автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Разработка алгоритмов синтеза анизотропийных регуляторов для линейных стационарных систем с параметрической неопределенностью

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им НЭ БАУМАНА (МГТУим НЭ Баумана)

УДК 519 71

На правах рукописи

Максимов Евгений Александрович

РАЗРАБОТКА АЛГОРИТМОВ СИНТЕЗА АНИЗОТРОПИЙНЫХ РЕГУЛЯТОРОВ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ С ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬЮ

Специальность 05 13 01 - Системный анализ, управление

и обработка информации

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ооз 1Ьио {<->

Москва - 2007

003160570

Работа выполнена в Московском государственном техническом университете им Н Э Баумана

Научный руководитель

д т н , проф Курдюков А П

Официальные оппоненты

д ф -м н , проф Рапопорт Л Б к ф -м н , Матросов И В

Ведущая организация

Институт проблем передачи информации им А А Харкевича РАН (ИППИ РАН)

Защита диссертации состоится «. ¿Г» О кг л <!рл 2007 года в 7*/ часов 00 мин на заседании диссертационного совета Д 002 226 02 при Институте проблем управления им В А Трапезникова РАН по адресу 117997, г Москва, ул Профсоюзная, 65

Отзыв на автореферат в двух экземплярах, заверенный печатью организации, просим высылать по адресу 117997, г Москва, ул Профсоюзная, 65, ИПУ им Трапезникова РАН, ученому секретарю совета Д 002 226 02

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИПУ им Трапезникова РАН

Автореферат разослан « » 2007 г

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. При синтезе алгоритмов оптимального управления для линейных систем, функционирующих в присутствии внешних возмущений, основным фактором при выборе критерия качества управления является априорная информация о входном возмущении Первое вполне естественное и распространенное предположение, что на систему действуют возмущения в виде гаус-совского белого шума приводит нас к задаче синтеза так называемого линейно-квадратичного гауссовского регулятора, который является линейной системой и минимизирует некоторый квадратичный по управлению и состоянию функционал качества Такая задача может быть сведена к задаче Нг -оптимизации, в которой в качестве функционала качества выступает "Н2 -норма передаточной функции (в дальнейшем ПФ) системы

Если же считать, что входной сигнал является элементом пространства Лебега L2, то есть он, как говорят, «интегрируем с квадратом», то мы приходим к задаче синтеза линейных регуляторов, минимизирующих Tí«,-норму предаточной функции замкнутой системы (G Zames, J С Doyle, U Shaked, В A Francis, D -W Gu, Р A Iglesias) Такая задача является задачей оптимального управления, а Ноо -норма ПФ замкнутой системы - критерием качества В прикладных задачах кроме свойства робастяости получаемых регуляторов (то есть их устойчивости по отношению к внешним возмущениям), важным свойством является степень их консервативности, то есть энергетических затрат органов управления объекта Известно, что Н^ -регуляторы не являются робастными по отношению к интенсивности входного возмущения (J С Doyle), в то время как Ноо -регуляторы являются излишне консервативными

Неоднократно предпринимались различные попытки получить робастные регуляторы, обладающие меньшей степенью консерваг тизма, нежели TítX) -регуляторы Одно из направлений связано с использованием так называемых «смешанных» критериев качества В этом случае ищется регулятор, минимизирующий некоторый квадратичный функционал качества на множестве всех линейных регуляторов, обеспечивающих заданный коэффициент подавления внеш-

них возмущений в замкнутой системе (D S Bernstein, К Zhou, Н Rotstem) В основу этих работ положено разделение входных возмущений на сигналы с ограниченной мощностью и сигналы с ограниченным спектром

Второе перспективное направление, которому и посвящена данная работа, связано с синтезом регуляторов в том случае, когда система функционирует в присутствии случайных возмущений с неточно известными вероятностными характеристиками Наличие дополнительной информации о входном возмущении с одной стороны позволяет затрачивать меньше энергии на управление, а с другой позволяет отступить от жесткого предположения о том, что входное возмущение является белым шумом Таким образом, здесь можно говорить о попытках получить задачу синтеза, которая находилась бы, образно выражаясь, «между и Ноо », то есть включала в себя достоинства обеих теорий и в то же время была бы по максимуму избавлена от указанных выше недостатков Это направление связано с применением теоретико-информационных критериев качества и носит название стохастической W«, -оптимизации

Одним из таких информационных критериев является стохастическая норма ПФ замкнутой системы Стохастическая норма индуцируется энергетической нормой случайных сигналов из заданного класса вероятностных распределений Частным случаем стохастической нормы является анизотропийная норма Эта норма применяется в случае, когда априорная информация о входном возмущении состоит в том, что возмущение — гауссовская случайная последовательность с нулевым средним и ограниченной сверху средней анизотропией (А В Семенов, И Г Владимиров) Последняя является мерой коррелированности компонент случайного вектора в последовательности (или как еще говорят «окрашенности») или, что тоже самое, мерой отклонения случайной последовательности от гауссов-ского белого шума Задача синтеза анизотропийного регулятора, минимизирующего анизотропийную норму ПФ замкнутой системы, была впервые поставлена и решена И Г Владимировым в 1995 году Задаче синтеза Нгх> -регуляторов, робастных по отношению не только к внешним возмущениям, но и к параметрическим неопределенностям модели объекта и посвящена данная диссертационная

работа

Цель работы. Целью диссертационной работы является разработка методов анализа робастной устойчивости линейных объектов, содержащих неопределенность в параметрах модели, а также методов синтеза оптимальных регуляторов для линейных систем с параметрической интервальной неопределенностью

Методы исследования. В работе применяются методы математической теории управления, оптимизации функций многих переменных, линейной алгебры, теории функции комплексного переменного и теории вероятностей

Научная новизна. Получены достаточные условия робастной устойчивости линейного объекта с неопределенностью в терминах анизотропийной нормы Разработан алгоритм синтеза линейного робастного регулятора, минимизирующего максимальное значение анизотропийной нормы замкнутой системы по всем неопределенностям из заданного класса Установлена взаимосвязь полученного регулятора с задачей синтеза классического -регулятора

Достоверность результатов обеспечивается строгостью применяемого математического аппарата и подтверждается результатами численного моделирования

Практическая и теоретическая ценность. Результаты, полученные в диссертационной работе, являются развитием математической теории управления линейными объектами и позволяют осуществлять синтез новых линейных робастных регуляторов, обладающих меньшей степенью консервативности, нежели широко использующиеся сегодня И^ -оптимальные регуляторы

На защиту выносятся следующие положения.

1 Достаточные условия робастной устойчивости линейного объекта с неопределенностью, ограниченной по анизотропийной норме

2 Метод синтеза линейного анизотропийного регулятора для линейного объекта с параметрической интервальной неопределенностью

3 Связь анизотропийного регулятора с Ноо -оптимальным регулятором

4 Применение разработанного метода синтеза для численного решения задачи подавления случайных возмущений для модели летательного аппарата, содержащей параметрическую неопределенность, на режиме посадки в условиях сдвиговых возмущений ветра с ограниченной средней анизотропией

Апробация результатов работы Результаты диссертационной работы докладывались на 8-ом международном семинаре «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления», ИПУ РАН, Москва, 2004, на 2-ом международном IFAC симпозиуме «System, structure and control», Оаксака, Мексика, 2004, на 5-ой международной конференции «System Identification and Control Processes», ИПУ РАН, Москва, 2005, на 16-ом международном конгрессе IFAC, Прага, Чехия, 2005, на 6-ой международной конференции «System Identification and Control Processes», ИПУ РАН, Москва, 2006, на 9-ом международном семинаре «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления», ИПУ РАН, Москва, 2006, на 7-ой международной научно-технической конференции «Process Control», Пардубице, Чехия, 2006, на 5-ом симпозиуме по робастно-му управлению «Robust Control Design», Франция, Тулуза, 2006

Публикации. Основные результаты опубликованы в пяти статьях и восьми тезисах докладов на конференциях

Личный вклад соискателя. Все исследования, изложенные в диссертационной работе, проведены лично соискателем в процессе

