автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Синтез субоптимального анизотропийного стохастического робастного управления методами выпуклой оптимизации

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки ИНСТИТУТ ПРОБЛЕМ УПРАВЛЕНИЯ им. В.А. Трапезникова Российской академии наук

На правах рукописи 005054»ээ

ЧАИКОВСКИИ Михаил Михайлович

СИНТЕЗ СУБОПТИМАЛЬНОГО АНИЗОТРОПИЙНОГО СТОХАСТИЧЕСКОГО РОБАСТНОГО УПРАВЛЕНИЯ МЕТОДАМИ ВЫПУКЛОЙ ОПТИМИЗАЦИИ

Специальность 05.13.01 — Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

- 8 НОЯ 2012

Москва — 2012

005054855

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова Российской академии наук

Научный консультант: доктор технических наук,

старший научный сотрудник Курдюков Александр Петрович

Официальные оппоненты: доктор технических наук,

профессор Поляк Борис Теодорович, ИПУ РАН, г. Москва, заведующий лабораторией "Адаптивных и робастных систем им. Я.З. Цыпкина"

доктор физико-математических наук, профессор Пакшин Павел Владимирович, Арзамасский технический институт (филиал) НГТУ, г. Арзамас, заведующий кафедрой "Прикладная математика"

доктор технических наук, профессор Афанасьев Валерий Николаевич, Московский государственный институт электроники и математики, г. Москва, заведующий кафедрой "Кибернетика"

Ведущая организация: Институт проблем машиноведения РАН,

г. Санкт-Петербург

Защита диссертации состоится 22 октября 2012 г. в 14 часов на заседании диссертационного совета Д002.226.01 при ИПУ РАН по адресу: 117997, Москва, ул. Профсоюзная, д. 65.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИПУ РАН. Автореферат разослан 22 сентября 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Акпнфиев Валерий Константинович

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Задачи подавления неизвестных возмущений являются чрезвычайно важными задачами теории управления, неизбежно возникающими при проектировании современных систем управления техническими объектами. Как правило, системы автоматического управления работают в условиях помех, под влиянием неизвестных внешних воздействий, к которым относятся как возмущения, так и задающие команды; измеряемые значения сигналов содержат случайные ошибки; управляющие воздействия могут отрабатываться со случайными погрешностями. При этом параметры реального технического объекта управления могут отличаться от параметров математической модели этого объекта, для которой проектировался закон управления. Изменение параметров может быть обусловлено, в числе прочего, стохастической изменчивостью среды функционирования системы управления.

Для решения задач подавления возмущений в теории управления применяются разнообразные подходы. Задачу подавления возмущений можно сформулировать как задачу минимизации (ограничения) влияния этих возмущений на качество работы системы управления. Выбор критерия качества в задаче подавления возмущений мотивируется различными предположениями о характере возмущений, действующих на систему. В задаче синтеза линейно-квадратичного гауссовского (ЛКГ) регулятора — линейного регулятора, минимизирующего квадратичный по состоянию и управлению функционал качества — предполагается, что внешнее возмущение является гауссовским белым шумом. Основы этого подхода были заложены в начале 60-х годов XX века в работах А.М. Летова и Р. Калмана. Такая задача является частным случаем более общей задачи ^-оптимизации, рассмотренной в работе Д.Дойла, К. Гловера, П.Харгонекара, Б.Фрэнсиса1. С другой стороны, если точная модель объекта управления недоступна или статистический характер внешнего возмущающего воздействия неизвестен, требуется другое базовое предположение. При использовании Н^ оптимального подхода предполагается, что внешнее возмущающее воздействие представляет собой сигнал, интегрируемый (суммируемый) с квадратом. Это направление было основано Д. Зеймсом в середине 80-х годов XX века и развивалось в работах Д. Дойла, У. Шейкеда, Б. Фрэнсиса, Д. Гу, П. Иглесиаса, К. Гловера, К. Шерера, К.де Сузы, Р.Скелтона, Т. Ивасаки, П. Гаинета, П.Апкаряна и многих других исследователей.

Стохастическая неопределенность случайных возмущений, рассматриваемая как различие между неточно известным распределением реального шу-

'Doyle J.C., Glover К., Khargonekar P.P., and Francis B.A. State-space solutions to standard П2 and H^ control problems // IEEE Trans. AC, 1989, Vol. 34, p. 831-847.

ма измерений и распределением его номинальной модели, может значительно ухудшить качество работы системы управления, если применяемая процедура синтеза регулятора основана на определенном законе распределения возмущения и предположении, что этот закон известен точно. Подобные ситуации могут также возникать из природного непостоянства условий рабочей среды системы управления. Так, Н2 и Нх регуляторы являются полностью эффективными лишь при достаточно точном выполнении базовых гипотез о природе внешних возмущений. Известно, что Нг (или ЛКГ) регулятор может оказаться недостаточно эффективным в случае, если внешнее возмущение представляет собой сильно коррелированный шум2, в то время как Ноо регулятор, проектируемый для наихудшего случая детереминирован-ного возмущения, проявляет излишний консерватизм и требует избыточных энергетических затрат на управление, если внешнее возмущение представляет собой некоррелированный или слабо коррелированный случайный сигнал.

Идеи построения регуляторов, которые сочетали бы положительные качества ЛКГ (Н2) и Н0о регуляторов (т.е. минимизировали линейно-квадратичный критерий качества и были бы достаточно робастны) возникли в начале 1990-х годов. В частности, можно выделить подход, предложенный Д. Бернстайном и В. Хаддадом3 и связанный с минимизацией Н? нормы замкнутой системы при ограничениях на ее Ноо норму. Эти идеи были расширены на основе разделения внешних возмущений на сигналы с ограниченным спектром и ограниченной мощностью и применения смешанного Н2/Ноо критерия качества (К. Жоу, К.Гловер, Б. Боденхаймер, Д.Дойл, Д. Ю, Р.Мирадоре, Г.Риччи). В основе другого подхода, разработанного Д. Мустафой и К. Гловером4, лежит минимизация функционала Ноо энтропии при ограничениях на Ноо норму замкнутой системы (П. Иглесиас, Д. Лаймбир, А.Яйш, У.Шейкед, Э.Фридман).

П. Харгонекар и М. Ротеа в 1991 г. рассмотрели смешанную зада-

чу в терминах алгебраических неравенств (а не уравнений) Риккати и решили ее с помощью выпуклой оптимизации. С тех пор, как были разработаны эффективные алгоритмы внутренней точки5, выпуклая оптимизация стала стандартной стратегией анализа и синтеза систем управления. Методы линейных матричных неравенств (ЛМН) и полуопределенного программирования зарекомендовали себя, как мощная и гибкая методика формулирования проектных требований к разрабатываемой системе и синтеза регуляторов, применимая к широкому спектру линейных задач теории управления. После

2Doyle J.C. Guaranteed margins for LQG regulators // IEEE Trans. AC, 1978, Vol. 23, p. 755-757.

3Bernstein D.S., and Haddad W.M. LQG control with an Hx performance bound: a Riccati equation approach 11 IEEE Trans. AC, 1989, Vol. 34, p. 293-305.

4MustafaD. and Glover K. Minimum Entropy Control. Springer-Verlag, NY, 1991.

5Nesterov Yu. and Nemirovsky A. Interior point polinomial algorithms in convex programming, Vol. 13 of Studies in Applied Mathematics. SIAM, Philadelphia, 1994.

того, как было получено решение задачи синтеза Нх регулятора с помощью JIMH, полуопределенное программирование успешно применяется для решения смешанных И.2/Нж и многокритериальных задач управления (К. Шерер, П. Гаинет, М.Чилали, И.Масубучи, С. Бойд, М.Оливейра, Ж.Жеромель, Ж. Бернуссо, П. Апкарян, Д. Арцелье, Д. Посель и др.).

Перспективный подход к подавлению неопределенных случайных возмущений на основе стохастического минимаксного управления был предложен в середине 1990-х годов И.Г. Владимировым, разработавшим анизотпротшйную теорию стохастического робастиого управления. В свете этого подхода, робастность в стохастическом управлении достигается с помощью явного включения различных сценариев распределения шума в единый показатель качества, подлежащий оптимизации; статистическая неопределенность измеряется в терминах энтропии, и показатель робастного качества можно выбрать так, чтобы количественно охарактеризовать возможности системы по подавлению наихудшего внешнего возмущения. Главными понятиями анизотропийной теории стохастического робастного управления являются анизотропия случайного вектора, средняя анизотропия случайного вектора и анизотропийная норма системы. Функционал анизотропии является энтропийной мерой отклонения вероятностного распределения в евклидовом пространстве от гауссовских распределений с нулевым средним и скалярными ковариационными матрицами. Средняя анизотропия стационарной случайной последовательности характеризует величину статистической неопределенности, понимаемой как несоответствие между неточно известным фактическим распределением шума и семейством номинальных моделей возмущения в виде стационарного дискретного гауссовского белого шума со скалярной ковариационной матрицей6, а-Анизотропийная норма дискретной линейной стационарной системы (ДЛСС) количественно определяет возможности системы по подавлению возмущений наибольшим отношением мощ-ностной нормы выхода системы к мощностной норме ее входа при условии, что средняя анизотропия входного сигнала не превышает заданного неотрицательного уровня о7.

В контексте стохастического робастного управления, направленного на подавление потенциально неблагоприятного воздействия статистической неопределенности, анизотропийная теория предлагает важную альтернативу методам синтеза оптимального управления, основанным на точном знании закона распределения случайного внешнего возмущения. Минимизация критерия качества в виде анизотропийной нормы замкнутой системы приводит

6Vladimirov I.G., Kurdjukov А.Р., and Semyonov A.V. On computing the anisotropic norm of linear discrete-time invariant systems // Ptoc. of the 13-th IFAC World Congr., San-Francisco, California, USA, 1996 p. 179184.

'Diamond P., Vladimirov I.G., Kurdyukov A.P., and Semyonov A.V. Anisotropy-based performance analysis of linear discrete time invariant control systems // Int. J. Contr., 2001, No.74, p. 28-42.

к стабилизирующему регулятору по выходу, который проявляет меньший консерватизм управления по сравнению с Нж регулятором и является более эффективным при подавлении коррелированных возмущений, чем Н2 регулятор. Решение задачи синтеза анизотропийного оптимального регулятора в пространстве состояний, полученное И.Г. Владимировым, основано на решении трех перекрестно связанных алгебраических уравнений Риккати, алгебраического уравнения Ляпунова и уравнения относительно логарифма детерминанта положительно определенной матрицы. Получаемый в результате решения задачи синтеза оценивающий регулятор полного порядка (центральный регулятор) является единственным. Но решение сложных систем перекрестно связанных уравнений требует разработки и применения специальных вычислительных алгоритмов на основе метода гомотопий. Вместе с тем, применяемая процедура синтеза на основе решения уравнений не направлена на синтез регуляторов пониженного или заданного порядка (а также децентрализованных и многокритериальных регуляторов, регуляторов с заданной структурой), задачи синтеза которых до недавнего времени оставались открытыми.

В диссертационной работе разработаны регулярные методы решения задач синтеза субоптимальных анизотропийных регуляторов (в том числе пониженного и заданного порядка) методами полуопределенного программирования (ЛМН) и выпуклой оптимизации. Вместо минимизации анизотро-пийной нормы системы, субоптимальный регулятор стабилизирует замкнутую систему и обеспечивает ограниченность ее анизотропийной нормы заданным значением, т.е. гарантирует подавление случайных внешних возмущений, средняя анизотропия которых не превосходит известного уровня, с качеством не хуже заданного. В отличие от синтеза оптимального анизотропийного регулятора, решение субоптимальных задач синтеза приводит к некоторому семейству регуляторов, оставляя дополнительные степени свободы для определения некоторых дополнительных требований к замкнутой системе с целью достижения желаемого качества управления, например, требования заданного расположения полюсов замкнутой системы для достижения желаемого качества переходных процессов. В диссертационной работе получены результаты, направленные на применение мощной методологии полуопределенного программирования и выпуклой оптимизации к синтезу анизотропийных субоптимальных и 7-оптимальных регуляторов в общем случае заданного порядка. Разработанные процедуры анализа и синтеза являются привлекательными с вычислительной точки зрения и с точки зрения инженерной практики. Эти методы легко реализуются средствами некоммерческого программного обеспечения с открытым кодом, имеющегося в свободном доступе, для численного решения задач выпуклой оптимизации и полуопределенного программирования, реализованного в виде пакетов

программ, среди которых отметим свободно распространяемый интерфейс УАЬМ1Р и программу-решатель ЗеОиАП для систем МаШЬ и БсИаБ.

Целью диссертационной работы является разработка регулярных методов синтеза субоптимальных анизотропийных стохастических робастных регуляторов для управления дискретными линейными стационарными системами под воздействием случайных возмущений, а также распространение стандартных методов выпуклой оптимизации и полуопределенного программирования (ЛМН) на решение задач синтеза анизотропийных субоптимальных и 7-оптимальных регуляторов для эффективного подавления случайных внешних возмущений с неточно известными распределениями.

Методы исследования. В диссертационной работе применяются методы математической теории управления, оптимизации функций многих переменных, линейной алгебры и линейных матричных неравенств, а также компьютерное моделирование.

Научная новизна. Результаты, полученные в диссертационной работе, постановки задач и методы их решения являются новыми в анизотро-пийной теории стохастического робастного управления. К основным новым результатам относятся следующие. Сформулирована и доказана частотная теорема для анизотропийной нормы в терминах неравенств. Решены задачи синтеза анизотропийных субоптимальных регуляторов заданного порядка в виде динамической обратной связи по выходу и анизотропийных субоптимальных регуляторов в виде статической обратной связи по выходу методами полуопределенного программирования (ЛМН) и численной оптимизации. Разработаны методы синтеза анизотропийных 7-оптимальных регуляторов на основе полуопределенного программирования и выпуклой оптимизации. Получено решение многокритериальных задач анизотропийного управления, а также синтеза анизотропийного субоптимального регулятора, обеспечивающего размещение полюсов замкнутой системы в заданной области комплексной плоскости. Получено решение задачи синтеза робастных анизотропийных субоптимальных регуляторов для систем, модели которых содержат неопределенные параметры, методами полуопределенного программирования и численной оптимизации.

Теоретическая ценность. Результаты диссертационной работы являются развитием методов математической теории управления линейными системами и позволяют решать задачи анизотропийного анализа систем, а также осуществлять синтез новых линейных робастных регуляторов, характеризующихся меньшим консерватизмом, т.е. меньшими энергетическими затратами на управление, при подавлении неопределенных коррелированных случайных внешних возмущений в сравнении с широко используемыми в настоящее время Нао и Т^г/Ноо регуляторами. Благодаря распространению методов выпуклой оптимизации и техники линейных матричных неравенств на

решение задач анизотропийной теории стохастического робастного управления разработаны регулярные методы синтеза анизотропийных регуляторов (в том числе пониженного и заданного порядка), обеспечивающих также желаемую динамику переходных процессов в замкнутой системе посредством размещения полюсов в заданной области и робастную устойчивость систем с неопределенными параметрами. Разработанный и применяемый в диссертационной работе метод используется для решения задач анизотропийной 7-оптимальной фильтрации. Появилась возможность применения анизотропийной нормы наряду с другими критериями качества и спецификациями, сформулированными в терминах JIMH, в стандартных современных многокритериальных задачах управления. Дальнейшее развитие результатов диссертационной работы приводит к решению задач децентрализованного анизотропийного управления и одновременного анизотропийного управления множественными объектами.

Практическая ценность. Регулярные методы синтеза субоптимальных и 7-оптимальных анизотропийных регуляторов, разработанные в диссертационной работе, показали свою применимость для инженерной практики синтеза систем автоматического управления техническими объектами как в задачах стабилизации, так и в задачах слежения. Разработанные методы могут применяться для управления техническими системами с переменными параметрами, если множество значений этих параметров ограничено и границы его известны. Подробно рассмотрены примеры решения задач синтеза устройства автоматического управления самолетом в режиме посадки в условиях ветровых возмущений и коррелированных шумов измерений, а также устройства автоматического управления угловым положением ги-ростабилизированной платформы в условиях неопределенных ограниченных внешних возмущений и коррелированных случайных помех. В этих примерах субоптимальные анизотропийные регуляторы продемонстрировали наилучшее качество подавления внешних возмущений и слежения при наименьших затратах на управление по сравнению с традиционным в общемировой практике Н.2, И<х и Hil'Hoa управлением, а замкнутые системы с анизотро-пийными регуляторами характеризуются большей помехозащищенностью.

Реализация результатов работы. На основе результатов диссертационной работы совместно с ФГУП "НПЦ Автоматики и приборостроения им. акад. Н.А.Пилюгина" разработаны методы расчета системы управления одноосным силовым гиростабилизатором, элементом инерциальной навигационной системы [5]. Методы показали достаточную простоту и пригодность для применения в инженерной практике. Для их численной реализации может использоваться некоммерческое программное обеспечение с открытым кодом. Пример расчета устройства автоматического управления угловым положением гиростабилизированной платформы в условиях неопределенных

ограниченных внешних возмущений и коррелированных случайных помех подробно рассматривается в диссертационной работе.

Апробация результатов работы. Результаты диссертационной работы неоднократно докладывались и обсуждались на семинарах по теории автоматического управления и оптимизации Лаборатории 7 им. академика Я.З. Цыпкина адаптивных и робастных систем ИПУ РАН, на научных семинарах рабочей группы Методов и алгоритмов в управлении Лаборатории анализа и архитектуры систем CNRS, Тулуза, Франция (Groupe MAC, LAAS-CNRS, Toulouse, France), на Санкт-Петербургском Городском семинаре по теории управления (ИПМаш РАН, Санкт-Петербург), Лаборатории сигналов и систем университета SUPELEC, Париж, Франция (Laboratoire de Signaux et Systèmes, SUPELEC, Paris, France), на семинарах по теории автоматического управления Лаборатории 1 динамических информационно-управляющих систем ИПУ РАН, на семинаре "Проблемы нелинейной динамики: качественный анализ и управление" Кафедры нелинейных динамических систем и процессов управления факультета ВМК МГУ, а также на различных научных симпозиумах и конференциях: на IX, X, XI Международных семинарах им. Е.С. Пятницкого "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" (Москва, ИПУ РАН, 2008, 2010, 2012), 17-й Международной конференции по управлению процессами РС'09 (Штрб-ске Плесо, Словакия, 9-12 июня 2009 г.), 6-м Симпозиуме ИФАК по синтезу робастного управления IFAC ROCOND'09 (Хайфа, Израиль, 16-18 июня

2009 г.), 3-й Мультиконференции IEEE по системам и управлению IEEE MSC'09 (Санкт-Петербург, Россия, 8-10 июля 2009 г.), 4-й Международной научной конференции по физике и управлению PHYSCON'09 (Катания, Италия, 1-4 сентября 2009 г.), Международной научно-технической конференции "Мехатроника, автоматизация и управление" (Дивноморское, Россия, 28 сентября-3 октября 2009 г.), 19-м Международном симпозиуме по математической теории сетей и систем MTNS'10 (Будапешт, Венгрия, 5-9 июля

2010 г.), 18 -м Симпозиуме ИФАК по управлению в авиации и космонавтике IFAC АСА'10 (Нара, Япония, 6-10 сентября 2010 г.), Конференции "Управление в технических системах" УТС-2010, (Санкт-Петербург, Россия, 1214 октября 2010 г.), 18-м Всемирном конгрессе ИФАК (Милан, Италия, 28 августа-2 сентября 2011 г.), 18-й Международной конференции по автоматическому управлению "Автоматика 2011" (Львов, Украина, 2011 г.), XIX Санкт-Петербургской международной конференции по интегрированным навигационным системам (Санкт-Петербург, 28-30 мая, 2012 г.), на Американской конференции по управлению АСС2012 (Монреаль, Канада, 27-29 июля 2012 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-37]. По теме диссертации опубликовано 12 статей в рецензируе-

мых журналах [1-3,6,8,11,14-16,22,25,35], из них 9 статей в журналах, включенных в международные индексы цитирования ISI Web of Science и Scopus [1-3,8,11,14,16,22,35]. Все результаты, составляющие основное содержание диссертации, получены автором самостоятельно.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, выводов и списка литературы (186 источников), содержит 72 рисунка, 15 таблиц. Объем диссертации 204 страницы.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении выполнен обзор результатов, относящихся к теме работы, обоснована актуальность темы исследования, сформулированы его цели и задачи, дана общая характеристика полученных результатов, определена их научная новизна.

В первой главе для замкнутости изложения приводится минимально необходимый материал по анизотропии сигналов и анизотропийной норме систем. Эти результаты являются известными и поэтому приводятся в краткой обзорной форме, без доказательств, с указанием ссылок на первоисточники. Обозначим через L™ класс интегрируемых с квадратом Мг"-значных случайных векторов, распределенных абсолютно непрерывно относительно m-мерной лебеговой меры mesm. Для любого вектора W S L™ с плотностью распределения вероятности (п.р.в.) /: Rm —> R+, анизотропия А(1У) определяется в работе8 как минимальное значение относительной энтропии 0(/||рт,л) по отношению к гауссовским распределениям pm¡д в Rm с нулевым средним и скалярными ковариационными матрицами А 1т:

A (W) := rninD(/|bm,A) = ^ln Í—E\W\2) - Ь(1У),

А>0 £ \ 771 J

где Е обозначает математическое ожидание, h(W) — дифференциальную энтропию W относительно mes m.

Пусть W := (Wk)-oo<k<+oo — стационарная последовательность векторов Wk € L2% интерпретируемая как дискретный случайный сигнал. Средняя анизотропия последовательности W определяется как средняя интенсивность анизотропии на единицу времени:

(1)

8Владимиров И.Г., Даймонд Ф., Клоеден П. Анизотропийный анализ робастного качества линейных нестационарных дискретных систем на конечном временном интервале // ЛиТ, 2006, 8, с. 92-111.

А(И0:= lim 7

V iV—>+oo N

WN

Обозначим через Gm(p, Е) класс Позначных гауссовских случайных векторов с математическим ожиданием Еwk = /i и невырожденной ковариационной матрицей соу(и^) := Е(wk-ц){юк-ц)т = Е. Пусть V := (vfc)_00<jfc<+00 последовательность независимых случайных векторов vk е Gm(0, Im), т.е. ш-мерный гауссовский белый шум. Предположим, что W = GV производится из V устойчивым формирующим фильтром с передаточной функцией G(z) е Н™хт. Тогда спектральная плотность IV определяется выражением

S(u) := б(ш)д*(ш), -тг < ш < тг, (2)

где G(w) := G(e,ÜJ) — граничное круговое значение передаточной функции G(z). В работе9 показано, что среднюю анизотропию (1) можно вычислять в терминах спектральной плотности (2) и Н2 нормы формирующего фильтра G по формуле

Поскольку распределение последовательности W полностью определяется формирующим фильтром G или спектральной плотностью S, вместо Ä(W) используются также альтернативные обозначения A(G) и Ä(S).

