин «грубость», хотя имеет более широкую трактовку, и подразумевает возможность функционирования системы управления не только при изменениях ее параметров, но и при наличии неопределенностей внешних воздействий [103].

К первым исследованиям проблемы грубости систем с обратной связью можно отнести работы [104, 105], где в частности показано, что если неизмеряемые координаты объекта исключаются из закона управления по полному состоянию с помощью уравнений этого объекта (алгоритм прямого восстановления), то система в замкнутом состоянии может оказаться практически неустойчивой (негрубой). Формальная причина состоит в том, что при указанных преобразованиях регулятор становится динамическим и, следовательно, размерность разомкнутой системы увеличивается, в то время как степень характеристического полинома замкнутой системы (ХПЗС) остается равной размерности объекта. Это означает, что при номинальных параметрах коэффициенты старших степеней ХПЗС обнуляются (сокращаются), а при изменениях параметров объекта или регулятора эти коэффициенты уже не равны нулю и могут стать отрицательными. В работе [106] это явление сокращаемости некоторых коэффициентов ХПЗС исследовано с общих позиций, а в [107, 108] - для систем, регуляторы которых построены с применением наблюдающих устройств. При этом одним из основных результатов, объединяющих данные работы, является вывод о том, что классические показатели запасов устойчивости по модулю и фазе могут служить мерой грубости.

В плане последнего замечания весьма важным оказывается фундаментальный результат, заключающийся в том, что система с регулятором полного состояния, который синтезирован на основе процедуры LQ-оптими-зации, имеет высокие запасы устойчивости по модулю и фазе: £>6 дб., ц/>60°. Этот результат для систем со скалярным управлением был получен еще в работах [109, 110], а для систем с векторным управлением - в [85, 111, 112], где, в частности, были введены понятия многомерных запасов устойчивости по модулю и фазе. Кроме того, в [113] было установлено, что система с регулятором полного состояния, синтезированным на основе решения матричного уравнения Ляпунова (оптимальным в смысле функционала обобщенной работы [114]), имеет еще более высокие гарантированные запасы устойчивости со, ц/> 90°).

Отметим, что классические определения запасов устойчивости по модулю и фазе для односвязных систем имеют ясную физическую интерпретацию и связаны [84] с возможностью введения в контур управления (без потери устойчивости) дополнительного коэффициента усиления или чистого фазового сдвига. В этом смысле показатели, используемые в [85, 111, 113], являются весьма ограниченными, так как, либо вообще не имеют физической трактовки [85], либо связаны с возможностью введения дополнительного усиления или фазового сдвига только в один контур многомерной системы при замкнутых остальных [111, 113]. В работе [112] эти недостатки отсутствуют, и запасы устойчивости по модулю или фазе интерпретируются как возможность одновременного изменения усиления или фазы во всех контурах многомерной системы. Однако для оценки этих показателей в [112] используется весьма сложный аппарат функционального анализа, что значительно затрудняет использование этих результатов для последующих аналитических исследований.

Дальнейшие исследования проблемы грубости линейных стационарных систем [115-118] основаны на применении обобщенного критерия Найквиста [119, 120] и используют для представления модели системы понятия «неструктурированных неопределенностей» [116], которые отражают аддитивные или мультипликативные возмущения передаточной матрицы разомкнутой системы. Это привело к оценке грубости многомерных систем с помощью сингулярных значений и спектральных норм соответствующих матриц. Причем, как показано в [117], наиболее удобным способом оценки грубости, из которого непосредственно вытекает обобщение многомерных запасов устойчивости по модулю и фазе, является применение минимального сингулярного значения матрицы возвратной разности системы. Этот показатель имеет тот же смысл, что и введенный в [121] радиус запасов устойчивости, который для односвязных систем определяет минимальное расстояние от критической точки (-1,у'0) до годографа АФЧХ разомкнутой системы. В многомерном случае он позволяет определить спектральную норму мультипликативного возмущения, приведенного ко входу или выходу объекта (например, введением в каждый контур дополнительного усиления или фазового сдвига), при котором система остается устойчивой. С применением данного показателя в [117], в частности, подтверждается, что ЬС^-оптимальные системы с регулятором полного состояния имеют запасы по коэффициенту усиления $В > 6 дб и по фазе у/>60°, а для систем оптимальных в смысле функционала обобщенной работы эти оценки составляют $ °о и у/ > 90°, что совпадает с результатами, полученными в [113].

С использованием понятия многомерных запасов устойчивости в работах [122, 123] разработан метод определения диапазонов изменения параметров системы, при которых она остается устойчивой. Метод основан на идее размыкания системы по варьируемым параметрам [122], что позволяет использовать для решения задачи обобщенный критерий Найкви-ста и критерий Летомаки [117], базирующийся на применении минимального сингулярного значения матрицы возвратной разности исследуемой системы.

Отметим, что высокие запасы устойчивости оптимальных систем гарантированы только для регуляторов полного состояния. К сожалению, в большинстве практических задач вектор состояний объекта не является полностью измеряемым. В этом случае применяется регулятор по измеряемому выходу, причем, как правило, динамический. Наиболее распространенным методом синтеза таких регуляторов является использование в законе управления наблюдающих устройств (фильтров) полного или, что более привлекательно, пониженного порядка. При этом замкнутая номинальная система хотя и остается устойчивой, но, как показано в [107], несмотря на большие запасы устойчивости, обеспечиваемые регулятором полного состояния, запасы устойчивости в системе с введенным в нее наблюдателем могут оказаться близкими к нулю. Этот факт иллюстрируется также в [124,125], где, в частности, отмечается, что расположение полюсов наблюдателя значительно левее полюсов системы с регулятором состояния не только не решает проблему, но в некоторых случаях ее усугубляет.

Исследования проблемы синтеза обратной связи по выходу, которая доставляет замкнутой системе свойства грубости аналогичные свойствам системы с LQ-регулятором состояния, были начаты еще в работе [111], где для нахождения оптимального регулятора по выходу используется алгоритм прямого восстановления, что эквивалентно применению процедуры LQ-оптимизации для объекта, записанного в форме «вход-выход». Здесь, в частности, показано, что если объект управления не имеет нулей, то применение указанной процедуры позволяет построить регулятор по выходу, который не изменяет передаточную матрицу разомкнутой системы по сравнению с регулятором полного состояния, чем и обеспечивается сохранение свойств грубости. Если же передаточная матрица объекта содержит нули, то применение прямого алгоритма восстановления [111] может привести [93] к негрубой системе.

Аналогичные проблемы возникают и при синтезе регуляторов выхода в задачах стохастической оптимизации, когда внешнее возмущение является цветным шумом. В частности, в [126], а также в [50-52], для односвяз-ных систем показано, что при некоторых соотношениях степеней операторных полиномов объекта (при его представлении в форме «вход-выход») и спектральной плотности внешнего возмущения, замкнутая оптимальная система может оказаться негрубой. В свете сказанного выше этот факт не является неожиданным. Действительно, как уже отмечалось, всякую стохастическую задачу оптимизации при цветном шуме можно свести к задаче при белом шуме в расширенном пространстве состояний. С другой стороны, в [127] установлено, что если для оценки неизмеримых координат используется прямой алгоритм восстановления, то процедура синтеза оптимального регулятора по уравнениям «вход-выход» эквивалентна процедуре синтеза в расширенном (за счет модели внешнего возмущения) пространстве состояний, что при определенных условиях приводит к негрубой системе. Для устранения этого недостатка в [50-52] используется метод аппроксимации спектральной плотности внешнего возмущения, а в [126] -метод изменения структуры функционала оптимизации, аналогичный [93].

