автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Вычислительные методы анизотропийного анализа и синтеза оптимального управления для систем с неопределенностью

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК Институт проблем управления им В А Трапезникова

УДК 517 997 + 681 51 На правах рукописи

ЧАЙКОВСКИЙ Михаил Михайлович

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ МЕТОДЫ АНИЗОТРОПИЙНОГО АНАЛИЗА И СИНТЕЗА ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ СИСТЕМ С НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬЮ

Специальность 05 13 01 — Системный анализ, управление и обработка информации (в отраслях информатики, вычислительной техники и информатизации)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

003 158016

Москва — 2007

003158816

Работа выполнена в Институте проблем управления им В А Трапезникова Российской академии наук

Научный руководитель

доктор технических наук А П. Курдюков

Официальные оппоненты

доктор физико-математических наук Л.Б. Рапопорт, кандидат физико-математических наук И.В. Матросов

Ведущая организация

Институт проблем передачи информации им А А Харкевича Российской академии наук

Защита диссертации состоится 2007 г в

часов Ж? мин на заседании диссертационного Совета Д 002 226 02 при Институте проблем управления им В А Трапезникова РАН по адресу 117997, Москва, ул Профсоюзная, 65, ИПУ

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института проблем управления РАН

РАН

Автореферат разослан

Ученый секретарь диссертационного Совета Д 002 226 кандидат технических наук

Лебедев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертация посвящена разработке вычислительных методов решения задач анизотропийного анализа — вычислению средней анизотропии гауссовской случайной последовательности и анизо-тропийной нормы дискретной линейной стационарной системы — с помощью линейных матричных неравенств и аппарата выпуклой оптимизации Также рассматривается вычислительный метод го-мотопии для решения задачи синтеза линейного анизотропийного регулятора для линейного объекта управления с параметрической интервальной неопределенностью

Актуальность темы. Задачи оптимального управления играют решающую роль при синтезе современных систем управления Обычно система управления действует в присутствии внешних возмущений, и поэтому выбор критерия качества задачи оптимизации мотивируется различными предположениями о природе возмущения, воздействующего на систему Широко известные задачи Н.2- и Т^оо-оптимизации линейных стационарных систем управления основаны на использовании Н2- и Ноо-норм в соответствующих пространствах Харди матричнозначных передаточных функций В задаче синтеза линейно-квадратичного гауссовского регулятора, представляющего собой линейную систему, минимизирующую некоторый функционал качества, квадратичный по состоянию и управлению, предполагается, что внешнее возмущение является гауссовским белым шумом. Основы этого подхода были заложены в начале 60-х годов XX века в работах А М Летова и Р Калма-на Такая задача является частным случаем более общей задачи Яг-оптимизации, рассмотренной в работах Д Дойла, К Гловера, П Харгонекера, Б Фрэнсиса, П Гаинета и П Апкаряна, Д В Баландина и М М Когана С другой стороны, если точная модель объекта управления недоступна, или статистический характер внешнего возмущающего воздействия неизвестен, требуется другое базовое предположение При использовании 'Н00-оптимального подхода предполагается, что внешнее возмущающее воздействие представляет собой сигнал, интегрируемый (суммируемый) с квадратом

Данное направление было основано Д Зеймсом в середине 80-х годов XX века и развивалось в работах Д Дойла, У Шейкеда, Б Фрэнсиса, Д Гу, П Иглесиаса, К Гловера, К Шерера, К де Сузы, Р Скел-тона, П Гаинета и П Апкаряна, Д В Баландина и М М Когана.

Важными требованиями, предъявляемыми к регуляторам, являются робастность по отношению к внешним возмущениям и степень консервативности (энергетические затраты на управление) Известно, что 7^2-оптимальные регуляторы не являются робастными, в то время как "Ню-оптимальные регуляторы излишне консервативны Поэтому в последние годы актуальным является поиск регуляторов, которые, оставаясь робастными по отношению к внешним возмущениям, затрачивали бы меньше энергии на управление, чем Т^оо-оптимальные регуляторы

Существует несколько подходов к решению данной задачи Один из них — смешанный 'Н^/'Ноо подход — предполагает разбиение внешнего возмущения на сигналы с ограниченным спектром и ограниченной мощностью и использование многоцелевого критерия качества Такой подход был рассматривался в работах Д Бернстайна, В Хаддада, К Зу, К Гловера, Д Дойла с середины 90-х годов XX века Второй подход связан с синтезом регуляторов, рассчитанных на случай функционирования системы в присутствии случайных внешних возмущений, вероятностные характеристики которых известны неточно Это направление, основанное в те же годы и развитое в работах И Г Владимирова, А П Курдюкова и А В Семенова, предполагает использование теоретико-информационных критериев качества и называется стохастической Т^о-оптимизацией Стохастическая норма передаточной функции замкнутой системы является одним из применяемых информационных критериев Она характеризует чувствительность выхода системы к случайным входным возмущениям, вероятностное распределение которых известно неточно

Анизотропийная норма системы представляет собой частный случай стохастической нормы и применяется в случае, когда априорная информация о входном возмущении состоит в том, что возмущение является гауссовской случайной последовательностью с нулевым средним и ограниченной сверху средней анизотропией В

этом случае коэффициент усиления от внешнего возмущения к управляемому выходу описывается анизотропийной нормой передаточной функции системы Средняя анизотропия последовательности случайных векторов является мерой коррелированности компонент случайного вектора в последовательности (окрашенности), или, что то же самое, мерой отклонения последовательности случайной величины от белого шума Вычисление средней анизотропии гауссов-ской случайной последовательности и анизотропийной нормы системы составляют задачи анизотропийного анализа В диссертационной работе представлено решение задач анизотропийного анализа с помощью линейных матричных неравенств и аппарата выпуклой оптимизации После появления в середине 90-х годов прошлого века эффективных численных методов решения задач выпуклой оптимизации и линейных матричных неравенств, представленных в работах Ю Нестерова, А Немировского, С Бойда, данный вычислительный подход широко применяется для решения задач Нт и «^оптимизации Применение линейных матричных неравенств для оценки и вычисления средней анизотропии случайной последовательности и анизотропийной нормы системы является актуальным и представляется привлекательным с вычислительной точки зрения

Задача синтеза анизотропийного регулятора, минимизирующего анизотропийную норму передаточной функции дискретной линейной стационарной замкнутой системы, была поставлена и решена в работах И Г Владимирова, А П Курднжова и А В Семенова Аналитическое решение задачи синтеза оптимального анизотропийного регулятора для системы с неопределенностью было получено в работах Е А Максимова и А П Курдюкова Решение данной задачи сводится к отысканию решения системы алгебраических уравнений, состоящей из четырех перекрестно-связанных алгебраических уравнений Риккати, уравнения Ляпунова и нелинейного алгебраического уравнения специального вида Разработке вычислительного метода для решения этой сложной системы нелинейных алгебраических уравнений посвящена вторая часть диссертационной работы

Цель работы. Цепью диссертационной работы является разработка вычислительных методов решения задач анизотропийного анализа — вычисления средней анизотропии гауссовской случайной последовательности, генерируемой формирующим фильтром с известной реализацией в пространстве состояний, и анизотропийной нормы дискретной линейной стационарной системы с помощью линейных матричных неравенств и аппарата выпуклой оптимизации Помимо этого, в задачи диссертационной работы входит разработка вычислительного метода решения задачи синтеза оптимальных анизотропийных регуляторов для дискретных линейных систем со структурированной параметрической неопределенностью

Методы исследования. В работе применяются методы математической теории управления, оптимизации функций многих переменных, линейной алгебры и линейных матричных неравенств, а также вычислительной математики

Научная новизна. Получено необходимое и достаточное условие для отыскания сильно минимизирующего ранг решения линейного матричного неравенства определенного вида В терминах линейных матричных неравенств получена оценка средней анизотропии гауссовской случайной последовательности Разработаны вычислительные методы расчета средней анизотропии гауссовской случайной последовательности и анизотропийной нормы дискретной линейной стационарной системы с помощью линейных матричных неравенств и аппарата выпуклой оптимизации Разработан вычислительный метод гомотопии для решения задачи синтеза линейного робастного регулятора, минимизирующего максимальное значение анизотропийной нормы замкнутой системы по всем неопределенностям модели объекта управления из заданного класса

Достоверность результатов обеспечивается строгостью применяемого математического аппарата и подтверждается результатами численного моделирования

Практическая и теоретическая значимость. Результаты, полученные в диссертационной работе, являются развитием вычислительных методов математической теории управления линейными объектами и позволяют решать задачи анизотропийного анализа систем, а также осуществлять синтез новых линейных робаст-ных регуляторов, обладающих меньшей степенью консервативности в 'сравнении с широко использующимися в настоящее время Нсо-оптимальными регуляторами

На защиту выносятся следующие положения.