научной деятельности Из совместных публикаций в диссертацию включен лишь тот материал, который непосредственно принадлежит соискателю

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы Работа изложена на 118 страницах, содержит 2 таблицы и 23 иллюстрации Библиография включает 73 наименования

Работа выполнена при поддержке программы фундаментальных исследований 15 Отделения ЭММПУ РАН (№1), программы «Развитие научного потенциала высшей школы» проект РНП 2 1 1 2381, проекта УР 03 01 018 по программе «Университеты России - фундаментальные исследования» министерства образования РФ и гранта 05-08-18131А Российского фонда фундаментальных исследований

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы, сформулированы цель и задачи исследования, научная новизна и практическая значимость полученных результатов, основные положения, выносимые на защиту, приведены данные о структуре и объеме диссертационной работы

В первой главе дано краткое изложение анизотропийного анализа линейных систем управления Эти результаты известны и поэтому приводятся в обзорной форме, без доказательств, с указанием ссылок на первоисточники Ключевым в этой главе является определение анизотропии случайного вектора, средней анизотропии гауссовской последовательности и анизотропийной нормы передаточной функции замкнутой системы Анизотропия случайного конечномерного вектора W определяется как минимальное информационное уклонение Кульбака-Лейблера распределения этого случайного вектора от гауссовского распределения со скалярной ковариационной матрицей (то есть матрицей вида \1т, где А > 0 -

некоторое число, т - размерность случайного вектора) Можно показать, что определенная таким образом анизотропия Ш равна разности двух дифференциальных энтропий - дифференциальной энтропии распределения случайного вектора УУ и дифференциальной энтропии гауссовского распределения с нулевым средним и со скалярной ковариационной матрицей вида Е \Ш\2/т, где Е () обозначает математическое ожидание случайной величины Анизотропия неотрицательна, обращается в ноль только для гауссовских случайных векторов со скалярной ковариационной матрицей и тем больше, чем больше корреляционная зависимость между компонентами случайного вектора Таким образом анизотропия случайного вектора является мерой коррелированности его компонент Понятие анизотропии можно обобщить на гауссовские стационарные последовательности случайных векторов, записывая элементы последовательности в вектор и переходя к пределу, неограниченно увеличивая размерность случайного вектора В этом случае для средней анизотропии А(И^) стационарной гауссовской последовательности ]¥ случайных векторов можно получить следующую формулу

A(W) =

47Г

lndet

/ m

VPÏ

S(OJ) dш

(1)

где S(tu)~ спектральная плотность последовательности W

о-Анизотропийная норма определяется как максимальный коэффициент усиления по отношению к гауссовским возмущениям, средняя анизотропия которых ограничена параметром а > 0 Можно показать, что при а = О анизотропийная норма совпадает с точностью до множителя 1 /-y/m с Н2 -нормой, а при а —> +оо совпадает с Ноо -нормой

Вторая глава посвящена анализу робастной устойчивости линейных дискретных стационарных объектов (далее систем), описываемых вход-выходными соотношениями в частотной области

' Zl 'Pu Pn №1

. . Pli P22 . W2 _

Здесь wi €Rm,w2 £Кр- входы системы, Zi € Rm, z2 £ !

(2)

■ выходы

системы, Рг] - передаточная функция объекта Р от г-го входа к j-му выходу

В разделе 2 2 формулируются достаточные условия робастной устойчивости такого объекта, то есть условия на неопределенность Д, при которой верхнее дробно-линейное преобразование Ри(Р, А) является внутренне устойчивым Соответствующая неопределенность называется допустимой Чтобы сформулировать результат, введем в рассмотрение два класса дискретных сигналов (стационарных последовательностей) Класс

i-p = {w = Ю-«*:*«» т g ц», к е z Л ||wiip < +00},

состоит из сигналов с ограниченной энергетической нормой || Цр и класс

Wa={We b А(И0 < а} ,

содержит гауссовские сигналы с ограниченной средней анизотропией А( ) Кроме того, рассмотрим класс неопределенностей

Da(Plub,c) = {A&iniZxm\ Ill-Pnllc |Д|1б<1} (3)

Сформулирована и доказана следующая теорема

Теорема 1. Рассмотрим систему Ти(Р-: Л) Wa —> 1-р, где А 1-р —> l-р и Р 1-р —► l-р суть неупреждающие линейные системы и вход-выходные соотношения задаются посредством (2) Алгебраическое включение

ДбГ(А1,Ь(Д),с(Д)) (4)

где

L/л\ _fIiP дит ln V^lii^iAglA lllPuAlh 6(A) - ^А(РПД) +mln |jpiij| ||д i J 1 _ |РЦД|&+

+ (а(Р^ + a + щьУ^М^ДЛ I / — -РцД|Дь (5)

+ (A(ih) + а + тЫ-j^j щщ, c(A) = 6 + 2(A) + inln^ii (6)

задает множество, состоящее из допустимых для объекта Р неопределенностей

В разделе 2 3 сформулированы критерии робастной стабилизируемое™ объекта Р для различных случаев вхождения неопределенности в систему, а именно для случая аддитивной неопределенности, мультипликативной неопределенности и неопределенности взаимно-простых факторов Ввиду ограниченности объема автореферата, приведем для иллюстрации результат только для случая аддитивной неопределенности Рассмотрим три каузальные (не-упреждающие) системы номинальный объект <3 1-р —> 1-р, неопределенность А 1-р —»1р и регулятор К 1р —► 1р

Теорема 2. Рассмотрим систему + Д, К) УУа —> 1-р Регулятор К стабилизирует б + Д, если

1 регулятор К стабилизирует номинальный объект, т е система ^¡((3, К) устойчива,

2 А е В (К(1 - ОК)~1, Ь(Д), с(Д)), где отображения Ъ{) и с() определяются выражениями (5) и (6), соответственно

Третья глава диссертации посвящана синтезу анизотропий-ных регуляторов для систем с параметрической интервальной неопределенностью

Рассмотрим линейный стационарный объект Е € -^(г>1+г>2)х(т1+т2)^ функционирующий в дискретном времени

( хш = (А + Р1£1кЕ1)хк + {В0 + Р2ФкЕ2)'шк + (В2 + Рд-9кЕ3)ик) < гк = Сгхк + БиЩ, { Ук = С2Хк + Диад,

(7)

где к е (—оо, оо), Е^-оор < +оо, | | обозначает евклидову норму вектора, хк е К" — состояние, гк € Мй — управляемый выход, ик е К"12 — управление, ык 6 К1"1 — возмущение, ук е — наблюдение Все входящие в систему (7) матрицы известны, за исключением матриц Г2ь отвечающих неизвестным параметрам, о которых известно только то, что они удовлетворяют ограничениям

ПткПк < I, Ф~£Фк < I, Ф < /, ~оо<к< +оо, (8)

где I обозначает единичную матрицу подходящей размерности

Для системы предлагаются выполненными следующие стандартные предположения

(A) DJ2[C1,D12\ = [Q,I],

(B) номинальная система (для которой Л*; = 0) стабилизируема и детектируема,

(C) pi < 7ВЬ

(D) матрица D21 в (7) имеет полный строчный ранг rank D21 =

Р2 < тъ

(E) матрица Dn в (7) имеет полный столбцовый ранг rank £>12 = m2 s£ pi

Относительно входного возмущения W делается следующее предположение W является стационарной гауссовской случайной последовательностью, чья средняя анизотропия ограничена сверху неотрицательным параметром а Другими словами W £ Wa

Далее формулируется робастная стохастическая задача Нгх, -оптимизации для системы с параметрической неопределенностью

Задача 1 Для заданной системы (7) и верхней границы а ^ 0 уровня анизотропии входа найти допустимый регулятор К & 1С, который минимизирует максимальное значение а-анизотропийной нормы замкнутой системы Ti(F, К) по всем неопределенностям Ak eV, те доставляет минимум функционалу качества

J0{K) = sup l-FK-F.-iOffle (9)

Д k<EV

Решение указанной задачи производится путем погружения ее в более общую задачу Ноо -оптимизации Для каждого фиксированного набора значений параметров 71 > 0,72 > 0,73 > 0 рассмотрим