В работах [125] и [56, 128] предложены дуальные друг другу процедуры асимптотической настройки параметров динамического регулятора, построенного с использованием наблюдателя полной размерности (фильтра Калмана). Суть этих процедур сводится к тому, что некоторые из полюсов наблюдателя [125] или Ь0>-регулятора [56, 128] устремляются к устойчивым нулям объекта, а остальные в бесконечность. В результате, если объект минимально-фазовый, то удается сохранить свойства грубости, присущие либо ЬС)-регулятору [125], либо фильтру Калмана [56, 128]. При этом процедура, предложенная в [125], гарантирует высокие запасы устойчивости по фазе и коэффициенту усиления на входе объекта, а [56, 128] - на его выходе.

В работе [129] для минимально-фазового объекта предлагается метод синтеза регулятора по выходу с наблюдателем Люэнбергера. Суть метода заключается в том, что полюса наблюдателя выбираются в точности равными нулям объекта, число которых должно равняться размерности наблюдателя. При этом удается достичь совпадения передаточных матриц разомкнутых систем с наблюдателем и с регулятором состояния, что и обеспечивает сохранение свойств грубости.

В [130] для односвязного объекта рассмотрен подход к синтезу оптимального динамического регулятора по выходу, в результате которого передаточная функция разомкнутой системы удовлетворяет условию, аналогичному условию низкой чувствительности в системе с Ь(^-регулятором, чем гарантируются высокие запасы устойчивости. Однако уравнения для определения параметров регулятора оказываются при этом не всегда разрешимыми. Аналогичная задача, но для многомерных систем исследовалась в [131, 132]. Здесь для формализации задачи используются понятия радиуса запасов устойчивости и круговых частотных неравенств, что позволило свести решение задачи к стандартной проблеме Н«> -оптимизации. При этом структура регулятора оказывается такой же, как при использовании наблюдателя полного порядка.

Приведенный анализ основных публикаций показывает, что проблему синтеза регуляторов многомерных систем по критерию грубости (высоких запасов устойчивости) при неполной информации о векторе состояний, в какой-то степени, можно считать решенной лишь для случая, когда в законе управления используется наблюдатель полного порядка [56, 125, 128, 131, 132]. Что касается применения более предпочтительных наблюдающих устройств пониженной или минимальной размерности, то эта проблема остается практически открытой.

Следует также отметить, что для дискретных систем проблема грубости является еще более актуальной. Так, например, в [133, 134] показано, что даже оптимальный в смысле квадратичного критерия регулятор по полному состоянию (ЬСЮ-регулятор) может не обеспечивать достаточно высоких показателей грубости, а гарантированные запасы устойчивости могут оказаться существенно меньше, чем в аналогичной задаче непрерывного управления. Причем свойства грубости замкнутой системы зависят как от параметров объекта, так и от коэффициентов функционала [135]. В этой связи можно отметить работы [136, 137], где для устойчивых объектов исследована возможность синтеза регуляторов по полному состоянию, гарантирующих замкнутой системе определенные запасы устойчивости. Предложенный здесь подход базируется либо на решении дискретного матричного уравнения Ляпунова (модифицированный вариант метода дискретной оптимизации по функционалу обобщенной работы), либо на решении дискретного матричного уравнения Лурье-Риккати. Что же касается задач дискретного управления при неполной информации о векторе состояний и задач гибридного (непрерывно-дискретного) управления, то здесь проблема грубости остается практически не изученной.

1.2. Общая постановка задачи синтеза многомерных систем по критериям точности и грубости

Класс систем управления и внешних воздействий. В работе рассматриваются линейные стационарные объекты автоматического управления, которые с использованием векторно-матричной формы описания могут быть представлены уравнениями x(t) = Ax(t) +Bu(t) + Gf(t) , У(О - Cx(t) , 6(t) = Dx(t) , где x g RK - вектор состояний объекта; и е Rm — вектор управлений; е R/; - вектор внешних возмущений; у е Rr - вектор измеряемых переменных (сигналы с датчиков); в е R^1 - вектор физических переменных, представляющих регулируемый выход системы; А, В, G, С, D - числовые матрицы соответствующих размеров, причем В, С и D имеют полные ранги, пара (А, В) является полностью управляемой, а пары (С, А) и (Д А) -полностью наблюдаемыми.

Заметим, что уравнения (1.2.1), вообще говоря, представляют описание объектов управления в задачах стабилизации при внешних возмущениях. В практике автоматического управления не менее важными являются и другие задачи, связанные с отработкой задающих (эталонных) воздействий и известные как задачи слежения. В этом классе задач описание измеряемых и регулируемых переменных будет отличаться от (1.2.1). Тем не менее, как показано в приложении к данной главе, всякую задачу слежения с некоторой априорной информацией о задающем воздействии можно свести к задаче стабилизации при внешнем возмущении. Поэтому в дальнейшем (при теоретических исследованиях) для описания объектов управления ограничимся представлением вида (1.2.1).

Для выбранного класса объектов при неполностью измеримом векторе состояний (т\< г < п) в качестве управляющего устройства будем использовать линейный стационарный динамический регулятор по выходу, уравнения которого можно представить в виде

0 = Ар£(0 + Вру(0 (122) где £ е И.6* (а<п)~ вектор состояний регулятора; Ар, Вр, - числовые матрицы соответствующих размеров, подлежащие определению. В частном случае, когда все переменные состояния доступны измерению (у=х), в качестве регулятора будем использовать закон управления по полному состоянию вида

Рх(/) , (1.2.3) в котором Р- искомая тхп матрица передаточных коэффициентов.

Отметим, что в теории многомерных систем одним из распространенных методов определения динамических регуляторов по выходу (1.2.2) является применение наблюдающих устройств полного или пониженного порядка. В этом случае закон управления (1.2.2) образуется [56] объединением регулятора по состоянию (1.2.3) и наблюдающего устройства

V = ШгО) + Ку(()+МиО) в котором 2 е Ка - вектор состояний наблюдателя, а х е И" - вектор оценок переменных состояния объекта, используемых в законе управления (1.2.3) вместо х. Причем матрицы наблюдателя Щ К, М, V, и определяются таким образом, чтобы х(1)->х(1) при /->оо. При этом нетрудно показать, что если эти матрицы каким либо образом определены, то для закона управления (1.2.2) можно записать

Ар =]¥+!№¥, Вр=К+МРи, Е^ЕУ, % = г

Другим распространенным способом построения регуляторов по выходу является применение динамических компенсаторов [59, 65], к которым иногда относят и наблюдающие устройства.

Наряду с непрерывными регуляторами (1.2.2) или (1.2.3) будем рассматривать также дискретные алгоритмы управления, реализуемые в бортовом компьютере (БЦВМ), который связан с непрерывным объектом через ЦАП и АЦП. В этом случае динамический регулятор по выходу вида (1.2.2) представляется разностными уравнениями

40+1 ) = Ар4(г) + Вру(1) где О е К* вектор дискретных состояний регулятора; у(1)=у(1 результат АЦ-преобразования измеряемых переменных (И - период квантования); и(1) - дискретное управление, которое преобразуется в кусочно-непрерывную вектор-функцию и(1) с помощью ЦАП. Дискретный регулятор по полному состоянию, так же, как и в непрерывном случае, описывается уравнением (1.2.3), но для решетчатых функций, т.е. и0) = РхО) . (1.2.6)

Далее, при рассмотрении задач синтеза дискретных законов управления (1.2.5) или (1.2.6), эффектом квантования по уровню, обусловленным конечностью разрядных сеток ЦАП и АЦП, будем пренебрегать.