1 Достаточное условие для отыскания сильно минимизирующего ранг решения линейного матричного неравенства определенного вида

2 Оценка средней анизотропии гауссовской случайной последовательности в терминах линейных матричных неравенств Вычисление точного значения средней анизотропии с помощью аппарата выпуклой оптимизации

3 Вычисление анизотропийной нормы дискретной линейной стационарной системы с помощью линейных матричных неравенств и аппарата выпуклой оптимизации

4 Вычислительный метод гомотопии с ньютоновскими итерациями для решения задачи синтеза линейного анизотропийного регулятора для линейного объекта с параметрической интервальной неопределенностью

5 Применение разработанного вычислительного метода для численного решения задачи подавления случайных возмущений для модели летательного аппарата, содержащей параметрическую неопределенность, на режиме посадки в условиях внешних возмущений и шумов измерений с ограниченной средней анизотропией

Апробация результатов работы. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на различных научных симпозиумах и конференциях 15-й Международной конференции «Управление процессами» (Штрбске Плесо, Словакия, 2005), 4-й Международной конференции «Идентификация систем и проблемы управления» (ИПУ РАН, 2006), 9-м Международном семинаре «Устойчивость и колебания нелинейных систем» имени Е С Пятницкого (ИПУ РАН, 2006), 7-й Международной конференции «Управление процессами» (Коути-над-Десноу, Чехия, 2006), 5-м Международном симпозиуме ШАС «Синтез робастного управления» (Тулуза, Франция, 2006), 25-й Конференции памяти Н Н Острякова (Санкт-Петербург, 2006), 17-м Международном симпозиуме ]РАС «Управление в авиации и космонавтике» (Тулуза, Франция, 2007), 9-м Международном семинаре 1ЕАС «Адаптация и обучение в управлении и обработке сигналов» (Санкт-Петербург, 2007)

Публикации По теме диссертации опубликовано три статьи [1-3] в научных журналах, одно научное издание [4] и девять работ в сборниках трудов всероссийских и международных конференций [5-13]

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, выводов и списка литературы (101 источник), а также содержит 21 рисунок Общий объем диссертации составляет 111 страниц

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность и значимость исследуемой проблематики, дан обзор литературы, сформулированы цель и задачи исследования, основные положения, выносимые на защиту, приведены данные о структуре и объеме диссертационной работы

Первая глава посвящена краткому изложению анизотропийно-го анализа линейных систем управления Эти результаты известны и поэтому приводятся в обзорной форме, без доказательств, с указанием ссылок на первоисточники

Средняя анизотропия гауссовской стационарной случайной последовательности V/, генерируемой формирующим фильтром с передаточной матрицей € из гауссовского белого шума V с нулевым математическим ожиданием и единичной ковариационной матрицей, равна

7Г —'ТГ

Последовательность полностью определяется формирующим фильтром С, поэтому наряду с обозначением А(И^) используется эквивалентное обозначение А (С?)

Анизотропийная норма дискретной линейной стационарной системы с передаточной матрицей ^ € т-мерным входом IV и р-мерным выходом 2 определяется как

т- = вЧпКг С£ба}' а> 0> (2)

где через

= А(<3)^а} (3)

обозначено множество формирующих фильтров, генерирующих из гауссовского белого шума V с нулевым математическим ожиданием и единичной ковариационной матрицей гауссовские случайные последовательности \¥ = С * V со средней анизотропией, ограниченной сверху заданным неотрицательным параметром а

Вторая глава диссертационной работы посвящена вычислительным методам анизотропийного анализа дискретных линейных стационарных систем, а именно, вычислению средней анизотропии гауссовской случайной последовательности, генерируемой формирующим фильтром, заданным реализацией в пространстве состояний, и вычислению анизотропийной нормы дискретной линейной стационарной системы с помощью линейных матричных неравенств Сформулировано достаточное условие для нахождения сильно минимизирующего ранг решения линейного матричного неравенства определенного вида Получена оценка средней анизотропии гауссовской случайной последовательности в терминах линейных матричных неравенств Задача вычисления точного значения средней анизотропии гауссовской случайной последовательности сведена к нахождению решения выпуклой оптимизационной задачи Задача вычисления анизотропийной нормы дискретной линейной стационарной системы также формулируется в терминах линейных матричных неравенств — в виде задачи выпуклой оптимизации

Нахождение сильно минимизирующего ранг решения линейного матричного неравенства

Рассмотрим обобщенное алгебраическое уравнение Риккати

ШсрО = АТХА -Х- (АТХВ + Бт)

х (ВТХВ + Щ\ВТХА + 5) + <Э = 0, (4)

кег{ВТХВ + К) С кег(АТХВ + 5Т), (5)

относительно неизвестной матрицы X £ Жпхге, где А £ Мпхп, В е 1Япхт, (5 = <ЭТ € михп, Д = Дт е Мтхт и 5 € Мтхп, а М1 обозначает обращение матрицы М по Муру-Пенроузу при дополнительном условии

ВТХВ + Л ^ О (6)

Рассмотрим также линейное матричное неравенство

Ь(Х)

АТХА — X + <2 АГХВ + 8Т ВТХА + 5 ВТХВ + Я

>о (7)

относительно неизвестной матрицы X £ Rnxn

Задача состоит в отыскании такого решения линейного матричного неравенства (7), которое также удовлетворяло бы алгебраическому уравнению Риккати (4) при дополнительном условии (6) Пусть

Г == {X € Rnxn X = Хт и L(X) ^ 0} (8)

— множество вещественных симметричных решений линейного матричного неравенства (7) Решение X 6 Г называется сильно минимизирующим ранг решением, если

rank L(X) = rank (ВТХВ + R) = /3 = mm L(Y) (9)

Обозначим

£mm = {X € Г rank L(X) = rank (BrXB + R) = /3 ^ m)

множество сильно минимизирующих ранг решений линейного матричного неравенства (7)

Известно, что множество сильно минимизирующих ранг решений линейного матричного неравенства (7) совпадает с множеством вещественных симметричных решений дискретного алгебраического уравнения Риккати (4) В диссертационной работе сформулирована и доказана следующая теорема, устанавливающая достаточное условие для отыскания сильно минимизирующего ранг решения линейного матричного неравенства (7)

Теорема 1. Пусть в линейном матричном неравенстве (7) пара матриц (А, В) стабилизируема, матрица R > 0, и неотрицательно определенная матрица X = ХТ £ Г такова, что

tiX = max tr X (10)

vxer

Тогда матрица X является сильно минимизирующим ранг решением линейного матричного неравенства (7), то есть X £ £mm

Замечание 1. При изменении знаков линейного матричного неравенства (7) и матрицы R на противоположные, условие (10) теоремы 1 примет вид

ЬхХ = _mm trX (11)

vx о

Вычисление средней анизотропии гауссовской случайной последовательности в пространстве состояний

Рассмотрим формирующий фильтр € Н™*т со следующей реализацией в пространстве состояний

Хк+1 ' А В ' Хк

С

—оо < к < +оо,

(12)

где А £ Епхп, В е К"хт, С € Ктхт\ иДе Мтхт Предположим, что матрица А является устойчивой по Шуру (ее спектральный радиус р(А) < 1), а матрица О невырождена В диссертационной работе сформулирована и доказана следующая теорема, представляющая формулы для оценки средней анизотропии гауссовской случайной последовательности \¥, генерируемой формирующим фильтром с реализацией (12)

Теорема 2. Пусть т-мерная гауссовская случайная последовательность = (? * V генерируется из т-мерного гауссовского белого шума V формирующим фильтром (7 € Н™*171 с реализацией в пространстве состояний (12), где матрица А устойчива по Шуру, а матрица И невырождена Тогда средняя анизотропия гауссовской случайной последовательности удовлетворяет неравенству

т

ш

где ЦСЦг = ^ (СРСТ + £ШТ), матрица В, = В7 ет линейному матричному неравенству

ОСЯСТ + ОБТ), (13)

^ 0 удовлетворя-

АКАТ - И + ВВТ АКСТ + ВБТ С'ИАТ + СКСТ + 1ШТ

> о, (14)

а матрица Р есть грамиан управляемости формирующего фильтра и удовлетворяет уравнению Ляпунова

АРАТ - Р + ВВТ = О

(15)

Замечание 2. В силу теоремы 1, если матрица Я является сильно минимизирующим ранг решением линейного матричного неравенства (14), то неравенство в оценке средней анизотропии случайной последовательности (13) переходит в точное равенство

A(G) = - ^ In det "рщ (CRCT + DDT) (16)

Замечание 3. Грамиан управляемости Р формирующего фильтра G можно отыскать как минимальное решение линейного матричного неравенства

APAr -Р + ВВТ ^ 0, (17)

то есть Р ^ Р для всех матриц Р > 0, удовлетворяющих неравенству Ляпунова (17) Замечание 4. Если ЦСЦг = 1, то

5(G) ^ — ^ In det m(СRCT + DDJ) (18)

Таким образом, задача вычисления средней анизотропии случайной последовательности сводится к отысканию решения следующей задачи выпуклой оптимизации

tri? —s- max при условии L(R) ^ 0, (19)

tr Р mm при условии АРАТ - Р + ВВТ ^ 0 (20)

и вычислению значения средней анизотропии по формуле (16) Отметим, что оптимизационная задача (19), (20) состоит из двух независимых подзадач, которые можно решать раздельно

Вычисление анизотропийной нормы системы в пространстве состояний

Пусть система с передаточной матрицей F 6 n-мерным

внутренним состоянием X, m-мерным входом W и ^мерным выходом Z = G * W описывается следующей системой уравнений

-00 < к < +оо, (21)

Хк+1 А В " ' хк

Zk LС D

\С е Крхп,£> е

г, и матрица А устой-

где А е К"х", В € 1 чива по Шуру

Пусть матрица Ь 6 Мтах,г такова, что матрица А+ВЬ устойчива по Шуру, и пусть матрица £ е ¡цтхго симметрична и положительно определена Рассмотрим формирующий фильтр с передаточной матрицей С (г), входом V и выходом И7, представленный реализацией в пространстве состояний

ад

'А + ВЬ БЕ1/2 ]

Ь Е1/2

(22)

Теорема 3 Пусть система 1? 6 с тп-мврным входом IV

и р-мерным выходом Ъ = Р представленная (А,В,С,Б)-реализацией (21) с устойчивой по Шуру матрицей А, удовлетворяет неравенству Ц^РЦг ^ л/^И-^И«» и пусть задан уровень средней анизотропии а входной последовательности IV Тогда существует единственная пара (д,Я) параметра д £ [О, Ц^Ц^2) и матрицы Я = ЯТ ^ 0, которая является сильно минимизирующим ранг решением линейного матричного неравенства