Функционал средней анизотропии (3) всегда неотрицателен. Он принимает конечные значения, если формирующий фильтр G полного ранга, в противном случае A(G) = +оо. Равенство Ä(G) = 0 выполняется тогда и только тогда, когда G является системой полного пропускания (фазовраща-ющей системой) с точностью до ненулевого постоянного множителя. В этом случае спектральная плотность (2) имеет вид S(u) = А 1т, -тг ^ и> < тг, для некоторого Л > 0, так что W представляет собой гауссовский белый шум с нулевым средним и скалярной ковариационной матрицей10.

Пусть F 6 W¿m — дискретная линейная стационарная система (ДЛСС) с m-мерным входом W и р-мерным выходом Z = FW. а-Анизотропийная норма системы F определяется как

lilaila := »p üj^üa, (4)

где ga := {G e n^xm : A(G)

^ fl} — множество устойчивых формирующих фильтров G, генерирующих гауссовские случайные последовательности W со средней анизотропией (3), ограниченной заданным параметром а ^ 0.

9Vladimirov I.G., Kurdjukov А.Р., and Semyonov A.V. On computing the anisotropic norm of linear discrete-time invariant systems // Proc. of the 13-th IFAC Wortd Congr., San-Francisco, California, USA 1996 d 179184.

10Vladimirov I.G., Kurdjukov A.P., and Semyonov A.V. On computing the anisotropic norm of linear discrete-time invariant systems // Proc. of the 13-th IFAC World Congr., San-Francisco, California, USA, 1996 n 179184. ' v

В терминах вход-выходных сигналов а-анизотропийная норма определяется выражением

8ир Ж'

\veWa \\WWv

где УУа := {IV € А (И7) ^ а} — множество входных сигналов с ограниченной средней анизотропией;

(% = {№= Ю-оо<*<-к»: иЦс € Ь™ Л \\WWv < +оо}

— пространство стационарных в узком смысле последовательностей интегрируемых с квадратом случайных векторов; мощностная норма последовательности случайных векторов определяется как

1/2

1 N \' ViEew2 •

k=-N J

IIWIIp := lim „дг

" 1 jv^oo 2N

Известно, что а-анизотропийная норма заданной системы F G является неубывающей функцией уровня средней анизотропии а, удовлетворяющей соотношениям

4=1И|2 = 1И1о ^ lim |1 FII = IIFIU. (5)

у/т а^+оо

Важно отметить, что ДЛСС с ограниченной а-анизотропийной нормой асимптотически устойчива.

Во второй главе сформулирована и доказана частотная теорема для анизотропийной нормы, представляющая собой расширение известной частотной теоремы для Ню нормы на класс дискретных линейных стационарных систем, на вход которых поступают случайные воздействия с ограниченной средней анизотропией. Модель дискретной линейной стационарной системы F G с m-мерным входом W, n-мерным состоянием X и р-

мерным выходом Z имеет вид

(6)

где размерности вещественных матриц А, В, С, D согласованы и матрица А устойчива (р(А) < 1). Предполагается, что входная последовательность W есть стационарная последовательность гауссовских случайных векторов с ограниченной средней анизотропией а ^ О, т.е. IV производится из т-мерного гауссовского белого шума V с нулевым средним и единичной ковариационной матрицей неизвестным устойчивым формирующим фильтром G, принадлежащим множеству Qa := {G е Н™хт: A(G) ^ а} . Задача состоит

Хк+1 ' А В ' Хк

Zk С D wk _

в следующем: для заданной системы Г, уровня средней анизотропии входного возмущения а ^ 0 и числа 7 > 0 проверить выполнение условия |||.Р|||а < 7, гДе [1^11 а — анизотропийная норма системы определяемая (4). Критерий проверки выполнения указанного условия установлен в следующей теореме. Теорема 2.2. Пусть ^ € Нр*т — система с реализацией в пространстве состояний (6), где р(А) < 1. а-Анизотропийная норма (4) системы Г строго ограничена заданным значением 7 > 0, т.е.

1о<7.

если существует Т] > Y, такое что неравенство

(7)

V ~ (е~2а det(j)Im - ВТФВ - DTD))1/m < 72

(8)

выполняется для вещественной (п х п)-матрицы Ф = Фт у 0, удовлетворяющей JIMH

АТФА - Ф + СТС АТФВ + CTD ВТФА + DTC ВТФВ + DTD - 7]In

<0.

(9)

Неравенства (8) и (9) формируют выпуклые ограничения относительно обеих переменных т] и Ф. Известно, что11

1. Функция ((^ Фу (тп х т)-матрицы Ф = Фт > 0 является вогнутой по своему аргументу для любого 0 ^ р <

2. Функция (с^Ф)1/™ (тп х ш)-матрицы Ф = Фт ^ 0 есть не что иное как среднее геометрическое собственных значений этой матрицы 1/^1(Ф)...Ат(Ф).

3. Подграфик геометрического среднего двух неотрицательных величин, множество

{(АъА2,г) €М3 | хих2 ^ ч/А^} представимо в виде конуса второго порядка

А,

{(Ai,A2>i) |

3r:t ^ т;т ^ 0,

т

>ч + А21 2 /'

а подграфик геометрического среднего 2' неотрицательных величин, множество

{(Аь..., Л2,, г) е к2'+1 I X, > 0, г = 1,..., 2г, I ^ (АхАа ... А2,)1/2'}

также представимо в виде пересечения конечного числа конусов второго порядка.

"Ben-Tal A. and Nemirovskii A. Lectures on Modem. Convex Optimization. Technion, Haifa, Israel, 2000.

4. Если р — рациональное число, 0 ^ р < то выпуклая функция —(с^Ф)р (т х тп)-матрицы Ф = Фт ^ О представима в виде JIMH. А именно, множество

{(Ф,г) | ф = Фт ^ 0, t < (det Ф)р} иредставимо в виде

|(ф,г) | ф = фт^о,

где А — нижняя треугольная (т х т)-матрица, составленная из вспомогательных переменных с диагональными элементами <5;. Подграфик вогнутого одночлена t ^ (6\... 6т)р представим в виде конуса второго порядка12 и, следовательно, в виде J1MH.

Систему неравенств (8), (9) теоремы 2.2 можно решить с помощью доступных свободно распространяемых программных пакетов для решения задач выпуклой оптимизации, позволяющих использовать выпуклую функцию —(det^))1/"1 (т х т)-матрицы Ф 1>= 0 не только в качестве целевой функции, но и в качестве ограничения. Такими программными средствами являются, например, интерфейс YALMIP (Дж.Лефберг, 2004) в сочетании с программой-решателем SeDuMi (Дж.Штурм, 1999) для систем Matlab и Scilab.

С учетом обозначения у '■= 72> условия теоремы 2.2 позволяют вычислять минимальное значение у из решения следующей задачи выпуклой оптимизации:

найти ■% = inf 7 на множестве Ф, 77,7, удовлетворяющих (8), (9).

Если минимальное значение % найдено, а-анизотропийная норма системы F вычисляется приближенно как |F|a ~ у/%-

Условия теоремы 2.2 рассматриваются в двух важных предельных случаях, когда уровень средней анизотропии а гауссовской входной последовательности равен нулю и стремится к бесконечности. Поскольку Н.2 норма и Ню норма являются двумя предельными случаями a-анизотропийной нормы при а —> 0,+оо (см. (5)), неравенства (8), (9) трансформируются в критерии проверки строгой ограниченности масштабированной Н2 нормы и 7ix нормы системы F заданным пороговым значением 7. Показано, что в случае нулевого уровня средней анизотропии из выполнения неравенств (8), (9) следует

tr(ВТФВ + DTD) < ту2, АТФА - Ф + СТС -< 0.

12Ben-Tal A. and Nemirovskii A. Lectures on Modern Convex Optimization. Technion, Haifa, Israel, 2000, p. 108.

Ф Д Дт diag Д

M, t ^ (6i...6my

что эквивалентно ^Ц-^Цг < 7-

В случае а —> +оо из локализации 'у2 < т] < 72/(1—е~2а/щ) следует г)

■Y

неравенство (8) становится недействительным. В этом случае, изменяя масштаб матрицы Ф := 7Ф и применяя лемму Шура, ЛМН (9) можно привести к виду

"" А?ФА - Ф АТФВ Ст ВТФА ВТФВ - 7/т £>т С Б -7/р

хорошо известному в контексте Нос управления для дискретных систем. Этот факт тесно связан со сходимостью Нта_+00 |||^|а = Ц^Цоо в (5), благодаря чему неравенство (7) 'аппроксимирует'

^0,

(10)

IW»<7

(И)

для достаточно больших значений а. Таким образом, в пределе при а —> +оо, теорема 2.2 становится частотной теоремой для Цж нормы, устанавливающей эквивалентность между выполнением (11) и существованием положительно определенного решения ЛМН (10).

В диссертационной работе приводятся и обсуждаются результаты вычислительных экспериментов, выполненных на достаточно большой выборки случайных реализаций устойчивых систем для проверки эффективности и надежности техники вычисления а-анизотропийной нормы методом выпуклой оптимизации.

Частотная теорема для анизотропийной нормы в терминах неравенств является ключевым результатом, который применяется для решения задач синтеза анизотропийных субоптимальных (и 7-оптимальных) регуляторов методами выпуклой оптимизации и полуопределенного программирования, рассматриваемыми в третьей главе. Такие регуляторы гарантируют ограниченность анизотропийной нормы замкнутой системы заданным пороговым значением, гарантируя подавление возмущений с уровнем средней анизотропии, не превышающим а, с качеством не хуже заданного, или, соответственно, синтезируются для минимального порогового значения. Объект управления представлен дискретной линейной стационарной моделью P{z) с т^-мерным состоянием X, mu,-мерным входом возмущения W, тц-мерным входом управления U, р2-мерным управляемым выходом Z и ру-мерным измеряемым выходом Y :

(12)

где размерности всех матриц согласованы, р, < тш, пара матриц (А,Ви) является стабилизируемой, а пара (А, Су) — детектируемой. Предполага-

Хк+1 A Bw Ви Хк

P(z): Zk = Dzw Dzu Wk

У к Су 0

ется, что средняя анизотропия (3) последовательности IV не превосходит известного неотрицательного уровня а.

Задача синтеза — найти регулятор заданного порядка по измеряемому выходу в форме динамического компенсатора

K(z):

'A Be'

щ ce Dc . у к .

(13)

с п^-мерным состоянием Е = {£к)-оо<к<+оо, стабилизирующий замкнутую систему и гарантирующий некоторый заданный уровень качества подавления внешних возмущений. Предполагается, что для объекта управления (12) и регулятора (13) выполняется условие Кимуры13 Порядка 71^ * 71^ > Ши Ру Вьтолнение этого условия гарантирует существование стабилизирующего регулятора заданного порядка щ. Пусть Тгш{г) — матричная передаточная функция замкнутой системы от возмущения IV к управляемому выходу Z. Задача 3.1. Для заданных объекта управления Р с моделью в пространстве состояний (12), уровня средней анизотропии а ^ 0 входного возмущения IV и некоторого желаемого порогового значения 7 > О, найти дискретный линейный стационарный регулятор по выходу К с моделью в пространстве состояний (13), стабилизирующий замкнутую систему и гарантирующий, что ее а-анизотропийная норма не превосходит порогового значения 7, т.е.

ЦТ^ < 7- (14)

Для объекта управления Р и регулятора К, определенных выше, реализация замкнутой системы имеет вид

где Хк е

Tzw(z) : п = пх + щ,

Xk+1 'A ъ' Хк

e ъ

(15)

A ъ'

e V

A + BuDcCy BuCc Bw ~h Bu Dq, Dym

BcCy Ac BcDyw

Cz + DzuDcCy DzuCс

Условия (8), (9) частотной теоремы 2.2 для анизотропийной нормы невозможно непосредственно применить для решения поставленной задачи синтеза из-за перекрестных произведений неизвестной матрицы Ф и матриц реализации замкнутой системы (Л, Ъ, С, Т>), аффинно зависящих от параметров регулятора. Преодолеть указанную трудность позволяет введение вспомогательной переменной, вещественной (т,„ х тг[))-матрицы Ф = Фт >- 0, которое приводит к следующей модификации теоремы 2.2.

3Kimura H. Pole assignment by gain output feedback // IEEE Trans. AC, 1975, Vol. AC-20, p. 509-516.

Лемма 3.1. Пусть Т2Ш £ — матричная передаточная функция

системы с реализацией (15), где р(А) < 1. Анизотропийная норма системы Тги! строго ограничена заданным пороговым значением ■у > 0, т.е. |||Тгш|||а < 7, если существует г] > 72, такое что неравенство

Т] — (е~2а с^ Ф)1/"1'" < 72 (16)

выполняется для некоторых вещественных (шшхт„,)-матрицы Ф = Фт >- О и (п х п)-матрицы Ф = Фт >- О, удовлетворяющих неравенствам

' I' " г]1п Ъ Ъ

_ф-1 О

2)т О -I».

-Ф О лт

о -Г]1тш ®т

А Ъ -ф-1

е ъ о

ет о

■< О. (17)

Решение общей задачи 3.1 синтеза регулятора заданного порядка получено прямым применением условий (16), (17) леммы 3.1 к реализации замкнутой системы (15).

Следствие 3.2. Для заданных а ^ 0, 7 > 0, динамический регулятор по выходу К порядка щ с реализацией (13), являющийся решением задачи 3.1, существует, если система неравенств

т)-(е~2а с^Ф)1/"1» <72,

Ф - Г]1т„ * * *

Вю + Ви£)сГ)уШ -Пи * *

Вс^уи) -п?2 -п22 *

0 0 -1р.

^0,

(18) (19)

-Фц О

* * -Ф22 *

0 "Чк

А + ВиОсСу ВиСс Ви. + ВиОсОуШ

ВсСу Ас Вс£)уу]

С: + ЮгиОсСу ПгиСс Огт + огиосп

* * *

-Пи -П?2

уи!

о

* * * *

-п22 о

р' .

Ф :=

Фц Ф ф?2 Ф

Г) > 72, Ф О,

^ О, П :=

Пи П12 П?2 П22

>- О

-< О, (20)

(21)

разрешима относительно скалярной переменной Т), вещественных (тпт х тп^)-матрицы Ф, матриц Ас е Е"«х"«, Вс <Е Ш.п<*Ру, Сс € Ет»х"е, Д. е и двух взаимнообратных (п х п)-матриц Ф, П, удовлетворяющих условию

ФП = /„,

(22)

где п = пх + щ — порядок замкнутой системы.

Матрицы параметров регулятора Ас, Вс, Сс и £>с непосредственно входят в неравенства синтеза (19), (20), что позволяет накладывать на них дополнительные структурные ограничения для синтеза, например, децентрализованного управления (с блочно-диагональными матрицами Ас, Вс, Сс и £>с) или регулятора заданной структуры (с матрицами параметров регулятора Ас, Вс, Сс и Бс заданной структуры) из решения задачи (18)-(22).

Задача вычисления матриц параметров (Ас, Вс, Сс, Д:) динамического регулятора заданного порядка (13), являющегося решением задачи 3.1, сводится к проверке разрешимости системы неравенств (18)—(21) при условии (22), из-за которого задача (18)-(22) не является выпуклой. Хотя применение известных алгоритмов поиска взаимнообратных матриц, удовлетворяющих линейным матричным неравенствам (19), (20) при выпуклом ограничении (18), может привести к успешному решению задачи (18)—(22), каждый из известных алгоритмов может сойтись к локальному минимуму. Применение одного из таких алгоритмов на основе метода условного градиента (модификация алгоритма Фрэнка и Вольфа) рассматривается в главе 5.

В диссертационной работе рассматриваются три частных случая структуры объекта управления и регулятора: регулятор в виде статической обратной связи по состоянию для объекта, состояние которого измеряется точно; динамический регулятор полного порядка по измеряемому выходу; регулятор в виде статической обратной связи по измеряемому выходу.

Следующая теорема устанавливает достаточные условия существования анизотропийного субоптимального регулятора в форме статической обратной связи по состоянию в случае полной информации о векторе состояния, когда модель объекта управления описывается уравнениями (6), где Су = 1Пг,

Оу„ = 0.

Теорема 3.1. Для заданных а ^ 0, 7 > 0, статический регулятор по состоянию щ = Кхк, стабилизирующий замкнутую систему (р(А+ВиК) < 1) и гарантирующий выполнение условия (14), существует, если система неравенств

(е_2а с^ Ф)1/"1"' < 72

(23)

Ф - * *

вш -п *

0 -1р.

-<о,

-п * * *

0 * *

АН + ВиА вт -п *

Сг П + Дг„Л огт 0 -1р.

^0, (24)

г/ > 72, Ф ^ 0, П V 0

(25)

разрешима относительно скалярной переменной ц, вещественных (т,„ х тпт)-матрицы Ф, (пх х пх)-матрицы П и (ти х пх)-матрицы Л. Если зада-

ча (23)-(25) разрешима и неизвестные переменные найдены, матрица статического регулятора определяется выражением К = ЛП-1.

Неравенства (23)-(25) являются не только выпуклыми по Ф и аффинными по П и Л, но также линейными относительно 72. Минимизация 72 при ограничениях (23)-(25) приводит к минимизации 7 при тех же ограничениях. Обозначим 7 := 72. Условия теоремы 3.1 позволяют вычислять наименьшее значение 7 из решения задачи оптимизации

7 —>inf на множестве Ф, П, Л, r¡, 7, удовлетворяющих ограничениям (23)-(25).

(26)

Если задача выпуклой оптимизации (26) разрешима, матрица усиления статического регулятора по состоянию вычисляется согласно теореме 3.1. Ани-зотропийные регуляторы, получаемые из решений задач оптимизации, аналогичных (26), называются анизотропийными 7- оптимальными регуляторами.

Для решения задачи синтеза регулятора полного порядка (щ = пх) эффективно применяется известная линеаризующая замена переменных, введенная П. Гаинетом в работе14. Решение задачи 3.1 синтеза регулятора полного порядка дано в следующей теореме.

Теорема 3.2. Для заданных а ^ 0, 7 > 0, динамический регулятор по выходу К полного порядка щ = пх с реализацией (13), являющийся решением задачи 3.1, существует, если система неравенств

т] - {е~2а dett!)1/"

<72,

Ф - Vlmw Bw BuT>cDyw Ф nBw + ъс д

Dzw + DzvbcD

yw 'yui

*

-П11

Inx О

* *

-Фи О

1Vz _

^0,

(27)

(28)

-n„ * * * * *

-In* -фц * * * *

0 0 * * *

лпИ + виес А + BuDcC„ Bw + BuDcDm -П„ * *

лс ФпА + ЪсСу ФцВи+ЗсГ»^ -In, -фц *

. С2П„ + DzuZc Сг + DzuDcCy Dzw + ДгцЕсЯ^ 0 0 -b,.

-< 0, (29)

т) > Y, Ф ^ 0, Пи >- 0, Фц >- 0,

п

11

1пх

Фц

>- 0

(30)

разрешима относительно скалярной переменной r¡, вещественных (тш х mw)-матрицы Ф, матриц Ас £ Ъс G R"lXp«', ес € Km»xn*, Dc g

"P.Gahinet. Explicit controller formulas for LMI-based Hoo synthesis // Automático, 1996, Vol. 32, p. 10071014.

Мт"хр» и двух (пх х пх)-матприц П1Ь Фп. Если задача (27)-(30) разрешима и неизвестные переменные найдены, матрицы регулятора Ас € К"1*"*, Вс £

W'XPv, Со G 1 выражениями

пихпх D g

гс„хру

единственным образом определяются

Dc Сс

Во А,

= Ъс

(31)

(32)

(33)

(34)

(Сс — £'сСуП11)П12Т, Фй^Вс - ФпВД.), Фй^Д. - ФаВсСуПц - ФпВиСсП?2 -

-Фц(Л + Ввад)Пи)Пг7

и вычисляются из решения задачи нахождения двух невырожденных (пх х пх)-матриц П12, Ф12, удовлетворяющих условию

ПцФ?2 = 1Пх ~ ПцФп.

(35)

Условия теоремы 3.2 позволяют вычислять 7-оптимальный регулятор из численного решения задачи выпуклой оптимизации, аналогичной (26).

В случае синтеза анизотропийного субоптимального управления в виде статической обратной связи по измеряемому выходу

ик = Кук

(36)

предполагается, что для объекта управления (12) выполняется условие Ки-муры нулевого порядка тгх — тпи — ру < 0. Выполнение этого условия гарантирует существование стабилизирующей статической обратной связи по измеряемому выходу. Прямое применение достаточных условий (16), (17) леммы 3.1 к реализации замкнутой системы приводит к следующему прямому решению задачи 3.1.

Следствие 3.4. Для заданных а ^ 0, 7 > 0, статический регулятор по выходу (36), являющийся решением задачи 3.1, существует, если система неравенств

J]- (e"2adet4')1/m"' <72

Ф - Ч1т„ Bw + DuKDm, Dzw + D,UKD„

-П 0

-<о,

*

-■П1т„

Bw + BuKDyw

0

А + ВиКС„ CZ + DZUKCU D2W + DzuI<Dmn 0 -Ip,

-П

П У 0

(37)

-<0,

(38)

(39)

Т] > 7 , ф >" 0, ф >- 0,

разрешима относительно скалярной переменной г), вещественных (т,„ х т^-матрицы Ф, (ти х ру)-матрицы К и двух взаимнообратных (пх х пх)-матриц Ф, П, удовлетворяющих условию

ФП = L

(40)

Матрица параметров регулятора К непосредственно входит в неравенства синтеза (38), что позволяет накладывать на матрицу К дополнительные структурные ограничения для синтеза, например, децентрализованного управления (с блочно-диагональной матрицей К). Для решения системы неравенств (37)-(39) при ограничении (40) применяются алгоритмы поиска взаимнообратных матриц.

Линеаризующая замена переменных, предложенная К. Шерером в работе15, может сделать результирующую задачу оптимизации выпуклой для отдельного класса объектов управления, определенного структурным свойством

Руи(г) := Су{г1Пг - А)~хВи = 0. (41)

Для стабилизируемого и детектируемого объекта управления (12), если выполняется условие (41), существует преобразование подобия Т, такое что

" TAT'1 TBW TBU 1

CzT-1 D-UJ Dzu

Dyw 0

Ai2 BWl Вщ

0 a22 BW 2 0

Dzw Dzu

0 Cy2 Dyw 0

(42)

где подсистема (Л1Ь Ви1) является управляемой, (Лп, СУ2) — наблюдаемой, а матрица Л22 — устойчивой. В следующей теореме установлены достаточные условия существования анизотропийной субоптимальной статической обратной связи по выходу для объекта управления со структурным свойством (41). Теорема 3.3. Предположим, что для объекта управления Р с реализацией (12) выполняется условие (41). Для заданных а ^ 0, 7 > 0, статический регулятор по выходу (36), являющийся решением задачи 3.1, существует, если система неравенств

г] — (е~2а det Ф)1/"

<72,

ф - nim„ *

В(R,S,K) P(Q,R)

ЩК)

Р(Q,R) :=

о

-4,

^0,

Р(<Э,я) * * *

0 —Tllmw * *

A (Q,R,S,K) B(R,S,K) P(Q,R) *

С (Q,S,K) ЩК) 0 -IPa

-Q 0 0 —R

,А(Q,R,S,K) :=

(43)

(44)

В (R,S,K) :=

BWI+BUIKDV, RBW„

■SBw

AnQ AnS-SA22+A12 + BulKCn 0 RA22

,T>(K) := Dzw + DzuKDy

С(Q, S, K) := [ CZlQ CZIS + CZ2 + DzuKCy.