вспомогательную систему F

Хк+1 —

Zk

Ук

Ахк + BQwk + B2Uk + Вхщ, Сгхк + Dl2uk ' liEixk 72Е2Щfe -уз-ЕзЩ С2хк + D2iwki

где Si = [ Fj, F2 F3 ] и все матрицы такие же, как в (7) Здесь W = {wk)kez е Wa и т? = {т]к)кеж, причем \\rj\\v < +00

Для вектора параметров вводятся следующие обозначения 7 = [71, 72, 7з]т, Г = diag (71,71,73) и формулируется новая задача оптимизации

Задача 2 Для заданной системы (10), вектора фиксированных неотрицательных параметров 7 и верхней границы а ^ 0 г/ровня анизотропии входного сигнала найти допустимый регулятор К & К., который минимизирует максимальное значение а-анизотропийной нормы передаточной функции замкнутой системы Ti(F, К), т е доставляет минимум функционалу

J(K, 7)= sup sup {Й1рЧ|Г1/2??|!р} (11)

Следующая теорема, сформулированная и доказанная в работе, устанавливает связь задачи 2 с классической задачей смешанной Ti.2 /Коо -оптимизации

Теорема 3. Решение задачи 2 является также решением следующей смешанной задачи оптимизации для фиксированных неотрицательных параметров 7г,г = 1,3 найти допустимый регулятор К, такой что

№Аа ■

11^,1

• mm, КеК.

<7„ г = 1,3

(12)

Связь между решениями представленных задач устанавливается следующей теоремой, доказанной в работе

Теорема 4 Для любого вектора 7, 7, > 0, г = 1,3

ию ^ (13)

Если при этом найдется вектор 70 такой, что

И?» = Ыт = \\Ш\\р, Ыт> = НВДЬ (14)

где г) = А^тах^ ./(К^о), то vai1J{K,^) = 3{К, 70) для любого КеК,

Решение задачи 2 проводится в разделах 3 4-3 6 Здесь линейный регулятор полного порядка К ищется в виде

&.+1 = А£к + Вук, Щ = С£ь

(15)

где А, В, С — неизвестные подлежащие определению матрицы

Ключевым понятием в диссертации при решении задачи 2 является понятие «наихудшего» входа Вход т? называется «наихудшим», если он доставляет максимум функционалу качества J{K, 7) при фиксированных К, 7 и ТУ Аналогично вход ТУ называется «наихудшим», если он доставляет максимум функционалу при фиксированных К, 7 и наихудшем 77

Решение задачи 2 разбивается на три этапа На первом находится «наихудший» вход г) для системы, замкнутой некоторым фиксированным регулятором К с произвольным входом ТУ, на втором -«наихудший» вход ТУ, на третьем строится Лг -оптимальный оценивающий регулятор К для системы, замкнутой найденными «наихудшими» входами ?? и ТУ

В разделе 3 4 рассматривается система, замкнутая некоторым линейным регулятором полного порядка К, имеющая следующую реализацию в пространстве состояний

А В2б Во Вг

ВС2 А ВИ 21 0

а ОъС 0 0

Г Л в* я]

[с, 0 0

и связанное с ней дискретное алгебраическое уравнение Риккати относительно матрицы Y € К2ях2п

У = AjYAt + LjULt + (16)

Lt = [ Lti Ьа ] = П-^У^, (17)

П = Г — FjYFt, (18)

где матрица Lt € Mix2rl разделена на два блока Lti € Kixn и Lt% e R*xn Уравнение (16)-(18) любых фиксированных % > ||Тг%|[оо, « = 1,3 имеет единственное стабилизирующее решение

Доказана следующая теорема, дающая реализацию «наихудшего» входа г/ в пространстве состояний объекта Пусть Rww() -обозначает автокорреляционую функцию последовательности W, а Rw(() - взаимную корреляционную функцию последовательностей

Теорема 5 Пусть 7г > ЦТ^Л«» г = 1,3 Тогда sup {\\Z\\b-\\T^r,\%} =

Trace {{BjYBt + BjYFtIl-lF?YBt)R^ (0) + (19) + 2(AjYFt!J-lF?YBt + AJYBJ^O) + S0} ,

где Y является стабилизирующим решением уравнения (16)—(18) «Наихудший» случай входа есть

rjk = LtCk + SjWfc = Ьцхцс + Lath + Y,tWk, (20)

где £t = П~lF^YBt, а матрицы Lt и П удовлетворяют (17) и (18) соответственно

В разделе 3 5 получено представление «наихудшего» формирующего фильтра в пространстве состояний «Наихудший» вход гйк ищется в виде

wk = LCk + YV2vk = Lxxk + L& + S1^ (21)

где Ь = [ Ь\ Ь2 ] 6 Жт1х2и является матрицей, такой что Аш + ВтЬ

асимптотически устойчива, и Е е

ХГП1

■ положительно опреде-

ленная симметричная матрица Далее рассматривается система, замкнутая «наихудшим» входом щ (соответствующий формирующий фильтр обозначен через (З1)

Е =

-1 V) —

Ац) До

_ Сш Сии

1т1 о О Сн

(22)

и связанное с ней уравнение Риккати относительно матрицы Я £ ' с некоторым скалярным параметром д

Ь = ЦД^ + ^О»),

£ = (1т1 — Д^ЙДв)-1

(23)

(24)

(25)

Следующая, доказанная в работе теорема, дает явные выражения для матриц Ь и Е

Теорема 6 Пусть система асимптотически устойчива, д £ [О, И-Р^Итс2) и матрицы Ь и Е отвечают стабилизирующему решению К уравнения Риккати (23)-(25) Тогда

1 Последовательность (^)_00<А.<+00 доставляет минимум функционалу || [|0,

2 а-анизотропийная норма системы Ещ задается выражением

= (1 - 'Пасе(^Ат + Е)) .

где Р удовлетворяет уравнению Ляпунова

Р = (Ат + ВтЬ)Р{Аш + ВтЬ)Т + Ву£В1 и параметр д 6 [0, есть решение уравнения

1 1 а ( т^ — 2 ^'йасе (ЬРЬТ + Е)

(26)

Регулятор (15) является оценивающим, то есть его состояние является оптимальной в среднеквадратичном смысле оценкой состояния системы Другими словами, он может быть разбит на две части — динамическая составляющая, являющаяся оптимальным оценивателем состояния системы, на вход которой поступает гаус-совский белый шум и статическая часть, обеспечивающая заданное качество замкнутой системы

Раздел 3 6 посвящен построению динамической составляющей (определения матриц А ж В) Здесь используется хорошо известная процедура построения фильтра Калмана Для этого рассматривается система, замкнутая некоторым регулятором, первым «наихудшим» входом щ и вторым «наихудшим» входом гйк (соответствующие формирующие фильтры обозначены С?0 и 0\)

~Ап Ар вГ

до о А21 А22 в2

о ад * * *

С2\ С22 б

(28)

и связанное с ней уравнение Риккати относительно матрицы Б €

лел1

5' = АггЗА^ + 0 = СпБС^ + ¿шт, Л=(ЛЦ5С771 + В15т)©-1

(29)

(30)

(31)

В рамках работы, доказывается следующая теорема

Теорема 7 Пусть система (10) удовлетворяет предположениям (А),(В),(Б) и пусть матрицы реализации в пространстве состояний допустимого регулятора (15) удовлетворяют соотношениям

А = Ап + А12 ■

■Цс21 + с22),

(32)

где матрица Л выражается через стабилизирующее решение уравнения Риккати (29)-(31) Тогда регулятор (15) является оценивающим

Раздел 3 3 содержит последний этап решения задачи Суть этого этапа заключается в синтезе оптимального Н2 -регулятора для разомкнутой системы, на вход которой поступает «наихудшее» возмущение Рассмотрим уравнение Риккати относительно матрицы

Те.