АТЯА - Я + дСтС АТЯВ + дСтО ВТЯА + дВтС ВТЯВ + дБтВ - 1т

Ь{Я)

< 0, (23)

таким, что

при

я , Г тЯ

2 (ЬРЬТ + Е)

а

(24)

£ = (1т - дООт - ВтЯВ)-\

Ь = И(ВТЯА + д£>тС),

где матрица Р — грамиан управляемости формирующего фильтра С (г), удовлетворяющий уравнению Ляпунова

(.А + ВЬ)ТР(А + ВЬ)-Р + ВИВТ = О

(25)

При этом, фильтр (22) является наихудшим формирующим фильтром, и анизотропийная норма системы Р

Замечание 5. Матрицу Р можно отыскать, как минимальное решение соответствующего линейного матричного неравенства

{А + ВЬ)ТР(А + ВЬ)-Р + ВЕВТ ^ О (27)

для любых фиксированных значений Ь иЕ

Таким образом, задача вычисления анизотропийной нормы дискретной линейной стационарной системы Р = (А, В, С, И) при заданном уровне средней анизотропии а входной последовательности V/ сводится к отысканию решения следующей выпуклой оптимизационной задачи

йЛ-^шт,

ЬтР-> тт, (А + ВЬ)ТР(А + ВЬ) - Р + ВТ,Вт ^ О, 1, , Г теа £ 1

1, , Г теа£ ) "2

и вычислению значения анизотропийной нормы по формуле (26)

Третья глава диссертационной работы посвящена разработке вычислительного метода гомотопии для решения задачи синтеза оптимального анизотропийного регулятора для дискретной линейной системы с параметрической неопределенностью, функционирующей в условиях случайных гауссовских возмущений с ограниченным уровнем средней анизотропии Аналитическое решение данной задачи сводится к решению системы матричных алгебраических уравнений, состоящей из четырех перекрестно-связанных алгебраических уравнений Риккати, уравнения Ляпунова и нелинейного алгебраического уравнения специального вида Для решения сложной системы матричных алгебраических уравнений разработан вычислительный метод гомотопии с ньютоновскими итерациями Вычислительный процесс начинается с решения задачи Т^-оптимизащии, которое соответствует нулевому уровню средней анизотропии внешнего случайного возмущения и может быть легко

(28)

получено с помощью стандартных вычислительных методов Н2-оптимальный регулятор является исходной точкой для метода го-мотопии В диссертационной работе используется дискретный вариант метода гомотопии, предполагающий построение конечной последовательности задач, которая начинается легко разрешимой системой уравнений для нулевого уровня средней анизотропии внешнего возмущения и «плавно» переходит в систему уравнений для заданного уровня средней анизотропии внешнего случайного возмущения Решение очередного уравнения в этой цепочке осуществляется с помощью локальной итерационной схемы — метода Ньютона В диссертационной работе получены явные выражения для производных матричнозначных отображений, используемых в разработанном вычислительном методе В качестве вычислительного примера рассматривается решение задачи синтеза робастного оптимального анизотропийного регулятора для управления высотой и воздушной скоростью самолета на режиме посадки по глиссаде в условиях внешних возмущений, шума измерений и параметрической интервальной неопределенности модели объекта управления

Рассмотрим разомкнутую дискретную линейную стационарную систему Р

Хк+1 " А + РгПкЕг Во ^ Р2ФкЕ2 В2 + ^зФ^Е'з

= с-1 0 А2

Ук £>21 0

' хк "

т

. ик .

где —оо < к < оо, |а;_оо| < +оо, Хк £

(29)

— вектор состояния, Хк £ — вектор управляемого выхода, ик £ К™2 — вектор управления, тк £ Ж7™1 — вектор возмущения, ук £ — вектор наблюдения, А, В0, В2, Си С2, Вхъ 021,Еи Е2, Е3, Л, Р2, Р3 — постоянные известные матрицы соответствующих размерностей, £ Ж*1Х?1, Ф*: £ К82*®; £ — неизвестные матричнозначные функции,

соответствующие неопределенным параметрам системы Р, удовлетворяющие условиям

Ак — {П^, Фк, Ф^} , —оо < к < +оо, (30)

где I обозначает единичную матрицу соответствующей размерности

Рассмотрим систему Р, замкнутую регулятором К, который представляет собой дискретную линейную стационарную строго не-упреждающую систему с передаточной матрицей К (г)

Неопределенность Д^ называется допустимой, если она удовлетворяет неравенству (30) Обозначим через V множество всех допустимых неопределенностей для заданной системы Р

Регулятор К называется допустимым, если он является строго неупреждающим и внутренне стабилизирует замкнутую систему С (Р. К), то есть система С (Р, К) принадлежит пространству Хар-ди М£хт> Обозначим через К, множество всех допустимых регуляторов для заданной системы Р

Задача синтеза робастного а-анизотропийного оптимального регулятора для системы (29) со структурированной параметрической неопределенностью формулируется следующим образом

Задача 1. Для заданной системы (29) и верхней границы уровня средней анизотропии внешнего возмущения а ^ 0 отыскать допустимый регулятор К £ К., минимизирующий максимальное значение а-анизотропийной нормы замкнутой системы С, (Р, К) по всем неопределенностям Дд, £ Т>, т е доставляющий минимум функционалу качества

Решение задачи 1 сводится к решению системы матричных алгебраических уравнений, состоящей из четырех связанных уравнений Риккати, уравнения Ляпунова и нелинейного уравнения специального вида

мк)= зир ¡дедц

¡а

(31)

У = А[УАг + 1~1тч + (3, и = П 'хР^УАи

тт _ г* т

>

(32)

2 = (1т1 — В1КВ„) 15

где

S = AnSÄii + BiBj — ЛВЛТ, в = C'nSCg + DD\ л = (AnSCl + вгвт)е-\ T = A¡TAu + CjCu-NJrN, T = BjTBu + Dj2Dn, N = -T-\BjTAu + Dj2Cu),

P — (Aw + BWL)P{AW + BWL)T + BW-LB„

a==4l0gdet{tr(L№ + S)}'

T

W '

Г A Bt Ft "I

L a * *

A в2с Во Bi

вс2 А B2D21 0

Сг d12c * *

Вг 4 [ Fx F2 ] , Г = diag{7Í,7Í,T|},

0A \CJC1 + 1IÉ¡E1 0

L 0 CT(I + ^ElE3)C _

Aw BW

Г< Dw_

д. А + B1Ltl В2С + BiLt2 ВС2 А Во + ВД " №1

Сг D12C 0

An

Cu

Lt=[Ltl La],L=[L1 L2],qe [0, ||F||

'Au = А + (B0 + + BíLa,

Bx A (S0 +

C21 — C2 + D21L1,

D â Д21Л/Е,

Д,.

2) оо It

M = Li + L2, Mt = La + Lt2 16

(35)

(36)

(37)

" А (Во + В&)М + BiMt в2~

0 А + (В0 + B{£¡t)M + BxMt + В2С 0

0 *

Если система (29) удовлетворяет стандартным предположениям задачи Яоо-оптимизации, то существует единственное решение системы уравнений (32)-(37), а матрицы реализации в пространстве состояний оптимального регулятора К определяются выражениями

А = Л+(50 + В1Е4)М + В1М4 + В2(ЛГ1 + ЛГ2)-Л(С2 + О21М)1 В = А, С = ^ + N2

Основы метода гомотопии решения нелинейных алгебраических уравнений заключаются в следующем Пусть X — открытое подмножество пространства К™, на котором задано достаточно гладкое отображение Требуется отыскать решение уравнения

относительно неизвестного вектора х £ X Точнее, (38) представляет собой систему п уравнений с п неизвестными, в роли которых выступают координаты вектора х

Даже если структура отображения позволяет заранее утверждать существование и единственность нуля в X, возможны ситуации, когда численное нахождение такого решения плохо поддается локальным методам, успешность которых зависит от качества начального приближения

Основная идея метода гомотопии, призванного преодолеть указанную трудность, состоит в замене (38) совокупностью уравнений, которые начинаются легко разрешимым уравнением и плавно переходят в уравнение (38) Решение очередного уравнения в этой цепочке опирается на должным образом откорректированное предыдущее уравнение

Пусть И X х [0,1] -»I" — гладкое отображение, которое при крайних значениях своего второго аргумента обладает следующими свойствами

&(х) = О

(38)

Ж(х, 1) = £Г(ж) для всякого х е X,

решение € X уравнения

Щх0,0) = 0

(39)

легко находится При промежуточных значениях своего второго аргумента отображение "К осуществляет гомотопию (деформацию) 9£(, 0) в И£( , 1) = 5Р, то есть гладкий переход от легко решаемого уравнения (39) к исходному уравнению (38)

Фактически, функция гомотопии представляет собой непрерывно дифференцируемую функцию

Щх{д),д) = 0, Удб [0,11

Таким образом, итерационный вычислительный процесс начинается с простой задачи с известным решением, которое деформируется посредством непрерывного изменения параметра д. пока не будет получено решение первоначальной задачи Известны дискретный и непрерывный варианты метода гомотопии Дискретный метод, рассматриваемый в диссертационной работе, предполагает разбиение интервала [0,1] для получения конечной последовательности задач

Л(х, дь) = 0, 0 = д0 < Яг < < Чы = 1

Начиная с известного решения при до, решение для Л(х, дк+г) вычисляется с использованием локальной итерационной схемы, например, ньютоновских итераций

Ассоциируем регулятор К с вектором

я =

со1(Л)

со\{В) со1(С)

г = п + т2+р 2,

и обозначим 7(<3) = \\С(Р,К)\\^ Систему уравнений (32)-(37) для оптимального регулятора в зависимости от параметра д можно записать следующим образом