15Scherer CAV. An efficient solution to multi-objective control problems with LMI objectives // Syst. & Contr. Let., 2000, Vol. 40. p. 43-57.

7] > 72, ф >- о, <2x0, Я >- 0 (45)

разрешима относительно скалярной переменной г], вещественных (тпш х тт)-матрицы Ф, матрицы регулятора К и матриц <3, Я и 5.

Кроме класса систем, определяемого структурным свойством (41), известны два важных частных случая структуры объекта управления, которые позволяют сформулировать задачу синтеза статического регулятора по выходу в виде некоторой задачи выпуклой оптимизации посредством применения невырожденных преобразований координат и введения структурированных вспомогательных переменных подобно тому, как это было сделано в работе16 для задач синтеза Нж регуляторов. Эти случаи называются сингулярными задачами управления и фильтрации.

В сингулярной задаче управления матрица _02Ц реализации объекта управления (12) равна нулю, а матрица Ви имеет полный ранг по столбцам. В таком случае существует невырожденная матрица преобразования координат состояния Ти, такая что

ви .— ТиВи —

В новых координатах матрицы реализации объекта управления имеют вид

А :— ТиАТ , Bw :— ТиВи

Су :— СуТи

(46)

Теорема 3.4. Пусть для объекта управления Р с реализацией (12) выполняется 0:и = 0 и гапк Ви = ти. Для заданных а ^ 0, 7 > О, анизотро-пийный субоптимальный регулятор в виде статической обратной связи по выходу (36), являющийся решением задачи 3.1, существует, если система неравенств

г] — (е~2а с1е1 ф)1/"1"" < 72, (47)

Ф - Vlmw

ш +

Dz,

SBW + LDVW Ф -S-ST

-<0,

о _-riIm„

ЙЛ + LCy SBW + LDy,

S-S-ST О

■<0,

(48)

77 > 72, Ф >- О, Ф >- 0, (49)

где A, Bw, Cz, Су определяются выражениями (46), разрешима относительно скалярной переменной Т], вещественных (mw х mw)-матрицы Ф, (тгх х пх)-матрицы Ф и двух структурированных матричных переменных

S:=

Si О О S2

L :=

Li О

16Lee K.H., Lee J.H., and Kwon W.H. SufBcient LMI conditions for output feedback stabilization of linear discrete-time systems // IEEE Trans. AC, 2006, Vol. 51, p. 675-680.

Если система неравенств (47)-(49) разрешима и неизвестные переменные найдены, матрица статического регулятора по выходу К = В^Ь^.

В сингулярной задаче фильтрации матрица Бухо реализации объекта управления (12) равна нулю, а матрица Су имеет полный строчный ранг. В таком случае существует невырожденная матрица преобразования координат Ту, такая что Су := СУТ~Х = [ 1Ру 0 ] . В новых координатах матрицы реализации объекта управления имеют вид

Л := ТуАТ-\

Bw .— TyBWj

Ви:=ТуВи, Сг:=СгТ-\ (50)

Теорема 3.5. Предположим, что для объекта управления Р с реализацией (12) выполняется Бую = 0 и гапк Су = ру. Для заданных а ^ 0, 7 > 0, статический регулятор по выходу (36), являющийся решением задачи 3.1, существует, если система неравенств

* -

Bw

D„„

r7-(e-2adet401/:

П - R - яТ

4 0,

AR + DUM CZR + DZUM

^0,

(51)

(52)

i/>72, Ф^О, П>-0, (53)

где A, Bw, Cz, Cy определяются выражениями (50), разрешима в отношении скалярной переменной ту, вещественных (mw х тш)-матрицы Ф, (пх х пх)-матрицы П и двух структурированных матричных переменных

* * *

* *

Bw -П *

Dzw 0 -Ip.

R :--

Rx 0 0 R2

М := [ Mi 0 ]

Если система неравенств (51)-(53) разрешима и неизвестные переменные найдены, матрица статического регулятора по выходу К = М\Щ1.

Результаты теорем 3.1-3.5 позволяют вычислять статический анизотро-пийный 7-оптимальный регулятор по выходу из решения задач выпуклой оптимизации, аналогичных (26).

Известно, что задачу синтеза динамического регулятора заданного порядка можно представить в виде задачи синтеза статического регулятора по выходу, дополнив вектор состояния объекта управления состоянием регулятора:

" А 0 Bw 0 Bu

' Л Bw Bu ' 0 0 0 Inf 0

cz Т) LS zw vzu := cz 0 0 Dzu

с . У Т) 0 0 Int 0 0 0

. Су 0 Dyw 0 0

Реализация замкнутой системы с расширенным объектом управления (54) имеет вид

А Ъ С Ъ

•А 13ц)

Сг "Г)г\в

+

Ви

ъхи

К [Су vyw] =

А + ВиКСу

С>2 + ТЭ £у)КСу

в,„ + викт>г10

ут

Хк+1 А Вы Ви Хк

Р{г): 2к = т

Ук Су Оул, 0

где матрица К включает матрицы параметров регулятора: К := ^ £ ^ | .

В четвертой главе решается многокритериальная субоптимальная задача анизотропийного управления для стандартного объекта управления, в котором можно выделить несколько групп каналов от входов внешних возмущений с различными уровнями средней анизотропии к управляемому выходу, методами полуопределенного программирования и выпуклой оптимизации. Рассматривается объект управления, представленный дискретной линейной стационарной моделью Р(г) с п^-мерным состоянием X, т№-мерным внешним входом И7, ти-мерным входом управления {/, рг-мерным управляемым выходом Z и р^-мерным измеряемым выходом У :

(55)

где размерности всех матриц согласованы, рг < тпи1, пара матриц (А,Ви) является стабилизируемой, а пара (А, Су) — детектируемой.

Предполагается, что в векторе управляемого выхода 2 объекта управления (55) с учетом требований технического проектирования выделены N групп каналов управляемых выходов Zj (состоящих в минимальном случае из одного канала), и в векторе внешнего входа IV также выделены N групп каналов внешних входов в которые могут входить как внешние возмущения, шумы измерений, так и эталонные сигналы. Одинаковые группы каналов управляемых выходов = или внешних входов = считаются различными при з Разбиение каналов по группам может осуществляться с учетом технических особенностей системы (например, эталонные сигналы/внешние возмущения/шумы измерений) или близости свойств сигналов (например, слабо/сильно коррелированные сигналы). Для каждой из групп каналов внешних входов Wj предполагается, что средняя анизотропия (3) последовательности Wj не превосходит известного неотрицательного уровня

Пусть Т„„(г) обозначает матричную передаточную функцию от внешнего входа IV к управляемому выходу 2 замкнутой системы с регулятором

заданного порядка К (г) в форме динамического компенсатора

&+1 "л Вс'

До. . У к.

с тг^-мерным состоянием Н = (£,к)-эо<к<+оо> стабилизирующим замкнутую систему и обеспечивающим некоторый заданный уровень подавления внешних возмущений или заданное качество отслеживания эталонных сигналов. Тогда Т^щ(г) := £_,Т'гю(.г)7^ — матричная передаточная функция от группы внешних входов к группе управляемых выходов = 1,..., ТУ, где ¡С] € Л] € и"1и|Х7"и; — матрицы выбора групп входов и выходов,

соответственно.

Задача 4.1. Для заданных объекта управления Р с моделью в пространстве состояний (55), уровней средней анизотропии а^ ^ 0 групп внешних входов Wj и некоторого набора желаемых пороговых значений > О, 2 = 1,..., ТУ, найти дискретный линейный стационарный регулятор по выходу К с моделью в пространстве состояний (56), стабилизирующий замкнутую систему и обеспечивающий одновременное выполнение условий

ЦТ^Ла, < Ъ-

(57)

Реализация передаточной функции замкнутой системы =

от группы внешних входов к группе управляемых выходов Zj имеет вид

(58)

' А »л

к-

А + ВиОсСу ВиСс

ВсСу Ас В с Вую^

_ Сг, + £>2Я£>сСу Dzj-u.Cc

(59)

где

Ви!] ' ; . С2^. .

Для каждой из спецификаций (57) задачи 4.1 условия леммы 3.1 (частотной теоремы для анизотропийной нормы) устанавливают, что удовлетворяет спецификации (57), если существуют скалярная величина ц < 72 и матрицы >- О, >- 0, удовлетворяющие неравенствам (16), (17). Из вьшолнения неравенств (16), (17) следует AтФjA — Фj -< 0, т.е. квадратичная форма для замкнутой системы с матрицей >- 0 является функцией Ляпунова У^-(х) = ХТФ?'Х- Прямое применение достаточных условий (16), (17) леммы 3.1 к реализации (58) каждой из передаточных функций Т2>шД.г), ^ = 1,..., /V, приводит к прямому решению задачи 4.1, аналогичному результатам следствия 3.2.

Следствие 4.1. Для заданных а,- ^ 0, ^^ > 0, j = 1,..., ./V, динамический регулятор по выходу К порядка щ с реализацией (56), являющийся

решением задачи 4-1, существует, если система неравенств Vj — (e-2aj det Ф^)1/'"Н < 7?,

Ф,-

' VjImWj BWj + BUDCD

BrD

'yWj

ywj

*

-Пи,-

_ DZjWj + DZjUDcDyWj 0

*

-П 22j 0

* * *

-<0,

(61)

-Ф

llj

*

0 0 A + BuDcCy BuCc BWj + BuDcDmi BcCv Ac BcDVWj

CZj+DZjUDcCy DZjUCc DZjWj + D^DcD^

„2

-Пщ

-п7,, -n

l12j _"22j 0 0

Ф

3

$22j

T)j > 7], Ф,- 0,

>- 0, П, :=

П1Ц П12j

n?2j П22j

-< 0, (62)

(63)

разрешима относительно N скалярных переменных rjj, N вещественных (mWj х mWj)-матриц Ф_,-, матриц Ас е Rnfxn«, Вс е ЕТ!«хг\ Сс G Rm"xn<, Dce Km"XPy и IN взаимнообратных (п х п)-матриц Ф^, П^, удовлетворяющих условию

= 4, (64)

где п = пх + щ — порядок замкнутой системы.

Решение задачи (60)-(64) следствия 4.1 эквивалентно совместному решению N задач (18)-(22) следствия 3.2 для реализаций передаточных функций

ад :=

Cj о

о I,

Ру J

P(z)

7Zj 0 О 1т..

(65)

заданных значений 7,- относительно переменных Ф^, 3 =

1,..., ЛГ, и одних и тех же неизвестных матриц реализации регулятора Ас, Вс, Сс и 1)с. Как и в следствии 3.2, матрицы параметров регулятора непосредственно входят в неравенства синтеза (61), (62), что позволяет накладывать на реализацию регулятора дополнительные структурные ограничения. Задача вычисления матриц параметров (Лс, Вс, Сс, Ис) динамического регулятора заданного порядка (56) предполагает применение алгоритмов поиска взаимнообратных матриц. Вычислительный процесс может быть затруднен большой размерностью блочно-диагональных взаимнообратных матриц Ыоскс^^,..., Фдг), Ыоскс^^ь..., Пд.) и возможными проявлениями локальной сходимости известных алгоритмов.

Применение стандартных процедур овыпукления позволяет сделать результирующую задачу оптимизации выпуклой для ряда частных случаев структуры объекта управления и порядка регулятора. Решение многокритериальной задачи синтеза анизотропийного регулятора в виде статической обратной связи по состоянию можно сформулировать в виде задачи выпуклой оптимизации в случае полной информации о векторе состояния, когда модель объекта управления описывается уравнениями (55), где Су = 1Пх, Dyw = 0, если применить известную линеаризующую замену переменной К = ЛП-1, как это было сделано в теореме 3.1. Для применения данной процедуры овыпукления требуется существование общей функции Ляпунова в виде квадратичной формы

V(x) = Ф >" О, ЛТФЛ - Ф О, (66)

для всех передаточных функций TZjWj(z) в (57), что эквивалентно введению дополнительного ограничения

фх = ... = фдг = ф, П1 = --- = Плг = П (67)

в системе неравенств (16)—(17) леммы 3.1 (частотной теоремы для анизотро-пийной нормы), записанных относительно каждой матричной передаточной функции TZjWj(z) от группы внешних входов Wj к группе управляемых выходов Zj, j = 1,..., N. Известно, что ограничение (67) является жестким и вносит консерватизм в решение задачи синтеза. Тем не менее, применяемый подход обладает рядом неоспоримых преимуществ. Во-первых, он приводит процедуру синтеза к численному решению задачи выпуклой оптимизации. Во-вторых, данный подход позволяет использовать все доступные степени свободы субоптимальной задачи. В-третьих, в рамках парадигмы существования общей функции Ляпунова на замкнутую систему можно накладывать и другие дополнительные ограничения, которые могут быть сформулированы в терминах ЛМН, например ограничения на "Hi норму, ограничения на Нос норму, условия размещения полюсов замкнутой системы в заданной выпуклой области комплексной плоскости, условия строгой пассивности, условия ограниченности в секторе, ограничения на максимум импульсной переходной характеристики, ограничения на время установления переходного процесса, подавление известных возмущений, отслеживание известных сигналов17. Следующая теорема устанавливает достаточные условия существования многокритериального анизотропийного субоптимального регулятора в виде статической обратной связи по состоянию.

Теорема 4.1. Для заданных aj ^ 0, jj > 0, j = 1,..., N, статический регулятор по состоянию и к = Кастабилизирующий замкнутую систему

17Scherer C.W., Gahinet P., and Chilali M. Multiobjective output-feedback control via LMI optimization // IEEE Trans. AC, 1997, Vol. 42, p. 896-911.

(р(А + ВиК) < 1) и гарантирующий выполнение условий (57) существует, если система неравенств

Ф

- П^т»,

Дч

-п О -/,

Р'1

■<0,

-п * * *

0 * *

ЛП + ВиА Вщ -п *

С\л + д^л эгт 0

Х0, ПхО, 3 = 1,..

(68)

-< О, (69)

ТЦ> 7;, Ф^О, 11^0, з = (70)

разрешима относительно N скалярных переменных щ, N вещественных (гпщ х тШ])-матриц Ф^-, (пх х пх)-матрицы П и (ти х пх)-матрицы А. Если задача (68)-(70) разрешима, и неизвестные переменные найдены, матрица статического регулятора определяется выражением К = ЛП-1.

Решение выпуклой задачи (68)-(70) теоремы 4.1 эквивалентно одновременному решению N систем неравенств (23)-(25) теоремы 3.1 для реализаций передаточных функций (65), заданных значений а^, т,- относительно переменных т^, Ф.,, = 1,..., ЛГ, и одних и тех же матриц П и Л.

Обозначим % := 7?. Условия теоремы 4.1 позволяют вычислять наименьшее пороговое значение у, для одной из N групп каналов при заданных значениях 77, 3 ф г, из решения задачи оптимизации

7; -> Ы

на множестве П, Л, щ, (71)

удовлетворяющих ограничениям (68)-(70).

Если задача выпуклой оптимизации (71) разрешима, матрица усиления статического регулятора по состоянию вычисляется согласно теореме 4.1. Фактически возможна минимизация не единственного квадрата порогового значения 7,-, а суммы или линейной комбинации нескольких или даже всех 7,-,

Для решения задачи синтеза многокритериального анизотропийного регулятора полного порядка (пс = пх) используется линеаризующая замена переменных матриц регулятора П. Гаинета, используемая в теореме 3.2. Применить данную процедуру овыпукления можно при условии существования общей функции Ляпунова в виде квадратичной формы (66) для всех спецификаций (57), что эквивалентно введению дополнительного ограничения (67). Следующая теорема является 'многоканальным' аналогом теоремы 3.2. Теорема 4.2. Для заданных а^ > 0, 7, > 0, 3 = 1,..., И, динамический регулятор по выходу К полного порядка щ = пх с реализацией (56), являющийся решением задачи 4, существует, если система неравенств

г,3 - (е~2а' сМ Ф7-)1/п

< т?,

(72)

вУ!] + виъсп

ФцВщ + ВСЦ

ухи.

£>г

ущ

+ Я^ЗД

* * *

-Пц * *

-к -Фц *

0 0

-<0,

(73)

-пп * * * * *

-Фц * * * *

0 0 * * *

лп„ + виес А + В„ВсС„ -п„ * *

•Ас ФпА + ЪсСу Ф„ВШ, + -к -Фц *

счп„ + г>2;„ес + ^2}ПТ)<Су 0 0

ХО,

гц > т,2, Ф^ ^ О, Пи >- О, ФЦ >- О,

Пп

1пг

К Фц

^0, ]=1,...,И,

(74)

(75)

разрешима относительно N скалярных переменных ту, N вещественных (тщ х т,щ)-матриц Ф^-, матриц Ас <Е К"*хп*, Ъс е Жп'хр«, Сс € Кт»х"*, Т>с е Жт"хр» и двух (пх х пх)-матриц Пп, Фц. Если задача (72)-(75) разрешима и неизвестные переменные найдены, матрицы регулятора Ас € К"1*"1, Вс 6 М"1*^, Сс е Кт"ХП1, _Ос е кт"хр» единственным образом определяются выражениями (31)-(34) и вычисляются из решения задачи нахождения двух невырожденных (пх х пх)-матриц П12, Ф12, удовлетворяющих условию (35).

Условия теоремы 4.2 позволяют минимизировать одно или несколько значений 7? аналогично (71). Теорема 4.2 позволяет применять анизотропий-ную норму замкнутой системы в целевой функции или спецификации качества для определенных групп вход-выходных каналов замкнутой системы в задачах многокритериального управления, решение которых основано на существовании общей функции Ляпунова, наряду с любыми другими спецификациями качества и целевыми функциями, которые могут быть сформулированы в терминах ЛМН17.

В случае синтеза многокритериального регулятора в виде статической обратной связи по измеряемому выходу предполагается, что для объекта управления (12) выполняется условие Кимуры нулевого порядка пх — ти — ру < 0. Прямое применение достаточных условий (16)—(17) леммы 3.1 к реализации замкнутой системы приводит к следующему прямому решению задачи 4.1 — аналогу следствия 3.4 для многокритериальной задачи. Следствие 4.3. Для заданных aj > 0, 7,- > 0, ^ = 1,..., ЛГ, статический регулятор по выходу щ = Ку^, являющийся решением задачи существует, если система неравенств

^•-(е-^сМФ;)1^ <72,

(76)

- r)j!mWj * *

BWj + BuKDyWj — Ilj * ^0,

_ DZ]Wj + DZ]UKDyW] 0 - J

Фj * * *

0 -Vi1™*,, * *

А + BuKCy BWj + BuKDyWj -П, *

CZj + DZjUKCy DZjWj + DZjUKDyWj 0

-<0,

r,j> 7J, Ф^О, Ф^О, П^О, j = l,...,N,

(78)

(79)

разрешима относительно N скалярных переменных rjj, N вещественных (гпщ х mWj)-Mampuv, (mu х ру)-матрицы К и 2N взаимнообратных (пх х пх)-матриц , удовлетворяющих условию

ФА = 1Пх.

(80)

Задача вычисления матрицы статической обратной связи по выходу К в общем случае не является выпуклой из-за условия (80) и требует применения алгоритмов поиска взаимнообратных матриц. Линеаризующая замена переменных К. Шерера15, применяемая в теореме 3.3, может сделать результирующую задачу оптимизации выпуклой для отдельного класса объектов управления, определенного структурным свойством (41). Теорема 4.3. Предположим, что для объекта управления Р с реализацией (55) выполняется условие (41), т.е. Руи(г) = 0. Для заданных а^ ^ 0, = 1,..., статический регулятор по выходу и^ = Кук, являющийся решением задачи 4-1, существует, если система неравенств

rjj - (еГ2а> det Ф;)1/пЧ <

- Vjlmw. *

R(Rj,Sj,K) P(Qj,RJ) D (К) 0

-<0,

Р (Qj,Rj) * *

0 -Vjlmu.. *

MQj,Rj,Sj,K) В(Rj,Sj,K) P(Qj,Rj)

C{Qj,Sj,K) D(/iT) 0

* * *

^0,

(81) (82)

(83)

P(Qj,Rj) ■■=

~Qj

0

0 -Ri

A{QhRhS5,K)

AuQj /1ц5, - SjAn + A12 + BUlKCy.

0

RjA

22

BiR^S^K) :=

C(Qj, Sj, К) := [ C2xiQ3 CZljSj + CZ2] + DZjUKCy2 } , D(ii') := DZjWj + DZj и КDyWj 1

Vj>- o, Qj> 0, Rj>- 0, j=l,...,N, (84)

где матрицы реализации определяются выражением (42) с учетом обозначений (59), разрешима относительно N скалярных переменных r/j, N вещественных (mWj х mW]) -матриц матрицы регулятора К и 3N матриц Qj ^ Rj и Sj.

В отличие от результатов теорем 4.2 и 4.1, применение линеаризующей замены переменных К. Шерера не требует существования общей квадратичной функции Ляпунова для всех ограничений (57) и потому не вносит дополнительного консерватизма в решение задачи синтеза.

С точки зрения обеспечения желаемого качества переходных процессов в замкнутой системе, большой интерес представляют решения задач синтеза анизотропийных субоптимальных регуляторов, обеспечивающих размещение полюсов замкнутой системы в заданной ЛМН-области комплексной плоскости. В работе18 ЛМН-областью называется любое подмножество Т> комплексной плоскости С, которое можно определить как Т> = {z 6 С: f-p(z) -< 0}, где fv(z) = L + zM + z*MT — характеристическая функция области Т>, L = LT и М — заданные вещественные матрицы. Определение ЛМН-области включает полуплоскости, вертикальные и горизонтальные полосы, диски, конусы, а также их любые пересечения. Известно, что любые пересечения ЛМН-областей также являются ЛМН-областями. ЛМН-области являются выпуклыми и симметричными относительно действительной оси. Любая выпуклая область комплексной плоскости, симметричная относительно действительной оси, может быть аппроксимирована ЛМН-областью с любой желаемой степенью точностью.

В задачах синтеза анизотропийного субоптимального регулятора заданного порядка и регулятора в виде статической обратной связи по выходу для объекта управления общего вида можно учитывать ограничения на расположение полюсов замкнутой системы в диске заданного радиуса с центром в начале координат Vr = {z € С: |z| < г}, г < 1. В случае динамического регулятора заданного порядка система ограничения (18)-(22) следствия 3.2 или ограничения (60)-(64) следствия 4.2 (для многокритериальной задачи)

"Chilali М. and Gahinct P. Design with pole placement constraints: an LMI approach // IEEE Trans. AC, 1996, Vol. 41, No. 3, p. 358-367.

BWlj + B,

щ KDyWj

SB,

RB,

W2j

Wj г

дополняются условиями

-гЯп -гЯп А+ВиОсСу ВиСс

-ПЭ22 *

*

ВсСу

-гРп *

Ас -гРп -ГР22

Р\ 1 Р12

эТ 12

^22

= ря = 1п.