Относительно вектора внешних возмущений /(I) будем полагать, что компонентами его являются: либо типовые ступенчатые функции с неизвестными, но ограниченными амплитудами, либо это ограниченные стационарные гауссовские случайные процессы с нулевым средним, заданные с той или иной степенью неопределенности. Таким образом в первом случае для компонент вектора /(() примем а.2.7)

Здесь амплитуды возмущений /* (г = 1, р) являются неизвестными, но ограниченными величинами в том смысле, что

И/Г * 9* - (1.2.8) где ф* - заданное значение, определяющее максимальную величину евклидовой нормы вектора амплитуд возмущений /*= [/*,/*,—,/£]т ■

Во втором случае внешнее возмущение /(() может быть задано матрицей спектральных плотностей Б^ш), которая для стационарных гауссовских процессов представляется эрмитовой матрицей с дробно-рациональными элементами. Ограниченность внешнего возмущения в этом случае будем понимать в том смысле, что

8/(т)\<а/ , (1.2.9) где (Ту - некоторое заданное значение, определяющее наибольшую величину спектральной нормы матрицы Заметим, что для эрмитовых матриц эта матричная норма может быть определена [138] выражением

1и/(о))=Лтах{8/(а)} , (1.2.10) в котором Л{•} обозначает (здесь и далее) собственное значение соответствующей матрицы.

Таким образом, если /({) принадлежит к классу случайных процессов, то в зависимости от полноты информации об этом возмущении будем полагать, что оно задается: либо матрицей спектральных плотностей Sj (со), либо функцией (1.2.10), либо ограничением (1.2.9), в котором, очевидно of = sup jUffco) . (1.2.11)

05CWSOO

Формализация требований к точности. Пусть замкнутая система устойчива1. Тогда при действии на систему внешних возмущений того или иного класса установившиеся значения компонент вектора регулируемых выходов в, (t) 0 = 1 ,щ) будут определять ошибки регулирования дан

J i->oo ной системы. При ступенчатых возмущениях (1.2.7), (1.2.8) эти ошибки являются постоянными e(t)\t - 9СТ = const и характеризуют статическую точность. При этом, поскольку (9,сх (/ = 1, пц) зависят от конкретных значений амплитуд возмущений, то в качестве статической ошибки многомерной системы будем использовать следующую величину д = тах \\0СТ\\ , (1.2.12) иль/ ст" где 10СТ || - евклидова норма вектора 0СТ

В этом случае требование к статической точности, накладываемое на систему при синтезе закона управления, запишется очевидным соотношением д <д* , (1.2.13) в котором д *> 0 - заданное значение, определяемое физическим содержанием задачи.

При случайных возмущениях, когда f(t) задано матрицей спектральных плотностей либо неотрицательной функцией (1.2.10), либо величиной (1.2.11), точность регулирования понимается в стохастическом смысле и определяется установившимися дисперсиями регулируемых пе

1 Для выбранного класса линейных стационарных систем, термин «устойчивая система», как правило, предполагает её асимптотическую устойчивость. Если же система устойчива неасимптотически, то говорят, что она находится на границе устойчивости. ременных (t)}, так что требования к точности можно записать в виде

М{в] (О) < <5/, ] = (1.2.14) где в* (7 = 1 ,тх) - заданные положительные числа.

Если использовать понятие матрицы установившихся дисперсий 0 = М{в(/)вТ(/)}, которая для векторных стационарных случайных процессов является [35, 56] положительно определенной числовой матрицей, то стохастическую точность можно оценивать также скалярной величиной = = > (1.2.15) которую в дальнейшем будем называть стохастической ошибкой регулирования. Тогда требование к точности в стохастическом смысле запишется соотношением, аналогичным (1.2.13), т.е.

5<ё*, (1.2.16) где 8 *> 0 - заданное значение.

Итак, задача синтеза по критериям точности сводится к нахождению параметров закона управления (1.2.2) или (1.2.3) (в дискретной постановке - (1.2.5) или (1.2.6)) так, чтобы замкнутая система была устойчивой и удовлетворялись требования к точности регулирования: (1.2.13) - при ступенчатых возмущениях, либо (1.2.14) или (1.2.16) - при случайных.

Заметим, что в рассматриваемой задаче измеряемые переменные считаются свободными от помех. В этом случае, при использовании непрерывных регуляторов (1.2.2) или (1.2.3), значение 3*, определяющее статическую точность системы, либо значения 5* У = 1,1»^ или 5*, определяющие ее стохастическую (динамическую) точность, при некоторых условиях могут быть выбраны любыми, в том числе и сколь угодно малыми величинами. Если же используется дискретный закон управления, то, как уже отмечалось в обзоре, статические или стохастические ошибки будут ограниченными снизу, что порождает задачу о предельно-достижимой точности даже при отсутствии помех измерения.

Критерии грубости. Рассмотрим сначала непрерывную систему, состоящую из объекта (1.2.1) и регулятора (1.2.2). Будем полагать, что система в замкнутом состоянии устойчива. Обозначим через Я^раз (з) передаточную матрицу этой системы в разомкнутом состоянии. Заметим, что размыкание может осуществляться либо по входам объекта (в этом случае 1Ураз (я) будет иметь размерность тхт\ либо по его измеряемым выходам тогда размерность этой матричной функции составит гхг). Здесь для определенности предположим, что размыкание осуществляется по входам объекта, хотя совершенно очевидно, что рассматриваемые ниже критерии грубости могут быть использованы и для случая размыкания системы по измеряемым выходам объекта.

Следуя [116, 117], для оценки грубости рассматриваемой системы будем использовать показатель а{С(р))}, определяемый как минимальное сингулярное значение (\/а» е (-со, оо)) матрицы возвратной разности

0(*) = 1т+¥раз(з), s = jw, (1.2.17) где 1т здесь и далее обозначает единичную матрицу соответствующих размеров. Отметим, что сингулярные значения сгг {//} для некоторой комплексной квадратной матрицы Н определяются [117, 139] как стД//} = ^¡А^НН*} = {Я*//}", где //*.матрица, эрмитово сопряженная с II.

Использование показателя <7{00'со)} позволяет оценить допустимые параметрические возмущения (в данном случае на входе объекта), при которых замкнутая система остается устойчивой. Это непосредственно ведет к определению критерия грубости. В частности, как показано, например, в [117], если для некоторой системы с передаточной матрицей №раз (з) выполняется условие {1т+ аз (№)} * 1 , V« Е (-оо, оо) , (1.2.18) то такая система в замкнутом состоянии имеет высокие запасы устойчивости по модулю и фазе: 6 дб, у/> 60°. Как уже отмечалось, такими свойствами обладают системы с ЬС^-регуляторами состояния.

Заметим, что при использовании динамических регуляторов по выходу достичь выполнения (1.2.18) удается редко. Поэтому для оценки грубости целесообразнее использовать следующий критерий.

Критерий 1 (грубость по а-фунщиям). Многомерная система с передаточной матрицей 1¥раз (является грубой, если для всех вещественных со выполняется условие е{1т + Краз(]<о)}>\-е , (1.2.19) где б - достаточно малое положительное число.