Л(д,<2)

0,

а

(40)

(41)

При значении параметра д = 0 решение уравнения (40) соответствует уровню средней анизотропии а = 0 и является решением задачи синтеза ^-оптимального регулятора, которое можно легко

получить с использованием стандартных методов Таким образом, Т^г-оптимальный регулятор является исходной точкой для метода гомотопии

Единственная гладкая ветвь решений Я [0, д*) —> К7, уравнения (40), где

^(^Иед/ОИооГ2,

удовлетворяет дифференциальному уравнению

дд дт ( дт\г

при начальном условии <3(0), соответствующем Т^-оптимальному регулятору Вычислительный алгоритм метода гомотопии решения системы уравнений (40), (41) сводится к построению рекуррентной последовательности (як,Як),к ^ 0, с начальной точкой (0, <3(0)) При фиксированном значении производится серия ньютоновских итераций

Як,1+1 = Як,1 + 0{дк, ЯыШяъЯы) - Як,г), 1 < I < к

с начальным условием Я к,о — Як и условием остановки

\Як,1к - Як,1к-г\/\Як,1к\ < е,

где е > 0 — заданное число После этого, следующий элемент последовательности вычисляется следующим образом

Як+1 — Як + &Як, Як+1 = Я к,1к + А<3 к,

где

7(Як,1к) ~ Як

А Як

2

а - Л{Як,Як,к)

тах А(я3 Яз,1к) < а,

дТ

А<3к = Я(Як, Як,1к)-^(.Як, Як,1к)&Як

В диссертационной работе представлены явные аналитические вы-

„ д{?,А)

ражения для матричнои производной ^^ ^

Условие

max{|A{qk, Qk) - &\/а, |AQfc|/|Qfc|} < e

используется для остановки процесса вычисления последовательности (qk,Qk) Сходимость алгоритма зависит от значений параметров 7г,г — 1,3

В качестве вычислительного примера в диссертационной работе рассматривается решение задачи синтеза робастного оптимального анизотропийного регулятора для управления высотой и воздушной скоростью самолета на режиме посадки по глиссаде в условиях внешних возмущений (сдвиг ветра), шума измерений и параметрической интервальной неопределенности модели объекта управления В окрестности заданной глиссады нелинейная модель движения самолета аппроксимируется линеаризованной дискретной математической моделью в пространстве состояний с матричными интервальными неопределенностями Управляемыми переменными являются отклонения воздушной скорости и высоты центра масс от заданных значений Задача управления состоит в построении допустимого регулятора, минимизирующего влияние внешних возмущений — сдвига ветра и цветного шума измерений — на отклоненйя воздушной скорости AV и высоты полета Дh самолета от предписанных значений для всех значений неопределенных параметров модели объекта управления С помощью разработанного метода го-мотопии с ньютоновскими итерациями, реализованного в составе пакета прикладных программ ABO для системы Matlab, был получен оптимальный анизотропийный регулятор для заданного уровня средней анизотропии внешнего случайного возмущения а < 0 03 По результатам компьютерного моделирования, также выполненного в системе Matlab, проведен сравнительный анализ полученного анизотропийного регулятора и /Н00-субоптимального регулятора Анализ показал, что сигналы управления робастного анизотропийного регулятора характеризуются меньшими максимальными значениями, а также большей гладкостью по сравнению с управлением, вырабатываемым Ttíoo-субоптимальным регулятором (см рис 1-4)

10 20 30 40 50

10 го 30 40 50 60

Рис 1. Измеряемые перемен- Рис. 2. Управляемые переменные 2/1 (ДУ, м/сек) и г/2 ные (ДУ, м/сек) и ^ СДЛ, м) (ДЛ, м)

Рис. 3. Горизонтальная (гуж) Рис. 4. Переменные управления

и вертикальная (гоу) «1 (Дбеу, град) и «2 (Дй,

составляющие профиля град) ветра

ВЫВОДЫ И ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Сформулируем основные выводы и результаты данной диссертационной работы

1 Получено достаточное условие для отыскания сильно минимизирующего ранг решения нестрогого линейного матричного неравенства определенного вида Сильно минимизирующее ранг решение рассматриваемого линейного матричного неравенства удовлетворяет ассоциированному обобщенному алгебраическому уравнению Риккати, возникающему при решении задач анализа и синтеза линейных стационарных систем с дискретным временем Представленное достаточное условие позволяет свести решение обобщенного алгебраического уравнения Риккати к решению выпуклой задачи полуопределенного программирования

2 В терминах линейных матричных неравенств получена оценка средней анизотропии многомерной гауссовской случайной последовательности, генерируемой устойчивым формирующим фильтром из многомерного гауссовского белого шума с нулевым математическим ожиданием и единичной ковариационной матрицей Показано, что при нахождении сильно минимизирующего ранг решения определенного линейного матричного неравенства данная оценка дает точное значение средней анизотропии

3 Представлены формулы для вычисления анизотропийной нормы линейной стационарной системы с дискретным временем в пространстве состояний с помощью линейных матричных неравенств Данная задача сводится к отысканию сильно минимизирующего ранг решения линейного матричного неравенства, то есть к решению выпуклой оптимизационной задачи

4 Разработан вычислительный алгоритм на основе метода го-мотопии с ньютоновскими итерациями для решения задачи синтеза робастных оптимальных анизотропийных регуляторов для дискретных линейных систем с параметрической не-

определенностью Решение данной задачи сводится к решению системы нелинейных алгебраических уравнений, состоящей из четырех перекрестно-связанных уравнений Риккати, уравнения Ляпунова и нелинейного уравнения специального вида Данная система разрешима в рамках стандартных допущений задачи Т^-оптимизации В качестве начального приближения разработанного вычислительного метода используется Т^-оптимальный регулятор Получены явные выражения для производных матричнозначных отображений, используемых в разработанном вычислительном методе

5 С помощью разработанного вычислительного метода получен робастный оптимальный анизотропийный регулятор для управления высотой и воздушной скоростью самолета на режиме посадки по глиссаде в условиях внешних возмущений (сдвиг ветра), шума измерений и параметрической интервальной неопределенности модели объекта управления Данный регулятор обеспечивает максимальное подавление внешних возмущений с уровнем средней анизотропии не выше заданного По результатам компьютерного моделирования проведен сравнительный анализ полученного анизотропийного регулятора и Т^оо-субоптимального регулятора Анализ показал, что сигналы управления робастного анизотропнйного регулятора характеризуются меньшими максимальными значениями, а также большей гладкостью по сравнению с управлением, вырабатываемым Ноо-субоптимальным регулятором Разработанный вычислительный метод показал свою эффективность и пригодность в использовании при решении задачи управления летательным аппаратом

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1 Курдюков А П , Максимов Е А , Чайковский М М Решение задачи стохастической Tioo-оптимизации для дискретных линейных стационарных систем с неопределенностью методом гомо-топии Труды Института проблем управления РАН, т XXVII М Институт проблем управления РАН, 2006, с 5-36

2 Tchaikovsky М.М , and Kurdyukov АР On Computing Anisotropic Norm of Linear Discrete-Time-Invariant System via LMI-Based Approach Archives of Control Sciences, 2006, v 16, No 3, pp 257-281

3 Чайковский M M Нахождение сильно минимизирующего ранг решения линейного матричного неравенства АиТ, 2007, №9, с 96-105

4 Чайковский М М , Курдюков А П Алгебраические уравнения Риккати и линейные матричные неравенства для систем дискретного времени Научное издание М Ин-т проблем управления РАН, 2005

5 Tchaikovsky М М , and Kurdyukov А Р LMI-based approach to computing the anisotropic norm of linear discrete time-invariant system Proc of 15th international conference on process control Strbske Pleso, Slovakia, 2005

6 Kurdyukov A P, Maximov E A , and Tchaikovsky M M Computing anisotropic optimal controller for system with parametric uncertainty via homotopy-based algorithm Proc of the IV international conference "System identefication and control problems", Moscow, Jan 30 - Feb 2, 2006

7 Чайковский M M Нахождение сильно минимизирующего ранг решения линейного матричного неравенства Тезисы докладов IX международного семинара "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" имени Е С Пятницкого, Москва, Институт проблем управления РАН, 31 мая - 2 июня, 2006

8 Kurdyukov A P, Maximov E A, and Tchaikovsky M M Homotopy-based algorithm for computing stochastic H<x>-optimal controller for LTI-system with uncertainty Proc of the 7th international technical conference on process control, Kouty nad Desnou, Czech Republic, 2006

9 Kurdyukov A P , Maximov E A , and Tchaikovsky M M Homotopy method for solving anisotropy-based stochastic Woo-optimization problem with uncertainty Proc of 5th IFAC Symposium on Robust Control Design, Toulouse, 2006

10 Курдюков А П , Чайковский M M Алгоритмическая и программная реализация вычислительных методов решения задач анизотропийного анализа и синтеза Тезисы докладов XXV конференции памяти Н Н Острякова, Санкт-Петербург, 2006

11 Kurdyukov А Р, and Tchaikovsky М М Longitudinal robust anisotropic optimal flight control m a wmdshear Prep of 17th IF А С Symposium on Automatic Control in Aerospace, Toulouse, 2007

12 Vladimirov IG , Kurdyukov A P, and Tchaikovsky M M Algorithmic and software implementation of amsotropy-based analysis and controller design problems Proc of 9th IFAC Workshop on Adaptation and Learning in Control and Signal Processing, St Petersburg, 2007

13 Kurdyukov A P , Tchaikovsky MM, and Vladimirov I G ABO — Matlab package for anisotropy-based performance analysis and controller design To appear m Proc of 3rd IFAC Symposium on System, Structure and Control, Iguassu Falls, Brazil, 2007

Личный вклад диссертанта в публикациях, выполненных в соавторстве в [2,5] достаточные условия для отыскания сильно минимизирующего ранг решения линейного матричного неравенства, оценка и вычисление средней анизотропии случайной последовательности, вычисление анизотрогшйной нормы системы, вычислительные примеры и содержательная интерпретация результатов, в [1,6,8,9,11] вычислительный метод гомотопии, вычислительные примеры, моделирование и анализ полученных результатов, в [10,12,13] реализация вычислительного метода гомотопии в среде Matlab, описание соответствующих функций пакета АВО

Подписано в печать 18 09 2007 г Исполнено 20 09 2007 г г Печать трафаретная

Заказ № 738 Тираж 100 экз

Типография «11-й ФОРМАТ» ИНН 7726330900 115230, Москва, Варшавское ш , 36 (495) 975-78-56 www autoreferat ru

Обозначения

Введение

1 Основные понятия анизотропийного анализа

1.1. Анизотропия случайного вектора.