Яп Я\2 ЯЪ Я22

При решении задач синтеза анизотропийного регулятора в виде статической обратной связи по выходу для объекта управления общего вида ограничения (37)-(40) следствия 3.4 или (76)-(80) следствия 4.3 (для многокритериальной задачи) дополняются условиями

-гЯ А + ВиКСу Ат + С^К^В? -гР

-<о, р>-о, я у о, ря = 1Пх.

Ограничения на расположение полюсов замкнутой системы в произвольной ЛМН-области можно учитывать в трех частных случаях, соответствующих определенной структуре объекта управления и регулятора. Предполагается, что заданная ЛМН-область представляет собой пересечение б' элементарных ЛМН-областей: V = П1=1Т>г С {г € С: \г\ < 1}, /и((г) = и + гМ{ + г*М?.

В случае, когда вектор состояния в объекте управления измеряется точно, и модель объекта управления описывается уравнениями (12) или, для многокритериальной задачи, уравнениями (55), где Су = 1Пх, Буи1 = 0, неравенства синтеза (23)-(25) теоремы 3.1 или система неравенств (68)-(70) теоремы 4.1 дополняются неравенствами18

Ь{ ® П + М1 ® (ЛП + ВиА) + М? ® (ПЛТ + ЛТВ*) ^ о, г= 1...5.

В случае, когда в задачах синтеза 3 и 4 порядок анизотропийного субоптимального регулятора равен порядку объекта и применяется линеаризующая замена переменных П. Гаинета, неравенства синтеза (27)-(30) теоремы 3.2 или система неравенств (72)-(75) теоремы 4.2 дополняются неравенствами17

п,

ф

11

+ Мц

+ М?

АПц + Виес А + ВиЪсСу лс ф ПА + ЪсСу

пи лт + е?вит л?

лт + дта)тс? лтфц + с?в?

+

-<0, г = 1... е.

Если объект управления характеризуется структурным свойством (41), т.е. Руц(г) = 0, и применяется линеаризующая замена переменных К. Шере-

ра, неравенства синтеза (43)-(45) теоремы 3.3 или система неравенств (81)-(84) теоремы 4.3 дополняются неравенствами

Ф 0 '

о я,

+ М?

Лц<2; - 5;Л22 + Аи + Ви1КСу2 о Я,Л22

С}{АТ

-А^ + АЪ + ^В] у О,

+

?т и1

<0,

о

АпЯг Д,>0, г = 1... Й.

Полученные результаты применяются для решения задачи синтеза ро-бастных анизотропийных субоптимальных регуляторов для систем, модели которых содержат неопределенные параметры, методами полуопределенного программирования и выпуклой оптимизации. Рассматривается объект управления, представленный дискретной линейной стационарной моделью с неопределенными параметрами Яд(г) с п^-мерным состоянием X, ттгю-мерным внешним входом IV, пги-мерным входом управления II, р2-мерным управляемым выходом Z и ру-мерным измеряемым выходом У. Модель объекта управления в пространстве состояний имеет вид

ВД :

Хк+1 ( " А вш ви

¿к = сг д» Ди +

Ук V . Су Е)ут 0

+

Яд Дд

д

'»Д \

Д(/Рд - ОддД)-1 [ С А 0Аи, ДДи]

Хк

т щ

(87)

где размерности всех матриц согласованы, рг ^ тпш, пара матриц (А,Ви) является стабилизируемой, а пара (А, Су) — детектируемой. Модель (87) содержит неопределенные (неизвестные) параметры, представленные матрицей Д £ М.тдХрд, удовлетворяющей условию ДТД =<! 7д21рл для известного числа 7д > 0, что эквивалентно <?(Д) ^ 7дг- Предполагается, что г!е1(/рд — ДддД) ф 0. Матричную передаточную функцию Яд (г) можно выразить через верхнее дробно-линейное преобразование Яд (г) = ^"„(Я, Д) = Руи + РугиА(1Рл — РгюА)~1 Рги, где Р{г) — передаточная функция номинальной модели объекта управления.

Модель в пространстве состояний (87) можно представить в эквивалентной форме с дополнительными рд-мерным выходом неопределенности и тд-мерным входом неопределенности 1Уд :

Ы*)

Хк+1 ' А ВА яш

2Д к Са £>дд

¿к сг Сг А Д»

Ук .сУ Дд Душ

ви Хк

Оап Ы'Ак

Ди ™к

0 ик

, 11) Ак = А гАк- (88)

Предполагается, что средняя анизотропия (3) последовательности внешнего возмущения IV не превосходит известного неотрицательного уровня а.

Пусть Т~т(г) — матричная передаточная функция замкнутой системы от возмущения IV к управляемому выходу 2Г, заданная нижним дробно-линейным преобразованием Т2Ш(г) = ^(Рд, К) = Т1(Ти{Р, А), К). Предполагается, что для объекта управления (88) и регулятора (89) выполняется условие Кимуры порядка щ : щ > пх — ти — ру. Общая постановка задачи синтеза анизотропийного субоптимального регулятора заданного порядка для объекта с неструктурированной неопределенностью, ограниченной по спектральной норме, следующая.

Задача 4.4. Для заданных объекта управления Рд с моделью в пространстве состояний (88), уровня средней анизотропии а ^ 0 внешнего возмущения Ш, числа 7д > 0 и некоторого желаемого порогового значения 7 > О, найти дискретный линейный стационарный регулятор по выходу К с моделью в пространстве состояний

ВД:

6+1 "Л вс'

ик

(89)

с щ-мерным состоянием Е = (£к)-оо<к<+х> стабилизирующий замкнутую систему и гарантирующий, что ее а-анизотропийная норма не превосходит порогового значения 7, т.е.

1Ыв < 7 (90)

для всех допустимых неопределенностей Д е Д, где Д:={Д£ Етд><РЛ:ст(Д) < 7д*}.

Для решения задачи 4.4 ставится вспомогательная многокритериальная задача синтеза анизотропийного субоптимального регулятора для вспомогательного объекта управления

Хк+1 А ВА вю Ви хк

¿Ак СА Сдд -Одш Р)Аи ™А к

сг С;А Р^гы Оги т

Ук .Су Р>уА Р)уш 0 щ

(91)

, в котором вход и выход

7

с расширенным управляемым выходом Z = £

/1

неопределенности Ша и ¿/д в каждый момент дискретного времени к связаны соотношением

Е|шДЛ|2 < 7д2ЕЫ|2. (92)

Задача 4.5. Для заданных вспомогательного объекта управления Р с моделью в пространстве состояний (91), (92), уровня средней анизотропии а ^ 0 внешнего возмущения IV, числа 7д > О и некоторого желаемого порогового значения 7 > О, найти дискретный линейный стационарный регулятор по выходу К заданного порядка щ с моделью в пространстве состояний (89), стабилизирующий замкнутую систему ^¡(Р, К) и обеспечивающий одновременное выполнение условий

Связь между решениями вспомогательной и исходной задач устанавливается следующей леммой.

Лемма 4.1. Пусть для замкнутой системы Т[{Р, К) с регулятором К вы-пол,няются неравенства (93), (94), т.е. регулятор К является решением задачи 4-5. Тогда для замкнутой системы ^(Рд, К) с тем же регулятором К неравенство (90) выполняется для всех Д £ Д, т.е. регулятор К является также решением задачи 4-4■ Обратное утверждение в общем случае неверно.

Задача 4.5 — частный случай задачи 4.1 синтеза многокритериального анизотропийного регулятора для вспомогательного объекта управления Р{г), представленного реализацией (91), с расширенным управляемым выходом 2 и двумя группами входов внешних возмущений IV и характеризующихся уровнями средней анизотропии ах = а и • +оо. Решения задач синтеза робастных анизотропийных субоптимальных регуляторов получены прямым применением следствия 4.1 (динамический регулятор по выходу заданного порядка), теоремы 4.1 (статическая обратная связь по состоянию), теоремы 4.2 (регулятор по выходу полного порядка) и следствия 4.3 (статическая обратная связь по выходу) к реализациям передаточных функций Тт„,д(г) с учетом предельного случая (10), (11). Неравенства синтеза регуляторов в виде статической обратной связи по состоянию и полного порядка по выходу могут дополняться ограничениями, обеспечивающими робастное расположение полюсов замкнутой системы в заданной ЛМН-области.

В главе 5 диссертационной работы рассматриваются примеры применения разработанных методов для синтеза систем управления техническими объектами. Регулярные методы синтеза субоптимальных и 7-оптимальных анизотропийных регуляторов на основе выпуклой оптимизации и полуопределенного программирования показали свою применимость для инженерной практики синтеза систем автоматического управления техническими объектами как в задачах стабилизации, так и в задачах слежения. Эти методы могут применяться для управления техническими системами с переменными параметрами, если множество значений этих параметров ограничено и

117Ы|а < 7, оо ^ ТА'

(93)

(94)

границы его известны. Подробно рассмотрены примеры решения задач синтеза устройства автоматического управления самолетом в режиме посадки в условиях ветровых возмущений и коррелированных шумов измерений, а также устройства автоматического управления угловым положением гиро-стабилизированной платформы (ГСП) в условиях неопределенных ограниченных внешних возмущений и коррелированных случайных помех. В этих примерах субоптимальные анизотропийные регуляторы продемонстрировали наилучшее качество подавления внешних возмущений и слежения при наименьших затратах на управление, а замкнутые системы с анизотропий-ными регуляторами обладают большей помехозащищенностью.

Приведем некоторые результаты решения задачи управления угловым положением ГСП с переменным кинетическим моментом гироблока (ГБ) под воздействием внешних возмущений в условиях шумов измерений. Упрощенная линейная математическая модель одноосного гиростабилизатора с учетом влияния качания ротора синхронного гистерезисного двигателя (СГД) на угловую погрешность имеет вид [5,6]

à(t) = ùja(t) = № = ù0{t) =

где a(t) — текущее угловое положение оси стабилизации ГСП; u>a(t) — текущая угловая скорость ГСП относительно оси стабилизации; (3{t) — текущее угловое положение оси прецессии чувствительного элемента (ЧЭ) ГБ; up(t) — текущая угловая скорость ЧЭ ГБ относительно оси прецессии; H(t)

— переменный кинетический момент ГБ; Но — номинальный кинетический момент ГБ; АЩ — амплитуда гармонического изменения кинетического момента ГБ; / — частота качания ротора СГД; Ja — момент инерции ГСП относительно оси стабилизации; Jp — момент инерции ЧЭ ГБ относительно оси прецессии; Кда — коэффициент вязкого трения в опорах карданова подвеса ГСП; Кдр — коэффициент вязкого трения жидкости ГБ; M™(t) — внешние возмущающие моменты относительно оси стабилизации ГСП; Мд(£) — внешние возмущающие моменты относительно оси прецессии ЧЭ ГБ; M£{t)

— управляющее воздействие от двигателя силовой стабилизации ГСП; M^(t)

— управляющее воздействие от двигателя силовой стабилизации ЧЭ ГБ.

В качестве внешних возмущений рассматриваются неопределенные сигналы конечной мощности. Шумы измерений представляют собой коррелированные гауссовские случайные сигналы с неизвестными параметрами закона распределения.

-ZfOubit) - + |m-(î) - ±MZ(t),

0(х Ja Ja Ja

w/j(i). (95)

ШШа{1) _ {t) + J_MJ(i) _ l_Mu{tl

Jfi J/i Jp Jp

H(t) = Ho + АЩ sin (2tt/î),

Для объекта управления (95) требуется синтезировать алгоритм управления, обеспечивающий приведение ГСП к заданному угловому положению и нечувствительность выбранных управляемых переменных по отношению к неопределенным внешним возмущениям и шумам измерений. Управление направлено на отслеживание входных команд ас, задающих требуемое угловое положение оси стабилизации ГСП, и обеспечение одновременной стабилизации в ноль текущего углового положения (3 оси прецессии ЧЭ ГБ в присутствии неизвестных внешних возмущающих моментов М™, Mj" и коррелированных шумов измерений па, пр угловых скоростей ша и и>р. Управление угловым положением ГСП требует знания не только текущих значений углов, но и текущих значений интегралов ошибки углового положения. Для решения задачи управления положением система (95) была расширена и приведена к стандартной форме объекта управления (55) для задачи многокритериального управления, где

x(i) = [J(ûc-û) a cja Jf3 р Шр Щ М£]т,

wx{t) = [ае М£ MJ]T,

w2(t) = [па п0 ]т,

u(t) = [ иа U0 ]т,

z(t) = [ ас - а (3 иа U0 ]т,

y(i) = ÎJ(ac-a) а + тга J/? ¡3 шр + п0]т

и в векторе внешних входов w(t) выделены две группы каналов ivi(t) (команды управления и внешние возмущающие моменты) и W2(t) (шумы измерений). Для достижения целей управления применяется регулятор в форме динамического компенсатора (56). Управляющие моменты Мр от двигателей силовой стабилизации формируются интегрированием сигналов управления на выходе регулятора:

K(t) = KUaua(t), Mu0{t) = Knpup{t),

где KUa, KUfj — статические коэффициенты усиления. Предлагаемая структура управляющего устройства позволяет избежать дифференцирования измеряемого значения текущего углового положения оси прецессии ЧЭ ГБ, но требует измерения текущих угловых скоростей ГСП и ЧЭ ГБ и двухкратного интегрирования измеряемых значений.

В силу ограниченности переменного кинетического момента ГБ H(t) G [Hq — AHq,Hq -1- ДЯо], задачу синтеза управления для модели с переменным параметром можно решать как задачу синтеза робастного управления для модели с неопределенным параметром. В этом случае переменный коэффициент H(t) в системе линейных уравнений (95) можно рассматривать как аффинный неопределенный параметр, принимающий любые значения из

известного интервала:

H(t) = Но + АН, АН 6 [—Д#о, АЯ0].

Для объекта управления Рд с моделью в пространстве состояний (88), известных уровней средней анизотропии ai,a2 ^ 0 внешних возмущений, заданных пороговых значений 71,72 > 0 и числа 7д > 0, найти дискретный линейный стационарный регулятор по выходу К полного порядка с моделью в пространстве состояний (89), стабилизирующий замкнутую систему и гарантирующий подавление влияния внешних возмущений на увеличение ошибки отработки команды ас с качеством не хуже заданного, т.е. выполнение неравенств

ll^illla, < 71, [||ГгШ2|||а2<72 для всех допустимых неопределенностей Д, удовлетворяющих условию а(Д) < 7Д1. Цель управления — отслеживание кусочно-постоянного задающего воздействия ас при одновременной стабилизации /3 — в рассматриваемой задаче достигается за счет включения ошибки слежения еа = ас — а и угла оси прецессии ЧЭ ГБ ¡3 в вектор управляемых переменных Z, а интегралов от ошибки слежения и угла оси прецессии j еа, J /3 — в вектор измерений У. Многокритериальный анизотропийный субоптимальный регулятор полного порядка Ка1/а2 был получен из решения задачи 4.5 для уровней средней анизотропии возмущений ai = 1.6, а2 = 0.6 и значения 7д = 1/(2Д#о) = 0.016667. Для сравнения управления и замкнутых систем был синтезирован Ti^/Ti^ регулятор К^/2-

Некоторые результаты решения задачи и моделирования замкнутых систем с различными регуляторами в условиях внешних возмущений и шумов измерений представлены в табл. 1 и проиллюстрированы на рис. 1-4. Опорные значения ас генерировались как ступенчатые сигналы со случайной амплитудой из диапазона от 0 до 90 град равной продолжительности 2 с. На диаграммах рис. 1-4 системе с регулятором Кж/2 соответствует обозначение W2/W00, системе с регулятором Kai/a2 — обозначение RMAC19. При моделировании замкнутых систем на входы внешних возмущающих моментов М™, Мр подавались периодические сигналы

Мак = -дл/^sign sin + Assign sin Wiropit + Kl"nMk,

Ml = AM$signsmLjMtk + Assign sin wmvtk + ^MnMb

где пм — гауссовский белый шум (рис. 4), > 20. На входы шумов измерений подавалась гауссовская последовательность с уровнем средней анизотропии а>2 = 0.6.

"Robust Multiobjective Anisotropic Controller — робастный многокритериальный анизотропийный регулятор

Таблица 1 . Управление положением ГСП. Сравнение замкнутых систем

Регулятор в цепи обратной связи __/ а-2 _|_Коо/2_

Результаты решения:

(7i) 4.2435 4.0875

(7j) 1.5056 1.728

ir~.li.. 1.0014 1.033662

ir-elo. 0.020269 0.019157

ЦТ», lloo 2.1318 2.6936

\\TzWl 1Ь 0.00038681 0.000576

Время ЦП, с 29.531 26.947

Результаты моделирования ЗС с переменным параметром:

max |а<.|, град 90 90

max |а|, град 120.4 138.1

max \ß\, град 2 2

max |wa|, град/с 1305 1582

тах|о^|, град/с 3083 2132

max г-см 4.563 ■ 105 4.631 ■ 105

max|M$|, г-см 2.226 • 10" 2.096 • 104

max |иа|, А 2.297 1.651

max \иц\, А 0.07861 0.09924

Рис. 1. Управление ГСП, модель с переменным параметром, задача слежения. Текущее угловое положение оси стабилизации ГСП а (верхняя диаграмма); ошибка текущего углового положения оси стабилизации ГСП еа (средняя диаграмма); текущее угловое положение оси прецессии ЧЭ ГБ /3 (нижняя диаграмма)

Рис. 2. Управление ГСП, модель с переменным параметром, задача слежения. Текущая угловая скорость ГСП относительно оси стабилизации и>а (верхняя диаграмма); текущая угловая скорость ЧЭ ГБ относительно оси прецессии шр (средняя диаграмма); переменный кинетический момент ГБ (нижняя диаграмма)

Соп1го1 асЬоге о) (огсе э1аЫ11гаЬоп т

Рис. 3. Управление ГСП, модель с переменным параметром, задача слежения. Управляющее воздействие от двигателя силовой стабилизации ГСП (верхняя диаграмма); управляющее воздействие от двигателя силовой стабилизации ЧЭ ГБ М| (нижняя диаграмма)

Рис. 4. Управление ГСП, модель с переменным параметром, задача стабилизации. Внешние возмущающие моменты (верхняя диаграмма), Мд (нижняя диаграмма)

Моделирование замкнутых систем выполнялось с учетом физических ограничений на угловое значение оси прецессии ЧЭ ГБ \(3\ ^ 2 град. Анализ результатов моделирования, представленных в табл. 1 и на рис. 1-3 показывает, что

• при отслеживании кусочно-постоянного задающего сигнала ас максимальное перерегулирование в ЗС с анизотропийным регулятором Ка1/а2 составляет 30.4 град (33.778%), а в ЗС с 'Нг1'Наа регулятором К^/2 — 48.1 град (53.444%);

• максимальная амплитуда управляющего воздействия от двигателя силовой стабилизации ГСП в системе с Н^/Ноа регулятором А"оо/2 больше на 6800 г-см (1.4684%), а от двигателя силовой стабилизации ЧЭ ГБ — меньше на 1300 г-см (5.8401%).

В задаче управления угловым положением ГСП с переменным кинетическим моментом ГБ в условиях неизвестных внешних возмущений (задача слежения) робастный многокритериальный анизотропийный регулятор Ка1/а2 обеспечивает наилучшее качество слежения и подавления внешних возмущений при наименьших затратах на управление.

В заключении диссертации подведены итоги проведенных исследований и сформулированы основные выводы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

1. Сформулирована и доказана частотная теорема для анизотропийной нормы в терминах неравенств.

2. Поставлена и решена задача синтеза анизотропийных субоптимальных регуляторов заданного порядка в виде динамической обратной связи по выходу методами полуопределенного программирования и численной оптимизации.

3. Поставлена и решена задача синтеза анизотропийных субоптимальных регуляторов в виде статической обратной связи по выходу методами полуопределенного программирования и численной оптимизации.

4. Разработаны методы синтеза анизотропийных 7-оптимальных регуляторов на основе выпуклой оптимизации.

5. Выполнены постановки многокритериальных задач анизотропийного управления и получены их решения.

6. Получено решение задачи синтеза анизотропийных субоптимальных регуляторов, обеспечивающих размещение полюсов замкнутой системы в заданной выпуклой области комплексной плоскости.

7. Разработаны методы решения задач синтеза робастных анизотропийных субоптимальных регуляторов для систем, модели которых содержат неопределенные параметры, на основе полуопределенного программирования и численной оптимизации.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Чайковский М.М. Синтез анизотроиийных субоптимальных регуляторов методами выпуклой оптимизации // Дифференциальные уравнения, 2012, Т. 48, № 2, с. 302-304.

2. Тимин В.Н., Чайковский М.М., Курдюков А.П. Решение задачи анизо-тропийной субоптимальной фильтрации методом выпуклой оптимизации // Доклады Академии Наук, 2012, Т. 444, № 6, с. 612-615.

3. Чайковский М.М., Курдюков А.П. Критерий строгой ограниченности анизотропийной нормы заданным значением в терминах матричных неравенств // Доклады Академии Наук, 2011, Т. 441, № 3, с. 318-321.

4. Чайковский М.М. Синтез статических субоптимальных анизотропийных регуляторов методами выпуклой оптимизации // Тезисы докл. XI Межд. сем. им. Е.С. Пятницкого "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления", Москва, ИПУ РАН, 2012, с. 334-336.

5. Межирицкий Е.Л., Никифоров В.М., Чайковский М.М., Егупов Н.Д. Ро-бастная стабилизация динамических систем в условиях неопределенности внешних возмущающих факторов методами выпуклой оптимизации // Доклады XIX Санкт-Петербургской межд. конф. по интегрированным навигац. сист., Санкт-Петербург, Россия, 28-30 мая, 2012.

6. Никифоров В.М., Сапожников А.И., Орлов С.В., Ширяев A.C., Виноградов И.Е., Чайковский М.М. Влияние импульса подмагничивания синхронного гистерезисного двигателя на угловую погрешность одноосного гиростабилизатора // Труды "ФГУП НПЦ АП" "Системы и приборы управления", 2012, 2, с. 3-21, М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана.

7. Чайковский М.М., Курдюков А.П. Оптимальный анизотропийный регулятор на основе наблюдателя Люенбергера минимального порядка // Труды 18-й Межд. конф. по авт. управл. "Автоматика 2011", Львов, Украина, 2011.

8. Чайковский М.М. Анизотропийная е-оптимальная редукция дискретной линейной стационарной системы // Автоматика и телемеханика, 2010, № 12, с. 86-110.

9. Чайковский М.М., Курдюков А.П. Программное обеспечение и вычислительные алгоритмы для редукции анизотропийных регуляторов методом сбалансированного отсечения // Труды конф. "Управление в технических системах", Санкт-Петербург, 12-14 октября 2010, с. 308-311.

10. Чайковский М.М. Синтез оптимального анизотропийного регулятора пониженного порядка при частичном отсутствии шумов измерений // Тез. докл. X Межд. сем. им. Е.С. Пятницкого "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления", Москва, ИПУ РАН, 2010.

11. Чайковский М.М., Курдюков А.П. Нормализованная задача анизотро-пийной стохастической ТСЖ оптимизации для редукции замкнутой системы методом сбалансированного отсечения // Автоматика и телемеханика, 2010, № 5, с. 53-69.