Рассмотрим физический смысл условия (1.2.19). Для этого обозначим р = \-е (0<р<1). Тогда можно показать [117], что если выполняется

1.2.19), то по каждому физическому входу объекта иг (г = 1 ,т) можно ввести дополнительные коэффициенты усиления к1 с номинальным значением равным единице, которые без потери устойчивости замкнутой системы можно одновременно изменять независимо друг от друга в интервалах к = -±-<к{<-±- = к , г = . (1.2.20)

- 1+р 1 1-р

При этом значения ки к можно трактовать [117], как гарантированные запасы устойчивости по коэффициенту усиления. Кроме того, условие (1.2.19) означает [117], что в этом случае система имеет гарантированный запас по фазе

Уъ^+агссоя , (1.2.21)

V 2 ) который физически можно интерпретировать, как возможность введения в каждый контур системы (на входах объекта) звеньев е^'1, где y/i - чистые фазовые сдвиги с границами независимого изменения, определяемыми значением (1.2.21), т.е. у,- < 0 = Ъ т) ■

Заметим, что действительные диапазоны изменения к{ и у/и вообще говоря, могут оказаться больше гарантированных значений из (1.2.20) и (1.2.21). Поэтому, если, например, вместо значений кик использовать понятие гарантированного логарифмического запаса устойчивости по модулю [84] = 20Цмш^ = 2(%|»яи^1 +р, ^ | = 20/^(1 + р) то из условия (1.2.19) будет вытекать > 20/^(1 + р), у/> агссоз

1.2.22)

Отметим, что для односвязной системы со скалярной характеристикой мраз (]со) показатель р будет определять минимальное расстояние от критической точки (—1, уО) до годографа АФЧХ ураз (¿со). В этом смысле наряду с критерием 1 можно использовать еще один критерий грубости, который вытекает из обобщенного критерия устойчивости Найквиста [119] и основан на применении, так называемых, характеристических функций

А .¡(я) (г = 1 ,т), являющихся собственными значениями передаточной матрицы 1¥раз (б).

Критерий 2 (грубость по Л-функциям). Многомерная система с передаточной матрицей №раз (б) является грубой, если для всех вещественных со и для всех г = 1, т выполняется условие

1 + Х,Осо) XI + ХгН(о) )>\-дг, (1.2.23) где 8г - достаточно малые положительные числа.

Если, следуя классической теории регулирования, определить понятия запасов устойчивости по модулю и фазе для Л-функций, то используя вытекающие из (1.2.23) геометрические представления [140], для этих показателей можно определить соотношения, аналогичные (1.2.22).

Отметим, что поскольку для любого собственного значения Л2{//} имеет место д{Н) < |Лг-{//}| < а {Н) (здесь и далее <т{°} обозначает максимальное сингулярное значение), то из грубости по сг-функциям вытекает грубость по /L-функциям, но не наоборот. Это означает, что использование критерия 2 оправдано лишь в том случае, когда <?{fVpa3 (j<£>)} ^{Wpa3 О®*)) ■> называемое числом обусловленности матрицы Wpa3 (ja>), относительно невелико. Тем не менее, критерий 2 может служить дополнением критерия 1, когда грубость по сг-функциям имеет место не на всем диапазоне частот. Это приводит к необходимости введения еще одного критерия грубости, связанного с понятием полосы существенных частот и частоты среза многомерной системы.

Обозначим через а (со) - max {\Xk(jo))\} и а(а>) = min {\\0<я)\}

1<к<т \<к<т кусочно-непрерывные функции, совпадающие на разных диапазонах частот с разными функциями |A¿ (jco)\, являющихся на этих диапазонах максимальными и минимальными соответственно. И введем две частоты сох и (о2, определяемые следующими условиями afcoj -1, а(со)I < 1,

1.2.24) а(т2) =1, а(со)< такие частоты всегда существуют, так как для физически реализуемых систем Ifcfs)-* 0 при s - -> со). Теперь частоту среза со0 многомерной системы можно определить соотношениями а(сой)= detWpa3(jcúJ =Yl\kk(jo)c)\ = l, а(а)\ü)>£0<h (1.2.25) k=i с из которых, в частности, следует, что о)с е \сох, со2 ].

Критерий 3 (грубость в полосе существенных частот). Многомерная система с передаточной матрицей Wpa3 (ja>) является грубой, если для всех со < о)с выполняется (1.2.19), а на остальных частотах имеет место (1.2.23).

Заметим, что сформулированные здесь критерии грубости могут быть переформулированы как критерии низкой чувствительности [56], если вместо показателя а {0(]0))} использовать спектральную норму матрицы чувствительности $(](о) = О л(]со). Тогда если учесть, что || Я | = <т{£} = а{0"1} =<т то критерий низкой чувствительности, вытекающий, например, из критерия 1, определится как Усу е (-оо, оо) где е' - малая величина, соизмеримая с е из формулы (1.2.19).

Рассмотрим теперь дискретную систему, состоящую из непрерывного объекта (1.2.1), для которого определена дискретная модель, и регулятора (1.2.5). По-прежнему будем полагать, что замкнутая система устойчива. Очевидно, что для оценки грубости таких систем могут быть использованы те же самые критерии, что и для непрерывных. Разница состоит лишь в том, что вместо передаточной матрицы 1¥раз (я) должна использоваться характеристика ^граз (г), полученная с использованием ^-преобразований, и которая превращается в частотную передаточную матрицу при г - е^™*1, где И - период дискретности. Таким образом, если, например, используется критерий 1, то дискретная система с передаточной матрицей Я^раз (г) является грубой по ст-функциям при выполнении следующего условия сг{1т + 1Граз(е^к)}>\-£, |] , (1.2.26) где £ - малая величина, которая для дискретных систем, вообще говоря, отличается от соответствующего значения, используемого в критерии 1 для непрерывного случая.

Итак, задача синтеза по критерию грубости состоит в нахождении параметров закона управления (1.2.2) или (1.2.3) (в дискретной постановке -(1.2.5) или (1.2.6)) так, чтобы устойчивая замкнутая система удовлетворяла одному из сформулированных выше критериев. При этом требования грубости можно конкретизировать, если использовать понятие радиуса запасов устойчивости [121]. Как уже отмечалось ранее, этот показатель имеет тот же физический смысл, что и величина р -1 - е, используемая в критерии 1. Поэтому, если учесть связь показателя р с запасами устойчивости по модулю и фазе (1.2.22) и принять во внимание выработанные практикой требования к этим запасам, то можно утверждать, что синтезируемая система будет иметь достаточно хорошие свойства грубости, если

0,7 < р < 1,0 . (1.2.27)

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Итоги проведенных в диссертационной работе исследований могут быть кратко сформулированы в виде следующих результатов:

1. Рассмотрена актуальная, как с практической, так и с теоретической точек зрения задача аналитического синтеза регуляторов многомерных систем управления с учетом требований статической или стохастической точности при типовых (ступенчатых) или случайных (гауссовских) возмущениях и требований грубости системы к возможным неструктурируемым неопределенностям на входе или выходе объекта. При этом для формализации требований точности, в качестве статической (стохастической) ошибки регулирования принимается евклидова норма вектора установившихся значений (спектральная норма матрицы установившихся дисперсий) регулируемых переменных, а требования грубости формализуются с использованием многомерных запасов устойчивости по модулю и фазе.

2. Введены понятия и определены условия статической и стохастической регулируемости выхода, связанные с принципиальной возможностью достижения требований к точности (по тем или иным выходным переменным) изменением параметров регулятора. Получены достаточные условия для существования решения соответствующих задач точного управления в классе регуляторов по состоянию, обеспечивающих устойчивость замкнутой системы.

3. Разработаны процедуры выбора весовых матриц в задаче синтеза Ь(3~регуляторов состояния, гарантирующие выполнение требований статической или стохастической точности в смысле введенных (п.1) критериев. Показано, что традиционная задача синтеза по независимым критериям стохастической точности (определяемым для каждой из регулируемых переменных) может быть сведена к задаче Ь(5-оптимизации с функционалом общего вида, весовые матрицы которого выражаются определенным образом через параметры объекта и требования точности.

4. Исследованы свойства грубости ЬС^-оптимальных систем с функционалом общего вида и стохастически оптимальных систем, когда внешнее возмущение является цветным шумом. Для последней задачи, на основе полученных условий, разработана процедура синтеза грубых и физически реализуемых регуляторов по выходу, базирующаяся на выборе определенной структуры минимизируемого функционала.