1.2. Средняя анизотропия гауссовской случайной последовательности

1.3. Анизотропийная норма дискретной линейной стационарной системы.

1.4. Выводы к главе 1.

2 Вычислительные методы решения задач анизотропийного анализа

2.1. Вычисление средней анизотропии гауссовской случайной последовательности в пространстве состояний.

2.2. Вычисление анизотропийной нормы системы в частотной области.

2.3. Вычисление анизотропийной нормы системы в пространстве состояний.

2.3.1. Применение метода Ньютона.

2.4. Нахождение сильно минимизирующего ранг решения линейного матричного неравенства.

2.5. Решение задач анизотропийного анализа с помощью линейных матричных неравенств.

2.5.1. Вычисление средней анизотропии гауссовской случайной последовательности.

2.5.2. Вычисление анизотропийной нормы системы

2.5.3. Численные примеры.

2.6. Выводы к главе 2.

3 Решение задачи стохастической (анизотропийной) %оо-оптимизации систем с неопределенностью методом гомотопии

3.1. Постановка и аналитическое решение задачи.

3.2. Метод гомотопии с ньютоновскими итерациями.

3.2.1. Вычислительный алгоритм решения задачи

3.2.2. Правила и формулы для дифференцирования матричнозначных отображений.

3.2.3. Явные выражения для матричных производных

3.3. Численный пример: робастное управление самолетом.

3.3.1. Математическая модель продольного движения самолета. Постановка задачи управления.

3.3.2. Результаты решения задачи и моделирования

3.4. Выводы к главе 3.

Актуальность темы. Задачи оптимального управления играют решающую роль при синтезе современных систем управления. Обычно система управления действует в присутствии внешних возмущений, и поэтому выбор критерия качества в задаче оптимизации мотивируется различными предположениями о природе возмущения, воздействующего на систему. Широко известные задачи Н2- и Т^-оптимизации линейных стационарных систем управления основаны на использовании V.2- и 7^оо-норм в соответствующих пространствах Харди матричных передаточных функций. В задаче синтеза линейно-квадратичного гауссовского регулятора — линейного регулятора, минимизирующего квадратичный по состоянию и управлению функционал качества — предполагается, что внешнее возмущение является гауссовским белым шумом. Основы этого подхода были заложены в начале 60-х годов XX века в работах A.M. Летова и Р. Калмана. Такая задача является частным случаем более общей задачи ^-оптимизации, рассмотренной в работах Д. Дойла, К. Гловера, П. Харгонекера, Б. Фрэнсиса, П. Гаи-нета. С другой стороны, если точная модель объекта управления недоступна, или статистический характер внешнего возмущающего воздействия неизвестен, требуется другое базовое предположение. При использовании TYoo-оптималыюго подхода предполагается, что внешнее возмущающее воздействие представляет собой сигнал, интегрируемый (суммируемый) с квадратом. Данное направление было основано Д. Зеймсом в середине 80-х годов XX века и развивалось в работах Д. Дойла, У. Шейкеда, Б. Фрэнсиса, Д. Гу, П. Иглесиаса, К. Гловера, К. Шерера, К. де Сузы, Р. Скелтона, П. Гаинета.

Задача о линейно-квадратичном регуляторе, называемая также задачей об аналитическом конструировании регуляторов, была одной из первых решенных задач оптимального управления [16, 63]. В отличие от задач оптимального программного управления, например, от задачи оптимального быстродействия, ее решение формулируется в терминах обратной связи. Задача синтеза оптимального линейно-квадратичного гауссовского регулятора, минимизирующего 7^2-норму замкнутой системы, представляет собой задачу отыскания оптимальной линейной постоянной обратной связи по вектору состояния, восстановленному с помощью оптимального наблюдателя — фильтра Кал-мана [29, 43, 71, 82]. Для линейного стационарного объекта управления, функционирующего на бесконечном временном интервале, данная задача сводится к решению двух независимых алгебраических уравнений Риккати [71, 95]. Для непрерывных и дискретных систем эти уравнения Риккати имеют различный вид (непрерывное и дискретное алгебраические уравнения Риккати, соответственно).

Ноо-оптимизация составляет ядро современной линейной теории управления [30, 39, 43, 45, 46, 52, 53, 54, 56, 74, 86, 99, 100]. Первоначально задача была решена в частотной области с использованием теоремы Неванлинны-Пика [44, 45]. В работе [43] было получено полное решение задачи синтеза Т^оо-субоптималыюго регулятора для непрерывного линейного стационарного объекта в пространстве состояний, которое сводится к решению двух независимых алгебраических уравнений Риккати ("2-Риккати подход"). Аналогичный подход к решению задачи ?4о-оптимизации дискретной линейной стационарной системы представлен в работах [46, 56, 74].

Вопросам исследования алгебраических уравнений Риккати, играющих большую роль в решении задач оптимизации линейных систем, посвящено большое количество работ [28, 35, 55, 57, 58, 59, 62, 72, 73, 75, 77, 80, 83, 85, 87, 88, 89, 95, 96, 97, 98]. Существуют различные численные методы решения алгебраических уравнений Риккати: метод собственных векторов, метод Шура, обобщенные методы, методы мат-ричнозначной функции, методы Ньютона, описание которых можно найти в монографиях [10, 38, 72] вместе с подробной библиографической информацией. После появления в середине 90-х годов прошлого века эффективных численных методов решения задач выпуклой оптимизации, изложенных в работах [33, 34, 76], вычислительные подходы с применением линейных матричных неравенств широко применяется для решения задач Н2 и Ноо-оптимизации [1, 26, 33, 36, 47, 48, 60, 86]. Подробную библиографию по вопросам взаимосвязи линейных матричных неравенств с соответствующими алгебраическими уравнениями Риккати можно найти в обзоре [24]. Численные методы решения линейных матричных неравенств и вычислительные алгоритмы решения соответствующих задач управления реализованы в виде пакетов программ мощной системы инженерных и научно-технических расчетов МАТЬАВ [49, 79] наряду с численными методами решения алгебраических уравнений Риккати.

Однако, несмотря на элегантность и строгость решений соответствующих задач, линейно-квадратичный гауссовский регулятор и Ноо-оптимальный регулятор эффективны только в том случае, когда базовые предположения о природе внешних возмущений выполняются полностью. Использование линейно-квадратичного гауссовского регулятора в контуре обратной связи приводит к плохому функционированию замкнутой системы автоматического управления в том случае, когда на вход данной системы поступает сильно окрашенный шум [41]. Кроме того, в работе [42] было показано, что такая система теряет устойчивость при малых возмущениях математической модели объекта управления. С другой стороны, Т^-оптимальные регуляторы, рассчитанные на детерминированный наихудший случай, проявляют излишнюю консервативность (высокие энергетические затраты органов управления объекта) в тех случаях, когда внешнее возмущение является белым или слабо окрашенным шумом [41]. Вследствие этого представляется привлекательной задача синтеза робастного регулятора, обладающего меньшей степенью консервативности в сравнении с 7-4о-оптимальным регулятором.

Существует несколько подходов к решению данной задачи. Один из них — смешанный Н2/Н00 подход — предполагает разбиение внешнего возмущения на сигналы с ограниченным спектром и ограниченной мощностью и использование многоцелевого критерия качества [31, 81, 101]. Второй подход связан с синтезом регуляторов, рассчитанных на случай функционирования системы в присутствии случайных внешних возмущений, вероятностные характеристики которых известны неточно. Это направление предполагает использование теоретико-информационных критериев качества и называется стохастической Ноо-оптимизацией [4, 6, 8, 13, 64, 84, 92, 93]. Стохастическая норма передаточной функции замкнутой системы является одним из применяемых информационных критериев. Она характеризует чувствительность выхода системы к случайным входным возмущениям, вероятностное распределение которых известно неточно.

Анизотропийная норма системы представляет собой частный случай стохастической нормы и применяется в случае, когда априорная информация о входном возмущении состоит в том, что возмущение является гауссовской случайной последовательностью с нулевым средним и ограниченной сверху средней анизотропией [6, 84]. Средняя анизотропия последовательности случайных векторов является мерой коррелированности компонент случайного вектора в последовательности (окрашенности), или, что то же самое, мерой отклонения последовательности случайных величин от белого шума [41]. Вычисление средней анизотропии гауссовской случайной последовательности и анизотропийной нормы системы составляют задачи анизотропийного анализа. В диссертационной работе представлено решение задач анизотропийного анализа с помощью линейных матричных неравенств и аппарата выпуклой оптимизации. Применение линейных матричных неравенств для оценки и вычисления средней анизотропии случайной последовательности и анизотропийной нормы системы является актуальным и представляется привлекательным с вычислительной точки зрения.