Т^А1ТАи + С^Си-ЫтТМ,

N = [ Щ Ы2 ] = -Т~1{В1ТАи + £>т Си)) где матрица N разделена на два блока ^,N2 £

(33)

(34)

(35)

Аи €

Ви €

и

Си £ ■

1Х2п

и матрицы

задаются соотношениями

Аи Ви

Си *

А (В0 + В{ЕЬ)М + ВгМг О А + (В0 + ДД)М + ВгМь + В2С

С,

О

■В2

о *

(36)

Теорема 8 Пусть система (7) удовлетворяет предположениям (А),(В),(Е) и пусть матрицы реализации в пространстве состояний оценивающего регулятора (15) удовлетворяют соотношениям (32) вкупе с уравнением

С = (37)

где матрицы N1, И2 выражаются через стабилизирующее решение уравнения Риккати (33)-(34) Тогда регулятор (15) является решением задачи 2

В разделе 3 6 сформулирован принцип разделения для решенной задачи в следующем виде Оптимальный анизотропийный регулятор полного порядка является оптимальным оценивателем оптимального закона управления в задаче с полной информацией о векторе состояния системы для случая «наихудшего» входа

В разделе 3 б описан окончательный алгоритм синтеза анизо-тропийного регулятора и его предельные случаи Указано, что решение поставленной задачи сводится к решению системы четырех связанных алгебраических уравнений Риккати, уравнения Ляпунова и нелинейного уравнения специального вида

Четвертая глава посвящена связи анизотропийного регулятора для полностью определенной системы с классическими субоптимальными регуляторами Постановка такой задачи следующая (И Г Владимиров, А П Курдюков, А В Семенов)

Задача 3 Для заданной системы Р1 и фиксированного параметра а ^ 0 найти регулятор Ка € К, доставляющий минимум функционалу качества § -К")|||а

В рамках работы, получен следующий результат

Теорема 9. Анизотропийный оптимальный регулятор Ка £ К,, являющийся решением задачи 3, доставляет минимум функционалу

]п<1<Л (Гт - 7-2 К))* ^ К)) ди>, где 1т Ъ(Р(гет),К(геш)),

г—»1—0 4 '

(38)

в котором параметр 7 удовлетворяет уравнению

К), 7) + у 7) = а, (39)

где

Ь(^,7)= 1

2-кт

Тгасе (1т - (Р, К)) * ¿ш (40)

—ТГ

Это означает, что анизотропийный регулятор, подобно 'Н00-оптимальному и любому -субоптимальному регулятору, минимизирует функционал энтропии замкнутой системы для некоторого значения параметра 7, зависящего от уровня анизотропии а

В пятой главе производится синтез анизотропийного регулятора для линейной стационарной дискретной системы, описывающей линеаризованную динамику летательного аппарата (самолета) на режиме посадки, а также численное моделирование предпосадочного маневра самолета под управлением построенного регулятора

а-Анизотропийный оптимальный регулятор был получен для заданного уровня средней анизотропии случайного входного возмущения а = 0 03

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

Данная диссертационная работа посвящена вопросам анализа устойчивости, а также вопросам синтеза регуляторов для линейных дискретных стационарных систем с параметрической неопределенностью, функционирующих в присутствии внешних случайных возмущений, являющихся гауссовским «цветным» шумом Учет априорной информации о входном воздействии, состоящей в ограниченности сверху функционала средней анизотропии входного возмущения известным параметром позволяет получить регуляторы, которые являются более робастными по отношению к указанному воздействию, нежели "Hi -регуляторы и менее консервативными, чем "Ню-регуляторы, что делает их весьма привлекательными для использования на практике вместо классических ТСЖ -регуляторов

Сформулируем основные результаты проведенных исследований

1 Получены достаточные условия робастной устойчивости линейных стационарных систем с неопределенностью, ограниченной по анизотропийной норме Получены критерии робастной стабилизируемости для линейных стационарных систем

2 Разработан алгоритм синтеза робастных анизотропийных регуляторов для линейных систем с параметрической неопределенностью Алгоритм синтеза сводится к решению системы нелинейных уравнений, состоящей из четырех уравнений Риккати, одного уравнения Ляпунова и нелинейного уравнения специального вида Доказана разрешимость указанной системы в рамках стандартных допущений задачи Ноо-оптимизации

3 Исследована связь анизотропийного регулятора с классическим Tioo -регулятором Доказано, что анизотропийный регулятор минимизирует Ню -энтропию замкнутой системы для некоторого известного значения параметра 7 > О

4 Получен анизотропийный регулятор с заданным уровнем анизотропии а = 0 03, обеспечивающий максимальное по энерге-

тической норме подавление возмущений типа «сдвиг ветра», действующих на летательный аппарат на режиме посадки Для синтеза регулятора был разработан численный алгоритм, основанный на методе гомотопий

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1 Владимиров И Г , Курдюков А П , Максимов Е А , Тимин В Н Анизотропийная теория управления - новый подход к стохастической теории робастного управления / / Идентификация систем и задачи управления Тезисы пленарных докладов IV международной конференции - Москва, 2005 -С 9-32

2 Курдюков А П , Максимов Е А Робастная устойчивость линейных дискретных систем с неопределенностью, ограниченной по анизотропийной норме // Устойчивость и колебания нелинейных систем управления Тезисы докладов VIII международного семинара - Москва, 2004 - С 106-108

3 Курдюков А П , Максимов Е А Синтез регуляторов по критерию минимума Woo-энтропии и анизотропийный синтез регуляторов // Устойчивость и колебания нелинейных систем управления Тезисы докладов IX международного семинара - Москва, 2006 -С 142-143

4 Курдюков А П , Максимов Е А Робастная устойчивость линейных дискретных стационарных систем с неопределенностью, ограниченной по анизотропийной норме // Автоматика и Телемеханика -2004 - №12 -С 129-143

5 Курдюков А П , Максимов Е А , Робастная устойчивость линейных дискретных систем с неопределенностью, ограниченной по анизотропийной норме // Доклады академии наук - 2005 - т 400, №2 - С 178-180

6 Курдюков А П , Максимов Е А Решение стохастической задачи Ню -оптимизации для линейных систем с параметрической неопределенностью // Автоматика и телемеханика - 2006 - №8 -С 112-141

7 Курдюков А П , Максимов Е А , Чайковский М М Решение задачи стохастической -оптимизации для дискретных линейных

стационарных систем с неопределенностью методом гомотопий // Труды Института Проблем Управления РАН, - Москва, - 2006 -С 5-36

8 Максимов Е А О связи задачи синтеза анизотропийных регуляторов с классическими задачами оптимального управления // Автоматика и телемеханика - 2007 - № 9 - С 134-144

9 Kurdukov А Р, Maximov Е A Robust stability of linear discrete time-invariant systems with anisotropic norm bounded uncertainty // 2nd IFAC Symposium on System, Structure and Control, Oaxaca (Mexico), 2004 - CD-ROM

10 Kurdyukov A P, Maximov E A State-space solution to stochastic Hoo -optimization problem with uncertainty // Proc 16th IFAC World Congress - 2005, paper Th-AlO-TO/5 - CD-ROM

11 Kurdukov A P , Maximov E A , Tchaikovsky M M Computing anisotropic optimal controller for system with parametric uncertainty via homotopy-based algorithm // SicPro'06, Moscow, ICS, 2006 - CD-ROM

12 Kurdukov A P , Maximov E A , Tchaikovsky M M Homotopy-based algorithm for computing stochastic Woo-optimal controller for LTI-system with uncertainty // 7-th Int Scientific-Technical Conf Process Control 2006 - Pardubice (Czech Republic), 2006 - CD-ROM

13 Kurdukov A P , Maximov E A , Tchaikovsky M M Homotopy method for solving anisotropy-based stochastic Hoo -optimization problem with uncertainty // Proc 5th IFAC Symposium on Robust Control Design - Toulouse (France), 2006 - CD-ROM

Личный вклад соискателя в представленных работах В работах 1,2,4,5,9 решена задача анализа робастной устойчивости линейной системы с неопределенностью в случае, когда на вход системы поступает случайный гауссовский шум с ограниченной средней анизотропией Сформулированы критерии робастной устойчивости системы для случая аддитивной неопределенности, мультипликативной неопределенности и неопределенности взаимно-простых факторов В работах 3, 6, 7, 10-13 построена аналитическая процедура синтеза анизотропийного регулятора для линейной системы с параметрической неопределенностью В

работе 8 установлена связь анизотропийных регуляторов с субоптимальными регуляторами, а именно соискателем доказана теорема о том, что оптимальный анизотропийный регулятор, подобно Поо -субоптимальному центральному регулятору, минимизирует энтропию замкнутой системы

Подписано в печать 18 09 2007 г Исполнено 20 09 2007 г г Печать трафаретная

Заказ №739 Тираж 100 экз

Типография «11-й ФОРМАТ» ИНН 7726330900 115230, Москва, Варшавское ш, 36 (495) 975-78-56 www autoreferat ra

Список условных обозначений.