5. Разработаны две дуальные друг другу процедуры синтеза динамической обратной связи минимальной размерности с учетом свойств грубости. Причем одна из них, построенная с использованием в законе управления наблюдателя Люэнбергера, позволяет удовлетворить введенным критериям грубости (п.1) при мультипликативных неструктурированых неопределенностях на входе объекта, а другая - с применением дуального наблюдателя - на его выходе.

6. Рассмотрена задача о предельной точности многомерных дискретных систем с Ь^1)-регуля горами состояния. Исследованы асимптотические свойства таких регуляторов, и для минимально-фазовых объектов в явном виде найдены оценки минимально-возможных статической и стохастической ошибок регулирования.

7. Исследована задача оценки свойств грубости дискретных систем с динамической обратной связью минимальной размерности, построенной с применением процедур ЬСЮ-оптимизации и оптимальной дискретной фильтрации, и для некоторых практически важных частных случаев (устойчивый дискретный объект, дискретный объект1 с запаздыванием и кратным единичным полюсом) получены оценки обобщенного показателя грубости - радиуса запасов устойчивости.

8. Для систем управления с БЦВМ в контуре предложен новый способ формирования управлений между моментами квантования с помощью полиномиальных функций, коэффициенты которых рассматриваются как некоторые искусственно введенные управляющие воздействия. В рамках мегода ЬСЮ-оптимизации (в непрерывно-дискретной постановке) дано сравнение получаемого решения с традиционным способом фиксации управлений на период и показано, что введение полиномиальной аппроксимации позволяет повысить динамическую точность стабилизации в смысле квадратичного функционала, вычисляемого вдоль свободных движений непрерывною объекта, замкнутого дискретным регулятором. Рассмотрены также вопросы построения кусочно-полиномиального управления с учетом требования его непрерывности и вопросы реализации аппроксиматоров с помощью интеграторов.

9. Рассмотрена одна из задач высокоточного управления движением трехзвенного манипулятора с вращающимися сочленениями платформенного комплекса «Аргус» международного проекта «Марс». Приведена полная математическая модель этого комплекса, построены алгоритмы программного управления, обеспечивающие разворот платформы (выходного звена манипулятора) с постоянными относительными угловыми скоростями и, на базе некоторых теоретических результатов работы, решена главная задача - синтез цифрового регулятора для стабилизации программного движения звеньев манипулятора с точностью в единицы угловых минут и доставляющего замкнутой системе приемлемые (с инженерных позиций) свойства грубости. Полученные решения использовались при разработке алгоритмического обеспечения комплекса, что подтверждается соответствующим актом ОАО «ВНИИТРАНСМАШ» (стр. 309).

10. Некоторые теоретические результаты работы, касающиеся дискретных систем, легли в основу алгоритмов, реализованных в программном пакете «САНД», предназначенного для автоматизированного Синтеза и Анализа Непрерывно-Дискретных систем автоматического управления [197]. Пакет внедрен в учебный процесс на кафедре «Техническая кибернетика и информатика» Саратовского государственного технического университета. Акт о внедрении прилагается (стр. 310).

1. Щипаное Г.В. Теория и методы проектирования автоматических регуляторов // А и Т. 1939. № 1. С.49-66.

2. Лузин H.H. К изучению матричной теории дифференциальных уравнений // А и Т. 1940. № 5. С.3-66.

3. Meepoe М.В. Синтез структур систем автоматического управления высокой точности. М.: Наука, 1967.

4. Петров Б.Н. О применимости условий инвариантности. В кн.: Труды II Всесоюзного совещания по теории автоматического регулирования. М.; Л.: Изд-во АН СССР. 1955. Т. 2. С.241-246.

5. Петров Б.Н. О реализуемости условий инвариантности. В кн.: Теория инвариантности и ее применение в автоматических устройствах: Тр.1-го Всесоюзного совещания по теории инвариантности. М.: Изд-во АН СССР. 1959. С.59-80.

6. Ивахненко А.Г. Электроавтоматика. Киев: I остехиздат УССР, 1957.

7. Кухтенко А.И. Задачи инвариантности до s для систем регулирования по отклонению. В кн.: Теория инвариантности и ее применение в автоматических системах: Тр.1-го Всесоюзного совещания по теории инвариантности. М.: Изд-во АН СССР. 1959. С.40-58.

8. Кулебакин B.C. О применении принципа абсолютной инвариантности в физических реальных системах // Докл. АН СССР. 1948. Т. 60. № 2. С.231-234.

9. Кулебакин B.C. Об основных задачах и методах повышения качества автоматически управляемых систем. В кн.: Труды II Всесоюзного совещания по теории автоматического регулирования. М.; Л.: Изд-во АН СССР. 1955. Т. 2. С.184-207.

10. Роюноэр Л.И. Вариационный подход к проблеме инвариантности систем автоматического управления // А и Т. 1963. № 6. С.744-755.

11. Кситан Р.Е. Об общей теории систем управления. В кн.: Теория дискретных, оптимальных и самонастраивающихся систем: Тр. I Между-нар. конгресса ИФАК. М.: Изд-во АН СССР. 1961. С.521-547.

12. Мс Lane P.J., Dasnson EJ. Disturbance localization and decoupling in stationary linear multivariable systems // IEEE Trans. Autom. Control. 1970. V.AC-15. № 1. P.133-134.

13. Wonham W.M., Morse A.S. Decoupling and pole assignment in linear multivariable systems: a geometric approach // SIAM J. Control. 1970. V.8. №1. P. 1-18.

14. Bhattacharyya S.P. Disturbance rejection in linear systems // Int. J. Systems Science. 1974. V.5. №7. P.633-637.1 .Fabian E., Wonham W.M. Decoupling and disturbance rejection // IEEE Trans. Aut. Control. 1975. V.AC-20. №3. P.399-401.

15. Chang M.F., Roberts LB. Disturbance localization in linear systems with simultaneous decoupling, pole assignment or stabilization // IEEE Trans. Aut. Control. 1975. V.AC-20. №4. P.518-523.

16. УонемМ. Линейные многомерные системы управления. М.:11аука,1980.

17. ShahS.L., Fisher D.G., Seborg DE. Disturbance localization in linear systems by eigenvector assignment //Int.J.Control. 1977. ¥.26. № 6. P.853-869.

18. Bhattacharyya S.P. Compensator design based on the invariance principle // IEEE Trans. Aut. Control. 1975. V.AC-20. № 5. P.708-711.

19. Петров Б.Н., Кухтенко А.И. Структура абсолютно инвариантных систем и условия их физической осуществимости. В кн.: Теория инвариантности в системах автоматического управления. М.: Наука. 1964. С.26-48.

20. Davison E.J. The output control of linear time-invariant multivariable sys312terns with immeasurable arbitrary disturbances // IEEE Trans. Aut. Control. 1972. V.AC-17. № 5. P.621-630.

21. Davison E.J. The feedforward control of linear multivariable time-invariant systems//Automatica. 1973. V.9. P.561-573.

22. Ferreira P.G. The servomechanism problem and the method of the statespace in the frequency domain // Int.J.Control. 1976. V.23. № 2. P.245-255.

23. Müller P.C., LückelJ. Zur theorie der Störgrössenauf-schaltung in linearen mehrgrössenregelsystemen//Regelungstechnik. 1977. V.25. №2. S.54-59.

24. Porter B. Optimal control of multi vari able linear systems incorporating integral feedback // Electron. Letters. 1971. V.7. № 8. P.170-172.

25. Кузовков N.T. Модальное управление и наблюдающие устройства. М.: Машиностроение, 1976.

26. ЛетовА.М. Аналитическое конструирование регуляторов // А и Т. 1960 №4. С.436-441.

27. Kaiman R.E. Contributions to the theory of optimal control I ! Bol. Soc. Mat., Mexicana. 1960. V.5. № 1. P. 102-119.

28. Брайсон А., Ю-Ши Xo. Прикладная теория оптимального управления. M.: Мир, 1972.

