автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Количественные меры грубости динамических систем и их приложения к системам управления

РГБ ЬЗ

" сж?-11вте?бургс.к1й институт точкой йешш и ОПТИКИ

На правах-рукописи

ОМСКОЕ РОМАН ОМОРОЗИ"

количествгнше МЕРЫ грубости ДШАМИЧЕСКИС систем И ИХ приложения к сйстеш управления

Специальность: 05.13.01 - Управление з технических системах

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Санкт-Петербург- - 1993

Ре^ота выполнена на каТе^е автоматики и телемеханики Сшшт-Пвтерйургокого инотктута точкой хвх&шка и описки

Научный коноудьтапт:

доктор технетвс-.си наук, пройюасор Т-033НВА<Х£? С.!!. Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор КШВ Д.л. доктор фкз.-мат. наук, профессор ИЗЯЫйЮВ Г.К. доктор технических наук, гтйфеосор ЮС7110В Р.Ы.

Бегущая организация*. Институт проблем управлэим РАН

Защита лиосертадо: соотоится 15 карта 1993 х\ в 15^ час. «а заседании специализированного совета Я 053.26.02 при Сзлкт-Петербургохом институте точной механики и оптики г.о апрзсу; 197101, Санкт-Петербург, ул.Савлкнская, 14

С диссертацией ионно ознакомиться в библиотеке института

Ученмй секретарь специавизированного

ода! ^гатхктш РАБОТЫ

Л к. т у п ь ¡¡-о г: т ь р о б о к ц. 3 развитии совро-менкой теории упрзЕлопия кс&кдаг'км нсш:*птй: интерес к вро-Слсхж робостзосхя 1; грубосчи (мялочуооткитслыюотй), Эта тенденция обуслоЕдзпэ возросши требовоюшкп к качеству систем уп-р'-зр.';:-;;'/.1., с поо0:-:о;п:.7,остью учета влияний различного рода неучтенках и ноолрслслсшшх дестас^лдаззруисца факторов на динамику сао-тсч ¡три их реальном ^уикцкоиировонш.

г'ирглшюм актуальности проблем робастпости (под которым оа-руОйззвго исследователи поюгов? и проблем, грубости, мадочувстви-т«ль*:эстп) явилось и то, что шолздшШ Ваемирний конгресс КФАК (г. Тг.ллпн, г.вгуот И!?Сг) бил пссвяа;ен в осноитом проблемам ро-боспюста в совреммнхй теории управления. 11а этом конгрессе была «рогеД'.па 'спецхулыш дискуссия иэ которой сбсувдались вопроси проблещи робастпости с теории управления и отмечалось актуальность проАлеш для сог-р9:.ипк«Д гпугл а те-хдикн. На конгрессе было ьтдаоркиуто,- что :;пряду с суздастьшшад успехами прежде всего, в Т'.'огк;: ;оСзстпоЗ устойчивости имеются а иореиешгае задачи, в частности, для дпекр.угах систем, з в вопросах синтеза регуляторов, оЗослпипохда робэстястгь семейств *.лтервалышх объектов имеются л:яь нгбелиое число ну''липший,

Проблдаа груоостк а робастносги имеют ваыгое сночекко не то.-ико для рйоьптил науки - теорш управления, по и столь кначигн для ипхонзрвих приложения в современной техник? и производстве. Особенно важш;;.:и является вопросы грубости и робастнос-тл для имеющих !/;:грокуг9 перспективу применения ?.'Лсгорекпмнпх и нэлкивЯнюс кпсгсмерии\с систем улравлешл,

Б нзетоядоо время длл кп:кэпер.чых применений иментся тел ¡.ко отдалыыо метода ¡1 алгоритма анализ и синтеза грубых (ребтстних, мояочуБСТЕИГолыахх) систем, з основном ориентированнее на реет-1Ив зад;.-,'! частотиими методам! длл линейных систем, а кепегруктвв-гаго еосмокности ^виошшх методов ¡го получила должного рзэкятпя.

То;;-,",: образом, в современной теории управления и их пшэиер-. них приложениях стоит проблема разработки теоретических п. практических основ подхода для анализа и синтеза груСих Ошочувст-пптелкшх) и робастшх нелинейных л семейств лнкейпнх (интер-еольшк) систем управления, которая и является ц о л ь а пред-степл'лпюй диссертационной работы.

Методу исследований:

- аналитические» о привлечением аппарата теории матриц, линейной алгебры, качественней_теории дифференциальных уравнений, теории грубости и бифуркаций динамических систем, творил устойчивости и функций Ляпунова, а также теорий модального управления, робаст-шх систем и робастной устойчивости;

- численное моделирование ка ЭВМ, с помощью которого осуществлялось проверка, полученных'теоретических утверждений и выводов, падтБерждатих достоверность результатов работы.

Научная ное из на,

1. Математически строго обоснованно введена мэра грубости динамических систем в виде числа обусловленности матрицы диагепэлюа-ции (кво'идаагоналкзации) матрицы линейной части в особых точках фазового пространства.

2. Введена мера грубости по окрестностям предельных циклов в виде числа сбусловленности м&трнда 'диагскализашга матриц монолромии.

3. Предложена "нелинейная" мэра грубости динамических слетом на основе функций Ляпунова.

4. Разработаны критерии бгфуркаций динамических систем с применением меры грубости введенной в работе.

5. Решена задача Харитонова о робастной устойчивости интервальных динамических систем. Получены и доказаны теоремы типа Харитонова для многогранников матриц, комлексных интервальных матриц, условий апериодичности и модальности.

6. Получены квазианалоги теорем Харитонова для дискретных систем.

7. Предложены априорные и апостериорные сценки грубости многомерных систем управления.

8. Разработаны алгоритмы анализа к синтеза грубых и робастных нелинейных и семейств линейных (интервальных) систем управления предназначенные как для однг--ерных, так и многомерных систзм.

9. Проиллюстрированы возможности применения разработавших мер,и оценок грубости, а также полученных условий робастности к нелинейным и семействам линейных систем.

.10. Иссл--*ована- грубость экологической системы типа "хищник-жертва", на конкретном примере.

II. Проведено исследование модели и "странного аттрактора" Лоренца с;целью выявления основных бифуркация модели, которое подтвердило достоверность полученных в работе критериев бифуркаций.

Результаты, выносимые на защиту, Г. Обоснованно подхода к количественной: оценке грубости динамических систем через оценки грубости в особых точках к предельных циклах:

2. Решение залечи Харитонова о робастной устойчивости интервальных динамических систем. Вывод и доказательство теоремы типа Харитонова для многогранников матриц.

3. Критерии бифуркаций динамических систем,

4. Обоснование введения нелинейной меры грубости ДС на основе функция Ляпунова,■

Б. Априорные и апостериорные оценки грубости систем управления, в. Алгоритмы анализа я синтеза грубых и робастшх нелинейных и семеДств линейных (интервальных) систем управления (как одномерных , так и многомерных)',.

V. Прикладные аспекта использования полученных мер грубости и критериев бифуркащ;Л для динамических процессов в экологии и синергетике.

Практическая ценность работы. Настоящей работой заложены основы к практическому решению вопросов ана.члза и синтеза грубых и робаствдх нелинейных и семейств' линейных (интервальных) многомерных систем управления, в частности многорежимшх систем используемых во многих отраслях техники и производства. Большие перспективы для приложений теоретических результатов работы имеют проблемы исследования грубости и бифуркаций динамических систем в более общих областях науки та- ■ ких, как синергетика (самоорганизующиеся системы), экология. Апробация работы. Основные результаты диссертации были доложены и обсуждены на II Всесоюзных и Международных конференциях: XXI Всесоюзной школе "Автоматизация научных исследований" (г.Чолпон-Ата,сентябрь 1937 г); Республиканской научно-технической конференции "Гибкие автоматизированные производства и промышленные роботы "(г.Фрунзе, апрель 1989); Республиканской научной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" (г.Флунзе,14-15 сентября 1989г.); 2 Всесоюзной конференции по оптической обработке информации (г.-Фрунзе,24-26 мая 1990.); пятом Всесоюзном совещании "Оптические устройства и измеритэльныв приборы на их основе (г.Барнаул,сентябрь 1990 г.)¡Советско-Китайском семинаре "Holography and Optical Information Processing" (г.Бишкек, 21-26 сентября,1991г); У1 Всесоюзной научно-технической конференции "Динамические режимы работы электрических машин и

электроприводов "(г.Бкпкок,2-5 октября 1991 1'); I Е-сиеоздюй иау\-ИО-ТОХН11Ч9СКОЙ конференции "Коордкяирукц&з уяранлешю я технических и природных системах"(п. Ма-глп! Мчяк, Крымской обл. 10-12 октября 1091г.); Моыжународной научно-техличоскоЛ кон^реиция "Актуальнее проблеш фувда«знтадышх наук"(г.Москва, октября-3 ноября 1ЭЭГ г); МэздукародксЯ конйронции'г.о г„чтврг.альт;:и п стохастическим котоздм а пауке к то:а;жо м1№Ш\7Л1г-92 " (г.Москва, £3-26 сентября ПШ>; X научной коюторошг-п! '•Плшфсг.игглв и г.стоиатиза-1Г.ш з научных исслодовг.ш«яхм (г.Москва, .?7-25 октября

19Э2 г.).

П у С л п к а д п и. По тома диссертации опубликовано 40 на-учкпх работ в том числе в центральных журналах "Автоматика и тв-.помохыпнса", "Эд&ктромехашнса".

С т р у к т у р а и оон м д и с е- е р т а ц и и. Работа постоит И'з шззденил, 5 глав, заключения, списка литератур" из 21С на:м.-шьпн1!й.

КРАТКОЕ СОДСПШИ! РАБОТ!!