Введение.

1. Основные понятия анизотропийного анализа.

1.1. Анизотропия случайных векторов.

1.2. Средняя анизотропия гауссовской случайной последовательности

1.3. Формула для средней анизотропии в пространстве состояний

1.4. Анизотропийная норма линейной системы.

1.5. Формулы для анизотропийной нормы в частотной области

1.6. Формулы для анизотропийной нормы в пространстве состояний

1.7. Распространение средней анизотропии в соединении фильтров.

1.8. Выводы.

2. Анализ робастной устойчивости линейной системы с неопределенностью

2.1. Постановка задачи.

2.2. Достаточные условия робастной устойчивости линейной дискретной стационарной системы.

2.3. Критерий робастной стабилизируемое™.

2.4. Выводы.

3. Синтез анизотропийного регулятора для линейной стационарной системы с параметрической неопределенностью

3.1. Постановка задачи

3.2. Погружение исходной задачи в более общую задачу -оптимизации.

3.3. Седловая точка и условие оптимальности в смешанной ЛВа/Н0о-задаче.

3.4. «Наихудший» ВР-вход для системы, замкнутой произвольным допустимым регулятором.

3.5. «Наихудший» В Б-вход для системы, замкнутой произвольным допустимым регулятором и «наихудшим» ВР-входом

3.6. Н2 -регулятор в форме наблюдателя

3.6.1. Оцениватель состояния.

3.6.2. Оптимальный регулятор.

3.7. Принцип разделения в задаче смешанной ЛВа/Ноо-оптимизации.

3.8. Окончательный алгоритм синтеза регулятора и частные случаи

3.9. Выводы.

4. Асимптотическое поведение анизотропийных регуляторов и их связь с классическими задачами Ноо -оптимизации

4.1. Постановки классических детерминированных и стохастических задач оптимального управления линейными объектами с возмущениями

4.2. Формулировка задачи синтеза анизотропийного регулятора

4.3. Связь между задачами Н2- и Ноо-оптимизации и задачей синтеза анизотропийного регулятора.

4.4. Выводы.

5. Численное моделирование.

5.1. Вычислительный метод гомотопии.

5.1.1. Метод гомотопии: общие сведения.

5.1.2. Вычислительный алгоритм решения задачи

5.2. Математическая модель продольного движения самолета

5.2.1. Постановка задачи управления.

5.2.2. Линеаризованная дискретная модель продольного движения самолета на режиме посадки в условиях ветровых возмущений

5.3. Результаты моделирования

5.4. Выводы.

Актуальность темы. При синтезе алгоритмов оптимального управления для линейных систем, функционирующих в присутствии внешних возмущений, основным фактором при выборе критерия качества управления является априорная информация о входном возмущении. Первое вполне естественное и распространенное предположение, что на систему действуют возмущения в виде гауссовского белого шума приводит нас к задаче синтеза так называемого линейно-квадратичного гауссовского регулятора, который является линейной системой и минимизирует некоторый квадратичный по управлению и состоянию функционал качества. Такая задача может быть сведена к задаче Н2 -оптимизации, в которой в качестве функционала качества выступает Н2 -норма передаточной функции (в дальнейшем ПФ) системы.

Теория синтеза линейно-квадратичных гауссовских регуляторов появилась в конце 50-х годов 20-го века и связана с именем Р. Кал-мана. Эта теория на годы обеспечила мощный инструмент для синтеза многомерных систем управления с квадратичным критерием качества [54]. Однако уже в начале 70-х годов появились работы, ставившие под сомнение универсальность этой теории. Источник фундаментального изъяна этой теории (потеря устойчивости системы при малых возмущениях в описании модели) был точно определен в работе [37]. Поэтому перед исследователями в области теории управления встала задача поиска критерия, лишенного этого серьезного недостатка, и позволяющего осуществлять синтез регуляторов, которые были бы робастны по отношению к входным воздействиям. И вскоре такой критерий был предложен.

Отправной точкой задач синтеза стабилизирующих регуляторов, минимизирующих Ноо -норму ПФ замкнутой системы по праву можно считать статью Зеймса [73]. С тех пор был достигнут значительный прогресс в решении задач синтеза Ноо -оптимального управления и обширные результаты могут быть найдены в [38,40,45,46,72]. Такая задача является задачей оптимального управления, а Ноо -норма ПФ замкнутой системы - критерием качества. Здесь априорной информацией о входных сигналах является их принадлежность пространству Лебега 1-2, то есть «интегрируемость с квадратом». Поскольку Ноо~ норма индуцируется нормой сигналов в 1,2 (или, как еще говорят, подчинена этой норме), то в указанной задаче она может трактоваться как максимальный коэффициент усиления внешних возмущений, поэтому такие задачи называют также задачами подавления внешних возмущений.

Различия в классах внешних сигналов обуславливает существенное отличие между двумя задачами. В задаче Н2 -оптимизации, функционал качества является выпуклым. - В задаче же Ноо -оптимизации функционал качества не является выпуклым, что существенно осложняет её решение. Поэтому поиск решения последней проводят, сводя её к задаче Ноо -субоптимизации, в которой функционал качества является уже не просто выпуклым, но и квадратичным, что позволяет решать её по той же схеме, что и задачу синтеза линейно-квадратичного регулятора.

В прикладных задачах кроме упоминавшегося выше свойства ро-бастности получаемых регуляторов по отношению к внешним возмущениям, важным свойством является степень их консервативности, то есть энергетических затрат органов управления объекта. Известно, что 7^2 -регуляторы не являются робастными по отношению к интенсивности входного возмущения [37], в то время как 'Ноо-регуляторы являются излишне консервативными.

Неоднократно предпринимались различные попытки получить ро-бастные регуляторы, обладающие меньшей степенью консерватизма, нежели Ноо -регуляторы. Одно из направлений связано с использованием так называемых «смешанных» критериев качества. В этом случае ищется регулятор, минимизирующий некоторый квадратичный функционал качества на множестве всех линейных регуляторов, обеспечивающих заданный коэффициент подавления внешних возмущений в замкнутой системе [32]. Это направление получило развитие в работах [39,64,75], в основу которых положено разделение входных возмущений на сигналы с ограниченной мощностью и сигналы с ограниченным спектром.

Второе перспективное направление, которому и посвящена данная работа, связано с синтезом регуляторов в том случае, когда система функционирует в присутствии случайных возмущений с неточно известными вероятностными характеристиками. Наличие дополнительной информации о входном возмущении с одной стороны позволяет затрачивать меньше энергии на управление, а с другой позволяет отступить от жесткого предположения о том, что входное возмущение является белым шумом. Таким образом, здесь можно говорить о попытках получить задачу синтеза, которая находилась бы, образно выражаясь, «между Н.2 и Н0о », то есть включала в себя достоинства обеих теорий и в то же время была бы по максимуму избавлена от указанных выше недостатков. Это направление связано с применением теоретико-информационных критериев качества и носит название стохастической Ноо -оптимизации.