29. АндреевЮ.H. Управление конечномерными линейными объектами. М.: Наука, 1976.

30. Салуквадзе М.Е. Аналитическое конструирование регуляторов. Постоянно действующие возмущения // А и Т. 1961. № 10. С.1279-1287.

31. Салуквадзе М.Е. Об аналитическом конструировании регул, оров при постоянно действующих возмущениях // А и Т. 1962. № 6. С.721-731.

32. Летов A.M. Динамика полета и управление. М.: Наука, 1969.

33. Япушевский Р.Т. Теория линейных оптимальных многосвязных систем управления. М.: Наука, 1973.

34. Красовский A.A., Буков В.Н., Шендрик B.C. Универсальные алгоритмы оптимального управления непрерывными процессами. М.: Наука, 1977.

35. Колмогоров А.Н. Интерполяция и экстраполяция стационарных случайных последовательностей il Изв.АН СССР. Сер. Математическая. 1941. № 1. С.3-14.

36. Wiener N. Extrapolation, interpolation and smoothing of stationary time series. J.Wiley. New York. Second printing. 1950.

37. Цянъ Сюэ-Сень. Техническая кибернетика. M.: И.Л., 1956.

38. Солодовников В.В. Статистическая динамика линейных систем автоматического управления. М.: Физматгиз, 1960.

39. Чанг III. Синтез оптимальных систем автоматического управления. М.: Машиностроение, 1964.

40. Солодовников В.В., Матвеев П.С. Расчет оптимальных систем автоматического управления при наличии помех. М.: Машиностроение, 1973.

41. Цейтлин ЯМ. Проектирование оптимальных линеиных систем. ' Машиностроение, 1973.

42. Ларин В.Б., Науменко К.И., Сущее В.Н. Спектральные методы синтеза линейных систем с обратной связью. Киев: Наукова думка, 1973.

43. Петров Ю. П. Вариационные методы теории оптимального управления. Л.: Энергия, 1977.51 .Абдулаев Н.Д., Петров Ю.П. Теория и методы проектирования опти314мальных регуляторов. Л.: Энергоатомиздат. Ленингр. отд-ние, 1985.

44. Петров Ю. П. Синтез оптимальных систем управления при неполностью известных возмущающих силах. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1987.53 .Медич Дж. Статистически оптимальные линейные оценки и управление. М.: Энергия, 1973.

45. О стрем К.Ю. Введение в стохастическую теорию управления. М.: Мир, 1973.

46. Параев Ю.И. Введение в статистическую динамику процессов управления и фильтрации. М.: Советское радио, 1976.

47. Квакернаак X., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления. М.: Мир, 1977.

48. Рогтенберг Я.Н. Автоматическое управление. М.: Нау*ч„ 1978.

49. Фелъдбаум А.А. Основы теории оптимальных автомагических систем. М.: Наука, 1966.

50. Rom D.B., Sarachik Р.Е. The design of optimal compensators for linear constant systems with inaccessible states 11 IEEE Trans. Aut. Control. 1973. V.AC-18. № 5. P.509-512.

51. Kalman R.E. and Bucy R.S. New results in linear filtering and prediction theory /7 J. Basic Eng. Trans. ASME. 1961. Ser.D. V.86. P.95-108.

52. Bucy R.S. Optimal filtering for correlated noise 11 J. Mathematical Analysis and Applications. 1967. V.20. № 1. РЛ-8.

53. Чеботарев Н.Г. Об одной математической задаче, возникшей в связи с оценкой отклонений регулируемой переменной, если возмущающая сила ограничена по модулю // А и Т. 1948. № 4. С.331-334.

54. Красовскип //.//., Субботин АЛ. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974.

55. Куржанский А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.: Наука, 1977.

56. Ю.Якубович Е.Д. Решение одной задачи оптимального управления дискретной линейной системой // А и Т. 1975. №9. С.73-79.

57. Х.Якубович Е.Д. Оптимальное управление линейной дискретной системой при наличии неизмеряемого возмущения / Ли Г. 1977. № 4.С.49-54.

58. Фомин В.Н., Фрадков А.Л., Якубович В.А. Адаптивное управление динамическими объектами. М.: Наука, 1981.

59. Барабанов А.Е., Граничин О.В. Оптимальный регулятор линейного объекта с ограниченной помехой.// А и Т. 1984. № 5. С.39-46.

60. Vidyasagar М. Optimal rejection of persistent bounded disturbances // IEEE Trans.Autom.Control. 1986. V.31. № 6. P.527-534.

61. Vidyasagar M. Control System Synthesis: A Factorization Approach. MA.: MIT Press, 1985.1 в. Francis B.A. A course in HSJ control theory. New York: Springer-Verlag, 1987.

62. Doyle J.C., Glover K., Khargonekar P.P., Francis B.A. State-space solution to standardH2 and Hm control problem // IEEE Trans. Autom. Control. 1989. V.34. № 8. P.831-846.

63. Барабанов A.E., Первозванский А.А. Оптимизация по равномерно-частотным показателям (Н-теория) // А и Т. 1992. № 9. С.3-32.

64. McDonald J.S., Pearson J.B, L\ optimal control of multivariable systems with output norm constrains /'/ Automática. 1991. V.27. № 2. P.317-329.

65. Барабанов A.E. Синтез минимаксных регуляторов. С.-Петербург: Изд-во С.-Петербургского ун-та, 1996.

66. Брусии В.А. Частотные условия РТЛ -управления и абсолютной стабилизации // А и Т. 1996. № 5. С. 17-25.

67. Ы.Бесекерскш В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. М.: Наука, 1975.

68. Александров А.Г. Частотные свойства оптимальных линейных систем с несколькими управлениями // А и Т. 1969. № 12. С.12-17.

69. Александров А.Г. Аналитический синтез передаточных матриц регуляторов на основе частотных критериев качества II /7 А и i. 1972. № 2. С. 17-29.

70. Тимофеев Ю.К. Статические ошибки аналитически сконструированных систем // Аналитические методы синтеза регуляторов. Межвуз. научи, сб.: Саратов, СПИ. 1976. С.53-60.

71. Александров А.Г. Аналитический синтез регуляторов по заданным показателям качества переходных процессов // Аналитические методы синтеза регуляторов. Межвуз. научн. сб.: Саратов, СПИ. 1978. С.22-38.

72. Садомцев Ю.В. Аналитический синтез регуляторов при случайных возмущениях // Аналитические методы синтеза регуляторов. Межвуз. научн. сб.: Саратов, СПИ. 1978. С.39-57.

73. Тимофеев Ю.К. К выбору коэффициентов функционала оптимизации в задаче АКОР по заданной точности системы /7 Аналитические методы синтеза регуляторов. Межвуз. научн. сб.: Саратов, СПИ. 1978. С.77-84.317

74. Садомцев Ю.В. Аналитическое конструирование регуляторов по заданным показателям качества. Развитие проблемы // Аналитические методы синтеза регуляторов. Межвуз. научный сб.: Саратов, СПИ. 1980. С.32-48.

75. Волков Е.Ф., Ершов Н.Н. Синтез асимптотически устойчивых многосвязных систем с заданной статической точностью // А и Т. 1981. № 7. С. 19-27.

76. Александров А.Г. Синтез регуляторов многомерных систем. М.: Машиностроение, 1986.

77. Aiexcmdrov A.G. Synthesis of controller by requirement to accuracy 11 Preprints Ail-Union Conference on the problems of multivariable control of technological processes. Odessa. USSR. 1991. P. 11 -24.

78. Александров А.Г., Честное В.H. Сиьгез многомерных систем заданной точности. I. Применение процедур LQ-оптимизации // А и Т. 1998. № 7. С.83-95.