I! е п ь « я г дона псскядона краткому обзору оостоянлл проолгмг и пзсгаяошсе. задач:: хиссертацксодоя работа. Гозгыатрй-вавтся прс-слэш грубости и робастностя в тории д:::;а:.п'чос;шх систем. Сор;.:;:руетоя проблема анализа и синтеза грублх и роозстнпх нолтаюнних и сеиейстг ллиоЯнпх систем упраьленил.

Рассматривается утоплен:» терминов грубости и робаотиостк в оосрс.чо.йюЛ теории управления .Означается что вопроси робастносак п грубоокг взаимосвязана к при еозрс-чешоц широко! поаимы»гл оо~' 1;ач?.&? соответственно способности сястем сохранять то или тшо свойства при Содшкх (конечна*) и малых кггганожях структур г. параметров .В работе принята шзвно такое раздзлаюю терминов к пошпяЗ робаспюстн и грубое, , предяс.пзга:ацй& их стличйз только по масштабам возмуцокй». При этом подчеркиваотс.ч, что п ипзгенер-умх приложениях вместо термина грубость часго шктзувхся тср-ыалэчувотситвлыюсгл, а в зорубоишх гуСлкьыягях термин ро-Оастиосги вносится к случали как малых, тга; и бол^ажх (конечных ). вознукешф параметров к структур.

Одазчаатгя, что в настояаое время наиболее рагработегег ноп-рси робйстноС устойчивости для линейных систем. Среди рЕбот в г;той области наука особо выделяется работа В.Л.Харитонова, кото-

рые явились основой современной теории робастной устойчивости систем, Найденные им четыре угловых полинома семейства интервальных полиномов, по которым устанавливается устойчивость всего семейства получили название полиномов Харитонова.

В настоящее время получены много новых результатов в теории роСастной устойчивости, это прежде всего реберная теорема Барт-летта, Холлота и Лина, а также дискретные аналоги и варианты теорем Харитонова, из которых наиболее выделяются результаты Крауса и Мзнсура. 'Отечественными учеными Я.З.Цыпкшшм, Б.Т.Поля-ком.Ю.И.Кеймарком разработаны частотные критерии роСастной устойчивости типа Михайлова, Найквиста, В-разбиения. Но много задач требуют своего разрошения (см, обзоры Б.Т.Поляка.Я.З.Цышсииа и Э.Джури), в частности 'не были решены задачи робастной устойчивости интервальных матриц и многогранников матриц (эта задачи решены в третьей главе диссертации).

В вопросах робастности нелинейных систем имеются только отдельные результаты и рассмотрены к настоящему времени слабо. Также следует отметить, что к вопросом робастности иных свойстз (управляемости, наблюдаемости, точности, быстродействия и.т.д.) исследователи по существу еще не приступали, хотя косвенно вопросы робастной устойчивости затрагивают эти сеойствэ в силу существующих взаимосвязей свойств систем.

Что.касается проблемы грубости систем управления, то эти вопросы разработаны и решены к настоящему времени недостаточно и в основном только для линейных систем. Но следует отметить,что поскольку для систем автоматического управления важным свойством является устойчивость, то многие вопросы грубости и робастности здесь пересекаются в рамках робастности. В то же время для широкого класса управляемых систем не технической природы вопросы грубости имеют самостоятельное значение, например, для экологических и синоргетических систем.

С проблемой грубости тесно связаны вопросы бифуркаций систем. Термин бифуркация (дословно "раздвоение") введен А.Пуанкаре и в современной терминологии употребляется как название любого скачкообразного изменения, происходяиего при плавном изменении параметров в любой системе:-динамической, экологической и.т.д. Таким образом бифуркация означает переход от одной грубой системы к другой. Переход осуществляется через негрубыэ, особенные системы разделяющие области грубости систем. В некото-

й -

рых разделах математики вместо термина Си^уркзлля применяется термин катастрофа, который ьведен р.Гока .

Многие соновололагакжц'е р-зулътап: в теории грубости бифуркации дкнемическхх систем бы."! получен А.А.Андронов»: и ого школой. В известно? совместной работе Л.Л.Лнлроноьа 'и Л.С.Поьгря-гина было Еьедено понятие грубости ягн&чдчвекйх сисле;.-, которое получило назвони? грубости ¡то АнлронмуЧТонтрягяну. Б отлично от другого понятия грубости, введение/го брззхльск:::.; ученом М.М.ПОЙК-сото она предполагает, что от исисдкоП и возмущенной систем требуется е-тождествелность (в тержнах теорхк динамических систем - е близости гга&зоморйкш, осуществляющего эквивалентность невоз мущеннс-'i и возмущенной систем, к тсждестьеклому).

Рассматривается понятие грубости по Аядроноьу-Понтрягину для яташчеокох системы порядка л

.г = Fix;, (I)

где )е if'' - вектор фагозах координат, ? - п -мерная нелшей

нал д1ПЙ^рен:и:руа;.1ая вгктор'-фу;-кцпя.

Система называется г ? У 5 о я п о А н д р о я о в у -Я о н. т р и г и н у ( далее - г р у 0 о и системой) в некоторой области G'если ксходоя система (I) и ьозмуценнзя система, определенная в подобласти G области G

х = + f(x), (Л)

где ./fx; -ди^ренцируе.мая малая по корке г. - мерная .воктор-С-ункци.-т, являдтсл е -гс?:дэстЕек!н.\к, т.е. существуют открытые области Р» J) такие - что D,D с 0 с G и для них выполняется условие: чаково-бы ли бкло £ > 0, мокно найти такое б > 0, чю если £?■) 5 - рлиака к .системе (Г) в области 5 , то разбиения, областей и Ь траекториями-систем (2) и (I) £ -сслдествеккк ( "алеют одина-KCF.s-3 топологические структуры и "покален;;" или "сдвинуты" одно по о-'чемкиы к 'другому мэныге, не с ",-. ¿.то условие записывается в виде ~ а

. •= го,::)). <3)

."ели. условие (3) не Быгоднкется, то негруба по Андрокозу-

Понтркгину. Условия 5 -с.~:?ос:и и а -токдеотвенности при этом 30DreeTC?ieH"0 означай;: для ьсех аналитических / (z), i-l ,п, а« «г i-:ec:о I.'.{j-J'i< <3. <<у, ¿zj.'Zr. , / ; и существует а?н;®к;> односкачяке и непретквние Д/кн.ан: г, = (х), переводя-«п? кн&гук траекторию е::сте:.а; ¡1) а траекгорнх систем (2) к та-

кие, что ¡х^ ^^ е. Для многомерных систем ( п > 3 ) определения данные выш-з следует сбоСдитъ заменой абсолютных значений соответстЕкцагл векторными норм:',ж какого-либо вида.

Тагам образом, в данном определен:« грубости предполагается, что й.оз«уЕ;еяйя адтатстлпкзтиЕШй (язрйиегркческке) я касаются правой части (I), но могло рассматривать это понятно и сира, предполагая, что вормущени;. правой части возможны и аддитивные (Екегкгнз, сигнальные), бгктхоэ г. такому определения грубости в терминах передаточных фугссп-гй и для линейных систем дзно с работах А.К.Возояоэрз,

Ктак, в ащякок скысло зозау^эякая (2) и исходная (I) системы соответственно -чкдставлдг'тся в виде

.г Г(х,я,£), (4)

к - « К (5)

где (?£ & - вектор варыруекых параметров (тлул^тиялякатиБИКх возмущений 3. Я1" ■ вектор внтаних аддитивных входов (возмущений) систем;., д0 -номинальные (нэЕОсмудекнж) значения векторов При этом грубость система Со) рзссг-атрлзаотса в смысла /.адгонева-Понтр.'-пиа.

В янаетариоЗ црахтихе дл=. анализа и спнтзза груби., (малочувствительных 3 систем сугистнувт ряд методов в основном отг:осэд:эся к подходам теории чувствительности и параметрической инаприентнос-ти рассмотренным и классик г^фозашим б работах Е.Н.Роаензассяра к Юсупова, яогорэл поезяценп отдельное книга Л.К.Ерглачежо, С.Т.Ходько и В.Т.Швр^затоЕЗ. Зти методы в основном ориентированы для решения задач з частотной облает;: линейных систем, а кокструк-тивьиэ ЕозкозЕости пространства состояний (времегдых моделей) в настоящей время используытея недостаточно. При этом для нелпяей-яых систем не существует- катода или какие-либо ое'цпэ подходы синтеза гоубкх систем в рамках стгцнонгршгх структур, г только релп-ютс<> кзтодамп построения адаптивных систем пи слотом с переменной структурой С.3.Емельянова и В.И.Уткина. Нет инженерах метогдз построй шя грубых систем при больших изменениях парь:/ггро:-; и вняа-ннх Еозмущэвий, а таквз для семейств лингйаых систем узраьгетгва.

Во второй глазе на основе псаятпя грубости ::о Аядрэвову-Понзрягыяу вводится мера топологической грубости динамических систем (ДО) з особых точках и в окрестностях предельных цяклоз. Беодится понятие о максимальной грубости к уикзамальной

негрубости ДС. Формулируется к докасыьается тоорекг. .•>« уо»сг.;пг досглйолостл максимальной грубсг-п: и .*ляв»лы;г,я ксгзубостй -ч". Рассматриваются вопросы бифуркаций и получен:; г;;; ор;:;; бифурт.'а ций в ДС. Вводится нелинейная мера грубости на оскс.«б функций Ляпунова.

Приводится краткий обзор развития теории грубости и бифуркаций динамических систем, а тага» сснс&ная торгснхологил т.. этих областях. Отмечаются г.кдаяокеся вклада б теория днтауичо с~;их систем, а также в теорию грубости и бифуркаций дкшшчссккх систем внесенные великими ученики А.Пуанкаре. И.Бйнхиксокок, А.А.Ан-дронов^к и его школой, а тичго .значительней вклад ссг-р^менных исследователей В.И.Арнольда, Д.Б.АкосЬзб, с.Оейяа.