Одним из таких информационных критериев является стохастическая норма ПФ замкнутой системы. Стохастическая норма индуцируется мощностной нормой случайных сигналов из заданного класса вероятностных распределений. Частным случаем стохастической нормы является анизотропийная норма. Эта норма применяется в случае, когда априорная информация о входном возмущении состоит в том, что возмущение — гауссовская случайная последовательность с нулевым средним и ограниченной сверху средней анизотропией [6,66]. Последняя является мерой коррелированности компонент случайного вектора в последовательности (или как ещё говорят «окрашенности») или, что тоже самое, мерой отклонения последовательности случайной величины от гауссовского белого шума. Задача синтеза анизотропийного регулятора, минимизирующего анизотропийную норму ПФ замкнутой системы, была впервые поставлена в [6] и решена в [67].

Всё вышесказанное относится к синтезу регуляторов для систем, параметры моделей которых полностью известны. Довольно часто в приложениях полной информации о модели объекта нет, что влечет за собой необходимость разработки методов, робастных не только к внешним возмущениям, но также и робастных к параметрам модели.

Задача синтеза Н^ -регуляторов, робастных по отношению к параметрическим неопределенностям модели объекта не нова. Здесь можно выделить два основных направления. Первое, представленное рядом работ [63,70,71] связано с понятием квадратичной стабилизируемости и в его основе лежит получение одного или нескольких неравенств Рик-кати, гарантирующих устойчивость замкнутой системы, содержащей неопределёность. Второй, более плодотворный подход, связанный прежде всего с работами [2,39,41,75] и получивший отражение в целом ряде последующих публикации как теоретического так и прикладного характера, заключается в «замене» объекта с неопределенностью новым, полностью определенным объектом, но содержащим один дополнительный вход с внешними возмущениями, с последующим погружением исходной задачи в более общую задачу Ноо -субоптимизации. Другими словами, здесь параметрическая неопределенность заменяется на внешнее возмущение, после чего решается классическая задача Нж -субоптимизации.

В теории синтеза анизотропийных регуляторов, вопрос о получении анизотропийных регуляторов, робастных к неточностям в задании параметров модели линейного объекта в настоящее время не исследован. Данная диссертационная работа призвана восполнить этот пробел.

Изложение диссертационной работы построено следующим образом. В главе 1 дано краткое изложение анизотропийного анализа линейных систем управления. Эти результаты известны и поэтому приводятся в обзорной форме, без доказательств с указанием ссылок на первоисточники.

Глава 2 посвящена анализу робастной устойчивости линейных систем. Результаты этой главы дают возможность делать выводы о внутренней устойчивости линейных систем с неопределенностью в случае, когда на систему действует возмущение с ограниченной средней анизотропией. Применение этого подхода позволяет учесть не только факт дополнительной априорной информации о входном возмущении, но и учесть анизотропийные свойства самого объекта.

Глава 3 посвящана синтезу анизотропийных регуляторов для систем с параметрической интервальной неопределенностью. Регуляторы строятся в предположении, что система функционирует в присутствии случайных возмущений с ограниченной средней анизотропией.

Остановимся более подробно на содержании главы 4 и предпосылках, которые вызвали её появление.

Как известно, ценность новой теории определяется не только новизной получаемых результатов, но и взаимосвязью этой теории с классическими теориями оптимизации, а также возможностью сравнить эти результаты с имеющимися ранее и выделить неоспоримые преимущества новых результатов. В работе [7] показано, что а-анизотропийная норма, являясь функцией своего параметра а > 0, имеет Н2- и Ню-нормы своими предельными случаями, отсюда следует что и задача синтеза анизотропийного регулятора включает в себя классические задачи Н.2- и Ноо -оптимизации как предельные случаи. В [18] показано, что отсюда следует, что Н2 - и Ноо -регуляторы являются предельными случаями анизотропийного регулятора. Там же показано, что эта связь более глубокая и заключается в следующем.

В работе [23] введён в рассмотрение функционал £(.Р, 7), названный впоследствии энтропийным функционалом или Ноо -энтропией замкнутой системы. Этот функционал рассматривался также в задачах продолжения [30]. Позже была найдена связь между этим функционалом и, так называемым, центральным регулятором [47,58,59,62]. Этот регулятор возникает как решение вспомогательной задачи оптимизации с квадратичным функционалом качества в Ноо -субоптимальной задаче. Оказывается, среди множества всех субоптимальных Н^регуляторов именно центральный регулятор минимизирует функционал энтропии замкнутой системы Р по всем субоптимальным регуляторам, Ноо -норма которых ограниченна сверху положительным параметром 7. Там же показано, что для фиксированного 7, индуцированное Ноо-нормой расстояние от центрального регулятора до оптимального Ноо -регулятора минимально на множестве всех 7-субоптимальных регуляторов.

В главе 4 показано, что анизотропийный регулятор также минимизирует анизотропийную норму ПФ замкнутой системы для некоторого значения параметра 7, зависящую от уровня анизотропии а ^ 0.

В главе 5 представлены результаты численного моделирования. В качестве объекта управления здесь рассматривается летательный аппарат (самолёт) на режиме посадки. Для линеаризованной модели этого объекта строится регулятор в соответствии с алгоритмом, полученным в главе 3, после чего производится моделирование первых 60 секунд полёта в указанном режиме.

Укажем вопросы, оставшиеся за рамками данной работы. Большим и актуальным на сегодняшний день направлением математической теории управления (как линейными, так и нелинейными системами) остается теория регуляторов, чувствительных к риску [68,69]. Поскольку критерии качества в этих задачах также основываются на теоретико-информационных соображениях, то есть основания полагать, что существует их связь с анизотропийными регуляторами. Поиск такой взаимосвязи может рассматриваться как дальнейшее развитие представленной работы.

Цель работы. Целью диссертационной работы является разработка методов анализа робастной устойчивости линейных объектов, содержащих неопределенность в параметрах модели, а также методов синтеза оптимальных регуляторов для линейных систем с параметрической интервальной неопределённостью.

Методы исследования. В работе применяются методы математической теории управления, оптимизации функций многих переменных, линейной алгебры, теории функции комплексного переменного и теории вероятностей.

Научная новизна. Получены достаточные условия робастной устойчивости линейного объекта с неопределенностью с ограниченной анизотропийной нормой. Разработан алгоритм синтеза линейного ро-бастного регулятора, минимизирующего максимальное значение анизотропийной нормы замкнутой системы по всем неопределенностям из заданного класса. Установлена взаимосвязь полученного регулятора с задачей синтеза классического Ноо -регулятора.

Достоверность результатов обеспечивается строгостью применяемого математического аппарата и подтверждается результатами численного моделирования.

Практическая и теоретическая ценность. Результаты, полученные в диссертационной работе, являются развитием математической теории управления линейными объектами и позволяют осуществлять синтез новых линейных робастных регуляторов, обладающих меньшей степенью консервативности, нежели широко использующиеся сегодня Ноо -оптимальные регуляторы.

На защиту выносятся следующие положения.

1. Достаточные условия робастной устойчивости линейного объекта с неопределённостью, ограниченной по анизотропийной норме.

2. Метод синтеза линейного анизотропийного регулятора для линейного объекта с параметрической интервальной неопределенностью.

3. Связь анизотропийного регулятора с Нж -оптимальным регулятором.

4. Применение разработанного метода синтеза для численного решения задачи подавления случайных возмущений для модели летательного аппарата, содержащей параметрическую неопределенность, на режиме посадки в условиях сдвиговых возмущений ветра с ограниченной средней анизотропией.

Апробация результатов работы. Результаты диссертационной работы докладывались на 8-ом международном семинаре «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления», ИПУ РАН, Москва, 2004; на 2-ом международном IFAC симпозиуме «System, structure and control», Оаксака, Мексика, 2004; на 5-ой международной конференции «System Identification and Control Processes», ИПУ РАН, Москва, 2005; на 16-ом международном конгрессе IFAC, Прага, Чехия, 2005; на б-ой международной конференции «System Identification and Control Processes», ИПУ РАН, Москва, 2006; на 9-ом международном семинаре «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления», ИПУ РАН, Москва, 2006; на 7-ой международной научно-технической конференции «Process Control», Пардубице, Чехия, 2006; на 5-ом симпозиуме по робастному управлению «Robust Control Design», Франция, Тулуза, 2006.