Задача синтеза анизотропийного регулятора, минимизирующего анизотропийную норму передаточной функции дискретной линейной стационарной замкнутой системы, была поставлена в работе [8] и решена в [93]. Аналитическое решение задачи синтеза оптимального анизотропийного регулятора для системы с неопределенностью представлено в работах [13, 64]. Решение данной задачи сводится к отысканию решения системы алгебраических уравнений, состоящей из четырех перекрестно-связанных алгебраических уравнений Риккати, уравнения Ляпунова и нелинейного алгебраического уравнения специального вида. Разработке вычислительного метода для решения этой сложной системы нелинейных алгебраических уравнений посвящена вторая часть диссертационной работы.

Изложение диссертационной работы построено следующим образом.

В главе 1 приводится краткое изложение анизотропийного анализа линейных систем управления. Эти результаты известны и поэтому приводятся в обзорной форме, без доказательств, с указанием ссылок на первоисточники.

Глава 2 диссертационной работы посвящена вычислительным методам анизотропийного анализа дискретных линейных стационарных систем, а именно, вычислению средней анизотропии гауссовской случайной последовательности, генерируемой формирующим фильтром, заданным реализацией в пространстве состояний, и вычислению ани-зотропийной нормы дискретных линейных стационарных систем с помощью линейных матричных неравенств. Сформулировано достаточное условие для нахождения сильно минимизирующего ранг решения линейного матричного неравенства определенного вида. Проведена оценка средней анизотропии гауссовской случайной последовательности в терминах линейных матричных неравенств. Задача вычисления точного значения средней анизотропии гауссовской случайной последовательности сведена к нахождению решения выпуклой оптимизационной задачи. Задача вычисления анизотропийной нормы дискретной линейной стационарной системы также формулируется в терминах линейных матричных неравенств — в виде задачи выпуклой оптимизации.

В главе 3 диссертационной работы представлен вычислительный метод гомотопии для решения задачи синтеза оптимального анизотропийного регулятора для дискретной линейной системы с параметрической неопределенностью, функционирующией в условиях случайных гауссовских возмущений с ограниченной средней анизотропии. Аналитическое решение данной задачи сводится к решению системы матричных алгебраических уравнений, состоящей из четырех перекрестно-связанных алгебраических уравнений Риккати, уравнения Ляпунова и нелинейного алгебраического уравнения специального вида. Для решения сложной системы матричных алгебраических уравнений разработан вычислительный метод гомотопии с ньютоновскими итерациями. Вычислительный процесс начинается с решения задачи ^-оптимизации, которое соответствует нулевому уровню средней анизотропии внешнего случайного возмущения и может быть легко получено с помощью стандартных вычислительных методов. Н2-оптимальный регулятор является исходной точкой для метода гомотопии. В диссертационной работе используется дискретный вариант метода гомотопии, предполагающий построение конечной последовательности задач, которая начинается легко разрешимой системой уравнений для нулевого уровня средней анизотропии внешнего возмущения и "плавно" переходит в систему уравнений для заданного уровня средней анизотропии внешнего случайного возмущения. Решение очередного уравнения в этой цепочки осуществляется с помощью локальной итерационной схемы — метода Ньютона. В диссертационной работе получены явные выражения для производных матричнозначных отображений, используемых в разработанном вычислительном методе. В качестве вычислительного примера рассматривается решение задачи синтеза робастного оптимального анизотропийного регулятора для управления высотой и воздушной скоростью самолета на режиме посадки по глиссаде в условиях внешних возмущений, шума измерений и параметрической интервальной неопределенности модели объекта управления. Данный регулятор обеспечивает максимальное подавление внешних возмущений с уровнем средней анизотропии не выше заданного.

Цель работы. Целью диссертационной работы является разработка вычислительных методов решения задач анизотропийного анализа — вычисления средней анизотропии гауссовской случайной последовательности, генерируемой формирующим фильтром с известной реализацией в пространстве состояний, и анизотропийной нормы дискретной линейной стационарной системы. Помимо этого, в задачи диссертационной работы входит разработка вычислительного метода решения задачи синтеза оптимальных анизотропийных регуляторов для дискретных линейных систем со структурированной параметрической неопределенностью.

Методы исследования. В работе применяются методы математической теории управления, оптимизации функций многих переменных, линейной алгебры и линейных матричных неравенств, а также вычислительной математики.

Научная новизна. Получено необходимое и достаточное условие для отыскания сильно минимизирующего ранг решения линейного матричного неравенства определенного вида. В терминах линейных матричных неравенств получена оценка средней анизотропии гаус-совской случайной последовательности. Разработаны вычислительные методы расчета средней анизотропии гауссовской случайной последовательности и анизотропийной нормы дискретной линейной стационарной системы с помощью линейных матричных неравенств и аппарата выпуклой оптимизации. Разработан вычислительный метод решения задачи синтеза линейного робастного регулятора, минимизирующего максимальное значение анизотропийной нормы замкнутой системы по всем неопределенностям модели объекта управления из заданного класса.

Достоверность результатов обеспечивается строгостью применяемого математического аппарата и подтверждается результатами численного моделирования.

Практическая и теоретическая значимость. Результаты, полученные в диссертационной работе, являются развитием вычислительных методов математической теории управления линейными объектами и позволяют решать задачи анизотропийного анализа систем, а также осуществлять синтез новых линейных робастных регуляторов, обладающих меньшей степенью консервативности в сравнении с широко использующимися в настоящее время Ноо-оптимальными регуляторами.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Достаточное условие для отыскания сильно минимизирующего ранг решения линейного матричного неравенства определенного вида.

2. Оценка средней анизотропии гауссовской случайной последовательности в терминах линейных матричных неравенств. Вычисление точного значения средней анизотропии с помощью аппарата выпуклой оптимизации.

3. Вычисление анизотропийной нормы дискретной линейной стационарной системы с помощью линейных матричных неравенств и аппарата выпуклой оптимизации.

4. Вычислительный метод гомотопии с ньютоновскими итерациями для решения задачи синтеза линейного анизотропийного регулятора для линейного объекта с параметрической интервальной неопределенностью.

5. Применение разработанного вычислительного метода для численного решения задачи подавления случайных возмущений для модели летательного аппарата, содержащей параметрическую неопределенность, на режиме посадки в условиях внешних возмущений и шумов измерений с ограниченной средней анизотропией.

Апробация результатов работы. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на различных научных симпозиумах и конференциях: 15-й Международной конференции "Управление процессами"(Штрбске Плесо, Словакия, 2005), 4-й Международной конференции "Идентификация систем и проблемы управления" (ИПУ РАН, 2006), 9-м Международном семинаре "Устойчивость и колебания нелинейных систем"имени Е.С. Пятницкого (ИПУ РАН, 2006), 7-й Международной конференции "Управление процессами"(Коути-над-Десноу, Чехия, 2006), 5-м Международном симпозиуме IFAC "Синтез робастного управления "(Тулуза, Франция, 2006), 25-й Конференции памяти H.H. Острякова (Санкт-Петербург, 2006), 17-м Международном симпозиуме IFAC "Управление в авиации и космонавтике" (Тулуза, Франция, 2007).

Публикации. По теме диссертации опубликовано три статьи [14, 22, 91] в научных журналах и девять работ в сборниках трудов всероссийских и международных конференций [15, 23, 65, 66, 67, 69, 70, 90, 94].

Личный вклад соискателя. Все исследования, представленные в диссертационной работе, проведены лично соискателем в процессе научной деятельности. Из совместных публикаций в диссертацию включен лишь тот материал, который непосредственно принадлежит соискателю.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, выводов и списка литературы (101 источник), а также содержит 21 рисунок. Общий объем диссертации составляет 111 страниц.

3.4. Выводы к главе 3

В третьей главе рассматривается вычислительный алгоритм решения задачи синтеза робастного оптимального анизотропийного регулятора для линейной дискретной стационарной системы со структурированной параметрической неопределенностью. Оптимальный анизотро-пийный регулятор минимизирует анизотропийную норму замкнутой системы для заданного уровня средней анизотропии внешнего возмущения. Первоначальная задача со структурированной параметрической неопределенностью погружается в стохастическую задачу Ноо-оптимизации системы без параметрической неопределенности с дополнительным входом, являющуюся по сути задачей смешанной "Нг/^оо-оптимизации. Решение задачи стохастической Т^оо-оптимизации сводится к решению системы нелинейных алгебраических уравнений, включающей четыре уравнения Риккати, уравнение Ляпунова и нелинейное уравнение специального вида. Данная система разрешима в рамках стандартных допущений задачи 7^оо-оптимизации.

Для численного решения указанной системы нелинейных алгебра

30 40

Time [secl

S 0

Рис. 3.13. Измеряемые переменные уг (ДУ, Рис. 3.14. Управляемые переменные (ДУ, м/сек) и у2 (Л/г, м) в присутствии наихудшего м/сек) и гг (Д/ц м) (в присутствии наихудших шума измерений возмущений)

20 30 40

Time [sec]

Рис. 3.15. Переменные управления щ (Дг*су, град) и иг (Д<^, град) (в присутствии наихудших возмущений) ических уравнений разработан вычислительный алгоритм на основе дискретного варианта метода гомотопий, использующий в качестве начального приближения ^-оптимальный регулятор. В описании алгоритма приводятся явные выражения для матричных производных, используемых при вычислениях. С помощью данного метода рассчитан робастный анизотропийный регулятор для управления самолетом на режиме посадки в условиях внешних возмущений, шумов измерений и интервальной неопределенности модели объекта. Моделирование замкнутой системы показывает, что полученный анизотропийный регулятор обеспечивает внутреннюю устойчивость замкнутой системы для граничных и промежуточных наборов неопределенных параметров модели объекта. Сравнительный анализ робастного анизотропийного и Ноо-субоптимального регуляторов в условиях наихудших случайных возмущений и неопределенностей демонстрирует основные преимущества анизотропийного регулятора, а именно, гладкость и физическую реализуемость сигналов управления наряду с достаточно хорошим подавлением случайных и детерминированных внешних возмущений в присутствии неопределенности модели объекта управления.