Приводится строгое определение;

- значение параметра д (как скалярного, так и векторного) от которого зависит некоторое качественное свойство. С-5(ц) наг:л.;аотсл обигагоБеннкм, если существует, коновое £>• О, гакоо, что дл-т сдах q, удовлетворяющих неравенству

I? -- 9о I' (5)

выполняется условие

(?)

- если же не существует окрестностей д^дй, ¿ля которых выполняется (7), то такое значение параметра называется бифуркационным. В случае динамических систем ь качестве рассматриваемого свойства принимают топологическую структуру разбиения фазового пространства (плоскости) на траектории.

На основе понятия грубости по АНдроноьу-Понтряпиу и существующей непрерывной зависимости решений динамической системы (I) от начальных условий и правой-части сводятся определения макспмолыю; грубости и минимальной негрубости систем.

Определение I. Грубая в области С- система (I) называется максимально грубой на множь..ве систем " , если величина и-бли-зости систем (I) и (2), приводящая к е - тождественности, будет (для каждого е> 0) максимальна.

Определение 2. Кегрубая в области О система (I) называется ышшмал; - негрубой на множестве систем V если величина е -токдествонности, при которой еще выполняется условие грубости, Судет (для каждого б> 0) минимальна.

Замечание. Мнохсстеэ N в определениях I и 2 это множество (семейство) всех динамических систем, которые топологически тож-

дестБсиш друг ¿ругу.

Ко теории „•апзжческ'.х систем известно, что необходимые и достаточны* /слогия груоости определяются по особым траекториям (особым точкам, сйпэратрисгк, предельным циклам и т.д.), так в известно,Ч Фугчдыментялъной статье Л.А.Андронова и Я.О.Понтрягина сфсркулироьаны критерии грубости ь виде следующих трех необходимых и достаточны"': условий. I. В оеобыч точках ( г0 ,у0) области С :

а) гЫ А -- О, XV А - ?х:Лх0,у0) * Р2}(х0,у0) * 0;

б) о ели г г /1 - о, то л < О, где г,; = ¿?/,/аг, к.; •-= ¿д-^/ ,

Для продольных циклов : .г = у = (<ра + ФГ£ +

x * ?2;г<р,ф;;<я * о,.

где % - характеристический показатель цикла. 3. Среди сепаратрис "седла" не-г таких, которые идут из "седла" в "седло".

Наиболее вззензш особыми траектория:®, во-многом определяккцими ■юяологяч?схув структуру системы являются особые точки. Возможность определения грубости дг-намичес::их систем по оценкам грубости з окрестностях особых течек обосновывается теоремой Гробма-на-Харп/анз, утзераззасей, что в окрестностях гиперболических особых точек динамическая система подобна свивй линейной части.

Условий дссткжкмоста мэксимэльной грубости или минимальной негрубости определяется следующей георекой.

Теорема I. Для того, чтобы динамическая система в окрест- • ности гхперЯолшской особой точки (х ) была максимально грубой, а в окрестности негплербэлЕчеокой - минимально негрубой, необходимо " и достаточно ¡меть

а-б?тип с(М), (8)

где ^ - матрица приведения матрицы линейной части А=[д?/дх1 в . особой точке ( г,) к диагональному (квазидиагональному) базису с матрицей Г , т.е.

М Г - А М , (9)

г = (Исщех., I = Т7п

__„ (Ю)

или Г = ./ р., \ , 1=2к+1,п ),

5{М)~ число обусловленности (обычно спектральное число) матрицы и с(М) = а аО/а . Ш , (II)

,п а. х т 1 п

где ап1п(Ю - соответственно максйкальноо к »ашыздьаоо

сингулярные числа матрицы 1' .

Доказательство теоремы Г' проведено на основе критерия грубости по Андронову-Понгрягнну, приведенного выше.

Замечание I. Возможность рассмотрения, и кегкперболпческих (кегрубкх) особых точек (точек с собственными значениями на мнимой оси) вытекает из непрерывности функция с СМ}, как для класса ишзрбожчвских, так я кегнггерболичесюг-с точек,

Замечание 2. Как следует из определений I и 2, а также теоре мы I существуют кищогашю грубые и максш&льно нсгрубке система в которых сШ = с« . Мйачэ, множества грубых к ногрубых систем образуют непрерывные множества. При з.гом слотемами с сШ = будут систе.та с ¡кордзновой квазидиагональной Формой матриц линей ной чусги.

Замечание 3. Онределенкя I и 2, а тагске условия теорекг I ж; вариантны относительно размерности пассматриваемого фазового про _стршства,

. На базе теоремы I получана теорема 2, позволчиаая сфррмули-ровать алгоритм синтеза максимально (или гарантированно) грубых (минимально негру Сих) динамических систем по оценкам грубости в особых точках с немощью уравнения Сильвестра.

Рассматривается управляемая динамическая система

X = ®(х,и), (12)

где х< Я", и( й** - соответственно вектора фазовых координат и ут равлэний систем, Ф(.) ~ п. - мерная нелинейная дифференцируемая вектор-пункция.

. Б особой точке ( х0,ий )

ф(.г0,и0; = о, (13:

линейная часть системы (12) принимает вид

х = 'т + Ви, (14

где А = ГФ1Х' (хй,и0)3, 1.1 ~Т7п; В -- ГФ^ (х0.и0. (=Т7п ф ^ Тх0,ио;, Ф,^ (г0,ио; -соответственно частные производные

с^ /си , аф,/5и; в точке ( 20,и0 ),

Справедлива теорема.

Теорема 2. Для того, чтобы в управляемой динамической: систе мо (12), описываемся в фазовом пространстве л Я" окрестности особой точки ( х0, и^ ) с помощью матриц линейной часта А и В , • существовало управление и=-1х , обеспечивающее соответствующей

особой точке замкнутой системы с синтезированной матрицей F^A-BK, максимальную грубость или минимальную негрубость, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия невырожденной разрешимости уравнения С-ильг.естра

M Г - А 11 = - В H , (15)

где Я = К 'J , или К - H а'1.

Таким образом в результате использования теоремы 2, задача достижения максимальной грубости сводится к.задаче нелинейного программирования по минимизации с(М) выбором матрицы Ы (или X) в уравнении Сильвестра (15) с последующим нормированием найденной матрицы M . Здесь Ге Л"хп -'диагональ .ая (квазидиагональная) матрица модели со спектром собственных значений а(Т) - {À.l,t~~i~jï) равным спектру матрицы замкнутой (синтезируемой) системы F,He^xn - матрица, задаваемая произвольно с ограничением на наблюдаемость пары ( Г, H ).

Из теорем I и 2, которые дают математически строгое обоснование разработанного подхода-к оценка грубости и управления грубостью динамических систем, нетрудно видеть, что если известит вариру^ше параметры q в системе (12), то в этом случае .можно решать задачи оценки и управления параметрической грубостью по функционалам чувствительности собственных значений и векторов,которые рассматриваются, в третьей главе.

Алгоритм синтеза максимально грубых в области G динамических систем представлен на рисЛ,

Если в области G кроме особых точек имеются и предельные циклы, то предложенный подход, который назван подходом меры С или С - мерой, распространяется и на области в окрестностях предельных циклов.

...В этом случае вводится мера грубости С_ , в виде числа обусловленности матрицы #(Т.\диагонализующего (квазидиагонализующего) преобразование матрицы монодромии Х(Т) предельного цикла, т.е.

ст » ССМ(Т)), (16)

!1(Т) Т(Т) = Х(Т) М(Т) , (17).

где Г(!Г> cîiagfn,, i=77ïï }, или T(1!)±cLlag(T} ,J"T7S; ц^ ,U2k+1 ,п), r^fcij ,-cXj ,-(3j J, мультипликаторы матрицы X(T).

Если для систеш (I) известна фундаментальная матрица периодических решений X(t), такая что

X(t) = FCX(îJ), (18)

Рис. I.

то матрица монодромта X(T)=X(t~TJ, где Т- период рассматриваемого' предельного цикла.'

Если же Kf t J не найдена, то в этом случае матрица монодроши находится одним из известных численных методов, например методом "стрельбы", сущность которого заключается в том , что для (I) задаются некоторым начальными условия®!

-- эе1, I = ТТп (19)

■и определенным значением периода Т, Далее система (I) интегрируется от точки i=0, до точки t=T. В результате получаются значения .т, в точке t=T:

х^Т) = cp/asj ,х2 ,...,яп,Т), I = Т7п. (20)

Теперь матрицей монодровиг будет Матрица с элементам! ,

l.J = Т7п

Х(Т) = röcpj/öa^J. (21)

Относительно грубости систем в окрестностях предельных циклов справедлива теорема. ■

Теорема 3. Для того, чтобы в окрестности орбитально-устойчи-вого предельного цикла динамическая система была максимальна груба, а в окрестности орбиталько-нзустейчивого минимально негруба, необходимо и достаточно, чтобы

I*(T) = ergnin cOI(T)). (22)

Утверждается, что меру грубости С ( Сг) моим использовать и для кусочно-гладких динамических систем, рассматривая совокупную грубость по областям гладкости системы, если особые точки не находятся на границах этих областей.

Меры грубости введенные выше позволяют ипользовать их для исследования бифуркаций, а именно на их основе получены критерии бифуркаций динамических систем.

С помощью меры С были исследованы бифуркации различных динамических систем, в частности, модель и странный аттрактор Лоренца (в главе 5), аттрактор Ресслера и другие системы.

Сформулированы И доказаны ряд теорем, определяющие условия. бифуркация систем.

Теорема 4, Для негнперболических особых точек с

одним нулевым действительным собственным значением при изменениях параметров q в точке q* имеет место

c(M(q*)} = min cßf(q)}. (23)

Замечание. Пс доказательству теоремы 4 следует, что если система обладает в точке q-a*, парой чисто мнимых собственных значений я Го*) - ± jb, то при переходе через мнимую ось собственных значений Xi , в обдем случае

c(M(q')} ? min сГХ(д)}.