Публикации. Основные результаты опубликованы в пяти статьях [16-19,21] и восьми тезисах докладов на конференциях [8,14,15, 48-52].

Личный вклад соискателя. Все исследования, изложенные в диссертационной работе, проведены лично соискателем в процессе научной деятельности. Из совместных публикаций в диссертацию включен лишь тот материал, который непосредственно принадлежит соискателю.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы. Работа изложена на 118 страницах, содержит 2 таблицы и 23 иллюстрации. Библиография включает 73 наименования.

5.4. Выводы

В главе представлено численное моделирование продольного движения летательного аппарата в условиях сдвиговых возмущений ветра. Траектория движения представляет собой прямую с постоянным углом наклона. Управление осуществляется анизотропийным регулятором с уровнем анизотропии а = 0.03. Численное решение уравнений синтеза анизотропийного регулятора получено методом гомотопий. Сравнительный анализ показывает, что робастный анизотропийный регулятор является менее консервативным, нежели Ноо -субоптимальный регулятор, построенный для той же системы.

Заключение

Данная диссертационная работа посвящена вопросам анализа устойчивости, а также вопросам синтеза регуляторов для линейных дискретных стационарных систем с параметрической неопределенностью, функционирующих в присутствии внешних случайных возмущений, являющихся гауссовским «окрашенным» шумом. Учёт априорной информации о входном воздействии, состоящей в ограниченности сверху функционала средней анизотропии входного возмущения известным параметром позволяет получить регуляторы, которые являются более робастными по отношению к указанному воздействию, нежели Н.2 -регуляторы и менее консервативными, чем -регуляторы, что делает их весьма привлекательными для использования на практике вместо классических Ню -регуляторов.

Сформулируем основные выводы и результаты проведенных исследований.

Вторая глава посвящена анализу устойчивости линейных стационарных систем с частотной неопределённостью. Для таких систем получены достаточные условия робастной устойчивости в присутствии внешних возмущений с ограниченной средней анизотропией. Получены критерии робастной стабилизируемости для линейных стационарных систем.

В третьей главе разработан алгоритм синтеза робастных анизотро-пийных регуляторов для линейных систем с параметрической неопределенностью. Синтез регулятора сводится к решению системы нелинейных уравнений, состоящей из четырех уравнений Риккати-Лурье, одного уравнения Ляпунова и нелинейного уравнения специального вида. Доказана разрешимость указанной системы в рамках стандартных допущений задачи -оптимизации.

В четвёртой главе исследована связь анизотропийного регулятора с классическим Н^ -регулятором. Доказано, что анизотропийный регулятор минимизирует Ню -энтропию замкнутой системы для некотоporo известного значения параметра 7 > 0.

В пятой главе получен анизотропийный регулятор с заданным уровнем анизотропии а = 0.03, обеспечивающий максимальное по энергетической норме подавление возмущений типа «сдвиг ветра», действующих на летательный аппарат на режиме посадки. Для синтеза регулятора был разработан численный алгоритм, основанный на методе гомотопий.

1. Амосов A.A., Дубинский Ю.А., Копчёнова Н.В. Вычислительные методы для инженеров. - М.: Изд-во МЭИ, 2003. - 596 с.

2. Баландин Д.Б., Коган М.М. Синтез оптимального робастного Н^ -управления методами выпуклой оптимизации // Автоматика и телемеханика. 2004. - № 7. - С. 88-98.

3. Боднер В.А., Козлов М.С. Стабилизация летательных аппаратов и автопилоты / Под ред. В.А. Боднера. М.: Государственное научно-техническое издательство ОБОРОНГИЗ, 1961. - 508 с.

4. Владимиров И.Г., Даймонд Ф., Клоеден П. Анизотропийный анализ робастного качества линейных нестационарных дискретных систем на конечном временном интервале // Автоматика и телемеханика. 2006. - № 8. - С. 92-111.

5. Владимиров И.Г., Курдюков А.П., Семенов A.B. Анизотропия сигналов и энтропия линейных стационарных систем // Доклады РАН. 1995. - Т. 342. № 3. - С. 583-585.

6. Владимиров И.Г., Курдюков А.П., Семенов A.B. Стохастическая проблема ТСоо -оптимизации // Доклады РАН. 1995. Т. 343., № 5. -С. 607-609.

7. Владимиров И.Г., Курдюков А.П., Семенов A.B. Асимптотика ани-зотропийной нормы линейных стационарных систем. // Автомами-ка и телемеханика. 1999. - № 3. - С. 78-87.

8. Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. М.: Наука, 1977. 224 с.

9. Кицул П.И., Липцер Р.Ш. Рекуррентное оценивание случайных последовательностей. М.: Изд-во Института Проблем Управления РАН, 1974. 68 с.

10. Колмогоров А.Н, Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа, М.: Наука, 1972. 496 с.

11. Курдюков А.П., Максимов Е.А. Синтез регуляторов по критерию минимума Ноо -энтропии и анизотропийный синтез регуляторов // Устойчивость и колебания нелинейных систем управления: Тезисы докладов IX международного семинара. Москва, 2006. - С. 142143.

12. Курдюков А.П., Максимов Е.А. Робастная устойчивость линейных дискретных стационарных систем с неопределённостью, ограниченной по анизотропийной норме // Автоматика и Телемеханика.- 2004. №12. - С. 129-143.

13. Курдюков А.П., Максимов Е.А., Робастная устойчивость линейных дискретных систем с неопределённостью, ограниченной по анизотропийной норме // Доклады академии наук. 2005. - т. 400, № 2.- С. 178-180.

14. Курдюков А.П., Максимов Е.А. Решение стохастической задачи Ноо -оптимизации для линейных систем с параметрической неопределённостью // Автоматика и телемеханика. 2006. - №8. - С. 112141.

15. Курдюков А.П., Максимов Е.А., Чайковский М.М. Решение задачи стохастической Ноо -оптимизации для дискретных линейных стационарных систем с неопределённостью методом гомотопий // Труды Института Проблем Управления РАН, Москва, - 2006. -С. 5-36.

16. Курдюков А.П., Тимин В.Н. Синтез робастной системы управления на режиме посадки самолета в условиях сдвига ветра // Техническая кибернетика. №6. - 1993.

17. Максимов Е.А. О связи задачи синтеза анизотропийных регуляторов с классическими задачами оптимального управления // Автоматика и телемеханика. 2007 - № 9. - С. 134-144.

18. Мину М. Математическое программирование. Теория и алгоритмы. М.: Наука, 1990. - 488 с.

19. Пинскер М.С. Информация и информационная устойчивость случайных процессов, М.: Изд-во АН СССР, 1960. № 7. - 201 с.

20. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление М.:Наука, 2002. 303 с.

21. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ М.: Мир. - 1989. - 656 с.

22. Ширяев А.Н. Вероятность. М.: Наука, 1989. - 574 с.

23. Отчёт о научно-исследовательской работе ИПУ им. В.А.Трапезникова РАН по теме №053-93/01: «Разработка принципов автоматизации полёта и исследования новых алгоритмов управления на этапах захода на посадку и приземления». -1993.

24. Отчёт о научно-исследовательской работе ИПУ им. В.А.Трапезникова РАН по теме №074-95/01: «Разработка основ теории нетрадиционных подходов и исследование алгоритмов управления полётом в сложных условиях». 1995.

25. Abou-Kandil Н., Freiling G., Ionescu V., Jank G. Matrix Riccati equations in control and systems theory, Basel-Boston-Berlin: Birkhauser-Verlag, 2000. 571 p.

26. Arov D.Z., Krein M.G. On computing the entropy integrals and their minima in generalized extension problems // Act. Sci. Mat. 1983. -V. 45.-P. 33-50.

27. Bernhard H.-P. A tight upper bound on the gain of linear and nonlinear predictors for stationary stochastic processes // IEEE Trans, on Signal Processing. 1998. - V. 46, № 11 - P. 2909-2917.

28. Bernstein D.S., Haddad W.M. LQG control with an H^ performance bound: a Riccati equation approach // IEEE Trans, on Automat. Control. 1989. - V. 34. - P. 293-305.