12. Курдюков А.П., Чайковский М.М. Робастный стохастический регулятор пониженного порядка для управления самолетом в условиях внешних возмущений // Докл. Межд. науч.-тех. конф. "Мехатроника, автоматизация и управление", Дивноморское, 28 сентября - 3 октября, 2009.

13. Чайковский М.М., Курдюков А.П. Робастное управление переходными процессами в энергетических системах // Доклады 4-й Международной конференции по проблемам управления, Москва, ИПУ РАН, 2009.

14. Чайковский М.М., Ядыкин И.Б. Оптимальная настройка ПИД-регуляторов для многосвязных билинейных объектов управления // Автоматика и телемеханика, 2009, № 1, с. 130-146.

15. Бойченко В.А., Курдюков А.П., Тимин В.Н., Чайковский М.М., Ядыкин И.Б. Некоторые методы синтеза регуляторов пониженного порядка и заданной структуры // Управление большими системами. Выпуск 19. М.: ИПУ РАН, 2007, с. 23-126.

16. Чайковский М.М. Нахождение сильно минимизирующего ранг решения линейного матричного неравенства // Автоматика и телемеханика, 2007, № 9, с. 96-105.

17. Чайковский М.М. Нахождение сильно минимизирующего ранг решения линейного матричного неравенства // Тезисы докл. IX Межд. сем. "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" имени Е.С. Пятницкого, Москва, ИПУ РАН, 31 мая - 2 июня, 2006.

18. Tchaikovsky М.М. Static output feedback anisotropic controller design by LMI-based approach: General and special cases // Proc. 2012 American Control Conf., Montreal, Canada, June 27-29, 2012.

19. Tchaikovsky M.M., Kurdyukov A.P., and Timin V.N. Strict anisotropic norm bounded real lemma in terms of inequalities // Proc. 18th IFAC World Congr., Milano, Italy, 2011.

20. Tchaikovsky M.M. and Kurdyukov A.P. Reduced-order stochastic robust controller design for aircraft control in landing approach // Proc. 18th IFAC Symp. on Automat. Contr. in Aerospace, Nara, Japan, September 6-10, 2010.

21. Kurdyukov A.P., Maximov E.A., and Tchaikovsky M.M. Anisotropy-based bounded real lemma // Proc. 19th Int. Symp. on Mathematical Theory of Networks and Systems, Budapest, Hungary, 2010, p. 2391-2397.

22. Tchaikovsky M.M. Stochastic robust flight control under windshear by reduced-order anisotropic controller // Archives of Control Sciences, 2009, Vol. 19(LV), No. 4, p. 385-422.

23. Tchaikovsky M.M. and Kurdyukov A.P. Anisotropy-based approximation of linear discrete time-invariant stochastic system // Proc. 4th Int. Scientific Conf. on Physics and Contr., Catania, Italy, 2009.

24. Tchaikovsky M.M. and Kurdyukov A.P. Stochastic robust controller reduction by anisotropic balanced truncation // Proc. 4th IEEE Multiconf. Syst. Contr., Saint-Petersburg, Russia, 2009, p. 1772-1777.

25. Tchaikovsky M.M. Anisotropic balanced truncation: Application to reduced-order controller design // AT&P J. Plus 2 (ISSN 1336-5010), 2009, p. 6-18.

26. Tchaikovsky M.M. and Kurdyukov A.P. On simplifying solution to normalized anisotropy-based stochastic Tt^o problem // Proc. 6th IFAC Symp. Robust Control Design, Haifa, Israel, 2009, p. 161-166.

27. Tchaikovsky M.M. Anisotropic balanced truncation: Application to reduced-order controller design // Proc. 17th International Conference on Process Control, Strbske Pleso, Slovakia, June 9-12, 2009, p. 14-27.

28. Yadykin I.B. and Tchaikovsky M.M. Optimal industrial controller tuning algorithms in view of constraints for stability margins // 13th IFAC Symp. on Inform. Contr. Probl. in Manufact., Moscow, Russia, June 3-5, 2009.

29. Kurdykov A.P., Tchaikovsky M.M., Misrikhanov M.S., and Ryabchenko V.N. LMI-Based robust controller design for power systems // Proc. Int. Conf. on Math. Probl. in Engineering, Aerospace and Sciences, Genoa, Italy, 2008.

30. Kurdyukov A.P. and Tchaikovsky M.M. Model reduction according to minimum anisotropic norm performance // Stability and Oscillations of Nonlinear Control Systems: Book of Abstracts of E.S. Pyatnitskiy X Int. Workshop, Moscow, 2008, p. 166-167.

31. Yadykin I.B. and Tchaikovsky M.M. PID Controller tuning for bilinear continuous time invariant MIMO system // Proc. of 3rd IFAC Symp. on System, Structure and Control, Iguassu Falls, Brazil, 2007.

32. Kurdyukov A.P. and Tchaikovsky M.M. Longitudinal robust anisotropic optimal flight control in a windshear // Prep. 17th IFAC Symp. on Automatic Control in Aerospace, Toulouse, France, 2007.

33. Kurdyukov A.P., Maximov E.A., and Tchaikovsky M.M. Homotopy method for solving anisotropy-based stochastic Tioo optimization problem with uncertainty // 5th IFAC Symp. Rob. Contr. Design, Toulouse, France, 2006.

34. Kurdyukov A.P., Maximov E.A., and Tchaikovsky M.M. Homotopy-based algorithm for computing stochastic Hoc-optimal controller for LTI-system with uncertainty // Proc. 7th International Technical Conference on Process Control, Kouty nad Desnou, Czech Republic, 2006.

35. Tchaikovsky M.M. and Kurdyukov A.P. On computing anisotropic norm of linear discrete-time-invariant system via LMI-based approach // Archives of Control Sciences, 2006, Vol. 16, No. 3, p. 257-281.

36. Kurdyukov A.P., Maximov E.A., and Tchaikovsky M.M. Computing anisotropic optimal controller for system with parametric uncertainty via homotopy-based algorithm // Proc. IV Int. Conf. "System identification and contr. probl.", Moscow, Jan. 30 - Feb. 2, 2006.

37. Tchaikovsky M.M. and Kurdyukov A.P. LMI-based approach to computing the anisotropic norm of linear discrete time-invariant system // Proc. 15th Int. Conf. on Process Control, Strbske Pleso, Slovakia, 2005.

В работах, опубликованных в соавторстве, личный вклад автора состоит в следующем: в [5, 7,23,24, 30] автору принадлежат постановки задач, формулировки и доказательства теорем, численные расчеты; в [3,11,19,26,35,37] автору принадлежат формулировки и доказательства теорем, численные расчеты; в [2,9,12,14,20,28,31-34,36] автору принадлежат вычислительные алгоритмы, численные расчеты; в [6,13,21,29] автор участвовал в численных расчетах и анализе моделей объектов управления.

Зак.85. Тир.120. ИПУ РАН.

Обозначения

Введение

1 Основные понятия анизотропийного анализа

1.1 Выводы к главе 1.

2 Частотная теорема для анизотропийной нормы

2.1 Частотная теорема для анизотропийной нормы в терминах неравенств.

2.2 Вычисление анизотропийной нормы методом выпуклой оптимизации

2.3 Предельные случаи.

2.4 Вычислительные эксперименты и сравнение с методом гомотопий.

2.5 Выводы к главе 2.

3 Синтез анизотропийных субоптимальных регуляторов методами выпуклой оптимизации

3.1 Постановка задачи синтеза.

3.2 Решение задачи синтеза.

3.2.1 Частотная теорема для анизотропийной нормы в задаче синтеза.

3.2.2 Статическая обратная связь по состоянию

3.2.3 Синтез регуляторов по выходу заданного порядка: выпуклые ограничения на взаимнообратные матрицы.

3.2.4 Регулятор по выходу полного порядка.

3.2.5 Статическая обратная связь по выходу

3.2.6 Синтез регулятора заданного порядка с помощью выпуклой оптимизации

3.3 Выводы к главе 3.

4 Многокритериальные задачи синтеза анизотропийных субоптимальных регуляторов. Синтез управления для систем с неопределенными параметрами

4.1 Постановка многокритериальной задачи анизотропийного управления.

4.2 Решение многокритериальной задачи анизотропийного управления.

4.2.1 Синтез регулятора по выходу заданного порядка

4.2.2 Синтез регулятора в виде статической обратной связи по состоянию.

4.2.3 Синтез регулятора по выходу полного порядка

4.2.4 Статическая обратная связь по выходу.

4.3 Размещение полюсов замкнутой системы в ЛМН-области комплексной плоскости.

4.4 Синтез анизотропийных субоптимальных регуляторов для систем с неопределенными параметрами.

4.4.1 Постановка робастной задачи анизотропийного управления.

4.4.2 Решение робастной задачи анизотропийного управления.

4.5 Выводы к главе 4.

5 Решение задач стабилизации и слежения в условиях случайных возмущений для технических систем методами субоптимального анизотропийного управления

5.1 Управление продольным движением самолета в режиме посадки в условиях ветровых возмущений и коррелированных шумов измерений.

5.1.1 Математическая модель продольного движения самолета. Постановка задачи управления.

5.1.2 Регуляторы полного порядка.

5.1.3 Регуляторы заданного порядка.

5.1.4 Статическая обратная связь по выходу.

5.2 Управление угловым положением гиростабилизированной платформы в условиях неопределенных ограниченных внешних возмущений и неточных измерений.

5.2.1 Математическая модель одноосного гиростабили-затора с переменным кинетическим моментом ги-роблока.

5.2.2 Робастная стабилизация ГСП в условиях случайных возмущений.

5.2.3 Робастное анизотропийное управление угловым положением оси стабилизации ГСП

5.3 Примеры из библиотеки COMPleib.

Актуальность темы. Задачи подавления неизвестных возмущений являются чрезвычайно важными задачами теории управления, неизбежно возникающими при проектировании современных систем управления техническими объектами. Как правило, системы автоматического управления работают в условиях помех, под влиянием неизвестных внешних воздействий, к которым относятся как возмущения, так и задающие команды; измеряемые значения сигналов содержат случайные ошибки; управляющие воздействия могут отрабатываться со случайными погрешностями. При этом параметры реального технического объекта управления могут отличаться от параметров математической модели этого объекта, для которой проектировался закон управления. Изменение параметров может быть обусловлено, в числе прочего, стохастической изменчивостью рабочей среды системы управления.

Для решения задач подавления возмущений в теории управления применяются разнообразные подходы. Задачу подавления возмущений можно сформулировать как задачу минимизации (ограничения) влияния этих возмущений на качество работы системы управления. Выбор критерия качества мотивируется различными предположениями о характере возмущений, действующих на систему. Широко известные задачи 7^2 и Л^ оптимизации линейных стационарных систем управления основаны на использовании Ti-2 и 7^оо норм в соответствующих пространствах Харди матричных передаточных функций. В задаче синтеза линейно-квадратичного гауссовского (ЛКГ) регулятора — линейного регулятора, минимизирующего квадратичный по состоянию и управлению функционал качества — предполагается, что внешнее возмущение является гауссовским белым шумом. Основы этого подхода были заложены в начале 60-х годов XX века в работах A.M. Летова и Р. Калмана. Такая задача является частным случаем более общей задачи "^-оптимизации, рассмотренной в работе Д. Дойла, К. Гловера, П. Харгонекара, Б. Фрэнсиса [68]. С другой стороны, если точная модель объекта управления недоступна или статистический характер внешнего возмущающего воздействия неизвестен, требуется другое базовое предположение. При использовании 7^оо-°птимального подхода предполагается, что внешнее возмущающее воздействие представляет собой сигнал, интегрируемый (суммируемый) с квадратом. Это направление было основано Д. Зеймсом в середине 80-х годов XX века и развивалось в работах Д. Дойла, У. Шейкеда, Б. Фрэнсиса, Д. Гу, П. Иглесиаса, К. Гловера, К. Шерера, К. де Сузы, Р. Скелтона, Т. Ива-саки, П. Гаинета, П. Апкаряна и многих других исследователей.

Задача о линейно-квадратичном регуляторе, называемая также задачей об аналитическом конструировании регуляторов, была одной из первых решенных задач оптимального управления по принципу обратной связи [15, 102]. В отличие от задач оптимального программного управления, например, от задачи оптимального быстродействия, ее решение формулируется в терминах обратной связи. Задача синтеза оптимального ЛКГ (TÎ2) регулятора, представляет собой задачу нахождения оптимальной линейной постоянной обратной связи по вектору состояния, восстановленному с помощью оптимального наблюдателя — фильтра Калмана [42, 68, 115, 144]. Для линейного стационарного объекта управления, функционирующего на бесконечном временном интервале, данная задача сводится к решению двух независимых алгебраических уравнений Риккати [115, 177]. Для непрерывных и дискретных систем эти уравнения Риккати имеют различный вид (непрерывное и дискретное алгебраические уравнения Риккати, соответственно).

7^оо-оптимизация составляет ядро современной линейной теории управления [48, 63, 68, 72, 74, 81, 82, 86, 90, 121, 153, 188, 189]. Первоначально задача была решена в частотной области с использованием теоремы Неванлинны-Пика [69, 72]. В работе [68] было получено полное решение задачи синтеза Hсубоптимального регулятора для непрерывного линейного стационарного объекта в пространстве состояний, которое сводится к решению двух независимых алгебраических уравнений Риккати ("2-Риккати подход"). Аналогичный подход к решению задачи Hoo-оптимизации дискретной линейной стационарной системы представлен в работах [74, 90, 121].

Стохастическая неопределенность случайных возмущений, рассматриваемая как различие между неточно известным распределением реального шума измерений и распределением его номинальной модели, может значительно ухудшить качество работы системы управления, если применяемая процедура синтеза регулятора основана на определенном законе распределения возмущения и предположении, что этот закон известен точно. Подобные ситуации могут также возникать из природного непостоянства условий рабочей среды системы управления. Так, И.2 и Ti^ регуляторы являются полностью эффективными лишь при достаточно точном выполнении базовых гипотез о внешних возмущениях. Известно, что 7i2 (или ЛКГ) регулятор может оказаться недостаточно эффективным в случае, если внешнее возмущение представляет собой сильно коррелированный шум [67], в то время как Tioo регулятор, проектируемый для наихудшего случая детерминированного возмущения [68], проявляет излишний консерватизм и требует избыточных энергетических затрат на управление, если внешнее возмущение представляет собой некоррелированный или слабо коррелированный случайный сигнал.

Одна из первых идей, направленных на преодоление указанного недостатка линейно-квадратичного гауссовского регулятора в случае, когда внешнее возмущение не является гауссовским белым шумом, была представлена в работе [100], посвященной некоторой модификации критерия качества. Эта идея привела к развитию целого класса задач в теории управления — управление системами, чувствительными к рискам [175, 176].

Идеи построения регуляторов, которые сочетали бы положительные качества ЛКГ (7^2) и Ню регуляторов (т.е. минимизировали линейно-квадратичный критерий качества и были бы достаточно робастны), возникли в начале 1990-х годов. В частности, можно выделить подход, предложенный Д. Бернстайном и В.Хаддадом в [51] и связанный с минимизацией И.2 нормы замкнутой системы при ограничениях на ее ТСоо норму. Эти идеи были расширены в [190, 142] на основе разделения внешних возмущений на сигналы с ограниченным спектром и ограниченной мощностью и применения смешанного И-ъ/^Ноо критерия качества. Решение задачи стохастического смешанного И.2/Т~Соо управления для дискретных систем получено в [125].

В основе другого подхода, разработанного Д. Мустафой и К. Гловером в [127], лежит минимизация функционала энтропии при ограничениях на TLqq норму замкнутой системы. Как показано в [79], задача синтеза регулятора, минимизирующего функционал Ноо энтропии, до известной степени эквивалентна задаче синтеза оптимального регулятора, чувствительного к риску. Множество работ посвящено задачам, связанным с минимизацией функционала энтропии, см. например [92, 128, 91, 184, 73].

Во всех перечисленных выше работах применяются методики, основанные на решении определенных (иногда перекрестно связанных) уравнений Риккати. Вопросам исследования алгебраических уравнений Риккати, играющих важную роль в решении задач оптимизации линейных систем, посвящено множество научных работ, например [41, 55, 88, 93, 94, 95, 101, 116, 117, 126, 133, 143, 145, 152, 154, 155, 158, 177, 178, 179, 181]. Существуют различные численные методы решения алгебраических уравнений Риккати: метод собственных векторов, метод Шура, обобщенные методы, методы матричнозначной функции, методы Ньютона, описание которых можно найти в монографиях [61, 116] вместе с подробной библиографической информацией. В результате появления и бурного развития во второй половине XX века эффективных численных методов решения задач выпуклой оптимизации [20, 130, 53, 54], вычислительные подходы с применением линейных матричных неравенств широко применяются для решения задач Н2 и Т^оо оптимизации [2, 39, 53, 56, 77, 75, 96, 153]. Численные методы решения задач выпуклой оптимизации, линейных матричных неравенств и вычислительные алгоритмы решения соответствующих задач управления реализованы в виде пакетов программ для современной системы инженерных и научно-технических расчетов MATLAB [78, 122] наряду с численными методами решения алгебраических уравнений Риккати.

В [103] смешанная 'Hij'Hoo задача была рассмотрена в терминах алгебраических неравенств (а не уравнений) Риккати и решена с помощью выпуклой оптимизации. С тех пор, как были разработаны эффективные алгоритмы внутренней точки [130, 52, 129], выпуклая оптимизация стала стандартной стратегией анализа и синтеза систем управления. Методы линейных матричных неравенств (ЛМН) и полуопределейного программирования зарекомендовали себя, как мощная и гибкая методика формирования проектных требований к разрабатываемой системе и синтеза регуляторов, применимая к широкому спектру линейных задач теории управления [53]. После того, как в [77, 96] было получено решение задачи синтеза Ноо регулятора с помощью JIMH, полуопределенное программирование успешно применяется для решения смешанных H.il'Hoo и многокритериальных задач управления [146, 58, 150, 123, 87, 134, 147, 45, 149, 47].

Один из подходов к подавлению неопределенных случайных возмущений на основе минимаксного управления был предложен в середине 1990-х годов C.B. Гусевым в [83]—[85] и впоследствии распространен на случай многомерных систем и синтез регуляторов с заданной структурой методами линейных и билинейных матричных неравенств в [148]. Вместо точного знания коэффициентов ковариации возмущения, при применении данного подхода требуется лишь, чтобы коэффициенты ковариации принадлежали известному множеству. Синтезируемый регулятор минимизирует наихудшую возможную асимптотическую дисперсию выхода для всех таких возмущений. Рассматриваемая задача является промежуточной между экстремальными И.2 и Ti^ сценариями синтеза и сводится к задаче робастного управления с неопределе-ностью в сигнале внешнего возмущения [148].

В то же время, другой перспективный подход на основе стохастического минимакса возник из идей И.Г. Владимирова, разработавшего анизотропийную теорию стохастического робастного управления, представленную в ряде работ [151, 7, 9, 173]. В свете этого подхода, робастность в стохастическом управлении достигается с помощью явного включения различных сценариев распределения шума в единый показатель качества, подлежащий оптимизации; статистическая неопределенность измеряется в терминах энтропии, а показатель робастного качества можно выбрать так, чтобы количественно охарактеризовать возможности системы по подавлению наихудшего внешнего возмущения. Главными понятиями анизотропийной теории стохастического робастного управления являются анизотропия случайного вектора и анизотропийная норма системы.

Функционал анизотропии, введенный И.Г. Владимировым, является энтропийной мерой отклонения вероятностного распределения в евклидовом пространстве от гауссовских распределений с нулевым средним и скалярными ковариационными матрицами. Средняя анизотропия стационарной случайной последовательности определяется как интенсивность анизотропии на единицу времени для достаточно длинных сегментов последовательности. Применительно к случайным возмущениям, действующим на систему, средняя анизотропия характеризует величину статистической неопределенности, понимаемой как несоответствие между неточно известным фактическим распределением шума и семейством номинальных моделей возмущения в виде стационарного дискретного гауссовского белого шума со скалярной ковариационной матрицей [173, 65].

Вторым базовым понятием теории И.Г. Владимирова является а-анизотропийная норма дискретной линейной стационарной системы (ДЛСС), количественно определяющая возможности системы по подавлению возмущений наибольшим отношением мощностной нормы выхода системы к мощностной норме ее входа при условии, что средняя анизотропия входного сигнала не превышает заданного неотрицательного уровня а [173, 65]. Обобщение анизотропийного анализа ро-бастного качества на конечный интервал времени было сделано в [6].

В контексте стохастического робастного управления, направленного на подавление потенциально неблагоприятного воздействия статистической неопределенности, анизотропийная теория предлагает важную альтернативу методам синтеза оптимального управления, основанным на точном знании закона распределения случайного внешнего возмущения. Минимизация критерия качества в виде анизотропийной нормы замкнутой системы приводит к стабилизирующему регулятору по выходу, который проявляет меньший консерватизм управления по сравнению с ТСоо регулятором и является более эффективным при подавлении коррелированных возмущений, чем ТС2 регулятор [65]. Решение задачи синтеза анизотропийного оптимального регулятора в пространстве состояний, полученное И.Г. Владимировым в [174], основано на решении трех перекрестно связанных алгебраических уравнений Риккати, алгебраического уравнения Ляпунова и уравнение относительно логарифма детерминанта положительно определенной матрицы. Получаемый в результате решения задачи синтеза оценивающий регулятор полного порядка (центральный регулятор) является единственным. Расширение этих результатов на класс объектов с параметрической неопределенностью было получено в [106, 13]. Но решение сложных систем перекрестно связанных уравнений требует разработки и применения специальных вычислительных алгоритмов на основе метода гомотопий [64]. Вместе с тем, применяемая процедура синтеза на основе решения уравнений не направлена на синтез анизотропий-ных регуляторов пониженного или заданного порядка (а также децентрализованных и многокритериальных регуляторов, регуляторов с заданной структурой), задачи синтеза которых до недавнего времени оставались открытыми.

Следует отметить, что задачи синтеза регуляторов пониженного (заданного) порядка трудны, поскольку даже задача стабилизации одномерного линейного стационарного объекта регулятором заданного порядка не является выпуклой в пространстве параметров регулятора. Методы синтеза регуляторов пониженного порядка можно разделить на два класса: прямые, в которых параметры регулятора вычисляются при помощи оптимизации или какой-либо другой процедуры, и косвенные, в которых сначала находится регулятор полного порядка, равного порядку объекта управления, и затем он упрощается "(редуцируется), либо сперва выполняется редукция модели объекта управления и для редуцированной модели строится регулятор полного порядка, который затем применяется для управления исходным объектом. Таким образом, одним из этапов косвенных методов синтеза регуляторов пониженного (заданного) порядка является редукция модели регулятора или объекта управления. Заметим, что задачи редукции модели также являются классическими в теории управления системами высоких порядков.