79. Честное В.Н. Синтез многомерных систем заданной точности по среднеквадратичному критерию /У А и Т. 1998. № 12. С. 109-117.

80. Kwakemciak //. Sivan R. The Maximally Achievable Accuracy of Linear Optimal Regulators and Linear Optimal Filters 11 IEEE Trans. Autom. Contr. 1972. V.17. № 1. P.79-86.

81. Ласуманский M.A., Первозванский А.А. Предельная точность линейных систем с обратной связью и асимптотическое поведение //2- и Нт~норм //А и Т. 1995. №7. С.24-32.

82. Честное В.Н. Предельно достижимая точность систем с цифровыми регуляторами // Частотное управление. Труды МИСиС. 1994. Москва. С.40-55.

83. Александров А.Г. Синтез алгоритмов работы цифровых регуляторов многомерных систем // Аналитические методы синтеза регуляторов. Научные труды. Вып. 93. Саратов, СПИ. 1975. С.31-52.

84. Андронов А.А., Понтрягш JI.С. Грубые системы // Докл. АН СССР.3181937. T. 14. №5. C.247.

85. Юсупбеков H.P., Цацшт M.Л. Робастность многосвязных систем управления. М.: Наука, 1990.

86. Бесекерский В.А., Небылов A.B. Робастные системы автома гическою управления. М.: Наука, 1983.

87. Надеждин П.В. О потере грубости при элементарных преобразованиях дифференциальных уравнений управляемых систем // А и Т. 1973. Ж. С. 123-126.

88. Надеждин П.В. О практической неустойчивости (негрубости) систем, получаемых по методу статьи 1. // А и Т. 1973. № 5. С.196-198.

89. Александров А.Г. Степень грубости и частотные показатели качества автоматического регулирования // Аналитические методы синтеза регуляторов. Межвуз. научн. сб.: Саратов, СПИ. 1976. С. 14-26.

90. Александров А.Г. Степень грубости систем с устройствами восстановления фазовых переменных // Аналитические методы синтеза регуляторов. Межвуз. научн. сб.: Саратов, СПИ. 1977. С.105-118.

91. Александров А.Г. Аддитивная компенсация в многомерных системах с устройствами восстановления фазовых переменных // Аналитические методы синтеза регуляторов. Межвуз. научн. сб.: Саратов, СПИ. 1981. С.68-81.

92. Александров А.Г. Частотные свойства оптимальных линейных систем управления // А и Т. 1969. № 9. С. 176-182.

93. Anderson B.D., Moore J.B. Linear Optimal Control. Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, 1971.

94. Александров А.Г., Небалуев H.A. Аналитический синтез передаточных матриц регуляторов на основе частотных критериев качества.I. // А. и Т. 1971. №12. С. 12-20.

95. Safonov M.G., Äthans M. Gain and phase margin of multiloop LQG regulators // IEEE Trans. Autom. Control. 1977. V.22. № 2. P. 173-179.

96. Александров А.Г. Свойства аналитически сконструированных линей319ных систем // А и Т. 1975. № 10. С.5-11.

97. Красовскии А. А. Системы автоматического управления полетом и их аналитическое конструирование. М.: Наука, 1973.

98. Sandell N.R. Robust stability to linear dynamic systems with applications to singular perturbation theory // Automatica. 1979. V.15. P.467-470.

99. Doyle J, C., Stein G. Multivariable feedback design: concepts for a classical /modern synthesis // IEEE Trans. Autom. Contr. 1981. V.26. № 1. P.4-16.

100. Lehtomaki NA., Sandell N.R., Athans M. Robustness results in Linear-Quadratic Gaussian based multivariable control designs // IEEE Trans. Autom. Contr. 1981. V.26. № 1. P.75-92.

101. Postlethwaiie /., Edmunds S.M., MacFarlane A.G. Principal gains and principal phases in the analyses of linear multivariable feedback systems // IEEE Trans. Autom. Contr. 1981. V.26. № 1. P.32-46.

102. MacFarlane A.G., Postlethwaiie I. The generalized Nyquist stability criterion and multivariable root loci 11 Int. J. Control. 1977. V.25. № 1. P. 81-127.

103. Desoer C.A., Wang Y. On the generalized Nyquist stability criterion 11 IEEE Trans. Autom. Control. 1980. V.25. № 2. P.187-196.

104. Александров А. Г. Критерии грубости нестационарных систем автоматического регулирования // Аналитические методы синтеза регуляторов. Межвуз. научн. сб.: Саратов. СПИ. 1980. С.3-14.

105. Честное В.Н. Частотный метод анализа грубости систем, описываемых дифференциальными уравнениями И Аналитические методы синтеза регуляторов. Межвуз. научн. сб.: Саратов. СПИ. 1985. С.50-59.

106. Честное В.Н. Подход к задаче синтеза допусков на параметры линейных многомерных систем // Изв. РАН. Теория и системы управления. 1995. №2. С.72-79.

107. Doyle J.С. Guaranteed margins for LQG regulators // IEEE Trans. Autom. Contr. 1978. V.23. №4. P.756-757.

108. Doyle J.C., Stein G. Robustness with observers I I IEEE Trans. Autom. Contr. 1979. V.24. №4. P.607-611,

109. Садомуее JO.В. О негрубости оптимальных систем при наличии случайных возмущений .// Аналитические методы синтеза регуляторов. Межвуз. научн. сб.: Саратов. СПИ. 1976. С.27-38.

110. Садомцеа Ю.В. Аналитическое конструирование регуляторов линейных систем при случайных возмущениях. Связь задач фильтрации и стабилизации /У Аналитические методы синтеза регуляторов. Научные труды. Вып. 93. Саратов, СПИ. 1975. С.52-75.

111. Kwakernaak Н. Optimal low-sensitivity linear feedback systems // Automatica. 1969. V.5. № 3. P.279-286.

112. Александров AT. Прямой метод аналитического синтеза регуляторов. Неполная степень наблюдаемости // Известия Вузов СССР. Приборостроение. 1978. № 11. С.34-39.

113. Надеждин П.В. Синтез оптимальных замкнутых по выходу линейных систем // Докл. РАН. 1997. Т.352. № 6. С.746-748.

114. Честное В Н. Синтез робастных регуляторов многомерных систем при параметрической неопределенности на основе круговых частотных неравенств // А и Т. 1999. № 3. С.229-238.

115. Честное В.Н. Синтез регуляторов многомерных систем по заданному радиусу запасов устойчивости на базе процедуры И«> оптимизации .// А и Т. 1999. №7. С. 100-109.

116. Александров А.Г. Построение дискретных систем с заданными свойствами // А и Т. 1973. № 9. С.57-66.

117. Safonov М. G. Stability and robustness of multivariable feedback systems // MIT Press. Cambridge, Massachusets, 1980.

118. Shaked U. Guaranteed Stability Margins for Discrete-Time Linear-Quadratic Optimal Regulator// IEEE Trans. Autom. Contr. 1986. V.AC-31. №2. P. 162-165.

119. Александров А.Г., Честное В.H. Свойства аналитически сконструированных систем с цифровыми регуляторами // Изв. ВУЗов СССР. Приборостроение. 1987. №4. С. 13-17.

120. Честное В.Н. Свойства аналитически сконструированных многомерных систем с цифровыми регуляторами // Изв. ВУЗов СССР. Приборостроение. 1991. № 10. С. 11-18.

121. Ланкастер П. Теория матриц. М.: Наука, 1978.

122. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1988.

123. Садомцев Ю.В. Частотные показатели качества аналитически сконструированных систем // Автоматические системы оптимального управления технологическими процессами. Межвуз. научи, сб.: Тула. ТПИ, 1984. С.21-32.