Теорема 5. Если в фазовой плоскости особая точка ОТ(а*):

1) имеет чисто мнимые собственные значения линейкой части;

2) с Offq*)J = min cCi(q)},

то она является особой точкой т;ла сложный фскус, а значение параметра a-q* бифуркационное-, появляется или исчезав предельный цикл в окрестности CT, т.е. пмс=т место бифуркация Пуаныаре-Андронова-Хопфа (бифуркация Хопфа).

Георема 6. Для того, чтобы з области а многомерней (п >- 3) динамической системы (ДО) при значении параметра q - q", qtlf, возникла какая-нибудь бифуркация топологической структуры, необходимо и достаточно, чтобы:

либо, I) в рассматриваемой области G ДС существуют непытепболи-ческие особые точки (ОТ), или орбиталько-кеустсйчивыз предельные циклы (ГЩ), для которых имеет место:

ac:i(q')) -- 1 min 2 с ßfaJJ, (24)

где р - количество ОГ или ПЦ е области G;

либо, 2) в области G ДС гаеются грубые ОТ или ПЦ, для котооых выполняется условие: ■

c(M(q )} = » . (25)

относительно сепаратрис "седла"- (третье условие критерия грубости) справедлива теорема.

. Теорема 7. Для существования сепаратрисы из "седла" в "седло" необходимо и достаточно, чтобы в этих СГ выполнялось условие

с а- спи;. (26)

Таким образом теоремы 4 позволяют использовать меры грубости С (Сг) для определения бифуркаций в динамических системах, нахождением матриц линейной части (или матриц монодромии) и вычислением С (Сг) в особых точках и (или) на предельных циклах.

Мер: -рубости С является как бы линейной мерой в смысле оцен ки по линейной части (малой окрестности) динамических систем. Хотя она дает эффективные возможности оценки и управления грубостью, но имеет и определенный недостаток, касашийся сравнительной грубости существенно нелинейных систем, обладающих одинако-. вши линейными частями. Однако и для таких систем мозаю полагать,

■¡то оценки по С (С,) при большом количестве особых точек и предельных циклов в насматриваемой области С могут дать достаточно точную оценку грубости. Кроме того, меру С можно использовать для ¡'инеавизованных по Карлеману существенно нелинейных динамических ; истем, ко при этом порядок рассматриваемых систем резко возрастает.

Итак, для оценки сравнительной грубости динамических систем, в дополнение к введенным мэрам С (Ст) необходимо ввести "нелинейную" меру, позволяющую полнее учесть нелинейную часть систем. Такая мера вводится на основе функций Ляпунова.

Содержательным обоснованием введения ,,еры грубости на основе функций Ляпунова (ФЛ) являются следующие положения.

Обзор литературы по - теории динамических систем, а также исследования проведенные автором на модельных призерах -с помощью меры грубости типа С (часть из которых приведены в главе 5) показывают, что основным содержанием свойства грубости является п р и н ц и п с и м метр и и фазового пространства, т.е. чем более симметрична топологическая структура системы, тем более она груза (или менее негруба). При оценке грубости на основе меры С выражением принципа симметрии является ортогональность (трансверсальность) подпространств пространства собственных векторов матрицы линейкой части динамической систем.В таком случае можно ввести в качестве "нелгаейней" меры грубости и какую-либо другую метрику симметричности фазового пространства, но в пользу ФЛ относятся многие достоинства метода ФЛ, в частности разработанность метода и большая определенность и однозначность оценок по ФЛ, связанные со взаимосвязью свойств грубости и устойчивости по Ляпунову.

Вышесказанное, а также, то что мерой С оценивается гладкость оператора правой части динамической системы (I) по окрестностям особых точек и предельных циклов, позволяет ставить задачу оценки грубости систем по нелинейной части, рассматривая гладкость взаимно обратных непрерывных отображений вида

П(7(х)) ~ 7(х), (27)'

где-- функция Ляпунова (ФЛ), )Ч(7(х)) = бУ/М - производная ФЛ, ~ - знак отображения.

Последние выводы формулируются в виде утверждения.

Утверждение I. Для существенно нелинейных систем гладкость оператора отношения У ~ Ч! характеризует грубость динамических систем по нелинейной части.

Показывается что для линейных систем с ФЛ и ео производной заданной в виде У-згрх, и матрицы которых

р - 0 = ~ (М~1 Г;Г 1' (28)

где Г =-- Щс^О^, 1*1 ,п }, оценки по числу обусловленности сШ и по функции Ляпунова (в данном случае о(М(й'1Р)) ) совпадают.

Итак,.в случав обычных (не векторных) функций Ляпунова 7=У(х) вводятся следующие меры (показатели) грубости:

1) при оценке грубости по точкам :

с(У0) * \ЩУй) |/|^0Лта1Х с 1, /29)

1<г™гчп„, |дт0;| = \УХ(У0) - ПгГ/0)\ ~ соответственно максимальная абсолютная величина и абсолютное значение приращения фоирзодкой &Я, ^ <Т0) и ) - крайние значения про-изводкой ФЛ при значении V = У0 ;

2) при оценке грубости по интервалу [0,Уа1;

С(0,У0} = +1, (30)

У0 о • -

При сравнительной оценке -грубости множества динамических систем, линейно близких по особым точкам, функция Ляпунова выбирается фиксированным;

Для векторных функций Ляпунова также молю ввести меры (показатели грубости), которые отличаются от (29) и (30) тем, что вместо абсолютных величин рассматриваются векторные нормы,

В заключении главы 2 формулируется и доказывается теорема об инвариантности гиперобъема областей притяжения относительно преобразований подобия линейной части динамических систем.

Теорема в. Для класса систем с одинаковым спектром собственных значений, величина гиперобъема области притяжения является инвариантом класса таких систем.

Третья глава посвящена вопросам робастности и грубости динамических систем. Решается задача Харитонова о робаст-ной устойчивости линейных интервальных даламлческих систем. Доказывается .теорема о робастной устойчивости многогранников матриц. Рассматриваются квазианалоги результатов робастной устойчивости для дискретных систем, вопросы робастности и грубости нелинейных интервальных, а также стохастических динамических систем.

При больших вариациях параметров, меры грубости введенные в главе 2, непосредственно невозможно использовать, В этом случае, необходимо, устанавливать роСастность систем при конечных вариациях параметров, а затем в малых окрестностях пространства параметров применять меры грубости.

IS -

Рассматривается интервальная динамическая система

х = (31)

где ха Ft, qc qii[ql,ql 1, I = 1 ,p , q - вектор параметров, q , qi- граничные (угловые) значения параметров q . Предполагается, что изменения q кЕазистационарные (q = С).

В окрестностях особых точек F(x,q)=0, система (31) представляется линейными интервальными системами

X = ApJqjXi (32)

где R"x"~ интервальная матрица с элементами a1Jf l,J = Т7п,

являющимися функциями от q, т.е. представши как интервальные величины aiif.[qiJ,änJ с угловыми значениями о^, йи, а.^ й , й - 1,2,.,. - номера особых'точек. В общем случае A^(q) ярляется многогранником матриц со взаимосвязанными элементами.-

Таким образом, необходимо решить задачу В. JI. Харитонова для интервальных матриц и задачу 3 Э.Джури (Гипотеза 5.1 в обзоре Э.Дку-ри//А и Т,1990,Кб,с.3-28) для многогранников матриц в непрерывном случае. На актуальность решения этих задач обращается внимание ис-сяедова.-'ЛиЗ и в обзоре Б.Т.Поляка и Я.З.Яыгжинь (Итоги науки и техники.Сор.Техническая кибернетика,т.32.~М.:ВИНИТИ,1ЭЭ1,с.3-31).

В основополагающей работе В.Л.Харитонова (Диффэренц.уравнения, 1978,т.14,>'11,с.2086-2033) била сформулирована теорема (третья) о достаточном условии асимптотической устойчивости интервальной системы типа (32), без доказательства и каких-либо уточнений. Эта работа вызвала огромный поток публикаций отечественных и зарубежных исследователей. Так польский ученый Bialas S. опубликовал в 1933г. в журнале Int.J.Control (У.37Д 4,p.717-722) работу о необходимом и достаточном условии устойчивости интервальных матриц (была сформулирована и доказывалась теорема), которая была опровергнута контрпримерами, опубликованными в том же журнале в 1934г.(Barmish В.R.,Hollot C.V.//V.39,ji 5,p.1103-1104) и Karl ff.C. .Greschak J.P.,-Verghese G.C.//V.39.J6 4,p.349-851).

В этой главе сформулирована и доказана теорема типа третьей теоремы Харитонова (даны не только достаточные, а необходимые и достаточные условия), которая аннулирует указанные выше контрпримеры, более того на ее основе решена вышеназванная задача 3 З.Джу-ри (Гипотеза 5.1) для многогранников матриц (или иначе, сформулирована и доказана реберная теорема для многогранников матриц).

Прежде, чем сформулировать основную теорему введвм следующие обозначения: А - матрица Ak в П2) при фиксированном значении й;

D -множество матриц с интервальными элементами а...,

К 1i âl}l, i.j '

а4, t - 1 ,п - коэффициенты характеристического уравнения(полинома)

системы (32) ,

/Ся; = Ап + at А.*1" V- а2\п~~+ ... + ал -= О, (33)

где , i » TTïï, a коэффициенты д., ôt называются угловыми;

четыре угловых полиномов Харитонова /¡-(Л), î Т73 характеризуются множествами коэффициентов: ДШ; С д., и,, й3, аИ1, ... J;

f2(\): ( ql,a2,ai,qlí,qi,...}; fi(X): ( а., а,, д3> а4, с;. , ... };

/4(Л.;: f а1, а,, а3, д. , а5, ... ).