Косвенные методы синтеза анизотропийных регуляторов пониженного порядка, основанные как на редукции модели объекта управления, так и на редукции замкнутой системы и самого регулятора, были разработаны и представлены в [113, 166, 159, 167, 29]. В [166, 159] предложен метод сбалансированного отсечения для редукции анизотро-пийного оптимального регулятора, являющегося решением нормализованной задачи анизотропийной стохастической Л^ оптимизации [165]. Применение техники отсечения неизбежно приводит к некоторой потере качества замкнутой системы и накладывает ограничения на пониженный порядок регулятора из-за возможной неустойчивости замкнутой системы, состоящей из объекта полного порядка и регулятора пониженного порядка. В [113, 167, 29] получено решение задачи редукции (аппроксимации) модели по критерию минимума анизотро-пийной нормы передаточной функции модели ошибки редукции. Задача заключается в том, чтобы для заданной устойчивой многомерной дискретной линейной динамической модели полного порядка, на вход которой поступает последовательность случайных гауссовских векторов с ограниченной средней анизотропией, найти устойчивую реализацию пониженного порядка, минимизирующую анизотропийную норму передаточной функции модели ошибки редукции. Метод гарантирует устойчивость полученной модели пониженного порядка без каких-либо дополнительных технических предположений. Модель пониженного порядка аппроксимирует поведение исходной системы в установившемся режиме, но не отражает динамики переходного режима исходной модели, поскольку при редукции не учитывается расположение полюсов исходной и редуцированной систем. Косвенные методы синтеза анизотропийных регуляторов пониженного порядка в диссертационной работе не рассматриваются.

В диссертационной работе разработаны прямые регулярные методы решения задач синтеза субоптимальных анизотропийных регуляторов заданного порядка с помощью выпуклой оптимизации и полуопределенного программирования (ЛМН). Синтез анизотропийных субоптимальных регуляторов является естественным продолжением оптимального подхода, предложенного И.Г.Владимировым в [174]. Вместо минимизации анизотропийной нормы системы, субоптимальный регулятор стабилизирует замкнутую систему и обеспечивает ограниченность ее анизотропийной нормы заданным значением, т.е. гарантирует подавление случайных внешних возмущений, средняя анизотропия которых не превосходит известного уровня, с качеством не хуже заданного. В отличие от синтеза оптимального анизотропийного регулятора, решение субоптимальных задач синтеза приводит к некоторому семейству регуляторов, оставляя дополнительные степени свободы для определения некоторых дополнительных требований к замкнутой системе с целью достижения желаемого качества управления, например, требования заданного расположения полюсов замкнутой системы для достижения желаемого качества переходных процессов. Для решения задачи синтеза анизотропийного субоптимального регулятора требуется критерий проверки ограниченности анизотропийной нормы системы заданным значением. Частотная теорема для анизотропийной нормы, представленная в [110], является стохастическим аналогом известной частотной теоремы для нормы ДЛСС под воздействием статистически неопределенных стационарных гауссовских возмущений с ограниченной средней анизотропией. Полученный критерий сформулирован в виде неравенства относительно логарифма детерминанта матрицы, выраженной из решения алгебраического уравнения Риккати, зависящего от скалярного параметра. Аналогичный критерий для дискретных линейных нестационарных систем, сформулированный в виде неравенства, зависящего от дискретного времени, и разностного уравнения Риккати, получен в [124]. Достаточная версия частотной теоремы для анизотропийной нормы была сформулирована в [170, 171] как задача выпуклой оптимизации при ограничениях в виде строгого неравенства относительно детерминанта положительно определенной матрицы и ЛМН. Было показано, что ограничение на детерминант линейно зависит от квадрата порогового значения анизотропийной нормы, минимизация которого на выпуклом множестве позволяет вычислять а-анизотропийную норму ДЛСС из решения задачи выпуклой оптимизации [171]. В диссертационной работе получены результаты, направленные на применение мощной методологии полуопределенного программирования (ЛМН) и выпуклой оптимизации к синтезу анизотропийных субоптимальных и 7-оптимальных регуляторов в общем случае заданного порядка. Анизотропийные регуляторы являются мощной и гибкой альтернативой 7^2, 7~Соо и смешанным 7^2/7^00 регуляторам в задачах подавления случайных внешних возмущений с неточно известными распределениями. В сравнении с решением в пространстве состояний задачи синтеза анизотропийного оптимального регулятора, полученным ранее в [174], предлагаемый подход на основе численной оптимизации является новым и не требует разработки и применения специальных вычислительных алгоритма на основе метода гомотопий [64]. Разработанные процедуры анализа и синтеза являются привлекательными с вычислительной точки зрения и с точки зрения инженерной практики. Эти методы легко реализуются средствами некоммерческого программного обеспечения с открытым кодом, имеющегося в свободном доступе, для численного решения задач выпуклой оптимизации [157, 122].

В диссертационной работе рассматриваются примеры применения разработанных методов синтеза анизотропийных субоптимальных регуляторов для синтеза систем управления техническими объектами — задача управления самолетом в режиме посадки в условиях ветровых возмущений и коррелированных шумов измерений и задача управления угловым положением гиростабилизированной платформы в условиях неопределенных ограниченных внешних возмущений и коррелированных случайных помех, а также приводятся результаты решения задач синтеза регуляторов для ряда тестовых моделей.

Изложение диссертационной работы построено следующим образом.

В главе 1 приводится краткое изложение основ анизотропийного анализа линейных систем управления. Эти результаты известны и поэтому приводятся в обзорной форме со ссылками на первоисточники.

В главе 2 сформулирована и доказана частотная теорема для ани-зотропийной нормы, представляющая собой расширение известной частотной теоремы для "Н^ нормы на класс дискретных линейных стационарных систем, на вход которых поступают случайные воздействия, распределения которых известны неточно. Статистическая неопределенность измеряется с использованием функционала средней анизотропии. Возможности системы по подавлению возмущений количественно измеряются ее анизотропийной нормой, представляющей собой стохастический аналог 'Н0й нормы. Получен достаточный критерий строгой ограниченности анизотропийной нормы ДЛСС заданным пороговым значением. Этот критерий сформулирован в терминах реализации ДЛСС в пространстве состояний. Условия частотной теоремы для анизотропийной нормы выражены в виде строгого неравенства относительно детерминанта положительно определенной матрицы и ЛМН. Показано, что незначительная модификация этих условий позволяет эффективно вычислять анизотропийную норму ДЛСС из решения задачи выпуклой оптимизации.

В главе 3 предлагается подход к решению задач синтеза анизотропийных субоптимальных и 7-оптимальных регуляторов методами полуопределейного программирования и выпуклой оптимизации. Синтез анизотропийных субоптимальных регуляторов является естественным продолжением оптимального подхода, разработанного в [174]. Вместо минимизации анизотропийной нормы замкнутой системы, субоптимальный регулятор гарантирует, что ее норма не превосходит заданного порогового значения. Общая процедура синтеза регулятора заданного порядка сводится к решению неравенства относительно детерминанта положительно определенной матрицы и двух ЛМН относительно взаимнообратных матриц, задача оптимизации не является выпуклой. Матрицы параметров регулятора непосредственно входят в ЛМН синтеза, что позволяет накладывать на реализацию регулятора некоторые структурные требования для синтеза, например, децентрализованного управления или регулятора заданной структуры. Применением стандартных процедур овыпукления (линеаризующих замен переменных и введения дополнительных переменных) показано, что результирующие задачи оптимизации можно сделать выпуклыми для задач синтеза регуляторов в виде статической обратной связи по состоянию, регуляторов полного порядка по выходу и регуляторов в виде статической обратной связи по выходу для некоторых классов объектов, определяемых их структурными свойствами. Для этих задач можно найти анизотропийные 7-оптимальные регуляторы из решения задач выпуклой оптимизации. Предлагаемый подход к синтезу регуляторов на основе полуопределенного программирования и выпуклой оптимизации является новым и не требует разработки специальных вычислительных алгоритмов на основе метода гомотопий.

В главе 4 решается многокритериальная задача анизотропийного управления для стандартного объекта управления, в котором можно выделить группы каналов от входов внешних возмущений с различными уровнями средней анизотропии к управляемым выходам, методами полуопределенного программирования и выпуклой оптимизации. Также рассматривается решение задачи синтеза анизотропийного субоптимального регулятора, обеспечивающего размещение полюсов замкнутой системы в заданной выпуклой области комплексной плоскости для ряда частных случаев структуры объекта управления и регулятора. Полученные результаты применяются для решения задачи синтеза робастных анизотропийных субоптимальных регуляторов для систем, модели которых содержат неопределенные параметры.

В главе 5 рассматриваются примеры применения разработанных методов синтеза анизотропийных субоптимальных регуляторов для синтеза систем управления техническими объектами — задача управления самолетом в режиме посадки в условиях ветровых возмущений и коррелированных шумов измерений и задача управления угловым положением гиростабилизированной платформы в условиях неопределенных ограниченных внешних возмущений и коррелированных случайных помех, а также приводятся результаты решения задач синтеза регуляторов для ряда тестовых моделей.

Целью диссертационной работы является разработка регулярных методов синтеза субоптимальных анизотропийных стохастических ро-бастных регуляторов для управления дискретными линейными стационарными системами под воздействием случайных возмущений, а также распространение стандартных методов выпуклой оптимизации и полуопределенного программирования (ЛМН) на решение задач синтеза анизотропийных субоптимальных и 7-оптимальных регуляторов для эффективного подавления случайных внешних возмущений с неточно известными распределениями.

Методы исследования. В диссертационной работе применяются методы математической теории управления, оптимизации функций многих переменных, линейной алгебры и линейных матричных неравенств, а также компьютерное моделирование.

Научная новизна. Результаты, полученные в диссертационной работе, постановки задач и методы их решения являются новыми в анизотропийной теории стохастического робастного управления. К основным новым результатам относятся следующие. Сформулирована и доказана частотная теорема для анизотропийной нормы в терминах неравенств. Решены задачи синтеза анизотропийных субоптимальных регуляторов заданного порядка в виде динамической обратной связи по выходу и анизотропийных субоптимальных регуляторов в виде статической обратной связи по выходу методами полуопределенного программирования (ЛМН) и численной оптимизации. Разработаны регулярные методы синтеза анизотропийных 7-оптимальных регуляторов на основе полуопределенного программирования и выпуклой оптимизации. Получено решение многокритериальных задач анизотропийно-го управления, а также синтеза анизотропийного субоптимального регулятора, обеспечивающего размещение полюсов замкнутой системы в заданной области комплексной плоскости. Получено решение задачи синтеза робастных анизотропийных субоптимальных регуляторов для систем, модели которых содержат неопределенные параметры, методами полуопределенного программирования и численной оптимизации.

Теоретическая ценность. Результаты диссертационной работы являются развитием методов математической теории управления линейными системами и позволяют решать задачи анизотропийного анализа систем, а также осуществлять синтез новых линейных робастных регуляторов, характеризующихся меньшим консерватизмом, т.е. меньшими энергетическими затратами на управление, при подавлении неопределенных коррелированных случайных внешних возмущений в сравнении с широко используемыми в настоящее время ТСоо и ^г/Т^с© регуляторами. Благодаря распространению методов выпуклой оптимизации и техники линейных матричных неравенств на решение задач анизотропийной теории стохастического робастного управления разработаны регулярные методы синтеза анизотропийных регуляторов (в том числе пониженного и заданного порядка), обеспечивающих также желаемую динамику переходных процессов в замкнутой системе посредством размещения полюсов в заданной области и робастную устойчивость систем с неопределенными параметрами. Разработанный и применяемый в диссертационной работе метод используется для решения задач анизотропийной 7-оптимальной фильтрации. Появилась возможность применения анизотропийной нормы наряду с другими критериями качества и спецификациями, сформулированными в терминах ЛМН, в стандартных современных многокритериальных задачах управления. Дальнейшее развитие результатов диссертационной работы приводит к решению задач децентрализованного анизотропийного управления и одновременного анизотропийного управления множественными объектами.

Практическая ценность. Регулярные методы синтеза субоптимальных и 7-оптимальных анизотропийных регуляторов, разработанные в диссертационной работе, показали свою применимость для инженерной практики синтеза систем автоматического управления техническими объектами как в задачах стабилизации, так и в задачах слежения. Эти методы могут применяться для управления техническими системами с переменными параметрами, если множество значений этих параметров ограничено и границы его известны. Подробно рассмотрены примеры решения задач синтеза устройства автоматического управления самолетом в режиме посадки в условиях ветровых возмущений и коррелированных шумов измерений, а также устройства автоматического управления угловым положением гиростабилизиро-ванной платформы в условиях неопределенных ограниченных внешних возмущений и коррелированных случайных помех. В этих примерах субоптимальные анизотропийные регуляторы продемонстрировали наилучшее качество подавления внешних возмущений и слежения при наименьших затратах на управление по сравнению с традиционным в общемировой практике Н.2, Ноо и 71,2/Н-оо управлением, а замкнутые системы с анизотропийными регуляторами характеризуются большей помехозащищенностью.

Реализация результатов работы. На основе результатов диссертационной работы совместно с ФГУП "НПЦ Автоматики и приборостроения им. акад. Н.А.Пилюгина" разработаны методы расчета системы управления одноосным силовым гиростабилизатором, элементом инерциальной навигационной системы [17]. Методы показали достаточную простоту и пригодность для применения в инженерной практике. Для их численной реализации может использоваться некоммерческое программное обеспечение с открытым кодом.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Частотная теорема для анизотропийной нормы в терминах неравенств.

2. Синтез анизотропийных субоптимальных регуляторов заданного порядка в виде динамической обратной связи по выходу методами полуопределейного программирования и численной оптимизации.

3. Синтез анизотропийных субоптимальных регуляторов в виде статической обратной связи по выходу методами полуопределенного программирования и численной оптимизации.

4. Синтез анизотропийных 7-оптимальных регуляторов методами выпуклой оптимизации.

5. Решение многокритериальных задач анизотропийного управления.

6. Решение задач синтеза анизотропийных субоптимальных регуляторов, обеспечивающих размещение полюсов замкнутой системы в заданной выпуклой области комплексной плоскости.

7. Решение задач синтеза робастных анизотропийных субоптимальных регуляторов для систем, модели которых содержат неопределенные параметры, методами полуопределенного программирования и численной оптимизации.

Апробация результатов работы. Результаты диссертационной работы неоднократно докладывались и обсуждались на семинарах по теории автоматического управления и оптимизации Лаборатории №7 им. академика Я.З. Цыпкина адаптивных и робастных систем ИПУ РАН, на научных семинарах рабочей группы Методов и алгоритмов в управлении Лаборатории анализа и архитектуры систем CNRS, Тулуза, Франция (Groupe MAC, LAAS-CNRS, Toulouse, France), Лаборатории сигналов и систем университета SUPELEC, Париж, Франция (Laboratoire de Signaux et Systèmes, SUPELEC, Paris, France), на Санкт-Петербургском Городском семинаре по теории управления (ИПМаш РАН, Санкт-Петербург), на семинарах по теории автоматического управления Лаборатории №1 динамических информационно-управляющих систем ИПУ РАН, на семинаре "Проблемы нелинейной динамики: качественный анализ и управление" Кафедры нелинейных динамических систем и процессов управления факультета ВМК МГУ, а также на различных научных симпозиумах и конференциях: на IX, X, XI Международных семинарах им. Е.С. Пятницкого "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" (Москва, ИПУ РАН, 2008, 2010, 2012), 17-й Международной конференции по управлению процессами РС'09 (Штрбске Плесо, Словакия, 9-12 июня 2009 г.), 6-м Симпозиуме ИФАК по синтезу робастного управления IFAC ROCOND'09 (Хайфа, Израиль, 16-18 июня 2009 г.), 3-й Мульти-конференции IEEE по системам и управлению IEEE MSC'09 (Санкт-Петербург, Россия, 8-10 июля 2009 г.), 4-й Международной научной конференции по физике и управлению PHYSCON'09 (Катания, Италия, 1-4 сентября 2009 г.), Международной научно-технической конференции "Мехатроника, автоматизация и управление" (Дивноморское, Россия, 28 сентября-3 октября 2009 г.), 19-м Международном симпозиуме по математической теории сетей и систем MTNS'10 (Будапешт, Венгрия, 5-9 июля 2010 г.), 18-м Симпозиуме ИФАК по управлению в авиации и космонавтике IFAC АСА'10 (Нара, Япония, 6-10 сентября 2010 г.), Конференции "Управление в технических системах" УТС-2010, (Санкт-Петербург, Россия, 12-14 октября 2010 г.), 18-м Всемирном конгрессе ИФАК (Милан, Италия, 28 августа-2 сентября 2011 г.), 18-й Международной конференции по автоматическому управлению "Автоматика 2011" (Львов, Украина, 2011 г.), XIX Санкт-Петербургской международной конференции по интегрированным навигационным системам, (Санкт-Петербург, 28-30 мая, 2012 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 13 статей в рецензируемых журналах [164, 26, 4, 37, 159, 160, 29, 33, 36, 30, 24, 18, 19] (5 без соавторов), из них 9 статей в журналах, включенных в международные индексы цитирования ISI Web of Science и Scopus [164, 26, 37, 160, 29, 33, 36, 30, 24] (4 без соавторов); 26 работ в сборниках трудов всероссийских и международных конференций [163, 108, 25, 109, 107, 112, 182, 113, 114, 183, 161, 165, 166, 167, 32, 14, 28, 110, 168, 34, 170, 35, 17, 31, 17, 162], в их числе 10 работ в рецензируемых сборниках трудов международных конференций, симпозиумов и конгрессов ИФАК, IEEE, MTNS [107, 112, 182, 183, 165, 166, 110, 168, 170, 162], а также 4 работы в рецензируемых сборниках трудов других международных конференций [163, 109, 161, 167].

Личный вклад соискателя. Все исследования, представленные в диссертационной работе, постановки и решения задач, формулировки и доказательства теорем, вычислительные эксперименты выполнены лично соискателем в процессе научной деятельности. Из совместных публикаций в диссертацию без ссылки включен лишь тот материал, который непосредственно принадлежит соискателю.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, выводов и списка литературы (190 источников), содержит 62 рисунка, 13 таблиц. Объем диссертации 192 страницы.

4.5 Выводы к главе 4

В этой главе получено решение многокритериальной задачи анизотро-пийного управления для стандартного объекта управления, в котором можно выделить несколько групп каналов от входов внешних возмущений с различными уровнями средней анизотропии к управляемому выходу, методами полуопределенного программирования и выпуклой оптимизации. Общая процедура синтеза многокритериального анизо-тропийного субоптимального регулятора заданного порядка сводится к решению системы неравенств относительно детерминантов положительно определенных матриц и ЛМН относительно взаимнообрат-ных матриц, задача оптимизации не является выпуклой. Применением стандартных процедур овыпукления, рассмотренных в главе 3, показано, что результирующие задачи оптимизации можно сделать выпуклыми для задач синтеза регуляторов в виде статической обратной связи по состоянию, регуляторов полного порядка и регуляторов в виде статической обратной связи по выходу для класса объектов управления, обладающих структурным свойством Руи(г) — 0. Также приводятся решения задач синтеза анизотропийных субоптимальных регуляторов, обеспечивающих размещение полюсов замкнутой системы в заданной ЛМН-области комплексной плоскости для ряда частных случаев структуры объекта управления и регулятора. Расположение полюсов замкнутой системы в заданной ЛМН-области обеспечивает желаемое качество переходных процессов. Показано, что ограничения на расположение полюсов замкнутой системы в произвольной ЛМН-области можно учитывать при решении трех задач синтеза анизотропийных субоптимальных и 7-оптимальных регуляторов методами ЛМН и выпуклой оптимизации — задачи управления при точном измерении вектора состояния объекта управления, задачи синтеза динамического регулятора полного порядка и задачи синтеза регулятора в виде статической обратной связи по выходу для объекта, характеризующегося структурным свойством Руи(г) = 0. В задачах синтеза анизотропийного субоптимального регулятора заданного порядка и регулятора в виде статической обратной связи по выходу для объекта управления общего вида можно учитывать ограничения на расположение полюсов замкнутой системы в диске заданного радиуса с центром в начале координат.

Полученные результаты применяются для решения робастной задачи анизотропийного субоптимального управления для объекта с неструктурированной параметрической неопределенностью с ограниченной спектральной нормой. Исходная задача синтеза для объекта с параметрической неопределенностью сводится к задаче синтеза для вспомогательного объекта с определенными параметрами, расширенным управляемым выходом, включающим выход неопределенности, и дополнительным входом неопределенности. Задача синтеза для вспомогательного объекта управления представляет собой задачу синтеза многокритериального анизотропийного субоптимального регулятора. Общая процедура синтеза робастного анизотропийного субоптимального регулятора заданного порядка сводится к решению неравенства относительно детерминанта положительно определенной матрицы и трех ЛМН относительно двух пар взаимнообратных матриц, задача оптимизации не является выпуклой. Применение стандартных линеаризующих замен переменных, рассмотренных в главе 3, позволяет сделать выпуклыми результирующие задачи оптимизации для задач синтеза регуляторов в виде статической обратной связи по состоянию (в случае полной информации о векторе состояния) и динамических регуляторов полного порядка по измеряемому выходу. В этих задачах синтеза можно учитывать ограничения на размещение полюсов замкнутой системы в заданной ЛМН-области для всех допустимых неопределенностей, применяя результаты работы [57] по квадратичной ^-устойчивости систем с неопределенностью.

Глава 5

Решение задач стабилизации и слежения в условиях случайных возмущений для технических систем методами субоптимального анизотропийного управления

В этой главе рассматриваются примеры решения задач синтеза анизо-тропийных 7-оптимальных и субоптимальных регуляторов методами выпуклой оптимизации и полуопределенного программирования для управления техническими системами — задача управления самолетом в режиме посадки в условиях ветровых возмущений и коррелированных шумов измерений и задача управления угловым положением ги-ростабилизированной платформы в условиях неопределенных ограниченных внешних возмущений и коррелированных случайных помех. Приводятся результаты решения задач синтеза субоптимальных ани-зотропийных регуляторов для ряда тестовых моделей из коллекции COMPleib [119, 120].

Все вычисления выполнялись в системе MATLAB 7.9.0 (R2009b) средствами пакетов Control System Toolbox и Robust Control Toolbox в сочетании с интерфейсом YALMIP [122] и решателем SeDuMi [157] на процессоре Р8700 2 х 2.53 ГГц. Ограничения, содержащие детерминант положительно определенной матрицы, формируются в интерфейсе YALMIP с помощью функции geomean, возвращающей геометрическое среднее собственных чисел симметричной матрицы-аргумента.

5.1 Управление продольным движением самолета в режиме посадки в условиях ветровых возмущений и коррелированных шумов измерений

Рассмотрим решение задачи управления продольным движением самолета при заходе на посадку по глиссаде с заданным углом наклона в условиях сдвига ветра при наличии шума измерений и органов управления, иллюстрирующее метод анизотропийного сбалансированного отсечения, изложенный в главе 3. Эта задача решена в [111] с помощью анизотропийного оптимального регулятора полного порядка. Полученный регулятор стабилизирует линеаризованную модель объекта управления в отклонениях от желаемых значений переменных состояния при движении по глиссаде с заданным углом наклона в присутствии детерминированного (сдвиг ветра) и стохастических возмущений.