124. Садомцев Ю.В. Статическая регулируем ость выхода в динамических системах. В кн.: Теоретические и прикладные проблемы создания систем управления технологическими процессами. Тез. докл. Всесоюзн. научно-техн. совещан. Челябинск. 1990. С.73-75.

125. Садомцев Ю.В. Статическая регулируемость выхода линейных стационарных управляемых систем // Изв.АН СССР. Техническая кибернетика. 1990. №2. С. 15-22.

126. Смагина ЕМ. Вопросы анализа линейных многомерных объектов с использоваггт*ем понятия нуля системы. Томск.: Изд-во Томск, университета. 1990.

127. Asseo S.J. Phase-variable canonical transformation of multicontroller sys322terns// IEEE Trans. Autom. Contr. 1968. V.AC-13. № i. P. 129-131.

128. Yokoyama R., Kinnen E. Phase-variable canonical forms for linear, multi-input, multi-output systems // Int. J. Control. V. 17. № 6. P.1297-1312.

129. Ramar K., Ramaswami R. Transformation of Time-Variable Multi-Input Systems to a Canonical Form // IEEE Trans. Autom. Contr. 1971. V.AC-. 6. №4. P.371-374.

130. Садомцев Ю.В. Синтез многомерных систем управления по критерию статической точности // Аналитическая теория автоматического управления и ее приложения: Труды Между народи, научи, конф. Саратов. 2000. С.141-146.

131. Садомцев Ю.В. Проблема статической точности в теории многомерных систем автоматического управления // Известия РАН. Теория и системы управления. 2001. №2. С.48-59.

132. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука. 1976.

133. Афанасьев В.Н., Колмановский В.Б., Носов В.Р. Математическая теория конструирования систем управления. М.: Высшая школа. 1989.

134. Бодпер В.А. Системы управления летательными аппаратами. М.: Машиностроение. 1973.

135. Александров А.Р. Теория аналитического синтеза регуляторов многомерных линейных систем. В кн.: Опыт создания и внедрения автоматизированных и автоматических систем управления. Тез. докл. Всесо-юзн. научно-гехн. совещан. Фрунзе. 1977. С.124-126.

136. Садомцев Ю.В. Основы подхода к решению задачи стохастического линейного регулирования и слежения по критериям точности и грубости // Известия РАН. Теория и системы управления. 1998. №4. С.57-94.

137. Садомцев Ю.В. Управление и наблюдение с заданным качеством в линейных стационарных системах. В кн.: Математическое, алгоритмическое и техническое обеспечение АСУ ТП. Тез. докл. II Всесоюзн. межвуз. научно-техн. конф. Ташкент. 1980. С. 19-20.

138. Садомцев Ю.В. Синтез наблюдателей полного порядка с заданным ка323• icciком восстановления 11 Аналитические методы синтеза регуляторов. Межвуз. научн. сб.: Саратов. СПИ. 1984. С.22-32.

139. Параев Ю.И. Алгебраические методы в теории линейных систем управления. Томск: Изд-во Томск, ун-та. 1980.

140. Александров А.Г., Плотников П.К., Челноков Ю.Н. Синтез регуляторов двухкомпонентного измерителя угловой скорости на основе трехстепенного гироскопа // МТТ. 1975. № 4. С.32-38.

141. Бесекерскгш В.А. Фабрикант Е.А. Динамический синтез систем гироскопической стабилизации. Л.: Судостроение. 1968.

142. Калман P.E. Когда линейная система управления является оптимальной // Тр. американского общества инженеров-механиков. Сер.Д. 1964. № 1. С.69-84.

143. Садомцев Ю.В. Радиус устойчивости аналитически сконструированных систем. В кн.: Создание и расчет электронных устройств и приборов. Саратов. СГУ. 1982. С.44-47.

144. Дантежо Г.С., Петров Ю. П. Анализ сохранения устойчивости при отклонениях действительных значений параметров от расчетных. Л. 1977. ВИНИТИ, № 1037-77. Деп.

145. Александров А.Г. Аналитическое конструирование оптимального регулятора шрорамы, установленной на подвижном основании // А и Т. 1967. №12. С. 16-25.

146. Симаков И.П. О некорректности некоторых методов синтеза оптимальных систем автоматического управления // А и Т. 1974. № 3. С 186-189.

147. Luenberger D.G. Observers for multivariable systems I I IEEE Trans. Autom. Contr. 1966. V.ll. № 2. P.190-197.

148. Садомцее Ю.В. Грубость многомерных систем с наблюдателями пониженной размерности // Известия РАН. Теория и системы управления.1999. №6.С.71-81.

149. Садомцее Ю.В., Иванов Д.В. Оптимальное управление в линейных системах при неполной информации о векторе состояний // Тез.докла -дов региональной научн.-техн. конф. «Аналитическая теория автоматического управления». Саратов.: СГТУ. 1997. С.60-63.

150. Константинов М. М., Патарински С. П., Петков П. X., Христов Н. Д. К синтезу линейных управляемых систем при неполной информации о состоянии объекта /'/' АиТ. 1978.N9. С.68-78.

151. Luenberger D.G. On introduction to observers // IEEE Trans. Autotn. Contr. 1971. V. AC-16. P.596-603.

152. Иванов Д.В., Садомцее Ю.В. Синтез динамической обратной связи по выходу с учетом свойств грубости // Известия РАН. Теория и системы управления. 2000. №3. С.31-39.

153. Садомцее Ю.В., Торгашова О.Ю. Предельная точность дискретных систем с линейно-квадратическим регулятором /7 Известия РАН. Теория и системы управления. 2001. №6 (принята к опубликованию).

154. О стрем К., Виттенмарк Б. Системы управления с ЭВМ. М.: Мир. 1987.

155. Yasuda К., Hirai К. Upper and Lower Bounds on the Solution of the Algebraic Riccati Equation 11 IEEE Trans. Autom. Contr. 1971. V. AC-24. P.483-487.

156. Kyo Б. Теория и проектирование цифровых систем управления. М.: Машиностроение, 1986.

157. Дроздов В.Н., Мирошник И.В., Скорубский И.В. Системы автоматического управления с микроЭВМ. JL: Машиностроение, 1989.

158. Садомцее Ю.В. Основы анализа дискретных систем автоматического управления. Учебное пособие. Саратов. СГТУ, 1998.

159. Sadomtsev Y и. V. Discrete-Time Control with Polynomial Approximation of Input // Proceedings of the All-Union Conference on the Problems of Multivariable Control of Technological Processes. Odessa, Ukraine, USSR, Nov. 1991. P.118-125.

160. Садомцее Ю.В. Дискретное управление с полиномиальной аппроксимацией входа // Известия РАН. Техническая кибернетика. 1992. № 2. С.157-166.

161. Садомцее Ю.В. Оптимальное управление в непрерывно-дискретных системах с полиномиальной аппроксимацией входа /У Известия РАН. Теория и системы управления. 1995. №4. С.131-136.

162. Садомцее Ю.В. Оптимальное управление в непрерывно-дискретных системах // Известия РАН. Теория и системы управления. 1995. № 6. С.155-161.

163. Садомцее Ю.В. Оптимальное управление в непрерывно-дискретных системах с кусочно-полиномиальным входным воздействием // Тез.док-ладов III Международной научи.-техн. конф. «Микропроцессорные системы автоматики». Новосибирск.: НГТУ. 1996. С.80-81.

164. Батурин В.В., Глазков В.П. Динамическая модель многозвенного манипулятора с вращающимися сочленениями на подвижном основании // Изв.РАН. Техническая кибернетика. 1993. № 4. С.

165. Садомцев Ю.В., Стариков М.С. Система автоматизированного проектирования непрерывно-дискретных систем автоматического управления /7 Материалы межвуз. научно-методич. конф. «Информационные технологии в образовании». Саратов. СГТУ. 2000. С.154-156.