Заключение

Сформулируем основные выводы и результаты данной диссертационной работы:

1. Получено достаточное условие для отыскания сильно минимизирующего ранг решения нестрогого линейного матричного неравенства определенного вида. Сильно минимизирующее ранг решение рассматриваемого линейного матричного неравенства удовлетворяет ассоциированному обобщенному алгебраическому уравнению Риккати, возникающему при решении задач анализа и синтеза линейных стационарных систем с дискретным временем. Представленное достаточное условие позволяет свести решение обобщенного алгебраического уравнения Риккати к решению выпуклой задачи полуопределенного программирования.

2. В терминах линейных матричных неравенств получена оценка средней анизотропии многомерной гауссовской случайной последовательности, генерируемой устойчивым формирующим фильтром из многомерного гауссовского белого шума с нулевым математическим ожиданием и единичной ковариационной матрицей. Показано, что при нахождении сильно минимизирующего ранг решения определенного линейного матричного неравенства данная оценка дает точное значение средней анизотропии.

3. Представлены формулы для вычисления анизотропийной нормы линейной стационарной системы с дискретным временем в пространстве состояний с помощью линейных матричных неравенств. Данная задача сводится к отысканию сильно минимизирующего ранг решения линейного матричного неравенства, то есть к решению выпуклой оптимизационной задачи.

4. Разработан вычислительный алгоритм на основе метода гомото-пии с ньютоновскими итерациями для решения задачи синтеза робастных оптимальных анизотропийных регуляторов для дискретных линейных систем с параметрической неопределенностью. Решение данной задачи сводится к решению системы нелинейных алгебраических уравнений, состоящей из четырех перекрестно-связанных уравнений Риккати, уравнения Ляпунова и нелинейного уравнения специального вида. Данная система разрешима в рамках стандартных допущений задачи Ноо-оптимизации. В качестве начального приближения разработанного вычислительного метода используется ^-оптимальный регулятор. Получены явные выражения для производных матричнозначных отображений, используемых в разработанном вычислительном методе.

5. С помощью разработанного вычислительного метода получен ро-бастный оптимальный анизотропийный регулятор для управления высотой и воздушной скоростью самолета на режиме посадки по глиссаде в условиях внешних возмущений (сдвиг ветра), шума измерений и параметрической интервальной неопределенности модели объекта управления. Данный регулятор обеспечивает максимальное подавление внешних возмущений с уровнем средней анизотропии не выше заданного. По результатам компьютерного моделирования проведен сравнительный анализ полученного анизотропийного регулятора и "Ноо-субоптималыюго регулятора. Анализ показал, что сигналы управления робастного анизотропийного регулятора характеризуются меньшими максимальными значениями, а также большей гладкостью по сравнению с управлением, вырабатываемым субоптимальным регулятором. Разработанный вычислительный метод показал свою эффективность и пригодность в использовании при решении задачи управления самолетом на режиме посадки в условиях сдвига ветра.

1. Баландин Д.В., Коган М.М. Синтез законов управления на основе линейных матричных неравенств. М: Физматлит, 2007.

2. Боднер В.А., Козлов М.С. Стабилизация летательных аппаратов и автопилоты. М: Оборонгиз, 1961.

3. Буков В.Н. Адаптивные прогнозирующие системы управления полетом. М.: Наука, 1987.

4. Владимиров И.Г., Даймонд Ф., Клоеден П. Анизотропийный анализ робастного качества линейных нестационарных дискретных систем на конечном временном интервале. АиТ, 2006, №8, с. 92111.

5. Владимиров И.Г., Курдюков А.П., Семенов A.B. Анизотропия сигналов и энтропия линейных стационарных систем. ДАН, 1995, №3, с. 583-585.

6. Владимиров И.Г., Курдюков А.П., Семенов A.B. Асимптотика анизотропийной нормы линейных стационарных систем. АиТ,1999, т.

7. Владимиров И.Г., Курдюков А.П., Семенов A.B. Стохастическая проблема Коо-оптимизации. ДАН, 1995, т.343, №5, с. 607-609.

8. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. 4~е изд. М: Наука. Гл. ред. физмат. лит., 1988.

9. Икрамов Х.Д. Численное решение матричных уравнений. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1984.

10. И. Калман Р. Об общей теории систем управления. Труды международного конгресса ИФАК, т.2. М.: АН СССР, 1961, с. 521-547.

11. Колмогоров А.Н. Теория информации и теория алгоритмов. М.: Наука, 1987.

12. Курдюков А.П., Максимов Е.А. Решение задачи стохастической Koo-оптимизации для линейной системы с неопределенностью. АиТ, 2006, №8, с. 112-142.

13. Курдюков А.П., Чайковский М.М. Алгоритмическая и программная реализация вычислительных методов решения задач анизо-тропийного анализа и синтеза. Тезисы докладов XXV конференции памяти H.H. Острякова, Санкт-Петербург, 2006.

14. Летов A.M. Аналитическое конструирование регуляторов I-IV. АиТ, 1960, №4, с. 436-441; №5, с. 561-568; №6, с. 661-665; 1961, М, с. 425-435.

15. Максимов Е.А. О связи задачи синтеза анизотропийных регуляторов с классическими задачами оптимального управления. АиТ, 2007, №9, с. 134-144.

16. Поляк, Б.Т., Щербаков, П.С. Робастная устойчивость и управление. М.: Наука, 2002.

17. Разработка основ теории нетрадиционных подходов и исследование алгоритмов управления полетом в сложных условиях. Отчет о научно-исследовательской работе по теме №074-95/01. М: Институт проблем управления РАН, 1995.

18. Разработка принципов автоматизации полета и исследования новых алгоритмов управления на этапах захода на посадку и приземления. Отчет о научно-исследовательской работе по теме №053-93/01. М: Институт проблем управления РАН, 1993.

19. Фомин В.Н. Методы управления линейными дискретными объектами. JL: Изд-во Ленингр. ун-та, 1985.

20. Чайковский М.М. Нахождение сильно минимизирующего ранг решения линейного матричного неравенства. АиТ, 2007, №9, с. 96105.

21. Чайковский М.М., Курдюков А.П. Алгебраические уравнения Рик-кати и линейные матричные неравенства для систем дискретного времени. Научное издание. М.: Ин-т проблем управления РАН, 2005.

22. Ширяев А.Н. Вероятность. М.: Наука, 1989.

23. Ait Rami М., and El Ghaoui L. LMI optimization for nonstandard Riccati equations arising in stochastic control. IEEE Trans. Automat. Contr., 1996, v.41, pp. 1666-1671.

24. Ait Rami M., and Zhou X.Y. Linear matrix inequalities, Riccati equations, and indefinite stochastic linear quadratic controls. IEEE Trans. Automat. Contr., 2000, v.45, pp. 1131-1143.

25. Ait Rami M., Chen X., Moore J.B., and Zhou X.Y. Solvability and asymptotic behavior of generalized Riccati equations arising in indefinite stochastic LQ controls. IEEE Trans. Automat. Contr., 2001, v.46, pp. 428-440.

26. Anderson B.D.O., and Moore J.B. Optimal control: Linear quadratic methods. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N.J., 1989.

27. Ba§ar T., and Bernhard P. Hoo-optimal control and related minimax design problems: A game approach. Birkhauser, Boston, 1991.

28. Bernstein D.S., and Haddad W.M. LQG control with an Hoo performance bound: a Riccati equation approach. IEEE Transactions on Automatic Contr., 1989, v.34, pp. 293-305.

29. Bernstein D.S. Matrix mathematix: Theory, facts, and formulas with application to linear systems theory. New Jersey: Princeton University Press, 2005.

30. Boyd S., Feron E., and Balakrishnan V. Linear matrix inequalities in system and control theory. SI AM, Philadelphia, 1994.

31. Boyd, S., Vandenberghe, L. Convex Optimization. Cambridge: Cambridge University Press, 2004.

32. Carpanese N. On the geometry of symplectic pencils arising from discrete-time matrix equations. Systems Control Lett., 2002, v.46, pp. 181-185.

33. Chilali ML, and Gahinet P. H oo Design with Pole Placement Constraints: An LMI Approach. IEEE Transactions on Automatic Contr., 1996, v.41, No.3, pp. 358-367.

34. Cover T.M., and Thomas J.A. Elements of information theory. John Wiley and Sons, New York, 1991.

35. Datta B.N. Numerical Methods for Linear Control Systems Design and Analysis. Elsvier Academic Press, San Diego, California, 2004.

36. De Souza C.E., and Xie L. On the discrete-time bounded real lemma with application in the characterization of static state feedback Hoo controllers. Systems Control Lett., 1992, v. 18, pp. 61-71.

37. Diamond P., Kurdjukov A.P., Semyonov A.V., and Vladimirov I.G. Homotopy methods and anisotropy-based stochastic Tioo-optimiza-tion of control systems. Report 97-14. The University of Queensland, Australia, 1997, pp. 1-22.

38. Diamond P., Vladimirov I.G., Kurdyukov A.P., and Semyonov A.V. Anisotropy-based performance analysis of linear discrete time invariant control systems. Int. J. of Control, 2001, No.74, pp. 28-42.

39. Doyle J.C. Guaranteed margins for LQG regulators. IEEE Trans. Automat. Contr., 1978, v.23, pp. 756-757.

40. Doyle J.C., Glover K., Khargonekar P.P., and Francis B.A. State-space solutions to standard H2 and H00 control problems. IEEE Trans. Automat. Contr., 1989, v.34, pp. 831-847.