Теорема 9. Для того, чтобы особая точка (положение равновесия) х = О еноте:,m (32) было асимптотически устойчиво при бсэх А а , необходимо и достаточно, чтобы были гурвицевы все четыре угловые полиномы Харитонова, составленные по отдельным угловым коэффициентам a, igt, à), 1=1¿n характеристических полиномов системы (32),

Данная теорема доказывается на основе следующей леммы. Леша. Отдельные угловые коэффициенты cil(qí ,á. , i=17ïï ) образуются как соответствующе коэффициенты (33), либо при угловых значениях элементов а , í,J = 'Uñ матрицы А, либо при нулевых (промежуточных) значениях некоторых элементов.

По лемме найдены аналитические выражения, связывающие коэффи-' циенты полиномов (33) с элементами матрицы А.

Приводится пример аннулирования контрпртаера (Barmish B.R., Kollot C.V.) к теореме S.Bialas.

Известно, что мнегорашиком матриц называется множество матриц •

Р = ( Р = S s.Р. : 0, 1=1,2, ... ,m, S з.= 1 ), (34)

S 1 1 1 1 1 .

где Р , - постоянные матрицы.

Теорема 10. Для устойчивости многогранника матриц Р, необходимо и достаточно,- чтобы выпуклые ребра Р были устойчивы, т.е. матриыы

s¡P¡ + з , (35)

УСТОЙЧИВЫ при любых Í,J = TTrÜ , 3l€.[-1,01, 3zí[0,1l.

Справедливость доказанной теоремы 10 показывается на 3 известных контрпримерах к указанной гипотезе 5,1. Э.Дхури.

На основе-теорем 9,10 и леммы получены новые результаты нере-

щешшх pauso задач относительно интервальных матриц И многогранников матриц, которце сформулированы в виде следующих тэорем.

Теорема II. Для того, чтобы интерзальная матрица А с комплексными коэффициентами а * а1( + j p,j. l,J » T¡ñ ; a.^fg^, at}], Pjjífg,,, ¡>,, ' была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы восемь углопвх вещественных пар полиномов Харитонова : (fy, gt;;

. e.J; f~r_, g,);(K, g21; (h,, g„ ); . g, J; (Тг4, &.J,

были устоЯч-лаи.

Замечашэ I, Оптимизация коэффициентов отдельных угловых полиномов здесь ведется раздельно по вещественным (h ) к мнимым ),i-771 частям комплексных характеристических полиномов.

Замечание 2. Если использовать теорему 10, то в этом случае верна и реберная теорема для комплексных матриц.

Теорема 12. Для того, чтобы интервальная матрица А была строго апериодична, необходимо и достаточно, чтобы были строго апернодичны четыре пары полиномов Соха, ассоциированные с четырьмя полиномами Харитонова, полученными в соответствии с теоремой 9.

Замечание I. Аналогично имеет место и условие нестрогой апериодичности .

Замечание 2. Условия строгой и нестрогой апериодичности нетрудно сформулировать и для многогранников матриц, используя теорему 10 и полиномы Соха (см.вышеуказанный обзор Э.Джури).

Теорема 13, Для того, чтобы многогранник матриц Р был модальным с областью D (\¡a D, t=77ñ ), необходимо и достаточно, чтобы были модальны:,-и с этой же областью все матрицы 3íPi + s,Р , где slf[-l,ü], з„fJO, 1 ], l.J = T7m.

3 связи с важностью проблем робастности, а также в силу взаимосвязи с предыдущими результатами рассматриваются Еопросы для дискретных интервальных динамических систем. Получены квазианалоги теорем Харитонова для дискретного случая, теорем типа Харито-hoi для интервальных матриц и многогранников матриц в дискретном варианте.

При рассмотрении вопросов робастности и грубости нелинейных интервальных динамических систем могут возникнуть ряд случаев.

Если в сист-.-.\: (31) интервальными являются не только параметры линейной но и нелинейной части, то в случае, когда для линейных частей l ссъЗых точках ОТ,2.....по множестьу соответ-

ствукщкх полиномов Харитонова {fki(>J, I = 1,4, к - ',2,... } установлена робастная устойчивость, система будет робастно устойчивой по Ляпунову, а значит и робастно готбой в окрестностях множества особых точек.

Если же, на одной из вершин Харитонова в пространстве интервальных параметров обнаруживается неустойчивость систем!.!, то в 'атом случае она неустойчива и существует ногрубая область в пространстве параметров q .

Таким образом, вопрос'об определении робастной устойчивости нелинейных интервальных динамических систем будет возникать тогда, когда на одной из вершин имеет место критический случай,т.е. на плоскости собственных значений линейной части попадаем на мнимую ось.

В этом случае применяя критерии главк 2 устанавливаются области бифуркаций в пространстве параметров qiBj, , когда гиперболические особые точки переходят в негиперболическке г. наоборот.

И наконец, если критической является только одна из вершин интервальной области параметров, то установление не бифуркационное™ этой вершины гарантирует робастную устойчивость для нелинейной интервальной динамической системы.

Для оценки грубости интервальных динамических систем при болызи.-. изменениях параметров и возмущениях фазового потока эффективные возможности предоставляют результаты относительно робастной устойчивости интервальных матриц и многогранников матриц.

Пусть для (31) получены системы линейной части (32) в особых точках , Ь=1,1 , где qz Rp, qiilql, qJ, i = Tip .

Тогда, будем иметь Z-интервальных матриц (или многогранник матриц из I элементов в общем случае), устойчивость или иные свойства, которых определяются по условиям теоремы 9.

Определяются условия устойчивости множества СОТй, к Т7Т ) или требуемой части 0ТЙ , и если они устойчивы, то беодятся меры грубости для множества особых точек, по {2п) углоЕым матрицам точек OTjj, которые соответствуют отдельным коэффициен-. там леммы и теоремы 9. При этом для к -той ОТ мерой грубости будет величина ^ = ^ с{М(л^)} (36)

где с{М(А%)) - число обусловленности £ - той (£ ,2п ) матрицы U к-той особой точки.

- A3 -

■ Общей мерой грубости интервальной.динамической системы вводится мера с = ^ {37)

к к

или С € [qk, Ск1, (38)

где ch - war сь , оь min съ ,

V, Л -rf Ä

При определении робастности и грубости стохастических динамических систем рассматривается система вида

х -- F(x,q.s) , -(39)

где хе я", qa Нр, Si if-соответственно воктора фазовых координат, параметров и внешних аддитивных стохастических воздействий типа гауссовский "белый" или "скрашешшй" шум с нулевым;! математическими ожиданиями E(g(t}) - Ö.

Если стохастическим является только внешнее воздействие g , то определяется линейная часть также по аддитивным составляющим правой'части (39)е.имеем

.те ÂgC + В g, (40)

где B-idF/dg] € R"**- матрица еходов внешних поздействий, 0*1,1 .

К системам (40)' применяются способы разработанные для линейных стохастических систем, а именно определяются матрицы дисперсий , Х>й и ковариаций Ry(t,i), , по уравнениям типа Ляпунова

Аь Dk>DkAl*-Bli вТ> + *<4Ч '

ii соотнокониям

Rb(t.x) = exp(Ak(t-\))Db , Rh(t,t) = C^xp(\(t-x))b^rx, (42)

где и Da, - соответственно матрицу дисперсий и ковариа-

ций при входном сигнале "белый" шум и "окрашенный" шум,Jî -поо-^ тоянная матрица интенсивностей "белого" шума, матрицы 0Х, В равны

С - (J : 0), \ -

è матрицы Tg, Bg, являются матрицами формирующего фильтра, моделирующего систему вырабатывающую "окрашенный" шум g(t) "белого" шума m(t)

'z(t) = T,£z(t) + Bßv(t),j(0), g(t) = Paz(j), (43) Далее применяя к матрицам Z>A ,Dp_ и R^(t л), R^(t,%) меры

В Р 1 »V ' 0 "

р. . 0 г v 'г 5 - В . г

грубости С, оценивается грубость динамической систем!; (39) при стохастических внешних аддитивных воздействиях g = 511) по множеству окрестностей точек 0ТЙ, й-"Г,~Т, т.е. через меры типа (36)-(38) .

В случае стохастических параметр и ческкх возмущений, аналогично предыдущему вводятся меры грубости по окрестностям особых точек,

В этом случае в окрестностях особых точек ОТ*, , А=7Л имеем системы типа (32), где Ак(д) - п>п - матрица со стохастическими элементами а^ -аи(д).

Матрица ¿¡¡(Я) представляется в аддитивном виде

Ак(я) = Ак + ? Д^ (д,;, (44)

где ЕСАр(ц)} = Ак, ик(д,) - , ] = 1~р , Ак} = с)Ак(д)/ддг

- матрица чувствительности по 3 - тему параметру.

К аддитивной составляющей (44) применяется известная факто-

Р« (45)

где йщ, £ Л", Единственность факторизации (45) обеспе-

чивается выполнением условия

' (46)

Где ц . ¡1 - евклидова норма.

Составляются магоица £>к и вектор хк такие, что

.....V* = > (47)

Тогда,'система (32) приводится к описанию

X = Акх + Вк1к . (48)

Для оценки грубости (48) рассматривается грамиан управляемости И^р» удовлетворяющий уравнению типа Ляпунова

+ VI - • (4Э>

и определяются числа обусловленности сШ^) множества особых точек 0ТЙ, к-77Т по которым аналогично. (36)-(33)) оцешвается грубость стохастической по параметрам д системы (39).'

В четвертой главе рассматриваются вопросы анализа и синтеза грубых многомерных систем управления на основе мер грубости ДС и количественных оценок грубости, которые разделены на два класса -априорные и апостериорные, являющиеся соответствен-

но оценками при неопределенных и известных возмущениях,

Меры грубости предложенные е главах 2 и 3, а также аналогичный характеристики матриц (чувствительности собственных и сингулярных чисел, векторов) позволяют на единой алгоритмической основе по-' строить количественные оценки грубости многомерных систем управления, как линейных, так и нелинейных. Эти оценки могут быть двух гадов-лакдйике и нелинейные, которые в свою очередь делятся на два клпсса-апряоркнв (потекщшгьпне) и апостериорные (дафферен-циальнцв). Априсрньч- (статачеекие и данзмвчеекке) предназначены длл оценки грубости при априори неизвестных (неопределенных) ва~ риацилх параметре» или малых топологических возмущениях фазового потока систем. А апостериорные оценки служат при конкретно известных вариациях параметров, и внешних аддитивных возмущениях. Нелинейные оценки строятся на осноо функция Ляпунова.