29. Byrnes С. I., Georgiou Т. Т., Lindquist A. A generalized entropy criterion for Nevanlinna-Pick interpolation with degree constraint // IEEE Trans, on Automat. Control. 2001. V. 46 - P. 822-839.

30. Cover T.M., Thomas J. A. Elements of information theory. New York: Wiley, 1991. - 776 p.

31. Diamond P., Kurdjukov A., Semyonov A., Vladimirov I. Homotopy methods and anisotropy-based stochastic Hoo -optimization of control systems // Report 97-14, The University of Queensland, Australia. -1997. P. 1-22.

32. Diamond P., Vladimirov I.G., Kurdjukov A.P., Semyonov A.V. Anisotropy-based performance analysis of linear discrete time invariant control systems // Int. J. Control. 2001. - V. 74, № 1. - P. 28-42.

33. Doyle J.C. Guaranteed margins for LQG regulators // IEEE Trans, on Autom. Control. 1978. - V. 23. - P. 756-757.

34. Doyle J.C., Glover K., Khargonekar P.P., Francis B.A. State-space solutions to standard H2 and H^ -control problems // IEEE Trans, on Autom. Control. 1989. - V. 34. - P. 831-848.

35. Doyle J., Zhou K., Gover K., Bodenheimer B. Mixed H2 and Hoo performance objectives II: Optimal control // IEEE Trans, on Automat. Control. 1994. - V. 39. - P. 1575-1587.

36. Francis B.A. A course in H^ -control theory. Lecture notes in control and information sciences. V. 88 - New York: Springer-Verlag, 1987.- 150 p.

37. Geromel C., Peres P.L.D., Souza S.R. Convex approach to the mixed H2 /Hoo control problem for discrete time uncertain systems // SI AM J. Control and Optimiation. 1995. - V. 33. - P. 1816-1833.

38. Glover K., Doyle J. State-space formulae for all stabilazing controllers that satisfy an Hoo -norm bound and relations to risk sensitivity // Systems & Control Letters. 1988. - № 11. - P. 167 -172.

39. Gray R. Entropy and Information theory, New York: Springer, 1990.- 284 p.

40. Green M., Limebeer D.J.N. Linear robust control. Englewood Cliffs. New Jersey: Prentice Hall, 1995. 538 p.

41. Gu D.-W., Tsai M.C., O'Young S.D., Postlethwaite I. State-space formulae for discrete-time Hoc -optimization // Int. J. Control. 1989. -V. 49.-P. 1683-1723.

42. Iglesias P.A., Glover K. State-space approach to discrete-time Hoo-control // Int. J. Control. 1991. - V. 54. P. 1031-1073.

43. Iglesias P.A., Mustafa D. State-space solution of the discrete-time minimum entropy control problem via separation // IEEE Trans, on Automat. Control. 1993. - V. 38. - P. 1525-1530.

44. Kurdukov A.P., Maximov E.A. Robust stability of linear discrete timeinvariant systems with anisotropic norm bounded uncertainty // 2nd IFAC Symposium on System, Structure and Control, Oaxaca (Mexico), 2004. CD-ROM.

45. Kurdyukov A.P., Maximov E.A. State-space solution to stochastic Hoo -optimization problem with uncertainty // Proc. 16th IFAC World Congress. 2005, paper Th-AlO-TO/5 - CD-ROM.

46. Kurdukov A.P., Maximov E.A., Tchaikovsky M.M. Computing anisotropic optimal controller for system with parametric uncertainty via homotopy-based algorithm // SicPro'06, Moscow, ICS, 2006 CD-ROM.

47. Kurdukov A.P., Maximov E.A., Tchaikovsky M.M. Homotopy method for solving anisotropy-based stochastic 7i00 -optimization problem with uncertainty // Proc. 5th IFAC Symposium on Robust Control Design Toulouse(France), 2006. - CD-ROM.

48. Kurdyukov A.P., Pavlov B.V., Timin V.N., Vladimirov I.G. Longitudinal anisotropy-based flight control in a wind shear // Preprints of 16th IFAC Symposium on Automation Control in Aerospace. Saint-Petersburg (Russia), 2004. - V. 1. - P. 430-433.

49. Kwakernaak H., Sivan R. Linear optimal control systems. New York: Wiley, 1972. - 608 p.

50. Luenberger D.G. Optimization by Vector Space Methods. New York: Wiley, 1969. - 344 p.

51. Mariton M., Bertrand R. A homotopy algorithm for solving coupled Riccati equations // Optimal. Contr. Appl. Meth. 1985. - V. 6. -P. 351-357.

52. McFarlane D.C., Glover K. Robust controller design using normilized coprime factor plant description. New York: Springer-Verlag, 1990. -127 p.

53. Mustafa D., Glover K. Lecture notes in control and information sciences: Minimum entropy control. Springer-Verlag: New York, 1990. - 147 p.

54. Mustafa D., Glover K. Limebeer D.J.N. Solutions to the Hoo general distance problem which minimize an entropy integral // Automatica 1991. - V. 27., № 1. - P. 193-199.

55. Narkis Y. Cost function calculation for stationary linear-quadratic systems with colored noise // IEEE Trans, on Automat. Control. -1992.-V. 37.-P. 1772-1774.

56. Ortega J.M., Rheinboldt W.C. Iterative Solutions of Nonlinear Equations in Several Variables. New York: Academic Press, 1970.

57. Peters M. A., Iglesias P. A. The relationship between minimum entropy control and risk-sensitive control for time-varying systems // IEEE Trans, on Automat. Control. 1999. - V. 44. - P. 1065-1069.

58. Petersen I.R. Stabilization of an uncertain linear system in which uncertain parameters enter into the input matrix // SIAM J. Control and Optimization. 1988. - V. 26., № 6. - P. 1257-1264.

59. Rotstein H., Sznaier M. An exact solution to general four-block discrete-time mixed H2 /Hoo problems via convex optimization // IEEE Trans, on Automat. Control. 1998. - V. 43., № 10. - P. 14751481.

60. Sarason D. Generalized interpolation in Hoo // Trans. American Math. Society. 1967. - V. 127. - P. 179-203.

61. Semyonov A.V., Vladimirov I.G., Kurdjukov A.P. Stochastic approach to Woo-optimization // Proc. 33rd IEEE Conf. on Decision and Control. Florida(USA), 1994. - P. 2249-2250.

62. Vladimirov I.G., Kurdjukov A.P., Semyonov A.V. State-space solution to anisotropy-based stochastic Hoo -optimization problem // Proc. 13th IFAC World Congress. San-Francisco (USA) - 1996. - P. 427-432.

63. Whittle P. Risk-Sensitive Linear/Quadratic/Gaussian Control // Advan. Appl. Prob. 1981. - V.13. - P. 764-777.

64. Whittle P. Risk Sensitive Optimal Control. New York: Wiley, 1990. - 256 p.

65. Xie L., de Souza C.E. Robust Hoo control for linear time-invariant systems with norm bounded uncertainty in the input matrix // Systems & Control Letters. 1990. - V. 14. - P. 389-396.

66. Xie L., de Souza C.E. Robust Hinf control for class of uncertain linear time invariant systems // IEEE Proc. Ser. D. 1991. - V. 138., №5. -P. 479-483.

67. Yaesh I., Shaked U. A transfer function approach to the problems of discrete-time systems: Hoo -optimal linear control and filtering // IEEE Trans, on Autom. Control. 1991. - V. 36, - P. 1264-1271.

68. Zames G. Feedback Minimax Sesitivity and Optimal Robustness // IEEE Trans, on Autom. Control. 1983. - V. 28. - P. 585-601.

69. Zhang H., Sun Y. Information theoretic interpretations for Hoo~ entropy // Proc. 16th IFAC World Congress. 2005. - Th-M07-TO/6. - CD-ROM.

70. Zhou K., Gover K., Bodenheimer B., Doyle J. Mixed H2 and Hqq performance objectives I: Robust perfomance analysis // IEEE Trans, on Automat. Control. 1994. - V. 39. - P. 1564-1574.