5.1.1 Математическая модель продольного движения самолета. Постановка задачи управления

Продольное движение самолета с учетом ветровых возмущений в скоростной системе координат (касательная и нормаль к траектории полета) описывается следующей системой нелинейных дифференциальных уравнений [3, 5] mV = Т cos а — D — mg sin 9 — m(wx cos 9 + wy sin 9), mV9 — T sin a + L — mg eos 9 + m(wx sin 9 — wy eos 9),

JZÜJZ = Mz, & = где m — масса самолета, V — воздушная скорость, Т — сила тяги, а — угол атаки, D — сила лобового сопротивления, д — ускорение свободного падения, 9 — угол наклона траектории полета, wx и wy — полные градиенты горизонтальной и вертикальной составляющих скорости ветра в инерциальной системе отсчета, соответственно, L — подъемная сила, Jz — момент инерции относительно поперечной оси z самолета, uz — угловая скорость относительно поперечной оси 2 самолета, Mz — момент тангажа и $ — а + 9 — угол тангажа (см. рис. 5.1).

5.1)

Продольная ось самолета

P = mg

Рис. 5.1. К задаче управления продольным движением самолета. Система координат и переменные

Эти уравнения справедливы в предположении, что самолет жесткий, направление силы тяги совпадает с осью самолета, масса самолета постоянна, Земля плоская, ветер стационарный [5]. Также, модель (5.1) не содержит аналитических зависимостей для силы лобового сопротивления Б, подъемной силы Ь, момента инерции самолета ,/2 и момента тангажа М2. Предполагается, что значения этих переменных являются табличными значениями, полученными в результате экспериментов, и выбираются из соответствующих таблиц при линеаризации нелинейной модели (5.1) [22, 23].

Сила тяги Т и угол атаки а являются переменными управления в уравнениях (5.1) и в свою очередь зависят от отклонения сектора газа и обобщенного руля высоты самолета 5е, соответственно. Таким образом, управление самолетом в продольной плоскости реализуется с помощью обобщенного руля высоты 5е и сектора газа бг

Дифференциальное уравнение для высоты центра масс самолета имеет вид к = Уътв + <шу. (5.2)

Динамика двигателя описывается следующим уравнением

АТ=±-(-АТ + КеА5г), (5.3) е где Те — постоянная времени двигателя, Ке — некоторый заданный числовой коэффициент и — отклонение сектора газа от предписанного значения.

Отклонение обобщенного руля высоты Д^ с учетом контура короткопериодического движения формируется следующим образом

А 6е = Ки,Ашг + К#М + КсуМ су 1 где КШг, и Ксу некоторые заданные числовые коэффициенты,

А 19су — сигнал управления, формируемый регулятором.

Анизотропийный, линейно-квадратичный гауссовский и Л^ регуляторы синтезированы для модели самолета ТУ-154 при заходе на посадку по глиссаде с углом наклона = —2.7град. Нелинейные уравнения (5.1)—(5.3), описывающие продольное движение самолета, линеаризованы в точке траектории

Уо = 71.375 м/сек, во — —2.7 град, и>г0 = 0 сек-1 $о = 0 град, Но = 600 м, Т0 = 52540 Н.

Стандартная линеаризованная дискретная стационарная модель объекта управления (3.1) была получена для значения шага дискретизации 0.01 с, имеет порядок п = 6. В окрестности заданной глиссады продольное движение самолета аппроксимируется дискретной линеаризованной моделью в отклонениях (3.1), где

- [АУк А9к Асог>к А$к АИк АТк]т, и2,к пу1,к пу2,к "1Т

Хк

IVк — [ П.'щ,к ^"¡¿2,к Т1у1,к П'У2,к ] } = [ Д6су,к Ад^к ] , щ Ук [ АУк АКк Ат9су1к А5г,к]\ = [ АУк + Пуик А¡ък + пУък ]т, где Ук — воздушная скорость самолета; вк — угол наклона траектории; со2!к — угловая скорость тангажа; — угол тангажа; кк — высота центра масс; Тк — тяга двигателей; 9су^ — управление обобщенными рулями высоты; — управление сектором газа; пиик, пи2>к, пУък, пУ2,к — шумы приводов и измерений. Матрицы реализации модели в пространстве состояний имеют вид

А =

0.9994 0.0022 0.0001 0

-0.0005 0

-0.0008 0.9938 0.0052 0

0.0124 0 0

0.0011 0.9842 0.0099 0 0

-0.0009 0.0072 -0.0154 0.9999 0 0

0.0009 0 0 0 0

0.9960 д.

Д, = о о о о 0 01 о

0 0

-0 0012 0

0 0117 0

0 0001 0

0 0

0 0 004

-0 01 0 0005

-0 0004 -0 008

0 0

0 0

0 0

0 0

000 yw — 0 0 0

Cv —

О О О О о о о о

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 ся =

В Z1I. 1 0 0 0 0 0 "

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 о h

5.1.2 Регуляторы полного порядка

Анизотропийный 7-оптимальный регулятор полного порядка Ка был получен из решения задачи выпуклой оптимизации (3.51) по теореме 3.2 Реализация в пространстве состояний анизотропийного 7-оптимального регулятора Ка была вычислена для уровня средней анизотропии возмущения а = 0.7; реализации 7i2 и Tt^ регуляторов К2 и Kqo были вычислены функциями пакета Robust Control Toolbox системы MATLAB h2syn (решение уравнений Риккати) и hmf syn (JIMH) Реализации синтезированных регуляторов приводятся ниже:

К2 =

0 9901 -0 0008 0 -0 0009 -0 000133 0 0009 0 009301 0 000133

0 002025 0 9962 0 001999 0 008616 -0 002482 6 243 10"5 0 0009729 0 003669

-0 007851 -0 01844 0 9754 -0 0292 -0 01198 -0 0006086 0 0001711 0 0003985

-0 0001271 -0 0002021 0 009825 0 9998 -0 001113 -5 202 10"6 6 059 10"5 0 001014

-0 0006442 0 0124 0 0 0 9862 0 0 0001442 0 01381

-0 003035 -0 0006769 -0 0001388 -0 0001432 -0 0004761 0 9954 0 0

-0 6649 -2 021 -0 749 -1 18 -0 9897 -0 05202 0 0

-0 7587 -0 1692 -0 03469 -0 03581 -0 119 -0 1572 0 0

0 9959 -0 0001701 -0 0009358 -0 001023 0 005572 0 01975 1 698 0 7115

-0 001248 0 9946 0 007195 -0 0001598 -0 00115 0 002974 0 2287 0 1535

0 003114 -0 01651 0 9865 0 0004621 0 01104 -0 004157 -0 02124 -0 06646

0 0009071 0 0004571 -0 002899 0 9953 -0 00819 0 006493 -5 48 -1 223

-0 001239 -0 004594 -0 002913 -0 0006268 0 9905 -0 003993 22 7 1 848

-0 0006717 -0 0216 -0 0315 -0 06266 0 007809 0 9647 79 44 34 71

5 558 10"ь 4 835 10"ь -2 522 10"ь 0 0006601 0 002001 -0 001502 -0 08091 -0 05013

1 122 10"5 4 891 Ю-5 7 805 10"5 0 0001031 -0 0005779 -0 001997 -0 1794 -0 07335

0 9953 -0 01065 0 0009194 0 001878 0 001211 -0 0018 0 005824 0 002953

0 01093 0 9835 0 001251 0 001524 0 001613 -0 003523 0 01302 -0 004987

-0 004656 0 005729 0 9938 -0 0003104 -0 0007016 -0 003079 0 01889 0 009435

0 0032 -0 03714 0 009426 0 9808 -0 003764 0 005483 0 01575 -0 2312

-0 004986 0 09533 -0 01069 0 05927 0 9833 0 009611 -0 2954 0 9168

0 1371 -0 23 0 3707 -0 1227 -0 004499 0 805 -5 644 -2 599

0 01302 -0 007612 0 02119 -0 0378 -0 06662 0 1193 -0 3646 -0 1998

0 01882 -0 02973 0 05876 -0 01479 0 01373 0 2482 -0 778 -0 3508

Результаты моделирования замкнутых систем в условиях сдвига ветра и шумов измерений представлены вместе с результатами решения задачи в табл 5 1 и проиллюстрированы на рис. 5.2-5.7. При моделировании применялся типичный профиль ветра, описываемый моделью в форме вихревого кольца [98].

В заключение сформулируем основные выводы и перечислим основные результаты диссертационной работы:

1. В диссертационной работе представлены новые методы синтеза субоптимальных анизотропийных стохастических робастных регуляторов (в том числе пониженного и заданного порядков) для управления дискретными линейными стационарными системами (ДЛСС) в условиях случайных возмущений. Новые методы синтеза регуляторов разработаны в результате распространения стандартных методов выпуклой оптимизации и полуопределенного программирования на решение задач синтеза анизотропийных субоптимальных и 7-оптимальных регуляторов.

2. Сформулирована и доказана частотная теорема для анизотропий-ной нормы в терминах неравенств. Полученный результат применяется для проверки строгой ограниченности анизотропийной нормы ДЛСС заданным пороговым значением. Критерий имеет вид системы неравенств, состоящей из линейного матричного неравенства (ЛМН) и неравенства относительно детерминанта положительно определенной матрицы и скалярного параметра. Частотная теорема для анизотропийной нормы в терминах неравенств является ключевым результатом, который применяется для решения задач синтеза анизотропийных субоптимальных (и 7-оптимальных) регуляторов методами выпуклой оптимизации и полуопределенного программирования. Такие регуляторы гарантируют ограниченность анизотропийной нормы замкнутой системы заданным пороговым значением или, соответственно, синтезируются для минимального порогового значения.

3. Разработан подход к решению задач синтеза анизотропийных субоптимальных и 7-оптимальных регуляторов методами выпуклой оптимизации и полуопределенного программирования. Общая процедура синтеза регулятора заданного порядка сводится к решению неравенства относительно детерминанта положительно определенной матрицы и двух ЛМН относительно взаимнообрат-ных матриц, результирующая задача оптимизации не является выпуклой и требует применения алгоритмов поиска взаимнооб-ратных матриц. Матрицы параметров регулятора непосредственно входят в неравенства синтеза, что позволяет накладывать на реализацию регулятора дополнительные структурные ограничения для синтеза, например, децентрализованного управления или регулятора заданной структуры. Применением стандартных процедур овыпукления показано, что результирующие задачи оптимизации можно сделать выпуклыми для задач синтеза регуляторов в виде статической обратной связи по состоянию, регуляторов полного порядка и регуляторов в виде статической обратной связи по выходу для некоторых классов объектов с определенными структурными свойствами. Для этих задач можно найти анизо-тропийные 7-оптимальные регуляторы из решения задач выпуклой оптимизации. Предлагаемый подход на основе полуопределенного программирования и выпуклой оптимизации является новым и более привлекательным с точки зрения простоты и доступности реализации вычислительного аппарата для инженерных расчетов.

4. Получено решение многокритериальной субоптимальной задачи анизотропийного управления для стандартного объекта управления, в котором можно выделить несколько групп каналов от входов внешних возмущений с различными уровнями средней анизотропии к управляемому выходу, методами выпуклой оптимизации и полуопределенного программирования. Общая процедура синтеза многокритериального анизотропийного субоптимального регулятора заданного порядка сводится к решению системы неравенств относительно детерминантов положительно определенных матриц и ЛМН относительно взаимнообратных матриц. Результирующие задачи оптимизации можно сделать выпуклыми для ряда частных случаев структуры объекта управления и регулятора. Также приводятся решения задач синтеза анизотропийных субоптимальных регуляторов с размещением полюсов замкнутой системы в заданной ЛМН-области комплексной плоскости, полученные применением известного критерия ^-устойчивости систем. Размещение полюсов в заданной области обеспечивает желаемое качество переходных процессов.

5. Представлено решение робастной задачи анизотропийного субоптимального управления для объекта с неструктурированной параметрической неопределенностью с ограниченной спектральной нормой методами выпуклой оптимизации и полуопределенного программирования. Исходная задача синтеза для объекта с параметрической неопределенностью сводится к задаче синтеза для вспомогательного объекта с определенными параметрами, расширенным управляемым выходом, включающим выход неопределенности, и дополнительным входом неопределенности. Задача синтеза для вспомогательного объекта управления представляет собой задачу синтеза многокритериального анизотропийного субоптимального регулятора и решается на основе результатов, полученных в диссертационной работе. Общая процедура синтеза ро-бастного анизотропийного субоптимального регулятора заданного порядка сводится к решению неравенства относительно детерминанта положительно определенной матрицы и трех ЛМН относительно двух пар взаимнообратных матриц. Применение стандартных линеаризующих замен переменных позволяет сделать выпуклыми результирующие задачи оптимизации для задач синтеза регуляторов в виде статической обратной связи по состоянию (в случае полной информации о векторе состояния) и динамических регуляторов полного порядка по измеряемому выходу. В этих задачах синтеза можно учитывать ограничения на размещение полюсов замкнутой системы в заданной ЛМН-области для всех допустимых неопределенностей на основе известного критерия квадратичной Р-устойчивости систем с неопределенностью.

6. Методы решения задач синтеза субоптимальных и 7-оптималь-ных анизотропийных регуляторов, разработанные в диссертационной работе, показали свою применимость для синтеза систем автоматического управления техническими объектами как в задачах стабилизации, так и в задачах слежения. Разработанные методы могут применяться для управления техническими системами с переменными параметрами, если множество значений этих параметров ограничено и границы его известны. Подробно рассмотрены примеры решения задач синтеза устройства автоматического управления самолетом в режиме посадки в условиях ветровых возмущений и коррелированных шумов измерений, а также устройства автоматического управления угловым положением гиростабилизированной платформы в условиях неопределенных ограниченных внешних возмущений и коррелированных случайных помех. В этих примерах субоптимальные анизотропийные регуляторы продемонстрировали наилучшее качество подавления внешних возмущений и слежения при наименьших затратах на управление по сравнению с традиционным в общемировой практике 7^2) Т^оо и И-ч/Иоо управлением, а замкнутые системы с ани-зотропийными регуляторами характеризуются большей помехозащищенностью.

1. Баландин Д.В., Коган М.М. Синтез регуляторов на основе решения линейных матричных неравенств и алгоритма поиска взаим-нообратных матриц // АиТ, 2005, №1, с. 82-99.

2. Баландин Д.В., Коган М.М. Синтез законов управления на основе линейных матричных неравенств. М: Физматлит, 2007.

3. Боднер В.А., Козлов М.С. Стабилизация летательных аппаратов и автопилоты. М: Оборонгиз, 1961.

4. Бойченко В.А., Курдюков А.П., Тимин В.Н., Чайковский М.М., Ядыкин И.Б. Некоторые методы синтеза регуляторов пониженного порядка и заданной структуры / / Управление большими системами. Выпуск 19. М.: ИПУ РАН, 2007, с. 23-126.

5. Буков В.Н. Адаптивные прогнозирующие системы управления полетом. М.: Наука, 1987.

6. Владимиров И.Г., Даймонд Ф., Клоеден П. Анизотропийный анализ робастного качества линейных нестационарных дискретных систем на конечном временном интервале // АиТ, 2006, №8, с. 92111.

7. Владимиров И.Г., Курдюков А.П., Семенов A.B. Анизотропия сигналов и энтропия линейных стационарных систем // ДАН, 1995, №3, с. 583-585.

8. Владимиров И.Р, Курдюков А.П., Семенов A.B. Асимптотика анизотропийной нормы линейных стационарных систем // АиТ,1999, т.

9. Владимиров И.Г., Курдюков А.П., Семенов A.B. Стохастическая проблема ^-оптимизации //ДАН, 1995, Т. 343, №5, с. 607-609.

10. Калман Р. Об общей теории систем управления // Труды международного конгресса ИФАК, Т. 2. М.: АН СССР, 1961, с. 521-547.

11. Курдюков А.П., Максимов Е.А. Решение задачи стохастической Ноо-оптимизации для линейной системы с неопределенностью // AuT, 2006, №8, с. 112-142.

12. Летов A.M. Аналитическое конструирование регуляторов I—IV // АиТ, 1960, №4, с. 436-441; №5, с. 561-568; №6, с. 661-665; 1961, №4, с. 425-435.

13. Максимов Е.А. Разработка алгоритмов синтеза анизотропийных регуляторов для линейных стационарных систем с параметрической неопределенностью // Диссерт. на соиск. уч. ст. к.ф.-м.н. М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2007.

14. Поляк Б.Т. Введение в оптимизацию. М.: Наука, 1983.

15. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление. М.: Наука, 2002.

16. Разработка основ теории нетрадиционных подходов и исследование алгоритмов управления полетом в сложных условиях. Отчет о научно-исследовательской работе по теме №074-95/01. М: Институт проблем управления РАН, 1995.

17. Разработка принципов автоматизации полета и исследования новых алгоритмов управления на этапах захода на посадку и приземления. Отчет о научно-исследовательской работе по теме №053-93/01. М: Институт проблем управления РАН, 1993.

18. Тимин В.Н., Чайковский М.М., Курдюков А.П. Решение задачи анизотропийной субоптимальной фильтрации методом выпуклой оптимизации // ДАН, 2012, Т. 444, №6, с. 612-615.

19. Чайковский М.М. Нахождение сильно минимизирующего ранг решения линейного матричного неравенства // АиТ, 2007, №9, с. 96-105.

20. Чайковский М.М. Вычислительные методы анизотропийного анализа и синтеза оптимального управления для систем с неопределенностью // Диссерт. на соиск. уч. ст. к.ф.-м.н. М.: ИПУ РАН, 2007.

21. Чайковский М.М. Анизотропийная е-оптимальная редукция дискретной линейной стационарной системы // АиТ, 2010, №12, с. 86-110.

22. Чайковский М.М. Синтез анизотропийных субоптимальных регуляторов методами выпуклой оптимизации // Дифф. ур., 2012, Т. 48, №2, с. 156-158.

23. Чайковский М.М., Курдюков А.П. Робастное управление переходными процессами в энергетических системах // Доклады Четвертой международной конференции по проблемам управления, Москва, ИПУ РАН, 2009.

24. Чайковский М.М., Курдюков А.П. Нормализованная задача ани-зотропийной стохастической ТСоо оптимизации для редукции замкнутой системы методом сбалансированного отсечения // АиТ, 2010, № 5, с. 53-69.

25. Чайковский М.М., Курдюков А.П. Оптимальный анизотропий-ный регулятор на основе наблюдателя Люенбергера минимального порядка // Труды 18-й Международной конференции по автоматическому управлению "Автоматика 2011", Львов, Украина, 2011.

26. Чайковский М.М., Курдюков А.П. Критерий строгой ограниченности анизотропийной нормы заданным значением в терминах матричных неравенств // ДАН, 2011, Т. 441, №3, с. 318-321.

27. Чайковский М.М., Ядыкин И.Б. Оптимальная настройка ПИД-регуляторов для многосвязных билинейных объектов управления // АиТ, 2009, № 1, с. 130-146.

28. Ширяев А.Н. Вероятность. М.: Наука, 1989.

29. Ait Rami М., and El Ghaoui L. LMI optimization for nonstandard Riccati equations arising in stochastic control // IEEE Trans. A C, 1996, Vol. 41, p. 1666-1671.

30. Ait Rami M., and Zhou X.Y. Linear matrix inequalities, Riccati equations, and indefinite stochastic linear quadratic controls // IEEE Trans. AC, 2000, Vol. 45, p. 1131-1143.

31. Ait Rami M., Chen X., Moore J.B., and Zhou X.Y. Solvability and asymptotic behavior of generalized Riccati equations arising in indefinite stochastic LQ controls // IEEE Trans. AC, 2001, Vol. 46, p. 428-440.

32. Anderson B.D.O., and Moore J.B. Optimal control: Linear quadratic methods. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N.J., 1989.

33. Andrievsky В., Peaucelle D., Fradkov A.L. Adaptive control of 3DOF motion for LAAS Helicopter benchmark: Design and experiments // Proc. IEEE American Contr. Conf., 2007, p. 3312-3317.

34. Apkarian P., Noll D., and Tuan H.D. Fixed-order TCoo control design via a partially augmented Lagrangian method // Int. J. of Nonlinear and Robust Contr., 2003, Vol. 13, p. 1137-1148.

35. Apkarian P., Pellanda P.C., and Tuan H.D. Mixed H^/Hoo multichannel linear parameter-varying control in discrete time // Syst. & Contr. Let., 2000, Vol. 41, p. 333-346.

36. Apkarian P. and Tuan H.D. Concave programming in control theory // J. of Glob. Opt, 1999, Vol. 15, p. 343-370.

37. Arzelier D. and Peaucelle D. An iterative method for mixed T^/^oo synthesis via static output feedback // Proc. IEEE Conf. Dec. Contr., 2002, p. 3464-3469.

38. Basar T. and Bernhard P. Hoo-optimal control and related minimax design problems: A game approach. Birkhauser, Boston, 1991.

39. Ben-Tal A. and Nemirovskii A. Lectures on Modern Convex Optimization. Technion, Haifa, Israel, 2000.

40. Bernstein D.S. Matrix mathematix: Theory, facts, and formulas with application to linear systems theory. New Jersey: Princeton University Press, 2005.

41. Bernstein D.S., and Haddad W.M. LQG control with an Tioo performance bound: a Riccati equation approach // IEEE Trans. AC, 1989, Vol. 34, p. 293-305.

42. Boyd S.P. and ElGhaoui L. Method of centers for minimizing generalized eigenvalues. Lin. Alg. Appl, 1993, Vol. 188, p. 63-111.

43. Boyd S.P., El Ghaoui L„ Feron E., and Balakrishnan V. Linear Matrix Inequalities in Systems and Control theory. SI AM, Philadelphia, PA, 1994.

44. Boyd S.P. and Vandenberghe L. Convex Optimization. Cambridge: Cambridge University Press, 2004.

45. Carpanese N. On the geometry of symplectic pencils arising from discrete-time matrix equations // Syst. & Contr. Let., 2002, Vol. 46, p. 181-185.

46. Chilali M. and Gahinet P. H.^ Design with pole placement constraints: an LMI approach // IEEE Trans. AC, 1996, Vol. 41, No. 3, p. 358-367.

47. Chilali M., Gahinet P., Apkarian P. Robust pole placement in LMI regions // IEEE Trans. AC, 1999, Vol. 44, No. 12, p. 2257-2270.

48. Chen X. and Wen J.T. A linear matrix inequality approach to the general mixed 7^2/^00 control problem // Proc. American Control Conf., 1995, p. 1443-1447.

49. Clements D.J. and Wimmer H.K. Monotonicity of the optimal cost in the discrete-time regulator problem and Schur complements // Automatica, 2001, Vol. 37, p. 1779-1786.

50. Cover T.M. and Thomas J.A. Elements of information theory. John Wiley and Sons, New York, 1991.

51. Datta B.N. Numerical Methods for Linear Control Systems Design and Analysis. Elsvier Academic Press, San Diego, California, 2004.

52. De Souza C.E. On stabilizing properties of solutions of the Riccati difference equation // IEEE Trans. AC, 1989, Vol. AC-34, p. 13131316.

53. De Souza C.E., and Xie L. On the discrete-time bounded real lemma with application in the characterization of static state feedback H00 controllers // Syst. & Contr. Let., 1992, Vol. 18, p. 61-71.