В качестве априорных оценок мокко применять непосредственно оценки, по мерам грубости типа С, рассмотренные в предыдущих главах, но для лучшей сравнимости и идентичности алгоритмического обеспечения вводятся новые количественные оценки, полученные на основе этих мер и оценок динамических процессов по собственным значениям матриц.

Статические априорные оценки определяются с использованием экстремальных оценок динамических процессов, а также меры грубости С. Динамические оценки определяются через числа обусловленности мажорант и минорант векторных процессов многомерных систем.

Оценки грубости систем управления обозначаются через р и вво-

т.е. р , р¿¿.10,11, и чем Сольпе РС,Р^. тем грубее будет система.

Оценки грубости (50),(51) находятся соответственно через числа обусловленности матриц Н, диагонализующих некоторые характеристические матрицы IV , которые Еыражают какие-либо свойства процессов в системе управления или через некоторые функционалы «7^ чувствительности собственных значений (собственных Еекторов) матриц V .

Основными свойствами процессов в системах, управления, оценки грубости которых рассматриваются здесь являются': устойчивость.

дятся в виде

рс = 7/сШ,

(50)

(51)

быстродействие, перерегулирование, точность при детерминированных и стохастических входных воздействиях типа "белый" и "окрашенный" шумы, управляемость и наблюдаемость.

Линейная многомерная система рассматривается в виде

х = ¥х, х(0), у = Сх, (52)

где x=:X(tJC Я", Й" - соответственно вектора состояний и

выходов системы, ?,С - постоянные матрицы соответствующих размерностей.

Объект управления имеет вид

х - лх + Ви, х(0), у = Сх, (50)

где ие Яг- вектор управления.

Для времени переходного процесса произвольной устойчивой системы получено

рг = 1/с(П) = а_ /а+ , (54)

где а_,а+-соотвэтственно минимальное и максимальное сингулярные числа характеристической матрицы (/, удовлетворяющей соотношению Л1 = еГ1?, (55)

где Р и Я - матрицы функции Ляпунова и ее производной, оценивающие качества процессов в рассматриваемой системе.

В случае системы синтезированной по квадратичному критерию

качества J = J (х!а)ах(г) + ит(г;Яит;сИ, о

паре матриц ( Р,<3 )_находится из матричных равенств

<3 = Ч + РВЕ'1Б7Р , Р = V, где Р - решение уравнения Риккати:

/р + Р/4 - РДД'1ВТР - .

Если жэ система проектируется с помощью метода модального управления с использованием уравнения Сильвестра, то оценка

р( « , . (56).

где ЯеЛ_ ,ЯеХ+- соответственно вещественные части минимального и максимального собственного значения матрицы келаемой модели Г .

Аналогичным образом .определяются и оценки грубости других свойств через соответствующие Показатели качества. При этом характеристические матрицы являются решениями матричных уравнений Сильвестра и типа Ляпунова'.

Так для оценки грубости, свойства устойчивости рассматривается степень устойчивости системы т] , и получаем р^ 1/\1.+(¥0, где ц - максимальное собственное значение матрицы В' .

Для перерегулирований по состоянию и по выходу

Ро*= а_Г!Г0х;/^г а+(Пах), р0у= таг а_(Г/0у)/г?лх ссДГ/^;,

гдо а__(. ) я а/. I - соответствующие сингулярные числа, являющиеся функцией р.р-эмени t .

Для установившейся ошибки а при детерминированном входе

;'•'..-= v ст,у ч

где матрица т удовлетворяет урошепию Сильвестра

г г; - ? т = б(ре + ъ), Г , и L - соответственно матрицы модели и прямых связей по состоянию внешних воздействий г), в - матрица входа

Для стохастического случая характеристическими матрицами 7! служат л'зтрнцы дисперсий и коьариаций при входном сигнале типа "белый" щ:л ,Лх,Д и срх сигнале типа "окрзиешый" шум 1)~у,1г,дЕ, .которые находятся с помощью уравнений типа

Ляпунова (см.главу 3).

Аналогично для структурных свойств управляемости к наблюдаемости объекта управления (53). В качестве матрицы служат гракиа-ш управляемости '!! и наблюдаемости )7 , удовлетворяющие уравнениям типа (49) или ¡1 , Н - матриц:-: .сиагонализувщие соответственно матриц. Рг~ и Ро= составленные из матриц управляемости (} и наблюдаемости .

Кроме перечисленных статических опенок грубости существует-основная априорная оценка, определяемая через меру грубости фазо>-вого потока системы,т.е. р_ = а_(М)/а^(И), где Ы - матрица диа-гонадизующая матрицу Г .

' Помимо перечисленных оценок рассматривается динамические априорные оценки, характеризующие грубость переходного процесса в многомерных системах, которые вычисляются по выражениям соответственно по состоянию ), и по выходу ру=ау_гг;/ где ах_а),ах^а) и - соотв. тствеы-ю минимальные, максимальные сикгулярнпе числа характеристических матриц

\1х= Р"1 [ехр(П) -1]ВК , и ¡7у = С'<гх , где К - матрица прямых связей по входу £ .

Апостериорные (дифференциальные) оценки грубости (статические и динамические) характеризуют процессы з системах управления при известных вариациях параметров о и обозначаются через' р .

Эти оценки грубости получены на основе аппарата функций чувствительности собственных значений. Оценки ро делятся на полные к частичные. Полные оценки определяются через'функции чувствительности всего спектра собственных значений (или сингулярного спектра) характеристической матрицы, а частичные - через чувствительности экстремальных собственных значений (сингулярных чисел). Кроме то-••го, при исследовании грубости выхода или нулей системы вводятся в рассмотрение оценки грубости геометрического спектра.

В общем случае апостериорные оценки определяются по характеристическим матрицам V/ , являющимся функциями вектооного параметра ^ в вида Рчх,шх, . " ;о г;

или для геометрического спектра р _

где Jx=\ Г | - функционал в ЕИДе спектральной нормы матрицы чувствительности собственных значений, Гч =■ [ Г^ }, J='^7p,

Г = й(С£Га' V .М). . , £=Т7Н }, а <7,. - функционал в виде нормы

Ч Л Ч V * ,

матрицы чувствительности собственных векторов.

При оценке траекторией грубости, в качестве априорной (потенциальной) оценки принимается оценка по числу обусловленности матрицы М, а в качестве апостериорной (дифференциальной) оценки принимается е ^ _ (59)

где «^=11(1 Й^Р ^ 1)1 Г 3 = ТГр )' - совокупный функционал чувствительности собственных значе^гй.

Результаты главы 3 и рассмотренные априорные и апостериорные оценки позволяют решать вопросы оценки грубости как нелинейных, так к семейств линейных систем управления, при малых и конечных (больших) вариациях параметров.

•Рассматривается семейство линейных многомерных объектов управления (ОУ) вида . .

х = -Ах +Ви + х(О), у = Сх, -(60)

где А,В,С,С - в общем случае интервальные матрицы (или многогранники матриц).

Для ОУ (60) синтезируется закон управления вида и=-Кх +' т.е. замкнутая система принимает вид

х = Рх + х(0), у = Ох, --(61)

где ? = а - вя, в i + 0 - ¡штерволыша матрицы с элементами ¿иац]-

Сценки грубости семейства систем (70) определяются по 2п угловым системам, соответствующим отдельным угловым коэффициентам ее характеристического уравнения (см.теорему 9). Поскольку каждому характеристическому уравнению с отдельными угловыми коэффициентами соответствуют конкретные значения элементов матрицы которые вычисляются при оптимизационном поиске этих коэффициентов, то к этому множеству систем с 2п матрицами состояния F можно применять все оценки грубости, предложенные в этой главе.

Отмечается, что если кроме матрицы Р Интервальными будут и другие матрицы, например С и (или) В, то при получении некоторых оценок грубости возникают определенные вычислительные трудности (в работе рассматриваются только случай с интервальными р ), для преодоления которых мокнс использовать методы интерзальной математики, интенсивно развиваемые в настоящее Еремя.

Таким образом, вычисляются сценки грубости для 2п систем (61),

которые представляются з интервальном виде (типа £50) или (51))

Р,.,€ /е(..'62)

К эт му случью, очевидно будут сводится и Еопросы оценки грубости какой-либо системы, три больших (конечных) вариациях параметров.

Для оценки грубости нелинейных систем управления применяются рассмотренные в этой глазе оценки, определяемые в окрестностях • особых точек и предельных циклов.

Рассматривается нелинейный объект управления

х = Л(х,и,§,д), х(0), у « С(х,д), (63)

где А(.) и С(.) - нелинейные п и я мерные дифференцируемые по всем аргументам вектор-функции.

Пусть каким-либо образом (если линейный закон управления, то обычно ц = -Кх ) синтезирована замкнутая система

х = Т(х,в,<1), У * С(х>4) Чо4)

где = А(х,и=/(х),е,д) - нелинейная п-мерная дифференцируемая вектор-функция.

Определяются особые точки в фазовом пространство ге /Л при номинальных .

0ТЙ; Р(х,е0,<10) = 0, (65)

получим линейные части (73) в особых течках

х-Рг + С (в), х(0), у = С(х), (66)

где й = 771 - постоянная матрица, Сь- гладкая функция аддитивной части (64).

К системе (66) применимы все оценки полученные ранее, т.е. в этом случае будем'иметь множество оценок по особым точкам ОТ^, й = Т7Т.

Если возможно определить предельные циклы, то дополнительно используются оценки грубости по предельным цикла:.:

рт= 1/сШСТ)). ' (67)

Для кусочно-гладки систем также применимы оценки грубости, рассмотренные в данной главе. Б этом случае, фазовое пространство разбивается на подпространства с гладкими функциями'правой части (64), к которым применяются предыдущие результаты.