41. Doyle J.C., Fransis B.A., and Tannenbaum A.R. Feedback control theory. Englewood Cliffs, N.J.: MacMillan, 1992.

42. Francis B.A. A course in Hoo-control theory. Berlin: Springer-Verlag, 1987.

43. Furuta K., and Phoojaruenchanachai S. An algebraic approach to discrete-time Hoo control problems. Proc. 1990 American Control Conf., pp. 2067-3072, San Diego, CA, May 1990.

44. Gahinet P., and Apkarian P. A linear matrix inequality approach to 7YooControl. Int. J. of Robust and Nonlinear Control, 1994, v.4, pp. 421-448.

45. Gahinet P. Explicit controller formulas for LMI-based synthesis. Proc. Amer. Contr. Conf., 1994, pp. 2396-2400.

46. Gahinet P., Nemirovski A., Laub A.J., and (Mali M. LMI control toolbox user's guide. The Mathworks Partner Series, 1995.

47. Glover K. All optimal Hankel-norm approximations of linear multivariable systems and their £oo-error bounds. Int. J. of Control, 1984, v.39, pp. 1115-1193.

48. Gray R. Entropy and information theory. New York, Springer, 1990.

49. Green M., and Limebeer D.J.N. Linear robust control. Englewood Cliffs. N.J.: Prentice Hall, 1995.

50. Gu D.-W., Tsai M.C., O'Young S.D., and Postlethwaite I. State-space formulae for discrete-time Hqo optimization. Int. J. of Contr., 1989, v.49, pp. 1683-1723.

51. Hassibi B., Sayed A.H., and Kailath T. Indefinite-quadratic estimation and control. A unified approach to TÍ2 and Tioo theories. SIAM, Philadelphia, 1999.

52. Hung Y.S., and Chu D.L. Relationship between discrete-time and continuos time algebraic Riccati inequalities. Linear Algebra Appl, 1998, v.270, pp. 287-313.

53. Iglesias P.A., and Glover K. State-space approach to discrete-time Hoo control. Int. J. of Control, 1991, v.54, No.5, pp. 1031-1073.

54. Ionescu V., Oará C., and Weiss M. Generalized Riccati theory and robust control: A Popov function. John Wiley, New York, 1999.

55. Ionescu V., and Weiss M. On computing the stabilizing solution of the discrete-time Riccaty equation. Linear Algebra Appl., 1992, v.174, pp. 229-338.

56. Ionescu V., and Weiss M. Continuous and discrete-time Riccati theory: A Popov function approach. Linear Algebra Appl., 1993, v.193, pp. 173-210.

57. Iwasaki T., and Skelton R.E. All controllers for the general H00 control problem: LMI existence conditions and state-space formulas. Automatica, 1994, v.30, pp. 1307-1317.

58. Nesterov Y., and Nemirovski A. Interior-point polynomial methods in convex programming. SIAM Studies in Applied Mathematics, 1994, v.13, Philadelphia, Pennsylvania.

59. Jonkheere E. On the existence of a negative definite, antistabilizing solution to the discrete-time algebraic Riccati equation. IEEE Trans. Automat. Contr1981, v.AC-26, pp. 707-712.

60. Kalman R. Contributions to the theory of optimal control. Bol. Soc. Mat. Méx., 1960, No.5, pp. 102-199.

61. Kurdyukov A.P., and Maximov E.A. State-space solution to stochastic Tioo-optimization problem with uncertainty. Proc. of the 16th IFAC World Congress. Praha, Czech Republic, 2005.

62. Kurdyukov A.P., Maximov E.A., and Tchaikovsky M.M. Homotopy method for solving anisotropy-based stochastic ?4o-optimization problem with uncertainty. Proc. of 5th IFAC Symposium on Robust Control Design, Toulouse, 2006.

63. Kurdyukov A.P., Pavlov B.V., Timin V.N., and Vladimirov I.G. Longitudinal anisotropy-based flight control in a wind shear. Preprints of 16th IFAC Symposium on Automatic Control in Aerospace, Saint-Petersburg, 2004.

64. Kurdyukov A.P., and Tchaikovsky M.M. Longitudinal robust anisotropic optimal flight control in a windshear. Preprints of 17th IFAC Symposium on Automatic Control in Aerospace, Toulouse, 2007.

65. Kurdyukov A.P., Tchaikovsky M.M., and Vladimirov I.G. ABO — Matlab package for anisotropy-based performance analysis and controller design. Proc. of 3rd IFAC Symposium on System, Structure and Control, Iguassu Falls, Brazil, 2007.

66. Kwakernaak H., and Sivan R. Linear optimal control systems. Wiley, New York, 1972.

67. Lancaster P., and Rodman L. Algebraic Riccati equations. Clarendon, Oxford, 1995.

68. Langer H., Ran A.C.M., and Temme D. Nonnegative solutions of algebraic Riccati equations. Linear Algebra Appl, 1997, v. 261, pp. 317-352.

69. Limebeer D.J.N., Green M., and Walker D. Discrete time H00 control. Proc. 28th IEEE Conf. Decision and Control, pp. 392-396, Tampa, FL, Dec. 1989.

70. Molinari B.P. The stabilizing solution of the discrete algebraic Riccati equation. IEEE Trans. Automat Contr., 1975, v.AC-20, pp. 396-399.

71. Nesterov Yu., and Nemirovsky A. Interior point polinomial algorithms in convex programming. SIAM, Philadelphia, 1994.

72. Oara C. Generilized Riccati theory: A Popov function approach. Ph.D. Thesis, Polytechnic Univ. Bucharest, Bucharest, Romania, 1995.

73. Ortega J.M., Rheinboldt W.C. Iterative solutions of nonlinear equations in several variables. New York: Academic Press, 1970.

74. Peauculle D., Henrion D., and Labit Y. User's guide for SeDuMi Interface 1.01: Solving LMI problems with SeDuMi. LAAS -CNRS, Toulouse, France, 2002.

75. Ran A.C.M., and Vreugdenhil R. Existence and comparison theorems for algebraic Riccati eqations for continuous- and discrete-time systems. Linear Algebra Appl, 1988, v.99, pp. 63-83.

76. Rotstein H., and Sznaier M. An exact solution to general four-block discrete-time mixed ^2/^00 problems via convex optimization. IEEE Trans. Automat. Contr., 1998, v.43, pp. 1475-1481.

77. Saberi A., Sanutti P., and Chen B.M. H2 optimal control Prentice Hall, Englewood Cliffs, N.J., 1995.

78. Scherer C. The general nonstrict algebraic Riccati inequality. Linear Algebra Appl., 1995, v.219, pp. 1-33.

79. Semyonov A.V., Vladimirov I.G., and Kurdjukov A.P. Stochastic approach to TYoo-optimization. Proc. 33rd Conf. Decision and Control. Florida, USA, 1994, v.3, pp. 2249-2250.

80. Silverman L. Discrete Riccati equations: Alternative algorithms, asymptotic properties, and system theory interpretations. Control Dynam. Systems, 1976, v.12, pp. 313-386.

81. Stoorvogel A.A. The Tioo control problem: A state space approach. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 2000.

82. Stoorvogel A.A., and Saberi A. The discrete algebraic Riccati equation and linear matrix inequality. Linear Algebra Appl., 1998, v.274, pp. 317-365.

83. Stoorvogel A.A., and Saberi A. Continuity properties of solutions to H2 and Hoo Riccati equations. Systems Control Lett., 1996, v.27, pp. 209-222.

84. Sun J.-G. Sensitivity analysis of the discrete-time algebraic Riccati equations. Linear Algebra Appl., 1998, v.275-276, pp. 595-615.

85. Tchaikovsky M.M., and Kurdyukov A.P. LMI-based approach to computing the anisotropic norm of linear discrete time-invariant system. Proc. of 15th International Conference on Process Control. Strbske Pleso, Slovakia, 2005.

86. Tchaikovsky M.M., and Kurdyukov A.P. On Computing Anisotropic Norm of Linear Discrete-Time-Invariant System via LMI-Based Approach. Archives of Control Sciences, 2006, v. 16, No.3, pp.257-281.

87. Vladimirov I.G., Kurdjukov A.P., and Semyonov A.V. On computing the anisotropic norm of linear discrete-time invariant systems. Proc. of the 13-th IFAC World Congress. San-Francisco, California, USA. G:IFAC-3d-01.6,1996.

88. Vladimirov I.G., Kurdjukov A.P., and Semyonov A.V. State-space solution to anisotropy-based stochastic Hoo-optimization problem. Proc. of the 13th IFAC World Congress. 1996, pp. 427-432.

89. Willems J.C. Least squares stationary optimal control and the algebraic Riccati equation. IEEE Trans. Automat. Contr., 1971, v.AC-16, pp. 621-634.

90. Wimmer H.K. Strong solutions of the discrete-time algebraic Riccati equation. Systems Control Lett., 1989, v. 13, pp. 455-457.

91. Wimmer H.K. Unmixed solutions of the discrete-time algebraic Riccati equation. SIAM J. Contr. Optim1992, v.30, pp. 867-878.

92. Wimmer H.K. Intervals of solutions of the discrete-time algebraic Riccati equations. Systems Control Lett, 1999, v.36, pp. 207-212.

93. Zames G. Feedback and optimal sensitivity: model reference transformations, multiplicative seminorms, and approximate inverses. IEEE Trans. Automat. Contr., 1981, v.26, pp. 301-320.

94. Zhou K., Doyle J.C., and Glover K. Robust and optimal control. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, 1996.

95. Zhou K., Glover K., Bodenheimer B., and Doyle J. Mixed H2 and ^performance objectives. IEEE Trans. Automat. Contr., 1994, v.39, I: Robust performance analysis, pp. 1564-1574; II: Optimal control, pp. 1575-1578.