54. Diamond P., Kurdjukov A.P., Semyonov A.V., and Vladimirov I.G. Homotopy methods and anisotropy-based stochastic Hoo-optimiza-tion of control systems. Report 97-14• The University of Queensland, Australia, 1997, p. 1-22.

55. Diamond P., Vladimirov I.G., Kurdyukov A.P., and Semyonov A.V. Anisotropy-based performance analysis of linear discrete time invariant control systems // Int. J. Contr., 2001, No.74, p. 28-42.

56. Dorato P. and Levis A.H. Optimal linear regulators: The discrete-time case // IEEE Trans. AC, 1971, Vol. 16, p. 613-620.

57. Doyle J.C. Guaranteed margins for LQG regulators // IEEE Trans. AC, 1978, Vol. 23, p. 756-757.

58. Doyle J.C., Glover K., Khargonekar P.P., and Francis B.A. Statespace solutions to standard 7^2 and 7~£oo control problems / / IEEE Trans. AC, 1989, Vol. 34, p. 831-847.

59. Doyle J.C., Fransis B.A., and Tannenbaum A.R. Feedback control theory. Englewood Cliffs, N.J.: MacMillan, 1992.

60. El Ghaoui L., Oustry F., and Ait Rami M. A cone complementary linearization algorithm for static output-feedback and related problems // IEEE Trans. AC, 1997, Vol. 42, p. 1171-1176.

61. Fares B., Apkarian P., and Noll D. An augmented Lagrangian method for a class of LMI-constrained problems in robust control theory // Int. J. Contr., 2001, Vol. 74, p. 348-360.

62. Francis B.A. A course in TCoo-control theory. Berlin: Springer-Verlag, 1987.

63. Fridman E. and Shaked U. Robust Ti^ minimum entropy static output-feedback control of singularly perturbed systems // Automatica, 2000, Vol. 36, p. 1181-1188.

64. Furuta K. and Phoojaruenchanachai S. An algebraic approach to discrete-time Ti^ control problems // Proc. 1990 American Control Conf., 1990, p. 2067-3072, San Diego, CA.

65. Gahinet P. Explicit controller formulas for LMI-based synthesis // Proc. Amer. Contr. Conf., 1994, p. 2396-2400.

66. P. Gahinet. Explicit controller formulas for LMI-based TLoo synthesis // Automatica, 1996, Vol. 32, p. 1007-1014.

67. Gahinet P. and Apkarian P. A linear matrix inequality approach to 7^ooControl // Int. J. of Robust and Nonlinear Control, 1994, Vol. 4, p. 421-448.

68. Gahinet P., Nemirovski A., Laub A.J., and Chilali M. LMI Control Toolbox user's guide. The Mathworks Partner Series, 1995.

69. Glover K. and Doyle J.C. State-space formulae for all stabilizing controllers that satisfy an Woo-norm bound and relations to risk sensitivity //Syst. & Contr. Let., 1988, Vol. 11, p. 167-172.

70. Gray R. Entropy and information theory. New York, Springer, 1990.

71. Green M. and Limebeer D.J.N. Linear robust control. Englewood Cliffs. N.J.: Prentice Hall, 1995.

72. Gu D.-W., Tsai M.C., O'Young S.D., and Postlethwaite I. State-space formulae for discrete-time Ti^ optimization // Int. J. Contr., 1989, Vol. 49, p. 1683-1723.

73. Gusev S.V. Minimax control under a bound on the partial covariance sequence of the disturbance // Automatica, 1995, Vol. 31, p. 12871301.

74. Gusev S.V. Minimax control under a restriction on the moments of disturbance // Proc. 34th IEEE Conf. on Decision and Control, New Orleans, USA, 1995, p. 1195-1200.

75. Gusev S.V. Method of moment restrictions in robust control and filtering // Proc. 13th IFAC World Congress, San-Francisco, USA, 1996, p. 415-420.

76. Hassibi B., Sayed A.H., and Kailath T. Indefinite-quadratic estimation and control. A unified approach to H.2 and Tioo theories. SIAM, Philadelphia, 1999.

77. Hindi H.A., Hassibi B., and Boyd S.P. Multiobjective T^/'Hoo-optimal control via finite dimensional Q-parametrization and linear matrix inequalities // Proc. American Control Conf., 1998, p. 32443248.

78. Hung Y.S. and Chu D.L. Relationship between discrete-time and continuos time algebraic Riccati inequalities // Lin. Alg. Appl, 1998, Vol. 270, p. 287-313.

79. Hung Y.S. and MacFarlane A.G.J. Multivariable feedback: A quasi-classical approach, Vol. 40 of Lecture Notes in Control and Information Sciences. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1982.

80. Iglesias P.A., and Glover K. State-space approach to discrete-time H0o control // Int. J. Contr., 1991, Vol. 54, No. 5, p. 1031-1073.

81. Iglesias P. A. and Mustafa D. State-space solution of the discrete-time minimum entropy control problem via separation // IEEE Trans. AC, 1993, Vol. 38, p. 1525-1530.

82. Iglesias P.A., Mustafa D., and Glover K. Discrete time Tioo controllers satisfying a minimum entropy criterion // Syst. & Contr. Let., 1990, Vol. 14, p. 275-286.

83. Ionescu V., Oará C., and Weiss M. Generalized Riccati theory and robust control: A Popov function. John Wiley, New York, 1999.

84. Ionescu V., and Weiss M. On computing the stabilizing solution of the discrete-time Riccaty equation // Lin. Alg. Appl., 1992, Vol. 174, p. 229-338.

85. Ionescu V., and Weiss M. Continuous and discrete-time Riccati theory: A Popov function approach // Lin. Alg. Appl., 1993, Vol. 193, p. 173-210.

86. Iwasaki T. and Skelton R.E. All controllers for the general Hoo control problem: LMI existence conditions and state-space formulas // Automatica, 1994, Vol. 30, pp. 1307-1317.

87. Iwasaki T. and Skelton R.E. The XY-centering algorithm for the dual LMI Problem: A new approach to fixed order design // Int. J. Contr., 1995, Vol. 62, p. 1257-1272.

88. Ivan M. A ring vortex downburst model for flight simulation // J. Aircraft, 1996, Vol. 23, p. 232-236.

89. Nesterov Y. and Nemirovski A. Interior-point polynomial methods in convex programming / / SI AM Studies in Applied Mathematics, 1994, Vol. 13, Philadelphia, Pennsylvania.

90. Jacobson D.H. Extensions of Linear-Quadratic Control, Optimization and Matrix Theory. Academic Press, NY, 1977.

91. Jonkheere E. On the existence of a negative definite, antistabilizing solution to the discrete-time algebraic Riccati equation // IEEE Trans. AC, 1981, Vol. AC-26, p. 707-712.

92. Kalman R. Contributions to the theory of optimal control // Bol. Soc. Mat. Mex., 1960, No. 5, p. 102-199.

93. Khargonekar P.P. and Rotea M.A. Mixed Hz/H-oa control: a convex optimization approach // IEEE Trans. AC, 1991, Vol. 36, p. 824-837.

94. Kimura H. Pole assignment by gain output feedback // IEEE Trans. AC, 1975, Vol. AC-20, p. 509-516.

95. Kucera V. Stability of discrete linear feedback systems // Proc. IFAC World Congress, Boston, Massachussetts, 1975, paper No. 44-1.

96. Kurdyukov A.P., and Maximov E.A. State-space solution to stochastic Tioo-optimization problem with uncertainty // Proc. 16th IFAC World CongrPraha, Czech Republic, 2005.

97. Kurdyukov A.P., Maximov E.A., and Tchaikovsky M.M. Homotopy method for solving anisotropy-based stochastic TCoo optimization problem with uncertainty // Proc. 5th IFAC Symp. Robust Control Design, Toulouse, France, 2006.

98. Kurdyukov A.P., Maximov E.A., and Tchaikovsky M.M. Anisotropy-based bounded real lemma // Proc. 19th Int. Symp. on Mathematical Theory of Networks and Systems, Budapest, Hungary, 2010, p. 23912397.

99. Kurdyukov A.P., Pavlov B.V., Timin V.N., and Vladimirov I.G. Longitudinal anisotropy-based flight control in a wind shear // Prep. 16th IF AC Symp. on Automatic Control in Aerospace, Saint-Petersburg, 2004, Vol. I, p. 430-433.

100. Kurdyukov A.P. and Tchaikovsky M.M. Longitudinal robust anisotropic optimal flight control in a windshear // Prep. 17th IFAC Symp. on Automatic Control in Aerospace, Toulouse, France, 2007.

101. Kurdyukov A.P. and Tchaikovsky M.M. Model reduction according to minimum anisotropic norm performance // Stability and Oscillations of Nonlinear Control Systems: Book of Abstracts of E.S. Pyatnitskiy X Int. Workshop, Moscow, 2008, p. 166-167.

102. Kurdykov A.P., Tchaikovsky M.M., Misrikhanov M.S., and Ryabchenko V.N. LMI-Based robust controller design for power systems // Proc. Int. Conf. on Mathematical Problems in Engineering, Aerospace and Sciences, Genoa, Italy, 2008.

103. Kwakernaak H., and Sivan R. Linear optimal control systems. Wiley, New York, 1972.

104. Lancaster P., and Rodman L. Algebraic Riccati equations. Clarendon, Oxford, 1995.

105. Langer H., Ran A.C.M., and Temme D. Nonnegative solutions of algebraic Riccati equations // Lin. Alg. Appl, 1997, Vol. 261, p. 317352.

106. Lee K.H., Lee J.H., and Kwon W.H. Sufficient LMI conditions for Hoo output feedback stabilization of linear discrete-time systems // IEEE Trans. AC, 2006, Vol. 51, p. 675-680.

107. Leibfritz F. and Lipinski W. Description of the benchmark examples in COMPleib 1.0. Tech. rep. of the University of Trier, Germany, 2003, http://www.complib.de.

108. Limebeer D.J.N., Green M., and Walker D. Discrete time H oo control // Proc. 28th IEEE Conf. Decision and Control, Tampa, FL, 1989, p. 392-396.

109. Lofberg J. YALMIP: A toolbox for modeling and optimization in MATLAB // Proc. CACSD Conference, Taipei, Taiwan, 2004. Available from http://users.isy.liu.se/johanl/yalmip/.

110. Masubuchi I., Ohara A., and Suda N. LMI-based controller synthesis: A unified formulation and solution // Int. J. of Robust and Nonlinear Contr., 1998, Vol. 8, p. 669-686.

111. Maximov E.A., Kurdyukov A.P., and Vladimirov I.G. Anisotropy-based bounded real lemma for linear discrete time varying systems // Proc. 18th IFAC World Congr., Milano, Italy, 2011.

112. Miradore R. and Ricci G. Mixed T^/^oo control: the discrete-time case // Syst. & Contr. Let., 2005, Vol. 54, p. 1-13.

113. Molinari B.P. The stabilizing solution of the discrete algebraic Riccati equation // IEEE Trans. AC., 1975, Vol. AC-20, p. 396-399.

114. Mustafa D. and Glover K. Minimum Entropy Hoo Control. SpringerVerlag, NY, 1991.

115. Mustafa D., Glover K., and Limebeer D. Solutions to the Hoo general distance problem which minimize an entropy integral // Automatica, 1991, Vol. 27, p. 193-199.

116. Nemirovskii A. and Gahinet P. The projective method for solving linear matrix inequalities // Math. Programming Series B, 1997, Vol. 77, p. 163-190.

117. Nesterov Yu. and Nemirovsky A. Interior point polinomial algorithms in convex programming, Vol. 13 of Studies in Applied Mathematics. SIAM, Philadelphia, 1994.

118. Nesterov Yu. and Todd M.J. Self-scaled barriers and interior-point methods for convex programming // Mathematics of Operations Research, 1997, Vol. 22, No. 1, p. 1-42.

119. Noll D., Torki M., Apkarian P. Partially augmented Lagrangian method for matrix inequality constraints // SI AM J. on Opt., 2004, Vol. 15, p. 161-184.

120. Oara C. Generilized Riccati theory: A Popov function approach. Ph.D. Thesis, Polytechnic Univ. Bucharest, Bucharest, Romania, 1995.

121. Oliveira M.C., Geromel J.C., and Berbnussou J. An LMI optimization approach to multiobjective controller design for discrete-time systems // Proc. IEEE Conf. on Decision and Control, 1999, p. 27-38.

122. Ortega J.M.- and Rheinboldt W.C. Iterative solutions of nonlinear equations in several variables. New York: Academic Press, 1970.

123. Peaucelle D., Andrievsky B., Mahout V., Fradkov A.L. Robust simple adaptive control with relaxed passivity and PID control of a heicopter benchmarks // Proc. 18th IFAC World Congr., Milano, Italy, 2011.

124. Peaucelle D., Fradkov A.L., Andrievsky B. Adaptive identification of angular motion model parameters for LAAS Helicopter benchmark // Proc. 3rd IEEE Multiconf Syst. Contr., Singapore, 2007, p. 825830.

125. Peaucelle D., Mahout V. 3D 'Helicopter' benchmark: Modeling // LAAS, Tech. Report No. 05454, 2005.

126. Polyak B.T. and Gryazina E.N. Hit-and-Run: Randomized technique for control problems recasted as concave programming // Proc. 18th IFAC World Congr., Milano, Italy, 2011.

127. Polyak B.T. and Gryazina E.N. Markov chain Monte Carlo method exploiting barrier functions with applications to control and optimization // Proc. IEEE Multi-Conf. on Systems and Control, 2010, p. 1553-1557.

128. Poznyak A.S. Advanced Mathematical Tools for Automatic Control Engineers. Volumes 1,2: Deterministic Techniques, Stochastic Techniques. Elsevier, 2008, 2009.

129. Rotstein H. and Sznaier M. An exact solution to general four-block discrete-time mixed T^/'Hoo problems via convex optimization // IEEE Trans. AC, 1998, Vol. 43, 1475-1481.143144145146147148149150151

130. Ran A.C.M. and Vreugdenhil R. Existence and comparison theorems for algebraic Riccati eqations for continuous- and discrete-time systems // Lin. Alg. Appl., 1988, Vol. 99, p. 63-83.

131. Saberi A., Sanutti P., and Chen B.M. TL2 optimal control. Prentice Hall, Englewood Cliffs, N.J., 1995.

132. Scherer C.W. The general nonstrict algebraic Riccati inequality // Lm. Alg. Appl, 1995, Vol. 219, p. 1-33.

133. Scherer C.W. Multiobjective control. IEEE Trans. AC,1995, Vol. 40, p. 1054-1062.

134. Scherer C.W. An efficient solution to multi-objective control problems with LMI objectives // Syst. & Contr. Let., 2000, Vol. 40. p. 43-57.

135. Scherer C.W. Robust controller design by output feedback against uncertain stochastic disturbances // Proc. 3rd IFAC Symp. on Robust Control Design, Prague, Czechia, 2000.

136. Scherer C.W. Multi-objective control without Youla parametrization 11 In Perspectives in Robust Control. Lecture Notes on Control and Information Sciences, 2001, Vol. 268, p. 311-325.

137. Scherer C.W., Gahinet P., and Chilali M. Multiobjective outputfeedback control via LMI optimization // IEEE Trans. AC, 1997, Vol. 42, p. 896-911.

138. Semyonov A.V., Vladimirov I.G., and Kurdjukov A.P. Stochastic approach to Hoo-optimization // Proc. 33rd Conf. Decision and Control, Florida, USA, 1994, Vol. 3, p. 2249-2250.

139. Silverman L. Discrete Riccati equations: Alternative algorithms, asymptotic properties, and system theory interpretations // Control Dynam. Systems, 1976, Vol. 12, p. 313-386.

140. Stoorvogel A.A. The Hqq control problem: A state space approach. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 2000.

141. Stoorvogel A.A. and Saberi A. The discrete algebraic Riccati equation and linear matrix inequality // Lin. Alg. Appl., 1998, Vol. 274, p. 317-365.

142. Stoorvogel A.A. and Saberi A. Continuity properties of solutions to TÍ2 and Hoo Riccati equations // Syst. & Contr. Let., 1996, Vol. 27, p. 209-222.

143. Sturm J.F. Primal-Dual Interior Point Approach to Semidefinite Programming, volume 156 of Tinbergen Institute Research Series. Thesis Publishers, Amsterdam, The Netherlands, 1997.

144. Sturm J.F. Using SeDuMi 1.02, a MATLAB toolbox for optimization over symmetric cones // Optimization Methods and Software, 1999, Vol. 11, p. 625-653.

145. Sun J.-G. Sensitivity analysis of the discrete-time algebraic Riccati equations // Lin. Alg. Appl., 1998, Vol. 275-276, p. 595-615.

146. Tchaikovsky M.M. Anisotropic balanced truncation: Application to reduced-order controller design // AT&P J. Plus 2 (ISSN 13365010), 2009, p. 6-18.

147. Tchaikovsky M.M. Stochastic robust flight control under windshear by reduced-order anisotropic controller // Archives of Control Sciences, 2009, Vol. 19(LV), No.4, p. 385-422.

148. Tchaikovsky M.M. Anisotropic balanced truncation: Application to reduced-order controller design // Proc. 17th International Conference on Process Control, Strbské Pleso, Slovakia, June 9-12, 2009, p. 14-27.

149. Tchaikovsky M.M. Static Output Feedback Anisotropic Controller Design by LMI-Based Approach: General and Special Cases // Proc. 2012 American Control Conf, Montreal, Canada, June 27-29, 2012.

150. Tchaikovsky M.M. and Kurdyukov A.P. LMI-based approach to computing the anisotropic norm of linear discrete time-invariantsystem // Proc. 15th Int. Conf. on Process Control, Strbske Pleso, Slovakia, 2005.

151. Tchaikovsky M.M. and Kurdyukov A.P. On computing anisotropic norm of linear discrete-time-invariant system via LMI-based approach // Archives of Control Sciences, 2006, Vol. 16, No.3, p. 257281.

152. Tchaikovsky M.M. and Kurdyukov A.P. On simplifying solution to normalized anisotropy-based stochastic Hoo problem // Proc. 6th IFAC Symp. Robust Control Design, Haifa, Israel, 2009, p. 161-166.

153. Tchaikovsky M.M. and Kurdyukov A.P. Stochastic robust controller reduction by anisotropic balanced truncation // Proc. J^th IEEE Multiconf. Syst. Contr., Saint-Petersburg, Russia, 2009, p. 17721777.

154. Tchaikovsky M.M. and Kurdyukov A.P. Anisotropy-based approximation of linear discrete time-invariant stochastic system // Proc. 4th Int. Scientific Conf on Physics and Contr., Catania, Italy, 2009.

155. Tchaikovsky M.M. and Kurdyukov A.P. Reduced-order stochastic robust controller design for aircraft control in landing approach // Proc. 18th IFAC Symp. on Automatic Control in Aerospace, Nara, Japan, September 6-10, 2010.

156. Tchaikovsky M.M., Kurdyukov A.P., and Timin V.N. Synthesis of anisotropic suboptimal controllers by convex optimization // Submitted to European J. of Contr. Preprint is available from http://arxiv.org/abs/1108.4982, 2011.

157. Tchaikovsky M.M., Kurdyukov A.P., and Timin V.N. Strict anisotropic norm bounded real lemma in terms of inequalities // Proc. 18th IFAC World Congr., Milano, Italy, 2011.

158. Tchaikovsky M.M., Kurdyukov A.P., and Timin V.N. A convex formulation of strict anisotropic norm bounded real lemma // Preprint. Available from http://arxiv.org/abs/1108.5140, 2011.

159. Tchaikovsky M.M. and Kurdyukov A.P. Strict anisotropic norm bounded real lemma: A convex formulation // Submitted to IMA J. of Math. Contr. and Information, 2011.

160. Vladimirov I.G., Kurdjukov A.P., and Semyonov A.V. On computing the anisotropic norm of linear discrete-time invariant systems // Proc. of the 13-th IFAC World Congr., San-Francisco, California, USA, 1996, p. 179-184.

161. Vladimirov I.G., Kurdjukov A.P., Semyonov A.V. State-space solution to anisotropy-based stochastic Tioo-optimization problem // Proc. 13th IFAC World Congr., 1996, p. 427-432.

162. Whittle P. Risk-sensitive linear/quadratic/Gaussian control // Adv. Appl. Prob., 1981, Vol. 13, p. 764-777.

163. Whittle P. Entropy-minimizing and risk-sensitive control rules // Syst. & Contr. Let., 1989, Vol. 13, p. 1-7.

164. Willems J.C. Least squares stationary optimal control and the algebraic Riccati equation // IEEE Trans. AC, 1971, Vol. AC-16, p. 621-634.

165. Wimmer H.K. Strong solutions of the discrete-time algebraic Riccati equation // Syst. & Contr. Let., 1989, Vol. 13, p. 455-457.

166. Wimmer H.K. Unmixed solutions of the discrete-time algebraic Riccati equation // SI AM J. Contr. Optim., 1992, Vol. 30, p. 867878.

167. Wimmer H.K. Monotonicity and maximality of solutions of discrete-time algebraic Riccati equations // J. Math. Systems Estimat. Contr., 1972, Vol. 2, p. 219-235.

168. Wimmer H.K. Intervals of solutions of the discrete-time algebraic Riccati equations // Syst. & Contr. Let., 1999, Vol. 36, p. 207-212.

169. Yadykin I.B. and Tchaikovsky M.M. PID Controller tuning for bilinear continuous time invariant MIMO system // Proc. of 3rd IFAC Symp. on System, Structure and Control, Iguassu Falls, Brazil, 2007.

170. Yadykin I.B. and Tchaikovsky M.M. Optimal industrial controller tuning algorithms in view of constraints for stability margins // Proc. 13th IF AC Symp. on Information Control Problems in Manufacturing, Moscow, Russia, June 3-5, 2009.

171. Yaesh I. and Shaked U. Minimum entropy static output-feedback control with an T^oo-norm performance bound // IEEE Trans. AC, 1997, Vol. 42, p. 853-858.

172. Ye Y., Todd M.J., and Mizuno S. An 0(v^£)-iteration homogeneous and self-dual linear programming algorithm // Mathematics of Operations Research, 1994, Vol. 19, p. 53-67.

173. Youla D.C., Jabr H.A., and Bongiorno J.J. Modern Wiener-Hopf design of optimal controllers. Part II: the Multivariable case // IEEE Trans. AC, 1976, Vol. 21, p. 319-338.

174. Yu J. A new static output feedback approach to the suboptimal mixed T^/T^oo problem // Int. J. of Robust and Nonlinear Contr., 2004, Vol. 14, p. 1023-1034.

175. Zamcs G. Feedback and optimal sensitivity: model reference transformations, multiplicative seminorms, and approximate inverses // IEEE Trans. AC, 1981, Vol. 26, p. 301-320.

176. Zhou K., Doyle J.C., and Glover K. Robust and optimal control. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, 1996.

177. Zhou K., Glover K., Bodenheimer B., and Doyle J. Mixed H2 and 7Yoo performance objectives // IEEE Trans. AC, 1994, Vol. 39, I: Robust performance analysis, p. 1564-1574; II: Optimal control, p. 15751578.