Синтез грубых систем проводится с применением закона управления вида

и = - Кх, (68)

где матрицы К находятся из требований грубости и следующих усло-еий: I) обеспечения желаемого спектра собственных значений (задача ос'"';кого гадального управления) оШ = I = Т,п ); 2) обеспечения желаемых алгебраического и'геометрического спектров (задача обобщены, го модального управления)

а) оШ = а*: I =77р. ),

б) (эе*: = X* х* I =771,'й $ п ).

Рассматривается объект управления вида (53) с интервальными матрицами А,В,С. В результате синтеза с. использованием управления (68) имеем замкнутую систему (52), где Р - интервальная матрица.

Синтез проводится с помощью уравнения Сильвестра с применением при назначении желаемой 'модели метода стандартных полиномое (СП), когда матрица модели Г задается в диагональном виде, или в форме матрицы (Фробениусовой) со: ровоздающей стандартные полиномы 0 2

Г =

п- 1

-v -v , ... -у. п п-1 1

где =ТТп - коэффициенты СП, представляемых в виде

v (з) = + v, ... + v .

п ' 1 п

а коэффициенты являются функцией параметра w0J, называемого характеристической частотой СП (/ - номер типа полинома).

Алгоритм синтеза для задачи 1) приведвн на рис.2, где желаемые свойства задаются временем регулирования f* , перерегулированием о" и добротность» по скорости L* в интервальном вида, а Ф -ФроОепиусова (сопровождающая) форма матрицы СП.

В этой же главе, также приводится алгоритм синтеза в постановке задачи 2).

Рассматриваются вопросы синтеза оптимального по принуждению модального управления (ОЛМУ), под которым понимается синтез управления минимального по норме. Существующая избыточность задачи модального управления при г ) 2 здесь используется для достижения К* = argnln | К fL,, (39)

т.е. норма управления со

J U | = I J и7 ft J u(t)dt ]l/2,

о

характеризующая затраты на управление будет минимальной.

Относительно ОПМУ, справедливы следующие утверждения.

Теорема 17. Для достижения оптимального по принуждению модального управления, необходимо чтобы матрица Н в уравнении Сильвестра принадлежала пространству столбцов матрицы В.

Теореиа 18. Если уравнение Сильвестра единственно и невырож-дешг разрешимо, то: I) min с(М) =7, при rank В = п; 2) min с(Ш) >/, при rank В < п; 3) S*= argmtn citi) неединстЕенна; 4) К4= arffnln I К J, тогда и только тогда, когда

а) М* = argmtn сШ, б) либо И = orgmin с(И), если rank Б * п, либо Н = argmtn. | Н 5 = argmtn атлх(Я), если rank В < п .

Приводится алгоритм синтеза семейств линейных систем способом ОПМУ, в котором использованы условия теоремы 18.

Синтез нелинейных шогсмерных систем проводится также методом модального управления в вышеприведенных постановках по линейным частям множества особых точек (алгоритм указан)«

Пятая глава посвящена примерам пт'ложокий основных результатов диссертацитонной работы. Рассмотрены примеры анализа и синтеза грубых и робастшх систем управления как линейных, так и нел$шоШшх. Исследованы с помощью разработанной меры грубости С динамические системы в экологии (модель и "странный аттрактор" Лоренца).

Рис. 2.

Пример I. Рассматривается ДЕухрезхимный объект управления (ОУ) третьего порядка, с передато'-пшми функциями

'Л\(з) = 10/К а + 1)(э2 + За + 10)1,

П2(з) - !С0/[(з+5)(8За + 10)1.

Решается задача синтеза в следующей постановке:

1) предполагается, что имеются много рекимов ОУ, а передаточные функции '/'. (з), '^,(3) (?очнеь, соответствующие матрицы / ОУ, описываемого в пространстве состояний) представляют крайние передаточные функции (матрицы) для этих резммов;

2) требуется, чтоб;; замкнутая система обладала временем регулирования г * < ; с, перерегулированием о* $ 0.1 (10 %) и добротностью по скорости И ¿г 10.

Синтез проводятся с применением обычного модального управления (глава 4) и показывается, что задача разреагма при кнтерваль-ном задании показателей качества гп, В : ^£[0.36, 11 ,В*е.[3.б, 10].

Пример 2. Проводится исследование грубости нелинейной кусочно-гладкой системы на примере нелинейного сервомеханизма, при изменениях двух параметров, с применением меры С. Определяются значения параметров при которых достижима максимальная'грубость.

Пример 3. В качестве примера, иллюстрирующего возможности предложенной меры С для управления'грубостью рассматривается двумерная управляемая динамическая система с двумя особыми точками и одним предельны?.! циклом в фазовой плоскости. Прсоинтезирована максимально грубая система по сценкам грубости в окрестностях особых точек.

Пример 4, рассматривается дзухканалькая фотоэлектрическая следящая система, как пример для вычисления априорных динамических и' апостериорных оценок грубости. Мезщду каналами имеются перекрестные антисимметричные прямые связи с коэффициентами ± 0.3 . Апостериорные ■ (дифференциальные) сценки определяются для двух варьируемых параметров - коэффициента передачи q1 и перекрестных связей ц2. Показывается, что в связанной системе грубость к параметру д2 выше, чем к о, в ¿.4 раза (по сизякам грубости р ^ ).

Пример 5. Лля иллюстрации синтеза оптимального, по принуждению модал'шх управлений (ОСТУ) рассматриваются два характерных примера, которые подтверждают' справедливость выводов теорем 17 и 18.

Пример 5. ] ас ::-;.г':р:~ается при/ер двумерных систем, иллюстрирующий применен?.-; с'для исследования грубости динамических систем. Показывает..-. исходная система максимальна груба г окрест-

ности единственной особой точки, а сравниваемая система имеет в 2 раза меньшую грубость по величине меры С.

Пример 7. К вопросу получения нелинейных оценок грубости с при менением функции Ляпунова, рассматриваются двумерные динамические системы из примера 6, Показывается состоятельность нелинейных оценок, в частности получено, что исходная система является абсолютно ■максимально грубой в классе систем с одной особой точкой и одним Предельным циклом.'Также показано, что чем ближе рассматриваемая окрестность особой точки,-тем нелинейные оценки близки к линейной по величине меры С.

Пример 8. Рассматривается применение меры С для исследования экологических систем "хищник-жертва". Приводится численный пример системы второго порядка с четырьмя особыми точками. Показывается, что данная система имеет среднюю оценку 0=1.21, а р =1/0= 0.83, т.е. грубость данной системы достаточно высока (такое сообщество хищник-жертва структурно-устойчиво).

Пример 9, Для иллюстрации справедливости критериев бифуркаций, поученных в работе рассматривается широко известная модель синер-гетической системы - модель Лоренца. Эта модель знаменита тем, чтс на этом примере впервые было подтверждено предсказание А.Пуанкаре (1892г) о том, что в некоторых механических системах, описываемых детерминированными уравнениями, могут возникнуть хаотические колебания, Это сделал метеоролог Е.Лоренц, который в 1963г предложил и исследовал математп.ескую модель тепловой конвекции в атмосфере. Данной работой Б.Лоренц открыл один из первых примеров детерминированного хаоса в диссипативных системах, который в его честь косит название аттрактора (странного аттрактора) Лоренца. Уравнения Лоренца имеют третий порядок, в которых варьируемыми являются три параметра, которые связаны с числами Прандтля, Релея и с геометрией системы.

■Здесь за основу исследования взята модель, использованная Е. Лоренцом в своей зйаменитой работе, когда два параметра были фиксированы, а исследовалось поведение модели при изменениях параметра р, связанного с числом Релея, т.е. система

х = 10(у - х), у = рх - у - хг, г = ху - (8/3)г.

Исследованиями этой системы с использованием меры грубости С подтверждены основные бифуркации системы, описанные во многих работах и отвечающие условиям критериев бифуркаций (теорема 6), по-

- Jîi -

.п*":'з: тих в глпвч 2 диссертационной раи'отц.

3 А 1С л Ю Ч В il M Е

1'!í'o:-jm диесюртшцш является разработка теоретических основ ;".'.:íu¡í3a и синтеза грубых и робастиих систем управления, которые дегадюм до практических алгоритмов. Иаогие результаты, получения« « рлнота пмокут строкую перспективу применений в других областях ипуки л техтши, например при гсслодовэтгпх дкивмичвсхсих систем в синергетике и экологии.

Основные результаты работа ся.?дузд::е. T. f.!aтематически строго обосноветло введена мэра грубости динамических систем г. гиде числа обусловленности матрицы диагонализацки (квазидиагонализации)- матрицы линейной части в особых точках фазового пространства.

2. Вьедени мера грубости по окрестностям предельных циклоп в вид.ч числа ос.услопдошгости матрицы доогскализагргл катпиц мсиодроьзщ. П. гродложелп "подшейная" мера грубости даншиесккх систем на. (»еноте Ф:ля{ш:Я Ляпунова.

-í. rar>j.8<to7u»w кратераз дпнптачоскнх систем с примэиэ-

Ki'.oK мстч! тт.'/бг.сгя С БподешсН в работе.

Г/. Г-!гя задчч-! Харитонова о рсбастлой уптайчикости тггорвддьгшх ул,; •»'.'•:.с:снх спстзи. Получены и доказата тес.ромы типа Харитонова дел ?.¡f 'р: г. : i ; г :-гсс в м, трэд, комплексах инторпашшх матриц, уоло-ьай и модальности.

С. 'iV>.nV4-.'ii:! к"лзйгнйдоги тоорзм Харитонова для дискреетшх слоге«. 7. !ii!-\i:..!o-;en:¡ ттрисрш-з и г.носпрпг.рнпв оцежн грубости wiorowcn-ГоК систем урр'.илония. v

С. Т«эр*»Зот£им алгоритмы Ш1ГШ>.зп и сянгээа грубых я {юЗаспшх Л.(ИС.".:(|Х Я СОИОПСТВ лшг8&П1Х (ГЯТврВОЛЬШХ) CifCTCM уПрОСЛбЦ'.-Я,

í>'f.^'i!i3c-¡'.44'.:w«io í:ük для о;5!омэрдых, так и мкогсм-зрнчх enere?«.

r:|'oii.'Mii.!C':,].'.ípo'¿a,:n вдэмэтаооти cpsiMeneictn рэзрвботашшх кер и oii-üfjK грубос.'и, р. тжш иолучашшх условий роСаггиостя к нвликм • il?-« и семействам систем,

¡0. иеолсдонснй грубость а-гологитесксЯ слстемн nais "xjaçnai-xepv» га", на кон;;рз7иом прикорэ.

31. Проведено исслэдогжшэ моде .та и "еграллого аттрысгора" Jbpeœia с цель» ввявлс-пия оснсшшх СифуразцкХ модолн, kotojxw иодтгердоо достсгорность получоюсис в paitara крятерпеп Онфурк'ингД.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Оморов Р.О.Исследование чувсэтшилыюстя кои ствнтартвкх полиномов h вариациям параметров базовых структур фохоэлектри-ческих систем.-В сб.:Системы управления и их элементы.Тр.

- ЛИТМО.Л.,1981.С.95-99.

2. Ушаков А.В.,Оморов P.O.Оценка потенциальной параметрической чувствительности желаемой дннсАШЧчскзЯ »юдоли с "адаче модального управления.Кзв.вузов, Злек громохонкка, '19G2.m, cSOT 30!

,3. ушокоп А.В.Л/МОроВ P.O. СБОЙСТВа чпо.-.ä ОСуОЛОВЛОЛНОСТ« «л-проьеждаюких мптрии стандартны;; полиномов.- г, ich. : Синтез дискретных регуляторов при помоци ЗВМ/Григорьов В.В.,Дроздов В.Н..Лаврентьев В.В..Ушаков A.B. -Д.:Ма®ииостроот».кппгр. отд-нич.1933. С.227-234.

4. Малинский В.С.,Оморов P.O..Ушаков A.B. Полиномиальные динамически« модели ь задаче модального управления. -Л.:Д',*Т?»'С, 1982. .-32с. Рукопись деп. в ШОТО'.1При<5оростроешш, ДР 1918 пр-Д82. Опубл. в библ. указателе ВИНИТИ "Деп.рукописи",1933, Я I, с.92.

5. Оморов-P.O..Ушаков А.В.Синтез линейных многомерных систем управления минимальной модальной параметрической чувствительности.-Л. .ЛИТМО.1983.-ББс.Рукопись деп.в ЦНИИТЭИ приборостроения,ДР 2259 пр-ДЗЗ.-Опубл.в библ. указателе ВИНИТИ "Депонированный рукописи,"1984,.fô,с.94.

6. Омороь P.O.,Ушаков А.В.Исследование параметрической чувствительности качества процессов в динамических системах.-Л., ЛИТМО, 1983.-50с.Рукопись деп.в ЦНЖТЗИ приборостроения,ДР 2302 пр-ДЗЗ.-Опубл.в библ.указателе ВИНИТИ "Депонированные

рукописи",I9S4,JÊ5,С.98.

. 7. Ушаков A.B..Оморов P.O.Оценка параметрической чувствительности линейных объектов управления по степени их управляемости и наблюдаемости.-Изв.вузов СССР,Электромеханика,1984, J68.C.53-58. . "

8. Оморов P.O., Ушаков A.B. Синтез -систем минимальной модальной чувствительности: Сб. научн. тр./Ленингр. ин-т точн. механ. и опт. -Л.: 1986. С.50-60.

9. Оморов P.O.Максимальная грубость динамических систем управления.-В ich. : Дифференциальные уравнения и их приложения. Тезисы докладов Республиканской научной конференции.(Фрунзе

М-Тйсинтябри 1939). -i'pyiiEO, 1989. С .119.

10. yicntv'c. Л.В. .Омороп P.O., Алтаю г :>в С. Аналитическое решение г»лячя <7то/.яо7й'{-^.-;..>гл \к>$ьл? кого упрьм»?ния/-"Л?.в.АН Кирг. 0CP.I9S9.£ 4.-0.43-52.

11. Паев А.П.,омаров P.O. .Угонов А.В.Оценка рпбастности оптимального по 1г^шуздению модального у!фавлоьия/Межинстит. об. -Л. . 1939.0.3-3.

12. Паев А.П.,0мор, P.O..Ушаков А. 5. Оценки переходных функций ликейних мишюмпричх систем управления/Иов.вузов. Электромеханика.ТШЭ.Л I.С.90-96.

13. Сморсс P.O.Методы ч'Цвнкк грубости динамических систем и их применения для исследования бифуркаций и синтеза грубых оптике -олоктрошшх следящих систем./Тезисы докладов.Всесоюзной научно'Техн. конкуренции.- Фрунзе: "Илим",1990.С.17-19.

14. Оморов Р.о.Исследование грубости и бифуркаций нелинейных фотоэлектрических сдвдлких систем.Тезисы докл.Всесоюзной кон-фереыцш!Барнаул.Г990.С.52.

15. Оморов P.O.Оценка грубости управляемых динамических систем.

/ 'Язв. вузов.Электромеханика. 1990 УЖ1. С.0I-.-87.

16. Ушаков А.Р. .Оморов р.о. синтез регуляторов кодально-робаст-них систем автоматического управденпя//Структурц слоазшх "истом и алгоритм; упраклонил/Под ред.Ю.А.Бордова,В.Б.Яков- . лева (Вопросы тв<-..ии систем автоматического управления ,Внп.8). -31.: Изд-во Дечикгр.ун-та. 1990. С.92-103.

17. Омороп Р.О.,Ушаков А.В. Опенки робастности в задачах управления 'и наблюдения.//Кзс.вузов.Электромеханика.199Г.№1.С.78-85.

18. Сморов.P.O.Максимальная грубость динамических систвм//Автп-матика и телемеханика.I99I.J4 3.C.3S-45,

19. Оморов P.O.Исследование грубости и бифуркаций экологических систем "хищт1к-;кертва"//Твзисц докл.1 Всесоюзной научно-технической конференции. 4.2.-Харьков. 1991.С.79-30.

20. Оморов P.O.Повышение грубости систем управле- ня электропри-водов//Тезисы докл.VI всесоюзной научно-техн.конференции.Бишкек 1991.С.-43.

21. Оморов P.O.Синтез грубых сингулярно возмущенных нелинейных систем управлбкпл//С5орник докл.Международной научно-технической конференции.- М.:I99I.C.T39-I4I.

22. Оморов P.O.Методы сценки грубости динамических систем и их применения исследования бифуркаций и с.-нтеза грубых уп-

раиляешк систс ;.://Тр.конф.по оптической оЛргЛтп* Kb.tor«ou. Бишкек.1ЭЭ1.С.G5-73.

23. Акунов Т.А.,Алвшеров С- .'.-wopov. к.Т„ Mv«p;r-nr<io уравнения и -задачах .vi.'p'-jiwiiin.-i и nr.'Visi.-ii,:,; ; оСъвктймя/Проприит. -Бишкек: Хлз*, J99T. -пгг.

24. Акуног. Т.Л..Алпжорос С..Су-рос Г.С..Укаков А.Г.ЛЛчшиъо •оценки качества процасссш г. л;шейш;х ?.пюгг.?.\1рш;л система. Пропринт. -БишкекКлим, I Э?1. - [-?С.

25. Оклров P.O.Оценивание rpy5;»cni дгпаупчос:;.,:.-; скстсм и их применения для синтеза рибпста-.х и ссмийтяи линейных систем упрапяеиияЛ'Х Ноучк.кокЪ. *Т!.тивгго5Мгл« и автоматизация экспорамоптп г. ноучшх «с~.д;-.я;ч.птюях. -м.:19гс.слз-го.

26. Сморос P.O.Мера грубости динамических систем и кг.;гтирка вон никноыиия хаотических колебаний и бафурх&цкЯ е. сингьорго-тических системах.//В киквеломстьеи.сборн.Сжтог. ялгор»',тКч.в стабилизации систем.Бып.8.Таганрог.ГРТИ,I992.С.123-134.

27. Омороз P.O.Оценка грубости динамических систем на о функций Ляпунова//В ша.т.едокствен.сбора. Спнтео алгоритмов стабилиз ации систем. Бып. О. Таганрог. ?FTi<!, 1992. С. 134 -133.

28. Омаров P.O.,Ушаков А.В.Модальная робастность шэгоксфш» стохастических систем управления.//в кдазуо.сбст»!.Вероятностные методы доследований данамичеекпх систем.-Л.: ЙТМО(СПб).1992.С.I3S-I47.

29. Ушаков А.В.,0мс~ов P.O. Оценки модально»; робастшсти и синтез семейств линейных многомерных стохастических систем управления.-В кн.':Международная конференция по интервальным

и стохастическим методам в науке и технике.Сб.трудов(Москва, сентябрь 1992). -М.П9Э2.Т.I.C. 130-183.

30. Omorov R.O. On measure robustness of dynamic systems and . its applications for research of the bifurcations and

. chaotic vibrations in-synergetic systems/Soviet-Chinese Joint Seminar "Holography and Optical Information Processing" (SCJSHOIP-91) Proceeding з (BisM:ek,September,1991')-. -Bishkek:. 1931 .P. 251-253.

31 Yshakov A.V..Omorov R.O. Estimations of Lfodal Robustness and Synthesis of Sets Linear Multlvarlables Stochastic Control Systema/YInternational Conference on Interval and Stoxastic Methods in Science and Engineering (INTERVAL-92). Proceedings (Ко s cow,sept ember,1992)..:1992.V.2.P. 114.